Hipotez Testleri

• Hipotez – teori, önerme yada birinin araştırdığı bir

iddiadır.

• Boş Hipotez, H0 – popülasyon parametresi ile ilgili şu

anda kabul edilen değeri tanımlamaktadır.

• Alternatif Hipotez, Ha – test edilen iddiayı

tanımlamaktadır; boş hipotezin matematiksel olarak

karşıtıdır.

• Hipotez Testi – rakip durumdaki iki hipotezin, toplanan

verilere dayanarak, karşılaştırılmasıdır.

Tanımlar:

Hipotez Testinin Temelleri

Hipotez Testi:

• Hipotez testi, popülasyon parametreleri hakkında

yapılmış olan varsayımların, belli bir güven

derecesinde kabul veya reddedilme sürecidir.

• Toplanan verilerden, boş hipotezi çürütecek kadar

kuvvetli bir kanıt elde edilmedikçe, boş hipotez

doğru olarak kabul edilir.

Boş ve alternatif hipotezleri belirtiniz:

Eğitimciler, öğrencilerin genel olarak haftada ortalama 15

saat ve daha az çalıştığını belirtmektedirler. Eğitim

araştırmaları yapan bir Profesör ise aslında öğrencilerin

genel kabul görmüş ortalamadan daha fazla ders

çalıştıklarını öne sürmektedir.

İddia:

m > 15

Matematik karşıtı:

H0:

Ha:

Çözüm:

Öğrenciler haftada 15 saatten daha

fazla ders çalışmaktadırlar.

m ≤ 15

m > 15

m ≤ 15

• Test İstatistiği – örneklemden toplanan verilere

dayanarak hesaplanan ve hipotez testi için kullanılan bir

değerdir.

• Anlamlılık Düzeyi, a – test edilen iddiayı

tanımlamaktadır; boş hipotezin matematiksel karşıtıdır.

Güven düzeyinin de tamamlayıcısıdır.

• a = 1 – c.

Tanımlar:

Hipotez Testi’nin Aşamaları

1. Boş ve alternatif hipotezler belirlenir.

2. Test istatistiği belirlenir.

3. a değerine bağlı olarak red bölgesi

oluşturulur.

4. Veriler toplanır ve gerekli olan örnek

istatistiği hesaplanır.

5. Sonuca varılır.

Hipotez Testlerindeki Muhtemel Sonuçlar

1. Boş hipotez reddedilir.

2. Boş hipotez reddedilmez.

Hipotez Testi Türleri:

Alternatif Hipotez

< değer

> değer

≠ değer

Test Türü

Sol kuyruk testi

Sağ kuyruk testi

Çift kuyruk test

Küçük Örneklemler, n < 30, İçin Test İstatistiği:

s.d. = n – 1

Örneklemden toplanan verilere dayanarak hesaplanan

test istatistiğinin istatistiki olarak anlamlı olup olmadığının

belirlenmesi için kritik değere bakılır.

Küçük örneklemler için kritik değerler için t-dağılımından

faydalanılır.

Ortalamalar İçin Hipotez Testi (Küçük Örneklemler)

Red Bölgesinin Bulunması İçin Gerekenler:

1. Hipotez testinin türü.

2. Anlamlılık düzeyi, a.

Red Bölgesinin Bulunması:

1. Red bölgesinin sınırını belirlemek için kritik

değere, tc, bakılır.

2. Örnekleme dayanarak hesaplanan test istatistiği,

a alanının içine denk geliyorsa, H0 reddedilir.

Sol kuyruk testleri için red bölgesi [Ha “<“ içerir]:

t ≤ –ta ise reddet

Reddet Reddetme

Sağ kuyruk testleri için red bölgesi [Ha “>“ içerir]:

t ≥ ta ise reddet

Reddet Reddetme

Çift kuyruk testleri için red bölgesi [Ha “≠” içerir]:

| t | ≥ ta/2 ise reddet

Reddet Reddetme Reddet

Aşağıdaki durum için sonuca ulaşınız:

Öğrencilerin dönem başına ortalama 9’dan daha fazla park

cezası aldığı iddia edilmektedir. Bunu test etmek için 27

öğrenciden oluşan bir örneklem seçilmiş olup, dönem başına

alınan park cezası ort. = 9.8 ve s.s.=1.5 olarak hesaplanmıştır

(a = 0.10).

Çözüm:

n = 27, m = 9, = 9.8, s = 1.5, s.d. = 26, a = 0.10

t0.10 =

t istatistiği, ta değerinden büyüktür; boş hipotez reddedilir.

1.315

2.771

Ha: m > 9

H0: m ≤ 9

Hipotezi test edip sonuca ulaşınız:

Bir mağazanın eski yöneticisi, pazarlama stratejisini

müşterilerin ortalama 100TL ve daha az para harcadığı

üzerine oluşturmuştur. Yeni gelen mağaza yöneticisi ise,

müşterilerin daha fazla para harcadığını öne sürmektedir. 24

müşteriden veri toplanmış olup, ort.=104.93TL harcadıkları

tespit edilmiştir (s.s.=9.07). Yeni mağaza yöneticisinin

iddiasını, 0.010 anlamlılık düzeyinde test ediniz.

Çözüm:

H0:

Ha:

s.d. = 23, a = 0.010

t0.010 =

t ≥ ta (yada t > 2.500) ise reddet.

m ≤ 100

m > 100

2.500

Çözüm (devam):

n = 24, m = 100, = 104.93, s = 9.07,

Hesaplanan t değeri, ta dan büyük olduğu için, boş hipotez

reddedilir.

2.663

Büyük Örneklemler İçin Test İstatistiği, n ≥ 30:

Örnekleme dayanarak hesaplanan test istatistiğinin

istatistiki olarak anlamlı olup olmadığını tespit etmek

için kritik değere bakılır.

c Tek kuyruk testi Çift kuyruk testi

0.90 1.28 ±1.645

0.95 1.645 ±1.96

0.98 2.05 ±2.33

0.99 2.33 ±2.575

Ortalamalar İçin Hipotez Testi (Büyük Örneklemler)

Hipotezi test edip sonuca ulaşınız:

2006’da yayınlanan bir raporda Türkiye’de bayanlar için ortalama evlenme

yaşı 25 olduğu belirtilmiştir. Bir araştırmacı ise bu yaşın İstanbul için çok

düşük olduğunu öne sürmektedir. 213 bayandan oluşan bir örnekleme

dayanarak ortalama evlenme yaşını 25.4 olarak hesaplamıştır (s.s.=2.3). %95

güven düzeyine dayanarak, toplanan verilerin araştırmacının iddiasını

destekleyip desteklemediğini test ediniz.

Çözüm:

H0:

Ha:

c = 0.95

zc =

z ≥ zc , yani z ≥ 1.645 ise reddet.

m ≤ 25

m > 25

1.645

Çözüm (devamı):

n = 213, m = 25, = 25.4, s = 2.3,

Hesaplanan z değeri, zc den daha büyüktür; boş hipotez

reddedilir.

2.54

p-değeri:

• p-değeri , boş hipotezin (H0) reddini sağlayan en küçük

anlamlılık düzeyidir.

• p-değeri, aynı zamanda gözlemlenen anlamlılık düzeyi

olarak da ifade edilmektedir.

p-değerini hesaplayınız:

Aşağıdaki değerlere göre p-değerini hesaplayınız.

Test istatistiği: z = –1.34.

Hipotezler:

H0: m ≥ 0.15

Ha: m < 0.15

Çözüm:

Alternatif hipoteze göre sol kuyruk testi olduğu anlaşılmaktadır.

Bu ise z nin -1.34 den daha az olma olasılığını belirtir.

p = 0.0901

p-değerini hesaplayınız:

Aşağıdaki değerlere göre p-değerini hesaplayınız.

Test istatistiği: z = 2.78.

Hipotezler:

H0: m ≤ 0.43

Ha: m > 0.43 Çözüm:

Alternatif hipoteze göre sağ kuyruk testi olduğu

anlaşılmaktadır. Bu ise z nin 2.78 den daha fazla olma

olasılığını belirtir.

p = 0.0027

p-değerini hesaplayınız:

Aşağıdaki değerlere göre p-değerini hesaplayınız.

Test istatistiği: z = -2.15.

Hipotezler:

H0: m = 0.78

Ha: m ≠ 0.78 Solution:

Alternatif hipoteze göre çift kuyruk testi olduğu anlaşılmaktadır.

Bu ise z nin -2.15 den daha az veya 2.15 den daha fazla olma

olasılığını belirtir.

p = 0.0158 (2) = 0.0316

p-değeri kullanılarak yapılan hipotez testi sonuçları:

1. p ≤ a ise boş hipotez reddedilir.

2. p > a ise boş hipotez reddedilmez.

Aşağıdaki durum için sonuca ulaşınız:

Aşağıdaki veriler için p-değerini hesaplayınız ve ilgili alpha

değeri için sonuca ulaşınız.

a. z = –1.34 için sol kuyruk testi (a = 0.05).

p = 0.0901 dir, yani 0.05 den büyüktür. Boş hipotez

reddedilmez.

b. z = –2.15 için çift kuyruk tesi (a = 0.10).

p = 0.0158(2) = 0.0316 dir, yani 0.10 dan küçüktür. Boş

hipotez reddedilir.

p-değeri kullanılarak yapılan hipotez testi aşamaları:

1. Boş ve alternatif hipotezler belirlenir.

2. Test istatistiği hesaplanır.

3. Anlamlılık düzeyi belirlenir.

4. Veriler toplanır ve gerekli olan örnek

istatistikleri hesaplanır.

5. p-değeri, belirlenen anlamlılık düzeyi ile

karşılaştırılır.

6. Sonuca ulaşılır.

Hipotezi test edip sonuca ulaşınız:

Yapılan bir araştırmaya göre Avrupa’daki kadınların ortalama olarak 1.48

çocuğu olduğu tespit edilmiştir. Dünya çapında faaliyet gösteren bir kuruma

göre ise Almanya’daki doğurganlık oranlarının farklı olduğunu ileri sürmektedir.

Bu iddiayı test etmek için, 128 Alman bayanla yapılan anket sonuçlarına göre

Alman bayanların ort. 1.39 çocuğu olduğunu belirlemiştir (s.s.=0.84). %90

güven düzeyine göre, verilerin bu iddiayı destekleyip desteklemediğini test

ediniz.

Çözüm:

H0:

Ha:

c = 0.90

a = 0.10

p < a (veya p < 0.10) ise reddet.

m = 1.48

m ≠ 1.48

Çözüm (devamı):

n = 128, m = 1.48, = 1.39, s = 0.84,

Çift kuyruk testidir; p = 0.1131(2) = 0.2262.

p , a dan büyük olduğu için boş hipotez reddedilmemiştir. Veri

toplanarak elde edilen kanıt ilgili kurumun iddiasını %90 güven

düzeyinde desteklememiştir.

–1.21

Hipotez Testleri

(İki yada Daha Fazla Popülasyon İçin)

Boş ve alternatif hipotezi belirleyiniz:

Popülasyon 1’in ortalamasının Popülasyon 2’nin

ortalamasından daha az olduğu varsayımına dayanarak

hipotezleri yazınız.

İddia:

m1 < m2 yada m1 – m2 < 0

Matematiksel karşıtı:

H0:

Ha:

Çözüm:

Popülasyon 1’in ortalamasının Popülasyon 2’nin

ortalamasından daha az.

m1 ≥ m2 yada m1 – m2 ≥ 0

m1 – m2 < 0

m1 – m2 ≥ 0

İki Ortalama İçin Hipotez Testi (Büyük ve Bağımsız Örneklemler)

Popülasyon 1’in ortalamasının Popülasyon 2’nin

ortalamasından 20 birim daha fazla olduğu varsayımına

dayanarak hipotezleri yazınız.

İddia:

m1 > m2 + 20 yada m1 – m2 > 20

Matematiksel karşıtı:

H0:

Ha:

Çözüm:

Popülasyon 1’in ortalaması Popülasyon 2’nin

ortalamasından 20 birim daha fazla.

m1 ≤ m2 + 20 yada m1 – m2 ≤ 20

m1 – m2 > 20

m1 – m2 ≤ 20

Boş ve alternatif hipotezi belirleyiniz:

Boş ve alternatif hipotezi belirleyiniz:

Popülasyon 1’in ortalamasının Popülasyon 2’nin

ortalamasına eşit olmadığı varsayımına dayanarak

hipotezleri yazınız.

İddia:

m1 ≠ m2 yada m1 – m2 ≠ 0

Matematiksel karşıtı:

H0:

Ha:

Çözüm:

Popülasyon 1’in ortalaması Popülasyon 2’nin

ortalamasına eşit değil.

m1 = m2 yada m1 – m2 = 0

m1 – m2 ≠ 0

m1 – m2 = 0

Büyük Örneklemler, n ≥ 30, İçin Test İstatistiği:

• p-değerini bulmak için öncelikle örneklemden

toplanan verilere dayanarak z-değeri hesaplanır.

• Sonra ilgili z-değerine karşılık gelen olasılık

değeri bulunur.

p-değerini kullanarak yapılan hipotez testi sonuçları:

1. p ≤ a ise boş hipotez reddedilir.

2. p > a ise boş hipotez reddedilmez.

Hipotezi test edip sonuca ulaşınız:

Türkiye’de bulunan iki üniversitenin spor akademileri, kendi öğrencilerinin

fiziksel durumlarının daha iyi olduklarını düşünmektedir. Araştırmacı olarak iki

üniversitenin spor akademisi öğrencilerinin spora ayırdıkları toplam saat

arasında bir fark olduğunu test etmeniz istenmektedir. Birinci üniversiteden

seçilen 36 öğrencinin haftada ortalama 2.9 saat spor yaptıkları (s.s.=1.1 saat),

ikinci üniversiteden seçilen 38 öğrencinin ise haftada ortalama 2.7 saat spor

yaptıkları (s.s.=1.0 saat) belirlenmiştir. 0.05 lik bir anlamlılık düzeyi kullanarak,

hipotez testini uygulayınız.

Solution:

H0:

Ha:

a = 0.05

p < a (yada p < 0.05) ise reddet.

m1 – m2 = 0

m1 – m2 ≠ 0

Çözüm (devamı):

n1 = 36, 1 = 2.9, s1 = 1.1, n2 = 38, 2 = 2.7, s2 = 1.0

Çift kuyruklu test olduğu için, p = 0.2061(2) = 0.4122.

p, a dan büyük olduğu için boş hipotez reddedilmemiştir.

0.05 almalılık düzeyinde, öğrencilerin fiziksel durumları

arasında bir farkın olduğuna yönelik yeterli kanıt

bulunamamıştır.

0.82

Kriterler:

• Örneklemler bağımsızdır.

• Örneklemlerin seçildiği her bir popülasyonun dağılımı

normaldir.

• Bir yada her bir örneklem için n < 30.

• Her bir popülasyon için bilinmemektedir.

İki Ortalama İçin Hipotez Testi (Küçük ve Bağımsız Örneklemler)

Küçük Örnekler, n < 30, İçin Test İstatistiği:

s.d.= n1 – 1 ve n2 – 1 den küçük olanı

Red Bölgeleri:

• Sol kuyruk testi için, t ≤ –ta ise H0 reddedilir.

• Sağ kuyruk testi için, t ≥ ta ise H0 reddedilir.

• Çift kuyruk testi için, | t | ≥ ta/2 ise H0 reddedilir.

Aşağıdaki durum için sonuca ulaşınız:

A şirketi, B şirketine nazaran,vergi beyannamesini kendilerinde yapan

mükelleflerin daha fazla vergi iadesi aldıklarını iddia etmektedir. Seçilen 15

kişiye dayanarak A firmasının mükelleflerinin ort. $942 vergi iadesi

(s.s.=$103); seçilen 18 kişiye dayanarak B firmasının mükelleflerinin $898

vergi iadesi (s.s.=$95) aldığı belirlenmiştir. İddiayı 0.05 düzeyinde test ediniz.

Popülasyonların normal olarak dağıldığını varsayınız. Her iki firma büyük bir

şehrin iki farklı bölgesinde faaliyet gösterdiği için, iki popülasyonun

varyanslarının eşit olmadığını varsayınız.

Çözüm:

H0:

Ha:

a = 0.05, s.d. = 14

t0.05 =

t ≥ ta (yada t ≥ 1.761) ise reddet.

m1 – m2 ≤ 0

m1 – m2 > 0

1.761

Çözüm (devamı):

n1 = 15, 1 = 942, s1 = 103, n2 = 18, 2 = 898, s2 = 95

1.266

t , ta dan küçük olduğundan dolayı, boş hipotez

reddedilmemiştir.

0.05 anlamlılık düzeyinde, A firmasının mükelleflerinin B

firmasından daha fazla vergi iadesi aldıkları konusunda yeterli

kanıt bulunamamıştır.

ANOVA (ANalysis Of VAriance ) – Varyans Analizi

1. Tüm popülasyonların dağılımı yaklaşık olarak normaldir.

2. Popülasyonların varyansı aynıdır.

3. Her bir popülasyondan rastsal ve bağımsız örneklemler

seçilmektedir.

ANOVA Testi:

Boş ve Alternatif Hipotezler

H0: m1 = m2 = … = mn.

Ha: En az bir ortalama diğerlerinden farklıdır.

ANOVA Tablosu:

Değişim Kaynağı

Kareler Toplamı Serbestlik Derecesi

Ortalama Kare

F İstatistiği

Gruplar Arası

GAKT k – 1 GAKT/k – 1 GAKT/k – 1 GIKT/n – k

Gruplar İçi

GIKT n – k GIKT/n – k

Toplam GAKT+GIKT n – 1

Gruplar Arası Kareler Toplamı (GAKT):

k = popülasyon sayısı

ni = popülasyon i nin örneklem büyüklüğü

= i. popülasyondan gelen örneklem ortalaması

Gruplar İçi Kareler Toplamı (GIKT):

Gruplar Arası Ortalama Kare:

GAKT / k – 1

Gruplar İçi Ortalama Kare:

GIKT / n – k

ANOVA İçin Test İstatistiği

Örneklemden toplanan verilere dayanarak hesaplanan

test istatistiğinin istatistiki olarak anlamlı olup

olmadığının belirlenmesi için kritik değere bakılır.

Kritik değerler için F-dağılımı tablosu kullanılmaktadır.

F kritik değer F a, k-1, n-k

F = (GAKT / k – 1) / (GIKT / n – k)

Reddet Reddetme

Red Bölgesi:

Ftest > F a, k-1, n-k ise H0 reddedilir.

yada p ≤ a ise H0 reddedilir.

Aşağıdaki durum için sonuca ulaşınız:

C Vitamininin soğuk algınlığına etkisini araştıran tıp araştırmacıları, yaptıkları

akademik çalışmaya katılanları 3 gruba ayırmıştır: 1) günlük 1000 mg C

Vitamini alanlar, 2) günlük 500 mg C Vitamini alanlar, 3) C Vitamini almayanlar.

Çalışmaya katılanlar bir yıl takip edilmiştir ve soğuk algınlığına yakalanma

zamanı ve sayıları belirlenmiştir. Bu verileri kullanarak, ANOVA testi

uygulanmış olup, aşağıdaki tabloda ANOVA sonuçları verilmiştir. Ne yazık ki,

ANOVA tablosundaki bazı hücreler silinmiştir!!!

a. ANOVA tablosundaki boşlukları doldurunuz.

b. Belli bir miktar C Vitamini alanlar ve hiç C Vitamini almayanlar arasında yıl

başına düşen soğuk algınlığı sayısı bakımından bir fark olup olmaması

konusunda araştırmacıların elinde yeterli kanıt var mıdır (0.05 anlamlılık

düzeyinde)?

c. ANOVA tablosuna dayanarak, bir grubun diğer bir gruptan daha az soğuk

algınlığına yakalandığı sonucuna varılabilir mi?

Kareler

Toplamı S.D.

Ortalama

Kare F İstatistiği p-değeri

F

Kritik

değer

Gruplar Arası 2 1.4288 0.4288

Gruplar

İçi 49.2030

Total 52.0606 32

C Vitamininin soğuk algınlığına etkisini araştıran tıp araştırmacıları, yaptıkları

akademik çalışmaya katılanları 3 gruba ayırmıştır: 1) günlük 1000 mg C

Vitamini alanlar, 2) günlük 500 mg C Vitamini alanlar, 3) C Vitamini almayanlar.

Çalışmaya katılanlar bir yıl takip edilmiştir ve soğuk algınlığına yakalanma

zamanı ve sayıları belirlenmiştir. Bu verileri kullanarak, ANOVA testi

uygulanmış olup, aşağıdaki tabloda ANOVA sonuçları verilmiştir. Ne yazık ki,

ANOVA tablosundaki bazı hücreler silinmiştir!!!

a. ANOVA tablosundaki boşlukları doldurunuz.

b. Belli bir miktar C Vitamini alanlar ve hiç C Vitamini almayanlar arasında yıl

başına düşen soğuk algınlığı sayısı bakımından bir fark olup olmaması

konusunda araştırmacıların elinde yeterli kanıt var mıdır (0.05 anlamlılık

düzeyinde)?

c. ANOVA tablosuna dayanarak, bir grubun diğer bir gruptan daha az soğuk

algınlığına yakalandığı sonucuna varılabilir mi?

Kareler

Toplamı S.D.

Ortalama

Kare F İstatistiği p-değeri

F

Kritik

değer

Gruplar Arası 2.8576 2 1.4288 0.8712 0.4288 3.3158

Gruplar

İçi 49.2030 30 1.6401

Total 52.0606 32

Aşağıdaki durum için sonuca ulaşınız:

Çözüm:

b. Boş ve alternatif hipotezleri belirleyiniz:

H0:

Ha:

m1 = m2 = … = mn.

En az bir ortalama diğerlerinden farklıdır.

a = 0.05 ve p = 0.4288 dir.

p, a dan büyük olduğundan dolayı boş hipotez reddedilmez.

Sonuç: Belli bir miktar C Vitamini alanlar ve hiç C Vitamini

almayanlar arasında yıl başına düşen soğuk algınlığı sayısı

bakımından bir fark olup olmaması konusunda araştırmacıların

elinde, 0.05 anlamlılık düzeyinde, yeterli kanıt yoktur.

Çözüm:

c. ANOVA testi, popülasyon ortalamalarından en azından

birinin diğerlerinden farklı olduğunu gösterir; fakat hangi

popülasyon ortalamasının ne kadar fark gösterdiğini

belirtmez.

Dolayısıyla ANOVA tablosu, hangi grubun daha az sayıda

soğuk algınlığına yakalandığı konusunda bilgi vermez.