10/4/2012

1

Hidrosztatika, Hidrodinamika

Folyadékok alaptulajdonságai folyadék: anyag, amely folyni képes

• térfogat állandó,

• alakjuk változó, a tartóedénytől függ

• a térfogat-változtató erőkkel szemben ellenállást fejtenek ki

• összenyomhatatlanok

sűrűség nyomás

Folyadékok fizikája

Áramló folyadékok

HIDRODINAMIKA

Nyugvó folyadékok

HIDROSZTATIKA

Ideális folyadékok áramlása Viszkózus/ reális folyadékok

áramlása

Lamináris (réteges)

áramlás

Turbulens (örvényes)

áramlás

HIDROSZTATIKA

10/4/2012

2

A hidrosztatika alaptörvénye (Pascal törvénye) szerint

a folyadékok belsejében bármely dA felületelemet

véve, a rá ható erő merőleges a felületelemre, nagysága

pedig arányos a helyi nyomással (feszültséggel):

pdAdF

Blaise Pascal

1623-1662

Hidrosztatikus nyomóerő, nyomás

Hidrosztatikai nyomás: folyadék súlyából származó nyomás

A Föld felszínén nyugvó folyadékokban a nyomás a folyadékok súlya miatt a

magassággal arányosan változik.

Kísérlet: Egy gumihártyával fedett végű/oldalú üvegcsövet vízzel teli tartályba helyezünk,

majd megtöltjük vízzel.

A folyadék egy adott mélységében minden

irányból azonos erővel nyomja a gumihártyát.

F = G = mg h

Különböző alakú, azonos magasságú edényben lévő folyadékoszlopok

hidrosztatikai nyomása lehet azonos, ha a súlyuk különbözik is.

A hidrosztatikus nyomás értéke független az edény alakjától, a

folyadékoszlop magasságával (h) és sűrűségével (ρf) egyenesen

arányos.

Hidrosztatikus nyomóerő, nyomás

Pascal törvénye: A nyomás terjedése

folyadékokban

Pascal törvénye: Zárt folyadékokra ható nyomás minden irányban

gyengítetlenül terjed tovább.

F1

F2

d1 d2

10/4/2012

3

Pascal törvénye

Közlekedőedények

A folyadék nyomása nem függ az edény alakjától, ezért az egymással

összeköttetésben álló edényekben a folyadék szintje azonos.

A két szár alakjától függetlenül

azonos a két folyadékoszlop

magassága ha sűrűségük azonos.

Nyomásmérés:

Δp = pk1 – pk2 = (h2 – h1) ρg = h ρg

Kísérlet:

Egy U – alakú cső két szárába töltsünk két,

egymással nem elegyedő, különböző sűrűségű

folyadékot.

Egymással nem keveredő folyadékoknak a közös érintkezési

szinttől mért távolságai a folyadékok sűrűségével fordítva

arányosak.

Arkhimédesz törvénye Egy A alapú h magasságú tárgy folyadékba merül

Minden folyadékba merülő testre felhajtóerő

hat, amely az általa kiszorított folyadék súlyával

egyenlő.

Süllyedés

G>Ffel

Úszás, lebegés

G=Ffel

Emelkedés

G<Ffel

10/4/2012

4

Felületi feszültség

A felszín egy rugalmas

hártyaként viselkedik (behorpad

a rovar lába alatt

A folyadékok határfelülete a lehető legkisebbre

húzódik össze.

A folyadék belsejében az egy molekulára ható

erők eredője nulla.

Felszíni molekulákra ható Fe a folyadék beseje

felé mutat. Fe

A felületnövekedéshez munkát kell végezni:

ΔW=α ΔA

A

W

Egységnyi felületnövekedéshez szükséges munkavégzés

N/m v. J/m2

A kísérleti tapasztalatok szerint a

folyadékok szabad felszíne másképpen

viselkedik, mint azt az előzőekben

megismert hidrosztatikai törvények

alapján várnánk. Pl. a lapjával a víz

felszínére helyezett borotvapenge

(vékony acéllemez) nem merül el a

folyadékban, annak ellenére, hogy

sűrűsége ~7,8 -szorosa a víz

sűrűségének. A víz felszíne a

borotvapenge súlya alatt ˝behorpad˝, a

felszín úgy viselkedik, mintha az egy

rugalmas hártya lenne.

Megfigyelhető továbbá, hogy a

folyadékok felszíne az edény falánál

vízszintes sík helyett görbült felülettel

jellemezhető.

Határfelületi jelenségek Felületi feszültség

A drótkeret függőleges helyzetében az l hosszúságú

drótdarab nyugalmi állapotának az a feltétele,

hogy a drótdarab és a rá függesztett kis test

együttes súlya megegyezzen az Fh erő

nagyságával. A mérések szerint az Fh erő független

a hártya A felületétől, és arányos az l hosszúsággal:

A lFhlFh 2

A 2-es szorzó a hártya két (elülső és hátulsó)

felületének hatásából adódik. Az arányossági

tényezőt felületi feszültségnek nevezzük. Az

egysége [N/m].

ΔsF nagyságú erő hat.

Az előzőek általánosításaként elmondhatjuk, hogy a

folyadék felszínét határoló görbe bármely s

hosszúságú vonaldarabjára a felszín érintősíkjában a

vonaldarabra merőlegesen

A folyadékok felületi feszültsége hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet

növekedésével csökken.

szobahőmérsékletű vízre:

a higanyra pedig:

ΔsF

m

NOH 073,0

2

m

NHg 5,0

Ugyanekkora erő hat a folyadékfelszín belsejében kijelölt görbe bármely s

vonalelemének mindkét oldalára.

10/4/2012

5

Ha az ábrán látható folyadékhártyával kitöltött keret

l hosszúságú mozgatható oldalát x úton

függőlegesen lefelé elmozdítjuk, akkor a felületi

feszültségéből származó erő ellenében

Felületi energia

A folyadék felülete a megnövelése közben végzett

munka révén potenciális energiához jut. A

potenciális energiának ezt az újabb fajtáját felületi

energiának nevezzük. A folyadékok felszíne csak

munkavégzéssel növelhető. A felszín növelésére

végzett munka a folyadék felületi energiáját növeli:

ΔAxlxFW 2

ΔAΔWΔE A felületi feszültség a folyadék felszínének egységnyi növeléséhez szükséges munkát

is jelenti. Ezért -t másképpen fajlagos felületi energiának vagy fajlagos felületi

munkának is nevezzük.

munkát végzünk, ahol A = 2lx a felület

megváltozását (növekedését) jelöli.

x

A lFh

A folyadék molekulái között vonzó kölcsönhatási erők, ún. kohéziós erők is

hatnak. A kohéziós erők hatósugara 10-8 m nagyságrendű, ami azt jelenti, hogy egy

molekulára csak egy r = 10-8 m sugarú „hatásgömbön” belüli molekulák fejtenek

ki erőhatást.

Kohéziós és adhéziós erők

Egy molekulának a folyadék

belsejéből a felszínre juttatásához (és

ezáltal a felszín növeléséhez) a

felületi rétegben befelé mutató erők

ellenében pozitív munkát kell

végezni.

Emiatt a felszínen lévő molekulák

potenciális energiája (felületi

energiája) nagyobb, mint a folyadék

belsejében lévőké.

A folyadék és az edény fala (egy szilárd

test) érintkezésekor is tapasztalunk

felületi jelenségeket.

A folyadék és a vele érintkező szilárd

test részecskéi között fellépő vonzó

kölcsönhatási erőket adhéziós erőknek

nevezzük.

A kohéziós és az adhéziós erők együttes

hatásának következménye a folyadék

felületének az edény falánál

tapasztalható görbültsége.

A nyugvó folyadék felülete mindig

merőleges a rá ható erők eredőjére.

Kohéziós és adhéziós erők

Az ábra azt az esetet mutatja, mikor az adhéziós erő (Fa) nagyobb, mint a

kohéziós erő (Fk) falra merőleges komponense, és így a folyadék „nedvesíti” az

edény falát. (Ilyen pl. a víz egy tiszta falú üvegedény esetén.)

Feladatok: Labda 10%-a belemerül a vízbe. Mekkora a

labda sugara, ha a tömege 55 g?

Egy 0,4 * 103 kg/m3 sűrűségű fadarabot 2,9 m mélyen a vízbe merítünk.

Határozzuk meg a fadarab gyorsulását elengedés után, és hogy mennyi idő

múlva éri el a felszínt!

Víz felületi feszültségének meghatározása céljából 1 mm átmérőjű csövön 1

cm3 vizet csepegtetünk ki, miközben 40 cseppet számlálunk. Mekkora az

adott hőmérsékleten a víz felületi feszültsége?

10/4/2012

6

HIDRODINAMIKA Viszkózus/ reális folyadékok

áramlása

Lamináris (réteges)

áramlás

Turbulens (örvényes)

áramlás

Áramlás: Folyadékok egyirányú mozgása.

feltétele: nyomáskülönbség (Δp)

Térfogati áramerősség

Az aortában ez 6 liter/perc - perctérfogat

Az áramlás erőssége az áramlási cső

keresztmetszetén áthaladó folyadék

térfogatának és az áramlás idejének a

hányadosa.

Ideális folyadékok áramlása

összenyomhatatlan

lamináris nem viszkózus

örvénymentes

Folytonosság törvénye

A cső keresztmetszetével (A) fordított arányban változik az áramlás

sebessége (v).

A folyadékok összenyomhatatlanok, így az áramlás erőssége minden időben és

helyen állandó.

A1

A2

v1

v2

d1

d2

anyagmegmaradás

Bernoulli törvénye

Munka (a rendszeren):

Gravitációs erő munkája

Munka (a rendszer által):

Az előrehaladáshoz szükséges erő munkája

Munkatétel: a mozgási energia

megváltozása egyenlő a rendszeren

végzett munkával

10/4/2012

7

.22

2

2

221

2

11 consthg

vphg

vp

Bernoulli egyenlet statikus dinamikus hidrosztatikus

Egy vízzel teli üveghenger falát egy pontban kilyukasztjuk.

A kiáramló víz sebessége meghatározható a Bernoulli egyenlet

segítségével.

Torricelli – törvénye

.22

2

2

221

2

11 consthg

vphg

vp

Áramlási csőben másodpercenként 3 cm3 víz halad át. Mennyi a víz sebessége

ott, ahol a cső átmérője 0,5 cm ill. 0,8 cm?

Víz áramlik egy zárt csőrendszerben. Egy adott pontban az áramlási sebesség 3

m/s, egy másik, 1 m-rel magasabban levő pontban pedig 4 m/s.

Mennyi a nyomás ebben a pontban, ha az alacsonyabban fekvő helyen 20 kPa?

Mennyi lenne a nyomás a felső helyen, ha megállítva az áramlást az alsó

pontban a nyomásértéke 18 kPa lenne?

Súrlódásos áramlás Állandó keresztmetszetű csőben áramló folyadék nyomása, az áramlás irányában

a középtengelytől mért távolsággal csökken.

Lamináris áramlás (Réteges) Turbulens áramlás (Örvénylő)

• Az áramlás sebessége (v) kicsi

• Nincs keveredés

• Sima felszín

• Az áramlás sebessége (v) a

viszkozitáshoz képest arányosan nagy

• Örvényes

• Durva felszín

dvR

Reynolds szám 1160

1160

R

Rlamináris

turbulens

10/4/2012

8

Viszkózus folyadékok áramlása

Newton –féle súrlódási (viszkozitási) törvény

Viszkozitás (belső súrlódási együttható):

Jele: η (éta)

Mértékegysége Pa·s

A viszkozitás függ:

• Anyagi minőség

• Koncentráció

• Hőmérséklet (hőmérséklet növekedésével csökken)

• Nyomás

Stokes törvénye 1851-ben, George Gabriel Stokes kimondta, hogy Egy

viszkózus folyadékban v sebességgel mozgó, r sugarú,

gömb alakú tárgyra ható súrlódási erőt hogyan lehet

meghatározni (kis Reynolds szám, folytonos viszkózus folyadékáramlásban)

Fd súrlódási erő

μ dinamikus viszkozitás (N s/m2),

R a gömb sugara (m), és

v sebesség(m/s).

Hagen-Poiseuille törvénye

p

I

turbulens

lamináris

p1 p2

l

2

21 )( rppApF

Nyomáskülönbségből származó erő

rl

pp

h

v

2

21

Sebesség profil

v

h

vAF

Áramerősség: I=A*v

21

4

8pp

l

rI

A1

p1

v1 p2 v2

A2 A1

p1

v1

Aneurizma: az ördögi kör

12

12

12

pp

vv

AA

Kontinuitási egyenlet

Bernoulli törvény

10/4/2012

9

Feladat:

Egy 1 mm belső átmérőjű 10 cm hosszúságú injekciós tűn

keresztül 10-3 Pas viszkozitású oldatból 20 cm3-t akarunk

befecskendezni 4 perc alatt, 1600 Pa vénás nyomással

szemben.

Hány Pa nyomás alkalmazása szükséges?

Legfeljebb mekkora térfogatú cseppeket képezhet a víz egy 2 mm átmérőjű

kapilláris cső alján? (A víz sűrűsége 1000 kg/m3, a felületi feszültsége az órai

feladatból)

Házi Feladat:

Egy kocka élhosszúsága 0,75 cm. Úgy úszik a 800 kg/m3 sűrűségű

olajon, hogy egyharmada emelkedik ki. Mekkora felhajtó erő hat a

kockára? Mekkora a kocka anyagának sűrűsége?