１注意　全学部受験者用

＜解答＞

問１

　　小球はx=0の位置にあるから，ばねは自然長である。したがって，ばねの力は働かない。小球に

　働く重力と糸の張力とがつり合う。したがって糸の張力は T=mg（答）　

問２

(1)

　　糸の張力が0だから，小球に働く重力とばねの弾性力とがつり合う。小球の位置をx= 0x とすれば，

　ばねの伸びが 0x だから，mg= 0kx ，+ 0x =mg

k　（答）

(2)

　　ばねが伸びたことにより，ばねの弾性力による位置エネルギー 12k 2

0x =2m 2g

2k が蓄積される。

　また小球が 0x 下方に移動したことにより，重力による位置エネルギーが mg 0x =2m 2g

k だけ減少す

　る。糸の張力がした仕事はエネルギーの減少に相当するから 2m 2g

2k-

2m 2g

k=-

2m 2g

2k 　（答）

問３　　

(1)

　　単振動の中心はx=1

2 Lx で，この位置は下方への重力と上方へのばねの弾性力がつり合う位置 0x で

　ある。したがって， 0x =mgk

=12 Lx ，+ Lx =

2mgk　（答）　

(2)

　　小球の加速度をa，働く力をFとすれば運動方程式は，ma=F=mg-kx ，x= Lx のときの加速度

　は La =-mg Lkx

m=-g　（答）

(3)

　　小球はx= 0x を中心とする単振動をする。d=x- 0x とすれば，小球の運動方程式はma=-kd ，

　したがって単振動の角振動数はx=]k

m，周期は

2px

=2p]m

k，糸を切ってから最下点までの

　運動は12周期だから，最下点に達するまでの時間は，p]

m

k　（答）

問４

(1)

　　小球は単振動をするので，その位置は x=Lx

2(1-cosxt ) ，x=

34 Lx とすれば cosxt=-

12，

　したがって xt=2

3p，+ t=

2p

3x=

2p

3 ]m

k　（答）　

2015（H27）年度 新潟大学　理系前期　入学試験　物理解説

-1-

(2)

　　x=3

4 Lx において，x=0 に対して小球が失った重力の位置エネルギーは3

4mg Lx

　ばねが3

4 Lx 伸びたときのばねの弾性力の位置エネルギーは 1

2k

2

8 93

4 Lx =9

32k 2Lx

　小球の運動エネルギーは 12m 2v

　エネルギー保存の法則により，3

4mg Lx =

9

32k 2Lx +

1

2m 2v ，+ v=

g

2 ]3m

k　（答）　

(3)

　　小球のはねかえり直後の速さをv-とする。その時点での小球の力学的エネルギーは

　運動エネルギー 1

2m 2v- ，ばねの弾性力の位置エネルギー

1

2k

2

8 93

4 Lx =9 2m 2g

8k

　最上点 x=1

8 Lx での力学的エネルギーは，ばねの弾性力の位置エネルギー 1

2k

2

8 91

8 Lx =2m 2g

32k ，

　小球の重力の位置エネルギー mg834 Lx 9-

18 Lx =

58mg Lx =

58mg%

2mgk

=5 2m 2g

4k

　　エネルギー保存の法則により，

　1

2m 2v- +

9 2m 2g

8k=

2m 2g

32k+

5 2m 2g

4k，

1

2m 2v- =

5 2m 2g

32k，+ v-=

g

4 ]5m

k

　はねかえり係数は v -v

= U5

2U3= U 15

6　（答）

＜解説＞

問１

　小球がx=0の位置にあるということは，ばねは自然長である。したがって，ばねの力は働かない。

問２

(1)

　糸の張力が0ということは，小球に働く重力とばねの弾性力とがつり合うことを意味する。

(2)

　別の考え方を示そう。糸の張力とばねの弾性力の和が小球に働く重力に等しい。

　　T+kx=mg ，+ T=mg-kx

張力の方向とは逆に小球は動くのだから，張力のする仕事は負である。小球が微小量lx下がると，糸

がする仕事は-Tlx だから，糸がx=0から 0x まで下がることによってする仕事は，

　　-Q 0

0x

Tdx=-Q 0

0x

0 1-mg kx dx=-0

0x

< =-mgx1

22kx =-mg 0x +

1

2k 2

0x =-2m 2g

2k　（答）

問３

(1)

　別の考え方を示す。エネルギー保存の法則により，小球が Lx に下降したときに失った重力の位置エ

ネルギーがばねの弾性力による位置エネルギーに等しい。最下点では小球の速さは0 だから，運動エ

ネルギーは0である。したがって mg Lx =12k 2Lx ，+ Lx =

2mgk　（答）

-2-

(2)

　重力とばねの弾性力とが働くとして小球の運動方程式を考える。

(3)　

　小球が単振動することに着眼する。単振動の周期から，最下点に到達するまでの時間を求める。こ

の種の時間を求める問題はよく出るので注意すること。

問４

(1)

　小球は単振動をするので，その位置x の表式をまず求めておく。その上で x=34 Lx のときの時刻を

求める。

(2)

　別の解き方を示そう。(1) で示した小球の位置は x=Lx

2(1-cosxt ) ，x=

3

4 Lx とすれば，xt=2p

3

速さは位置の微分だから，v=dxdt

=12 Lx xsinxt，xt=

2p3として

v=1

2 Lx xsin8 92p

3=

1

2%

2mg

k%]

k

m%

U 3

2=g

2 ]3m

k　（答）

(3)

　小球のはねかえり直後の速さをv-を求めることが必要である。最上点ということは，その点で小球

の速さは0ということである。

２注意　理学部（数学科 ! 物理学科 ! 生物学科 ! 地質科学科 ! 自然環境科学科）

　　　　　医学部、歯学部および工学部受験者用

＜解答＞

[１]　

問１　

　間隔が d4

のコンデンサーが２つ直列接続されたと見なすことができる。それぞれの容量は4 Cだか

ら合成容量 TC は，1

TC=

1

4C+

1

4C=

1

2C，+ TC =2 C　（答）　

2Vd

0 d4

3d4

d

電場の強さ

x0

V2

V

d4

3d4

d

電位

x

問２

　

-3-

問３

　　間隔 d

4 のコンデンサー２つの間に間隔

d

2 の誘電体が挟まったコンデンサーが直列接続されたも

　のと考えることができる。　

　　間隔 d

4 のコンデンサーの容量は 4 C ，誘電率 e の厚さ

d

2 の誘電体の容量は 2eC ，これらが直列

　接続された容量は，1

TC=

1

4C+

1

2eC+

1

4C=

+1 e

2eC， TC =

2eC

+1 e，e=3とすれば， TC =

3

2C　（答）

問４　

　　初めに電圧Vの電池で十分充電したのだから，蓄積された電荷は，Q=2CV

　誘電体が挿入されても，極板の蓄積電荷Q は変化しないから極板A ，B 間の電位差は，

　 EV =Q

TC=

2

3

Q

C=

4

3V　（答）

問５

　　コンデンサー全体に蓄えられている静電エネルギーは1

2%(容量)%(両端の電圧 2) だから，

　12%

32C%

2

8 94

3V =

43C 2V 　（答）

問６

　　誘電体を取り出してもコンデンサーの電荷Q=2CV は変化しない。一方，コンデンサーの容量はC

　だから，誘電体を取り出した後のコンデンサーの静電エネルギーは 2

0 12CV

2C=2C 2V

　　誘電体を取り除くことによって得た静電エネルギー 2C 2V -4

3C 2V =

2

3C 2V を外力がしたものと考

　えることができる。したがって外力がした仕事は 2

3C 2V 　（答）

[２]

問１　

　　直線電流がつくる磁界H は電流に比例し，距離に反比例する。

r

a2

a21I

2I

2I

2B

1B

2F

1F

2F1F +

x

KL

y

x

AD

BC

h

h

h

図１

　磁束密度 B= 0l H=0l 1I

2p] +2r2

8 9a

2

　（答）

問２　

　　磁束密度とそれによる力を図１に示す。

　 1F = 1F =a 2I 1B =a 2I B，ただし 1B = 1B =B

　 2F = 2F =a 2I 2B =a 2I B= 1F ，ただし 2B = 2B =B

　 1F + 2F = 1F sinh+ 2F sinh=2a 2I Bsinh

　sinh=a

2] +2r2

8 9a

2

　2a 2I Bsinh=2a 2I %0l 1I

2p] +2r2

8 9a

2

%a

2] +2r2

8 9a

2

=0l 2a 1I 2I

2p> ?+2r2

8 9a

2

　（答）

-4-

　合力の向きはy 軸正方向である。

問３　

　　モーメントは（腕に垂直な力）%（腕の長さ）だからコイルのAD部分において，

　 1F cosh%a2

=a 0l 1I 2I

2p] +2r2

8 9a

2

ar

2] +2r2

8 9a

2

=0l 2a r 1I 2I

4p> ?+2r2

8 9a

2

　コイルのBC部分において，同様に

　 2F cosh%a2

=a 0l 1I 2I

2p] +2r2

8 9a

2

ar

2] +2r2

8 9a

2

=0l 2a r 1I 2I

4p> ?+2r2

8 9a

2

　力のモーメントは両者の和として，0l 2a r 1I 2I

2p> ?+2r2

8 9a

2

　（答）

＜解説＞

[１]

問１

　図２の (a) の金属板がコンデンサーに挿入されたコンデンサーは，(b) のように２つのコンデンサー

が直列接続されたコンデンサーと見なすことができる。間隔が d4

だから，それぞれのコンデンサーの

容量は4 C 。

d

4

d

4

d

2d

d

4

d

4

金属板

A

B

図２

(a) (b)

問２

　金属板は電極A，B の真ん中にあるから，その電位はV2である。電極Aと金属板下面の間の電場の

強さは

V2

d

4

=2V

dである。電位は0から

V

2まで直線的に上昇する。金属板中は等電位だから，その内部

の電場の強さは0である。金属板上面と電極B 間の電場の強さは電極Aと金属板下面の間の電場の強さ

と同じである。電位は V

2 からV まで直線的に上昇する。以上を描くと図３のグラフになる。

-5-

0

V

2

V

d4

3d4

d

電位

x

2V

d

0 d4

3d4

d

電場の強さ

x

図３

問３

　図４(a)のように誘電体が金属板に代わり挿入された。これは，(b)のように，間隔 d

4 のコンデンサ

ー２つの間に間隔 d

2 の誘電体が挟まったコンデンサーが直列接続されたものと考えることができる。

　誘電体がコンデンサー中に存在するときの容量がどうなるか，教科書では，誘電体がコンデンサー

の電極間をすべて埋め尽くした場合について説明している。この考え方を今回の場合に適用すること

は難しい。ここでは，誘電体の両面に薄い金属板が覆っていると考えよう。金属板は電場を乱さない

から，そのように考えても良い。すると，空気で満たされた間隔 d4のコンデンサー，誘電体で満たさ

れた間隔d

2 のコンデンサー，空気で満たされた間隔

d

4のコンデンサーが直列接続したコンデンサー

d

4

d4

d

2d

誘電体

A

B d

4

d4

d

2 誘電体

A

B

図４(a) (b)

と理解できる。

問４

　金属板の代わりに誘電率3 の誘電体を入れることにより，容量が減少した。電荷=容量%電圧であ

り，電荷は変わらないのだから，極板A，B 間の電位差は増大する。

問５

　コンデンサー全体に蓄えられている静電エネルギーは12%(容量)%(両端の電圧 2) である。

問６

　誘電体表面には，コンデンサーが形成した電場によって誘起された分極による電荷が発生している。

それが，電極A ，B の電荷と引き合うので，誘電体を取り出すためには，力を必要とする。したがっ

て，誘電体を取り出すために仕事をすることになる。

-6-

　エネルギー保存の法則により，誘電体を取り出すためにした仕事は，他の仕事あるいはエネルギー

に転換されていなければならない。誘電体を取り除くことにより，電荷は変わらないのに，容量は減

少したのだから，静電エネルギーは増加することになる。この静電エネルギーの増加分が誘電体を取

り出すために外力がした仕事である。

[２]

問１

　直線電流がつくる磁界H は電流に比例し，距離に反比例する。

r

a

2

a

21I

2I

2I

2B

1B

2F

1F

2F1F +

x

KL

y

x

AD

BC

h

h

h

図４

　磁束密度は B= 0l H

問２

　図を描いて考える。力の向きはフレミングの

　左手の法則によって解る。

問３

　力のモーメントは

（腕に垂直な力成分）%（腕の長さ）である。

　図を描いて考えよう。

３　注意　教育学部，理学部（物理学科 ），医学部，歯学部および農学部受験者用

＜解答＞

[１]

問１　

　

問２　

　　波長は120 cm ，音速は340 m ，したがって振動数は 340

1.2=283.3，したがって280 Hz　（答）

問３

　　弦からの波の波長は60 cm ，振動数は共鳴して発生した音波の振動数と同じ 340

1.2 Hz。

　したがって弦を伝わる波の速さは0.6%340

1.2=170 m/s　（答）

問４　

-7-

問５　

　　　弦からの波の波長が80 cm のとき共鳴したのだから，振動数は170

0.8=212.5 Hz

　したがって共鳴する音波の振動数も212.5 Hzだから，波長は 340

212.5=1.6 m　（答）

　閉管の定在波の波長は，管長 L=+2n 14

k　(n=1, 2 , 3 , . . . )，したがってk=4L+2n 1

=4.8+2n 1

　n=1のとき，k=1.6 mとなる。したがって，閉管の固有振動の波長は 1.6 m である。　　

[２]

問１

　　SA=U +2l 2a ，スリットA とスクリーン上の位置x との距離がU +2l 20 1-x a

　したがって，スリットS から位置x までの経路の長さは U +2l 2a +U +2l 20 1-x a

　U +2l 2a +U +2l 20 1-x a =l] +1

2

8 9a

l+l] +1

2

8 9-x a

l7 2l+

l

2

2

8 9a

l+l

2

2

8 9-x a

l　（答）

問２

　　スリットB を通り位置x に達する光の経路長は，U +2l 2b +U +2l 20 1+x b

　スリットA とB を通る光の経路長の差は ，a=b を考慮して，

　(U +2l 2b +U +2l 20 1+x b )-(U +2l 2a +U +2l 2

0 1-x a )

　=l] +12

8 9+x b

l-l] +1

2

8 9-x b

l=l

2

2

8 9+x b

l-l

2

2

8 9-x b

l=

2xb

l

　経路長差が波長の整数倍のとき，明線ができるから，

　2xb

l=mk ，+ x=

ml

2bk　(m=0 , $1, $2 , $3 , . . . ) ，したがって明線の間隔は

l

2bk　（答）

問３

(1)

　　スリットA とB を通る光の経路長の差は ，

　(U +2l 2b +U +2l 20 1+x b )-(U +2l 2a +U +2l 2

0 1-x a )

　=l] +12

8 9b

l+l] +1

2

8 9+x b

l-l] +1

2

8 9a

l+l] +1

2

8 9-x a

l

　7l+l

2

2

8 9b

l+l+

l

2

2

8 9+x b

l-l-

l

2

2

8 9a

l-l-

l

2

2

8 9-x a

l

　=1

2l( 2b - 2a )+

1

2l(b+a)(b-a+2x)=

1

l(b+a)(b-a+x)

　　したがって，位置x に明線ができるための条件は，経路長差が波長の整数倍になること。

　すなわち，1l

(b+a)(b-a+x)=mk　(m=0 , $1, $2 , $3 , . . . )　①　（答）

(2)

　　x=0にあった明線は問２からm=0だから，①式でm=0とおけば，x=a-b　（答）

問４

　　屈折率n (n＞1)の液体中では，波長がk

nとなるので，問２の結果から明線の間隔は

l

2b

k

nとなる。

　すなわち，明線の間隔は液体を満たす前の間隔の1

n倍となる。

-8-

　媒質を変えても光の振動数は変化しない。光の速さがc

nと減少する。

　（波長）%（振動数）=（速さ）だから，波長がknとなる。

＜解説＞

[１]

　音波の定在波に関する問題。ミスを誘発しやすい設定になっているので，要注意である。弦の波と

その波がつくる音波とを区別して考えなければならない。

問１

　開管A が共鳴して定常波の腹が３か所あるということだから，開口部が腹，かつその真ん中が腹と

いうことになる。

問２

　開管の長さが1.2 m ，そこに腹３つの定在波ということは，波長は1.2 m 。

（波長%振動数）=（音の速さ）の関係を利用する。

問３

　弦には腹が１つの定在波が発生し，弦の長さが30 cm だから，弦の波の波長はその2 倍である。弦の

波の振動数は開管に共鳴した音波の振動数と同じである。

問４，問５

　弦からの波の波長が80 cm のとき共鳴したのだから，振動数は 170

0.8=212.5 Hz

したがって，共鳴する音波の波長は 340

212.5=1.6 m

　開管の定在波の波長は，管長 L=n

2k　(n=1, 2 , 3 , . . . )，したがってk=

2L

n=

2.4

n

この関係では波長 1.6 m は得られない。

　閉管の定在波の波長は，管長 L=-2n 1

4k　(n=1, 2 , 3 , . . . )，したがってk=

4L

-2n 1=

4.8

-2n 1

n=2のとき，k=1.6 m となる。したがって，波長がk=1.6 m の定在波ができるのは閉管の方である。

[２]

　光波の干渉に関する基本的な頻出問題である。

問１　

　与えられた近似式を利用する。

問２

　経路長差が波長の整数倍となる位置xで明線ができる（スリットAとBから出る光波が干渉して強め

あうので明るくなる）。a=bだから，x=0に明線ができる。

問３

(1)

　経路長差をスリットAの位置aの関数として表現する。次に，明線ができる位置xをaの関数として表

現する。

(2)

　スリットを動かす前にx=0 にあった明線ということは，そこへの両者の経路長が等しい，すなわち

-9-

経路長差が0ということである。

問４

　屈折率n (n＞1)の液体中では，波長がknとなるので，問２の結果から明線の間隔は

l2b

knとなる。

すなわち，明線の間隔は液体を満たす前の間隔の1

n倍となる。

　媒質を変えても光の振動数は変化しない。光の速さがc

nと減少するということを理解していること。

（波長）%（振動数）=（速さ）だから，波長がknとなる。

４注意　教育学部，理学部（数学科 ! 物理学科 ! 生物学科 ! 地質科学科 ! 自然環境科学科），

　　　　　工学部および農学部受験者用

＜解答＞

[１]

問１

　　理想気体の状態方程式は容器Aについて，

　P AV = An RT， An =APV

RT=

%%0.25 510 1

%8.31 30071.0%10モル=10 モル　（答）

　容器Bについて，P BV = Bn RT， Bn =BPV

RT=

%%0.25 510 2

%8.31 30072.0%10=20 モル　（答）　　

問２

　　容器Aの状態方程式は AP %1= An -%8.31%600

　　容器Bの状態方程式は BP %2= Bn -%8.31%300

　状態が変化しなくなるまで放置したのだから，それぞれの容器の中の圧力は等しくなる。

　すなわち， AP = BP =P， An -=P

%8.31 600， Bn -=

2P

%8.31 300， An -+ Bn -=30だから，

　P

%8.31 600+

2P

%8.31 300=30，+ P=8.31%600%673.0% 410 Pa　（答）

[２]

問１

　　シリンダーの体積はlS，シリンダー内の気体の状態方程式は 0p lS=R 0T ，

　したがって温度 0T =0p lS

R　（答）

問２

　（ばねがピストンを押す力+大気圧がピストンを押す力）と（気体の圧力がピストンを押す力）と

　がつり合っているから，

　　 0p S+k(x-l)=pS ，+ p= 0p +k0 1-x l

S　（答）

問３

　　問２の結果から，気体の圧力は 0p +k0 1-2l l

S= 0p +

kl

S

-10-

　気体の状態方程式は 8 0p 9+kl

S%2lS=2l( 0p S+kl)=RT，+ 温度 T=

2l0 1+0p S kl

R　（答）

問４

　　　気体が外部にした仕事は，大気圧とばねの力に抗してピストンを押した仕事

　　　　大気圧に抗してピストンを押した仕事は， 0p S%l

　　　　ばねの力に抗してした仕事はばねが長さl 圧縮した弾性エネルギーとなっているから，1

2k 2l

　したがって，気体が外部にした仕事は 0p lS+1

2k 2l 　（答）　

問５

　　熱力学第一法則により，気体に加えられた熱量=気体の内部エネルギーの変化+気体がした仕事

　T- 0T =2l0 1+0p S kl

R-

0p lS

R=l0 1+0p S 2kl

R，

　したがって気体の内部エネルギーの変化=32R(T- 0T )=

3l0 1+0p S 2kl

2，

　したがって，気体に加えられた熱量=3l0 1+0p S 2kl

2+ 0p lS+

1

2k 2l =

5

2 0p lS+7

2k 2l 　（答）　

＜解説＞

[１]

問１

　27 ,Cは絶対温度27+273=300 Kであることに注意する。

問２

　状態が変化しなくなるまで放置したのだから，それぞれの容器の中の圧力は等しくなることに注意

する。また容器A ，容器B 内の気体のモル数の合計は変化しないことにも注意する。

[２]

問１

問２

　大気圧がピストンを押す力を忘れないこと。

問３

　問２の結果を利用する。

問４

　気体が外部にした仕事には，大気圧に抗してした仕事とばねの力に抗してした仕事の２つがあるこ

とに気づかなければならない。後者はばねが圧縮されたことによる弾性エネルギーとなっている。

問５

　熱力学第一法則を利用する。問１，問３から温度変化が解る。温度変化による気体の内部エネルギ

ー変化の公式を知っていなければならない。

＜総評＞

　新潟大学の物理は，問題設定が簡明で煩瑣なところがなく，基礎的な物理の理解を問うものである。

教科書を熟読して，練習問題にしっかり取り組んで，理解を深めれば対応できそうである。解らない

ところは，先生や友人に尋ね，的確に理解しておこう。相互に教え学び合うことほど，理解を進める

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方法はない。何事もそうだが，基礎をしっかり理解することが肝要である。

１

　重力とばねの作用による運動に関する基礎的な理解を問う問題である。奇をてらうことのない，素

直な問題設定で，受験者の物理理解力や思考力を問う良問と感じた。

問１　

　x=0の位置はばねが自然長だから，重力のみ作用している。難易度Ｃ。

問２

　糸の張力が0だから，ばねの弾性力と重力とがつり合う。糸のした仕事の正負が問われる。小球はエ

ネルギーを失うので，糸のした仕事は負である。仕事の正負の問いがやや難しいか。難易度Ｂ-。

問３

　重力とばねの弾性力とがつり合う位置が単振動の中心になることを理解していることが必要だ。単

振動はばねの変位に比例し，変位とは逆方向の力が働くときに発生する。したがって，変位が0の位置

（単振動の中心）は力も0である。すなわちつり合いの位置が単振動の中心になる。

　単振動の運動方程式から，周期等を求めることができるように，単振動を理解していなければなら

ない。単振動の変位の時間を求める問題は比較的に多い。難易度Ｂ。

問４

　(1)は，またしても単振動の周期を利用して時間を求める問題である。(2)の速さを求める問題の多く

はエネルギー保存の法則を利用する場合が多い。ここでは，単振動の変位の式を微分することにより，

求める方法も示した。難易度Ｂ+。

２

　簡明な問題設定の電磁気の基本的な問題。それだけに，本質的な理解力が問われる。

　[１]はコンデンサーの問題。問１，問２はコンデンサーの基礎的理解が問われる。金属板内部では電

場の強さが0であることに注意する。問３からは，金属板の代わりに誘電体を入れた場合の問題。誘電

体が電場中で分極して表面に電荷が発生して，などと考えると難しくなる。ここでは，コンデンサー

の直列接続として考える着想が必要である。難易度はＢ+。

　[２]は電磁誘導の問題。電流がつくる磁場と電流が流れるコイルに働く磁場の力に関する問題。難易

度Ｂ。

３

　[１]は音波の定在波に関する問題。弦の波に共鳴して発生する管の音の定在波とを的確に理解するこ

と。難易度はＢ-。

　[２]は光の干渉縞に関する問題。２つの光波が重なって強めあい，明線ができる条件は，干渉の最も

基本的な事項である。近似計算も含めて，計算練習を実際に行っておきたい。難易度Ｂ。

４

　[１]は理想気体の状態方程式に関する基礎的な問題。完答したい。難易度Ｃ。

　[２]は理想気体を加熱したときにする仕事，内部エネルギー変化等，熱力学第１法則に関連する問題。

難易度はＢ。　

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