Upload
brendan-wagner
View
26
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Határidős és opciós ügyletek. segédanyag. IV. Opciók értéke lejárat előtt. 22. A lejárat pillanatai tehát igen egyszerűek, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam. Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk. Miért bonyolult? - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Határidős és opciós ügyletek
segédanyag
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 2
IV. Opciók értéke lejárat előtt
• A lejárat pillanatai tehát igen egyszerűek, de a fő kérdés a lejárat előtti érték, árfolyam.
• Ez csak bonyolult összefüggésekkel adható meg, így a témát leegyszerűsítve tárgyaljuk.
• Miért bonyolult?– „Szokásos” eljárásunk, a várható pénzáramlás
becslése, majd az opció kockázatához illeszkedő tőke alternatíva költséggel történő diszkontálás nem vezet megoldásra.
– Az opció kockázata folyamatosan változik.• Érték = Árfolyam
– Hatékony árazódást tételezünk fel.– c és p érték is, (egyensúlyi) árfolyam is.
22
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 3
IV.1. Egyszerűsített megközelítés – a binomiális modell
• Mivel egy opció értéke közvetlenül nem megragadható, így olyan részek kombinációjával próbáljuk közelíteni, amelyek értéke ismert, vagy könnyen megadható.
• A binomiális modellben lényegében az alaptermék árfolyam-alakulásának tulajdonságait egyszerűsítjük azért, hogy a lejáratkori árfolyam végtelen lehetséges értéke helyett csak néhánnyal kelljen kalkulálnunk.– A részvény-árfolyamok alapvető tulajdonságait kell
egyszerűbb formára hoznunk• várható hozam + bolyongás
22
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 4
• A binomiális modell egyszerűsítése:
t
P
P0
t
P
P0
folytonos modelldiszkrét binomiális
modell
22
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 5
• Mindezek után olyan portfóliót állítunk össze, amelynek ugyan része az opció is, de mind a portfólió egésze, mind a többi része egzaktul megadható.
• Végül a portfólió és az „egzakt rész” különbségeként adódik az opció értéke.– Olyan portfóliót állítunk össze, amelynek T időpontbeli
értéke biztosan ismert.– Ezt úgy csináljuk, hogy a portfólióban lévő részvény
értékének változását „lefedezzük” az opció értékének változásával.
– Ismerjük tehát a portfólió jövőbeli értékét, amiből megadhatjuk a jelenbeli értékét.
– Mivel ismerjük P0-t, az egyetlen ismeretlen az opció jelenlegi (c vagy p) értéke lesz.
23
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 6
•Tekintsünk egy egyszerű példát!–jelenlegi részvényárfolyam (P) legyen 10$–vételi opció
• kötési árfolyam K=11$• lejárat T=1év, európai típusú
–a részvényárfolyam 1 év alatt 12,5$-ra növekedhet, vagy 8$-ra csökkenhet
10$
12,5$
8$
részvény: 10$opció: c
részvény: 12,5$opció: 1,5 $
részvény: 8$opció: 0
23
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 7
•Állítsunk össze a lejáratkori részvényárfolyamtól független értékű portfóliót!
–Célunkat x db részvény megvásárlásával és 1 db (ezen részvényre vonatkozó) vételi opció kiírásával (eladási kötelezettség vállalásával) próbáljuk elérni.
12,5 1,5 8
1
3
x x
x
1 112,5 1,5 2,67 8 2,67
3 3
–1/3 részvényből és 1 vételi opció kiírásából álló portfóliónk értéke 1 év múlva:
23
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 8
–Tudjuk tehát, hogy a portfólió jövőbeli értékét. 2,67$
–Egy ilyen portfólió összeállításának költsége – a portfólió jelenbeli értéke:
110$
3c
–Mindezek alapján c-t meghatározható.
(3,33 ) (1 ) 2,67
2,673,33
(1 )
2,673,33 0,738
(1 0,03)
f
f
c r
cr
c
24
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 9
•Binomiális értékelés több periódus esetén–Hasonló eljárás, mint egy periódus esetén.
10 $
8 $
12,5 $
15,625 $
10 $
6,4 $
10 1,25
10 0,8
12,5 0,8
12,5 1,25
8 0,8
8 1,25
4,625 $
0 $
0 $
c1
15,625 4,625 10
0,822
y y
y
15,625 0,822 4,625 8,22
10 0,822 8,22
1
1
8,2212,5 0,822
1
2,29$
f
cr
c
0 $
2,29 $
12,5 2,29 8
0,509
z z
z
12,5 0,509 2,29 4,072
8 0,509 4,072
4,07210 0,509
1 0,03
1,137
c
c
c
24-25
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 10
•A megoldás pontosításához a részidőszakok számának növelése vezet, ez azonban megnehezíti a számítást.
•A binomiális modell segítségével az alaptermék árfolyamváltozásának folyamata könnyen megragadható, a paraméterek változtatásával bonyolultabb folyamatok is könnyen kezelhetők (az értékelési eljárás alapelve ekkor is hasonló).
26
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 11
•Binomiális értékelés – eladási opciók–példa: P0=50$, T=2év, KT=52$, rf=5%
50 $
40 $
60 $
72 $
48 $
32 $
50 1,2
50 0,8
60 0,8
60 1,2
40 0,8
40 1,2
0 $
4 $
20 $
72 48 4
0,167
x x
x
Kockázatmentes portfólió:x db részvény és 1 db eladási opció megvásárlása
0,167 72 12,02
0,167 48 4 12,02
12,020,167 60
1,05
1,42
p
p
1,42 $
48 4 32 20
1
y y
y
48 4 52
32 20 52
5240
1,05
9,52
p
p
9,52 $
60 1,42 40 9,52
0,405
z z
z
0,405 60 1,42 25,72
0,405 40 9,52 25,72
25,720,405 50
1,05
4,24
p
p
4,24 $
25
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 12
•Binomiális értékelés – amerikai opciók
50 $
40 $
60 $
72 $
48 $
32 $
0 $
4 $
20 $
1,42 $
9,52 $ 12 $
60 1,42 40 12
0,529
z z
z
0,529 60 1,42 33,16
0,529 40 12 33,16
33,160,529 50
1,05
5,13
p
p
5,13 $
1,42 $
25
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 13
IV.2. Általános megközelítés – a Black-Scholes modell
•A binomiális modellnél a diszkrét árfolyamváltozások bevezetése adta a megoldást.
•A folyamatos változat megoldását adja az ún. Black-Scholes-formula (képlet).
•A megoldáshoz vezető út szinte azonos:–kockázatmentes portfólió – részvény - opció
•A folyamatos forma miatt a levezetés magasabb fokú matematikai eszköztárat igényel. Ezért a téma tárgyalását leegyszerűsítjük, a levezetéstől eltekintünk.
26
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 14
• A Black-Scholes formula sztorija– „Az elmúlt három évtized egyik legfontosabb
áttörése volt a pénzügyekben.”• 1960-as évek végén egy különös háromtagú
társaság– Fischer Black– Myron Scholes– Robert C. Merton
Fischer Black
Robert Merton
MyronScholes
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 15
•Az alap-formula a lejáratig osztalékot nem fizető részvényre vonatkozó európai vételi opció értékét (c-t) adja meg, a többi opciós pozíció értékére ebből következtetünk majd.
•A Black-Scholes formula szerinti c-függvény jellege:
KT
c
P0
c
P0-KT
27
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 16
•A Black-Scholes formula szerintic-függvény képlete:
• P0 a részvény jelenlegi árfolyama• K0 az opció KT kötési árfolyamának jelenértéke rf kockázatmentes kamatlábbal diszkontálva
• N(d) a normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvény-értéke d-nél
27
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 17
•A Black-Scholes formula szerintic-függvény képlete:
a részvény (az alaptermék) volatilitása, azaz a részvény időegység alatti relatív szórása, ami megegyezik az időegységre vonatkozó hozam szórásával.
•N(d)-k hozzávetőleg annak a valószínűségét adják, hogy PT nagyobb lesz KT -nél és az opciót lehívják.
Valamekkora valószínűséggel rendelkezünk P0 értékű
részvénnyel
Valamekkora valószínűséggel
fizetünk K0 –t érte
)()( 2010 dNKdNPc
28
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 18
•Jegyezzük meg, hogy az opció értékét meghatározó tényezők között nem szerepel se a részvény bétája, se várható hozama.
•Egy opciós jogot úgy kell felfogni, hogy „kicsit” már most megvettük a részvényt, amiért „kicsit” már fizettünk is, meg később is fogunk még.
•A diszkontált pénzáramláson alapuló megközelítés zsákutca, mert képtelenség kifejezni a kockázatot, és így ralt-ot, mert az a részvény árfolyam-változásával és az idő előrehaladtával folyamatosan változik.
• (Ezért nem tudták annyi ideig megoldani.)
28
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 19
•Mitől függ c értéke? Nézzük meg a képlet változóit!
Kötési árfolyam (KT)
Részvényárfolyam (P0)
Kamatláb (rf)
Lejáratig hátralévő idő (T)
Részvény volatilitása ()
Ha nő a akkor c értéke
nő
csökken
nő
nő
nő
28
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 20
• Indokoljuk meg az egyes változók hatásának okait!
•A kötési árfolyam hatása szinte nyilvánvaló, a többi tényező szerepének megértéséhez az opció értékét részértékekre bontjuk szét.
–Belső érték–Ingadozási érték–Részletfizetési érték
Időérték
28
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 21
•Belső érték–Az opció azonnali lehívása eredményezné.–Amennyivel mégis több az opció értéke, az ún. időérték.
c
P0
P0-KT
KT
29
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 22
KT
• Ingadozási értékc
P
c
P0-KT
P0
PT
E(PT)
29
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 23
P0KT
• Ingadozási érték és belső érték
P0-KT
Belső érték
c
P
c
PTE(PT)
29
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 24
•A részvényárfolyam lejáratig adódó kockázatossága pozitívan hat c értékére:
KT
c
P
P0 PT
KT
c
P
P0 PT
KTP0 PT
c
P
KT
c
P
P0 PT
30
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 25
• Az ingadozási érték tehát annál nagyobb, minél a részvény lejáratig hátralévő időre eső változékonysága.
• Mitől függ ez?–T-től–σ-tól–egészen pontosan
-től
KT
c
P
c
P0-KT
P0 PT
30
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 26
P0
PT=4
0 T t
P
P1
31
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 27
•Részletfizetési érték–Első érzetünkkel ellentétben c értéke nem a P0-KT belső értékhez „simul”, hanem a P0-K0 ún. módosított belső értékhez.–Ez azzal magyarázható, hogy az opció lehívása lényegében egy részletre történő részvényvásárlást jelent, ahol az első részlet c, a második részlet KT.–KT-nek viszont csak a jelenértékét kell számolnunk, hiszen később fizetjük:
31
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 28
K0 KT
c
P0
c
P0-KT
P0-K0
KT-K0
32
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 29
–A részletfizetési érték nyilván KT -től, rf-től és T-től függ, valamint a lehívás valószínűségétől is:
c
P0
c
P0-KT
KT-K0
Részletfizetési érték
KT
1
N(d)
d
32
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 30
•Összegezzük a három értékforrást!
KT
P0-KTBelső érték
c
P0
c
Részletfizetési érték
Ingadozási érték
KT-K0
Időérték
32
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 31
Kötési árfolyam (KT)
Részvényárfolyam (P0)
Kamatláb (rf)
Lejáratig hátralévő idő (T)
Részvény volatilitása ()
Ha nő a akkor c értéke
nő
csökken
nő
nő
nő
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 32
•c értéke „ráérzésre”:
Nagy T és nagy σ
Nagy T és kis σ
Kis T és nagy σ
Kis T és kis σ
33
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 33
IV.2.2. Európai eladási opciók értéke lejárat előtt – a put-call paritás
• Az eladási opció értékét – az ún. put-call paritás segítségével – a vételiéből vezetjük le.
• A paritásos összefüggés felírásához két azonos eredményű (értékű) portfóliót állítunk össze, úgy, hogy az egyikben vételi, a másikban eladási opció szerepeljen.
34
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 34
KT
PT
KT
LC
PT
KT
PT
KT
LP
PT
KT
34
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 35
KT
K0
-K0
K0 P0
c
KT-K0
-P0
p=c-P0+K0
KT
p=c-P0
0 0c K p P
0 0p c K P 0 0p c P K
p 35
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 36
•Vázoljuk az eladási opcióknak is a belső, a részletfizetési és az ingadozási értékét!
KT-P0
Belső érték
K0
KT
KT
KT-K0
p
P0
Ingadozási érték (+)
Részletfizetési érték (-)
1
N(d)
d
KT-P0
Belső érték
Részletfizetési érték (-)
Ingadozási érték (+)
35-36
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 37
•Mitől és hogyan függ p értéke?
Kötési árfolyam (KT)
Részvényárfolyam (P0)
Kamatláb (rf)
Részvény volatilitása ()
Lejáratig hátralévő idő (T)
Ha nő a akkor p értéke
csökken
nő
nő
csökken
nem egyértelmű
36
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 38
IV.2.3. Osztalékot fizető részvényekre vonatkozó vételi és eladási opciók
értéke lejárat előtt
0P
1E DIV
2E DIV
TE DIV NE DIV 1NE DIV
36
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 39
• Eddigi értékelési módszerünkön csupán P0 értelmezésén keresztül kell változtatnunk.– Korrigáljuk a lejáratig fizetendő osztalékkal.
• (diszkontráta: rf vagy ralt?)
• A paritásos összefüggés is megváltozik:
37
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 40
IV.2.4. Amerikai típusú vételi opciók értéke lejárat előtt
•Bármikor lehívhatjuk, ezért a jog birtokosa előtt folyamatosan két lehetőség kínálkozik:–Lehívja
• Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: P0-KT
–Nem hívja le• Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): c
•Nyilván a nagyobb érték mellett fog dönteni.
37
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 41
•Amerikai vételi opció osztalékfizetés nélkül
K0 KT
c
P0
c
P0-KT
P0-K0
KT-K0
•Láthatóan c mindig nagyobb a belső értéknél (P0-KT), így soha nem élnek a lehívás jogával, így a lehívhatóság joga értéktelen.
•c amerikai = c európai
37
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 42
•Amerikai vételi opció osztalékfizetéssel:
P0K0
c
KT
c
P0 DIV
P0 DIV -KT
P0 DIV -K0
P0 DIV + DIV(T)0 –KT
DIV(T)0
eladás lehívás•A korábbi lehívás mellett szólhat a T-ig kifizetésre kerülő osztalékok megszerzése.•c amerikai > vagy = c európai
38
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 43
IV.2.5. Amerikai típusú eladási opciók értéke lejárat előtt
• Itt is az a kérdés, hogy a belső érték vagy az opció pillanatnyi értéke a nagyobb-e:–Lehívja
• Realizálja a (pillanatnyi) belső értéket: KT-P0
–Nem hívja le• Realizálja a (pillanatnyi) opciós értéket (eladja): p
38
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 44
KT
KT
K0
p
K0 P0
p
• Látható, hogy alacsonyabb P0 esetén – az egyre csökkenő részletfizetési érték miatt – jobb a korábbi lehívás („hamarabb jut KT-hez”).
• p amerikai > vagy = p európai
eladáslehívás
•Amerikai eladási opció osztalékfizetés nélkül:
39
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 45
P0P0 DIVKT
KT
K0
p
K0
p
DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0)= KT-P0 DIV -DIV(T)0
•Az osztalékfizetés hatására a korábbi lehívás motivációja gyengül. •p amerikai „kevésbé” > vagy = p európai
DIV(T)0 KT-(P0 DIV +DIV(T)0)= KT-P0 DIV -DIV(T)0
• Amerikai eladási opció osztalékfizetéssel: 39
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 46
IV.2.6. Opciók értékének meghatározása Black-Scholes táblázattal
• 1. lépés– volatilitás: 35,5%, lejáratig hátralévő idő: fél
év
• 2. lépés– KT=63$, P0=59$, rf=2,5% (fél évre)
• 3. lépés: táblázat: 8,2
40
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 47
• Azonban a piaci árfolyam 6,1$.– Mit rontottunk el?– A „piac” kb. 42%-os volatilitást becsül.– Ez az ún. visszaszámított volatilitás.
• Eladási opció:
40
2007. tavasz Határidős és opciós ügyletek 48
„koc
káz
at”
„érték / ár”
T
0
0
P
K1
értéke"Táblázat " 0 Pc
00 PKcp