CUERPO NEGRO 1. Cul es la longitud de onda correspondiente al mximo de radiancia espectral del

cuerpo negro a 300o K? Determinar intensidad de radiacin para esta longitud de onda.

2. Calcular el valor de la radiancia de la luz emitida por la luz del sol cuando la longitud de onda es 602.5 nm.

3. Un cuerpo negro esta a una temperatura de 1000o K Cul es la radiancia en la regin visible de 4000 a 4100 (suponer que R(v) es constante en este intervalo de longitudes de onda)?

4. Suponga que el cuerpo humano puede modelarse como un cuerpo negro. Calcule la radiancia y la frecuencia de mxima intensidad de radiacin a la temperatura normal (36C). En qu porcentaje cambian estos valores cuando una persona est enferma y su temperatura cambia a 40C)

5. Considere que el sol se comporta como un cuerpo, y que se mide su espectro de radiacin obtenindose el valor mximo de intensidad para una longitud de onda max igual a 5100. Cul es la temperatura de la superficie solar? Grafique el espectro de radiacin solar utilizando el modelo de Rayleigh-Jeans y el modelo de Planck. Sabiendo que la radiacin visible tiene un ancho de banda de 3500, centrado en 5700, calcular que fraccin de la potencia total radiada corresponde a la parte visible del espectro.

6. Sabiendo que el dimetro solar mide 1.4x109m, y que la radiacin solar tarda aproximadamente 8 minutos en llegar a la Tierra, calcular la radiacin solar promedio que incide sobre la Tierra.

7. A qu longitud de onda emite el cuerpo humano su radiacin trmica mxima?. Qu hiptesis est suponiendo para dar una respuesta?

8. Por qu el sol se ve amarillo, si como emite en muchas longitudes de onda?. De qu color se ver un cuerpo negro que se encuentra a una temperatura de 9000K?

9. Es compatible el modelo de Rayleigh-Jeans con la Ley de Stefan-Bolzmann? 10. Cul debera ser el orden de magnitud de la constante de Planck para que los

efectos cunticos sean apreciables cotidianamente? Qu significa "que sean apreciables"?

TEORIA CUANTICA 11. Determine: A) La longitud de onda, B) La energa y C) El momento lineal de los

fotones y D) El nmero promedio de fotones emitidos por unidad de tiempo de la estacin que usted acostumbre escuchar. (Si no conoce la potencia de transmisin, considere que sta es de 5x103 W)

12. Cunta energa transporta ub fotn de luz roja? ( = 650 nm)?. (b) Cunto vale su momento lineal?.

INSTITUTO POLITECNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

ACADEMIA DE FISICA MECANICA CUANTICA Y MECANICA ESTADISTICA

13. Cunto vale la longitud de onda de un fotn de 2.4 eV? (d) La intensidad mnima de luz que puede percibir el ojo humano es 10 W/m2, Cuntos fotones por segundo entran en el ojo a esa intensidad?

14. Una estacin de radio emite a una frecuencia de 1 MHz con una potencia total de 5000 W. (a) Cul es la longitud de onda de esta radiacin? (b) Cul es la energa (en eV) de los fotones que componen la radiacin? Cuntos fotones se emiten por segundo? Y por ciclo de oscilacin? (c) Un cierto receptor de radio debe recibir 2 W de potencia de radiacin incidente sobre su antena para proporcionar una recepcin audible. Cuntos fotones de 1 MHz necesita recibir por segundo? Y por ciclo de oscilacin?

EFECTO FOTOELECTRICO

15. Se coloca una placa de potasio (K) muy grande a 1 metro de distancia de una fuente luminosa cuya intensidad es 1 W/m2. Suponga que la energa luminosa viaja en forma de onda plana y se esparce uniformemente sobre la placa desde el punto de vista clsico; supngase, adems, que un electrn perteneciente a la placa recibe la energa, de un rea circular de tamao similar a un radio atmico (~1). La energa necesaria para extraer a un electrn de la superficie del potasio es de ~2.1eV. Cunto tiempo le tomara a este blanco absorber la cantidad de energa necesaria para extraer al electrn?

16. La energa de arranque fotoelctrico del potasio es 2eV. Suponiendo que sobre l incide luz de 3.610-7 m de longitud de onda, hallar: a) el potencial que detiene a los fotoelectrones, b) La energa cintica y la velocidad de los electrones ms rpidos liberados.

17. La energa necesaria para extraer un electrn del sodio es 2.3eV. El sodio presentar efecto fotoelctrico para luz amarilla con =5890 ? Cul es la longitud de onda de umbral para emisin fotoelctrica del sodio?

18. La energa necesaria para desprender un electrn de sodio metlico es de 2.28 eV. Muestra el sodio un efecto fotoelctrico bajo luz roja ( = 678 nm)? Porqu? b) Cul es la longitud de onda de corte de la emisin fotoelctrica del sodio?

19. Un haz de fotones de 300 nm arranca fotoelectrones de una lmina de Litio cuya funcin trabajo es 2.13 eV. a) Cul ser el potencial de frenado? b) Cul es la velocidad de los fotoelectrones?

20. Es posible arrancar electrones de un metal alcalino bombardeando con microondas (~ 10cm)? (Investigue la funcin de trabajo tpica de los metales alcalinos)

21. El potencial de frenado para fotoelectrones emitidos desde una superficie iluminada con luz de longitud de onda 4910 A es 0.71 V. Cuando se cambia la longitud de onda incidente se encuentra que el potencial de frenado es 1.43 V. Cul es la nueva longitud de onda? Cunto vale la funcin trabajo del metal?

22. En la teora de Einstein del efecto fotoelctrico est implcito el hecho de que los electrones se encuentran ligados a los ncleos atmicos del slido. De all que al plantear la conservacin de la energa al producirse el efecto fotoelctrico aparezca la funcin trabajo. Puede producirse efecto fotoelctrico en el caso de electrones libres? Justifique.

23. Una placa metlica aislada emite fotoelectrones cuando se la ilumina con luz ultravioleta pero al cabo de un cierto tiempo cesa su emisin. Explicar.

24. La funcin trabajo del Litio es 2.13 eV. Si un haz de luz con =500nm arranca 10 10 electrones por segundo hacer una grfica de la corriente de fotoelectrones como funcin de la diferencia de potencial entre ctodo y nodo indicando el valor del potencial de frenado y la corriente de saturacin. Y si la luz hubiera sido de menor ?

25. Un haz ultravioleta de 0.35 mW incide sobre una superficie fotosensible. sta emite electrones, los cuales son recolectados y se los hace circular por un circuito elctrico. Calcular la intensidad de la corriente elctrica sabiendo que la frecuencia de la radiacin es de 8.61015 Hz, y que la relacin entre el nmero de electrones emitidos y el nmero de fotones incidentes (rendimiento fotoelctrico ) es de 10-6.

26. Las longitudes de onda tpicas de los fotones que producen efecto fotoelctrico en los metales, cuyas funciones trabajo son del orden de 1 o 2eV, van desde 3000 a 6000. Cules son sus energas? Estimar el valor de la energa cintica tpica de los fotoelectrones.

27. En un experimento fotoelctrico se utilizan dos fuentes luminosas para determinar la funcin de trabajo de una superficie. Cuando se utiliza luz verde ( 546 1 nm. = ) de una lmpara de mercurio, se observa que el potencial de frenado requerido es 0.376 V. En base a esta medicin, determine. A) La funcin de trabajo del metal y B) La energa cintica de los electrones y su velocidad cuando se. utiliza luz amarilla ( 587 5 nm. = ) proveniente de un tubo de descarga de helio.

28. Una fuente de radiacin ultravioleta de 40 W de potencia y de longitud de onda de 248 nm ilumina una superficie de magnesio. Halla el nmero de fotones emitidos por la fuente por segundo. La funcin de trabajo para el magnesio es 3.68 eV. Calcula la energa cintica de los electrones Determina cul es la longitud de onda mayor para la cual el efecto fotoelctrico puede ser observado en la superficie de magnesio.

EFECTO COMPTON 29. A travs de qu ngulo debe ser dispersado un fotn de 300 keV por medio de un

electrn libre de modo que pierda 10% de su energa? Cul es la energa que se le proporciona al electrn?

30. Un fotn de rayos X de energa inicial 1.0105 eV que viaja en la direccin positiva del eje x incide sobre un electrn libre y en reposo. El fotn es dispersado a un ngulo recto en la direccin positiva del eje y. Encontrar las componentes del momento lineal del electrn.

31. Un fotn de rayos X de 6.2 keV que incide sobre un trozo de carbono es dispersado por una colisin Compton y su frecuencia cambia en 1% a) Cul es ngulo de dispersin del fotn? b) Cunta energa cintica se le proporciona al electrn?

32. Un fotn de frecuencia 31018Hz es dispersado por efecto Compton por un electrn inicialmente en reposo. Despus de la colisin, el electrn se mueve en la direccin que tena el electrn incidente. Encontrar la longitud de onda del fotn dispersado. Cul es la energa del electrn dispersado?

33. En un experimento Compton la longitud de onda del fotn incidente es 1.3249, mientras que la del fotn dispersado es 1.3461. En qu ngulo se dispers el fotn?, Y para el electrn?, Cul es la energa cintica del electrn dispersado?

34. Por qu es prcticamente imposible observar el efecto Compton empleando luz visible?

35. En una dispersin Compton se observa la onda dispersada a 90. Se la longitud de onda incidente es de =0.709 Cul ser la longitud de onda de de Broglie de los electrones dispersados?

36. Un fotn de 0.01 nm es dispersado por un electrn libre. Para qu ngulo de dispersin, el electrn tiene una energa cintica igual a la energa del fotn dispersado?

37. Determine la longitud de onda del fotn incidente en un experimento Compton, que es capaz de imprimir a un electrn inicialmente en reposo), una energa cintica, Tmx, igual al doble de su energa en reposo.

38. Hallar la energa y la longitud de onda de un fotn, que puede imprimirle a un electrn libre y en reposo un mximo de 60 KeV de energa en un experimento Compton

LONGITUD DE ONDA DE DBROGLIE

39. Cul es la longitud de onda de D Broglie de una clula sangunea cuya masa es 110-11 gr. y se mueve con velocidad 0.7 cm/s? Cul debe ser la energa cintica de un electrn para tener la misma longitud de la clula sangunea?

40. a) Cul es la longitud de onda de de Broglie de una pelota de tenis de 100 gr. que se mueve a una velocidad de 10 m/s? B) Cul debe ser la energa cintica de un electrn para tener la misma longitud de onda de la pelota de tenis?

41. Ordenar de menor a mayor las siguientes longitudes de onda de De Broglie: (a) un electrn acelerado con 1 V. (b) un sandwich de milanesa viajando a c/2 (c) un electrn acelerado con 100 MV.

42.

PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG

43. Se utiliza una fuente de luz para determinar la posicin de un electrn en un tomo con una precisin de .05 nm cul es la incertidumbre en el momento lineal del electrn?

44. Se determina la posicin de un electrn con una indeterminacin de 0.1 . Hallar la indeterminacin en el momento lineal. Si la energa del electrn es del orden de 1 keV estimar la indeterminacin en la energa.

45. Una bala de 50 gr. de masa se mueve con una rapidez de 30 m/s. si la rapidez se mide con una exactitud de 0.1% cul es la incertidumbre mnima en la posicin?

46. Un protn tiene una energa cintica de 1 MeV. Si su cantidad de movimiento se mide con una incertidumbre de 5% cul es la incertidumbre mnima en la posicin?

47. La posicin de un electrn se conoce con una exactitud de 10-8 cm cul es la incertidumbre mnima en la velocidad del electrn?

48. Cules son los postulados de de Broglie? 49. Cul es la longitud de onda de de Broglie de un electrn cuya energa cintica es

100eV? Conoce algn dispositivo en el que los electrones alcancen dicho valor de energa cintica?

50. Si t es la vida media del electrn en un estado de energa, la probabilidad de emisin espontnea por unidad de tiempo ser A = 1/ t. Si el ancho natural de lnea (incertidumbre en frecuencias) de la radiacin emitida es = 20MHz, hallar la probabilidad de emisin espontnea A.

51. El truco favorito de Johny Jumper de 75 kg es salir por la ventana del piso 16 de un edificio y dejarse caer hacia una piscina que se encuentra 50 m abajo. Un reportero toma una fotografa de Jonhy justo antes de entrar al agua utilizando un tiempo de exposicin de 5 ms. Determine: A) la longitud de onda asociada al movimiento de Jonhy al momento de llegar al agua. B) La incertidumbre en la medicin de la energa durante el periodo de exposicin de la fotografa y C) El porcentaje de error en la medicin de la energa respecto a la energa cintica de Johny. Tip: Considere cada libre.

52. A) Considere un protn tiene una energa cintica de 1 Mev. Si su cantidad de movimiento se mide con una incertidumbre de 5% cul es la incertidumbre mnima en la posicin y en la velocidad? B) Repita los clculos para un electrn. C) D sus comentarios.

53. Si se aceleran electrones con una diferencia de potencial 54 eV, cul es la longitud de onda de De Broglie correspondiente? (c) Qu hubiese pasado si el voltaje aplicado era de 30 V?

ECUACIN DE SCHROEDINGER 54. Un electrn tiene la siguiente funcin de onda

=

Lxsen

L)x( 22

0 < x < L

encontrar la probabilidad de localizar a un electrn entre x = 0 y x = L/4.

55. Resolver la ecuacin de Schrdinger para una partcula sometida a un potencial escaln

; 0( )

0; 0oE xV x

x

Considerar los tres casos: E < V0, E > V0 y E = V0.

58. La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo carece de coeficientes imaginarios. Significa esto que (r) debe ser real?

59. Cul es la conexin bsica entre las propiedades de la funcin de onda y el comportamiento de la partcula asociada?

60. Si una partcula no est ligada en un potencial, su energa total no est cuantizada. Esto significa que el potencial no tiene efecto en el comportamiento de la partcula? Qu efectos esperara usted que tuviera?

61. De modo semejante a la ecuacin de ondas clsica, la ecuacin de Schrdinger es lineal. Por qu resulta esto importante? Que pasara si la solucin no fuera nica?

62. Plantee la ecuacin de Schroedinger en cada regin, resuelva y plantee las ecuaciones de continuidad para el potencial que se muestra en la figura.

63. A qu se llama efecto tnel?

64. Un electrn con energa 02V se mueve sobre una barrera de potencial de altura 0V como se muestra en la figura Cul es la relacin de la longitud de onda de DBroglie, del electrn en la regin x L> entre la longitud de onda para 0 x L< < .

65. Un electrn esta sujeto a un potencial

( )0 0

5 0x

V xeV x

Si la energa total del electrn es de 8eV . Calcular la longitud de onda de DBroglie en 0x <

66. Un fotn con una longitud de onda 0

5A = es absorbido por un electrn confinado a un pozo de potencial. En consecuencia, el electrn se mueve del estado 1n = al estado 4n = a) Encontrar la longitud del pozo, b) Cul es la longitud de onda del fotn emitido en la transicin de ese electrn al estado 2n = ?

PARTICULA EN UNA CAJA 67. Calcular el valor esperado del momento lineal de una partcula que se halla dentro

de una caja de longitud L, si su funcin de onda es

( ) 2nn xx sen

L L=

68. Un electrn en un pozo de potencial infinito localizado entre 0 < x < L tiene la siguiente funcin de onda

2 x( x ) senL L

=

Encontrar el valor de V(x) si la energa de la partcula es

2 2

22E

mL

=

.

69. Para una partcula sometida a un pozo infinito de potencial, hallar las funciones de onda correspondientes a los dos primeros niveles de energa. Luego, para estos mismos niveles de energa, hallar el valor esperado de la posicin y del impulso de una partcula de masa m que se encuentra dentro del pozo.

70. Bajo condiciones cunticas: a) A qu potencial considerara sometida a una persona de 100kg confinada en un armario de 1m de largo? b) Si la persona se mueve con una velocidad de 10-4m/s. cul sera su nmero cuntico?

71. Un electrn en un estado excitado de un pozo infinito puede emitir fotones cuando decae a niveles inferiores. Considerando solamente transiciones en n = 1, mostrar que las frecuencias de dichos fotones son:

2 1,nh

+= donde n=1, 2, ... y

2 2

22oE

ma

=

72. Un electrn dentro de un pozo infinito est en el tercer nivel excitado: 4=(2/a)1/2sen(4x/a). Cul es la probabilidad de encontrarlo en la regin entre x = 0 y x = a/4? Responder la pregunta a) Grficamente. b) calculando la integral correspondiente: P(0 x a/4)

73. Cul es la probabilidad de encontrar una partcula en un pozo infinito de ancho a en una posicin a /4 de la pared si n = 1, 2, 3 (nivel de energa). Usar las funciones de onda normalizadas:

/2( , ) iEtn xx t sen ea a

=

74. En un pozo infinito unidimensional de ancho 10-14m se ubican 10 electrones en el

estado fundamental. a) Cul es mnima energa para excitar 2 electrones? b) Cunto vari la energa media por electrn del sistema?

75. En un pozo infinito unidimensional de 10 de ancho hay cinco electrones. Cul ser, a T = 00K, la configuracin fundamental del sistema de acuerdo con un tratamiento cuntico? Cmo se modificara si se aplica un campo magntico constante?

76. Considrese un electrn atrapado en un pozo infinito cuya anchura es de 98.5 pm. Si est en un estado con n = 15, cul es su energa? y la longitud de onda del fotn requerido para pasar al estado n = 18?.

77. Un electrn en un pozo de potencial infinito localizado entre 0 x L< < tiene la siguiente funcin de onda

78.

2 n x( x ) senL L

=

79. Encontrar la probabilidad de localizar a un electrn entre 4Lx =

y 34Lx =

, cuando la partcula esta en el 2. Nivel de energa excitado

80. La funcin de onda en un pozo de potencial de longitud L y de paredes infinitas es /)cos(),( iEte

axAtx =

. Encontrar el valor de A para la cual la probabilidad de que la partcula se encuentre en el pozo es igual a uno.

81. Una bola de billar de 700 gr se mueve dentro de una caja tridimensional de 30 cm por cada lado. Desde el punto de vista cuntico, esta situacin se podra estudiar como un pozo de potencial 3D infinito. Calcule los 3 primeros estados de energa que puede tener la persona y en base a su respuesta diga porque no es posible observar la cuantizacin de la energa en el caso macroscpico. Calcule la longitud de onda asociada al movimiento de la persona cuando est en el estado base y con esta respuesta diga porque no es posible observar los efectos de la longitud de onda asociada en el caso macroscpico.

82. Considrese un electrn atrapado en un pozo infinito cuya anchura es de 89.5 pm. Si est en un estado con n = 10, cul es su energa? y la longitud de onda del fotn requerido para pasar al estado n = 15?.

TEORIA DE BANDAS 83. Qu es un slido cristalino? Y un slido amorfo? Citar distintas clases de

interaccin que mantienen a los slidos cohesionados.

84. Utilizando el concepto de teora de bandas explicar las siguientes observaciones: la mayora de los aislantes son transparentes a la luz visible, los semiconductores son transparentes a la luz infrarroja pero opacos a la luz visible, y todos los metales son opacos a la luz para todas las longitudes de onda.

85. Para T = 300o K. Determinar la probabilidad de que un nivel de energa 3KT arriba del nivel de Fermi este ocupado por un electrn.

86. Para un electrn libre, la relacin entre su energa y su momento est dada por 2

2pEm

=

Como p=k, la relacin puede ser escrita como: 2 2

2kEm

=

La dependencia de E con k es parablica. Para un electrn movindose en un potencial peridico de la red de iones, la relacin entre E y k es ms complicada. Como vimos, la solucin de la ecuacin de Schrdinger para un electrn movindose en un potencial peridico unidimensional consistente de pozos de potencial equiespaciados resulta la siguiente relacin entre E y k

cos cossen dp d kdd

+ =

2pomE bdP =

es una constante, b es la separacin entre los pozos, d es la periodicidad de los pozos, y 22 /mE = . Esta ecuacin no puede ser resuelta explcitamente para E(k) pero puede

ser resuelta numricamente. Es decir, tomamos un valor de E, lo reemplazamos en la ecuacin y encontramos k. El procedimiento se repite para otros valores de E. Esta solucin numrica resulta bastante interesante. Hay rangos de E para los cuales k es un nmero real. Esos rangos estn separados por rangos de E para los cuales k es imaginario. Esto sucede debido a que el lado izquierdo de la ecuacin es mayor que 1 o menor que 1. Como el lado derecho es cos(kd), y el coseno de un nmero real vara entre 1 y 1, k es imaginario para aquellos valores de E para los cuales el lado izquierdo de la ecuacin es mayor que 1 o menor que 1. El momento de una partcula no puede ser imaginario, por lo tanto, el electrn no puede poseer valores de E para los cuales k es imaginario. Esto conduce a la existencia de bandas de energa permitidas y prohibidas en los slidos.

87. Escribir un programa que permita la obtencin de los valores permitidos de E y los correspondientes valores de k, as como los valores prohibidos de E (los valores de E que poseen k imaginarios). Esto puede ser hecho permitiendo que E vare entre 0 y 200eV en pequeos incrementos. Se sugiere que en el rango de 0 a 50eV, E = 0.2eV y en el rango 50 a 200eV, E = 1eV.

88. Graficar E en funcin de k para la primera banda de energa permitida. Existe una relacin parablica entre E y k? Datos: P = (5)/2, d = 2, m = 9.110 -31kg, = 1.0510-34Js.

89. Las brechas de energa de algunos haluros alcalinos son KCl = 7.6eV, KBr = 6.3eV, KI = 5.6eV.

90. Cul de ellos son transparentes a la luz visible? En qu longitud de onda resultan opacos?

91. Considerar la densidad de estados ( ) ( )

3 2 1 2

3

4 2 / /m Eg E

h

= para electrones libres.

Hallar la densidad de estados de energa por unidad de volumen con energas entre 0 y 1 eV.

92. Considere el cobre cuyo nivel de Fermi es 0.7 eV y que la densidad de estados de

energa est dada por ( ) ( )

3 2 1 2

3

4 2 / /m Eg E

h

=. Grafique la probabilidad de que un

estado de energa est ocupado ( )f E y el nmero de partculas ( )N E para 0T C= ; 300T C= ; 120T C= . Compare los resultados obtenidos para cada

temperatura y d sus conclusiones.

93. Cul es la probabilidad de que el nivel de energa 0.3 eV por encima del nivel de Fermi est ocupado cuando la temperatura es 300 K? y Cul es la probabilidad de que el nivel de energa 0.02 eV por debajo del nivel de Fermi est vaco?

94. Cul es la probabilidad de que el nivel de energa 0.05 eV por encima del nivel de Fermi est ocupado cuando la temperatura es 362 K? y Cul es la probabilidad de que el nivel de energa 0.1 eV por debajo del nivel de Fermi est vaco?