STATISZTIKA, VALSZNSGSZMTS

STATISZTIKA, VALSZNSG-SZMTSAz anyagrszek feldolgozsa feleltet rendszer felhasznlsvalKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.1Interwrite Response PRS feleltetrendszerhez kszlt. (5.22-es szoftvervltozathoz)Br a jegyzet rszben az emelt szint rettsgi kvetelmnyeit is tartalmazza, ebben az anyagban csak a kzpszint rettsgi anyagt dolgoztam fel.A bemutat nem animlt, klssgeiben egyszersgre trekedtem, hogy aktv tblra is trakhat illetve szksg esetn nyomatathat legyen.Termszetesen tovbbi feladatok beszrsval tovbb bvthet.

rettsgi kvetelmnyek a tmbl: (A 2010. janur 1-tl hatlyos, Az rettsgi vizsga rszletes kvetelmnyeirl szl 40/2002. (V. 24.) OM rendelet)

A) KOMPETENCIK:Valsznsg-szmts, statisztika- rtse a tanul a statisztikai kijelentsek s gondolatmenetek sajtos termszett.- Ismerje a statisztikai lltsok igazolsra felhasznlhat adatok gyjtsnek lehetsges formit, s legyen jrtas a kapott adatok ttekinthet szemlltetsben, klnbz statisztikai mutatkkal val jellemzsben.- Az emelt szinten rettsgiz dik tudjon egyszerbb vletlenszer jelensgeket modellezni s a valsznsgi modellben szmtsokat vgezni.Emelt szinten ismerje a vletlen szerept egyszer statisztikai mintavteli eljrsokban.B) VIZSGAKVETELMNYEK5. Valsznsg-szmts, statisztikaA modern tudomnyelmlet egyik fontos pillre az a gondolkodsmd, amellyel a sztochasztikus jelensgek lerhatk. A trsadalomtudomnyi, a termszettudomnyi s a kzgazdasgi trvnyeink nagy rsze csak statisztikusan igaz. A mindennapi let trtnseit sem lehet megrteni statisztikai ismeretek nlkl, mivel ott is egyre gyakrabban olyan tmegjelensgekkel kerlnk szembe, amelyek a statisztika eszkzeivel kezelhetk. A sztochasztika gondolkodsmdja a XXI. szzad elejre az emberi gondolkodsnak, dntseknek s cselekvseknek olyannyira alapvet rsze lesz, hogy elsajttsa semmikppen sem kerlhet meg.Ebben a tmakrben kzpszinten csak az alapfogalmak megrtst s hasznlatt kveteljk meg, mg emelt szinten a tma matematikai felptsnek egyes rszeirl is szmot kell adni. E fejezet kvetelmnyrendszere kt ellenttes tendencia kztti kompromisszum jegyben szletett, mely szerint alapvet trsadalmi szksg mutatkozik a tma irnt, mikzben a tantsban elfoglalt helye ma mg igencsak perifrikus. (rszletes kvetelmnyek a megfelel diknl tallhatk)

1STATISZTIKAKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.2

Kvetelmnyek:5.1. Ler statisztikaTudjon adott adathalmazt szemlltetni.

5.1.1. Statisztikai adatok gyjtse, rendszerezse, klnbz brzolsaiKzpszinten:Tudjon adathalmazt tblzatba rendezni s tblzattal megadott adatokat feldolgozni.rtse a vletlenszer mintavtel fogalmt.Tudjon krdiagramot s oszlopdiagramot kszteni.Tudjon adott diagramrl informcit kiolvasni.Tudja s alkalmazza a kvetkez fogalmakat: osztlyba sorols, gyakorisgi diagram, relatv gyakorisg. Emelt szinten:Tudjon hisztogramot kszteni, s adott hisztogramrl informcit kiolvasni.Ismerje az adathalmazok egyestse s tlaguk kztti kapcsolatot.2Egy 16-20 v kztti fiatalok egy csoportjt vizsgl krdven tbbek kztt az albbi krdsekre vrnak vlaszt: 1.) Neme (fi, lny):2.) Kora:3.) Melyik kerletben lakik:4.) Hny rt tlt naponta TV-nzssel:

Melyek a minstses ismrvek? A megfelel sorszmok folyamatos, egyms utni bersval vlaszolj!Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.3

Statisztikai sokasg: az a halmaz, melyet valamilyen ismrvek alapjn vizsglunk.Ismrv: a vizsglt adathalmaz valamely vizsglt tulajdonsga.Szm jelleg ismrv.Minstses ismrv: nem szmmal kifejezhet, vagy szmmal jellt de nem szm jelleg ismrv (azaz nem lenne rtelme velk matematikai mveletet vgezni (pl. 2. kerlet; 21. szzad; 4-es iskolai osztlyzat stb.)Rendezhet, diszkrt, folytonos ismrvek3A cukorgyrban az egyik minsgellenr azt vizsglja, hogy mennyi cukrot tltenek a gpek a zacskba. Ebben az esetben mi a statisztikai sokasg?A: a cukorral tlttt zacskkB: az egyes zacskkban lv cukor mennyisgeC: zacsknknti cukormennyisgKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.4

4A cukorgyrban az egyik minsgellenr azt vizsglja, hogy mennyi cukrot tltenek a gpek a zacskba. Ebben az esetben mi az ismrv?A: a cukorral tlttt zacskkB: az egyes zacskkban lv cukor mennyisgeC: zacsknknti cukormennyisgKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.5

5A cukorgyrban az egyik minsgellenr azt vizsglja, hogy mennyi cukrot tltenek a gpek a zacskba. Ebben az esetben mi az adat ?A: a cukorral tlttt zacskkB: az egyes zacskkban lv cukor mennyisgeC: zacsknknti cukormennyisgKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.6

6Az 2009-2010-es szezonban a Mensuli kosrlabda csapatnak 14 tagja volt. A jtkosok magassga a kvetkez volt:

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.7MA178 cmTB183 cmAM208 cmRB188 cmKG203 cmRP216 cmDC196 cmHH190 cmSB201 cmDH201 cmDV196 cmLE208 cmMB163 cmLJ201 cm

Az adatokat foglaljuk 10 cm-enknti osztlykzs tblzatba.

Gyakorisg, osztlykzs gyakorisg, relatv gyakorisg

7Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.8MA178 cmTB183 cmAM208 cmRB188 cmKG203 cmRP216 cmDC196 cmHH190 cmSB201 cmDH201 cmDV196 cmLE208 cmMB163 cmLJ201 cm

160-169 cm170-179 cm180-189 cm190-199 cm200-209 cm210-219 cmFolyamatosan egyms utn rva add meg a tblzatba rand rtkeket!

8Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.9MA178 cmTB183 cmAM208 cmRB188 cmKG203 cmRP216 cmDC196 cmHH190 cmSB201 cmDH201 cmDV196 cmLE208 cmMB163 cmLJ201 cm

160-169 cm170-179 cm180-189 cm190-199 cm200-209 cm210-219 cm112361A helyes rtkek teht:9Egy tizedesre kerektve hatrozd meg, hogy a csapat hny szzalka tartozik az egyes magassg tartom-nyokba.160-169 cm-ig?160-169 cm: 170-179 cm:180-189 cm:190-199 cm:200-209 cm:210-219 cm:

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.10

10Egy tizedesre kerektve hatrozzuk meg, hogy a csapat hny szzalka tartozik az egyes magassg tartom-nyokba.180-189 cm-ig?160-169 cm: 7,1 %170-179 cm: 7,1 %180-189 cm:190-199 cm:200-209 cm:210-219 cm: 7,1 %Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.11

11Egy tizedesre kerektve hatrozzuk meg, hogy a csapat hny szzalka tartozik az egyes magassg tartom-nyokba.190-199 cm-ig?160-169 cm: 7,1 %170-179 cm: 7,1 %180-189 cm:14,3 %190-199 cm:200-209 cm:210-219 cm: 7,1 % Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.12

12Egy tizedesre kerektve hatrozzuk meg, hogy a csapat hny szzalka tartozik az egyes magassg tartom-nyokba.200-209 cm-ig?160-169 cm: 7,1 %170-179 cm: 7,1 %180-189 cm:14,3 %190-199 cm:21,4 %200-209 cm:210-219 cm: 7,1 %Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.13

13Egy tizedesre kerektve hatrozzuk meg, hogy a csapat hny szzalka tartozik az egyes magassg tartom-nyokba.160-169 cm: 7,1 %170-179 cm: 7,1 %180-189 cm:14,3 %190-199 cm:21,4 %200-209 cm:42,9 %210-219 cm: 7,1 %Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.1414Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.15OSZLOPDIAGRAMOszlopdiagram. Az oszlopok magassga arnyos a gyakorisggal.Mikor hasznljuk? Akkor, ha gyakorisgokat, (esetleg relatv gyakorisgokat), vagy valamilyen mennyisgeket szeretnnk sszehasonltani, vagy valamilyen adat idbeli vltozst szeretnnk bemutatni.Mikor ne hasznljuk? Ha az adatok kztt van egy nagyon nagy vagy nagyon kicsi; vagy az adatok kztti klnbsg nagyon kicsi.

15HISZTOGRAMKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.16Hisztogram: (emelt szinthez)a gyakorisgok a tglalap terletvel arnyosak (brzolskor a tglalap magassgt gy kapjuk, hogy a gyakorisgot osztjuk az osztlykz szlessgvel)/az oszlopok kztt nincsenek hzagok!; minden adat abba az oszlopba kerl, amelynek als hatrnl nem kisebb, de a fels hatrnl kisebb/16KRDIAGRAMKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.17Melyiken jelenti meg helyesen a tblzat adatait?

Krdiagram (a relatv gyakorisg arnyos a krcikk kzpponti szgvel)Mikor ne hasznljuk? Ha tl sok adat van, vagy kis adatok mellett van egy nagy adat.17KRDIAGRAMKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.18Elvben mindkett j, m a B esetben a trbelisg miatt a kzpponti szgek torzulnak, gy az arnyok nem jl olvashatk le rla!18SZALAGDIAGRAMKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.19korcsoport0-9 10-1920-2930-3940-4950-5960-6970-7980-8990-sszesennpessg (1000 f)8561304160412691572123799973923369819%-os megoszls8,713,316,312,91612,610,27,52,40,1Szalagdiagram: a szzalkos adatokat tglalapban brzoljuk. Szlessge lnyegtelen, hossza 100%-nak felel meg (clszer pl. 10 cm=100mm-nek venni, gy knny brzolni)19Ksztsnk vonaldiagramot a kvetkez tblzat adataibl:hnapJan.Febr.Mrc.pr.Mj.Jn.Jl.Aug.Szept.Okt.Nov.Dec.C1516182124293231302520,516Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.20Vonaldiagram vagy ms nven trttvonal-grafikon (valamely mennyisg idbeli vltozsnak szemlltetsre hasznljuk)

20Ksztsnk vonaldiagramot a kvetkez tblzat adataibl:hnapJan.Febr.Mrc.pr.Mj.Jn.Jl.Aug.Szept.Okt.Nov.Dec.C1516182124293231302520,516Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.2121STATISZTIKAI KZEPEKKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.22Egy lelmiszer ruhz szeretn felmrni, hogy ngyesvel, hatosval vagy nyolcasval rdemes-e az svnyvizes palackokat csomagolni. Ezrt egy hten keresztl figyeltk, hogy hny palack svnyvizet vesznek. Ezt a gyakorisgi tblzatot kaptk:

Egyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Statisztikai kzprtkekMdusz: leggyakoribb adatMedin (csak rendezhet adatoknl van rtelme): a kzps adat. Pros sok adat esetn a kt kzps szmtani kzepe.Szmtani kzp (tlag): adatok sszege osztva az adatok szmval. Mikor melyiket clszer hasznlni?Nincs ltalnos szably, de: a mduszt akkor hasznljuk, ha a leggyakoribb adatra van szksgnk; a szmtani kzepet akkor hasznljuk, ha az adatok sszegnek van rtelme;a medint akkor hasznljuk, ha az adatok kztt van egy vagy nhny kiugran nagy, vagy kicsi, ami az adathalmaz szmtani kzept nagyon elvinn, ezrt az nem lenne j jellemz adat.22STATISZTIKAI KZEPEKKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.23Egyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Melyik a leggyakoribb teht?(azaz mennyi a mdusz rtke?)

23STATISZTIKAI KZEPEKKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.24Egyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Mennyi a medin palackszm?(azaz mennyi a kzps rtk?)

24STATISZTIKAI KZEPEKKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.25Egyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731tlagosan hny palackot vsrolt egy vev? (azaz mennyi a szmtani kzp?) (egszre kerektve add meg!)

25STATISZTIKAI KZEPEKKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.26Egyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731A kapott eredmnyek teht:Mdusz: 5 palack Medin: 5 palackSzmtani kzp: 4 palackA tblzat s a kapott rtkek alapjn te hny darabot raknl egy csomagba ? A: 4 B:5 C:6

26STATISZTIKAI KZEPEKKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.27Egyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Mdusz: 5 palack Medin: 5 palackSzmtani kzp: 4 palack

Nyilvn a mdusz a mrvad, mert leggyakrabban egyszerre 5 db-ot vittek. Csakhogy technikai okokbl pros sokat kell egybe csomagolni! A tblzat alapjn ezrt 6-ot rdemes egy csomagba tenni. Mikor melyiket clszer hasznlni?Nincs ltalnos szably, de: a mduszt akkor hasznljuk, ha a leggyakoribb adatra van szksgnk; a szmtani kzepet akkor hasznljuk, ha az adatok sszegnek van rtelme;a medint akkor hasznljuk, ha az adatok kztt van egy vagy nhny kiugran nagy, vagy kicsi, ami az adathalmaz szmtani kzept nagyon elvinn, ezrt az nem lenne j jellemz adat.27SZRDS MRSEEgyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.28Mennyi a terjedelem rtke?

Szrds mrse: terjedelem; tlagos abszolt eltrs (itt ltalban a medintl val eltrssel szmolunk); szrsngyzet illetve szrs (itt a szmtani tlagtl val eltrssel szmolunk)

28SZRDS MRSEEgyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.29Nem az ismrvre , hanem az adatokra vonatkozik ez a krds!Teht a helyes vlasz: 65-1=6429SZRDS MRSEEgyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.30Mennyi az tlagos abszolt eltrs?(egy tizedes jegyre kerektsd!)

30SZRDS MRSEEgyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.31Az egyes adatoknak a medintl val eltrsvel kellett szmolni:

31SZRDS MRSEEgyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.32Mennyi a szrs rtke ? (3 tizedes jegyre kerektsd!)

32SZRDS MRSEEgyszerre vsrolt palackok szma123456789Gyakorisg32164436551731Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.33Ezt mindenkppen clszer a szmol-gp statisztikus zemmdba val lltsval kiszmolni. Itt a szmtani kzptl val eltrssel kell szmolnunk!

33FELADATKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.34Egy autakkumultorokat gyrt vezet mrnknek kt gyrtsi eljrs kzl kell vlasztania. Egy-egy 8 elem mintt vesz a klnbz eljrssal gyrtott akkumulto-rokbl, s megvizsglja lettartamukat (hnapban) .34FELADATKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.35A eljrsnl2124222325232620B eljrsnl2327202226202719Melyik eljrst ajnlannk a mrnknek?Mirt?

35FELADATKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.36A eljrsnl2124222325232620B eljrsnl2327202226202719A: tlag=23 hnapszrs=1,87 hnapB: tlag=23 hnapszrs=3,08 hnaptlagosan mindkett ugyanannyi ideig j, de az A esetben kisebb a szrs, teht inkbb azt vlassza.36VALSZNSG-SZMTSKsztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.37

Kvetelmnyek:Kzpszinten: Vges sok kimenetel esetn szimmetria megfontolsokkal szmthat valsznsgek (egyenl esly elemi esemnyekbl) egyszer feladatokban.Esemny, esemnytr konkrt pldk esetn.A klasszikus (Laplace)-modell ismerete.Szemlletes kapcsolat a relatv gyakorisg s a valsznsg kztt.Valsznsgek kiszmtsa visszatevses mintavtel esetn, binomilis eloszlsEmelt szinten: Ismerje s alkalmazza a kvetkez fogalmakat: esemnyek egyestsnek, metszetnek s komplementernek valsznsge, feltteles valsznsg, fggetlensg, fggsg.A nagy szmok trvnynek szemlletes tartalma (nagyobb n-ekre valsznbb, hogy |k/n - p| < ).Geometriai valsznsg.A binomilis eloszls (visszatevses modell) s a hipergeometriai eloszls (visszatevs nlkli modell) tulajdonsgai s brzolsa.Vrhat rtk, szrs fogalma s kiszmtsa a diszkrt egyenletes s a binomilis eloszls esetn.A binomilis eloszls alkalmazsa. A minta relatv gyakorisgnak becslse a sokasg paramternek ismeretben.

37VALSZNSG-SZMTSNhny fontos fogalom:Vletlen esemny: pldul kockadobs vagy rmedobs esetn, hogy melyik oldalra rkezik, azaz mi lesz fell.Valsznsg: mekkora egy vletlen esemny bekvetkezsnek hajlandsga..

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.3838VALSZNSG-SZMTSNhny fontos fogalom:Elemi esemny: pldul kocka dob-soknl, hogy 1-est, 2-est,, 6-ost dobunk; rmedobsnl fej vagy rs; stbBiztos esemny: biztosan bekvetkez esemny (100%). Lehetetlen esemny: sohasem kvetkezhet be..Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.3939VALSZNSG-SZMTSNhny fontos fogalom:Kedvez eset: egy ltalunk kivlasztott esemny bekvetkezse.Kt vagy tbb kocka illetve pnzrme a tapasztalat szerint sohasem tekinthet egyformnak mg akkor sem, ha ltszlag azok! (ezt a szmolsnl figyelembe kell venni!)

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.4040VALSZNSG-SZMTSEgy kocka feldobsakor az eredmny 1-es, 2-es, 3-as, 4-es, 5-s vagy 6-os dobs (elemi esemnyek).A tapasztalat szerint ezek elg sok ksrletet vgezve egyforma szmban kvetkeznek be, azaz mindegyiknek ugyanakkora az eslye (valsznsge).

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.4141VALSZNSG-SZMTSHa egy ksrletben brmely elemi esemny egyforma valsznsggel kvetkezik be, akkor egy (nem felttlenl elemi) esemny valsznsge (P):P=kedvez esetek szma sszes eset szma

Ezt nevezzk klasszikus (Laplace-fle) valsznsgi modellnek.

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.4242Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval pratlan szmot dobunk?

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.4343Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval pratlan szmot dobunk?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.44Mivel 1-tl 6-ig 3 pratlan szm van, gy a kedvez esetek szma 3, az sszes eset 6, teht a keresett valsznsg ezek hnyadosa: P=0,544Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval prmszmot dobunk?

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.4545Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval prmszmot dobunk?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.46Mivel 1-tl 6-ig 3 prmszm van (vigyzat, az 1 nem prmszm!), gy a kedvez esetek szma 3, az sszes eset 6, teht a keresett valsznsg ezek hnyadosa: P=0,546Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval 2-est vagy 5-st dobunk?(2 tizedes jegyre kerektve add meg)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.47

47Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval 2-est vagy 5-st dobunk?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.48Mivel kedvez esetnek szmt akr az egyiket, akr a msikat dobjuk, ezrt a kedvez esetek szma 2. Az sszes eset 6, teht a keresett valsznsg ezek hnyadosa, ami 2 tizedes jegyre kerektve : P=0,33.48Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval legalbb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerektve add meg)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.49

49Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval legalbb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerektve add meg)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.50A kedvez esetek szma 5 (csak az 1-es dobs nem j), sszes eset most is 6, teht a keresett valsznsg ezek hnyadosa: P=0,8350Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval legfeljebb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerektve add meg)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.51

51Mennyi annak a valsznsge, hogy egy szablyos dobkockval legfeljebb 2-est dobunk?(2 tizedes jegyre kerektve add meg)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.52A kedvez esetek szma 2, az sszes eset 6, teht a keresett valsznsg ezek hnyadosa: P=0,3352Dobjunk fel egyms utn ktszer egy rmt. Mennyi annak a valsznsge, hogy mindkett rs lesz?

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.5353Dobjunk fel egyms utn ktszer egy rmt. Mennyi annak a valsznsge, hogy mindkett rs lesz?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.54Az elemi esemnyek:FF FI IF IIA kedvez esetek szma teht 1, az sszes eset pedig 4. Ezrt a keresett valsznsg : P=0,2554Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. a) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt pontosan 2 rs van?

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.55

55Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. a) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt pontosan 2 rs van?Az elemi esemnyek:IIIIIFIFIFIIIFFFIFFFIFFFA kedvez esetek szma teht 3, az sszes eset 8. A keresett valsznsg teht P(A)=0,375Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.5656Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. b) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt pontosan 3 fej van?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.57

57Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. b) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt pontosan 3 fej van?Az elemi esemnyek:IIIIIFIFIFIIIFFFIFFFIFFFA kedvez esetek szma teht 1, az sszes eset 8. A keresett valsznsg teht P(B)=0,125Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.5858Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. c) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt legfeljebb 2 fej van?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.59

59Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. c) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt legfeljebb 2 fej van?Az elemi esemnyek:IIIIIFIFIFIIIFFFIFFFIFFFLegfeljebb 2 fej: 0 vagy 1 vagy 2 fej.A kedvez esetek szma teht 7. Az sszes eset 8, teht a keresett valsznsg:P(C)=0,875Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.6060Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.61Vegyk szre, hogy az elz kt esetben kapott valsznsgek sszege ppen 1.

A kt esemny egyms komplementere: egytt ppen az sszes elemi esemnyt adjk.

Ezrt gy is szmolhattunk volna, hogy P(C)=1 - P(B)61Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. d) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt a fejek szma egyenl az rsok szmval?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.62

62Egy szablyos rmvel egyms utn hromszor dobunk. d) Mennyi a valsznsge annak, hogy a dobsok kztt a fejek szma egyenl az rsok szmval?P=0, hiszen ez a lehetetlen esemny pratlan szm dobs esetn.Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.6363Vgezznk egy szablyos dobkockval 10 dobsbl ll dobssorozatot.a) Hnyfle dobssorozatot kaphatunk?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.64

64Vgezznk egy szablyos dobkockval 10 dobsbl ll dobssorozatot.a) Hnyfle dobssorozatot kaphatunk?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.65Mivel brmelyik dobs fggetlen a tbbitl, mindegyik dobs 6-fle lehet. Az ssze lehetsg teht 610 =60 466 17665Vgezznk egy szablyos dobkockval 10 dobsbl ll dobssorozatot.b) Hny olyan dobssorozat lehet, ahol pontosan 1-szer dobunk 6-ost?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.66

66Vgezznk egy szablyos dobkockval 10 dobsbl ll dobssorozatot.b) Hny olyan dobssorozat lehet, ahol pontosan 1-szer dobunk 6-ost?Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.67A 6-os dobs helyefle lehet,

mikzben a tbbi helyen 59 fle dobs lehetsges.Tehet a keresett lehetsgek szma:10*1 953 125 = 19 531 250

67Vgezznk egy szablyos dobkockval 10 dobsbl ll dobssorozatot.c) Mekkora annak az eslye, hogy pontosan egyszer dobunk 6-ost?(2 tizedes jegyre kerektve add meg!)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.68

68Vgezznk egy szablyos dobkockval 10 dobsbl ll dobssorozatot.c) Mekkora annak az eslye, hogy pontosan egyszer dobunk 6-ost?(3 tizedes jegyre kerektve add meg!)Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.69Az elzek alapjn a kedvez esetek szma19 531 250, az sszes eset 60 466 176.A keresett valsznsg ezek hnyadosa:P=0,32369Az 5 fekete s 1 piros golyt tartalmaz urnbl 30-szor hzunk egy-egy golyt, azt mindig visszatve. Mekkora az eslye annak, hogy pontosan 4-szer hztunk pirosat?

Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.70Binomilis eloszlsModell: Egy urnban adott N szm goly van, amelybl K piros. Mekkora az eslye annak, hogy n hzs esetn k darab pirosat hzunk (feltve, hogy minden hzs eltt visszatesszk a kihzott golyt, azokat sszekeverjk s tapintsra mind egyformk).70

Az 5 fekete s 1 piros golyt tartalmaz urnbl 30-szor hzunk egy-egy golyt, azt mindig visszatve. Mekkora az eslye annak, hogy pontosan 4-szer hztunk pirosat?30 hely kzl flekppen vlaszthat-juk ki azt a 4 helyet, ahol pirosat hztunk. Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.71

Binomilis eloszls71Az 5 fekete s 1 piros golyt tartalmaz urnbl 30-szor hzunk egy-egy golyt, azt mindig visszatve. Mekkora az eslye annak, hogy pontosan 4-szer hztunk pirosat?A maradk 26 hely brmelyikn az 5 fekete goly brmelyikt kihzhatjuk, gy ezek kihzsra 526 lehetsg van.Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.72Binomilis eloszls72Az 5 fekete s 1 piros golyt tartalmaz urnbl 30-szor hzunk egy-egy golyt, azt mindig visszatve. Mekkora az eslye annak, hogy pontosan 4-szer hztunk pirosat?A kedvez esetek szma teht az elzek szorzata. Ezt kell osztanunk az sszes esettel, ami 630gy a keresett valsznsg kb. 0,1847Ksztette: Grbe Mria, Mricz Zsigmond Gimnzium, Budapest, 2009-2010.73Binomilis eloszls73