1

2. Persamaan Gelombang

Erwin Schrödinger dan Werner Heisenberg secara independen memformulasikan teori kuantum, dimana :

-Heisenberg memakai metode dalam term matrix

-Schrödinger memakai metode dalam term persamaan diferensial parsial

2.1. Persamaan gelombang satu dimensi

Contoh : gerakan dawai yang bergetar

sebuah dawai yang uniform diren- tangkan antara 2 titik yang tetap.

-berubahnya letak dawai dari posisi keseimbangan horizontalnya disebut amplitudo, u(x,t), yang memenuhi persamaan :

2

2

2

22

2

t

u

v

1

x

u

dimana v adalah laju pengganggu keseimbangan yang bergerak sepanjang dawai

-persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial, sebab u(x,t) tidak diketahui dan muncul sebagai turunan-turunan parsialnya :

bila u(x,t) tergantung pada x dan t, disebut variabel dependent

bila u(x,t) tak tergantung pada x dan t, disebut variabel indepen-

dent

-persamaan ini merupakan persamaan diferensial parsial yang linier, sebab u(x,t) dan turunannya hanya muncul pada tingkatan pertama dan tidak ada term yang saling menyilang

-u(x,t) harus memenuhi kondisi-kondisi fisik tertentu

Contoh : ujung-ujung dawai dipegang tetap, maka u(0,t) = 0 dan u(l,t) = 0 untuk semua t, dan disebut sebagai syarat-syarat batas

3

-persamaan diferensial parsial harus diselesaikan atas dasar syarat-syarat batas tertentu.

2.2. Penyelesaian persamaan gelombang dengan metode pemisahan variabel

u(x,t) dapat dianggap merupakan fungsi x saja dikalikan dengan fungsi t saja :

u(x,t) = X(x) . T(t)

substitusi menghasilkan :

2

2

)x(22

2

)t(dt

TdX

v

1

dx

XdT

: X(x) T(t)

2

2

)t(22

2

)x( dt

Td

Tv

1

dx

Xd

X

1

fungsi x saja fungsi t saja

4

Karena x dan t adalah variabel-variabel yang independent, maka masing-masing sisi dapat divariasikan secara independent dan hanya sama dengan suatu konstanta k (konstanta pemisah) :

kdx

Xd

X

12

2

)x( dan k

dt

Td

Tv

12

2

)t(2

0kXdx

Xd)x(2

2 dan 0Tkv

dt

Td)t(

22

2

-merupakan persamaan diferensial umum, karena X(x) dan T(t) adalah turunan-turunan umum.

-kedua persamaan diferensial ini adalah linier

-koefisien dalam masing-masing term menyangkut konstanta yang sama dengan 1 dan –k dan 1 dan –kv2, yaitu persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan.

-untuk menentukan nilai k, apakah positif, negatif atau nol :

Misal k = 0, maka X(x) = a1 x + b1 dan T(t) = a2 t + b2

Pers. (2-8) dan (2-9)

5

dimana a dan b adalah tetapan-tetapan integrasi yang dapat ditentukan dengan syarat batas : u(0,t) = X(x) T(t) = 0 dan

u(l,t) = X(l) T(t) = 0

Karena T(t) tidak menjadi hilang untuk semua nilai t, maka seharusnya X(0) = 0 dan X(l) = 0. Satu-satunya cara untuk memenuhinya adalah bila a1 = b1 = 0, yang artinya X(x) = 0 atau u(x,t) = 0 untuk semua nilai x (tidak ada artinya atau trivial).

Misak k ≠ 0, maka dimana k dapat bernilai positif atau negatif

Bila k = positif, yaitu persamaan linier dengan koefisien konstan, misal :

0)x(kydx

yd2

2

0)x(y4dx

yd2

2 dan

xe)x(y dengan harus ditentukan : = ± 2

( adalah bilangan riil)

Jadi : y(x) = c1 e2x + c2 e-2x

6

2.3. Beberapa persamaan diferensial dengan penyelesaian osilatori

Pada banyak kasus, nilai adlah tak riil (imaginer)

Misal : dan y(x) = ex, sehingga = ± i0)x(ydx

yd2

2

Menurut definisi besarnya I mengikuti persamaan i2 = -1, sehingga :

Dengan formula Euler : sinicose i

ix2

ix1 ecec)x(y

)xsinix(cosc)xsinix(cosc)x(y 21

xsin)icic(xcos)cc()x(y 2121 xsincxcosc 43

Latihan : selesaikan persamaan 0)t(xdt

xd 22

2

dengan kondisi awal x(0) = A dan x’(0) = 0

7

2.4. Penyelesaian umum persamaan gelombang (superposisi moda normal)

Misal k adalah positif dan k = 2, dimana adalah bilangan riil.

Penyelesaian persamaan (2-8) adalah :x

2x

1 ecec)x(X

untuk syarat batas c1 = c2 = 0 merupakan penyelesaian trivial

Bila k adalah negatif dan k = -2, maka :

0)x(Xdx

Xd 22

2

Penyelesaian umumnya adalah : xsinBxcosA)x(X

untuk syarat batas : X(0) = 0, maka A = 0

dan pada x = l, maka X(l) = B sin l = 0, sehingga bila B = 0, dan karena A = 0, maka adalah trivial

jadi sin l = 0 dan karena sin = 0 untuk = , 2 dst.nya

sehingga : l = n dengan n = 1, 2, 3, …. (n = 0 adalah trivial)

8

l

xnsinB)x(X

Penyelesaian persamaan 2-9 : 0)t(Tvdt

)t(Td 222

2

tsinEtcosD)t(T nn

dimana dan tidak ada persyaratan untuk menentukan D dan E, maka : l

vnvn

)t(T)x(X)t,x(u

l

xnsin)tsinGtcosF( nn

Dimana F = DB dan G = EB, dan nilai F dan G mungkin tergantung pada n, sehingga harus ditulis :

)tsinEtcosD(l

xnsinB nn

n = 1, 2, ….

l

xnsin)tsinGtcosF()t,x(u nnnnn

1n

nnnn l

xnsin)tsinGtcosF(

n = 1, 2, …

9

Fn cos nt + Gn sin nt dapat ditulis dalam bentuk ekivalennya, yaitu A cos (t + ) dimana A dan adalah konstanta :

A = amplitudo gelombang

= sudut fase

1nn

1nnnn )t,x(u

l

xnsin)tcos(A)t,x(u

disebut deret Fourier, dimana setiap un(x,t) disebut moda normal dan ketergantungan waktu dari setiap moda normal menyatakan frekuensi gerakan harmonis :

l2

vn

2n

n

l

vnvn

dimana digunakan fakta bahwa :

Term pertama, 1(x,t) disebut moda dasar atau harmonis pertama, menggambarkan ketergantungan waktu cosinusoidal

10

(harmonis) dari pada frekuensi, v/2l (gambar a) :

Harmonis kedua atau overtone pertama, u2(x,t) bervibrasi secara harmonis dengan frekuensi v/l (gambar b).

Titik tengah dari harmonis ini adalah tidak berubah (tetap) pada nol untuk semua t dan disebut simpul (node).

Harmonis kedua berosilasi dengan frekuensi 2x harmonis pertama.

Gambar c menunjukkan bahwa harmonis ketiga atau overtone kedua mempunyai dua simpul. Jumlah simpul adalah sama dengan n-1.

11

Gelombang-gelombang ini disebut gelombang diam (standing wave), karena posisi-posisi simpul adalah tetap dengan waktu. Diantara simpul-simpul, dawai bergetar naik dan turun.

Gelombang diam adalah superposisi dari gelombang berjalan dan secara matematik untuk harmonis pertama adalah :

n = 1 :l

xsintcosA)t,x(u 111

Untuk mudahnya diambil 1 = 0, dengan menggunakan hubungan trigoniometri : sin cos = ½ sin (+) + ½ sin (-), maka :

)vtx(

lsin

2

Avtx

lsin

2

A 11

Panjang gelombang harmonis pertama adalah = 2l, sehingga :

vtx2

sin2

Avtx

2sin

2

A)t,x(u 11

1

gelomban gelombang

berjalan kekiri berjalan kekanan

l

vt

l

xsin

2

A

l

vt

l

xsin

2

A)t,x(u 11

1

12

Suatu kasus yang sederhana dimana u(x,t) terdiri dari hanya 2 harmonis pertama :

l

x2sin

2tcos

2

1

l

xsintcos)t,x(u 21

Superposisi 2 gelombang diam (2 = 2 1) menghasilkan gelombang berjalan :

-masing-masing moda tergantung pada waktu.

-jumlah 2 harmonis atau 2 gerakan dawai aktual sebagai fungsi waktu