Halaman 461

5.

6.

7. dapat dibagi 68. dapat dibagi 9.Dalam soal-soal 9-12, tentukanlah bilangan bulat pertama N untuk mana proposisi berikut benar untuk semua n > N dan kemudian buktikanlah proposisi tersebut untuk semua n > N’.9.10.11.12. untuk semua x.Dalam soal-soal 13-20, tunjukkalah kesimpulan apa yang dapat diambil tentang Pn dari keterangan berikut :13. P5 adalah benar dan Pi benar secara tidak langsung menyatakan Pi+2 benar.14. P1 dan P2 adalah benar dan Pi benar menyatakan Pi+2 benar.15. P30 adalah benar dan Pi benar menyatakan Pi-1 benar.16. P30 adalah benar dan Pi benar menyatakan Pi+1 dan Pi+1 benar.17. P1 adalah benar dan Pi benar menyatakan P41 dan Pi-1 benar18. P1 adalah benar dan P2i benar menyatakan P2i+1 benar.19. P1 dan P2 adalah benar, Pi dan Pi+1 benar menyatakan Pi+2 benar.20. P1 adalah benar dan Pi benar untuk j < i menyatakan Pi+1 benar.Dalam soal-soal 21-27, tentukan untuk n berapa proposisi berikut benar dan kemudian gunakan induksi matematika (munkin dalam salah satu bentuk alternatif yang telah anda peroleh dalam soal-soal 13-20) untuk membuktikan setiap soal berikut :21. x + y adalah suatu faktor dari xn + yn.22. Jumlah besaran sudut-sudut dalam dari suatu poligon cembung bersisi n (tanpa

lubang atau lekukan) adalah (n – 2) .

23. Jumlah diagonal sebuah poligon cembung bersisi-n adalah .

24.

25.

26. Misalkan f0 = 0, f1 = 1, dan fn+2 = fn+1 + fn untuk n > 0 (deret fibonacci). Maka,

27. Misalkan a0 = 0, a1= a, dan an+2 = (an+1 + an)/2 untuk n>0. Maka, an= [1 – (- )n]

28. Apa yang salah dalam pernyataan berikut, yang menyatakan bahwa semua orang dalam sembarang himpunan n orang adalah berusia sama? Pernyataan tersebut tentu saja benar untuk suatu himpunan yang terdiri dari satu orang. Misalkan pernyataan tersebut benar untuk sembarang himpunan I orang dan tinjaulah suatu himpunan W dari i+1 orang. Kita dapat menganggap W sebagai gabungan himpunan X dan Y, yang masing-masing terdiri dari I orang (sebagai contoh, gambarlah sebuah gambar bila W memiliki 6 orang). Dengan permisalan, masing-masing himpunan ini terdiri dari orang-orang yang berusia sama. Tetapi X dan Y saling tumpang tindih (dalam X Y) dan sama anggota himpunan W = X Y juga berusia sama.

Halaman 462

A.2 Bukti Beberapa Teorema

Teorema A(Teorema Utama Limit). Andaikan n suatu bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g funsi-fungsi yang mempunyai limit c. Maka :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9.

Bukti. Kita membuktikan bagian 1-5 dekat akhir Pasal 2.6, sehingga kita harus mulai dengan bagian 6. tetapi, pertama kita pilih untuk membuktikan suatu kasus khusus dari bagian 8, yakni

Untuk melihat ini, ingat kembali bahwa kita telah membuktikan bahwa

(Contoh 6, Pasal 2.5) sehingga f(x) = x2 kontinu di mana-mana. Jadi Teorema Komposisi Limit (Teorema 2.7D),

Selanjutnya, tuliskan

Dan terapkan bagian 3, 4, dan 5, ditambah apa-apa yang baru saja kita buktikan. Bagian 6 langsung.

Untuk membuktikan bagian 7, terapkan Teorema Komposisi Limit dengan f(x) =

dan gunakan contoh 7, pasal 2.5. maka

Halaman 463

Akhirnya, dari bagian 6,

Dari hasil yang berikutnya.Bagian 8 menyusul dari penggunaan secara berulang bagian 6 (secara teknik, dengan induksi matematika).Kita buktikan bagian 9 hanya untuk akar-akar kuadrat. Andaikan f(x)= , yang kontinu untuk bilangan-bilangan positif, menurut Contoh 4, Pasal 2.5. dari Teorema Komposisi limit,

Yang setara terhadap hasil yang diinginkan.

Teorema B(Aturan Rantai). Jika g dapat didiferensialkan di dan f dapat didiferensialkan di g(), maka dapat didiferensialkan di dan

Bukti. Kita tawarkan suatu bukti yang secara mudah digeneralisasikan ke dimensi yang lebih tinggi (lihat pasal 15.6).Dari hipotesis, f dapat didiferensialkan di b = g( ); yaitu terdapat suatu bilangan f’(b)sedemikian sehingga

(1)

Definisikan suatu fungsi yang tergantung pada untuk memperoleh(2) Keujudan limit dalam (1) setara terhadap untuk dalam (2). Jika dalam (2), kita gantikan dengan dan b dengan ,kita dapatkan

Atau dengan pembagian kedua ruas oleh

(3)

Dalam (3), andaikan . Karena g dapat dideferensialkan di , maka g akan kontinu di sana, sehingga memaksa ; dan selanjutnya membuat

. Kita simpulkan bahwa

yakni, dapat diseferensialkan di dan

Teorema C(Aturan Pangkat). Jika r bilangan rasional, maka xr dapat dideferensialkan disebarang x yang berada dalam suatu selang terbuka pada mana xr-1 adalah riil dan

Bukti pertama perhatikan kasos dimana r = 1/q, q adalah bilangan positif. Ingat kembali bahwa aq – bq difaktorkan sebagai aq – bq = ( a-b)( aq-1+ aq-2b + ... + abq-2+ bq-1)sehingga

Jadi, jika f(t) = t1/q

f’(x)= =

=

Sekarang dari aturan rantai, dengan p suatu bilangan bulat,

Teorema D(Limit vektor). Andaikan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka F mempunyai suatu limit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyai limit di c. Dalam hal demikian,

Bukti pertama, perhatikan bahwa untuk sebarang vektor u = ,

Kenyatan ini segera terlihat dalam gambar 1.

Sekarang andaikan ini berarti bahwa untuk sebarang ε>0

terdapat suatu yang berpadanan sedemikian sehingga0<

Gambar 1

Tetapi dari bagian kiri pertidaksamaan dalam kotak,

Sehingga

Ini menunjukkan bahwa . Argumentasi menunjukkan bahwa .

Setengah bagian pertama teorema kita lengkap.Sebaliknya, andaikan bahwa

Dan andaikan L = ai + bj. Untuk sebarang yang diberikan, terdapat suatu yang berpadanan sedemikian sehingga menyiratkan bahwa

Karena itu, dari bagian kanan pertidaksamaan dalam kotak,

Jadi,

A.3 TINJAUAN KE BELAKANG

Anda yang telah sampai pada bagian akhir buku ini telah mengetahui isi buku ini secara lengkap. Sekarang kita kembali menoleh ke belakang, untuk menelusururi apa yang telah kita dapat gunakan mengetahui apa yang akan kita peroleh kemudian. Apa yang telah kita pelajari / apakah kalkulus itu, subjek bersegi banyak yang dapat dikatakan sebagai penemuan terbesar dari pikiran manusia?

Misalkan saja kita membagi jurusan matematika ke dalam tiga bidang utama : geometri, aljabar, dan kalkulus. Maka seorang penyusun buku dapat mengatakan bahwa geometri adalah ilmu yang mempelajari bentuk (shape), aljabar adalah ilmu tentang besaran (quantity) dan kalkulus adalah ilmu tentang perubahan (change). Benarkah bahwa bagian dari subjek yang dikenal sebagai kalkulus diferensial (termasuk persamaan –persamaan diferensial) sebagian besar merupakan ilmu tentang laju perubahan. Akan tetapi, bagaimana tentang kalkulus integral? Sulit untuk menyatakan bahwa pernyataan di atas adalah benar.

Pengarang lain telah menyarankan bahwa aljabar dan kalkulus dapat dibedakan dengan mengatakan bahwa aljabar berhubungan dengan proses-proses terhingga (pertambahan, perkalian, perpangkatan, dan sebagainya), sedsngkan kalkulus berkenan dengan proses-proses tak terhingga (diferensial, integrasi, penjumlahan deret dan sebagainya)

Kami lebih suka untuk mengatakan bahwa kalkulus adalah ilmu tentang limit. Gagasan tentang limit meliputi semua kalkulus; setiap gagasan utama ditentukan oleh suatu jenis limit tertentu. Diagram yang menyertainya memiliki limit kata pada bagian pusat, konsep-konsep utamanya (dalam bentuk lingkaran ) berasal dari pusat tersebut.

Mekanisme kalkulus diujudkan dalam dalil-dalilnya. Apabila kita mencakup banyak hal yang dinyatakan dalam soal-soal, dalil-dali, dalam buku ini akan berjumlah ratusan. Pasti anda akan memutuskan untuk melupakan sebagian besar dalil-dalil tersebut- suatu cara yang sebenarnya kami anjurkan. Sebaiknya kita menguasai dali-dalil yang paling penting saja dan mengetahui bagaimana dalil- dalil tersebut cocok satu sama lain. Untuk membantu anda dalam menghadapi hal ini, diagram yang kami sajikan mencantumkan dalil-dalil utamadalam kalkulus (dalam bentuk segiempat) dan memberikan saran-saran tentang bagaimana dalil-dalil utama tersebut berhubungan dengan konsep-konsepnya dan berhubungan satu sama lain.

Mahasiswa yang telah memahami apa yang ditunjukkan dalam diagram kami berarti telah siap untuk memahami subjek-subjek yang akan timbul dalam kalkulus elementer. Dan apakah subjek-subjek yang akan timbul tersebut? Di antaranya adalah kalkulus lanjutan, persamaan-persamaan diferensial biasa dan parsial, persamaan integral, deret pangkat, deret fourier, analisis riil, geometri diferensial, analisis kompleks, probabilitas, integrasi lebesgue, teori ukuran, kalkulus variasi, dan analisis abstrak. Terdapat banyak hal yang menentang kemampuan terbaik kita.