HATA TİPLERİ

Karar

Gerçek Durum

H0 Doğru H1 Doğru

H0 Kabul Doğru Karar(1 - )

II.Tip Hata()

H0 Red I.Tip Hata()

Doğru Karar(1 - )

Sıfır hipotezinin doğru olduğu halde test sonucunun

reddedilmesi durumunda ortaya çıkan hataya “I.tip hata” veya

“ hatası”; sıfır hipotezinin yanlış olduğu halde test sonucunun

kabul edilmesi durumunda ortaya çıkan hataya “ II.tip hata”

yada “ hatası” denir.

•I. Tip Hata( α ): H0 hipotezi doğru iken H0’ın red edilmesidir.

•II. Tip Hata( β ): Gerçekte yanlış olan H0 hipotezini kabul etme

olasılığıdır.

• 1- α : Testin güvenirlilik düzeyidir.Gerçekte doğru olan H0

hipotezini kabul etme olasılığıdır.

• 1- β : Testin gücüdür.Gerçekte yanlış olan H0hipotezini red etme

olasılığıdır.

Büyük Örneklerde Anakütle Ortalaması İçin β TİP HATANIN HESAPLANMASI

1. H0: µ= µ0

Ha: µ≠ µ0

Anakütle ortalamasının µ0 gibi bir değere eşit olup olmadığı

test edilir.2. Red bölgesinin sınırlarına karşılık gelen sınır değerleri

hesaplanır.

XA 0X Z

n

XÜ 0X Z

n

(Üst değer)

(Alt değer)

• β olasılığının hesaplanacağı µa değeri belirlenir.

Ortalaması µa olan alternatif dağılım için ve sınır

değeri Z değerine dönüştürülür.

• H0 hipotezinin kabul yönüne göre elde edilen z

değerlerinden hesaplanan olasılık β olasılığını verir.

Ü a

X

XZ

A a

X

XZ

AX BX

ÖRNEK

•Bir firma ürettiği sabunlardaki PH değerinin 5.5’den küçük

olduğunu iddia etmektedir. 36 adet sabun incelenmiş PH

değeri için ortalama 5, standart sapma 1.5 bulunmuştur. α =

0.05 için hipotezi test edip µa =5 için P(β)=?

5X

HH00: : µµ = 5.5 = 5.5

HH11: : µµ < 5.5 < 5.5

n=36 s =1.5

µa= 5 P(β)=?

Tek taraflı Z değeri

0

X

X 5 5.5Z 2

1.536

hes tabZ 2 Z 1.645 H0 Reddedilebilir.

o 0H Kabul H Yanlış iken

= 0.05 e göre H0 red için kritik değer hesaplanırsa

A 0tab

XP z

n

XA 0

s 1.5X Z 5.5 1.645 5.1

n 36

Gerçekte ortalama 5 ise bu durumda ortalamanın 5.5 olduğunu iddia eden hipotez red edilmiş olur. Böylece testin gücü aşağıdaki gibi bulunur.

AX 5.1 A aX 5.1 50.40

1.5n 36

z 0.4 0.5 0.1554 0.3446

H0 KABUL

µa =5

=0.05

=0.3446

AX 5.1 µ0 = 5.5

H0 red için gereken kritik değer

1 0.655

ÖRNEK:• H0: µ = 5.5

• H0: µ > 5.5

Xü 0

s 1.5X Z 5.5 1.645 6.3

3n

n=9 s=1.5 µa= 6 P(β)=?

ÜX 6.3 aÜX 6.3 6s 1.5

n 9

z 0.6 0.5 0.2257 0.7257

H0 KABUL

µ0 =5.5

=0.05

=0.7257

üX 6.3µa = 6

H0 red için gereken kritik değer

z=0.6

z 0.6 0.5 0.2257 0.7257

ÖRNEK

2

871 8803.03

2.9698x

xZ

S

2

880 1.96 (2.9698)

874.18

xx Z S

x

x

Kimyasal üretim yapan bir fabrikada günlük üretim miktarının ortalama 880 ton olduğu bilinmektedir.Bu durumun doğrulanması amacıyla fabrikada günlük üretimler 50 kez ölçülmüş ve ortalaması 871 ton standart sapması ise 21 bulunmuştur.

0 0: 880H

1 : 880H

05.0

9698.250

21

n

SS x

x

z0-1.96 1.96

874.18 885.82) 0.95P

H0 kabul

2

880 1.96 (2.9698)

885.82

xx Z S

x

x

HİPOTEZ TESTİNİN GÜCÜ

/2=0.025 /2=0.0251-

0.475

874.18 880 885.82x

H0 Doğru iken

H0 Yanlış iken 1-

871

0 1.41

x

z

1

874.18 8711.0707

2.9698Z

0 1.07 0.3577P z

0.5 0.3577 0.1423

1 1 0.1423 0.8577

Gerçekte ortalama 871 ise bu durumda ortalamanın 880 olduğunu iddia eden hipotezi red edilmiş olur. Böylece testin gücü bulunabilir :

II.Tip hata olasılığı :

Testin Gücü :

ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN TAHMİNİ

Normal Bir Dağılımın Ortalamasının Güven Aralığı için Örneklem Büyüklüğü: Anakütle Varyansı Biliniyor:

Ortalaması µ, bilinen varyansı 2 olan normal bir anakütleden n gözlemli rassal bir örneklem alındığında, anakütle ortalaması için %100(1 - ) güven aralığı aşağıdaki gibidir.

X X2 X 2P X z X z 1

n n

Burada gözlenen örneklem ortalaması, z/2 ise standart normal

dağılımın uygun eşik değeridir. Bu aralık, örneklem ortalamasını orta

nokta alır ve örneklem ortalamasının iki yanında

X

2zL

n

kadar uzanır.

L aralığın yarısıdır. Araştırmacının bu L’yi önceden saptamak istediğini varsayalım.

2zn

L

2

2 2

2

zn

L

Örnek büyüklüğü için bu seçim, güven aralığının, örneklem

ortalamasının iki yanında L kadar uzandığını göstermektedir.

Bilinen varyansı 2 olan normal dağılımdan rasal bir örneklem

alındığını düşünelim.

Örneklem büyüklüğü;

2 22

2

zn

L

ÖRNEK: Bir üretim sürecinde üretilen metal çubukların

boyları, standart sapması 1.8 milimetre olan normal bir

dağılıma uymaktadır. Bu anakütleden çekilmiş dokuz

gözlemli bir örnekleme dayanılarak anakütle ortalaması için

%99 güven aralığı

194.65 197.75

biçiminde bulunmuştur. Bir üretim yöneticisi bu aralığı

uygulama için çok geniş bulduğunu, bunun yerine

ortalamanın iki yanında en çok 0.50 mm uzanan bir %99

güven aralığı istediğini düşünelim. Böyle bir aralığa

ulaşabilmek için örneklem büyüklüğü kaç olmalıdır.?

L = 0.50 = 1.8 z/2 = z0.005 =2.58

2 22 22

22

z 2.58 1.8n 85.93 86

L 0.5

Yöneticinin isteğinin yerine gelebilmesi için en az 86 gözlemli

bir örneklem gerekmektedir.

Anakütle Oranının Aralıkları:

p oranının %100(1 - ) güven aralığı, n gözlemli bir rassal örnekleme

dayanılarak aşağıdaki gibidir.

α/2 α/2

p(1 p) p(1 p)P(p Z . P p Z . ) 1 α

n n

Bu aralık örneklem oranını orta nokta olarak alır ve örneklem oranının iki yanında

2

p(1 p)L z

n

kadar uzanır.

Bu bulgu, belirli bir genişlikteki bir güven aralığını elde etmek için

gerekli örneklem büyüklüğünü saptamada doğrudan

kullanılamaz, çünkü örneklem oranını içermektedir ve o da

önceden bilinemez. Ancak, sonuç ne olursa olsun p(1 – p)

örneklem oranı 0.5 iken alacağı değer olan 0.25’ten büyük

olamaz.

Öyleyse L’nin alabileceği en büyük değer olan L şöyle bulunabilir.

2* 2

0.5z0.25L z

n n

2

2

2*

0.25zn

L

Bir anakütleden rassal bir örneklem aldığımızı düşünelim.

Örneklemdeki gözlem sayısı

2

2

2*

0.25zn

L

ise, anakütle oranı için %100 (1- ) güven aralığının, örneklem

oranının her iki yanında en çok L* kadar uzaması sağlanabilir.

ÖRNEK: Üniversite yerleşkelerinde işe almak üzere öğrencilerle

görüşen 142 şirket görevlisinden oluşan rassal bir örnekleme, işe

almada mezuniyet notunun oynadığı rolün ne olduğu sorulmuştur.

Bu örneklemdeki kişilerden 87’si “kritik”, “son derece önemli”, ya da

“çok önemli” yanıtlarını vermiştir. Bu görüşteki işe alma görevlilerinin

anakütle oranı için %95 güven aralığı

0.533 P 0.693

şeklindedir. Bunun yerine, anakütle oranının, örneklem oranının her

iki yanında en çok 0.06 uzayan %95 güven aralığını sağlamak

istediğimizi varsayarsak örneklem büyüklüğü ne olmalıdır?

2

2

2*

0.25zn

L

L = 0.06 z/2 = z0.025 =1.96

2

2

0.25 1.96n 266.78 287

0.06

en az 287 gözlemli bir örneklem gerekmektedir.