Hidrosztatika, hidrodinamika

Karádi Kristóf

Fizika-Biofizika I

Biofizikai Intézet, PTE ÁOK

2019. 10. 15.

Folyadékok alaptulajdonságai

folyadék: anyag, amely folyni képes• térfogat állandó,• alakjuk változó, a tartóedénytől függ• a térfogat-változtató erőkkel szemben ellenállást fejtenek ki• összenyomhatatlanok

𝜌 =𝑚

𝑉 𝑝 =𝐹

𝐴

𝑘𝑔

𝑚3

𝑁

𝑚2= 𝑃𝑎

sűrűség nyomás

Nyomás mértékegységei:

1 𝑃𝑎 = 1𝑁

𝑚2

1 𝑏𝑎𝑟 = 105 𝑃𝑎

1 𝑎𝑡𝑚 = 1.013 ∙ 105 𝑃𝑎 (légköri nyomás tengerszinten)

760 𝑇𝑜𝑟𝑟 = 1 𝑎𝑡𝑚

760 𝐻𝑔𝑚𝑚 = 1 𝑎𝑡𝑚 (760 mm magas higany oszlop nyomása)

Folyadékok fizikája

Áramló folyadékok

HIDRODINAMIKA

Nyugvó folyadékok

HIDROSZTATIKA

Ideális folyadékok áramlása Viszkózus folyadékok áramlása

Lamináris (réteges) áramlás

Turbulens (örvényes) áramlás

HIDROSZTATIKA

Hidrosztaikus nyomóerő, nyomás

hgA

Agh

A

Vg

A

mg

A

Fp

Hidrosztatikai nyomás: folyadék súlyából származó nyomás

A Föld felszínén nyugvó folyadékokban a nyomás a folyadékok súlya miatt a magassággal arányosan változik.

Kísérlet: Egy gumihártyával fedett végű/oldalú üvegcsövet vízzel teli tartályba helyezünk, majd megtöltjük vízzel.

A folyadék egy adott mélységében minden irányból azonos erővel nyomja a gumihártyát.

F = G = mg h

Iránya: fentről lefelé, lentről felfelé és oldalra

A hidrosztatikus nyomás értéke független az edény alakjától, a folyadékoszlop magasságával (h) és sűrűségével (ρf) egyenesen arányos.

Hidrosztaikus nyomóerő, nyomás

p=h ρf g

Feladat:760 mm magas higany-oszlop nyomása valóban a légnyomás?

(higany sűrűsége: 13595𝑘𝑔

𝑚3 )

Feladat:760 mm magas higany-oszlop nyomása valóban a légnyomás?

(higany sűrűsége: 13595𝑘𝑔

𝑚3 )

𝑝 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

𝑝 = 13595𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 9.81𝑚

𝑠2∙ 0.76𝑚 = 101358,882 𝑃𝑎

ℎ = 760 𝑚𝑚 = 0.76 𝑚

𝜌 = 13595𝑘𝑔

𝑚3

𝑔 = 9.81𝑚

𝑠2(𝑚𝑜𝑠𝑡 𝑒𝑛𝑛é𝑙 𝑎 𝑓𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑡𝑛á𝑙 𝑛𝑒 𝑘𝑒𝑟𝑒𝑘í𝑡𝑠ü𝑘)

Közlekedőedények

A folyadék nyomása nem függ az edény alakjától, ezért az egymással összeköttetésben álló edényekben a folyadék szintje azonos.

A két szár alakjától függetlenül azonos a két folyadékoszlop magassága ha

sűrűségük azonos.

Kísérlet: Egy U – alakú cső két szárába töltsünk két,egymással nem elegyedő, különböző sűrűségűfolyadékot.

Egyensúly esetén:𝑝1 = 𝑝2

ℎ1 ∙ 𝜌1∙ 𝑔 = ℎ2 ∙ 𝜌2∙ 𝑔

ℎ1ℎ2

=𝜌2 ∙ 𝑔

𝜌1 ∙ 𝑔

ℎ1ℎ2

=𝜌2𝜌1

Egymással nem keveredő folyadékoknak a közös érintkezési szinttől mért távolságai a

folyadékok sűrűségével fordítva arányosak.

A nyomás terjedése folyadékokban

F1

F2

Kísérlet: Egy folyadékkal teli tartályba két eltérő méretű dugattyú csatlakozik, az egyiket adott erővel benyomjuk.

Nyomás: p = F / A Munka: W = p ΔV

W1 = p1 ΔV = p1 A1 s1

W2 = p2 ΔV = p2 A2 s2

a folyadékok összenyomhatatlanok:

A1 s1 = A2 s2 = ΔV (egyik „oldal” ΔV= másik oldal ΔV)

W1 = W2

így p1 = p2

Azaz F1 / A1 = F2 / A2

Pascal törv.: Zárt folyadékokra ható nyomás minden irányban gyengítetlenül terjed

tovább.

F1 < F2

(Megjegyzés: 𝑊 = 𝐹∆𝑠 = 𝐹∆𝑉

𝐴)

Arkhimédesz törvénye

Egy A alapú h magasságú tárgy folyadékba merülh1 mélységben egy F1 erő nyomja lefelé:

F1 =p1A= (h1ρg)A

h2 mélységben egy F2 erő nyomja felfelé: F2 = p2A=(h2ρg)A

Feredő =F2-F1=ρg(h2-h1)A (h2-h1)A=Vtest bemerülő

Ffel=ρfolygVtest bemerülő

Minden folyadékba merülő testre felhajtóerő hat, amely az általa kiszorított folyadék súlyával

egyenlő.

Süllyedés

G>Ffel

Úszás, lebegés

G=Ffel

Emelkedés

G<Ffel

Feladat

Labda 10%-a belemerül a vízbe. Mekkora a labda sugara, ha a tömege 55 g?

𝜌𝑣í𝑧 = 1000𝑘𝑔

𝑚3𝑔 = 10

𝑚

𝑠2

m=55g=0.055kg

𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 = 1000𝑘𝑔

𝑚3

𝑉𝑔ö𝑚𝑏 =4

3𝑟3𝜋

Felhajtóerős feladat

𝑉𝑏𝑒𝑚 =10

100𝑉𝑡𝑒𝑙𝑗𝑒𝑠

𝐹𝑓𝑒𝑙ℎ = 𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑏𝑒𝑚

súlyerő: 𝐺 = 𝑚𝑔

𝐹𝑓𝑒𝑙 = 𝐺

𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉𝑏𝑒𝑚= 𝑚𝑔

𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ 𝑉𝑏𝑒𝑚= 𝑚

𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙10

100𝑉𝑡𝑒𝑙𝑗𝑒𝑠 = 𝑚

𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙10

100∙4

3𝑟3𝜋 = 𝑚

𝑟 =3 100

10

3

4

𝑚

𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦𝜋= 0.0508 𝑚 = 5.08𝑐𝑚

Labda 10%-a belemerül a vízbe. Mekkora a labda sugara, ha a tömege 55 g?

HIDRODINAMIKA

Áramlás: Folyadékok egyirányú mozgása.

Súrlódásmentes és súrlódásos áramlás

feltétele: nyomáskülönbség (Δp)

Térfogati áramerősség(áramló folyadékot jellemzésére használjuk)

[m3/s v. liter/perc]

Az aortában ez 6 liter/perc - perctérfogat

Az áramlás erőssége az áramlási cső keresztmetszetén áthaladó folyadék térfogatának és az áramlás idejének a hányadosa.

𝐼𝑉 =∆𝑉

∆𝑡

𝑄 = 𝐼𝑉 =∆𝑉

∆𝑡

Megjegyzés: a térfogati áramerősséget gyakran jelöljük Q-val is

Folytonosság törvénye (kontinuitási egyenlet)A folyadékok összenyomhatatlanok, így az áramlás erőssége minden

időben és helyen állandó.A cső keresztmetszetével (A) fordított arányban változik az áramlás

sebessége (v).

I = A v = konst. Időben állandó (stacionárius) áramlás

Merev cső esetén a térfogati áramerősség a hossza mentén mindenütt ugyanakkora. Minden keresztmetszeten ugyanakkora tömeg lép át ugyanannyi idő alatt.

(anyagmegmaradás!!!)

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐼𝑉 =∆𝑉

∆𝑡=𝐴 ∙ 𝑑

∆𝑡=𝐴 ∙ 𝑣 ∙ ∆𝑡

∆𝑡= 𝐴 ∙ 𝑣

*feltétel: merev falu csövek, stacionárius áramlás, ideális (súrlódás-mentes) folyadék

Bernoulli törvénye

.22

2

2

221

2

11 állhg

vphg

vp

statikus nyomás

dinamikai nyomás

hidrosztatikai nyomás

𝑝 +𝜌 ∙ 𝑣2

2+ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

Egyszerűsített háttér:Az egyenlet az enegriamegmaradásból!!! következik:V-vel végigszorozva minden tagot energiákat kapunk:

𝑉𝑝 +𝜌𝑉 ∙ 𝑣2

2+ 𝜌𝑉 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

𝑉𝑝 +𝑚 ∙ 𝑣2

2+ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = konstans

Feladatok 𝜌𝑣í𝑧 = 1000𝑘𝑔

𝑚3𝑔 = 10

𝑚

𝑠2

Áramlási csőben másodpercenként 3 cm3 víz halad át. Mennyi a víz sebessége ott, ahol a cső átmérője 0,5 cm ill. 0,8 cm?

Víz áramlik egy zárt csőrendszerben. Egy adott pontban az áramlási sebesség 3 m/s,

egy másik, 1 m-rel magasabban levő pontban pedig 4 m/s. Mennyi a nyomás ebben

a pontban, ha az alacsonyabban fekvő helyen 20 kPa?

𝑑12= 𝑟1 = 0.25𝑐𝑚

𝑑22= 𝑟2 = 0.4𝑐𝑚

𝐼𝑉 = 3𝑐𝑚3

𝑠

Folytonosság törvénye

𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐼𝑉 =∆𝑉

∆𝑡= 𝐴 ∙ 𝑣

𝑣 =𝐼𝑣𝐴=

𝐼𝑣𝑟2𝜋

𝑣𝑟1 = 15.29𝑐𝑚

𝑠

𝑣𝑟2 = 5.97𝑐𝑚

𝑠

ahogy vártuk: 𝑣𝑟1 > 𝑣𝑟2

hisz: 𝑟1 < 𝑟2

Áramlási csőben másodpercenként 3 cm3 víz halad át. Mennyi a víz sebessége ott, ahol a cső átmérője 0,5 cm ill. 0,8 cm?

Bernoulli

v (m/s) h (m) p (Pa)

A 3 0 20000

B 4 1 ?

𝑝𝐴 +𝜌𝑣𝐴

2

2+ 𝜌𝑔ℎ𝐴 = 𝑝𝐵 +

𝜌𝑣𝐵2

2+ 𝜌𝑔ℎ𝐵

𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 +𝜌𝑣𝐴

2

2+ 𝜌𝑔ℎ𝐴 −

𝜌𝑣𝐵2

2− 𝜌𝑔ℎ𝐵 = 6500𝑃𝑎

Víz áramlik egy zárt csőrendszerben. Egy adott pontban az áramlási sebesség 3 m/s,

egy másik, 1 m-rel magasabban levő pontban pedig 4 m/s. Mennyi a nyomás ebben

a pontban, ha az alacsonyabban fekvő helyen 20 kPa? 𝜌𝑣í𝑧 = 1000𝑘𝑔

𝑚3𝑔 = 10

𝑚

𝑠2

Venturi hatás

Áramló gáznak vagy folyadéknak egyfajta szívó hatása van (ezt hívjuk Venturi hatásnak): Bernoulli törvénye értelmében minél nagyobb az áramlási sebesség (pl szűkülő áramlási keresztmetszet miatt) annál kisebb lesz a sztatikai nyomás. Így pl oxigén maszk esetén ahol nagy sebességű oxigén áramlik a maszk belsejében kisebb a nyomás, így kintről levegő fog beáramlani a maszkon levő lyukakon át.

Viszkózus (nem ideális) folyadékok áramlása

Newton –féle súrlódási (viszkozitási) törvény

h

vAF

**

Viszkozitás (belső súrlódási együttható):

Jele: η (éta)

Mértékegysége Pa*s

A viszkozitás függ:

•Anyagi minőség

•Koncentráció

•Hőmérséklet (hőmérsélet növekedésével csökken)

•Nyomás

η ≠ 𝜌 !!!

pl.:

𝜌𝐻𝑔 > 𝜌𝐻2𝑂 η𝐻𝑔 < η𝐻2𝑂

A folyadékokat, amelyekre a Newton –féle súrlódási (viszkozitási) törvény igaz (konstansviszkozitás az alkalmazott “mechanikai-feszültségtől” függetlenül), newtoni folyadékoknak nevezzük. Nem newtoni folyadék az ízületekben (pl. térdben) található szinoviális folyadék, amelynek viszkozitása a nyomás növekedésével csökken, így hatékonyabban működik, mint a kenőanyag.

Parabola alakú sebességprofil:(a legnagyobb a súrlódás a folyadék és a cső fala közt, ott a leglassabb az áramlás)

Ezért a vörösvértestek az erek tengelye mentén sűrűsödnek össze, mivel ott a nagyobb sebesség miatt kisebb, a széleken pedig a kisebb sebesség miatt nagyobb a sztatikai nyomás (Bernoulli), ami középre tereli a vvt-ket.

Súrlódásos áramlás

Lamináris áramlás (Réteges) Turbulens áramlás (Örvénylő)

•Az áramlás sebessége (v) kicsi•Nincs keveredés•Sima felszín

•Az áramlás sebessége (v) aviszkozitáshoz képest arányosan nagy•Örvényes•Durva felszín

dvR

Reynolds szám 1160

1160

R

R lamináris

turbulens

lamináris

turbulens

v: sebességρ: folyadék sűrűségd: cső átmérőη: folyadék viszkozitása

Hagen-Poiseuille törvénye

12

4

8pp

l

rI

pI

lI

I

rI

~

1~

1~

~ 4

(lamináris áramlásra igaz áramlási csőben)

*feltétel: merev cső, stacionárius, lamináris áramlás, figyelembe veszi a folyadék súrlódását is

Fontos:pl.:3szor akkora sugár:34=81szer akkora áramerősség!!!

a szervezet így az erek átmérőjével szabályozza azáramlást a legegyszerűbben

de vigyázat!: az összkeresztmetszet számít! így pl a kapilláris erek ugyan kicsik, de sokan vannak, így ott a leglassabb az áramlás

A1

p1

v1 p2v2

A2 A1

p1

v1

Aneurizma: az ördögi kör

12

12

12

pp

vv

AA

Kontinuitási egyenlet

Bernoulli törvény

A törvény leírja, hogy mekkora súrlódási erő hat egy r sugarú gömb alakú testre mely v sebességgel halad egyη viszkozitású folyadékban (kis Reynolds számot feltételezve)

𝐹𝑆 = 6 ∙ 𝜋 ∙ η ∙ 𝑟 ∙ 𝑣

Stokes törvénye:

Egy 1 mm belső átmérőjű, 10 cm hosszúságú injekciós tűn keresztül 10-3 Pa s viszkozitású oldatból 20 cm3-t akarunk befecskendezni 4 perc alatt 1600 Pa vénás nyomással szemben. Hány Pa nyomás alkalmazása szükséges?

Feladat

d=1mm --> r=0,5mm = 0,0005m

L=10cm = 0,1m

η=0,001Pa s

V=20cm3 = 0,000 02m3

t=4perc = 240s

p1=1600Pa

p2=?

Hagen-Poiseuille

I=∆𝑉

∆𝑡=

𝜋∙∆𝑝∙𝑅4

8∙𝜂∙𝐿

∆𝒑 =𝟖 ∙ 𝜼 ∙ 𝑳 ∙ 𝑽

𝝅 ∙ 𝑹𝟒 ∙ 𝒕=

=8 ∙ 0,001 ∙ 0,1 ∙ 0, 𝟎𝟎𝟎02

3,14 ∙ 0,0005 4 ∙ 240𝑃𝑎 = 339,7𝑃𝑎

𝑝2 − 𝑝1 = ∆𝑝 → 𝑝2 = ∆𝑝 + 𝑝1 = 1939,7𝑃𝑎

Egy 1 mm belső átmérőjű, 10 cm hosszúságú injekciós tűn keresztül 10-3 Pa s viszkozitású oldatból 20 cm3-t akarunk befecskendezni 4 perc alatt 1600 Pa vénás nyomással szemben. Hány Pa nyomás alkalmazása szükséges?

Források:

-Dr. Leipoldné Vig Andrea és Takács-Kollár Veronika biofizika fizikai alapjai diái (PTE ÁOK Biofizikai Intézet)

-Dr. Lukács András gyógyszerész előadás anyagai (PTE ÁOK Biofizikai Intézet)

-Telek Elek gyógyszerész előadás diája (PTE ÁOK Biofizikai Intézet)

-https://forums.studentdoctor.net/threads/aamc-fl2-cp-25.1275134/