Guia Matematica.ubaxxi

UBA XXI Modalidad virtual

Matemtica

Practico 0 Revisin 1

PRACTICO 0. PRACTICO DE REVISION

1. Resolv los clculos

a. 5 - (-2) + (- 8) : (-4) 5

b. 7 (-3) (- 8) : (- 8) + (-3) : (-1)

c. 6: (-2) + (-7) (-15) : (-3)

d. 42 : 2 1 - 82 :2 1

e. 22 42 : 8 + 25

2. Sustitu cada lnea por un nmero de modo tal de convertir en verdaderas las siguientesexpresiones.

23-___:1h.0___5-.g1

92___f.

34___

34-e.

___(-5)5d.1,6-___1,6-.c0___-65-.b0___

43a.

3. Dadas las fracciones51

y71

, escrib, si es posible, entre ellas:

a. Dos fracciones.

b. Una fraccin con denominador 20.

c. Todas las fracciones con denominador 70.

4. a. Es posible hallar un nmero racional con denominador 4 que se encuentre entre21-y

56- ?

Es nico?

b. Encontr una fraccin equivalente a85

con denominador igual a una potencia de 10. Cuntas

pueden escribirse? Por qu?

c. Escrib si es posible dos nmeros entre73y

72 .

5. a. Cuntos nmeros con dos cifras decimales hay entre 3,5 y 3,6?

b. Y con ms de dos cifras decimales?

65

:31

4:21

132

.h

31

143

.g

24,00,3)-(1,5

6-

5,1)8,12,1(

.f

22

2

2

Pods consultarcualquier texto de laescuela secundaria


Matemtica


c. Encontr si es posible, un nmero decimal a de manera que el nmero a + 0,0001 est entre3,5 y 3,6.

6. a. Busc tres pares de nmeros racionales a y b tal que su producto sea103 .

b. Encontr una multiplicacin que tenga como uno de sus factores a73 y que d como resultado 5.

7. De dos nmeros p y q se sabe que:

p est entre 13 y 14

q est entre 8 y 9

Entre qu valores se encuentran los siguientes resultados?:a. p + q b. pq c. p : q d. (p + q): (p - q)

8. Complet con >, =


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COLUMNA 1 COLUMNA 2

41

53 a.

3013

32

41

53 b.

925

2

321

c. 1

d.307

21

211

925

e.207

22

34

35

f. Un nmero distinto

de los anteriores

233023301

g. No tiene resultado

12. Resolv explicitando las propiedades utilizadas (con x 0).

a. -x2 x3 e. (-x)2 x3

b. x5 : x-1 f. x-3 : x4

c. (x 3y) (x + 3y) g. (x+2)2

d. [(3x)2]-2 h.34

523

xx

xxx

13. Calcul las siguientes potencias.

2-3

52525

2-22-03

(0,1)j.23.i10h.(-1)g.1-f.

(-3).e(-3).d2c.51b.

52.a


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14. Resolv los clculos.

154

85

429

23

52

.i

21

215

54

45

21

35

1.h

21

431

382

.g

51)5(

52

41-f.

431

812

316e.4:16

21.d

2525100c.8-:27b.42-75-.a

3

221

3

2

2-

22

33

15. a. Resolv aplicando propiedades:

(2x m) (2x + m)= (2x + m)2 = (2x - m)2=

b. Escrib como producto de dos factores:

m2 16 = m2 + 6m + 9= m3 + m=

16. Dadas las ecuaciones:

a. 9 = 5y 3 b. 5x21x

2

c. 6y +5 = 2y + 7 d. 3x2-6 = (x+2)(x-3)

y las soluciones:

-0,5; -3; 2,4;21 ; 0;

averigu a cul ecuacin corresponde cada solucin.

17. Resolv las siguientes ecuaciones.

a. 2101

x52 b.

92

1x35

c. t

154

53

15)10t(3 d. (3 + y) (y + 1) = (y + 1) (y 1)

e. 3 + x (5 3x) = 4 f. (4 + z ) (2 + z) = (4 z) (2 z) + 8

g. (x 1)2 (x2 1) = 2(1 x) h.51

x4

i. 11x

x1x

3

j.23x3x

51x 22


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18. Decid la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justific adecuadamente.

a. x 2(1 3x) = 6 + 3 (4 x) tiene solucin x = 2

b. S = {4} es el conjunto solucin de2

x85

2x3

c.2x)1x(

41x2 tiene como solucin x = 5

d. La ecuacin 2(x 1) 3(x - 2) + 4(x 3) = 0 no tiene solucin en el conjunto de los nmerosnaturales.

19. Traduc al lenguaje matemtico con una o ms ecuaciones y escrib el conjunto de soluciones.

a. La suma de dos nmeros es 15 y su diferencia es 25. Cul es su producto?

b. En un juego Pedro triplic su dinero y despus gast $10. En un segundo juego duplic loque le quedaba y gasta $ 22. Si le quedan $108 Cunto dinero tena Pedro antes de losjuegos?

c. La suma de dos nmeros enteros consecutivos es igual al doble del primero ms dos.Cules son estos nmeros?

20. Si de un nmero entero se resta su mitad ms ocho se obtiene el cudruplo de la diferenciaentre su octava parte y dos

La expresin que simboliza el enunciado anterior es:

anterioreslasdeNingunae.

2-8x48

2x-xd.2-

8x48

2x-xc.

2-8x48

2x-xb.2-

8x48

2x-xa.

21. Cul de los siguientes enunciados corresponde a la expresin 101)2(xx21 3 ?

a. La mitad del cubo de un nmero ms el consecutivo de dicho nmero es igual a 10.

b. El cubo de la mitad de un nmero ms el doble del consecutivo de dicho nmero es igual a 10.

c. La mitad del cubo de un nmero ms el doble del consecutivo de dicho nmero es igual a 10.

d. El cubo de la mitad de un nmero ms el siguiente del doble de dicho nmero es igual a 10.

e. Ninguna de las anteriores.

22. Consider la desigualdad 2 < 5. Indic qu pasa con ella en los siguientes casos:

a. Si le sumo miembro a miembro 4.

b. Si le sumo miembro a miembro -4.

c. Si se la multiplica miembro a miembro por 3.

d. Si se la multiplica miembro a miembro por -3.

e. Si se la multiplica miembro a miembro por 1.

f. Si se la multiplica miembro a miembro por 0.

Compar las respuestas que obtuviste y escrib tus conclusiones


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23. Sean m y n dos nmeros enteros. Decid si son correctas las siguientes afirmaciones; en casocontrario, da un contraejemplo.

a. Si m > n y n > 0 entonces m > 0.

b. Si m < n y m < 0 entonces n < 0.

c. Si m < n y n < 0 entonces m < 0.

24. En las siguientes proposiciones A representa la cantidad de libros de Administracin y B lacantidad de libros de Biologa.

Expresar en lenguaje coloquial:

a. A + B = 45 b. A > B c. A < B + 5

d. 5A = 3B 6 e. A 10 > 30 f. B 2A + 10

25. Encontr en forma analtica el conjunto de soluciones de las inecuaciones dadas.Represent grficamente el conjunto de soluciones.

a. 3x + 2 > 5x 4 b. x 4- 2x + 5 c. 5x + 2 8 d. x - 2x + 3

26. Resolv los siguientes problemas.

a. Una persona compr cierto nmero de objetos con $ 300. Podra haber comprado 10 objetosms, si cada uno hubiese costado $ 5 menos. Cuntos objetos compr?

b. Hallar dos nmeros positivos sabiendo que uno de ellos es el triple del otro ms 5 y que elproducto de ambos es igual a 68.

c. Todas las personas que asistieron a una reunin estrecharon sus manos para saludarse. Silos saludos fueron 91 Cuntas personas hay en la reunin?

d. El nmero de varones de una comisin especial debe ser por lo menos, tres veces mayorque el nmero de mujeres. Los varones son 12. Cuntas pueden ser las mujeres?

e. Despus de vender dos docenas de cajas de CD, quedan en stock menos de 45 cajas deCD. Cuntas cajas de CD haba, como mximo, antes de hacer la venta?

f. En una biblioteca me permiten retirar a domicilio hasta 4 libros. No pueden retirarse ms dedos libros de historia ni ms de 3 libros de aventuras. Indicar en un cuadro todas lasposibilidades, si deseo retirar al menos 1 libro de cada categora. Expresar las inecuacionesque condicionan el problema.

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Material de uso exclusivamente educativo

PRCTICO DE REVISIN

ACTICIDADES COMPLEMENTARIAS

1 Si en la formacin de un negocio, Alejandra y Mara aportan43

y51

respectivamente

del capital inicial y Jos el resto, cul es el porcentaje que representa la fraccinque aport Jos?

2 Todos los alumnos de un curso se reparten los gastos de un paseo en partesiguales. Si cada uno pone $ 250 faltan $ 2.400 para cancelar los gastos y si cada unopone $400 sobran $ 1.200.Si todos los alumnos pagan su cuota, cunto es el gasto total?

Estas actividades no son obligatorias, pero te sirven para que repases lo queestuviste trabajando.

No tens que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tens dudas consltalas enel foro del prctico.

En unos das podrs acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio deEVALUACION

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Matemtica

Unidad 1R Y R2

Temas de la unidad

Representacin de los nmeros reales en una recta. Intervalos de R. Distancia en la recta real.Representacin de los pares de nmeros reales (R2) en el plano. Distancia entre dos puntos delplano.

Bibliografa obligatoria

AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,1995; Captulo I. R y R2.

Prctico 1: Nmeros reales y coordenadas cartesianas


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Practico 1 - Nmeros reales y coordenadas cartesianas. 2

PRACTICO 1. NMEROS REALES Y COORDENADAS CARTESIANAS

1.Orden en forma creciente y represent en la recta numrica lossiguientes nmeros reales:

12,326;;51,4157;;27-;53,4;43,2,5;-;23 3

2.Represent en la recta numrica:

251.e

52-.d

5.c

21b.

2a.

3. Si -1 < a < 0, orden de menor a mayor los siguientes nmeros y hac un grfico que muestre lasituacin:

a1-a;-;a;

a1 2

4. En cada uno de los siguientes casos d, si es posible, un nmero real m que satisfaga:

a. 2m 0}b. {x/ x(x2 -1)0}c. {x/ -2 1-x < 3}

d. {x/ x3 423}

15. Si A = {x/ -5x +10 > 17} , decid cul o cules de los siguientes intervalos estn contenidos en A.a. (-1; 1) b. (-1; 0) c. (-2; -1) d. (-6; 5)

16. Represent cada conjunto en la recta numrica y escribilo como intervalos o unin de intervalos.

a. 3x

1/x b.

221x

3/x

c. 02x

3/x d.

03x

x/x

e.

442x3x

/x f.

0

21x

x/x

2 5

Grfico a

-1 3

Grfico b 21

Grfico c

Grfico g

2

Grfico d

0 2

Grfico e

23

16

Grfico f

Grfico h

0


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17. Resolv las siguientes inecuaciones y represent el conjunto solucin en la recta real:

a. 2x-43-2x b. x21

-43x5

c. 3x21

x2 d.

31-a

42a

e.4

5-5x12x3 f.

6x

-52x

3x

g.21

-35x

4-4x h. 02-x

18. a. Represent en la recta real los nmeros: 2-;2;21

-;21

5;-5;

b. Establecer la distancia de cada uno de ellos al cero.

19. Calcul el valor absoluto o mdulo de:

a. 7 b. 6 4 c. -(-3)

d. 3 5 e. - 3 5 f. -3+ 5

g. 2. (-3) h. 2. 3 i. (-2)(-3)

j. (8 -10)2 k. (-5)3 l. (-2):(-3)

20. Decid si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones

a. |-1+3| = |-1| + |3| b. |-1-3| = |1 + 3|

c. |(-3)2| = |(-3)|2 d. |10 +(-14)| = |10| + |14|

e. |-3+ 8| = |-(3 8)| f. |2-| = |-2|g. |x| es equivalente a decir que x = 0.

h. |x| = |y| significa que x = y x = -y.

21. a. Represent en la recta real y establecer la distancia entre los siguientes pares de nmeros:

5 y 8 5 y 8 8 y 5 5 y -8

b. Interpret utilizando valor absoluto lo hecho en el ejercicio anterior.

c. Qu significado tiene la expresin | x - 2| = 3? Y | x + 2| = 3?

22. Resolv:

a. |x| = 1 b. |x| + 2 = 5 c. 5 2 = |x|

d. |x| - 2 = 2 e. |4x| + 4|-x| = 0 f. | x - 4| = 2

g. | -1+ x| = 1 h. | x + 2| =21 i. 5

x3


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23. Hall grficamente los nmeros reales que verifican:

a. Distan 2 de35

.

b. Cuya distancia a 2 sea menor o igual que 1.

24. Expres en lenguaje coloquial:

a. |x| > 1 b. |x|5 c. |x|-3

d. |x 3|7 e. |x 3| < 5 f. 3|x|5

25. Represent en la recta real las desigualdades anteriores y, en cada caso, escrib como intervaloo unin de intervalos el conjunto solucin.

26. Represent en la recta numrica e interpretar como intervalos o como unin de intervalos.

a. 2|x|/x b. 0|1x|/x

c. 09x/x 2 d. 2

31

x/x

27. Se sabe de un nmero real que cumple las siguientes condiciones:

La distancia entre 3x y -2 es mayor que 1

Pertenece al conjunto 2;

43;-

a. Expres simblicamente cada una de las condiciones anteriores.

b. Si M es el conjunto de todos los valores de x que cumplen simultneamente ambascondiciones, represent M en la recta numrica.

28. Escrib una inecuacin cuya solucin sea:

a. (-2; 5)

b. (-; 0] U [2; +)

29. Hall los valores de x que satisfacen las siguientes condiciones y represent los subconjuntos denmeros reales correspondientes:

a. 0 -1x (2; 5)c. x [-4; +)x < -2 d. x (-; 3) x (-3; +)

30. Resolv las siguientes situaciones:

a. Cules son los nmeros cuyo triple excede a su doble en ms de 20?

b. Cul es el mayor nmero entero mltiplo de 4, que satisface la inecuacin x + 2 < 3 x + 1?

c. El lado de un cuadrado es mayor o igual que 7. Qu se puede decir de su permetro p?

d. Una fbrica paga a sus viajantes $10 por artculo vendido ms una cantidad fija de $500. Otrafbrica de la competencia paga $15 por artculo y $300 fijos. Cuntos artculos debe vender elviajante de la competencia para ganar ms dinero que el primero?


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31. Represent en el plano los puntos.

a. (1; 3) b. (3; 1) c. (-1; 2)

d. (-1; -5) e. (0;1) f. (0; 2 )

g. (23; -1) h. (32; 0) i. (-1; -1)

32. a. Indic (sin graficar) a qu cuadrante pertenecen los puntos:

a. A = (-1; -2) b. B = (2; -3)

c. C = (5; 4) d. D = (-2; 2)

e. E = (2;31 ) f. F = (5; 5)

b. Grafic y verific lo contestado en el tem anterior.

33. a. Dibuj el tringulo cuyos vrtices son los puntos:

P = (-1; 2); Q = (-3; 4) y T = (0;4)

b. Nombr tres puntos que pertenezcan a los lados del tringulo.

34. Represent en un sistema de coordenadas cartesianas:

a. Tres puntos de abscisa 1

b. Dos puntos que tengan ordenada 4

c. Todos los puntos que tienen abscisa 1

d. Todos los puntos que tienen ordenada 4.

35. Represent en el plano los siguientes conjuntos:

a. A = {(x; y)2/ x + y < 0}b. B = {(x; y)2/ 2x + 3 > 0}

c. C = {(x; y)2/ x 12; y + 2 > 0}d. D = {(x; y)2/ x= 6; y < 5}e. E = {(x; y)2/ |x| >3; |y| < 1}f. F = {(x; y)2/|x| = |y|}g. G = {(x; y)2/-1


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36. En cada caso, describ algebraicamente la condicin satisfecha por la grfica

37. Hall la distancia entre cada par de puntos.

a. (-3, 2) y (1, 5)

b. (1, 1) y (-4, -11)

c. 3;

32

y (-1; 0)

38. a. Para qu valores reales de a el punto A = (4; a) se encuentre a distancia 5 del punto B= (1; 6)?

b. Para qu valores reales de k el segmento que une los puntos M=(5;1) y P=(k;1) mide 3unidades de longitud?

a.

c. d.

b.

e.f.


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39. Determin las distancias entre los siguientes pares de puntos.

a. (a + b, a b) y (b a, b + a)

b. (0, 0) y (a + b, a b)

40. Encontr el punto del eje x que es equidistante de (0, -2) y (6, 4).

41. Mostr que el punto

2db;

2ca equidista de los puntos (a; b) y (c; d).

42. Dados los puntos de la figura, hall las coordenadas de A para qued(AB) = d(AC)

43. El segmento que une los puntos P=(1;1) y Q=(3;1) es un lado del tringulo equiltero PQR.Hall las coordenadas de R y decid si la respuesta es nica.

44. En un sistema de ejes coordenados, represent el cuadriltero de vrtices Q=(2;3); R=(1;1),S=(0;2) y T= (2;4) y calcul su permetro.

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PRCTICO 1. NMEROS REALES Y COORDENADAS

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS: Nmeros reales

1. Representa en la recta real todos los nmeros que verifican

(2x 3) (x2 16) = 0

2. Consider el intervalo de nmeros reales [ -5; 1,8) e indic si son verdaderas o falsaslas siguientes afirmaciones. (Explic tu respuesta)

a) El nmero -5 pertenece al intervalo.b) El nmero 1,8 pertenece al intervalo.c) El nmero -0,5 y su opuesto son nmeros que pertenecen al intervalo.

d) Los nmeros que cumplen la relacin | x+ 2|3 pertenecen al intervalo.

3. Hall el nmero real c, de manera que {x/ 5x c4} = [3: +)




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PRCTICO 1. NMEROS REALES Y COORDENADAS

EJERCICIOS DE PARCIALES

1. a. Hallar los nmeros reales cuya distancia a 4 sea mayor o igual que la distancia de 3 a 2.

b. Representar el conjunto solucin en la recta numrica.

2. Se sabe que un nmero real p cumple las siguientes condiciones:

La distancia entre 2p y 4 es menor que 2.

Pertenece al conjunto (-; 2][8; +)A es el conjunto de todos los valores de p que cumplen simultneamente ambas condiciones.

Expres simblicamente el conjunto A.

3. a. Represent el conjunto A = {(x; y) 2 / x+y-1 y |y|

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Unidad 2FUNCIONES

Las funciones lineal, cuadrtica y polinmica

Temas de la unidad

Funciones. Las funciones lineal, cuadrtica y polinmica. Definicin y ejemplos. Dominio, codominio,imagen. Rectas en el plano. Grfico de una funcin lineal. Interseccin de rectas. Resolucin desistemas lineales de ecuaciones con dos incgnitas. Paralelismo y perpendicularidad de rectas en elplano. Determinacin de ceros, vrtice y eje de una parbola. Interseccin de curvas. Resolucin deproblemas prcticos que involucren ecuaciones de segundo grado. Polinomios: algoritmo de divisin.Teorema del resto. Factorizacin. Nocin de continuidad. Localizacin de races.


AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,1995; Captulo 2, FUNCIONES.

AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,1995; Captulo 3, FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS.

AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia S.R.L.,1995; Captulo 3, FUNCIONES POLINOMICAS.

Prctico 2: Funciones


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Practico 2. Funciones 2

PRACTICO 2. FUNCIONES

1. En una ciudad se tomaron mediciones de la temperatura a lo largode un da del mes de julio. La grfica muestra los registros de lasmismas.

a. De acuerdo a la informacin de la grfica, complet la tabla:

b. Indic las temperaturas mximas y mnimas del da.

c. Entre qu horas se mantiene constante?

d. Entre qu horas aumenta? Y disminuye?

e. Puede saberse con certeza cul fue la medicin de la temperatura a las 17 horas? Por qu?

2. Indic cules de los grficos dados a continuacin representan una funcin IRIR:f .

CAPITULO II

FUNCIONES

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Hora

Tem

per

atu

ra(

C)

Hora del da 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Temperatura (C)

a. b. c d

e. f . g.h.


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3. Indic cul o cules de las siguientes grficas puede representar una funcin con dominio en elconjunto {x/ 2x 6} y cuyo conjunto de imgenes es {y/ -1y4}.

4. La grfica representa la funcin f

a. Decid si es verdadero o falso que:

a.1. f(0) = f(3) = 0

a.2. f(-1) = 0

a.3. f( 2) + f(0) = f( 3)

b. Ubic todos los puntos (x,(fx)), tales que f(x)=2.

c. Situ en el eje todos los valores de x para los que f(x) = 0

d. En qu intervalos es f(x) > 0?

5. Sea1x

xf(x)

a. Da el dominio de f.

b. Decid si el punto

21

1;A pertenece a la grfica de f.

c. Para qu valores de x es f(x) = -2?

d. Es cierto que -1 pertenece al dominio de f?

6. Para la funcin graficada se pide:

a. Dominio e Imagen.

b. C0; C+ y C-.

c. Intervalos de crecimiento.

d. Intervalos de decrecimiento.

e. Mximos y mnimos locales.

y y y y

x x xx

a. b. c. d.


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7. Dibuj una funcin g que verifique cada una de las siguientes condiciones:

a. Su dominio son los nmeros reales.

b. Es constante para los x menores que -1 y pasa por el punto (-3; -2).

c. Decrece en el intervalo (-1; 2) y adems pasa por los puntos (-1; -2) y (2; -3)

d. Para los x mayores que 2, tiene races en 3 y 5; adems g(4) = 1.

8. a. Grafic las siguientes funciones:

f1(x) = x f2(x) = 2x

f4(x) = - x f5(x) = -3x

f(x)7 = 2x f8(x) = 2x + 1 f9(x) = 2x 1

b. Compar las grficas dibujadas. Qu conclusiones sacs?

9. En el conjunto de los nmeros reales se define la relacin f(x) = x + 2

a. Hall f(5); f(0); f(90)

b. Si f(a) = 5; f(b) = 1 y f(c) = 201; hallar a, b y c.

c. Grafic f.

10. Da la expresin de cada una de las funciones lineales cuyas grficas son:

CAPITULO III

FUNCIONESLINEALES

Y CUADRATICAS

Funciones Lineales

x21)x(f 3

x31)x(f6


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11. a. Encontr en cada caso, una funcin lineal f que satisfaga:

a.1. f(2) = 3 y f(4) = 0

a.2. f(-1) = 3 y f(1) = 3

a.3. f(0) = -2 y f(2) = 0

b. Grafic las funciones encontradas.

c. Hall grfica y analticamente, la interseccin con los ejes.

12. Hall las ecuaciones de las rectas que cumplen las condiciones indicadas y graficlas:

a. Pasa por (2; 4) y (5; 0)

b. Tiene pendiente31 y ordenada al origen 1

c. Todos sus puntos tienen abscisa 2

d. Todos sus puntos tienen ordenada -5

13. Represent las siguientes rectas. En cada caso, da la pendiente y ordenada al origen.

a. y = 5 x 3

b. y = -3 x + 2

c. x - 5 = - y

d. y 1 = x

e. - y = -3 x 3

f. y - x - 4 = 0

14. Dada la funcin f tal que 1x31

(x)f se pide:

a. Representla.


Matemtica


b. Indic cul o cules de los siguientes puntos pertenecen a la grfica de f.

P = (0; 0) Q = (3; 0) R =

61-;

21- S =

2;

23

c. Hall a tal que f(a)= -3.

15. Encontr en cada caso, las rectas que satisfacen:

a. Tiene pendiente -3 y pasa por el punto (0; 3).

b. Tiene pendiente21 y ordenada al origen -3.

c. De pendiente m = -5 y pasa por el origen de coordenadas.

d. Su pendiente es m = 0 y pasa por (3; -5).

16. Decid, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a. Si f(x) = -3x + 2 entonces 3

2;-C

b. Existe una funcin lineal g que verifica g (4) g (1) = 4 y g (-2) =21

c. Existe una funcin lineal cuya grfica contiene todos los puntos de la forma (3; y), siendo y unnmero real.

17. Sean f y g funciones lineales tales que:

a. La grfica de f es la recta de pendiente 1 que pasa por P=(1; 0)

b. La grfica de g es la recta que pasa por los puntos Q=(0;5) y R=(3;-1).

Determin analticamente el conjunto A ={ x/f(x) = g(x)}

18. En cada uno de los siguientes casos, f y g son funciones lineales.

Determin analticamente el conjunto A ={ x/f(x)g(x)}.

a. f(x) = -2x + 3 g(x) = x

b. 4x-2g(x)5x21f(x)

c. f(x) = - x + 2 g(x) = -x 1

d. 1-x31

g(x)1-3x-)x(f


Matemtica


19. La funcin que relaciona el volumen de sangre de un individuo con su peso, est dada por

x141)x(f , donde x es el peso del individuo, medido en kilos, y f(x) es la cantidad de sangre en

el cuerpo, medido en litros.

a. Grafic la funcin.

b. Cuntos litros de sangre tiene una persona cuyo peso es de 58 kilos? Y de 46 kilos?

c. Determin el peso de las siguientes personas si se sabe que poseen:

c.1. 3 litros de sangre.

c.2. 36 dl

c.3. 2.500cc


Matemtica


20. Beber cerveza hace que el alcohol en la sangre aumente, lo cual puede resultar muy peligroso.A medida que transcurre el tiempo, el nivel de alcohol en la sangre va disminuyendo. La tablamuestra los valores obtenidos despus de que una persona bebi cerveza.

Tiempo ( horas) 1 2 3 4 5 6 7

Alcohol en la sangre( mg/ml)

90 75 60 45 30 15 0

a. Grafic de acuerdo con la tabla. (Consider el tiempo en horas con 0 t 7)b. Escrib la frmula de una funcin que describa la relacin que muestra la tabla.

21. Pablo trabaja durante 10 das repartiendo publicidad. Le pagan $12 diarios.

a. Elabor una tabla que refleje el nmero de das trabajados, n, y el dinero ganado, g , enpesos.

b. Hac una representacin grfica con los valores de la tabla.

c. Si en lugar de trabajar 10 das trabajara 20, ganara el doble?

d. Busc una expresin algebraica que relacione el nmero de das, n, con el dinero ganado, g.

22. En la medida en que el aire (sin humedad) sube, se expande y enfra. Si la temperatura a nivel dela tierra es de 20 C y a 1 km de altura es 10 C:

a. Escrib la relacin entre la altura y temperatura, si se supone que entre ellas existe unarelacin lineal.

b. Dibuj el grfico.

c. Determin la temperatura a 3 km de altura.

23. El ingreso total de una guardera obtenido del cuidado de x nios est dado por r(x) = 450x y suscostos mensuales totales estn dados por c(x) = 380 x + 3500.

Cuntos nios se necesitan inscribir para llegar al punto de equilibrio?

(Punto de equilibrio quiere decir que los ingresos igualan a los costos).

24. Una empresa tiene un ingreso mensual de $30 por unidad vendida de cierto producto.

Por otra parte, el costo fijo mensual es de $4800 y el costo variable de $22 por unidad.a. Cuntas unidades es necesario vender por mes para que el ingreso sea igual al costo total?

b. Cul es ese valor?


Matemtica


25. Grafic en el mismo sistema de ejes, las siguientes funciones:

a. f1(x) = x2 f2(x) = -x

2 f3(x) = 2x2 f4(x) =

2x21

b. g1(x) = x2 g2(x) = x

2 + 1 g3(x) = x2 1

c. h1(x) = x2 h2(x) = (x 1)2 h3(x) = (x +1)2

d. k1(x) = x2 k2(x) = (x 2)

2 k3(x) = (x 2)2 + 3

26. Para cada uno de los siguientes grficos de funciones cuadrticas, da dominio, imagen y lafrmula que la caracteriza.

27. La grfica corresponde a una funcin cuadrtica cuya ecuacin es de la forma

f(x) = ax2 + bx + c, (a0)Respecto a la funcin f, cules de las siguientesafirmaciones son correctas?

Justific las respuestas.

a. a < 0

b. f(2) > 1

c. c = -5

d. f(-5) = f(0)

e. f(1) = 1

f. f(-2) = f(1)

28. Decid en cada caso si los puntos indicados pertenecen al grfico de la funcin.

a. f(x) = x2 1; A = (0; -1) y B = (1; 0)

b. g(x) = 2x21 ; A = (1;

21 ) y B = (0; 0)

c. h(x) = x2 2x + 1; A = (0; 1) y B = (-2; 7)

12

3 -1 1

3

5

3

18

a. b. c.

CAPITULO III

FUNCIONES LINEALES

Y CUADRATICAS

Funciones cuadrticas


Matemtica


29. Determin para las funciones que se indican:

a. C0; C+ y C-

b. Los valores mximos y mnimos relativos.

c. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

i. f(x) = -x2 -2x + 1 ii. g(x) = 2 x (x-3) iii. h(x) = (x -1)2 + 3

30. Decid, justificando, cules de los grficos corresponden a las funciones:

a. f(x) = 2x41 b. g(x) = (x-1)2 c. m(x) = 3x2 1 d. p(x) = x2 - x e. t(x) = 2x2 + 3

31. En cada caso, determin la funcin cuadrtica que verifica:

a. Corta al eje x en 1 y en 3 y su conjunto de imgenes es el intervalo [-2; +)b. f(-2) = f(3) = 0 y f(0) = 4.

c. Im f = [-5; +); C+ = (-; -2) U (8; +)d. Toma su valor mximo en x = -1 y es f(-1) = 3. Adems C0= {-3; 1}

32. Hall analtica y grficamente las intersecciones de los grficos de los siguientes pares defunciones:

a. f(x) = 2x2 + 4x + 10; g(x) = -2x +1

b. f(x) =3(x - 2)(x + 5); g(x) = 3(x + 4)

c. f(x) = -x2 + 4x 4; g(x) es la funcin lineal que verifica que g(1) = 7 y g(-1) = 5.

Grfico 1 Grfico 2 Grfico 3

Grfico 4 Grfico 5


Matemtica


33. Una empresa determina que en la fabricacin de x unidades de un producto, el costo (en miles depesos) viene dado por C(x) = x2 + 2x + 5.

Se desea saber el nmero mximo de unidades que deben fabricarse para que el costo nosupere los 20 mil pesos.

34. La funcin de demanda para un producto es p(q) = 1000 - 2q, donde p es el precio (en pesos) porunidad cuando q unidades son demandas por los consumidores.Encontr el nivel de produccin que maximice el ingreso del productor y determinar ese ingreso.(Ingreso total = precio x cantidad)

35. Durante un choque la fuerza F (en Newtons) que acta sobre un objeto vara con el tiempo deacuerdo con la expresin F(t) = 87t 21t2, donde t est en segundos.

Se desea saber:

a. En qu dominio es vlida esta funcin?

b. Para qu valor de t es mxima la fuerza? Cul es el valor mximo de la fuerza?

36. Un grupo de bilogos estudiaron los efectos nutricionales sobre ratas alimentadas con una dietaque contena un 10% de protenas. Al variar el porcentaje de protenas (p), el grupo de bilogosestim que el peso promedio ganado (en gramos) por una rata fue:

100p020;2pp501

-)p(f 2

a. Grafic la funcin.

b. Calcul f(20) y f(45)

c. Encontr el peso mximo ganado y cul fue ese peso.

37. En una ciudad se realiza un estudio de mercado sobre el comportamiento de la oferta y lademanda de un determinado artculo. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

La oferta qued caracterizada por la funcin p(q) = 1/30 q2 + 24 en la que q representa lasunidades del artculo y p el precio por unidad.

La demanda tiene un comportamiento lineal, siendo la mxima demanda de 120 unidades, y porcada aumento en 10 unidades el precio disminuye en $6

Se pide:

a. Hallar la funcin que caracteriza la demanda.

b. Representar grficamente la funcin de oferta y demanda, en el mismo sistema de ejes.

c. Hallar analticamente el punto de equilibrio. (Recordar que el punto de equilibrio es el preciopara el cual coinciden la cantidad de productos ofrecidos y demandados).

d. Hallar la expresin analtica de la funcin ingreso considerando la demanda.

e. Hallar el mximo ingreso.


Matemtica


38. Miguel quiere alcanzar un colectivo en marcha. Las funciones que relacionan el espacio y eltiempo en cada caso son Mv = 400 t y Cv = 500 + 30 t

2 donde M y C representan la velocidad deMiguel y el colectivo respectivamente, y t el tiempo medido en segundos.

a. Representar ambas grficas.

b. Puede Miguel alcanzar el colectivo? En qu momento?

39. Un alambre de 10 cm de longitud se corta en dos trozos a una distancia x de uno de susextremos. Con uno de los trozos se arma un cuadrado y con el otro un tringulo equiltero.

a. Expres el rea total encerrada por ambas figuras como una funcin de x.

b. Dentro de qu dominio queda definida esta funcin?

40. Grafic en un mismo sistema de coordenadas las funciones f,g y h indicadas, explicitando dominio y conjunto deimgenes:

a. f(x) = x2 ; g(x) = x4; h(x) = x6

b. f(x) = x3 + 3; g(x) = (x+3)3; h (x) = -2(x+3)3 -1

c. f(x) = x4 + 4 ; g(x) = (x+4)4; h(x) = 2(x+4)4 + 2

41. Dada f(x) = 6x -9 + 2x5- 4x3 -3x4-6x2

a. Calcul f(1) ; f(-1); f(0); 2(f ) y

23

f

b. En qu caso puede afirmarse que se encontr un cero de la funcin?

42. Indic cules de los nmeros 1, -1, 2, -2 son ceros de las siguientes funciones:

f(x) = x3 7x -6 g(x) = x3- 6x2 -4x + 24 h(x) = x4 -2x3 -11x2 + 12x

43. Para cada una de las siguientes funciones, hall C0.

Justific que se han encontrado todos los ceros.

f1(x) = x3 4x2 + 4x f2(x) = x

5 9x3

f3(x) = x4 -2x2 + 1 f4(x) = -2 (x-3) (x2 -1) (x2 +1)

f5(x) = x3 - 6x2 + x - 6 f6(x) = -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

CAPITULO IV

FUNCIONESPOLINOMICAS


Matemtica


44. a. La funcin f(x) = x4 + x3 -16x2 4x + 48 tiene cuatro races de las cuales se conocen x1= 3;x2 = - 2 y x3 = 2. Halla la cuarta raz y escrib a f como producto.

b. Hall a para que la funcin f(x) = x4 - 3x3 -2x2 +12x + a corte al eje x en x = 1.

c. Dada g(x) = 2x5 3x4 -11x3 + 6x2, hall todas sus races sabiendo que x= 3 es una de ellas.

d. Encontr todas las races reales de h(x) = x4 + x3 -18x2 -16x + 32, sabiendo que el polinomio esdivisible por x2 -16.

e. Siendo f(x) = x3 2x2 + (3 a) x + (a 2); determin a para que f(2) = f(1) = 0

45. Encontr:

a. Una funcin polinmica f de grado 3 cuyo grfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y 0;

31

Es nica?

b. Una funcin polinmica g de grado 3 cuyo grfico pase por los puntos (2; 0), (-3, 0) y 0;

31

, que

adems verifique g(1) = 8

46. En cada uno de los siguientes casos, encontr los intervalos de positividad y de negatividad de f.

a. C0 = {-1; 1}, f(-2) = 1; f(0) = 3 y f(2) = -3

b. f(1) = f(3) = f(-2) = 0; f(-5)= -10,21

23f

, f(2) = -1 f(0) = -1 y f(5)= 100.

47. Para las siguientes funciones

f1(x) = 3x2 x3 f2(x) = (x2 -1) (x2 +1) f3(x) = -2(x -1) (x-3)(x2- 4)

a. Encontr todos los puntos donde la grfica corta al eje x.

b. Analiz intervalos de positividad y negatividad.

c. Hac un grfico aproximado de f.

48. Si fx) = -2(x-1)2 (x+2)( x-4)(x+5)

a. Determin, justificando, el signo de f(x) en los siguientes intervalos:

(-; -5); (-5; -2); (-2; 1);(1; 4) y (4; +).b. Hac un grfico posible de f.

49. Us el teorema de Bolzano y sus consecuencias para aproximar con error menor que100

1, un

cero de f en el intervalo indicado.

a. f(x) = x3 -3x2 +3, en el intervalo (0; 2 ).

b. f(x) = x4 -2x2 -5, en el intervalo (0; 2).


Matemtica


50. Un meteorlogo encuentra que la temperatura G (en C) durante un da fro de invierno estuvodada por G(t) = 0,05 t ( t 12) (t-24) donde t es el tiempo ( en horas) y t = 0 corresponde a las 6de la maana.

a. Grafic la curva

b. A qu hora la temperatura fue de 0 C? Entre qu horas la temperatura fue superior a los0C? Entre qu horas estuvo por debajo de 0 C?

51. Dos mviles se desplazan siguiendo las ecuaciones: e1(t) = t3-t2 +1 y e2(t) = 6t -5, donde e es el

espacio (en kilmetros) y t el tiempo (en horas).

Luego de una hora de iniciado el recorrido, los dos mviles se encuentran por primera vez.

Se encontrarn en algn otro momento? En caso afirmativo, a cuntos kilmetros de iniciado elrecorrido?

52. Suponiendo que el costo (en pesos) de producir x unidades de un cierto producto est dado porla funcin

5x2x61)x(C 3

a. Qu significado tiene para esta funcin el trmino independiente?

b. Cul es el costo de producir 10 unidades?

c. Cuntas unidades fueron producidas cuando el costo fue de 53$?

53. La velocidad en pies sobre segundo (ft/seg) de un trasbordador espacial luego de t segundos dehaber partido est dada por la funcin polinmica:

t110t20t)t(v 23

a. Cul es la velocidad del trasbordador luego de 10 segundos de haber partido?

b. Grafic la velocidad en funcin del tiempo.

Matemtica


PRCTICO 2. FUNCIONES

ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

Introduccin a funciones. Funcin lineal

1. a. Decid si la siguiente relacin es una funcin. Justifica tu respuesta.

x

x)x(h;:h

b. Si no lo es, redefinila para que lo sea sin cambiar la frmula.

2. Sea f la funcin lineal que verifica f(1) = 2 y f(-4) = - 2 y sea g la funcin lineal cuya

grfica es la recta de pendiente31 y que pasa por P = (0; 1).

Hall, analticamente, el conjunto A = {x /f(x)g(x) }

3. Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean alquilar un auto y disponen dedos opciones:

OPCIN A: 70 dlares por da

OPCIN B: 30 dlares por da ms 0.4 dlares por km recorrido.

Determin a partir de qu recorrido es ms conveniente la opcin A que la B para elcaso en que se queden 8 das.




Matemtica



ACTIVIDADES COMPLEMENTARIASFuncin cuadrtica- Funciones polinmicas

1. Laura y Martn venden artculos de informtica. Por su venta Laura tiene un ingresodado por f(x) = 5x (x+6) y Martn un ingreso dado por g(x) = 3x2 + 66 x; siendo x elnmero de artculos vendidos.Qu cantidad de artculos vende cada uno para obtener el mismo ingreso?

2. Sea f la funcin lineal cuyo grfico corta a la parbola y = 2x- 5x + 2 en los puntos deabscisas x = -1 y x = 3.Calcular la frmula de f.

Estas actividades no son obligatorias, pero te sirven para que repases lo que estuvistetrabajando.

No tens que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tens dudas consltalas en elforo del prctico.


Matemtica




1. El grfico de la funcin f(x) = 2x3 3x2 32x 15 corta al eje x en el punto (-3; 0)

a. Encontr todos los puntos donde el grfico de f corta al eje x.

b. Hall los intervalos de positividad y negatividad de f.

2. Hallar la expresin de la funcin cuadrtica cuya grfica corta al eje de ordenadas en5, al eje de abscisas en -3 y su eje de simetra es x = 1.

Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parcialesanteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos.



Modalidad virtual

Matemtica

Unidad 3ESTUDIO DE FUNCIONES. FUNCION RACIONAL

Temas de la unidadEstudio de funciones. Funciones inyectivas, suryectivas y biyectivas. Composicin. Funcininversa. Operaciones con funciones reales.Nocin de lmite. Asntotas.Funciones racionales: dominio, ceros. Descomposicin en fracciones simples.


AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La CopiaS.R.L., 1995; Captulo V. Introduccin al estudio de funciones. .

Prctico 3: Introduccin al estudio de funciones.


Matemtica

Practico 3. Introduccin al estudio de funciones 2

PRACTICO 3. INTRODUCCIN AL ESTUDIO DE FUNCIONES.

1. Si f(x) = x + 5 y g(x) =2

3x

a. Encontr la frmula de gf y da su dominio.

b. Calcul fg(2) y fg(-3)

2. Sean f: dada por f(x) = 3(x-1)g: dada por g(x) = x3

a. Hall la frmula y el dominio de:

a.1. gf a.2. f g

b. Calcul:

b.1. gf(2) b.2. f g(-2)

b.3. gf( 3 ) b.4. f g( 3 )

b.5. f g(- 3 ) b.6. gf(- 3 )

3. Dadas las funciones:g1(x) = x 2 g2(x) = x + 2

g3(x) = -2x g4 (x) =21

- x

a. A partir del grfico de f(x) = x2, hac los grficos de:

a.1. fg1 a.2. f g2 a.3. f g3 a.4. f g4a.5. g1f a.6. g2 f a.7 g3 f a.8. g4 f

b. Hall las mismas composiciones para x)x(f c. Calcul el dominio de estas funciones.

4. Una piedra se arroja a un liquido y se forman crculos cuyo radio se incrementa en funcindel tiempo t segn la frmula r(t) = 4t. Sabiendo que el rea de cada crculo es A(r) =r2:

a. Hallar una funcin que exprese el rea de cada crculo conocido el tiempo.

b. Calcular el rea de un crculo transcurridos 5 segundos de ser arrojada la piedra.

5. Un globo esfrico se infla con gas. El radio del globo aumenta a razn de 1,5 m/seg.Expresar el volumen del globo como una funcin del tiempo t (en segundos)

CAPITULO V

INTRODUCCIONAL ESTUDIO DE

FUNCIONES

Composicin defunciones


Matemtica


6. Se pone un recipiente con agua al fuego.La funcin que da la variacin de la temperatura del agua(en C) con respecto al tiempo t (en minutos) es:

T(t) = 36 + 8t, para 0t10.a. Calcul para qu instante t la temperatura del agua esde 76C.

b. Da la funcin que permite, dada una temperaturacualquiera, calcular el tiempo transcurrido desde que sepone a hervir el agua.

7.Grafic la funcin definida por la frmula:

5|x|si85x0si|1-2x|0x5-si2x

)x(f

a. Hall el dominio de f.

b. Calcul f(-1), f(10); f(3).

c. Hall x tal que f(x) = 1.

d. Decid para qu valores de x es -3


Matemtica


10. Decid, cul de las siguientes, es la funcin inversa de la funcin lineal f que satisface f(5) = 1y f(-4) = -2.

a. f-1(x) = 2x + 5

b.32-

3x)x(f 1

c. f-1(x) = 2x - 5

d. f-1(x) = 3x + 2

11. Si f(x) = 3x + 2a, determin a de modo que f(a2) = f-1(a + 2)

12. Escrib los intervalos de crecimiento y decrecimiento en lasfunciones graficadas

13. Indic los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones:

2-xf(x).d4xf(x).c

1x31-f(x).b32xf(x)a.

32

14. a. Dibuj una funcin que sea creciente en el intervalo [-2; 10].

Para esa funcin,

b Cmo es 3f?

c. Y f?

15. Se tiene la siguiente tabla donde figuran los precios decalzados deportivos y sus correspondientes demandassemanales en un comercio.

Si la funcin de demanda es lineal:

a. Hallar la ley de demanda.

b. Cul sera la demanda si el precio fuera de $150?

c. Hallar el precio para una demanda de 50 pares de calzado.

d. Determinar si la demanda crece o decrece de acuerdo con el precio.

Precio (enpesos)

Cantidaddemandada

100 300200 100

CAPITULO V


FUNCIONES

Funciones montonas

a. b.


Matemtica


16. a. Dibuj una funcin continua que verifique simultneamente las siguientes condiciones:

f(0) = 3

f(-1) = f(5) = f(8) = f(10) = 0

Alcanza mximos locales en x = 2 y en x = 9,5 y es f(2) = 5 y f(9,5) = 7

Alcanza un mnimo local en 6 y es f(6) = -4

b. Para la funcin dibujada, da:

b.1. Intervalos de positividad y negatividad

b.2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

17. En cada una de las siguientes grficas indic si existen)x(flimy)x(flim

xx

CAPITULO V


FUNCIONES

Asntotas

a. b.

c. d.

f.e.


Matemtica


18. Calcular los siguientes lmites.

4x1xlimj.

7x2xlimi.

1x

xlim.h3x

1x3xlim.g

xx-2

21limf.

31

x

5x21

lime.

3x2x

limd.x

10lim.c

x

3lim.bx1lima.

2x2

3

x

2-x3

2

x

x-x

x-x

2xx

19. a. La grfica de la funcin4x

4)x(f2 es la siguiente:

Indic:

)x(flma.8.)x(flma.7

)x(flma.6.)x(flma.5.

)x(flm.4.a)x(flm.3.a

)x(flm.2.a)x(flma.1.

xx

2x2x

0x0x

2x2x

b. Para la siguiente grfica indic:

)x(flmb.6.)x(flmb.5.

)x(flmb.4.)x(flmb.3.

)x(flmb.2.)x(flmb.1

xx

0x0x

2x2x


Matemtica


20. Para cada grfico da los lmites que se indican.

)x(flim);x(flim.f

)x(flim);x(flim;)x(flim);x(flim.e

f(x)lm);x(flim);x(flimd.

)x(flim);x(flim.c

)x(flim);x(flim;)x(flim);x(flim.b

)x(flim);x(flim;)x(flim);x(flim.a

xx

0x0x1x1x

0x0x0x

xx

2x2xxx

2x2xxx

a. b.

c.

d.

e.f.


Matemtica


21. Dibuj el grfico de una funcin f que verifique:

)x(flm1)x(flm)x(flm-)x(flm.b

2-)x(flm2-)x(flm)x(flm)x(flm.a

xx0x0x

xx2x2x

22. Calcul los siguientes lmites

61

x

1lmf.

61

x

1lm.e

21

x

1lm.d

21

x

1lm.c

3x1lmb.

3x1lma.

20x20x

21x

21x

3x3x

23. En cada caso, decid si es posible que exista una funcin f que cumpla con las condicionesdadas. Si lo es dibuj una grfica posible.

a. 2)x(flim0x

)x(flim0x

= 3 1)0(f

b. )x(flmf(-3)yDom3-y)x(flm)x(flm3x

f3x3x

c. 5f(2)y3)x(flm)x(flm2x2x

24. Hall, si existen, las asntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones.

a.4x

1)x(f 2

b. 12x

1)x(f

c.5x31x2

)x(f

d.3x

x2x5)x(f

2

e.1x

1x)x(f 2

f. 1)2x(

2)x(f 2

25. a. Calcul el valor de a para que la recta x= 5 sea una asntota de la funcinax3x

f(x) .

b. Decid si la funcin tiene otras asntotas. En caso afirmativo, hallarlas.

26. De una funcin f(x) sabemos que tiene una asntota horizontal y dos verticales. Cul delas siguientes puede ser? Justific la respuesta.

3-x1xc.

4x

1xb.4x

32xa.2

22

2


Matemtica


27. Dibuj el grfico de las siguientes funciones y analiz para cada una dominio, conjunto deimgenes, ceros e intervalos de positividad y negatividad.

1-x1h(x)c.

1-x1g(x)b.

x1f(x)a.

28. Dada1-x

x)x(f se pide:

a. Graficar f.

b. Indicar dominio e imagen de f.

c. Escribir ceros, asntotas, intervalos de positividad y negatividad de f.

29. a. Encontrf(x)1

h(x)yx1

f)x(g sabiendo que

53x1-x

)x(f

b. Grafic las funciones f, g y h.

c. Indic dominio de cada una de ellas.

d. Analiz ceros, positividad y negatividad.

e. Calcul: f(2), h(2), g(2)

f. Hall a, b y c que verifiquen2-1

h(c);2-1

g(b);2-1

)a(f

30. a. Dada f:-{-4} tal que4x1-2x

)x(f decid, justificando si 1 y 2 pertenecen a Im f.

b. Sea g:-{2} tal que2-x

1)x(g para qu valores del dominio es g(x) < 2?

Y mayor que 2?

31. Hallar dominio, imagen y asntotas de la funcin h = f g si 3-2xg(x)y1-x

1f(x) .

32. Dadas3

2x)x(gy

x4

)x(f ,

a. Hallar las funciones gf y f g.

b. Dar las ecuaciones de las asntotas verticales y horizontales de dichas funciones.

33. En un tanque con agua se vierte cloro y agua de manera que la concentracin de cloro enel tanque en funcin del tiempo est dada por:

300t5t2

)t(C

a. Qu ocurre con la concentracin de cloro en el tanque cuando ha pasado muchotiempo?

b. Graficar aproximadamente la funcin C(t).

c. Qu porcin de la grfica tiene sentido en el contexto del problema?


Matemtica


34. Suponer que durante un programa nacional de vacunacin contra la gripe el Ministerio deSalud Pblica encontr que el costo de vacunar al x% de la poblacin se puede aproximarpor la funcin C (costo en millones de pesos)

x200x150)x(C

a. Graficar aproximadamente la funcin C(x) y especifica que porcin de la grafica tienesentido en el contexto del problema.

b. Cunto cuesta vacunar al 50% de la poblacin?

c. Qu porcentaje de la poblacin se ha vacunado cuando se llevan gastados 100millones de pesos?

35. Para estudiar la velocidad a la cual los animales aprenden, se desarroll un experimentomediante el cual una rata fue enviada repetidamente a travs de un laberinto delaboratorio. Suponiendo que el tiempo requerido por la rata para salir del laberinto en elintento nmero n est aproximada por la funcin

n123)n(T

a. Indic el dominio de T(n).

b. Qu ocurre con el tiempo que tarda la rata en salir del laberinto cuando n se hace muygrande?

36. En una reserva ecolgica se introducen 50 ciervos. Se cree que el nmero de ciervos

crecer siguiendo el modelot04,01)t35(10)t(N

donde t es el tiempo en aos.

a. Calcul el nmero de animales que habr luego de 5 y 10 aos.

b. A qu valor tender la poblacin cuando t tiende a infinito?

Matemtica


PRCTICO 3. ESTUDIO DE FUNCIONES


Funcin inversa. Composicin de funciones. Monotona

1. Cmo podras expresar la funcin 5x)x(f como composicin de otras dos funciones?

2. Consider la funcin1x2

1)x(f . Es cierto que x)ff( )x(1 ?

3. La velocidad que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros se puede representarpor una funcin que da cuenta de la velocidad para cada espacio x recorrido por el atleta. Lamisma est dada por la expresin:

V(x) = -0,00055x (x - 300)a. Dibuj el grfico de la funcin cuadrtica que representa la velocidad del atleta en

funcin del tiempo recorrido.b. Qu distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad mxima? Cul es

esa velocidad?c. Entre qu distancias su velocidad va aumentando? Y disminuyendo?d. A qu velocidad llega a la meta?




Matemtica


PRCTICO 3. INTRODUCCIN AL ESTUDIO DE FUNCIONES


Seax1

)x(gy31x

1)x(f

a) Calcul )x(gf)x(h

b) D el dominio de h.

c) Analiz la existencia de asntotas verticales y horizontales y d las ecuaciones de las mismas.




Modalidad virtual

Matemtica

Unidad 4FUNCIONES ESPECIALES

Temas de la unidadFunciones especiales. Funcin exponencial y logartmica: grfico, dominio e imagen,propiedades. La funcin logartmica como inversa de la funcin exponencial. Derivadas.Estudio de ambas funciones a travs de sus derivadas. Aplicacin al estudio de crecimientode poblaciones. Escalas logartmicas. Funciones trigonomtricas: definicin, grficos,propiedades. Periodicidad. Paridad. Funciones inversas. Resolucin de problemas queinvolucren funciones trigonomtricas. Uso de calculadoras.


AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La CopiaS.R.L., 1995; Captulo V. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La CopiaS.R.L., 1995; Captulo VI. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.

Prctico 4. Funciones especiales.


Matemtica

Prctico 4. Funciones trigonomtrica, exponencial y logartmica. 2

PRACTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES

1. a. Entre qu valores, medidos en radianes vara laamplitud de un ngulo contenido en el primercuadrante?

b. Y en el segundo, tercero y cuarto cuadranterespectivamente?

2. En una circunferencia trigonomtrica, determin las coordenadas cartesianas de lossiguientes puntos.

45Pd.

47-Pc.

211

Pb.)P(3a.

3. Si t y t verifican que t= t + 2k, hall t para -1k2, (k ) en los siguientes casos:

a. 47t b.

5t c.

32t

4. Resolv el siguiente problema:

Una autopista describe un arco de circunferencia de 200 metros de longitud.Cul es el radio de la circunferencia en cuestin, si el ngulo del centro mide 2radianes?

5. Utilizando la circunferencia trigonomtrica, calcul sen x y cos x para:

36

xi.

23

xh.32x.g

6xf.2xe.

23xd.x.c

2xb.0x.a

CAPITULO VI

FUNCIONESTRIGONOMETRICAS


Matemtica


6. Encontrar los valores reales de x que verifican:

23;0y x0xcosf.2;0y x

22xcose.

];[-y x1-xcosd.;-y x23xsen.c

2;0y x

23xsen.b2;0y x

21xsena.

7. A partir de las grficas de las funciones seno y coseno, encontr:

a. Los ceros de la funcin seno que pertenecen al intervalo [-2; 3].

b. Todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-2; 4] tales que sen x = sen4

.

c. Todos los valores de x que verifican sen x = cos x.

d.21xseny2;

23x

8. Si se sabe que el cos =31

y que ;2

0; hall:

a.2

cos b.

23

sen c. sen ()

9. Sabiendo que cos=53 y que

2;

23 determin:

a. senb. sen 2 c. cos2

10. Grafic las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas y en el intervalo[0; 2], e indic en cada caso: dominio, imagen, races y periodicidad.

a. f(x) = sen x y g(x) = 1 + 2sen x

b. f(x) = cos x y

2xcos)x(g


Matemtica


11. Relacion cada una de las siguientes funciones con el grfico que le corresponde.Justific la decisin.

1-xcos(x)f2xsen(x)fx2cos)x(fx21

sen(x)f 4321

12. Para las siguientes funciones, hall C0; C+ y C- en los intervalos indicados.

13. a. Si f(x) = 2 sen 3x + 1, determin todos los valores de x [-; ] tales que f(x) = 2.

b. Hall todos los valores de x [0; 2] que verifican 1 + sen x = cos x.

c. Determin x [0; 5] tales que4xsen2)x(fsi2)x(f

.

Grfico 1Grfico 2

Grfico 3Grfico 4

];2[-enxcos

21-xcosf(x).e

30;en1-x2senf(x)d.

];[-en1-2xsenf(x).c20;enxcos-1f(x).b

20;enx2senf(x)a.

2

2


Matemtica


14. Para cada una de las funciones determin:

a. Amplitud, perodo y conjunto de imgenes.

b. Su valor mximo y mnimo y en qu puntos se alcanzan dichos valores.

2xcos(x)f)xcos(

21-)x(f1)x2(sen

21)x(f

2-xsen2-)x(f)x3(sen

31(x)f

5

43

21

15. La funcin f(x) = 2 sen (x + ) + b, est definida en el intervalo [-2; 2].

a. Hall el valor de b para que Im f = [0; 4]

b. Para ese valor de b, encontr:

b.1. m y n tal que f(m) = 0 y f(n) = 4

b.2. Los intervalos de positividad y negatividad de f.

16. A partir del grfico de f(x) = ex,

a. Grafic las siguientes funciones:

1-x-6

x-5

x-4

1x3

1-x2

x1

e)x(f1-e)x(f

e)x(fe)x(f

e)x(f2e)x(f

b. En cada caso, hall Im f y da las ecuaciones de las asntotas de f.

17. A partir de la grfica de f(x) = 3X grafic las siguientes funciones, hall la imagen y laecuacin de la asntota de cada una de ellas.

23)x(f3)x(f13)x(f3)x(f -x42-x

3x

21x

1

18. Obten los siguientes nmeros sin usar calculadora ni tabla.

5loge3335

323

1ln6ln2

99.i1log.h3loglog.g

49log.f10000log.e

91log.d

e2.ce.beln.a

CAPITULO VII

FUNCIONESEXPONENCIALES Y

LOGARITMICAS


Matemtica


19. Dada f(x) = 3x-4 7.

a. Hall los valores de x tal que f(x) = -4.

b. Hall la interseccin del grfico de f con los ejes.

c. Grafic la funcin.

d. Hall los intervalos de positividad y negatividad.

20. Escrib dominio, imagen y asntotas horizontales y verticales, si existen, de f.Cuando existan dichas asntotas, da sus ecuaciones.

2-e1m(x)d.e-4f(x)c.

ef(x).bef(x)a.

x1

x3

x

2

x2

1

21. Hall, en caso, el dominio, las ecuaciones de las asntotas verticales, los ceros y losconjuntos de positividad y de negatividad de f.

x-21lnf(x)e.40;encosx)ln(-1f(x).d

)4(xlnf(x).c3)-|xln(|f(x)b.3)ln(-xf(x)a. 2

22. Dadas las funciones:)x(3log)x(f|)x(|log)x(f32)x(fe)x(f 2423

-x2

2-x1

Decid cules de los siguientes grficos corresponde a cada una de ellas.

Grfico 1Grfico 2

Grfico 3 Grfico 4


Matemtica


23. Para cada una de las siguientes funciones calcul )x(flimy)x(flimxx

y grafcalas.

Decid si existen las asntotas horizontales. En caso afirmativo da su ecuacin.

13f(x)e.2f(x).d

3ef(x)c.31f(x)b.ef(x)a.

1-2x-2

4

1x-

2-xx4

x-

24. Para cada funcin, hall la frmula, el dominio y la imagen de la funcin inversa f -1.

3)ln(-2x2m(x)e.2x)-n(4lk(x).d

1-e3h(x)c.

eg(x)b.

ef(x)a.

3x-2

1x2

1-x

25. Encontr las frmulas de h y h-1, donde h = f o g para:

a. f(x) = ln(x - 3), g(x) = 2(x -1)

b. f(x) = ln(3 2x), g(x) = |x|

26. La funcin f verifica

)x(flim2x

y 0f(x)1 para 0x1.

Indic cul de las siguientes funciones cumple estas condiciones.

2x1log1f(x)d.

x)2(-log1f(x).c

)x2(log1f(x)b.

)x2(log-1f(x)a.

2

2

2

2

27. La desintegracin de un cierto material radiactivo est dada por Q = Q010 -kt , donde Qest dado en gramos y t en aos.

Si Q0 = 500, encontrar k si Q = 450 cuando t = 1000.

28. Una poblacin de insectos crece segn la ley P(t) = 1 + 2et donde P es la cantidad (enmiles) de insectos y t es el tiempo en meses desde el instante inicial.

a. En cunto tiempo se duplicar la poblacin inicial?

b. En cunto tiempo se duplicar la poblacin existente despus del primer mes?

29. La recta de ecuacin 3x29

y se corta con la grfica de la funcin xa.k)x(f en

2x y en el eje y. Encontr k y a.


Matemtica


30. Un cultivo de bacterias triplica su nmero cada media hora y originalmente haba 2.500de ellas.

a. Cul es la expresin general del nmero de bacterias despus de n horas?

b. Cuntas bacterias habr despus de 45 minutos?

c. Cuntas habr al cabo de 10 horas?

d. Cundo habr 25.000 bacterias?

31. Un compuesto qumico A se reduce a52 de la cantidad inicial cada 6 horas

transformando el resto en otro compuesto B. Originalmente se dispona de 16.000gramos de compuesto A.

a. Cuntos gramos de A habr despus de 4 das?

b. Cuntos gramos de A habr despus de 40 das?

32. En ciertas regiones la cantidad de agua dulce comenz a reducirse un 4% cada 5 aosdesde 1.990.

a. Si llamamos x a la cantidad de agua dulce que haba en 1.990, cul de lassiguientes expresiones indica la cantidad de agua dulce en dichas regiones t aos apartir de 1.990?

t55

tt5

5x

t5t

96,0tC96,0xtC96,0xtC

96,0ttC96,0xtC96,0tC

b. Obten la expresin de la cantidad de agua dulce en funcin de x para el ao 2.040.

Matemtica


PRCTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES


Estas actividades no son obligatorias, pero te sirven para que repases lo que estuviste trabajando.

No tens que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tens dudas consltalas en el foro del prctico.

En unos das podrs acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. En el proceso de respiracin se alternan perodos de inhalacin y de exhalacin que se

pueden describir mediante la frmula f(t) = 0,6 sen

t2

siendo t el tiempo medido en segundos y f(t) el caudal de aire en el tiempo t, medido en litros por segundo.

a. Hallar el tiempo en que se completa un ciclo (una exhalacin y una inhalacin).

b. Hacer el grfico de la funcin para dos ciclos completos y hallar:

i. Los lapsos en que el caudal de aire es positivo y los lapsos en que es negativo.

ii. Los instantes en que el caudal de aire es nulo, mximo o mnimo.

2. El valor de una mquina industrial disminuye de modo que despus de t aos est dado por la funcin Q(t) = Q0e - 0,04t . Sabiendo que despus de 20 aos tiene un valor de 8987$ cul fue su valor inicial?

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PRCTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES


Las actividades que te proponemos en esta oportunidad son ejercicios tomados en parciales anteriores. Te sirven de ejercicio para repasar e integrar contenidos.

No tens que mandarnos ninguna respuesta escrita. Si tens dudas consltalas en el foro del prctico.

En unos das podrs acceder a las respuestas que te pondremos en el espacio de EVALUACION

1. Dada f(x) = 52x-1 125 a. Hall analticamente la interseccin del grfico de f con los ejes.

b. Escrib el conjunto de negatividad.

2. Dadas las funciones f(x) = cos3x y g(x) = 8 lnx

a. Hall la funcin compuesta fg o . b. D su dominio

3. Consider la funcin g: [-;] tal que. g(x) = sen2x 1. a. Encontr el conjunto de ceros de la funcin g

b. En qu puntos del intervalo [-; ] la funcin alcanza sus valores mnimos? 4. La desintegracin de un cierto material radiactivo est dada por Q = Q0.10- kt donde Q

est dado en gramos y t en aos. a. Si gramos, encontr el nmero real k, si 500Q0 = 450Q = gramos cuando

aos. 1000t =b. Cunto vale Q para t = 1000aos?

Modalidad virtual

Matemtica

Unidad 5DERIVADAS

Temas de la unidadDerivadas. Cociente incremental. Definicin de derivada. Interpretacin geomtrica y cintica.Reglas de derivacin. Problemas de aplicacin. Estudio de funciones.


AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La CopiaS.R.L., 1995; Captulo VIII. DERIVADAS.

Prctico 5: Derivadas.


Matemtica

Practica 5. Derivadas 2

PRACTICO 5. DERIVADAS

1. Al tirar una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidadinicial de 20 m/seg su altura d(t) expresada (en metros)despus de t segundos est dada por la frmula:

d(t) = 40 t 5 t2

a. Constru una tabla que d la altura de la piedra aintervalos de un segundo. Qu pasa despus de 8segundos? Dibuj la grfica.

b. Cul es la altura mxima? Cunto tarda en alcanzarla?

Cunto tarda la piedra en volver al suelo?

c. Calcul la velocidad promedio total, la velocidad promedio durante la subida y lavelocidad media durante la bajada. Cmo son estas velocidades?

d. Calcul la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3 segundos y entre t = 5 y t = 7segundos.

e. Escrib la expresin de la velocidad promedio (vm) entre los instantes t1 y t2.

f. Da la expresin de la velocidad instantnea y aplicala para t = 3 y t = 6 segundos

2. Calcul, usando la definicin de derivada, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x)en el punto dado en cada caso.

1)-(2;Pen3x-1

5)x(f.d1)-(-2;Pen

1-x3

)x(fc.

4)-(-1;Pen4-3xx3)x(fb.)7;3(Pen4x)x(f.a 2

3. Dibuj una funcin que tenga derivada nula en x = 0 y en x = 2, derivada positiva en elintervalo (0; 2) y negativa para cualquier otro valor de x.

4. Dadas las siguientes funciones de en definidas por:

x)x(f

0x;x0x;0

)x(g 31

x)x(h

a. Representalas grficamente.

b. Verific que f, g y h no son derivables en x0 0 .

5. Determin para qu valores de abscisa x, la pendiente de la recta tangente vale 13 sixx)x(f 3 .

CAPITULO VIII

DERIVADAS


Matemtica


6. Usando las reglas de derivacin, hallar las derivadasde las funciones indicadas en su dominio de definicin.

a. xsen5x3)x(f 4

b. b.x2xsen

xtg)x(h

c. xx

4xln)x(g3

d. xe2xlnx3x)x(m e. xcos2xsen3xln

x

5)x(t 3

f.

xcos5x4e3x)x(p 8

x3

g. t23 e3t2t)t(s h. pln3tln5pt3tp)p(r 23

i. xp2tx4pt2t4)t(l 2233 j. ln)tx(sen2x10)x(m

k. )2tg()1(cossen)(w l. p(t) = t. ln t

7. El espacio e (en metros) recorrido por un mvil en un tiempo t (en segundos) est dado pore(t) = t2 +3t.

a. Calcul lo que indica el velocmetro cuando t = 3 seg.

b. Calcul la velocidad cuando ha recorrido 10 metros.

8. a. Encontr el valor de a para que la derivada de la funcin f sea 2 cuando x = 2, siendo

xax

)x(f2

b. Hall k para que la tangente a2x

1x)x(f

en x = 2 sea perpendicular a la recta y = kx.

c. Hall la funcin cuadrtica f que verifica f(1) = -1 y que la pendiente de la recta tangente enel punto (0; 3) es cero.

9. Calcul en los siguientes ejercicios f(x), aplicando la regla de la cadena.

a. 3 2x1)x(f b. 3x2sen)x(f 3

c. 3x7ln)x(f d. 2x5e4)x(f

e. 2xsen3x4)x(f f. xcos23 e2xsenxln)x(h

g. 1xtg)x(m h. 312x xcos)2xln(e)x(g

i.)x(lnsen

3

e

2xcos)x(p

j.

x-1

xln)x(q

2

CAPITULO VIII

REGLAS DEDERIVACION


Matemtica


10. Hall las ecuaciones de las rectas tangente a las grficas de las siguientes funciones en lospuntos que se indican.

a. 9x)x(f 2 en 4x0

b. x2senxcos3)x(g en2

x0

c.1x

x4)x(h2 en 2x0

11. En un cierto instante dos mviles cuyas trayectorias son:

s(t) = t3 - 45t +100 y e(t) = 3t2 +60 t 439

estn en el mismo lugar y con la misma velocidad.

Hall cul es ese instante y los valores correspondientes de la velocidad y la aceleracin decada uno de ellos.

12. Calcul f; f y f

1xlnf(x).bexf(x).a 32x2

13. Calcul los valores de a, b, c y d en f(x) = ax3 + bx2 + cx + d si se verifica que:f(0) = 2; f(0) = -1; f(0) = -2 y f(0) = 10.

14. Hall si existen, mximos y mnimos relativos de las siguientes funciones.

x1xf(x)d.

x-4

xf(x)c.

2-x21-xf(x).b512x-xf(x)a.

2

2

242

15. Indic en qu subconjuntos del dominio, las siguientes funciones soncrecientes o decrecientes, de acuerdo con el signo de su derivada primera.

a. x12x9x2)x(f 23 b.2x4x2

)x(f

c.2xx2e3)x(g d. 2t41)t(h

16. Indic los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hall los extremos relativos, si existen,para las siguientes funciones.

a. 3 1x)x(f b.2x

1x)x(g 2

2

c. 1x2 ex)x(m d. )2t(t)t(p 43

CAPITULO VIII

DERIVADAS Y ELESTUDIO DEFUNCIONES


Matemtica


17. Escrib los intervalos de crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos relativos yecuaciones de asntotas, si las hay, de las siguientes funciones.

a. 1x3 ex)x(f b. 3 3 2x)x(g

c. xcos3)x(h 2 e. tlnt)t(p 3

d. 2x51)x(f 2

18. La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por lafuncin V(t)= 40 + 15t - 9t2 + t3, donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde quecomenz el estudio (t = 0).

Indic los instantes de mxima y mnima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalosen que sta crece y decrece.

19. La cantidad de agua f recogida (en millones de litros) en cierto pantano, en un tiempo (enmeses) viene dada a travs de la expresin

12t0;16)-(t

10)t(f2

a. En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?

b. En que instante se obtuvo la cantidad mxima de agua?

c. Cul fue esa cantidad mxima?

20. Represent grficamente las siguientes funciones, determin el dominio de definicin,ceros, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos singulares, asntotas, mximos ymnimos relativos.

2x

2x

2

e

ef(x)d.3)-(xlnf(x)c.

x-1f(x).b3-x2xf(x)a.

21. La funcin f(x) = x2 + ax + b pasa por el punto P = (-21) y alcanza un extremo relativo en x= 3Hall a y b.

22. En la grfica est representada la funcin f, derivada dela funcin f.

a. Determin los intervalos de crecimientoy decrecimiento de f.

b. Cules son los extremos relativos de f?


Matemtica


23. Sea f:[0; 4]y derivable en (0; 4) tal que el grfico de su derivada es el de la figura.a. En qu intervalos es creciente f?

Y decreciente?

b. Decidir, justificando, si en x = 0; x = 1; x = 2;

x = 3 y x= 4 son extremos relativos de f.

24. Dibuj, en cada caso, una funcin continua que satisfaga:

a. f(-5) = f(5) = f(0) = 0; f(x) >0 si |x| > 5; f(x) < 0 si 0 3.

25. Calcul el costo marginal de las siguientes funciones de costo. (Se llama costo marginal ala derivada de la funcin de costo total)

a. 2x40x5300)x(C b. 32 x01,0x05,0x1001000)x(C

c. 100x

e1000)x(C d.2x

400x02,0400)x(C

26. Calcul el ingreso marginal de las siguientes funciones de ingreso. (Se llama ingresomarginal a la derivada de la funcin de ingreso total)

a. 2x02,0x2)x(I b. 54

x001,020)x(I c. 32 x01,0x2,0x20)x(I

27. La concentracin de una droga en la sangre, t horas despus de haber sido inyectada esaproximada por:

44tt

t0,14)t(C2

Determin los extremos relativos para t> 0 y determinar cuando la droga est en su mximaconcentracin.

28. Dada la funcin de demanda p de una empresa 0p480x y su funcin de costo

promedio:x

5,77100x21xC 2 , determin el nivel de produccin (en miles de

unidades) que:

a. Maximiza el ingreso total.

b. Minimiza el costo marginal.

c. Maximiza el beneficio.

29. Una empresa de televisin por cable tiene actualmente 100.000 suscriptores que pagan unacuota mensual de $40. Una encuesta revel que se tendran 1000 suscritores ms por cada$0,25 de disminucin por cuota.Para qu cuota se obtendr el ingreso mximo y cuntos suscriptores se tendranentonces?


Matemtica


30. Un fabricante encontr que para cierto producto el costo promedio (en dlares por unidad)

est dado por la expresin:x

200-21036x-2xf(x) 2 , donde 2x10.

a. A qu nivel debe fijarse la produccin para minimizar el costo total? En ese caso,cul es el costo total mnimo?

b. Si la produccin tuviera que encontrarse en [5; 10] qu valor de x minimizara el costototal?

31. En qu punto del primer cuadrante, la recta tangente a la grfica de la funcin f(x) = 4 x2

determina junto con los ejes coordenados un tringulo de rea mnima?

32. La produccin de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura(x enC) segn la expresin: Q(x) = (x + 1)2 (32 - x)a. Calcul cul es la temperatura ptima a mantener en el invernadero.

b. Qu produccin de hortaliza se obtendra?

33. Con listones de madera de 3 metros de largo se quiere fabricar marcos para cuadros.Para qu valor de la base la superficie es mxima?

34. Cul de los puntos de la recta y = -2x + 5 est ms cerca del origen?

35. Se introduce una poblacin de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en nmero de acuerdo

con la ecuacin

t50

4t1500P(t) donde t se mide en horas.

Hall a qu ritmo est creciendo la poblacin cuando han pasado 120 minutos.

36. Durante una epidemia de gripe de cuatro semanas de duracin, el nmero de personas P(t)infectadas t das despus del comienzo de la epidemia, es aproximado por:

P(t) = t3 -60t2 + 900 t + 20 para 0< t < 28.

Cundo comenzar a declinar el nmero de personas infectadas?

37. Un profesor comprueba que el grado de atencin que le prestan sus alumnos (puntuado de0 a 100) durante los 40 minutos de duracin de su clase sigue la funcin:

f(t) = t(-t); 0t 40.Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar la clase le prestan la mxima atencin, esdecir el grado de atencin es 100; se pide:

a. Determiny .b. Represent la funcin obtenida.

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PRCTICO 5. DERIVADAS

Aplicaciones


1. Un fabricante de tocadiscos ha determinado que la ganancia P(x) (en miles de dlares) serelaciona con la cantidad x de tocadiscos fabricados (en cientos) por mes por

2x10x27

x31

)x(P 23 , siempre que el nmero de unidades producidas sea menor

que 800 por mes. En qu niveles de produccin est creciendo la ganancia? En quniveles est decreciendo?

2. a) Indic en la grfica de la funcin, los puntos en los que laderivada es cero.

b) En x = 2, la derivada es positiva o negativa?

c) Y en el intervalo (1; 2)

3. La suma de dos nmeros no negativos es 36. Hall dichos nmeros para que:

a) La suma de sus cuadrados sea lo mas pequea posible.

b) La suma de sus races cuadradas sea lo mas grande posible.

4. Indic los intervalos de crecimiento y decrecimiento y hall los extremos relativos, si existen,

de la funcin 1x2 ex)x(f




Matemtica



Definicin Propiedades Reglas de clculo


1. Calcul, usando la definicin de derivada, la pendiente de la recta tangente a la curva

1)-(-2;Pen1-x

3)x(f

2. Calcul, en la forma que creas conveniente, las derivadas de las siguientes funciones.

a) f(x) = (3x3 2)2 b) )3x(3x

x1)x(f

2 c) f(x) = x . lnx (x>0)

3. En qu punto la tangente a la grfica de f(x) = 2 + x x2 es paralela al eje de abscisas?

4. Determin las ecuaciones de las rectas tangentes a la grfica de f(x) = x2 + 4x que pasan por elpunto A = ( -1; -4)

5. Calcul el valor del nmero real k, de modo que la recta que une los puntos A = (0; 3) y B = (5; -2)sea tangente a la curva de la funcin en x = 1

)1x(;1x

k)x(f

6. Determin los nmeros reales a, b, c y d en f(x) = ax3 + bx2 + cx + d para que se verifiqueque: f(-1) = 0; f (-1) = 600 ; f (-1) = 0 y f (-1) =360. (segundo parcial primer cuatrimestre 09)




Matemtica




1. Para cierta funcin, su derivada f est dada por f(x) = (x + 2) (x + 5).Escrib en qu intervalos, la funcin f es creciente y decreciente.

2. Dentro del tringulo limitado por el eje de abscisas, el eje deordenadas y la recta 2x+y = 8, se inscribe un rectngulo de vrtices(a; 0), (0; 0), (a; b) y (0; b) como se muestra en la figura.

Utilizando derivadas, encontr el punto de coordenadas (a, b) demodo que el rectngulo sea de rea mxima.

3. La funcin senxx21

)x(f est definida en el intervalo (0; 2).

Us derivadas para responder:

a) Cules son las coordenadas de sus puntos mximos y mnimos?

b) En qu intervalo de su dominio la funcin es creciente? Escribilo.




Modalidad virtual

Matemtica

Unidad 6INTEGRACIN

Temas de la unidad

Integracin. Primitivas. Mtodos de integracin: sustitucin, partes. Clculo de integralesdefinidas. Regla de Barrow. Aplicacin al clculo de reas y a problemas de mecnica.


AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La CopiaS.R.L., 1995; Captulo IX. INTEGRALES.

Prctico 6: Integracin.


Matemtica

Practico 6. Integrales 2

PRACTICO 6. INTEGRALES

1. Hall, en cada caso, una funcin g(x) que verifique que suderivada es g(x):

a. g(x) = x6 b.x1(x)'g 3

c.2x1)x('g d. g(x) = 3x2 + x - 1

e.x

x3x)x('g3 f. 2xcos)x('g

g. x3e)x('g x h. xsenxxcos)x('g

i.x1x2

x21)x('g 6

2. Verific si F(x) es o no una primitiva de f(x).

a. 1x12x)x(F

3

14

x)x(f2

b. xcossenx)x(F senxxcos)x(f

c. xexln)x(F xex1)x(f

d. 3xsenx)x(F 2xxcos)x(f

e. t2cose)x(F x5 x5e5)x(f

f. eln6ln)x(F e1

x1)x(f

g. x3

ex)x(F x

32

exx3)x(f

3. Hall g tal que:

a. g(x) = 3x -1 y g(0) = -2

b. g(x) = cos x y g() = 1c. g(x) = x-1 y g(1) = 0

CAPITULO IXINTEGRALES

Recordar que F(x) esuna primitiva de f(x) siF(x) = f(x).


Matemtica


4. Resolv, usando propiedades, las siguientes integrales directas.

a. dx

x2x3x2 23 b. dxbx3 5

c. dx

xcos1senx3e 2

x d. xdxxxx 23

e. dtt:1t6t 643 f. dxeeee

x2

xx6x2

5. La rapidez de cambio de la temperatura T (en C) de una solucin qumica se expresa

mediante 10t41r(t) , donde t es el tiempo en minutos. Suponiendo que T = 5C en t = 0,

encontr una frmula para la temperatura T en funcin del tiempo.

6.a. Si el costo marginal, como funcin de las unidades producidas x, est dado por2x12x4010)x('C , hall las funciones de costo total, sabiendo que 100 es el

costo fijo. (El costo marginal es la derivada de la funcin costo total)

b. Si la funcin de ingreso marginal est dada por: 32 x4x30200)x('I determin lafuncin de ingreso total y la funcin de demanda.(La funcin ingreso marginal es la derivada de la funcin ingreso total.La funcin Ingreso total = precio . cantidad demandada)

7. Resolv las integrales usando una sustitucin.

a. dxex3x2 b. dxx

xln2

c. dxx

xcos d. 3 1senydyycos

e. dxxe1e2x2x f. dttcossent 3

g.

dz2z

z45 2

h.

dx2x

)2xln(4

i. dyy21e y2

j. dt2ee

4t3

t3

CAPITULO IX

INTEGRALESMtodo desustitucin


Matemtica


8. Resolv por el mtodo por partes las siguientes integrales.

a. dxxe x2 b. dx)1x(ln c. dxxlnx4 d. dzzcos)1z( e. dxxeccosx 2 f. dxx2cosexg. dzzlnz h. dx)xe( 22x2 i. dx)xcosx( 2

9. Resolv las siguientes integrales utilizando el mtodo de integracin que sea conveniente.

a. dxxsenxcos-10

2b.

dx

x)cos(2

xcos-1

3 4

2c. dx5e4e

exx2

x

10. El ingreso marginal de una empresa est dado por la funcin3 2 1000x

x'I

, se pide:

a. Hall la funcin de ingreso, sabiendo que I(0) = 0.

b. Hall la funcin de demanda.

11. La aceleracin (en m/seg2) de un objeto que se mueve se expresa por costtens)t(a 2 .

En t = 0 el punto se encuentra en el origen y su velocidad es 10 m/seg. Calcul su posicin

en funcin del tiempo.

12. Calcular las siguientes integrales definidas.

a. 81

32 dx1xx b.

2/

4/

dyygcot

c.

27

1

33

dxxx

1d.

1

e

4 dxxlnx

e.

2

2/

2 dyysen f. 24

0

dzz1z

g. dt)1t(ln0

1

2 h. 5

2

x3 dxex

CAPITULO IX

INTEGRALESIntegracin por

partes

CAPITULO IX

Teorema fundamentaldel clculo.Integral definida.Regla de Barrow.


Matemtica


13. Calcul el rea de la regin limitada por la grfica de la funcin f y los ejes indicados:

a. 6x4x2)x(f 2 eje x

b. 2x4)x(f eje x

c. 4x)x(f eje x eje yd. 1xcos)x(f eje x eje y , x [0;]

e. 42)x(f x eje x eje y

f. 3x)x(f -x eje x

g.

0x62x

0x4x)x(f

2

eje x

14. Calcul el rea de la regin limitada por las siguientes curvas.

a. 1xy 2 1xy eje y

b. xy x2y eje y

c. senxy xcosy eje y

d. xlny ex eje x

e. 1xy x2y

f. xey 2ey 1x

g.

1xx1

1xx)x(f

2

2y ex

h. y = sen2 x y = 0 x = 0; x=2

i. y = sen x cos x y = 0 x = 0; x=2

j. y = x2 + 1; la recta tangente a esta curva en x = -1 y el eje y

k. y = -x2 + 15 y la recta y = -2x + 12


Matemtica


15. Calcul mediante integrales el rea de las regiones sombreadas

16. Sea la curva y = ax - x2

a. Determin el valor de a para que el rea encerrada entre la curva y el eje de las abscisassea 36.

b. Represent la curva.

17. Encontr k , k>0, para que el rea de la regin encerrada entre x = 0; x = k, el grfico

de 2x21

)x(f y el eje x sea igual a27 .

18. Calcul el rea comprendida por la grfica de2x1

1)x(f , x = 0; x = 1 y su asntota

horizontal.

19. Sea la funcin xsenx)x(f y sea T la recta tangente a su grfica en x . Determin:

a. La ecuacin de T.

b. El rea encerrada entre T y los ejes coordenados

Regin 1 Regin 2

Regin 3 Regin 4


Matemtica


20. Una partcula se mueve sobre una recta coordenada con aceleracin 2t

ea(t) (con a encm/seg2 y t en seg). En t = 0 la partcula se encuentra en el origen y su velocidad es de6m/seg. Qu distancia recorre en el intervalo [0; 4]?

21. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado auna tasa de t5,0et4000 juegos por semana, en donde t es el nmero de semanasdesde el lanzamiento del juego.

a. Exprese las ventas totales como una funcin de t

b. Cuntos juegos se vendern durante las primeras cuatro semanas?

(Tasa = velocidad o rapidez de crecimiento)

22. En una pared de 8 metros de altura, se quiere pintar de blanco la figura que encierran lasfunciones f(x) = x2 + 3x + 4 y g(x) = 2x2 - 3x + 4 ambas definidas en metros.

Cuntos metros cuadrados hay que pintar de blanco?

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PRCTICO 6. INTEGRALES

Definicin Propiedades Reglas de clculo


1. Resolv las siguientes integrales del modo que creas conveniente.

a) dxx3

x5x 33 b) dxcox2 senx c) dxxsenx d) dx4x1x5x3 2

2. Encontr, en cada caso, la funcin F(X) para la que:

a) F(x) = xx

1)x('F

3 y que verifica que F(3) = 1

b) F(x) = 2x y adems F(0) = 0; F(1) =41 y F(2) =

32

3. Determinen una funcin primitiva de h(x) = x cosx cuyo grfico pase por el punto ;

2

Cuntas primitivas hay que cumplan la condicin hay?

4. Una partcula se est moviendo sobre una recta con aceleracin a(t) = t2- t en metros /seg2.Hallar las expresiones de la velocidad y el espacio para cualquier instante t, sabiendo ques(0) = 0 y s(6) = 12




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PRCTICO 6. INTEGRALES


1. Resolv las siguientes integrales usando el mtodo que creas necesario.

a.

dxx2

xln 3 b. dxxe x3

2. Encontr k, k>0, para que el rea de la regin encerrada entre x = 0; x = k, elgrfico de f(x)= x + 4 y el eje x sea igual a 24.

3. Usando integrales, encontr k +, para que el rea de laregin limitada por las rectas x = 0; x = k, y = 0 y las grficasde f(x)= x + 4 y g(x) = x +6 sea igual a 15.




UBA XXI Modalidad virtualMatemtica

RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO DE REVISIONEJ. RESPUESTA EJ. RESPUESTA EJ. RESPUESTA

1.a 4 10.a 61 17.a 19/4

1.b 12 10.b 1 17.b -7/15

1.c -15 10.c -9/5 17.c -3

1.d -22 10.d -1/5 17.d -1

1.e 34 10.e -3/2 17.e 3/2

1.f 1 11 e; a; b; g; c; d 17.f 2/3

1.g -69/16 12.a -x5 17.g 1.h 5/132 12.b x6 17.h 20

2.a -3/4 12.c x2-9y2 17.i 2

2.b -5/6 12.d (1/3)4.x-4 17.j 45/2

2.c 0 12.e x5 18.a V

2.d 0 12. f x-7 18.b V

2.e -1 12.g x2+4x+4 18.c F

2.f 9/2 12.h x5 18.d V

2.g 0 13.a -8/125 19.a -100

2.h -2/3 13.b 1 19.b 25

3.a Hay infinitos, por ej.: 0,16 13.c 1/4 19.c Conjunto Vaco

3.b 3/20 13.d 9 20. a.

3.c 11/70, 12/70 y 13/70 13.e 1/9 21. c.

4.a -6/5 15.a 4x2-m2; 4x2+4xm+m2 y

4x2-4xm+m2 26.a 20 objetos

8.d = 15. b (m+4).(m-4); (m+3)2 y

m(m2+1) 26.b 4 y 17

8.e < 16.a 2,4 26.c 14

8.f < 16.b -3 y -0,5 26.d 1; 2; 3 4

9.a 0,5= 5/10; 1,23 = 123/100;0,05= 5/100 y 0,082 = 82/1000

16.c 26.e 68 cajas

9.b 1000 16.d 0 y -0,5 26.f

9.c 21250/13

3A1

2H14HA

1 H y 3 A 2H y 2A 1H y 2A 2H y 1A 1H y 1A


Matemtica

Practico 1 - Nmeros reale

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