História nekonečne malej veličiny

2. časť - súčasnosť

Duchovia zmiznutých veličín

Biskup George Berkeley› „A čo sú to vlastne fluxie? Veličiny prchavých

prírastkov. A prchavé prírastky? Nie sú to ani veličiny nadobúdajúce konečné hodnoty, ani veličiny nekonečne malé, nie sú vôbec ničím. Máme ich snáď nazývať duchmi zmiznutých veličín? “

je nekonečne malé – viac ako , menej ako akékoľvek iné číslo

Aká je hodnota ?› 0,1 – nie› 0,01 – nie› 0,000000 ... ... ... 000000001=

Teória limít

Q. E. D.

Reebov sen

Georges Reeb:› „Sen o infinitezimálnom kalkule hodnom toho

mena, v ktorom dx a dy sú nekonečne malé čísla, integrál je naozajstná suma takých čísel a limity sa nadobúdajú, snívali matematici odjakživa ... je to svet, v ktorom sa celé čísla dajú označiť ako veľké, malé, alebo dokonca neurčité, ... dajú sa reálne končiny skúmať ďalekohľadom i lupou, aby sa získali nové obrazy“

Abraham Robinson

Naplnil Reebov sen Vytvoril množinu H (R*)

› Množina hyperreálnych čísel› Obsahuje nekonečne malé

(a aj veľké) veličiny

Nová axiomatická matematika

Čo je to číslo?› Odpovedá teória množín

Prirodzené číslo

› atď.

Archimedova vlastnosť

Pre každé číslo existuje také prirodzené číslo , že

Hyperreálne čísla túto vlastnosť nemajú

Hyperreálne čísla

Postupnosti - - množina všetkých postupností

Dve postupnosti sú ekvivalentné, ak sa rovnajú na dôležitej množine indexov

Množina tvaru {n, n+1, n+2, ...} je dôležitá

Postupnosti› 0, 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...› 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ...

Porovnávanie

, ak množina, na ktorej je dôležitá› 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...› 0,3, 0,3, 0,3, 0,3, 0,3, 0,3, 0,3

Číslo

Nekonečne malé a veľké

Veľké

› tj. 1, 2, 3, 4, 5, ...› Určime si číslo › Potom

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ... 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...

Malé

› 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ...› 0,5, 0,5, 0,5, 0,5, 0,5, 0,5› 0,2, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2, 0,2

Neštandardná analýza

Limita postupnosti: nekonečnotý prvok Spojitosť: Ak pri nekonečne malej

zmene x sa f(x) zmení iba nekonečne málo

Derivácia: Obsah: Súčet nekonečne veľa

nekonečne malých plôch

10 ,1 ,110,1100

,11000

,1

10000,…

KONIEC

Dôležitosť množiny

{} nie je dôležitá Ak A aj B sú dôležité, aj A B je dôležitá Ak A je dôležitá, , tak B je dôležitá Buď A alebo A – B je dôležitá Množina tvaru {n, n+1, n+2, n+3, ...}

je dôležitá F – množina dôležitých množín

Oponentské otázky

Existuje iba jedna množina F?› Nie

Ktorá z postupností (1, 0, 1, 0, ...) a (0, 1, 0, 1, ...) je väčšia?

Je dôležitá množina párnych alebo nepárnych čísel?› Ako si určíme