HiperI-PersamaanLinier

8/19/2019 HiperI-PersamaanLinier

http://slidepdf.com/reader/full/hiperi-persamaanlinier 1/34

MINGGU 1 :PERSAMAAN LINIER dan PENYELESAINNYA

Kompetensi yang diharapkan:

Setelah mengikuti perkuliahan minggu 1, mahasiswa diharapkan telah dapat:

1. Menjelaskan apa itu persamaan linier dan memberikan beberapa contoh

persamaan linier.

2. Menyebutkan banyaknya persamaan linier dan banyaknya parameter yang akandihitung dalam persamaan linier tersebut.

3. Mengidentifikasi apakah sejumlah persamaan linier bersifat konsisen atau

inkonsisten.

4. Mengidentifikasi apakah sejumlah persamaan linier bersifat dependen atau

independen.

5. Mengidentifikasi apakah dari sejumlah persamaan linier dapat diperoleh

penyelesaian yang unik, tidak unik, atau tidak memiliki penyelesaian.

6. Mencari nilai-nilai parameter dari sejumlah persamaan linier (mencari

penyelesaiannya).



PERSAMAAN LINIER

• Sebuah (atau lebih) persamaan dengan sejumlah parameter disebut

PERSAMAAN LINIER apabila dalam persamaan tersebut setiap

sukunya hanya mengandung satu parameter berpangkat satu atau nol

dan tidak ada perkalian parameter antar sukunya.Contoh:

2x + 5y + 4z - 12 = 0

3y = 0

4x + y + 9z - 30 = 0

-x - 7y - 32 = 0



ISTILAH DALAM PERSAMAAN LINIER

• Parameter: suatu nilai yang belum diketahui atau

nilainya bisa berubah-ubah, misal: x, y, z.

•Koefisien parameter: nilai pada tiap suku yang adaparameternya.

• Konstanta persamaan: harga pada tiap suku yang

tidak ada parameternya.



PERSAMAAN KONSISTEN & INKONSISTEN

• Apabila ada dua atau lebih persamaan linier, tidak ada satupun

parameter yang memenuhi semua persamaan tersebut, maka

salah satu atau lebih dari persamaan tersebut tidak konsisten

(inkonsisten) terhadap persamaan lainnya.

• Sebaliknya apabila bisa didapat satu atau lebih nilai parameter

yang memenuhi semua persamaan linier, semua persamaan

linier tersebut merupakan persamaan yang konsisten.



PERSAMAAN KONSISTEN

• Contoh:

2x + 4y + 2z - 8 = 0 ... (1)3x + 2y - 6 = 0 ... (2)

Kedua persamaan tersebut konsisten.

Pasangan nilainya adalah:

Pasangan I II III IVx 0 2 1 4y 3 0 1.5 -3z -2 2 0 6



PERSAMAAN INKONSISTEN

• Apabila dari dua persamaan diatas ditambah satu persamaan yanginkonsisten sehingga persamaan menjadi:

2x + 4y + 2z - 8 = 0 ... (1)3x + 2y - 6 = 0 ... (2)4x - 2z - 8 = 0 ... (3)

Pasangan nilai diatas tidak ada yang memenuhi persamaan ketiga.

Jika persamaan ketiga diubah menjadi persamaan:

4x + (4/3)y - 2z - 8 = 0Maka persamaan tersebut menjadi konsisten karena nilai x, y, z

masing-masing adalah 0, 3, -2



CONTOH: PERSAMAAN KONSISTEN & INKONSISTEN

x + y = 5 ...(1)x - y = 5 ...(2)

2x + 2y = 15 ...(3)

Pers. (2): pers. yang konsisten thd pers. (1).

Pers. (3): pers. yang inkonsisten thd pers. (1), pers. Yangkonsisten thd pers. (1) yaitu : 2x + 2y = 10.

Persamaan konsisten: ada satu nilai x dan y yang dapatmemenuhi kedua persamaan tsb.

Untuk pers. (1) dan (2) nilai x dan y yang memenuhi adalah : x =5, y = 0Persamaan yang inkonsisten: apabila harga x dan y tidak

memenuhi kedua persamaan tsb.



PERSAMAAN DEPENDEN & INDEPENDEN

• Setelah sejumlah persamaan diketahui mempunyai sifatkonsisten, maka masing-masing persamaan bisa dependenatau independent terhadap yang lainnya.

• Sebuah persamaan dependen terhadap satu atau sejumlahpersamaan lainnya, apabila persamaan itu merupakan fungsi

dari persamaan lainnya.



PERSAMAAN DEPENDEN & INDEPENDEN

• Contoh:

2x + 4y + 2z - 7 = 0 ... (1)3x + 2y - 6 = 0 ... (2)

x + 6y + 4z - 8 = 0 ... (3)

x - y - 2z + 5 = 0 ... (4)Pers. (3) merupakan pers. (1) dikalikan dua dikurangipers. (2).Dengan demikian dikatakan pers. (3) dependen terhadapPers. (1) dan (2), sehingga semua parameter yang memenuhi

Pers. (1) dan (2) juga memenuhi pers. (3).

Pers. (1), (2) dan (4) diketahui ketiga pers. independenartinya tidak semua nilai parameter yang memenuhi salah satupersamaaan juga pasti akan memenuhi persamaan yang lain.



PENYELESAIN PERSAMAAN LINIER

• Penyelesaian persamaan linier adalah mencari satu atau lebih

pasang nilai-nilai parameter yang memenuhi sejumlah

persamaan linier.

• Sebelum melakukan hitungan terlebih dahulu harus diketahui

sifat-sifat persamaan linier apakah konsisten atau inkonsisten,

dependen atau independen.

• Salah satu cara untuk mengetahui sejumlah persamaanmempunyai sifat tersebut, dapat dilakukan dengan metode

ELIMINASI GAUSS



ELIMINASI GAUSS

• Nomor urut persamaan dapat diubah bebas.

Persamaan pertama dapat menjadi kedua dan

sebaliknya.

• Setiap persamaan dapat dikalikan dengan

sembarang nilai, kecuali nilai nol.

• Sebuah persamaan dapat diubah dengan persamaanbaru, yang merupakan hasil ditambah atau dikurangi

dengan persamaan lain.



DIAGRAM DARI PERSAMAAN LINIER

Persamaan linier(r parameter dan n persamaan)

Konsisten(pasti didapat nilai parameter)

Inkonsisten(tidak didapat nilai parameter)

Dependen Independen (n ≤ r)

Unik (n = r) Tidak unik (n < r)

Dapat menjadi unik(dengan kondisi/syarat tambahan tertentu)



• Apabila ada u parameter, maka paling banyak pasti

hanya akan ada u persamaan yang independen.

• Apabila ada u parameter dengan u persamaan

independen, maka pasti hanya akan ada satu pasang

nilai parameter yang memenuhi persamaan tersebut

(penyelesaiannya unik).



• Apabila ada u parameter dengan jumlah persamaan

independen < u, maka bisa didapat banyak pasangan

nilai parameter yang memenuhi semua persamaan

tersebut (penyelesaiannya tidak unik).

• Sejumlah persamaan yang penyelesainnya tidak

unik dapat dibuat unik dengan memberikan kondisi

persyaratan tertentu, misalnya dengan jumlahkuadrat parameter yang dicari yang minimum atau

jumlah nilai absolut parameter yang dicari minimum.



CONTOH: PERSAMAAN KONSISTEN & INKONSISTEN

x + y = 5 ...(1)x - y = 5 ...(2)

2x + 2y = 15 ...(3)

Pers. (2): pers. yang konsisten thd pers. (1).

Pers. (3): pers. yang inkonsisten thd pers. (1), pers. Yangkonsisten thd pers. (1) yaitu : 2x + 2y = 10.

Persamaan konsisten: ada satu nilai x dan y yang dapatmemenuhi kedua persamaan tsb.

Untuk pers. (1) dan (2) nilai x dan y yang memenuhi adalah : x =5, y = 0Persamaan yang inkonsisten: apabila harga x dan y tidak

memenuhi kedua persamaan tsb.



PERSAMAAN DALAM HITUNG PERATAAN

• Dalam hitung perataan, semua persamaan harus konsisten karenakalau terdapat persamaan yang tidak konsisten maka nilaiparameter tidak akan dperoleh.

• Apabila ada satu atau lebih persaman yang tidak konsisten harusmemilih atau menghilangkan persamaan yg inkonsisten.

• Dalam beberapa persamaan konsisten, harga parameter yangdidapat paling sedikit satu nilai parameter yang memenuhi

persamaan.

• Apabila dari beberapa persamaan yang satu inkonsisten maka tidakmungkin memperoleh nilai parameter yang memenuhi persamaan.



CONTOH: PERSAMAAN DEPENDEN & INDEPENDEN

2x + y - 4z = 5 ...(1)x - y + 2z = 7 ...(2) Pers. konsisten dan independen

x - y = 3 ...(3) Pers. konsisten dan independen

3x - 2z = 12 ...(4) Pers. dependen thd pers. (1) dan (2),krn penjumlahan pers. (1) dan (2)

2x - 2y + 2z = 0 ...(5) Pers. inkonsisten thd pers. (2) & (3).Apabila pers. (5) menjadi 2x – 2y + 2z = 10,maka pers. (5) yg baru dependen thd pers. (2) dan (3)

4x - y - 4z = 11 ...(6) Pers. dependen thd pers. (1) dan (3).Karena pers. (6) = pers (1) + (2 x pers. (3))

Berarti persamaan konsisten mungkin dependen atau independen dan persamaan

inkonsisten pasti independen.



• Apabila ada persamaan:x - y + 2z = 7x - y = 3 Tidak ada nilai parameter

2x - 2y + 2z = 0•

3 persamaan, 3 parameter:Semua persamaan konsistenSemua persamaan independenMaka nilai dari parameter x, y, z bisa didapat satu (unik)

• 3 persamaan, 3 parameter:

Semua persamaan konsistenSemua persamaan dependenMaka nilai dari parameter x, y, z bisa didapat (tak terhinggapasangannya)



Terdapat u parameter dengan n persamaan yang konsisten,

1. Bila n < u dapat diperoleh banyak nilai parameter (minimum satunilai parameter yang dapay memenuhi).

2. Bila n = u dapat diperoleh banyak nilai parameter paling sedikitada satu atau lebih, ada persamaan yang dependen thdpersamaan yang lain, dapat diperoleh hanya satu nilai parameterbila masing-masing persamaan independen.

3. Bila n > u, paling banyak u persamaan yang independen.

Contoh :Bila ada 3 parameter maka hanya dapat dibuat 3 persamaan yangindependen yang lain pasti dependen.



Ada 2 persamaan yang inkonsisten dengan sejumlah parameter, makatidak akan didapat nilai parameter.

Pers. (1) x - y + 2z = 7Pers. (2) 2x - 2y + 4z = 15

Misal x = 0 , y = 0, z = 3.5 tidak bisa memenuhi pers. (2).x = 7.5, y = 0, z = 0 tidak bisa memenuhi pers. (1).

Nilai parameter yang satu tidak memenuhi nilai parameter yang lain.

Sejumlah persamaan yang salah satu inkonsisten maka tidak dapatmemperoleh satu nilai parameter yang memenuhi persamaantersebut.



• Bila ada u parameter maka paling banyak dapat membuatpersamaan sejumlah u persamaan yang independen. Persamaanke u+1 kemungkinan dependen atau inkonsisten terhadap upersamaan yang lain.

• Misal:x - y + 2z = 7x - 2y + 4z = 14x - y + z = 0

2x - 3y + z = 100

• Persamaan dengan 3 parameter maka persamaan ke-4kemungkinan dependen atau inkonsisten thd satu atau lebihpersamaan yang lain.

• Sehingga bila n persamaan > u parameter maka tidak dapatdiperoleh nilai parameter unik yang memenuhi n persamaantersebut.



CARA MEMBUAT PERSAMAAN DEPENDEN ATAUINKONSISTEN

x y z u v wPers. (1) - - - - - -Pers. (2) 0 - - - - -Pers. (3) 0 0 - - - -

.

.

Pers. (n) 0 0 0 0 0 0

Caranya:1. Membuat parameter pada

Pers. (1) semua tidak nol.Pers. (2) x = 0Pers. (3) x = 0, y = 0

.

.Pers. (n) semua parameter = 0.(MEMBUAT KOEFISIEN LOWER DIAGONAL = 0)



2. Cara menbuat parameter = 0.

Membuat persamaan baru dengan mengurangkan, menjumlahkan terhadappers. lain, atau mengalikan, membagi thd pers. yg lain.

ContohPers. (1) x - y + 2z = 7Pers. (2) x - 2y + 4z = 14Pers. (3) 3x - 5y + 10z = 15

Persamaan yang baru:Pers. (1) = tetap x - y + 2z = 7Pers. (2) = pers. (1) - pers. (2) y - 2z = -7Pers. (3) = 3 pers. (1) - pers. (3) 2y - 4z = 6

Tahap I hanya x pada pers. (2) dan (3) = nolTahap II y pada pers. (3) dibuat = 0, acuannya harus pers. (2)



• Apabila pers. (3) mrp persamaan terakhir maka semua parameter dibuat nol dengan acuanpersamaan diatasnya atau persamaan ke n-1.

• Persamaan baru yang terakhir:Pers. (1) x - y + 2z = 7Pers. (2) 0x + y - 2z = -7Pers. (3) 0x + 0y + 0z = -20 -20 adalah residu

Bila persamaan ke-n semua koefisisen dari semua parameter dapat dibuat nol maka adadua kemungkinan persamaan tersebut, yaitu:DEPENDEN atau INKONSISTEN

Untuk mengetahui dependen atau inkonsisten dengan melihat nilai RESIDUnya.

Residu ≠ 0 inkonsistenResidu = 0 dependen

Contoh diatas pers. (3) inkonsisten, shg bila diminta mencari nilai x, y, z yang memenuhike-3 persamaan maka pers. (3) dihilangkan atau membuat pers. (3) dependen thdpersamaan yang lain.



Pers. (1) x - y + 2z = 7Pers. (2) x - 2y + 4z = 14Pers. (3) 3x - 5y + 10z = 35 diubah supaya nilai

residu yang terakhir = 0shg persamaan tsb menjadidependen thd pers. (1) danpers. (2).

Pers. (1) x - y + 2z = 7

Pers. (2) y - 2z = -7 pers. (1) - pers. (2)Pers. (3) 2y - 4z = -14 3 pers. (1) - pers. (3)

Pers. (1) x - y + 2z = 7Pers. (2) 0x - y - 2z = -7Pers. (3) 0x - 0y - 0z = 0 2 pers. (2) – pers. (3)

residu = 0,persamaan dependen



KOMBINASI LINIER

Pers. (1) x - y + 2z = 7Pers. (2) x - 2y + 4z = 14Pers. (3) 3x - 5y + 10z = 35 kombinasi linier pers. (1)

dan (2) krn pers. (3) =pers. (1) + (2 pers. (2))

• Semua parameter pangkat satu, sedangkan koefisien parameter bolehbilangan pecahan atau bulat.

• Dengan kombinasi linier mengakibatkan pers. (3) dependen thd pers. (1)dan (2).

• Sehingga dependen atau konsisten akibat dari KOMBINASI LINIER.

• Kombinasi linier diperoleh dengan menjumlahkan atau mengurangkanpersamaan dengan mengalikan bilangan tertentu dulu.



CONTOH SOAL

• Ada 5 persamaan dengan 3 parameter:

2x + 4y + 2z = 8 ... (1)

3x + 2y = 6 ... (2)x + 2y + z = 8 ... (3)

2x - z = 2 ... (4)x - y - 2z = -5 ... (5)

Apakah x,y, z dapat dicari?



JAWABAN

Cek persamaan konsisten atau tidak, bila semua persamaan konsisten maka

nilai x, y, z dapat dicari.

Caranya:Pers. (1): Tetap 2x + 4y + 2z = 8Pers. (2): 3 Pers. (1) - 2 Pers. (2) 0 + 8y + 6z = 12Pers. (3): Pers. (1) - 2 Pers. (3) 0 + 0 + 0 = -8Pers. (4): Pers. (1) - Pers. (4) 0 + 4y + 3z = 6Pers. (5): Pers. (1) - 2 Pers. (5) 0 + 6y + 6z = 18

Pada pers. (3) nilai x, y, x = 0 dan residu tidak sama dengan nol, maka pers.(3) inkonsisten thd pers. (1) krn hanya didapat dari operasi dengan pers. (1).

Akibatnya: bila ada satu persamaan yang inkonsisten maka tidak akan didapatnilai x, y, z yang memenuhi semua persamaan tersebut atau bila ada nilai x,y, z dari pers. (1), (2), (4) dan (5) maka nilai x, y, z tersebut tidak memenuhipers. (3)

Maka: pers.(3) dihilangkan.



JAWABAN

• Pers. (3) inkonsisten thd pers. (1) atau pers. (1)inkonsisten thd pers. (3).

• Selanjutnya :Pers. (1): Tetap 2x + 4y + 2z = 8

Pers. (2): Tetap 0 + 8y + 6z = 12Pers. (3): InkonsistenPers. (4): Pers. (2) – 2 Pers. (4) 0 + 0 + 0 = 0Pers. (5): 6 Pers. (2) - 8 Pers. (5) 0 + 0 - 12z = -72

Pers. (4) x, y, z = 0 dan residu = 0 maka pers. (4) dependenthd pers. (1) dan (2) maka otomatis ”konsisten”.

Pers. (5) independen terhadap pers. (1) dan (2).



JAWABAN

Hasilnya :

• Persamaan yang independen : Pers. (1), (2), (5).• Dari 3 parameter maka hanya dapat dibuat 3 persamaan independent, shg dapat diperoleh

satu nilai x, y. Z yang memenuhi pers. (1), (2), (5).

• Pers. (4) tidak dipakai dalam hitungan krn dependen.

• Pers. (5) -12z = -72z = 6

• Pers. (2) -8y + 6z = 12y + 36 = 12

8y = -24y = -3

• Pers. (1) 2x + 4y + 2z = 82x - 12 + 12 = 8

2x = 8x = 4

x = 4, y = -3, z = 6, tidak akan mendapatkan nilai-nilai selain nilai tsb.



Pers. (4) tidak selalu dependen thd pers. (1) dan (2), bisa juga hanya dependen terhadap pers. (2) saja.

Cara membuktikan:

• Dengan meletakkan pers. (2) paling atas kemudianmengulangi tahap-tahapnya lagi.

– Jika residu pers. (4) sudah = 0 pada tahap pertamasaja maka pers. (4) dependen hanya pada pers. (2)saja.

– Jika pers. (4) pada tahap kedua residu = 0 makapers. (4) dependen thd pers. (1) dan (2).



Persamaan yang independen > jumlah parameter(3 parameter 4 persamaan)

2x + 4y + 2z = 8 ... (1)3x + 2y = 6 ... (2)

x + 2y + z = 8 ... (3)2x - z = 2 ... (4)

Tahap 1:Pers. (1): Tetap 2x + 4y + 2z = 8Pers. (2): 3 Pers. (1) - 2 Pers. (2) 0 + 8y + 6z = 12

Pers. (3): Pers. (1) - 2 Pers. (3) 0 + 0 + 0 = -8Pers. (4): Pers. (1) - Pers. (4) 0 + 4y + 3z = 6

Pers. (3) inkonsisten terhadap pers. (1) shg pers. (3) dihilangkan.



Tahap 2:Pers. (1): Tetap 2x + 4y + 2z = 8Pers. (2): Tetap 0 + 8y + 6z = 12Pers. (3): InkonsistenPers. (4): Pers. (2) – 2 Pers. (4) 0 + 0 + 0 = 0

• Persamaan 4 dependen thd pers. (1) dan (2) tidak diikutkan pada hitungan.

Tahap 3:Pers. (2): 8y + 6z = 12 y = (12-6z)/8

Pers. (2): 3x + 2y = 6 x = (6-6y)/3

• Kesimpulan kasus ini, bila jumlah parameter > jumlah persamaan makadapat diperoleh pasangan nilai parameter yang tidak terhingga jumlahnya.



TUGAS• Ada 6 persamaan dengan 3 parameter:

2x + y - 3z = 3 ... (1)4x - 2z = 8 ... (2)-2x - 8y - 5z = 8 ... (3)

4x - 2y + 2z = 10 ... (4)2x - 10y - 3z = 14 ... (5)

14x - 26y = 54 ... (6)

1. Identifikasi persamaan mana yang bersifat independen,dependen dan konsisten?2. Hitunglah nilai x, y dan z

Documents

HiperI-PersamaanLinier