Hogyan készítsük fel diákjainkat az érettségire?

1

Hogyan készítsük fel diákjainkat az érettségire?

A NTK háromkötetes feladatgyűjteménye

[email protected]

2

Tartalom

1. Az átalakult érettségi vizsga2. Az érettségi vizsga feladatanyaga3. Milyen (legyen) a jó példatár?4. A feladatgyűjtemény - jellemzők5. Érettségi vizsgakövetelmények6. Feladatválogatás – másodfokú

kifejezések7. A másodfokú téma tárgyalása

3

1.1. Nemzetközi és hazai folyamatok 1/3Korábbi vizsgálatok

• „Az emberiség története egyre inkább az oktatás és a katasztrófa közti verseny története.” H. G. Wells (1866 – 1946)

• OECD Felnőtt Írásbeliség Vizsgálata (‘98) (állampolgári boldogulás a mindennapi életben);

• OECD PISA 2000 (alkalmazásképes tudás: munkaerőpiac, élethosszig tanulás);

• országos kompetenciamérések (I – III.) (szituációkhoz kötött, továbbhaladáshoz nélkülözhetetlen praktikus tudás).

4

1.1. Nemzetközi folyamatok 2/3

• OECD Felnőtt Írásbeliség Vizsgálata (‘98)„Magyarország felnőtt lakosságának több mint kétharmada nem rendelkezik a mindennapi életben elvárható és szükséges írásbeli képességek minimumával sem”

• OECD PISA 2000 társadalmi-gazdasági igény- paradigmaváltás (pedagógiai, ill. üzleti világban)- oktatás történetében egyedülálló lehetőség- 250.000 értékelt tanuló (32 ország, 17 millió

diákjának reprezentatív mintája)- Magyarország: 150 iskola / 35 fő (ill. 8000 fő)

5

1.1. Hazai folyamatok 3/3

• III. országos kompetenciamérés- 3834 iskola, iskolai kérdőív- Felmérésben részt vett tanulók száma:

6.o: 119.238, 8.o: 113.154, 10.o: 111.061- Kiértékelt füzetek száma, tanulói kérdőív:

6.o: 53.850, 8.o: 54.449, 10.o: 29.816• Megvalósult kétszintű érettségi vizsga- Érdekes és nem véletlen (pedagógiailag

szükségszerű) a folyamatok találkozása!

6

1.2. Formai és tartalmi változások 1/2

Tananyag (új témakörök): • Középszint: stat, vlsz, kmb, gráfok, gondolkodási msz.• Emelt szint: analízis (lim, diff, int)• Mj: írásbelin, szóbelin ki is tűz(het)ik ezen feladatokat!

Strukturális változások • Középszint: 2 rész (tulajdonképpen két dolgozat)• Emelt szint írásbeli: 4 óra• Mindkét szint: választási lehetőség (háromféle feladat)• Emelt szinten szóbeli vizsga

7

1.2. Formai és tartalmi változások 2/2

Egyéb:• Meghatározott tartalmi keretek (%-ok)

(Mj: szóbeli vizsgán nem tartották be)• Egységesített vizsgáztatói képzés (pl. pontozás)• Különböző vizsgatípusok

Megírás módja is változott: • Nőttek az iskolai terhek (eszköz, idő, személyek)• Feladatsor formája átalakult : 20 - 25 oldal, sok

olvasnivaló (szövegértés!)• Mj: Gyakorlatban évtizedek óta működik a két szintű

matematika érettségi

8

1.3. A kétszintű érettségi vizsga eddigi karrierje

Tapasztalatok• Továbbtanulási probléma (etikai jellegű): népszerű

helyekre gyakorlatilag két Esz vizsga kellett• Esz, Ksz eredmények: jobb osztályzatok Esz: magasabb ponthatárok• Iskolai szelekció problémája? (oktatáspolitika)

Általában a megítélés:• elfogadottá válik a (pedagógus) közvélemény szemében;• szakmai előnyök kézzelfoghatóak (komp. kp. feladatok)• Esz – Ksz problémája is kialakul• (Esz „kérése”; visszacsatolás a középiskolai tanításban)

9

1.4. Esz érettségi vizsga statisztika(2005. tavasz)

tantárgy darab jeles (%)

Magyar 3010 52,2

Történelem 5369 78,5

Matematika 3382 84,9

Angol 3139 70,9

Német 1470 80,3

Biológia 3081 74,6

Fizika 909 79,3

Kémia 855 76,5

Informatika 680 61,9

Földrajz 216 84,3

10

1.5. Írásbeli eredmények 1/2. (Esz)

Százalékos eloszlások 2005. (emelt szint)

02004006008001000120014001600

0-9% 10-19%

20-29%

30-39%

40-49%

50-59%

60-69%

70-79%

80-89%

90-100%

százaléksávok

dara

b

magyar történelem matematika

11

1.5. A ténylegesen vizsgázók (Ksz)

Százalékos eloszlások 2005. (középszint)

0

5000

10000

15000

20000

0-9% 10-19%20-29%30-39%40-49%50-59%60-69%70-79%80-89% 90-100%

százaléksávok

dara

b

magyar történelem matematika

12

2.1. Megváltozott feladatanyag 1/4

Új témakörök

• Pl. analízis problémája (Esz):

- korábban az analízis ismerete nem volt feltétele a felsőfokú jelentkezésnek;

- csak módszertani szempontból volt fontos témakör, praktikusan nem.

• Most: Esz-en (írásbeli, szóbeli) egyaránt jelen van a téma

13


Újszerű (kompetenciaközpontú) feladattípusok:• Lexikális tudás + alkalmazása• Tantárgyak közötti kapcsolat erősödése (tartalom,

gondolkodás, kommunikáció, információ)• Szituációkhoz kötött problémamegoldás• Életközeli, gyakorlati feladatok• Modellezés• Különböző típusú információk értelmezése, elemzése• Térbeli tájékozódás, kommunikáció (szövegértés) stb.• Mj: számítógép szerepe nőtt (ebben lemaradtunk)- függvényvizsgálat, statisztika, valószínűségszámítás- közelítő megoldások (becslések), információkezelés

14


Gyakorlati (életközeli) feladatok• Támogató témakörök pl.:- statisztika;- gondolkodási módszerek (kmb, grf, vlsz);- függvények.• De: a korábbi témakörök feldolgozása is hasonló• Igazi, valós feladatok: szakmailag nehezek- a „nem valószerű” feladatok hiteltelenek- fontos a jó alapozás

15


• Ellentmondás: - Általánosan jellemző a matematika óraszám

csökkenése, de:- nőtt a számonkért feladatanyag mennyisége- és megváltozott a minősége.- Új készségek kellenek (szövegértés, teszt

jellegű mo., háromféle feladat problémája).• Tehát: az érettségi vizsgára készülni kell

(írásbeli, szóbeli)

16

2.2 Írásbeli vizsgatartalmi szerkezete

Középszinten:• Gond. msz, hlm, log, kmb, grf: 20%• Arit, alg, szelm: 25%• Fv, anal. elemei: 15%• Geo, koo, trig: 25%• Vlsz, stat: 15%

Emelt szinten:• Gond. msz, hlm, log, kmb, grf: 25%• Arit, alg, szelm: 20%• Fv, anal. elemei: 20%• Geo, koo, trig: 20%• Vlsz, stat: 15%

17

2.3. Eddigi érettségi vizsgák

Eddigi írásbeli vizsgasorok:• 2003. próbaérettségi Ksz, Esz • 2004. próbaérettségi Ksz, Esz• 2005. május 10. Ksz, Esz• 2005. május 28. megismételt Ksz • 2005. május 29. pótnap Ksz • 2005. október 25. Ksz, Esz

Szóbeli feladatsorok:• 2004. próba szóbeli Esz• 2005. szóbeli Esz

Szakirodalomban megjelenő próba feladatsorok

18

2.4. 1, 2. mintafeladat (05pótKSz)(valós probléma, gond. msz.)

• 11. Egy henger alakú bögre belsejének magassága 12 cm, belső alapkörének átmérője 8 cm. Belefér-e egyszerre 0,5 liter kakaó? Válaszát indokolja!

• 14. b) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását!

A focira jelentkezett tanulók közül mindenkinek van testvére.

19

2.4. 3. mintafeladat (05pótKSz)(modellezés)

• 14. d) Az iskolák közötti labdarúgóbajnokságra jelentkezett 6 csapat között lejátszott mérkőzéseket szemlélteti a 2. ábra. Hány mérkőzés van még hátra, ha minden csapat minden csapattal egy mérkőzést játszik a bajnokságban? (Válaszát indokolja!)

20

2.4. 4. mintafeladat (05KSz)(tesztjelleg)

• 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis!

A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik.

B: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is.

C: Minden trapéz paralelogramma.

21

2.4. 5. mintafeladat (05KSz)(statisztika)

• Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartalmazza a következő táblázat:

a) Határozza meg az összes dolgozat pontszámának átlagát (számtani közepét), móduszát és mediánját!

Psz: 100 95 91 80 65 31 17 8 5

Db: 3 2 1 2 1 2 2 1 1

22

2.4. 5. mintafeladat (folyt.)

b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani!

Pontszám Osztályzat

80 – 100 jeles

60 – 79 jó

40 – 59 közepes

20 – 39 elégséges

0 – 19 elégtelen

23

2.4. 5. mintafeladat (folyt. 2.)(információ feldolgozása)

Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot!

c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról! Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is!

Oszt. jeles jó közepes elégséges elégtelen

Darab

24

2.4. 6. mintafeladat (05oktKSz)(életközeli, összetett feladat)

• 18. 2001-ben a havi villanyszámla egy háztartás esetében három részből állt.

- az alapdíj 240 Ft, ez független a fogyasztástól,- a nappali áram díja 1 kWh fogyasztás esetén

19,8 Ft,- az éjszakai áram díja 1 kWh fogyasztás esetén

10,2 Ft.A számla teljes értékének 12%-át kell még általános forgalmi adóként (ÁFA) kifizetnie a fogyasztónak.

25


a) Mennyit fizetett forintra kerekítve egy család abban a hónapban, amikor a nappali fogyasztása 39 kWh, az éjszakai fogyasztása 24 kWh volt?

b) Adjon képletet a befizetendő számla F összegére, ha a nappali fogyasztás x kWh, és az éjszakai fogyasztás pedig y kWh!

c) Mennyi volt a család fogyasztása a nappali illetve és az éjszakai áramból abban a hónapban, amikor 5456 Ft-ot fizettek, és tudjuk, hogy a nappali fogyasztásuk kétszer akkora volt, mint az éjszakai?

d) Mekkora volt a nappali és az éjszakai fogyasztás aránya abban a hónapban, amikor a kétféle fogyasztásért (alapdíj és ÁFA nélkül) ugyanannyit kellett fizetni?

26

2.4. 7. mintafeladat (05ismKsz)(információfeldolgozás)

• 15. Egy sportuszoda 50 méteres medencéjében egy edzés végén úszóversenyt rendeztek. A versenyt figyelve az edző a következő grafikont rajzolta két tanítványának, Robinak és Jánosnak az úszásáról. Olvassa le a grafikonról, hogy

a) mennyi volt a legnagyobb távolság a két fiú között a verseny során;

b) mikor előzte meg János Robit;

c) melyikük volt gyorsabb a 35. másodpercben!

27


28

2.4. 7. mintafeladat (folyt. 2)(nézőpontváltás, kombinatorika)A 4×100-as gyorsváltó házi versenyén a döntőbe a Delfinek, a Halak, a Vidrák és a Cápák csapata került.

d) Hányféle sorrend lehetséges közöttük, ha azt biztosan tudjuk, hogy nem a Delfinek csapata lesz a negyedik?

e) A verseny után kiderült, hogy az élen kettős holtverseny alakult ki, és a Delfinek valóban nem lettek az utolsók. Feltéve, hogy valakinek csak ezek az információk jutottak a tudomására, akkor ennek megfelelően hányféle eredménylistát állíthatott össze?

29

2.4. 8. mintafeladat (05ismKsz)

17. Egy teherautóval több zöldségboltba almát szállítottak. Az egyik üzletbe 60 kg jonatánt, 135 kg starkingot, 150 kg idaredet és 195 kg golden almát vittek. A jonatán és az idared alma kilóját egyaránt 120 Ft-ért, a starking és a golden kilóját 85 Ft-ért árulta a zöldséges.

a) Hány százalékkal volt drágább a jonatán alma kilója a goldenéhez képest?

b) Mennyi bevételhez jutott a zöldséges, ha a teljes mennyiséget eladta?

c) A zöldségeshez kiszállított árukészlet alapján számítsa ki, hogy átlagosan mennyibe került nála 1 kg alma!

30


d) Ábrázolja kördiagramon a zöldségeshez érkezett alma mennyiségének fajták szerinti megoszlását!

A jonatán alma mérete kisebb, mint az idaredé, így abból átlagosan 25%-kal több darab fér egy ládába, mint az idaredből. Rakodásnál mindkét fajtából kiborult egy-egy tele láda alma, és tartalmuk összekeveredett.

e) A kiborult almákból véletlenszerűen kiválasztva egyet, mekkora a valószínűsége annak, hogy az jonatán lesz?

31

3.1. Vándorgyűlési előadás(Rábai Imre)

• Ellenőrző példatár• Célpéldatár• Szakanyag-példatár• Tanító példatár– tankönyv alapján, módszerek ismertetése– lehessen könyvből tanulni– követelményekhez kapcsolódjon• Mj: Kinek készüljön a példatár?

32

3.2. Milyen a jó példatár? (ellentétpárok) 1/3

• Tartalom mennyisége, minősége(cél: minél tágabb)

terjedelem (minél szűkebb, jobban kézbe vehető, lapozható)

tömeg (minél könnyebb) minél olcsóbb• Külalak, esztétika olcsó• színes fekete-fehér (olcsó ár)• szöveg aránya képek aránya, minősége• (pl. a szórakoztató képek problémája: számuk

nem mehet a terjedelem és a tartalom rovására)

33

3.2. Milyen a jó példatár? (ellentétpárok) 2/3

Szakszöveg, nyelvezet problémája

• szakmailag precíz ne legyen érthetetlen vagy túl bonyolult

• (pl. TK. definíciók örök problémája: mit, mennyire precízen, hogyan tálalva)

• unalmas (száraz) érdekes (de szakmai)

• játékos komoly

34

3.2. Módszertani problémák(pl. definíciók) 3/3

• definíciók: ellenőrzés, rögzítés, egyszerű alkalmazás, ill. ezek aránya

terjedelmi korlátok; cél (gyakorló példatár); széles rétegű használhatóság• Mj: a problémák módszertani szerepe- def. számonkérése – ismétlési funkció- Ksz I: tesztjelleg – definíciók iránti érzékenység

35

3.3. Kihez szól a példatár? 1/3

• Természetesen: középiskolai tanulókhoz és tanárokhoz

Elvek

1. Minden gyerekhez és minden típusú, minden színvonalú iskolához szólnia kell.

2. Otthoni tanulásban használható legyen.

3. Tanári munkát könnyebbé tegye.

4. Emberi tényező (kollegalitás)

36


Nehézségek (ideális példatár)

Átfogás:

• Nincs két egyforma iskola, osztály, gyerek (sőt a tanár stílusától is függ)

- PISA 2000 iskolák közötti különbségek óriásiak (területi és típus szerint)

- (nagyon meredek a szocioökonómiai lejtő)

széles terjedelem átfogása szükséges

37


Emelt szint – középszint problémája

• Tisztázott a tartalmi követelményrendszer

• Az érettségin kitűzendő feladatanyag még nem körvonalazott (kevés példa)

• A minőségi követelményrendszer még nem kialakult

• A jelentkezők aránya még nem dőlt el (lehet, hogy nem is fog)

38

4.1. Lehet-e (biztosan) jobb példatárat készíteni a réginél?

• Elődök karrierje: rendkívül sikeres őspéldatárakÁtdolgozási (modernizálási) indokok:

• követelmények változása (tartalom, szint,felesleges témák, ill. új témák)

• módszertan (tanító típusú, folyamatosan használható, rövidebb, lényegre törőbb)

• feldolgozás módja (régi témák más kibontása)• feladatanyag, nyelvezet frissessége• szórakoztatási és ismeretterjesztési elv• esztétikai szempontok

39

4.2. Jellemzők – felépítés, módszertan 1/2

• Gyakorló és érettségire felkészítő példatár• Cél: a tanító típusú példatár (a szerzők gyakorló

tanárok – egységes véleménnyel)• Témakörök szerint strukturált (PT)• Tematikus építkezés iránya:

bevezető – gyakorló – ismétlő – ellenőrző feladatok – alkalmazások, összetett feladatok – próbasorok

• Fontos: nem lehet pl. az összetett feladatokra közvetlenül összetett feladatokkal készülni!

40

4.2. Jellemzők – felépítés, módszertan 2/2

• Lineáris és spirális felépítés problémája

• Folyamatos haladás, de:

- szükséges a válogatás (az anyag mennyisége, a tanulói sokszínűség miatt)

- építeni kell a korábban (és a tankönyvben) tanultakra

• A kereszthivatkozások módszertani szerepe (kitűzés, ill. megoldáskor)

41

4.3. Jellemzők – feladatanyag 1/4

• Tartalmi illeszkedés a követelményekhez és a módszertani célkitűzésekhez

• Pl. a gyakorló feladatok arányainak problémái:- Ksz/I. rész (teszt jelleg)- „favágó” példák mennyisége- Ksz, Esz aránya (nem prognosztizálható)- gyakorlati, életközeli példák• érettségi próbafeladatsorok• összetett, ill. léptető feladatok• versenyfeladatok• Esz szóbeli vizsga

42


• Kompetenciák, készségek fejlesztése:- Információ kezelése;- képlet értelmezése;- modellek felállítása, tervezés;- számítógép alkalmazása.• Szórakoztató, játékos, feladatok

(a matematika megszerettetése)- tudománytörténet;- érdekes (modern) példák;- nyelvezeti frissesség.

43


Ksz – Esz problémája (PT)• Minősítés:1. tartalom2. megoldási módszer3. gondolati nehézség4. „építkezési pozíció”• Bizonyítások KSz-en: vizsgán nincs, tanítás

folyamán (építkezés) igen• Mj: É felkészítő és gyakorló példatár - a

példatárban vannak bizonyítások Ksz-en

44


Szaknyelvi problémák• pl. sor fogalma• prím definíciója• részhalmaz, valódi részhalmaz• Viete-formulák (többszörös gyökök)• kombinatorika: pl. IP jelölése, alkalmazása

halmazok Descartes-szorzata• teljes indukció

45

4.4. Jellemzők - megoldások

Megoldások közléseMódszertani érv:

• segítség a tanításban (használhatóság, gyorsítás)• segítség a tanulásban• hátrány (?): tanulói munka visszafogása (?)• Kereszthivatkozások, szerkesztettség (szakmai egység)

• Megoldás CD (PT)- számítógépes diákmunka (élményszerű?)- De: írásbeli megoldáskötet nem pótolható (PT)

46

4.5. Módszertani elvek 1/2

• Gyakorlás:

- új típusú feladatok

- új szerkezetű érettségi feladatsorok

- (esetleg) közös javítás

• Készülés a szóbelire

- tanulók „beszéltetése”

- iskolai gyakorlás (nőtt a tanári munka)

47

4.2. Módszertani elvek 2/2

• Összefoglalva: - az alapokat nagyon meg kell tanítani

(minimumszint; legyen mire építeni)- gondolkodni tanítsunk (kompetenciák)- fontos a szövegértés gyakorlása (!)

• Haladás, építkezés:- középszintű emelt szintű példák- egyszerű f. összetett f. alkalmazások

„Az életet olyan komoly feladatnak kell tekintenünk, melynek megoldására csak egyszer áll rendelkezésünkre néhány évtizednyi idő.” Sir Thomas More (1478 – 1535)

48

5.1. Érettségi vizsgakövetelmények(Másodfokú egy, egy. rsz.)

Középszint• Egyismeretlenes mf. egy. általános alakja• A diszkrimináns fogalma• Megoldóképlet alkalmazása• Teljes négyzetté alakítás módszere• A gyöktényezős alak alkalmazása• Törtes egyenletek, szöveges feladatok• Egyenletrendszerek megoldása

49

5.1. Érettségi vizsgakövetelmények(másodfokú egy, egy. rsz.)

Emelt szint:

• Biz: megoldóképlet

• Biz: gyökök és együtthatók közötti összefüggések

• Paraméteres feladatok

50

5.1. Érettségi vizsgakövetelmények

• Magasabb fokú egyenletek (Ksz)

- Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása

• Négyzetgyökös egyenletek (Ksz)

- = cx + d típus megoldásabax

51

5.1. Érettségi vizsgakövetelmények

• Magasabb fokú egyenletek (Esz)

• Másodfokúra visszavezethető egyenletrendszerek megoldása

• Értelmezési tartomány, értékkészlet vizsgálata, szorzattá alakítás;összetett feladatok

• Négyzetgyökös egyenletek (Esz)

• Két négyzetre emelés

52

5.1. Érettségi vizsgakövetelmények- egyenlőtlenségek

Középszint:

• Egyenlőtlenségek alaptulajdonságai (mérlegelv alkalmazása)

• Első- és másodfokú, egyszerű egyism. egyenlőtlenségek, egyn. rendszerek

• Két pozitív szám sz-m-közepének ismerete, alkalmazása

53

5.1. Érettségi vizsgakövetelmények- egyenlőtlenségek

• Emelt szint:

• Összetett feladatok megoldása

• Számított középértékek és ismerete, nagyságrendi tétel

• Feladatmegoldás a sz-m-közép közötti összefüggés alapján

• Biz: Két pozitív szám sz-m-közepe

54

5.2. A könyv tartalomjegyzéke

• Másodfokú egy, egyrsz, egyn.• Másodfokú egyenletek• Összef. a gyökök és együtthatók

között• Másodfokú egyenletrendszerek• Szöveges feladatok• Vegyes feladatok• Másodfokú egyenlőtlenségek• Paraméteres és összetett egyn.

55

5.2. A könyv tartalomjegyzéke

Később:

• Magasabbfokú egyenletek

• Irracionális egyenletek, egyenlőtlenségek

• Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek (!)

56

6.1. Feladatválogatás a középszintű központi sorokból 1/2

• 03PKsz II/11.b)

• 04PKsz II/14.b) 23x+1 = 33 – 9x

• 04PKsz II/16.b) lg(7x2–8) – lg(7x–12)=1

• 05Ksz II/13. cos2x + 4cosx = 3sin2x

• 05PótKsz II/13. b)

• 05oktKsz II/16. b) 2cos2x = 4 – 5sinx

2513 xx

xx 2

57

6.1. Feladatválogatás a középszintű központi sorokból 2/2

• 05IsmKsz16.

k: x2 + y2 + 2x – 2y – 47 = 0 egyenletű kör

b) Határozza meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát!

c) Legyenek A(7; 7) és B(0; 0) egy egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van a k körön.Számítsa ki a C csúcs koordinátáit!

58

6.2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 1/7

• 03PEsz II/5. 16x2 – (8cosy)x + 1 = 0 • 03PEsz II/6. b) k2 – 3k = p2 (diof.)• 04PEsz II/5. log3x3 + 4log9x3 = 6 • 05Esz I/3. Egy növekedő számtani sorozat

első három tagjának összege 60. Az első tagot 64-gyel növelve, a másik két tagot változatlanul hagyva, egy mértani sorozat első három tagjához jutunk. Mennyi a két sorozat első három tagja?

59


05Esz II/6. Tekintsük a valós számokon értelmezett f(x) = (p – 3,5)x2 + 2(p – 2)x + 6 függvényt, ahol p tetszőleges valós paraméter!

a) Mutassa meg, hogy tetszőleges p érték mellett az x = –2 zérushelye a függvénynek!

b) Milyen p értékek esetén lesz a függvény másik zérushelye 1-nél nagyobb?

60


• 04PEsz II/7. Két tesztautó egyszerre haladt át a startvonalon, majd ugyanazon az egyenes úton folytatta útját. Az egyes autók startvonaltól mért távolságát a 0 ≤ t ≤ 90 időintervallumon azf(t) = 900 – (t – 60)2/4 és a g(t) = 20t/3 képlettel megadott függvény írja le, ahol az időt másodpercben, a távolságot méterben mérjük.

61


a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvényeket!

b) Mekkora távolságra voltak a startvonaltól az autók a mérés kezdete után 1,5 perccel?

c) Fogalmazza meg, hogy mit ír le a f − g függvény!

d) Határozza meg számítással azt a pillanatot, amelyben a mérés során a két autó a legtávolabb került egymástól!

62


• 05Esz II/9. Az ABC háromszög oldalai AB = 42, BC = 40 és CA = 26. Írjunk téglalapot a háromszögbe úgy, hogy a téglalap egyik oldala illeszkedjen a háromszög AB oldalára, másik két csúcsa pedig a háromszög CA, illetve BC oldalára essen. Tekintsük az így beírható téglalapok közül a legnagyobb területűt! Mekkorák ennek a téglalapnak az oldalai?

63


• 05oktEsz I/1. a) Egy háromszög két csúcsa A(8; 2), B(–1; 5), a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x2 + y2 – 6x – 4y + 12 = 0. Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit!

• 05Esz II/7. = 25,12sin7sin 2 xx

4sin4sin4sin4sin 22 xxxx

64


• 05oktEsz I/4.f: [0; 7] R, f(x) = x2 – 6x + 5

a) Ábrázolás;

b) értékkészlet;

c) x2 – 6x + 5 = p megoldásszáma.

65

6.3. Párhuzamos feladatválogatás a példatárból 1/4

• E1. 833. Hogyan függ a p paramétertől az x2 + 6x + 8 = x + p egyenlet megoldásainak száma?

• Vö: 1457; ill. 1573, 1593 (abszolút érték)• E1. 685. Ábrázolás:• a(x) = x2 – 2x – 8;• b(x) = x2 + 2x – 8;• c(x) = x2 – 2x – 8;• d(x) = x2 + 2x – 8.

66


• E2. 775. Ábrázolás az összetett függvény módszerével:

• a(x) = x2 – 4x + 3;

• b(x) = x2 – 4x + 3;

• c(x) = x2 + 4x + 3;

• d(x) = x2 + 4x + 3.

67


• 03PEsz II/6. b) k2 – 3k = p2 (diof.)• Vö. 1428, 1430, ill. 516 (számelmélet)

• 04PEsz II/7. Tesztautók feladata• Vö. 1384.

• 03PEsz II/5. 16x2 – (8cosy)x + 1 = 0• Vö. Geo. 3335.

68


• E1. Fv. 2.56. 20 cm hosszú szakasz fölé rajzoljunk két szabályos háromszöget.

• t(x) = ? tmax = ? tmin = ?

• E1. Fv. 2.56. Ue. négyzettel, félkörrel …

x

69

7.1. A másodfokú téma tárgyalása 1/4

Másodfokú egyenletek

• Bevezető fa: 1200-07.

• Teljes négyzet: 1208-15.

• Megoldóképlet: 1216-20.

• Fv. és diszkrimináns: 1221-28.

• Egyszerű szöveges fa: 1229-35.

• Törtes egyenletek: 1236-40.

70


• Magasabbfokú helyettesítése: 1241-46.

• Vegyes egyenletek: 1247-54.

Gyökök és együtthatók közötti öf.

• Gyöktényezős alak 1255-58.

• Viete-formulák: 1259-72.

• Szimmetrikus polinomok: 1273-81.

71


• Paraméteres fa. (gyökök): 1282-85, 86-89• Paraméteres fa.: 1290-96.• Összetett függvények egy.: 1297-99.

Egyenletrendszerek• Típusok szerint: 1300-03, 04-07, 08-12,

13-16, 17-20, 21-24, 25-30.• Szöveges feladatok: 1331-37.

72


• 3 ismeretlen: 1338-40.• Paraméteres egy.rsz.: 1341-46.

• Szöveges feladatok: 1347-95.

• Vegyes feladatok: 1396-1421.Paraméteres fa: 1422-38.Spec, pm, ötett: 1439-58.

Documents

Hogyan készítsük fel diákjainkat az érettségire?