Hamilton  rendszerek,  Lyapunov  függvények  és  Stabilitás  

Hamilton  rendszerek      valós  dinamikai  rendszerek,                                                                                            konzerva3v  mechanikai  rendszerek  

Sokszor  nem  lehetséges,  hogy  a  tanult  linearizációs  módszerrel  meghatározzuk  a  kri3kus  pontok  vagy  határciklusok  stabilitását.  Ilyen  esetekben  a  Lyapunov  függvény    Használata,  és  a  Lyapunov  stabiltás  analizís  segíthet  bennünket.          

1.  Hamilton  rendszerekkel  fogunk  foglalkozni.  2.  A  Lyapunov  stabilitás  analizist  tanuljuk  meg.  

A  Hamilton  rendszerek  síkban  

Egy  kétdimenziós  differenciálegyenlet  rendszer  egyszabadság  fokú  Hamilton  Kpusú    rendszer,  ha  a  következő  alakban  írható:  

€

dxdt

= ˙ x = ∂H(x, y)∂y

dydt

= ˙ y = −∂H(x, y)∂x

ahol  H(x,y)  mindkét  változó  szerint  kétszer  differenciálható  függvény.    Ezt  nevezzük  Hamilton  függvénynek  

Egy  ilyen  rendszer  egy  H(x,p)  egyszabadsági  fokú  mechanikai  rendszerrel  ekvivalens.  

A  Hamilton  függvény  felírható  mint:  

€

H(x,y) = T(x,y) +V (x,y)

mozgási  energia   helyzeK  energia  

€

˙ x = ∂H∂p

€

˙ p = −∂H∂x

Egy  Hamilton  rendszer  konzerva3v  (az  össz  energia  megmarad  egy    trajektórián  a  dinamika  során  )  

€

dH[x(t),y(t)]dt

=∂H(x,y)∂x

dxdt

+∂H(x,y)∂y

dydt

=∂H∂x

∂H∂y

−∂H∂y

∂H∂x

= 0

€

H[x(t),y(t)] konstans  a  trajektóriák  mentén  

Példa:  fizikai  inga  

€

L(θ, ˙ θ ) = T(θ, ˙ θ ) −V (θ, ˙ θ ) =m2ddt

lθ( ) −mgl 1− cos(θ)( )

€

θ

m  

l  

g  

Euler-­‐Lagrange  egyenletek  

€

ddt

∂L(θ, ˙ θ )∂ ˙ θ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = −

∂L(θ, ˙ θ )∂θ

€

ml2 ˙ ̇ θ +mglsin(θ ) = 0

€

˙ ̇ θ +gl

sin(θ) = 0

€

˙ θ = φ

˙ φ = −gl

sin θ( )

€

H(θ,φ) =φ 2

2−glcos θ( )

A  fizikai  inga,  mint  dinamikus  rendszernek  a  tárgyalása    

€

˙ θ = φ

˙ φ = −gl

sin θ( )KriKkus  pontok:  

€

(nπ,0)

€

π

€

2π

€

3π0  

€

θ€

φ

€

−π

€

−2π

€

0 1−glcos(θ ) 0

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

€

0 1−gl0

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

€

0 1gl0

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥

Jacobi  mátrix  

Ha  n  páros  

Ha  n  páratlan  €

λ1,2 = ±i gl

€

λ1,2 = ±gl

nemhperbolikus  kriKkus  pont  

nyeregpontok  

Trajektóriák:    

€

H θ,φ( ) =φ 2

2−glcos θ( ) = C

görbék  

nyeregpontok  

nemhiperbolikus  kriKkus  pont  

€

H(x,y) =y 2

2− cos x( )

nyeregpontok  

nemhiperbolikus    kriKkus  pontok  

Ha  adoY  az                                      síkbeli  dinamika,  amelynek  a  Jacobi  mátrixa  J,  akkor  azt  mondjuk,  hogy  a  kriKkus  pontok  nemelfajultak,  ha  a  J-­‐nek  nincs  0  sajátértéke.  Ha  J-­‐nek  0  a  sajátértéke,  akkor  a  kriKkus  pont  elfajult.  

€

˙ x = f ( x )

Tétel:  Egy  2d  Hamilton  rendszer  minden  nemelfajult  kriDkus  pontja  vagy  nyeregpont    vagy  center.  

Bizonyítás:     Tételezzük  fel,  hogy  a  kriKkus  pont  az  O(0,0)  …origó.  A  Jacobi  mátrix:  

€

J(0,0) = J0 =

∂ 2H∂x∂z

0,0( ) ∂ 2H∂y 2

0,0( )

∂ 2H∂x 2

0,0( ) −∂ 2H∂y∂x

0,0( )

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

Tr(J0) = 0

€

det J0( ) =∂ 2H∂x 2

0,0( )∂2H∂y 2

0,0( ) − ∂ 2H∂x∂y

0,0( )⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2

Ha            

€

det(J0) < 0det(J0) > 0

nyeregpont  center  

Példák:  Határozzuk  meg  a  Hamilton  függvényét  a  követlező  dinamikai  rendszereknek,  és  rajzoljuk  fel  a  fázis-­‐portréjukat    

1.    

€

˙ x = y˙ y = x + x 2

€

H(x,y) =y 2

2−x 2

2−x 3

3trajektóriák  

€

H(x,y) = C

KriKkus  pontok:  

€

O(0,0)P(−1,0)

€

J =0 1

1+ 2x 0⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JP =0 1−1 0⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

J0 =0 11 0⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

λ1,2 = ±1€

λ1,2 = ±i

nyeregpont  

nemhiperbolikus  center  

€

v+1 =11⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

v−1 =1−1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

center  

nyeregpont  

€

˙ x = y + x 2 − y 2

˙ y = −x − 2xy

2.    

€

H(x,y) =x 2

2+y 2

2+ x 2y − y

3

3

KriKkus  pontok:    

€

O = (0,0)A = (0,1)

B = ( 32,− 12)

C = (− 32,− 12)

€

J =2x 1− 2y

−1− 2y −2x⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

J0 =0 1−1 0⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JA =0 −1−3 0⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JB =3 20 − 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JC =− 3 20 3

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

λ1,2 = ±i center  

€

λ1,2 = ± 3

€

λ1,2 = ± 3

€

λ1,2 = ± 3

nyeregpont  

nyeregpont  

nyeregpont  

€

v 3 =1−1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

v− 3 =

11⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

€

v 3 =10⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

€

v− 3 =

1− 3⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

v 3 =13

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

v− 3 =

10⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

€

H(x,y) =x 2

2+y 2

2+ x 2y − y

3

3= C

Trajektóriák:  

nyeregpontok  

center  

Legyen                egy  kriKkus  pont.  Ha                                                                          ,  akkor          egy  homoklinikus  orbitál.          

€

x0

€

Λ+(γ) = Λ−(γ) = x0Tekintsünk  egy  2d  dinamikus  rendszert.  

€

γ

homoklinikus  orbitál  

-­‐egy  homoklinikus  orbitál  egy  kriKkus  pontot  önmagával  köK  össze  -­‐  Végtelen  idejű  dinamika  kell,  hogy  az  összekötés  megvalósuljon  

Tekintsünk  egy  2d  dinamikus  rendszert.  

Legyen            és                két  krKkus  pont.  Ha                                                és                                              ,  akkor            egy  heteroklinikus  orbitál.              

€

x0

€

y0

€

Λ+(γ) = x0

€

Λ−(γ) = y0

€

γ

Heteroklinikus  orbitálok  

szeparatrix  Egy  olyan  orbitál  ami  fázissíkot  két  dinamikailag    kalitaKven  különböző  doméniumra  ossza  

A  homoklinikus  és  heteroklinikus  orbitálok  példák  szeparatrix-­‐re  

€

˙ x = −∂U∂x

˙ y = −∂U∂y €

U(x,y)

€

dUdt

=∂U∂x

dxdt

+∂U∂y

dydt

= −∂U∂x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

+∂U∂y

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ ≤ 0

Potenciálmódszer  a  kriDkus  pontok  stabilitásának  a  viszgálatára  

“potenciálfüggvény”  

Egy  trajektória  mentén  a  potenciálfüggvény  csökken.  

kriKkus  pontok:  

€

˙ x = 0˙ y = 0

€

∂U∂x

= 0

∂U∂y

= 0

lokális  maximumok  vagy  minimumai  a  potenciálfüggvénynek  

lokális  maximum                      instabil  kriKkus  pont  lokális  minimum                        stabil  kriKkus  pont  

Példa  

€

˙ x = x − x 3

˙ y = −yKriKkus  pontok:  

€

O(0,0)A(−1,0)B(1,0)

€

J =1− 3x 2 00 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JO =1 00 −1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JA =−2 00 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

JB =−2 00 −1

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

λ1,2 = ±1

€

λ1 = −2λ2 = −1

€

λ1 = −2λ2 = −1

nyeregpont  

stabil  nodus  

stabil  nodus  

€

V (x,y) = −x 2

2+x 4

4+y 2

2

dupla  potenciálvölgy  

KriDkus  pontok  stabilitása  

Egy          kriKkus  pont  stabil,  ha  minden                            -­‐hoz  létezik                            úgy,  hogy    ha                        ,                                                                mikor                                                                .      

€

˙ x = f ( x )

€

x 0

€

ε > 0

€

δ > 0

€

t ≥ t0

€

x (t) − x 0(t) < ε

€

x (t0) − x 0(t0) < δ

Ha                  egy  trajektória  a  fenK  dinamikában    

€

x (t)

Egy          kriKkus  pont  asszimptoDkusan  stabil,  ha  stabil  és  létezik                        úgy,  hogy  

 ha      

€

x 0

€

η > 0

€

limt→∞

x (t) − x 0(t) = 0

€

x (t0) − x 0(t0) <η

Egy  stabil  kriKkus  pont  környezetében  a  trajektóriák  a  kriKkus  pont  közelében  maradnak…  Egy  asszimptoKkusan  stabil  kriKkus  pont  környezetében  a  trajetóriák  bekonvergálnak  a    KriKkus  pontban  

Lyapunov  függvény  és  stabilitás  vizsgálat  

Nemhiperbolikus  kriKkus  pontok  esetén  a  Lyapunov  stabilitás  vizsgálat  használható,  hogy  a  kriKkus  pontok  stabilitását  vizsgáljuk  

Lyapunov  stabilitás  tétele  

Legyen                                        egy  dinamika  és    f    folytonosan  deriválható.  Legyen                egy  kriKkus  pont  és                                egy  nyílt  halmaz  amely  tartalmazza  az              pontot.  Tételezzük  fel,  hogy  létezik  egy                      folytonosan  deriválható  függvény  amelyre                    

€

˙ x = f ( x )

€

E ⊂ℜ2

€

x 0

€

x 0

€

V ( x )

€

V ( x 0) = 0V ( x ) > 0ha x ≠ x 0Ilyen  esetben,  ha  

€

ddt

V x (t)( ) ≤ 0,∀ x ∈ E

€

x 0akkor   stabil  

€

ddt

V x (t)( ) < 0,∀ x ∈ E akkor  

€

x 0 asszimptoKkusan  stabil  

€

ddt

V x (t)( ) > 0,∀ x ∈ E akkor  

€

x 0instabil  

€

V ( x ) Lyapunov  függvény  

1.  

2.  

3.  

€

ddt

V x (t)( )( ) = 0 a  trajektoriák  a                                              görbék      

€

V x t( )( ) = C4.  

€

∀ x ∈ E

Példák:  

€

˙ x = −y 3

˙ y = x 3

KriKkus  pont:  O(0,0)   minden  sajátérték  0  

nemhiperbolikus  kriKkus  pont  a  klasszikus  stabilitásvizsgálat  nem  müködik    

€

V (x,y) = x 4 + y 4 megfelelő  Lyapunov  függvény  

€

dVdt

=∂V∂x

dxdt

+∂V∂y

dydt

= 4x 3 −y 3( ) + 4y 3 x 3( ) = 0

A  trajektóriák:    

€

x 4 + y 4 = C Az  O  stabil,  de  nem  asszimptoKkusan  stabil  

€

y > 0 → ˙ x < 0y < 0 → ˙ x > 0

1.  

€

˙ x = y˙ y = −x − y(1− x 2)

2.  

KriKkus  pont:  O(0,0)  

€

JO =0 1−1 −1⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

λ1,2 = −12

± i 32

stabil  fókusz  

€

V (x,y) = x 2 + y 2Lyapunov  függvény:  

€

€

dVdt

=∂V∂x

dxdt

+∂V∂y

dydt

= 2y 2(x 2 −1)

Ha  |x|<1  

€

dVdt

≤ 0

€

dVdt

= 0

€

y = 0

€

˙ x = 0˙ y = −x

az  y=0  egyenesről  a  trajektóriák  távolodnak  

Az  O  pont  asszimptoKkusan  stabil  

3.  

€

˙ x = −8x − xy 2 − 3y 3

˙ y = 2x 2y + 2xy 2Bizonyítsuk  be,  hogy  O(0,0)  asszimptoKkusan  stabil  kriKkus  pont  

€

JO =−8 00 0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

λ1 = −8λ2 = 0 Az  O  kriKkus  pont  nemhiperbolikus    

Legyen:    

€

V (x,y) = 2x 2 + 3y 2

€

˙ V = 4x(−8x − xy 2 − 3y 3) + 6y(2x 2y + 2xy 2) = 8x 2(y 2 − 4)

€

˙ V ≤ 0 ha  

€

y < 2 és  

€

˙ V = 0 ha  

€

x = 0

€

˙ x = −3y 3

˙ y = 0

y  

x  

a  trajektoriák  távolodnak    az  x=0  tengelytől  

€

˙ V < 0 ha  

€

y < 2A  trajektóriák  mentén  végig  csökken  V  ha  V(x,y)<12  

A  Lyapunov  stabilitás  doménium    

€

2x 2 + 3y 2 <12 egy  ellipszis  belsejében  van