Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Quantenme hanik
Mi hael Bestehorn
1. Version SS 1999, 2. Version, mit Abbildungen SS 2000
i
Literatur
Bei der folgenden Liste handelt es si h um eine subjektive Auswahl, da es QM-B
u her
wie Sand am Meer gibt. Zum Teil haben die genannten Werke jedo h bei der Abfassung
des Skriptes geholfen.
1. W.Nolting, Grundkurs Theoretis he Physik, Band 5.1, 5.2
Ziemli h umfassend und sehr ausf
uhrli h, klare Darstellung. Nolting s hweift oft
etwas weit vom Thema ab.
2. F.S hwabl, Quantenme hanik, Quantenme hanik f
ur Fortges hrittene
Der zweite Band behandelt ausf
uhrli h relativistis he QM, aber au h weiterf
uhren-
de Themen, die in der Vorlesung ni ht behandelt werden, wie z.B. 2. Quantisie-
rung und Quantenelektrodynamik.
3. D.I.Blo hinzew
Alt, aber immer no h gut und lesenswert.
4. R. Feynmann, Feynmann Le tures III
Genial,
uberhaupt dann, wenn man QM s hon kennt
5. C. Cohen-Tannoudi, Quantenme hanik 1 und 2
Umfassendes modern gs hriebenes Werk, mit vielen Aufgaben und Standardre-
hungen. Sehr zu empfehlen.
6. S.Gromann Funktionalanalysis
Lei ht veralteter Stil, aber gut f
ur den mathematis hen Hintegrund. Man muss
es ja ni ht ganz lesen.
Die meisten Abbildungen dieser Version stammen von Frau Mihaela En ules u. Ihr sei
an dieser Stelle herzli h gedankt.
ii
Inhaltsverzei hnis
I Grundz
uge der Quantenme hanik 1
1 Das Versagen der klassis hen Physik 3
1.1 Der s hwarze Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Plan ks hes Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Einsteins Herleitung (1916) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Li htquanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Der Photoeekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Der Compton-Eekt (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Teil hen und Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Quantisierung atomarer Energiezust
ande, \alte" QM . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Die Bohrs hen Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Die Bohrs he Quantenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Das Bohrs he Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.5 Kritikpunkte an alter QM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Wellenfunktionen 23
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
2.1 Mathematis he Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Fourier-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Die Dira s he Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Die S hr
odingerglei hung 35
3.1 Das freie Teil hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Teil hen im
aueren Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Die zeitunabh
angige S hr
odingerglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Die Kontinuit
atsglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Andere Wellenglei hungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1 Wellenglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.2 Klein-Gordon-Glei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.3 Quasi-klassis he N
aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Die Postulate der Quantenme hanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 Feynmans he Pfadintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7.1 Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7.3 Pfadintegral im Kongurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.4 Beispiel: das freie Teil hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
INHALTSVERZEICHNIS v
II Quantenme hanik im Hilbert-Raum 49
4 R
aume 51
4.1 Der lineare Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 Der metris he Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Der normierte Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Der unit
are Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Vektoren im Hilbertraum 55
5.1 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Uneigentli he Hilbert-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Operatoren im Hilbert-Raum 61
6.1 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1 Eigens haften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.2 Operatoren als dyadis hes Produkt zweier Zust
ande . . . . . . . 62
6.1.3 Darstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2 Spezielle lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.1 Zueinander inverse Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.2 Zueinander adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2.3 Unit
are Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2.4 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.3 Das Eigenwertproblem hermitis her Operatoren . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Der Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
vi INHALTSVERZEICHNIS
6.4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.2 Konsequenzen des Messprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.4.3 Kombinierte Messung zweier vertr
agli her Observablen A und B 70
6.4.4 Kombinierte Messung zweier ni htvertr
agli her Observablen . . 72
6.5 Die Di htematrix, der statistis he Operator . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Dynamik der Quantensysteme 77
7.1 Darstellungen der S hr
odingerglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2 Das S hr
odinger-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.3 Das Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4 Das Dira -Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
III Exakt l
osbare Probleme 83
8 Der harmonis he Oszillator 85
8.1 Hamiltonfunktion und Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3 Fo kdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3.1 Semidenites Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.2 Verni htungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.3.3 Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3.4 Erzeugungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3.5 Eigenzust
ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.6 Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4 Eigenfunktionen in der Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
INHALTSVERZEICHNIS vii
9 Das Wasserstoproblem 93
9.1 Impulsoperator und Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2 Drehimpuls und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3 Symmetrien und Erhaltungsgr
oen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.4 Drehimpulseigenzust
ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.1 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4.2 Leiteroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4.3 Eigenzust
ande in der Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.5 Der Hamiltonoperator des Wasserstoatoms . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.6 Radialproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.6.1 Hauptquantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.6.2 Bahndrehimpulsquantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.6.3 Magnetis he Quantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.7 Wellenfunktionen des Wasserstoatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.7.1 Radiale Aufenthaltswahrs heinli hkeit . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.7.2 Winkelverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.7.3 Polardiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.7.4 Terms hema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
IV N
aherungsmethoden 113
10 Zeitunabh
angige St
orungstheorie 115
10.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Der ni htentartete Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
10.3 Beispiel: Der quadratis he Stark-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.4 Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
viii INHALTSVERZEICHNIS
10.5 Beispiel: der lineare Stark-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.6 Beispiel: das H
+
2
- Ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.7 Das B
andermodell des Festk
orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.7.1 Ein eindimensionales Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.7.2 Bere hnung der Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.7.3 Das Blo hs he Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.7.4 Anwendung des Blo hs hen Theorems . . . . . . . . . . . . . . 135
10.7.5 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11 Zeitabh
angige St
orungstheorie 139
11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 Iterative L
osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.3 Beispiel: St
orung eines Atoms ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.4 Ein - und Auss halten einer sonst konstanten St
orung . . . . . . . . . . 144
11.5 Periodis he St
orungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.6 Absorption und stimulierte Emission von Li ht . . . . . . . . . . . . . . 148
11.6.1 Auswahlregeln f
ur die Strahlung, harmonis her Oszillator . . . . 150
11.6.2 Auswahlregeln f
ur die Strahlung, Leu htelektron . . . . . . . . . 151
12 Galerkin- und Variationsmethoden 153
12.1 Galerkinmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.2 Variationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.2.1 Extremalprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
12.2.2 Ritzs hes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
13 Elemente der Streutheorie 159
13.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
INHALTSVERZEICHNIS ix
13.2 Streuquers hnitt, dierentieller Wirkungsquers hnitt . . . . . . . . . . 160
13.3 Station
are Streuzust
ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
13.4 Asymptotis he Form von '(r), Streuamplitude . . . . . . . . . . . . . . 161
13.5 Streuamplitude und dierentieller Wirkungsquers hnitt . . . . . . . . . 162
13.6 Integralglei hung f
ur die station
aren Streuzust
ande . . . . . . . . . . . 162
13.7 Die Borns he N
aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
13.8 Dierentieller Wirkungsquers hnitt und Potential . . . . . . . . . . . . 166
13.9 Besipiel: di. Wirkungsquers hnitt beim Yukawa-Potential . . . . . . . 168
V Magnetfeld und Spin 171
14 Geladenes Teil hen im elektromagnetis hen Feld 173
14.1 Elektromagnetis he We hselwirkung, klassis h . . . . . . . . . . . . . . 173
14.2 Elektromagnetis he We hselwirkung, quantenme hanis h . . . . . . . . 174
14.3 Ei hinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
14.4 Beispiel: Teil hen im homogenen, zeitl. konstanten Magnetfeld . . . . . 177
14.5 Am Atomkern gebundenes Elektron im
aueren Magnetfeld . . . . . . . 179
15 Teil hen mit Spin 1/2 181
15.1 Experimentelle Gr
unde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
15.2 Spinoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
15.3 Die Pauli-Glei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
15.4 Die Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
15.5 Zur Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
15.6 Spin-Bahn-Kopplung und
aueres Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 193
15.6.1 Wasserstoproblem ohne Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
x INHALTSVERZEICHNIS
15.6.2 Wasserstoproblem mit Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . 193
15.6.3 Wasserstoproblem mit
auerem Magnetfeld . . . . . . . . . . 195
15.6.4 Wasserstoproblem mit Magnetfeld und LS-Kopplung . . . . . . 196
VI Grundlagen der relativistis hen Quantenme hanik 201
16 Herleitung der Dira -Glei hung 203
16.1 Erinnerung an die relativistis he Me hanik . . . . . . . . . . . . . . . . 203
16.1.1 Vierervektoren und Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . 203
16.1.2 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
16.1.3 Viererges hwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
16.1.4 Viererimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
16.1.5 Energie-Impuls-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
16.2 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
16.3 Die Dira -Glei hung des freien Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
16.4 Dira -Glei hung und elektromagnetis hes Feld . . . . . . . . . . . . . . 209
16.5 Die Dira -Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
16.6 L
osung f
ur freie Teil hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
16.7 Kontinuit
atsglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
16.8 Die Potentials hwelle, das Kleins he Paradoxon . . . . . . . . . . . . . 214
17 Elektronenspin 217
17.1 Freies Teil hen im
aueren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
17.2 Spinoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
17.3 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Teil I
Grundz
uge der Quantenme hanik
1
Kapitel 1
Das Versagen der klassis hen
Physik
historis he Entwi klung der Quantenme hanik
Die Disziplinen der klassis he Physik sind die Me hanik, Elektrodynamik, Relativit
ats-
theorie, Thermodynamik, Hydrodynamik, Kontinuumsme hanik
Eigens haften der klassis hen Physik:
1. Axiome sind im Makroskopis hen (der realen Welt) direkt na hpr
ufbar
2. Weitgehend ans hauli h, weil Begrie aus der makroskopis hen Welt verwendet
werden, z.B. Teil heneigens haften wie Masse, Lage und Ges hwindigkeit, aber
au h Felder, Wellen, et .
3. Deterministis h. Aus Zustand A(t
0
) ergibt si h eindeutig A(t
1
) mit t
1
> t
0
. Be-
s hreibung dur h Bewegungsglei hungen, gew
ohnli he Dierentialglei hungen
4. Wahrs heinli hkeitsbegri nur notwendig, wenn ni ht alle Informationen vorhan-
den sind, bzw. ni ht interessieren (Beispiel Gas mit 10
23
Teil hen)
Eigens haften der Quantenme hanik, Mikrophysik:
1. Axiome der Mikrophysik ergeben makroskopis hes Verhalten. Nur dieses ist ex-
perimentell zug
angli h und mu ans hauli h sein
Mikroskopis h
Theorie
ni ht dur hgehend
verans hauli hbar
widerspru hsfrei
!
Makroskopis h
Gesamtheit der expe-
rimentellen Daten
3
4 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
2. Mikrophysik ist ni ht dur h klassis he Me hanik bes hreibbar, daher au h ni ht
unbedingt ans hauli h. Daraus resultierte das Dilemma der Physik um 1900
3. Teil hen-Welle-Dualismus. Mikroskopis he Objekte sind man hmal Teil hen und
man hmal Wellen. Ni ht ans hauli h, aber es funktioniert im Sinne von 1.
Beispiele: (1) Li ht: Photonen, Li htwellen
(2) Materie: Teil hen, Materiewellen
(3) aber au h Quasi-Teil hen wie Phononen, Gitters hwingungen
4. QM ist ni ht mehr deterministis h im klassis hen Sinn. D.h. aus Lage und Ge-
s hwindigeiten aller Teil hen zur Zeit t
0
folgen ni ht eindeutig Lage und Ge-
s hwindigkeiten zur Zeit t
1
.
5. Wahrs heinli hkeitsdi hte (r; t) als unterste Ebene der Bes hreibung. Determi-
nistis h, insofern da aus (r; t
0
) eindeutig (r; t
1
) folgt. Bes hreibung dur h
S hr
odingerglei hung, partielle Dierentialglei hung
6. Es gilt immer die Heisenbergs he Uns h
arferelation zwis hen kanonis h konju-
gierten Variablen, z.B. Ort-Impuls:
xp
x
h=2
Das bedeutet, da im Gegensatz zur klassis hen Me hanik nur ein Satz von Va-
riablen zur eindeutigen Festlegung des Systems notwendig ist.
1.1 Der s hwarze Strahler
1.1.1 Hohlraumstrahlung
Kir hho 1859
S hwarzer K
orper, Hohlraum mit Lo h
W
ande emittieren und absorbieren elektromagnetis he W
armestrahlung
Energiedi hte U(T) ist temperaturabh
angig:
U(T ) =
Z
1
0
u(!; T )d!
u(!; T ) ist die spektrale Energiedi hte.
Experimentell: Wien 1896
schwarzeStrahlung
L
L
L
u(!; T ) / !
3
e
b!=T
; ! !1
1.1. DER SCHWARZE STRAHLER 5
maximales u
max
= u(!
max
; T ); !
max
/ T
(Wiens hes Vers hiebungsgesetz)
Fragestellung: Wie l
at si h u(!; T ) aus klassis her Physik (Elektrodynamik, Thermo-
dynamik) bere hnen?
Antwort: ri htig gar ni ht.
1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz
Versu h einer theoretis he Herleitung von Rayleigh, 1900:
Idee: elektromagnetis hes Feld im Innern l
asst si h in eine abz
ahlbar unenedli he An-
zahl von Moden zerlegen, die alle den glei hen Energieanteil tragen.
Glei hverteilungssatz: Energie pro Freiheitsgrad (Mode)
1
2
kT
Feldenergie: Anzahl der Moden im Hohlraum x 2 x
1
2
kT
Ermittlung der Anzahl der Moden in Abh
angigkeit der Frequenz:
Wellenglei hung (aus Maxwell-Glei hungen)
E
1
2
2
E
t
2
= 0
Moden
n=1
n=2L
L
osung: E(x; y; z; t) = E
0
sin(k
x
x) sin(k
y
y) sin(k
z
z) sin(!t)
k
x
= n
x
=L; n = 1; 2; 3:::, et .
damit:
!
2
2
= k
2
x
+ k
2
y
+ k
2
z
=
2
L
2
n
2
; n
2
= n
2
x
+ n
2
y
+ n
2
z
also
n =
L!
Anzahl der Moden in Kugels hale
dN =
4n
2
8
dn 2 =
!
2
L
3
2
3
d!
(Faktor 2 wegen E und B Feld)
und damit
Kugelschale
dn
n n+dn
n
n
nz
y
x
u(!; T )d! =
!
2
2
3
kTd!
6 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
RayleighJeans Formel
Problem: U(T ) =
R
1
0
ud! !1, divergiert, (Ultraviolettkatastrophe)
dagegen aus Experiment U(T ) / T
4
(Stefan Boltzmann)
w
u(w,T)
u
w ~ T
~w , Rayleigh-Jeans
~w exp(-bw/T)
Wien
m
m
2
3
gesu ht: Formel f
ur alle !, inklusive Vers hiebungsgesetz
1.1.3 Plan ks hes Strahlungsgesetz
Plan ks her Geniestrei h (1900): Wandatome sind harmonis he Oszillatoren mit quan-
tisierten Energieniveaus:
n
= n
mit
aquidistantem Abstand .
Mittlere Energie:
=
P
n
e
n
=kT
n
P
n
e
n
=kT
=
e
=kT
1
Wandoszillatoren in Resonanz mit el-magn. Wellen. Ersetze kT ! :
u(!; T )d! =
!
2
2
3
e
=kT
1
d!
Um das Wiens he Gesetz zu erf
ullen, mu / ! sein:
= h!
wobei h Proportionalit
atskonstante, Dimension einer Wirkung.
1.1. DER SCHWARZE STRAHLER 7
zusammen:
u(!; T )d! =
h!
3
2
3
(e
h!=kT
1)
d! Plan ks hes Gesetz
Stefan-Boltzmann:
R
1
0
ud! =
2
k
4
15h
3
3
T
4
Grenzf
alle:
h!
3
e
h!=kT
1
(
!
2
kT h! kT Rayleigh-Jeans
h!
3
e
h!=kT
h! kT Wien
Problem: Das Ergebnis ist zwar ri htig, aber die Re hnung von Plan k basierte auf
zwei fals hen Annahmen:
n
= nh!, d.h. Verna hl
assigung der Nullpunktsenergie,
eigentli h
n
= (n+ 1=2)h!
Annahme der Boltzmann-Statistik f
ur Oszillatoren (eigentli h Bose-Einstein)
Die ri htige Erkl
arung kam dann a 16 Jahre sp
ater dur h Einstein.
1.1.4 Einsteins Herleitung (1916)
betra hte 2-Niveau-Systeme (Atome). Die gesu hte Energiedi hte des Strahlungsfeldes
ist
u(!; T ) = nh!
wobei n die Anzahl der Photonen mit der Energie E
p
= h! ist. F
ur
Uberg
ange gilt
Energieerhaltung, also
E
1
E
0
= E
p
= h!
1.) Absorption
n Photonen
EB u
N , E
N , EP
01
1 1
0 0
8 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
der EinsteinkoeÆzient B
01
folgt aus der quantenm. Re hnung. B
01
u(!; T ) ist die
Uber-
gangswahrs heinli hkeit pro Zeit.
2.) Emission
B u10 + A10
die EinsteinkoeÆzienten B
10
und A
10
bes hreiben induzierte, bzw. spontane Emission.
3.)
Ubergangsraten
die
Ubergangsraten bes hreiben die Anzahl der
Uberg
ange pro Zeit und sind propor-
tional zu den jeweiligen Besetzungszahlen:
Absorption W
01
= B
01
u(!; T )N
0
Emission W
10
= (B
10
u(!; T ) + A
10
)N
1
Im Glei hgewi ht m
ussen die Raten glei h sein:
W
01
=W
10
F
ur die Besetzung der Niveaus nimmt man eine Boltzmann-Verteilung an:
N
i
/ e
E
i
=kT
;
N
1
N
0
= e
h!=kT
und damit
u(!; T ) =
A
10
B
01
e
h!=kT
B
10
die quantenm. Re hnung ergibt A
10
und B
01
= B
10
, also
u(!; T ) =
A
10
B
10
1
e
h!=kT
1
Der Verglei h mit der Planks hen Formel ergibt
A
10
B
10
=
h!
3
2
3
1.2. LICHTQUANTEN 9
1.2 Li htquanten
bis 1900: Li ht besteht aus elektromagnetis hen Wellen.
1.2.1 Der Photoeekt
(H. Hertz 1887)
Metall
e-UV
Abl
osung des Elektrons erst wenn ! > !
g
, wobei !
g
materialabh
angig
kin. Energie des Elektrons E
kin
/ !, unabh. von Intensit
at
Anzahl der Elektronen/Zeit / Intensit
at
Klassis h w
urde man folgendes erwarten:
E
kin
/ Intensit
at
I > I
g
, materialabh.
Erkl
arung Einstein 1905, Li htquantenhypothese:
Strahlung = Ansammlung von Li htquanten (Teil hen) mit E = h = h!
E
kin
= h! W
A
; W
A
= Austrittsarbeit, !
g
=W
A
=h
exp:
E
wwg
kin
10 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
1.2.2 Der Compton-Eekt (1922)
Streuung von R
ontgenstrahlen mit Frequenz !
0
an Elektronen
klassis he Interpretation: Elektron s hwingt dur h Welle, Abstrahlung mit !
1
= !
0
.
experimentell:
I(e)
λ λ∆λλ= 2πc
w0 1
=
(1 os ),
= Streuwinkel
= Compton-Wellenl
ange (konstant)
nur erkl
arbar dur h Photonen-Vorstellung
Streuproze: elastis her Sto
PP
P
θ0
1
1
ph
ph
el
Energiebilanz
rel. Energie allgemein: E =
p
2
p
2
+m
2
4
1.2. LICHTQUANTEN 11
des Photons (m=0): E
ph
= p =
(
h!
0
vorher
h!
1
na hher
des Elektrons: E
el
=
(
m
0
2
vorher
q
2
(P
el
1
)
2
+m
2
0
4
na hher
; m
0
= Ruhemasse El.
rel. Impuls:
des Photons: P
ph
=
(
P
ph
0
=
h!
0
vorher
P
ph
1
=
h!
1
na hher
des Elektrons: P
el
=
8
<
:
0 vorher
P
el
1
=
m
0
v
p
1(v= )
2
na hher
(P
el
1
)
2
=
h
2
2
(!
2
0
+ !
2
1
2!
0
!
1
os )
m
0
2
+ h!
0
=
q
2
(P
el
1
)
2
+m
2
0
4
+ h!
1
daraus
!
1
!
0
(1 os ) =
m
2
h
(!
0
!
1
)
mit
!
0
!
1
!
0
!
1
=
1
2
(
1
0
) =
2
folgt:
=
h
m
0
(1 os )
Compton-Wellenl
ange
=
h
m
0
0:024
A
12 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
1.3 Teil hen und Interferenz
Doppelspalt
Lo h 2 zu ! I
1
Lo h 1 zu ! I
2
beide auf: I
12
6= I
1
+ I
2
Q
d/2
-d/2
y
I
I
I
1
2
12X
φ
φ
2
1
S
Erkl
arung im Wellenbild:
Felder
'
i
(r) /
e
ikjrr
i
j
jr r
i
j
Intensit
at
I
i
(r
s
) / j'
i
(r
s
j
2
/
1
jr r
i
j
2
I
12
/ j'
1
+ '
2
j
2
x=x
s
x
s
d
/ I
1
+ I
2
+ 2
q
I
1
I
2
os k
0
y
| z
Interferenzterm
1.3. TEILCHEN UND INTERFERENZ 13
mit k
0
= kd=x
s
Erkl
arung im Teil henbild (einzelne Photonen na heinander):
Teil hen:
Kugeln
Lo h 2 zu ! P
1
Lo h 1 zu ! P
2
beide auf: P
12
= P
1
+ P
2
1
2P
P
2
1
Kanone
MunitionExperimenteller Befund, au h bei einzelnen Photonen:
wenn beide L
o her oen sind, gibt es Interferenz. Dagagen vers hwindet die Interferenz,
wenn die Bahn bekannt ist. Also:
Interferenz ist Eigens haft eines Photons
Keine Trajektorie (Bahnkurve) m
ogli h
14 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
Interpretation: jAmplitudej
2
/Wahrs heinli hkeit
Erster Versu h einer Algebraisierung (Dira s he S hreibweise):
j < r
1
jr
2
> j
2
= Wahrs heinli hkeit f
ur Weg von r
2
na h r
1
Zwei wi htige Regeln:
1. Die Wahrs heinli hkeit f
ur ein Resultat ist das Betragsquadrat der Summe der
Wahrs heinli hkeitsamplituden f
ur die einzelnenWege, die zu dem Resultat f
uhren
(parallel).
2. Die Wahrs heinli hkeitsamplitude f
ur einen Weg ist das Produkt der Wahrs hein-
li hkeitsamplituden f
ur die einzelnen S hritte, aus denen der Weg besteht (se-
quentiell).
1.3. TEILCHEN UND INTERFERENZ 15
Doppelspalt mit Elektronen
Weg 1
j < yj1 >< 1jQ > j
2
| z
'
1
/ P
1
Weg 2
j < yj2 >< 2jQ > j
2
| z
'
2
/ P
2
beide L
o her oen:
P
12
/ j'
1
+ '
2
j
2
1
2Quelle
Licht
D
D
y
2
1
jetzt: Messung der Bahn, z.B. dur h zwei Detektoren D
1
und D
2
.
Amplitude f
ur Weg 1 + Photon in D
1
: < yj1 > a < 1jQ >= a'
1
aber au h ein gewisser (kleiner) Anteil dur h Streuung (groe Li htwellenl
ange), d.h.
16 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
Amplitude f
ur Weg 2 + Photon in D
1
: < yj2 > b < 2jQ >= b'
2
Je besser der Weg bekannt ist, desto gr
oer wird a=b.
Damit ist die gesamte Wahrs heinli hkeit ein Elektron in jy > und glei hzeitig ein
Photon in D
1
zu nden, die Summe aus beiden Prozessen:
P / ja'
1
+ b'
2
j
2
Die Grenzf
alle
Bahn bekannt (kurze Wellenl
ange) a b ! P = P
1
Bahn unbekannt (groe Wellenl
ange) a b ! P = P
12
sind enthalten. Daraus kann man hier s hon den wi htigen S hlu ziehen:
Jede Messung
andert die Wellenfunktion
genauso wie oben l
at si h \bere hnen":
Weg 1 + Photon in D
2
= b'
1
Weg 2 + Photon in D
2
= a'
2
Daraus Wahrs heinli hkeit daf
ur, da Elektron in jy >, auf wel hem Weg au h immer:
P / ja'
1
+ b'
2
j
2
+ ja'
2
+ b'
1
j
2
Die beiden Grenzf
alle ergeben jetzt:
Bahn bekannt (kurze Wellenl
ange) a b ! P = P
1
+ P
2
Bahn unbekannt (groe Wellenl
ange) a b ! P = P
12
Daraus l
at si h eine weitere Regel ableiten:
bei ununters heidbaren Prozessen werden Amplituden addiert (Wellen harakter)
bei vers hiedenen Prozessen werden Amplitudenquadrate addiert (Teil hen ha-
rakter)
1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUST
ANDE, \ALTE" QM 17
1.4 Die Quantisierung atomarer Energiezust
ande,
die \alte" QM
Der Erkenntnisstand um 1900: Rutherfords hes Atommodell, Kern mit Kernladungs-
zahl z, z Elektronen umkreisen den Kern wie klassis he Teil hen, Zusammenhalt dur h
Coulomb-Kraft (analog Planetensystem). Vers hiedene Elemente werden nur dur h ver-
s hiedenes z harakterisiert.
1.4.1 Die Bohrs hen Postulate
Drei klassis h unl
osbare Probleme:
1. Bahnformen sind beliebige Ellipsen, nur abh
angig von gewissen Anfangsbedin-
gungen, daraus sollte unters hiedli hes hemis hes Verhalten bei glei hem z re-
sultieren.
2. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, da bes hleunigte Ladungen strahlen. Also
m
uten alle Elektronenbahnen instabil sein, Zerfallszeit 10
10
s
3. Eine kontinuierli he Abstrahlung von Energie ist m
ogli h und kann ni ht das
experimentell beoba htete Linienspektrum erkl
aren.
experimentell: Rydberg-Serien:
1
= R
H
1
n
2
1
m
2
; m n+ 1
18 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
h!
mn
= E
n
E
m
; E
n
=
R
H
h
n
2
Es sieht so aus, als ob nur diskrete Energieniveaus im Atom existieren.
\Erkl
arung" mit Gewalt, dur h Niels Bohr, f
uhrt zur \alten" Quantenme hanik. Man
erh
alt sie dur h konsequentes Anwenden der klassis hen Me hanik unter Hinzunahme
der sogenannten Bohrs hen Postulate:
Die Bohrs hen Postulate (1913)
I Es existieren bestimmte Bahnen zu festen Energien E
n
. Auf diesen Bahnen be-
wegen si h die Elektronen ohne Abstrahlung. Die Bahnen sind deshalb station
ar.
II
Uberg
ange zwis hen station
aren Bahnen f
uhren zur Abstrahlung mit der Fre-
quenz
!
mn
= E
n
E
m
1.4.2 Die Bohrs he Quantenhypothese
Mathematis he Fragestellung der alten QM: Wie ndet man Energieniveaus?
Antwort: Bohrs he Quantenhypothese
Bei periodis her Bewegung kann das Phasenintegral J nur bestimmte, diskrete (ge-
quantelte) Werte annehmen:
J =
1
2
I
p dq = nh; n = 1; 2; 3:::
1. Besipiel: Der harmonis he Oszillator
Hamiltonfunktion: H(p; q)
E = H(p; q) =
p
2
2m
+
1
2
m!
2
q
2
(setze m = 1) daraus
p(q) =
p
2E !
2
q
2
und
H
p dq =
2
!
E
aus der Quantenhypothese folgt s hlieli h:
J-q q
q
p
0 0
1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUST
ANDE, \ALTE" QM 19
E
n
= h!n
D.h., es existieren diskrete Bahnen im Phasenraum, diese geh
oren zu diskreten Ener-
gieniveaus. Damit l
at si h der s hwarze Strahler \erkl
aren", d.h. auf die Bohrs he
Quantenhypothese zur
u kf
uhren.
2. Beispiel: Das Wasserstoatom (analog zum Kepler-Problem der klassis hen Me ha-
nik)
Bes hreibung dur h Kugelkoordinaten r; ';
kanonis h konjugierte Impulse: P
r
= m _r; P
'
= mr
2
_'; P
= mr
2
_
Hamiltonfunktion:
H(r; ; P
r
; P
; P
'
) =
1
2m
P
2
r
+
1
r
2
P
2
+
1
r
2
sin
2
P
2
'
r
= E
wobei =
e
2
4"
0
.
' ist zyklis h, also
_
P
'
=
H
'
= 0,
daraus folgt ein 1. Integral: P
'
= onst = a
'
(Drehimpulskomp L
z
), d.h. Bewegung
ndet in einer Ebene senkre ht zu L
z
statt.
Hamilton-Ja obi-Formalismus: Su he kanonis he Transformation so, da alle neuen La-
gekoordinaten q
0
1
; q
0
2
; q
0
3
zyklis h sind.
Sei S(q
i
; P
0
i
) die Erzeugende, dann gilt
P
i
= S=q
i
; q
0
i
= S=P
0
i
;
Einsetzen in H ergibt die zeitunabh. Hamilton-Ja obi-Glei hung:
1
2m
2
6
6
6
6
4
S
r
!
2
+
1
r
2
S
!
2
+
1
r
2
sin
2
S
'
!
2
| z
a
'
3
7
7
7
7
5
r
= E
Ein Separationsansatz funktioniert man hmal ....:
S(r; ; '; P
0
i
) = S
r
(r; P
0
i
) + S
(; P
0
i
) + S
'
('; P
0
i
)
und damit
r
2
2m
S
r
r
!
2
r Er
2
| z
f(r)a
2
=
1
2m
2
4
S
!
2
+
a
2
'
sin
2
3
5
| z
g()a
2
a
2
= Drehimpulsquadrat
20 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
Die einzelnen S folgen aus Integration der Ausdr
u ke, die Impulse direkt:
S
r
r
=
q
2m(E + =r) a
2
=r
2
= P
r
S
=
q
a
2
a
2
'
= sin
2
= P
S
'
'
= a
'
= P
'
Na hdem man die Impulse bestimmt hat, lassen si h die drei Phasenintegrale bere h-
nen:
J
r
=
1
2
I
P
r
dr = a
+
2
s
2m
E
J
=
1
2
I
P
d = a
a
'
J
'
=
1
2
I
P
'
d' = a
'
au
osen na h der Energie:
E =
h
2
E
R
(J
r
+ J
+ J
'
)
2
mit der Abk
urzung (Rydberg-Energie)
E
R
=
me
4
8"
2
0
h
2
13:6eV
Quantenhypothese: f
ur die drei Phasenintegrale gilt unabh
angig:
J
r
= n
r
h; J
= n
h; J
'
= n
'
h
und endli h
E
n
=
E
R
n
2
; n = n
r
+ n
+ n
'
mit n als Hauptquantenzahl. Als Grundzustandsenergie ergibt si h dann E
1
= E
R
,
was mit den experimentellen Daten
ubereinstimmt.
Best
atigung dur h Frank-Hertz-Versu h (1914)
k
Hg-Dampf
+-u
-
G
A
I
+ 4.9 eV 9.8 eV
I
U
1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUST
ANDE, \ALTE" QM 21
1.4.3 Das Bohrs he Korrespondenzprinzip
Die Ergebnisse der Quantentheorie gehen f
ur groe Quantenzahlen in die der klass.
Theorie
uber.
Beispiel Wasserstoatom: Aus der klass. Me hanik (Kepler-Problem) kennt man die
Umlaurequenz !
kl
des Elektrons:
!
kl
=
8"
0
e
2
s
2
m
(E)
3=2
Laut Bohr mu gelten:
!
B
= !
n;n+1
=
1
h
(E
n+1
E
n
)
n1
1
h
dE
n
dn
=
2
h
1
p
E
R
(E
n
)
3=2
Einsetzen ergibt !
B
= !
kl
.
1.4.4 Zusammenfassung
Diskretisierung dur h Wirkungsquantum. Wirkung J mu Vielfa hes von h sein.
Neue (ni ht-klassis he) Ph
anomene, wenn J in die N
ahe von h kommt. F
ur J h
erh
alt man die Ergebnisse der klass. Me hanik
1.4.5 Kritikpunkte an alter QM
ad-ho Ans
atze im Rahmen klass. Vorstellungen, nur dur h das ri htige Ergebnis
begr
undbar.
Nur deterministis he Dynamik m
ogli h. Spontane Emission?
Nur anwendbar auf periodis he Bewegungen
Versagt s hon bei etwas komplizierteren Problemen (He, H
+
2
,...)
Deshalb: Auf zu neuen Ufern!
22 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK
Kapitel 2
Wellenfunktionen
Bohr: klassis he Bes hreibung dur h Teil hen (q(t); p(t)) + Quantisierungsvors hriften
Quantenme hanik: Bes hreibung dur h Wellenfunktion (q; t)
Teil hen (klassis h) ! gew
ohnli he DGL f
ur q(t); p(t)
Wellenfunktion! partielle DGL! Randbedingungen ! Quantisierungsvors hrift
2.1 Mathematis he Hilfsmittel
2.1.1 Fourier-Reihen
Sei (x) im Intervall
L
2
x
L
2
mit Diri hlet-Bedingungen (st
u kweise stetig, an
Unstetigkeitstellen Mittelwert)
Satz: Die Funktionen
1
p
L
e
ik
n
x
; k
n
=
2
L
n; n = 0; 1; 2:: (2.1)
bilden ein VONS (vollst
andiges, orthonormiertes Funktionensystem) zur Klasse der
st
u kweise stetigen Funktionen (x) mit Periode L.
Entwi klungssatz:
(x) =
1
X
n=1
n
e
ik
n
x
(2.2)
wobei die KoeÆzienten
n
gegeben sind dur h die
Umkehrrelation:
n
=
1
L
Z
L=2
L=2
dx
0
(x
0
)e
ik
n
x
0
(2.3)
23
24 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN
Vollst
andigkeitssrelation:
Einsetzen von (2.3) in (2.2) ergibt:
(x) =
Z
L=2
L=2
dx
0
(x
0
)Æ(x x
0
)
mit der Abk
urzung
Æ(x x
0
) =
1
L
1
X
n=1
e
ik
n
(xx
0
)
(2.4)
Der Ausdru k (2.4) ist gerade eine Denition der Dira s hen Delta-Funktion (siehe
weiter unten). Er dr
u kt au h die Vollst
andigkeit des Systems (2.1) aus und wird daher
als Vollst
andigkeitsrelation bezei hnet.
Orthonormierungsbedingung:
Andererseits erhalten wir dur h einsetzen von (2.2) in (2.3)
n
=
1
X
n
0
=1
Æ
nn
0
n
0
mit der Abk
urzung
Æ
nn
0
=
1
L
Z
L=2
n=L=2
e
ix(k
n
0
k
n
)
dx (2.5)
Der Ausdru k (2.5) stellt das Krone ker-Symbol dar und wird als Orthonormierungs-
bedingung des Systems (2.1) bezei hnet.
Parsevals he Glei hung:
Seien die Entwi klungskoeÆzienten von (x) gegeben als
n
, die von (x) als b
n
, dann
gilt die Parsevals he Glei hung
Z
L=2
n=L=2
dx
(x)(x) = L
1
X
n=1
b
n
n
2.1.2 Fourier-Integral
Ans hauli h: Grenz
ubergang L ! 1, damit wird k
n
kontinuierli h, k
n
! k, und die
FourierkoeÆzienten gehen in die Fouriertransformierte
uber. Im weiteren sollen die
Funktionen (x) L
2
-normierbar (quadratintegrabel) sein, d.h. es gilt
Z
1
1
dx j(x)j
2
<1
wegen
n
/ 1=L verwenden wir als Fouriertransformierte
a(k) = a(k
n
) =
L
p
2
n
2.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL 25
Ausgehend von (2.2) formulieren wir den Entwi klungssatz f
ur kontinuierli hes k:
(x) =
1
X
n=1
n
e
ik
n
x
=
p
2
L
1
X
n=1
a(k
n
)e
ik
n
x
n
mit
n
= 1 =
L
2
k. Damit
(x) =
1
p
2
1
X
n=1
a(k
n
)e
ik
n
x
k
ergibt na h dem Grenz
ubergang k ! 0 den
Entwi klungssatz:
(x) =
1
p
2
Z
1
1
dk a(k)e
ikx
(2.6)
Aus (2.3) folgt sofort die
Umkehrrelation:
a(k) =
1
p
2
Z
1
1
dx
0
(x
0
)e
ikx
0
(2.7)
Einsetzen von (2.7) in (2.6) ergibt wieder
(x) =
Z
1
1
dx
0
(x
0
)Æ(x x
0
)
mit der
Vollst
andigkeitssrelation:
Æ(x x
0
) =
1
2
Z
1
1
dk e
ik(xx
0
)
Einsetzen von (2.6) in (2.7) liefert
a(k) =
Z
1
1
dk
0
a(k
0
)Æ(k k
0
)
mit der
Orthonormierungsbedingung:
Æ(k k
0
) =
1
2
Z
1
1
dx e
ix(kk
0
)
26 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN
Aus der Parsevals hen Glei hung wird
Z
1
1
dx
(x)(x) =
Z
1
1
dk a
(k)b(k)
Der Spezialfall
Z
1
1
dx j(x)j
2
=
Z
1
1
dk ja(k)j
2
bedeutet die Erhaltung der Normierung unter Fouriertransformationen.
2.1.3 Die Dira s he Delta-Funktion
Æ(x) ist eine uneigentli he Funktion, die nur unter dem Integral deniert ist:
Æ(x) = 0 wenn x 6= 0; und
Z
b
a
dx Æ(x) = 1 ; a < 0; b > 0
und auerdem
Z
b
a
dx Æ(x )f(x) = f( ) ; a < < b
Die Æ-Funktion als Grenzwert stetig dierenzierbarer Funktionen:
Vorbemerkung: es gilt immer
lim
!0
Z
1
1
dx Æ
(x a)f(x) = f(a)
wobei erst das Integral, dann der Limes ausgewertet werden mu.
1. Æ
(x) =
1
2
R
1=
1=
e
ikx
dk =
1
sin
(
x
)
x
2. Æ
(x) =
1
x
2
+
2
; Lorentz-Kurve
3. Æ
(x) =
1
e
x
2
2
; Gau-Kurve
4. Æ
(x) =
1
sin(x=)
x=
2
Einige wi htige Eigens haften der Æ-Funktion:
2.2. MATERIEWELLEN 27
Æ(x) = Æ(x)
Æ(x) =
d
dx
(x); (x) = Stufenfunktion
xÆ(x) = 0
Æ(ax) =
1
jaj
Æ(x)
Æ(f(x)) =
X
i
1
df
dx
x
i
Æ(x x
i
); f(x
i
) = 0
2jxjÆ(x
2
) = Æ(x)
x
dÆ(x)
dx
= Æ(x)
Æ
3
(r) = Æ(x)Æ(y)Æ(z)
2.2 Materiewellen
Der Welle/Teil hen-Dualismus wurde zuerst f
ur Photonen vorges hlagen. Welleneigen-
s haften sind ! und k, Teil heneigens haften E und p. Einstein fand die Relationen
E = h!
p = hk (2.8)
aus dem Photoeekt 1905. Wegen E = jpj ergibt si h die Dispersionsrelation
!(k) = jkj
in
Ubereinstimmung mit den Wellenglei hungen der Elektrodynamik (aus Maxwell-
Gl.).
de Broglie (1924): Die Relationen (2.8) gelten au h f
ur Materieteil hen mit Ruhemasse!
Die Dispersionsrelation (ni ht-relativistis h) lautet jetzt
!(k) =
hk
2
2m
Wie sieht die Wellenglei hung dazu aus?
Dur h die de Broglies hen Beziehungen (2.8) l
at si h die Bohrs he Quantenhypothese
motivieren. Betra hte Elektron auf Kreisbahn mit Radius R:
J
'
=
1
2
Z
2
0
d' p
'
= Rp = nh
28 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN
de Broglie: p = hk = 2h= ergibt
2R = n
also nur stehende Wellen auf Umfang. Alle anderen Wellenl
angen l
os hen si h dur h
Interferenz aus und kommen somit ni ht vor.
Ananlog zur E-Dynamik k
onnen wir jetzt eine Wellenfunktion f
ur Materieteil hen de-
nieren (ebene Wellen):
EW
(r; t) = A(k)e
i(kr!(k)t)
; !(k) =
hk
2
2m
(2.9)
Phase
x
Fl chen konstanter
k
y
..a
2.3 Interpretation der Wellenfunktion
Teil hen = Welle ?
Gibt wenig Sinn, da ein Teil hen irgendwie lokalisiert sein sollte. Man wei aber aus
Interferenzexperimenten das gilt
I / P / jj
2
Das legt nahe, die positiv denite Gr
oe
j(r; t)j
2
d
3
r = (r; t)d
3
r
2.4. WELLENPAKETE 29
als Wahrs heinli hkeit aufzufassen, ein Teil hen zur Zeit t bei r im Volumenelement
d
3
r zu nden.
Normierung (Wahrs h., das Teil hen irgendwo in V zu nden =1):
Z
V
d
3
rj(r; t)j
2
= 1
d.h. f
ur Teil hen, die dur h ebene Wellen (2.9) bes hrieben werden, gilt
EW
=
1
V
d.h. es handelt si h um einen vollst
andig delokalisierten Zustand (gr
otm
ogli he Orts-
uns h
arfe).
2.4 Wellenpakete
Die Normierbarkeit bedeutet, da die QM eine lineare Theorie sein mu. D.h. es gilt
au h das Superpositionsprinzip. Aus (2.9) lassen si h Wellenpakete mit beliebigen A(k)
s hn
uren (hier nur in einer Dimension):
(x; t) =
1
p
2
Z
1
1
dk A(k)e
i(kx!(k)t)
(2.10)
und (Normierung)
Z
1
1
dk jA(k)j
2
= 1
z.B. Gau-Kurve:
A(k)
k0 k
Lokalisierte Zust
ande
Sei A(k) haupts
a hli h um k
0
lokalisiert, dann l
at si h entwi keln:
!(k) !(k
0
) +
d!
dk
k
0
| z
v
g
(k k
0
) +
1
2
d
2
!
dk
2
k
0
(k k
0
)
2
+ ::::
30 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN
Sei zun
a hst
d
2
!
dk
2
= 0, dann gilt f
ur die Wahrs heinli hkeitsdi hte
(x; t) = jj
2
=
1
2
Z Z
dk dk
0
A(k)A
(k
0
)e
i(kk
0
)(xv
g
t)
=
0
(x v
g
t)
wobei
0
(x) = (x; t = 0) die Anfangsverteilung bezei hnet. Das Wellenpaket bewegt
si h also mit der Gruppenges hwindigkeit
v
g
=
d!
dk
k
0
ohne dabei seine Form zu
andern.
d
2
!
dk
2
= 0 ! ! / k; z.B. bei Li htwellen
Materiewellen:
d
2
!
dk
2
=
h
m
6= 0:
Wellenpakete aus Materiewellen zer ieen
ρ
x
t=t0
ρ
x
t>t0
Teil hen = Wellenpaket ?
Au h ni ht, da Wellenpaket zer iet. Wieder jj
2
Wahrs heinli hkeitsdi hte, das Teil-
hen zu nden. Dann bedeutet \zer ieen", da die Unsi herheit
uber den Ort zu-
nimmt.
Beispiel: Gau-Kurve:
(x; t) =
s
b(0)
2
3=2
Z
1
1
dk e
b(0)
2
2
(kk
0
)
2
| z
/A(k)
e
i(kx!(k)t)
und daraus
(x; t) = jj
2
=
1
p
b(t)
e
(x
hk
0
m
t)
2
=b(t)
2
2.4. WELLENPAKETE 31
wobei
b(t) =
v
u
u
t
b(0)
2
+
1
b(0)
2
h
m
t
!
2
die Breite des Pakets bes hreibt. Wegen db=dt > 0 iet das Paket auseinander.
A(k)
k
k0
∆k
1
1/e
Uns h
arfe im k-Raum:
k =
2
b(0)
Es gilt
xk 4 t 0
ρ(t)
∆x x
1
1/e
Uns h
arfe im Ortsraum:
x = 2b(t)
Ans hauli h: Teil hen besteht aus Wellen mit vers hiedenen (uns harf) Phasenges hwin-
digkeiten. Dadur h l
auft es auseinander. Dur h de Broglie kommt die Physik ins Spiel.
Mit k = p=h erh
alt man die Uns h
arferelation:
xp 4h t 0
32 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN
Uns h
arferelation ist eine Konsequenz der Welle-Teil hen-Bes hreibung.
Bohrs hes Komplementarit
atsprinzip
Komplement
are Variable (klassis h: kanonis h konjugiert), z.B.:
(p; q); (E; t)
sind prinzipiell glei hzeitig nur so genau bestimmbar, wie in Einklang mit der Uns h
arfe-
relation
2.5 Erwartungswerte
statistis he Deutung der Wellenfunktion
Beispiel W
urfel: (N) = 1=6, N = 1::6
Erwartungswert = Mittlere Augenzahl (bei unendli h vielen W
urfen):
< N >=
6
X
N=1
N (N)
| z
Gewi htung
= 3:5
Im Kontinuierli hen: z.B. Gr
oenverteilung (h):
Erwartungswert = mittlere Gr
oe
< h >=
Z
h
max
0
dh h(h);
Z
h
max
0
dh (h) = 1
Aus der Wellenfunktion (Ortsdarstellung) l
at si h lei ht der mittlere Ort (eines Teil-
hens) ausre hnen:
< r(t) >=
Z
1
1
d
3
r r(r; t) =
Z
1
1
d
3
r
(r; t)r(r; t)
2.6 Operatoren
Wie l
at si h der Erwartungswert von < p > bere hnen?
< p(t) >=
Z
1
1
d
3
p p~(p; t)
2.6. OPERATOREN 33
F
ur ebene Wellen haben wir p = hk. Versu h: Identiziere den Impulsraum mit dem
k-Raum (Fourier-Raum). Also:
~
(p; t) h
3=2
A(p=h) =
1
(2h)
3=2
Z
1
1
d
3
r e
i
h
pr
(r; t)
(r; t) =
1
(2h)
3=2
Z
1
1
d
3
p e
i
h
pr
~
(q; t)
Einsetzen:
< p(t) >=
1
(2h)
3
Z
1
1
d
3
r (r; t)
Z
1
1
d
3
r
0
(r
0
; t)
Z
1
1
d
3
p p e
i
h
(rr
0
)p
| z
=J
Das letzte Integral ergibt:
J = ihr
r
Z
1
1
d
3
p e
i
h
(rr
0
)p
= (2h)
3
ihr
r
Æ(r r
0
)
Damit
< p(t) > = ih
Z
1
1
d
3
r
0
(r
0
; t)
Z
1
1
d
3
r (r; t)r
r
Æ(r r
0
)
= ih
Z
1
1
d
3
r
0
(r
0
; t)
8
>
>
>
<
>
>
>
:
(r; t)Æ(r r
0
)
1
1
| z
=0
Z
1
1
d
3
r Æ(r r
0
)r(r; t)
9
>
>
>
=
>
>
>
;
wobei das letzte Integral partiell integriert wurde.
Zusammengefat ergibt si h f
ur die Erwartungswerte des Ortes und des Impulses im
Ortsraum (in der Ortsdarstellung):
< p(t) > =
Z
1
1
d
3
r
(r; t)(ihr)(r; t)
< r(t) > =
Z
1
1
d
3
r
(r; t) r(r; t)
Das gilt au h f
ur beliebige Funktionen:
< g(p) > =
Z
1
1
d
3
r
g(ihr)
< f(r) > =
Z
1
1
d
3
r
f(r)
34 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN
z.B. f
ur die kinetis he Energie:
< E
kin
>=
< p
2
>
2m
=
Z
1
1
d
3
r
h
2
2m
!
Andererseits lassen si h die Erwartungswerte au h im Impulsraum (in der Impulsdar-
stellung) ausdr
u ken:
< p(t) > =
Z
1
1
d
3
p
~
(p; t)p
~
(p; t)
< r(t) > =
Z
1
1
d
3
p
~
(p; t)(ihr
p
)
~
(p; t)
Folgende vorl
auge Aussagen lassen si h ma hen:
Erwartungswerte lassen si h in vers hiedenen Darstellungen (R
aumen) formulie-
ren.
Den klassis hen Observablen (messbare Gr
oen) werden (lineare) Operatoren zu-
geordnet:
< X >=
Z
d
()
^
X ()
Speziell f
ur die Ortsdarstellung gelten die Jordans hen Regeln:
^r = r
^p = ihr
Beispiele (Ortsdarstellung):
Drehimpuls L = r p
^
L = ihrr
kinetis he Energie T =
p
2
2m
^
T =
h
2
2m
potentielle Energie V (r)
^
V (r) = V (r)
Kapitel 3
Die S hr
odingerglei hung
Fragestellung: Wie entwi keln si h Zust
ande in der Zeit?
(0) ! (t) ?
Forderungen (empiris h):
1. (r; t) soll eindeutig bestimmt sein aus (r; 0), es mu si h um eine partielle
DGL 1.Ordnung in t handeln.
2. Surerpositionsprinzip (Interferenz) und Normierbarkeit f
uhren auf eine lineare
PDGL.
3. Ebene Wellen sollen L
osung sein (freies Teil hen) mit der Dispersionsrelation
!(k) =
hk
2
2m
4. Im Raum darf es keine Vorzugsri htung geben (Isotropie des Raumes)
Damit zun
a hst:
0
_
= + +
wegen (t) = 0 wenn (0) = 0 folgt sofort = 0.
3.1 Das freie Teil hen
L
osung ebene Wellen:
= Ae
ikri!(k)t
35
36 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
damit
0
ihk
2
2m
= k
2
Freies Teil hen: = 0
Eine M
ogli hkeit:
0
= ih, =
h
2
2m
, also
ih
t
(r; t) =
h
2
2m
(r; t)
hat als L
osung ebene Wellen und Wellenpakete. Es handelt si h um eine PDGL, d.h.
man ben
otigt Randbedingungen. Diese f
uhren zwanglos zu einer Quantisierungsvor-
s hrift
Beispiel: Teil hen im 1D-Potentialtopf (oder: das fast freie Teil hen)
x=Lx=0
Ψ2
Ψ3
E1
E2
E3
V= V=V=08
Ψ1
8
Randbedingungen: (0) = (L) = 0
L
osung:
n
(x; t) = A sin k
n
xe
i!(k
n
)t
; k
n
=
L
n
daraus:
E
n
= h!(k
n
) =
h
2
k
2
2m
=
2
h
2
2mL
2
n
2
3.2. TEILCHEN IM
AUSSEREN POTENTIAL 37
3.2 Teil hen im
aueren Potential
Klassis h: K(r) = rU(r)
H(r;p) = T (p) + U(r) =
p
2
2m
+ U(r)
freies Teil hen: ih
t
=
^
T
Idee: ersetze
^
T !
^
T +
^
U(r)
^
H = Hamilton-Operator, Hamiltonian
Einteil hen-S hr
odingerglei hung (Ortsraum, Ortsdarstellung) damit:
ih
t
(r; t) =
"
h
2
2m
+ U(r)
#
(r; t)
F
ur N we hselwirkende Teil hen ergibt si h ganz analog:
ih
t
(r
1
:::r
N
; t) =
"
N
X
n
h
2
2m
n
r
n
+ U(r
1
::r
N
)
#
(r
1
::r
N
; t)
3.3 Die zeitunabh
angige S hr
odingerglei hung
erh
alt man dur h den Separationsansatz:
(r; t) = (r)e
i
E
h
t
Sie lautet
E(r) =
^
H(r)
und ist zuglei h die Eigenwertglei hung zum Hamiltonoperator
^
H mit dem Eigenwert-
spektrum E. Die Werte E sind reell, weil
^
H selbstadjungiert ist.
3.4 Die Kontinuit
atsglei hung
Betra hte Di hte (r; t) (z.B. Wahrs heinli hkeit, Masse, Ladung)
38 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
globale Bilanzglei hung:
d
dt
Z
V
d
3
r (r; t)
| z
Anderung der Gesamtmasse
+
Z
F (V )
d
2
f j(r; t)
| z
Strom dur h Ober
a he
= 0
mit j als Stromdi hte. Anwendung des Gaus hen Satzes:
Z
F (V )
d
2
f j(r; t) =
Z
V
d
3
r div j(r; t)
ergibt die Kontinuit
atsglei hung (lokale Bilanzglei hung):
_(r; t) + div j(r; t) = 0 (3.1)
Wir bringen jetzt die S hr
odingerglei hung in die Form:
_
=
h
2mi
+
U
ih
Dann erhalten wir aus (3.1)
_ =
_
+
_
=
h
2mi
(
)
oder
_+
h
2mi
div (
r r
) = 0
und damit
j =
h
2mi
(
rr
)
als Stromdi hte. Das liefert glei hzeitig die Erhaltung der Normierung der Wahrs hein-
li hkeit:
d
dt
Z
v
dV
| z
=1
=
Z
v
_dV =
Z
V
div j dV
Gau
=
Z
F (V )
j d
2
f = 0
wenn j an der Obe
a he vers hwindet, was der Fall ist wenn vers hwindet.
3.5. ANDERE WELLENGLEICHUNGEN 39
3.5 Andere Wellenglei hungen
Bisheriges Erfolgsrezept: Die Jordans hen Regeln:
p !^p = ihr
E !
^
E = ih
t
ergeben, angewandt auf E = H(p; r), die S hr
odingerglei hung.
3.5.1 Wellenglei hung
F
ur Photonen (m
0
= 0) gilt E = jpj , oder E
2
= p
2
2
.
Jordans he Regeln hierauf:
"
1
2
2
t
2
#
= 0
Wellenglei hung aus Maxell-Gl.
3.5.2 Klein-Gordon-Glei hung
F
ur relativistis he Teil hen mit Ruhemasse m
0
gilt die Energie-Impuls-Beziehung
E =
q
m
2
0
4
+ p
2
2
Quadrieren und Anwendung der Jordans hen Regeln ergibt die Klein-Gordon-Glei hung
"
1
2
2
t
2
#
=
m
2
0
2
h
2
Sie bes hreibt z.B. Mesonen (Teil hen mit Ruhemasse, aber ohne Spin).
Andere M
ogli hkeit: Dira -Glei hung zur rel. Bes hreibung von Spin-1/2 Teil hen (z.B.
des Elektrons), siehe sp
ater.
40 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
3.5.3 Quasi-klassis he N
aherung
Formaler
Ubergang zwis hen Me hanik und Quantenme hanik.
Einf
uhrung einer Wirkung S(r; t).
(r; t) = e
i
h
S(r;t)
Einsetzten in S hr
odingergl.:
S
t
=
1
2m
(rS)
2
+ U(r)
ih
2m
S
Entwi kle S na h h (semi-klassis h):
S(r; t) =
X
n
(ih)
n
S
n
(r; t)
in niedrigster Ordnung h
0
:
S
0
t
=
1
2m
(rS
0
)
2
+ U(r)
Hamilton-Ja obi-Glei hung, Eikonalglei hung.
wegen p = rS
0
verlaufen die Teil henbahnen senkre ht zu den Fl
a hen S
0
= onst.
(Beispiel: freies Teil hen, p = p
0
= onst. S
0
= p
0
r Et)
Bewegung der Fronten der
Wirkwellen:
S
0
= onst, dS
0
= 0:
dS
0
= rS
0
| z
=p
0
dr+
S
t
|z
=E
dt = 0
p
0
u = E
juj =
E
jp
0
j
u = dr=dt, Phasenges hw. der
Wirkwellen.
u
p0
S0 = const
3.6. DIE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK 41
3.6 Die Postulate der Quantenme hanik
1. Posatulat
(I) Ein physikalis hes System wird dur h eine Zustandsfunktion
(q; t) bes hrieben. Der Ausdru k j(q; t)j
2
d
N
q gibt die Wahr-
s heinli hkeit an, das System zur Zeit t im Volumenelement d
N
q
um q zu nden.
2. Postulat
(II) Den Megr
oen (Observablen) der klassis hen Physik entspre-
hen in der Quantenme hanik Operatoren (
^
A).
3. Postulat
Die Mittelwerte der Operatoren im Zustand (r; t) sind gegeben dur h
< A(t) >=
Z
V
d
3
r
(r; t)
^
A(r; t)
die mittlere quadratis he Abwei hung (Varianz) ist deniert dur h:
(A)
2
< (< A > A)
2
>=< (< A >
2
2A < A > +A
2
) >=< A
2
> < A >
2
Der Ausdru k A ist proportional zur prinzipiellen (d.h. ni ht dur h die Me-
te hnik bedingten) Uns h
arfe einer Messung der zu
^
A geh
orenden Observablen.
(III) Das Ergebnis einer pr
azisen Messung (A = 0) von A ist ein
Eigenwert von
^
A.
Erg
anzung:
Eigenwertglei hung von
^
A:
^
A'
;
= a
'
;
mit '
;
= Eigenfunktion, a
= Eigenwert, = Entartungsindex.
Sei '
;
ein VONS in der Ortsdarstellung.
Entwi klungssatz:
(r; t) =
X
;
;
(t)'
;
(r)
42 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
Dann ist
< A(t) >=
X
;;
0
;
0
;
(t)
0
;
0
(t)
Z
V
d
3
r '
;
(r)
^
A'
0
;
0
(r)
| z
=a
0
'
0
;
0
=
X
;;
0
;
0
;
(t)
0
;
0
(t)a
0
Æ
;
0
Æ
;
0
=
X
;
j
;
(t)j
2
a
X
(t)a
Wobei
(t) =
X
j
;
(t)j
2
die Wahrs heinli hkeit angibt, bei Messung von A den Mewert a
zu nden.
4. Postulat
(IV) Die zeitli he Entwi klung eines Zustandes wird dur h die
S hr
odingerglei hung bes hrieben:
ih
t
(t) =
^
H(t) (3.2)
Formal l
at si h ein Zeitentwi klungsoperator
^
U(t) einf
uhren, so da:
(t
1
) =
^
U(t
1
t
0
)(t
0
)
gilt. Die formale Integration von (3.2) liefert andererseits (wenn
t
^
H = 0 gilt):
(t
1
) = e
i
h
^
H(t
1
t
0
)
| z
=
^
U(t
1
t
0
)
(t
0
)
auerdem gilt:
^
U(t
1
+ t
2
) =
^
U(t
1
)
^
U(t
2
)
3.7. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE 43
3.7 Feynmans he Pfadintegrale
mehr intuitiver Zugang zur QM
Pfadintegrale, Wegintegrale, Propagator
3.7.1 Propagatoren
Betra hte Teil hen im Zustand jx
a
> zur Zeit t
a
, z.B. in der Ortsdarstellung
< xjx
a
>= Æ(x x
a
)
mit wel her Wahrs heinli hkeit ist es zur Zeit t
e
bei jx
e
> ?
Feynmann: Summierung
uber alle Wege, die von x
a
na h x
e
f
uhren.
e
a
t e
x
ta
x
x
t
Ubergangswahrs heinli hkeit f
ur Ausbreitung = Propagator:
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) =< x
e
j
^
U(t
e
t
a
)jx
a
>
Zur n
aherungsweisen Bere hnung: f
uhre Zwis henpunkte x
2
:::x
N1
ein, an denen das
Teil hen zur Zeit t
n
ist (Zeitgitterung):
44 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
t et
e
3
N-1x
x
N-1
∆ t
t a tt 2 3
x
xa
x2
x
...........
t
3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral
Der Kurzzeitpropagator bes hreibt die
Ubergangswahrs heinli hkeit von einem Punkt
auf den bena hbarten:
P (x
n+1
; t
n+1
; x
n
; t
n
) =< x
n+1
j
^
U(t)jx
n
>=< x
n+1
je
i
h
^
Ht
jx
n
>
damit ergibt si h das Wegintegral
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) =
Z
dx
N1
dx
N2
:::dx
2
P (x
N
; t
N
; x
N1
; t
N1
)P (x
N1
; t
N1
; x
N2
; t
N2
)::::P (x
2
; t
2
; x
1
; t
1
)
Bere hnung der einzelnen Kurzzeitpropagatoren:
< x
n+1
je
i
h
^
Ht
jx
n
> =
Z
dx Æ(x x
n+1
) e
i
h
t(T (p)+V (x
n
))
Æ(x x
n
)
Z
dx Æ(x x
n+1
) e
i
h
tT (p)
Æ(x x
n
)
| z
=
1
2h
R
dp
n
e
i
h
p
n
(xx
n
)
e
i
h
tV (x
n
)
=
1
2h
Z
dx
Z
dp
n
Æ(x x
n+1
) e
i
h
[p
n
(xx
n
)H(p
m
;x
n
)t
=
1
2h
Z
dp
n
e
i
h
h
p
n
x
n+1
x
n
t
H(p
m
;x
n
)
i
t
(3.3)
Der Limes t! 0 f
uhrt in der e kigen Klammer im Exponent auf
[::: = p
n
_x
n
H(p
n
; x
n
) = L(P
n
; x
n
)
3.7. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE 45
also auf die klassis he Lagrange-Funktion. Damit ergibt si h f
ur den Kurzzeitpropaga-
tor also endg
ultig der einfa he Ausdru k:
P (x
n+1
; t
n+1
; x
n
; t
n
)
t!0
=
1
2h
Z
dp
n
e
i
h
L(p
n
;x
n
)t
F
ur den gesammten Prozess von x
a
na h x
e
erhalten wir damit das Pfadintegral
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) = lim
N!1
Z
dx
2
dx
3
:::dx
N1
Z
dp
1
dp
2
dp
3
:::dp
N1
e
i
h
R
t
e
t
a
L(p;x)dt
wobei das Integral im Exponenten ein Funktional des Weges von x
a
na h x
b
(klassis h
also x(t); p(t)) ist.
F
ur die Vielfa h- (eigentli h Unendli hfa h-) Integrale verwendet man oft die abgek
urz-
te Notation
lim
N!1
Z
dx
2
dx
3
:::dx
N1
Z
Dx
und
lim
N!1
1
(2h)
N1
Z
dp
1
dp
2
dp
3
:::dp
N1
Z
Dp
2h
oder
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) =
Z
Dx
Z
Dp
2h
exp
i
h
Z
t
e
t
a
L(p; x)dt
(3.4)
Die ans hauli he Erkl
arung des Pfadintegrales ist die, da man
uber alle Wege im
Phasenraum (x; p), die von x
a
na h x
b
f
uhren, aufsummiert und die einzelnen Wege
mit dem Ausdru k
exp
i
h
Z
t
e
t
a
L(p; x)dt
gewi htet. Dabei ist ents heidend, da der Weg am st
arksten zur Summe beitr
agt, bei
dem der Exponent extremal wird, also
Z
Ldt = Extr.
Das ist aber gerade der Weg, den ein Teil hen gehen w
urde, da der klassis hen Me-
hanik folgt. Die Wege, bei denen der Exponent bez
ugli h bena hbarter Wege stark
variiert, mitteln si h zum groen Teil dur h Interferenzen heraus.
46 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
tat
xa
e
Variation
Variationschwache
starke
klassischer Weg
t
xe
x
3.7.3 Pfadintegral im Kongurationsraum
In der Form (3.4) ist das Pfadintegral im Phasenraum dargestellt. Die urspr
ungli hen
Arbeiten von Feynman verwendeten das Pfadintegral im Kongurationsraum. Man
gelangt zu dieser Darstellung dur h ausintegrieren der Impulse. Sei
^
H =
p
2
2m
+ U(x)
dann l
asst si h (3.3) s hreiben als:
< x
n+1
je
i
h
^
Ht
jx
n
>= e
i
h
U(x
n
)t
1
2h
Z
dp
n
e
i
h
h
p
n
x
n+1
x
n
t
p
n
2m
i
t
| z
=J
Der Ausdru k J l
asst si h quadratis h erg
anzen zu
J =
1
2h
e
i
h
m
2
x
n+1
x
n
t
2
t
Z
dp
n
e
i
h
1
2m
p
n
x
n+1
x
n
t
m
2
t
Das letzte Integral (komplexes Gau-Integral, Fresnel-Integral) l
asst si h ausre hnen.
F
ur den Kurzzeitpropagator erhalten wir insgesamt
< x
n+1
je
i
h
^
Ht
jx
n
>=
r
m
2hit
e
i
h
m
2
x
n+1
x
n
t
2
U(x
n
)
t
3.7. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE 47
und s hlieli h f
ur das Wegintegral in der Ortsdarstellung wie in 3.7.2
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) = lim
N!1
Z
dx
2
dx
3
:::dx
N1
m
2hit
N1
2
e
i
h
R
t
e
t
a
L( _x;x)dt
(3.5)
wobei jetzt also nur no h
uber Wege im Ortsraum integriert wird.
3.7.4 Beispiel: das freie Teil hen
Als Anwendung wollen wir den Propagator f
ur das freie Teil hen bere hnen:
U(x) = 0; L( _x) =
m
2
_x
2
Ausgehend von (3.5) erhalten wir
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) = lim
N!1
m
2hit
N1
2
Z
dx
2
dx
3
:::dx
N1
e
im
2ht
P
N1
n=1
(x
n+1
x
n
)
2
(3.6)
wobei x
1
= x
a
und x
N
= x
e
festgehalten werden. Im folgenden verwenden wir die
Hilfsformel (Faltung zweier Gau-Funktionen):
Z
1
1
e
(xa)
2
e
(xb)
2
=
s
+
e
+
(ab)
2
Zun
a hst werten wir das erste Integral, zusammen mit einem Vorfaktor
m
2hit
in (3.6)
aus. Mit der Hilfsformel ergibt si h
m
2hit
Z
dx
2
e
im
2ht
(x
2
x
1
)
2
e
im
2ht
(x
3
x
2
)
2
=
s
m
2hi(2t)
e
im
2h(2t)
(x
1
x
3
)
2
D.h. eine Integration liefert die Vors hrift, im Vorfaktor und im Exponenten t dur h
2t zu ersetzen und im Exponenten
(x
2
x
1
)
2
+ (x
3
x
2
)
2
! (x
1
x
3
)
2
zu ersetzen. Wenn wir alle x
n
ausintegrieren, m
ussen wir deshalb die Substitutionen
t ! (N 1)t = t
a
t
e
48 KAPITEL 3. DIE SCHR
ODINGERGLEICHUNG
und
N1
X
n=1
(x
n+1
x
n
)
2
! (x
a
x
e
)
2
dur hf
uhren. Damit lautet das Wegintegral f
ur das freie Teil hen endli h:
P (x
e
; t
e
; x
a
; t
a
) =
s
m
2hi(t
e
t
a
)
exp
"
i
h
m
2
(x
e
x
a
)
2
t
e
t
a
#
Bemerkenswert ist dabei, dass die Phase genau der Wirkung entspri ht, die der klas-
sis he Weg des freien Teil hens ergibt:
S
KL
=
Z
t
e
t
a
Ldt =
m
2
Z
t
e
t
a
_x
2
dt =
m
2
Z
t
e
t
a
x
e
x
a
t
e
t
a
2
dt =
m
2
(x
e
x
a
)
2
t
e
t
a
Die Wahrs heinli hkeitsdi hte, das Teil hen na h der Zeit t = t
e
t
a
zu nden ergibt
si h dann zu
= jP j
2
/
1
t
analog zu dem Ergebnis f
ur Wellenpakete.
Teil II
Quantenme hanik im Hilbert-Raum
49
Kapitel 4
R
aume
Literatur: z.B. S.Gromann, Funktionalanalysis
Raum: Eine Menge von Elementen, M = fa; b; :::g
a = Element,Vektor, Punkt aus M
4.1 Der lineare Raum
Addition
sei a; b M , dann gilt
a+ b = b+ a M
assoziativ: a+ (b + ) = (a+ b) +
Nullelement: a+ 0 = a
Multiplikation
; K und a; b M , dann gilt a M
Distributivgesetz: (a+ b) = a+ b
Assoziativgesetz: (a) = ()a
Einselement: 1a = a
51
52 KAPITEL 4. R
AUME
4.2 Der metris he Raum
Ans hauli h: Metrik = Abstand zwis hen zwei Elementen:
d(a; b) = d(b; a) R; a; b M
d(a; b) 0;
d=0
! a = b
Dreie ksunglei hung: d(a; b) d(a; ) + d(b; )
4.3 Der normierte Raum
Norm: Abstand zum Nullelement, ans hauli h: L
ange
kak = d(0; a)
kak 0, (positiv semidenit)
ka+ bk kak+ kbk, (aus Dreie ksunglei hung)
kak = jjkak, Homogenit
at
Beispiele f
ur den R
n
(n-dimensionaler Vektorraum):
kak max
n
i=1
ja
i
j; Maximumnorm
kak (
P
n
i
ja
i
j
p
)
1=p
, p-Norm (speziell p=2)
4.4 Der unit
are Raum
Inneres Produkt, ans hauli h Winkel
z = z(a; b) =< ajb >; z C
Eigens haften:
< ajb > = < bja >
< ajb > = < ajb >; < ajb >=
< ajb >
< ajb + > = < ajb > + < aj >
4.4. DER UNIT
ARE RAUM 53
< aja > 0; R
< ajb > = 0 ! entweder a = 0; oder b = 0; oder a orthogonal zu b
auerdem:
(< aja >)
1=2
= kak, erf
ullt die Normaxiome
Es gilt die S hwarzs he Unglei hung:
j < ajb > j kakkbk
oder j < ajb > j
2
< aja >< bjb >
Beweis:
jb >= jb
p
> +jb
s
>
jb
p
> sei parallel zu ja >: jb
p
>=
<ajb>
<aja>
ja >
jb
s
> sei senkre ht zu ja >: < b
p
jb
s
>= 0
< bjb >=< b
p
jb
p
> + < b
s
jb
s
> +< b
p
jb
s
>
| z
=0
+< b
s
jb
p
>
| z
=0
< aja >< bjb > = < aja >< b
p
jb
p
> + < aja >< b
s
jb
s
>
< aja >< b
p
jb
p
>
=
j < ajb > j
2
< aja >
2
< aja >
2
= j < ajb > j
2
q.e.d
Es gilt:
Jeder unit
are Raum ist normiert (Inneres Produkt impliziert Norm)
Jeder normierte Raum ist metris h (Norm impliziert Metrik)
Beispiele:
1. R
n
< ajb >=
P
n
i
a
i
b
i
, Skalarprodukt
2. Raum der stetigen Funktionen C(
1
;
2
)
< ajb >=
R
2
1
dx a
(x)b(x)
54 KAPITEL 4. R
AUME
kak =
q
< aja > =
h
R
2
1
dx ja(x)j
2
i
1=2
; `
2
-Norm
4.5 Denitionen
Vollst
andigkeit
a
n
sei Folge von Elementen.
Limes a
! a existiert, also d(a
; a)! 0
Speziell Cau hy-Folge: d(a
; a
) < "
Denitionen:
Bana h-Raum : linear, normiert, vollst
andig
Hilbert-Raum: linear, unit
ar, vollst
andig
Dimension
Unter der Dimension eines Raumes versteht man die max. Anzahl der linear unabh
angi-
gen Elemente. Die Dimension kann
a) endli h
b) abz
ahlbar unendli h
)
uberabz
ahlbar unendli h
sein.
Kapitel 5
Vektoren im Hilbertraum
Vorbemerkungen
Die Begrie Vektoren, Funktionen, Zust
ande werden synonym verwendet.
reeller Raum ! unit
arer Raum
a ! ja >, Dira -Notation
geom. Objekte, Funktionen, Hilbert-Vektoren
Vektoren
Inneres Produkt:
(a b) ! < ajb >
z.B.
=
R
a
b
bra- -ket
5.1 Orthonormalsysteme
Wenn
n
X
=1
j'
>= 0
nur m
ogli h dur h
= 0, dann existieren n linear unabh. Elemente, der Raum hat
die Dimension n.
Entwi klungssatz:
jb >=
n
X
=1
b
j'
>; b
C
j'
> sei vollst
andiges Orthonormalsystem (VONS)
< '
j'
>= Æ
55
56 KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM
dann ist
< '
jb >=
n
X
=1
b
< '
j'
>= b
Umkehrrelation:
b
=< '
jb >
[Anmerkung: In der QM gibt jb
j
2
die Wahrs heinli hkeit an, mit der j'
> in jb >
gefunden wird (
Uberlapp).
Einsetzen:
jb >=
X
j'
>< '
j
| z
Operator
jb >
liefert die Vollst
andigkeitsrelation
n
X
=1
j'
>< '
j = 1
5.2 Darstellungen
Spre hweise: b
ist die Darstellung von jb > in der Basis j'
>
Skalarprodukt:
< ajb >
\Eins eins hieben"
=
n
X
=1
< aj'
>< '
jb >=
X
a
b
Basistransformationen
j
>=
X
j'
> < '
j
>
| z
U
=
X
U
j'
>
Sind beide Systeme VONS,dann ist U eine orthogonale Matrix (analog zum unit
aren
Operator), d.h. es gilt
5.3. UNEIGENTLICHE HILBERT-VEKTOREN 57
U
+
U = 1; U
+
= U
Beweis:
(U
+
U)
=
X
U
+
U
=
X
<
j'
>< '
j
>=< '
j'
>= Æ
d.h. bei einer Basistransformation handelt es si h um eine unit
are Transformation im
Hilbert-Raum.
5.3 Uneigentli he Hilbert-Vektoren
bisher waren die Basisvektoren abz
ahlbar, j'
n
>
jetzt:
Ubergang zum Kontinuum, Notation: jx >; jr >; jp >, et .
zun
a hst war
a
=< '
ja >=
a
x;x
p
x
; x = ; x = 1
.....
xx
na
1
x
0∆x
n1 ∆
a
νa a(x)
Limes x! 0:
a
=
a
x;x
p
x
x!0
! a(x)
und genauso
58 KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM
j'
>=
j'
x;x
>
p
x
x!0
! jx >
jx >: Uneigentli her Hilbert-Vektor, Dira -Vektor
Entwi klungssatz:
ja > = lim
x!0
X
x
j'
x;x
>< '
x;x
ja >
= lim
x!0
X
x
jx >< xja > x
=
Z
dx jx > < xja >
| z
=a(x)
also
ja >=
Z
dx a(x)jx >
[Anmerkung: In der QM gibt ja(x)j
2
die Wahrs heinli hkeit an, den Zustand ja > bei
x zu nden.
Umkehrrelation:
a(x) =< xja >
Aus Entwi klungssatz folgt:
< x
0
ja >
| z
=a(x
0
)
=
Z
dx < x
0
jx >
| z
=Æ(xx
0
)
< xja >
| z
=a(x)
Orthonormierungsrelation
< xjx
0
>= Æ(x x
0
)
Vollst
andigkeitsrelation
Z
dx jx >< xj = 1
5.4. DARSTELLUNGEN 59
5.4 Darstellungen
(x) ist die Darstellung von j > in der Basis jx > (Ortsdarstellung)
(x) =< xj >;
(x) =< jx >
Skalarprodukt (inneres Produkt):
< j >
Eins eins hieben
=
Z
dx < jx >< xj >=
Z
dx
(x)(x)
Basistransformationen:
z.B. von der Ortsdarstellung in die Impulsdarstellung, also
jx >! jp >
jp >=
Z
dx jx > < xjp >
| z
='
p
(x)
w
ahle
'
p
(x) =
1
p
2h
e
i
h
px
(das sind gerade die Eigenfunktionen zum Impulsoperator in der Ortsdarstellung) dann
gilt (Orthogonalit
at):
< pjp
0
>=
Z
dx < pjx >< xjp
0
>=
1
2h
Z
dx e
i
h
(p
0
p)x
= Æ(p p
0
)
genauso Vollst
andigkeit
Z
dp jp >< pj = 1
Beweis:
Z
dp < xjp >
| z
=p(x)
< pjx
0
>
| z
=p
(x
0
)
=< xjx
0
>= Æ(x x
0
)
60 KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM
andererseits (einsetzen von p(x))
1
2h
Z
dp e
i
h
(xx
0
)p
= Æ(x x
0
)
Wie bere hnet si h (x) aus
~
(p)?
(x) =< xj >=
Z
dp < xjp >
| z
='
p
(x)
< pj >
| z
=
~
(p)
Einsetzen ergibt
(x) =
1
p
2h
Z
dp e
i
h
px
~
(p)
gerade die Vors hrift f
ur die Fourier-Transformation. Die FT ist also eine unit
are Ba-
sistransformation im Hilbertraum und bes hreibt den We hsel von der Impuls- in die
Ortsdarstellung (und umgekehrt).
In der QM werden wir den Erweiterten Hilbert-Raum verwenden m
ussen, um kontinu-
ierli he Zust
ande zu bes hreiben, z.B. f
ur freie Teil hen oder f
ur Streuzust
ande. Der
erweiterte Hilbert-Raum umfat die Hilbert-Vektoren und die Dira -Vektoren.
Kapitel 6
Operatoren im Hilbert-Raum
Ein Operator bildet einen Zustand jb > auf ja > ab:
ja >=
^
Ojb >
F
ur beliebiges ja > gilt
1ja > = ja >; Eins-Operator
0ja > = 0; Null-Operator
6.1 Lineare Operatoren
6.1.1 Eigens haften
^
Aja+ b > =
^
Aja > +
^
Ajb >
^
Aja > =
^
Aja >
(
^
A+
^
B)ja > =
^
Aja > +
^
Bja >
^
A
^
Bja > =
^
Aj
^
Ba >
aber
^
A
^
Bja > 6=
^
B
^
Aja >
Kommutator
h
^
A;
^
B
i
^
A
^
B
^
B
^
A
Anitkommutator
61
62 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
h
^
A;
^
B
i
+
^
A
^
B +
^
B
^
A
Entwi klung:
^
f(
^
A) =
X
n
n
^
A
n
Taylor-Reihe
z.B.:
e
^
A
= 1 +
^
A+
1
2
^
A
^
A+
1
6
^
A
^
A
^
A+ :::
6.1.2 Operatoren als dyadis hes Produkt zweier Zust
ande
Im R
3
gilt:
P
3
i
a
i
b
i
= Zahl (Skalarprodukt), a
i
b
j
= 3x3-Matrix (dyadis hes Produkt
zweier Vektoren)
Genauso im Hilbertraum: < ajb > = Zahl, ja >< bj = Operator
Satz: jeder lineare Operator kann als (unendli he oder endli he) Summe dyadis her
Produkte ges hrieben werden:
^
A =
^
A1 =
X
^
Aj'
>
| z
=j
>
< '
j =
X
j
>< '
j
6.1.3 Darstellung von Operatoren
jb >=
^
Aja >
Multiplizieren und Eins eins hieben (diskrete Basis):
< '
jb >=
X
< '
^
Aj'
>< '
ja >
oder
b
=
N
X
A
a
; N lineare Glei hungen
Matrixelemente
A
=< '
j
^
Aj'
>
Analog Ortsdarstellung (kontinuierli he Basis):
jb >=
^
Aja >
6.2. SPEZIELLE LINEARE OPERATOREN 63
< xjb >=
Z
dx
0
< x
^
Ajx
0
>< x
0
ja >
oder
b(x) =
Z
dx
0
A(x; x
0
)a(x
0
)
Matrixelemente
A(x; x
0
) =< xj
^
Ajx
0
>
6.2 Spezielle lineare Operatoren
6.2.1 Zueinander inverse Operatoren
jb >=
^
Aja >; ja >=
^
A
1
jb >
aber:
^
A
1
mu ni ht existieren (singul
are Matrix)
^
A
^
A
1
=
^
A
1
^
A = 1
6.2.2 Zueinander adjungierte Operatoren
Denition:
< bj
^
Aja >=<
^
A
+
bja >
Darstellung:
< '
j
^
Aj'
>=<
^
A
+
'
j'
>=< '
^
A
+
j'
>
also
A
= A
+
oder
A
+
= A
Daraus
^
A
+
+
=
^
A; (
^
A
^
B)
+
=
^
B
+
^
A
+
64 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
Spezialfall: selbstadjungierte, hermitis he Operatoren:
^
A
+
=
^
A
A
= A
(Bei reellen Matrix-Elementen handelt es si h also um symmetris he Matrizen.)
Satz: Erwartungswerte hermitis her Operatoren sind reell.
< A >=< j
^
Aj >=<
^
Aj >=< j
^
Aj >
=< A >
Beispiele: Impuls, Energie (Observable)
6.2.3 Unit
are Operatoren
Denition:
^
U
1
=
^
U
+
!
^
U
+
^
U = 1
Unit
are Transformation:
ja
0
> =
^
U ja >
jb
0
> =
^
U jb >
damit
< b
0
ja
0
>=<
^
Ubj
^
Ua >=< bj
^
U
+
^
U
| z
=1
ja >=< bja >
d.h. das innere Produkt (damit die Norm) sind invariant unter unit
aren Transforma-
tionen. Das entspri ht einer orthogonalen Transformation im R
3
.
Beispiel Zeitentwi klungsoperator (siehe Kapitel 3.5):
j(t) > =
^
U(t)j(0) >
^
U(t) = e
i
h
^
Ht
^
U
+
(t) = e
i
h
^
H
+
t
= e
i
h
^
Ht
6.2. SPEZIELLE LINEARE OPERATOREN 65
also
< (t)j(t) >=< (0)j
^
U
+
^
U j(0) >=< (0)j(0) >
Erhaltung der Norm.
Allgemein: Operatoren der Form
^
T = e
i
^
A
; mit
^
A =
^
A
+
sind unit
ar.
Wie transformiert si h ein Operator
^
A unter unit
arer Transformation?
sei
jb > =
^
Aja >
jb
0
> =
^
A
0
ja
0
>
ja
0
> =
^
U ja >
jb
0
> =
^
U jb >
dann (Eins eins hieben)
^
U jb >
| z
=jb
0
>
=
^
U
^
A
^
U
+
^
U ja >
| z
=ja
0
>
also
^
A
0
=
^
U
^
A
^
U
+
was au h s hon aus der Matrizenre hnung bekannt ist.
6.2.4 Projektionsoperatoren
Betra hte die Aufspaltung
1 =
N
X
n
j'
n
>< '
n
j =
^
P +
^
Q
sei
^
P =
L
X
n
j'
n
>< '
n
j;
^
Q = 1
^
P =
N
X
L+1
j'
n
>< '
n
j;
66 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
dann bes hreibt
^
P die Projektion eines beliebigen Zustandes auf einen Teilraum von
H. Ferner gilt
^
P
n
=
^
P ;
^
Q
m
=
^
Q; n;m > 0
6.3 Das Eigenwertproblem hermitis her Operato-
ren
^
H =
^
H
+
; ja >=
^
Hjb >; f
ur beliebiges jb >
f
ur bestimmte Zust
ande gilt:
n
ju
n
>=
^
Hju
n
> n = 1::N
mit ju
n
> als Eigenzust
ande, Eigenvektoren
und
n
R als Eigenwerte zu
^
H.
Beispiel N = 2:
ju
1
>; ju
2
>
sei
1
>
2
1
1
|a >
|b >
|u >
|u >
|a> = H|b>
2
1
2
1
12
|ϕ >λ
λ
|ϕ >
6.3. DAS EIGENWERTPROBLEM HERMITISCHER OPERATOREN 67
Die L
osung des Eigenwertproblems besteht also im AuÆnden von ju
n
> und
n
.
S
atze:
^
Hju
n
>=
n
ju
n
>; = Entartungsindex
1. Orthogonalit
at
< u
n
ju
n
0
0
>= Æ
nn
0
Æ
0
Entartete Eigenzust
ande lassen si h
uber S hmidts hes Verfahren orthogonalisie-
ren.
2. Vollst
andigkeit
X
n
ju
n
>< u
n
j = 1
Aus 1. und 2. folgt: Die Eigenzust
ande eines hermitis hen Operators bilden ein
VONS
3. AuÆnden der Eigenzust
ande
(We hsel der Bezei hnungsweise: ju
n
>! ju
n
>, weglassen)
^
Hju
n
>=
n
ju
n
>
Wahl einer Darstellung, Basis j'
n
>; n = 1:::N :
N
X
m
0
< '
m
j
^
Hj'
m
0
>
| z
=H
mm
0
< '
m
0
ju
n
>
| z
=u
n
m
0
=
n
< '
m
ju
n
>
| z
=u
n
m
oder
N
X
m
0
[H
mm
0
n
Æ
mm
0
u
n
m
0
= 0
Aus der linearen Algebra: es gibt nur ni httriviale L
osungen, wenn die L
osbar-
keitsbedingung
Det[::: = 0
erf
ullt ist. Das liefert ein Polynom in vom Grade N der Form
68 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
0
+
1
+
2
2
+ :::
N
N
= 0
das heit es gibt N , im allgemeinen vers hiedene, L
osungen
1
;
2
; ::::
N
wel he man au h als Spektrum von
^
H bezei hnet. F
ur hermitis he Operatoren
gilt speziell: Alle
n
sind reell und haben, bei Entartung glei he algebrais he und
geometris he Vielfa hheit. D.h. wenn zwei oder mehrere
n
glei h sind (mehrfa he
Nullstellen) dann lassen si h die dazugeh
orenden Zust
ande immer diagonalisieren
(S hmidt). Damit ist die Anzahl der orthogonalen Eigenzust
ande immer glei h
der Dimension des Hilbert-Raumes.
4. Spektraldarstellung
Der Projektor auf den n-ten Eigenzustand lautet:
^
P
n
= ju
n
>< u
n
j
und, wegen Vollst
andigkeit,
P
N
n
^
P
n
= 1. Damit gilt die Spektraldarstellung
^
H =
^
H1 =
N
X
n
^
Hju
n
>< u
n
j =
N
X
n
n
^
P
n
5. Gemeinsame Basis zweier hermitis her Operatoren
^
Aj'
n
> =
n
j'
n
>; j'
n
>= VONS
^
Bj'
n
> =
n
j'
n
>
Betra hte beliebigen Zustand j >:
j >=
N
X
n
j'
n
>< '
n
j >
Dann
^
A
^
Bj > =
N
X
n
^
A
n
j'
n
>< '
n
j >=
N
X
n
n
n
j'
n
>< '
n
j >
^
B
^
Aj > =
N
X
n
^
B
n
j'
n
>< '
n
j >=
N
X
n
n
n
j'
n
>< '
n
j >
6.4. DER MESSPROZESS 69
Daraus
(
^
A
^
B
^
B
^
A)j >= 0
Und
h
^
A;
^
B
i
= 0
Satz:
^
A und
^
B haben gemeinsame Basis, wenn sie vertaus hen und umgekehrt.
6.4 Der Messprozess
6.4.1 Vorbemerkungen
Am Messprozess sind drei Komponenten beteiligt:
1. System (Quantenme hanis h)
2. Messapparatur (Quantenme hanis h, klassis h)
3. Beoba hter (klassis h)
Messung bedeutet We hselwirkung zwis hen den Komponenten. Klassis h kann diese
WW beliebig klein gema ht werden und beein usst dabei die Messung ni ht mehr.
In der QM kann man jedo h die WW zwis hen 1. und 2. ni ht verna hl
assigen. Eine
Messung
andert im allgemeinen den Zustand des Systems.
Der Observablen A wird der (hermitis he) Operator
^
A zugeordnet. sei
^
Aj'
>= a
j'
>
und ein beliebiger Zustand j >:
j >=
X
j'
>< '
j >=
X
j'
>
F
ur den Erwartungswert von A ergibt si h damit:
< A >=< j
^
Aj >=
X
a
< jj'
>< '
j >=
X
a
j
j
2
wobei j
j
2
als Wahrs heinli hkeit aufzufassen ist, bei einer Messung den Wert a
zu
nden.
70 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
6.4.2 Konsequenzen des Messprozesses
Messung von A:
Aa
a
a
a
Messungz.B. von a1
WF im Zustand zu a1
1
2
3
4
|Ψ> |Ψ (a1)>
Vor der Messung sind alle Werte a
i
m
oegli h, d.h. die WF besteht aus (unbekannten)
Uberlagerungen der Eigenfunktionen j'
>.
Na h der Messung ist ein bestimmtes a
i
(das gemessene) realisiert und die WF geht in
den Zustand j'
i
>
uber. Eine no hmalige Messung w
urde wieder zum selben Ergebnis
(a
i
) f
uhren.
M.a.W.: Die Messung pr
apariert j > im Zustand j(a
i
) >= j'
i
>.
Reduktion der Wellenfunktion
Anderung, St
orung des Zustandes dur h Messung
Projektion auf j'
i
>
Fernwirkung wird m
ogli h, EPR-Paradoxon
S hr
odingers Katze
6.4.3 Kombinierte Messung zweier vertr
agli her Observablen
A und B
Klassis h: Reihenfolge darf si h ni ht auf das Ergebnis auswirken
QM: Wenn Reihenfolge keine Rolle spielt, sind die Observablen A und B vertr
agli h.
Dann gilt:
h
^
A;
^
B
i
= 0
6.4. DER MESSPROZESS 71
d.h. das Experiment zur Messung von A st
ort die Messung von B ni ht und umgekehrt.
^
A und
^
B haben gemeinsame Basis.
Liegt eine pr
azise Messung von A vor (d.h. man kann beliebig oft den selben Wert a
messen), dann ist j > ein Eigenzustand von
^
A zum Eigenwert a
.
Beweis:
Pr
azise Messung A = 0.
(A)
2
=< A
2
> < A >
2
= < j
^
A
2
j > < j
^
Aj >
2
= < '
ja
2
'
> < '
ja
'
>
2
= a
2
< '
j'
>
| z
=1
a
2
< '
j'
>
2
| z
=1
= 0
Betra hte zuerst die Messung von A, dann die von B:
|Ψ(a ,b )>i i
|Ψ(a ,b )>i i
|Ψ> |Ψ(a )>i
praepariert bez. A praepariert bez. A,B
AMessung von a
BMessung von bi i A liefert wieder
das selbeErgebnis ai
Def.: Die Observablen A;B;C:::M bilden einen vollst
andigen Satz von kommutierenden
Observablen, wenn es genau ein gemeinsames System von Eigenzust
anden gibt.
Def.: Ein reiner Zustand wird dur h Messung eines vollst
andigen Satzes von kommu-
tierenden Observablen A;B;C:::M pr
apariert:
j >= j(a
i
; b
i
;
i
:::m
i
) > ja
i
; b
i
;
i
:::m
i
>
Die Zahlen a
i
; b
i
;
i
:::m
i
sind die Quantenzahlen, die den Zustand j > eindeutig fest-
72 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
legen.
6.4.4 Kombinierte Messung zweier ni htvertr
agli her Obser-
vablen
Messung von A beiein usst Messung von B und umgekehrt. Es ma ht keinen Sinn
mehr, einen Zustand dur h die Quantenzahlen a
i
und b
i
simultan zu harakterisieren.
Behauptung:
(A)
2
(B)
2
1
4
j < C > j
2
0; mit < C >=< j
h
^
A;
^
B
i
j >
Beweis:
a
^
A < A >
^
b
^
B < B >
h
^
A;
^
B
i
=
h
a;
^
b
i
(A)
2
= < ja
2
j >
(B)
2
= < j
^
b
2
j >
Daraus folgt:
(A)
2
(B)
2
=< ajaj ><
^
bj
^
bj > j < aj
^
bj > j
2
wobei f
ur die letzte Umformung die S hwartzs he Unglei hung verwendet wurde. F
ur
die weitere Re hnung benutzen wir
a
^
b =
1
2
(a
^
b +
^
ba)
| z
=
+
1
2
h
a;
^
b
i
| z
=
d.h., jeder Operator l
at si h in einen hermitis hen und einen antihermitis hen Anteil
zerlegen. F
ur antihermitis he Operatoren gilt
+
=
6.5. DIE DICHTEMATRIX, DER STATISTISCHE OPERATOR 73
und deshalb
< >=< jj >= < j >= < jj >
= < >
d.h. ihre Erwartungswerte m
ussen rein imagin
ar sein.
Weitere Umformungen:
j < aj
^
bj > j
2
= j < ja
^
bj > j
2
=
1
4
< j j >
| z
reell
+< jj >
| z
imagin
ar
2
=
1
4
j < j j > j
2
| z
0
+
1
4
j < jj > j
2
und damit endli h
(A)
2
(B)
2
1
4
j < j
h
^
A;
^
B
i
j > j
2
Verallgemeinerte Heisenbergs he Uns h
arferelation.
Speziell f
ur Impuls-Ort gilt also:
^
A = x;
^
B = ih
d
dx
und
h
^
A;
^
B
i
= ih:
(x)(p)
1
2
h
6.5 Die Di htematrix, der statistis he Operator
Ein reiner Zustand wird na h 6.4.3 dur h einen Satz von Quantenzahlen a
i
; b
i
; :::m
i
festgelegt:
j >= j(a
i
; b
i
; :::m
i
) >
Dies ist f
ur kompliziertere Stysteme ni ht mehr m
ogli h, f
ur ein Gas w
urde man z.B.
a. 10
23
vers hiedene Quantenzahlen ben
otigen. Wie s hon in der klassis hen Me hanik
muss man statistis he Methoden verwenden. Sind ni ht alle Quantenzahlen bekannt,
74 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
so liegt kein reiner Zustand (als Hilbert-Vektor) vor, sondern ein gemis hter Zustand.
Zur Abk
urzung f
uhren wir den Index m stellvertretend f
ur alle Quantenzahlen ein, d.h.
der Satz m bes hreibt den Zustand
j(a
i
; b
i
; :::m
i
) >= j
m
>
als reinen Zustand eindeutig. Sind ni ht alle Quantenzahlen von m bekannt, f
uhrt man
die Wahrs heinli hkeit
P
m
; 0 P
m
1;
X
m
P
m
= 1
ein, mit der si h das System im Zustand j
m
> bendet. Die Wahrs heinli hkeit P
m
muss also ni ht aus quantenme hanis hen Gr
unden eingef
uhrt werden, sondern allei-
ne wegen fehlender Information (unvollst
andiger Preparation) des Systems. F
ur den
Erwartungswert eines Operators
^
A erh
alt man jetzt:
< A >=
X
m
P
m
<
m
j
^
Aj
m
>
also einmal die
ubli he quantenme hanis he Mittelung, bei der die Phasen der Wellen-
funktionen eine Rolle spielen (Interferenzen), und zus
atzli h no h eine Mittelung
uber
die Amplituden.
Man deniert die Di htematrix (eigentli h Di hteoperator)
=
X
m
P
m
j
m
><
m
j
Damit l
asst si h der Erwartungswert umformulieren:
< A > =
X
m
P
m
<
m
j
^
Aj
m
>
=
X
m
P
m
X
ij
<
m
j'
i
> < '
i
j
^
Aj'
j
>
| z
A
ij
< '
j
j
m
>
=
X
ij
A
ij
X
m
P
m
< '
j
j
m
><
m
j'
i
>
| z
ji
=
X
ij
A
ij
ji
=
X
i
(A)
ii
= Spur(A)
6.5. DIE DICHTEMATRIX, DER STATISTISCHE OPERATOR 75
Wir erhalten also
< A >= Spur(A) = Spur(A)
D.h. die Kenntnis von erlaubt die Bere hnung s
amtli her Erwartungswerte, der ge-
mis hte Zustand wird dur h soweit wie dur h die unvollst
andige Pr
aparation m
ogli h
ist, bes hrieben. Entwi kelt si h das System in der Zeit, so gilt
= (t)
und man ben
otigt eine Bewegungsglei hung f
ur (t), die die quantenme hanis he Ver-
allgemeinerung der Liouville-Glei hung darstellt (siehe Abs hn. 7.3
uber die Heisen-
bergs he Bewegungsglei hung f
ur Operatoren).
76 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM
Kapitel 7
Dynamik der Quantensysteme
7.1 Darstellungen der S hr
odingerglei hung
Zun
a hst darstellungsfreie Formulierung:
ihj
_
(t) >=
^
H(t)j(t) >
Formale L
osung:
j(t) >= e
i
h
R
t
t
0
^
H(t
0
)dt
0
j(t
0
) >
Ortsdarstellung:
ih< xj
_
>
| z
=
_
(x)
=
Z
dx
0
< xj
^
Hjx
0
>
| z
=H(x;x
0
)
< x
0
j >
| z
=(x
0
)
oder
ih
_
(x) =
Z
dx
0
H(x; x
0
)(x
0
); Darstellung in kontinuierli her Basis
genauso w
are eine Darstellung in einer diskreten Basis m
ogli h (\Matrizenme hanik"):
ih _a
n
=
X
m
H
nm
a
m
Wie l
at si h < xj
^
Hjx
0
> ausdr
u ken?
77
78 KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
Betra hte
^
H =
^
P
2
2m
+
^
V
Wir bere hnen zun
a hst
< xjp
2
jx
0
>=
Z Z
dp
0
dp
00
< xjp
0
>< p
0
jp
2
jp
00
>< p
00
jx
0
>
mit
< p
0
jp
2
jp
00
>= p
002
< p
0
jp
00
>= p
002
Æ(p
0
p
00
)
ergibt si h
< xjp
2
jx
0
>=
Z
dp
0
< xjp
0
> p
02
< p
0
jx
0
>
und mit
< xjp >= p(x) =
1
p
2h
e
i
h
px
weiter
=
h
2
Z
dp
d
2
dx
2
e
i
h
p(xx
0
)
= h
2
d
2
dx
2
Æ(x x
0
)
also
< xj
^
Hjx
0
>=
"
h
2
2m
d
2
dx
2
+ V (x)
#
Æ(x x
0
)
und endli h
ih
_
(x) =
h
2
2m
d
2
(x)
dx
2
+ V (x)(x)
7.2. DAS SCHR
ODINGER-BILD 79
7.2 Das S hr
odinger-Bild
wurde bisher verwendet
A !
^
A
S
, wobei
^
A
S
h
o hstens explizit von der Zeit abh
angt. Die Zeitabh
angigkeit
einer Obbservablen ste kt in der Wellenfunktion:
< A(t) >=<
S
(t)j
^
A
S
j
S
(t) >
mit j
S
(t) > als L
osung der zeitabh. S hr
odingerglei hung, formal:
j
S
(t) >=
^
U(t)j(0) >
oder
< A(t) >=< (0)j
^
U
+
(t)
^
A
S
^
U(t)j(0) >
7.3 Das Heisenberg-Bild
man deniert
^
A
H
(t)
^
U
+
(t)
^
A
S
^
U(t); unit
are Transformation
als den Operator
^
A
s
im Heisenberg-Bild. Die Zeitabh
angigkeit ste kt jetzt ganz im
Operator, die Wellenfunktionen sind zeitunabh
angig:
j
H
>= j(0) >
na h wie vor gilt
< A(t) >=<
H
j
^
A
H
(t)j
H
>
Anstatt der S hr
odingerglei hung brau hen wir jetzt eine Bewegungsglei hung f
ur
^
A
H
(t).
d
dt
^
A
H
=
_
^
U
+
^
A
S
^
U +
^
U
+
^
A
S
_
^
U +
^
U
+
_
^
A
S
^
U
mit
_
^
U =
t
e
i
h
^
Ht
=
i
h
^
H
^
U;
_
^
U
+
=
i
h
^
H
^
U
+
80 KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
erhalten wir
d
dt
^
A
H
=
i
h
(
^
H
^
U
+
^
A
S
^
U
^
U
+
^
A
S
^
U
^
H) +
^
U
+
_
^
A
S
^
U
oder
d
dt
^
A
H
=
i
h
h
^
H;
^
A
H
i
+
^
A
H
t
was als Heisenbergs he Bewegungsglei hung bezei hnet wird.
Man sieht, da Observablen, deren Operatoren mit
^
H vertaus hen, Erhaltungsgr
oen
sind.
Erinnerung an die klassis he Me hanik:
Observable F (p
k
; q
k
; t)
Bewegungsglei hung:
d
dt
F =
F
t
+
X
k
F
q
k
dq
k
dt
+
X
k
F
p
k
dp
k
dt
=
F
t
+
X
k
F
q
k
H
p
k
X
k
F
p
k
H
q
k
=
F
t
+ fH;Fg
mit der Poisson-Klammer fH;Fg. Vers hwinden der Poissonklammer bedeutet hier,
da F eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgr
oe) ist.
Es zei hnet si h die formale Zuordnung ab:
Klassis he Me hanik Quantenme hanik
Poisson-Klammer ! Kommutator
fH;Fg !
i
h
h
^
H;
^
F
i
p(t); q(t) ! p
H
(t); q
H
(t)
7.4. DAS DIRAC-BILD 81
7.4 Das Dira -Bild
We hselwirkungsbild, wi htig f
ur St
orungstheorie (siehe v.w.u.).
Verteilung der Zeitabh. auf j > und
^
A.
^
H =
^
H
0
+
^
H
1
(t)
H
0
zeitunabh., L
osung bekannt (ungest
ortes Problem)
H
1
(kleine) St
orung
Zeitentwi klungsoperator:
^
U
0
(t) = e
i
h
^
H
0
t
und
S
(t) >=
^
U
0
(t)j
D
(t) >
^
A
D
(t) =
^
U
+
0
(t)
^
A
S
^
U
0
(t)
Bewegungsglei hung (Re hnung wie oben)
d
dt
^
A
D
=
i
h
h
^
H
0
;
^
A
D
i
+
^
A
D
t
F
ur die Wellenfunktion:
^
U
+
0
j ih
_
^
U
0
j
D
> +ih
^
U
0
j
_
D
>=
^
H
0
^
U
0
j
D
> +
^
H
1
^
U
0
j
D
>
die jeweils ersten Terme auf beiden Seiten heben si h heraus und man erh
alt:
ihj
_
D
>=
^
U
+
0
^
H
1
^
U
0
j
D
>=
^
H
1D
j
D
>
ihj
_
D
>=
^
H
1D
j
D
>
82 KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME
7.5 Zusammenfassung
^
H =
^
H
0
+
^
H
1
(t)
S hr
odinger Heisenberg Dira
Wellenf. ihj
_
S
=
^
Hj
S
> j
_
H
>= 0 ihj
_
D
>=
^
H
1D
j
D
>
Operator
d
^
A
S
dt
=
^
A
S
t
d
dt
^
A
H
=
i
h
h
^
H;
^
A
H
i
+
^
A
H
t
d
dt
^
A
D
=
i
h
h
^
H
0
;
^
A
D
i
+
^
A
D
t
Teil III
Exakt l
osbare Probleme
83
Kapitel 8
Der harmonis he Oszillator
S hwingungen in einer Dimension
8.1 Hamiltonfunktion und Hamiltonoperator
Potentielle Energie: V (x) =
1
2
Dx
2
, oder mit !
0
=
q
D=m:
V (x) =
m!
2
0
2
x
2
Damit Hamiltonfunktion:
H(x; p) =
p
2
2m
+
m!
2
0
2
x
2
In der klassis hen Me hanik folgt aus den Hamiltons hen Glei hungen
_x =
H
p
=
p
m
_p =
H
x
= m!
2
0
x
die Bewegungsglei hung f
ur x(t):
x + !
2
0
x = 0
die die allgemeine L
osung
85
86 KAPITEL 8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
x(t) = a
1
e
i!
0
t
+ a
2
e
i!
0
t
besitzt (harmonis he S hwingungen mit der Frequenz !
0
).
Die quantenme hanis he Behandlung geht so:
1. Hamiltonoperator:
^
H =
p
2
2m
+
m!
2
0
2
x
2
2. Zeitabh. S hr
odingerglei hung:
^
Hj(t) >= ihj
_
(t) >
3. Daraus Bere hnung von j(t) >, insbesondere station
are L
osungen und die dazu-
geh
orenden Energieniveaus. Formale L
osung:
j(t) >=
X
n
n
e
i
^
Ht
h
jn >
w
ahle
^
Hjn >= E
n
jn >
d.h. die jn > sind Eigenfunktionen von
^
H zu den Eigenwerten E
n
und bilden damit
ein VONS (
^
H ist hermitis h). Dann
j(t) >=
X
n
n
e
i
E
n
t
h
jn >=
X
n
n
e
i
!
n
t
h
jn >
wobei
!
n
E
n
h
(A htung: !
0
= E
0
=h ni ht mit dem !
0
aus
^
H verwe hseln!)
8.2. ORTSDARSTELLUNG 87
8.2 Ortsdarstellung
^
Hjn >= E
n
jn >
Eins hieben der Eins und Projektion auf < xj:
Z
dx
0
< xj
^
Hjx
0
>< x
0
jn >= E
n
< xjn >
| z
n
(x)
und damit
h
2
2m
d
2
dx
2
+
m!
2
0
2
x
2
!
n
(x) = E
n
n
(x)
+ Randbedingungen, normalerweise fordert man
n
(x)! 0 f
ur x! 1
Lineares Eigenwertproblem, aus dem eindeutig die Funktionen
n
(x) sowie das Spek-
trum E
n
folgt. L
osung z.B. dur h die Sommerfelds he Polynommethode, siehe Nolting
V.1, S 288 . Hier folgt der elegantere Weg:
8.3 Fo kdarstellung
Man deniert zun
a hst zwei Operatoren:
a =
1
p
2h
p
m!
0
x+ i
p
p
m!
0
!
a
+
=
1
p
2h
p
m!
0
x i
p
p
m!
0
!
dann ist
[a; a
+
=
i
2h
0
B
[x; p
| z
ih
[p; x
| z
ih
1
C
A
= 1
88 KAPITEL 8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Der Hamiltonoperator l
at si h ausdr
u ken als (einsetzen)
^
H =
1
2
h!
0
(aa
+
+ a
+
a) = h!
0
a
+
a +
1
2
= h!
0
^
N +
1
2
mit dem hermitis hen Besetzungszahloperator
^
N a
+
a
Damit zeitunabh. S hr
odingergl.:
h!
0
^
N +
1
2
jn >= E
n
jn >
oder
^
N jn >= N
n
jn >
wobei
N
n
E
n
h!
0
1
2
(8.1)
Das Funtionensystem jn > hat vers hiedene wi htige Eigens haften, die im folgenden
bewiesen werden.
8.3.1 Semidenites Spektrum
Es gilt N
n
0, Beweis:
< j
^
N j >=< ja
+
aj >=< ajaj >= jjajj
2
8.3.2 Verni htungsoperator
Es gilt
^
Najn >= (N
n
1)ajn >
8.3. FOCKDARSTELLUNG 89
Beweis:
^
Na = a
+
aa = (aa
+
1)a = a
^
N a
^
Najn >= a
^
N jn > ajn >= a(N
n
1)jn >= (N
n
1)ajn >
also ist der Zustand m >= ajn > au h Eigenzustand zu
^
N mit dem Eigenwert N
m
=
N
n
1. Deshalb wird a als Verni htungsoperator bezei hnet, weil er ein \Energiequant"
verni htet.
8.3.3 Grundzustand
Wegen 8.3.1 muss ein Grundzustand existieren, er sei bezei hnet als j0 > und deniert
dur h 0 N
0
1. Was ergibt die Anwendung von a auf den Grundzustand? Zun
a hst
^
Naj0 >= (N
0
1)aj0 >= N
1
aj0 >
Das kann ni ht sein, weil N
1
< 0, in Widerspru h zu (8.3.1). Also muss gelten
aj0 >= 0
Damit ist der Grundzustand deniert, d.h. er l
at si h bere hnen. Der Eigenwert N
0
folgt sofort aus
N
0
=< 0j
^
N j0 >=< 0ja
+
aj0 >=< a0ja0 >= 0
oder
N
0
= 0
8.3.4 Erzeugungsoperator
Es gilt
^
Na
+
jn >= (N
n
+ 1)a
+
jn >
90 KAPITEL 8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
Beweis:
^
Na
+
= a
+
aa
+
= a
+
(a
+
a+ 1) = a
+
^
N + a
+
^
Na
+
jn >= a
+
^
N jn > +a
+
jn >= a
+
(N
n
+ 1)jn >= (N
n
+ 1)a
+
jn >
also ist der Zustand m >= a
+
jn > au h Eigenzustand zu
^
N mit dem Eigenwert N
m
=
N
n
+ 1. Deshalb wird a
+
als Erzeugungsoperator bezei hnet, weil er ein Energiequant
erzeugt.
Damit lassen si h, ausgehend vom Grundzustand, alle h
oheren Zust
ande bis auf eine
Konstante
n
konstruieren:
j1 >=
1
a
+
j0 >; j2 >=
2
a
+
j1 >=
2
1
a
+
2
j0 >; et :
oder
jn >=
n
n1
:::
1
a
+
n
j0 >
die
n
k
onnen o.B.d.A. reell gew
ahlt werden und werden dur h die Normierung fest-
gelegt. Sei der Zustand jn 1 > s hon normiert,
< n 1jn 1 >= 1
dann soll gelten:
1 =< njn > =
2
n
< a
+
(n 1)ja
+
jn 1 >
=
2
n
< n 1jaa
+
jn 1 >
=
2
n
< n 1ja
+
a + 1jn 1 >
=
2
n
< n 1jn 1 + 1jn 1 >
=
2
n
n < n 1jn 1 >=
2
n
n
also
n
=
1
p
n
Damit haben wir die
8.4. EIGENFUNKTIONEN IN DER ORTSDARSTELLUNG 91
8.3.5 Eigenzust
ande
jn >=
1
p
n!
a
+
n
j0 >
8.3.6 Spektrum
aus 8.3.4 folgt sofort N
n
= N
0
+ n und mit N
0
= 0 aus 8.3.3:
N
n
= n
oder aus (8.1)
E
n
= h!
0
n+
1
2
in
Ubereinstimmung mit der intuitiven Bohrs hen Erkl
arung des s hwarzen Strahlers.
8.4 Eigenfunktionen in der Ortsdarstellung
Konstruktion des Grundzustandes aus 8.3.3:
aj0 >= 0;
Z
dx
0
< xjajx
0
> < x
0
j0 >
| z
0
(x
0
)
= 0
Ortsdarstellung von a:
< xjajx
0
>=
1
p
2h
p
m!
0
x +
h
p
m!
0
d
dx
!
Æ(x x
0
)
Umskalierung: y = x
q
m!
0
=h
y +
d
dy
!
0
(y) = 0
Integration (Trennung der Variablen) und Normierung:
0
(y) =
m!
0
h
1=4
e
1
2
y
2
92 KAPITEL 8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR
F
ur die angeregten Zust
ande erh
alt man na h 8.3.5:
n
(y) =
1
p
n!
1
2
n=2
y
d
dy
!
n
0
(y)
was si h au h s hreiben l
at als:
n
(y) =
m!
0
h
1=4
1
p
n!
1
2
n=2
e
1
2
y
2
H
n
(y)
wobei H
n
(y) die Hermits hen Polynome bezei hnet:
H
n
(y) = e
1
2
y
2
y
d
dy
!
n
e
1
2
y
2
Anmerkung: Das hermits he Polynom H
n
ist reell und vom Grade n. Auerdem gilt
die Symmetrie
H
n
(y) = (1)
n
H
n
(y)
was dann entspre hend au h f
ur die Wellenfunktionen gilt.
Ψ(x),V(x)
Ψ1(x)
Ψ2(x)
V(x) ~ x2
x
E1=3/2hν
E0=1/2hν
0
Kapitel 9
Das Wasserstoproblem
analog zum Kepler-Problem aus klassis her Me hanik
9.1 Impulsoperator und Translation
betra hte den Translationsoperator
^
T (a)(x) = (x+ a); (x) sei beliebiger Zust.
^
T (a) bes hreibt oensi htli h eine Translation in x-Ri htung um den Wert a.
Andererseits gilt (Taylor-Reihe):
(x+ a) = (x) +
d
dx
a+
1
2
d
2
dx
2
a
2
+ :::
=
1
X
n=0
1
n!
a
d
dx
!
n
(x) = e
a
d
dx
(x)
und damit
^
T (a) = e
iap
h
als unit
arer Translationsoperator. Der sogenannte Generator der Translation bes hreibt
innitesimale Translationen und lautet (Taylor):
^
T
"
(") = 1 +
i"p
h
93
94 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
Translationsinvariante Probleme:
sei
^
H'(x) = E'(x);
dann gilt
^
H'(x + a) = E'(x+ a);
wenn
h
^
H;
^
T (a)
i
= 0
d.h. '(x) ist glei hzeitig Eigenfunktion von
^
H und
^
T . Andererseits gilt dann aber au h
^
H(x + a) =
^
T (a)
^
H(x)
^
T (a)
+
=
^
T (a)
^
T (a)
+
^
H(x) =
^
H(x)
d.h. Translationsinvarianz von
^
H.
Zwis henbemerkung:
sei '(x) Eigenfunktion zu
^
T mit Eigenwert . Wegen
^
T (a)'(x) = '(x+ a) = '(x)
gilt au h
'(x + na) =
n
'(x)
und deshalb
'(x) = e
ikx
u
k
(x); mit u
k
(x) = u
k
(x+ a)
Fuer periodis he Hamiltonoperatoren ist das dann au h Eigenfunktion zu
^
H, was als
Blo hs hes Theorem bezei hnet wird.
9.1. IMPULSOPERATOR UND TRANSLATION 95
9.2 Drehimpuls und Rotation
Betra hte innitesimale Drehung um Winkel Æ' in xyEbene:
x
0
= x+ yÆ'
y
0
= y xÆ'
z
0
= z
^
R
z
(Æ')(r) = (r
0
)
^
R
z
ist der Generator
der Rotationen um z-A hse
y’y
δϕ0
x’
x
(x
0
; y
0
; z
0
) = (x + yÆ'; y xÆ'; z)
= (r) +
"
x
y
y
x
#
Æ'
=
1
i
h
^
L
z
(r);
mit
^
L
z
= (^r
^p)
z
also
^
R
z
(Æ') = 1
i
h
^
L
z
Daraus folgt s hlieli h der Operator f
ur Drehungen um endli he Winkel:
D(') = lim
n!1
^
R
n
('=n) = e
i
h
'
^
L
Drehimpulsoperator (hermitis h) in Ortsdarstellung:
^
L =^r
^p = ih
2
6
4
z
y
y
z
x
z
z
x
y
x
x
y
3
7
5
96 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
und in Kugelkoordinaten
^
L = ih
2
6
6
4
sin'
+ ot os'
'
os'
+ ot sin'
'
'
3
7
7
5
Vertaus hungsrelationen:
h
^
L
x
;
^
L
y
i
= ih
^
L
z
; und zyklis h
h
^
L;
^
L
2
i
= 0
d.h. die Observablen <
^
L
2
> und eines der drei <
^
L
i
> sind glei hzeitig s harf messbar.
9.3 Symmetrien und Erhaltungsgr
oen
Erinnerung an klass. Me hanik: zyklis he Variable
Beispiel Freies Teil hen: H(p; q) = H(p) =
p
2
2m
q ist zyklis h, folgli h ist H invariant unter der Trafo q ! q + a (Translation um
beliebiges a). Weiter gilt
_p =
H
q
= 0
also ist p = onst., der Impuls ist eine konstante der Bewegung, Impulserhaltung
Noether-Theorem: Das Vorhandensein einer Symmetrietransformation, unter der H
invariant ist (hier: zyklis he Variable) bedingt einen Erhaltungssatz.
In der Quantenme hanik:
Translationsinvarianz: Wegen (freies Teil hen)
[
^
H;
^
T (a) = 0 f
ur alle a
gilt au h
9.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGR
OSSEN 97
[
^
H; p = 0
und daraus (Heisenbergbild):
d
dt
p =
i
h
[
^
H; p = 0
also
d
dt
< p >= 0
Genauso gilt bei Rotationsinvarianz
[
^
H;
^
L
i
= 0; i = x; y; z
das ist nur m
ogli h, wenn
^
H nur von p und von r abh
angt, was bei einer Zentralkraft
der Fall ist. Dann gilt aber au h
[
^
H;
^
L
2
= 0
und damit sind die einzelnen Drehimpulskomponenten sowie der Betrag von L Erhal-
tungsgr
oen:
d
dt
<
^
L >= 0;
d
dt
<
^
L
2
>= 0
Wegen der Vertaus hbarkeit lassen si h simultane Eigenzust
ande zu
^
H,
^
L
2
und zu
einem
^
L
i
, z.B.
^
L
z
nden:
^
H' = E'
^
L
2
' = h
2
'
^
L
z
' = h'
98 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
9.4 Drehimpulseigenzust
ande
Konstruktion von jj;m >
Operatorenmethode
x
y
z
L
L z
L
2
und L
z
sind simultan bestimmbar.
9.4.1 Eigenwerte
sei
^
J
2
jj;m > =
j
jj;m >
^
J
z
jj;m > =
m
jj;m >
mit
^
J
^
L=h. Auerdem gilt (Hermitizit
at)
j
;
m
R;
j
0
und
< j;mjj
0
; m
0
>= Æ
jj
0
Æ
mm
0
Wir bilden
9.4. DREHIMPULSEIGENZUST
ANDE 99
< j;mj
^
J
2
x
jj;m > + < j;mj
^
J
2
y
jj;m >=< j;mj
^
J
2
^
J
2
z
jj;m >=
j
2
m
0
daraus
q
j
m
q
j
(9.1)
9.4.2 Leiteroperatoren
Wir f
uhren die Operatoren
^
J
+
=
^
J
x
+ i
^
J
y
;
^
J
=
^
J
x
i
^
J
y
ein. Dann gilt:
^
J
+
+
=
^
J
;
^
J
2
=
^
J
+
^
J
+
^
J
2
z
^
J
z
Weiter gelten die Kommutatorrelationen:
h
^
J
;
^
J
z
i
=
^
J
h
^
J
+
;
^
J
i
= 2
^
J
z
h
^
J
2
;
^
J
i
= 0
Behauptung:
^
J
jj;m > ist
1. immer no h Eigenzustand von
^
J
2
zu
j
2. aber au h Eigenzustand von
^
J
z
zu
m
1
Beweise:
zu 1.)
^
J
2
^
J
jj;m >=
^
J
^
J
2
jj;m >=
j
^
J
jj;m >
100 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
zu 2.)
^
J
z
^
J
jj;m > =
^
J
^
J
z
^
J
jj;m >
=
^
J
(
m
1)jj;m >
= (
m
1)
^
J
jj;m >
also gilt au h:
^
J
jj;m >=
jj;m 1 >;
C
Damit haben wir die Leiteroperatoren gefunden:
^
J
+
: Aufsteigeoperator
^
J
: Absteigeoperator
Die Konstanten
folgen wie
ubli h aus der Normierung
zun
a hst seien die jj;m 1 > normiert:
<
^
J
j;mj
^
J
jj;m >= j
j
2
< j;m 1jj;m 1 >= j
j
2
daraus
< j;mj
^
J
^
J
jj;m > = < j;mj
^
J
2
^
J
2
z
^
J
z
jj;m >
= (
j
2
m
m
) < j;mjj;m >
wenn jj;m > ebenfalls normiert sein soll, muss gelten
j
j =
q
j
2
m
m
(9.2)
Die Eigenwerte
m
sind aber wegen (9.1) na h oben und unten bes hr
ankt. Deshalb
muss es wegen
^
J
+
jj;m >=
+
jj;m+ 1 >
ein bestimmtes m
max
geben, f
ur wel hes gilt:
9.4. DREHIMPULSEIGENZUST
ANDE 101
^
J
+
jj;m
max
>= 0
was nur mit
+
= 0 gehen kann. Aus (9.2) folgt dann
j
=
max
(
max
+ 1)
genauso ergibt die Bes hr
ankung na h unten:
^
J
jj;m
min
>= 0
daraus
= 0 und
j
=
min
(
min
1)
Glei hsetzen der beiden Ausdr
u ke f
ur
max
und
min
ergibt s hlieli h
(
max
+
min
) (
max
min
+ 1)
| z
>0 weil
max
min
= 0
Also muss
max
=
min
j 0
und damit au h
j
= j(j + 1)
sein. Die
m
werden aber in ganzen Zahlen dur hlaufen:
f
m
g = fj;j + 1;j + 2; ::::j 2; j 1; jg
das ist nur m
ogli h wenn j ganz oder halbzahlig ist. Von halbzahligem j werden wir
beim Spin Gebrau h ma hen. Hier gen
ugt es zun
a hst, j ganzzahlig anzunehmen.
102 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
Damit haben wir zusammenfassend gefunden:
^
J
2
jj;m > = j(j + 1)jj;m > (9.3)
^
J
z
jj;m > = mjj;m > (9.4)
wobei j und m ganze Zahlen sind,
j 0 und j m j
gilt.
9.4.3 Eigenzust
ande in der Ortsdarstellung
Die angepassten Koordinaten f
ur zentralsymmetris he Probleme sind Kugelkoordinaten
r; '; . Wir su hen also
< ; 'jj;m > Y
j;m
(; ')
Aus (9.4) erhalten wir
i
'
Y
jm
= mY
jm
und na h Integration
Y
jm
(; ') = f
jm
()e
im'
Die Bestimmung der f
jm
folgt am besten aus
^
J
+
jj; j >= 0
In der Ortsdarstellung
e
i'
+ i ot
'
!
f
jj
()e
ij'
= 0
9.5. DER HAMILTONOPERATOR DES WASSERSTOFFATOMS 103
j ot
!
f
jj
() = 0
na h Integration
f
jj
() = (sin )
j
und
Y
jj
(; ') = (sin )
j
e
ij'
Die Konstante aus Normierung:
Z
2
0
d'
Z
1
1
d( os ) jY
jj
j
2
= 1
Alle anderen Y
jm
folgen na h Anwendung des Absteigeoperators:
^
J
Y
jj
=
Y
j;j1
et . Die Y
lm
(; ') sind dabei gerade die Kugel
a henfunktionen, siehe z.B. Bronstein.
9.5 Der Hamiltonoperator des Wasserstoatoms
Elektron um iegt Kern mit Z Protonen.
Formulierung in Kugelkoordinaten
V (r) =
Ze
2
4
0
r
zeitunabh. S hr
odingerglei hung:
r;;'
=
2
rr
+
2
r
r
+
1
r
2
sin
2
2
''
+
1
r
2
2
+
ot
r
2
| z
=
^
L
2
h
2
r
2
104 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
"
h
2
2m
2
rr
+
2
r
r
^
L
2
h
2
r
2
!
+ V (r)
#
(r; ; ') = E(r; ; ')
Produktansatz mit Kugel
a henfunktionen
(r; ; ') = (r)Y
`m
(; ')
dann gilt au h
^
L
2
= (r)
^
L
2
Y
`m
= h
2
`(`+ 1)
ist Eigenzustand zu
^
L
2
und
^
H, weil [
^
L;
^
H = 0
Dur h Produktansatz ergibt si h die eindimensionale Glei hung:
"
h
2
2m
2
rr
+
2
r
r
`(`+ 1)
r
2
!
+ V (r)
#
(r) = E(r)
Damit das eektive Potential:
V
eff
(r) =
h
2
`(`+ 1)
2mr
2
+ V (r)
V
r
~-1/r
~1/r2
eff (r)
Wobei der erste Term auf der re hten Seite das sogenannte Zentrifugalpotential be-
s hreibt. Die Substitution u(r) = r(r) f
uhrt auf das
9.6. RADIALPROBLEM 105
9.6 Radialproblem
"
h
2
2m
2
rr
+ V
eff
(r)
#
u(r) = Eu(r)
Radialglei hung, ein-dimensionale S hr
odingerglei hung
Allgemeine Forderung an Potential: Sei
lim
r!1
V (r) = 0; lim
r!0
r
2
V (r) = 0;
Verhalten am Ursprung (r ! 0):
u
00
`(`+ 1)
r
2
u = 0
hat die L
osung
u(r) = r
k
; k = `+ 1; `
r
`
s heidet aus, wegen Pol am Ursprung (ni ht normierbar), also
u(r) = r
`+1
; (r ! 0)
Asymptotis hes Verhalten (r !1), V
eff
! 0:
h
2
2m
2
rr
+ E
!
u(r) = 0
Gebundene Zust
ande: E < 0. L
osung:
u(r) = e
r
mit
=
p
2mE
h
> 0
106 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
Wegen Normierbarkeit ist nur die L
osung
u(r) = e
r
; (r !1)
sinnvoll. Es folgt die Konstruktion der L
osung im gesamten Berei h mit Hilfe der
Sommerfelds hen Polynommethode.
Ansatz:
u(r) = e
r
r
`+1
P (r)
mit
P (r) =
X
k
k
r
k
Substitutionen (Einf
uhrung dimensionsloser Variablen):
=
Zr
a
B
; a
B
=
4
0
h
2
m
e
e
2
0:53
A
=
1
Z
s
E
E
R
; E
R
=
h
2
2m
e
a
2
B
13:6eV
Dimensionslose Radialglei hung:
d
2
d
2
+
2
`(`+ 1)
2
2
!
u() = 0
Der Ansatz lautet jetzt
u() = e
`+1
P ()
F
ur das Polynom P ergibt si h die Dierentialglei hung
P
00
() + 2
`+ 1
!
P
0
() +
2
[1 (`+ 1)P () = 0
Mit
9.6. RADIALPROBLEM 107
P () =
k
0
X
k=0
k
k
erhalten wir s hlieli h
k
0
X
k=0
k1
f
k+1
(k + 1)[k + 2(`+ 1) + 2
k
[1 (k + ` + 1)g = 0
was f
ur alle gelten mu. Also mu jede ges hweifte Klammer f
ur si h vers hwinden
und man erh
alt die Rekursionsformel:
k+1
= 2
(`+ k + 1) 1
(k + 1)(k + 2`+ 2)
k
(9.5)
Fragestellung: Kann k
0
unendli h sein? F
ur k !1 gilt
k+1
k
=
2
k
Betra htet man dagegen die Reihe f
ur e
2
:
e
2
=
X
k
(2)
k
k!
=
X
k
k
k
;
k
=
(2)
k
k!
so erh
alt man daraus
k+1
k
=
2
k + 1
2
k
also w
urde si h die Potenzreihe f
ur groes wie
P () / e
2
verhalten. Damit w
are aber
u() / e
und ni ht mehr normierbar. Also mu die Potenzreihe abbre hen und k
0
endli h sein.
Die Rekursion (9.5) bri ht genau dann bei k
0
ab, wenn gilt
108 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
(`+ k
0
+ 1) 1 = 0
oder
=
1
`+ k
0
+ 1
9.6.1 Hauptquantenzahl
Weil k
0
und ` ganzzahlig sind, entspri ht das aber einer Quantisierungsvors hrift f
ur
und damit au h f
ur E. Man erh
alt wegen
n = `+ k
0
+ 1;
mit der ganzen Zahl n = 1=n, oder
E
n
=
Z
2
E
R
n
2
; n = 1; 2::1
mit der Hauptquantenzahl n.
9.6.2 Bahndrehimpulsquantenzahl
Wegen k
0
0 und ` 0 mu gelten
0 ` < n
aber E
n
ist unabh
angig von `, d.h. es liegt eine n-fa he Entartung vor. Das ist ein
Spezialfall des 1=r-Potentials und wird au h als \zuf
allige Entartung" bezei hnet.
Die Quantenzahl ` = 0:::n 1 bezei hnet man als Bahndrehimpulsquantenzahl
9.6.3 Magnetis he Quantenzahl
F
ur die Quantenzahl m gilt
9.7. WELLENFUNKTIONEN DES WASSERSTOFFATOMS 109
m = `; :::0::::; `
Die Energieeigenwerte E
n
sind unabh
angig von m, es liegt also eine weiter 2`+1-fa he
Entartung vor. Dies ist f
ur alle kugelsymmetris hen Probleme der Fall.
Die Quantenzahl m bezei hnet man als Magnetis he Quantenzahl
Damit ergibt s h der Entartungsgrad
g
n
=
n1
X
`=0
(2`+ 1) = n
2
f
ur das n-te Niveau. Mit Spin kommt no hmal ein Faktor 2 dazu.
9.7 Wellenfunktionen des Wasserstoatoms
n`m
(r; ; ') = N
n`
e
Zr
na
B
2Zr
na
B
`
L
2`+1
n+`
(2Zr=na
B
)
| z
=R
n`
(r)
Y
`m
(; ')
Hier bezei hnet L die zugeordneten Laguerre-Polynome:
L
k
p
(x) = (1)
k
pk
X
=0
(1)
(p!)
2
(p k )!(k + )!!
x
=
d
k
dx
k
L
p
(x)
mit den gew
ohnli hen Laguerre-Polynomen
L
p
(x) = e
x
d
p
dx
p
x
p
e
x
; p = 0; 1:::
wel he L
osungen der Laguerres hen Dierentialglei hung sind:
"
x
d
2
dx
2
+ (1 x)
d
dx
+ p
#
L
p
(x) = 0
F
ur die Normierungskonstanten erh
alt man
N
n`
=
Z
a
B
3=2
2
n
2
(n+ `)!
v
u
u
t
(n ` 1)!
(n+ `)!
110 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
9.7.1 Radiale Aufenthaltswahrs heinli hkeit
e
in Intervall r; r + dr
w
n`
(r)dr = r
2
dr
Z
0
sin d
Z
2
0
d' j
n`m
j
2
= r
2
drjR
n`
(r)j
2
wnl(r)
r
10
21
20
n ` 1 Knoten
9.7.2 Winkelverteilung
w
`m
(; ')d = d
Z
1
0
r
2
dr j
n`m
j
2
= djY
`m
(; ')j
2
mit dem Raumwinkel d = sin dd'.
Wegen
Y
`m
(; ') / P
m
`
( os )e
im'
; P
m
`
(x) : Legendre Polynome
gilt
w
`m
(; ') = w
`m
();
d.h. die Winkelverteilung ist rotationssymmetris h bez
ugl. der z-A hse.
9.7. WELLENFUNKTIONEN DES WASSERSTOFFATOMS 111
9.7.3 Polardiagramme
r = w
`m
()
z
x
l=0
m=0
z
x
l=1
m=0
z
x
l=1
m=±1
s-Zustand p-Zust
ande
z
x
l=2
m=0
z
x
l=2
m=±1
z
x
l=2
m=±1
d-Zust
ande
9.7.4 Terms hema
n = 1 K-S hale ` = 0; m = 0
n = 2 L-S hale ` = 0; 1 m = 0; m = 0;1
n = 3 M-S hale ` = 0; 1; 2 m = 0; m = 0;1; m = 0;1;2
n = 4 O-S hale :::::
E1
E3 3s2s1s
2p3p 3d
E2
Uberg
ange dur h St
orung von auen (Kopplung an Li htfeld), Spektralserien.
112 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM
Teil IV
N
aherungsmethoden
113
Kapitel 10
Zeitunabh
angige St
orungstheorie
10.1 Problemstellung
sei die L
osung des ungest
orten Problems (z.B. H-Atom) bekannt:
^
H
0
jn >= E
(0)
n
jn >; jn > VONS
Gesu ht ist die gen
aherte L
osung des gest
orten Problems
^
Hj >= Ej >
mit dem Hamiltonoperator
^
H =
^
H
0
+
^
V
Die N
aherungsl
osung ist gut, wenn
^
V klein
Beispiel: H-Atom in
auerem E-Feld, Stark-Eekt
V = eEr
Wir parametrisieren die S
orung
V = eEr
! 0: kleine St
orung
= 1: volle St
orung
115
116 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
10.2 Der ni htentartete Fall
zu jedem Eigenwert E
(0)
n
geh
ort genau ein jn >
(
^
H
0
+
^
V )j
n
() >= E
n
()j
n
() > (10.1)
= 0 : j
n
(0) >= jn >; E
n
(0) = E
(0)
n
Entwi klung aller Gr
oen, die si h bei St
orung
andern, na h :
E
n
() = E
(0)
n
+ E
(1)
n
+
2
E
(2)
n
+ ::: =
1
X
`=0
=
`
E
(`)
n
j
n
() > = jn > +j
(1)
n
> +
2
j
(2)
n
> +::: =
1
X
`=0
=
`
j
(`)
n
F
ur = 1 erh
alt man daraus die L
osung f
ur die volle St
orung.
Einsetzen der Entwi klungen in (10.1) ergibt:
h
^
H
0
+
^
V E
n
E
(1)
n
2
E
(2)
n
:::
i h
jn > +j
(1)
n
+ :::
i
= 0
Sortieren na h Termen mit
`
0
(
^
H
0
E
(0)
n
)jn > = 0 trivial erf
ullt (10.2)
1
^
H
0
j
(1)
n
+
^
V jn > = E
(0)
n
)j
(1)
n
> +E
(1)
n
jn > (10.3)
2
^
H
0
j
(2)
n
+
^
V j
(1)
n
> = E
(0)
n
)j
(2)
n
> +E
(1)
n
j
(1)
n
> +E
(2)
n
jn > (10.4)
et .
Hierar hie, sukzessive L
osung ergibt s hlieli h j
(`)
n
>; E
(`)
n
In der 1. Ordnung:
Zun
a hst entwi kelt man j
(1)
n
> na h der ungest
orten Basis jn >:
j
(1)
n
>=
X
m
a
nm
jm > (10.5)
10.2. DER NICHTENTARTETE FALL 117
und erh
alt bis zur 1.Ordnung in :
j
n
() >= jn > +j
(1)
n
>= jn > +
X
m
a
nm
jm > (10.6)
Weil aber au h j
n
() > normiert sein soll, folgt
1 =<
n
()j
n
() >= < njn >
| z
=1
+(a
nn
+ a
nn
)
wobei h
ohere Ordnungen in in selbstkonsistenter Weise weggelassen werden. Das
ergibt aber die Bedingung
a
nn
+ a
nn
= 0
oder
a
nn
= i; R
Damit l
at si h (10.6) s hreiben als
j
n
() >= (1 + i)jn > +
X
m6=n
a
nm
jm >= e
i
jn > +
X
:::
Da jn > jedo h mit beliebigem Phasenfaktor, z.B. e
i
multipliziert werden kann,
ohne die Physik zu ver
andern, kann man die e-Funktion wieder wegtransformieren und
erh
alt
j
n
() >= jn > +
X
m6=n
a
nm
jm >
oder aber man setzt einfa h a
nn
= 0.
Einsetzen von (10.5) in (10.3) ergibt:
X
m
E
(0)
n
E
(0)
m
a
nm
jm > +E
(1)
n
jn >=
^
V jn >
und na h Multiplikation mit < kj:
118 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
E
(0)
n
E
(0)
k
a
nk
+ E
(1)
n
Æ
nk
=< kj
^
V jn >
Auswertung f
ur k = n ergibt die Energiekorrektur zu E
n
in 1. Ordnung St
orungstheorie:
E
(1)
n
=< nj
^
V jn >
F
ur k 6= n lassen si h die KoeÆzienten
a
nk
=
< kj
^
V jn >
E
(0)
n
E
(0)
k
bere hnen und damit die Korrektur der Wellenfunktionen in 1. Ordnung St
orungstheo-
rie:
j
(1)
n
>=
X
m
a
nm
jm >=
X
m6=n
jm >
< mj
^
V jn >
E
(0)
n
E
(0)
m
was bei Entartung, d.h. E
(0)
n
= E
(0)
m
bei m 6= n s hief ginge. Den Fall der Entartung
vers hieben wir deshalb auf sp
ater.
In 2.Ordnung St
orungstheorie verfahren wir genauso:
j
(2)
n
>=
X
m
b
nm
jm > (10.7)
ergibt, eingesetzt in (10.4):
X
m
E
(0)
n
E
(0)
m
b
nm
jm > +E
(1)
n
X
m
a
nm
jm > +E
(2)
n
jn >=
X
m
a
nm
^
V jm >
Multiplikation mit < kj ergibt f
ur k = n die Energiekorrektur zu E
n
in 2. Ordnung
St
orungstheorie:
E
(2)
n
=
X
m6=n
a
nm
< nj
^
V jm >=
X
m6=n
j < nj
^
V jm > j
2
E
(0)
n
E
(0)
m
Zusammenfassung:
10.3. BEISPIEL: DER QUADRATISCHE STARK-EFFEKT 119
E
n
= E
(0)
n
+ < nj
^
V jn > +
X
m6=n
j < nj
^
V jm > j
2
E
(0)
n
E
(0)
m
+O(V
3
)
j
n
> = jn > +
X
m6=n
jm >
< mj
^
V jn >
E
(0)
n
E
(0)
m
+O(V
2
)
10.3 Beispiel: Der quadratis he Stark-Eekt
Betra hte H-Atom im Grundzustand:
< rj100 >=
100
(r) =
2
q
4a
3
B
e
r=a
B
+ St
orung dur h konstantes elektris hes Feld
E = (0; 0; E
z
);
^
V = eE^r = eE
z
z
1.Ordnung:
E
(1)
100
=< 100j
^
V j100 >/
Z
d
3
r ze
2r=a
B
= 0
2.Ordnung:
Man verwendet z = r os / rY
10
(; '):
< n`mjzj100 > /
Z
d
3
rR
n`
(r)Y
`m
(; ')e
r=a
B
rY
10
(; ')
/ Æ
m0
Æ
`1
Z
dr r
3
R
n`
(r)e
r=a
B
und damit
E
(2)
100
= e
2
E
2
z
1
X
n=2
j < n10jzj100 > j
2
E
(0)
1
E
(0)
n
=
9
4
a
3
B
E
2
z
quadratis her Stark-Eekt
induziertes Dipolmoment
V = PE, wobei P / E, und damit V / jEj
2
120 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
+ +
e-
e-E
mit Feldohne Feld
Dipolmoment P~E wird induziert
10.4 Entartung
Die St
orungstheorie konvergiert gut, wenn
< mj
^
V jn >
E
(0
n
E
(0)
m
<< 1
F
ur zwei entartete Zust
ande m und n gilt aber gerade
< mj
^
V jn >6= 0; E
(0)
n
= E
(0)
m
d.h., die St
orungstheorie ist in der bisherigen Form ni ht mehr anwendbar.
Betra hte gest
orten Zustand:
j
n
>= jn > +
X
m6=n
jm >
< mj
^
V jn >
E
(0
n
E
(0)
m
Wenn E
(0)
n
! E
(0)
m
, dann steigt Beimis hung von jm >. Die grundlegende Idee besteht
nun darin, diesen Anteil bereits in die ungest
orte Funktion jn > hineinzupa ken. Sei
^
H
0
jn; >= E
(0)
n
jn; >; = 1:::N
n
mit dem Entartungsindex und dem Entartungsgrad N
n
, d.h. das n-te Niveau ist N
n
fa h entartet.
F
ur den ungest
orten Zustand kann man jetzt eine Linearkombination aus den entarte-
ten Zust
anden w
ahlen:
j
(0)
n
>=
N
n
X
n
jn; >
10.4. ENTARTUNG 121
In 1.Ordnung ergibt si h jetzt
j
n
() >=
N
n
X
n
jn; > +j
(1)
n
> +O(
2
)
und wie vorher
E
n
() = E
(0)
n
+ E
(1)
n
+O(
2
)
Einsetzen in volle S hr
odingerglei hung und sortieren na h Potenzen von ergibt wie-
der die Glei hungen (10.2-10.4), diesmal mit j
(0)
n
> anstatt jn >. Multiplikation von
(10.3) mit dem Zustand < n
0
;
0
j liefert (bis zur Ordnung
1
):
< n
0
;
0
j
^
H
0
j
(1)
n
>
| z
=E
(0)
n
0
<n
0
;
0
j
(1)
n
>
E
(0)
n
< n
0
;
0
j
(1)
n
> + < n
0
;
0
j
^
V j
(0)
n
> E
(1)
n
< n
0
;
0
j
(0)
n
>= 0
oder
E
(0)
n
0
E
(0)
n
< n
0
;
0
j
(1)
n
> +
X
< n
0
;
0
j
^
V jn; >
n
E
(1)
n
X
< n
0
;
0
jn; >
| z
=Æ
nn
0
Æ
0
n
Auswertung f
ur n = n
0
ergibt das Glei hungssystem
N
n
X
h
< n;
0
j
^
V jn; > E
(1)
n
Æ
0
i
n
= 0 (10.8)
mit der St
ormatrix
V
0
=< n;
0
j
^
V jn; > (10.9)
Bei (10.8) handelt es si h um ein lineares Eigenwertproblem, wel hes die N
n
Eigenvek-
toren
n
; = 1:::N
n
zu den N
n
Eigenwerten
122 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
E
(1)
n
besitzt. Die Entartung kann jetzt dur h die St
orung
1. ganz augfgehoben sein, d.h. alle E
(1)
n
sind vers hieden
2. teilweise aufgehoben sein, d.h. (10.8) hat entartete L
osungen
Wir diskutieren den 1. Fall. Aus (10.8) lassen si h die
n
bestimmen und damit die
\ri htigen" ungest
orten Zust
ande, in wel hen die St
ormatrix (10.9) diagonal wird:
j
(0)
n
>=
N
n
X
n
jn; >
und f
ur die Niveaus in 1. Ordnung:
E
n
= E
(0)
n
+ E
(1)
n
E
3-fachentartet
E
E
E
λ
n
n1
n2
n3
die Korrektur in 1. Ordnung f
ur die WF bekommt man dur h Multiplikation von (10.3)
mit <
(0)
n
0
0
j
E
(0)
n
0
E
(0)
n
<
(0)
n
0
0
j
(1)
n
> + <
(0)
n
0
0
j
^
V j
(0)
n
> E
(1)
n
<
(0)
n
0
0
j
(0)
n
>
| z
=Æ
nn
0
Æ
0
= 0 (10.10)
F
ur die WF-Korrektur ma hen wir diesmal die Zerlegung
j
(1)
n
>=
X
m6=n
N
m
X
a
nm
j
(0)
m
> +
X
6=
b
j
(0)
n
>
10.4. ENTARTUNG 123
wobei die letzte Summe die Terme aus n enth
alt, die si h ni ht dur h eine Phasendre-
hung der Gesamtwellenfunktion wegtransformieren lassen. Wir werden aber sehen, da
die KoeÆzienten b in der 2.Ordnung no h ni ht auftreten.
Wir erhalten f
ur das Matrixelement in (10.10) (n 6= n
0
):
<
(0)
n
0
0
j
(1)
n
>= a
nn
0
0
und damit aus (10.10)
E
(0)
n
0
E
(0)
n
a
nn
0
0
= <
(0)
n
0
0
j
^
V j
(0)
n
>
und daraus s hlieli h:
j
(1)
n
>=
X
m6=n
X
0
<
(0)
m
0
j
^
V j
(0)
n
>
E
(0)
n
E
(0)
m
j
(0)
m
0
> +
X
6=
0
b
0
j
(0)
n
0
> (10.11)
Damit l
at si h jetzt die Energiekorrektur in 2.Ordnung bere hnen. Mit (10.4) erhalten
wir na h Multiplikation mit <
(0)
n
0
0
j:
E
(0)
n
0
E
(0)
n
<
(0)
n
0
0
j
(2)
n
> + <
(0)
n
0
0
j
^
V j
(1)
n
>= E
(1)
n
<
(0)
n
0
0
j
(1)
n
> +E
(2)
n
Æ
nn
0
Æ
0
F
ur n = n
0
und =
0
bleibt wenig
ubrig:
E
(2)
n
=<
(0)
n
j
^
V j
(1)
n
>
Einsetzen von (10.11) liefert
E
(2)
n
=
X
m6=n
X
0
<
(0)
m
0
j
^
V j
(0)
n
>
E
0
n
E
0
m
<
(0)
n
j
^
V j
(0)
m
0
> +
X
0
6=
b
0
<
(0)
n
j
^
V j
(0)
n
0
>
| z
=V
Æ
0
| z
=0
Das Matrixelement in der letzten Summe ist diagonal in ,
0
, denn genau so wurde
ja der Grundzustand j
(0)
n
> konstruiert. Damit entg
ultig:
E
(2)
n
=
X
m6=n
X
0
j <
(0)
m
0
j
^
V j
(0)
n
> j
2
E
0
n
E
0
m
124 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
10.5 Beispiel: der lineare Stark-Eekt
Betra hte jetzt das Elektron im 2. Niveau, n = 2. Der Zustand ist vierfa h entartet,
die Wellenfunktionen lauten
'
1
=
200
=
1r=2a
B
2a
3=2
B
e
r=2a
B
Y
00
(2s)
'
2
=
210
=
r=2a
B
6a
3=2
B
e
r=2a
B
Y
10
(2p) m = 0
'
3;4
=
211
=
r=2a
B
6a
3=2
B
e
r=2a
B
Y
11
(2p) m = 1
F
ur den St
oroperator gilt wieder (E-Feld in z-Ri htung):
^
V = erE = ezE
z
= eE
z
r
s
4
3
Y
10
Die St
ormatrixelemente bere hnen si h zu
V
=
Z
1
1
d
3
r'
^
V '
Man erh
alt na h l
angerer Re hnung
V
12
= V
21
= 3eE
z
a
B
; alle anderen V
ij
= 0:
Bere hnung von E
(1)
2
;
2
aus
4
X
=1
h
V
E
(1)
2
Æ
i
2
= 0
damit
det
2
6
6
6
6
6
4
E
(1)
2
V
12
0 0
V
12
E
(1)
2
0 0
0 0 E
(1)
2
0
0 0 0 E
(1)
2
3
7
7
7
7
7
5
= 0
und daraus
E
(1)
2
2
E
(1)
2
2
V
2
12
= 0
10.6. BEISPIEL: DAS H
+
2
- ION 125
Man erh
alt die Eigenwerte
E
(1)
21
= E
(1)
22
= 0; E
(1)
23
= E
(1)
24
= V
12
d.h. die Entartung ist nur teilweise aufgehoben. Das liegt daran, dass das E-Feld zwar
die sph
aris he Symmetrie des Wassersto-Hamiltonians bri ht, aber immer no h Ro-
tationssymmetrie bez
ugli h der z-A hse besteht.
12
12V
E
2
z
z
B
B
2
(0)E
=3eE a
=3eE a
V
Die dazugeh
orenden Eigenfunktionen lauten
(0)
21
= a
1
'
1
+ b
1
'
2
(0)
22
= a
2
'
1
+ b
2
'
2
)
a
2
1
+ b
2
1
= 0
a
2
2
+ b
2
2
= 0
z:B:
=
(
'
3
'
4
| z
orthogonalisieren
und die ni ht mehr entarteten:
(0)
23
=
1
p
2
('
1
+ '
2
)
(0)
24
=
1
p
2
('
1
'
2
)
10.6 Beispiel: das H
+
2
- Ion
Beispiel f
ur das Zustandekommen einer hemis hen Bindung zweier positiv geladener
Kerne (hom
oopolare Bindung).
Elektron wirkt als \Klebsto"
3-Teil hen-Problem: = (R
1
;R
2
; r)
126 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
^
H = E
H
M
2R
+
em
+H
M
1R
r
-
^
H =
2
X
k=1
h
2
2M
Rk
+
e
2
R
h
2
2m
r
e
2
jrR
1
j
| z
V
1
e
2
jrR
2
j
| z
V
2
| z
^
H
el
Es ist M >> m, also k
onnen die R
k
im Elektronenproblem als konstant vorgegeben
betra htet werden. Sie gehen als Parameter in das Elektronenproblem ein. F
ur das
Elektron entsteht also das folgende Einteil hen-Problem:
^
H
el
el
R
k
(r) = E
el
(R)
el
R
k
(r); R = jR
1
R
2
j (10.12)
E
el
(R) deswegen, weil der Raum homogen und isotrop ist, m.a.W. das Problem ist
translations- und drehinvariant. Ein Produktansatz der Form
(R
1
;R
2
; r) =
K
(R
1
;R
2
)
el
(r)
wird als Born-Oppenheimer-N
aherung bezei hnet und liefert, na h einsetzen von (10.12)
und K
urzen mit
el
(r), die S hr
odingerglei hung f
ur die Kerne (2-Teil hen-Problem):
"
2
X
k=1
h
2
2M
R
k
+
e
2
R
+ E
el
(R)
#
| z
^
H
K
K
= E
K
Die Kerne sp
uren das Potential
V
K
(R) =
e
2
R
+ E
el
(R)
Wir f
uhren neue Koordinaten ein:
10.6. BEISPIEL: DAS H
+
2
- ION 127
R = R
1
R
2
; Relativkoordinaten
R
S
=
1
2
(R
1
+R
2
) ; S hwerpunktkoordinaten
und erhalten:
^
H
K
=
h
2
4M
R
s
h
2
M
R
+ V
K
(R)
Die S hwerpunktbewegung entkoppelt, der S hwerpunkt bewegt si h als freies Teil hen.
Ein Produktansatz
K
(R;R
S
) = e
iKR
S
(R)
f
uhrt auf das 2. \Einteil henprobem"
"
h
2
M
R
+ V
K
(R)
#
(R) =
~
E(R)
mit der um die Translationsenergie des S hwerpunktes verminderten Energie
~
E = E
h
2
K
2
4M
Wir betra hten jezt das Elektronenproblem (10.12). F
ur den Grenzfall R!1 (unge-
bundenes Ion) gibt es zwei M
ogli hkeiten:
e
e+
-
-(2) |b>
(1) |a>
H
H
+H
+H+
128 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
wobei das H-Atom jeweils im (1s) Grundzustand sein soll. Man erh
alt in der Ortsdar-
stellung:
< rja > / e
(rR
1
)=a
B
< rjb > / e
(rR
2
)=a
B
Die beiden Zust
ande sind f
ur R!1 entartet:
^
H
el
ja >= E
0
ja >;
^
H
el
jb >= E
0
jb >
wobei E
0
die Grundzustandsenergie des H-Atoms bezei hnet. F
ur endli hes R wird
die Entartung dur h den Ein u des jeweils anderen Kernes aufgehoben. Wir ma hen
St
orungstheorie mit Entartung und setzen f
ur die Wellenfunktion in 0-ter N
aherung
die Linearkombination
j
el
>=
a
ja > +
b
jb >
an. Einsetzen in (10.12)
^
H
el
(
a
ja > +
b
jb >) = E
el
(
a
ja > +
b
jb >)
liefert, na h Multiplikation mit < aj, bzw. < bj das Glei hungssystem
H
aa
H
ab
H
ba
H
bb
!
a
b
!
= E
el
1 S(R)
S(R) 1
!
a
b
!
f
ur die Matrixelemente erhalten wir
H
aa
= E
0
< ajV
2
ja >; Coulomb-WW
H
bb
= E
0
< bjV
1
jb >= H
aa
H
ab
= E
0
< ajb > < ajV
1
jb >= E
0
S(R)D(R); Austaus h-WW
H
ba
= E
0
< bja > < bjV
2
ja >= E
0
S(R)D(R)
Wir f
uhren die Abk
urzungen
10.6. BEISPIEL: DAS H
+
2
- ION 129
V
i
=
e
2
jrR
i
j
S(R) = < ajb >=< bja >;
Uberlappintegral
C(R) = < ajV
2
ja >=< bjV
1
jb >; Coulombintegral
D(R) = < ajV
1
jb >=< bjV
2
ja >; Austaus hintegral
ein. Die L
osbarkeitsbedingung l
at si h s hreiben als
det
E
0
E
el
C D + E
0
S E
el
S
D + E
0
S E
el
S E
0
E
el
C
!
= 0
na h E
el
aufgel
ost erh
alt man in 1.Ordnung St
orungstheorie die beiden L
osungen:
E
el
= E
0
C D
1 S
wobei C;D; S > 0 gilt. Wenden wir uns zun
a hst den dazugeh
orenden Wellenfunktio-
nen (0-ter Ordnung) zu. F
ur E
+
el
ist
a
b
!
=
1
1
!
1
p
2
was einer symmetris hen Funktion
el
bez
ugli h Austaus h der Kerne entspri ht. F
ur
E
el
erhalten wir die asymmetris he Funktion
a
b
!
=
1
1
!
1
p
2
Auerdem ist
E
el
> E
0
> E
+
el
d.h. wir haben einen bindenden und einen antibindenden Zustand.
130 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
Ψ+
Ψ−
R2
R1
R
Ψ
Gesamtes Kernpotential: V
K
(R) = E
+
el
+
e
2
R
~ e2/R
E+(R)
R
gebundenes Zustand
VK(R)
S hwa he Bindung (hom
oopolar)
Ursa he: Austaus hwe hselwirkung
Explizite Bere hnung der Matrixelemente:
S(R) = < ajb > =
1 +
R
a
B
+
R
2
3a
2
B
e
R=a
B
C(R) = e
2
< ajV
1
ja > = 2E
0
a
B
R
1
1 +
R
a
B
e
2R=a
B
D(R) = e
2
< ajV
1
jb > = 2E
0
1 +
R
a
B
e
R=a
B
10.7. DAS B
ANDERMODELL DES FESTK
ORPERS 131
10.7 Das B
andermodell des Festk
orpers
10.7.1 Ein eindimensionales Model
Ein einfa hes Festk
orpermodel ergibt si h aus der Annahme, dass N Gitteratome ein-
dimensional mit Abstand R angeordnet sind (N >> 1):
x = (n-1) Rn
n=2 n=N
xx x x x
Ψ Ψ Ψ Ψ
1 2 3 N
N1 2 3
n=1 n=3
In dieser Anordnung wird ein Elektron betra htet, das si h f
ur R ! 1 an irgend
einem Atom n aufhalten soll. Wir bezei hnen diese N -fa h entarteten Zust
ande mit
j >= j
n
>; n = 1; 2::N
Werden die Atome zusammengebra ht (R endli h), so wird die Entartung aufgehoben
und es entstehen i.A. N Zust
ande mit vers hiedenen Energien, wel he f
ur N >> 1 in
ein quasi-kontinuierli hes Energieband
ubergehen.
Das selbe l
at si h au h f
ur p,d, et . Zust
ande ma hen. Man erh
alt also mehrere
B
ander, die si h
uberlappen k
onnen, oder dur h Bandl
u ken getrennt sind.
Band (s)
Band (p)
Bandluecke
1
N
1
NN-fach
N-fachE
E
1/R
1
2
132 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
10.7.2 Bere hnung der Bandstruktur
Wir bere hnen die Energieeigenwerte in 1.Ordnung St
orungstheorie. Wir nehmen jetzt
an, dass si h die vers hiedenen j
n
> ni ht
uberlappen:
<
m
j
n
>= Æ
mn
d.h. die j
n
> sollen orthonormal sein. Der gesamte Hamilton-Operator lautet
^
H =
h
2
2m
+
N
X
i=1
V
i
(x) (10.13)
mit
V
i
(x) =
e
2
jx x
i
j
Die ungest
orte Funktion
i
(x) =< xj
i
> ist L
osung von
h
2
2m
+ V
i
(x)
!
i
(x) = E
(0)
i
(x)
wobei E
(0)
z.B. die Energie des ungest
orten Grundzustandes (s) w
are. Wie vorher
bilden wir die Linearkombination aus allen N entarteten ungest
orten L
osungen:
j >=
N
X
`
`
j
`
> (10.14)
einsetzen in
^
H = E mit (10.13) ergibt na h Multiplikation von <
~
`
j
<
~
`
j
X
`
`
h
h
2m
+ V
~
`
| z
=E
(0)
; wenn `=
~
`
+
X
i 6=
~
`
V
i
i
j
`
>= <
~
`
jE
X
`
`
j
`
>
| z
E
~
`
und damit
~
`
E
(0)
+
X
`;i 6=
~
`
`
<
~
`
jV
i
j
`
> +
X
` 6=
~
`
`
<
~
`
jV
~
`
j
`
>= E
~
`
10.7. DAS B
ANDERMODELL DES FESTK
ORPERS 133
Die N
aherung, dass nur Matrixelemente in denen die glei hen oder bena hbarte Wel-
lenfunktionen vorkommen, von null vers hieden sind:
<
~
`
jV
i
j
`
>=
(
6= 0 wenn ` =
~
`;
~
` 1
= 0 sonst
ergibt s hlieli h das lineare, N-dimensionale Glei hungssystem
A
`
+B(
`+1
+
`1
) = E
`
(10.15)
mit
A = E
(0)
+
X
i 6=
~
`
<
~
`
jV
i
j
~
`
>; Coulomb-WW.
B =
X
i
<
~
`
jV
i
j
~
`+1
>; Austaus h-WW.
Um Glei hungen (10.15) zu l
osen, verwendet man das Blo hs he Theorem.
10.7.3 Das Blo hs he Theorem
In Kapitel 9.1 wurde der Zusammenhang zwis hen Impulsoperator und Translationen
im Raum erkl
art. Der Operator f
ur eine endli he TranslationR heit in einer Dimension
^
T
R
= e
i
h
Rp
und wirkt auf (x):
^
T
R
(x) = (x+R) (10.16)
Wenn
^
H periodis h in R ist, d.h.
^
H(x; p) =
^
H(x+ R; p)
dann ist
[
^
H;
^
T
R
= 0
d.h. muss simultan Eigenfunktion von
^
H und
^
T
R
sein:
134 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
^
T
R
j >= (R)j >
F
ur Translationen gilt
(
^
T
R
)
n
=
^
T
nR
und deshalb
^
T
nR
j >= (nR)j >= (R)
n
j >
also
(R)
n
= (nR)
was nur mit
(R) = e
ikR
mit beliebigem, reellem k erf
ullbar ist. Komplexes k s heidet wegen der Unitarit
at von
^
T aus (wieso?).
S hlieli h erhalten wir aus (10.16)
(x+R) =
^
T
R
(x) = e
ikR
(x)
oder
(x +R) = e
ikR
(x)
Um die letzte Relation zu erf
ullen, muss folgende Form haben:
Blo hs hes Theorem: Ist
^
H periodis h in xmit der Periode R, so haben die L
osungen
von
^
Hj >= Ej >
die Form einer Blo h-Welle:
k
(x) = e
ikx
u
k
(x); u
k
(x+R) = u
k
(x)
wobei k eine beliebige, reelle Konstante (Wellenvektor) und u
k
(x) eine von k abh
angen-
de, periodis he Funktion in x ist.
10.7. DAS B
ANDERMODELL DES FESTK
ORPERS 135
10.7.4 Anwendung des Blo hs hen Theorems
Der Ansatz (10.14) l
asst si h in der Ortsdarstellung s hreiben als
(x) =< xj >=
N
X
`
`
< xj
`
>=
N
X
`
`
v(x `R)
wobei v(x) die ungest
orte WF
v(x) =< xj
1
>
bezei hnet. Vers hieben von (x) um R ergibt
(x+R) =
N
X
`
`
v(x (` 1)R) =
N1
X
`=0
`+1
v(x `R)
Anwendung des Blo hs hen Theorems ergibt andererseits
(x+R) = e
ikR
(x) = e
ikR
N
X
`
`
v(x `R)
KoeÆzientenverglei h mit dem vorigen Ausdru k ergibt die Rekursionsvors hrift
`+1
= e
ikR
`
was mit
`
= 1 (Freiheit der Normierung) auf
`
= e
ikR`
(10.17)
f
uhrt.
10.7.5 Randbedingungen
Um die Randbedingungen ins Spiel zu bringen, unters heiden wir zwei F
alle:
a) Der unendli h lange Festk
orper, d.h. N !1 und damit in allen Summen `; i;
et . = 1::1
136 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
Mit (10.17) ergibt si h f
ur (10.15):
Ae
ikR`
+Be
ikR`
(e
ikR
+ e
ikR
) = Ee
ikR`
oder
E(k) = A+ 2B os kR
wobei k als kontinuierli her Index die Energieniveaus und Wellenfunktionen unters hei-
det. Vers hiedene ungest
orte Zust
ande f
uhren auf unters hiedli he KoeÆzienten A und
B. Somit ergeben si h Energieb
ander mit Bandl
u ken:
A(p)-2B(p)A(s)-2B(s)
B(s)<0B(p)>0
E(k)
A(s)
A(p)
−π π/R /R
Bandluecke
b) Der endli he, periodis h ges hlossene Festk
orper
Wir w
ahlen N endli h, der Festk
orper hat die L
ange
L = NR
Er soll periodis h fortgesetzt werden, d.h. f
ur jede L
osung muss gelten
(x) = (x+ L)
und daraus (wieso?)
n
=
n+N
Insbesondere folgt f
ur
1
:
10.7. DAS B
ANDERMODELL DES FESTK
ORPERS 137
1
=
N+1
; e
ikR
= e
ik(N+1)R
und daraus
e
ikNR
= 1
was nur f
ur
kNR = kL = 2n
mit ganzzahligem n gilt. Wir erhalten also eine Quantisierungsvors hrift f
ur den vorher
kontinuierli hen Index k, der jetzt nur no h diskrete, allerdings sehr di ht beieinander-
liegende (N >> 1) Werte dur hlaufen kann:
k
n
=
2n
L
Es gen
ugt, k-Werte von =R bis =R zu betra hten (1. Brioullin-Zone). Gr
oere
(kleinere) k-Werte k
onnen dur h kWerte in dieser Zone ausgedr
u kt werden und f
uhren
auf die selben Wellenfunktionen. Das ergibt f
ur n die Grenzen
N
2
n
N
2
was, weil n =
N
2
den selben Zustand bezei hnet, auf N Zust
ande f
uhrt, die jeweils
(bis auf den Zustand n = 0) zweifa h entartet sind.
E(k)
−π π/R /R
138 KAPITEL 10. ZEITUNABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
Kapitel 11
Zeitabh
angige St
orungstheorie
Betra hte jetzt:
^
H(t) =
^
H
0
+
^
V (t)
wobei
^
H
0
= onst,
^
V (t) klein. Die Frage na h der
Anderung der Energieniveaus stellt
si h jetzt ni ht mehr, weil es keine station
aren Zust
ande mehr geben kann. Vielmehr
m
ussen wir jetzt na h der zeitli hen Entwi klung eines bestimmten Anfangszustandes
fragen. Die St
orung wird dabei
Uberg
ange zwis hen den station
aren Zust
anden jn >
des ungest
orten Systems hervorrufen, wobei wieder
^
H
0
jn >= E
(0)
n
jn >
gilt.
11.1 Problemstellung
gesu ht ist die (gen
aherte) L
osung von
ih
t
j(t) >=
^
H
0
+
^
V (t)
j(t) > (11.1)
Wir entwi keln na h jn >, diesmal mit zeitabh. KoeÆzienten:
j(t) >=
X
n
n
(t)e
iE
(0)
n
t
h
jn >= e
i
^
H
0
t
h
| z
=
^
U
+
0
X
n
n
(t)jn > (11.2)
139
140 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
die letzte Summe ist dabei genau die Wellenfunktion im Dira -Bild (vgl. Kapitel 7.4).
Die Wahrs heinli hkeit, das System im Zustand jn > zu nden, ist gegeben dur h
P
n
= j < nj > j
2
= j
n
(t)j
2
F
ur das ungest
orte Problem ( = 0) ergibt si h f
ur (11.1) die L
osung
n
= onst; P
n
= onst
d.h. station
are Zust
ande.
Einstezen von (11.2) in (11.1) ergibt
X
n
ihd
t
n
(t) + E
(0)
n
n
(t)
e
iE
(0)
n
t
h
jn >=
X
n
n
(t)e
iE
(0)
n
t
h
E
(0)
n
+
^
V (t)
jn >
und na h Multiplikation mit < mj ein linearees Glei hungssystem mit zeitabh. KoeÆ-
zienten f
ur die Funktionen
m
(t):
ihd
t
m
(t) =
X
n
n
(t)e
i!
mn
t
< mj
^
V (t)jn >
| z
V
mn
(t)
(11.3)
mit den
Ubergangsfrequenzen
!
mn
=
E
(0)
m
E
(0)
n
h
11.2 Iterative L
osung
Das System bende si h zur Zeit t = 0 im Anfangszustand jn >:
j(t = 0) >= jn >;
k
(0) = Æ
nk
Entwi klung na h liefert
k
(t) =
(0)
k
(t) +
(1)
k
(t) +
2
(2)
k
+ ::::
11.2. ITERATIVE L
OSUNG 141
Aus der Anfangsbedingung wird jetzt
(0)
k
= Æ
kn
;
(`)
k
= 0; ` > 0
Einsetzen in (11.3) ergibt
ihd
t
(0)
m
+ ihd
t
(1)
m
+
2
:::: =
X
k
(0)
k
e
i!
mk
t
V
mk
(t) +
2
:::
Man sortiert wieder na h Ordnungen von . In 0. Ordnung:
ihd
t
(0)
m
= 0; !
(0)
m
= onst = Æ
mn
wobei die letzte Relation dur h die Anfangsbedingung festgelegt wird. In 1. Ordnung
bekommt man
ihd
t
(1)
m
= e
i!
mn
t
V
mn
(t)
was si h integrieren l
at:
(1)
m
=
i
h
Z
t
0
dt
0
e
i!
mn
t
0
V
mn
(t
0
)
Somit erhalten wir f
ur die Wellenfunktion (S hr
odingerbild) bis zur 1. Ordnung:
j(t) >= e
iE
(0)
n
t
h
jn >
| z
Anfangszustand
+
1
X
k=1
(1)
k
(t)e
iE
(0)
k
t
h
jk >
| z
Beimis hung
Damit l
at si h nun die
Ubergangswahrs heinli hkeit von einem Zustand jn > na h
jm > angeben
P
n!m
(t) = j < mj(t) > j
2
= j
(1)
m
j
2
= P
m
(t)
F
ur die zweite Ordnung ist die Vorgehensweise analog. Wir geben nur das Resultat an
(2)
`
=
1
h
2
Z
t
0
dt
0
Z
t
0
0
dt
00
X
m
e
i!
mn
t
00
e
i!
`m
t
0
< `j
^
V (t
0
)jm >< mj
^
V (t
00
)jn >
d.h. die
Uberg
ange in 2.Ordnung erfolgen
uber sogenannte virtuelle Zwis henzust
ande
jm >,
uber die alle aufsummiert werden muss.
142 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
11.3 Beispiel: St
orung eines Atoms dur h ein vor-
bei iegendes, s hweres, geladenes Teil hen
y
x
Ze
Atom
R(t)=(vt,0,0)D
D = Stoparameter, Ze = Ladung
Mit der Annahme, dass jrj << jRj, d.h. das Teil hen iegt relativ zum Atomradius
weit am Atom vorbei, k
onnen wir entwi keln:
^
V (t) =
Ze
2
jR^rj
Ze
2
R
Ze
2
R
3
(xvt+Dy) + :::
Wir erhalten die Matrixelemente
V
mn
=< mj
^
V jn >=
Ze
2
R
3
(x
mn
vt+Dy
mn
)
mit
x
mn
=< mjxjn >; y
mn
=< mjyjn >
F
ur die
Ubergangswahrs heinli hkeit von jn > na h jm > ergibt si h:
P
n!m
=
Z
2
e
4
h
2
Z
1
1
x
mn
vt+Dy
mn
[(vt)
2
+D
2
3=2
e
i!
mn
t
dt
2
11.3. BEISPIEL: ST
ORUNG EINES ATOMS ... 143
Das Integral wird jetzt n
aherungsweise ausgewertet. Wir ma hen zuerst die Annahme,
dass die We hselwirkung nur dann eine Rolle spielt, wenn das Teil hen bei x 0, also
dem Atom am n
a hsten ist. F
ur die Zeit, in der das Teil hen we hselwirkt, l
at si h
die Abs h
atzung
=
D
v
ma hen. wird dabei als eektive Kollisionszeit bezei hnet.
Wir untersu hen die beiden F
alle
a) >> 1=!
mn
, d.h.das Teil hen iegt langsam am Atom vorbei.
Adiabatis he Kollision
Integrand oszilliert s hnell, mittelt si h weg, daraus P
n!m
0
keine Anregung, also eektiv keine We hselwirkung
b) 1=!
mn
oder D v=!
mn
e
i!
mn
t
1
F
ur das Integral ergibt si h mit dieser N
aherung:
Z
1
1
x
mn
vt+Dy
mn
[(vt)
2
+D
2
3=2
dt = Dy
mn
Z
1
1
1
[(vt)
2
+D
2
3=2
dt =
2y
mn
vD
und damit entg
ultig f
ur diesen Fall:
P
n!m
=
4Z
2
e
4
jy
mn
j
2
h
2
D
2
v
2
Abs hlieend untersu hen wir den Fall, bei dem ein Teil henstrahl aus N Teil hen am
Atom vorbei iegt. Der Stoparameter soll dabei von a
B
bis zu dem f
ur diesen Fall
maximalen Wert v=!
mn
glei hverteilt sein. Es ergibt si h die mittlere
Ubergangswahr-
s heinli hkeit
P
n!m
= N
Z
v=!
mn
a
B
2DP
n!m
(D) dD /
1
v
2
ln
v
a
B
!
mn
144 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
v
P
adiabatische
Kollision
n m
11.4 Ein - und Auss halten einer sonst konstanten
St
orung
V
mn
(t) =< mj
^
V
0
jn > (t
s
t)
=
~
V
mn
(t t
s
)
st t
V(t)
0
F
ur die
Ubergangswahrs heinli hkeit erhalten wir damit
P
n!m
=
1
h
2
Z
t
0
dt
0
e
i!
mn
t
0
V
mn
(t
0
)
2
=
8
>
<
>
:
j
~
V
mn
j
2
h
2
e
i!
mn
t
1
!
mn
2
t < t
s
j
~
V
mn
j
2
h
2
e
i!
mn
t
s
1
!
mn
2
t > t
s
Wir untersu hen die Funktion
e
i!
mn
t
1
!
mn
2
=
4 sin
2!
mn
2
t
!
2
mn
oder
11.4. EIN - UND AUSSCHALTEN EINER SONST KONSTANTEN ST
ORUNG 145
F
t
(!) =
4 sin
2 !
2
t
!
2
Ft(ω)
t2
2
t1
2
t2 > t
1
t1
0 ω2π/t1−2π/t1
Die
Ubergangswahrs heinli hkeit ist im Wesentli hen nur zwis hen den beiden Null-
stellen 2=t und 2=t von Null vers hieden. D.h. es existieren
Uberg
ange im Fre-
quenzintervall
!
2
t
=
E
h
wobei f
ur die letzte Umformung eine der de Broglies hen Beziehungen verwendet wurde.
Das ist aber ni hts anderes als eine Form der Uns h
arferelation, diesmal zwis hen
Energie und Zeit:
Et 2h
F
ur kurze Zeiten der St
orung sind also
Uberg
ange erlaubt, die den Energiesatz verlet-
zen. F
ur groe Zeiten gilt dagegen
F
t
(!) ! 2tÆ(!)
d.h. P
n!m
6= 0 nur m
ogli h, wenn !
mn
= 0
146 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
Energieerhaltung, E
n
= E
m
Uberg
ange h
o hstens zwis hen entarteten Zust
anden m
ogli h
F
ur die
Ubergangswahrs heinli hkeit erhalten wir s hlieli h
P
n!m
= 2
j
~
V
mn
j
2
h
2
tÆ(!
n
!
m
) = 2
j
~
V
mn
j
2
h
tÆ(E
n
E
m
)
Wir denieren die
Ubergangsrate als
Ubergangswahrs heinli hkeit pro Zeiteinheit:
n!m
=
P
n!m
t
= 2
j
~
V
mn
j
2
h
Æ(E
n
E
m
)
d.h. wir erhalten eine Æ-f
ormige
Ubergangsrate.
Als n
a hstesbetra hten wir
Uberg
ange von einem bestimmten Anfangszustand in ein
Kontinuum von Endzust
anden. Es mu si h dabei ni ht um ein e htes Kontinuum
handeln, die Zust
ande m
ussen nur gen
ugend di ht liegen, so da der Begri einer
Zustandsdi hte einen Sinn ma ht.
Wir betra hten also die
Ubergangsrate in ein Energieintervall E:
|n>|m>
E
E = E
e
E
a
; E
a
< E
m
< E
e
und erhalten
n!m
=
m
e
X
m=m
a
n!m
Z
E
e
E
a
dE (E)
n!m
wobei (E) die besagte Zustandsdi hte ist und der Ausdru k
(E)dE
11.5. PERIODISCHE ST
ORUNGEN 147
die Anzahl der Zust
ande im Intervall [E;E+dE angibt. Das l
at si h weiter umformen
zu
n!m
=
Z
dE (E)
2jV
mn
j
2
h
Æ(E
n
E) =
2
h
(E
n
)jV
mn
j
2
Damit haben wir Fermis Goldene Regel hergeleitet:
n!m
=
2
h
(E
n
)jV
mn
j
2
11.5 Periodis he St
orungen
Wir untersu hen zun
a hst den Fall einer rein harmonis hen S hwingung mit der Fre-
quenz !:
^
V =
^
V
0
e
i!t
Mit der Abk
urzung
mn
= !
mn
!
erhalten wir f
ur die
Ubergangswahrs heinli hkeit
P
n!m
=
1
h
2
Z
t
0
dt
0
e
i
mn
t
0
V
mn
2
= 4
jV
mn
j
2
h
2
sin
2
mn
2
t
!
2
mn
mit V
mn
=< mj
^
V
0
jn >. Werten wir den Ausdru k wieder f
ur t ! 1 aus, so erhalten
wir
n!m
= 2
jV
mn
j
2
h
2
Æ(E
n
E
m
h!)
d.h., die Energiedierenz der
Uberg
ange entspri ht gerade der Energie des emittierten,
bzw. absorbierten Li htquantes.
E
EEmission
h ωn
m
h ω
E
E
n
m
-
Absorption
148 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
F
ur eine allgemein beliebig zeitabh
angige St
orung der Form
^
V (t) =
1
p
2
Z
1
1
^
V (!)e
i!t
d!
l
at si h die Re hnung genauso dur hf
uhren. Man erh
alt
n!m
=
Z
1
1
jV
mn
(!)j
2
h
Æ(E
n
E
m
+ h!) d!
und na h Auswertung des Integrals
n!m
=
jV
mn
(!
mn
)j
2
h
2
d.h. dur h die St
orung werden nur sol he
Uberg
ange hervorgerufen, deren
Ubergangs-
frequenz im St
orspektrum enthalten ist.
11.6 Absorption und stimulierte Emission von Li ht
F
ur das Li htfeld setzen wir an
E(r; t) / e
ikr
e
i!t
Mit der Annahme, dass die Wellenl
ange des Li htes viel gr
oer ist, als der Atomradius,
was bis zur UV-Strahlung gilt,
=
2
jkj
>> a
B
l
at si h das Li htfeld als r
aumli h konstant n
ahern.
Damit
E(t) = E
0
os!t
Aus
E = r'
11.6. ABSORPTION UND STIMULIERTE EMISSION VON LICHT 149
l
at si h sofort das elektrostatis he Potential
' = E(t)r
angeben. Die potentielle Energie eines mit e geladenen Teil hens im Feld ist dann
V = e' = eE(t)r
d.h. der St
oroperator hat die Form
^
V (t) = eE(t)^r
und die
Ubergangsrate lautet wieder
n!m
=
jV
mn
(!
mn
)j
2
h
2
Das Matrixelement lautet diesmal
V
mn
(t) = eE(t) < mjrjn >= E(t)nD
mn
wobei n den Einheitsvektor in Ri htung des E-Feldes und
D
mn
= e < mjrjn >
das Dipolmatrixelement bezei hnet. Zerlegung des E-Feldes in seine Fourierkomponen-
ten
E(t) =
1
p
2
Z
1
1
E(!)e
i!t
d!; E(!) = E
(!)
ergibt s hlieli h f
ur den allgemein zeitabh
angigen Fall
V
mn
(!) = E(!)nD
mn
und
150 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
n!m
=
1
h
2
jE(!
mn
)j
2
jnD
mn
j
2
Aus der Elektrodynamik kennt man die spektrale Energiedi hte
u(!) =
4
jE(!)j
2
damit l
at si h die
Ubergangswahrs heinli hkeit s hlieli h s hreiben als
n!m
=
4
h
2
u(!
mn
)jnD
mn
j
2
11.6.1 Auswahlregeln f
ur die Strahlung, harmonis her Oszil-
lator
Wir bere hnen das Dipolmatrixelement
D
mn
= e < mjxjn >
= e
s
h
2m!
< mj(a
+
+ a)jn >
= e
s
h
2m!
p
n + 1Æ
m;n+1
+
p
nÆ
m;n1
d.h. es sind zumindest in 1.Ordnung St
orungstheorie nur
Uberg
ange von einem Zustand
in die jeweils bena hbarten Zust
ande m
ogli h:
m = n 1
m=1
m=2
m=3
m=4
erlaubt
erlaubt
verboten
11.6. ABSORPTION UND STIMULIERTE EMISSION VON LICHT 151
11.6.2 Auswahlregeln f
ur die Strahlung, Leu htelektron
Als n
a hstes untersu hen wir den Ein u der Strahlung auf ein an den Kern gebundenes
Elektron. Das Dipolmatrixelement lautet
D
n`mn
0
`
0
m
0
= e < n`mj^rjn
0
`
0
m
0
>
wobei wir f
ur die Zust
ande wieder die Wassersto-Wellenfunktionen verwenden k
onnen.
Die Re hnung wird in Kugelkoordinaten dur hgef
uhrt. Mit
r = r
0
B
os' sin
sin' sin
os
1
C
A
erhalten wir sofort die m-Auswahlregeln. F
ur die einzelnen Komponenten von D ergibt
si h
D
(x)
/
Z
d' e
i(mm
0
)'
os' =
i
2
Z
d'
e
i(mm
0
+1)'
e
i(mm
0
1)'
was auf
D
(x)
/ Æ
m;m
0
+1
Æ
m;m
0
1
f
uhrt. Die Re hnung f
ur D
(y)
geht genauso. das ergibt die m-Auswahlregel f
ur ni ht
vers hwindendes D
(x;y)
:
m = m
0
1
Die Re hnung f
ur D
(z)
ergibt die Auswahlregel
m = m
0
Die `-Auswahlregeln ergeben si h aus dem Integral
uber . Wir wollen hier nur den
Fall m = m
0
, d.h. D
(z)
6= 0 betra hten. Es ergibt si h das Integral
D
(z)
/
Z
0
P
m
`
( os )P
m
`
0
( os ) os sin d
152 KAPITEL 11. ZEITABH
ANGIGE ST
ORUNGSTHEORIE
wobei P
m
`
die Legendres hen Polynome bezei hnet. Die Substitution x = os ergibt
D
(z)
/
Z
1
1
P
m
`
(x)P
m
`
0
(x)x dx
Mit der Umformung (a
`m
; b
`m
sind bestimmte, hier ni ht weiter wi htige KoeÆzienten,
siehe z.B. Bronstein)
xP
m
`
(x) = a
`m
P
m
`+1
(x) + b
`m
P
m
`1
(x)
folgt aus der Orthogonalit
at der Legendre-Polynome die Auswahlregel
` = `
0
1
f
ur D
(z)
6= 0. D.h. strahlende
Uberg
ange mit m = m
0
f
ur m = m
0
1 ergeben si h
ubrigens die selben `-Auswahlregeln) sind nur erlaubt zwis hen bena hbarten Drehim-
pulsquantenzahlen, also z.B.
s ! p
p ! d
d ! f
et :
Die Intgration
uber r ergibt, da keine Auswahlregel f
ur die Hauptquantenzahl n exi-
stiert, d.h. hier sind alle
Uberg
ange erlaubt. (F
ur die detailierte Re hnung siehe z.B.
Blo hinzew, Grundlagen der QM)
Kapitel 12
Galerkin- und Variationsmethoden
L
osen station
arer Probleme
sei
^
Hj >= Ej > (12.1)
ein analytis h unl
osbares Problem. Im folgenden betra hten wir einen i.a. ni ht vollst
andi-
gen Funktionensatz jn >, der z.B. die geforderten Randbedingungen oder Symmetrien
erf
ullt. Der Satz kann orthonormal sein, muss aber ni ht. D.h. die jn > spannen einen
Unterraum des Hilbertraums auf. Das Ziel ist nun, eine N
aherungsl
osung j
~
> von
(12.1) zu bestimmen, die in diesem Unterraum liegt.
12.1 Galerkinmethode
Wir ma hen den Ansatz (Testfunktion)
j
~
>=
N
X
n=1
n
jn >
und erhalten aus (12.1)
X
n
n
(
^
Hjn > Ejn >) = jR > (12.2)
Auf der re hten Seite steht jetzt ni ht null sondern eine Funktion jR >, wel he als
Residuum (deuts h: Rest) bezei hnet wird und wel he m
ogli hst klein sein soll . F
ur
153
154 KAPITEL 12. GALERKIN- UND VARIATIONSMETHODEN
jR > kann man vers hiedene Vorderungen stellen die auf vers hiedene Verfahren f
uhren.
Beim hier betra hteten Galerkinverfahren fordert man, da jR > senkre ht auf allen
jn > steht, d.h. da jR > ni ht im von den jn > aufgespannten Unterraum liegt.
L
at man dann N gegen unendli h gehen, d.h. jn > wird vollst
andig und der Unter-
raum geht in den gesamten Hilbertraum
uber, so muss jR > vers hwinden und die
N
aherungsl
osung geht in die exakte L
osung
uber. Mit
< mjR >= 0
erhalten wir aus (12.2) na h Multiplikationmit< m das lineareNxN -Glei hungssystem:
N
X
n
n
(H
mn
EÆ
mn
) = 0
wel hes man i.a., zumindest f
ur grosses N numeris h (iterativ) l
osen muss. Als L
osung
erh
alt man die Eigenwerte
E
k
; k = 1::N
wel he N
aherungsweise den Energieniveaus von (12.1) entspre hen, sowie die Eigen-
vektoren
k
n
aus denen si h dann die j
~
> ergeben.
12.2 Variationsmethoden
Wir fassen den Erwartungswert von
^
H bez
ugl. eines beliebigen Zustandes j > als
Energiefunktional auf
E[ =
< j
^
Hj >
< j >
12.2.1 Extremalprinzip
Wir formulieren ein Extremalprinzip:
Satz (Ritzs hes Theorem): Wenn > ein Eigenzustand von
^
H ist, dann ist E extremal.
12.2. VARIATIONSMETHODEN 155
D.h. wenn dur h Addition einer innitesimal kleinen Funktion Æ variiert wird, darf
si h E ni ht
andern, also ÆE = 0.
Beweis: wir bilden die Variation von ÆE:
ÆE[ =
1
< j >
Æ <
^
Hj >
1
< j >
2
< j
^
Hj >
| z
1
<j>
E[
Æ < j >
=
1
< j >
h
< Æj(
^
H E)j > + < j(
^
H E)jÆ >
i
= 0
die vers hwinden muss, damit E extremal ist. Mit der Abbk
urzung
j' >= (
^
H E)j >
erh
alt man
< Æj' > + < 'jÆ >= 0
was f
ur beliebiges Æ gelten muss. Wir w
ahlen jetzt die spezielle Variation
jÆ >= j' >; < Æj = < 'j
wobei eine innitesimale, reelle Zahl sei. Damit erhalten wir
2 < 'j' >= 0
d.h. die Norm von j' > muss vers winden, was nur dur h j' >= 0, oder
(
^
H E)j >= 0
m
ogli h ist. D.h. heisst aber, dass j > ein Eigenzustand von
^
H ist, wenn ÆE = 0.
q.e.d.
12.2.2 Ritzs hes Verfahren
Wir betra hten Systeme mit diskreten Niveaus. Den (exakt bestimmten) Grundzustand
bezei hnen wir mit E
0
. Die optimal anzupassende Testfunktion wird wieder mit j
~
>
156 KAPITEL 12. GALERKIN- UND VARIATIONSMETHODEN
bezei hnet, die jetzt ni ht notwendigerweise normiert sein muss. F
ur den Energieer-
wartungswert erhalten wir
E =
<
~
j
^
Hj
~
>
<
~
j
~
>
E
0
E = E
0
wenn j
~
> der exakten L
osung j > entspri ht. Auerdem naehert man si h
der exakten L
osung f
ur E
0
von oben.
Beweis:
sei dur h
^
Hjn >= E
n
jn >
ein VONS gegeben (die exakte L
osung des Problems), wobei E
n
E
0
ist. wir zerlegen
j
~
>=
X
n
n
jn >
und erhalten
E =
P
nm
n
m
< nj
^
Hjm >
P
nm
n
m
< njm >
=
P
n
j
n
j
2
E
n
P
n
j
n
j
2
E
0
P
n
j
n
j
2
P
n
j
n
j
2
= E
0
q.e.d.
D.h. der n
aherungsweise bere hnete Wert E gibt eine obere S hranke f
ur E
0
an.
Allgemeine Vorgehensweise:
1.) Setze Testfunktion mit freien Parametern
i
an:
j
~
>= j
~
(
1
:::
N
) >
Die Testfunktion sollte dabei Symmetrien und Randbedingungen erf
ullen. Je ges hi k-
ter man si h bei der Wahl der Testfunktion anstellt, desto s hneller konvergiert das
Verfahren. Man erh
alt f
ur die gen
aherte Energie:
E(f
i
g) =
<
~
(f
i
g)j
^
Hj
~
(f
i
g) >
<
~
(f
i
g)j
~
(f
i
g) >
12.2. VARIATIONSMETHODEN 157
2.) Minimiere E:
i
E(f
i
g) = 0
Das sind N , i.a. ni htlineare gekoppelte algebrais he Glei hungen, die den optimalen
Parametersatz
f
op
i
g
festlegen (Die L
osung erfolgt i.a. numeris h, d.h. dur h Iteration, z.B. Newton-Verfahren,
et .).
3) Einsetzen von f
op
i
g ergibt den N
aherungswert
E = E(f
op
i
g)
Wir re hnen einige Beispiele. Wir betra hten den Grundzustand des Wasserstoatoms.
die exakte L
osung lautet
E
0
=
e
2
2a
B
1) Wir w
ahlen als Testfunktion (Ortsdarstellung)
< rj
~
>= e
; = r=a
B
und erhalten
E() = E
0
1
3
2
dessen Minimum bei
op
= 3=2 liegt. Damit
E(
op
) =
3
4
E
0
2.) Eine bessere N
aherung liefert die Tesfunktion
< rj
~
>=
1
2
+
2
158 KAPITEL 12. GALERKIN- UND VARIATIONSMETHODEN
Man erh
alt
E() =
8
2
2
E
0
und daraus
op
= =4
was auf
E(
op
) 0:81E
0
f
uhrt.
3) S hlieli h testen wir no h die exakte Funktion
< rj
~
>= e
was mit
E() = (2
2
)E
0
auf
op
= 1 und
E(op) = E
0
f
uhrt.
Kapitel 13
Elemente der Streutheorie
13.1 Problemstellung
Einfallender Strahl
k
Target
Streuwinkel
Detekto
r
Auslau
fende
r Stra
hl
k
θein
a
Keine WW der einfallenden Teil hen miteinander
Im Target kommt es zu Reaktionen mit den einfallenden Teil hen. Wir betra hten hier
auss hlieli h Prozesse, bei denen die Teil hen ni ht umgewandelt werden. Teil hen-
art und Zahl vor der Streuung sind die selben wie hinterher. Die Reaktion mit dem
Target wird dann als Streureaktion bezei hnet. Speziell spri ht man von elastis her
Streuung, wenn die Teil hen keine innere Anregung erfahren.
Wir w
ahlen k
ein
k e
z
, d.h. k
ein
= ke
z
und
ein
/ e
ikz
159
160 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE
als ebene Welle.
13.2 Streuquers hnitt, dierentieller Wirkungsquer-
s hnitt
Einfallender Strahl
θz
x
y
Streupotential V(r)
d Ω
dn bezei hnet die Teil henzahl im Detektor je Zeiteinheit =
Teil hen
Zeit
F
ein
den Fluss der einfallenden Teil hen =
Teil hen
Zeit x Fl
a he
Dann gilt mit dem Raumwinkel d, den der Detektor abde kt:
dn / F
ein
d
oder
dn = F
ein
(#; ')d
mit dem dierentiellen Wirkungsquers hnitt (#; '), der die Einheit einer Fl
a he
hat. Die Aufgabe der Streutheorie ist es, von dem gemessenen Wirkungsquers hnitt
R
u ks hl
usse auf das Streupotential V (r) zu ziehen.
13.3. STATION
ARE STREUZUST
ANDE 161
13.3 Station
are Streuzust
ande
Wir su hen na h L
osungen der S hr
odingerglei hung in der
ubli hen Form
(r; t) = '(r)e
i
E
h
t
wobei '(r) die station
aren Streuzust
ande bezei hnet. F
ur das Streupotential soll
die Voraussetzung
lim
r!1
rV (r) = 0
gelten, d.h. die folgende Re hnung gilt ni ht f
ur das Coulomb-Potential. Weit weg vom
Target werden ebene Wellen mit der Energie
E =
hk
2
2m
den einfallenden Strahl bes hreiben. Mit der Substitution
U(r) =
2m
h
2
V (r)
hat die zeitunabh. S hr
odingerglei hung die Form
+ k
2
U(r)
'(r) = 0
13.4 Asymptotis he Form von '(r), Streuamplitude
Die einfallenden Teil hen werden als ebene Wellen angesetzt:
'
ein
/ e
ikz
Die Wellenfunktion, die die auslaufenden Teil hen bes hreibt, muss vom Streupotential
abh
angen. Weit weg vom Target (r !1) kann man den Ansatz einer Kugelwelle
'
aus
/
e
ikr
r
f
k
(#; ') + '
ein
(13.1)
162 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE
ma hen, wobei f
k
(#; ') als Streuamplitude bezei hnet wird. Dies ist L
osung der
S hr
odingerglei hung f
ur groes r (Kugelkoordinaten):
rr
+
2
r
r
+ k
2
e
ikr
r
+O(1=r
3
) = 0
Anmerkung: hier geht die Bedingung ein, dass f
ur r gegen unendli h U(r) / 1=r
n
mit
n 2 sein muss, weil sonst der Potentialterm in der Ordnung 1=r
2
beitragen w
urde
und damit der Kugelwellenansatz keine asymptotis he L
osung mehr w
are.
13.5 Streuamplitude und dierentieller Wirkungs-
quers hnitt
F
ur den dierentiellen Wirkungsquers hnitt erhielten wir oben den Ausdru k:
(#; ') =
jj(gestr. Teil hen)/Raumwinkelj
jj(einf. Teil hen)/Fl
a hej
wobei j jeweils die zugeh
orende Stromdi hte
j =
1
2m
h
i
('
r' 'r'
)
ist. Einsetzen der asymptotis hen L
osungen f
ur ' ergibt:
jj(einf. Teil hen)j =
hk
m
jj(gestr. Teil hen)j =
hk
m
jf
k
(#; ')j
2
d
und damit entg
ultig den wi htigen Zusammenhang
(#; ') = jf
k
(#; ')j
2
13.6 Integralglei hung f
ur die station
aren Streuzust
ande
Die station
are S hr
odingerglei hung l
asst si h in eine Integralglei hung umwandeln.
Ausgehend von
13.6. INTEGRALGLEICHUNG F
UR DIE STATION
AREN STREUZUST
ANDE163
( + k
2
)'(r) = U(r)'(r) (13.2)
f
uhrt man die Greens he Funktion ein:
'(r) = '
hom
(r) +
Z
d
3
r
0
G(r r
0
)U(r
0
)'(r
0
) (13.3)
wobei '
hom
(r) das homogene Problem von (13.2)
( + k
2
)'
hom
(r) = 0
l
ost. Einsetzen von (13.3) in (13.2) ergibt die Dierentialglei hung f
ur die Greens he
Funktion:
( + k
2
)G(r) = Æ(r)
Deren L
osungen lauten (bere henbar mit dem Residuensatz, Vorgehensweise siehe Me-
hanik, harmonis her Oszillator):
G
(r) =
1
4
e
ikr
r
G
haben die Form von Kugelwellen und werden deshalb als auslaufende (G
+
) bzw.
einlaufende (G
) Greens he Funktion bezei hnet.
Um das asymptotis he Verhalten von ' zu errei hen, muss man f
ur
'
hom
= '
ein
= e
ikz
setzen. Wir zeigen jetzt, dass G
+
das asymptotis he Verhalten einer auslaufenden Ku-
gelwelle besitzt. F
ur ' erhalten wir also
'(r) = e
ikz
1
4
Z
d
3
r
0
e
ikjrr
0
j
jr r
0
j
U(r
0
)'(r
0
)
164 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE
r‘
r r-r‘
U(r‘)er
F
ur groes r >> r
0
(weit auerhalb vom Target) kann man die Entwi klung ma hen
jr r
0
j =
p
r
2
+ r
02
2rr
0
p
r
2
2rr
0
r e
r
r
0
wobei e
r
der Einheitsvektor in Ri htung von r ist. F
ur das Integral erh
alt man damit
Z
d
3
r
0
e
ikjrr
0
j
jr r
0
j
U(r
0
)'(r
0
)
r!1
=
e
ikr
r
Z
d
3
r
0
e
ike
r
r
0
U(r
0
)'(r
0
)
und damit f
ur groes r:
'(r)
r!1
= e
ikz
1
4
e
ikr
r
Z
d
3
r
0
e
ike
r
r
0
U(r
0
)'(r
0
)
Ein Verglei h mit der asymptotis hen Form (13.1) zeigt den Zusammenhang von Po-
tential und Streuamplitude:
f
k
(#; ') =
1
4
Z
d
3
r
0
e
ike
r
r
0
U(r
0
)'(r
0
) (13.4)
13.7 Die Borns he N
aherung
Der Ausdru k (13.4) enth
alt als Unbekannte immer no h die Wellenfunktion der stati-
on
aren Streuzust
ande. Diese kann dur h iteratives L
osen der Integralglei hung (13.3)
13.7. DIE BORNSCHE N
AHERUNG 165
mitG = G
+
bestimmt werden. Man setzt dazu f
ur '(r
0
) auf der re hten Seite von (13.3)
den Zusammenhang (13.3) erneut ein, und so fort. Dadur h erh
alt man eine unendli he
Reihe, die Borns he Reihe, wobei die auftretenden Terme wa hsende Potenzen des
St
orpotentiales enthalten:
'(r) = e
ikz
+
Z
d
3
r
0
G(r r
0
)U(r
0
)'(r
0
)
'(r) = e
ikz
|z
1
+
Z
d
3
r
0
G(r r
0
)U(r
0
)e
ikz
0
| z
2
(13.5)
+
Z Z
d
3
r
0
d
3
r
00
G(r r
0
)G(r
0
r
00
)U(r
0
)U(r
00
)e
ikz
00
| z
3
+
Z Z Z
d
3
r
0
d
3
r
00
d
3
r
000
G(r r
0
)G(r
0
r
00
)G(r
00
r
000
)U(r
0
)U(r
00
)U(r
000
)e
ikz
000
| z
4
+O(U
4
)
Die Annahme eines kleinen St
orpotentials erlaubt das Abbre hen der Reihe na h we-
nigen Termen. Die einzelnen Terme in (13.5) haben ans hauli he Bedeutung:
1. entspri ht der einfallenden ebenen Welle, die ohne WW. am Target vorbei l
auft.
re
k
ikz
ein
166 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE
2. Steuung der einfallenden Welle am Ort r
0
mit ans hlieender auslaufender Green-
s her Funktion G
+
(r r
0
). Einmalige WW. mit dem Streupotential.
r
r’
U(r’)
G(r-r’)
e
kein
ikz’
3. Die an r
00
gestreute Welle wird an r
0
no h einmal gestreut und regt eine weitere
Welle an. Doppelte WW. mit dem Streupotential.
G(r-r’)
r
r’
U(r’)
r’’ U(r’’)
G(r’-r’’)
e
kein
ikz’’
13.8 Dierentieller Wirkungsquers hnitt und Po-
tential
Einsetzen der Borns hen Reihe in den Ausdru k (13.4) liefert die Borns he Reihe f
ur
die Streuamplitude. In niederster N
aherung (linear in U) erh
alt man den Ausdru k
(Borns he N
aherung):
13.8. DIFFERENTIELLER WIRKUNGSQUERSCHNITT UND POTENTIAL 167
f
k
(#; ') =
1
4
Z
d
3
r
0
e
ike
r
r
0
U(r
0
)e
ikz
0
Der Exponent l
asst si h umformen:
ke
r
r
0
kz
0
= k
a
r
0
k
ein
r
0
= k
s
r
0
wobei wir den Streuwellenvektor
k
s
= k
a
k
ein
als Dierenz zwis hen auslaufender und einlaufender Welle einf
uhren.
k a= k e r
kein
= k e
k
einl. Welle
z
s
r
gestr. W
elle
θ
Streuwellenvektor
F
ur den diernetiellen Wirkungsquers hnitt ergibt si h demna h
(#; ') = jf
k
(#; ')j
2
=
1
16
2
Z
d
3
r
0
U(r
0
)e
ik
s
r
0
2
Es besteht also ein einfa her Zusammenhang zwis hen der Fouriertransformierten des
Streupotentials und des messbaren dierentiellen Wirkungsquers hnitts, zumindest in
1. Ordnung im Potential.
168 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE
13.9 Besipiel: di. Wirkungsquers hnitt beim Yukawa-
Potential
Wir bere hnen den Wirkungsquers hnitt des Yukawa-Potentials:
V (r) = V
0
e
r
r
wobei
r
0
= 1=
als Rei hweite bezei hnet wird. Bei r r
0
ist das Potential praktis h vers hwunden.
Das Coulomb-Potential kann als Spezialfall des Yukawa-Potentials mit unendli her
Rei hweite betra htet werden.
Mit U
0
=
2m
h
2
V
0
ergibt si h
f
k
(#; ') =
1
4
U
0
Z
d
3
rU(r)e
ik
s
r
= U
0
Z
1
0
rdr sin(jk
s
jr)
e
r
r
=
U
0
2
+ jk
s
j
2
Die L
ange von k
s
l
asst si h aus der Abbildung in 13.8 ablesen:
jk
s
j = 2k sin
#
2
D.h. der Streuquers hnitt h
angt nur vom Streuwinkel # und ni ht vom Winkel ' ab,
was s hon aus der Symmetrie des Yuakawa-Potentials bezg. Drehungen in der xy-Ebene
folgt. Man erh
alt s hlieli h:
Y u
(#) =
U
2
0
2
+ 4k
2
sin
2 #
2
13.9. BESIPIEL: DIFF.WIRKUNGSQUERSCHNITT BEIM YUKAWA-POTENTIAL169
σ
θπ0
Obwohl die Re hnung f
ur das Coulomb-Potential ni ht gilt (das in 13.3 geforderte
asymptotis he Verhalten gilt hier ni ht) liefert die Auswertung f
ur = 0 die ri htige
Formel (die Rutherfords he Streuformel):
C
(#) =
U
2
0
16k
4
sin
4 #
2
170 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE
Teil V
Magnetfeld und Spin
171
Kapitel 14
Geladenes Teil hen im
elektromagnetis hen Feld
wir untersu hen zun
a hst Teil hen ohne Spin, d.h. im Rahmen der bisherigen Be-
s hreibungsweise
14.1 Elektromagnetis heWe hselwirkung, klassis h
Problemstellung der Elektrodynamik: Str
ome und Ladungen sind gegeben. Aus den
Maxwell-Glei hungen folgen dann die Felder
E(r; t); B(r; t)
Oft verwendet man die elektrodynamis hen Potentiale
'(r; t); A(r; t)
aus denen die Felder eindeutig folgen:
E = r'
1
_
A
B = rA
Hier interessieren wir uns speziell f
ur den Ein u des elektromagnetis hen Feldes auf
die Bewegung eines Massepunktes. Es wirkt die Lorentzkraft
173
174KAPITEL 14. GELADENES TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELD
K(r;_r) = e
E(r; t) +
_r
B(r; t)
wobei e die Ladung und_r die Ges hwindigkeit des Teil hens bezei hnet, ist die Li ht-
ges hwindigkeit.
Die Newtons he Bewegungsglei hung f
ur ein sonst freies Teil hen im elektromagneti-
s hen Feld lautet dann
mr = K(r;
_r)
In der QM lehnt si h die mathematis he Bes hreibung an den Hamiltonformalismus
an. Aus der klassis hen Hamiltonfunktion
H = H(r;p)
folgen die Hamiltons hen Bewegungsglei hungen
_r
i
=
H
p
i
; _p
i
=
H
r
i
Dur h ineinander einsetzen der beiden Glei hungen muss die Newtons he Bewegungs-
glei hung herauskommen. D.h. E und B, bzw. ' und A m
ussen in die Hamiltonfunk-
tion eingebaut werden. Dies ges hieht dur h die sogenannte Minimalsubstitution. Das
Rezept lautet: ersetze den Teil henimpuls p dur h den neuen Impuls
p ! p
e
A
Das Potential ' l
at si h genau wie das me hanis he Potential behandeln. Man erh
alt
also in unserem Fall
H(r;p) =
1
2m
p
e
A
2
+ e'
14.2 Elektromagnetis heWe hselwirkung, quanten-
me hanis h
Die selbe Vorgehensweise wie in der kl. Me hanik f
uhrt auf
14.3. EICHINVARIANZ 175
^p !
^p
e
^
A
in der Ortsdarstellung
^
H =
1
2m
h
i
r
e
A
!
2
+ e'
=
h
2
2m
eh
2m i
(r A+A r) +
e
2
2m
2
A
2
+ e'
In der Coulomb-Ei hung l
at si h no h zus
atzli h der Term r A wegei hen, d.h. man
bestimmt das Ei hfeld (siehe n
a hster Abs hn.) so, da
r A = 0
gilt.
14.3 Ei hinvarianz
EIndeutig messbare Gr
oen sind nur E und B, ni ht aber A und '. Das heit, man hat
hier eine zus
atzli he Freiheit, was dur h die Ei htransformation zum Ausdru k kommt:
A
0
= A+rf
'
0
= '
1
_
f
Hier bedeutet f(r; t) das skalare Ei hfeld. Die Ei htransformation l
at die Felder E
und B unver
andert, und damit au h die Maxwell-Glei hungen. D.h. es besteht Ei hin-
varianz.
Dagegen ist die S hr
odingerglei hung ni ht ei hinvariant, da hier A und ' explizit
auftreten:
^
H
0
=
1
2m
h
i
r
e
A
e
rf
!
2
+ e'
e
_
f 6=
^
H
176KAPITEL 14. GELADENES TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELD
Abhilfe: Man muss die Wellenfunktion mit transformieren. Hier l
at si h ausnutzen,
da die Phase der WF keine mebare Gr
oe darstellt. Die globale Ei htransformation
0
(r; t) = (r; t)e
i
l
at alles unver
andert und bringt ni hts Neues. Dagegen f
uhrt die lokale Ei htransfor-
mation
0
(r; t) = (r; t)e
i(r;t)
zu zus
atzli hen Termen in der S hr
odingerglei hung, die diejenigen Terme, die dur h
Umei hung der elektromagnetis hen Potentiale auftreten, wieder kompensieren k
onnen.
D.h. die Physik ist ei hinvariant, wenn die L
osung von
^
H
0
0
= ih
_
0
zu den selben messbaren Ergebnissen f
uhrt, wie
^
H = ih
_
Dur h einsetzen der geei hten Funktion
0
erh
alt man
2
4
1
2m
h
i
r + hr
e
A
e
rf
!
2
+ e'
e
_
f
3
5
= ih
_
h _
Also muss gelten
hr =
e
rf
h _ =
e
_
f
was si h dur h
=
e
h
f
erf
ullen l
at. D.h. es besteht ein unmittelbarer Zusammenhang zwis hen dem elektro-
dynamis hen Ei hfeld und der lokalen Phase der Wellenfunktion.
14.4. BEISPIEL: TEILCHEN IM HOMOGENEN, ZEITL. KONSTANTEN MAGNETFELD177
- Die Ei hung von A und ' verursa ht eine lokale Ei hung von .
Messbar sind nur E, B, sowie Erwartungswerte der Form < O(^p; r) >, die si h jedo h
dur h die lokale Phasentransformation
andern w
urden. Rezept: Ersetze
uberall
^p !
^p
e
^
A
dann sind alle Erwartungswerte ei hinvariant.
14.4 Beispiel: Teil hen im homogenen, zeitl. kon-
stanten Magnetfeld
klassis h:
Spiralbahn durch Lorentzkraft
QM: Quantisierung des zirkularen Anteils an der Bewegung, Landau-Niveaus.
W
ahle
A =
0
B
By
0
0
1
C
A
; ' = 0
damit ist
rA = B; r A = 0
d.h. es gilt die Coulomb-Ei hung. F
ur die S hr
odingerglei hung erh
alt man
178KAPITEL 14. GELADENES TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELD
h
2
2m
ihe
m
By
x
+
e
2
2m
2
B
2
y
2
= E
Wegen
[H; p
x
= [H; p
z
= 0
muss si h als gemeinsame Eigenfunktion zu H, p
x
und p
z
(ebene Wellen) ansetzen
lassen. Man ma ht den Produktansatz
(r) = C(y)e
i(k
x
x+k
z
z)
Eingesetzt ergibt si h f
ur C(y) die Glei hung eines vers hobenen harmonis hen Oszil-
lators:
h
2
2m
d
2
C(y)
dy
2
+
ehk
x
m
ByC(y) +
e
2
B
2
2m
2
y
2
C(y) =
"
E
h
2
2m
(k
2
x
+ k
2
z
)
#
C(y)
Mit den Substitutionen
y = y
0
hk
x
eB
~
E = E
h
2
k
2
z
2m
!
0
=
eB
m
; Zyklotronfrequenz
erh
alt man
h
2
2m
d
2
C(y
0
)
dy
02
+
m!
2
0
2
y
02
C(y
0
) =
~
EC(y)
die Glei hung eines harmonis hen Oszillators. Damit erhalten wir f
ur die Energienive-
aus:
E
n
=
eh
m
B
n+
1
2
| z
in xy-Ebene quantisiert
+
h
2
2m
k
2
z
| z
freies Teil hen in z
14.5. AM ATOMKERNGEBUNDENES ELEKTRON IM
AUSSERENMAGNETFELD179
14.5 Am Atomkern gebundenes Elektron im
aue-
ren Magnetfeld
B sei homogen und konstant. Mit
A =
1
2
B r
gilt wieder
rA = 0; r A = 0
Wir betra hten die S hr
odingerglei hung
2
6
6
6
4
h
2
2m
eh
2m i
0
r A
| z
=0
+A r
| z
=V
1
1
A
+
e
2
2m
2
A
2
| z
=V
2
+e'
3
7
7
7
5
= E
mit dem Kernpotential ' = e=r. Zun
a hst bere hnen wir V
1
. Mit
A r =
1
2
(B r) r =
i
2h
B
r
h
i
r
!
= B
^
L
erhalten wir
^
V
1
=
e
2m
B
^
L B
oder
=
e
2m
^
L Operator des magnetis hen Moments
F
ur V
2
ergibt si h
^
V
2
=
e
2
8m
2
(B r)
2
= B
ind
mit dem induzierten magnetis hen Moment, wel hes proportional zum
aueren Feld
ist.
180KAPITEL 14. GELADENES TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELD
ind
=
e
2
8m
2
(r (rB))
^
V
1
bes hreibt also die paramagnetis hen Eigens haften,
^
V
2
die diamagnetis hen eines Stoes.
Zuletzt werten wir den Beitrag von
^
V
1
in 1.Ordnung St
orungstheorie aus. Wir w
ahlen
B in z-Ri htung:
B = Be
z
Man erkennt, da die m-Entartung aufgehoben wird:
E
(1)
n`m
=< n`mj
^
V
1
jn`m >=
eh
2m
e
B < n`mj
^
L
z
jn`m >=
eh
2m
e
mB
B=0
1s
2p
B=0
m=+1
m=0
m=-1
m=0
Die Auswahlregeln f
ur die Dipolstrahlung (vgl. 11.6.2) erlauben
Uberg
ange mit m =
0;1, d.h. alle 3 Linien sind im Spektrum enthalten. Das Magnetfeld bewirkt eine
Frequenzvers hiebung um die Lamorfrequenz
!
L
=
eB
2m
e
Es handelt si h hierbei um den normalen Zeemann-Eekt
Kapitel 15
Teil hen mit Spin 1/2
Bisher betra hteten wir Teil hen, die dur h die inneren Freiheitsgrade Masse und La-
dung harakterisiert wurden. Als weitere Gr
oe fordern experimentelle Gr
unde das
Vorhandensein eines Spins, der bei geladenen Teil hen an ein magnetis hes Moment
gekn
upft ist und ans hauli h die Rolle eines Drehimpulses hat. Wir unters heiden ver-
s hiedene Teil hensorten:
Fermionen, das sind Teil hen mit halbzahligem Spin. Hierzu geh
oren alle Teil hen,
die die Atome aufbauen und Masse haben, also Elektronen, Protonen und Neutro-
nen. Sie gehor hen dem Paulis hen Auss hlieungsprinzip, d.h. zwei Teil hen mit
halbzahligem Spin m
ussen si h in mindestens einer Quantenzahl unters heiden.
Bosonen, Teil hen mit ganzzahligem oder vers hwindendem Spin, z.B Photonen,
Vektorbosonen, et .. Bosonen sind oft virtuelle Teil hen und werden in Ei htheo-
rien zum Austaus h von We hselwirkungskr
aften zwis hen Fermionen verwendet.
Beispiel elektromagn. WW. zwis hen zwei Elektronen. Die beiden Elektronen tau-
s hen virtuelle Photonen aus und
ubertragen somit Impuls und Energie. Bosonen
gehor hen ni ht dem Pauli-Prinzip, d.h. beliebig viele Bosonen k
onnen in einem
einzigen Grundzustand sein (Bose-Einstein-Kondensation).
15.1 Experimentelle Gr
unde
Stern-Gerla h-Versu h: Teil hen haben magnetis hes Moment. Die Analogie zu einer
rotierenden Kugel legt
/ L
181
182 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
nahe, wobei L der Eigendrehimpuls der Kugel ist. Im Magnetfeld ist die Energie der
rotierenden Kugel gegeben als
V = B
die Kraft, die dur h das Magnetfeld verursa ht wird, ist
K = rV = ( r)B
Um eine ni htvers hwindende Kraft zu erhalten, muss das Magnetfeld also inhomogen
sein.
geladene
inhomogenes B
Teilchen
zwei Arten von Teilchen
zµ = +
1/2mit Spin
eh/2m
Idee: wegen / L sollte L nur zwei (Spin-1/2 Teil hen) Einstellm
ogli hkeiten im Feld
haben. Wegen
m = `:::`
muss also hier ` = 1=2 gelten. Man erh
alt dann die beiden M
ogli hkeiten
m = 1=2; Spin na h oben; m = 1=2; Spin na h unten
Wir legen also ` = S = 1=2 fest f
ur alle Spin-1/2-Teil hen. Wir su hen jetzt den dem
Spin zugeordneten Operator. Beim Bahndrehimpuls gilt f
ur die We hselwirkung mit
einem Magnetfeld
B =
e
2m
^
L
^
B
Wir lassen uns davon leiten und fragen na h dem dem magnrtis hen Moment des
Elektrons zugeordneten Operator
15.2. SPINOPERATOREN 183
15.2 Spinoperatoren
Die Spinzust
ande lassen si h dur h die Quantenzahlen S und S
z
eindeutig bes hreiben.
Vers hiedene S hreibweisen sind gebr
au hli h:
jS; S
z
>=
(
j
1
2
;
1
2
> = j
1
2
> = j ">
j
1
2
;
1
2
> = j
1
2
> = j #>
wobei die jeweils letzten beiden Notationen eindeutige Abk
urzungen sind, wenn man
S = 1=2 annimmt und S
z
die Rolle der magnetis hen Quantenzahl m
ubernimmt.
z z
1/2
-1/2
Zwei Zust
ande
Eweiterung des Hilbertraums um zwei Dimensionen
H
G
= H
B
H
S
wobei H
B
den bisherigen, unendli h dimensionalen Hilbertraum der Elektronenbahnen
be hreibt. Die Wellenfunktionen lassen si h dann als Produkte der Form
j
G
>= j
B
> jS
z
>
Wir w
ahlen eine Basis in H
S
so, dass
j ">=
1
0
!
; j #>=
0
1
!
gilt. F
ur den Erwartungswert der z-Komponente des magnetis hen Momentes kennt
man aus dem Experiment
<" j
z
j ">=
eh
2m
184 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
Wir denieren den Spinoperator S
z
gem
a
z
= g
s
e
2m
^
S
z
= g
s
q
2m
^
S
z
mit dem gyromagnetis hen Faktor g
s
, der im folgenden bestimmt wird. Es gilt also
g
s
<" j
^
S
z
j ">= h; g
s
<# j
^
S
z
j #>= h (15.1)
sowie
g
s
<" j
^
S
z
j #>= g
s
<# j
^
S
z
j ">= 0
Daraus folgt eindeutig die Spinoperatorkomponente
^
S
z
=
h
g
s
1 0
0 1
!
Dass es si h hierbei um eine 2x2-Matrix handeln muss, ist klar. Alle Spinoperatoren
wirken ja nur auf den zweidimensionalen Unterraum H
S
, der dur h obige Basis aufge-
spannt wird. Weiterhin gilt
^
S
z
jS
z
>= S
z
hjS
z
>
und daraus
< S
z
j
^
S
z
jS
z
>= S
z
h
was zusammen mit (15.1) auf
S
z
g
s
= 1; g
s
= 2
f
uhrt. Wir bere hnen jetzt die Operatoren der beiden anderen Spinkomponenten. Da
es si h um Drehimpulskomponenten handelt, m
ussen wir fordern
[
^
S
x
;
^
S
y
= ih
^
S
z
und zyklis h. Auerdem haben wir no h die Glei hung
15.2. SPINOPERATOREN 185
^
S
2
jS
z
>= h
2
S(S + 1)jS
z
>=
3
4
h
2
jS
z
>
Mit der Umformung
^
S
2
=
^
S
2
x
+
^
S
2
y
+
^
S
2
z
=
^
S
2
x
+
^
S
2
y
+
h
2
4
ergibt si h daraus
(
^
S
2
x
+
^
S
2
y
)jS
z
>=
h
2
2
jS
z
>
Dies gilt si her, wenn
^
S
2
x
=
^
S
2
y
=
h
2
4
^
1 =
^
S
z
Zusammen mit den Vertaus hungsrelationen l
at si h das nur erf
ullen, wenn
^
S
x
=
h
2
0 1
1 0
!
;
^
S
y
=
h
2
0 i
i 0
!
Zum S hlu f
uhren wir no h die Pauli-Matrizen ein
^
S =
h
2
die dann die Form
x
=
0 1
1 0
!
;
y
=
0 i
i 0
!
;
z
=
1 0
0 1
!
haben. f
ur Sie gelten wieder Drehimpulsvertaus hungsrelationen
[
x
;
y
= 2i
z
; et .
186 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
15.3 Die Pauli-Glei hung
Bes hreibung von Teil hen mit Spin 1/2 im
aueren Magnetfeld. Es gilt
^
H
s
=
S
B = g
s
e
2m
B
^
S =
eh
2m
| z
=
B
B
Die Gesamtwellenfunktion muss jetzt ein zweikomponentiger Vektor sein, z.B. in Orts-
darstellung:
G
(r; t) =
"
(r; t)
#
(r; t)
!
D.h. j
"
(r; t)j
2
gibt die Wahrs heinli hkeit an, zur Zeit t am Ort r ein Teil hen mit
Spin na h oben zu nden. Wir formulieren die Pauli-Glei hung analog zur S hr
odin-
gerglei hung:
^
H
P
j >= ihj >
Mit dem Pauli-Hamiltonoperator
^
H
P
=
1
2m
^
P
e
^
A
2
e'+
B
B
=
1
2m
^
P
2
e'B
ind
+
e
2m
B
^
L+ g
s
^
S
Und damit f
ur die Pauliglei hung in der Ortsdarstellung:
ih
_
"
_
#
!
=
1
2m
ihr
e
A
2
e'
!
_
"
_
#
!
+
B
B
_
"
_
#
!
d.h. man erh
alt zwei dur h das Magnetfeld, bzw. das magnetis he Moment des Elek-
trons gekoppelte, partielle Dgls.
15.4 Die Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung)
Das um den Kern bewegte Elektron sieht ein Magnetfeld, verursa ht dur h das statis he
Kernfeld. Dadur h entsteht die Feinstrukturaufspaltung der Spektralinien, au h ohne
aueres Magnetfeld.
15.5. ZUR ADDITION VON DREHIMPULSEN 187
Im Laborsystem (Kern in Ruhe) gilt:
E =
er
r3
= r'; ' = e=r
B = 0
In einem mit v bewegten System gilt (Lorentz-Transformation der Felder) bis zur
Ordnung v= :
E
0
E
B
0
1
v E
und damit f
ur den Hamiltonoperator, den das Elektron sieht:
^
H
`s
=
e
m
B
0
S
e
m
2
S (v E) =
e
2
m
2
2
r
3
L S
Die Herleitung war klassis h, auerdem bezieht sie si h auf den Fall, bei dem v konstant
ist. Die exakte Herleitung folgt aus der Dira -Glei hung (siehe Teil VI). Sie liefert den
um einen Faktor 2 vers hiedenen Ausdru k:
^
H
`s
=
Ze
2
2m
2
2
L S
r
3
15.5 Zur Addition von Drehimpulsen
Betra hte ein System, dass dur h zwei Drehimpulse harakterisiert wird, z.B. L und S
oder allgemeiner J
1
und J
2
. Klassis h l
at si h der Gesamtdrehimpuls
J = J
1
+ J
2
denieren. In der QM gibt es prinzipiell zwei M
ogli hkeiten, Zust
ande dur h zwei Dre-
himpulse zu bes hreiben.
Beispiel Wassersto-Elektron mit Spin:
j`;m; S; S
z
>= j`;m > jS; S
z
>
188 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
Dies sind simultane Eigenzust
ande zu
^
L
2
;
^
S
2
;
^
L
z
;
^
S
z
. Ber
u ksi htigt man im Hamilton-
operator die LS-Kopplung, dann gilt
^
H =
^
H(
^
L
2
;
^
S
2
;
^
L
^
S)
d.h.,
^
L und
^
S vertaus hen ni ht mehr mit
^
H und die zugeh
origen Quantenzahlen
k
onnen ni ht mehr zur Charakterisierung der Eigenzust
ande von
^
H verwendet wer-
den. Stattdessen gilt aber wegen
^
J
2
=
^
L
2
+
^
S
2
+ 2 (
^
L
^
S)
au h
(
^
L
^
S) =
1
2
(
^
J
2
^
L
2
^
S
2
)
und deshalb
^
H =
^
H(
^
L
2
;
^
S
2
;
^
J
2
)
Es vertaus ht also
^
H sowohl mit
^
L
2
;
^
S
2
, als au h mit
^
J
2
, d.h. es lassen si h simulta-
ne Eigenzust
ande zu
^
H und den drei Drehimpulsquadrat-Operatoren nden. Dies ist
Ausdru k f
ur die trotz LS-Kopplung immer no h erhaltene Drehinvarianz des ganzen
Systems.
Wir betra hten den allgemeinen Fall f
ur zwei beliebige Drehimpulse J
1
und J
2
, wobei
es si h also ni ht unbedingt um Spins handeln muss. Es sei
^
J =
^
J
1
+
^
J
2
; [
^
J
1
;
^
J
2
= 0
Wir untersu hen das VONS
jj; j
1
; j
2
; m >
wobei j; j
1
; j
2
die Betr
age der Drehimpulse undm die z-Komponente von
^
J quantisieren
sollen. Es gilt also wie f
ur alle Drehimpulse
15.5. ZUR ADDITION VON DREHIMPULSEN 189
^
J
2
jj; j
1
; j
2
; m > = j(j + 1)h
2
jj; j
1
; j
2
; m >
^
J
2
1
jj; j
1
; j
2
; m > = j
1
(j
1
+ 1)h
2
jj; j
1
; j
2
; m >
^
J
2
2
jj; j
1
; j
2
; m > = j
2
(j
2
+ 1)h
2
jj; j
1
; j
2
; m >
^
J
z
jj; j
1
; j
2
; m > = mhjj; j
1
; j
2
; m >
Die Transformation von den Produktzust
anden auf die neuen Zust
ande ist unit
ar und
lautet allgemein
jj; j
1
; j
2
; m >=
X
m
1
;m
2
C(j
1
; j
2
; j;m
1
; m
2
; m)jj
1
; m
1
; j
2
; m
2
>
mit den Clebs h-Gordon-KoeÆzienten (man hmal au h Wigner-KoeÆzienten genannt)
C(j
1
; j
2
; j;m
1
; m
2
; m) =< j
1
; m
1
; j
2
; m
2
jj; j
1
; j
2
; m >
Wir fragen na h dem Werteberei h von j und m. Wegen
^
j
z
=
^
j
1z
+
^
j
2z
folgt sofort
m = m
1
+m
2
d.h die Doppelsumme
uber m
1
; m
2
geht in eine Einfa hsumme
uber. F
ur festes j; j
1
; j
2
gilt
m = j;j + 1;j + 2::::j 1; j
und
j
max
= j
1
+ j
2
; m
max
= j
1
+ j
2
und entspre hend
j
min
= jj
1
j
2
j
190 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
d.h. es gilt die Dreie ksunglei hung
jj
1
j
2
j j j
1
+ j
2
ganz analog zur klassis hen Vektorrelation
jJ
1
J
2
j jJj jJ
1
+ J
2
j
F
ur eine ausf
uhrli he Diskussion siehe z.B. Nolting V,2, S. 75-85.
Wir untersu hen das Beispiel H-Atom mit Spin 1/2, also
j
1
= `; j
2
= 1=2; m
2
= 1=2
Auerdem gilt dann
`
1
2
j `+
1
2
Mit m
1
= mm
2
ergibt si h die Transformation auf die Basis des Gesamtdrehimpuls
zu
jj = ` 1=2; `; 1=2; m > = C(`; 1=2; j;m 1=2; 1=2; m)j`;m 1=2; 1=2; 1=2 >
+C(`; 1=2; j;m+ 1=2;1=2; m)j`;m+ 1=2; 1=2;1=2 >
F
ur die beiden Clebs h-Gordon-KoeÆzienten erh
alt man (siehe z.B. Abramowitz, Hand-
book of Mathemati al Fun tions):
C(`; 1=2; j;m 1=2; 1=2; m) =
s
`m + 1=2
2`+ 1
C(`; 1=2; j;m+ 1=2;1=2; m) =
s
`m+ 1=2
2`+ 1
In Ortsdarstellung erhalten wir den 2-dimensionalen Spinor
Y
`1=2;m
`;1=2
(; ') =
1
p
2`+ 1
0
q
`m+ 1=2 Y
`;m1=2
(; ')
q
`m+ 1=2 Y
`;m+1=2
(; ')
1
A
15.5. ZUR ADDITION VON DREHIMPULSEN 191
Abs hlieend geben wir no h die allgemeine Form der Clebs h-Gordon-KoeÆzienten
f
ur beliebige halb- oder ganzzahlige Indizes an:
C(j
1
; j
2
; j;m
1
; m
2
; m) = Æ
m;m
1
+m
2
v
u
u
t
(j
1
+ j
2
j)!(j + j
1
j
2
)!(j + j
2
j
1
)!(2j + 1)
(j + j
1
+ j
2
+ 1)!
X
k
(1)
k
q
(j
1
+m
1
)!(j
1
m
1
)!(j
2
+m
2
)!(j
2
m
2
)!(j +m)!(j m)!
k!(j
1
+ j
2
j k)!(j
1
m
1
k)!(j
2
+m
2
k)!(j j
2
+m
1
+ k)!(j j
1
m
2
+ k)!
192 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
Ein paar Clebs h-Gordon-KoeÆxienten, aus Abramowitz:
15.6. SPIN-BAHN-KOPPLUNG UND
AUSSERES MAGNETFELD 193
15.6 Spin-Bahn-Kopplung und
aueres Magnetfeld
gute Quantenzahlen: Eigenwerte von Operatoren, die mit
^
H vertaus hen. Die Ob-
servablen sind glei hzeitig mit E s harf mebar und daher Erhaltungsgr
oen.
s hle hte Quantenzahlen: Eigenwerte von Operatoren, die mit
^
H ni ht vertaus hen.
Die Observablen sind keine Erhaltungsgr
oen.
15.6.1 Wasserstoproblem ohne Spin
kein
aueres Feld, kein Spin
^
H =
^
H
0
=
p
2
2m
e'(r)
a.)
^
L
2
;
^
L
z
;
^
S
2
;
^
S
z
vertaus hen mit
^
H
0
, daher sind `;m; s; s
z
gute QZ.
b.)
^
J
2
;
^
J
z
;
^
S
2
;
^
L
2
vertaus hen mit
^
H
0
, daher sind j;m
j
; s; ` gute QZ.
Die Eigenwerte E
n
zu einem bestimmten Bahndrehimpuls mit QZ ` sind
g = (2`+ 1)(2s+ 1)
fa h entartet. In der Wahl
a.)
jm
`
; s
z
> m
`
= `:::`; (2`+ 1)
s
z
= s:::s; (2s+ 1)
g = (2`+ 1)(2s+ 1)
b.)
jj;m
j
> j = `+ s:::j` sj; (2s+ 1)
m
j
= j:::j; (2j + 1)
g =
P
`+s
j=`s
(2j + 1) = 2
P
j + 2s+ 1 = 2`(s+ 1) + 2s+ 1 = (2`+ 1)(2s+ 1)
15.6.2 Wasserstoproblem mit Spin-Bahn-Kopplung
kein
aueres Feld
^
H =
^
H
0
+H
`s
Es war
194 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
^
H
`s
=
e
2
2m
2
2
r
3
^
L
^
S = W (r)
^
L
^
S =
1
2
W (r)
^
J
2
^
L
2
^
S
2
a.) Wegen
[
^
L
z
;
^
H 6= 0; [
^
S
z
;
^
H 6= 0
sind m
`
und s
z
keine guten QZ mehr.
b.) jj; `; s;m
j
> ist dagegen die ri htige Wahl, da alle dazugeh
orenden Operatoren mit
^
H vertaus hen.
Die Korrektur der LS-Kopplung liefert in 1.Ordnung St
orungstheorie:
E
(1)
= < j; `; s;m
j
j
^
H
`s
jj; `; s;m
j
>=
1
2
< j; `; s;m
j
jW (r)
^
J
2
^
L
2
^
S
2
jj; `; s;m
j
>
=
1
2
Z
1
0
R
2
n`
W (r)r
2
dr
| z
=W
n`
h
2
[j(j + 1) `(`+ 1) s(s+ 1)
Weil j = j` sj:::` + s, spalten die vorher g-fa h entarteten Niveaus jetzt in 2s + 1
vers hiedene Niveaus auf, von denen jedes nur no h 2j + 1-fa h entartet ist. Dies ist
Ausdru k der immer no h vorhandenen Rotationsinvarianz des Gesamtproblems, d.h.
die Einstellm
ogli hkeiten des Gesamtdrehimpulses J f
uhren zu den selben Energiewer-
ten.
Die Aufspaltung wird als Feinstruktur bezei hnet und mit
n
(2s+1)
L
j
; L = S; P;D; F; :::; entspre hend ` = 0; 1; 2; 3; :::
klassiziert. Wie immer ist n die Hauptquantenzahl.
Beispiel s = 1=2, (H,Na, et )
15.6. SPIN-BAHN-KOPPLUNG UND
AUSSERES MAGNETFELD 195
2
2
2
22 p
g=21 s
2 p
1 s
2 p3/2
(1)E 2,1/2,1
Na-D-Linien
(1)
1/2
1/2
2
E 2,3/2,1
g=2
H0
H + H0 ls
g=2
g=6
g=4
ÆE
(1)
nj`
=
h
2
2
W
n`
(
`; j = `+ 1=2
` 1; j = ` 1=2
15.6.3 Wasserstoproblem mit
auerem Magnetfeld
mit Spin, zun
a hst aber ohne LS-Kopplung
^
H =
^
H
0
+
^
H
M
^
H
M
=
e
2m
e
B (
^
L+ g
s
^
S) =
e
2m
e
B
| z
=!
L
(
^
L
z
+ 2
^
S
z
)
Wobei B wieder inz-Ri htung angenommen wurde. Wegen
[
^
J
2
;
^
H 6= 0
ist j keine gute QZ mehr. Die ri htige Wahl ist also
a.) j`;m; s; s
z
>
und man erh
alt in 1.Ordnung St
orungstheorie den Beitrag
E
(1)
= h!
L
(m+ 2S
z
)
wie bei Zeeman-Eekt, nur mit zus
atzli hem Spin.
196 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
15.6.4 Wasserstoproblem mit Magnetfeld und LS-Kopplung
^
H =
^
H
0
+
^
H
M
+
^
H
`s
Jetzt gilt
[
^
L
z
;
^
H 6= 0; [
^
S
z
;
^
H 6= 0; [
^
J
2
;
^
H 6= 0
d.h. m; `; j sind keine guten QZ mehr und weder Wahl a) no h Wahl b) funktioniert.
Wir bes hr
anken die Diskussion daher auf die beiden Extremf
alle:
1. S hwa hes Magnetfeld, f
uhrt zum anormalen Zeeman-Eekt
2. Starkes Magnetfeld f
uhrt zum Pas hen-Ba k-Eekt
Wobei stark und s hwa h si h realtiv zum Beitrag dur h die LS-Kopplung bezieht.
1. Hier wird der dominierende Eekt die Feinstrukturaufspaltung wie in Abs hn. 15.6.2
sein, plus einer zus
atzli hen s hwa hen St
orung dur h das Magnetfeld. Wir verwenden
daher die Wahl b.) und erhalten f
ur die zus
atzli he Aufspaltung
E
(1)
M
= !
L
< j; `; s;m
j
j
^
L
z
+ 2
^
S
z
| z
^
J
z
+
^
S
z
jj; `; s;m
j
>
= !
L
hm
j
+ < j; `; s;m
j
j
^
S
z
jj; `; s;m
j
>
Wir bere hnen < j; `; s;m
j
j
^
S
z
jj; `; s;m
j
>. Dazu verwenden wir die Hilfsformel
1
Ih
[
^
S
^
J;
^
L
^
S =
^
S
^
J
2
^
J(
^
S
^
J)
Wir bilden den Erwartungswert (Abk
urzung > f
ur jj; `; s;m
j
>)
< [
^
S
^
J;
^
L
^
S > =
1
2
< (
^
S
^
J)(
^
J
2
^
L
2
^
S
2
) >
1
2
< (
^
J
2
^
L
2
^
S
2
)(
^
S
^
J) >
=
1
2
h
2
[j(j + 1) `(`+ 1) s(s+ 1) [< (
^
S
^
J) > < (
^
S
^
J) >
| z
=0
= 0
15.6. SPIN-BAHN-KOPPLUNG UND
AUSSERES MAGNETFELD 197
Damit muss aber au h der Erwartungsert der re hten Seite der Hilfsformel vers hwin-
den:
<
^
S
^
J
2
>=<
^
J(
^
S
^
J > (15.2)
Wir verwenden
^
S
^
J =
1
2
(
^
J
2
^
L
2
+
^
S
2
)
Betra hten wir die z-Komponente von (15.2):
<
^
S
z
^
J
2
>=
1
2
<
^
J
z
(
^
J
2
^
L
2
+
^
S
2
) >
so haben wir jetzt auer
^
S
z
nur no h Operatoren, zu denen unsere Zust
ande Eigen-
funktionen sind, d.h. wir k
onnen weiter umformen
h
2
j(j + 1) <
^
S
z
>=
1
2
h
3
m
j
[j(j + 1) `(`+ 1) + s(s+ 1)
und aufgel
ost endli h
<
^
S
z
>=
1
2
hm
j
j(j + 1) `(`+ 1) + s(s+ 1)
j(j + 1)
Damit l
at si h die zus
azli he Energieaufspaltung im Magnetfeld s hreiben als
E
(1)
M
= h!
L
m
j
wobei
1 +
j(j + 1) `(`+ 1) + s(s+ 1)
2j(j + 1)
als Landes her g-Faktor der LS-Kopplung bezei hnet wird.
Es ergibt si h folgendes Niveaus hema:
198 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2
m =j -3/2
m =j -1/2
m =
1/2
m =j -1/2
m =
jm =
-1/2j
j
g=6
g=2
g=4
g=2
γ=2
γ=2/3
γ=4/3
g=2s
1/2
m =j 3/2
p
1/2
0 lsH + H + H
ls
jm =
M0 H + H 0 H
2. Der Fall starkes Magnetfeld wird die LS-Kopplung aufbre hen, so dass si h Spin
und Bahndrehimpuls mehr oder weniger unabh
angig zumMagnetfeld einstellen k
onnen.
Die LS-Kopplung wird also als St
orung des Zeeman-Eekts mit Spin (Abs hn. 15.6.3)
in Ers heinung treten.
Wir w
ahlen die Darstellung a.), d.h. wir verwenden wieder die QZm;S
z
; `; s. Die dur h
das Magnetfeld hervorgerufene Niveauaufspaltung ist wie vorher
E
(1)
M
= h!
L
(m+ 2S
z
)
Zus
atzli h kommt die LS-Kopplung dazu:
E
(1)
`s
= W
n`
< `;m; s; s
z
j
^
L
^
Sj`;m; s; s
z
> W
n`
h
2
mS
z
Die letzte N
aherung bestand darin, anzunehmen, dass die x,y- Komponenten der
Drehimpulse weitgehend unkorreliert sind, was streng genommen nur bei kompletter
Zerst
orung der LS-Kopplung und daher bei unendli h groem Magnetfeld gilt. D.h. wir
n
ahern:
^
L
^
S =
^
L
x
^
S
x
+
^
L
y
^
S
y
| z
0
+
^
L
z
^
S
z
^
L
z
^
S
z
Wir erhalten also folgende
Uberg
ange:
15.6. SPIN-BAHN-KOPPLUNG UND
AUSSERES MAGNETFELD 199
0 -1/2
-1 -1/2
0
1/2
1-1 1/2
-1/2
0
-1
-2
1
-1
s
p 0
-1/2
1/2
2-fachentartet
2
1
1/2
2 h ωL
m +2Szl ml Sz
1
0
Dipolauswahlregel: l = 1, m
l
= 0;1, S
z
= 0. Man sieht also drei Linien, wie
beim normalen Zeeman-Eekt.
200
KAPITEL15.TEILCHENMITSPIN1/2
m =j 1/2
m =j -1/2
m =j -1/2
m =j 1/2
m =j -3/2
m =j -1/2
m =j 1/2
m =j 3/2
∆ m = 0, +1, -1 ∆ m = 0, +1, -1 ∆ m = 0, +1, -1
∆ Sz = 0 ∆ Sz = 0
H0 H + H 0 ls H + H + H
ls0 M
p
s
g=6
g=2
g=4
g=2
g=2
m Sz
1 1/2
0 1/2
-1 1/2 1 -1/2
0 -1/2
-1 -1/2
0 1/2
0 -1/2
Feinstruktur Anomaler Zeeman-Effekt Paschen-Back-Effekt
j
ohne LS-Kopp. B=0 B-Feld nimmt zu
(jede doppelt)
g=2
g=1
g=1
g=1
g=1
g=1
g=1
1 Linie 2 Linien 10 Linien 3 Linien
Teil VI
Grundlagen der relativistis hen
Quantenme hanik
201
Kapitel 16
Herleitung der Dira -Glei hung
16.1 Erinnerung an die relativistis he Me hanik
16.1.1 Vierervektoren und Minkowski-Metrik
Man formuliert die klassis he Me hanik kovariant, d.h. invariant unter Lorentztrans-
formationen. Dies gelingt dur h das Einf
uhren von Vierervektoren, d.h. jeweils eine
Zeitkomponente wird mit drei Raumkomponenten so in Verbindung gebra ht, da si h
das Resultat als Vektor unter Lorentztransformationen transformiert. Beispiel:
r; t ! x
; fx
g
wobei
fx
g =
t
r
!
bezei hnet. Zur Notation: r sind die
ubli hen, dreikomponentigen Vektoren im Orts-
raum, x
bedeutet die -te Komponente des (kontravarianten) Vierervektors fx
g. Die
erste (nullte) Komponente x
0
wird als \Zeitkomponente" bezei hnet, die anderen drei
als \Raumkomponenten". Wenn fx
g einen Vierervektor bildet, so ist das Skalarpro-
dukt S:
S = g
x
x
= t
2
r
2
invariant unter Lorentztransformationen und damit denitionsgem
a ein Lorentz-Skalar.
Hier und im folgenden verwenden wir die Einsteins he Summenkonvention, d.h.
uber
auf einer Seite doppelt auftretende (grie his he) Indizes wird von 0 bis 3 summiert.
203
204 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
Der Tensor g
wird Minkowskis her Metriktensor genannt und hat die Form
fg
g =
0
B
B
B
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
C
C
C
A
S = 0 bes hreibt die Ober
a he einer Kugel, deren Radius mit Li htges hwindig-
keit w
a hst. Das entspri ht der Ausbreitung eines Li htblitzes, der zur Zeit t = 0 am
Ort r = 0 war. Die Invarianz unter Lorentz-Transformationen bedeutet nun, da die-
ser Li htblitz in allen Inertialsystemen die glei he Form einer Kugel hat. Das ist das
grundlegende Axiom der speziellen Relativit
atstheorie.
16.1.2 Eigenzeit
Die Zeit, die in einem Inertialsystem verstrei ht, das si h mit v bewegt, ist gegeben als
=
t
;
1
q
1
v
2
2
H
angt v von t ab, so gilt no h der dierentielle Zusammenhang
d =
dt
Hierbei ist d ein Lorentz-Skalar,
16.1.3 Viererges hwindigkeit
Wir denieren den Vierervektor
v
=
dx
d
und erhalten
fv
g =
v
!
als relativistis he Verallgemeinerung der Ges hwindigkeit. Es gilt die wi htige Relation
g
v
v
=
2
(
2
v
2
) =
2
= onst
16.1. ERINNERUNG AN DIE RELATIVISTISCHE MECHANIK 205
16.1.4 Viererimpuls
Wir denieren
p
= m
0
v
als Viererimpuls eines Teil hens, wobeim
0
dessen Ruhemasse darstellt und ein Lorentz-
Skalar ist. Die Newtons hen Glei hungen lassen si h kovariant formulieren:
d
d
p
= K
(16.1)
wobei fK
g die verallgemeinerte Viererkraft darstellt. In
Ubereinstimmung mit New-
ton muss gelten
K
i
= K
N
i
; i = 1; 2; 3
wobei K
N
der Newtons he Kraftvektor ist. Wir bere hnen K
0
. Multiplikation von
(16.1) mit p
ergibt
g
p
d
d
p
=
1
2
d
d
g
p
p
=
1
2
d
d
m
2
0
2
= 0
Dann gilt au h
g
p
K
= v
0
K
0
2
v K = 0
und damit
K
0
=
v K
Aus der 0-ten Komponente von (16.1) wird
d
d
p
0
=
d
d
m
0
= K
0
=
v K
oder
d
dt
m
0
2
q
1
v
2
2
= v K
206 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
Auf der re hten Seite steht die dur h das Kraftfeld am Teil hen geleistete Arbeit/Zeit,
was der Energie
anderung des Teil hens entspri ht. Folgli h mu der Ausdru k
E =
m
0
2
q
1
v
2
2
= m
2
der gesamten (Ruheenergie + kinetis her Energie) Energie des Teil hens entspre hen.
In
aueren Kraftfeldern k
ame no h die potentielle Energie dazu. Damit k
onnen wir
aber au h p
0
dur h E ausdr
u ken und erhalten s hlieli h den Viererimpuls
fp
g =
E
p
!
wobei jetzt also die Energie die Zeitkomponente zu den drei Raumkomponenten des
Newtons hen Impulses bildet.
16.1.5 Energie-Impuls-Relation
Aus dem Viererimpuls bere hnet man
g
p
p
=
E
2
2
p
2
= m
2
0
g
v
v
= m
2
0
2
Na h E aufgel
ost:
E =
q
m
2
0
4
+ p
2
2
(16.2)
Eine Entwi klung na h v= liefert den ni htrelativistis hen Ausdru k plus Ruheenergie
in erster N
aherung:
E m
0
2
+
p
2
2m
0
+O(p
4
=
2
)
16.2 Quantisierung
Die de Jordans hen Regeln erweisen si h als kovariant, da dadur h der Impulsvierer-
vektor in den Vierer-Nablaoperator
ubergeht:
16.3. DIE DIRAC-GLEICHUNG DES FREIEN ELEKTRONS 207
E
p
!
! ih
(
x
)
Die S hr
odingerglei hung f
ur das freie Teil hen erhielten wir formal aus der Anwendung
der Jordans hen Regeln auf die ni htrelativistis he Energie-Impulsbeziehung
E =
p
2
2m
Genauso versu hen wir jetzt (16.2) zu quantisieren. Das Problem ist die Wurzel. Ein
Dierentialoperator unter einer Wurzel f
uhrt auf einen ni htlokalen Zusammenhang,
oder, was das selbe ist, auf unendli h hohe Ableitungen (dur h Taylor-Entwi klung
der Wurzel). Beides ist in der QM ni ht brau hbar. Klein, Gordon und S hr
odinger
versu hten daher zun
a hst, das Quadrat von (16.2) zu quantisieren:
E
2
= m
2
0
4
+ p
2
2
!
1
2
2
t
2
=
"
m
2
0
2
h
2
#
was auf eine Wellenglei hung mit zus
atzli hem Masseterm f
uhrt. Diese Glei hung wird
Klein-Gorden-Glei hung genannt. F
ur Teil hen mit Ruhemasse m
0
= 0 geht sie in die
Wellenglei hung aus der Elektrodynamik
uber. Eine andere S hreibweise ist
2 =
m
2
0
2
h
2
mit dem \Quabla-Operator" (oder oÆziell dem d'Alembert-Oberator)
2
1
2
2
t
2
16.3 Die Dira -Glei hung des freien Elektrons
Kritikpunkte an KG-Glei hung:
KG ist von 2.Ordnung in
t
, d.h. neben j(t = 0) > ist no h j
_
(t = 0) > zur
Bestimmung der eindeutigen L
osung notwendig. Dies ist ein qualitativ anderer
Sa hverhalt als bisher, denn man ben
otigt jetzt doppelt soviel Information. Es
ist unwahrs heinli h, da der Grund hierf
ur die relativistis he Verallgemeinerung
sein soll.
208 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
Es handelt si h immer no h um eine skalare Glei hung, d.h. der Spin m
ute, genau
wie in der S hr
odingerglei hung, dur h heuristis he Argumente ber
u ksi htigt
werden.
Dira verfolgte einen anderen Weg. Er versu hte die Wurzel (16.2) zu linearisieren. Das
f
uhrte in s hlieli h auf ein Glei hungssystem von vier Glei hungen f
ur einen vierkom-
ponentigen Vektor, die Dira -Glei hung.
Sei
^
L
2
=
2
2
m
2
0
4
h
2
der Klein-Gordon-Operator. Die KG-Glei hung l
at si h dann s hreiben als
^
L
2
= 0
Dira su hte die \Wurzel" so, da
^
L
1
^
L
2
=
^
L
2
wobei
^
L
1
und
^
L
2
linear in
x
sein sollen. Die KG-Glei hung l
at si h s hreiben als
"
ih
t
3
X
i=1
i
p
i
m
0
2
#
| z
=
^
L
1
"
ih
t
+
3
X
i=1
i
p
i
+ m
0
2
#
| z
=
^
L
2
j >= 0
Damit [:::[::: =
^
L
2
gilt, mu f
ur die Antikommutatoren gelten:
[
i
;
j
+
= 2Æ
ij
; [
i
;
+
= 0
sowie
2
= 1
Mit reellen oder komplexen Zahlen ist das ni ht zu ma hen. Wir werden sp
ater se-
hen, da man die
i
und als mindestens 4x4-Matrizen darstellen mu. Sie werden
Dira -Matrizen genannt.
16.4. DIRAC-GLEICHUNG UND ELEKTROMAGNETISCHES FELD 209
Die Dira -Glei hung ergibt si h als
^
L
1
j >= 0 (16.3)
Genau so gut h
atte man
^
L
2
verwenden k
onnen, die Ergebnisse w
aren identis h. Auf
jeden Fall gilt mit (16.3) au h
^
L
1
^
L
2
j >=
^
L
2
j >= 0
d.h. die L
osung von (16.3) ist au h L
osung der KG-Glei hung.
Damit lautet also die Dira -Glei hung des freien Elektrons:
ih
t
3
X
i=1
i
p
i
+ m
0
2
!
j >= 0
Sie ist, wie gefordert, in 1.Ordnung in
t
und
x
und auerdem no h kovariant.
Eine andere Formulierung ist formal
aquivalent zur S hr
odingerglei hung:
ih
t
j >=
^
H
D
j >
mit dem Dira -Operator
^
H
D
=
3
X
i=1
i
p
i
+ m
0
2
16.4 Dira -Glei hung und elektromagnetis hes Feld
Wir
ubernehmen die Vorgehensweise bei der S hr
odingerglei hung und erweitern sie
auf Vierervektoren. Anstatt der Minimalsubstitution
^p!
^p
e
A
s hreiben wir jetzt
p
! p
e
A
210 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
speziell die 0-te Komponente heit also
p
0
! p
0
e
A
0
und mit p
0
eingestetzt
E
!
E
e
A
0
w
ahle A
0
= ' als elektrostatis hes Potential, dann ergibt si h der Vierervektor
fA
g =
'
A
!
Damit ergibt si h zus
atzli h die Substitution
E ! E e'
was wir aber in der S hr
odingerglei hung s hon vorwegnahmen. Damit lautet die Dira -
Glei hung f
ur ein Teil hen im elektromagnetis hen Feld:
ih
t
3
X
i=1
i
(ih
x
i
eA
i
) m
0
2
e'
!
j >= 0 (16.4)
16.5 Die Dira -Matrizen
i
erf
ullen die selben Relationen wie die Pauli-Matrizen
i
. Die Existenz von erfor-
dert jedo h eine h
ohere Dimension als einen 2-dimensionalen Hilbertraum. Es l
at si h
zeigen, da man mit 4x4 Matrizen auskommt. Speziell w
ahlt man
i
=
0
i
i
0
!
; =
1 0
0 1
!
Damit lautet der Dira -Operator
^
H =
0
B
B
B
m
0
2
0 p
z
(p
x
ip
y
)
0 m
0
2
(p
x
+ ip
y
) p
z
p
z
(p
x
ip
y
) m
0
2
0
(p
x
+ ip
y
) p
z
0 m
0
2
1
C
C
C
A
Infolge dessen muss au h j > ein vierkomponentiger Vektor sein!
16.6. L
OSUNG F
UR FREIE TEILCHEN 211
16.6 L
osung f
ur freie Teil hen
Bei der Dira -Glei hung handelt es si h um vier gekoppelte, lineare, homogene DGL
mit konstanten KoeÆzienten. Wir ma hen daher den ebene-Wellen-Ansatz (Ortsdar-
stellung)
(r; t) = ae
i
h
(prEt)
oder, was das selbe ist, aber sofort kovariant aussieht
(r; t) = ae
i
h
g
p
x
Der Vektor a hat die vier r
aumli h und zeitli h konstanten Komponenten
a =
0
B
B
B
a
1
a
2
a
3
a
4
1
C
C
C
A
und wird, wie j > au h als Dira -Spinor bezei hnet. Einsetzen des Ansatzes in die
Dira -Glei hung liefert ein homogenes 4x4 Glei hungssystem f
ur die Komponenten a
i
:
0
B
B
B
m
0
2
E 0 p
z
(p
x
ip
y
)
0 m
0
2
E p
x
+ ip
y
) p
z
p
z
p
x
ip
y
) m
0
2
E 0
(p
x
+ ip
y
) p
z
0 m
0
2
E
1
C
C
C
A
0
B
B
B
a
1
a
2
a
3
a
4
1
C
C
C
A
= 0
Die L
osbarkeitsbedingung fordert
det(:::) = 0
und ergibt
m
2
0
4
E
2
+
2
p
2
2
= 0
und daraus die L
osungen
E
= E
p
=
q
2
p
2
+m
2
0
4
212 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
Jede der beiden L
osungen E
ist dabei zweifa h entartet.
Problem: es gibt negative Energien, d.h. die Energie nimmt ab mit wa hsendem Im-
puls.
D.h. auf dem negativen Zweig w
urde ein Teil hen unendli hen Impuls erlangen und
dabei st
andig Energie abgeben.
Ausweg (Dira ): Alle Zust
ande auf dem E
-Zweig sind besetzt. Da es si h um Fermio-
nen handelt, k
onnen au h keine Teil hen na hr
u ken und Zust
ande doppelt besetzen.
Das ist nur m
ogli h, wenn ein Teil hen aus dem Dira -See dur h Anregung in die
\Oberwelt" gehoben wird und dort als Elektron in Ers heinung tritt.
Es hinterl
at dann ein Lo h (freier Zustand) im Dira -See. Dieses Lo h kann dur h
na hr
u kende Teil hen aufgef
ullt werden und wandert dadur h zu niedrigeren Impulsen,
zeigt also wieder normale Dispersion, in dem es Impuls abgibt, wobei der negative Zweig
als ganzes Energie abgibt. Das von Dira vorhergesagte \Lo h" wurde experimentell
1933 als Positron, das Anti-Teil hen zum Elektron, gefunden. Bei der Anhebung aus der
Fermi-See in die Oberwelt handelt es si h um ni hts anderes als die Elektron-Positron-
Paarerzeugung
E0
E
−E0
cp
p
−cp
∆E
Loch
Abs hlieend geben wir no h die Eigenvektoren zum positiven Elektronenzweig E
+
an:
a
1
= N
0
B
B
B
B
1
0
p
z
E+m
0
2
(p
x
+ip
y
)
E+m
0
2
1
C
C
C
C
A
; a
2
= N
0
B
B
B
B
0
1
(p
x
ip
y
)
E+m
0
2
p
z
E+m
0
2
1
C
C
C
C
A
16.7. KONTINUIT
ATSGLEICHUNG 213
mit der Normierungskonstanten
N =
1
r
1 +
2
p
2
(E+m
0
2
)
2
v<<
! 1
16.7 Kontinuit
atsglei hung
Wie im ni htrelativistis hen Fall aus der S hr
odinger-Glei hung l
asst si h au h aus
der Dira -Glei hung eine Kontinuit
atsglei hung herleiten. Wir f
uhren den adjungierten
Spinor
+
= (
1
;
2
;
3
;
4
)
ein, wobei
i
die komplex-konjugierte von bezei hnet. Multiplikation der Dira -
Glei hung mit
+
, bzw. der komplex-konjugierten Dira -Gl. mit ergibt die beiden
skalaren Glei hungen
ih
+
_
= ih
+
k
(
k
) +m
2
+
ih
_
+
= ih (
k
+
)
+
k
+m
2
+
+
Deren Dierenz lautet
t
(
+
) =
h
(
k
+
)
+
k
+
+
k
(
k
)
i
+
im
2
h
h
+
+
+
i
was si h, weil die Dira -Matrizen selbstadjungiert sind als
t
(
+
) =
X
k
k
+
k
s hreiben l
asst. Wir f
uhren die Wahrs heinli hkeitsdi hte (Teil hendi hte)
(
+
)
und die Wahrs heinli hkeitsstromdi hte
j
k
+
k
214 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
ein und erhalten die bekannte Kontinuit
atsglei hung
_+ div j = 0
16.8 Die Potentials hwelle, das Kleins he Parado-
xon
V(x)
I II
VΨ
0x
0ein
Eindimensionales Problem. Potential der S hwelle:
V (x) = V
0
(x)
L
osung links (einfallender + re ektierender Anteil):
I
=
ein
+
ref
Aus der L
osung f
ur freie Teil hen:
I
= e
ikx
0
B
B
B
1
0
0
hk
E+m
2
1
C
C
C
A
| z
ein
+ a
I
e
ikx
0
B
B
B
1
0
0
hk
E+m
2
1
C
C
C
A
+ b
I
e
ikx
0
B
B
B
0
1
hk
E+m
2
0
1
C
C
C
A
| z
ref
mit
k =
1
h
q
E
2
=
2
m
2
2
Sp
ater wird si h zeigen, dass Spinoren mit (1; 0; :::) Zust
ande mit Spin na h oben, mit
(0; 1; :::) die mit Spin na h unten bes hreiben. Wir nehmen also an, dass nur Teil-
hen mit Spin na h oben einfallen, wobei im re ektierten Strahl au h Spin na h unten
Zust
ande vorkommen k
onnten (Spinnumklappprozesse an der S hwelle).
16.8. DIE POTENTIALSCHWELLE, DAS KLEINSCHE PARADOXON 215
Re hts der S hwelle gibt es nur na h re hts laufende (dur hgehende) ebene Wellen:
II
= a
II
e
iqx
0
B
B
B
B
1
0
0
hq
EV
0
+m
2
1
C
C
C
C
A
+ b
II
e
iqx
0
B
B
B
B
0
1
hq
EV
0
+m
2
0
1
C
C
C
C
A
und
q =
1
h
q
(E V
0
)
2
=
2
m
2
2
Da der Potentialsprung endli h ist, muss die Wellenfunktion an der S hwelle stetig sein
(wieso?), also
I
(0) =
II
(0)
Damit erhalten wir die vier Glei hungen
1 + a
I
= a
II
b
I
= b
II
b
I
k
E +m
2
=
b
II
q
E V
0
+m
2
1 a
I
= a
II
q
k
r
mit der Abk
urzung
r =
E +m
2
E V
0
+m
2
Die beiden mittleren Glei hungen lassen si h nur widerspru hsfrei dur h
b
I
= b
II
= 0
l
osen, d.h. es nden do h keine Spinnumklappprozesse bei der Streuung statt. Aus den
Wellenfunktionen lassen si h jetzt die Stromdi hten und daraus der Re exions- und
TransmissionskoeÆzient bestimmen. Mann erh
alt:
R
j
ref
j
ein
=
1 r
1 + r
2
216 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG
und
T
j
trans
j
ein
=
4jrj
(1 + r)
2
zun
a hst erh
alt man das beruhigende Resultat
T + R = 1
und f
ur r > 0 ergibt si h au h dur haus sinnvoll
0 < R < 1; 0 < T < 1
Ma ht man jedo h die S hwelle immer gr
oer, so ergibt si h ab
V
0
> E +m
2
r < 0 und damit R > 1, d.h., es werden mehr Teil hen re ektiert als einfallen. Dies
kann ni ht sein und wird als Kleins hes Paradoxon bezei hnet. Die Erkl
arung: Dur h
V
0
werden die Kurven E
(q) angehoben:
E
(q) =
q
2
h
2
q
2
+m
2
4
+ V
0
was s hlieli h dazu f
uhrt, das der negative Zweig au h positive Energien bekommt.
D.h. man re hnet mit Zust
anden, die eigentli h zu Antiteil hen geh
oren, was zu den
paradoxen Ergebnissen f
uhrt.
Kapitel 17
Elektronenspin
17.1 Freies Teil hen im
aueren Magnetfeld
Wir f
uhren die beiden zweikomponentigen Spinoren j > und j > ein:
j >=
0
B
B
B
j
1
>
j
2
>
j
3
>
j
4
>
1
C
C
C
A
=
j >
j >
!
wobei
j >=
j
1
>
j
2
>
!
; j >=
j
3
>
j
4
>
!
Einsetzen in die Dira -Glei hung mit dem Dira -Operator na h (16.4) ergibt
^
H
D
j >
j >
!
=
^p
e
A
j >
j >
!
+m
0
2
j >
j >
!
+e'
j >
j >
!
= E
j >
j >
!
oder
(E m
0
2
+ e')j > =
^p
e
A
j > (17.1)
(E +m
0
2
+ e')j > =
^p
e
A
j > (17.2)
(17.2) l
at si h au
osen
217
218 KAPITEL 17. ELEKTRONENSPIN
j > =
1
E +m
0
2
+ e'
^p
e
A
j >
1
2m
0
^p
e
A
j > +O(v
2
=
2
) (17.3)
Daran sieht man, da
j >= O(v= )j >
ni htrel.
! 0
daher nennt man j > au h die kleine Komponente, j > die groe Komponente von
j >.
Die weitere Vorgehensweise: Identiziere j > mit dem Pauli-Spinor des ni htrelativi-
stis hen Grenzfalles. Dann sollte es m
ogli h sein, eine ges hlossene Glei hung f
ur j >
herzuleiten, die im ni htrel. Grenzfall in die Pauli-Glei hung
ubergeht.
(17.3) in (17.1) eingesetzt ergibt
^
H
P
j >= (E m
0
2
)j >
mit
^
H
P
=
1
2m
0
^p
e
A
^p
e
A
+ e'
Wir verwenden die Hilfsformel
( a)( b) = 1 a b + i (a b)
Damit
[:::[::: = (^p
e
A)
2
+ i (^p
e
A) (^p
e
A)
und weiter
(:::) (:::) =
e
(^pA+A
^p) =
eh
i
(rA
| z
=B
Ar+Ar) =
eh
i
B
was den Pauli-Hamiltonoperator
17.2. SPINOPERATOR 219
^
H
P
=
1
2m
0
(^p
e
A)
2
+ e'
eh
2m
0
B
ergibt. Folgende funtamentale Unters hiede zei hnen si h zur ni htrel. Herleitung ab:
Es sind keine ad ho Annahmen zum magnetis hen Moment des Elektrons mehr
n
otig, wie vorher der Verglei h mit einer rotierenden Kugel.
der ri htige g
s
-Faktor kommt automatis h heraus, vorher war er nur experimentell
bestimmt.
Der Spin erweist si h als relativistis he Eigens haft des Elektrons
17.2 Spinoperator
Analog zum Pauli-Spinoperator, der aus den 2x2-Pauli-Matrizen aufgebaut war:
^
S
P
=
h
2
P
deniert man den Dira -Spinoperator
^
S
D
=
h
2
D
mit den 4x4 Matrizen
D
i
=
P
i
0
0
P
i
!
17.3 Spin-Bahn-Kopplung
Der Einfa hheit halber f
uhren wir die Re hnung diesmal ohne
aueres Magnetfeld
dur h, d.h. wir setzen
A = 0
Die Dira -Glei hung l
at si h dann also wie oben (17.1,17.2) s hreiben als
220 KAPITEL 17. ELEKTRONENSPIN
(E m
0
2
+ e')j > = ^p j > (17.4)
(E +m
0
2
+ e')j > = ^p j > (17.5)
Wir treiben die Entwi klung na h v= jetzt eine Ordnung h
oher und erhalten anstatt
(17.3)
j > =
1
E +m
0
2
+ e'
^p j >
1
2m
0
"
1
E m
0
2
e'
2m
0
2
#
^p j > (17.6)
d.h. wir entwi keln jetzt na h E m
0
2
e' bis zur ersten Ordnung. Einsetzen in
(17.4) ergibt diesmal die Glei hung
(E m
0
2
e')j >=
^p
2m
0
"
1
E m
0
2
e'
2m
0
2
#
^p j >
dies l
at si h wieder auf die Form
^
H
0
j >= (E m
0
2
)j > (17.7)
bringen, wobei na h l
angeren Umformungen (wir verzi hten gerne auf die Details)
^
H
0
=
"
1
E m
0
2
e'
2m
0
2
#
p
2
2m
0
+ e'+ ::: (r'^p) :::r'
^p
Jetzt kommt allerdings ein weiterer Punkt ins Spiel, bei dem man aufpassen muss.
Bisher gingen wir stills hweigend davon aus, da
< j >= 1
normiert ist, was in der vorigen Ordnung au h ri htig war. In dieser Ordnung kommt
allerdings ein Term hinzu. Man geht von der Dira -Glei hung aus, wo man fordert, da
j > normiert ist, also
< j >=< j > + < j >= 1
17.3. SPIN-BAHN-KOPPLUNG 221
Hier gen
ugt jetzt der Zusammenhang
j >=
^p
2m
0
j >
was
< j > = < j > + <
"
^p
2m
0
#
2
>
= < j > + <
p
2
4m
2
0
2
>
= <
1 +
p
2
4m
2
0
2
>= 1
ergibt. Wir f
uhren die neue Funktion
j~ >= gj >
ein, mit
g =
"
1 +
p
2
4m
2
0
2
#
1=2
1 +
p
2
8m
2
0
2
wobei dann j~ > normiert ist:
< ~j~ >= 1
Die Glei hung f
ur j~ > erhalten wir aus (17.7) na h eins eins hieben und Multiplikation
mit g:
g
^
H
0
g
1
| z
=
^
H
gj >
| z
=j~>
= (E m
0
2
) gj >
| z
=j~>
Na h weiteren Umformungen erh
alt man f
ur
^
H:
^
H =
p
2
2m
0
+ e'
| z
=
^
H
0
p
4
8m
3
0
2
| z
=
^
H
R
+
he
4m
2
0
2
(r'^p)
| z
=
^
H
`s
eh
2
8m
2
0
2
'
| z
=
^
H
D
Diskussion der relativistis hen Erweiterungen von
^
H
0
:
222 KAPITEL 17. ELEKTRONENSPIN
^
H
R
: N
a hster Korrekturterm in der Energie-Impulsrelation
E =
q
m
2
0
4
+ p
2
2
m
0
2
+
p
2
2m
0
p
4
8m
3
0
2
+ ::::
^
H
`s
: Spin-Bahn Kopplung,
f
uhrt mit
r' = r
e
r
=
e
r
3
r
auf
^
H
`s
=
he
2
4m
2
0
2
r
3
(^r
^p)
| z
=
^
L
=
he
2
4m
2
0
2
r
3
^
L =
e
2
2m
2
0
2
r
3
^
S
^
L
^
H
D
: Darwin-Term, rel. Korrektur der potentiellen Energie, Zitterbewegung des Elek-
trons.
Grund: We hselwirkung des Elektrons mit dem Kernfeld wird ni htlokal dur h
die Elimination der kleinen Komponente. Der Beitrag von ' m
ute also eigentli h
heien
Z
d
3
r
0
f(r r
0
)'(r
0
)
wobei die Funktion f(r) nur eine kleine Rei hweite hat und nur f
ur r in der N
ahe
der Compton-Wellenl
ange
C
=
h
m
0
von null vers hieden ist. Daher l
at si h unterm Integral ' um r
0
= r entwi keln
(Gradientenentwi klung), man erh
alt
'(r)M
(0)
+r'j
r
M
(1)
+
1
2
3
X
ij
i
j
'j
r
M
(2)
ij
+ :::
mit den Momenten
M
(0)
=
Z
d
3
r f(r) = 1
M
(1)
=
Z
d
3
r f(r)r = 0
M
(2)
ij
=
Z
d
3
r f(r)r
i
r
j
= Æ
ij
Z
d
3
r f(r)r
2
i
=
1
3
Z
d
3
r f(r)r
2
1
3
2
C
17.3. SPIN-BAHN-KOPPLUNG 223
Die letzte Beziehung ist eine Abs h
atzung. Damit erhalten wir f
ur die Entwi k-
lung insgesamt
'(r) +
h
2
6m
2
0
2
'(r) + :::
wobei die Korrektur also gerade gr
oenordnungsm
aig dem Darwin-Term ent-
spri ht. Der Darwin-Term wirkt si h nur auf s-Zust
ande aus, was man an folgen-
der Umformung sieht
^
H
D
=
eh
2
8m
2
0
2
'
'=e=r
=
e
2
h
2
8m
2
0
2
1
r
| z
=4Æ(r)
=
e
2
h
2
2m
2
0
2
Æ(r)
Auswertung in 1.Ordnung St
orungstheorie ergibt aber
<
^
H
D
>=< n; `;mj
^
H
D
jn; `;m >/< n; `;mjÆ(r)jn; `;m >= j
n`m
(r = 0)j
2
was nur f
ur s-Zust
ande von null vers hieden ist, weil alle anderen Wellenfunktio-
nen bei r = 0 einen Knoten haben.