Hinh hoc khong gian

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

1

Chương

1/

Cho ABCD

2/

a)

b)

c)

d)

2 2 2

2

2 4

AB AC BCAM

+* = - .

2 2 22

2 4

BA BC ACBN

+* = - .

A

C B

R

2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

ABC)

b c

a

A

B C

b c

a

p –

r –

1 1 1

. . .2 2 2

ABC a b cS a h bh c hD = = =

1 1 1

sin sin sin2 2 2

ABCS ab C bc A ac BD = = =

, .4

ABC ABC

abcS S p r

RD D= =

( )( )( ) ,2

ABC

a b cS p p a p b p c pD

æ ö+ + ÷ç= - - - = ÷ç ÷çè ø

A

B C

b c

a

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

2 2 22 2 2

2 cos cos2

2 cos cos2

2 cos cos2

b c aa b c bc A A

bc

a c bb a c ac B B

ac

a b cc a b ab C C

ab

+ -* = + - Þ =

+ -* = + - Þ =

+ -* = + - Þ =

A

B C H M

( ) 2 2 2BC AB AC Pitago= +

. .AH BC AB AC=

2 2. , .AB BH BC AC CH CB= =

2

2 2 2

1 1 1, .AH HB HC

AH AB AC= + =

2

BCAM =

A

B C

N K

M



2 2 2

2

2 4

CA CB ABCK

+* = - .

3/

4/

2 vuông.

u:

. 3

4S

D=

. 3

2h

D=

2 .

S 1

2= + x

2

2

/ /

AMN

ABC

AM AN MNMN BC k

AB AC BC

S AMk

S AB

D

D

* Þ = = =

æ ö÷ç ÷* = =ç ÷ç ÷çè ø

A

B C

N M

A C

B

1.

2ABCS AB ACDÞ =

A

B

C

a h

2 3

4

3

2

ABC

aS

ah

D

ìïï =ïïïÞ íïï =ïïïî

A B

C D

a O

2

2

HVS a

AC BD a

ì =ïïïÞ íï = =ïïî

A

B H C

D

( ).

2

AD BC AHS

+Þ =

A

B

D

C .

1.

2H T hoiS AC BDÞ =

2



1/ // ( )d mp a ( )( )d aË

// 'd d ' ( )d aÌ

( )d bÌ ( ) // ( )b a

d ( )a .

2/ ( ) // ( )mp mpa b

minh ( )mp a ( )mp b .

( )mp a ( )mp b

3/

Hai ( )( ),mp a b song song ,a b

( ) // // ( ) Sx a ba bÇ = .

( )

( ) //

// ( )

( )a mp

b aa mp

aa b

b

ìïïï Þ Ç =íï Ìïïî

.

4/ ( )d mp a^

d ( )mp a .

( )

// '

'

d d

d mp a

ìïïï Þíï ^ïïî

( )d mp a^

( )

( ) ( ) //

d mp

mp mp

b

b a

ìï ^ïï Þíïïïî

( )d mp a^

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

P

P d P

d

a

b

a b

ìï ^ïïïï ^ Þ ^íïïï Ç =ïïî

5/ 'd d^

( )d a^ ( ) 'da É .

d 'd 090 .

6/ ( ) ( )mp mpa b^

( )

( )( ) ( )

dmp mp

d

aa b

b

ìï Éïï Þ ^íï ^ïïî



090 .



¶ · //

//

'( , ) ( ', ')

'

a aa b a b

b bf

ìïï Þ = =íïïî

d ( )mp a

( )· ·, ( , ')d d da f

é ù= =ê ú

ê úë û

'd d lên ( )mp a ).

( )mp a ( )mp b

u ,

2

( )·( ) ¶( ); ( , )a ba b f= =

( ),d M MHD =

:

song song

d ( )mp a

'd d .

( ) ( ),a b

d 'd .

a

b

'a

'b

d

'd

a b

u

M d

'd

M

M

D H

M d

'd



S

A

B

C

H O

A

B C

D

S

O H

1/ .

.

:

2/

a/ .S ABC

ABC .

S .

SO .

· · ·SAO SBO SCO= = .

·SHO .

2 1 3

, ,3 3 2

ABAO AH OH AH AH= = = .

+ +

b/ .S ABCD .

ABCD

S .

SO .

· · · ·SAO SBO SCO SDO= = = .

·SHO .

1/ :

.S ABC

( )SA ABC^ SA .

2/ :

.S ABCD ( )SAB

( )ABCD

SABD .

3/ :

.S ABCD

( )SAB ( )SAD

( )ABCD SA .

:

.S ABCD

ABCD



SO .



A

B

: 1

.3

V B h=

:B

:h

: .V B h=

:B

:h

bên.

: . .V a bc=

Þ : 3V a=

: . ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC=

5/

( )' '3

hV B B BB= + +

, ',B B h

.

+

+

C

D

S

O

C A

B

B’

’ ’

A

B

C

’

B’

’

a

b

c

a

a a

S

’ B’

’

A B

C



.

B

Tính th .S ABC .

( ) .

1. . 1

3S ABC ABCV S SA

D=

( ) 2SA a=

ABC

SD

?

Trong ABCD B

00

0 0

. sin 30sin 302

3cos 30 .cos 30

2

aBCBC AC

ACAB a

AB ACAC

ìì ïï ïï = == ïï ïïï ïÛí íï ïï ï= = =ï ïï ïïî ïî

( ) 21 1 3 3

. . . 32 2 2 2 8ABC

a a aS AB BC

DÞ = = =

* Thay( ) ( )2 , 3 ( )2 3

.

1 3 31 .

3 8 24S ABC

a aV aÞ = × = ( )4

ng cách t A n ( )mp SBC .

( ) ( ) ( ) .

.

3.1, . , 5

3

S ABC

S ABC SBC

SBC

VV d A SBC S d A SBC

SD

D

é ù é ù= Þ =ê ú ê úë û ë û

* SBCD ?

( )BC AB

BC mp SAB BC SB SBCBC SA

ìï ^ï Þ ^ Þ ^ Þ Díï ^ïî

B .

2 2

2 2 2 2 2 21 1 1 3 3. . . . .

2 2 2 2 2SBC

a aS BC BS AC AB SA AB a a

D

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç çÞ = = - + = - +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

. Cho hình chóp .S ABC i · 0, 30 ,B BAC SA AC a= = = và SA vuông

góc v i ( )mp ABC .Tính .S ABC và kho ng cách t A n ( )mp SBC .

S

A C

B

300

a

.

.



( ) 21 7 7

62 2 2 8

a a a= × × = .

( ) ( )4 , 6 ( )5 ( )3

2

3 8 21, 3

24 77

a ad A SBC

a

é ùÞ = × × =ê úë û.

B

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

SAB ABCD

SAD ABCD SA ABCD

SAB SAD SA

ìï ^ïïï ^ Þ ^íïï Ç =ïïî

.

Þ SC lên ( )mp ABCD AC .

( )· · 0, 60SC ABCD SCAé ù

Þ = =ê úê úë û

.

: ( ) .

1. 1

3S ABCD ACBDV SA S= .

?SA

Trong SACD A :

· ·tan . tan

SASCA SA AC SCA

AC= Þ = ( ) 2 2 0 2 2. tan 60 (2 ) . 3 15 2AB BC a a a= + = + = .

( ) 2. .2 2 3ABCD

S AB BC a a a= = = .

Thay( ) ( )2 , 3 ( )3

21 2 151 15 2

3 3ABCD

aV a aÞ = × × =

B

a/ CM: ( )SI mp ABC^

Do SABD SI Þ SI

SI ABÞ ^ .

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

SAB ABC

AB SAB ABC SI mp ABC

AB SI SAB

ìï ^ïïï = Ç Þ ^íïï ^ Ìïïî

b/ .S ABC

K AC .

. Cho hình chóp .S ABCD có áyABCD là hình ch nh t có , 2AB a BC a= = . Hai ( )mp SAB và

( )mp SAD vuông góc v , c nhSC h p v i áy m t góc060 . Tính th tích kh i

chóp .S ABCD theoa .

S

A D

B C

600

. Hình chóp .S ABC có 2BC a= ABC là tam giác vuông t i ,C SAB là tam giác vuông cân

t iS và n m trong m t ph ng vuông góc v i m iI m c nhAB .

a/ Ch ng minh r ng th ng ( )SI mp ABC^ .

b/ Bi t ( )mp SAC h p v i ( )mp ABC m t góc060 . Tính th tích kh i chóp .S ABC .

S

A B

C

I

K

600

2a



SKÞ SAC SK ACD Þ ^ .

Trong ABCD C KI

//KI BCKI AC

BC AC

ìïïÞ Þ ^íï ^ïî

.

( ) ( )· · 0

( ) ( ) { }

( ) ; 60

( )

mp ABC mp SAC AC

KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI

SK AC mp SAC

ìï ^ =ïï é ùïÞ ^ Ì Þ = =í ê úï ê úë ûï ^ Ìïïî

.

( ) .

1. 1

3S ABC ABCV S SI

D=

?SI

Trong SKID I · · ( ) 01

tan . tan . . tan 60 3 22

SISKI SI IK SKI BC a

IK= Þ = = = .

ABC

SD

?

( )2

2 2 21 1 1. . . . . . 2

2 2 2ABCS BC AC BC AB BC BC SI BC

D= = - = -

( ) ( ) ( ) 2 2

21.2 . 2 3 2 2 2 3

2a a a a= - = .

( ) ( )2 , 3 ( )3

2

.

1 2 61 .2 2. 3

3 3S ABC

aV a aÞ = =

B

.S ABCD

G iO là tâm c a m hì ( )SO mp ABCD^

nênSO ng cao c iM là trung

nCD .

· 0

( )

( ) 60

( ) ( )

CD SM SCD

CD OM ABCD SMO

CD SCD ABCD

ìï ^ Ìïïï ^ Ì Þ =íïï = Çïïî

(góc gi a m t( )SCD và m

T ( ) .

1. 1

3S ABCD ABCDV S SO=

?SO

Trong SMOD O ·

tanSO

SMOOM

=

· ( ) 0. tan . tan 60 3 22

BCSO OM SMO aÞ = = = .

( ) ( ) 2

2 22 4 3ABCD

S BC a a= = = .

( ) ( )2 , 3 ( )3

21 4 31 .4 . 3

3 3ABCD

aV a aÞ = =

u .S ABCD có c 2a , góc gi a m t bên và m ng060 . Tính th tích c a

hình chóp .S ABCD .

S

A

B C

D

O

2a

M 600



.

B

, ,H M I

, ,AB AC AM .

( ) . ' ' '

. . ' 1ABC A B C ABC

V B h S A HD

= =

Do ABCD ( ) 2 2. 3 3

24 4ABC

BC aS

D= = .

'A H ?

Do IH AMBD

BM

: // IH MB

IH ACMB AC

ìïï Þ ^íï ^ïî

( )'

' 'AC A H

AC A HI AC A IAC IH

ìï ^ï Þ ^ Þ ^íï ^ïî

( ) ( )· · 0

( ) ( ' ') { }

( ) ' ' ; ' 60

' ( ' ')

ABC ACC A AC

AC IH ABC ACC A ABC A IH

AC A I ACC A

ìï Ç =ïï é ùï ^ Ì Þ = =í ê úï ê úë ûï ^ Ìïïî

.

Trong 'A HID H ( )o 0 ' 1 3tan 45 ' . tan 45 3

2 4

A H aA H IH IH MB

HI= Þ = = = = .

Thay( ) ( )2 , 3 ( )2 3

. ' ' '

3 3 31 .

4 4 16ABC A B C

a a aVÞ = = .

B

Do BC AB

BC A BBC AA

ìï ^ï ¢Þ ^í¢ï ^ïî

.

Và ·

( )

( ) '

( ) ( ' )

BC AB ABC

BC AB A BC ABA

BC ABC A BC

ìï ^ Ìïïï ¢^ Ì Þíïï = Çïïî

là góc gi a( )ABC và( )ABC .

Ta có:

22.1 2. 3. 2 3

2

A BCA BC

S aS A B BC A B a

BC a

¢D¢D

¢ ¢= Þ = = = .

·

·

0

0

. cos 2 3.cos 30 3

. sin 2 3. sin 30 3

AB A B ABA a a

AA A B ABA a a

¢ ¢= = =

¢ ¢ ¢= = =

. Cho hình tr . ' ' 'ABC A B C ABC u c nh b nga . Hình chi u vuông góc c a

'A xu ng ( )mp ABC m c aAB . M t bên( )' 'AA C C t o v t góc b ng 45o.

Tính th tích c a kh này.

’ B’

’

A B

C

M

I

H

a

ng . ' ' 'ABC A B C ABC là tam giác vuông t i ,B BC a= , ( )'mp A BC

t o v t góc 030 và 'A BCD có di n tích b ng

2 3a . Tính th tích kh .

B

’ ’

B’

A C 30

o

a



V y:

3

. ' ' '

1 1 3 3. . . . . .3 . . 3

2 2 2ABC A B C ABC

aV B h S AA AB BC AA a a a¢ ¢= = = = = .

B

Ta có: ( )AB AC

AB ACC AAB AA

ìï ^ï ¢ ¢Þ ^í¢ï ^ïî

AC ¢là hình chi u vuông

góc c a BC ¢ lên ( )ACC A¢ ¢ .

T aBC ¢và ( )ACC A¢ ¢ là ·

030BC A¢ = .

Trong tam giác vuôngABC : 0. tan 60 3AB AC a= = .

Trong tam giác vuông 'ABC : 0. cot 30 3. 3 3AC AB a a¢= = = .

Trong tam giác vuông 'ACC : 2 2 2 2' ' (3 ) 2 2CC AC AC a a a= - = - = .

V y, th là: 31 1

. . . ' . 3. .2 2 62 2

V B h AB AC CC a a a a= = = = .

B

.

( )BC AB

BC SBA BC SBBC SA


.

( ) ( )( )( )

( ) ( )· · 0; 30

SBC ABC BC

BC SB SBC SBC ABC SBA

BC AB ABC

ìï Ç =ïï é ùïïÞ ^ Ì Þ = =í ê úï ê úë ûïï ^ Ìïïî

.

// MN BC . Do ( )BC SBA^ nên ( )MN SBA^

MN SBCD ( ) 12 2

BC aMNÞ = =

( ) . .

1. . 2

3S ABM M SAB SABV V S MN

D= = .

SAB

SD

?

Trong SABD A 0 0 3

tan 30 . tan 303

SA aSA AB

AB= Þ = = .

( ) 21 1 3 3

. . . . 32 2 3 6SAB

a aS SA AB a

DÞ = = =

. Cho ng . ' ' 'ABC A B C ABC là tam giác vuông t i· 0, , 60A AC a ACB= = .

ng chéo 'BC c a m t bên ( )' 'BC C C t o v i m t ph ng ( )' 'mp AA C C m t góc 030 . Tính th

tích c a kh theo a .

B’

A C

B’

A’ C’

a 600

30o

. ,B,D – 2011)

.S ABC ABC ( ), ,B AB a SA ABC= ^

( )mp SBC ( )mp ABC 030 M SC

.S ABM theo a .

B

A

S

M

C

30o

N



( ) ( )1 ; 3 ( )2 3

. .

1 3 32 . .

3 6 2 36S ABM M SAB

a a aV VÞ = = =

.

3

.

1 1 1 3 3. . . . .

3 3 2 3 18S ABC ABC

a aV S SA a a

D= = =

3

. .

.

.

2 3. . 2

2 36

S ABC S ABC

S ABM

S ABM

V VSA SB SC SM aV

V SA SB SM SM= = = Þ = =

B

: ( ) ( ) { }

( )( )

SBC ABC BCAB SBC

BC AB ABC

ìï ^ =ïï Þ ^íï ^ Ìïïî

.

.S ABC : . .

1. .

3S ABC A SBC SBCV V S AB

D= = .

· 0 21 1. . . sin .4 .2 3. sin 30 2 3

2 2SBCS BC BS SBC a a a

D= = =

( ) 2 3

. .

1.2 3.3 2 3 1

3S ABC A SBCV V a a aÞ = = =

B n ( )mp SAC ?

( ). .

1. . ;

3S ABC B SAC SACV V S d B SAC

D

é ù= = ê úë û

( ) ( ) .3.

; 2S ABC

SAC

Vd B SAC

SD

é ùÞ =ê úë û.

( ) 2 2 2 2 2 29 12 21AB SBC AB SB SA AB SB a a a^ Þ ^ Þ = + = + = .

SBCD : ·2 2 2 2. . . cosSC BC BS BC BS SBC= + -

2 2 2 2316 12 2.4 .2 3. 4

2SC a a a a aÞ = + - = .

Trong ABCD B : 2 2 2 2 2 29 16 25AC AB BC a a a= + = + = .

2 2 2 2 2 221 4 25SA SC a a a AC SAC+ = + = = Þ D S .

SAC ( ) 21 1. . .2 . 21 21 3

2 2SACS SC SA a a a

D= = = .

Thay( ) ( )1 , 3 ( ) ( )3

2

3.2 3 6 72 ;

721

a ad B SAC

a

é ùÞ = =ê úë û.

10. – 2009)

.S ABCD A , 2 ,D AB AD a CD a= = =

( )mp SBC ( )mp ABCD 060 I AD B ( )mp SBI

( )mp SCI ( )mp ABCD .S ABCD

. – 2011)

.S ABC ABC , 3 , 4B BA a BC a= = ,( ) ( )SBC ABC^

B · 02 3, 30SB a SBC= = .S ABC B ( )mp SAC

S

C

B

A

3a 4a

2 3a

030



B

( )mp SBI ( )mp SCI ( )mp ABCD ( )SI ABCD^ .

IH BC SH BC^ Þ ^

· 060SHI = ( )mp SBC ( )mp ABCD .

.S ABCD : ( ) .

1. . 1

3S ABCD ABCDV S SI= .

?SI

Trong SIHD I 0. tan 60 . 3SI IH IH= = .

,M N ,AB BC .

IN ABCD

.

1 2 3. . ?

3 2 2 2S ABCD ABCD

AB CD a a aV S SI IN

+ += = = = .

: · ·

. cos .cosIH IN HIN IN MCB= = (do·HIN

·MCB

.

·. cos .

MCIH IN MCB IN

BCÞ = =

2 2 2 2

3 2 3 5. .

2 54

AD a a aIN

MB MC a a= = =

+ +.

( ) 3 5 3 15

. 3 . 3 25 5

a aSI IHÞ = = = .

ABCD

S ?

( ) ( )( ) 2

2 .23 3

2 2ABCD

DC AB AD a a aS a

+ += = = .

Thay( ) ( )2 , 3 ( )3

2

.

1 3 15 3 151 . .3

3 5 5S ABCD

a aV aÞ = =

B

H AD SH AD^ .

Do ( ) ( )SAD ABCD^ nên ( )SH ABCD^ .

SADD 3

2

aSHÞ = .

S

D

A M B

C

N

H

I

600

11. – 2007)

.S ABCD ABCD a SAD

ABCD , ,M N P , ,SB BC CD

CMNP .

S

H

A

D C

B

M

N

P

K



( ) // MK SH K HBÎ

( )MK ABCDÞ ^ 3

2 4

SH aMK = = .

1

. .3CMNP CNP

V S MKD

=

2 31 3 . 3. .

3 8 4 96

a a a= =

B

O ABCD .

Trong SACD NO

( )( )

// NO SANO ABCD

SA ABCD

ìïïï Þ ^íï ^ïïî

( )NO ABIÞ ^ hayNO

ANIB .

( ) 12 2

SA aNO = =

: ( ) .

1. . 2

3ANIB N AIB AIBV V S NO

D= = .

?AIB

SD

=

Do I ABDD nên:

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 3.

3 3 2 3 3 3 3

2 2 2 6. . .

3 3 3 2 3

AC AC AD DC AD AB aAI AO

AD aBI BM AB AM AB

ìï + +ïï = = = = = =ïïïÞ íï æ öï ÷ç ÷ï = = + = + =ç ÷ï ç ÷çï è øïî

:

2 2

2 2 2 23 6

3 3

a aAB a AI BI AIB

æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = + = + Þ D÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

I .

( ) 21 1 3 6 2

. . . . 32 2 3 3 6AIB

a a aS AI BI

DÞ = = = .

Thay( ) ( )1 , 3 ( )2 3

.

1 2 22 . .

3 6 2 36N AIB

a a aVÞ = =

2. – 2006)

.S ABCD ABCD , 2,AB a AD a SA a= = = SA

,M N ,AD SC I

BM AC ANIB .

A B

C D

M

I

S

A

D C

B

M

N

I O

3. – 2009)

. ' ' 'ABC A B C 'BB a= 'BB ( )mp ABC

060 ABC C · 060BAC = 'B lên

( )mp ABC ABCD 'A ABC theo a .



B

,M N ,AB AC G ABCD .

Do 'B lên ( )mp ABC G nên ( )'B G ABC^

( )· · 0; ' 60BB ABC B BGé ù

Þ = =ê úê úë û

.

( ) '

1 1. . ' . . . ' 1

3 6A ABC ABCV S B G AC BC B G

D= = .

'B G ?

Trong 'B BGD G · 0' 60B BG = 'BB a=

( ) 3; ' 22 2

aaBG B GÞ = = .

,AB BC ?

2AB x= . Trong ABCD C · 060BAC =

BC .

, 32

ABAC x BC xÞ = = =

DoG ABCD3 3

2 4

aBN BGÞ = = .

Trong BNCD C : 2 2 2BN NC BC= +

( ) 2 2 2

2 2

3

9 9 3 2 133 3

16 4 52 3 32 13

2 13

aAC

a x a ax x x

aBC

ìïï =ïïïïÛ = + Û = Þ = Þ íïï =ïïïïî

( ) ( )2 , 3 ( )3

'

1 3 3 3 3 91 . . .

6 2 1082 13 2 13A ABC

a a a aVÞ = = .

+ +

+

+

B ’ B’ ’ B . ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC= .

’

B’

C’

A

B

C

G

N

M

600

B

A

C

N

M

G



:

’ ’ B

’ ’

' '

. ' ' ' ' ' '

. .

1. ' '

3

1.

3

SB CS A B C A SB C

S ABC A SBCSBC

S A HV V

V VS AH

D

D

= =

( )

1'. ' . sin . ' '

' . ' . '2

1 . .. . sin .

2

SB SC A HSB SC SA

ÐpcmSB SC SA

SB SC AH

a

a

= = Þ .

· ·

' 'B SC BSCa = = .

’ B’ ’ ', ', 'A A B B C Cº º º .

S

’ B’

’

A B

C

H

’



B

a/ .S ABC .

.

1. .

3S ABC ABCV S SA

D= SA a= .

ABCD vuông B 2AC a= nên ABCD

2AC a= Þ AB BC a= = . 21

.2 2ABC

aS AB BC

DÞ = = .

( ) 2 3

.

1 1. . . .

3 3 2 6S ABC ABC

a aV S SA a Ðvtt

D= = = .

b/ .S AMN .

BC ,G SBCD .

2

3

SI

SG= .

Do ( ) // // 2

3

SM SN SGmp BC MN BC

SB SC SIa Þ Þ = = = .

( ) 3 3

.

. .

.

4 4 4 2. . .

9 9 9 6 27

S AMN

S AMN S ABC

S ABC

V SM SN a aV V Ðvtt

V SB SCÞ = = Þ = = = .

B

( ) . . . . . .

1A BCKH S AHK S ABC A BCKH S ABC S AHK

V V V V V V+ = Þ = - .

Do ABCD a 2SA a= nên:

( ) 2 3

.

1 1 3 3. . . .2 2

3 3 4 6S ABC ABC

a aV S SA a

D= = = .

.

2 2

.

. .. . .S AHK

S ABC

V SA SH SK SH SB SK SC

V SA SB SC SB SC= =

2 2 4

2 2 2 2 2 2

16 16.

255 .5

SA SA a

SA AB SA AC a a= = =

+ +.

( ) . .

16. 3

25S AHK S ABCV VÞ = .

4 .S ABC ABCD ( ), 2, ,B AC a SA mp ABC SA a= ^ = .

.S ABC .

G SBCD , ( )mp a AG BC ,SC SB

,M N .S AMN .

S

A

B

C M

N

G

I

15. – 2006)

p .S ABC ABCD a ( )SA ABC^ , 2SA a= ,H K

A ,SB SC .A BCKH theoa .

S

A

B

C

H

a

K

2a



( ) ( ) ( ) ( ) 3

. . . .

16 9 3 31 , 2 , 3 . .

25 25 50A BCKH S ABC S ABC S ABC

aV V V V ÐvttÞ = - = = .

B

( ) // MN CD N SDÎ ABMN ( )ABM .

.

.

1

2

S ABN

S ABD

V SN

V SD= = .

( ) . . .

1 11

2 4S ABN S ABD S ABCDV V VÞ = = .

.

.

1 1 1. .

2 2 4

S BMN

S BCD

V SM SN

V SC SD= = = .

( ) . . .

1 12

4 8S BMN S BCD S ABCDV V VÞ = = .

( ) . . .

3S ABMN S ABN S BMN

V V V= + .

( ) ( ) ( ) . .

31 , 2 , 3

8S ABMN S ABCDV VÞ = .

. .ABCDNM S ABCD S ABMNV V VÞ = - .

. . .

3 5

8 8ABCDNM S ABCD S ABCD S ABCDV V V VÞ = - = .

. 3

5

S ABMN

ABCDNM

V

VÞ = .

B

I SO AM= Ç ( ) // // AEMF BD EF BDÞ .

.

1. .

3S ABCD ABCDV S SO=

2

ABCDS a= .

Trong SOAD 0 6

. tan 602

aSO AO= =

3

.

6

6S ABCD

aVÞ = .

.

2S AEMF SAMF SAME SAMF

V V V V= + =

.2 2

S ABCD SACD SABCV V V= =

.S AMF .S ACD 1

2

SM

SC=

SACD I ,

16 .S ABCD ( )a qua ,A B M SC

S

A

B C

M

N

D

17. Cho hình chóp t u .S ABCD à hình vuông c nh a , c nh bên t o v c 600 . G i

M m SC . M t ph AM và song song v iBD , c tSB t iE và c tSD t iF

.S AEMF .



// 2 1

.3 3

SAMF

SACD

VSI SF SM SFEF BD

SO SD V SC SDÞ = = Þ = = .

( ) 3 3 3

. .

1 1 6 6 62.

3 6 36 36 18SAMF SACD S ABCD S AEMF

a a aV V V V ÐvttÞ = = = Þ = = .

B

,O H ABCD AB .

Do ( ), ,MS MA d A MNP d S MNPé ù é ù= Þ = ê úê ú ë ûë û

( ) . .

1A MNP S MNP

V VÞ = .

.

.

1. .

4

S MNP

S ABP

V SM SN SP

V SA SB SP= = .

. .

1 1 1 1 1. . . . . .

4 4 3 12 2S MNP S ABP ABPV V S SO AB HP SO

DÞ = = =

( ) ( ) 2 3

2

.

1 6. . . 2

24 2 48S MNP

a aV a a a ÐvttÞ = - = .

( ) ( ) ( ) 3

.

61 , 2

48A MNP

aV ÐvttÞ = .

3V

hB

= , ,V B h

V

hS

=

:

:

o ( ) // AB mp P ( )mp P CD ( ) ( ), ,d AB CD d AB Pé ù= ê úë û.

o ( ) ( ) // mp P mp Q ( ) ( ),mp P mp Q AB CD

( ) ( ) ( ), ,d AB CD d mp P mp Qé ù= ê úë û.

o

S

S

'S S¹

S S

. – 2008)

.S ABCD AB a= 2SA a= , ,M N P

, ,SA SB CD AMNP .

M

A

B

N

C

D

S

P O H



B

( )DC AD

DC SAD DC SDDC SA


.

( ) ( )( )( )

( ) ( )¼ · 0, 60

SCD ABCD DC

DC SD SCD SCD ABCD SDA

DC AD ABCD

ìï Ç =ïï é ùïï ^ Ì Þ = =ê úíï ê úë ûïï ^ Ìïïî

.

1.

3S ADC ADCV S SA

D=

21.

2 2ADC

aS AD DC

D= = .

0 0tan 60 . tan 60 3SA

SA AD aAD

= Þ = =3

.

3

6S ADC

aVÞ = .

( ) ( ) .

. .

31. , ,

3

S ADC

S ADC A SDC SDC

SDC

VV V S d A SDC d A SDC

SD

D

é ù é ù= = Þ =ê ú ê úë û ë û.

( ) . .

2 2

6 6 3,

. 2.

S ADC S ADCV V a

d A SDCDC SD DC SA AD

é ùÞ = = =ê úë û+

.

B

2 2 2 2 2 23 4 5AB AC BC ABC+ = + = = Þ D A .

( )21 1. .3.4 6

2 2ABCS AB AC cm

DÞ = = = .

( )31 1. .6.4 8

3 3ABCD ABCV S DA cm

DÞ = = = .

( )2 2 2 23 4 5BD AB AD cm= + = + =

( )2 2 2 24 4 4 2DC AC AD cm= + = + =

19 .S ABCD ABCD a , ( )SA ABCD^ ( )SCD

ABCD 060 A ( )mp SCD .

20. – 2002)

ABCD AD ( )mp ABC , ( ) ( )4 , 3AC AD cm AB cm= = = ,

( )5BC cm= A ( )mp BCD .

S

A D

B C

600

D

A

C B



Nên ( )( )( )DBCS p p BC p DC p BD

D= - - -

5 5 4 2

5 2 22 2

BC DC DBp

+ + + += = = + DBCD

( )( )( )( ) ( )25 2 2 5 2 2 5 5 2 2 4 2 5 2 2 5 2 34DBC

S cmD

Þ = + + - + - + - = .

( ) ( ) ( ).

31 6 34. , ,

3 17

ABCD

ABCD A BCD DBC

DBC

VV V S d A DBC d A DBC cm

SD

D

é ù é ù= = Þ = =ê ú ê úë û ë û.

B

M BC ABCD A nên:

( )

BC AM

BC SM do SAB SAC SBC cân

ìï ^ïïíï ^ D = D Þ Dïïî

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )

SAB SAC SA

SAB ABC SA ABC

SAC ABC

ìï Ç =ïïïï ^ Þ ^íïïï ^ïïî

.

( ) ( )( )( )

( ) ( )· · 0, 60

SBC ABC BC

BC AM ABC SBC ABC SMA

BC SM SBC

ìï Ç =ïïïï ^ Ì Þ = =íïïï ^ Ìïïî

0 0 2 6

. tan 60 . tan 60 . 32 2 2

BC a aSA AM= = = = .

2 21 1. . .

2 2 2 2ABC

BC aS AM BC

D= = = ( )

2 3

.

1 1 6 6. . . .

3 3 2 2 12S ABC ABC

a a aV S SA Ðvtt

DÞ = = = .

( ) ( ) .

. .

31. . , ,

3

S ABC

S ABC A SBC SBC

SBC

VV V S d A SBC d A SBC

SD

D

é ù é ù= = Þ =ê ú ê úë û ë û.

2

2 2 2 21 1 1. . . .

2 2 2 2SBC

BCS SM BC SA AM BC SA BC a

D

æ ö÷ç ÷= = + = + =ç ÷ç ÷çè ø

( )6

,4

ad A SBCé ùÞ =ê úë û

.

B

21 .S ABC ABC A ( )SAB ( )SAC

( )ABC , cho 2BC a= ( )SBC ( )ABC

060 A ( )SBC .

22. – 2004)

.S ABCD ABCD SO O

AC BD 2 2, 4, 5SO AC AB= = = M SC

SA BM .

S

A

C B M

(doAM ABCD cân)

S

C

A B

D

O

M

H



DoM SC nên ( ) // // OM SA SA OMBÞ .

( ) ( ) ( ), , ,d SA MB d SA MOB d S MOBé ù é ùÞ = =ê ú ê úë û ë û

( ) ( ) ( ) , 1d C MOB do MS MCé ù= =ê úë û.

( ) ( ) 1

2 22

MH ABCD MH SO^ Þ = =

( ). .

1 1. . ,

3 3C MOB M OBC OBC MOBV V S MH S d C MOB

D D

é ù= = = ê úë û

( ) ( ) .

, 3OBC

MOB

S MHd C MOB

S

D

D

é ùÞ =ê úë û.

( ) ( ) ( ) ( ) .

1 , 3 , 4OBC

MOB

S MHd SA MB

S

D

D

Þ = .

( )

2 2 2 1 11

. 1 5422

2 2

OBC

OB AB OA OB

S OB OCACOC OC

D

ìï = - = Þ =ïïï Þ = =íï = = Þ =ïïïî

.

OB OC

OB OM MOBOB SO

ìï ^ï Þ ^ Þ Díï ^ïî

B .

( ) 2 21 1 1 1 3. . . .1. 8 4 6

2 2 2 4 4 2MOB

SAS OB OM OB OB SO AO

DÞ = = = + = + = .

Thay( ) ( ) ( )2 , 5 , 6 ( ) ( )2 6

4 ,3

d SA MBÞ = .

B

( ) // // 'MN BC MN A BCÞ .

( ) ( ) ( ) ( ) , ' , ' , ' 1d MN AC d MN A BC d M A BCé ù é ùÞ = =ê ú ê úë û ë û.

( ) ' .

1 1 1 1. ' . .1.1.1 2

3 3 2 12A MBC MBCV S A A

D= = = .

( )' 'CB BAA B CB BA^ Þ ^ .

'A BCÞ D B .

( ) ( ) ' . . ' '

1. , ' 3

3A MBC M A BC A BCV V S d M A BC

D

é ù= = ê úë û.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2

2 , 3 . ' . . , ' . , ' , ' 412 3 2 6 4

A B BC d M A BC d M A BC d M A BCé ù é ù é ùÞ = = Þ =ê ú ê ú ê úë û ë û ë û.

( ) ( ) ( )2

1 , 4 , '4

d MN ACÞ = .

23. – 2006)

. ' ' ' 'ABCD A B C D ,M N AB

CD 'A C MN .

B’

’

’

’

A

B C

D

M N



B

O ,M N ,AD BC·SNM aÞ = .

( ) ( ) ( )BC MN

BC MNS SBC MNSBC SO


.

( ) MH SN H SN^ Î .

Do ( ) ( ) ( )BC MN

BC MNS SBC MNSBC SO


Nên ( ) ( )

( )( )

SBC MNS SNMH SBC

SN MH MNS

ìï ^ =ïï Þ ^íï ^ Ìïïî

.

( ) // // DA BC AD mp SBCÞ ( ) ( ), , 2d A SBC d M SBC MH aé ù é ùÞ = = =ê ú ê úë û ë û.

c vuôngMHN 2

sin sin

MH aMN

a a= = .

sin

: tan .sin cos cos

a aSON SO ON

aa

a a a= = = .

( )

23

2

. 2

1 1 1 2 4. . . . 1

3 3 3 sin cos 3sin cosS ABCD ABCD

a a aV S SO MN SO

a a a a

æ ö÷ç ÷Þ = = = =ç ÷ç ÷çè ø

.

( )1 .S ABCD

V ( ) 2 3sin .cos cos cosf a a a a a= = -

–

B

:

:

( ),f x x D" Î

B

.S ABCD A ( )mp SBC 2a

a a

A

D C

B

S

N O M

H



3y x x= - ( )0,1 .

2 3

' 1 3 ' 03

y x y x= - Þ = Û = ± .

B

x 3

3- 0

3

3 1

'y 0 + 0 -

y

2 3

9

( )

khi 0;1

2 3 3max

9 3y x= = hay ( ) khi

2 3 3max cos

9 3f a a= = .

.S ABCD

334

2 32 3

3.9

aa=

3cos

3a = .

B

( )BC AC

BC SAC BC SCBC SA


.

( ) ( )( )( )

( ) ( )· ·

,

SBC ABC BC

BC SC SBC SBC ABC SCA

BC AC ABC

a

ìï Ç =ïï é ùïï ^ Ì Þ = =í ê úï ê úë ûïï ^ Ìïïî

.

SACD . sin sin

. cos cos

SA SC a

AC SC a

a a

a a

ìï = =ïíï = =ïî

( )3

22 2

.

1 1 1 1. . . . cos . sin cos . sin

3 3 2 6 6S ABC ABC

aV S SA AC SA a aa a a a

DÞ = = = = .

.S ABC

V ( )2 2 2cos . sin 1 sin . sinP a a a a= = -

( )( )( )( )2 2 2

22 2

1 sin 1 sin 2sinsin 0 1 sin sin

2P

a a aa a a

- -> Þ = - = .

( )( )( )( ) ( ) ( )

32 2 2

2 2 21 sin 1 sin 2 sin 8

1 sin 1 sin 2 sin3 27

Cauchy a a aa a a

é ù- + - +ê ú- - £ =ê ú

ê úê úë û

.

.S ABC ABCD C ( )SA ABC^ SC a=

( )mp SBC ( )mp ABC .S ABC

S

A

C

B



khi 2 2 2

max max

8 2 3 31 sin 2sin sin

27 2 3P P a a aÞ = Û = - = Û = .

.S ABC

V 3

27

a

3sin

3a = .

. .S ABC ABC ( ),B SA mp ABC^ B ,AB a=

2AC a= ( )SBC ( )ABC 060 .S ABC theoa .

: 3

2aV = .

.S ABC ABC ( ),B SA ABC^ . Cho 2AC a= ,

3SB a= .S ABC .

: 3 2

3aV = .

.S ABC ABC ( ),B SA ABC^ . ChoAB a= , 3BC a=

SC ( )mp ABC 060 .S ABC .

: 3V a= .

.S ABC ABC ( ),A SA ABC^ . Cho 2 , 3BC a SB a= =

( )SBC ( )ABC 030 .S ABC .

: 3 3

6aV = .

.S ABCD ABCD , ( )a SA ABCD^ SD

( )mp SAB 030 .S ABCD C ( )mp SBD .

.S ABCD ABCD ( ),a SA ABCD^ , SC ( )mp ABCD

060 .S ABCD D ( )mp SBC .

: 3 42

7aV = .

. ( ). 2010TN THPT -

.S ABCD ABCD , ( )a SA ABCD^ ( )mp SBD

( )mp ABCD 060 .S ABCD theo a .

: 3

6aV = .

. ( ). 2011TN THPT -

.S ABCD ABCD A D , 3AD CD a AB a= = =

( )SA mp ABCD^ SC 045

.S ABCD theo a .

: 32 6

9aV = .



. ( ). 2009TN THPT -

.S ABC SBC ( ),a SA ABC^ B ·

120oBAC =

.S ABC theo a .

: 3 2

36aV = .

. .S ABC ABC B ( ),AC a SA ABC= ^ SB

ABC 060

:

3 6

24

aV = .

. .S ABCD ABCD a , ( )SA ABCD^ ( )SCD

ABCD 060 .

a/ .S ABCD .

b/ A ( )mp SCD .

: ( )/ ; / 3 3 3

,3 2

a aa V b d A mp SCDé ù= =ê úë û

.

.S ABC ABC B ( ),BA BC a SA ABC= = ^ SB

( )mp SAB 030 .

:

3 2

6

aV = .

. .S ABC ( ),SA ABC SA h^ = B ABCD ( )mp SBC

ABC 030

:

3 3

3

hV = .

. .S ABC ABCD A ( )SB ABC^ B SB a= ,SC

( )mp SAB 030 ( )mp SAC ( )mp SAB

060

2 2 2 2SC SB AB AC= + + .S ABC .

:

3 3

27

aV = .

. ABCD ( ) ( ) ( ) ( ), 4 , 3 , 5AD ABC AC AD cm AB cm BC cm^ = = = =

ABCD A ( )mp BCD .

: ( ) ( ) ( )/ / 3 6 348 ; ,

17a V cm b d A mp BCD cmé ù= =ê úë û

.

.S ABC ABCD · ( )0, 2 , 120 ,A BC a BAC SA ABC= = ^ B

( )mp SBC 045 .S ABC .

:

3

9

aV = .



. .S ABCD ABCD B ( ),SA ABCD SC a^ = SC

060 .S ABCD .

:

3 3

48

aV = .

. .S ABCD c ABCD B ( ),SA ABCD SC^

ABCD 045 3 , 4AB a BC a= = .S ABCD .

: 320V a= .

. .S ABCD ABCD a µA 060= B

( )SA ABCD^ A SC a .S ABCD .

:

3 2

4

aV = .

. .S ABCD ABCD A B B

( ), 2 ,AB BC a AD a SA ABCD= = = ^ ( )mp SCD ( )mp ABCD 060

.S ABCD .

:

3 6

2

aV = .

. .S ABCD ABCD

2AB R= B ( )mp SBC ( )mp ABCD 045

:

33

4

RV = .

22. – 2008)

.S ABCD ABCD · ·

90oBAD ABC= = ,AB BC a= = ,

AD a= , ( ), 2SA ABCD SA a^ = ,M N ,SA SD mi

BCNM .S BCNM theo a .

:

3

3

aV = .

– 2007).

.S ABC ABCD B ( )SA ABC^ · 060ACB = ,

, 3BC a SA a= = M SB .

a/ ( ) ( )mp SAB mp SBC^ .

b/ MABC .

:

3

4

aV = .

. – 2006).

.S ABCD ABCD a µA 060= B

( ),SA ABCD SA a^ = 'C SC ( )P 'AC

BD ,SB SD 'B 'D . ' 'S ABC D .

:

3 3

18

aV = .



25 .S ABCD ABCD ( ),O SA ABCD^ , , 2AB a SA a= =

,H K A lên ,SB SD ( )SC AHK^

.O AHK .

26 .S ABCD ABCD ,O SA SB SC SD= = = .

Bi 3AB a= , 4BC a= ·

45oSAO = .S ABCD theo a .

27 .S ABC ABC B B ( )SA ABC^ . ChoAB a= ,

3BC a= ,SA a= quaA SC H SB K

.S AHK .A HKBC theo a .



. ( ). .2006ÐH DB A-

. ' ' ' 'ABCD A B C D · 03

, ' , 602

aAB AD a AA BAD= = = = ,M N

' 'A D ' 'A B ( )'AC mp BDMN^

.A BDMN .

33

16

aV = .

29 .S ABCD ABCD h a , ( )SA ABCD^ , 3SA a=

A SC , ,SB SC SD , ,M N P .

a/ AMNP theoa .

b/ SC BD .

30. ( ).2010ÐH D-

.S ABCD ABCD a SA a=

S lên ( )mp ABCD H ,4

ACAC AH = CM

SAC M SA SMBC theoa .

: 3 14

48aV = .

31. ( ).2010ÐH A-

.S ABCD ABCD a . M N

AB ,AD H CN DM B ( )SH mp ABCD^ 3SH a=

.S CDNM DM SC theo a .

:

35 3 2 3,

24 19

a aV h= = .

32. ( ).2007ÐH D-

.S ABCD · · 090ABC BAD= = , , 2BA BC a AD a= = =

SA 2SA a= H A trênSB

SCDD nh( ) theo a H ( )mp SCD .

: ( )( ),3

ad H SCD = .

33. ( ).2006ÐH D-

.S ABC ABC , 2a SA a= ( )SA mp ABC^

M N A SB SC nh th

.A BCNM .

:

33 3

50

aV =

34 .S ABCD ( ),SA mp ABCD G^ SACD ,

( )mp ABG SC M SD N MNABCD SA AB a= =

AN ( )ABCD 090 .



35 .S ABCD ABCD a , ( )SA mp ABCD^

( )mp SCD ( )mp SBC 0120 .S ABCD

SC AD .

36 ABCD 6 3 3AD AB= = M AB sao cho 2MB MA=

N AD . Trê ( )mp ABCD M S sao cho

2 6SM = minh: ( ) ( )SBN SMC^ SN ( )mp SMC .

37. .S ABC ABC A , cho , 3AB a AC a= = SBC

.S ABC .

. .S ABCD ABCD a SAB

( )ABCD .

a/ BC .

b/ .S ABCD .

:

3 3

6

aV = .

. Cho ABCD ABCD , BCDD D ( )ABC

( )mp BCD AD ( )mp BCD 060

ABCD AD a= .

:

3 3

9

aV = .

. Cho .S ABC ABC B BC a= ( )SAC

045

:

3

12

aV = .

. .S ABC ABC a , SBCD S

( )mp ABC .S ABC .

:

3 3

24

aV = .

. .S ABC ABC A AB AC a= = B SABD

S ( )mp ABC ( )mp SAC ( )mp ABC

045 .S ABC .

:

3

12

aV = .

B . .S ABC · ·0 090 , 30 ,BAC ABC SBC= = D a

( ) ( )mp SAB mp ABC^ .S ABC .

:

2 2

24

aV = .

i 44. .S ABC ABC SBCD SH h= ( )mp SBC



( )mp ABC B ngSB ( )mp ABC 030 .

.S ABC

:

34 3

9

hV = .

ABCD ABCD BCDD

AD a=

:

3 6

36

aV = .

. C .S ABCD ABCD SAB

SH h= ( )mp ABCD

:

34

9

hV = .

. .S ABCD ABCD SAB a

( )mp ABCD B ( )mp SAC ( )mp ABCD 030

.S ABCD

:

3 3

4

aV = .

. .S ABCD ABCD ( ) ( )2 , 4 ,AB a BC a SAB ABCD= = ^ .

Hai ( )mp SBC ( )mp SAD ( )mp ABCD 030

:

38 3

9

aV = .

. .S ABCD ABCD 2 2AC BD a= = SADD

S ( )mp ABCD .S ABCD .

:

3 15

12

aV = .

. .S ABCD ABCD A , , 2D AB CD a AB a= = = B

SABD i ( )mp ABCD .S ABCD .

:

3 3

2

aV = .

51. ( ).2010CÐ A-

.S ABCD ABCD ha , ( ) ( )mp SAB mp ABCD^ , SA SB=

SC 045 a p .S ABCD .

:

3 5

6

aV = .

52. ( ).2008ÐH B-

.S ABCD ABCD 2 , , 3a SA a SB a= =

( ) ( )mp SAB mp ABCD^ ,M N ,AB BC a

.S BMDN g ,SM DN .



:

3 3 5, cos

3 5

aV j= = .

.S ABC SB SC BC CA a= = = = . Hai ( )mp ABC ( )mp SAC

( )mp SBC .S ABC . :

3 3

12

aV =

54. .S ABC ABC A ( )SAB ( )SAC

vuông ( )ABC , cho 2BC a= ( )SBC ( )ABC 060

.S ABC .

55. .S ABCD ABCD a , hai ( )SAB ( )SAD vuông

g ( )ABCD . Cho 3SB a= M CD .S ABCM .

56. .S ABCD ABCD ( )SAB ( )SAD

( )ABCD , cho , 2 ,AB a AD a SC= = ( )ABCD 045

.S ABCD theo a .

57. .S ABCD ABCD a ( )SAC ( )SBD

( )ABCD ( )SCD 060 .S ABCD .

8. .S ABC ABC A ( )SAB ( )SAC

vuông ( )ABC , cho 2BC a= ( )SBC ( )ABC 060

.S ABC A ( )SBC .

59. .S ABCD ABCD A D , , 2AD DC a AB a= = = B

( )SAB ( )SAD ( ),ABCD SC

( )ABCD 060 I SB .

a/ .S ABCD theo a .

b/ SBC CI .

c/ M SB sao cho 3SB SM= .M ABCD .

60. .S ABCD ABCD 2 3 , 2AC a BD a= =

O ( )SAC ( )SBD ( )mp ABCD B O ( )mp SAB

3

4

a .S ABCD theo a .

61. ( ).2009ÐH A-

.S ABCD ABCD A , 2 ,D AB AD a CD a= = =

( )mp SBC ( )mp ABCD 060 I AD B ( )mp SBI

( )SCI ( )ABCD .S ABCD theo a . :

33 15

5

aV = .



62. .S ABC yABC , 2B AB BC a= = , hai ( )mp SAB

( )mp SAC ( )mp ABC M AB SM

BC AC N B ( )mp SBC ( )mp ABC 060

.S BCNM AB SN theo a . : 3 2 39

3,13

aV a d= = .

. .S ABC

a/ a 2a . :

3 11

2

aV = .

b/ a 060 . :

33

16

aV = .

c/ a 045 . :

3

6

aV = .

d/ a 060 . :

3 3

24

aV = .

64. .S ABCD

a/ C a . :

3 2

6

aV = .

b/ a 2a .

c/ a 060 . :

3 3

12

aV = .

d/ 2a 045 .

ABCD a M DC .

a/ ABCD . :

3 2

12ABCD

aV = .

b/ M ( )mp ABC .M ABC . :

3

.

2

24M ABC

aV =

66. .S ABCD 5

2

a,

060

.S ABCD theo a A ( )mp SBC .

. .S ABCD a · 060BSA = .

a/ :

2 3

3

aS = .

b/ .S ABCD . :

3 2

6

aV = .

68. .S ABC a , · 060BSA = , I BCÎ 2IB IC=

.S ABC .S ABI .

.S ABC h 060



:

32

3

hV = .

70. .S ABCD a 3a .

a/ .S ABCD A ( )mp SBC .

b/ SA ( )mp SBC . sin a ?

1. ( ). 2008TN THPT -

.S ABC a 2a I BC .

a/ : SA BC^ .

b/ .S ABI theo a .

.S ABCD 045

a .S ABCD .

:

38 3

3

aV = .

. A – 2007)

.S ABCD .S ABCD

39 2

2

a.

: 3AB a= .

74. ( )2009CÐ-

.S ABCD , 2AB a SA a= = , ,M N P

, ,SA SB CD MN SP

a AMNP .

75. ( ).2007ÐH B-

.S ABCD a E D

,SA M ,AE N BC MN BD^

theo a MN AC .

: ( )2

,4

ad MN AC = .

76 .S ABCD ( )P quaA SC , ,SB SC SD

', ', 'B C D B ' 2

,3

SBAB a

SB= = .

a/ . ' ' 'S AB C D .S ABCD .

b/ . ' ' 'S AB C D .

. ( ). 1 .2006ÐH DB D-

.S ABCD a SH

I SH ( )SBC b .S ABCD .

:

3

2 2

2

3 16

a bV

a b=

-.

. ( ).2004ÐH A-



.S ABCD a

( )0 0, 0 90j j< < ( )mp SAB ( )mp ABCD theoj

theoa j .

: 3 2. tan

tan ;6

aV

jj = .

. Cho ABCD nha O D sao

cho6

3

aOD = ,M N BD DC .

a/ AM BC .

b/ ABCD AMN .

c/ ABCMN .



. ABCD ', 'B C AB AC

' 'AB C D ABCD .

: ' ' 1

4

AB C D

ABCD

V

V= .

. ABCD ( )39 m , trên , ,AB AC AD ', ', 'B C D sao cho

2 ',2 3 ', 3 'AB AB AC AC AD AD= = = ' ' 'AB C D .

: ( )32V m=

. ABCD a ', 'B C trênAB AC sao cho2

' , '2 3

a aAB AC= =

' 'AB C D .

:

3 2

36

aV = .

. ABCD ( )312 m ,M P ,AB CD N trên

AD sao cho 3DA NA= BMNP .

: ( )31V m= .

. .S ABC ABC 3a SA a=

A SB H SC K .S AHK .

:

3 3

40

aV = .

. .S ABCD ( )327 m 'A trênSA sao cho 3 'SA SA=

'A , ,SB SC SD ', ', 'B C D

. ' ' ' 'S A B C D .

: ( )31V m= .

. .S ABCD ( )39 m ABCD M trênSA

sao cho2 3SA SM= ( )MBC SD N ABCDMN

: ( )34V m= .

. .S ABCD a SA h= N

SC AN BD ,SB SD ,M P

.S AMNP theo ,a h .

:

2

9

a hV = .

. .S ABCD ABCD I SC AI

BD

: 0,5k = .

Bai 98. .S ABCD M trênSA sao choSM

xSA

=

x ( )MBC



: 5 1

2x

-= .



99. . ' ' 'ABC A B C ABC A 2BC a=

' 3A B a=

: 3 2V a= .

100. . ' ' ' 'ABCD A B C D c 4a 5a

: 39V a= .

101. . ' ' 'ABC A B C ABC A · 030 ,ACB = ' 3AA a= ,

2AC a= .

a/ . ' ' 'ABC A B C .

b/ ( )'A BC . ' ' 'ABC A B C

102. . ' ' 'ABC A B C ABC ( )4 cm

'A BC ( )8 cm

: ( )38 3 cm .

103. – ng.

a/ ( )44 cm

( )12 cm

: ( )34800 cm .

b/ Tính th 3 và

030 .

c/ B 64

Tìm các kích th ó.

d/ ng t ng thêm 98cm3. Khi ó tính

ng.

104. a 060

:

3 6

2

aV = .

105. a

:

323

; 34

aV S a= = .

106. . ' ' ' 'ABCD A B C D a ' 6BD a=

: 32V a= .

107. ( )6 cm ( )8 cm

B



: ( ) ( )3 3240 ; 248V cm S cm= = .

108. ( ) ( ) ( )37 ;13 ;30cm cm cm

( )2480 cm

: ( )31080V cm= .

09. . ' ' 'ABC A B C ABC A B

3a ' 'AA B B 5a

: 324V a= .

10.

( )296 cm . T

: ( )364V cm= .

11. . ' ' ' 'ABCD A B C D AB a= ABCD ' 'ABC D

22a 2 5a

12. ( ) ( ) ( )19 ;20 ;37cm cm cm

: ( )32888V cm= .

13. 224m

: 38V m= .

14. . ' ' 'ABC A B C ABC ' , 'AA a A B BC= ^

. ' ' 'ABC A B C .

15. 3;4;5 B

( )1 m

: ( )30, 4V m= .

16. ( ) ( ) ( )5 ; 10 ; 13m m m

: ( )36V m= .

17. ( ).2008ÐH D-

. ' ' 'ABC A B C yABC AB BC a= =

' 2AA a= M BC a . ' ' 'ABC A B C

, 'AM B C .

: ( ) 3 7

, , '2 7

a aV d AM B C= = .

118. . ' ' 'ABC A B C a B

AB 'A C 15

5

a . ' ' 'ABC A B C .

:

33

4

aV = .

119 . ' ' ' 'ABCD A B C D a 1

O 1 1 1 1

A B C D

1 1

A O BD ( )1 1BD ACB^ .



120 . ' ' 'ABC A B C ABC a

'A ( )' 'mp AB C theo a 2 3

' ' '3

AA A B A C a= = = .

121 . ' ' 'ABC A B C · 04 , 120AB AC a BAC= = = 'A lên

( )mp ABC ABCD 030 a

. ' ' 'ABC A B C 'AA BC .

122. ( ).2008ÐH A-

. ' ' 'ABC A B C 2a ABC

,A AB a= , 3AC a= 'A trên ( )mp ABC

BC a 'A ABC cosin 'AA

' 'B C .

:

3 1, cos

2 4

aV j= = .

123 . ' ' 'ABC A B C ABC B BA BC a= = . B

'A B ABC 060

:

3 3

2

aV = .

124. . ' ' 'ABC A B C ABC A · 0, 60AC a ACB= =

B 'BC ( )' 'mp AA C C 030 'AC . ' ' 'ABC A B C .

: 3 6V a= .

125. . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a 'BD

ABCD 030

: 3 26 4 6

;3 3

a aV S= = .

126 . ' ' 'ABC A B C ABC B , 2 , 'AC a A B=

ABC 030 .

a/ . ' ' 'ABC A B C .

b/ AH 'A ABD 'AH A C^ .

127. . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD · 0; 60a BAD = B

'AB ( )ABCD 030 . ' ' ' 'ABCD A B C D .

:

33

2

aV = .

128. . ' ' 'ABC A B C ABC B B 'A C a= 'A C

( )' 'AA B B 030 . ' ' 'ABC A B C .

:

3 2

16

a.



129. . ' ' 'ABC A B C ABC B B 'BB AB a= =

'B C ( )mp ABC 030 . ' ' 'ABC A B C .

:

3 3

2

aV = .

130. . ' ' 'ABC A B C ABC a B 'AB

( )' 'BCC B 030 'AB . ' ' 'ABC A B C .

: 3 3

' 3;2

aAB a V= = .

131. . ' ' 'ABC A B C ABC A B · 0; 60AB a ACB= =

'BC ( )' 'AA C C 030 . ' ' 'ABC A B C

'ABC .

: 2

3 3 36;

2

aV a S= = .

132. . ' ' 'ABC A B C A ( )'mp A BC a

'AA ( )'mp A BC 030 . . ' ' 'ABC A B C .

:

332

9

aV = .

133. . ' ' ' 'ABCD A B C D 'A C a= B 'A C

( )mp ABCD 030 ( )' 'mp ABB A

045

:

3 2

8

aV = .

134. . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD O ABCD

'OA a=

a/ . ' ' ' 'ABCD A B C D

b/ 'OA ( )mp ABCD 060 .

c/ 'A B ( )' 'mp AA CC 030 .

: / / /3 3 32 6 3 4 3

; ;9 4 9

a a aa V b V c V= = = .

135. Cho . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD 'BD a=

a/ 'BD ( )mp ABCD 060 .

b/ 'BD ( )' 'mp AA D D 030 .

: / /3 33 2

;16 8

a aa V b V= = .

136. a

060

: 3 2; 6V a S a= = .

137. . ' ' ' 'ABCD A B C D , , 'AB a AD b AA c= = = v

2 2 2' ' 'BD AC CA a b c= = = + + .

a/ . ' ' ' 'ABCD A B C D



b/ , ,x y z

2 2 2sin sin sin 1x y z+ + = .

138. ( ).2009ÐH D-

. ' ' 'ABC A B C ABC , , ' 2B AB a AA a= = ,

' 3A C a= M ' 'A C I AM 'A C

IABC A ( )mp IBC theo a .

: ( )( ) 34 2 5, ,

9 5

a aV d A IBC= =

139 . ' ' 'ABC A B C ABC B BA BC a= =

B ( )'mp A BC ( )mp ABC 060 . ' ' 'ABC A B C .

:

3 3

2

aV = .

140. . ' ' 'ABC A B C ( )'A BC 030

'A BC ( )8 cm . ' ' 'ABC A B C .

: ( )38 3V cm= .

141. . ' ' ' 'ABCD A B C D a ( )'mp BDC

( )mp ABCD 060 . ' ' ' 'ABCD A B C D .

:

3 6

2

aV = .

142. . ' ' ' 'ABCD A B C D ' 2AA a= ; ( )'mp A BC ( )mp ABCD

060 'A C ( )mp ABCD 030

:

316 2

3

aV = .

143. . ' ' ' 'ABCD A B C D 'AA a= 'A C

( )ABCD 030 ( )'mp A BC ( )mp ABCD

060

. ' ' ' 'ABCD A B C D .

:

32 2

3

aV = .

144. . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a B

( )' 'mp ABC D 030 . T . ' ' ' 'ABCD A B C D .

: 33V a= .

145. . ' ' 'ABC A B C ABC B ; 2AC a= B

( )'mp A BC ( )mp ABC 045 . ' ' 'ABC A B C .

: 3 2V a= .



146. . ' ' 'ABC A B C ABC A AB AC a= =

· 0120BAC = B ( )'mp A BC ( )mp ABC 045

:

3 3

8

aV = .

147. . ' ' 'ABC A B C ABC a , · 0' 60AA B = .

a/ . ' ' 'ABC A B C .

b/ ( )'C AB . ' ' 'ABC A B C

148. . ' ' 'ABC A B C ABC B 'BB AB h= = B

( )'mp B AC ABC 060

:

3 2

4

hV = .

149. . ' ' 'ABC A B C ABC B 'AA a=

a/ ( )'mp A BC ABC 060 .

b/ 'A B h ( )mp ABC 045 .

c/ 'A 'A BCD

: / / /3

3 333; ; 3

4

aa V a b V c V a= = = .

150. . ' ' ' 'ABCD A B C D ' 2AA a=

a/ ( )'Mp ACD ABCD 045 .

b/ 'BD ABCD 060 .

c/ D ( )'mp ACD a .

: / / /3

3 3 1616 ; 12 ;

3

aa V a b V a c V= = = .

151 . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a

. ' ' ' 'ABCD A B C D

a/ ( )'Mp BDC ABCD 060 .

b/ 'BDCD

c/ 'AC ABCD 045 .

: / / /3

3 36; ; 2

2

aa V b V a c V a= = = .

152 . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a nµA 060=

. ' ' ' 'ABCD A B C D

a/ ( )'BDC ABCD 060 .

b/ Kho C ( )'mp BDC 2

a.

c/ 'AC ABCD 045 .

: / / /3 3 33 3 3 2 3

; ;4 8 2

a a aa V b V c V= = = .



153 . ' ' ' 'ABCD A B C D ' 5 ; 3BD a BD a= =

a/ AB a= .

b/ 'BD ( )' 'mp AA D D 030 .

c/ ( )'ABD ABCD 030 .

: / / /3 3 38 2; 5 11; 16a V a b V a c V a= = = .

154. . ' ' 'ABC A B C ABC a 'A

, ,A B C . C 'AA 060

155. . ' ' 'ABC A B C ABC a B 3a

ABC 060 . ' ' 'ABC A B C

:

33 3

8

aV = .

156. . ' ' 'ABC A B C ABC a 'A

( )mp ABC O ABCD 'AA

ABC 060 .

a/ ' 'BB C C

b/ . ' ' 'ABC A B C

:

3 3

4

aV = .

157. . ' ' ' 'ABCD A B C D ( ) ( )3 , 7AB cm AD cm= =

( )' 'ABB A ( )' 'ADD A ABCD 045

060

. ' ' ' 'ABCD A B C D ( )1 cm .

: ( )33V cm= .

158. . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a 8cm

ABCD 030 . ' ' ' 'ABCD A B C D .

: ( )3336V cm= .

159. . ' ' ' 'ABCD A B C D · 0, , ' , 30AB a AD b AA c BAD= = = =

ABCD 060 . ' ' ' 'ABCD A B C D .

160. . ' ' 'ABC A B C ABC a 'A

, ,A B C B 2 3

'3

aAA = . ' ' 'ABC A B C .

:

3 3

4

aV = .

161. . ' ' 'ABC A B C ABC a 'A

trên ( )mp ABC AH ABCD B ( )' 'BB C C

ABC 060 .

a/ ' 'BB C C



b/ . ' ' 'ABC A B C .

:

33 3

8

aV = .

162 . ' ' 'ABC A B C ABC O . Canh bên 'CC a=

ABC 060 'C lên ( )mp ABC O .

a/ ' 'AA B B

b/ . ' ' 'ABC A B C

: 2 33 3 3

;2 8

a aS V= = .

163. . ' ' 'ABC A B C ABC a

'A lên ( )mp ABC BC ABCD 'AA a= .

a/

b/ . ' ' 'ABC A B C .

: / /3

0 330 ;

8

aa b V = .

164. . ' ' 'ABC A B C ABC 'C trên

( )mp ABC O ABCD B O 'CC a

( )' 'AA C C ( )' 'BB C C 090

. ' ' 'ABC A B C

:

327

4 2

aV = .

165. . ' ' ' 'ABCD A B C D 6 a 'A trên

( )mp ABCD H A

060 .

a/ H AC ABCD .

b/ ' 'ACC A ' 'BDD B .

c/

: / / 3

2 2

' ' ' '

22, ;

2ACC A BDD B

aa S a S a b V= = = .

166. . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a µA 060=

'B ABCD 'BB a=

a/ b/

: / / 3

0 2360 ; , 15

4

aa b V S a= = .

167. ( ).2010ÐH B-

. ' ' 'ABC A B C AB a= ( )'mp A BC ( )ABC

060 G 'A BC

GABC theo a .

:

33 3 7,

8 12

a aV R= = .



68. .S ABCD ABCD 2a , ( )SA mp ABCD^ SC

060 M SB .

.S ABCD .

.M BCD .

: / / 3 3

. . .

8 6 1 2 6;

3 4 3S ABCD M BCD S ABCD

a aa V b V V= = = .

169. .S ABC 5 , 6 , 7AB a BC a CA a= = = ( ) ( ),SAB SBC

( )SCA ( )mp ABC 060 .S ABC .

: 3

.8 3

S ABCV a= .

170. . ' ' ' 'ABCD A B C D 3, , ' ,AB a AD a AA a O= = =

AC BD .

. ' ' ' 'ABCD A B C D ' ' ' 'OA B C D .

' 'OBB C .

c/ 'C ' 'OBB C .

: / / / 3 3

3

' ' ' ' . ' '

1 3 33, ; ; ' 2 3

3 3 12OA B C D O BB C

a aa V a V V b V c C H a= = = = = .

171. . ' ' ' 'ABCD A B C D a ' 'ACB D .

: 31

3V a= .

172. a E AC

( )' 'A B E BC F ' 'A B BC ' 'CA B FE .

: 3 3

' ' ' '

3 3;

12 16A B BC CA B FE

a aV V= = .

173. .S ABCD ABCD · 02 , 90AB cm ACB= = . Hai SACD

SBDD ( )3 cm .S ABCD .

: ( )6

4V cm= .

174. Cho hình chóp .S ABCD có ABCD là hình vuông c nh2 , , 3a SA a SB a= = và

( )mp SAB vuông góc m t ph G i ,M N l t là m c a các c nh ,AB BC .Tính

theoa th tích kh i chóp .S BMDN .

:

3 3

3

aV = .

175. Cho hình chóp .S ABCD nh a,m u và n m trong m t

ph ng vuông góc v i ,M N l m c a các c nh , ,SB BC CD .Ch ng minhAM

vuông góc v iBP và tính th tích c a kh i t di n CMNP .

:

3 3

96

aV = .



176. Chh .S ABC ABCD B ( )SA mp ABC^ B

SA AB BC a= = = .

.S ABC .

A ( )mp SBC .

H SB ( )a AH BC SC K

.S AHK .

177. .S ABC ABCD A , 3AB a AC SA a= = =

( )SAB ( )SAC ( )mp ABC .

.S ABC A ( )mp SBC .

( )mp SBC , ( )mp ABC SB , ( )mp SAC .

M SC .S ABM .

178. .S ABCD ABCD O ( ) ( ),SAD SCD

( )mp ABCD SA 045 .

.S ABCD .

.S OAB O ( )mp SAB .

179. .S ABCD ABCD O . ( ) ( ),SAD SCD

( )mp ABCD 2SD a= ( )SAB ( )mp ABCD 045 .

a/ .S ABCD .

b/ .S OCD .

c/ SC ( )SBD .

d/ O ( )mp SAD .

e/ G SABD . M t ph ng( )a quaOG AB ,SA SB ,H K

.S OHK .

180. .S ABC a 2a .

a/ .S ABC .

b/ M t ph ng( )P qua ,A B K SC

181. .S ABC ABCD 2a ( )SAB ( )SAC

( )ABC , 2SA a= .

a/ .S ABC .

b/ E SB F trênSC sao cho 4 , 2SB BE SC SF= = . M t ph ng( )a qua , ,A E F

182. .S ABCD 6a 060 . Qua CD ( )mp a ( )mp SAB ,SA SB ,H K

.S CDHK .

183. .S ABCD ( ), , 2a SA mp ABCD SA a^ = ,H K

A lên ,SB SD . M t ph ng( )AHK SC I .S AHIK .



184. .S ABCD ,I J SB SD . M t

ph ng( )AIJ SC L .S AIJL .S ABCD .

85 .S ABCD , ,M N P , ,AB AD SC .

: ( )mp MNP .S ABCD

86 .S ABCD ( )mp a ,A B M SC

t ph

187 .S ABC M SA N SB sao cho 2MA SM=

2SN NB= . ( )mp a qua MN SC

188 .S ABC M ABCD M

so , ,SA SB SC ( ) ( ) ( ), ,SBC SAC SAB , ,O P Q . C

a/ .

.

M SBC

M ABC

V MO

V SA= .

b/ MO MP MQ

SA SB SCw

æ ö÷ç ÷+ + =ç ÷ç ÷çè ø

w ?

189 2AB a= t ph ng ( )mp a M

cho · 030MAB = ( )mp a A S sao cho SA SB=

,H K A trên ,SM SB .

a/ ( )SB mp AHK^

b/ I HK ( )mp a . : AI

c/ .S AHK .

190 .S ABCD ABCD ( )SA mp ABCD^ . M ( )mp a

A SC , ,SB SC SD , ,I J K .

a/ AIJK

b/ S ( )mp ABCD^ A ( )mp AIJK

, , , , , ,A B I C J D K

c/ SC ( )mp SAB AB BC= : .

.

S A IJK

S A BCD

V

V.

191 .S ABCD ABCD a , · 060BAD =

a/ H

b/ .S ABCD .

c/ A ( )mp SBC ,SA BC .

192 .S ABCD ABCD ( ), , 2a SA ABCD SA a^ = . Trên ,SB SD

,E F sao cho , 3 2SE SF SE SB= = .

a/ G SC ( )mp AEF .

b/ ( )SC AEGF^

c/ .S AEGF .



193. .S ABCD ABCD ( ), ,a SA mp ABCD SA a^ = . TrênSA

M sao cho ( )0AM x x a= £ £ .

a/ ( )Mp MCD ,a x .

b/ Cho 2

ax =

194. C .S ABC ABCD ,C AC a= ,SAC SBCD D

I AB .

a/ : ( ) ( ) ( ) ( ),SAB ABC SIC SAB^ ^

b/ ,SA BC

c/ .S ABC .

195. .S ABCD ABCD AB a= , · 060ADC =

S 2a

.S ABCD .

196 .S ABCD 2a= 6a=

a/ b/ t ph

197. a b

198. Cho 2a a

030 .

a/ b/

CD ABCD M sao cho1

3CM CD=

ABMD ABMC .

: 2ABDM

ABCM

V

V= .

. ' ' 'ABC A B C . ' 'A BB C C

:

ABC.A'B C

. ' ' 2

3

A BB C CV

V¢ ¢

= .

ABCD , ,M N P , ,BC BD AC sao cho 4 ,BC BM=

3 , 2AC AP BD BN= = ( )mp MNP AD Q ABCD

( )mp MNP .

: 1

2

7

13

V

V= .

uôngABCD a I AB d

( )mp ABCD d S sao cho3

2

aSI = C

( )SAD .

: ( )3

,2

ad C SADé ù=ê úë û

.



. Cho .S ABC ABCD ( ), 5C SC cm=

( )SCB ( )ABC .S ABC ?

. ' ' ' 'ABCD A B C D ( )' 2AC cm= ABCD

a bên( )' 'BCC B b ,a b

: ( ) khi 0

max

230

8V cm a b= = = .

Chương

1/

( )P d ,D O b 0 00 90b< < .

Khi quay ( )mp P xung qu D b O

D d 2b

2/

Cho OIMD I qua OI OIM

OI O OI OM

I r IM=

3/

h r l

: . .xq

S r lp=

2.

ðS rp=

Þ tp xq ð

S S S= + .

– – 2



: 21 1

. . .3 3non ð

V S h r hp= = .

4/ :

+ Þ

+

+ Þ

+ Þ

+ Þ



5/

B

S ( )P S

SA SB l= = cânSAB .

I AB OI ABÞ ^ O OH SI^ H .

( ) ( ) ( ), 12OH mp SAB OH d O SAB cmé ù^ Þ = =ê úë û.

a/ .

( )2 2 2 220 25 5 41SA AO SO cm= + = + =

( )2. . . . .25.5 41 125 41xq

S r l OA SA cmp p p p= = = = .

b/ : ( )2 2 31 1 12500. . .25 .20

3 3 3nonV r h cm

pp p= = = .

c/ SAB

SD

( ) 1 1

. .2 . . 12 2SAB

S AB SI IA SI IA SID

= = = .

SOI ( )2 2 2

1 1 115OI cm

OH OI OS= + Þ = .

uôngSOI ( ) ( ) . 20.15

. . 25 212

OS OIOI OS SI OH SI cm

OH= Þ = = = .

( ) ( ) 2 2 2 2: 25 15 20 3AIO IA OA OI cm= - = - = .

* Thay( ) ( )2 , 3 ( ) ( )21 20.25 500SAB

S cmD

Þ = = .

B

a 2

ar = .

( )2

22 5

. .2 4xq

a aS rl a a Ðvdt

pp p

æ ö÷ç ÷= = + =ç ÷ç ÷çè ø

.

( )2

2 31 1 1 1

3 3 2 2 12

aV Bh r h a a Ðvttp p p

æ ö÷ç ÷= = = =ç ÷ç ÷çè ø

.

ng cao 20h cm= 25r cm= .

a/ b/

c/ ( )12 cm

S

A

B O

I

H

h

r

l

. . ' ' ' 'ABCD A B C D a

O ABCD ' ' ' 'A B C D .

’

A B

D C

O

B’

’ ’

a

a

a



B

SABD

S 2a nên SABD

2AB a= .

Þ l SA SB a= = =

2

2 2

AB ah SO= = =

2

2

ar h SO= = = .

a/ .

( )22 2

. .2 2xq

a aS rl a Ðvdt

pp p= = =

:

( )22 2 2

21 22 2

2 2 2 2tp xq ð

aa a aS S S r

pp p pp

+= + = + = + =

: ( )3

21 1 2.

3 3 12

aV B h r h Ðvtt

pp= = =

b/ ( )SBCS

D

I BC OH SI^ H ( )mp a

( ) ( )( )( )

( ) ( )· · 0; 60

mp SBC mp BC

BC OI mp mp SBC mp SIO

BC SI mp SBC

a

a a

Ç =é ù

^ Ì Þ = =ê úê úë û

^ Ì

.

SIO ·

0

262sin

3sin 60 32

aSO SO a

SIO SISI

= Þ = = = .

SIB

22 2 2 2 2 3

2 2. 23 3

a aBC IB SB SI a= = - = - = .

( )21 1 6 2 3 2

. . .2 2 3 3 3SBC

a a aS SI BC Ðvdt

D= = = .

2a .

a/ S .

b/

c/ Cho dây cungBC ( )mp SBC

060 SBC .

S

A B O

C

I

S ,O 2a

060 .

a/

b/ I SO 1

3

SI

SO=

I



B

a/ : ( ) . . 1xq

S rl AO SAp p= =

* DoAO SA

sinh SA · 060SAO = .

SAO :

( ) 0

0

22

cos60 22.cos60

2

SA aSA aAO

aSA AO SA AO

ìï =ì ïï = ïïï ï= Þ Ûí íï ï=ï ï =ïî ïïî

* Thay( )2 ( )1 ( )22. 2.

2xq

aS a a Ðvdtp pÞ = = .

:

( )2 2

2 2 2 3

2 2tp xq ð

a aS S S a r a Ðvdt

p pp p p= + = + = + = .

:

( )

23

2 2 0 21 1 1 2 1 3 6. . . . sin 60 . 2.

3 3 3 2 6 2 12

a aV r h AO SO SA a a Ðvtt

pp p p p

æ ö÷ç ÷ç= = = = =÷ç ÷ç ÷çè ø

.

b/

I IB

td

S .

Do 1 2 2

. .3 2 6

SI IB SI a aSIB SOA IB OA

SO OA SOD D Þ = Û = = =: ( )

22.

18td

aS IB Ðvdt

ppÞ = = .

B

a/

SOAD :

2 2 2 24 5SA SO OA R R R= + = + =

2. 5 5xq

S rl R R Rp p pÞ = = = .

: 3

2 21 1 2. 2

3 3 3

RV OA SO R R

pp p= = = .

b/ CMR: N .

B

r

l

S

A

O

I

600

B

h

S O R 2R I

2IO R= A ( ),O R

sao choOA OI^ .

a/

b/ M ,SA IM N N

c/ K O trênIM

H SAID .

I

M K

O

N

S

B

A

H



Wl ( )mp a , ,S A I .

( ) ( )

( )

NN mp

N mp doN IMa

a

ìï Î Wïï Þ Î ÇWíï Î Îïïî

N SB ( )mp a W (B IA

c/ CMR K O trên IM H SAID .

H SAID O trên ( )mp SAI .

Do ( )

( ) · 090OH SAI OH IM

IM OHK HK IM HKIOK IM

ìï ^ Þ ^ïï Þ ^ Þ ^ Þ =íï ^ïïî

.

K IH trong ( )mp a H

B

AB O

SAM

2 2SA SM h R= = +

·1

. . sin2ASM

S SA SM ASMD

=

( ) ·( ) 2 2 21 1.sin sin

2 2SA h R ASMa a a= = + = .

ASM

SD

sin a

:

· 090ASB < h R> sin a

·sin sin ASBa = max .

SAMS h R

D= .

· 090ASB ³ h R£ sin a

( )2 21max

2SAMS h R

D= + .

6/

h a= 54

ar = ( )P

O 35

a .

a/ ( )mp P

b/ c/

. Trong không gian cho OIMD I · 030IOM = IM a= OIM

OI OMI a/ b/

R h

M

S

A O

B



30h cm= 20cm .

a/ b/

a .

a/ b/

c/ 060

2a

a/ b/

2cm 060 .

a/ b/

S , 10r cm= .

a/ ( )mp P

b/ G ( )a quaG

( )a

212a .

a/ b/

c/ ( )P 2 3a

( )P

S ,O 2a

060 .

a/

b/ I SO 2SI

SO=

I

.S ABC a 030

S ABC

a/ .S ABC .

b/

.S ABCD · ( )0 0, , 45 90SO h SAB a a= = < <

S ABCD

2a .

a/

b/ Thi 2

a

13a 12a d

d

6a 2a d



∆

A

D

B

C

l r

r

S O ( )a

AB , sao cho· 060AOB = ( )mp a

030 .

a/ ·ASB .

b/ SAB b

Bài 15. Tính th tích hình nón bi t th u n i ti p hình nón làV .

Bài 16. Trên m ng hai hình nón (hình này ch a hình kia). Sao cho nh cách

nhau m n là a . Góc nh c a thi t di n qua tr c c a hình nón l n là 2a và c a hình nón nh là

2b .Tính th tích ph n hình nón nh và trong hình nón l n.

. SO h= R M OS OM x=

( )0 x h< < .

a/ ( )G M .

b/ O ( )G theo , ,R h x . x sao cho .

S . ABCD a

B · ( )0 02 , 0 45ASB a a= < <

1/

Trong ( )mp P D l

r . Khi quay ( )mp P D l

D

l r

2/

ABCD

AB ABCD

AB

CD

AB CD h= =

A r AD= B r BC=

3/

h r

2xq

S rhp=

22. 2 2

tp xq ÐayS S S rh rp p= + = +

2.V B h r hp= =

4/ :

r ( )mp a D

D r r

h



r ( )mp a D

2r 2

sin

r

j

j D ( )mp a 0 00 90j< < .

Cho ( )mp a D D k .

+ k r< ( )mp a Þ

+ k r= ( )mp a

+ k r> ( )mp a



D

B’

A

O

C

’

’

B

’

5/

B

a/ .

,OA OB sao cho

· 030AOB = ', ', 'A O B

, ,A O B OA ' 'O B

030 ' 'ABB A

( )2 2 2 02. . . cos 30 100 2 3AB OA OB OAOB= + - = -

( )10 2 3AB cmÞ = - .

( )' ' ' 20AA BB OO cm= = = .

( )2

' '. ' 10 2 3.20 200 2 3

ABB AS AB BB cmÞ = = - = - .

b/ .

( )22 2 . . ' 2 .10.20 400xq

S rh OAOO cmp p p p= = = =

:

( )2 2 22. 2 2 400 2 10 600tp xq Ðay

S S S rh r cmp p p p p= + = + = + = .

: ( )2 2 3. .10 .20 2000V B h r h cmp p p= = = = .

B

a/ .

2l h r= = .

Do 22 4

xqS rl rp p= = .

b/

. ' ' ' 'ABCD A B C D

ABCD

2AB r=

( ) ( )2

3. ' 2 .2 4ABCD

V S AA r r r Ðvtt= = = .

7 ( )20 cm ( )10 cm

OA ' 'O B 030

'AB

a/

b/

A O

O'

B

B'

A'

030

8 r a/ b/

c/ V 'V '

V

V.



c/ :

3 3

2

4 4 2

' .2

V r r

V Bh r r pp= = = .

B

,M N AB CD

OM AB^ 'O N DC^ I MN 'OO .

, 'R OA h OO= = .

* Trong IOMD I nên: 2

2OM OI IM= = .

2 2.

2 2 2 2

h ah aÞ = Û = .

2 2 2 2R OA AM MO= + +

222 2 22 3

2 4 4 8 8

a a a a aæ öæ ö ÷ç÷ç ÷ç÷= + = + =ç ÷ç÷ ÷ç ÷ç ç ÷è ø çè ø

.

2 32

2

3 2 3 2.

8 2 16

3 2 32 2 .

2 22 2xq

a a aV R h

a a aS Rh

p p

pp p

ìïïï = = =ïïÞ íïï = = =ïïïî

B

R h

22 2S R Rhp p= + R h

2V R hp=

22 2S R Rhp p= + Û

22 2 3

23.

2 2 2 4

CôsiS V V V VR R

R R Rp p p p p= + = + + ³

32 3

227

2 544

V S SV

p pp

æ ö÷ç ÷Þ £ Û £ç ÷ç ÷çè ø

.

22

2 2 2

V R h RhR

R R

p

p p= = = hay 2h R= .

nên 266

SS R Rp

p= = .

6

SR

p= 2.

6

Sh

p= .

9 ABCD a ,A B

( )ABCD 045

D

450

A

O

C

N ’

B

M

I

10 S

11 ( ),O R ( )',O R B AB

( )O sao cho 'O ABD ( )'mp O AB ( )O

060



B

( )'OO OAB^ H AB , 'OH AB O H AB^ ^· 0' 60OHOÞ = .

OH x= 0 x R< < 0' tan 60 3OO x x= = .

OAHD 2 2 2AH R x= - .

'O ABD ( ) 2 2' 2 2 1O A AB AH R x= = = - .

'AOOD O nên:

( ) 2 2 2 2 2' ' 3 2AO OO R x R= + = + .

( ) ( )1 , 2 ( )2

2 2 2 2 2 34 3

7

RR x x R xÞ - = + Þ = .

3 7' 3

7

Rh OO xÞ = = = .

S V

2

32

6 72

7

3 7

7

RS Rh

RV R h

pp

pp

ìïïï = =ïïíïïï = =ïïî

6/

9 ABCD a ,I H AB

CD IH

a/ b/

0 R

a/ b/

21 ( )20 cm ( )30 cm .

a/ b/

c/ A B AB

060 AB

22. ( )10 cm ( )10 3 cm ,A B

AB 030 .

a/ AB

b/ A B .

c/ AB

23 O 'O r 2h r= A

O B 'O sao choOA 'O B .

a/ 'OABO

A

O

’

B

H



b/ ( )mp a AB 'OO 'OO ( )mp a .

c/ ( )mp a 'OO 2

2

r

24 ( )30 cm ( )30h cm= .

a/

b/ ( )60 cm

25 .S ABC SA SB SC a= = = b .

a/

b/ , ,SAB SBC SCA

26 4p .

a/

b/ ( )mp a 1 1

ABA B B

0120

27 . ' ' ' ' ' 'ABCDEF A B C D E F a h .

a/ b/

28 . ' ' ' 'ABCD A B C D ABCD AB a=

4CD a= 5

2

a h .

a/ b/

29. hai O 'O a

O A 'O B sao cho 2AB a=

'OO AB .

. B ABCD a ,A B

045 .

I.

1/

M O R O R

( )R;S O hay R{ / }M OM = .

2/

( )R;S O A

( )R R;OA A S O= Û Î OA

OA OB OA OB= -uuur uuur

AB

ROA A< Û

–

A

A A

B

O



ROA A> Û

Þ ( )R;S O M sao cho ROM £ .

3/

( )R;S O ( )mp P d O ( )mp P H

O trên ( )mp P d OHÞ = .

d R< Û ( )mp P ( )R;S O ( )mp P

H 2 2 2 2r HM R d R OH= = - = -

( )d R mp P> Û ( )R;S O

( )d R mp P= Û ( )R;S O ( )mp P

( )mp P ( )R;S O ( )( ),d O mp P R=

4/

( )R;S O D H O D d OH=

O D

d R> Û D ( )R;S O .

d R< Û D ( )R;S O

d R= Û D

D ( ),d d O R= D = .

A ( )R;S O

QuaA ( )R;S O .

A

( )R;S O .

II.

1/

Þ B

d d =



Þ B

Þ B

2/

3/

a/ .

Tâm

Þ I 'AC .

Þ B '

2

ACR = .

b/ .

' ' ' '

1 2 3 1 2 3... . ...

n nA A A A A A A A , trong

1 2 3...

nA A A A

' ' ' '

1 2 3...

nA A A A ( )O ( )'O

Tâm: I I 'OO .

: '

1 2...

nR IA IA IA= = = = .

c/ .

.S ABC · · 090SAC SBC= = .

+ Tâm: I SC .

+ B 2

SCR IA IB IC= = = = .

.S ABCD

· · · 090SAC SBC SDC= = = .

+ Tâm: I SC .

+ B 2

SCR IA IB IC ID= = = = = .

d/ .

. ...S ABC

O SOÞ

Trong SO

( )mp SAO SA

D SA M SO I IÞ

B

’

A B

D

’

B’

I ’

C

A

’

I

O

’

I

A1

A2 A3

An

’1

’2

’3

’n

S

A

I

C

B

S

A

B C

D

I

S

A

B

C

D O

I

∆

M



SM SI

SMI SOASO SA

D D Þ = Þ: B

2....

2

SM SA SAR IS IA IB IC

SO SO= = = = = = =

e/ .

. ...S ABC SA ^ ( )...ABC ...ABC

tâmO . . ...S ABC

O d ( )...mp ABC O .

Trong ( ),mp d SA D SA SA M d I .

IÞ

...R IA IB IC IS= = = = =

:

MIOB

MAID M

2

2 2 2

2

SAR AI MI MA AO

æ ö÷ç ÷= = + = + ç ÷ç ÷çè ø

.

f/ .

D

( )a

( ) I Ia ÇD = Þ

B I

g/ .

A

S

M ∆ I

O

B

C

d

∆

O

O

O O

∆

∆

∆.

O



4/

24

CS Rp= .

34

3CV Rp= .



31 .S ABCD ABCD nh ( ),a SA ABCD^ SB

030 .S ABCD .

32 .S ABC a 2a

.S ABC .

3 .S ABCD a 3a

.S ABCD .

34 .S ABC ABC ( ),C SA ABC^ B 3,AB a=

,BC a SB= ( )mp ABC 060

.S ABC .

35 .S ABCD a

.S ABCD ABCD ( ), , 2SA ABCD SA a AC a^ = =

.S ABCD ABCD ( )SA ABCD^ .

, ,H K L A , ,SAB SAC SADD D D

, , , , , ,A B C D H K L

. Cho .S ABC · ( )0, 120 , , 2AB AC a BAC SA ABC SA a= = = ^ =

, , ,S A B C

.S ABC ( ) ( )mp SBC mp ABC^ ,SC b SA SB AB AC a= = = = =

.S ABCD 2a O

060 M CD H O trênSM .

A ( )mp SCD .S ABCD .

.S ABCD

.S ABCD ABCD a SABD

( ) ( )SAB ABCD^ .

.S ABCD .

( ) ( ),mp SAB mp SCD .

. ' ' 'ABC A B C ·

, ,A AC a ACB a= = 'BC

( )' 'ACC A b .

. ' ' 'ABC A B C ga

a .

.S ABC ( )10 cm ( )15 cm



B , ,SA SB SC

, , ,SABC SA a SB b SC c= = =

. ' ' 'ABC A B C

B ( )10 cm .

SABC ( ), , ,SA mp ABC SA a AB b AC c^ = = =

a/ · 090BAC = .

b/ · 060 ,BAC b c= = .

c/ · 0120 ,BAC b c= = .

.S ABC a 2a

A ,SB SC

,AB AC .

SA D ,AC SD .

ABCD a AH O AH

OBCD .

.S ABCD SA a= ABCD ,A B

, 2AB BC a AD a= = = E AD

SCDE

ng . ' ' ' 'ABCD A B C D a .

ABCD

' ' ' 'A B C D .

'AC AB .

cânABC 2AB a= d A

( )ABC S kh A SABC .

SABC .

SABC p ( )mp SBC ( )mp ABC

030 .

R

( )mp P

( )mp P .

.S ABC ABCD a ( ) ( )mp SBC mp ABC^ , 2SC SB a= =

( ) ( ),mp SAB mp SAC B ( )mp SAC .

.S ABC

.S ABCD ABCD , 2AB a AD a= = ( ) ( ),SAD SAB

( ),mp ABCD SA a= O

.O SCD .

.S ABCD



.S ABCD ABCD 2AD a=

,AB a BC a= = , ( ),SA ABCD SA a^ = .

.S ABD .

.S CDM M AD .

.S BCD .

ƯU ẦM CỦA: Th.S Ă OÀN

Documents

Hinh hoc khong gian