Kalman-féle rendszer definíció

Kalman-féle rendszer definíció

Rendszerdefiníció: = (T, X, U, Y, , , , )

aholT – az időhalmazX – a lehetséges belső állapotok halmazaU – a lehetséges bemeneti értékek halmazaY – a lehetséges kimeneti értékek halmaza - a lehetséges bemenet időfüggvények halmaza - a lehetséges kimenet időfüggvények halmaza - az állapotátmeneti függvény - a kiolvasó függvény

Lineáris, időinvariáns, folytonos idejű állapottér modell:

ahol x – a belső állapotok vektora u – a bemeneti vektor

y – a kimeneti vektor A – az állapotátmeneti mátrix

B – a bemeneti mátrix C – a kimeneti mátrix D – a segédmátrix

Állapottér modell

tuDtxCty

tuBtxAtx

Állapottér modell (folyt.)

SISO MIMOdim(x) n ndim(u) 1 pdim(y) 1 rdim(A) nn nndim(B) n1 npdim(C) 1n rndim(D) 11 rp

uDxCy

uBxAx

Állapottér modell (folyt.)

az állapottér modell blokkdiagramja

B

A

C

D

integral(x)

x(t0)+

+

+

+x yu

Állapottér modell - példa

Példa

ahol A1, A2 – az 1. ill. 2. tartály alapterülete

h1, h2 – az 1. ill. 2. tartálybeli szintmagasság

Kv1, Kv2– a szelep ellenállási tényezők

Fi, F1, Fo – belépő, átfolyó, kilépő vízáram

Fi

h1 h2

Kv1 Kv2

A1 A2

F1 Fo


a leíró egyenletek: tartálybeli belépő kilépő mennyiség = áram - áram megváltozása

1. tartály

2. tartály

211

11

1hh

KFhA

vi

22

211

22

11h

Khh

KhA

vv


legyen a két állapotváltozó h1 és h2 x vektor elemei

a bemenő változó Fi u (egy bemenet)

a kimenő változó F1 y (egy kimenet)

az egyenletek átalakítása után:

211

1

22212

111

2

121

111

1

111

11

hhK

F

hKAKA

hKA

h

FA

hhKA

h

v

vvv

iv


ebből az állapottér modell:

x = A x + B u

x = C x + D u

iA

KKAKK

KA

KAKAF

h

h

h

h

vv

vv

v

vv

01

211

21

12

2111

1

2

1

1

11

2

1

2

1

11

11

h

h

KKF

vv

Állapottér modell - megoldhatóság

induljunk ki a rendszeregyenletből:

Laplace-transzformálva x0 kezdeti feltételek mellett:

átrendezve

00 xtx

BuAxx

sBUsAXxssX 0

sBUxsAXssX 0

sBUxAsIsX 0

sBUAsIxAsIsX 10

1


az (sI-A)-1 értelmezése:

inverz Laplace-transzformálva:

ahol eAt a mátrixexponenciális és t 0.

...

s

A

s

AI

ss

AI

sAsI

2

211 11

Ate...tAAtIAsIL 2211

!2

1


inverz Laplace-transzformálva

egyenletet:

a kimeneti egyenlet:

sBUAsIxAsIsX 10

1

d0

00 Buexetx

t

t

tAttA

tDutCxty


a megoldás értelmezése:

pillanatnyi kiindulási bemeneti állapot = állapottól + változótól függő tag függő tag

ha a bemeneti változó 0, akkor az első tag írja le a kezdő állapottól való függést

eA(t-t0) = (t – t0) állapotátmeneti mátrix (nn-es mátrix)

ha a kezdőállapot nulla, akkor a második tag írja le a bemenettől való függést:

kényszerfüggvény

d0

Buet

t

tA

Állapottér modell – I/O modell kapcsolata

induljunk ki az állapottér modellből:

Laplace-tarnszformáljuk mindkét egyenletet zérus kezdeti feltétel mellett és fejezzük ki az első egyenletből X(s)-t:

helyettesítsünk be a második egyenletben X(s) helyére:

DuCxy

BuAxx

sDUsCXsY

sBUAsIsX

1

sUDBAsICsY 1

Állapottér modell – I/O modell kapcsolata

innen

ez pedig nem más, mint az átviteli függvény:

azaz egy rendszer I/O modellje és állapottér modellje között az átviteli függvény teremti meg a kapcsolatot

DBAsICsU

sY 1

DBAsICtuL

tyLsG 1

Állapottér modell – megfigyelhetőség

Működés közben mérhető paraméterek a bemenetek u(t) és a kimenetek y(t). A modellhez viszont kellenek az állapotváltozók:

Az így megadott rendszert akkor nevezzük teljesen megfigyelhetőnek, ha tetszőleges t0 időponthoz tartozó x(t0) kezdőállapothoz és u(t) = 0 bementhez létezik olyan t1> t0 időpont, hogy y(t) | t (t0, t1] kimenet ismerete elegendő x(t0) kezdőállapot megadásához.

Cxy

BuAxx


A megfigyelhetőség teljesüléséhez az kell, hogy a

egyenletből x(t0) kiszámítható legyen.

Ehhez viszont CeA(t1-t0) mátrix sorainak kell a vizsgált időközben lineárisan függetlennek lenniük.

d1

0

10101 Buetxetx

t

t

tAttA

01101 txCetCxty ttA


Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott állapottér modellel

leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú:

és r(On-1) = n

1

1

n

n

CA

CA

C

O

Állapottér modell – irányíthatóság

A szabályozási feladatok célja, hogy a rendszer előírt állapotba kerüljön. Ez az állapottér modelleknél azt jelenti, hogy az állapotváltozó vektor elemei vegyenek fel egy meghatározott értéket egy adott időpontban. Azaz az irányíthatóság esetében azt vizsgáljuk, hogy az

modell állapotváltozóit adott induló állapotból kiindulva a bemenet megfelelő megválasztásával át lehet-e vinni egy előre megadott végállapotba.

Cxy

BuAxx


Def.: ÁllapotirányíthatóságA

modellel leírt rendszert egy adott (t0,t1] teljesen állapotirányíthatónak nevezzük, ha tetszőleges x(t0) kezdőállapothoz és tetszőleges x(t1) végállapothoz létezik olyan u(t) bemenő jel, ami a rendszert a kezdőállapotból a végállapotba átviszi.

Cxy

BuAxx


Az állapotirányíthatóság teljesüléséhez az kell, hogy az

összefüggés alapján u(t) meghatározható legyen, ehhez viszont az eA(t1-t0) B mátrixsorainak lineáris függetlenségét kellene vizsgálni.

Ez nyilvánvalóan nehézkes feladat, ezért helyette Kalman-féle rangfeltételt alkalmazzuk.

d1

0

10101 Buetxetx

t

t

tAttA


Tétel: Kalman-féle rangfeltétel A szokásos módon megadott állapottér modellel

leírt rendszer akkor és csak akkor állapotirányítható, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett irányíthatósági mátrix teljes rangú:

és r(Cn-1) = n

BABAABBC nn

121


Megj.: Létezik ún. kimenet-irányíthatóság is, amikor y(t1) vagyis a kimenet értékeire írunk elő követelményeket.

egy kimenetű rendszereknél triviálisan teljesül

szóhasználat: irányíthatóság állapotirányíthatóság

megfigyelhetőség és az irányíthatóság együttes teljesülése nagyon fontos, illetve kapcsolatba hozható más állapottér tulajdonságokkal.

Állapottér modell – tulajdonságok

állapottér modell megfigyelhető és irányítható

az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető

az állapotváltozók száma minimális


Az átviteli függvény tovább nem egyszerűsíthető:

nincs olyan pólus, ami megegyezne egy zérushellyel.

Állapotváltozók száma minimális: ha kevesebb állapotváltozóval írjuk le a rendszert, akkor nem ugyanazt a rendszert kapjuk (nem egyeznek meg az átviteli függvények).

n

m

pspsps

zszszsKDBAsIC

tuL

tyLsG

21

211


Megj.: Az állapottér modell nem egyértelmű, definiálhatók ún. hasonlósági transzformációk, melyekkel a rendszer áttranszformálható másik alakra, de az átviteli függvény nem változik!

Állapottér modell – stabilitás

Stabilitás fogalmak

Tekintsük a

állapottér modellt.

BIBO stabilitásKorlátos bemenetre korlátos kimenet – külső stabilitás

Belső stabilitása modell – adott együttható mátrixokkal leírt rendszer stabilitása

Cxy

BuAxx


Def.: Belső stabilitás Legyen adott az alábbi modell

azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek. Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(t) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

000 0 ttxtx

tAxtx

0

txlimt


Def.: Stabilitási mátrix Egy ARnn mátrixot stabilitási mátrixnak

nevezünk, ha valamennyi saját értéke negatív valós vagy negatív valós részű komplex szám: Re{i(A)}<0, i esetén

Megj.: A sajátérték fogalmaEgy ARnn mátrix sajátértékei a | I - A | = 0egyenlet i gyökei. Az nn-es mátrixnak n db sajátértéke van.


Tétel:Egy adott állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha az A mátrix stabilitási mátrix.

Tétel:A belső stabilitás magában foglalja a BIBO stabilitást.(Ha egy modell belső stabilitású, akkor BIBO stabil is, de fordítva nem igaz.)


Stabilitásvizsgálati módszerek: Stabilitási mátrix definíciója alapján: A mátrix

sajátértékeinek meghatározásával (csak max. három állapotváltozós rendszerek esetében).

Ljapunov kritérium

Diszkrét állapottér modell

Diszkrét idejű állapottér modell az időtartományban kitüntetett időpontok adottak a változók értékei csak ezekben a mintavételi

időpontokban ismertek az állapottér modell első egyenlete

differenciálegyenlet helyett differenciaegyenlet lesz

a diszkrét idejű modell a folytonos idejű modellből származtatható

a származtatásnál feltételezzük, hogy a bemenő jel(ek) egy nulladrendű tartón keresztül jut(nak) a rendszerbe

Diszkrét állapottér modell

A lineáris, időinvariáns, diszkrét idejű állapottér modell:

ahol

A, B a folytonos idejű modell együttható mátrixai,T a mintavételi idő

kTCxkTy

kTukTxTkx

1

BIeA

eAT

AT

1

Diszkrét állapottér modell - megoldás

Legyen x(0) a kezdőállapot és nulladrendű tartó a bemenő jelen, ekkor

001 uxx

100112 2 uuxuxx

2100223 23 uuuxuxx

1

0

1011k

j

jkk juxkukxkx

d1

0

10101 Buetxetx

t

t

tAttA

Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv.

Diszkrét idejű pulzus válasz függvény h(k) :Induljunk ki a diszkrét állapottér modell

előbb levezett megoldásából

és helyettesítsük be a kimeneti egyenletbe:

ebből látható, hogy

kCxky

kukxkx

1

1

0

10k

j

jkk juxkx

1

0

10k

j

jkk juCxCky

1

101 kC

kkh k

Diszkrét állapottér modell – diszkét átviteli fv.

A diszkrét idejű átviteli függvény a diszkrét idejű pulzus válasz függvény z-transzformáltja lesz:

illetve

khZzH

zHZkh 1

Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség

Def.: MegfigyelhetőségEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt megfigyelhetőnek nevezzük, ha véges k számú mintavételezési időponthoz tartozó bemenet-kimenet párok ismerete elégséges a kezdőállapot megadásához:

01010 xky,,y,ku,,u

Diszkrét állapottér modell - megfigyelhetőség

Kalman-féle rangfeltétel: A szokásos módon megadott diszkrét idejű

állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor megfigyelhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú:

és r(WO) = n

1n

O

C

C

C

W

Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság

Diszkrét idejű rendszereknél megkülönböztetjük a irányíthatóságot elérhetőséget

Az elérhetőség az erősebb fogalom: az a modell, amely elérhető az irányítható is, de az irányítható modell nem biztos, hogy elérhető is.

Diszkrét állapottér modell - irányíthatóság

Def.: IrányíthatóságEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt irányíthatónak nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a zérus állapotba x(k)=0 átvihető.

Diszkrét állapottér modell - elérhetőség

Def.: ElérhetőségEgy szokásos módon megadott diszkrét idejű állapottér modellt elérhetőnek nevezünk, ha tetszőleges x(0) kezdőállapothoz létezik olyan u(j) bemenőjel sorozat, hogy a rendszer a tetszőleges végállapotba x(k) átvihető.

Diszkrét állapottér modell - elérhetőség

Kalman-féle rangfeltétel az elérhetőségre: A szokásos módon megadott diszkrét idejű

állapottér modellel leírt rendszer akkor és csak akkor elérhető, ha az állapottér modell együtthatóiból képzett elérhetőségi mátrix teljes rangú:

és r(WC) = n

12 nCW

Diszkrét állapottér modell - stabilitás

Stabilitás folytonos esethez hasonlóan értelmezhetjük itt is

a a külső (BIBO) és a belső (nulla bementi) stabilitást

kiindulási modell itt is a

diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns állapottér modell.

kCxky

xxkukxkx

00 1


Def.: Belső stabilitás Tekintsük a

x(k +1) = x(k) x(0) 0 azaz legyen a bemenet zérus, a kezdőfeltételek pedig nullától különbözőek.

Akkor nevezzük ezt a modellt belső stabilitásúnak, ha az x(k) megoldás kielégíti az alábbi feltételt:

0

kTxlimk


Tétel:Egy diszkrét idejű állapottér modell akkor és csak akkor belső stabilitású, ha a mátrix saját értékei az egység sugarú körön belül vannak:

i() < 1

Documents

Kalman-féle rendszer definíció