Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 1

CAÙC BAØI TOAÙN CHOÏN LOÏC

1) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ vôùi A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN.

b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A’C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc α bieát 1 cos 6

α =

(Ñaïi hoïc khoái A – 2006) Giaûi

a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A’C vaø MN Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz nhö hình veõ thì toïa ñoä caùc ñieåm laø: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1); B’(1;

0; 1), C’(1; 1; 1), D’(0; 1; 1), M( 1 2

; 0; 0), N( 1 2

; 1; 0)

Ta coù ( ) ( ) 1 A 'C 1;1; 1 ,MN 0;1;0 ,A 'M ;0; 1 2

= − = = −

uuuur uuuur uuuuur

( )

( ) 2 2 2

A'C,MN 1;0;1

1 1 A 'C,MN .A 'M 1 2 d A 'C,MN 2 2 1 0 1 A 'C,MN

=

− ⇒ = = = + +

uuuur uuuur

uuuur uuuur uuuuur

uuuur uuuur

1 b) Vieát phöông trình maët phaúng chöùa A'C vaø taïo vôùi maët phaúng Oxy moät goùc bieát cos 6

α α =

A 'C coù qua A'(0;0;1) VTCP laø A'C (1;1; 1) x - y 0 x y z 1 neân pt chính taéc A'C laø pt toång quaùt A'C laø y z 1 0 1 1 1

Goïi (P) laø maët phaúng caàn tìm. Vì mp (P) chöùa A'C neân pt mp (P) daïng

= −

= − = = ⇒ + − = −

uuuur

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

Oxy

2 2 2

2 2 2 2 2

1

A x - y B y z -1 0 A B 0 Ax B A y Bz B 0

Mp Oxy coù pt laø z 0 n 0;0;1

B 1 Ycbt cos cos (P),(Oxy) 6 A B A B

A 2B 6B 2A 2AB 2B A AB 2B 0

A B A 2B. Choïn B 1,A 2 pt mp (P ) :2x y z 1 0 A B.

+ + = + ≠ ⇔ + − + − =

= ⇒ =

⇒ α = = = + − +

= ⇔ = − + ⇔ − − = ⇔ = − − = = = ⇒ − + − = − = −

uuuur

2 Choïn B 1,A 1 pt mp (P ) :x 2y z 1 0 = − = ⇒ − − + =

z

A

B(1; 0; 0) C

D(0; 1; 0)

A’(0; 0; 1)

B’ C’

D’

y

x

M N

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 2

2) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho hai ñöôøng thaúng

1 2

x 1 2t x y 1 z 2 d : vaø d : y 1 t 2 1 1

z 3

= − + − + = = = + − =

a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 cheùo nhau. b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : 7x + y - 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng d1

vaø d2. (Ñaïi hoïc khoái A – 2007) Giaûi

a) Chöùng minh d1 vaø d2 cheùo nhau.

( )

( )

1 2 d qua A(0;1; 2) coù VTCP laø a (2; 1;1),d qua B( 1;1;3) coù VTCP laø b (2;1;0)

Ta coù : a, b 1;2;4 0 a vaø b khoâng cuøng phöông (1)

AB -1;0;5 , a, b .AB 1 0 20 21 0 3 vectô a, b

− = − − =

= − ≠ ⇒ = = + + = ≠ ⇒

r r

r r r r r

uuur r r uuur r

1 2

, AB khoâng ñoàng phaúng (2)

Töø (1) & (2) d vaø d cheùo nhau ⇒

r uuur

b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : 7x + y - 4z = 0 vaø caét hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

1

2 2

x 2y 2 0 x 2y 3 0 Ta coù PTTQ cuûa d : ,d :

y z 1 0 z 3 0

chöùa d chöùa d Ta coù d mp : ,d mp :

P P

Vieát pt mp : chöùa d neân pt mp daïng :

A x 2y 2 B y z 1 0 A B 0 Ax 2A B y Bz 2A B

+ − = − + = + + = − = α β ⊂ α ⊂ β α ⊥ β ⊥

− α α α

+ − + + + = + ≠ ⇔ + + + − + =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

P

2

2 2

P

0

Ycbt n .n 0 7A 2A B 4B 0 9A 3B 0 B 3A

Choïn A 1 B 3 : pt : x 5y 3z 1 0

Vieát pt mp : chöùa d neân pt mp daïng :

M x 2y 3 N z 3 0 M N 0 Mx 2My Nz 3M 3N 0

Ycbt n .n 0 7M 2M 4N 0 5M 4N 0

Choïn

α

β

⇒ = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =

= ⇒ = α + + + =

− β β β

− + + − = + ≠ ⇔ − + + − =

⇒ = ⇔ − − = ⇔ − =

uur uur

uur uur

( )

( ) ( ) 1 2

M 4 N 5 : pt : 4x 8y 5z 3 0

x 5y 3z 1 0 Vaäy ptñt d:

4x 8y 5z 3 0

Ro õ raøng : d caét d taïi M 2;0; 1 ,caét d taïi N 5; 1;3 neân ta nhaän pt ñt d treân

= ⇒ = β − + − =

+ + + = − + − =

− − −

3) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(1;2;3) vaø hai ñöôøng thaúng:

1 2 x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1 d : ,d :

2 1 1 1 2 1 − + − − − +

= = = = − −

a) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1. b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2.

(Ñaïi hoïc khoái D – 2006)

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 3

Giaûi a) Tìm toïa ñoä A’ ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua ñöôøng thaúng d1

( ) 1

1 P d1

Tröôùc tieân ta tìm H - hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân d

Goïi (P) laø maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi d thì (P) coù VTPT laø n =a = 2; 1;1

Vaäy pt mp (P) daïng : 2x y z m 0. Vì (P) q

−

− + + =

uur uur

( )

( ) A A ' H

A A ' H

A A ' H

ua A(1;2;3) neân 2 2 3 m 0 m 3 2x y z 3 0

Vaäy pt mp (P) laø : 2x y z 3 0 H thoûa H 0; 1;2 x 2 y 2 z 3 2 1 1

x x 2x H laø trung ñieåm cuûa AA' neân y y 2y A ' 1; 4;1

z z 2z

− + + = ⇔ = −

− + − = − + − = ⇒ ⇔ − − + −

= = − + =

+ = ⇔ − − + =

b) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi d1 vaø caét d2.

( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

1

2

2 2 2

(P) qua A (Q) chöùa d mp P , mp(Q)

(P) d (Q) qua A

2x y 3 0 Vieát pt mp (Q) : Ta coù PTTQ cuûa d :

x z 0

Vì (Q) chöùa d neân pt mp (Q) daïng : A 2x y 3 B x z 0 A B 0

2A B x Ay Bz 3A 0

(Q) qua A(1;2;

∆ ⊂ ∆ ⊂ ⊥

+ − = + =

+ − + + = + ≠

⇔ + + + − =

( ) 2

3) neân 2A B 2A 3B 3A 0 A 4B 0 Choïn B 1,A 4, ta ñöôïc pt mp (Q) : 7x 4y z 12 0

2x y z 3 0 Vaäy pt ñt :

7x 4y z 12 0

Ro õ raøng caét d taïi M 2; 1; 2 neân nhaän pt ñt treân

+ + + − = ⇔ + = = − = + − − =

− + − = ∆ + − − =

∆ − − ∆

4) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1. Bieát A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B1(-a;0;b), a>0, b>0 a) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a vaø b. b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân luoân thoûa maõn a+ b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C

vaø AC1 ñaït giaù trò lôùn nhaát. (Ñaïi hoïc khoái D – 2004) Giaûi

a) Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng B1C vaø AC1

( )

( ) ( )

1 1 1 1 1

B1 B C1 C C1

B1 B C1 C C1 1

B1 B C1 C C1

1 1 1 1

ABC.A B C laø hình laêng truï ñöùng neân ta coù : BB CC

x x x x x 0 y y y y y 1 C 0;1; b z z z z z b

B C a;1; b ,AC a;1; b , B C,AC 2b; 0;

=

− = − = ⇔ − = − ⇔ = ⇒ − = − =

= = − =

uuuur uuuur

uuuur uuuur uuuur uuuur ( ) ( )

( ) 1 1

1 1 2 2 2 2 1 1

2a ,AC a;1;0

B C,AC .AC 2ab ab d B C,AC 4a 4b a b B C,AC

= −

− = = = + +

uuur

uuuur uuuur uuur

uuuur uuuur

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 4

b) Tìm a vaø b ñeå khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng treân ñaït giaù trò lôùn nhaát

2 2

2 2

max

AÙp duïng BÑT Cau chy : a b 2 ab ab ab 1 1 a b neân a b 2ab ab 2(Vì a b 4)

2 2ab 2 2 a b Vaäy d 2 khi a b 2

+ ≥ +

+ ≥ ⇒ ≤ = ≤ = + = +

= = =

5) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm I(1;1;1) vaø ñöôøng thaúng x 2y z 9 0

d 2y z 5 0

− + − = + + =

Vieát phöông trình maët caàu (S) coù taâm laø I, caét ñöôøng thaúng d theo 1 daây cung AB coù ñoä daøi baèng 16 Giaûi

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2

pt maët caàu (S) taâm I, baùn kính R laø : x 1 y 1 z 1 R

AB Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB thì IH AB. Vaäy R IA IH HA vôùi HA 8; IH d I,d 2

x z 9 x 14 Trong ñt d cho y 0, ta ñöôïc M 14

z 5 z 5

− + − + − =

⊥ = = + = = =

+ = = = ⇔ ⇒ = − = −

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

1 d 1 2 d

2

d d

d

; 0; 5 d IM 13; 1; 6

n 1; 2;1 d coù caëp VTPT laø d coù VTCP laø a n ,n 4; 1;2 a 16 1 4 21

n 0;2;1

a ,IM 8; 2; 17 a ,IM 64 4 289 357

a ,IM IH

− ∈ ⇒ = − −

= − ⇒ = = − − ⇒ = + + = =

= − − − ⇒ = + + =

=

uuur

uur uur uur uur uur

uur

uur uuur uur uuur

uur u

( ) ( ) ( )

2

d

2 2 2

357 17 R 17 64 81

21 a

Vaäy pt mc (S) laø x 1 y 1 z 1 81

= = ⇒ = + =

− + − + − =

uur

uur

6) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm M(1;1;1), maët phaúng (P) : x + 2y + 3z – 6 = 0 vaø maët caàu (S) : x 2 + y 2 + z 2 = 100. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua M, naèm trong maët phaúng (P) vaø caét maët caàu (S) theo daây AB thoûa MA = MB.

Giaûi

( ) ( )

= < ⇒

⊂ =

= ⊥ =

=

uur

uuuur

uur uur

P

d P

Maët caàu (S) coù taâm O, baùn kính laø 10, OM 3 R M ôû trong maët caàu

Vì d mp(P) neân n 1;2;3 laø 1 VTPT cuûa d

MA MB neân OM AB neân OM 1;1;1 laø 1 VTPT cuûa d

Vaäy d coù VTCP laø a n ( ) ( ) − − − = − − = = − −

uuuur x 1 y 1 z 1 ,OM 1;2; 1 maø d qua M 1;1;1 neân pt ñt d : 1 2 1

7) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm A(1;4;2), B(-1;2;4) vaø ñöôøng thaúng x 1 y 2 z :

1 1 2 − +

∆ = = −

a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua troïng taâm G cuûa tam giaùc OAB vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng OAB.

b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc ñöôøng thaúng ∆ sao cho MA 2 + MB 2 nhoû nhaát. (Ñaïi hoïc khoái D – 2007)

GiaûiCop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 5

a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d qua G, vuoâng goùc mp(OAB)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

O A B G

O A B G

O A B G

d

x x x x 0 3

y y y G laø troïng taâm OAB neân G thoûa y 2 G 0;2;2 3

z z z x 2 3

mp(OAB) coù caëp VTCP laø OA 1;4;2 ,OB 1;2;4 n 12; 6;6 6 2; 1;1

d mp(P) neân a n 2; 1;1 maø d

+ + = =

+ + ∆ = = ⇒

+ + = =

= = − ⇒ = − = −

⊥ = = −

uuur uuur r

uur r x y 2 z 2 qua G neân pt ñt d : 2 1 1

− − = =

− b) Tìm M∈∆ ñeå MA 2 + MB 2 nhoû nhaát

( )

2 2 2 2

2 2

P

AB Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB thì MA MB 2ME 2

Vaäy MA MB min ME min M H hình chieáu cuûa E leân ñt

E laø trung ñieåm AB neân E 0;3;3 ;Goïi (P) laø mp qua E vaø vuoâng goùc ñt thì n a ∆

+ = +

+ ⇔ ⇔ ≡ − ∆

∆ = = uur uur

( )

( )

1;1;2

pt mp (P) : x y 2z m 0.(P) qua E neân 3 6 m 0 m 9 pt mp (P) : x y 2z 9 0 x 1 x y 2z 9 0

Vaäy H thoûa y 0 M 1;0;4 x 1 y 2 z z 4 1 1 2

−

⇒ − + + + = + + = ⇔ = − ⇒ − + + − =

= − − + + − = ⇔ = ⇒ − − +

= = = − 8) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng :

1 2

x 1 t x 2y z 4 0

: vaø : y 2 t x 2y 2z 4 0

z 1 2t

= + − + − = ∆ ∆ = + + − + = = +

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∆1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ∆2. b) Cho ñieåm M(2;1;4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng ∆2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû

nhaát. (Ñaïi hoïc khoái A – 2002) Giaûi

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng ∆1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng ∆2. ( ) ( )

( )

( )

( )

1 1 1 1 1 2

2

1 1

1 1

n 1; 2;1 coù caëp VTPT laø coù VTCP laø a = n ,n 2;3;4

n 1;2; 2

x 2y 4 x 0 Trong cho z 0, ta ñöôïc qua A 0; 2;0

x 2y 4 y 2

Vì mp (P) chöùa neân a = 2;3;4 la

= − ∆ ⇒ ∆ = = − − = =

∆ = ⇔ ⇒ ∆ − + = − = −

∆

uur uur uur uur

uur

uur

( ) ( )

( )

1 2

2 2

ø 1 VTCP cuûa (P) (P) coù VTPT laø n a ,a 2;0; 1

mp (P) // neân a = 1;1;2 laø 1 VTCP cuûa (P)

pt mp (P) daïng : 2x z m 0. (P) qua A 0; 2;0 neân m 0.

Vaäy pt mp (P) laø : 2x z 0

⇒ = = − ∆ ⇒ − + = − =

− =

r uur uur uur

b) Tìm H ∈ ∆2 ñeå MH nhoû nhaát.Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 6

( ) 2 2

2 Q 2

Keû ME . Ta coù ME MH. Vaäy MH min MH ME H E hình chieáu cuûa M xuoáng

Goïi (Q) laø mp qua M vaø vuoâng goùc vôùi thì (Q) coù VTPT laø n a 1;1;2

pt mp (Q) daïng : x y 2z m 0. Vì (Q) qua

⊥ ∆ ≤ ⇔ = ⇔ ≡ − ∆

∆ = =

⇒ + + + =

uur uur

( )

( )

M 1;2;4 neân m 11

Vaäy pt mp (Q) : x y 2z 11 0 x 1 t

x 2 y 2 t

H thoûa : y 3 H 2;3;3 z 1 2t

z 3 x y 2z 11 0

= −

+ + − =

= + = = + ⇔ = ⇒ = + = + + − =

9) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác cuûa heä toïa ñoä, B(a;0;0), D(0;a;0); A’(0;0;b) (a>0, b>0). Goïi M laø trung ñieåm caïnh CC’. a) Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b.

b) Xaùc ñònh tæ soá a b

ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau.

(Ñaïi hoïc khoái A – 2003) Giaûi

a) Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M Toïa ñoä cuûa caùc ñieåm laø : A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0)

A’(0;0;b), B’(a;0;b), C’(a;a;b), D’(0;a;b), M(a;a; b 2

)

( ) ( )

( ) 2 2

2 2

2 2

BDA'M

b Ta coù : BD a;a;0 ,BA ' a;0; b ,BM 0;a; 2

a b 3a b BD,BA' ab;ab;a , BD,BA' .BM a b 2 2

1 1 3a b a b V BD,BA' .BM 6 6 2 4

= − = − =

= = + =

= = =

uuur uuuur uuuur

uuur uuuur uuur uuuur uuuur

uuur uuuur uuuur

b) Xaùc ñònh tæ soá a b

ñeå 2 mp (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

(A'BD) coù caëp VTCP A 'B a;0; b ,A 'D 0;a; b 2 (A 'BD) coù VTPT n A 'B,A 'D ab;ab;a a b;b;a 1

b (MBD) coù caëp VTCP MB 0; a; ; BD a;a;0 2

(MBD) coù VTPT n MB

− = − = −

⇒ = = =

− − = − = −

⇒ =

uuuur uuuur

uur uuuur uuuur

uuur uuur

uur uuur ab ab b b 2 ,BD ; ; a a ; ; a 2 2 2 2

2 2 b a b b a 2 2 2 Ñeå 2 mp treân vuoâng goùc thì n .n 0 a 0 b a 0 1 1 2 b a(loaïi a, b 0) 2 2 b a KL : 1 thì 2 mp(A'BD) vaø (MBD) vuoâng goùc b

= − = −

= = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ ⇔ = = − >

=

uuur

uur uur

A

B(a; 0; 0) C

D(0; a; 0)

A’(0; 0; b)

B’ C’

D’

y

x

M

z

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 7

10) Tìm m ñeå hai maët phaúng sau song song : mp (P) : 2x + my + 3z + 6 –m = 0 vaø mp (Q) : (m+3)x + 2y + (5m+1)z – 10 = 0

Giaûi ( ) ( )

( ) ( ) P Q

2 2 P Q P Q

2

2

Ta coù : n 2;m;3 vaø n m 3;2;5m 1

Ñeå mp(P) // mp (Q) thì n // n n ,n 0 5m m 6; 7m 7;4 m 3m 0;0;0

5m m 6 0 7m 7 0 m 1

4 m 3m 0

Vôùi m 1: mp(P) : 2x y 3z 5 0,mp(Q) : 4x 2y 6z

= = + +

⇔ = ⇔ + − − + − − = + − = ⇔ − + = ⇔ = − − =

= + + + = + + −

uur uur

uur uur uur uur

10 0 \ Nhaän thaáy mp (P) // mp (Q) neân nhaän m 1

= =

11) Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c.

Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng : ( ) 2S abc a b c ≥ + +

(Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái D – 2003) Giaûi

Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø : A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2

BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

BC c; b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc

1 1 S BC,BD a b a c b c 2 2

ñpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c) Theo BÑT Cauchy ta ñöôïc :

a b +b c 2ab c

b c +c a

= − = − =

= = + +

⇔ + + ≥ + +

⇔ + + ≥ + +

≥

uuur uuur uuur uuur

uuur uuur

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2bc a Coäng veá : a b a c b c abc(a b c)(ñpcm)

c a a b 2ca b

≥ + + ≥ + + + ≥

12) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho maët caàu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 vaø maët phaúng (P) : 2x – y + 2z – 14 = 0 a) Vieát phöông trình maët phaúng (Q) chöùa truïc Ox vaø caét (S) theo moät ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3. b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) lôùn nhaát.

(Ñaïi hoïc khoái B – 2007) Giaûi

a) Vieát phöông trình mp (Q) chöùa Ox, caét (S) theo 1 ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 3

( ) 2 2

M.caàu (S) coù taâm I(1; 2; 1), baùn kính R 1 4 1 3 3 y 0

mp (Q) chöùa truïc Ox neân pt mp (Q) daïng : Ay Bz 0 A B 0 z 0

Vì mp (Q) caét (S) theo 1 ñöôøng troøn baùn kính baèng 3 neân (Q) phaûi qua taâm

− − = + + + =

= + = + ≠ =

I cuûa m.c Vaäy 2A B 0. Choïn A 1,B 2, ta ñöôïc pt mp (Q) : y 2z 0 − − = = = − − =

z

y

x

A

B

C

D

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 8

b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc maët caàu (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán mp (P) laø max

( ) ( ) ( )

( )

( )

Goïi d laø ñöôøng thaúng qua I vaø vuoâng goùc vôùi mp (P). d caét m.c taïi A vaø B.

Neáu d A,mp(P) d B,mp(P) thì d M,mp(P) max khi M A

x 1 y 2 z 1 d coù VTCP laø a 2; 1;2 ,qua I neân ptñt d laø 2 1 2

Goïi l

> ≡

− + + = − = =

− α

r

( )

( ) ( )

( ) 1

aø tieáp dieän cuûa m.c (S) vaø // mp (P) thì pt daïng: 2x y 2z m 0

m 2 9 m 7 2 2 2 m Ñeå tieáp xuùc m.c (S) ñk laø d I,mp( ) R 3 m 2 9

m 2 9 m 11 4 1 4

Vôùi m 7, ta coù pt : 2x y 2z 7 0. d caét

α − + + =

+ = = + − + α α = ⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇔ + = − = − + +

= α − + + = ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1

2 2

2x y 2z 7 0 taïi A thoûa hpt A 1; 1; 3 x 1 y 2 z 1

2 1 2 2x y 2z 11 0

Vôùi m 11, ta coù pt : 2x y 2z 11 0. d caét taïi B thoûa hpt B 3; 3;1 x 1 y 2 z 1 2 1 2

2 1 6 14 Ta coù d A,mp(P) 7,

4 1 4

− + + = α ⇒ − − − − + +

= = − − + − =

= − α − + − = α ⇒ − − + + = = −

− + − − = =

+ + ( )

( ) ( )

6 3 2 14 d B,mp(P) 1.

4 1 4 Vaäy d M,mp(P) max khi M A 1; 1; 3

+ + − = =

+ + ≡ − − −

13) Tìm a, b ñeå 3 maët phaúng sau cuøng chöùa moät ñöôøng thaúng : Mp (P) : 5x + ay + 4z + b = 0 , mp (Q) : 3x – 2y + z – 3 = 0 , mp (R) : x – 2y – 2z + 5 =0

Giaûi 3x 2y z 3 0

Goïi d laø giao tuyeán cuûa mp (Q) vaø mp (R) thì pt ñt d laø : x 2y 2z 5 0

Ñeå 3 mp treân cuøng chöùa 1 ñt thì mp (P) phaûi chöùa ñöôøng d 9 5 Ta thaáy ñöôøng d qua 2 ñieåm : A 4; ;0 ,B 2

− + − = − − + =

11 ; ;1 2 4

9 20 a b 0 a 2 2 Ñeå mp (P) chöùa ñöôøng d thì A,B mp(P) 25 11 b 11

a 4 b 0 2 4

+ + = = − ∈ ⇒ ⇔ = − + + + =

14) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng :

1 2

x 1 t x 2 t : y t vaø : y 4 2t

z 4t z 1

= − = − = = + = =

d d

Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d naèm trong maët phaúng (P) : y + 2z = 0 vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. (Cao ñaúng kyõ thuaät Cao Thaéng – 2007)

Giaûi

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 9

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

2

1 2

Goïi A d P , ta theá x,y,z vaøo pt mp (P) : t 8t 0 t 0 A 1;0;0

Goïi B d P , ta theá x,y,z vaøo pt mp (P) : 4 2t 2 0 t 3 B 5; 2;1

d (P) caét caû d vaø d neân d qua A vaø B.

Vôùi VTCP AB 4; 2;1 , ta ñöôïc

= + = ⇔ = ⇒

= + + = ⇔ = − ⇒ −

⊂

= −

∩

∩

uuur x 1 y z pt ñt d : 4 2 1 −

= = −

15) Trong khoâng gian vôùi heä truïc toïa ñoä Oxyz, cho hình choùp S.ABCD vôùi ñaùy ABCD laø hình thoi coù taâm O, A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh beân SA. a) Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SC vaø DM. b) Maët phaúng (CDM) caét SB taïi N. Tính theå tích khoái töù dieän SCMN.

(Ñaïi hoïc Saøi Goøn – Khoái A – 2007) Giaûi

a) Khoaûng caùch giöõa SC vaø DM Ta coù toïa ñoä caùc ñieåm S(0;0;2 2 ), A(2;0;0), B(0;1;0), C(-2;0;0), D(0;-1;0), M(1;0; 2 )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

SC 2;0; 2 2 ,DM 1;1; 2 ,SD 0; 1; 2 2 , SC,DM 2 2;0; 2

SC,DM .SD 4 2 4 2 2 6 Vaäy d SC,DM 3 12 2 3 SC,DM

= − − = = − − = −

= = = =

uuur uuuur uuur uuur uuuur

uuur uuuur uuur

uuur uuuur

b) Tính VSCMN. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

mp(CDM) coù caëp VTCP laø CD 2; 1;0 ,CM 3;0; 2

(CDM) coù VTPT laø n CD,CM 2; 2 2;3 pt(CDM) daïng : 2x 2 2y 3z m 0

(CDM) qua C 2;0;0 neân m 2 2 pt CDM : 2x 2 2y 3z 2 2 0

SB 0;1; 2 2 pt ñ

= − =

= = − − ⇒ − − + + =

− = − ⇒ − − + − =

= − ⇒

uuur uuuur

r uuur uuuur

uur { } ( )

( ) ( ) ( )

SCMN

x 0 1 t SB: y 1 t .Vì N SB CDM neân ta coù toïa ñoä N 0; ; 2 2

z 2 2t

1 SC 2;0; 2 2 ,SM 1;0; 2 ,SN 0; ; 2 , SC,SM 0;4 2;0 , SC,SM .SN 2 2 2

1 V SC,SM . 6

= = + =

= − = − − = − = − = =

=

∩

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

uuur uuur 1 2 SN .2 2 (ñvtt) 6 3

= = uuur

16) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm A(2;1;-3), ñöôøng thaúng d : x 3 y 1 z 5 2 1 2 − − −

= = vaø maët

phaúng (P) : x + y – z – 1 = 0. a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ ñi qua A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d vaø song song vôùi maët phaúng (P). b) Tìm toïa ñoä ñieåm M thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán maët phaúng (P) baèng 3 .

(Cao ñaúng kinh teá – 2007) Giaûi

a) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆ qua A, vuoâng goùc d vaø // (P)Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 10

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

d

P

d P

d neân coù 1 VTPT laø a 2;1;2

// mp(P) neân coù 1 VTPT laø n 1;1; 1

coù VTCP laø a a ,n 3;4;1

x 2 y 1 z 3 qua A 2;1; 3 neân pt ñt : A P neân //(P) 3 4 1

∆

∆ ⊥ ∆ =

∆ ∆ = −

⇒ ∆ = = − − − +

∆ − ∆ = = ∉ ∆ −

uur

uur

uur uur uur

b) Tìm toïa ñoä M thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) baèng 3

( )

( )

( ) ( ) 1 2

x 3 2t Ta coù pt ñt d y 1 t .Vì M d neân M 3 2t;1 t;5 2t

z 5 2t

t 2 3 t 5 3 2t 1 t 5 2t 1 d M,mp(P) 3 t 2 3

t 2 3 t 1 1 1 1 Vaäy M 13;6;15 ,M 1;0;3

= + = + ∈ + + + = +

− = = + + + − − − = = ⇔ − = ⇔ ⇔ − = − = − + +

17) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : x – y + z + 3 = 0 vaø hai ñieåm A(-1;-3;-2) ; B(-5;7;12). a) Tìm toïa ñoä ñieåm A’ laø ñieåm ñoái xöùng vôùi ñieåm A qua maët phaúng (P). b) Giaû söû M laø moät ñieåm chaïy treân maët phaúng (P), tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : MA + MB

(Döï bò 2 – Ñaïi hoïc khoái A – 2002) Giaûi

a) Tìm A’ – ñoái xöùng vôùi A qua (P)

( )

Goïi d laø ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi mp (P) thì x 1 y 3 z 2 pt ñt d :

1 1 1 Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A leân mp (P) thì

x 1 y 3 z 2 H thoûa heä H 2; 2; 3 1 1 1

x y z 3 0

H laø

+ + + = =

−

+ + + = = ⇒ − − − − − + + =

( ) A A' H

A A' H

A A' H

x x 2x trung ñieåm AA' neân y y 2y A ' 3; 1; 4

z z 2z

+ = + = ⇒ − − − + =

b) Tìm min(MA + MB)

( )

( )

A B Theá toïa ñoä A, B vaøo pt mp (P) ta ñöôïc 3, 3. Vaäy AB naèm cuøng phía vôùi mp (P) A' laø ñoái xöùng cuûa A qua mp (P) neân MA MA '

MA MB MA ' MB A ' B MA MB 18 (A ' B 2;8;16 )

Min MA MB 18 khi M A '

ρ = ρ =

=

+ = + ≥ ⇒ + ≥ = −

+ = =

uuuur

( ) (P) : x y z 3 0

B mp (P) M thoûa heä M 4;3; 4 x 3 y 1 z 4 A ' B : 1 4 16

− + + = ∩ ⇒ ⇒ − + + +

= = −

A

H

A’

M

B

P

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 11

18) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho caùc ñieåm A(-1;2;3), B(0;3;1), C(2;2;-1) vaø D(4;-2;1) Tìm M∈AB, N∈CD sao cho ñoä daøi ñoaïn MN nhoû nhaát.

Giaûi

( ) ( )

( ) ( )

( )

x 1 t AB 1;1; 2 , pt ñt AB : y 2 t ,M AB M 1 t;2 t;3 2t

z 3 2t

x 2 t ' CD 2; 4;2 , pt ñt CD : y 2 2t ' ,N CD N 2 t ';2 2t '; 1 t '

z 1 t '

MN t ' t 3; 2t ' t; t ' 2t 4

MN min chæ khi MN laø ñöôøng vuoâng

= − + = − = + ∈ ⇒ − + + − = −

= + = − = − ∈ ⇒ + − − + = − +

= − + − − + −

uuur

uuur

uuuur

( )

MN.AB 0 goùc chung cuûa AB vaø CD vaäy

MN.CD 0

4 13 5 t ' 1 M ; ; t ' t 3 2t ' t 2t ' 4t 8 0 3t ' 6t 11 3 3 3 7 2t ' 2t 6 8t ' 4t 2t ' 4t 8 0 12t ' 6t 2 t

N 1;4; 2 3

=

= − = − − + − − − − + = − − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − + + + + + − = + = = −

uuuur uuur

uuuur uuur

19) Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz, cho ñöôøng ( ) ( ) 3x ky k 0

d : k 0 1 k x kz 0

+ − = ≠ − − = Chöùng minh raèng d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh vaø luoân naèm trong 1 maët phaúng coá ñònh.

Giaûi a) CMR : d luoân ñi qua 1 ñieåm coá ñònh

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

b 1 0 k b 1 3a 0 3a kb k 0

Goïi E a;b;c laø ñieåm coá ñònh cuûa d thì k 0 k 0 a 0 1 k a kc 0 k a c a 0 a c 0

E 0;1;0 laø ñieåm coá ñònh cuûa ñöôøng thaúng d

− = − + = + − = ≠ ⇔ ≠ ⇔ = − − = − − + = − − = ⇒ b) CMR : d luoân naèm trong 1 mp coá ñònh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

Goïi (P) laø maët phaúng coá ñònh chöùa ñöôøng d thì pt mp (P) daïng :

a 3x ky k b 1 k x kz 0 a b 0

3a b kb x kay kbz ka 0 k ay bz a bx 3a b x 0

Choïn 3a b 0.a 1, b 3 pt mp (P) laø 3x y 3z 1 0 Ñaây laø mp coá

+ − + − − = + ≠

⇔ + − + − − = ⇔ − − − + + =

+ = = = − ⇒ + + − = ñònh chöùa ñöôøng d

20) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho A(2;3;-1), ñöôøng thaúng x 5 y z 25 d : 1 1 1 − +

= = −

Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua ñöôøng thaúng d sao cho khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (P) ñaït giaù trò lôùn nhaát.

Giaûi

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 12

Keû AH (P),AE d, ta coù : AH AE AH max AH AE H E Vaäy mp (P) caàn tìm phaûi vuoâng goùc vôùi AE Goïi ( ) laø mp qua A vaø d thì pt ( ) daïng : x y z m 0. ( ) qua A(2;3; 1) neân 2 3 1 m 0 m 6 pt ( ) : x y z

⊥ ⊥ ≤ ⇒ ⇔ = ⇔ ≡

α ⊥ α + − + = α − + + + = ⇔ = − ⇒ α + −

( )

( ) ( )

6 0 x 5 y z 25

E thoûa heä E 3; 8; 17 1 1 1 x y z 6 0

(P) AE neân AE 5; 11; 16 laø VTPT cuûa (P) pt (P) daïng : 5x 11y 16z n 0

(P) qua E 3; 8; 17 neân 15 88 272 n 0 n 375

pt mp (P) :5x 11y 16z 375

− =

− + = = ⇒ − − − − + − − =

⊥ = − − − ⇒ − − − + =

− − − + + + = ⇔ = −

⇒ + + +

uuur

0 =

21) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho toïa ñoä caùc ñieåm B(1;1;0), D(0;0;m). Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa O leân ñöôøng thaúng BD. Tìm m ñeå dieän tích tam giaùc OBH ñaït giaù trò lôùn nhaát.

Giaûi

( )

( ) ( )

2 2 2 2

o

2

2

2 2

1 a b 1 HO HB S HO.HB. AÙp duïng BÑT Cauchy:a.b S 2 2 2 2

BO.BD 2 Vaäy Smax khi HO HB BO,BD 45 2 BO BD

1 1 2 Vôùi BO 1; 1;0 ,BD 1; 1;m 2 m 2 2 2 2 m

2 m 4 m 2 m 2

+ + = ≤ ⇒ ≤

= ⇒ = ⇔ =

+ = − − = − − ⇒ = ⇔ + =

+

⇔ + = ⇔ = ⇔ = ±

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

22) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcaùc vuoâng goùc Oxyz, cho caùc ñieåm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3). Goïi

M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA vaø BC. Goïi P, Q laø 2 ñieåm treân OC, AB sao cho OP 2 OC 3

= . Bieát raèng MN

vaø PQ caét nhau. Haõy vieát phöông trình maët phaúng (MNPQ) vaø tính tæ soá AQ AB

Giaûi

( )

( )

( )

3 3 Vì M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa OA, BC neân toïa ñoä laàn löôït laø M 1;0;0 ,N 0; ;

2 2 OP 2 2 2 Vì OP OC OP OC P 0;0;2 OC 3 3 3

3 3 mp (MNPQ) coù caëp VTCP laø MP 1;0;2 ,MN 1; ;

2 2

= ⇔ = ⇒ = ⇒

= − = −

uuur uuur

uuur uuuur

( ) 1 3 1 (MNPQ) coù VTPT n MP,MN 3; ; 6;1;3 (MNPQ) daïng : 6x y 3z m 0 2 2 2

(MNPQ) qua M neân m 6 pt mp (MNPQ) : 6x y 3z 6 0

⇒ = = − − − = − ⇒ + + + = = − ⇒ + + − =

r uuur uuuur

O

B H D

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 13

( )

{ } ( ) 2

x 2 2t AB qua A coù VTCP laø AB 2;3;0 pt ñt AB : y 3t

z 0

2 2 Q AB (MNPQ) neân : 6 2 2t 3t 6 0 t Q ;2;0 3 3

4 2 13 AQ 2 AB 4 9 13,AQ 4 3 3 AB 3

= − = − ⇒ = =

= ∩ − + − = ⇔ = ⇒

= + = = − + = ⇒ =

uuur

23) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng :

1 2

x y z 2 0 x 1 y 2 z 1 d : vaø d : x 3y 12 0 3 1 2

+ − − = − + + = = + − = −

a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2.

b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A, B. Tính dieän tích tam giaùc OAB ( O laø goác toïa ñoä )

(Ñaïi hoïc khoái D – 2005)

Giaûi

a) CMR : d1 // d2. Vieát pt mp (P) chöùa caû d1 vaø d2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 1

1 2 2 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2

d qua M 1; 2; 1 , coù VTCP laø a 3; 1;2

n 1;1; 1 d coù caëp VTPT laø d coù VTCP laø a n ,n 3; 1;2

n 1;3;0

Roõ raøng : a a . M d ,M d d // d Vì mp (P) chöùa d neân

− − = −

= − ⇒ = = − =

= ∈ ∉ ⇒

uur

uur uur uur uur

uur

uur uur

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

1

pt mp (P) daïng : A x y z 2 B x 3y 12 0

A B x A 3B y Az 2A 12B 0. A B 0

Vì mp (P) chöùa d neân (P) phaûi qua M A B 2A 6B A 2A 12B 0 2A 17B 0 Choïn A 17,B 2 pt mp (P) : 15x 11y 17z 10 0

+ − − + + − =

⇔ + + + − − − = + ≠

⇒ + − − + − − = ⇔ − − = = = − ⇒ + − − =

b) Tính dieän tích tam giaùc OAB

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

OAB

mp(Oxz) : y 0 caét d vaø d taïi A vaø B x y z 2 0 x 1 y 2 z 1

A thoûa heä A 5;0; 5 ,B thoûa heä x 3y 12 0 B 12;0;10 3 1 2 y 0 y 0

OA 5;0; 5 ,OB 12;0;10 , OA,OB 0; 10;0

1 S OA, 2

=

+ − − = − + + = = ⇒ − − + − = ⇒ − = =

= − − = = −

=

uuur uuur uuur uuur

uuur 1 OB .10 5(ñvdt) 2

= = uuur

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 14

24) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng :

1 2 x y 2 z 4 x 8 y 6 z 10 d : ,d : 1 1 2 2 1 1

− + + − − = = = =

− − a) Cho A ∈ d1, B ∈ d2. AB vuoâng goùc vôùi d1 vaø d2. Vieát phöông trình maët caàu ñöôøng kính AB. b) Vieát phöông trình maët phaúng (P) song song vôùi d1, d2 vaø caùch ñeàu chuùng.

Giaûi a) Vieát pt maët caàu ñöôøng kính AB :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 1

2 2 1 2

A d neân A t,2 t,2t 4 ,B d neân B 2t ' 8,6 t ',10 t '

AB 2t ' t 8, t ' t 4, t ' 2t 14 AB d AB.a 0 Vì Vôùi

AB d AB.a 0 a 1; 1;2 ,a 2;1; 1

2t ' t 8 t ' t 4 2t ' 4t 28 0 Ta ñöôïc :

4t '

∈ − − ∈ − + −

= − − + + − − + ⊥ = ⇒ ⊥ = = − = −

− − − − − − − + = −

uuur uuur uur

uuur uur uur uur

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 2 2

t ' 6t 16 t ' 4 2t 16 t ' t 4 t ' 2t 14 0 6t ' t 26 t 2

A 2;0; 0 ,B 0;10;6 . Maët caàu ñöôøng kính AB coù taâm I laø trung ñieåm AB I 1;5;3

AB 4 100 36 R 35 pt.mc(S) : x 1 y 5 z 3 35 2 2

− − = − = ⇔ ⇔ − + + + + + − = + = =

⇒ ⇒

+ + = = = ⇒ − + − + − =

b) Vieát phöông trình mp (P) : ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2

2

1 2 1 2

a 1; 1;2 (P) coù caëp VTCP laø (P) coù VTPT laø n a ,a 1;5;3

a 2;1; 1

pt mp (P) daïng : x 5y 3z m 0 Laáy C 0;2; 4 d ,D 8;6;10 d .Y / c : d d ,(P) d d ,(P) d C,(P) d D,(P)

10 12 m 1 25 9

= − ⇒ = = − = − ⇒ − + + + =

− ∈ − ∈ = ⇒ =

− + ⇔ =

+ +

uur r uur uur

uur

m 2 m 68 (voâ lyù!) 8 30 30 m m 2 m 68

m 2 m 68 m 33 1 25 9 pt.mp.(P) : x 5y 3z 33 0

+ = + + + + ⇔ − = + ⇔ + = − − ⇔ = − + +

⇒ − + + − =

25) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñieåm A(4;2;2), B(0;0;7) vaø ñöôøng thaúng x 3 y 6 z 1 d :

2 2 1 − − −

= = −

Chöùng minh raèng hai ñöôøng thaúng d vaø AB thuoäc cuøng moät maët phaúng. Tìm ñieåm C thuoäc ñöôøng thaúng d sao cho tam giaùc ABC caân taïi ñænh A.

(Döï bò 1 – Ñaïi hoïc khoái B – 2004) Giaûi

( ) ( ) ( )

( ) ( ) d d

d d

a 2;2;1 ,AB 4; 2;5 , a ,AB 12;6;12 0 d vaø AB khoâng cuøng phöông

d qua D 3;6;1 ,AC 1;4; 1 . a ,AB .AC 12 24 12 0 3 vectô a , AB, AC ñoàng phaúng

Vaäy d vaø

= − = − − = ≠ ⇒ = − − = − + − = ⇒

uur uuur uur uuur r

uuur uur uuur uuur uur uuur uuur

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

1 2 2

2

AB thuoäc cuøng moät maët phaúng

C d neân C 3 2t,6 2t,1 t .ycbt AB AC 45 2t 1 2t 4 t 1

t 1 C 1;8;2 9t 18t 18 45 9t 18t 27 0

t 3 C 9;0; 2

∈ − + + ⇒ = ⇔ = − − + + + −

= ⇒ ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔

= − ⇒ − Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 15

26) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng thaúng 2x 2y z 1 0

d : x 2y 2z 4 0

− − + = + − − =

vaø maët caàu (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m ñeå ñöôøng thaúng d caét maët caàu (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho khoaûng caùch giöõa hai ñieåm ñoù baèng 9.

(Döï bò 1 – Ñaïi hoïc khoái D – 2002) Giaûi

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 2

Maët caàu (S) coù taâm I 2;3;0 ,R 13 m. Ñeå (S) laø maët caàu thì 13 m 0 m 13

MN 9 HM 2 2 Goïi H laø trung ñieåm MN thì IH MN R IM IH HM (*)

IH d I,d

d coù caëp VTPT laø n 2; 2; 1 ,n 1;2; 2 d coù VT

− = − − > ⇔ <

= = ⊥ ⇒ = = +

=

= − − = − ⇒ uur uur

( )

( ) ( ) ( )

( )

1 2 CP laø a n ,n 6;3;6

Trong pt ñt d cho x 0 y 1;z 1 A 0;1; 1 d IA 2; 2; 1 , a, IA 9;18; 18

a, IA 81 324 324 81 65 d I,d 3 IH. Vaäy (*) 13 m 9 m 4 4 36 9 36 a

= = = ⇒ = = − ⇒ − ∈ ⇒ = − − = −

+ + = = = = ⇔ − = + ⇔ = − + +

r uur uur

uur r uur

r uur

r

27) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz , cho caùc ñieåm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) vaø maët phaúng (P) : x + y + z – 1 = 0. Tìm toïa ñoä M∈(P) sao cho | MA – MB | ñaït giaù trò lôùn nhaát.

Giaûi A B Theá toïa ñoä A, B vaøo pt mp (P), ta ñöôïc 3, 1 A,B ôû traùi phía vôùi mp (P)

Goïi A' laø ñoái xöùng cuûa A qua mp (P) thì MA MA ' MA MB MA ' MB A ' B

MA MB max khi M laø giao ñieåm cuûa A'B vaø mp (

ρ = − ρ = ⇒

= ⇒ − = − ≤

⇒ −

{ } ( ) ( )

P)

Goïi H laø hình chieáu cuûa A leân mp (P). Goïi d laø ñöôøng thaúng qua A, vuoâng goùc mp (P) x 1 y 3 z pt d : . H d (P) neân H 2; 2;1 . A' laø ñoái xöùng cuûa A qua (P) A' 3; 1;2

1 1 1

A ' B qua B coù VTCP laø

− + ⇒ = = = − ⇒ − ∩

( ) ( )

{ } ( )

x 5 y 1 z 2 AB 2;0; 4 2 1;0; 2 pt A ' B : 1 0 2

M A ' B (P) M 6; 1; 4 .Max MA MB A ' B 4 16 2 5

− + + = − = − ⇒ = =

− = ⇒ − − − = = + =

uuur

∩

28) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) : x + y + z + 3 = 0. M laø moät ñieåm di ñoäng chaïy treân maët phaúng (P). Tìm toïa ñoä ñieåm M sao cho MA MB +

uuuur uuur ñaït giaù trò nhoû nhaát, bieát toïa

ñoä ñieåm A(3;1;1), B(7;3;9). Giaûi

( )

Goïi E laø trung ñieåm AB thì : MA MB 2ME MA MB 2ME

MA MB min ME min M H : hình chieáu cuûa E leân mp (P)

E laø trung ñieåm AB neân E 5;2;5 .Goïi d laø ñöôøng thaúng qua E v

+ = ⇔ + =

⇒ + ⇔ ⇔ ≡

uuuur uuur uuur uuuur uuur

uuuur uuur

{ } ( )

aø vuoâng goùc mp (P) x 5 y 2 z 5 pt d : . E d (P) M E 0; 3;0

1 1 1 − − −

= = = ⇒ ≡ − ∩Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)

Toaùn 12 – Hình hoïc khoâng gian Traàn Gia Huy 16

29) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñieåm A(0;1;2) vaø hai ñöôøng thaúng :

1 2

x 1 t x y 1 z 1 d : ,d : y 1 2t 2 1 1

z 2 t

= + − + = = = − − − = +

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua A, ñoàng thôøi song song vôùi d1 vaø d2. b) Tìm toïa ñoä caùc ñieåm M thuoäc d1, N thuoäc d2 sao cho ba ñieåm A, M, N thaúng haøng.

(Ñaïi hoïc khoái B – 2006) Giaûi

a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) : ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

(P) // d vaø d neân coù caëp VTCP laø a 2;1; 1 ,a 1; 2;1

(P) coù VTPT laø n a ,a 1; 3; 5 pt.mp(P) : x 3y 5z m 0

(P) qua A 0;1;2 neân 3 10 m 0 m 13 Vaäy pt mp (P) : x 3y 5z 13 0

= − = −

⇒ = = − − − ⇒ − − − + = − − + = ⇔ =

+ + − =

uur uur

r uur uur

b) Tìm toïa ñoä M, N : ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 M d neân M 2t ',1 t ', 1 t ' ,N d neân N 1 t, 1 2t,2 t

AM 2t ', t ', 3 t ' ,AN 1 t, 2 2t, t

A, M, N thaúng haøng AM,AN 0 Maø AM,AN 2tt ' 6t 2t ' 6; 3tt ' 3t t ' 3; 5tt ' 5t '

Vaäy 2

∈ + − − ∈ + − − +

= − − = + − −

⇔ = = − − − − − − − − − − −

uuuur uuur

uuuur uuur r uuuur uuur

( ) ( )

( ) ( )

tt ' 6t 2t ' 6; 3tt ' 3t t ' 3; 5tt ' 5t ' 0;0;0

2tt ' 6t 2t ' 6 0 t ' 0

3tt ' 3t t ' 3 0 M 0;1; 1 ,N 0;1;1 t 1

5tt ' 5t ' 0

− − − − − − − − − =

− − − − = = ⇒ − − − − = ⇔ ⇒ − = − − − =

30) Cho tam giaùc ABC bieát A(2;-1;3), B(4;0;1), C(-10;5;3). Haõy tìm toïa ñoä J – taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC.

Giaûi

( ) ( ) C A

D

C A D

C D

Goïi D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong goùc B.

Ta coù BA 2; 1;2 BA 4 1 4 3,BC 14;5;2 BC 196 25 4 15.

x 5x 10 10 x 0 6 6

y 5y DA BA 1 5 5 Ta coù DC 5DA DC 5DA y 0 DC BC 5 6 6

z 5z z

= − − ⇒ = + + = = − ⇒ = + + =

+ − + = = =

+ − = = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = = =

+ =

uuur uuur

uuur uuur ( )

( )

A

D 0;0;3

3 15 3 6 6

Goïi J laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp cuûa tam giaùc ABC. AD 2;1;0 AD 5

JB AB 3 3 3 4 5 9 5 JB JD JB JD J ;0; JD AD 5 5 5 3 5 3 5

⇒

+ = =

= − ⇒ =

+ = = ⇒ = ⇒ = − ⇒ + +

uuur

uur uur

Cop

yrigh

ts B

y Leâ

Huynh

(FB

: Huy

nhIC

T)