HM15006D

Systeme fr die technische Ausbildung

Versuchsanleitung

G.U.N.T. Gertebau GmbHPostfach 1125D-22881 BarsbttelTelefon (040) 670854-0Telefax (040) 670854-42

HM150.06 Metazentrische Hhe

Versuchsanleitung

Druckschrift-Nr.: 10/97

Bitte lesen Sie vor der ersten Inbetriebnahme unbedingt die Sicherheitsvorschriften!

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Inhaltsverzeichnis1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Gertebeschreibung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.1 Auftrieb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Stabilitt der Schwimmlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.3 Bestimmung der Lage des Metazentrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 Versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1 Berechnung der Schwerpunktlage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Versuchsdurchfhrung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.4 Bestimmung des Auftriebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5 Technische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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1 Einleitung

Fr die stabile Schwimmlage eines Krpers ist dieLage des sogenannten Metazentrums, die meta-zentrische Hhe von entscheidender Bedeutung. Die Kenntnis der metazentrischen Hhe ist beson-ders wichtig, um die Stabilitt eines Schiffes imSeegang beurteilen zu knnen.

Mit dem Gert HM 150.06 Metazentrische Hheknnen Begriffe wie Auftrieb Schwerpunkt Auftriebsschwerpunkt Metazentrum Krngung experimentell untersucht werden.

Das Gert ist einfach und bersichtlich aufgebauteignet sich besonders gut fr den Praktikumsbe-trieb in kleinen Gruppen.

Abb. 1.1 Krngung eines Schiffes

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1 Einleitung 1

2 Gertebeschreibung

Das Gert besteht im wesentlichen aus einemPonton (1) und einer Wasserwanne als Schwimm-behltnis. Der Ponton mit rechteckiger Form besitzt ein ver-tikales Laufgewicht (2) um die Hhe des Schwer-punktes einzustellen und ein horizontalesLaufgewicht (3) um ein definiertes Krngungsmo-ment zu erzeugen. Die Laufgewichte knnen mit-tels Rndelschrauben festgesetzt werden. Die Lage (4,5) der Laufgewichte sowie der Tief-gang (6) des Pontons knnen an Skalen abgele-sen werden. Weiterhin ist ein Krngungsanzeiger(7) mit Gradskala vorhanden.

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Abb. 2.1 Seiten- und Vorderansicht

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2 Gertebeschreibung 2

3 Theorie

3.1 Auftrieb

Ein Krper schwimmt in einer Flssigkeit, wennder Auftrieb des vollstndig getauchten Krpersgrer als sein Gewicht ist. Er wird nur soweit indie Flssigkeit eintauchen, bis der Auftrieb FAexakt seinem Eigengewicht FG entspricht. DerAuftrieb ist dann das Gewicht des vom Krperverdrngten Wassers. Der Schwerpunkt der ver-drngten Wassermasse heit Auftriebsschwer-punkt A. Der Schwerpunkt des Krpers wird Mas-senschwerpunkt S genannt.

3.2 Stabilitt der Schwimmlage

Schwimmt der Krper stabil, so haben AuftriebFA und Eigengewicht FG die gleiche Wirkungslinieund sind entgegengesetzt gleich gro (Abb.:3.1).Fr eine stabile Schwimmlage ist es nicht zwin-gend notwendig, da der Massenschwerpunkt Sunterhalb des Auftriebsschwerpunktes A liegt.Wichtig fr die Stabilitt der Schwimmlage ist viel-mehr, da bei einer Auslenkung oder Krngung

aus der Gleichgewichtslage ein stabilisierendes,rckstellendes Moment existiert (Abb.:3.2). Eigen-gewicht FG und Auftrieb FA bilden dann ein Krf-tepaar mit dem Abstand b, welches einaufrichtendes Moment liefert. Ein Ma fr die Sta-bilitt liefert dieser Abstand oder der Abstand zwi-schen Schwerpunkt und Schnittpunkt derWirkungslinie des Auftriebes und der Schwere-achse. Dieser Schnittpunkt wird Metazentrum Mgenannt und der Abstand zwischen Schwerpunktund Metazentrum heit metazentrische Hhe zm.

S

A

FG

FA

Abb. 3.1 Auftrieb

Mzm

S

A

MA

FG

FA

b

Abb. 3.2 Metazentrum und metazen-trische Hhe

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3 Theorie 3

Es gelten dann folgende Bedingungen fr ein sta-biles Schwimmverhalten:

- Der Krper schwimmt stabil, wenn die meta-zentrische Hhe zm positiv, das MetazentrumM also oberhalb des Schwerpunkts S liegt(Abb.3.3 oben).

zm > 0

- Der Krper schwimmt instabil, wenn die meta-zentrische Hhe zm negativ, das MetazentrumM also unterhalb des Schwerpunkts S liegt(Abb.3.3 unten).

zm < 0

3.3 Bestimmung der Lage des Metazentrums

Die Lage des Metazentrums ist unabhngig vonder Lage des Schwerpunktes. Sie ist nur abhngigvon der Form des unter Wasser liegenden Teilsdes Krpers und der Verdrngung. Es zwei Metho-den die Lage zu experimentell bestimmen.Bei der ersten Methode wird zuerst durch einZusatzgewicht der Schwerpunkt um einen be-stimmten, konstanten Betrag xs seitlich verscho-ben und damit eine Krngung erzwungen. Durchzustzliches vertikales Verschieben des Schwer-punktes verndert sich die Krngung . Es wirdnun ein Stabilittsgradient, gebildet aus der Ablei-

stabil

instabil

M

Mzm < 0 S

zm > 0S

A

A

Abb. 3.3 Metazentrum und Stabilitt

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3 Theorie 4

tung d xsd

definiert. Wenn die vertikale Schwer-

punktlage sich dem Metazentrum nhert, nimmtder Stabilittsgradient ab. In dem Fall, wo Schwer-punktlage und Metazentrum bereinstimmen istder Stabilittsgradient gleich Null, das System istmetastabil. Die Lsung dieses Problems erfolgt am einfach-sten graphisch (Abb. 3.4). Die vertikale Schwer-punktlage wird ber dem Stabilittsgradientenaufgetragen. Durch die Mepunkte wird eineKurve gelegt und sie bis zur vertikalen Achsed xsd

= 0 verlngert. Der Schnittpunkt mit der verti-

kalen Achse gibt nun die Lage des Metazentrums an.

Bei der zweiten Methode zur Bestimmung desMetazentrums geht man davon aus, da bei einerstabilen gekrngten Lage Eigengewicht FG undAuftrieb FA auf einer Linie wirken. Der Schnittpunktdieser Wirkungslinie mit der Mittelachse ergibt dasMetazentrum M (Abb. 3.5). Mit dem Krngungs-winkel und der seitlichen Verlagerung desSchwerpunktes xs ergibt sich fr die metazentri-sche Hhe zm

zm = xs cot

MetazentrumM

verti

kale

Sch

wer

punk

tlage

zs

Mewerte

Stabilittsgradient d xsd

0

Abb. 3.4 Graphische Bestimmungdes Metazentrums

Mzm

SA

xs

FG

FA

Abb. 3.5 Rechnerische Bestimmungder metazentrischen Hhe

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3 Theorie 5

4 Versuche

4.1 Berechnung der Schwerpunktlage

Aus der eingestellten Lage der Laufgewichte muzunchst die Lage des Gesamtschwerpunktesxs, zs bestimmt werden. Die horizontale Lage wird auf die Mittellinie bezogen:

xs = mh x

m + mv + mh = 0.055 x .

Die vertikale Lage bezieht sich auf die Unterseitedes Schwimmkrpers:

zs = mv z + (m + mh) zg

m + mv + mh = 5.364 + 0.156 z.

Stabilittsgradient:d xsd

=

xs

.

4.2 Versuchsdurchfhrung

- Horizontales Laufgewicht auf Stellung x = 8cmstellen.

- Vertikales Laufgewicht auf untere Stellungbringen.

- Die mitgelieferte Wanne mit Wasser fllen undSchwimmkrper hineinsetzen.

- Vertikales Laufgewicht in Stufen hher setzenund den Winkel am Krngungsanzeiger able-sen. Hhe des Laufgewichtes an der Ober-kannte des Gewichtes ablesen und mit Winkelin Tabelle eintragen.

zx

mv = 550g

mh = 193g

Gesamtmasse ohne Laufgewicht mvm = 2770g

Schwerpunktlageohne vertikales Lauf-gewicht zg = 6.36cm

Abb. 4.1 Lage und Gre der Laufgewichte

Abb. 4.2 Schwimmkrper in der Wanne

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4 Versuche 6

4.3 Auswertung

Nach den angegebenen Formeln wird die Schwer-punktslage und der Stabilittsgradient berechnetund graphisch aufgetragen.

MetazentrumM

verti

kale

Sch

wer

punk

tlage

zs

Stabilittsgradient d xsd

0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

10

8

6

4

2

0

Abb. 4.3 Graphische Bestimmung des Metazentrums

Lage horizontales Laufgewicht x = 8 cmHhe vertikalesLaufgewicht z

3 cm 6 cm 9 cm

Winkel 12.5 16 21.5

Horizontale Lage Schwerpunkt xs = 0.44 cmHhe vertikalesLaufgewicht z

3 cm 6 cm 9 cm

LageSchwerpunkt zs

5.83 cm 6.30 cm 6.77 cm

Winkel 12.5 16 21.5

d xsd

0.035 cm/ 0.0275cm/ 0.0204 cm/

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4 Versuche 7

Die grafische Lsung ergibt eine Lage des Meta-zentrums von 7.9 cm oberhalb der Unterseite desSchwimmkrpers. Alle Schwerpunktlagen, diekleiner sind als 7.9 cm haben eine stabileSchwimmlage zur Folge. Zur berprfung kann das vertikale Laufgewichtso hoch gesetzt werden, da die metazentrischeHhe negativ wird. Der Schwimmkrper wird dannkentern. Der Grenzwert fr z wre im vorliegendenFall 17.0 cm.

4.4 Bestimmung des Auftriebs

Ein weiterer Versuch ist die Bestimmung des Auf-triebs. Da der Schwimmkrper quaderfrmig ist,kann das Volumen des verdrngten Wassersleicht aus Breite, Lnge und Eintauchtiefe berech-net werden. Die Eintauchtiefe kann an der vertika-len Skala (6) abgelesen werden. Voraussetzungist eine waagrechte Schwimmlage. Mit der Dichte des Wassers und der Erdbeschleunigungg = 9.81 m/s2 ergibt sich die Auftriebskraft:

FA = B L T g = FG.

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4 Versuche 8

5 Technische Daten

Schwimmkrper Lnge: 310 mm Breite: 200 mm Seitenhhe: 120 mm Gesamthhe 430 mm

MassenSchwimmkrper ohne Laufgewichte: 2770 gVertikales Laufgewicht 550 gHorizontales Laufgewicht 193 g

Schwerpunktlage ohne vertikales Laufgewicht xs (von der Mitte) 0.00 mm zs (von der Unterseite) 63.6 mm

Plastikwanne, Inhalt 50 Liter

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5 Technische Daten 9

hm150061d.PDFInhaltsverzeichnis1 Einleitung 12 Gertebeschreibung 23 Theorie 33.1 Auftrieb 33.2 Stabilitt der Schwimmlage 33.3 Bestimmung der Lage des Metazentrums 4

4 Versuche 64.1 Berechnung der Schwerpunktlage 64.2 Versuchsdurchfhrung 64.3 Auswertung 74.4 Bestimmung des Auftriebs 8

5 Technische Daten 9

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