I. 常微分方程式の初等積分法 - math.kyushu-u.ac.jpsnii/IA/1.pdf · 1. 変数分離形(単に両辺を積分するだけ) I. 常微分方程式の初等積分法– p.3/30

I.常微分方程式の初等積分法

I.常微分方程式の初等積分法 – p.1/30

1.変数分離形


1.変数分離形 (単に両辺を積分するだけ)



x を独立変数とし, y = y(x) を未知関数とするとき

dy

dx=

f(x)

g(y)(形式的には g(y)dy = f(x)dx) (1)

の形の常微分方程式を変数分離形の微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式の解は

で与えられるの原始関数とおきをの解とする

このとき

となるよって両辺をで積分して

つまり

が解である




dy

dx=

f(x)


の形の常微分方程式を変数分離形の微分方程式とよぶ.この形の微分方程式の解は

Z

g(y)dy =

Z

f(x)dx

で与えられる.

の原始関数とおきをの解とするこのとき


つまり

が解である




dy

dx=

f(x)



Z

g(y)dy =

Z

f(x)dx

で与えられる.

··· G(y) =

Z

g(y)dy (g(y) の原始関数)とおき, y = y(x)を (1) の解とする.

このとき


つまり

が解である




dy

dx=

f(x)



Z

g(y)dy =

Z

f(x)dx

で与えられる.

··· G(y) =

Z


このとき,d

dx{G(y(x))} =

dG

dy

dy

dx= g(y(x))

dy

dx(x) = f(x)

となる.

よって両辺をで積分して

つまり

が解である




dy

dx=

f(x)



Z

g(y)dy =

Z

f(x)dx

で与えられる.

··· G(y) =

Z


このとき,d

dx{G(y(x))} =

dG

dy

dy

dx= g(y(x))

dy

dx(x) = f(x)

となる. よって両辺を xで積分して

G(y) =

Z

f(x)dx つまりZ

g(y)dy =

Z

f(x)dx

が解である.



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«

y の一般解を求めよ.

解答解は

は積分定数

すなわちなのでとおいて

は定数

または恒等的にも解なのでも含めて最終的な答えは

は任意の定数



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«


[解答]解はZ

dy

y=

Z „

1 +2

x

«

dx

は積分定数


は定数


は任意の定数



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«


[解答]解はZ

dy

y=

Z „

1 +2

x

«

dx

··· log |y| = x + 2 log |x| + c (cは積分定数)


は定数


は任意の定数



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«


[解答]解はZ

dy

y=

Z „

1 +2

x

«

dx


すなわち |y| = ecx2ex なので, ±ec = C とおいて

は定数


は任意の定数



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«


[解答]解はZ

dy

y=

Z „

1 +2

x

«

dx



y = Cx2ex (C 6= 0 は定数)


は任意の定数



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«


[解答]解はZ

dy

y=

Z „

1 +2

x

«

dx




また y ≡ 0 (y は恒等的に 0) も解なので, C = 0も含めて最終的な答えは

は任意の定数



[例題]

y′ =

„

1 +2

x

«


[解答]解はZ

dy

y=

Z „

1 +2

x

«

dx




また y ≡ 0 (y は恒等的に 0) も解なので, C = 0も含めて最終的な答えは

y = Cx2ex (C は任意の定数)



[練習問題]

x2y′ = (x − 1)y の一般解を求めよ.

解答この方程式は形式的にと書けるので変数分離形である

従って両辺を積分してより

またも解なのでも含めて最終的な答えは

は任意の定数



[練習問題]


[解答]この方程式は形式的に dy

y=

„

1

x−

1

x2

«

dxと書けるので変数分離形である.

従って両辺を積分してより


は任意の定数



[練習問題]



y=

„

1

x−

1

x2

«


従って,両辺を積分してZ

dy

y=

Z „

1

x−

1

x2

«

dxより y = Cxe1

x (C 6= 0)


は任意の定数



[練習問題]



y=

„

1

x−

1

x2

«



dy

y=

Z „

1

x−

1

x2

«

dxより y = Cxe1

x (C 6= 0)

また y ≡ 0も解なので, C = 0も含めて最終的な答えは

は任意の定数



[練習問題]



y=

„

1

x−

1

x2

«



dy

y=

Z „

1

x−

1

x2

«

dxより y = Cxe1

x (C 6= 0)

また y ≡ 0も解なので, C = 0も含めて最終的な答えは

y = Cxe1

x (C は任意の定数)


2. 同次形


2.同次形 (u =y

xとおいて変数分離形に帰着)


dy

dx= f

“ y

x

”

(2)

の形の常微分方程式を同次形の微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式はすなわちとおくとなので方程式は

すなわち

となりについての変数分離形となるこれをについて解き

として解が得られる


2.同次形 (u =y



dy

dx= f

“ y

x

”

(2)


この形の微分方程式は, u(x) =y(x)

xすなわち y(x) = xu(x)とおくと,

なので方程式は

すなわち




2.同次形 (u =y



dy

dx= f

“ y

x

”

(2)




dy

dx= x

du

dx+ u

なので,

方程式は

すなわち




2.同次形 (u =y



dy

dx= f

“ y

x

”

(2)




dy

dx= x

du

dx+ u

なので, 方程式は

xdu

dx+ u = f(u) すなわち du

dx=

f(u) − u

x

となり uについての変数分離形となる.

これをについて解き



2.同次形 (u =y



dy

dx= f

“ y

x

”

(2)




dy

dx= x

du

dx+ u

なので, 方程式は

xdu

dx+ u = f(u) すなわち du

dx=

f(u) − u

x

となり uについての変数分離形となる.これを u = u(x)について解き

y(x) = xu(x)

として解が得られる.


2.同次形 (u =y


[例題]

2xyy′ = x2 + y2 の一般解を求めよ.

解答この方程式は

と変形できるので同次形であるすなわちとおいてより方程式は

すなわち

となりについての変数分離形となるこれを解くと

は積分定数

すなわちは定数とおいてまたも解なのでも含めて最終的な答えは

は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]


[解答]この方程式はdy

dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´

と変形できるので同次形である.

すなわちとおいてより方程式は

すなわち


は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)

xすなわち y(x) = xu(x)とおいて,

dy

dx= x

du

dx+ uより

方程式は

すなわち


は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du

dx+ uより方程式は

xdu

dx+ u =

1 + u2

2uすなわち du

dx=

1 − u2

2xu


これを解くと

は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

1 + u2

2uすなわち du

dx=

1 − u2

2xu

となり uについての変数分離形となる. これを解くとZ

2u

u2 − 1du = −

Z

dx

x··· log |u2 − 1| = − log |x| + c (cは積分定数)


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

1 + u2

2uすなわち du

dx=

1 − u2

2xu


2u

u2 − 1du = −

Z

dx


すなわち (u2 − 1)x = C (C 6= 0は定数).

とおいてまたも解なのでも含めて最終的な答えは

は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

1 + u2

2uすなわち du

dx=

1 − u2

2xu


2u

u2 − 1du = −

Z

dx


すなわち (u2 − 1)x = C (C 6= 0は定数). u(x) = y

xとおいて y2 − x2 = Cx.

またも解なのでも含めて最終的な答えはは任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

1 + u2

2uすなわち du

dx=

1 − u2

2xu


2u

u2 − 1du = −

Z

dx


すなわち (u2 − 1)x = C (C 6= 0は定数). u(x) = y


また y = ±xも解なので, C = 0も含めて最終的な答えは

は任意の定数


2.同次形 (u =y


[例題]



dx=

x2 + y2

2xy=

1 +`

y

x

´2

2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

1 + u2

2uすなわち du

dx=

1 − u2

2xu


2u

u2 − 1du = −

Z

dx


すなわち (u2 − 1)x = C (C 6= 0は定数). u(x) = y


また y = ±xも解なので, C = 0も含めて最終的な答えはy2 − x2 = Cx (C は任意の定数)


2.同次形 (u =y


[練習問題]

(x − 2y)y′ = 2x − y の一般解を求めよ.

解答この方程式は

と変形できるので同次形であるすなわちとおいてより方程式は

すなわち


は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


すなわちとおいてより方程式は

すなわち


は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du

dx+ uより

方程式は

すなわち


は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

2 − u

1 − 2uすなわち du

dx= 2

1 − u + u2

x(1 − 2u)


これを解くと

は積分定数


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

2 − u


dx= 2

1 − u + u2

x(1 − 2u)


1 − 2u

1 − u + u2du = 2

Z

dx

x··· − log |1 − u + u2| = 2 log |x| + c (cは積分定数)


は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

2 − u


dx= 2

1 − u + u2

x(1 − 2u)


1 − 2u

1 − u + u2du = 2

Z

dx


すなわち (u2 − u + 1)x2 = C (C 6= 0は定数).

とおいてまたも解なのでも含めて最終的な答えは

は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

2 − u


dx= 2

1 − u + u2

x(1 − 2u)


1 − 2u

1 − u + u2du = 2

Z

dx


すなわち (u2 − u + 1)x2 = C (C 6= 0は定数). u(x) = y

xとおいて

x2 − xy + y2 = C.

またも解なのでも含めて最終的な答えはは任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

2 − u


dx= 2

1 − u + u2

x(1 − 2u)


1 − 2u

1 − u + u2du = 2

Z

dx



xとおいて

x2 − xy + y2 = C. また x2 − xy + y2 = 0も解なので, C = 0も含めて最終的な答えは

は任意の定数


2.同次形 (u =y


[練習問題]



dx=

2x − y

x − 2y=

2 −`

y

x

´

1 − 2`

y

x

´


u(x) =y(x)


dy

dx= x

du


xdu

dx+ u =

2 − u


dx= 2

1 − u + u2

x(1 − 2u)


1 − 2u

1 − u + u2du = 2

Z

dx



xとおいて

x2 − xy + y2 = C. また x2 − xy + y2 = 0も解なので, C = 0も含めて最終的な答えはx2 − xy + y2 = C (C は任意の定数)


3.完全微分方程式



y を xの関数 y = y(x)として,常にdy

dx= f(x)

の関係が成り立つ訳ではないが,

毎に

または

のどちらかが成り立つとき

と書くこの微分方程式に対しの関数でとなるものが

あればがの一般解になるがについて解けてとがの関数として表せる場合の両辺をで微分して

がについて解けてとがの関数として表せる場合の両辺をで微分して

よってはを満たす




dx= f(x)

の関係が成り立つ訳ではないが, (x, y)毎に

M(x, y) + N(x, y)dy

dx= 0 または M(x, y)

dx

dy+ N(x, y) = 0

のどちらかが成り立つとき,

と書くこの微分方程式に対しの関数でとなるものが







dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.

この微分方程式に対しの関数でとなるものが







dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.

この微分方程式に対し x, y の関数 u(x, y)で, M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yとなるものが

あれば, u(x, y) = C が (3)の一般解になる.







dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u


あれば, u(x, y) = C が (3)の一般解になる.··· u(x, y) = C が xについて解けて, u(x, y(x)) = C と y が xの関数として表せる場合

の両辺をで微分して






dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u


あれば, u(x, y) = C が (3)の一般解になる.··· u(x, y) = C が xについて解けて, u(x, y(x)) = C と y が xの関数として表せる場合u(x, y(x)) = C の両辺を xで微分して,






dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u



∂u

∂x+

∂u

∂y

dy

dx= M(x, y) + N(x, y)

dy

dx= 0






dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u



∂u

∂x+

∂u

∂y

dy

dx= M(x, y) + N(x, y)

dy

dx= 0

u(x, y) = C が y について解けて, u(x(y), y) = C と xが y の関数として表せる場合

の両辺をで微分して





dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u



∂u

∂x+

∂u

∂y

dy

dx= M(x, y) + N(x, y)

dy

dx= 0

u(x, y) = C が y について解けて, u(x(y), y) = C と xが y の関数として表せる場合u(x(y), y) = C の両辺を y で微分して,





dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u



∂u

∂x+

∂u

∂y

dy

dx= M(x, y) + N(x, y)

dy

dx= 0


∂u

∂x

dx

dy+

∂u

∂y= M(x, y)

dx

dy+ N(x, y) = 0





dx= f(x)


M(x, y) + N(x, y)dy


dx

dy+ N(x, y) = 0


M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

と書く.


∂x, N(x, y) =

∂u



∂u

∂x+

∂u

∂y

dy

dx= M(x, y) + N(x, y)

dy

dx= 0


∂u

∂x

dx

dy+

∂u

∂y= M(x, y)

dx

dy+ N(x, y) = 0

よって, u(x, y) = C は (3)を満たす.



[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

＊

が成り立つは二回連続的微分可能とする＊が成り立つ場合は完全であるというの求め方

の両辺をで積分して

はのみの関数

これをで偏微分して

よりを求めるとが求まる注　

としてからを求めても良い



[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(＊)

が成り立つ.(uは二回連続的微分可能とする.)

＊が成り立つ場合は完全であるというの求め方


はのみの関数






[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(＊)

が成り立つ.(uは二回連続的微分可能とする.) (＊)が成り立つ場合, (3)は完全であるという.

の求め方


はのみの関数






[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(＊)

が成り立つ.(uは二回連続的微分可能とする.) (＊)が成り立つ場合, (3)は完全であるという.[uの求め方]


はのみの関数






[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(＊)


∂u

∂x= M(x, y)の両辺を xで積分して

u(x, y) =

Z

M(x, y)dx + k(y), (k(y)は y のみの関数)






[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(＊)


∂u


u(x, y) =

Z


これを y で偏微分して∂u

∂y=

∂

∂y

Z

Mdx +dk

dy= N(x, y)

より k(y)を求めると u(x, y)が求まる.

注　としてからを求めても良い



[判定法]

M(x, y) =∂u

∂x, N(x, y) =

∂u

∂yならば,

∂M(x, y)

∂y=

∂2u

∂y∂x,

∂N(x, y)

∂x=

∂2u

∂x∂yなので,

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x(＊)


∂u


u(x, y) =

Z


これを y で偏微分して∂u

∂y=

∂

∂y

Z

Mdx +dk

dy= N(x, y)

より k(y)を求めると u(x, y)が求まる.[注] 　u(x, y) =

Z

N(x, y)dy + l(x)として,∂u

∂x= M(x, y)から l(x)を求めても良い.



[例題]

2x sin 3ydx + 3x2 cos 3ydy = 0 を解け

解答

よりこの方程式は完全である従って

これをで微分して

よって即ち定数従って一般解は



[例題]


[解答]

∂

∂y(2x sin 3y) = 6x cos 3y =

∂

∂x(3x2 cos 3y)よりこの方程式は完全である.

従って





[例題]


[解答]

∂


∂

∂x(3x2 cos 3y)よりこの方程式は完全である. 従って

u(x, y) =

Z

2x sin 3y dx + k(y) = x2 sin 3y + k(y).





[例題]


[解答]

∂


∂


u(x, y) =

Z


これを y で微分して∂

∂y

`

x2 sin 3y + k(y)´

= 3x2 cos 3y +dk

dy= 3x2 cos 3y




[例題]


[解答]

∂


∂


u(x, y) =

Z



∂y

`

x2 sin 3y + k(y)´

= 3x2 cos 3y +dk

dy= 3x2 cos 3y

よって dk

dy= 0

即ち定数従って一般解は



[例題]


[解答]

∂


∂


u(x, y) =

Z



∂y

`

x2 sin 3y + k(y)´

= 3x2 cos 3y +dk

dy= 3x2 cos 3y

よって dk

dy= 0 即ち k = C′ (定数)

従って一般解は



[例題]


[解答]

∂


∂


u(x, y) =

Z



∂y

`

x2 sin 3y + k(y)´

= 3x2 cos 3y +dk

dy= 3x2 cos 3y

よって dk

dy= 0 即ち k = C′ (定数) 従って一般解は

x2 sin 3y = C



[練習問題１]

x2 + y2 = C を一般解とする完全微分方程式を導け.

解答とおくとよって求める微分方程式は

両辺を割ってでも同じ

練習問題２が完全であることを示し、解け

解答






[練習問題１]


[解答]

u(x, y) = x2 + y2 とおくと

よって求める微分方程式は



解答






[練習問題１]


[解答]

u(x, y) = x2 + y2 とおくと ∂u

∂xdx +

∂u

∂ydy = 2xdx + 2ydy

よって求める微分方程式は



解答






[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u

∂ydy = 2xdx + 2ydy よって求める微分方程式は

2xdx + 2ydy = 0 (両辺を 2 割って xdx + ydy = 0でも同じ )


解答






[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u



[練習問題２]ydx + xdy = 0 が完全であることを示し、解け.

解答






[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u




[解答]

∂

∂y(y) = 1 =

∂

∂x(x)より,この方程式は完全である.

従って





[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u




[解答]

∂

∂y(y) = 1 =

∂

∂x(x)より,この方程式は完全である. 従って

u(x, y) =

Z

y dx + k(y) = xy + k(y).





[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u




[解答]

∂

∂y(y) = 1 =

∂


u(x, y) =

Z

y dx + k(y) = xy + k(y).


∂y(xy + k(y)) = x +

dk

dy= x




[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u




[解答]

∂

∂y(y) = 1 =

∂


u(x, y) =

Z

y dx + k(y) = xy + k(y).


∂y(xy + k(y)) = x +

dk

dy= x

よって dk

dy= 0




[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u




[解答]

∂

∂y(y) = 1 =

∂


u(x, y) =

Z

y dx + k(y) = xy + k(y).


∂y(xy + k(y)) = x +

dk

dy= x

よって dk

dy= 0 即ち k = C′ (定数)




[練習問題１]


[解答]


∂xdx +

∂u




[解答]

∂

∂y(y) = 1 =

∂


u(x, y) =

Z

y dx + k(y) = xy + k(y).


∂y(xy + k(y)) = x +

dk

dy= x

よって dk

dy= 0 即ち k = C′ (定数) 従って一般解は

xy = C


4.積分因子


4.積分因子

与えられた微分方程式P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

は完全ではないが,適当な関数 F (x, y)を全体に掛けることにより,

F (x, y)P (x, y)dx + F (x, y)Q(x, y)dy = 0

を完全に出来るものがある.

この様なをこの微分方程式の積分因子と呼ぶ注意積分因子は存在する場合一つではない実は無限箇例題

は微分方程式

の積分因子であること示しこの方程式を解け解答元の方程式にを掛けた微分方程式

は完全でありその一般解はである


4.積分因子




を完全に出来るものがある. この様な F (x, y)を,この微分方程式の積分因子と呼ぶ.

注意積分因子は存在する場合一つではない実は無限箇例題

は微分方程式




4.積分因子




を完全に出来るものがある. この様な F (x, y)を,この微分方程式の積分因子と呼ぶ.[注意]

積分因子は (存在する場合)一つではない (実は無限箇).

例題は微分方程式




4.積分因子





積分因子は (存在する場合)一つではない (実は無限箇).[例題]

F (x, y) = 1x2は微分方程式

−ydx + xdy = 0

の積分因子であること示し,この方程式を解け.

解答元の方程式にを掛けた微分方程式



4.積分因子







−ydx + xdy = 0

の積分因子であること示し,この方程式を解け.[解答]

元の方程式に F (x, y)を掛けた微分方程式

−y

x2dx +

1

xdy = 0

は完全であり,

その一般解はである


4.積分因子







−ydx + xdy = 0

の積分因子であること示し,この方程式を解け.[解答]

元の方程式に F (x, y)を掛けた微分方程式

−y

x2dx +

1

xdy = 0

は完全であり, その一般解は y

x= C である.


4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2

は微分方程式−ydx + xdy = 0

の積分因子であること示し,この方程式を解け.

解答元の方程式にを掛けた微分方程式

について

よりこの方程式は完全である

従って




4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2


の積分因子であること示し,この方程式を解け.[解答]元の方程式に F (x, y)を掛けた微分方程式

−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,

よりこの方程式は完全である

従って




4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«

よりこの方程式は完全である.

従って




4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«


従ってu(x, y) = −

Z

y

x2 + y2dx + k(y)




4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«



Z

y

x2 + y2dx + k(y) = −

1

y

Z

1

1 +“

x

y

”2dx + k(y)




4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«



Z

y

x2 + y2dx + k(y) = −

1

y

Z

1

1 +“

x

y

”2dx + k(y) = − tan−1 x

y+ k(y).




4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«



Z

y

x2 + y2dx + k(y) = −

1

y

Z

1

1 +“

x

y

”2dx + k(y) = − tan−1 x

y+ k(y).


∂y

„

− tan−1 x

y+ k(y)

«

=1

1 +“

x

y

”2

x

y2+

dk

dy=

x

x2 + y2



4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«



Z

y

x2 + y2dx + k(y) = −

1

y

Z

1

1 +“

x

y

”2dx + k(y) = − tan−1 x

y+ k(y).


∂y

„

− tan−1 x

y+ k(y)

«

=1

1 +“

x

y

”2

x

y2+

dk

dy=

x

x2 + y2

よって dk

dy= 0



4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«



Z

y

x2 + y2dx + k(y) = −

1

y

Z

1

1 +“

x

y

”2dx + k(y) = − tan−1 x

y+ k(y).


∂y

„

− tan−1 x

y+ k(y)

«

=1

1 +“

x

y

”2

x

y2+

dk

dy=

x

x2 + y2

よって dk

dy= 0 即ち k = C′ (定数).



4.積分因子

[練習問題]

F (x, y) = 1x2+y2



−y

x2 + y2dx +

x

x2 + y2dy = 0

について,∂

∂y

„

−y

x2 + y2

«

=y2 − x2

(x2 + y2)2=

∂

∂x

„

x

x2 + y2

«



Z

y

x2 + y2dx + k(y) = −

1

y

Z

1

1 +“

x

y

”2dx + k(y) = − tan−1 x

y+ k(y).


∂y

„

− tan−1 x

y+ k(y)

«

=1

1 +“

x

y

”2

x

y2+

dk

dy=

x

x2 + y2

よって dk

dy= 0 即ち k = C′ (定数). 従って一般解は tan−1 x

y= C


4.積分因子

[積分因子の求め方]

一般に積分因子を求めるのは難しいので, F が以下の様な形をしていると仮定して求める場合が多い：

のみの関数又はのみの関数

又は例題

の積分因子を求め解け

解答よりこの方程式は完全ではない

を積分因子とするとより

従ってが積分因子で

は完全になるこの方程式を解いて一般解は


4.積分因子


一般に積分因子を求めるのは難しいので, F が以下の様な形をしていると仮定して求める場合が多い：(i) F = F (x) (xのみの関数)又は, F = F (y) (y のみの関数)

又は例題







4.積分因子


一般に積分因子を求めるのは難しいので, F が以下の様な形をしていると仮定して求める場合が多い：(i) F = F (x) (xのみの関数)又は, F = F (y) (y のみの関数)(ii) F = xmyn

又は例題







4.積分因子



(iii) F = F (x + y), F = F (x − y),又は F = F (xy)

例題の積分因子を求め解け






4.積分因子




[例題](xy + y2)dx + (x2 − xy)dy = 0 の積分因子を求め,解け






4.積分因子





[解答]∂

∂y(xy + y2) = x + 2y 6= 2x − y =

∂

∂x(x2 − xy)より, この方程式は完全ではない.





4.積分因子





[解答]∂

∂y(xy + y2) = x + 2y 6= 2x − y =

∂


F (x, y) = xmyn を積分因子とすると,

より




4.積分因子





[解答]∂

∂y(xy + y2) = x + 2y 6= 2x − y =

∂


F (x, y) = xmyn を積分因子とすると,∂

∂y(xm+1yn+1 + xmyn+2) =

∂

∂x(xm+2yn − xm+1yn+1)より




4.積分因子





[解答]∂

∂y(xy + y2) = x + 2y 6= 2x − y =

∂



∂y(xm+1yn+1 + xmyn+2) =

∂

∂x(xm+2yn − xm+1yn+1)より m = −2, n = −1.




4.積分因子





[解答]∂

∂y(xy + y2) = x + 2y 6= 2x − y =

∂



∂y(xm+1yn+1 + xmyn+2) =

∂

∂x(xm+2yn − xm+1yn+1)より m = −2, n = −1.

従って F (x, y) = 1x2y

が積分因子で„

1

x+

y

x2

«

dx +

„

1

y−

1

x

«

dy = 0

は完全になる.

この方程式を解いて一般解は


4.積分因子





[解答]∂

∂y(xy + y2) = x + 2y 6= 2x − y =

∂



∂y(xm+1yn+1 + xmyn+2) =

∂

∂x(xm+2yn − xm+1yn+1)より m = −2, n = −1.

従って F (x, y) = 1x2y

が積分因子で„

1

x+

y

x2

«

dx +

„

1

y−

1

x

«

dy = 0

は完全になる. この方程式を解いて,一般解は xy = Cey

x (C 6= 0)


4.積分因子

[練習問題]

(4x2y3 − 2y)dx + (3x3y2 − x)dy = 0 の積分因子を F = F (x)の形で求め,解け

解答よりこの方程式は完全

ではないを積分因子とすると

よりよって従ってが積分因子で



4.積分因子

[練習問題]

(4x2y3 − 2y)dx + (3x3y2 − x)dy = 0 の積分因子を F = F (x)の形で求め,解け[解答]∂

∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂

∂x(3x3y2 − x)より, この方程式は完全

ではない.

を積分因子とすると




4.積分因子

[練習問題]


∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂


ではない.F = F (x)を積分因子とすると,




4.積分因子

[練習問題]


∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂


ではない.F = F (x)を積分因子とすると,∂

∂y

˘

F (4x2y3−2y)¯

= F (12x2y2−2) = F ′(3x3y2−x) + F (9x2y2−1) =∂

∂x

˘

F (3x3y2−x)¯

より

よって従ってが積分因子で



4.積分因子

[練習問題]


∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂



∂y

˘

F (4x2y3−2y)¯

= F (12x2y2−2) = F ′(3x3y2−x) + F (9x2y2−1) =∂

∂x

˘

F (3x3y2−x)¯

より dF

dx=

1

xF .

よって従ってが積分因子で



4.積分因子

[練習問題]


∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂



∂y

˘

F (4x2y3−2y)¯

= F (12x2y2−2) = F ′(3x3y2−x) + F (9x2y2−1) =∂

∂x

˘

F (3x3y2−x)¯

より dF

dx=

1

xF . よって

Z

dF

F=

Z

dx

x.




4.積分因子

[練習問題]


∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂



∂y

˘

F (4x2y3−2y)¯

= F (12x2y2−2) = F ′(3x3y2−x) + F (9x2y2−1) =∂

∂x

˘

F (3x3y2−x)¯

より dF

dx=

1

xF . よって

Z

dF

F=

Z

dx

x.

従って F (x) = xが積分因子で(4x3y3 − 2xy)dx + (3x4y2 − x2)dy = 0

は完全になる.

この方程式を解いて一般解は


4.積分因子

[練習問題]


∂y(4x2y3 − 2y) = 12x2y2 − 2 6= 9x2y2 − 1 =

∂



∂y

˘

F (4x2y3−2y)¯

= F (12x2y2−2) = F ′(3x3y2−x) + F (9x2y2−1) =∂

∂x

˘

F (3x3y2−x)¯

より dF

dx=

1

xF . よって

Z

dF

F=

Z

dx

x.

従って F (x) = xが積分因子で(4x3y3 − 2xy)dx + (3x4y2 − x2)dy = 0

は完全になる. この方程式を解いて,一般解は

x4y3 − x2y = C


5.一階線形微分方程式 (定数変化法)



x を独立変数とし, y = y(x) を未知関数とするときdy

dx+ p(x)y = q(x) (4)

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.

この形の微分方程式は先ず次の変数分離形の方程式を解く：

＊

この方程式を方程式に対応する線形同次方程式とよぶ＊の解は

よりは定数

ここでと定数が変化すると考えてに代入すると

× ×従ってとなりの

解はとなる




dx+ p(x)y = q(x) (4)

の形の常微分方程式を一階線形微分方程式とよぶ.この形の微分方程式は,先ず次の変数分離形の方程式を解く：

dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)

この方程式を方程式に対応する線形同次方程式とよぶ＊の解は

よりは定数



解はとなる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)

この方程式を,方程式 (4) に対応する線形同次方程式とよぶ.

＊の解は

よりは定数



解はとなる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)

この方程式を,方程式 (4) に対応する線形同次方程式とよぶ. (＊) の解はZ

dy

y= −

Z

p(x)dx より y = C exp{−

Z

p(x)dx} (C は定数)



解はとなる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z


ここで, C = C(x)と定数が変化すると考えて (4) に代入すると


解はとなる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z


ここで, C = C(x)と定数が変化すると考えて (4) に代入するとdy

dx+ p(x)y =

dC

dxexp{−

Z

p(x)dx} − Cp(x) exp{−

Z

p(x)dx} + p(x)C exp{−

Z

p(x)dx}


解はとなる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z



dx+ p(x)y =

dC

dxexp{−

Z


Z


Z

p(x)dx}× ×

従ってとなりの解は

となる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z



dx+ p(x)y =

dC

dxexp{−

Z


Z


Z

p(x)dx}× ×=

dC

dxexp{−

Z

p(x)dx} = q(x)


となる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z



dx+ p(x)y =

dC

dxexp{−

Z


Z


Z

p(x)dx}× ×=

dC

dxexp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

···dC

dx= q(x) exp{

Z

p(x)dx}


となる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z



dx+ p(x)y =

dC

dxexp{−

Z


Z


Z

p(x)dx}× ×=

dC

dxexp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

···dC

dx= q(x) exp{

Z

p(x)dx} 従って C(x) =

Z

q(x) exp{

Z

p(x)dx}dxとなり,

の解は

となる




dx+ p(x)y = q(x) (4)


dy

dx+ p(x)y = 0 (＊)


dy

y= −

Z


Z



dx+ p(x)y =

dC

dxexp{−

Z


Z


Z

p(x)dx}× ×=

dC

dxexp{−

Z

p(x)dx} = q(x)

···dC

dx= q(x) exp{

Z

p(x)dx} 従って C(x) =

Z

q(x) exp{

Z

p(x)dx}dxとなり, (4) の解は

y =

„Z

q(x) exp{

Z

p(x)dx}dx

«

exp{−

Z

p(x)dx} となる.



[例題]

y′ +2x

x2 + 1y = 4x の一般解を求めよ. (5)

解答対応する線形同次方程式は

この解はすなわち

としてに代入すると

は積分定数

従って解はは任意の定数



[例題]

y′ +2x


[解答]対応する線形同次方程式は

dy

dx+

2x

x2 + 1y = 0



は積分定数




[例題]

y′ +2x



dy

dx+

2x

x2 + 1y = 0

この解は log |y| = − log(x2 + 1) + cすなわち y =C

x2 + 1


は積分定数




[例題]

y′ +2x



dy

dx+

2x

x2 + 1y = 0


x2 + 1

y =C(x)

x2 + 1として (5) に代入すると

は積分定数




[例題]

y′ +2x



dy

dx+

2x

x2 + 1y = 0


x2 + 1

y =C(x)

x2 + 1として (5) に代入すると C′

x2 + 1= 4x i.e. C′ = 4x(x2 + 1)

は積分定数




[例題]

y′ +2x



dy

dx+

2x

x2 + 1y = 0


x2 + 1

y =C(x)


x2 + 1= 4x i.e. C′ = 4x(x2 + 1)

··· C(x) = x4 + 2x2 + c (cは積分定数)




[例題]

y′ +2x



dy

dx+

2x

x2 + 1y = 0


x2 + 1

y =C(x)


x2 + 1= 4x i.e. C′ = 4x(x2 + 1)

··· C(x) = x4 + 2x2 + c (cは積分定数)

従って解は y =x4 + 2x2 + c

x2 + 1(cは任意の定数).



[練習問題]

y′ −1

xy = x cos x の一般解を求めよ. (6)

解答対応する線形同次方程式は



は積分定数




[練習問題]

y′ −1


[解答]対応する線形同次方程式はdy

dx−

1

xy = 0



は積分定数




[練習問題]

y′ −1



dx−

1

xy = 0

この解は log |y| = log |x| + cすなわち y = Cx


は積分定数




[練習問題]

y′ −1



dx−

1

xy = 0


y = C(x)x として (6) に代入すると

は積分定数




[練習問題]

y′ −1



dx−

1

xy = 0


y = C(x)x として (6) に代入すると C′x = x cos x i .e. C′ = cos x

は積分定数




[練習問題]

y′ −1



dx−

1

xy = 0



··· C(x) = sin x + c (cは積分定数)




[練習問題]

y′ −1



dx−

1

xy = 0



··· C(x) = sin x + c (cは積分定数)

従って解は y = x sin x + cx (cは任意の定数).


6.一その他


6.一その他

[変数分離形に帰着出来る微分方程式]

の形の方程式はとおくと変数分離形に帰着できる

練習問題の一般解を求めよ

解答は任意の定数


6.一その他


y′ = f(ax + by + c)

の形の方程式は u = ax + by + cとおくと変数分離形に帰着できる.




6.一その他


y′ = f(ax + by + c)


[練習問題] y′ = (x + y)2 の一般解を求めよ.



6.一その他


y′ = f(ax + by + c)


[練習問題] y′ = (x + y)2 の一般解を求めよ.

[解答] y = tan(x + c) − x (cは任意の定数)


6.一その他

[クレーローの方程式]

の形の方程式はクレーローの方程式というこの形の方程式はとおいての両辺を微分して

つまり

となるの場合定数より解は

一般解または１パラメタ解とよぶ

の場合解はを媒介変数として：

特異解とよぶ

練習問題次の方程式を解け：

解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)

の形の方程式はクレーローの方程式という.

この形の方程式はとおいての両辺を微分して

つまり

となるの場合定数より解は



特異解とよぶ


解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)

の形の方程式はクレーローの方程式という. この形の方程式は, p = y′ とおいてy = xp + f(p)の両辺を微分して

y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0

となる.

の場合定数より解は



特異解とよぶ


解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)


y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0

となる. p′ = 0の場合, p = C (定数)より解は



特異解とよぶ


解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)


y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0


y = Cx + f(C) (一般解または１パラメタ解とよぶ)


特異解とよぶ


解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)


y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0



x + f ′(p) = 0の場合,解は pを媒介変数として：

特異解とよぶ


解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)


y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0




x = −f ′(p) y = xp + f(p) (特異解とよぶ)


解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)


y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0





[練習問題]

次の方程式を解け：y = xy′ +1

2(y′)2

解答及び


6.一その他


y = xy′ + f(y′)


y′ = p + xp′ + f ′(p)p′ つまり (x + f ′(p))p′ = 0





[練習問題]

次の方程式を解け：y = xy′ +1

2(y′)2

[解答]

y = Cx +1

2C2 及び y = −

1

2x2


6.一その他

[ベルヌーイの方程式]

の形の方程式はベルヌーイの方程式というこの形の方程式はとおき方程式全体にを掛けた

を考えると一階線形微分方程式

に帰着出来る




6.一その他


y′ + p(x)y = q(x)yα (α 6= 0, 1)

の形の方程式はベルヌーイの方程式という. この形の方程式は u = y(1−α) とおき,方程式全体に (1 − α)y−α を掛けた

(1 − α)y−αy′ + (1 − α)p(x)y(1−α) = (1 − α)q(x)

を考えると,一階線形微分方程式:

に帰着出来る




6.一その他


y′ + p(x)y = q(x)yα (α 6= 0, 1)


(1 − α)y−αy′ + (1 − α)p(x)y(1−α) = (1 − α)q(x)


u′ + (1 − α)p(x)u = (1 − α)q(x)

に帰着出来る.




6.一その他


y′ + p(x)y = q(x)yα (α 6= 0, 1)


(1 − α)y−αy′ + (1 − α)p(x)y(1−α) = (1 − α)q(x)


u′ + (1 − α)p(x)u = (1 − α)q(x)

に帰着出来る.

[練習問題] y′ + y =4x(x + 1)

yの一般解を求めよ.



6.一その他


y′ + p(x)y = q(x)yα (α 6= 0, 1)


(1 − α)y−αy′ + (1 − α)p(x)y(1−α) = (1 − α)q(x)


u′ + (1 − α)p(x)u = (1 − α)q(x)

に帰着出来る.

[練習問題] y′ + y =4x(x + 1)

yの一般解を求めよ.

[解答] y2 = ce−2x + 4x2 (cは任意の定数)


6.一その他

[リッカチの方程式]

の形の方程式はリッカチの方程式というこの方程式の特殊解が一つ分かっているときとおいて方程式に代入すると

両辺にを掛けて

これを整理するとに関する一階線形常微分方程式を得る：

これをについて解いてが元の方程式の一般解である


解答及びは任意の定数


6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)

の形の方程式はリッカチの方程式という.

この方程式の特殊解が一つ分かっているときとおいて方程式に代入すると







6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)

の形の方程式はリッカチの方程式という. この方程式の特殊解 y = y1(x)が一つ分かっているとき y = y1(x) + 1

uとおいて方程式に代入すると







6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)



y′

1(x) −u′

u2= p(x)

„

y1(x) +1

u

«2

+ q(x)

„

y1(x) +1

u

«

+ r(x)







6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)



y′

1(x) −u′

u2= p(x)

„

y1(x) +1

u

«2

+ q(x)

„

y1(x) +1

u

«

+ r(x)

両辺に u2 を掛けてy′

1(x)u2 − u′ = p(x) (y1(x)u + 1)2 + q(x)`

y1(x)u2 + u´

+ r(x)u2






6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)



y′

1(x) −u′

u2= p(x)

„

y1(x) +1

u

«2

+ q(x)

„

y1(x) +1

u

«

+ r(x)


1(x)u2 − u′ = p(x) (y1(x)u + 1)2 + q(x)`

y1(x)u2 + u´

+ r(x)u2

これを整理すると uに関する一階線形常微分方程式を得る：

u′ + (2p(x)y1(x) + q(x)) u = −p(x)





6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)



y′

1(x) −u′

u2= p(x)

„

y1(x) +1

u

«2

+ q(x)

„

y1(x) +1

u

«

+ r(x)


1(x)u2 − u′ = p(x) (y1(x)u + 1)2 + q(x)`

y1(x)u2 + u´

+ r(x)u2


u′ + (2p(x)y1(x) + q(x)) u = −p(x)

これを uについて解いて y = y1(x) +1

u(x)が元の方程式の一般解である.




6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)



y′

1(x) −u′

u2= p(x)

„

y1(x) +1

u

«2

+ q(x)

„

y1(x) +1

u

«

+ r(x)


1(x)u2 − u′ = p(x) (y1(x)u + 1)2 + q(x)`

y1(x)u2 + u´

+ r(x)u2


u′ + (2p(x)y1(x) + q(x)) u = −p(x)



[練習問題] y′ = xy2 − (2x − 1)y + x − 1 の一般解を求めよ.



6.一その他


y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x)



y′

1(x) −u′

u2= p(x)

„

y1(x) +1

u

«2

+ q(x)

„

y1(x) +1

u

«

+ r(x)


1(x)u2 − u′ = p(x) (y1(x)u + 1)2 + q(x)`

y1(x)u2 + u´

+ r(x)u2


u′ + (2p(x)y1(x) + q(x)) u = −p(x)



[練習問題] y′ = xy2 − (2x − 1)y + x − 1 の一般解を求めよ.

[解答] y = 1 及び y = 1 +1

1 − x + Ce−x(C は任意の定数)


6.一その他

[一階に帰着出来る二階の微分方程式]

独立変数従属変数の二階の常微分方程式が含まず

の形をしているときとおくと方程式はの一階の方程式になる

練習問題を一階の方程式に帰着させて解け



の形をしているときとおくととなりを独立変数とするについての

一階の常微分方程式が得られる




6.一その他


独立変数 x従属変数 y の二階の常微分方程式が, y 含まず

F (x, y′, y′′) = 0

の形をしているとき, y′ = pとおくと方程式は pの一階の方程式になる.









6.一その他



F (x, y′, y′′) = 0


[練習問題] xy′′ + y′ = 0 を一階の方程式に帰着させて解け.








6.一その他



F (x, y′, y′′) = 0



[解答] y = C1 log |x| + C2 (C1, C2 は任意の定数)







6.一その他



F (x, y′, y′′) = 0




独立変数 x従属変数 y の二階の常微分方程式が, x含まず

F (y, y′, y′′) = 0

の形をしているとき, y′ = pとおくと y′′ =dp

dypとなり, yを独立変数とする pについての

一階の常微分方程式が得られる.




6.一その他



F (x, y′, y′′) = 0





F (y, y′, y′′) = 0




[練習問題] y′′ + (y′)2 = 0 を一階の方程式に帰着させて解け.



6.一その他



F (x, y′, y′′) = 0





F (y, y′, y′′) = 0




[練習問題] y′′ + (y′)2 = 0 を一階の方程式に帰着させて解け.

[解答] y = log(C1x + C2) (C1, C2 は任意の定数)


Documents

I. 常微分方程式の初等積分法 - math.kyushu-u.ac.jpsnii/IA/1.pdf · 1. 変数分離形(単に両辺を積分するだけ) I. 常微分方程式の初等積分法– p.3/30