OptikaTörténeti áttekintés, mérföldkövek• Fénysugár, egyenes vonalú terjedés, visszaverődés törvénye, tükrök és lencsék képalkotása:

Empedoklesz, Euklidesz, Arkhimedesz (ókor, i.e. 500-200)

• Mikroszkóp: Jansen (1590)

• Távcsövek: Liperhey (1608), Galilei (1609), Kepler (1611)

• A fénytörés törvénye: Snellius (1621), Descartes (1629)

• A legrövidebb fényút elve (Fermat-elv): Fermat (1665)

• A fényelhajlás első pontos kísérleti leírása: Grimaldi (1650)

• Kettős törés: Bartholinus (1669)

• Fénysebesség mérése: Römer (1675), Bradley (1728), Fizeau (1849), Foucault (1862), Michelson (1926)

• A fényinterferencia és fényelhajlás magyarázata: Young (1802), Fresnel (1816)

• A fény természete: Newton (1669), Huygens (1678), Young, Fresnel (1821), Maxwell (1865)

• Fénypolarizáció: Malus (1808)

• Optikai színkép, diszperzió, színképelemzés: Newton (1666), Fraunhoffer (1814), Bunsen és Kirchhoff (1859)

• Fényelhajlás, képalkotás matematikai leírása: Airy (1835), Abbe (1873), Kirchhoff (1882), Rayleigh (1881), Sommerfeld (1896), Kottler (1923) és mások

• Elektromágneses fényelmélet, anyagok optikai tulajdonságainak magyarázata: Maxwell(1865), Hertz (1888), Lorentz (1895)

• Kvantumelektrodinamika, kvantumoptika: Einstein, Heisenberg, Schrödinger, Born, Jordan, de Broglie, Dirac; Feynman, Schwinger, és még sokan mások (XX. század)

Az optika felosztása• Geometriai optika• Fizikai optika (hullámoptika)• Kvantumoptika

Fénytani alapfogalmak, a fény egyenes vonalú terjedése

Fénytani alapfogalmak

• fényforrás• fénynyaláb• fénysugár

Geometriai optika

Pontszerű fényforrásból kiinduló fénynyaláb térbeli kiterjedését a térszöggel jellemezhetjük:

2rF

=ω

• A teljes térszög: 4π

O

F

x

y

r

+

F

D

2φ

–

Energiaáram (sugárzási teljesítmény)

• A fénynyalábban energia áramlik. A fénysugarak az adott helyen az áramlás irányát adják.

• Ennek az áramáramlásnak erősségét jellemzi az energiaáram (vagy sugárzási teljesítmény).

• Ha a fénynyaláb valamely keresztmetszetén (kicsiny) ∆t idő alatt ∆W energia áramlik át, akkor a tekintetbe vett felületre az energiaáram (sugárzási teljesítmény)

Egyenes vonalú terjedés

• A tapasztalat szerint homogén és izotróp közegben a fény egyenes vonalban terjed, azaz a fénysugarak egyenesek.

tW∆∆

=Φ

• teljes árnyék (árnyékmag)• félárnyék

Árnyékjelenségek

Nap- és holdfogyatkozás

Lyukkamera (Camera obscura)

A kép intenzitása és élessége függ a nyílás átmérőjétől.

Nagyobb átmérő esetén – az egyenes vonalúterjedésből is érthetően –nagyobb folt felel meg a tárgy egy pontjának.

Azt várnánk, hogy csök-kentve az átmérőt a kép élesség javul.

Egy ideig ez így is van. Azonban kis átmérők ese-tén az egyenes vonalúterjedéstől eltérések mutat-koznak (elhajlás lép fel), amely lerontja a kép élességét!

Römer módszere, 1675.

A fény terjedési sebességének mérése

Römer módszere

Bradley módszere, 1728.

cv

=αtg

142 ′′=α

µrad4,99=α

skm9,26=v

Fizeau módszere (fogaskerék-módszer), 1849.

N = 720

l = 8633 m

nNt

2

1=

t

lc

2=

nNlc 4=

n a fogaskerék fordulatszáma

A legtöbb mai „modern” módszer elve ugyanez, csak a fényszaggatás módja más (pl. Kerr-cella).

Foucault módszere (forgótükrös-módszer), 1862.

n = 800 Hz

r = 4 m

l = 1 m

d = 0,27 mm

δ⋅= 2ld

tn ⋅π=δ 2

dnrl

cπ

=8

cr

t2

=

Michelson módszere, 1926.

A fény visszaverődése és törése

Visszaverődés típusai

• Szabályos visszaverődés

Sima felületek a fénysugarakat túlnyomó részt csak egy adott irányba verik vissza.

A felület egyenetlenségei sokkal kisebbek a fény hullámhosszához képest.

• Szórt (diffúz) visszaverődés

Érdes felületről a fény – többé-kevésbé egyenletesen –mindenféle irányba visszaverődik.

A felület egyenetlenségei nem sokkal kisebbek a fény hullámhosszához képest.

Az ilyen visszaverődést polárdiagrammal írhatjuk le.

• Vegyes visszaverődés

Az előző két eset kombinációja.

Visszaverőképesség (reflexiós tényező)a visszavert és a beeső sugárzási teljesítmények hányadosa:

bv ΦΦ=ρ

• diffúz visszaverődésnél albedónak nevezik.

• A visszavert fénysugár a beesési síkban van. Más szavakkal: a beeső fénysugár, a beesési merőleges és visszavert fény-sugár egy síkba esik.

• A visszaverődési szög egyenlő a beesési szöggel.

Kísérleti vizsgálata: Hartl-féle korong

A szabályos fényvisszaverődés törvényei

Szabályos fénytörés törvényei

• A megtört fénysugár a beesési síkban van.

• Snellius-Descartes-törvény: a beesési szög (α1) szinuszának és a törési szög (α2) szinuszának hányadosa állandó,

212

1

sinsin

n=αα

2121 ccn =

n21 a (2) közeg (1) közegre vonatkozó relatív törésmutatója (jellemző az anyagi minőségre).

, ahol c1 és c2 a közegbeli fénysebességek.

, ahol n1 és n2 az (1) és a (2) közegek abszolút törésmutatója.

A fénysugarak megfordíthatók 2112 1 nn =

2211 sinsin α⋅=α⋅ nn

• Ha a fény egyik közegből egy másikba jut, akkor általában a fénysugarak iránya a határfelületen megváltozik, ez a jelenség a fénytörés.

• Homogén és izotróp közegek esetén a fénytörés törvényszerűségei egyszerűek.

A Snellius-Descartes-törvény az abszolút törésmutatókat használva:

α1(1)

(2)α2

A Fermat-elvből levezethető:

1

2

10

20

0

1

2

0

2

121 n

n

cc

cc

c

c

c

c

c

cn ==⋅==

Abszolút törésmutató:

ccn 0= , ahol c0 vákuumbeli, és c a közegbeli fénysebesség.

a közeg vákuumra vonatkoztatott (relatív) törésmutatója, azaz

A visszaverődés és törés következményei és felhasználásai

• Visszaverődések és törések megváltoztatják a terjedési irányt, következésképpen a tárgyak más irányból látszanak.

• Tükrök (sík, gömbi, parabolikus, stb)

• Síkpárhuzamos lemez

• Optikai prizma

• Lencsék és lencserendszerek

• Optikai (fényvezető) szál

• Törésmutató meghatározás

Terjedési idő és optikai úthossz

n1

n2

ni

nm-1 nm

……

A

B

∑=

∆=m

iiAB tt

1∑=

∆=

m

i i

i

cs

1

∆si

∆s2

∆s1

∆sm-1 ∆sm

ii c

cn 0=

∑=

∆⋅=m

iiiAB sn

ct

10

1

optikai úthossz∑=

∆⋅=∆m

iii sn

1

0c∆

=

A és B pontok közötti terjedési időSzakaszonként homogén közeg

, ahol

Folytonosan változó törésmutatójú közeg

)(rr

nn =

A

B

• Inhomogén közegben a fény nem egyenes vonalban (azaz egy görbe mentén) terjed.

• Szakaszonként homogén közegben a görbe egyenes darabokból áll.

• Folytonosan változó törésmutatójú közeget úgy tekinthetjük, mint olyan szakaszonként változó törésmutatójú közeg határesetét, amelyben a rétegek száma mindenhatáron túl növekszik, úgy hogy közben a rétegek közötti távolság és a törésmutató ugrásai nullához tartanak.

• Hogyan számíthatjuk ki az A és B pontokat összekötő görbére vonatkozó terjedési időt?

P1

P2Pi-1 Pi

= P0

= Pm

Pm-1Pm-2

,1 iii PPs −=∆

O

Qi

irr

,1 iii PPQ −∈ ii OQ=rr

A és B pontokat összekötőgörbére a terjedési idő

∑=

∆≈m

iiAB tt

1∑=

∆≈

m

i i

i

c

s

1

)( ii nn rr

=∑=

∆⋅=m

iii sn

c 10

1, ahol

A terjedési időt annál pontosabban kapjuk meg, minél finomabban osztjuk be a görbét.

0ctAB

∆= , ahol ∫=∆

ABG

dsn )(rr ∑∫

=→∆∞→

∆⋅=m

iii

G sm

sndsnAB i

10max

lim)(rr

• ∆ optikai úthossz a törésmutató görbe menti integrálja (hasonló a munkához).

• A munkához hasonlóan függ a görbe alakjától!

Fermat elveA fény két adott ( A és B ) pont között előírt feltételek mellett (például visszaverődés, törés, stb) azon a görbén terjed, amelyen a terjedési idő extrémális (többnyire minimális).

• A ∆ = c0·tAB képletből látható, hogy az optikai úthossz azzal a geometriai hosszal egyenlő, melyet a fény vákuumban tAB idő alatt tenne meg.

G1

G2

G3

A

B

Következmények:

• a fény (optikailag) homogén és izotróp közegben egyenes vonalban terjed.

• a fény inhomogén közegben görbén terjed.

• a fénysugarak megfordíthatók

• visszaverődés törvénye

• törés törvénye (Snellius-Descartes törvény)

• képalkotásnál a tárgypont és a képe között az összes sugárra azonos az optikai úthossz

Fermat elve a geometria optika alaptörvénye!

• Hasonló szerepet tölt be a geometriai optikában, mint a Newton-axiómák a mechanikában:

• Fermat elvéből a geometriai optika összes törvénye levezethető.

T K

12

3

4

5

∆ ∆ ∆ ∆ ∆1 2 3 4 5= = = =

A visszaverődés és törés törvényeinek levezetése Fermat elvéből!

• Mellékfeltétel: a fény a tükröző felület érintésével megy A-ból B-be.

• Szakaszonként homogén és izotróp közegben a fénysugár egyenes darabokból áll.

• B’ a B geometriai tükörképe, a minimális optikai hosszúságú pálya megkeresésénél segédpont.

)( PBAP ssn +⋅=∆

'PBPB ss =)( 'PBAP ssn +⋅=∆

A minimum feltétele:

• A visszavert fénysugár a beesési síkban van.

• α = α’.

PBAP snsn 21 +=∆ 222

221 )()( bbaa yxxnyxxn +−++−=

0)(' =∆ x 22

2

22

1

)(

)(

)(

)(

bb

b

aa

a

yxx

xxn

yxx

xxn

+−

−=

+−

−

∆ minimális, ha A, P és B’egy egyenesbe esik.

β⋅=α⋅ sinsin 21 nn

• A beesési síkból P pontot kimozdítva az optikai úthossz növekszik.

• Ezért a megtört fénysugár a beesési síkban van.

A

B

PT

n

B’

α

α’

α’

α

βx

y A (xa, ya)

(x, 0)

B (xb, yb)

P

n1

n2

A teljes visszaverődés és alkalmazásai

A határszög meghatározása

°⋅=α⋅ 90sinsin 201 nn

201 sin nn =α⋅

21120sin nnn ==α

121 <n12 nn <

s1

s1

s2

s2

s3 s3

α

β

α0

β⋅=α⋅ sinsin 21 nn

12 nn <β<α

• Az α beesési szöget növelve a β törési szög egy adott α0 határszögnél (α0 < 90º) eléri a 90º értéket!

• A beesési szöget tovább növelve fellép a teljes visszaverődés jelensége.

• A visszavert fénysugár követi a szabályos visszaverődés törvényeit, és a reflexiós tényező 100%.

n1

n2

Fontosabb alkalmazások• Képfordító prizmák• Törésmutató mérés (refraktométerek)• Optikai szálak

Kettős Porro-féle prizma

Képfordító prizmák

Dove-féle prizma Amici-féle tetőélprizmaPorro-Abbe-féle prizma

Porro-féle prizmaderékszögű prizma

Refraktométerek

• Olyan optikai műszer, amely a teljes visszaverődés határszögének méréséből határozza meg a vizsgált anyag (leginkább folyadék) törésmutatóját.

Pulfrich-féle refraktométer Abbe-féle refraktométer

Optikai szálak

A fényvezető szál numerikus apertúrája

α

β0β

n1

n2

n3

n3

023 sinβ⋅= nn )90sin(2 β−°⋅= n β= cos2n

β⋅=α⋅ sinsin 21 nn β−= 22 cos1n

β−=α⋅ 222

221 cossin nnn 2

322 nn −=

1

23

22sinn

nn −=α

Az optikai szálak néhány alkalmazása

endoszkóp

optikai távközlés

Fénytörés planparalel lemezen

α

βn

∆

d

α

∆

x

α–β

β

αB

A )sin(cos

β−α⋅β

=∆d

ββ⋅α−β⋅α

⋅=cos

sincoscossind

βα

=sinsin

n

β⋅αβ

α⋅α−α=∆cossin

sinsincossin dd

β⋅α

⋅α−α=∆cos

cossinsin

ndd

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−

α−⋅α=∆

22 sin

cos1sin

nd

β−=β⋅ 2sin1cos nn

α∆

=sin

x

α−= 22 sinn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−

α−⋅=

22 sin

cos1

ndx

P

P’

• A sugarakat megfordítva rögtön látszik, hogy a P pontból kiinduló, a függőlegessel α szöget bezáró sugarak törés utáni meghosszabbításuk a P’ pontban metszik egymást.

• Ezért a P pontot a lemezen keresztül nézve máshelyen látjuk!

• Ez még merőleges beesés (α = 0) esetén is igaz!

x0

0=α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

ndx

110

P

P’

n

n nx0

bd

xdd

n =−

=0

mikroszkópobjektív

b

d

b

P’

0xdnd

−=

Planparalel lemez törésmutatójának meghatározása

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

ndx

110

0xdb −=

• Állítsuk az objektívet úgy, hogy a lemez tetejét lássuk élesen!

• Ahhoz, hogy a lemez alját lássuk élesen, b távolsággal el kell tolni az objektívet a lemez felé.

Fénytörés optikai prizmában

φ

α1

α2

φ

β1

β2

δ

• A prizma δ szöggel téríti el a fénysugarat.

• Milyen viszony van a szögek között? főmetszet

21 β+β=ϕB

A

C

D

E

)()( 2211 β−α+β−α=δ

ADB ∆

ACB ∆

)( 2121 β+β−α+α=δ

ϕ−α+α=δ 21

P’

mikroszkópobjektív

P

Minimális deviáció

• A kísérlet szerint, ha változtatjuk az α1 beesési szöget, akkor a δ deviációs szögnek egy adott α szögnél minimuma van!

• A minimális eltérítés esetén a sugármenet szimmetrikus, vagyis, ha

α1

δ

δmin

α1= α2= αAz a beesési szög, melyre

szimmetrikus a sugármenet

α

β1= β2= β

és

ϕ−α=δ 2min

β=ϕ 2

2min ϕ+δ

=α

2ϕ

=β

βα

=sinsin

n

• δmin és φ goniométerrel megmérhető.

• Így igen pontosan határozható meg a törésmutató, mivel a szögeket pontosan tudjuk mérni!

• Folyadékok és gázok törésmutatója is meghatározható prizma alakú, átlátszó tartó edény alkalmazásával!

)2sin(

]2)(sin[ min

ϕϕ+δ

=n

• Ha a szögek kicsik, akkor a szögek szinuszai a szögekkel közelíthetők. Így ekkor

11 β⋅≈α n 22 β⋅≈α nés ϕ⋅−=ϕ−ϕ⋅=ϕ−β+β⋅≈δ )1()( 21 nnn