HSG_Mathe1_Ordner_Issu

UNISEMINAR

Sem

inar

Theorie

Aufgaben

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Einleitung

Mathematik I

Assessment

St.Gallen, September 2012

Einleitung uniseminar.ch

Herzlich Willkommen bei Uniseminar

Vorwort

Ziel von Uniseminar ist es, Dich optimal auf Deine Prüfungen vorzubereiten und Deine Prü-fungsvorbereitung an der HSG so effizient wie möglich zu gestalten. Um dieses Ziel zu erreichen,haben wir ein dreiteiliges Konzept entwickelt, das sich nun mehrere Jahre als grosse Hilfe fürdie Studenten bewährt hat. Dieses besteht zum einen aus sehr umfangreichen Lernunterla-gen in Form eines Ordners, perfekt darauf abgestimmten Karteikarten und dazu passendenPrüfungsvorbereitungsseminaren am Ende des Semesters. Damit werden sämtliche Inhalte ausden Vorlesungen und Übungen in einfacher und anschaulicher Form kompakt zusammengefasst.

Gleich zu Beginn des Semesters bieten wir Dir deshalb unsere umfangreichen Lernunterlagenin Form eines Ordners und perfekt darauf abgestimmten Karteikarten an. Diese beiden Lehr-mittel solltest Du im Selbststudium bereits während des Semesters begleitend zur Vorlesungverwenden.

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir zur gezielten Prüfungsvorbereitung unsere Seminarezu besuchen, wo wir Dir in acht Stunden nochmals die essentiellsten Aufgaben und Konzeptenäherbringen und Dich so optimal auf Deine Prüfungen vorbereiten. Dieser dreiteilige Ansatzermöglicht Dir mit einer ausgewogenen Mischung verschiedener auf einander abgestimmter Me-dien Deinen Lernerfolg nachhaltig zu verbessern.

-1-


Über uns

Uniseminar ist vor 5 Jahren von zwei HSG Studenten und zwei Doktoranden der ETH gegrün-det worden, um die Prüfungsvorbereitung einfacher, effizienter und verständlicher zu gestalten.Seit 2005 sind wir nun an der Universität St. Gallen aktiv und wissen aus eigener Erfahrungwie anspruchsvoll das Assessmentjahr sein kann.

Das Team von Uniseminar ist über die Jahre stark gewachsen und besteht mittlerweile unteranderem aus zahlreichen Mathematikern der ETH, Statistikern der University of Cambridge,Betriebsökonomen der HSG, Volkswirtschaftern der Universität Zürich als auch der LondonSchool of Economics (LSE), die allesamt grosse didaktische und fachspezifische Erfahrung mitsich bringen. Alle Dozenten von Uniseminar haben an diversen europäischen, als auch amerika-nischen Universitäten langjährige Unterrichtserfahrung in ihrem Fach gesammelt und könnenDich deshalb in den Seminaren optimal bei Deiner Prüfungsvorbereitung unterstützen.

Die Macher von Uniseminar haben alle vor kurzem selbst noch studiert und wissen deshalbüber das Studentenleben und die Prüfungsvorbereitung bestens Bescheid. Zudem haben wiralle grosse Freude am unterrichten und wollen Dir auf angenehme Weise die teilweise etwaskomplizierte und trockene Materie so näher bringen, dass Lernen auf einmal Spass macht!

Unterlagen

Sämtliche Unterlagen von Uniseminar werden ausschliesslich von qualifizierten Doktorandenerstellt, die selbst im jeweiligen Fachgebiet doktorieren und damit über grosse Erfahrung undExpertise verfügen. Dadurch kann eine hohe didaktische Qualität der Skripte garantiert werden.

Alle unsere Unterlagen werden zudem jedes Semester in enger Zusammenarbeit mit Studie-renden überarbeitet, die zur Zeit die Vorlesung an der HSG vor Ort besuchen. Damit könnenwir Dir garantieren, dass Dir stets der aktuellste Stoff in unseren Unterlagen und Seminarenvorgelegt wird! Es wird dabei genau auf diejenigen Schwerpunkte eingegangen, welche den Prio-ritäten der Professoren entsprechen. Das vorliegende Mathematik Skript ist deshalb optimal aufdie Vorlesungen und Übungen abgestimmt und enthält alle prüfungsrelevanten Materialien fürDeine Prüfung an der HSG.

Ebenfalls ist es seit jeher unser hartnäckig verfolgtes Ziel alle unsere Unterlagen laufend zuverbessern und perfekt an den relevanten Prüfungsstoff anzupassen. Damit ist Dir eine optimaleKlausurvorbereitung garantiert! Die Aktualität der Unterlagen ist uns ein grosses Anliegen: Wirwollen, dass Du genau das lernst, und wirklich nur das, was an den Prüfungen schliesslich auchdran kommt. Weder zu viel noch zu wenig!

-2-


Karteikarten

Die Karteikarten von Uniseminar decken in Kombination mit unserem Ordner den gesamtenprüfungsrelevanten Stoff ab und helfen Dir Dein theoretisches wie auch praktisches Wissen derwichtigsten Themen, Begriffe und Zusammenhänge in Mathematik prüfungsorientiert zu un-terstützen. Um dies zu gewährleisten, haben wir eine Vielfalt von Fragentypen entwickelt, dieDein inhaltliches Verständnis umfassend abrunden und verbessern.

Die Karteikarten enthalten zum einen die wichtigsten Definitionen, Vorgehensweisen und For-meln. Zum anderen haben wir Dir aber auch relevante Verständnisfragen und kurze Rechen-aufgaben erstellt um Dein erlerntes Wissen selbstständig und umfassend abzufragen. Denn ander Prüfung musst Du nicht nur wichtige Formeln auswendig können, sondern die Thematikumfassend verstehen. Formeln, die an der Prüfung ausgeteilt werden, sind deshalb in den Kar-teikarten konsequenterweise nicht enthalten.

Ziel ist es folglich, den kompletten „prüfungsrelevanten“ Lehrstoff in Mathematik auf möglichstkompakte Art und Weise auf Karteikarten zusammenzufassen, sodass Du Dich in kurzer Zeiteffizient auf die Prüfungen vorbereiten kannst. Lerne also gleichzeitig mit dem Ordner und denKarteikarten von Uniseminar um optimal auf die Prüfungen vorbereitet zu sein.

Seminare

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. AlleDozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen Universitäten und wissendeshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studierenden auftreten können.

Oberstes Ziel unserer Seminare ist es den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich und verständlichin zwei vierstündigen Seminarblöcken zu vermitteln. Zuerst werden die wichtigsten mathema-tischen Grundlagen und Themen der Vorlesung besprochen, um danach auf die häufigst auftre-tenden Aufgabentypen einzugehen und geeignete Vorgehensweisen an der Prüfung zu erklären.

Während den Seminaren werden zu 30% theoretische Vorlesungsinhalte behandelt und Grund-kenntnisse erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zu bearbeitenund effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen. Es wird somit in den Seminaren zuerst eintheoretisches Fundament gelegt, da grundlegende theoretische Kenntnisse beim Lösen von Prü-fungsaufgaben von grosser Bedeutung sind.

Es ist also unser Ziel nicht nur den prüfungsrelevanten Stoff anschaulich zu erklären, sondernauch theoretische Kenntnisse zu vermitteln, die nötig sind, um fachliche Zusammenhänge auchwirklich zu verstehen. Theoretische Zusammenhänge erscheinen auf den ersten Blick komplex,

-3-


dennoch sind sie bis zu einem gewissen Grade nötig um Prüfungsaufgaben selbstständig zulösen. Wir sehen es als unsere Aufgabe Dir den nötigen Grad an theoretischem Wissen aufmöglichst einfache und kompakte Weise aufzuzeigen und Dir anzueignen. Mit dem richtigenMass an Theorie wird Dir das Lösen der Prüfungsaufgaben viel leichter fallen!

In unseren Seminaren erlernst du somit einfache theoretische Grundkenntnisse, um spezifischeAufgabentypen zu lösen, die an der Prüfung mit grosser Wahrscheinlichkeit erscheinen werden.

-4-


Aufbau

Dieser Ordner soll Dir als Lernhilfe zur e�zienten Prüfungsvorbereitung der Mathematikprü-

fungen dienen und umfasst 5 Teile. Wir möchten Dir im Folgenden einen Überblick über den

Aufbau des Ordners geben.

1. Theorie: Das Theorieskript fasst in einfacher und übersichtlicher Form den gesamten

Sto� des 1. Semesters 2012/2013 zusammen und erklärt diesen anhand anschaulicher

Beispiele. Am Ende �ndest Du ein Stichwortverzeichnis, welches Dir bei allfälligen Fra-

gen schnellstmöglichst Zugri� auf das erforderliche Wissen verscha�t. Das Theorieskript

umfasst 5 Kapitel, die im Seminar der Reihe nach bearbeitet werden.

2. Aufgaben: Zu allen Kapiteln in unserem Theorieskript haben wir abgestimmte Übungs-

aufgaben erstellt. Wir empfehlen Dir diese Aufgaben gleich nach den erfolgten Seminar-

blöcken zu lösen, um anschliessend Fragen an unsere Dozenten stellen zu können. Diese

sind gerne während den Pausen und auch nach den o�ziellen Seminarstunden für Dich

da, um Dir bei Deinen persönlichen Problembereichen weiterzuhelfen.

3. Übungen: In den vergangenen Jahren hat es sich gezeigt, dass die Übungsserien der Uni-

versität St.Gallen (HSG) zunehmend wichtiger für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung

geworden sind. Die Mathematik Professoren haben die aktuellsten Prüfungsaufgaben ver-

mehrt unter Berücksichtigung der Serien konzipiert. Der Grund dafür liegt darin, dass die

Anwesenheit der Studenten während der Übungen sich lohnen und auszahlen soll. Aus

diesem Grund haben wir Dir sämtliche Aufgaben, alle Zusatzaufgaben und alle Ergän-

zungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

4. Prüfungen: Beginne früh damit bisherige Prüfungen zu lösen, denn nur so gewinnst Du

das nötige Verständnis für deren Aufbau. Du wirst erkennen, was für die Prüfung relevant

ist und kannst Dich gezielt darauf vorbereiten. Dazu haben wir Dir alle verfügbaren

Assessment-Prüfungen mit ausführlichen Lösungswegen zusammengestellt.

5. Extras: Hier �ndest du die aktuellste Formelsammlung. Schau Dir die Formelsammlung

gut an und merke Dir die wichtigsten Formeln! Gewisse Formeln werden an der Prüfung

nämlich �als bekannt vorausgesetzt� und andere werden Dir an der Prüfung ausgeteilt.

Keine Angst, Du musst nicht viel auswendig lernen.

-5-


Vorgehensweise

Wir empfehlen Dir mit dem Ordner und den Karteikarten wie folgt schrittweise vorzugehen umeinen perfekten Lernerfolg zu erzielen:

1. Theorie: Lies als erstes ein Theoriekapitel aufmerksam durch und versuche die theoreti-schen Inhalte zu verstehen.

2. Prüfungen: Mit Deinem aktuellen theoretischen Wissensstand kannst Du nun ideal aus-gewählte Prüfungsaufgaben lösen. So siehst Du gleich was Dich an der Prüfung erwartetund kannst Dich bereits jetzt perfekt darauf einstellen. Dazu haben wir Dir am Ende vonjedem Theoriekapitel einige ausgewählte Prüfungsaufgaben zusammengestellt, die sich aufdas soeben behandelte Thema beziehen.

3. Karteikarten: Schaue Dir anschliessend die passenden Karteikarten an, welche wir Diram Ende des Theoriekapitels empfehlen und versuche die wichtigsten Punkte zu memo-rieren. Die Karteikarten runden Dein bereits erlerntes Wissen perfekt ab und zeigen Dirauf, wo du allenfalls noch Schwächen hast.

4. Aufgaben: Löse nun einige oder am besten alle unsere eigens erstellten Aufgaben passendzum soeben gelesenen Theoriekapitel komplett durch. Diese umfassen exakt den in diesemTheoriekapitel erlernten Stoff. So siehst Du gleich, an welchen Stellen Du allenfalls einTheoriekapitel nochmals gründlicher durchlesen solltest.

5. Mache eine Pause und beginne danach wieder mit einem weiteren Theoriekapitel.

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Seminar

Mathematik I

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Seminar uniseminar.ch

Ziel und Inhalt

Am Ende des Semesters empfehlen wir Dir unsere gezielten Prüfungsvorbereitungsseminare zubesuchen. In zwei vierstündigen Seminarblöcken zeigen wir Dir dabei welche Themen für daserfolgreiche Bestehen Deiner Prüfung essentiell sind und erarbeiten mit Dir gemeinsam effizi-ente Strategien um die spezifischen Aufgabentypen gezielt anzugehen. Dabei wird Dir nur dasAllerwichtigste an Theorie kurz und prägnant erklärt und repetiert. Der Fokus des Seminarsliegt im Lösen alter Prüfungsaufgaben wobei wir Dir mit strukturierten Vorgehensweisen einenzielgerichteten Ansatz aufzeigen, wie Du die Prüfung optimal lösen kannst.

Während dem Seminar werden deshalb zu 30% Grundkenntnisse und theoretische Vorlesungs-inhalte behandelt und erarbeitet. 70% der Zeit nehmen wir uns, um reale Prüfungsaufgaben zubearbeiten und effiziente Prüfungsstrategien zu besprechen.

Unsere erfahrenen Dozenten zeigen Dir auch wichtige Tipps und Tricks um Deine Prüfungs-chancen zu optimieren. In den Pausen und nach Seminarende hast Du zudem die Möglichkeit,den Dozenten individuelle Fragen zu stellen, um letzte Unklarheiten zu klären.

Unterlagen

Die Seminarunterlagen werden entweder auf unserer Homepage www.uniseminar.ch unter „MeinAccount“ online bereitgestellt oder im Seminar vor Ort ausgeteilt. Sobald Du Dich für dasSeminar angemeldet hast, wirst Du rechtzeitig informiert, wenn die Unterlagen für Dich zurVerfügung stehen.

Seminarleitung

Sämtliche Kurse von Uniseminar werden von erfahrenen Doktoranden geleitet und betreut. Al-le Dozenten verfügen über langjährige Unterrichtserfahrung an diversen schweizerischen undeuropäischen Universitäten und wissen deshalb genau Bescheid, wo Probleme bei den Studie-renden auftreten können. Weitere Infos zu Deinem persönlichen Seminarleiter und zu unserenDozenten im Allgemeinen findest Du auf unserer Webseite www.uniseminar.ch in der Rubrik„Über uns“.

Anmeldung

Unter www.uniseminar.ch kannst Du Dich jederzeit für die Seminare anmelden.

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Notizen uniseminar.ch

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Mathematik I

Assessment


Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 11.1 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Funktionen 122.1 De�nitionsbereich, Wertebereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Grenzwerte (Limes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Ableitungen 273.1 De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Ableitungen wichtiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Erkenntnisse anhand der Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4.2 Krümmung und Konvexität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.3 Extremalstellen (Minimum, Maximum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Anwendung in der Ökonomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Approximation mit Hilfe des Taylorpolynoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Folgen und Reihen 424.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Anwendungen in der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Funktionen mit mehreren Variablen 505.1 De�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Das totale Di�erential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.6 Niveaulinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.7 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Stichwortverzeichnis 62

{�3, 5}

(�3, 5)

[�3, 5]

N = {0, 1, 2, 3, . . .}

R

R+

R+0

2

{x 2 R | x } x (2) R (|) x

A [ B A B

A \ B A B

A\B A B

)

.

=

f � g f(g(x)) f · g = f(x) · g(x)

nPk=1

a

k

a1 + a2 + a3 + . . .+ a

n

a1 a

n

nQk=1

a

k

a1 · a2 · a3 · . . . · an a1 a

n

[�3, 5] [ [5, 8] = [�3, 8] {x 2 R | 0 < x < 6} = (0, 6)

•!

• |...|1

2

• ln 0

•

•

1

2010

2008

2004

2007

2 14 29

3 1

• sin(x) D = R W = [�1, 1]

• cos(x) D = R W = [�1, 1]

f(x) f(x) x

f(x) = 0

f(x) = ln(x� 2)

ln(x� 2) = 0 | e

···

x� 2 = e

0= 1

x = 3

f(x) x0 f(x)

m �x

m ⇡ f(x0 +�x)� f(x0)

�x

.

�x ! 0

m = lim

�x!0

f(x0 +�x)� f(x0)

�x

.

x0

f

0(x) = lim

�x!0

f(x+�x)� f(x)

�x

.

x1 < x2 f

f(x1) < f(x2)

f(x) = e

x

f(x1) > f(x2)

f(x) = �x

3

f(x1) f(x2)

f(x) = bxcx

f(x1) � f(x2)

f(x) =

(x

2 � 2x+ 2 x 1

1

• K0 p n K

n

q = 1 + p

K

n

= K0 · (1 + p)

n

K1 = K0 + p ·K0 = K0(1 + p)

K2 = K1 + p ·K1 = K1(1 + p) = K0(1 + p)(1 + p) = K0(1 + p)

2

K3 = K2 + p ·K2 = . . . = K0(1 + p)

3

n K

n

= K

n�1 + p ·Kn�1 = . . . = K0(1 + p)

n

p = 3% p = 0.03

p = 3

• S0

S

n

S0 =S

n

(1 + p)

n

• A

k

E

k

k

p

B0

B0 =

nX

k=0

E

k

(1 + p)

k

�nX

k=0

A

k

(1 + p)

k

B0 > 0 p

B0(p) > 0 p

p � 0

B0,I = 200 +

100(1+p)2

B0,II = 100 +

221(1+p)2

100 +

221

(1 + p)

2> 200 +

100

(1 + p)

2

121

(1 + p)

2> 100

121

100

> (1 + p)

2

1 + p <

r121

100

1 + p <

11

10

p <

11

10

� 1 =

1

10

p < 10%

B0 p

A0 = 50

0000, E10 = 90

0000

B0(p) = � =

90

0000

(1 + p)

10� 50

0000

f(x, y) x, y

x y

z f(x, y) = z f (x, y)

z (x, y, f(x, y))

xy

x y

f(x, y) = x

3+ xy

2

• x f x

@f

@x

= f

x

= 3x

2+ y

2

• y f y

@f

@y

= f

y

= 2xy

f

xx

= 6x f

yy

= 2x f

xy

= f

yx

= 2y

f(x, y)

f(x, y) = z0

z0 xy

xy

f x dx y dy

0 = df = f

x

dx+ f

y

dy

f(x, y) = z0

f

x

dx = �f

y

dy

dy

dx

= �f

x

f

y

y

f(x, y)

dy

dx

= �f

x

f

y

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A

Aufgaben

Mathematik I

Assessment


Inhaltsverzeichnis

Grundlagen 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Funktionen 16

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Ableitungen 29

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Folgen und Reihen 50

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Funktionen mit mehreren Variablen 63

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Funktionen: Aufgaben uniseminar.ch

2. Kapitel: Funktionen

1. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche und Wertebereiche folgender Funktionen:

(a) f(x) = sin(x)� 3,

(b) g(x) =

34�x

,

(c) h(x) = ln(5� e

x

),

(d) i(x) = x

2 � 8x+ 19

2. Bestimmen Sie die Nullstellen folgender Funktionen:

(a) f(x) =

34x� 3,

(b) g(x) = x

2 � 11x+ 30,

(c) h(x) = ln (x

2)� 4

3. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke.

ln

✓3

2

◆, ln (2x+ 1) , ln

�e

3�, ln

✓x

2 · ey

4x� 3

◆

4. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen.

(a)pe

(x2)+ 4 für x > 2,

(b) ln(x

3 � 4) für x

3> 4,

(c) x�42x für x 6= 0,

(d) ln

⇣e

x

2+ 2

⌘für x > 0

5. Berechnen Sie für die folgenden Funktionen die Grenzwerte für x ! ±1 und gegebenfalls

für die Definitionslücken.

(a) f(x) =

13x ,

(b) g(x) =

x

2�4x�2 ,

(c) h(x) =

x

2�3x+4x

5�x

3+5x ,

(d) i(x) =

x

2�7x+123x2�27

6. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte.

-3-

Folgen und Reihen: Aufgaben uniseminar.ch

4. Kapitel: Folgen und Reihen

1. Schreiben Sie die ersten 5 Folgeglieder auf. Welche Folge ist geometrisch?

a

n

= a

n�1 + 4, a0 = �5

b

n

� 2b

n�1 = 7, b0 = 0

c

n

+ c

3n�1 = 1, c0 = 1

d

n

= 5 · dn�1, d0 = 3

2. Gegeben sei eine geometrische Folge mit a1 = 2 und a4 =227 . Berechnen Sie a7 und geben

Sie das kleinstmögliche n 2 N an, für welches a

n

11000000 gilt.

3. Bestimmen Sie den Grenzwert für n ! 1 der Folge�1 +

3n

�n.

4. Bestimmen Sie den Grenzwert für n ! 1 der Folge�1 +

0.05n

�20n.

5. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge a

n

=

(�3)

n

+ 4

n+1

2

n+2+ 4

n

.

6. Bestimme, ob die Folge beschränkt, monoton wachsend, monoton fallend und/oder kon-

vergent ist.

a

n

= 2n

2, b

n

= (�n)

3, c

n

=

1

n

2

7. Bestimmen Sie die Werte folgender geometrischen Reihen

12X

r=0

✓1

2

◆r

,

15X

m=0

2 · 3n,1X

n=0

3

5

n

,

1X

i=0

2 · 4n,1X

k=1

1

2

n

8. Herr Fischer möchte sich in 4 Jahren ein neues Auto kaufen, welches dann CHF 30’000.-

kosten wird. Er will bereits heute damit beginnen, sein Geld dafür anzulegen. Welchen

Betrag muss er auf seinem Sparkonto deponieren, wenn er mit einer Verzinsung von 6%

rechnen kann?

9. Berechnen Sie die Barwerte der folgenden Zahlungen in Abhängigkeit vom Zinssatz p.Variante I: CHF 100.- heute sowie CHF 300.- in 10 Jahren

Variante II: CHF 300.- in einem Jahr

Welche Variante wählen Sie, falls p = 5% ist?

10. Berechnen Sie die Barwerte der folgenden Auszahlungen

-8-

Grundlagen: Lösungen uniseminar.ch

4. (a) Berechnen Sie y:

Lösung:

2y + 3x� 4 = 5x

2+ sin(x)� 7y |+ 7y � 3x+ 4

9y = 5x

2+ sin(x)� 3x+ 4 | ÷ 9

y =

5x2+sin(x)�3x+49

3y � 4(x+ 3y � xy) + z

2 �px = 5y + 3x

3y � 4x� 12y + 4xy + z

2 �px = 5y + 3x

�9y � 4x+ 4xy + z

2 �px = 5y + 3x |+ 4x� z

2+

px� 5y

�14y + 4xy = 7x� z

2+

px

(�14 + 4x) · y = 7x� z

2+

px | ÷ (�14 + 4x) ausser für x =

144

y =

7x�z

2+px

4x�14

Falls x =

144 =

72 gilt, so lautet die zweitletzte Zeile 0 · y = 7 · 7

2 � z

2+

q72 . Daraus folgt

z

2=

492 +

q72 und y kann beliebig gewählt werden.

(b) Berechnen Sie x:

Lösung:

4x

2+ 3x� 5 = 2 |� 2

4x

2+ 3x� 7 = 0

x1,2 =�3±

p9� 4 · 4 · (�7)

2 · 4

=

�3±p121

8

=

�3± 11

8

x1 = 1 x2 = �14

8

= �7

4

Einsetzen der beiden Resultate in die erste Gleichung bestätigt, dass keine der Lösungen ge-strichen werden muss.

-19-

Grundlagen: Lösungen uniseminar.ch

5. Berechnen Sie x.

Lösung: (x+ 2)(3x� 9) = 0 ) (x+ 2) = 0 oder (3x� 9) = 0 ) x 2 {�2, 3}.

|2x+ 5| = 4 )(

2x+ 5 = 4 ) 2x = �1 ) x = �12

�(2x+ 5) = 4 ) �2x� 5 = 4 ) x = �92

Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 {�1

2

,�9

2

}.

|x2 � 26| = 10 )(

x

2 � 26 = 10 ) x

2= 36 ) x = ±6

�(x

2 � 26) = 10 ) �x

2= �16 ) x = ±4

Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 {±6,±4}.

|x2+ x� 1| = 1 )

(x

2+ x� 1 = 1 ) x

2+ x� 2 = 0 ) x 2 {�2, 1}

�(x

2+ x� 1) = 1 ) �x

2 � x = 0 ) x 2 {0,�1}Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 {�2,�1, 0, 1}.

|x+ y � 5| = 7 )(

x+ y � 5 = 7 ) x = �y + 12

�(x+ y � 5) = 7 ) �x� y + 5 = 7 ) x = �y � 2

Insgesamt erhalten wir die Lösung x 2 {12� y,�2� y}.

-21-

Funktionen: Lösungen uniseminar.ch

2. Kapitel: Funktionen

1. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche und Wertebereiche folgender Funktionen:

(a) f(x) = sin(x)� 3

Lösung: f(x) hat den Definitionsbereich D = R, da dasselbe für sin(x) gilt.

�1 < x < +1 , �1 sin(x) +1 , �4 sin(x)� 3 �2

Somit ist der Wertebereich W = [�4,�2].

(b) g(x) =

34�x

Lösung: Damit g(x) definiert ist, muss der Nenner 4� x 6= 0, das heisst x 6= 4 sein. Also istD = R\{4}.Für den Wertebereich bemerke zuerst, dass 1

x

den Wertebereich R/{0} hat. Da 4� x jede Zahlannehmen kann, muss auch 1

4�x

den Wertebereich R/{0} haben. Multiplizieren mit 3 ergibt3

4�x

. Dies verändert den Wertebereich nicht. Somit gilt W = R/{0}.

(c) h(x) = ln(5� e

x

)

Lösung: Diese Funktion ist für diejenigen x definiert, welche 5 � e

x

> 0, also 5 > e

x oderln(5) > x erfüllen. Der Definitionsbereich ist somit D = {x 2 R | x < ln(5)}.

�1 < x < ln(5) , 0 < e

x

< e

ln(5)= 5 , �5 < �e

x

< 0 , 0 < 5� e

x

< 5

, �1 < ln(5� e

x

) < ln(5)

Also ist W = (�1, ln(5)) = D.

(d) i(x) = x

2 � 8x+ 19

Lösung: Der Definitionsbereich ist gegeben durch W = R.Für den Wertebereich bemerke zuerst, dass lim

x!±1i(x) = 1. Die untere Grenze beim Wertebe-

reich ist durch das Minimum der Funktion gegeben. Wir erhalten für die Ableitung i

0(x) = 2x�8

und somit haben wir ein Minimum bei x = 4. Da i(4) = 4

2�32+19 = 3 erhalten wir: W = [4,1)

-26-

Funktionen: Lösungen uniseminar.ch

lim

x!+1

x

2 � 3x+ 4

x

5 � x

3+ 5x

= lim

x!+1

1x

3 � 3

1x

4 + 4

1x

5

1� 1x

2 + 5

1x

4

=

lim

x!+11x

3 � lim

x!+13

1x

4 + lim

x!+14

1x

5

lim

x!+11� lim

x!+11x

2 + lim

x!+15

1x

4

=

0

1

= 0

lim

x!�1

x

2 � 3x+ 4

x

5 � x

3+ 5x

= lim

x!�1

1x

3 � 3

1x

4 + 4

1x

5

1� 1x

2 + 5

1x

4

=

lim

x!�11x

3 � lim

x!�13

1x

4 + lim

x!�14

1x

5

lim

x!�11� lim

x!�11x

2 + lim

x!�15

1x

4

=

0

1

= 0

lim

x!0+

x

2 � 3x+ 4

x(x

4 � x

2+ 5)

=

lim

x!0+(x

2 � 3x+ 4)

lim

x!0+x lim

x!0+(x

4 � x

2+ 5)

=

4

0 · 5 = 1

lim

x!0�

x

2 � 3x+ 4

x(x

4 � x

2+ 5)

=

lim

x!0�(x

2 � 3x+ 4)

lim

x!0�x lim

x!0�(x

4 � x

2+ 5)

=

4

�0 · 5 = �1

(d) i(x) =

x

2�7x+123x2+27 hat keine Definitionslücken.

lim

x!±1

x

2 � 7x+ 12

3x

2+ 27

= lim

x!±1

1� 7x

+

12x

2

3 +

27x

2

=

lim

x!±11� lim

x!±17x

+ lim

x!±112x

2

lim

x!±13 + lim

x!±127x

2

=

1� 0 + 0

3 + 0

=

1

3

-32-

Funktionen mit mehreren Variablen: Lösungen uniseminar.ch

b) Einsetzen der Werte für a, b und c und Umformen liefert für die erste Kurve

4x

2 � 12x+ y

2= �4

4(x

2 � 3x) + y

2= �4

4

✓(x� 3

2

)

2 � 9

4

◆+ y

2= �4

4(x� 3

2

)

2 � 4 · 94

+ y

2= �4

4(x� 3

2

)

2+ y

2= 5 | : 5

4(x� 32)

2

5

+

y

2

5

= 1

(x� 32)

2

54

+

y

2

5

= 1

(x� 32)

2

(

p52 )

2+

y

2

(

p5)

2= 1,

also ist die erste Kurve eine Ellipse mit Zentrum (

32 , 0) und Halbachsen a =

p5

2

und

b =

p5. Für die zweite Kurve folgt

y

2

2

� x

2 � 1 = 0

y

2

(

p2)

2� x

2

1

2= 1,

also ist die zweite Kurve eine Hyperbel mit Parametern a = 1 und b =

p2.

-87-

Übu

ngen

Prüfung

enExtras

Ü

Übungen

Mathematik I

Assessment


Inhaltsverzeichnis

Serie 1 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Lösungen der Zusatzaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Lösungen der Ergänzungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Serie 2 20

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20




Serie 3 47

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47




Serie 4 69

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69




Serie 5 96

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96




Serie 6 127

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127





Einleitung

In diesem Kapitel findest Du die aktuellen Aufgaben, Zusatzaufgaben und Ergänzungsaufgabenaller Übungsserien 2011/2012 der Universität St. Gallen (HSG) sehr ausführlich und anschau-lich vorgelöst. Jeder Schritt wird klar aufgezeigt, so dass bei Schwierigkeiten die Lösung durcheinen detaillierten Lösungsweg nachvollziehbar wird und Fragen selbsterklärend beantwortetwerden. Zudem haben wir Dir die meisten Übungen mit anschaulichen Grafiken versehen, sodass Du Dir die Aufgaben auch bildlich vorstellen kannst und besser verstehst.

Es hat sich gezeigt, dass diese Übungen für eine erfolgreiche Klausur von grosser Wichtigkeitsind, denn die Professoren möchten, dass sich der Besuch der Übungen an der Universität fürdie Studenten auch auszahlt. Am Besten nimmst Du den Ordner gleich in die Übungen ander Uni mit, damit Du persönliche Ergänzungen und Kommentare der Übungsleiter notierenkannst.

Seminar

Diese Aufgaben werden teilweise im Seminar behandelt, da immer wieder ähnliche Aufgabenan der Prüfung erscheinen. Dabei werden aber eher die schwierigen Aufgabentypen im Seminarbesprochen, denn die einfacheren kannst Du auch selbst zuhause lösen.

Anweisungen

Schaue Dir diese Serien gut an, denn neben den alten Prüfungen ist das Verständnis der Seri-en eine wichtige Voraussetzung, um die Prüfung erfolgreich zu meistern. Es hat sich nämlichgezeigt, dass in den letzten Jahren vermehrt ähnliche Aufgaben in den aktuellen Prüfungenerschienen sind. Löse diese Übungen entweder gleich während des Semesters oder vor den Prü-fungen mindestens einmal gründlich durch. Gerne kannst Du zu diesen Übungen auch Fragenim Seminar an unsere Dozenten stellen, um letzte Unklarheiten vor der Prüfung aus dem Wegzu räumen.

Fragen

Sobald bei Dir während dem Lernen eine Frage auftritt, kannst Du diese Frage auf unsererHomepage www.uniseminar.ch unter „Mein Account“ in der Rubrik „Meine Fragen“ erfassen.Deine Fragen werden dann gesammelt und dem Dozenten weitergeleitet. Durch Deine Fragenkönnen wir uns ein gutes Bild davon machen, wo Deine grössten Schwierigkeiten liegen undsomit während dem Seminar diese Punkte vertiefter behandeln. Je öfter Du Deine Fragen aufunserer Homepage erfasst, desto genauer können wir das Seminar an Deinen Problembereichenausrichten.

Lösungen zur Serie 1: Aufgaben uniseminar.ch

Lösungen zur Serie 1

Aufgaben

A1) Welche der nachfolgenden Zahlenfolgen sind monoton? beschränkt? konvergent (Grenz-wert)?

a) a

n

= 2 + (

4

3

)

n

Lösung: an

ist streng monoton wachsend, nicht beschränkt und divergent.

Begründung: an

ist streng monoton wachsend (an

< a

n+1

), denn

a

n+1

� a

n

=

h2 +

⇣4

3

⌘n+1

i�

h2 +

⇣4

3

⌘n

i

=

⇣4

3

⌘n+1

�⇣4

3

⌘n

=

⇣4

3

⌘n

·h4

3

� 1

i

=

⇣4

3

⌘n

· 13

> 0

Da lim

n!12 +

�4

3

�n

= 2 + lim

n!1

�4

3

�n

= 1, divergiert die Folge und ist nicht beschränkt.

-28-


A7) Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen den Definitionsbereich und stellen Sie diesengraphisch dar:

a) f(x, y) =

p(x+ 4)(y + 5)

(x+ 4)(y + 5) � 0

1. (x+ 4) � 0 (y + 5) � 0 ) D1

= {x � �4; y � �5}

2. (x+ 4) 0 (y + 5) 0 ) D2

= {x �4; y �5}

) D = D1

[ D2

-113-


b) g(x, y) = ln(9� x

2 � y

2

)

9� x

2 � y

2

> 0 |+ x

2

+ y

2

9 > x

2

+ y

2

) D = {(x, y) 2 R2|x2

+ y

2

< 9}

Dies ist das Innere eines Kreises mit Mittelpunkt (0, 0) und Radius 3.

-114-


c) h(x, y) =

x

y

y 6= 0

) D = {(x, y) 2 R2|y 6= 0}

Somit entspricht der Definitionsbereich der Ebene R2 ohne die x-Achse.

-115-


A8) Bestimmen Sie die Niveaulinien f(x, y) = c, c = 0, 1, 2, 3, ... für die folgenden Funktionen:

a) f

1

(x, y) = y

2 � x

f

1

(x, y) = y

2 � x = c ) x = y

2 � c

Die Lösung dieser Gleichung ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt (�c, 0), die nach rechtsgeöffnet ist.

b) f

2

(x, y) = |y|

f

2

(x, y) = |y| = c ) y = c, und y = �c

Die Lösung dieser Gleichung ist ein Paar von horizontalen Geraden.

-116-

Lösungen zur Serie 5: Zusatzaufgaben uniseminar.ch

d) Beschreiben Sie die Fläche im Raum

Das ist eine ”Glockenfläche”.

B5) Gegeben ist die Funktion z = e

xy.Gesucht sind die Niveaulinien z = 1, z = e, z = e

2.

z = e

xy

= c:

c = 1 : e

xy

= 1 = e

0 ) x · y = 0 ) x = 0 und/oder y = 0

) x- und y-Achsec = e : e

xy

= e = e

1 ) x · y = 1 ) y =

1

x

) Hyperbelc = e

2

: e

xy

= e

2 ) x · y = 2 ) y =

2

x

) Hyperbel

-125-

Lösungen zur Serie 5: Ergänzungsaufgaben uniseminar.ch

E2) Skizzieren Sie die Bereiche der (x, y)-Ebene, für welche gilt:

a) (x� 2)(y + 1) > 0

1. (x� 2) > 0 und (y + 1) > 0

) x > 2 und y > �1

2. (x� 2) < 0 und (y + 1) < 0

) x < 2 und y < �1

b) x

2

+ y

2

< 4

x

2

+y

2

< 4 beschreibt einen Kreisum (0, 0) mit Radius 2, wobei dieKreislinie nicht dazugehört.

c) x · y 6= 0

Diese Funktion beschreibt die ganze xy-Ebene ohne die Achsen.

-128-

Lösungen zur Serie 5: Ergänzungsaufgaben uniseminar.ch

d) x · y > 2

x · y > 2 , y >

2

x

-129-

Prüfung

enExtras

P

Prüfungen

Mathematik I

Assessment


Inhaltsverzeichnis

Prüfung 2002 Frühjahr 1

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Prüfung 2002 Herbst 18

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Prüfung 2008 Winter 124

Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176


Prüfung 2011 Winter 186Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Test-Klausur 214Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Einleitung

Im Folgenden findest Du alle bisherigen Prüfungen der Assessmentstufe von 2002-2011 mitausführlichen Lösungswegen. Wir haben Dir alle verfügbaren Prüfungen sehr anschaulich undverständlich vorgelöst. Das Lösen dieser alten Prüfungen stellt den wichtigsten Teil DeinerPrüfungsvorbereitung dar. Wenn Du also den Prüfungsstil erkannt und verstanden hast unddas Lösen dieser Probeprüfungen sitzt, sollte nichts mehr auf dem Weg zu Deiner gewünschtenPrüfungsnote im Wege stehen!

Durch das Lösen dieser originalen Prüfungen kannst Du Dich in eine «reale» Prüfungssituationversetzen lassen und ein Gefühl für den Stil und den Schwierigkeitsgrad sowie den ungefährenrealen Prüfungsumfang entwickeln. Dies ist nicht zuletzt entscheidend für ein gutes Zeitmana-gement während der realen Prüfungssituation. Mit Hilfe unserer sehr ausführlichen Musterlö-sungen kannst Du anschliessend Deine Leistung korrigieren und selbst beurteilen.

Ausserdem hat Dir das Team von Uniseminar exklusiv eine Testklausur zusammengestellt.Diese Klausur soll Dir zeigen, wie eine mögliche Prüfung in diesem Semester aussehen könnteund richtet sich nach bestehenden alten Prüfungen.

Prüfung 2006 Frühjahr: Lösungen uniseminar.ch

Lösungen

Aufgabe 1

a) Für welche Werte x ist 2 ln(x)� ln(x+ 3) = ln(8)� ln(2)?

Damit die Logarithmen definiert sind, muss vorausgesetzt werden, dass x > 0 gilt. Die linkeund rechte Seite werden zuerst einzeln umgeformt. Die linke Seite der Gleichung ist

2 ln(x)� ln(x+ 3) = ln(x

2

)� ln(x+ 3)

= ln

⇣x

2

x+ 3

⌘

Die rechte Seite der Gleichung ist

ln(8)� ln(2) = ln

⇣8

2

⌘

= ln(4)

Die rechte und linke Seite werden wieder gleichgesetzt und die Gleichung schrittweise umge-formt:

ln

⇣x

2

x+ 3

⌘= ln(4) |e(.)

x

2

x+ 3

= 4 | · (x+ 3)

x

2

= 4x+ 12 |� (4x+ 12)

x

2 � 4x� 12 = 0 |faktorisieren

(x� 6)(x+ 2) = 0

x 2 {6,�2}

x = �2 widerspricht x > 0, was zu Beginn vorausgesetzt wurde und ist somit keine Lösung.Also ist x = 6 die gesuchte Antwort.

-80-


c) Gegeben ist die Funktion f(t) = te

�t

, t > 0.

c

1

) Gesucht ist die Wachstumsrate r(t).

Es gibt zwei mögliche Lösungswege.

r(t) =

f

0(t)

f(t)

=

1 · e�t

+ t · (�1)e

�t

t · e�t

=

1� t

t

=

1

t

� 1

r(t) = (ln(f(t)))

0

= (ln(t) + ln(e

�t

))

0

= (ln(t)� t)

0

=

1

t

� 1

c

2

) Bestimmen Sie lim

t!1r(t).

lim

t!1r(t) = lim

t!1

⇣1

t

� 1

⌘= �1

c

3

) Stellen Sie r(t) graphisch dar.

Die Kurve von r(t) entspricht der Kurve y =

1

t

um eine Einheit nach unten verschoben.

-86-


b) Gegeben ist die Funktion f(x, y) = ln(5� (x

2

+ y

2

)).

b

1

) Stellen Sie den Definitionsbereich der Funktion graphisch dar.

Die Funktion ist definiert, falls

0 < 5� (x

2

+ y

2

) )

5 > x

2

+ y

2

Das ist gleichbedeutend mit dem Inneren eines Kreises mit Mittelpunkt M = (0, 0) und Radiusr =

p5.

-88-

Prüfung 2009 Winter: Lösungen uniseminar.ch

Aufgabe 3

a) Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (3� x

2

+ y

2

)

3.

a

1

) Ermitteln Sie die Niveaulinie f(x, y) = 8.

a

2

) Um was für einen Typ von Kurve handelt es sich?

a

3

) Skizzieren Sie diese Kurve.

Lösung:

a

1

) Ausrechnen:

f(x, y) = 8 () (3� x

2

+ y

2

)

3

= 2

3

() 3� x

2

+ y

2

= 2

() �x

2

+ y

2

= �1

() x

2 � y

2

= 1.

a

2

) In der Formelsammlung Punkt 5.3. sieht man, dass die Gleichung x

2 � y

2

= 1 mit derGleichung der Hyperbel x

2

a

2 � y

2

b

2 = 1 übereinstimmt, wobei a = b = 1 gilt. D.h. wir habeneine Hyperbel mit Halbachsen der Länge 1.

a

3

) Skizze:

x

y

�1 1

-147-


c) Gegeben ist die Funktion f(x, y) = (x

0.5

+ 2y

0.5

)

2.

c

1

) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung.

c

2

) Berechnen Sie die partielle Elastizität "f,x

.

c

3

) In welchem Punkt (x

0

, y

0

) auf der Niveaulinie f(x, y) = 16 gilt "f,x

= 0.5?

Lösung:

c

1

) Wir bilden zuerst die partiellen Ableitungen nach x (! behandle y wie eine Konstante)und y (! behandle x wie eine Konstante):

f

x

= 2 ·�x

0.5

+ 2y

0.5

�· 0.5 · x�0.5

=

�x

0.5

+ 2y

0.5

�· x�0.5

= x

0.5 · x�0.5

+ 2y

0.5

x

�0.5

= x

0.5�0.5

+ 2y

0.5

x

�0.5

= 1 + 2x

�0.5

y

0.5

-176-


zugelassenen Formelblatt).

e

4+x

2�y

2= 1

, 4 + x

2 � y

2

= ln 1

, 4 + x

2 � y

2

= 0

, y

2 � x

2

= 4

, y

2

4

� x

2

4

= 1

, y

2

2

2

� x

2

2

2

= 1

Laut dem für die Prüfung zugelassenen Formelblatt (-> Hyperbel 1.6.3) beschreibt dieseGleichung eine Hyperbel auf der xy-Ebene. Wir bekommen:

-208-

EExtras

Formeln

Mathematik I

Assessment


Inhaltsverzeichnis

1 An der Prüfung zugelassene Formelsammlung 1

1.1 Quadratische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Wichtige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Summenformel für die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Unendliche geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.6 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.7 Grenzwerte bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.8 Ableitung spezieller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.9 Gleichung der Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Zusammenstellung wichtiger Formeln von Uniseminar 4

2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Wichtige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


Einleitung

Anbei findest Du die aktuellste Formelsammlung, die an der Prüfung ausgeteilt wird. Da an derPrüfung auch gewisse Formeln als bekannt vorausgesetzt werden, haben wir Dir zusätzlich nocheine Zusammenstellung derjenigen Formeln gemacht, die an der Prüfung von grosser Wichtigkeitsind, jedoch nicht ausgeteilt werden. Schaue Dir diese Formeln in einer ruhigen Minute genauan! So findest Du heraus, ob Du diese bereits memoriert hast oder noch etwas Lernarbeit indie Formeln investieren solltest. Die Karteikarten decken die für die Prüfung vorausgesetztenFormeln in idealer Weise ab, sodass Du Dich effizient und eigenständig abfragen kannst.

Karteikarten

In den Karteikarten findest du die wichtigsten Formeln, Vorgehensweisen und Kochrezepte. Eswurde aber bewusst darauf verzichtet, die „an der Prüfung zugelassenen Formeln“ in die Kar-teikarten aufzunehmen, da diese sowieso an der Prüfung ausgeteilt werden. Hingegen werdenwichtige Formeln, die nicht ausgeteilt und als bekannt vorausgesetzt werden auf den Karteikar-ten gezielt abgefragt, sodass du an der Prüfung keine Überraschung erleben wirst. Wir möchtenDich zudem darauf hinweisen, dass wir nur das absolut Wesentliche in unser Karteikartensetaufgenommen haben und für die Prüfung unnötige Grafiken und Formeln bewusst weggelassenhaben.

Seminar

Im Seminar wird bei den meisten Aufgaben mit den wichtigsten Formeln gearbeitet. Dennochwird im Seminar ausdrücklich nicht auf deren theoretische Beweise eingegangen, da dies für diePrüfung nicht relevant ist. Somit wird beim Lösen der Prüfungen im Seminar jeweils auf dieFormelsammlung verwiesen.

Anweisungen

Schau Dir diese Formelsammlung genau an und merke Dir die wichtigsten Formeln, die wir Dirauf den Karteikarten zusammengestellt haben. Lerne deshalb anfänglich mit der ausführlichenFormelsammlung und wechsle, sobald Du Dich sicher fühlst, auf die kurze Version, die an derPrüfung ausgeteilt wird. Nur so bekommst Du ein Gefühl dafür, ob Du die Formeln wirklichmemoriert hast und nicht auf die Formelsammlung zurückgreifen musst.

Es lohnt sich nur sehr beschränkt Formeln auswendig zu lernen. Mit ausreichender Übung prä-gen sich bei Dir die Formeln beim Lösen verschiedener Aufgaben automatisch ein. Je mehrAufgaben Du also löst, desto eher wirst Du die Formeln intuitiv und selbstverständlich anwen-den.

Formelsammlung uniseminar.ch

1 An der Prüfung zugelassene Formelsammlung

Die folgenden Formeln werden auf einer eigenen Zusammenstellung der HSG an der PrüfungMathematik I (HS 2009 sowie Nachholtermin FS 2010) ausgeteilt.

1.1 Quadratische Gleichung

ax

2

+ bx+ c = 0 x

1,2

=

�b±pb

2 � 4ac

2a

1.2 Wichtige Grenzwerte

1. lim

n!1

�1 +

p

n

�n

= e

p

2. lim

n!1

⇣1 +

x

1!

+

x

2

2!

+ · · ·+ x

n

n!

⌘= e

x.

1.3 Summenformel für die geometrische Reihe

1.3.1 Endliche geometrische Reihe

s

n

= a+ aq + aq

2

+ · · ·+ aq

n�1

=

n�1X

k=0

a · qk = a · 1� q

n

1� q

= a · qn � 1

q � 1

,

für q 6= 1.

1.4 Unendliche geometrische Reihe

s

n

= a+ aq + aq

2

+ · · · =1X

k=0

a · qk = a

1� q

,

falls |q| < 1.

1.5 Trigonometrische Funktionen

sin

2

x+ cos

2

x = 1 (nach dem Satz von Pythagoras)sin(�x) = � sin x cos(�x) = cos x

sin(x+

⇡

2

) = cos x cos(x+

⇡

2

) = � sin x

-1-

Formelsammlung uniseminar.ch

1.6 Kegelschnitte

1.6.1 Kreisgleichung

x

y

r

x

2

+ y

2

= r

2

r =Radius

x

y

r

v

u

Mittelpunkt (u, v): (x� u)

2

+ (y � v)

2

= r

2

1.6.2 Ellipsengleichung

x

y

0

a

b

x

2

a

2 +y

2

b

2 = 1 a, b: Halbachsen

x

y

v

u

a

b

(x�u)

2

a

2 +

(y�v)

2

b

2 = 1

1.6.3 Hyperbel

x

y

a

b

x

2

a

2 � y

2

b

2 = 1 a, b: Halbachsen

x

y

b

a

y

2

b

2 � x

2

a

2 = 1

gleichseitige Hyperbel:

x

y

1

1

x

2 � y

2

= 1

x

y

�1

1

y =

1

x

-2-

Notizen

Mathematik I

Assessment


Notizen uniseminar.ch

Documents

HSG_Mathe1_Ordner_Issu