Jelmagyarázattankonyvkatalogus.hu/pdf/NT-17102_1__betekinto.pdfajánlunk, amelyeket a kiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény családjából

Az A pont és az e egyenes távolsága: d(A; e) vagy Ae

Az A és B pont távolsága: AB vagy vagy d(A; B)

Az A és B pont összekötő egyenese: e(A; B)

Az f1 és f2 egyenesek szöge: vagy

A C csúcspontú szög, melynek egyik szárán azA, másik szárán a B pont található:

A C csúcspontú szög:

Szög jelölése:

Az A, B és C csúcsokkal rendelkező háromszög:

Az ABC9 területe: T(ABC) vagy TABC

Az a, b és c oldalú háromszög fél kerülete:

A derékszög jele: *

Az e egyenes merőleges az f egyenesre:

Az e egyenes párhuzamos az f egyenessel:

Egybevágóság: ,;

A hasonlóság aránya: m

Az A pontból a B pontba mutató vektor:

Egyenlő, nem egyenlő: ;

Azonosan egyenlő: ;

Közelítőleg egyenlő: ; ;

Kisebb, kisebb vagy egyenlő: <, #; 2 < 3, 5 # x

Nagyobb, nagyobb vagy egyenlő: >, $; 6 > 4, a $ 2

A természetes számok halmaza: N; {0; 1; 2; …}

Az egész számok halmaza: Z;{…; –2; –1; 0; 1; 2; …}

A pozitív, a negatív egész számok halmaza: Z+, Z–;{1; 2; 3; …}, {–1; –2; –3; …}

A racionális, az irracionális számok halmaza: Q, Q*

A pozitív, a negatív racionális számok halmaza:Q+, Q–

A valós számok halmaza: R

A pozitív, a negatív valós számok halmaza: R+, R–

Eleme, nem eleme a halmaznak: !, "; ,

Részhalmaz, valódi részhalmaz: 3, 1; ,

Nem részhalmaza a halmaznak: j;

Halmazok uniója, metszete: ,, +;

Halmazok különbsége: \; A \ B

Üres halmaz: Q, { }

Az A halmaz komplementere:

Az A halmaz elemszáma: ;

Zárt intervallum: [a; b]

Balról zárt, jobbról nyílt intervallum: [a; b[

Balról nyílt, jobbról zárt intervallum: ]a; b]

Nyílt intervallum: ]a; b[

Az x szám abszolút értéke: ;

Az x szám egész része, tört része: [x], {x}; [2,3] = 2, {2,3} = 0,3

Az a osztója b-nek: ;

Az a és b legnagyobb közös osztója: (a, b); (4, 6) = 2

Az a és b legkisebb közös többszöröse: [a, b]; [4, 6] =12

Az f függvény hozzárendelési szabálya: ; vagy

;

Az f függvény helyettesítési értéke az x0 helyen:;

f x x2 3= +] gf x y=] g

(5), 5f xha 0 =( )f x0

: 2 3f x x7 +:f x f x7 ] g

2 8a b

, 3,13 1 =-x

, , 30 1 2 =" ,A

A

,A B A B, +

Z Q1 +Y

N Q1

A R3

2 Zg- +

5 N!

8,54 8,5.2,3a ..

5a b /+/

2, 5a b !=,!=

AB

ABC A B C9 9, l l l

e f<

e f=

s a b c2= + +

ABC9

, , , fa b c

CB

ACBB

( ; )f f1 2 B

( ; )f f1 2B

AB

9 . É V F O L Y A M

MATEMATIKA 5

Jelmagyarázat

17102-1_Metematika9_0_cimnegyed 2015.05.11. 19:25 Page 5


MATEMATIKA6

Bevezetés

A tankönyv célja a középszintű érettségire történő felkészítés. A matematikai szemlélet fejlesz-tése a definíciókhoz és fogalmakhoz kapcsolódó tananyagelemek kidolgozásával történik.

Kidolgozott példák segítik az új ismeretek bevezetését, a tananyag megértését. A fejezetekvégén gyakorlófeladatokat találunk, melyek segítik a középszintű érettségire való felkészülést.

A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kiala-kított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. Kidol-gozzuk a különböző témakörökben megismert összefüggések más témakörökben való felhasz -nálhatóságának felismerését, a matematika alkalmazását gyakorlati problémák megoldása során.Illusztrációkkal, fényképekkel segítjük a tananyagban a matematikai összefüggések megértését.

Kékkel emeltük ki a szövegben a matematikatörténeti és egyéb matematikai érdekessé-geket.

A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elen-gedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A diszkussziós képességfejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodástis fejleszti.

A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkal-mazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmuskészítése az informatika tanulmányozásához is fontos.

Az érettségire való felkészítést a négy évfolyamon végigfutó kidolgozott példák és nehézsé-gük szerint szintezett feladatok segítik:

A leckék végén lévő feladatok részletes megoldása megtalálható a kiadó weboldalán.Az érdeklődők, vagy gyakorolni vágyók számára a leckék végén még további feladatokat is

ajánlunk, amelyeket a kiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjteménycsaládjából jelöltünk ki.

Az emelt szintű érettségi vizsgán előforduló tananyagokat zölddel és apró betűvel jelöltük.

A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk meg, melyek néhány lépésben bizonyítha-tók vagy megcáfolhatók. Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerűtétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pon-tos megfogalmazására. A tankönyvben a definíciók és a tételek fejléccel ellátott keretbe ke-rültek. Abban az esetben, amikor nincs fejléc, fontos gondolatokat emeltünk ki. A margóra kiírtdefiníciók a tájékozódást segítik.

Gerőcs László–Orosz Gyula–Paróczay József–Szászné dr. Simon Judit:16125/NAT (+ CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűjte mény I.16126/NAT (+ CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladat gyűjte mény II.

Czapáry Endre–Czapáry Endréné–Csete Lajos–Hegyi Györgyné–Iványiné Harró Ágota–Morvai Éva–Reiman István:16127/NAT (+ CD-n a megoldások) MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűj temény III., Geometriai

feladatok gyűjteménye

középszint,könnyebb; középszint,nehezebb;

emelt szint,könnyebb;

emelt szint,nehezebb feladat.

E2

E1

K2

K1

17102-1_Metematika9_0_cimnegyed 2015.05.11. 19:25 Page 6

HalmazokI.

A matematika története több ezer évre nyúlik vissza. Az ókortól kezdvemindig is művelték, fejlesztették. Az elmúlt körülbelül 2-300 év alatt vi-szont egészen döbbenetes mértékben fejlődött a matematika mennyi-ségi és minőségi szempontból egyaránt. E robbanásszerű növekedésselerősödött az az igény, hogy bebizonyítsák, a matematikai állítások kö-zött nincs ellentmondás. Ezek a törekvések hívták életre a halmazelmé-letet, amelynek segítségével – a logika eszközeit is felhasználva – igye-keztek minden egyes matematikai eredményt precízen, szemlélettőlfüggetlenül megfogalmazni, bebizonyítani.

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:50 Page 7

MATEMATIKA I . H A L M A Z O K

1. Halmazok, jelölések

A matematika fogalmakat és állításokat használ. Ezek között vannak olyan fogalmak, úgynevezett alapfogalmak, amelyeket a szemlélet alapján

rögzítünk, például a pont, az egyenes fogalma. A szemlélet alapján elfogadott állításokat axiómáknaknevezzük, például ilyen az az állítás, hogy két pontra mindig illeszthető egy és csak egy egyenes.

A legtöbb fogalmat azonban pontosan meghatározzuk, definiáljuk; az állításokat, más szó-val tételeket pedig megengedett logikai eszközökkel igazoljuk.

HALMAZ? NEM HALMAZ?

A halmaz alapfogalom. El tudjuk képzelni, hogy mi az, de nem definiáljuk. Más szóval mond-hatnánk rá, hogy dolgok összessége – akkor azt kellene definiálni, hogy mi az a dolog, mi az azösszesség. Mondhatnánk, hogy valami olyan, aminek vannak elemei. Akkor azonban azt kel-lene definiálnunk, hogy mi az, hogy elemének lenni. Ez is definiálatlan alapfogalom, a szemlé-let alapján tudjuk, hogy mire gondolunk.

Azt mégis meg tudjuk mondani, hogy valami halmaz-e, vagy sem.

Eszerint nincs értelme arról beszélni, hogy egy elem hányszor van benne a halmazban, csakarról, hogy benne van-e vagy sem.

Egy halmaz akkor van meghatározva, ha bármiről el tudjuk dönteni, hogy eleme-e a halmaz-nak, vagy sem.

Halmaz, halmaz eleme

8


Halmaz, halmaz eleme

Raffaello Santi: Az athéni iskola

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 8

MATEMATIKAI . H A L M A Z O K

Megoldása) Azt, hogy ki okos és ki nem, még egyes embereknél sem tudjuk eldönteni, mert lehet, hogy

egyvalamiben okos, másvalamiben nem. Nem tudjuk pontosan, hogy mit jelent okosnak lenni.Ez nem halmaz.

b) Bármelyik tanulóról el tudjuk dönteni egy egyszerű méréssel, hogy alacsonyabb-e 180 cm-nél. Ez tehát halmaz.

c) Nem tudjuk pontosan, hogy kik rendelkeznek magyar állampolgársággal, de bárkiről el tud-nánk dönteni, hogy rendelkezik-e vele. Ez tehát halmaz.

d) Bármiről el tudjuk dönteni, hogy élő hétfejű sárkány-e. (Mert semmi nem az.) Tehát az élő hét-fejű sárkányok halmaza is halmaz. Nincs egyetlen eleme sem.

A halmazokat általában nagy latin betűkkel szokás jelölni, például A, B, C, X, Y. Azt, hogy egyx elem az A halmazban van, így jelöljük: x ! A, és úgy olvassuk, hogy x eleme A-nak vagy x A-beli elem vagy x benne van A-ban. Ha x nincs az A halmazban, akkor azt mondjuk, hogy x nemeleme A-nak, és így írjuk: x " A.

HALMAZOK JELÖLÉSE, MEGADÁSA

A halmazokat többféleképpen is megadhatjuk.

1. Elemei felsorolásával: ekkor kapcsos zárójelek közé tesszük őket. Például: A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Felsoroláskor egy halmaz elemeit tetszőleges sorrendben megadhatjuk. Előfordulhat, hogy egy halmaznak nem tudjuk felsorolni minden elemét, mert nem érne

véget. Ekkor elkezdjük a felsorolást, és utalunk arra, hogy az elemek sora hogyan folytatódik.Például: B = {1, 3, 5, 7, 9, …}.

2. Egy jellemző közös tulajdonsággal: például: B a páratlan természetes számok halmaza,X az 1-nél nagyobb vagy vele egyenlő, 6-nál kisebb valós számok halmaza.

Ezt a kapcsos zárójelek közé tett megadási móddal együtt is szokás alkalmazni. Például: AzA = {x | x természetes szám és 1 # x < 6} és A = {x : x természetes szám és 1 # x < 6} ugyanazta halmazt jelöli. Így olvassuk: A halmaz elemei azon x természetes számok, amelyek 1-nél nagyobbak vagy vele egyenlők és 6-nál kisebbek.

Két halmaz akkor – és csak akkor – egyenlő, ha ugyanazok az elemei.

Halmazok egyenlősége

1. példa Halmaz-e: a) Az okos emberek összessége. b) Az osztály 180 cm-nél alacsonyabb ta-nulóinak összessége. c) A ma élő, magyar állampolgársággal rendelkező emberek összessége. d) A ma élő hétfejű sárkányok összessége.

Ha egy halmaz elemszáma valamely természetes szám, akkor a halmaz véges. Például: {1, 2, 3}.Ha a halmaz nem véges, akkor végtelen. Például a természetes számok halmaza végtelen.

Véges, végtelen halmaz

9


Véges, végtelen halmazokVéges pl.: {1, 2, 3}.Végtelen pl.: N.

x ! Ax " A

Halmazok egyenlősége

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 9

MATEMATIKA

A Venn-diagramot akkor szokás használni, ha a feladatban szereplő halmazoknak csak kevéselemük van, vagy ha a halmazokról általánosságban akarunk beszélni.

Ponthalmazokat, intervallumokat egyaránt szemléltethetünk számegyenesen, ez a fajta szem-léltetés azonban intervallumok esetén lesz majd különösen hasznos.

SZÁMHALMAZOK

A történelem során először a számlálás számai alakultak ki: 1, 2, 3, 4, … Ezeket eleinte ro-vásokkal jegyezték le. A római számírás is egyfajta rovásírásból fejlődött, a mi rovásírásunkszámjeleihez hasonlóan.

A könnyebb kiolvasás érdekében a rovásokat csoportosítva jegyezték fel, mégpedig azegy kézen látható ujjaknak megfelelően, ötösével. A két összeolvasott kéz szolgált a tízesszámrendszer alapjául. Később ezekkel a számokkal műveleteket is végeztek.

Számolás közben szükségessé vált a használt számok reciprokának lejegyzése, így alakul-

tak ki az egyiptomi matematikában egységtörteknek nevezett számok: ; ; ; ….

A 0 a hinduktól, arab közvetítéssel került Európába. A negatív számok csak jóval később,a vagyon nyilvántartásával kapcsolatban, az adósságok feljegyzésére alakultak ki.

Korábban tanult számhalmazok

7.

Az egész számok halmaza a természetes számokból és az ellentettjeikből áll. Az egész számokhalmazának jelölése: Z. Z = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …} (6–7. ábra)

Egész számok

5.

0 1 2 3 4 5 6

A természetes számok: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … . A természetes számok halmazának jelölése: N.N = {0, 1, 2, 3, …} (4–5. ábra)

Természetes számok

3. Ábrán szemléltetve: Halmazábrán – úgynevezett Venn-diagramon. (1. ábra)

Számegyenesen ponthalmazként. (2. ábra)

Intervallumként. (3. ábra)

12

13

14

I . H A L M A Z O K10


A természetes számok halmazának jelölése: N.

Az egész számok halmazának jelölése: Z.

a [0,5; 2,5] intervallum

1.A

1 2 3 4 5

2.

0 1 2 3 4 5

3.

0

0,5

1 2

2,5

3

4.

6.

N

0, 1, 2, . . .

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 10

10.


A törtet bővíthetjük, egyszerűsíthetjük (a számlálójukat és nevezőjüket ugyanazzal a nem 0számmal szorozhatjuk, oszthatjuk), attól még ugyanaz a szám marad.

A racionális számok hányadost fejeznek ki. Az osztást elvégezve egész számot vagy tizedestörtet kapunk.

Egész szám például a fenti számok közül: .

A kapott tizedes tört lehet véges, például , és lehet végtelen szakaszos,

például .

A végtelen szakaszos tizedes törteket úgy írhatjuk le, hogy a szakaszt csak egyszer írjuk le, a sza-kasz kezdetét és végét a számjegyek fölé írt ponttal jelöljük. 0,83333… = 0,83

., 3,141414… =

= 3,1.4.

= 3,14.1.

stb. Egyjegyű szakasz esetén egyetlen pontot írunk.

A véges tizedes törtet is lehet végtelen szakaszos tizedes törtként írni, például: 3,2 = 3,20..

A szakaszos tizedes törtnek a szakasz kezdete után bármely, a szakasszal megegyező hosszúságú„szelete” szakasz.

Olyan végtelen szakaszos tizedes törtet is felírhatunk, amelynek szakasza egy jegyből áll, pél-dául: 2,19

.. Ez a tizedes tört azonban egyenlő a 2,2 tizedes törttel, mert nincs olyan szám, amely

e két szám közé esne.

Amikor tizedestört-alakban keressük két egész szám hányadosát, akkor az osztás során kapottmaradékok legfeljebb annyifélék lehetnek, mint amennyi az osztó, ezért – ha nem jutunk el a 0maradékhoz – a maradékok egyszer csak ismétlődni fognak. Ezzel együtt a hányados számjegyeiis egy helytől kezdve periodikusan ismétlődnek. Így kapjuk a végtelen szakaszos tizedes törteket.

Találkoztunk olyan számmal is, amelyet nem tudtunk két egész szám hányadosaként felírni.

MegoldásA Pitagorasz-tételből következik, hogy az egység oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza olyan szám, amelyneka négyzete 2, jelölése: (négyzetgyök kettő). (10. ábra)

A nem racionális szám, mert nem írható fel két egész szám hányadosaként.

Ha fel lehetne írni a -t két pozitív egész szám hányadosaként, akkor ennek a tovább már nem egyszerűsít-

hető alakja lehet például . Vagyis , ekkor . ba

ba2 = 2

ba

2

2

=

2

9.

2

2

2. példa Mutassuk meg, hogy az egység oldalhosszúságú négyzet átlójának hossza nem racionális szám!

0,833333365 f=

0,75, 0,443

52

= =

2, 1, 02

411

50

= = =-

--

Azok a számok a racionális számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként. Vagyis r ra-

cionális, ha van olyan , (b ≠ 0), amelyekre .

Például: , , , , , stb.

Ezek tört alakban írt racionális számok. A racionális számok halmazának jelölése: Q. (8–9. ábra)

rba

=,a b Z!

50

-11

24

-65

52

-43

Racionális számok

11


A racionális számok halmazának jelölése: Q.

8.

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 11


Mivel ez tovább már nem egyszerűsíthető alak, nem lehet a is, b is páros. A hányadosuk 2, tehát a2 páros, b2

páratlan. De mivel páros szám négyzete páros, páratlané páratlan, ezért a páros, b páratlan. Ha a páros, akkor va-

lamilyen d természetes számnak a kétszerese: a = 2d. Tehát . Eszerint . 2-vel osztva azt

kapjuk, hogy . Ez viszont lehetetlen, mert a jobb oldalon páros szám áll, viszont b2 páratlan volt! Vagyis

a nem lehet racionális szám. Általánosan is igaz: ha egy természetes szám négyzetgyöke nem egész szám, akkor biztosan nem racionális.

Kb. 300 évvel ezelőttig a tudósok nem tudták, hogy a r nem racionális szám. Racionális szám-

nak hitték, és tört alakban keresték. A és a két, a r-t közelítő tört.

Csak az algebra és az analízis fejlődése során derült fény arra, hogy a r nem írható fel kétegész szám hányadosaként, vagyis nem racionális. Ennek a bizonyítása nem egyszerű.

Az r sugarú kör kerülete 2rr. Az ebben a kifejezésben szereplő r szám nem racionális szám.

Azon tizedes törtek, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, végtelen nemszakaszos tizedes törtek. Ezeket ebben az alakjukban nem lehet felírni, csak egy-egy jelöléssel,

utalással tudjuk megadni (a , a r egy-egy ilyen rövidített jelölés), vagy csak közelítő tizedes-

tört-alakban: ,

BizonyításA 0,1234567891011121314151617… számról van szó.

Ha ez a szám valamely tizedesjegytől kezdve szakaszos lenne, akkor innen számítva keresünk egy olyan 10-hat-ványt, amelyben már több 0 szerepel, mint amekkora a szakasz hossza. Mivel ilyen biztosan van, emiatt a szakaszcsupa nullából áll, vagyis a tizedes tört innentől kezdve csupa nullából áll, valójában tehát véges.

Ez azonban lehetetlen, mert végtelen sok természetes szám van! Vagyis a kérdéses szám végtelen, nem szakaszos tizedes tört, egy szóval: irracionális.

A valós számokat számegyenesen ábrázoljuk. A számegyenes minden pontja egy-egy valós szám-nak felel meg.

2bd

bd2 4

2

2

2

2

= =] g 2 4b d2 2

=

2b d2 2=

2

12.

A racionális és irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük. A valós számok hal-mazának jelölése: R. (11–12. ábra)

Valós számok

3. példa Bizonyítsuk be, hogy az a tizedes tört, amelyet úgy képezünk, hogy a természetes számokat egymásután leírjuk (a 0 után írva a tizedesvesszőt), irracionális!

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális szá-moknak nevezzük.

Irracionális számok

1,414213562372 f= 3,1415926535898f=r

2

227

355113

12


A r nem racionális szám

A valós számok halmazának jelölése: R.

11.

Irracionális számok

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 12

MATEMATIKA

VALÓS SZÁMOK ABSZOLÚT ÉRTÉKE

Egy pozitív valós szám abszolút értéke önmaga, egy negatív valós szám abszolút értéke az el-lentettje. A 0 abszolút értéke 0. Az a valós szám abszolút értékének jelölése: .

A nem nulla valós számok abszolút értéke pozitív.(Szemléletesen már régebben is láttuk, hogy a nem nulla valós számok abszolút értéke pozi-

tív, mert azt a számegyenesen a 0-tól mért távolságaként szemléltettük.)A valós számok abszolút értékével később még részletesebben foglalkozunk.

Döntsük el, hogy halmazt adtunk-e meg az alábbiakban!a) A páros természetes számok.b) A barátságos emberek.c) A kerek számok. d) A kis törtek.e) Az 1-nél kisebb pozitív törtek.

Írjuk fel, hogy az alábbiak közül melyek az egyenlő halmazok! A = {a pozitív egyjegyű páros számok};B = {a nem 0 páros számjegyek};C = {a páros számjegyek};D = {0, 2, 4, 6, 8};E = {2, 4, 6, 8};F = {2 egyjegyű többszörösei}.

a) Adjuk meg elemei felsorolásával a következő halmazokat! A: a 3-nál nagyobb, 10-nél nem nagyobb egész számok;B: a 0 többszörösei;C: 2 egyjegyű pozitív többszörösei;D: 30 pozitív osztói;E: a 18 és a 30 legkisebb közös többszöröse.b) Szemléltessük a fenti halmazokat kétféle módon!

Adjuk meg elemei egy közös tulajdonságával a következő halmazokat! A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}; B = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …};C = {3, 9, 27, 81, 243, 729, …}; D = {0, 1}.

Igazoljuk, hogy két racionális szám a) összege; b) külöbsége; c) szorzata; d) hányadosa (ha van) is racionális szám!

Lehet-e egy racionális és egy irracionális szám a) összege; b) külöbsége; c) szorzata; d) hányadosa racionális, illetve irracionális szám?

Lehet-e két irracionális szám a) összege; b) külöbsége; c) szorzata; d) hányadosa racionális, illetve irracionális szám?

7. E2

6. E2

5. E1

4. K1

3. K1

2. K1

1. K1

Feladatok

a

I . H A L M A Z O K 13


Abszolút érték

További feladatok: Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I. 145–153.

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 13


2. Speciális halmazok, intervallumok

SPECIÁLIS HALMAZOK

Egy feladat megoldása során rendszerint megadjuk, hogy mely halmaz elemei között keressüka feladat megoldásait.

A feladathoz mindig hozzátartozik az alaphalmaza. Amennyiben ezt nem jelölik, akkor a leg-bővebb lehetséges halmazt kell az alaphalmaznak tekinteni.

MegoldásHa , akkor x < 2 és x > –2 egyszerre teljesül, azaz –2 < x < 2. a) Az egész számok körében a megoldások halmaza: {–1; 0; 1}. b) A pozitív valós számok halmazán a megoldások halmaza a ]0; 2[ intervallum. c) Az 5-nél nagyobb számok körében a feladatnak nincsen megoldása, a megoldások halmaza

üres.

Ugyanannak a feladatnak különböző alaphalmazon különböző megoldása lehet.

Említettük, hogy két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemei. Így háthiába írjuk fel többféleképpen az üres halmazt, az csak az üres halmaz. Vagyis egyetlen üres hal-maz van.

Egy A halmaznak részhalmaza minden olyan B halmaz, amelynek minden eleme az A-banis benne van. Azt, hogy a B halmaz az A halmaz részhalmaza, így jelöljük: B 3 A vagy A 4 B.Ha B 3 A, de a két halmaz nem egyenlő és B nem üres halmaz, akkor azt mondjuk, hogy a Bvalódi részhalmaza A-nak, illetve az A 4 B tartalmazás valódi. A halmaznak B halmaz nemvalódi részhalmaza, ha B = A vagy B üres halmaz.

Részhalmaz

Az üres halmaz olyan halmaz, amelynek nincsen egyetlen eleme sem. Jelölése: 4 vagy { }.

Üres halmaz

Azt a halmazt, amely egy feladat megoldásaiból áll, a feladat megoldáshalmazának ne-vezzük.

Megoldáshalmaz

}x 1

Azt a halmazt, amelynek elemein vizsgálódunk, alaphalmaznak (vagy más néven univer-zumnak) nevezzük.

Alaphalmaz

14


1. példa Oldjuk meg az feladatot a) a valós számok halmazán;b) a pozitív valós számok halmazán;c) az 5-nél nagyobb valós számok halmazán!

}x 1

Üres halmaz jelölése: 4 vagy { }.

Alaphalmaz

Megoldáshalmaz

Valódi részhalmazNem valódi részhalmaz

Részhalmaz

17102-1_Metematika9_1_ 2015.06.26. 22:36 Page 14


Eszerint az A részhalmazaiban nincs olyan elem, amely ne lenne az A-ban. Azok a halmazok,amelyekben van olyan elem, amely nincs az A-ban, nem részhalmazai az A-nak.

Ha B részhalmaza az A-nak, azt úgy is mondhatjuk, hogy A tartalmazza a B-t. (13.a és 13.bábrák)

Ha mindeközben A ≠ B, akkor B valódi részhalmaza A-nak, a tartalmazás is valódi.

MegoldásA B halmaz minden eleme az A-nak is eleme, ezért részhalmaza A-nak.

A C halmaz elemei nincsenek az A-ban, ezért C nem részhalmaza A-nak. A D halmazban vannak olyan elemek, amelyek A-ban vannak, de nem mind ilyen. Ezért a D

nem részhalmaza A-nak. Az E halmaz minden eleme az A halmazban van, tehát részhalmaza az A-nak. Az E halmaz

egyenlő az A halmazzal. Az F halmazban nem található olyan elem, amely nincs benne az A-ban. Vagyis az F halmaz

részhalmaza A-nak. A G halmaz nem részhalmaza az A halmaznak, mert van olyan eleme, amely A-nak nem eleme.

Figyeljük meg, hogy minden halmaz részhalmaza saját magának. Az is könnyen belátható,hogy az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

MegoldásMivel minden egész szám vagy páros, vagy páratlan (de nem mindkettő), ilyen egész szám nincs. Az a halmaz,amelynek nincs eleme, az üres halmaz.

Tehát azon egész számok halmaza, amelyek egyszerre párosak és páratlanok, az üres halmaz.

3. példa Keressük meg az egész számoknak azt a részhalmazát, amelynek elemeire teljesül, hogy egyszerre pá-rosak és páratlanok!

2. példa Legyen az A halmaz az {1, 2, 3} halmaz! Melyek részhalmazai az A halmaznak azalábbiak közül? B = {1, 3}, C = {4, 6}, D = {1, 3, 4, 6}, E = {1, 2, 3}, F = { }, G = {0, 1, 2, 3, 4}.

15


13.a

A

B

B részhalmaza A-nak

13.b

A

B

B nem részhalmaza A-nak

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 15

MATEMATIKA I . H A L M A Z O K16


A 3 nem szám.

INTERVALLUMOK

Az intervallumok is halmazokat jelölnek. Ezeket azonban olyan gyakran használjuk, hogy speciálisjelöléseket alkalmazunk rájuk.

Megjegyzés: Azt is intervallumnak nevezzük, ha egy a valós számnál kisebb; kisebb vagyegyenlő; nagyobb; nagyobb vagy egyenlő valós számokat vesszük bele egy halmazba.

Megoldása) Az A halmaz a –2 és a 3 közötti számok halmaza, de a –2 és a 3 nem tartozik hozzá. (Ilyen-

kor azt mondjuk, hogy az A intervallum nyílt.) Jelölése: A = ]–2; 3[. Szemléltetése (14. ábra):

b) A B halmaz is a –2 és a 3 közötti számok halmaza, a –2 hozzátartozik, de a 3 nem. (Ezt úgymondjuk, hogy a B intervallum balról zárt, jobbról nyílt.) Jelölése: B = [–2; 3[. Szemléltetése(15. ábra):

c) C is a –2 és a 3 közötti számok halmaza. A 3 hozzátartozik, de a –2 nem. (Azt mondjuk, hogya C intervallum balról nyílt, jobbról zárt.) Jelölése: C = ]–2; 3]. Szemléltetése (16. ábra):

A végtelen jele: 3. Ez nem szám, hanem egy jel. Azt jelenti, hogy minden valós számnál na-gyobb. A –3 a mínusz végtelen jele, a 3 „ellentettje”. Minden valós számnál kisebb. Ez semszám. Sem a 3, sem a –3 nincs rajta a számegyenesen.

16.

15.

14.

A valós számoknak egy részhalmazát intervallumnak nevezzük, az alábbiak szerint:Ha a < x < b, akkor jelölése ]a; b[, elnevezése: nyílt intervallum. Ha a # x < b, akkor jelölése [a; b[, elnevezése: balról zárt, jobbról nyílt intervallum. Ha a < x # b, akkor jelölése ]a; b], elnevezése: balról nyílt, jobbról zárt intervallum. Ha a # x # b, akkor jelölése [a; b], elnevezése: zárt intervallum.

Intervallum

4. példa Jelöljük és szemléltessük számegyenesen a következő halmazokat:a) A = {x | –2 < x < 3, x valós szám}; c) C = {x | –2 < x # 3, x valós szám};b) B = {x | –2 # x < 3, x valós szám}; d) D = {x | –2 # x # 3, x valós szám}!

Intervallum

Nyílt intervallumBalról zárt, jobbról nyílt

intervallumBalról nyílt, jobbról zárt

intervallumZárt intervallum

17102-1_Metematika9_1_ 2015.06.26. 22:42 Page 16


d) A D is a –2 és a 3 közötti számok halmaza, beleértve a –2-t és a 3-at is. (Azt mondjuk, hogya D intervallum zárt.) Jelölése: D = [–2; 3]. Szemléltetése (17. ábra):

Az egyik oldalról zárt, másik oldalról nyílt intervallumokat szokás félig zárt vagy félig nyílt in-tervallumoknak is nevezni.

Megoldása) Az A halmaz a 3-nál kisebb valós számok halmaza. Jelölése: ]–3; 3[. Szemléltetve

(18. ábra):

b) A B halmaz a 3-nál kisebb vagy azzal egyenlő valós számok halmaza. Jelölése: ]–3; 3]. Szem-léltetve (19. ábra):

c) A C halmaz a –2-nél nagyobb valós számok halmazát jelenti. Jelölése: ]–2; 3[. Szemléltetve(20. ábra):

d) A D halmaz a –2-nél nagyobb vagy azzal egyenlő valós számok halmazát jelenti. Jelölése: [–2; 3[. Szemléltetve (21. ábra):

21.

20.

19.

18.

5. példa Szemléltessük a számegyenesen a következő intervallumokat! a) A = {x | x < 3, x valós szám}; b) B = {x | x # 3, x valós szám};c) C = {x | x > –2, x valós szám}; d) D = {x | x $ –2, x valós szám}.

17.

17


17102-1_Metematika9_1_ 2015.06.26. 22:42 Page 17


Ábrázoljuk számegyenesen a következő intervallumokat! a) ]–10; 6]; b) ]–3; 10[; c) ]–3; –5]; d) ]4,5; 3[; e) [–2,25; 7,5]; f) ]–6; 3[.

Adjuk meg és szemléltessük a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát, ha azalaphalmaz A) a természetes számok; B) az egész számok; C) a nemnegatív valós számok hal-maza!a) x < 10; b) –x > 5; c) ; d) 2x < 0.

Az alábbi egyenlőtlenségek alaphalmaza a valós számhalmaz. A megoldáshalmazokatírjuk olyan sorrendben, hogy mindegyik halmaz után következő halmaz részhalmaza legyen neki! a) x2 > 5; b) x – 10 $ 15; c) –x < –10; d) 25 < x; e) .

Írjuk fel az ábrával adott intervallumokat, illetve azt a halmazt, amely azon elemekből áll,amelyek nincsenek az adott halmazban! (22. ábra)

a)

b)

c)

d)

e)

3. Halmazok uniója, metszete

Az általános iskolában már megismerkedtünk a halmazokkal, a halmazok közötti egyszerűbb mű-veletekkel. Most az ezen a téren szerzett ismereteinket fogjuk gazdagítani, elmélyíteni. Mint ké-sőbb látni fogjuk, e műveletek biztos ismerete és alkalmazása sokat segít majd nekünk a későbbialgebrai, függvénytani vagy éppen geometriai tanulmányaink során. A halmazok szemléltetésével,a műveletek alkalmazásával bizonyos nehéznek tűnő logikai feladatok is jóval egyszerűbbé, kezel-hetővé válnak.

Tehát az A , B halmaz tartalmazza mindazokat az elemeket, melyek vagy az A, vagy a B hal-mazba beletartoztak (így természetesen azokat az elemeket is, melyek mindkét halmazba bele-tartoznak).

Két halmaz uniója (vagy más néven egyesítése) az a halmaz, amelynek az elemei mindazokaz elemek, amelyek az A halmaznak vagy a B halmaznak az elemei.Az unió jele: ,. (23. ábra)

Két halmaz uniója (egyesítése)

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

x

0 1

4. K2

2 5x 2-

3. E1

3x $

2. K1

1. K1

Feladatok

18


További feladatok: Matematika gyakorló

és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.

154–157.,164–166.

Az unió jele: U.

23.

22.

Halmazok uniója

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:51 Page 18

MATEMATIKA

Ha például az A halmaz a 10-nél nem nagyobb pozitív páros számok halmaza, a B halmaz pediga 20-nál nem nagyobb pozitív 3-mal osztható számok halmaza, akkor az A , B halmaz elemei:

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18},A , B = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18}.A fenti definícióból egyenesen következnek az unióképzés mint művelet tulajdonságai.

Nyilvánvaló, hogy bármely A halmaz esetében A , A = A, továbbá, ha B 3 A, akkor A , B = A.

Mivel az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, így ebből az is következik, hogy A , Q = A.

Az A + B halmaz tehát olyan halmaz, melynek elemei az A halmazba is és a B halmazba is be-letartoznak.

Ha például az A halmaz a 10-nél nem nagyobb pozitív páros számok halmaza, a B halmazpedig a 20-nál nem nagyobb pozitív 3-mal osztható számok halmaza, akkor az A + B halmaz-nak egyetlen eleme van:

A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {3, 6, 9, 12, 15, 18},A + B = {6}.

Az unióképzéshez hasonlóan:

Bármely A halmaz esetében A + A = A.Ha valamely B halmazra B 3 A, akkor A + B = B. Ebből az is következik, hogy A + Q = Q.Kimutathatók az alábbi halmazazonosságok.

A műveletek alkalmazására nézzünk néhány kidolgozott példát!

MegoldásAz A + B halmaz elemei: A + B = {2, 4}. Így az (A + B) , C halmaz elemei:

(A + B) , C = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 10}.

Az A és B halmaz metszete (más néven közös része) az a halmaz, amelynek az elemei mind-azok az elemek, amelyek az A halmaznak és a B halmaznak is elemei. A metszet jele: +. (24.ábra)

Két halmaz metszete (közös része)

1. példa Adottak az A, B, C halmazok: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}, C = {1, 3, 6, 9, 10}.Határozzuk meg az (A + B) , C halmaz elemeit!

A metszetképzés kommutatív művelet: A + B = B + A.A metszetképzés asszociatív művelet: A + (B + C) = (A + B) + C.

Az unióképzés kommutatív (felcserélhető) művelet: A , B = B , A.Az unióképzés asszociatív (csoportosítható) művelet: A , (B , C) = (A , B) , C.

I . H A L M A Z O K 19


Az unió a metszetre nézve disztributív művelet, azazA , (B + C) = (A , B) + (A , C). (25. ábra)A metszet az unióra nézve disztributív, azazA + (B , C) = (A + B) , (A + C). (26. ábra)

A , B = B , AA , (B , C) = (A , B) , C

A metszet jele: +

A + B = B + AA + (B + C) = (A + B) + C

A , (B + C) = (A , B) + (A , C)

A + (B , C) = (A + B) , (A + C)

24.

25.

26.

A B

C

A B

C

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:52 Page 19


MegoldásÉrdemes mindhárom halmazt egy számegyenesen szemléltetni, majd onnan leolvasni a háromhalmaz közös részét. (27. ábra)

Az ábra alapján A + B + C = {–2 # x # –1 vagy 1 # x < 3}.

MegoldásAz (A , C ) + B halmaz elemei: (A , C ) + B = {1, 2, 4, 8}. (28. ábra)

Egy sporttagozatos osztály létszáma 24 fő. Az osztályban mindenki atletizál vagy kosárlabdá-zik. 16-an atletizálnak, 14-en kosaraznak. Hány olyan tanuló van az osztályban, aki csak kosarazik?

Egy osztály minden tanulója elment a tanév három iskolai koncertjének valamelyikére. Azelső koncerten 12-en voltak, a második koncerten ugyancsak 12-en vettek részt, a harmadikkoncerten pedig 13-an. Mindhárom koncerten 3 diák vett részt. Azok száma, akik csak egy kon-certen voltak: 14. Mennyi az osztálylétszám?

Legyen A halmaz a 2-vel, B halmaz a 3-mal, C halmaz a 4-gyel osztható számok halmaza.Készítsünk halmazábrát, és helyezzük el benne a következő számokat: 0, 4, 6, 8, 12, 15, 18, 27, 162, 300!

Adjunk meg 5 halmazt úgy, hogy közülük bármely 4-nek a metszete ne legyen az üreshalmaz, de az öt halmaz metszete az üres halmaz legyen!

Egy zeneiskola egyik évfolyamának 56 diákja hegedülni, zongorázni vagy csellózni tanul.(Mindenki játszik valamelyik hangszeren.) Azok száma, akik pontosan két hangszeren játszanak,négyszer, akik pedig pontosan egy hangszeren játszanak, kilencszer annyi, mint azok száma,akik mindhárom hangszeren játszanak. Hányan vannak azok, akik csak egy hangszeren játszanak?

Az iskolai túraszakosztály mind a 42 tagja részt vett az idei három túra valamelyikén. A második kiránduláson 1-gyel, a harmadikon pedig 5-tel többen vettek részt, mint az elsőn.Azok száma, akik két túrán vettek részt, 3-szor, akik pedig egy túrán vettek részt, 10-szer annyi,mint azok száma, akik mindhárom túrán részt vettek. Hányan vettek részt az első, a második, il-letve a harmadik kiránduláson?

27.

6. E1

5. K2

4. E1

3. K2

2. K1

1. K1

Feladatok

3. példa Legyen A halmaz a 24 pozitív osztóinak a halmaza, B halmaz a 32 pozitív osztóinaka halmaza, C halmaz pedig a 36 pozitív osztóinak a halmaza. Készítsünk halmazábrát, és ha-tározzuk meg az (A , C ) + B halmaz elemeit!

2. példa Legyen A halmaz azon x valós számoknak a halmaza, melyekre –2 # x # 4, a B hal-maz azoknak az x valós számoknak a halmaza, melyekre | x | $ 1, végül a C halmaz azon xvalós számoknak a halmaza, melyekre x < 3. Határozzuk meg az A + B + C halmaz elemeit!

20


28.

A B

C

21 43 612

24 3216

18 369

8

17102-1_Metematika9_1_ 2015.05.11. 19:52 Page 20

Documents

Jelmagyarázattankonyvkatalogus.hu/pdf/NT-17102_1__betekinto.pdfajánlunk, amelyeket a kiadó MATEMATIKA Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény családjából