Guía Nº 3 de Fundamentos Matemáticos Pensamiento Variacional

7/21/2019 Gua N 3 de Fundamentos Matemticos Pensamiento Variacional

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GuaDel estudiante

Modulo

Primero del Bachillerato

I SEMESTRE

BIENVENIDA

1

DATOS DE IDENTIFIAION

T!TOR Omar Est"#e$


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BIENVENIDA

EL curso de Fundamentos Matemticos permite indicar un proceso de

formacin de administradores tursticos y hoteleros que apropien

competencias interpretativas, argumentativas y propositivas y

competencias ciudadanas como lderes integrales en sus desempeos el

curso pretende fortalecer procesos

Fundamentos del !ensamiento "umano# $ue le permiten apropiarse del

lengua%e matemtico en lo referente al pensamiento variacional y las

estructuras alge&raicas para la conte'tuali(acin de su entorno

pensamiento variacional y sistemas alge&raicos# )olucin de pro&lemas ygenerali(acin, investiguen en la seleccin de herramientas matemticas

que le permitan ver las situaciones del mundo como una regla &ien general

Autoformacin# * partir del estudio auto programado del dialogo de

sa&eres como resultado del tra&a%o en equipo para la construccin y

sociali(acin del conocimiento de la investigacin y accin de las prcticas

Trabajo Cooperativo# El curso propende por el tra&a%o en equipo con todala comunidad para el desarrollo del proyecto de investigacin

El propsito de formacin de este curso es facilitar al estudiante de

administracin *gropecuaria es vivenciar por conte'to y las dems reas

del programa el desarrollo de las competencias que le permitan utili(ar el

lengua%e y herramientas necesarias en las acciones propias del tra&a%o en

equipo

El curso esta propuesto acorde a los principios e'puestos por la universidad

del +olima, el -E*- y el programa de *dministracin *gropecuaria, los

cules dan preeminencia a los procesos de auto formacin del ser humano y

el administrador ya que la implementacin de herramientas didcticas y

m.todos mentales de la modalidad a distancia, que de&en esfor(arse a

muchas horas de estudio individual y grupal sin la presencia fsica del tutor

/


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0+2-34450

El pensamiento variacional y los sistemas alge&raicos han contri&uido al

desarrollo de las diferentes reas de desempeo de los ciudadanos en el

actual siglo nadie pone en duda la aplica&ilidad de la matemtica y en

especi6co los sistemas alge&raicos para resolver situaciones que se le

presentan al individuo en el proceso de formacin como administrador

turstico y hotelero, las e'presiones alge&raicas se aplican por e%emplo para

resolver situaciones pro&lema en las que deseamos plantear por e%emplo la

proporcin entre ella a7uencia de turismo a una determinada regin y lacapacidad hotelera instalada estas situaciones planteadas de manera

matemtica han permitido desarrollar la industria turstica y hotelera en

diferentes (onas del pas como por e%emplo el e%e cafetero que paso de ser

una regin eminentemente de vocacin agrcola a ofrecer turismo

3n estudio de&e contener anlisis cuantitativo y cualitativo, en el se

utili(an ecuaciones matemticas que aportan soluciones de situaciones

pro&lema +anto los sistemas lineales de ecuaciones como las ecuaciones desegundo grado aportan resultados que nos dan indicadores para me%orar la

oferta de un determinado producto ofrecido en el mercado en este caso por

e%emplo un portafolio de servicios de hotelera y turismo

$ueda para los estudiantes la construccin con%unta de un con%unto de

pro&lemas relacionados con la carrera para que le veamos una real

aplicacin y le encontremos sentido al estudio del pensamiento variacional y

los sistemas alge&raicos

Este componente del currculo tiene en cuenta una de las aplicaciones msimportantes de la matemtica# la formulacin de modelos matemticos paradiversos fenmenos !or ello, de&e permitir que los estudiantes adquieranprogresivamente una comprensin de patrones, relaciones y funciones, ascomo desarrollar su capacidad de representar y anali(ar situaciones yestructuras matemticas mediante sm&olos alge&raicos y gr6casapropiadas *s mismo, de&e desarrollar en ellos la capacidad de anali(ar elcam&io en varios conte'tos y de utili(ar modelos matemticos paraentender y representar relaciones cuantitativas

8


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!NIDAD DE TRABA%O No&'

OB%ETIVOS

1. Continuar el estudio de los polinomios y fracciones algebraicas.2. Se pretende que el alumno conozca la regla de Runi y su aplicacin

al clculo de races de polinomios y la simplicacin de fracciones.

8 )e pretende que el alumno aprenda a tra&a%ar de una manerasistemtica y como o&%etivo complementario potenciar suimaginacin, iniciativa y 7e'i&ilidad de mente

9 !ara ello" se dan estrategias para la resolucin de problemas dedi#ersos conte$tos y se utilizan los m%todos estudiados de

resolucin de ecuaciones ysistemas

INDIADORES

1 econoce las e'presiones alge&raicas, las clasi6ca y las ordena/ reali(a las cuatro operaciones &sicas con e'presiones alge&raicas

:polinomios;8 *plica la regla de u formula y resuelve pro&lemas en los que involucra ecuaciones de

segundo grado y &icuadradas

9

Cmo aplicar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos la

administracin Turstica y hotelera?

A travs las expresiones algebraicas y los sistemas lineales se puede

establecer un modelo que estructure el sistema turstico y hotelero?


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PENSAMIENTO VARIAIONA( ) SISTEMAS A(GEBRAIOS )ANA(*TIOS

ONTENIDOS

1. E'presiones alge&raicas monomios polinomios

2. 2peraciones con polinomios Suma

Resta

&ultiplicacin

'i#isin(. egla de u


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E+PRESIONES A(GEBRAIAS

A,+raduce a lengua%e alge&raico0- El triple de un n@mero. La mitad del resultado de sumarles al triple de un n@mero 9 unidades' La diferencia de los cuadrados de dos n@meros de dos n@merosconsecutivos/ 4inco veces el resultado de restarle al do&le de un n@mero = unidades)olucin# =:/'A=;0& E'presa alge&raicamente el rea y el permetro de un cuadrado de lado'

1B, *socia cada una de los enunciados con la e'presin alge&raica que lecorresponde#

-; La suma de los cuadrados de dos n@meros

.; El espacio recorrido por un mvil es igual a suvelocidad por el tiempo que est en movimiento

'; El rea del circulo de radio '

:' By;/C '/B y/B /'y

/; Los lados de un tringulo son proporcionales a/, 8 y =

E C v t

0; El cuadrado de la suma de dos n@meros esigual a la suma de sus cuadrados ms el do&le desu producto

'/B y/ 2-,

3; Media aritm.tica de tres n@meros

'/

, 4alcula el #alor num"ricode las siguientes e'presiones para los valoresque se indican#

>


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-&/' B1 para ' CD. '/B y/ para ' C1 , y C8'& :1A/';:1B /'; para ' C /

/ para ' C8, y C/, ( C9

)olucin C C80 '/B y/B /'y para ' C1, y C/3& 4/'/y8 para ' C/, y C /D, Identidades nota5les&

4uadrado de una suma

4uadrado de una diferencia

-iferencia de cuadrados

-, -esarrolla las siguientes e'presiones#

a; :' B/;/

&; :' A1;/

c; :/' B8;/

d; :' B/;:' /;

e; :/' 1;:/' B1;

f; :8' y;/

g; :/' 8y;:/' B8y; C 9'/y/

h; :' A1;8

i; :' B=;/A:'A8;/

., Factori(a las siguientes e'presiones alge&raicas#

a; 8'9 A/'/

&; '/1

c; '/B>' B

)olucin 0o tiene ning@n factor com@n , es una identidad nota&le# :' B8;/C'/B>' B

d; '/B 9 B9'

e; 9'/Ay/

f; >' B'/

g; /' 9'/y

h; '/B' y B' ( By (

)olucin# ':' By; B(:' By; C:' B(; :' B y;

i; a ' ay & ' B&y

'; 4ompleta las siguientes e'presiones para que sean cuadrados perfectos

a; '/B /'B

G


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&; 9'/B H'B

)olucin# 9'/B H' B/C :/' B/;/

c; '/AB 1>

E, 4alcula el grado de los siguientes polinomios#

- 4/'/

y8

.& '/

B y/

B /'y

'& )olucin# /B9B/ CH

/& :' B=;/A:'A8;/

0& G'=A8'/A>'9B/B'

F, Efect@a las operaciones indicadas y simpli6ca la e'presin resultante

1; 8:'8=' BG; :/'8B>'/ B11'B9;

/;

8; /':9'/>' B/; B8 :='/8'A9;A 19 '/

9; :8'8' B =; :/'8B1;

=; :'8y8B /; :'8y8A /;

>; :G'8='B8; :/'/B'A1;

G;

)olucin# C 9'A1/ B/1'AA/9 C /=' A9=

H;

;

G; 2peraciones con e'presiones alge&raicas#1; Multiplica la siguiente e'presin por 1/ y simpli6ca el resultado#

/; Multiplica por /D y simpli6ca el resultado#

6,-ivide los siguientes polinomios#

1; 1= a8&/c # > a/c C C

H


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/; = '8y/(9# 8 '/(/

8; :/'8B>'/ B11'B9;#:' B1;

9; :/'8B>'/ B11'B9; # :'A8;

=; :'9A>'8 B='/A9'B1;# :'/' B=;

>; :'8B>'/ B='B9;# :'/8' B1;

)olucin

'8B >'/ B=' B9 '/8' B1

A'8

B8'/

A' ' BI '/B 9' B9

A'/ B /G'A

I 81' =

G; :'9A='8 B8'/A/'B=;# :'/B' A8;

0ota 4uando el divisor es un &inomio de la forma :'Aa; se puede aplicar laregla de u


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0os queda que el cociente es '/B/' 1D y el resto A88

/; :/'8B>'/ B11'B9;#:' B1;

8; :8'9B>'/ B11'B9; # :'A/;

9; :'8B 1; # :' B1;

=; :'9B/'8B=' A8;#:'B8;

Ampliacin

Teorema del resto.

El resto de la divisin de un polinomio !:'; entre el &inomio 217a,es el valornum.rico del polinomio en ' Ca, es decir el resto es el valor de ! al sustituirla ' por a,R 8P2a,&E%emplo# El resto de la divisin : '8A/'/B8' A9;#:'A1; es#18A/1/B81A9C1A/B8A9C A/ :compro&arlo;

-& 4alcula el resto de la divisin :'8'/A1>' A8;# :' A8; sin efectuarla.4alcula el valor de J para que la divisin de !:'; entre $:'; d. e'acta#a; !:'; C '8A'/BJ' A9, $:'; C :'A/;

&; !:'; C '9A/'8B8'/J ' A=K $:'; C :' B1;

.& 4alcula el valor de J, para que el resto de la divisin del polinomio '9J'8B8'/ ' B9 entre el &inomio ' B/ nos d.1=

Factorizacin

Factori(ar un polinomio es ponerle como producto de sus factores :se llamatam&i.n descomposicin en factores del polinomio;

!ara factori(ar hay que tener en cuenta las identidades nota&les, el sacarfactor com@n, la regla de u


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' C por tanto los factores son :'A9; y :'A1;

El polinomio factori(ado es# ':'A9;:'A1;

0ota# +am&i.n podra ha&erse usado u


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:' B/;:'/A9'B9; C '8A9'/B9'B /'/AH' BH C '8A/'/A9' BH

)on equivalentes

; )impli6ca las siguientes fracciones alge&raicas, en los casos posi&les#

1;

/;

8;

9;

=;

)olucin

)e tiene CC

>;D; eali(a las operaciones indicadas y simpli6ca el resultado en los casosque se pueda

1;

/;

8;

9;)olucin !rimero reducimos a com@n denominador y despu.s sumamos losnumeradores#m c m :', ' B1; C ':' B1; C'/B '

C

1/


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=;

>;

G;

H;

)i necesitas mas e%ercicios del tema de polinomios visita estos enlaces

Polinomios = ;racciones al>e5raicas

Parte? Ecuaciones = sistemas

gualdades" identidades" ecuaciones

3na igualdad" 34" es una relacin de equivalencia1Nentre dos e'presiones,num.ricas o literales, que se cumple para alg@n, alguno o todos los valores4ada una de las e'presiones reci&e el nom&re demiem5ro&

)i la igualdad secumple entre n@meros se

denomina identidad num"rica

E9em:lo -# / B9 B= C 1 B1D

3na identidad literales una igualdad que se cumple para todos losvalores

E9em:lo .# Las dentidades 0ota&les

4uadrado de una suma

4uadrado de una diferencia

18

IG!A(DAD

una e1:resi


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-iferencia de cuadrados

4uando la igualdad se convierte en identidad num.rica slo para

determinados valores se la llama ecuaci


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5cuaciones de primer gradoLa forma general de esta ecuacin es a ' B& CD con a @

+rasponiendo y dividiendo por ase llega a

)olucin que siempre e'iste y es @nica

E9em:lo a; 8' B/ CD

&; G' B / C /' A8 , si trasponemos t.rminos, nos queda G' /' C A/ 8

Luego =' C A= de donde ' C A1

5cuaciones de segundo grado

La ;orma >eneral de una ecuacin de / grado es# ,donde a

La solucin de esta ecuacin general viene dada por la frmula#

E9em:lo

C

Observacin.* D 8 se llama discriminantede la ecuacin de /y se veri6ca#

)i -OD la ecuacin tiene dos soluciones con%ugadas

)i - CD la ecuacin tiene una @nica solucin :do)i - PD la ecuacin no tiene ninguna solucin real

Ecuaciones incom:letas

Si c 8@la ecuacin se reduce a y sacando factor com@n 'se tiene#

':a' B&; CD

1=


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Este tipo de ecuacin siempre tiene dos soluciones

E9em:lo C 8'/A='CD ':8'A=;CD

Si 5 8@la ecuacin queda de donde

!uede tener dos soluciones opuestas o ninguna solucin,dependiendo de que

El radicando sea o no positivo

E9em:lo -@ / '/A CDK / '/C :dossoluciones;

E%emplo 11 8'/B1 CD :no tiene ninguna solucin;

Resolucin 6prctica7 de una ecuacinLo estudiamos con un e%emplo

E9em:lo -.

!ara resol#erla ecuacin seguiremos el siguiente orden

-uitar denominadores

*l multiplicar los dos miem&ros de una ecuacin por el mnimo com@nm@ltiplo de sus denominadores, se o&tiene otra ecuacin equivalente a laprimera, pero sin denominadores

Multiplicamos los dos miem&ros de la igualdad por >, que es el mcm delos denominadores

0os queda 8:/'A8; A/:='A1; C>

.uitar :ar"ntesis

)e efectuarn las operaciones indicadas, utili(ando la propiedad distri&utiva

$uitando par.ntesis >'A 1D'B/C>

'Tras:osici


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)e disponen todos los t.rminos que llevan 1en un miem&ro y los dems enel otro

+rasponiendo t.rminos >' 1D' C A / B >

/Reducci


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Soluci' B1> C 9D B 9'/B9'

9'/1>' B1> C9D B9'/B9'

educiendo t.rminos seme%antes#

1>'A9'C 9DA 1> A/D' C/9 8 7-.

1D;

Ecuaciones de se>undo >radoesuelve las siguiente ecuaciones indicando si son completas o no#

1; 8'/B /'CD

/; ='/A8CD

8; '/A9'B/CD

9; /'/B 'A1CD

=; 8 '/A CD 8' /C ' /C ' C

>; '/ B 9 CD

H; 9'/9' B1 CD

; '/ B>'A=CD

1H


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1D; >'/B='A1CD

11; :='A9;:/'B8; C=

1/; 8D B ' 8'/CD

18;

Soluci;

8plicaciones de las ecuaciones de 29 grado

Descom:osici


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Entonces se puede descomponer en producto de :'A8; por :'A/; Es decir#

'/=' B> C :'A8;:'A/;

E9ercicios-etermina los factores de los siguientes trinomios de / grado

1; '/A1>

/; '/A18'B8>

8; 9A'/

9; /'/B1GB/1

=; /'/A='BG

>; 8'/A D,G=

G; '/ B='A>

9; Soluci


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/; )e elevan al cuadrado am&os miem&ros de la igualdad#

9:'A1;C:9A';/ 9'A9 C 1>AH' B' /

8; )e resuelve a ecuacin de / grado que resulta

'/A1/' B/D CD ' C1D y ' C/ :compro&arlo;

9; )e comprue&an las soluciones

)i ' C1D

1> A 9C D Falso, no es solucin

)i 1 8.

9 A 9CD 4ierto, si es soluci;

/1


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Soluci/'B>1

/HH' A199 C '/ B>/' B>1

Es decir#

'///>' B11D= CD

4ompro&amos las soluciones#

' C//1 no es soluci


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1.8 =

con lo cual '9C y/

)ustituyendo en la ecuacin# y/A=yB>CD que s es de / grado y

podemos aplicar la frmula#

)ustituyendo los valores en la e'presin 1.8 = 1 8 o&tenemos#

y

En este caso la ecuacin tiene 9 solucionesE9erciciosesuelve#

1; '98'/B/

/; '9A18'/B8>

8; '9A1

9; '9B 9'/CD

Soluci


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H;

El tema completo se repasa y amplia en Rlge&ra

Sistemas de ecuaciones lineales3n sistema de ecuaciones lineales es un con%unto de ecuaciones lineales

E9em:lo -3# es un sistema de ecuaciones con dosincgnitasResol#er un sistema es encontrar la soluci


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esulta#

)umando o&tenemos 18 ' C/

)ustituyendo el valor encontrado de 1en la segunda ecuacin#

y C8I18O5ser#aci;

G;Soluci


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!ara encontrar el valor de ', eliminamos la y, para ello multiplicando la 1Spor A/

sumando 8'C A1/ 1 8/

H;

!roblemas de aplicacin1; 4alcula dos n@mero cuya suma sea H y su producto 1//; La suma de dos n@mero es >= y su diferencia /8 "alla los n@meros8; La diferencia de dos n@meros es 1I> El triple del mayor menos el do&ledel menor es 1 "alla dichos n@meros

Sistemas de ecuaciones de . >rado)on aquellos en que al menos una de las ecuaciones es de / gradoQeremos con un e%emplo como proceder para o&tener las soluciones

E9em:lo .@& )ea el sistemaEn la /S ecuacin despe%amos la =y la sustituimos en la 1Sy C /'A9 /'/B:/' 9;/C///'/B9'/1>' B1>C//K >'/A1>'A>CD,)impli6cando por / o&tenemos#8'/AH'A8CD, que es una ecuacin de /grado completa#

CE%erciciosesuelve los siguientes sistemas#

1;

/;

8;

!ara resolver un pro&lema es con#eniente reali(ar cuatro fases1N#1Som:renderel pro&lema"ay que leer el pro&lema hasta familiari(arse con .l y que podamoscontestar, sin dudar, a las siguientes preguntas#:Cules son los datos; :cul es la incgnita o incgnitas; :son las

condiciones sucientes para determinar a las incgnitas; :soninsucientes;.. .

/>
http://carmesimatematic.webcindario.com/sistemas.htm#_ftn1http://carmesimatematic.webcindario.com/sistemas.htm#_ftn1


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. once5ir un :lan&'eterminar la relacin entre los datos y la incgnitas.-e no encontrarse una relacin inmediata puedes considerar pro&lemasau'iliares:Conoces problemas relacionados con %ste;:!odras plantear el problema de forma diferente;:!uedes cambiar la incgnita o los datos o ambos si fuera necesario" de talforma que la nue#a incgnita y datos est%n en una relacin ms sencilla;...:


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-& La edad de una madre es siete veces la de su hi%a La diferencia entre susedades es de /9 aos Tqu. edad tienenU)olucinLlamamos ' a la edad de la hi%a, luego G' ser la edad de la madreG' ' C/9 >' C/9 1 8/Luego edad de la hi%a /aLosy edad de la madre . aLos.& "alla un n@mero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual aln@mero pedido)olucinLlamamos 1 al n@mero que &uscamos, la mitad del n@mero es 'I/ y sucuarta parte 'I9

Entonces#Multiplicamos por el mcm que es 9 0os queda#/' B' B 9 C 9'1 8/' )e atri&uye a !itgoras la siguiente respuesta so&re el n@mero de susdiscpulos#A 3na mitad estudia matemticas, una cuarta parte fsica, una quinta parteguarda silencio, y adems hay tres mu%eresT4untos discpulos tenaU)olucinLlamamos 1al n@mero de sus discpulos

+raduciendo a lengua%e alge&raico las condiciones, se tiene#

Multiplicando por /D, que es el mcm , quitamos todos los denominadores

1D' B=' B9' B>D C/D'Es decir, 1 8 3@ disc:ulos/& -os po&laciones * y ? distan /=Jm 3n peatn sale de * hacia ? a unavelocidad de 9JmIh )imultneamente sale de ? hacia * otro peatn a>JmIh 4alcula el tiempo que tardan en encontrarse)olucin

* ?/=JmEl espacio que recorre el peatn que sale de * es# E C v * t C9t

El espacio que recorre el peatn que sale de ? es# E C v ? t C >t4uando se encuentran ha&rn recorrido entre am&os los /=Jm!or lo tanto# 9t B>t C/=1D t C /= t C /,= horasTardan en encontrarse . horas = media0 En una %aula hay cone%os y palomas, pueden contarse 8= ca&e(as y 9patas T4untos animales hay de cada claseU)olucinLlamamos 1al n@mero de cone%os, = al n@mero de palomas ha&r entonces1 = 8'0Lo cone%os tienen 9 patas, hay 9' patas de cone%os

Las palomas / patas, luego tendremos /y patas de palomasEl n@mero de patas en total es 9 /1 .=8 C/

/H


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Es decir lo resolvemos por sustitucin C y C 8= A'9' B/:8= '; C 99' B GD /' C9/' C/9 1 8-. = C8= 1/ C.'6a= -.cone%os y .'palomas3& "a&a do&le de leche en un envase que en otro 4uando se e'tra%eron 1=litros de leche de am&os envases, entonces ha&a tres veces mas leche enel primer envase que en el segundo T4unta leche ha&a originariamenteen cada envase)olucinLlamamos 1al n de litros de un envaseEn el otro envase ha&r /' litros*l e'traer /D litros de cada envase nos quedan' A1= /' 1=

/' 1=C8:' 1=; C8' 9=' C8DEn un envase ha&a '@litros y en el otro 3@litros& El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 9 aos msque el segundo y .ste 8 ms que el menor )i entre todos tienen la edad delpadre que tiene 9D aos Tqu. edad tiene cada hermano U)olucinLlamamos 1 8edad del hermano menor Entonces seg@n las condiciones delpro&lema#' B 8 es la edad del hermano mediano' B8 B 9 C ' B G es la edad del hermano mayor4omo la suma de las edades de los hermanos es 9D#

' B ' B8 B ' BG C 9D 8' C9D 1D C8D1 8-@Por lo tanto? edades de los tres hermanos? -@ -' = - aLos&& T * qu. hora forman por primera ve( un ngulo rcto las agu%as de unrelo%, a partir del medioda)olucinEs un caso particular de pro&lemas de mvilesLa velocidad del minutero es doce veces mayor que la del horario !odemospues representar por 1/ y 1 las velocidades respectivas de las dos saetas)i 1es el n de divisiones que ha recorrido la agu%a horaria, la minutaraformar con ella ngulo recto cuando haya recorrido 1 -0 divisiones

*l igualar los tiempos empleados poram&as, se o&tiene#

1/' C' B1= ' C1=I11C 1minuto/1segundos

)e encuentran a las -. horas -3 minutos .-se>undos

/


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C& La edad de un padre es el cuadrado de la de su hi%o -entro de /9 aos laedad del padre ser el do&le de la del hi%o T4untos aos tiene ahora cadaunoU)olucinLlamamos 1a la edad del hi%o La del padre ser '/

-entro de /9 aos el hi%o tendr ' B/9-entro de /9 aos el padre tendr '/B/9!or lo tanto '/B/9 C /:' B/9; C /' B9HLa ecuacin que resulta es de / grado'/A /' /9CD!or ser completa aplicamos la frmula general#

*unque da dos soluciones, slo la primera ' C> es vlida, ' CA9 no nos valepues las edades no pueden ser negativas!or tanto el hi%o tiene 3aLosy el padre '3 aLos-@& !ara vallar una 6nca rectangular de G=Dm/se han utili(ado 11Dm decerca 4alcular las dimensiones de la cerca)olucinLlamamos 1 a la &ase del rectngulo, e = la altura4omo la super6cie es el producto de la &ase por la altura, entonces 1 &=80@El permetro es la suma de los 9 lados#.1 .= 8--@

Es decir tenemos el sistema -e la primera ecuacin setiene y CG=DI')ustituyendo en la segunda#

/'/B1=DD C11D ' /'/A11D' B1=DDCD

-e donde0os da dos soluciones#)i la &ase es ' C'D la altura es = 8 G=DI8D C.0)i la &ase es ' C ..0 la altura es = 8G=DI//,=C1DDI8C '''''*m&as vlidas!ro&lemas propuestos-& 3n gaviln se cru(a en vuelo con lo que parece un centenar de palomas!ero una de ellas lo saca de su error#A 0o somos cien Ale diceA )i sumamos las que somos, ms tantas como lasque somos, ms la mitad de las que somos, y la mitad de la mitad de lasque somos, en es caso, contigo, gaviln, seramos cienT4untas palomas ha&a en la &andadaU

8D


31/123

.& El permetro de un %ardn rectangular es de >H m )i el lado mayor mide1D m ms que el lado menor T4unto miden los lados del %ardnU'& "alla dos n@meros positivos cuya suma es /D y la suma de sus cuadrados/=D/& 3n ciclista sale por una carretera a 1=Jm I h Media hora despu.s saleotro en su persecucin a una velocidad de /DJmIh T4unto tardarn enalcan(arseU0& "alla un n@mero tal que su mitad ms su cuarta parte ms 1, sea igual aln@mero pedido3& En la primera prue&a de una oposicin queda eliminado el GDV de losparticipantes En la segunda queda eliminado el 9DV de los restantes )i eln@mero de personas que apro&aron los dos e'menes fue 8> Tcuntaspersonas se presentaron a la oposicinU& 4alcula tres n@meros sa&iendo que son consecutivos y que su suma esigual al cudruplo del menor& La &ase de un rectngulo es 1Dcm ms larga que la altura )u rea mide>DDm/ 4alcular las dimensiones del rectngulo

C& 3n ciclista sale por una carretera a 1=Jm I h Media hora despu.s saleotro en su persecucin a una velocidad de /DJmIh T4unto tardarn enalcan(arseU-@& El rea de una lmina de plata es 9Hcm/, y su longitud es 9I8 de suanchura "alla su longitud y su anchura--& "alla dos n@meros cuya suma sea /9 y su producto 18=-. "allar tres n@meros impares consecutivos, tales que si al cuadrado delmayor se le restan los cuadrados de los otros dos se o&tiene como resultadoG-'&-os n@meros son tales que el mayor menos la ra( cuadrada del menores // y la suma de los n@meros es 89 T4ules son los n@meros

-/ 3na ca%a mide =cm de altura y de ancho, cinco cm ms que de largo)u volumen es 1=DDcm8 4alcular la longitud y la anchura-0& La diagonal de un rectngulo mide />cm y el permetro >Hcm "allar loslados del rectngulo

Los lados de un tringulo *W?W4W miden el do&le que los de *?4 )i lasuper6cie del primero es 1H dm/, Tcul ser la super6cie del segundoU/ La ra(n de las reas de dos polgonos seme%antes es /=I9 T4ul es lara(n de sus ladosU)olucinLa ra(n de las reas es el cuadrado de la ra(n de seme%an(a de los lados,

por tanto, le de los lados e =IG8 -os ciudades que en la realidad estn a DDJm, aparecen en el mapaseparadas >cm T* qu. escala se ha di&u%ado el mapaU9 4alcula la distancia a que se encuentran / ciudades si en el plano estna 18 cm-atos# escala 1# 1HDDDDD= 4alcula la altura de la pirmide sa&iendo que la som&ra que proyecta esde 1H m y que la som&ra que proyecta +ales es de D,=m 0ota +ales mide1,GD m

81


32/123

!or la seme%an(a de los tringulos

h C >1,/m

> La som&ra de un lpi( de1Dcm en un determinado momento es de /=cmT4ul ser en ese momento la som&ra de una torre de 9DmU

G 4alcula la profundidad de un po(o de dimetro / metros, sa&iendo queale%ndose D,Gm del &orde, desde una altura de 1,GDm vemos que la visualune el &orde del po(o con la lnea del fondoH 4lculo de la altura del r&ol de las 6guras -atos# a; longitud de laestaca :a&; 1,8 metros &; *ltura del hom&re 1,HDm

a;1m 8m

&;= 1 -i&u%a un ngulo de 9D y calcula sus ra(ones trigonom.tricas

8/


33/123

1D 4alcula las ra(ones trigonom.tricas del ngulo de >D)olucin-i&u%amos un tringulo equiltero, de lado 1,

La altura, h, por el teorema de !itgoras, vale

!or lo tanto# , K

11 4alcula, de dos formas diferentes, el seno de

?

1/ )a&iendo que sen 8D C1I/ calcula, ra(onadamente, lo que vale el cos>D

18 )a&iendo que tg >D C calcula tg 8D

19 )a&iendo que , y agudo calcula las restantes ra(onestrigonom.tricas)olucin)ustituyendo el valor del coseno en la frmula fundamental de la

+rigonometra#

, de donde CD,1

1= 4alcula las ra(ones trigonom.tricas del ngulo agudo conociendo#

a; K &; K c; K

88


34/123

1> 4alcula la altura, el lado desconocido y elrea )olucin)e tiene 1D

CD,GDG h 8@ y

C1 ' 1=A'G,DGC 1=A' ' C G,8 , !or + !itgoras# 1=

y/ C'/B h/C >/,HHB9,HC11/,H> = 8 -@3. A82-0&@,H.80'.0 u&s&1G "allar el rea y los ngulos del tringulo de lados =, G y 1D1H1N4alcula la altura del r&ol sa&iendo que el ngulo *-4 es de 8D , el*4? 9= y la distancia 4- C/m :pro&lema de las tangentes;

Llamamos *? Ch

CD,=G h C D,=G?-

C1 h C ?4 4omo ?- C ?4 B/ se tiene D,=G:?4 B/; C ?4 y despe%ando

?4 C /,>= m

1 Epi y ?las ven pasar un avin con ngulos respectivos de 8D y 9=S )i ladistancia que les separa es de /Jm, calcula la altura a que vuela el avin entodos los casos posi&les

/D 4alcula la altura de un semforo, sa&iendo que desde un cierto punto *,se ve &a%o un ngulo de >D y si nos ale%amos 9D metros se ve &a%o unngulo de 8D

89
http://carmesimatematic.webcindario.com/geometria4.htm#_ftn1http://carmesimatematic.webcindario.com/geometria4.htm#_ftn1


35/123

/1 3na antena de radio est su%etaal suelo con dos ca&les de acero tirantes, como se indica en la 6gura4alcula#a; La altura de la torre&; La longitud de los ca&les

// La distancia de un &arco a un faro es de 18G m , y a la orilla /11m Elngulo &a%o el cual se ve desde el &arco el segmento cuyos e'tremos son elfaro y la orilla es de 98 T$u. distancia hay entre el faro y la orillaU

18G m

sen 98 ChI18G 98

h C 18Gsen 98C8,98 m h ' cos 98 C 'I18G y /11 m

' C 18Gcos 98 C1DD,/D

8=


36/123

/11A1DD,/DC11D,HDm

*plicando el + !itgoras

y/C 8,98/B11D,HD/ C /1DD=,1H

= 8 -//C'm

.'& -os &arcos salen de un puerto con rum&os distintos formando unngulo de =9, y con velocidades de /1 y /9 millasIh, respectivamente T*qu. distancia se encontrarn al ca&o de una horaU

De nici


37/123

)rado

El >rado de un monomio e s l a suma de todos l os

e'ponentes de las letras o varia&les

El grado de /' / y8 ( es# / B 8 B 1 C >

Monomios seme9antes

-os monomios son seme9antes cuando t ienen la

misma :arte literal

/'/ y8 ( es seme%ante a =' / y8 (

O:eraciones con monomios

Suma de monomios

)lo podemos sumar monomios seme9antes

(a suma de los monomios es otro monomio ue

tiene la misma :arte l iteral = cu=o coeciente es la

suma de los coe cientes&

a1n 51n 8 2a 5,1 n

/'/ y8 ( B 8'/y8 ( C ='/y8 (

)i l os monomios no son seme9antes se o&t iene un

:olinomio

/'/ y8 B 8'/ y8 (

8G


38/123

Producto de un nmero :or un monomio

El :roducto de un nmero :or un monomio es otro

monomio seme9ante cuyo coeciente es el :roductodel coeciente de monomio :or el nmero

= X :/'/y8 (; C 1D'/ y8 (

Multi:licaciual que e l >rado de la var ia&le correspondiente de l

di#isor

La di#isia la misma 5ase&

a1n? 51m8 2a ? 5,1 n Q m

8H


39/123

)i e l >rado del di# isor es ma=or , o&tenemos una

;raccie5raica

Potencia de un monomio

!ara rea l i(ar la :otencia de un monomio se e leva,

cada elemento de .ste, al e'ponente de la potencia

2a1n,m8 am 1n m

:/'8;8 C /8:'8;8C H'

:A8'/ ;8 C :A8; 8 :'/ ;8 C Y/G'>

E9ercicios resueltos de monomios

- nd ica cua les de las s iguientes e'presiones son

monomios En caso a6 rmativo, indica su >rado y

coeciente

-8'8

Grado del monomio # ' , coe;eciente# '

.='Y 8

No es un monomio, porque e l e'ponente no es un

n@mero natural

'8' B 1

No es un monomio, porque hay una suma

8


40/123

/

Grado del monomio # - , coefeciente#

0

Grado del monomio # / , coefeciente#

3

No es un monomio, porque no ti ene e'ponente

natural

No es un monomio, porque la parte literal est dentro

de una ra(

. eali(a las sumas y restas de monomios

-/'/ y8 ( B 8'/ y8 ( C 01.=' $

./'8 Y ='8 C Q'1'

'8'9 Y /'9 B G'9 C 1/

// a/ & c8 Y =a/ & c8 B 8a/ & c 8Y / a/ & c 8C Q. a. 5

c'

' Efect@a los :roductos de monomios

9D


41/123

-:/'8 ; X :='8; C -@13

.:1/'8; X :9'; C /1/

'= X :/'/ y8 (; C -@1. =' $

/:='/ y8 (; X :/ y/(/; C -@ 1.=0 $'

0:1H'8 y/(= ; X :>'8 y ( / ; C -@13='$

3:Y/'8 ; X :Y=' ; X :Y8' / ; C Q'@13

/ eali(a las di#isiones de monomios

-:1/'8; # :9'; C '1.

.:1H'> y/(=; # :>'8 y (/ ; C '1' = $'

':8> '8

yG

(9 ;

# :1/'/

y/

; C '1=0

$/

/

0 /1'= '1 .=.Q 1

3

0 4alcula las :otencias de los monomios

-:/'8 ;8 C /8:'8;8 C 1C

.:A8'/;8 C :A8;8 :'8;/ C Q.13

91


42/123

'

De nici


43/123

(olinomio de tercer grado

!:'; C '8 Y /'/B 8' B /

(olinomio de cuarto grado

!:'; C '9 B '8 Y /'/B 8' B /

lases de :olinomios

Polinomio nulo

El :olinomio nulo t iene todos sus coecientes

nulos

Polinomio homo>"neo

El :olinomio homo>"neo t iene todos sus t"rminosomonomioscon el mismo >rado

!:'; C /'/ B 8'y

Polinomio hetero>"neo

Los t"rminos d e un :olinomio hetero>"neo son de

distinto >rado

!:'; C /'8 B 8'/ Y 8

Polinomio com:leto

3n :olinomio com:leto t i en e todos los t"rminos

desde el t.rmino independiente hasta el t.rmino de mayor

grado

98


44/123

!:'; C /'8 B 8'/ B =' Y 8

Polinomio ordenado

3n :olinomio est ordenado s i los monomios que lo

forman estn escritos de ma=or a menor >rado

!:'; C /'8 B =' Y 8

Polinomios i>uales

-os polinomios son iguales si veri6 can#

-Los dos polinomios t ienen el mismo >rado

.Los coecientes de los t.rminos de l mismo grado

son i>uales

!:'; C /'8 B =' Y 8

$:'; C =' Y 8 B /'8

Polinomios seme9antes

-os polinomios son seme%antes si veri6can que t ienen

la misma :arte literal&

!:'; C /'8 B =' Y 8

$:'; C ='8 Y /' Y G

99


45/123

Ti:os de :olinomios se>n el nmero de t"rminos

Monomio

Es un :olinomioque consta de un slo monomio

!:'; C /'/

Binomio

Es un :olinomioque consta de dos monomios

!:'; C /'/ B 8'

Trinomio

Es un :olinomioque consta de tres monomios

!:'; C /'/ B 8' B =

Valor num"rico de un :olinomio

Es el resultado que o&tenemos al sustituir la varia&le

' por un n@mero cualquiera

!:'; C /'8 B =' Y 8 K ' C 1

!:1; C / X 1 8 B = X 1 Y 8 C / B = Y 8 C 9

9=


46/123

E9ercicios resueltos de :olinomios

- - i s i las s igu ientes e'pres iones a lge&raicas son

pol inomios o no En caso a6rmativo , seala cu l es sugrado y t.rmino independiente

-'9 Y 8'= B /'/ B =

Zrado# =, t.rmino independiente# =

. B G[/ B /

0 o, p orq ue l a p art e l ite ral de l p ri mer

monomio est dentro de una ra(

'1 Y '9

Zrado# 9, t.rmino independiente# 1

/

0o, porque e l e'ponente del p rimer

monomio no es un n@mero natural

0'8 B '= B '/

Zrado# =, t.rmino independiente# D

3' Y / 'Y 8 B H

0o, porque e l e'ponente del /

monomio no es un n@mero natural

9>


47/123

Zrado# 8, t.rmino

independiente# AGI/

. Escri&e#

-3n pol inomio ordenado s in t.rmino

independiente

8'9 Y /'

.3n polinomio no ordenado y

completo

8' Y '/ B = Y /' 8

'3n pol inomio completo sin

t.rmino independiente

mposi&le

/3n polinomio de grado 9,

completo y con coe6 cientes impares

'9Y '8 Y ' /B 8' B =

Suma de :olinomios

Para sumar dos :olinomios se suman los

coe cientes de los t"rminos del mismo >rado&

!:'; C /'8 B =' A 8 $:'; C 9' A 8'/ B /'8

-Ordenamos los :olinomios, s i no lo estn

$:'; C /' 8 A 8'/ B 9'

9G


48/123

!:'; B $:'; C :/' 8 B =' A 8; B :/' 8 A 8'/ B 9';

.A>ru:amos los monomiosdel mismo >rado

!:'; B $:'; C /' 8 B /'8 A 8 '/ B =' B 9' A 8

'Sumamos los monomios seme9antes

!:'; B $:'; C 9' 8A 8'/ B ' A 8

Resta de :olinomios

(a resta de :ol inomios consiste e n sumar e l

o:uesto del sustraendo

!:'; Y $:'; C :/' 8B =' A 8; Y :/'8 A 8'/B 9';

!:'; Y $:'; C /' 8 B =' A 8 Y /'8B 8'/ Y 9'

!:'; Y $:'; C /' 8 Y /'8 B 8'/ B ='Y 9' A 8

!:'; Y $:'; C 8' / B ' A 8

Multi:licaci

9H


49/123

Multi:licaci'= A '9B 1/'8 A >'/

Multi:licaciundo :olinomio&

!:'; X $:'; C :/' /A 8; X :/'8 A 8'/ B 9'; C

C 9'= Y >'9 B H'8 Y >'8 B '/ Y 1/' C

Se suman los monomios del mismo >rado&

C 9'= Y >'9 B /'8 B '/ Y 1/'

Se o5tiene otro :olinomio cu=o >rado es la suma

de los >rados de los :olinomios ue se multi:lican&

+am&i.n podemos multi:l icar :olinomios de

siguiente modo#

9


50/123

Di#isi


51/123

!rocedemos igual que antes

='8 # '/ C = '

Qolvemos a hacer las mismas operaciones

H'/ # '/ C H

-@1 Q 3 es e l resto , porque su >rado es menor ue

el de l di #i so r y por tanto no se puede continuar

dividiendo

1'.1. 01 es el cociente

=1


52/123

Di#isi


53/123

Re:etimos el :roceso anterior&

Qolvemos a repetir e l proceso

Qolvemos a repeti r

El ltimo nmero o5tenido , 03 , es el resto

CEl cociente es un :olinomio de >rado in;erior en

una unidad al di#idendo = cu=os coe cientes son los

ue hemos o5tenido&

1' ' 1. 31 -

E9ercicios = :ro5lemas resueltos de :olinomios

--ados los polinomios#

!:'; C 9'/ Y 1

$:'; C ' 8Y 8'/B >' Y /

=8


54/123

:'; C >' / B ' B 1

):'; C 1I/'/ B 9

+:'; C 8I/'/ B=

3:'; C ' / B /

4alcular#

-!:'; B $ :'; C

C :9'/

Y 1; B : '8

Y 8'/

B >' Y /; C

C '8 Y 8'/ B 9'/B >' Y / Y 1 C

C1' 1. 31 Q '

.!:'; Y 3 :'; C

C :9'/ Y 1; Y :'/ B /; C

C 9'/ Y 1 Y ' / Y / C

C '1.Q '

'!:'; B :'; C

C :9'/ Y 1; B :>' /B ' B 1; C

C 9'/ B >'/ B ' Y 1 B 1 C

C -@1. 1

//!:'; Y :'; C

C /:9'/ Y 1; A :>'/ B ' B 1; C

C H'/ Y / Y >' / Y ' Y 1 C

=9


55/123

C .1.Q 1 Q '

0):'; B :'; B 3:'; C

C :1I/ '/ B 9 ; B :8I/ '/ B= ; B :' / B /; C

C 1I/ '/ B 8I/ '/ B '/ B 9 B =B / C

C '1. --

3):'; Y :'; B 3:'; C

C :1I/ '/

B 9 ; Y :8I/ '/

B= ; B :'/

B /; C

C 1I/ '/ B 9 Y 8I/ '/ Y = B ' / B / C

C -

.-ados los polinomios#

!:'; C '9 Y/'/ Y >' Y 1

$:'; C ' 8Y >'/B 9

:'; C /' 9 Y/ ' Y /

4alcular#

!:'; B $:'; Y :'; C

C :'9 Y/'/Y >' Y 1; B :' 8 Y >'/B 9; Y : /' 9 Y/ ' Y

/; C

C '9 Y/'/ Y >' Y 1 B ' 8 Y >'/ B 9 Y /'9 B / ' B / C

C '9 Y /'9 B '8 Y/'/ Y >'/ Y >' B / ' Y 1 B 9 B / C

==


56/123

C Q1/ 1'Q 1.Q /1 0

!:'; B / $:'; Y :'; C

C:'9 Y/'/ Y >' Y 1; B /:'8Y >'/ B 9; Y : /' 9Y/ ' Y

/; C

C '9 Y/'/ Y >' Y 1 B/' 8 Y 1/'/ B H Y /' 9 B / ' B / C

C ' 9 Y /'9 B /'8 Y/'/ Y 1/'/ Y >' B / ' Y 1 B H B /

C

C Q1/ .1'Q -/1. Q /1 C

$:';B :'; Y !:';C

C :'8 Y >'/ B 9; B : /' 9 Y/ ' Y /; Y :' 9 Y/'/ Y >' Y

1; C

C '8 Y >'/ B 9 B /'9 Y/ ' Y / Y ' 9 B/'/ B >' B 1C

C /'9 Y '9 B '8 Y >'/ B/'/ Y/ ' B >' B 9Y / B 1C

C 1/ 1'Q /1. /1 '

-:'9 Y/'/ B/ ; X :'/Y/' B8; C

C ' > Y/'= B 8'9Y /'9B 9'8Y >'/ B /'/Y 9' B>C

C ' > Y/'= Y /'9 B 8'9 B 9'8 B /'/ Y >'/ Y 9' B> C

C1 3 Q.10 1/ /1' Q /1.Q /1 3

. :8'/ Y =' ; X :/'8 B 9'/Y ' B/; C

C >'= B 1/'9 Y 8'8 B >'/ Y 1D'9 Y /D'8 B ='/ Y 1D' C

=>


57/123

C >'= B 1/'9 Y 1D'9 Y 8'8 Y /D'8 B >'/ B ='/ Y 1D' C

C 310 .1/Q .'1' --1.Q -@1

' :/'/ Y =' B >; X :8' 9Y = '8 Y > '/ B 9' Y 8; C

C >'> Y 1D'= Y 1/ '9 B H'8 Y > '/ Y

Y 1='=B /='9B 8D'8Y /D'/B 1=' B

B1H'9 Y 8D'8 Y 8>'/ B /9' Y 1H C

C >'>

Y 1D'=

Y 1='=

Y 1/ '9

B /='9

B 1H'9

B

BH'8 Y 8D'8B 8D'8Y > '/Y /D'/ Y 8>'/ B 1=' B /9' Y

1H C

C313 Q .010 '-1/ 1'Q 3.1. 'C1 Q -

'Di#idir los :olinomios #

-:'9 Y /'8 Y11'/B 8D' Y/D; # :'/ B 8' Y/;

.:' >B ='9 B 8'/ Y /'; # :' / Y ' B 8;

=G


58/123

' !:'; C /'= B /'8 Y' A H $:'; C 8'/Y/ ' B 1

/ Di#idir :or Ru ni #

- :'8B /' BGD; # :'B9;

.:'= Y 8/; # :' Y /;

=H


59/123

21, 8 1/ .1' /1. 1 -3 R8 @

' :'9Y8'/ B/ ; # :' Y8;

21, 8 1'

' 1.

31 - R8 03

Binomio al cuadrado

2a U 5,. 8 a. U . a 5 5.

:' B 8;/C ' /B / X ' X8 B 8 /C ' /B > ' B

:/' Y 8;/

C :/';/

Y / X /' X 8 B 8/

C 9'/

Y 1/ ' B

Suma :or di;erencia

2a 5, 2a Q 5, 8 a .Q 5.

:/' B =; X :/' A =; C :/ ';/Y = / C 9'/Y /=

Binomio al cu5o

2a U 5,' 8 a' U ' a. 5 ' a 5 .U 5'

:' B 8;8C ' 8B 8 X '/ X 8 B 8 X 'X 8 / B 8 8 C

C ' 8 B '/ B /G ' B /G

:/' A 8;8 C :/';8A 8 X :/';/ X8 B 8 X /'X 8/ A 8 8C

=


60/123

C H' 8 A 8> '/ B =9 ' A /G

Trinomio a l cuadrado

2a 5 c, .8 a. 5. c. . a 5 . a c

. 5 c

:'/Y ' B 1;/ C

C :'/;/ B :A';/ B 1 / B/ '/ :A'; B / '/ 1 B / :A';

1C

C '9 B '/ B 1 A /'8B /'/ A /'C

C '9 A /'8 B 8'/ A /' B 1

Suma de cu5os

a' 5'8 2a 5, 2a .Q a5 5 .,

H'8 B /G C :/' B 8; :9'/A >' B ;

Di;erencia de cu5os

a'Q 5'8 2a Q 5, 2a . a5 5 .,

H'

8

Y /G C :/' Y 8; :9'

/

B >' B ;

Producto de dos 5inomios ue tienen un t"rmino comn

21 a, 21 5, 8 1 . 2 a 5, 1 a5

:' B /; :' B 8; C

C '/

B :/ B 8;' B / 8 C

>D


61/123

C '/ B =' B >

E9ercicios resueltos de :roductos nota5les

- Desarrolla los 5inomios al cuadrado&

-:' B =;/ C

C '/ B / X ' X = B =/ C

C 1 . -@ 1 .0

.:/' A =;/C

C :/';/A / X /' X= B =/ C

C /1.7 .@ 1 .0

.:/' A =;/C

C :/';/

A / X /' X= B =/

C

C /1.7 .@ 1 .0

/

.Desarrolla los 5inomios al cu5o&

- :/' A 8;8

C :/';8

A 8 X :/';/

X8 B 8 X /'X 8/

A 88

C

>1


62/123

C H' 8 A 8> '/ B =9 ' A /G

.:' B /;8 C ' 8 B 8 X ' / X/ B 8 X 'X / / B /8 C

C '8 B > '/ B 1/ ' B H

':8' A /;8C :8 ';8 Y 8 X :8';/ X/ B 8 X 8'X / / Y /8 C

C/G' 8 Y =9 '/ B 8> ' Y H

/:/' B =;8 C :/ '; 8 B 8 X:/';/ X= B 8 X /'X = / B = 8C

C H'8

B >D '/

B 1=D ' B 1/=

'Desarrolla las sumas :or di;erencias

-:8' A /; X :8' B /; C

C :8';/

Y //

C

C C1.Q /

.:' B =; X :' Y =; C

C 1.Q .0

':8' A /; X :8' B /; C

C :8';/Y / / C

C C1/Q /

/:8' A =; X :8' A =; C

C :8'; /Y =/ C

C C1 . Q .0

>/


63/123

Teorema del resto

El resto de la di#isi


64/123

Races de un :olinomio

-Los ceros o races de un :olinomio son di#isores

del t"rmino inde:endiente del polinomio

.* cada ra$ del tipo 1 8 a l e corresponde un

5inomiodel t ipo 21 a,

'!odemos e'presa r un :ol inomio en ;actores al

escri&ir lo como :roducto de todos los 5inomios del t ipo

21 a, , que se correspondan a las ra ces, ' C a, que se

o&tengan

'/Y =' B > C :' Y /; X :' Y 8;

/La suma de los e1:onentes de los 5inomios ha de

ser igual al >rado del :olinomio

0+odo :olinomio que no tenga t"rmino

inde:endiente admite como ra( 1 8 @ , l o q u e e s l o

mismo, admite como ;actor 1

'/B ' C ' X :' B 1;

aces# ' C D y ' C Y 1

33n :olinomio se l lama irreduci5le o :rimo cuando

no puede descom:onerse en ;actores

!:'; C '/ B ' B 1

Ejercicio

6al lar las races = descom:oner en ;actores el

:olinomio#

>9


65/123

$:'; C ' /Y ' Y >

Los div isores del t.rmino independiente son ]1, ]/,

]8

$:1; C 1 / Y 1 Y > ^ D

$:Y1; C :Y1;/ Y :Y1; Y > ^ D

$:/; C / / Y / Y > ^ D

$:Y/; C :Y/;/ Y :Y/; Y > C 9 B/ A > C D

$:8; C 8 / Y 8 Y > C Y 8 Y > CD

Las races son# 18 7. = 1 8 '&

21, 8 21 . , 21 Q ' ,

1Factor comn de un :olinomio

E1traer ;actor comn a un :olinomio consiste en

aplicar la :ro:iedad distri5uti#a

a 1 5 1 c 1 8 1 2a 5 c,

3na ra$ del :olinomio ser siempre 1 8 @

,escomponer en factores sacando factor com-n y

&allar las races de*

-1' 1.8 1. 21 -,

La races son# ' C D y ' C Y 1

. .1/ /1.8 .1. 21. .,

>=


66/123

)lo t iene una ra$[ C DK ya que el polinomio, ' / B /,

no t iene ning@n valor que lo anuleK de&ido a que a l estar

la ' a l cuadrado s iempre dar un n@mero pos it ivo, por

tanto es irreduci&le

' 1.Q a1 Q 51 a5 8 1 21 Q a, Q 5 21 Q a, 8 21 Q

a, 21 Q 5,

La races son 'C a y ' C &

/I>ualdad nota5le

1Di;erencia de cuadrados

!na di;erencia de cuadrados es i>ual a suma :or

di;erencia&

a.Q 5.8 2a 5, 2a Q 5,

,escomponer en factores y &allar las races

-1.Q / 8 2+ ., 2+ Q .,

(as races son + 8 Q . = + 8 .

.1/ Q -3 8 21. /, 21. Q /, 8 2+ ., 2+ Q .,

21. /,

(as races son + 8 Q . = + 8 .

>>


67/123

/Trinomio cuadrado :er;ecto

!n t rinomio cuadrado :er ;ecto es i>ual a un

5inomio al cuadrado&

a.U . a 5 5. 8 2a U 5, .

,escomponer en factores los tr inomio cuadrados

perfectos y &allar sus races

(a ra$ es 1 8 Q '&

(a ra$ es 1 8 .&

8Trinomio de se>undo >rado

!ara descom:oner en ;actores e l t rinomio de

se>undo >rado !:'; C a ' /B &' Bc , se i>uala a cero =

se resuel#e la ecuacirado )i las soluciones a

la ecuacin son ' 1 y '/ , el polinomio descompuesto ser#

a 1.

51 c 8 a 21 71- , 21 71. ,

>G


68/123

,escomponer en factores los trinomios de segundo

grado y &allar sus races

(as races son 1 8 ' = 1 8 .&

(as races son 1 8 ' = 1 8 Q .&

,escomponer en factores los trinomios de cuarto

grado de e/ponentes pares y &allar sus races

'9Y 1D'/B

'/C t

>H


69/123

'9Y 1D'/B C D

t/ Y 1Dt B C D

1/ Q -@1. C 8 21 -, 21 Q -, 21 ', 21 Q ',

'9Y /'/B 8

'/C t

t/ Y /t B 8 C D

'9Y /'/B 8 C :'/ B 1; X :' B ; X :' Y ;

>


70/123

9 Factori$acirado su:erior a dos

!ti li $amos e l teorema del resto = la re> la de

Ru ni&

,escomposicin de un polinomio de grado superior

a dos y c0lculo de sus races

!:'; C /'9 B '8 Y H'/ Y ' B >

-Tomamos los di#isores del t"rmino

inde:endiente?]1, ]/, ]8

.*plicando el teorema del resto sa&remos para que

valores la divisin es e'acta

!:1; C / X 19 B 1 8 Y H X 1 /Y 1 B > C / B 1Y H Y 1 B >

C D

'Di#idimos :or Ru ni

/Por ser la di#isi ;

3na ra( es ' C 1

4ont inuamos rea li(ando las mismas operac iones a l

segundo factor

Qo lvemos a p ro&a r por 1 porque e l p rimer f ac to r

podra estar elevado al cuadrado

GD


71/123

!:1; C / X 1 8 B 8 X 1 /Y = 1 Y >^ D

!:Y1; C / X :Y 1; 8 B 8 X:Y 1;/Y = X :Y 1; Y >C Y/ B 8

B = Y > C D

:' Y1; X :' B1; X :/'/ B' Y>;

2tra ra( es ' C A1

E l tercer factor lo podemos encontrar aplicando la

ecuac in de / grado o tal como ven imos hac i.ndolo ,

a unque t iene e l i nconvenien te de que slo podemos

encontrar races enteras

El 1 lo descartamos y seguimos pro&ando por Y 1

!:Y1; C / X :Y1; / B :Y1; Y > ^ D

!:/; C / X / / B / Y > ^ D

!:Y/; C / X :Y/; / B :Y/; Y > C / X 9 Y / Y > C D

:' Y1; X :' B1; X :' B/; X :/' Y8 ;

)acamos ;actor comn / en @lt imo &inomio

/' Y8 C / :' Y 8I/;

La ;actori$aci


72/123

P21, 8 .1 / 1' Q 1. Q 1 3 8 . 21 Q-, 21 -,

21 ., 21 Q 'H.,

(as races son ? 1 8 - 1 8 Q - 1 8 Q. = 1 8 'H.

E9ercicios resueltos de ;actori$aci '/B ; C

8 '1 21 . Q ',.

//'8 Y =D' C

C/' X :'/ Y /= ; C

.1 21 0, 21 7 0,

0/'= Y 8/' C

G/


73/123

C /' X :'9 Y 1> ; C

/' X :'/B 9; X :'/ Y 9; C

8 .1 21 . /, 21 ., 21 Q .,

3/'/ B ' Y /H

/'/ B ' Y /H C D

/'/ B ' Y /H C . 21 /, 21 Q H.,

,escomponer en factores los polinomios

-

.'y Y /' Y 8y B> C

C ' X :y Y /; Y 8 X :y Y /; C

C 21 Q ', 2= Q .,

'/='/ Y 1C

C 201 -, 201 Q -,

/8>'> Y 9 C

G8


74/123

C 231' , 231'Q ,

0'/ Y /' B1 C

C 21 Q -,.

3'/ Y >' B C

C 21 Q ',.

'/ Y /D' B1DD C

C 21 Q -@,.

'/ B 1D' B/= C

C 21 0,.

C'/ B 19' B9 C

C 21 ,.

-@'8 Y 9'/B 9' C

C ' X :' / Y 9' B9; C

C1 21 Q .,.

--8'G Y /G' C

C 8' X :'> Y ; C

C '1 21' ', 21 'Q ',

-.'/ Y 11' B 8D

'/Y 11' B 8D C D

G9


75/123

'/Y 11' B 8D C 21 Q3, 21 Q0,

-'8'/ B 1D' B8

8'/ B 1D' B8 C D

8'/ B 1D' B8 C ' 21 Q ', 21 Q -H',

-//'/ Y ' Y1

/'/ Y ' Y1 C D

/'/ Y ' Y1 C . 21 Q -, 21 -H.,

Factorizar y &allar las races de los polinomios

- .1'Q 1. 1 Q '

!:1; C / X 1 8 Y G X 1 /B H X 1 Y 8 C D

G=


76/123

:' Y1 ; X :/' /Y =' B 8 ;

!:1; C / X 1 / Y= X 1 B 8 C D

:' Y1 ;/X :/' Y8 ; C . 21 Q 'H. , 21 Q- ,.

(as races son? 1 8 'H. = 1 8 -

.1' Q 1.Q /

_]1, ]/, ]9 `

!:1; C 1 8 Y 1 / Y 9 ^ D

!:Y1; C :Y1; 8 Y :Y1; / Y 9 ^ D

!:/; C / 8 Y / / Y 9 C H Y 9 Y 9 C D

:' Y /; X :' /B ' B / ;

'/B ' B / C D

G>


77/123

:' Y /; X :' /B ' B / ;

a(# 1 8 .&

'1' '1. Q/ 1 Q -.

_]1, ]/, ]8, ]9, ]>, ]1/ `

!:1; C 18 B 8 X 1 /Y 9 X 1 Y 1/ ^ D

!:Y1; C :Y1;8 B 8 X :Y1;/ Y 9 X :Y1; Y 1/ ^ D

!:/; C /8 B 8 X / /Y 9 X / Y 1/ C H B 1/ Y H Y 1/ C D

:' Y /; X :' / B =' B>;

'/B =' B> C D

:' Y /; X:' B /; X:' B8;

Las races son # 1 8 . 1 8 Q . 1 8 Q '&

/31' 1. Q C1 .

_]1, ]/`

GG


78/123

!:1; C > X 1 8 B G X 1 / Y X 1 B / ^ D

!:Y1; C > X :Y1; 8 B G X :Y1; / Y X :Y1; B / ^ D

!:/; C > X / 8 B G X / / Y X / B / ^ D

!:Y/; C > X :Y/; 8 B G X :Y/;/ Y X :Y/; B / C Y 9H B

/H B 1H B / C D

:'B/; X :>'/ Y=' B1;

>'/ Y=' B1 C D

3 21 ., 21 Q -H., 21 Q -H',

Races? 1 8 Q . 1 8 -H. = 18 -H'

!na ;raccie5ra ica es e l coc iente de dos

:olinomios y se representa por#

Fracciones al>e5raicas eui#alentes

Dos ;racciones al>e5raicas

GH


79/123

son eui#alentes , y lo representamos por#

si se veri6 ca que P21, S21, 8 21, R21,

son ;racciones al>e5raicas eui#alentes porque#

:' B /; X :' Y /; C ' / Y 9

-ada una ;raccie5raica , si multi:licamos el

numerador y el denominadorde d icha f racc in por un

mismo :olinomiodist into de cero, la ;raccie5raica

resultante es eui#alentea la dada

Sim:li cacie5raicas

!ara sim:licar u n a ;raccie5raica se di#ide

el numerador y el denominador de la f racc in por un

:olinomioque sea factor com@n de am&os

G


80/123

Am:li cacie5raicas

!ara am:licar una ;raccie5ra ica se

multi:lica el numerador y el denominador de l afraccin por un :olinomio

Reduccie5raicas a comn

denominador

-)e descom:onen l o s denominadores en ;actores

para ha l la rles e l mnimo comn mlti:lo, que se r e l

com@n denominador

'/Y 1 C :'B1; X :' Y 1;

'/B 8' B / C :'B1; X :' B /;

mcm:' / Y 1, ' / B 8' B /; C :'B 1; X :' Y 1; X :' B /;

.Di#idimos el comn denominador en tre l os

denominadores de las f racciones dadas y e l resultado lo

multi:licamospor el numerador correspondiente

HD


81/123

O:eraciones con ;racciones al>e5raicas

Suma de ;racciones al>e5raicas

Con el mismo denomiminador

Con distinto denomiminador

En primer lugar se ponen las ;racciones al>e5raicas

a comn denominador, pos te ri ormente se suman los

numeradores

H1


82/123

Multi:licacie5raicas

H/


83/123

Di#isie5raicas

E9ercicios resueltos de ;racciones al>e5raicas

-Sim:li car las ;racciones al>e5raicas

-

H8


84/123

.

'

/

0

H9


85/123

.Suma las ;racciones al>e5raicas

'Resta las ;racciones al>e5raicas

H=


86/123

/Multi:lica las ;racciones al>e5raicas

-

.

H>


87/123

O:era

0E;ecta las o:eraciones

HG


88/123

3Reali$a las o:eraciones

3na ecuaciualdad que se cumple para

algunos valores de las letras

' B 1 C / ' C 1

Elementos de una ecuaci


89/123

"ncgnitas

La incnita de una ecuacirado de una ecuaciradosde los monomiosque forman sus miem5ros

Ecuaciones eui#alentes

Dos ecuac iones son eui#alentes s i t ienen la

misma soluci


90/123

/' Y 8 C 8' B / ' C Y=

' B 8 C Y/ ' C Y=

riterios de eui#alencia de ecuaciones

-& Si a los dos miem5ros de una ecuaci


91/123

lases de ecuaciones

-& Ecuaciones :olin


92/123

-&-&' Ecuaciones de tercer >rado

)on ecuaciones del t ipo a1' 51. c1 d 8 @ , con

a ^ D

-&-&/ Ecuaciones de cuarto >rado

)on ecuaciones del t ipo a1/ 51' c1. d1 e 8

@ , con a ^ D

Ecuaciones bicuadradas

)on ecuaciones de cuarto grado que no t iene t.rminos

de grado impar

a1/ 51. c 8 @ , con a ^ D

-&-&0 Ecuaciones de >rado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma#

a-1n a.1n 7 - a'1n 7. &&& a @8 @

-&.& Ecuaciones :olin


93/123

-&'& Ecuaciones :olin


94/123

.&' Ecuaciones tri>onom"tricas

) on l as e cu aci on es en l as q ue l a in c gn it a es t

afectada por una funcin tr igonom.tr ica 4omo .stas son

peridicas, ha&r por lo general in6 nitas soluciones

Las ecuaciones lineales o de :rimer >rado son del

t ipo a1 5 8 @ , con a ^ D, cualquier otra ecuacin en

la que a l operar , t rasponer t.rminos y s impl i6 car adopten

esa e'presin

Resoluci


95/123

E9em:los de ecuaciones lineales

-espe%amos la incgnita#

*grupamos los t.rminos seme%antes y los

independientes, y sumamos#

$uitamos par.ntesis#

*grupamos t.rminos y sumamos#


$uitamos denominadores , para e l lo en primer lugar

hallamos el mnimo com@n m@ltiplo

=


96/123

$ui ta mos par.ntes is , a gr upamos y sumamos l os

t.rminos seme%antes#


$uitamos par.ntesis y simpli6 camos#

$uitamos denominadores, agrupamos y sumamos los

t.rminos seme%antes#

$uitamos corchete#


>


97/123

$uitamos denominadores#


*grupamos t.rminos#

)umamos#

-ividimos los dos miem&ros por# Y

E9ercicios de ecuaciones lineales

-&

.&

G


98/123

'&

/&

H


99/123

0&

3&


100/123

&

&

C&

1DD


101/123

!ara reali(ar un :ro5lemas de ecuaciones en primer

lugar lo tenemos que e'presar en len>ua9e al>e5rico y

posteriormente resolver la ecuacin resultante

E1:resiones al>e5raicas comunes

El do5le o du:lo de un n@mero# .1

El tri:le de un n@mero# '1

El cudru:lode un n@mero# /1

La mitadde un n@mero# 1H.&

3n tercio de un n@mero# 1H'&

3n cuartode un n@mero# 1H/&

3n n @mero es :ro:orcional a / , 8, 9 , # .1 '1

/1&&

3n n@mero al cuadrado # 1.

3n n@mero al cu5o # 1'

-os n@meros consecuti#os # 1 y 1 -&

-os n@meros consecuti#os :ares # .1 y .1 .&

-os n@meros consecuti#os im:ares # .1 - y .1

'

1D1


102/123

Descom:oner /9 en dos :artes # 1 y ./ Q 1&

La suma de dos n@meros es /9# 1 y ./ Q 1&

La di;erenciade dos n@meros es /9# 1 y ./ 1&

El :roducto de dos n@meros es /9# 1 y ./H1&

El cociente de dos n@meros es /9K 1 y ./ 1&

Pro5lemas de m


103/123

-El t iempo que tardarn en encontrarse

Dt B >Dt C 8DD 1=Dt C 8DD t 8 . horas

.La hora del encuentro

)e encontraran a las -- de la maLana

'La distancia recorr ida por cada uno

e * ? C D X / C -@ Wm

e ?4 C >D X / C -.@ Wm

.o caso

(os mD JmIh )e pide#

- El t iempo que tardarn en encontrarse

Dt Y >Dt C 1HD 8Dt C 1HD t 8 3 horas

. La hora del encuentro

)e encontraran a las ' de la tarde

1D8


104/123

' La distancia recorrida por cada uno

e * ? C D X > C 0/@ Wm

e ?4 C >D X > C '3@ Wm

'e r caso

(os mD Y8Dt C Y8>D t 8 -. horas

. La distancia a la que se produce el encuentro

e 1 C D X 1/ C -@@ Wm

Pro5lemas de >ri;os

En una hora el pr imer gr ifo l lena -Ht-del depsito

En una hora el segundo grifo l lena -Ht. del depsito

1D9


105/123

)i e'iste un desage

En una hora el desage vacia -Ht'del depsito

En una hora los dos grifos %untos ha&rn l lenado#

)in desage

4on desage

3n gr i fo tarda en l lenar un depsito tres horas y otro

g ri fo t arda en l lena rl o cua tro hor as T4unto t iempo

tardarn en l lenar los dos grifos %untos el depsitoU

En una hora el pr imer gr ifo l lena 1I8 del depsito

En una hora el segundo grifo l lena 1I9 del depsito

En una hora los dos grifos %untos ha&rn l lenado#

G' C 1/ 1 8 -.H horas

1D=


106/123

Pro5lemas de me$clas

- 1S cantidad - 8 1

. /S cantidad . 8 m 7 1

m 4antidad de la me(clam8 - .

P- !recio de la 1S cantidad

P. !recio de la /S cantidad

Pm !recio de la me(cla

- P- . P.8 m Pm

+am&i.n podemos poner los datos en una ta&la

antida

d Precio oste

-

sustancia- P- - P-

.

sustancia. P. . P.

Me$cla - . P- P- .

P.

- P- . P.8 2- ., Pm

1D>


107/123

3n comerciante t iene dos clases de caf., la pr imera a

9D b el Jg y la segunda a >D b el Jg

T4uantos J i logramos hay que poner de cada clase de

caf. para o&tener >D Ji los de me(cla a =D b el JgU

- clase . clase Total

N de W> 1 3@ Q 1 3@

Valor /@ 1 3@ 23@ Q 1, 3@ 0@

9D' B >D X :>D Y '; C >D X =D

9D' B 8>DD Y >D' C 8DDDK Y >D' B 9D' C 8DDD Y

8>DDK /D' C >DD

' C 8DK >D Y 8D C 8D

Tenemos ue me$clar '@ W> de la - clase = otros

'@ de la . clase&

Pro5lemas de aleaciones

La le= de la aleaci


108/123

)e resue lven de l mismo modo que los pro&lemas de

me(clas, teniendo en cuenta que la le= de la a leaci 1 -@@ Q 1 -@@

Plata

@&0@

1 @ &C0@ 2-@@Q1, @ &C@@ -@@

DG=D X ' B D=D X :1 HDDY'; C D X 1HDD

DG=D ' B 1 G1D Y D=D' C 1 >/D

DG=D' Y D=D' C 1 >/D Y 1 G1D

YD/' C Y D ' C 9=D

1S ley /0@ >

/S ley -'0@ >

Las ecuaciones cuadrticas o de se>undo >radoson las e'presiones de la forma#

1DH


109/123

a1. 51 c 8 @ con a X @ &

!ara resol#er ecuaciones de se>undo > rado

uti l i(amos la siguiente frmula#

Si es aY@ multi:l icamos los dos miem5ros :or

2Q-,&

1D


110/123

Ecuaciones cuadrticas incom:letas

3na ecuaciundo >rado es

incom:leta si alguno de l os coe6 c ientes, & o c, oam&os, son iguales a cero

a1.8 @

(a soluci


111/123

a1. c 8 @

-espe%amos#

Soluciones de la ecuaci


112/123

5.Q /ac Z @

(a ecuac i


113/123

Pro:iedades de las soluciones de la ecuaciones

cuadrticas

(a suma de las soluciones de una ecuac in de

segundo grado es igual a#

El :roducto de las solucionesde una ecuacin de

segundo grado es igual a#

Ecuaci


114/123

Factori$aci


115/123

om:ro5amos la soluci


116/123

!ara resol#er ecuaciones 5icuadradas , efectuamos

el cam&io 1.8 t 1 / 8 t.[ con lo que genera una ecuacin

de segundo grado con la incgnita t#

at. 5t c 8 @

Por cada #alor :ositi#o de t ha5r dos #alores de

1?

El mi smo p ro ce di mi en to p od emos u til i( ar p ara

resolver las ecuaciones del t ipo#

a'> B &'8B c C D

a'H B &'9B c C D

a'1 DB &'= B c C D

11>


117/123

E9ercicios de ecuaciones 5icuadradas

-'9 Y >1'/ B DD C D

11G


118/123

.'9 Y /='/ B 199 C D

''9 Y 1>'/ Y //= C D

E#aluaci


119/123

%esuelva y sustente por C&'AS! los e#ercicios de estos captulos! de acuerdo a la

orientacin del tutor del texto( )atem*ticas +niversitarias de Allendoer,er y los

e#ercicios integrales del material de apoyo aportado por el tutor$

dentro de la gua se encontraran e%ercicios y pro&lemas resueltos que el

estudiante resolver y presentara en un portafolio para ser revisados porel tutor, se har una sociali(acin y correccin de algunos pro&lemaspropuestos al a(ar, se tendr en cuenta una autoevaluacin que cadaestudiante har, una cooevaluacin que le harn los estudiantes delgrupo y una heteroAevaluacin que ser reali(ada por el tutor teniendoen cuenta los aspectos cognitivos, actitudinales y comportaAmentales delestudiante, al igual que las competencias interpretativa, argumentativa yproposicional

Acreditacin del Ncleo Problemico

-a acreditacin de la unidad amerita un traba#o secuencial! individual y por C&'AS

que le permitan al estudiante un desarrollo adecuado de los procesos de

,actoriacin y la solucin de e#ercicios de aplicacin a las ecuaciones lineales y

cuadr*ticas mediante la interpretacin analtica y gr*,ica de sus soluciones$

.uien acredite un nivel mnimo en el mane#o conceptual! operativo y gr*,ico de

estos componentes! avanar* positivamente en el proceso evaluativo tutorial$

A(ENDARIO DE( MOD!(O

2Se de5e denir en semanas de ;orma ue a9uste con el modelo:eda>ico uniminuto 4 en l modalidad de distancia,

30-*- -E*!E0-*E

*4+Q-*-E) -E *!E0-*E )EM*0*

AcuerdoPeda>ico

Presentacia del PI = asi>naci


120/123

des:ara el. de

;e5reroPensamiento =SistemaNum"rico

De manera indi#idual en la distancia elestudiante reali$ar una sntesis de loscontenidos consultados en la 5i5lio>ra;asu>erida resol#er los e9ercicios =:ro5lemas :ro:uestos = en el encuentro:resencial se aclararan las dudas secorre>irn al>unos e9ercicios =:ro5lemas = se e#aluar el :orta;olio

'Del .

de;e5reroal 3 deMar$o

PensamientoVariacional =sistemasal>e5raicos

De manera indi#idual en la distancia elestudiante reali$ar una sntesis de loscontenidos consultados en la 5i5lio>ra;asu>erida resol#er los e9ercicios =:ro5lemas :ro:uestos = en el encuentro

:resencial se aclararan las dudas secorre>irn al>unos e9ercicios =:ro5lemas = se e#aluar el :orta;olio

/del 3 demar$o

al -' demar$o

03

METODO(OGIA

En la educacin a distancia es importante que el estudiante asuma unaestricta responsa&ilidad con sus procesos, condicin que lo lleva a adquirirauto e'igencia con su aprendi(a%e -e&ido a que ese proceso es&sicamente individual y por lo tanto no dispone de la presencia constantedel tutor, el estudiante de&e considerar la capacidad para organi(ar eltiempo de su estudio por si mismo :autodisciplina;, teniendo en cuenta queesta modalidad presenta 7e'i&ilidad en los horarios

La pala&ra m.todo signi6ca camino :odos;, para llegar a un 6n :meta;, en

este sentido el concepto de metodologa integra los m.todos y las t.cnicaspara desarrollar ha&ilidades conducentes a adquirir una competencia

3sted cuenta con Qarios recursos a su disposicin los cuales le ayudaran aalcan(ar la competencia al 6nal de este modulo Ellos son#

Se recomienda leer y consultar como textos complementarios en lo conceptual y

re,erente a aplicaciones! los siguientes(

- Se recomienda leer los captulos / y 0 sobre ecuaciones e inecuaciones lineales

del texto! )atem*ticas +niversitarias de Allendoer,er$

1/D


121/123

- -ectura analtica de los captulo 1 y 2 sobre ecuaciones lineales de las

)atem*ticas Aplicadas a la 3conoma y a la Administracin! de 4agdish C$ Arya5

%obin 6$ -ardner$ 3ditorial 'rentice 7all$ 899/$

- Se recomienda leer los captulos : y / del texto! )atem*ticas Aplicadas a la

Administracin y a la 3conoma 4agdish C$ Arya5 %obin 6$ -ardner$ 3ditorial

'rentice ; 7all$ Tercera edicin$ )xico 8909$

Se recomienda visitar y consultar las direcciones aba#o citadas

http#IIcarmesimatematice&cindariocomIcuadernoactividadescuartohtm

http#IIvitutornetI1I8Hhtml Los con tenidos y t it ul ar idad deldominio corresponden a uan 4ar los Fernnde( Zordi l lo, params informacin so&re #itutor&net puedes consultar la pgina#

http#IIhoisnetIhoisnecgiUdCvitutornettldCcom http#IIeduteJaorgI)oftMath=php )inisterio de 3ducacin


122/123

Zuiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso deaprendi(a%e)uscitar la re7e'in e indagar a los estudiantes so&re su proceso deaprendi(a%eEvaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluacin

sociali(ados al estudiante al plantearse la actividadetroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia enlas fechas acordadas con el tutorLas dudas acad.micas sern atendidas por tel.fono, fa', eAmail ymedios como foros en aulas virtuales

Rol del estudiante

*sumamos que los estudiantes son participantes, honestos ycomprometidos que 4omo tales, son los principales responsa&les de iniciar,dirigir y sostener sus propios procesos de aprendi(a%e 4ada estudiante se

compromete a propiciar las condiciones que est.n a su alcance parama'imi(ar las oportunidades de aprendi(a%e de acuerdo a su conte'to yposi&ilidades -e igual forma se asume que nuestros estudiantes noincurrirn en actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en lasdiversas formas de interaccin, actividades terminales e intermedias )eespera que los estudiantes participen activamente en cada una de lasactividades descritas en la gua de estudio, para ello es necesario tener encuenta que#

El estudiante es el protagonista del proceso de aprendi(a%e, que lolleva a ser mas activo y propositivo, por consiguiente a desarrollar elauto estudio-e&e estar preparado para participar activamente de las actividadesde aprendi(a%e, ha&iendo ledo los contenidos de su te'to de estudioy materiales adicionales relacionados en la gua de estudio-e&e reali(ar las actividades planteadas en la gua de estudio,entregando las evidencias de manera acorde a los planteado en loscriterios de evaluacin, dentro de los tiempos esta&lecidos en lecalendario y &a%o las instrucciones descritas en cada actividadEn las evidencias escritas, de&er sa&er citar las fuentes, es decirusar de&idamente la &i&liografa a 6n de evitar el plagio

Bi5lio>ra;a

http#IIcarmesimatematice&cindariocomIcuadernoactividadescuartohtm

http#IIvitutornetI1I8Hhtml Los con tenidos y t it ul ar idad deldominio corresponden a uan 4ar los Fernnde( Zordi l lo, params informacin so&re #itutor&net puedes consultar la pgina#http#IIhoisnetIhoisnecgiUdCvitutornettldCcom

http#IIeduteJaorgI)oftMath=php )inisterio de 3ducacin


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*llendoerfer, 4 y 2aJley, 4letus 2 Matemticas 3niversitarias 4uarta edicinrevisada Editorial Mc ZraA "ill )antaf. de ?ogot -4 19 4p 9, =, >, G, H,1D y 11

*rya, y Lardner, Matemticas aplicadas a la administracin y a la economa+ercera edicin Editorial !rentice "all 1H captulos 1 al >

)ateriales de apoyo elaborados por el tutor sobre *lgebra b*sica y ecuaciones y sus

aplicaciones$

Sydsaeter ; 7ammond! nut ; )eter 4$( )atem*ticas para el an*lisis econmicoB

'rentice ; 7all! 899/$

Documents

Guía Nº 3 de Fundamentos Matemáticos Pensamiento Variacional