8/18/2019 Guia1_16
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Mecánica Estadı́stica (CF-704) – A ˜ no 2016
Guı́a N◦ 1: Termodin´ amica y estadı́stica, Conjunto
Microcan´ onico, Equipartici´ on.
1. Sea un sistema compuesto de dos sub-sistemas A1
y A2 en contacto térmico. Asumimos ademásque la
pared que separa a ambos sub-sistemas es movible e impenetrable a
las partı́culas.
(a) Defina el macroestado del sistema.
(b) Mediante consideraciones estadı́sticas halle la condición
de equilibrio para tal sistema.
(c) Determine el significado f ́ısico de los parámetros de
equilibrio termodinámico.
(d) Si el intercambio es tal que los tres parámetros
macroscópicos (E , V , N ) son variables, halle
lanueva condición de equilibrio.
2. Asumiendo que la entropı́a S y el número
estadı́stico Ω de un sistema fı́sico está relacionado
através de una forma funcional arbitraria de la forma
S = f (Ω),
muestre que el carácter aditivo de S y el
carácter multiplicativo de Ω necesariamente requiere
quela función f (Ω) sea de la
forma S = k ln Ω.
3. Muestre que el “volumen” de una
hiperesfera d-dimensional de radio R está dado
por
V d(R) = πd/2
Γd2 + 1
Rd
mientras que su “superficie” esS d(R) =
2 πd/2
Γd2
Rd−1Verifique que se obtienen los resultados conocidos
para d = 3, 2 y 1.
Ayuda: puede considerar que∫ ∞
−∞dx e−x
2
d=
∫ . . .
∫ ∞−∞
dx1 . . . d xd e−(x2
1+...+x2
d) y resolver
el lado derecho de esta igualdad en coordenadas esf ́ericas
usando que el elemento de volumen es
dV d = ∏d
i=1 dxi = S d(R) dR
donde S d(R) ∝ Rd−1 y R =
√ x21 + . . . + x
2d.
Recuerde que
I n(α) ≡ ∞
0
dx e−αx2
xn = 1
2 α(n+1)/2 Γ
n + 1
2 , ∀n > −1
4. Gas ideal clásico. Aplicando el formalismo del
conjunto microcanónico, y usando el problema
anterior, calcule:
(a) el volumen del espacio de fases Σ(E ) para
el problema del gas ideal clásico compuesto
de N partı́culas monoatómicas de masa m
confinadas en una caja de volumen V y cuya
energı́a internaestá entre E y
E + ∆ con ∆ ≪ E .(b) Calcule en
el lı́mite termodinámico la entropı́a del gas, las ecuaciones de
estado y el calor es-
pececı́fico cV sin tener en cuenta la
indistinguibilidad de las partı́culas.(c) Corrija el resultado para
la entropı́a obtenida en él ı́tem anterior incluyendo
el factor de cor-
rección de Gibbs N ! en el conteo del número
de estados Σ(E ) y use la aproximación de
Stirling
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ln N ! = N ln N −
N (válida para grandes valores de N ). Este
resultado es conocido como laecuación de Sackur-Tetrode que es
dada por
S (E , V , N ) = N k ln
E 3/2V N −5/2
+ (3/2)Nk
5/3 + ln(4πm/3h2)
.
(d) ¿Modifica esta corrección las ecuaciones de estado?
5. Paradoja de Gibbs.
(a) Un sistema cerrado está formado por dos recipientes de
igual volumen que contienen gases
diferentes, a la misma temperatura y presión. Inicialmente los
recipientes están separados por una
pared, y se realiza en ésta un orificio por el que las
moléculas de ambos gases pueden pasar de un
recipiente al otro, hasta que se alcanza el equilibrio.
Utilizando el resultado obtenido en el ı́tem (a)
del problema anterior, calcule la diferencia de entropı́a entre
el estado inicial y el final.
(b) El resultado obtenido en el ı́tem (a) no se reduce a cero en
el caso particular en que ambos gases
contienen moléculas del mismo tipo, lo que se conoce como
paradoja de Gibbs. Muestre que el
problema se “soluciona” introduciendo en cada multiplicidad un
factor (ad-hoc) 1/N !.
6. Considere un gas ideal extremadamente relativista confinado
en una caja cúbica de lado L, cuyosestados de part́ıcula
simple están caracterizados por las energı́as
ϵ(nx, ny, nz) = hc2L
n2x + n
2y + n
2z
1/2donde nx, ny, nz = 1, 2, 3, . . .
(a) Infieriendo la dependencia formal
de Ω con E , V ,
y N sin calcular explı́citamente Ω(E , V , N
),encuentre la entropı́a y las ecuaciones de estado en el
lı́mite termodinámico.
(b) Muestre que cP /cV = 4/3 y
no 5/3 que corresponde al gas ideal no relativista.
7. Un sistema formado por N partı́culas
indistinguibles se encuentra aislado en equilibrio con
unaenergı́a E . Cada partı́cula puede únicamente
encontrarse en dos posibles estados de energı́a, uno
de valor 0 y otro de valor ϵ > 0.(a) Calcule el
número de estados accesibles al sistema Ω(E ) y la
entropı́a del mismo.(b) Determine el valor de la energı́a para el
que la entropı́a se hace máxima.
(c) Obtenga la relación entre la energı́a del sistema y su
temperatura.
(d) Calcule el calor espećıfico del sistema.
8. Resuelva la integral . . .
0≤∑
i x2i≤R
dx1 . . . dx3N
y úsela para determinar el “volumen” de la región
relevante del espacio de fases de un gas relativista
extremo (E = pc) compuesto
de 3N partı́culas moviéndose en una
dimensión.(a) Halle la densidad de estados y analice el caso
N = 1.(b) Obtenga la ecuación de estado del gas y
halle la forma funcional de la energı́a con la presión.
Nota: La teorı́a de los interiores estelares tiene por objeto
investigar la estructura y evolución de las
estrellas. La Mecánica Estadı́stica juega un rol esencial en
los interiores estelares ya que permite
la obtención de la ecuación de estado que gobierna tales
sistemas.
9. Un sistema consiste de N osciladores de
frecuencia ν . Discutiendo este sistema clásicamente,(a)
Halle el número de estados, y
(b) usando el ı́tem (a) encuentre la relación entre la energı́a
y la temperatura de este sistema.
(c) Analice el resultado encontrado mediante el Teorema de
Equipartición.
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