Halado modszertani ismeretek (Statisztika)

Szokol Patricia

Debreceni Egyetem

2017–2018 oszi felev

Szokol Patricia

Binomialis proba

Legyen adott egy esemeny, aminek a valoszınusege P. A binomialis probaeseten celunk annak a feltevesnek a vizsgalata, hogy igaz-e, hogy ez avaloszınuseg valamely P0-lal egyenlo-e.

Vegyunk egy n elemu mintat, azaz vegezzuk el n-szer a kıserletet.Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.Nullhipotezis: H0 : P = P0.Ellenhipotezis:

H1 : P 6= P0, Hb1 : P < P0, H j

1 : P > P0.

Ha H0 teljesul, akkor X binomialis eloszlasu n es P0 parameterekkel.(B(n,P0)):

P(X = k) =

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k , k = 0, . . . , n.

E (X ) = nP0, Var(X ) = nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Legyen adott egy esemeny, aminek a valoszınusege P. A binomialis probaeseten celunk annak a feltevesnek a vizsgalata, hogy igaz-e, hogy ez avaloszınuseg valamely P0-lal egyenlo-e.Vegyunk egy n elemu mintat, azaz vegezzuk el n-szer a kıserletet.

Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.Nullhipotezis: H0 : P = P0.Ellenhipotezis:

H1 : P 6= P0, Hb1 : P < P0, H j

1 : P > P0.

Ha H0 teljesul, akkor X binomialis eloszlasu n es P0 parameterekkel.(B(n,P0)):

P(X = k) =

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k , k = 0, . . . , n.

E (X ) = nP0, Var(X ) = nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Legyen adott egy esemeny, aminek a valoszınusege P. A binomialis probaeseten celunk annak a feltevesnek a vizsgalata, hogy igaz-e, hogy ez avaloszınuseg valamely P0-lal egyenlo-e.Vegyunk egy n elemu mintat, azaz vegezzuk el n-szer a kıserletet.Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.

Nullhipotezis: H0 : P = P0.Ellenhipotezis:

H1 : P 6= P0, Hb1 : P < P0, H j

1 : P > P0.

Ha H0 teljesul, akkor X binomialis eloszlasu n es P0 parameterekkel.(B(n,P0)):

P(X = k) =

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k , k = 0, . . . , n.

E (X ) = nP0, Var(X ) = nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Legyen adott egy esemeny, aminek a valoszınusege P. A binomialis probaeseten celunk annak a feltevesnek a vizsgalata, hogy igaz-e, hogy ez avaloszınuseg valamely P0-lal egyenlo-e.Vegyunk egy n elemu mintat, azaz vegezzuk el n-szer a kıserletet.Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.Nullhipotezis: H0 : P = P0.Ellenhipotezis:

H1 : P 6= P0, Hb1 : P < P0, H j

1 : P > P0.

Ha H0 teljesul, akkor X binomialis eloszlasu n es P0 parameterekkel.(B(n,P0)):

P(X = k) =

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k , k = 0, . . . , n.

E (X ) = nP0, Var(X ) = nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Probafuggveny: a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek X szama n darabfuggetlen kıserletbol. Adott α szignifikanciaszint eseten legyen ca(α)illetve cf (α) a legnagyobb, illetve a legkisebb ertek, melyre

ca(α)∑k=0

P(X = k) =

ca(α)∑k=0

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k ≤ α;

n∑cf (α)

P(X = k) =n∑

cf (α)

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k ≤ α.

Adott α szignifikanciaszinthez tartozo kritikus tartomany:

H1 : P 6= P0 eseten X ≤ ca(α/2) vagy X ≥ cf (α/2);

Hb1 : P < P0 eseten X ≤ ca(α);

H j1 : P > P0 eseten X ≥ cf (α).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Probafuggveny: a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek X szama n darabfuggetlen kıserletbol. Adott α szignifikanciaszint eseten legyen ca(α)illetve cf (α) a legnagyobb, illetve a legkisebb ertek, melyre

ca(α)∑k=0

P(X = k) =

ca(α)∑k=0

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k ≤ α;

n∑cf (α)

P(X = k) =n∑

cf (α)

(n

k

)Pk0 (1− P0)n−k ≤ α.

Adott α szignifikanciaszinthez tartozo kritikus tartomany:

H1 : P 6= P0 eseten X ≤ ca(α/2) vagy X ≥ cf (α/2);

Hb1 : P < P0 eseten X ≤ ca(α);

H j1 : P > P0 eseten X ≥ cf (α).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Nagymintas eset

Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.

Nullhipotezis: H0 : P = P0.Nagy minta: min{nP0, n(1− P0)} ≥ 10. Probafuggveny:

z :=X − nP0√nP0(1− P0)

.

Ha H0 teljesul, akkor z eloszlasa kozel standard normalis.Baloldali alternatıva:

za :=X − nP0 + 1/2√

nP0(1− P0);

Jobboldali alternatıva:

z f :=X − nP0 − 1/2√

nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Nagymintas eset

Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.Nullhipotezis: H0 : P = P0.

Nagy minta: min{nP0, n(1− P0)} ≥ 10. Probafuggveny:

z :=X − nP0√nP0(1− P0)

.

Ha H0 teljesul, akkor z eloszlasa kozel standard normalis.Baloldali alternatıva:

za :=X − nP0 + 1/2√

nP0(1− P0);

Jobboldali alternatıva:

z f :=X − nP0 − 1/2√

nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Binomialis proba

Nagymintas eset

Jelolje X a vizsgalt esemeny bekovetkezeseinek szamat.Nullhipotezis: H0 : P = P0.Nagy minta: min{nP0, n(1− P0)} ≥ 10. Probafuggveny:

z :=X − nP0√nP0(1− P0)

.

Ha H0 teljesul, akkor z eloszlasa kozel standard normalis.Baloldali alternatıva:

za :=X − nP0 + 1/2√

nP0(1− P0);

Jobboldali alternatıva:

z f :=X − nP0 − 1/2√

nP0(1− P0).

Szokol Patricia

Elojel proba

Legyen y1, y2, . . . , yn egy fuggetlen azonos eloszlasu minta tetszolegesfolytonos eloszlasu Y valtozora.

Jelolje Me az Y medianjat,P(Y < Me) = P(Y > Me) = 1

2 .Nullhipotezis: H0 : Me = Me0;Ellenhipotezis:

H1 : Me 6= Me0; Hb1 : Me < Me0; Ha

1 : Me > Me0.

Ekvivalens atfogalmazas a P := P(Y > Me0) jelolessel.Nullhipotezis: H0 : P = 1

2 ;Ellenhipotezis:

H1 : P 6= 1

2, Hb

1 : P <1

2, H j

1 : P >1

2.

Binomialis proba a P0 = 12 esetre.

yi −Me0 ertekek kozott vizsgaljuk pl. a pozitıv elojeluek aranyat.Elmeletben nem lehetnek 0 kulonbsegek. A gyakorlatban vannak,elhagyjuk azokat.

Szokol Patricia

Elojel proba

Legyen y1, y2, . . . , yn egy fuggetlen azonos eloszlasu minta tetszolegesfolytonos eloszlasu Y valtozora.Jelolje Me az Y medianjat,P(Y < Me) = P(Y > Me) = 1

2 .Nullhipotezis: H0 : Me = Me0;Ellenhipotezis:

H1 : Me 6= Me0; Hb1 : Me < Me0; Ha

1 : Me > Me0.

Ekvivalens atfogalmazas a P := P(Y > Me0) jelolessel.Nullhipotezis: H0 : P = 1

2 ;Ellenhipotezis:

H1 : P 6= 1

2, Hb

1 : P <1

2, H j

1 : P >1

2.

Binomialis proba a P0 = 12 esetre.

yi −Me0 ertekek kozott vizsgaljuk pl. a pozitıv elojeluek aranyat.Elmeletben nem lehetnek 0 kulonbsegek. A gyakorlatban vannak,elhagyjuk azokat.

Szokol Patricia

Elojel proba

Pelda

Az alabbi adatok 12 Turbo tudas modszerrel felkeszıtett hallgatovizsgapontszamait tartalmazzak (a maximalis pontszam 50):

36, 26, 30, 34, 42, 24, 30, 45, 32, 19, 35, 38,

Kozismert, hogy a hagyomanyos modszerrel tanulok koreben a pontokmedianja 30. Az elojel proba segıtsegevel dontson 10%-os szinten, hogyaz uj modszerrel megszerzett pontok magasabb median ertekkel bırnak-e.

A hipotezisek: H0 : Me = 30, H1 : Me > 30.Az elojelek (ertek - 30 elojele):

+− 0 + +− 0 + +−+ + .

A probafuggveny erteke (a + jelek szama): B = 7.Elhagyva a 0 kulonbsegeket, ha H0 igaz, B eloszlasa B(10, 0.5).Dontesi szint: α = 0.1.p-ertek: p = P(B ≥ 7) = 0.172 > 0.1. Elfogadjuk H0-t.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

A Mann-Whitney proba egy legalabb ordinalis valtozo medianjathasonlıtja ossze ket, egymastol fuggetlen csoportnal. Intervallumvaltozoknal is hasznalhatjuk, peldaul ha az eloszlas jelentosen elter anormalistol.

Legyen y1, y2, · · · , ynY es x1, x2, · · · , xnX egy-egy fuggetlen azonoseloszlasu minta ket tetszoleges folytonos eloszlasbol, melyekeloszlasfuggvenye rendre: F (x) = P(X < x) es G (x) = P(Y < x) esmedianjuk: MeY es MeX . Tegyuk fel tovabba, hogy a mintak egymastolfuggetlenek.Nullhipotezis: H0 : F (x) = G (x).Ha F (x) = G (x), akkor P(X > Y ) = 1

2 es MeY = MeX .

A) Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 12 ;

Ellenhipotezis:

H1 : P(X > Y ) 6= 1

2; Hb

1 : P(X > Y ) <1

2; H j

1 : P(X > Y ) >1

2

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

A Mann-Whitney proba egy legalabb ordinalis valtozo medianjathasonlıtja ossze ket, egymastol fuggetlen csoportnal. Intervallumvaltozoknal is hasznalhatjuk, peldaul ha az eloszlas jelentosen elter anormalistol.Legyen y1, y2, · · · , ynY es x1, x2, · · · , xnX egy-egy fuggetlen azonoseloszlasu minta ket tetszoleges folytonos eloszlasbol, melyekeloszlasfuggvenye rendre: F (x) = P(X < x) es G (x) = P(Y < x) esmedianjuk: MeY es MeX . Tegyuk fel tovabba, hogy a mintak egymastolfuggetlenek.

Nullhipotezis: H0 : F (x) = G (x).Ha F (x) = G (x), akkor P(X > Y ) = 1

2 es MeY = MeX .

A) Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 12 ;

Ellenhipotezis:

H1 : P(X > Y ) 6= 1

2; Hb

1 : P(X > Y ) <1

2; H j

1 : P(X > Y ) >1

2

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

A Mann-Whitney proba egy legalabb ordinalis valtozo medianjathasonlıtja ossze ket, egymastol fuggetlen csoportnal. Intervallumvaltozoknal is hasznalhatjuk, peldaul ha az eloszlas jelentosen elter anormalistol.Legyen y1, y2, · · · , ynY es x1, x2, · · · , xnX egy-egy fuggetlen azonoseloszlasu minta ket tetszoleges folytonos eloszlasbol, melyekeloszlasfuggvenye rendre: F (x) = P(X < x) es G (x) = P(Y < x) esmedianjuk: MeY es MeX . Tegyuk fel tovabba, hogy a mintak egymastolfuggetlenek.Nullhipotezis: H0 : F (x) = G (x).

Ha F (x) = G (x), akkor P(X > Y ) = 12 es MeY = MeX .

A) Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 12 ;

Ellenhipotezis:

H1 : P(X > Y ) 6= 1

2; Hb

1 : P(X > Y ) <1

2; H j

1 : P(X > Y ) >1

2

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

A Mann-Whitney proba egy legalabb ordinalis valtozo medianjathasonlıtja ossze ket, egymastol fuggetlen csoportnal. Intervallumvaltozoknal is hasznalhatjuk, peldaul ha az eloszlas jelentosen elter anormalistol.Legyen y1, y2, · · · , ynY es x1, x2, · · · , xnX egy-egy fuggetlen azonoseloszlasu minta ket tetszoleges folytonos eloszlasbol, melyekeloszlasfuggvenye rendre: F (x) = P(X < x) es G (x) = P(Y < x) esmedianjuk: MeY es MeX . Tegyuk fel tovabba, hogy a mintak egymastolfuggetlenek.Nullhipotezis: H0 : F (x) = G (x).Ha F (x) = G (x), akkor P(X > Y ) = 1

2 es MeY = MeX .

A) Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 12 ;

Ellenhipotezis:

H1 : P(X > Y ) 6= 1

2; Hb

1 : P(X > Y ) <1

2; H j

1 : P(X > Y ) >1

2

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

B) Nullhipotezis: H0 : MeY = MeX ;Ellenhipotezis:

H1 : MeY = MeX ; Hb1 : MeY < MeX ; H j

1 : MeY > MeX .

Probafuggveny

Adott nY elemu minta Y -ra es nx elemu az X -re.

Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 12 .

Egyesıtjuk a ket mintat es a kapott nY + nX elemet rangsorbaallıtjuk.

Minden egyes mintaelemhez hozzarendeluk a rangjat, azaz asorszamat. Egyenlo mintaelemek eseten az azonos ertekekrangjainak atlagat vesszuk (kapcsolt rangok).

Meghatarozzuk az X sokasagbol valo mintaelemek rangjainak RX

osszeget. Wilcoxon-fele W rangosszeg.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

B) Nullhipotezis: H0 : MeY = MeX ;Ellenhipotezis:

H1 : MeY = MeX ; Hb1 : MeY < MeX ; H j

1 : MeY > MeX .

Probafuggveny

Adott nY elemu minta Y -ra es nx elemu az X -re.Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 1

2 .

Egyesıtjuk a ket mintat es a kapott nY + nX elemet rangsorbaallıtjuk.

Minden egyes mintaelemhez hozzarendeluk a rangjat, azaz asorszamat. Egyenlo mintaelemek eseten az azonos ertekekrangjainak atlagat vesszuk (kapcsolt rangok).

Meghatarozzuk az X sokasagbol valo mintaelemek rangjainak RX

osszeget. Wilcoxon-fele W rangosszeg.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

B) Nullhipotezis: H0 : MeY = MeX ;Ellenhipotezis:

H1 : MeY = MeX ; Hb1 : MeY < MeX ; H j

1 : MeY > MeX .

Probafuggveny

Adott nY elemu minta Y -ra es nx elemu az X -re.Nullhipotezis: H0 : P(X > Y ) = 1

2 .

Egyesıtjuk a ket mintat es a kapott nY + nX elemet rangsorbaallıtjuk.

Minden egyes mintaelemhez hozzarendeluk a rangjat, azaz asorszamat. Egyenlo mintaelemek eseten az azonos ertekekrangjainak atlagat vesszuk (kapcsolt rangok).

Meghatarozzuk az X sokasagbol valo mintaelemek rangjainak RX

osszeget. Wilcoxon-fele W rangosszeg.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

SPSS

Az SPSS mindket minta rangosszeget kiszamolja. Azt tekinti Xsokasagnak, amelyiknek kisebb az atlagos rangja.

nx(nX + 1)

2≤ RX ≤ nX · nY +

nx(nX + 1)

2.

Probafuggveny (Mann-Whitney U): UX = RX − nx (nX+1)2 .

UX : Y sokasagbeli mintaelem hanyszor kisebb, mint X -beli.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

Kritikus tartomany

Adott nY elemu minta Y -ra es nX elemu minta X -re. Nullhipotezis:H0 : P(X > Y ) = 1

2 .RX : az X sokasagbol valo mintaelemek rangosszege.

Probafuggveny: 0 ≤ UX = RX − nX (nX+1)2 ≤ nX · nY .

Ha P(X > Y ) < 12 , akkor az X sokasagbol vett elemek a rangsor elejen

allnak, RX kicsi.Kis minta: nY ≤ 20, nX ≤ 20.Adott α szignifikanciaszinthez tartozo kritikus tartomany:H1 : P(X > Y ) 6= 1

2 eseten UX ≤ ca(α/2) vagy UX ≥ cf (α/2);Hb

1 : P(X > Y ) < 12 eseten UX ≤ ca(α);

H j1 : P(X > Y ) > 1

2 eseten UX ≥ cf (α).ca(α): also kritikus ertek, tablazatbol megadhato;cf (α): felso kritikus ertek, cf (α) = nX · nY − ca(α).

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

Kritikus tartomany

Adott nY elemu minta Y -ra es nX elemu minta X -re. Nullhipotezis:H0 : P(X > Y ) = 1

2 .RX : az X sokasagbol valo mintaelemek rangosszege.

Probafuggveny: 0 ≤ UX = RX − nX (nX+1)2 ≤ nX · nY .

Ha P(X > Y ) < 12 , akkor az X sokasagbol vett elemek a rangsor elejen

allnak, RX kicsi.

Kis minta: nY ≤ 20, nX ≤ 20.Adott α szignifikanciaszinthez tartozo kritikus tartomany:H1 : P(X > Y ) 6= 1

2 eseten UX ≤ ca(α/2) vagy UX ≥ cf (α/2);Hb

1 : P(X > Y ) < 12 eseten UX ≤ ca(α);

H j1 : P(X > Y ) > 1

2 eseten UX ≥ cf (α).ca(α): also kritikus ertek, tablazatbol megadhato;cf (α): felso kritikus ertek, cf (α) = nX · nY − ca(α).

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba

Kritikus tartomany

Adott nY elemu minta Y -ra es nX elemu minta X -re. Nullhipotezis:H0 : P(X > Y ) = 1

2 .RX : az X sokasagbol valo mintaelemek rangosszege.

Probafuggveny: 0 ≤ UX = RX − nX (nX+1)2 ≤ nX · nY .

Ha P(X > Y ) < 12 , akkor az X sokasagbol vett elemek a rangsor elejen

allnak, RX kicsi.Kis minta: nY ≤ 20, nX ≤ 20.Adott α szignifikanciaszinthez tartozo kritikus tartomany:H1 : P(X > Y ) 6= 1

2 eseten UX ≤ ca(α/2) vagy UX ≥ cf (α/2);Hb

1 : P(X > Y ) < 12 eseten UX ≤ ca(α);

H j1 : P(X > Y ) > 1

2 eseten UX ≥ cf (α).ca(α): also kritikus ertek, tablazatbol megadhato;cf (α): felso kritikus ertek, cf (α) = nX · nY − ca(α).

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba, Pelda

Egy Vegyipari Kombinat gepkezeloi kozul nehanyat tovabbkepzesrekuldtek annyak erdekeben, hogy munkajuk soran kevesebb hibatvetsenek. A tanfolyam eredmenyesseget vizsgalando 6, a tanfolyamotmar elvegzett es 12 meg elotte allo gepkezelonek ugyanazt a feladatotadtak es feljegyeztek a vegrehajtas soran vegzett hibaik szamat.

Tanfolyam utan 11 9 4 7 6 2Tanfolyam elott 3 17 12 13 21 6 1 15 19 16 14 10

Hipoteziseit pontosan megfogalmazva egy alkalmas nemparameteresproba segıtsegevel dontson 5%-os szinten, volt-e haszna a tanfolyamnak.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba, Pelda

Y : tanfolyam elotti pontszam; X : tanfolyam utani pontszam.Hipotezisek: H0 : P(X > Y ) = 1

2 , H1 : P(X > Y ) < 12 .

Az egyesıtett minta rangsora (alahuzas: a tanfolyamot elvegzok adatai):

1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21.

Az alahuzott elemek rangjai: 2, 4, 5.5, 7, 8, 10. A rangosszeg:RX = 36.5. A probafuggveny (nX = 6, nY = 12):

UX = RX − nX (nX+1)2 = 36.5− 21 = 15.5. A kritikus tartomany:

UX ≤ U0.95(6, 12) = 17. A kapott ertek beleesik, ıgy elvetjuk H0-t. Volthaszna a tanfolyamnak.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba, Pelda

Y : tanfolyam elotti pontszam; X : tanfolyam utani pontszam.Hipotezisek: H0 : P(X > Y ) = 1

2 , H1 : P(X > Y ) < 12 .

Az egyesıtett minta rangsora (alahuzas: a tanfolyamot elvegzok adatai):

1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21.

Az alahuzott elemek rangjai: 2, 4, 5.5, 7, 8, 10. A rangosszeg:RX = 36.5. A probafuggveny (nX = 6, nY = 12):

UX = RX − nX (nX+1)2 = 36.5− 21 = 15.5.

A kritikus tartomany:UX ≤ U0.95(6, 12) = 17. A kapott ertek beleesik, ıgy elvetjuk H0-t. Volthaszna a tanfolyamnak.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba, Pelda

Y : tanfolyam elotti pontszam; X : tanfolyam utani pontszam.Hipotezisek: H0 : P(X > Y ) = 1

2 , H1 : P(X > Y ) < 12 .

Az egyesıtett minta rangsora (alahuzas: a tanfolyamot elvegzok adatai):

1, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21.

Az alahuzott elemek rangjai: 2, 4, 5.5, 7, 8, 10. A rangosszeg:RX = 36.5. A probafuggveny (nX = 6, nY = 12):

UX = RX − nX (nX+1)2 = 36.5− 21 = 15.5. A kritikus tartomany:

UX ≤ U0.95(6, 12) = 17. A kapott ertek beleesik, ıgy elvetjuk H0-t. Volthaszna a tanfolyamnak.

Szokol Patricia

Mann-Whitney proba, Nagymintas proba

Adott nY elemu minta Y -ra es nX elemu minta X -re. Nullhipotezis:H0 : P(X > Y ) = 1

2 .RX : az X sokasagbol valo mintaelemek rangosszege.

0 ≤ UX = RX −nX (nX + 1)

2≤ nX · nY .

Ha H0 teljesul:

E (UX ) =nXnY

2; Var(UX ) =

nXnY (nX + nY + 1)

12.

Probafuggveny:

z =UX − nX nY

2√nX nY (nX+nY+1)

12

.

Ha H0 teljesul es a mintalelemszamok nagyok, z eloszlasa kozel standardnormalis.Adott α szignifikanciaszinthez tartozo kritikus tartomanyok ugyanazok,mint a z-proba eseten.

Szokol Patricia