微分積分学レジュメ (ver. 2tkadoda/math/2016calc0608.pdf微分積分学レジュメ(作成中) 2016 年6 月8 日version まえがきと参考文献リスト． (i). このPDF

1

微分積分学　レジュメ (ver. 2作成中)

大東文化大学経済学部　角田ゼミ用　

(c)角田　保

2016年 6月 8日

• ver.2　の初公開日は，2015年 11月 5日．• レジュメはこれから書き足していくので，

(i). 参考文献リストは先に書いておいた．

(ii). このページ・目次・参考文献リストにはページ番号は打っていない．

微分積分学　レジュメ (作成中) 2016年 6月 8日 version

目次

第 I部増減表を心から理解する 9

1 第 I部の動機と主な定義・定理の見取り図 9

2 実数の公理 17個 14

2.1 記号の準備 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 実数の公理 (1)四則演算に関する公理 10個 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 実数の公理 (2)不等号に関する公理 6個と最大・最小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 実数の公理 (3) 実数の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 上に有界・下に有界・上限・下限 19

4 写像・関数・実数列の定義と数列の収束 21

4.1 記号の準備 ∀, ∃,=⇒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 写像と関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 数列の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4 数列の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5 数列の極限の四則演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6 極限値の不等号と，はさみうちの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.7 上に有界な単調増加数列はその上限に収束する . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.8 上極限と下極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.9 有界な数列は収束する部分列を持つ (ボルツァーノ・ワイエルシュトラス) . . . . . . . . . . . 41

5 1変数実数値関数の極限と連続性 43

5.1 記号の準備: 開区間・閉区間・近傍・除外近傍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 x→ ±∞のときの f(x)の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 x→ cのときの f(x)の極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4 連続関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.5 連続関数の四則:　数列との関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 有界閉区間で定義された連続関数は最大値・最小値を持つ 59

7 中間値の定理 60

8 微分法 (1): 導関数の定義と導関数の四則 61

8.1 導関数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

8.2 導関数の四則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8.3 高階導関数と Cn 級 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2


9 ロルの定理・平均値の定理・1回微分と関数のグラフ 65

9.1 ロルの定理と平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.2 1回微分と狭義単調増加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

10 「最大・最小・極大・極小」と「関数の凹凸」と微分の関係 68

10.1 最大・最小・極大・極小の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.2 関数の凹凸の定義と 1回微分・2回微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10.3 凹凸・微分・最大・最小・極大・極小をひとまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11 おまけ:　コーシーの平均値の定理とド・ロピタルの定理 77

12 落穂ひろい [1] 微分法 (2)　合成関数の定義と合成関数の微分 80

12.1 合成関数の定義と連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

12.2 合成関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

13 落穂ひろい [2]: 逆関数の定義・連続性・微分 83

14 落穂ひろい [3]: 平均値の定理の拡張とテイラーの公式 86

15 落穂ひろい [4]:コーシー列と収束 90

16 落穂ひろい [5]:数列から関数への極限の拡張 92

16.1 コーシー列の関数への拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

16.2 定理 5.10から定理 5.14以外の極限の拡張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

17 落穂ひろい [6]:無限小・ランダウの記号と，微分 96

18 落穂ひろい [7]:eの定義 99

第 II部等式制約の最大化問題を心から理解する 102

19 第 II部の動機と主な定義 102

20 d次の実数について 104

20.1 ベクトルと点列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

20.2 開集合・閉集合・閉包 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

20.3 点列の収束とボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

21 関数の極限値と連続関数 108

21.1 有界閉集合で定義された連続関数は最大値・最小値を持つ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

22 微分法 (3)　多変数の微分 110

22.1 行列の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

22.2 偏微分と微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3


22.3 多変数の偏導関数の四則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

23 最大・最小と関数の凹凸と偏微分の関係 115

23.1 擬凸関数・擬凹関数と，制約なしの最大化・最小化問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

23.2 準凸関数・準凹関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

24 関数の凹凸性と，等式制約の最大化・最小化問題 129

25 関数の凹凸性と，複数の不等式制約下の最大化・最小化問題 131

26 落穂ひろい [1]: d変数 n実数値関数・多変数関数の合成関数と合成関数の微分 133

26.1 行列の復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

26.2 d変数 n実数値関数の連続性と微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

26.3 多変数関数の合成関数と合成関数の微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

27 落穂ひろい [2]: d変数実数値関数の，高階導関数とテイラーの公式 138

28 落穂ひろい [3]: C2 級の d変数実数値関数の凹凸 141

28.1 行列のランク・固有値・対称行列などの復習 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

28.2 C2 級の d変数実数値関数の凹凸と，極大・極小 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

29 落穂ひろい [4]: 関数列の収束とコーシー列 147

30 落穂ひろい [5]:　陰関数定理 150

30.1 陰関数定理の動機 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

30.2 有限増分の公式とリプシッツ連続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

30.3 陰関数定理の証明 I・・・連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

30.4 陰関数定理の証明 II・・・微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

31 凹凸不明の関数についての，等式制約付きの極値問題 159

31.1 部分行列の行列式に関する復習と 2次形式への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

31.2 一般の関数の場合の，等式制約付きの極値問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

第 III部積分の定義やリーマン積分を心から理解する 166

32 第 III部の動機と主な定義 166

33 積分の定義 169

33.1 区間の分割・上限和・下限和・上積分・下積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

33.2 リーマン和と可積分条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

33.3 原始関数・一様連続・微分積分学の基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

33.4 広義積分 (1)　積分区間が有界ではない場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

33.5 広義積分 (2)　関数が有界ではない場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4


34 積分の計算 184

34.1 奇関数・偶関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

34.2 可積分関数の和や定数倍も可積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

34.3 置換積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

34.4 部分積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

35 落穂ひろい [1]: [a, b]で区分的に連続な関数も積分可能 188

36 落穂ひろい [2]: π の定義 189

第 IV部整級数の微分積分について心から理解する 190

37 IV部の動機 190

38 級数の収束と絶対収束 192

39 xの整級数∑an(x− a)n の収束・微分・連続・積分 198

39.1 整級数∑an(x− a)n の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

39.2 整級数∑an(x− a)n の微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

39.3 整級数∑an(x− a)n の連続性と積分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

40 ex と exp(x) 206

41 落穂ひろい [1]: 対数関数の定義と ax, xα 208

42 落穂ひろい [2]: 交代級数 210

43 落穂ひろい [3]: 三角関数の定義 211

44 落穂ひろい [4]: 三角関数の性質 214

第 V部重積分と変数変換の公式について心から理解する・・・作成中 217

5


まえがきと参考文献リスト．

(i). この PDFファイルには，目次および，定義・定理・式番号の参照などにリンクが埋め込まれています．

マウスで左クリックすると，リンク先にジャンプします．もとのページに戻りたいときは，Windows

マシン上の PDFビューアーならば，Altキーを押しながら←キを押すとよいでしょう．PDFの実際の

ページと，第 I部以降の各ページの下にあるページ番号が異なります．

(ii). レジュメの対象読者は，私のゼミ生と意欲のある大東文化大学経済学部生です．よって，経済数学でよ

く使われる微分法を先にして，積分その他は後回しにしています．

(iii). これを 100%理解させようとは，毛頭思っていません．私が話す言葉，・イメージ・図の裏側にある理

論を紹介しています．気に入ったところ，もしくはイメージだけではわかった気がしない場合に，参照

すればよいのです．数学者になるわけではないので，気軽に見てみましょう．

(iv). このレジュメの特徴は，最初に目標を立てて，そこに向かって一直線に進むという形にあります．ある

意味無駄がありません．が，その無駄こそが大事なことが多いので，重要なものを「落穂ひろい」とい

う形で補足しています．

(v). 第 I部以降，各部の最初にある動機の計算さえできれば，学部の経済学での計算で困ることはほとんど

ありません．このレジュメは，その計算の奥にあるものを説明しています．

(vi). 数学の証明は、日常生活だろうが使える発想はどんどん使うということがあります。例を挙げると

（a）数学的帰納法はドミノ倒し: n, k とも自然数とします。ドミノを倒すには、

i. 最初のドミノを倒す。

ii. k 番目のドミノが倒れたならば、必ず k + 1番目のドミノが倒れる。

　ということができれば、任意の n ≥ 1番目ドミノが倒れます。　数学的帰納法とはこの考え方そのものです。

（b）背理法は迷路の 2 差路の選択: 必ずゴールが存在する迷路があるとします。今、2 差路に差し掛

かって右か左を選ばなければならないとしましょう。で、仮に右が正しいとして、右に進んでみた

ところ、行き止まりでした。そうすると、

i. 2差路に戻って、

ii. 左に進むのが正しいわけです。

この考え方が背理法そのものです。実際背理法では、ある仮定を置いて議論を進めてみて、今まで

に成り立っている事柄と矛盾が起こったときに、

i. その仮定を置いた時点に戻って、

ii.「その仮定ではない方が正しい」と判断するわけです。

(vii). 数学では、「0, 1,たくさん」ということも大事です。

（a）「存在するか」は、「1以上」

（b）存在するならば高々 1つ、「0か 1」

（c）唯一存在するは、「1」

何かが 1個だけ決まるというのは、日常生活でもかなり大きいことですから、数学でも同じです。

(viii). 微分積分ではいろいろなことを学びますが、ポイントは極限に関する操作です。たとえば 1以上の整数

m,nについて、分数1

mnを考えましょう。そしてm,nをどんどん大きくしていきます。

（a）mを固定して nだけどんどん大きくする。

（b）nを固定してmだけどんどん大きくする。

6


のどちらの場合も、この分数の値は 0に近づきそうです。でも分数m

nの場合は、(i)の場合は 0に近

づきそうですが、(ii)の場合はそうではなさそうです。

このように「どんどん大きく」や「どんどん小さく」といった考え方 (特に「小さく」)がよく出てき

ます。

(ix). この「どんどん小さく」といった考え方から，微分積分では，数などを不等号によって，評価すること

が多くなります．命題 4.10を見てみましょう．そこでは「a = b」を，「任意の正の数 �(ギリシャ文字

のイプシロン)について，|a− b| < �が成り立つこと」であらわされることを示しています．この不等号で等号が表されることを，これからじっくりと学んでください．

(x). 一見分量が多いようにも見えますが，そうではありません．下の参考文献 [2]のどれかを読めば，これ

でも相当ポイントを絞ってることがわかるでしょう．ですから，仮に本気で取り組みたい人は，次ペー

ジの参考文献の [1][2]の中でどれか 1冊はあった方がよいと思います．個人的には，[高木]の影響を強

く受けている東大系の教授が書いた本を 1冊と，その影響をあまり受けていない，京大教授の [笠原][溝

畑] のどちらか 1 冊の，計 2 冊以上あると便利だと思います．[2] の中で私が最もきちんと読んだのは

[杉浦]です．個人的には [溝畑]が好みですが，学生さんには高価格です．コストパフォーマンスがいい

のは [笠原]かと思います．

(xi). このレジュメで使用するギリシャ文字の読み方は以下です．大文字で使わないものは省略しています．

小文字を使うことが多いです．

大文字小文字　　読み

α : アルファ

β : ベータ

Γ γ : ガンマ

∆ δ : デルタ

� : イプシロン

θ : シータ (セータ)

Λ λ : ラムダ

Π π パイ

Σ σ シグマ

Φ φ ファイ

Ψ ψ プサイ (プシー)

(xii). 参考文献を参照する際は，下記の [　]の書き方で参照します．

[0]まず大東文化大学経済学部の経済数学の教科書などで，簡単な計算に慣れておいてください．

• 浦田健二・神谷諭一・古屋核「経済学を学ぶためのはじめての微分法」，同文舘出版，2012• 木村哲三・浦田健二・古屋核「経済学を学ぶための微分法の基礎」，同文舘出版，2007

[1] 入門的

• 　 [南　他]，南　就将・笠原　勇二・若林　誠一郎・平良　和昭，「明解　微分積分」，数学書房，2010• 　 [斎藤]，斎藤　正彦，　「微分積分学」，東京図書，2006• 　 [吹田・神保]，吹田　信之・神保　経彦，「理工系の微分積分学」，学術図書出版，1987

7


• 　 [小林 1]，小林　昭七，　「微分積分読本 1変数」，裳華房，2000　　　　　　　「続微分積分読本－多変数」，裳華房，2001

[2]本格的

• 　 [高木]，高木　貞治，　「[定本]　解析概論」，岩波書店，2010，　初版は 1938 年．私が持っているのは第 3版の軽装版．

• 　 [杉浦]，杉浦　光夫，　「解析入門 I,II」，東京大学出版会，1980• 　 [小平]，小平　邦彦，　「[軽装版]　解析入門 I,II」，岩波書店，2003，前身の岩波講座基礎数学では1976年

• 　 [溝畑]，溝畑　宏，　　「数学解析上・下」，朝倉書店，1973• 　 [笠原]，笠原　皓司，　「微分積分学」，サイエンス社，1974• 　 [宮島]，宮島　静雄，　「微分積分学 I,II」，共立出版，2003• 　 [Rudin]，W. Rudin, “Principles of Mathematical Analysis 3rd. ed.“, 2006,　　　　第 2版の翻訳:　近藤　基吉・柳原　二郎　訳「復刊現代解析学」(共立出版),2010

• 　 [Apostol]，T. Apostol “Mathematical Analysis 2nd. ed.”, Addison Wesley, 1974

[3]その他

• 　 [小林 2]，小林　昭七，　「円の数学」，裳華房，1977• 　 [四ツ谷]，四ツ谷　晶二，「微分積分」，数学ガイダンス hyper(日本評論社)所収，2005• 　 [古屋]，古屋　茂，　　「新版　微分方程式入門」，サイエンス社，1970• 　 [戸瀬]，戸瀬　信之，　「コア・テキスト　経済数学」，新世社，2004• 　 [小山 1]，小山　昭雄，　「経済数学教室第 5巻・第 6巻」，岩波書店，1995• 　 [小山 2]，小山　昭雄，　「経済数学教室第 1巻・第 2巻」，岩波書店，1995

8


第 I部

増減表を心から理解する経済数学の講義，または高校 3年次の数 IIIの微分積分では，以下の問題の解法を学んだことであろう．

1 第 I部の動機と主な定義・定理の見取り図

例題 1.1 x > 0で定義された 1変数連続関数

f(x) = 2x3 − 15x− 6x

について，y = f(x)のグラフを xy 平面に書き，極大値と極小値を求めよ． y

（解答）

まずは f(x)を xで微分して，導関数を求めたはずである．

f ′(x) = 6x2 − 15 + 6x2

=3

x2(2x4 − 5x2 + 2)

=3

x2(2x2 − 1)(x2 − 2)

=3

x22

(x− 1√

2

)(x+

1√2

)(x−

√2)(x+

√2)

このように因数分解し，x2 > 0, x+ 1/√2 > 0, x+

√2 > 0であることから，

この結果から x = 1/√2,√2を境目に，f ′(x)の正負が変わる．xを 0に近づけると， 6x の影響で f(x)は

−∞に発散し，xを∞に近づけると，∞に発散する．f(x)の増減だけであれば，f ′(x)の符号を考えた，以下のような表を書いたはずである．

x (0) 1√2

√2 (∞)

f ′(x) + 0 − 0 +f(x) (−∞) (∞)

増減表というものは，ある意味グラフを書いたり，関数の増減を調べるための下書きなので，正式にこう書

かなければならないというものではない．が，大体はこのように書いたことであろう．

さて上の表で，f ′(x) > 0ならば f(x)は xについての狭義単調増加関数 (x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2))だから，対応する f(x)の位置には↗をいれたはずである．同様に，f ′(x) < 0ならば f(x)は xについての狭義単調減少関数 (x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2))だから，対応する f(x)位置には↘をいれたはずである．よって，以下の表になる．

x (0) 1/√2

√2 (∞)

f ′(x) + 0 − 0 +f(x) (−∞) ↗ ↘ ↗ (∞)

9


表の矢印より，x = 1/√2のとき極大値をとり，x =

√2のとき極小値をとることがわかる．それぞれ計算

して，

f

(1√2

)= 2/(2

√2)− 15/

√2− 6

√2 = −13

√2, f(

√2) = 4

√2− 15

√2− 6/

√2 = −14

√2

極大値や極小値を知りたければ，上のように f ′(x)のみの増減表で十分である．y = f(x)のグラフを美しく

書くときには，f ′′(x)まで求めた増減表が必要である．グラフの凹凸については，f ′(x) = 6x2 − 15 + 6x2 をもう一度微分して，f ′′(x)の符号を知る必要があるので，これを求めると，

f ′′(x) = 12x− 12x3

=12

x3(x4 − 1)

=12

x2(x2 − 1)(x2 + 1)

=12

x2(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)

この結果 x = 1 を境目に f ′′(x) の符号が変わるので，f ′(x) の結果を含めて増減表の一部を書くと，以下と

なる．

x (0) 1√2

1√2 (∞)

f ′′(x) − − − 0 + + +f ′(x) + 0 − − − 0 +f(x) (−∞) (∞)

f ′′(x)と f ′(x)の符号の組み合わせと記号は，

f ′(x) f ′′(x) 矢印

+ +

+ −− +− −

なので，それに合わせて対応する場所に入れる．さらに f(1/√2), f(

√2)は計算してあるので，f(1)を計算し

て −19だから，

x (0) 1√2

1√2 (∞)

f ′′(x) − − − 0 + + +f ′(x) + 0 − − − 0 +

f(x) (−∞) −13√2 −19 −14

√2 (∞)

と書ける．これをもとにグラフを描くと，図 1.1が得られる．

10


x

y−16

−20

−22

−24

−26

−13√2

−19

1√2

√21 20.3

−26

図 1.1 y = 2x3 − 15x− 6のグラフ

（解答終）

さてこのように y = f(x)を書けたが，この手順を知らない人もいただろうし，この手順を知っていても，

f ′(x) > 0ならば，f(x)は狭義単調増加関数であるということをはじめとして，内容のほとんどは丸暗記して

いたことだろう．これをきちんと心から理解するのが，第 1部の目的である．

そのための道しるべとなる主な定義・定理の見取り図が，13ページにある．参考にしながら，第 I部を読ん

でほしい．

練習 1.2 参考文献ですでに{ex}′ = ex, {ln(x)}′ = 1/x

を学んでいるならば，f(x) = ex, g(x) = ln(x)として (ただし g(x)の定義域は x > 0) ，f ′′(x), g′′(x)を求め

よ．さらに，

(i). xy 平面上に y = f(x)のグラフと直線 y = x+ 1を書け・

(ii). 別の xy 平面上に y = g(x)のグラフと直線 y = x− 1を書け．(iii). h(x) = ex − (x + 1)として h′(x), h′′(x)を求め増減表を書き，h(x) ≥ 0，つまり，以下が成り立つこ

とを示せ．ex ≥ x+ 1 (1.1)

(iv). 同様に，以下を示せ．ln(x) ≤ x− 1 (1.2)

y

11


練習 1.3 参考文献ですでに，ラジアンと

{sinx}′ = cosx, {cosx}′ = − sinx

を学んでいるならば，f(x) = sinx, g(x) = cosxとして f ′′(x), g′′(x)を求めよ．

(i). −2π ≤ x ≤ 2π の範囲で，xy 平面上に y = f(x)のグラフと y = g(x)のグラフを書け．

y

2つの問題の 4つの関数については，第 IV部できちんと定義する．それまでこれらの計算なしで練習問題

を解くと，面白い問題が作れない．そこで定義自体は第 IV部で行うが，計算はできるものとして，練習問題

ではこれらの関数を含めて作ることとする．

12


実数の公理 17個．特に実数の連続性

実数の部分集合で，上に有界かつ非空なものは，上限を持つ

※　実数列の収束の定義:

(∀� > 0)(∃n0 ∈ N)(n ≥ n0 =⇒ |an − α| < �)

上に有界な単調増加数列は収束する

数列の上極限と下極限

有界な数列は収束する部分列を持つ

※　実数値関数の極限値の定義

連続関数の定義

連続関数と数列の関係

数列の極限値の四則

関数の極限値の四則

※　有界閉区間で定義された連続関数は最大値・最小値を持つ

中間値の定理導関数の定義ロルの定理

平均値の定理開区間で f ′(x) > 0なら，狭義単調増加関数

導関数の四則

落穂ひろい 1:合成関数の微分

凸関数・凹関数の定義開区間で f ′′(x) > 0なら，狭義凸関数

落穂ひろい 2: 逆関数の微分コーシーの平均値の定理落穂ひろい 3: テイラーの公式

落穂ひろい 4: コーシー列は収束する

ド・ロピタルの定理落穂ひろい 5: 数列から関数への極限の拡張

※　関数の最大・最小・極大・極小

13


2 実数の公理 17個

2.1 記号の準備

整数の集合は Z で，有理数の集合はQで表すとする．また 0以上の整数の集合を自然数と定義する．自然

数の集合をN とする．ここまでの，整数と有理数については，その性質や計算をよく知っているものとする．

また aが集合 X に含まれるとき，aは X の元 (げん)であるといい，記号では

a ∈ X

で表す．一方集合 Aが集合 B に含まれるときは，

A ⊂ B

で表す．上の Z,Q,N については，N ⊂ Z ⊂ Q

となるのは明らかであろう．∈と ⊂を間違える人が多いので，気を付けること．

•「xが，集合 Aまたは集合 B に含まれる」という考え方が，和集合である．Aと B の和集合を A ∪Bで表す．

•「xが，集合 Aに含まれかつ集合 B にも含まれる」という考え方が，積集合である．Aと B の積集合を A ∩B で表す．

• また空集合 (くうしゅうごう)のことを ∅で表す．これは元が存在しない集合のことである．• また全集合 (今の場合 R) から A を除いたものを，A の補集合といい Ac で表す．補集合は英語だとcompliment setである．

• 集合 Aから集合 B に含まれるものを除いた集合を，A\B で表す．

練習 2.1 集合 A,B が，A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}

このとき，A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ∩B = ∅ であることを確かめよ． y

練習 2.2 次の集合 A,B,C について，

A = {n|n1以上の整数で，2の倍数 }, B = {n|n1以上の整数で，3の倍数 }, C = {n|n1以上の整数で，5の倍数 }

以下の 6つの集合をそれぞれ求めよ．

(1). A ∩B, (2). A ∪B, (3). B ∪ C, (4). A ∪B ∪ C, (5). A ∩B ∩ C, (6). C\A

y

2.2 実数の公理 (1)四則演算に関する公理 10個

さてここで実数とは何かを考えよう．高校では x2 = 2, x > 0を満たす数を√2と学んだはずである．そし

てそれは有理数ではないことも証明されている．実数は有理数の拡張なので，実数の集合を公理的に定める．

14


実数の集合をRとし，a, b, cはRの元とする．このとき和 a+ bと abの両方ともRに含まれて，さらに

以下の 10の公理を認めるものとする．

(i). a+ b = b+ a

(ii). (a+ b) + c = a+ (b+ c)

(iii). 任意の aに対して a+ 0 = aを満たす，Rの元 0が，唯一存在する．

(iv). 任意の aに対して a+ (−a) = 0を満たす，Rの元 −aが，唯一存在する．(v). ab = ba

(vi). (ab)c = a(bc)

(vii). 任意の aに対して，a1 = aを満たすRの元 1が，唯一存在する．

(viii). 任意の a 6= 0に対して，a(a−1) = 1を満たすRの元 a−1 が，唯一存在する．(ix). 0 6= 1(x). (a+ b)c = ac+ bc

注意:　 (i)は 2個の元で成り立っているので，a+ (b+ c) = (b+ c) + a のようにして，有限個の元につい

て成り立つこれは正式には数学的帰納法を使うのだが，まあ明らかだろう．(v)も同様に有限個の元について

成り立つ．(viii)は逆数の存在を示している．(x)は分配法則と呼ばれるものである． (注意終)

1023+765−23+100−65を求めるときに，前から順には計算しないであろう．(1023−23)+(765−65)+100のようにまとめるのが普通である．これは，上の公理の (i)(ii) を組み合わせたものである．雰囲気でいいの

で，上の公理が，「方程式などをはじめとして，小学校以来学んだ等号に関する計算を最小限のもので根拠づ

けている」ということをつかんでもらいたい．

さて，上の公理をもとにして，式を見やすくするため以下のように (中学や高校で)累乗を定義したはずで

ある．つまり実数 aについて a2 をa2 = a · a

と定義したはずである．同じように自然数m,nについて，

am+n = am · an

と定義する．その結果，実数の公理 (viii)と合わせることにより，上の式は自然数のみでなく，整数 m,nに

ついても成り立つことがいえる．これらを使えば，実数 aと整数m,nについて，

amn = (am)n = (an)m

が成り立つことがいえる．累乗は計算ミスする人が多いので，計算時には気を付けるとよい．

練習 2.3 次の値を求めよ．

(1). 23 · 24, (2). (23)2, (3). 2−3, (4). 2−2 · 26 · 2−4

y

練習 2.4 次の式をそれぞれ簡単にせよ．

(1). 3x+ 4 + 6x− 2, (2). − x+ 4 + 12x− 5, (3). x+ 4− (2x− 2)

y

15


練習 2.5 次の xに関する方程式の解を求めよ．

(1). 2x = 3, (2). − 4x+ 7 = 3, (3). x3+ 6 = 2

y

2.3 実数の公理 (2)不等号に関する公理 6個と最大・最小

等号に関する計算は 10個の公理から得られたので，つぎは大小比較である．大小比較については，以下の

6つの公理をさらに仮定する．なお a, b, cがRの元であることは，2.2節と同様である．

(xi). a ≤ a(xii). a ≤ bかつ b ≤ a =⇒ a = b(xiii). a ≤ bかつ b ≤ c =⇒ a ≤ c(xiv). a ≤ bまたは b ≤ aの，少なくとも一方が成り立つ．(xv). a ≤ b =⇒ a+ c ≤ b+ c(xvi). a ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ ab ≥ 0

注意:　高校まででは不等号は 5,= を使っていた．それに合わせて前節までそれを使ってきた．大学では≤,≥を使う本も多くなってくる．よってこれ以降では ≤,≥ を使う． (注意終)2.2節と同様に，「不等式などをはじめとして，小学校以来学んだ不等号に関する計算を最小限のもので根拠

づけている」ということをつかんでもらいたい．

この公理によって 2数の大小関係が得られる．先に書いたように集合の要素のことを，元と呼ぶので，集合

最大値・最小値と呼ばずに最大元，最小元と呼ぶのが一般的である．一応以下のように定義しておく．

定義 2.6 AはRの非空な部分集合とする．

(i). x∗ ∈ A，かつ，任意の x ∈ Aについて x ≤ x∗ が成り立つとき，x∗ を Aの最大元といい，maxAで表す．

(ii). x∗ ∈ A，かつ，任意の x ∈ Aについて x ≥ x∗ が成り立つとき，x∗ を Aの最小元といい，minA で表す．

y

注意:　非空な集合とは，空集合ではない集合と言う意味である． (注意終)

最大値 (maximum) と最小値 (minimum) の英語を覚えておけば，max,min という略語は覚えやすいであ

ろう．

練習 2.7 次の xに関する不等式の解を求めよ．

(1). 2x > 10, (2). − 5x+ 14 ≤ 3, (3). x2+ 8 > 2

y

練習 2.8 次の集合 A,B,C の最大元 maxAと最小元 minAをそれぞれ求めよ．存在しない場合は，存在し

16


ないと書くこと．

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {n|nは 1以上の整数 }, C ={1

n|nは 2以上の整数

}y

2.4 実数の公理 (3) 実数の連続性

高校までは，実数を数直線上の点と同一視してきた．数直線の性質を深く考えて，実数の集合 Rと有理数

の集合Q がどう違うかを説明しよう．実数の連続性を，数直線を使って言葉で書くとしよう．

数直線の中の任意のある値を境目にして，境目の左側の集合を Lとする (境目の値は Lに入っても入らな

くともよい)．

数直線上の残りの集合 (つまり「右側」の集合)を U とする．L,U と名付けたのは，下側 (Lower)と上側

(Upper)の頭文字だからこのように書いた．

さて実数をこのように分割したときのイメージは以下である．

• 上のような集合 L,U を作った時に，以下のどちらかが成り立つ．(i). 小さい方の集合 Lに最大元が存在し，大きい方の集合 U に最小元が存在しない．

(ii). 小さい方の集合 Lに最大元が存在せず，大きい方の集合 U に最小元が存在する．

これを実数の連続性という．以下の 2通りの図を参照するとよい．上の L,U が (i)の場合で，下の L,U が

(ii)の場合である．

L

U

L

U

この L,U のように切断することを，デデキント切断という．デデキントは，有理数の切断と，実数の切断

の違いを考えて，実数と有理数の違いを表した．

また，(a)(b)のうち一方が成り立てば，他方は成り立たないことは明らかであろう．上のイメージを，実際

に公理としたものが以下である．

(xvii). 実数の集合Rを，以下の 3条件を満たすRの部分集合 L,U で分割する．

• L 6= ∅, U 6= ∅• L ∪ U = R, L ∩ U = ∅

17


• 任意の x ∈ Lと任意の y ∈ U について，x < y が成り立つ．この 3条件を満たす任意の分割について，以下のいずれか一方のみが，必ず成り立つ．

• Lに最大元が存在し，U に最小元が存在しない．• Lに最大元が存在せず，U に最小元が存在する．

なお，∞や −∞という記号は，実数には含まれないので注意すること．

練習 2.9 上の公理 (xvii)の L,U について，

(i). Lを以下のように定めたとき，U を求めよ．

(1). L = {x|x < 3}, (2). L = {x|x ≤ 10}, (3). L = {x|x < 5}

(ii). U を以下のように定めたとき，Lを求めよ．

(4). U = {x|x > 18}, (5). U = {x|x > 3}, (6). U = {x|x ≥ 7}

y

18


3 上に有界・下に有界・上限・下限

練習 2.9ですでに書いたが，Aは 3以下の実数の集合であり，Bは 3未満の実数の集合であるということを，

A = {x|x ≤ 3}, B = {x|x < 3} (3.1)

のように，{x|xの満たす条件 }

という形で書く (すでに練習 2.2・練習 2.7でも書いている)．

さて，今の A,B どちらの集合も，集合に含まれる元ならば，必ず 100以下である．10以下でもある．この

100や 10のような存在を定義したいので，以下のように定義する．

定義 3.1 x∗ は実数とする．Rの非空な部分集合 S について，

(i). 任意の x ∈ S について，x ≤ x∗ が成り立つとき，x∗ を S の上界という．上界をもつ集合を，上に有界な集合と呼ぶ．

(ii). 任意の x ∈ S について，x ≥ x∗ が成り立つとき，x∗ を S の下界という．下界をもつ集合を，下に有界な集合と呼ぶ．

(iii). 上界・下界の両方を持つ集合を，有界な集合と呼ぶ．

y

この定義から，(3.1)式の A,B ともに，有界な集合である．さてその上界は，ともに 100でもあり 10でも

あるが，5 も上界の 1 つである．そしてぎりぎりまで小さくすれば，A,B ともに 3 も上界となる．一方で，

maxA = 3であるが，maxB は存在しない．そこで最大元と最小元の拡張として，上限と下限というものを，

定義したい．

定義 3.2 Rの非空な部分集合 S について，

(i). S の上界の集合を US とする．minUS を S の上限といい，supS で表す．US が空集合のときは，

supS = ∞と書く．(ii). S の下界の集合を LS とする．maxLS を S の下限といい，inf S で表す．LS が空集合のときは，

inf S = −∞と書く．

y

注意:　上限とは，上界の最小元だから，最小上界ともいう．sup, inf は supremum,infimumのそれぞれの

頭文字である． (注意終)

上にあげた A,B の上界が，100から 10へ 5へ，そして 3へと，上界の数を小さくしていって，最小値 3を

持ったことを参考に，上界の最小元が存在する場合の証明を行う．

定理 3.3 実数の部分集合について，

(i). 上に有界かつ非空なものは，上限を持つ．

(ii). 下に有界かつ非空なものは，下限を持つ．

19


y

証明　　 (i)のみ証明する．S ⊂ Rが，上に有界かつ非空の集合とし，S の上界の集合を US とする．S は上に有界なので，US も非空である．US に含まれない実数の集合を Lとする．S は非空なので，Lも非空とな

る (非空だから，ある s ∈ S が存在する．s− 1は S の上界ではないので，Lの元である．よって Lは非空) ．この結果 Lと US は実数の切断となるので，実数の連続性より，ある実数 x∗ が存在して，以下のどちらか

のみが成り立つ．

(1) x∗ が US の最小元で，x∗ は Lに含まれない．

(2) x∗ が Lの最大元で，x∗ は US に含まれない．

(2)の場合が成り立つとしよう．すると x∗ が S の上界ではないので，x∗ < sをみたす，ある s ∈ S が存在する．さて x∗ < (x∗ + s)/2 < sとなるが，x∗ が Lの最大元であることから，(x∗ + s)/2 ∈ US である．しかし，(x∗ + s)/2 < sであるのに，(x∗ + s)/2 ∈ US かつ s ∈ S であることは，矛盾である．よって，(2)の場合はありえない．(1)の場合から，S の上界の集合には，最小元が存在することが言える． �

次の定理は直感的に明らかではあるが，上限の概念を用いてきちんと証明しておこう．

定理 3.4 (アルキメデスの原理)実数 c, d (ただし c > 0)が与えられたとき，cn > dとなる n ∈ N をとることができる． y

証明　背理法で証明する．命題のような n が取れないと仮定しよう．すると，d は集合 A = {cn|n =0, 1, 2, · · · }の上界の 1つとなる．Aは上に有界な非空の集合となり，上限を持つので，それを sとする．このとき s− c/2 < cn0 を満たす整数 n0 が存在する ( もし存在しなければ s− c/2が Aの上界の 1つとなってしまう．これは sが上限であることに矛盾)．このとき，c(n0 + 1) ∈ Aを計算すると，

c(n0 + 1) = cn0 + c

> s− c/2 + c> s

これは sが Aの上限であることと矛盾する．よって命題が成り立つ． �

練習 3.5 次の集合 A,B,C,D について，上限と下限をそれぞれ求めよ．

A = {x| − 3 < x ≤ 5}, B = {x| − 3 < x < 5}, C = {x|x ≤ 5}, D = {x|x > 1000}

y

20


4 写像・関数・実数列の定義と数列の収束

4.1 記号の準備 ∀, ∃,=⇒

微分積分では「任意の」という言葉と「存在する」という言葉が多用される．前節の定義 3.1をはじめとし

て，すでに今までも多用されている．そこで「任意の」を表す記号を，Anyや Allの Aを逆にして，∀ という論理記号を用いる．また「存在する」ことを表す記号を，Existsの Eを逆にして，∃という論理記号で表す．

例題 4.1 以下の論理記号を，日本語で説明せよ．

(i). ∀n ∈ N , n3 ≥ 0(ii). ∃n ∈ N , n2 ≤ 1(iii). ∃x ∈ R, x2 < 0

y

（解答）(i)は，「任意の自然数 nについて，n3 は 0以上である．」という意味である．

(ii)は，「ある自然数 nがあって，n2 ≤ 1となる」という意味である．(iii)は，「ある実数 xがあって，x2 < 0となる」という意味である．

（解答終）

(ii)については，日本語の語順として「n2 ≤ 1となるような，自然数 nが存在する」と書くのが自然であるが，上の答えのように書く方が，数学としては理解しやすい．

これで読み方は理解できたので，その論理記号を使った命題が真か偽かということは，自分で判断しなけれ

ばならない．上の例題の場合 (i)(ii)は真だが，(iii)は偽である．

そこで真偽についての記号を導入しよう．2 つの命題 A,B があって，A が成り立つならば B が成り立つ

とき，A =⇒ B

で表す．また，A⇐⇒ B

は，Aが成り立つならば Bが成り立ち，Bが成り立つならば Aが成り立つことを意味する．このとき「Aと

Bは同値である．」という．

否定命題の作り方は簡単である．n ≥ 0の否定命題は n < 0である．例題 4.1のようにただし ∀や ∃がある場合には，

「∀と ∃を反対にして，最後を否定する」

と考えるとよい．

練習 4.2 例題 4.1の 3つについて，それぞれの否定命題が，

(i). ∃n ∈ N , n3 < 0(ii). ∀n ∈ N , n2 ≥ 1(iii). ∀x ∈ R, x2 ≥ 0

21


となることを確認せよ． y

なお，この (i)(ii)が偽で (iii)が真であることは，明らかであろう．

4.2 写像と関数の定義

例題 4.3 集合 X が X = {a,b,c}であるとする．集合 Y が {at,bound,close,effect}とする．X から Y への決まりごと f として，

f は，X の文字で始まる単語を，Y から選ぶものとする．x ∈ X のとき，それを f(x)で表す．

という決まりとしよう．すると明らかに，

f(a) = at, f(b) = bound, f(c) = close

である． y

この例題を参考にすると，以下のように定義するのは自然である．

定義 4.4 2つの集合 X,Y があるとする．

X の任意の元 xから，Y へのある 1つの元を対応させる対応 f があるとき，f は X から Y への写像である

といい．f : X 7→ Y と書く．またこのとき，

(i). 任意の元 x ∈ X の f による写像を，xの像といい，f(x)で表す．(ii). 集合 A ∈ X について，任意の x ∈ Aの写像 f(x)の集合を，Aの像といい，f(A)で表す．(iii). 任意の元 y ∈ Y について，f(x) = y となる xを，f の逆像といい，f−1(y)で表す．(iv). 集合 B ⊂ Y について，任意の y ∈ B による逆像 f−1(y) の集合を，B の逆像といい，f−1(B)で表す．(v). f(X) = Y のとき，f は全射という．

(vi). 異なる x1, x2 ∈ X について，f(x1) = f(x2)ならば x1 = x2 が成り立つとき，f は単射と言う．(vii). f が全射かつ単射のとき，f は全単射であるという．

y

注意:　 f : X 7→ Y とあるときには，f はX のそれぞれの元について，その対応を決めておかなければならない．が，Y の全ての元に対応する必要はない．上の記号を用いると，f(X) ⊂ Y となっていればよい． (注意終)

この定義から，例題 4.3の場合

f−1(at) = a, f−1(bound) = b, f−1(close) = c, f−1(effect) = ∅

となることは，明らかであろうし，

f(X) = {at,bound,close}, f−1(Y ) = {a,b,c}

となることも明らかである．よってこの f は全射でないが，単射である (確かめよ)．

定義 4.4から，写像とは，集合と集合の対応のであることがわかるが，その中でも，数の集合についての写

像は，関数と呼ぶのが一般的である．また，高校までで定義域と値域も学んでいただろうから，それらも含め

て，以下のように定義できる．

22


定義 4.5 実数の部分集合X と，X から実数Rへの写像 f : X → Rを 1変数実数値関数という．このとき，

(i). X は f の定義域という．

(ii). X の像 f(X)を，f の値域という．

y

なお I部では 1変数実数値関数という代わりに，単に関数と呼ぶ．定義域の指定がなく，単に関数 f(x)と

書いてある場合には，定義域は実数の部分集合の中で最も広いものをとるとする．

練習 4.6 以下 3つの f : R → Rについて，全射であるものはどれか．単射であるものはどれか．それぞれ選べ．

(1). f(x) = x, (2). f(x) = x2, (3). f(x) =

x (if x < 0)

0 (if 0 ≤ x < 1)x− 1 (if x ≥ 1)

y

4.3 数列の定義

さて高校や経済数学で数列というものを学んだと思う．例えば，n = 1, 2, 3, · · · について，数列 an = n2 というものを考えると

a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, · · ·

としたことであろう．上の nは 1から始めているが，どの整数からスタートしても，特に一般性は失わない．

普通は 0か 1たまに 2あたりから始めることが多い．

定義 4.7 ある整数 n0 ∈ N があって，n0 以上の整数の集合 A = {n|n ≥ n0, n ∈ N} から，実数への関数a : A 7→ Rを，実数列または，無限実数列と呼び，(an)∞n=n0 と書く． y

注意:　第 I部では単に数列と呼ぶ．誤解がない場合には，(an)n=n0 や単に an と書くことも多い．(注意終)

練習 4.8 n = 1, 2, · · · で定義されている，以下の数列 an について，a6 をそれぞれ求めよ．

(1). an = 3n+ 2, (2). an =1

n, (3). an = (−2)n, (4). an =

{0 (nが奇数の場合)

1 (nが偶数の場合)

y

4.4 数列の収束

まず，準備として三角不等式を復習する．実数 aについて，|a|は aの絶対値といい，

|a| =

{a (if a ≥ 0)−a (if a < 0)

と定義したことは，高校で学んだはずである．また実数 a, bについての三角不等式

(i). |a+ b| ≤ |a|+ |b|

23


(ii). |a| ≤ |a− b|+ |b|(iii). |a| − |b| ≤ |a+ b|(iv). |b| − |a| ≤ |a+ b|(v). 上の (iii)と (iv)をまとめて，||a| − |b|| ≤ |a+ b|

が成り立つことは，証明では実に有用である．

練習 4.9 上の三角不等式 (i)(ii)(iii) が成り立つことを証明せよ．(i) は (|a| + |b|)2 − |a + b|2 を計算していき，正となることを示せばよい．(ii)と (iii)は (i)を少し変えればよい． y

前節で数列が定義されたので，例として

1

n(n = 1, 2, · · · ) (4.1)

という数列を考えよう．これは nが増えると 0に 0に近づきそうな感じがする．この「近づく」ということ

を定義したい．そしてこの節の最後で，証明する．

その前にまずは，a = bの言い換えをしてみよう．

命題 4.10 a, bは実数であるとする．このとき，以下は同値である．

(i). a = b

(ii). 任意の � > 0について，|a− b| < �

y

証明　 (i)ならば (ii)は明らか．(ii)ならば (i)を対偶を用いて証明する．

(i)が成り立たないとする．つまり a 6= bとする．このときある � = |a− b|/2 > 0があって，|a− b| ≥ �となるので，(ii)が成り立たない．対偶が真なので，命題も真である． �

このように等号を，不等号を用いて表現することができた．(4.1)式の 3つの数列が，nが増えると 0に近

づいていくことを，不等式を用いて表現したいので，命題 4.10を利用してみよう．実数 αと数列 (an)∞n=1 に

ついて考える．an = αは∀� > 0, |an − α| < � (4.2)

と同値である．まずは，数列 an について，an = αという一定の値をとる表現が不等式で得られた．この数列

を含むように，「an が αにどんどん近づく」という表現を作りたい．

次に，最初の n0 − 1個 (n0 はある自然数)の数列の値はどんな数でも，それ以降は全て αになるという表現を作ると，

∀� > 0, ∀n ≥ n0, |an − α| < � (4.3)

である．もちろんこの数列も，「an が αにどんどん近づく」という数列の中に含めたい．ところで (4.3)式に

はある自然数 n0 について，書いてなかったので，きちんと含めると

∃n0 ∈ N ,∀� > 0,∀n ≥ n0, |an − α| < � (4.4)

である．∈ N は，「自然数の中で」という意味である．(4.2)式の数列は (4.4)式の数列に含まれたが，「どんどん近づく」というためには，これをさらに緩めたい．そこで最初 ∃n0 と 2番目の ∀� > 0を見てみる．この

24


順序を逆にすると，条件が緩んだり (またはきつくなる) ことがあるので4.1，

∀� > 0, ∃n0 ∈ N ,∀n ≥ n0, |an − α| < � (4.5)

とする．この式の意味を解釈すると，

• |an − α| < �というのは，α− � < an < α+ � と同値だから，an が α− �と α+ �の間 (以下区間という)に入ることを意味している．

• 全ての an がその区間に入っていなくてもよい．どんなに �が小さくなって，その区間の幅 2�が小さくなっても，十分大きな n0 をとれば，それ以降の nについて，an がその区間の中を入る．

というものである．�をどんなに小さくとっても，αを中央に挟んで幅 2�の中に，n0 項以降の an が全て入っ

ていることになる．これを収束と定義するのである．もちろん (4.4)式を満たす an は，(4.5)式を満たしてい

る．そこで，きちんと書くと

定義 4.11 (数列の収束と発散)

(i). 数列 an と実数 α について，任意の � > 0 について，ある自然数 n0 があって，n ≥ n0 ならば，|an − α| < �であるとき，つまり，論理式で書くと，(4.5)式，または

∀� > 0, ∃n0 ∈ N :n ≥ n0 =⇒ |an − α| < �

(4.6)

となるとき，「an は αに収束する」または「an の極限値は αである」という．

(ii). an が αに収束するとき，以下の 2通りで表す．

limn→∞

an = α,または an → α　 (n→ ∞) (4.7)

an が収束する場合は，「an は収束列である」ともいう．an が収束しない場合は，「an は発散する」ま

たは「an は発散列である」という．

(iii). 発散列 an の中でも，任意の G ∈ Rについて，ある n0 ∈ N があって，n ≥ n0 ならば an > Gであるとき，つまり論理式で書くと，

∀G ∈ R, ∃n0 ∈ N :n ≥ n0 =⇒ an > G

(4.8)

がいえるとき，an は∞に発散するといい，以下の 2通りで表す

limn→∞

an = ∞,または an → ∞ (n→ ∞)

(iv). 発散列 an の中でも，任意の G ∈ Rについて，ある n0 ∈ N があって，n ≥ n0 ならば an < Gであるとき，つまり論理式で書くと，

∀G ∈ R, ∃n0 ∈ N :n ≥ n0 =⇒ an < G

(4.9)

4.1 実数 x, y について∃x > 0, ∀y > 0, x− y > 0

が成り立たたないが，∀y > 0,∃x > 0, x− y > 0

は成り立つ．最後の部分が同じ x− y > 0でも，前者の ∃x > 0,∀y > 0という条件よりも，後者の ∀y > 0,∃x > 0の条件の方が緩いからである．

25


がいえるとき，「an は −∞に発散する」といい，以下の 2通りで表す．

limn→∞

an = −∞,または an → −∞ (n→ ∞)

y

(4.6)式と (4.5)式は，問題によって使い分けると便利である．その他にも，�は正で任意であることから，

以下のようにいろいろな使い分け方ができる．

(i). �とは無関係の正数 Aによって，(4.6)式・(4.5)式・(4.10)式・(4.11)式の �の代わりに，A�として

も，an の収束を表すことができる．例えば，(4.6)式を書き換えた形ならば，

∀� > 0,∃n0 ∈ N :n ≥ n0 =⇒ |an − α| < A�

(4.10)

また，(4.5)式を書き換えた形ならば，

∀� > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ≥ n0, |an − α| < A� (4.11)

などである．証明では Aにはよく 2, 3, 1/2, 1/3などが用いられる

(ii). � とは無関係な正数 a によって，(4.6) 式・(4.5) 式・(4.10) 式・(4.11) 式の，∀� > 0 の代わりに，∀� ∈ (0, a)，簡易的には 0 < ∀� < aと書き換えても，an の収束を表すことができる．というのも，この任意の �の「任意」には，任意の小さい � > 0という意味だからである．よって上か

ら �を押さえたとしても，数列 an が αに収束することと同値である．

(iii). また同じく (4.6)式・(4.5)式・(4.10)式・(4.11)式の最後の部分の

|an − α| < �

の不等号 α, ∃n0 ∈ N , p < an < q (4.12)

この (iv)については，an が収束するならば，p < α < q の，片側だけだけ欲しい時，例えば

∀p < α,∃n0 ∈ N , p < an

などというときに使われる (定理 4.17(iv)や定理 4.19の (a)(c)の証明を参照のこと)．

分かりにくければ，これらを元となった実数の等号の命題 4.10に上を当てはめて見てみればよい．

練習 4.12 実数 α, β で，α = β と∀� > 0, |α− β| < � (4.13)

が同値なのは命題 4.10 からいえるが，以下の (i) から (iv) までも全て同値であることを確かめよ．ただし

A, aはある正数の定数とする．

(i). ∀� > 0, |α− β| < A�

26


(ii). ∀� ∈ (0, a), |α− β| < �(iii). ∀� > 0, |α− β| ≤ �(iv). ∀p < α,∀q > α, p < α < q

y

またこれらの (i)から (iii) までは，±∞への発散も同様である．∞への発散については，以下のように書ける．

(i). (4.8)式は，ある定数 aに対して，

∀G > a, ∃n0 ∈ N , ∀n ≥ n0, an > G (4.14)

と同値である．

(ii). (4.8)式での an > Gの代わりに，ある正数 Aで，an > AGとしても，an は∞に発散することと同値である．(4.9) の an < Gの代わりに an < AGとしても同様である．

(iii). (4.8)式では ∀G ∈ R の代わりに Gを下から押さえて，ある数 bを用いて，∀G > bとしても，an が∞に発散することと同値である．(4.9)式でも，∀G ∈ Rの代わりに ∀G < b としても，an は −∞に発散する．

(iv). (4.8)式の an > G の代わりに an ≥ Gとしても，an は∞に発散することと同値である．(4.9)式のan < G の代わりに an ≤ Gとしても，同様である．

さて収束先は 2つあると困るが，

定理 4.13 (極限値の唯一性) 数列 an が収束するならば，極限値は唯一である． y

証明　背理法で示す．異なる 2 実数 α, β に収束すると仮定する．このとき，(4.6) 式の収束の定義で

� = |α− β| > 0として，

∃n1 ∈ N , ∀n ≥ n1,|an − α| < |α− β|∃n2 ∈ N , ∀n ≥ n2,|an − β| < |α− β|

の 2式が成り立つ．よって，n ≥ max{n1, n2}のとき，

|α− β| = |(an − β)− (an − α)|≤ |an − α|+ |an − β|< |α− β|+ |α− β|

最左辺と最右辺から，|α− β| < 2|α− β|となるが，これは α 6= β に矛盾する．よって α = β である． �

例題 4.14 この節の最初の (4.1)式の数列 1/nが，0 に収束することを証明せよ． y

証明　

27


（解答）an = 1/nとする．任意の � > 0について，アルキメデスの原理 (定理 3.4)から，n0 > 1/�をみた

す，1より大きい n0 ∈ N が存在する．n0 > 1/�は 1/n0 < �と同値である．よって，n ≥ n0 のとき，

1

n<

1

n0< �

まとめると，任意の � > 0について，ある n0 ∈ N があって，n ≥ n0 ならば |1/n− 0| < �が成り立つので，1/nは 0に収束する．

�

唐突に n0 > 1/�がでてきたが，これはあらかじめ，an が 0になることを見越して，an0 = 1/n0 < �を n0

について解いていて，n0 > 1/�となるためである．

練習 4.15 以下の数列 an (n = 1, 2, · · · )で，収束しそうな数列はどれか．発散しそうな数列はどれか，それぞれ PCなどを用いてもよいので予想せよ．

(1). an = −n, (2). an =1

n2, (3). an =

{1 (nが偶数のとき)

0 (nが奇数のとき)

(4). an =

{1n (nが偶数のとき)

0 (nが奇数のとき)(5). an =

{1 (nが 1000の倍数のとき)

0 (その他のとき)

y

4.5 数列の極限の四則演算

ここで示すのは，2つの数列がそれぞれ極限値を持つならば，四則の順序と極限の順序を入れ替えてもよい

ことである．さらに，一方が ±∞に発散する場合や，両方とも ±∞に発散する場合の極限についても述べている．

まず準備として以下の 2つを示す．

定理 4.16 (収束列の有界性と絶対値の収束) 数列 an について

(i). 収束列は有界である．つまり an が収束するならば，|an| ≤M がなりたつような，あるM > 0が存在する．

(ii). an が αに収束するならば，|an|も |α|に収束する．

y

証明　 (i)の証明．� = 1とした (4.6)式の収束の定義より，ある n ∈ n0 があって，n ≥ n0 のとき，

|an − α| < 1

が成り立つ．このとき三角不等式より，|an| < 1 + |α|がいえる．|a0|, |a1|, · · · , |an0−1|と 1 + |α|の n0 + 1個の実数の最大値をM とすれば，任意の nについて |an| ≤M がいえる．(ii)の証明．三角不等式より

||an| − |α|| ≤ |an − α| (4.15)

28


(4.6)式の an の収束の定義より，任意の � > 0についてある n0 があって，n > n0 のとき，(4.15)式の右辺は

�より小さい．よってこのとき，||an| − |α|| < �

がいえる．これは数列 |an|が |α|に収束することを意味する．�

注意:　これ以降は「(4.6)式の数列の収束の定義より」とはいちいち書かない． (注意終)

さて次の四則演算が重要なのである．

定理 4.17 (数列の極限値の四則) 2つの数列 an, bn がそれぞれ α, β に収束するとき，

(i). limn→∞

(an + bn) = α+ β, limn→∞

can = cα (cは定数)

(ii). limn→∞

anbn = αβ

(iii). limn→∞

anbn

=α

β(ただし β 6= 0)

y

証明　 (i)の証明: 任意の � > 0について，

∃n1 ∈ N , ∀n ≥ n1, |an − α| < �∃n2 ∈ N , ∀n ≥ n2, |bn − β| < �

の 2 式がそれぞれ成り立つ．よって任意の � > 0 について，ある n0 = max{n1, n2} が存在して，任意のn ≥ n0 について，

|an + bn − (α+ β)| = |(an − α) + (bn − β)|≤ |an − α|+ |bn − β|< �+ �

= 2�

が成り立つので， limn→∞

(an + bn) = α+ β

数列 can についても，任意の � > 0について，上で述べたある n1 があって，n ≥ n1 のとき，

|can − cα| = |c(an − α)|= |c| · |an − α|< |c| · �

が成り立つので， limn→∞

can = cα

(ii)の証明:

任意の � > 0について∃n1 ∈ N , ∀n ≥ n1, |an − α| < �∃n2 ∈ N , ∀n ≥ n2, |bn − β| < �

が成り立つ．定理 4.16(i)より，あるM > 0があって |bn| ≤ M である．n0 = max{n1, n2}とすると，任意

29


の n ≥ n0 について，

|anbn − αβ| = |bn(an − α)− α(bn − β)|≤ |bn| · |an − α|+ |α| · |bn − β| (4.16)< M�+ |α|�= (M + |α|)�

が成り立つ．(M + |α|)は �に関係のない正の定数なので，anbn は αβ に収束する．(iii)の証明:

(ii)が成り立つので，(iii)では an = 1として証明すればよい．bn の収束より，任意の正数 �について，あ

る n1 ∈ N があって，n ≥ n1 ならば，|bn − β| < �

また定理 4.16(ii)より，|bn|は |β|に収束するので，ある n2 ∈ N があって，n ≥ n2 のとき

|β|2< |bn|

n0 = max{n1, n2}とすると，任意の n ≥ n0 について，∣∣∣∣ 1bn − 1β∣∣∣∣ = ∣∣∣∣β − bnbnβ

∣∣∣∣=

1

|β| · |bn||bn − β| (4.17)

<1

|β|2/2�

が成り立つ． 1|β|2/2 は �に関係のない正の定数なので，1bnは 1β に収束する．

4.2

例題 4.18 s ≥ 1の整数とするとき，次を証明せよ．

limn→∞

1

ns= 0,

y

4.2 (i)の証明は素直に，2つの数列の収束の定義から導かれ，(ii)では bn の有界性を用いて証明した．このように人にはこのように説明するが，証明を思いつく順序は，実は話が逆であることが多いのである．今の問題を例として，それを説明してみよう．まず，命題が真か否かをわからないで証明をやってみる人は，

(i). まず結果かわからなくても，anbn が何となく αβ に収束しそうだな予想をつける．(ii). そしてまず |anbn − αβ| を計算してみる．(iii). すると，(4.16)式が得られるが，さて |bn|をどうやって上から押さえればいいかと考えてみる．(iv). そしてそこで，bn 自身の有界性を用いればよいと思いつく．

　このようなプロセスを踏むことが多いのである．(iii)も同様で，|1/bn − 1/β|を計算して，(4.17)式が出て，さて 1/|bn|をど

うやって上から押さえればよいかと考えるわけである．その結果逆数をとって |bn| を下から正数で押さえることを考えるのである．この場合は，|bn|のが整数 |β|に収束するから，nが大きければ |β|/2 < |bn| と下から押さえられることができるのである．もちろん |beta|/10や |beta|/10000などでも下から押さえられるが，見栄えがいいのはシンプルに 2なので，このように |β|/2．を用いるのである．そうして証明として他人に説明するときには，順序を逆にして，上から押さえる数があたかも前から分かっていたように，説明するのである．例題 4.14の証明の後の説明も同様であった．数学の証明を読むのと，実際にやるのはこのような違いがあるので，読んでいるだけでなくて，(たまには)自分の手で，そして

証明を見ずに，自力でやってみることが重要である．

30


（解答）練習 4.14で， limn→∞

1

n= 0 を示したので，s = 1のとき成り立つ．

k が 1以上の整数で，s = k のとき命題が成り立つと仮定すると．

1

nk+1=

1

nk1

n(定理 4.17(ii)より)　→ 0 · 0 (n→ ∞)

より s = k + 1のときも命題が成り立つ．数学的帰納法より命題は証明された．

（解答終）

さてこの定理は，an, bn がともに収束する場合の四則演算であった．次は，一方が∞や −∞へ発散する場合の四則演算の極限を考える．

収束の定義では，|an − α| < �ということで，an を α− �と α+ �で挟んだわけである．その代りに，下からと上からそれぞれ任意の p, q で，挟んだのである．このような準備をしたのは，(i)が成り立っているつま

り，αに収束する数列 an があるときに，この命題 (ii)の p < αの不等式だけ用いることがあるためである．

次の定理の (a)と (c)の証明を参照するとよい．

定理 4.19 (±∞に発散する数列と収束列の四則) 数列 an が実数 αに収束するとする．

(i). 数列 bn が∞に発散するならば，（a） lim

n→∞(an + bn) = ∞

（b） limn→∞

(an − bn) = −∞

（c） limn→∞

(anbn) =

∞ (if α > 0)−∞ (if α < 0)（d） lim

n→∞

anbn

= 0

(ii). 数列 bn が −∞に発散するならば，（a） lim

n→∞(an + bn) = −∞

（b） limn→∞

(an − bn) = ∞

（c） limn→∞

(anbn) =

−∞ (if α > 0)∞ (if α < 0)（d） lim

n→∞

anbn

= 0

y

証明　 (i)のみ証明し，(ii)は省略する．

(a) の証明: ある n1 があって，n ≥ n1 ならば an > α − 1．また任意の G について，ある n2 があって，n ≥ n2 ならば，bn > G− (α− 1)．よって，任意の Gについてある n0 = max{n1, n2} があって，n ≥ n0 ならば，an + bn > Gである．よって，an + bn は∞に発散する．(b)の証明は，(a)と同様なので省略する．

(c)の証明: 同様にできるので，α > 0の場合のみ証明する．

ある n1 があって，n ≥ n1 ならば an > α/2 である．また任意の G > 0 について，ある n2 があって，n ≥ n2 ならば，bn > 2αG．よって，任意の G > 0について，ある n0 = max{n1, n2} があって，n ≥ n0 ならば，anbn > Gである．よって anbn は∞に発散する．

31


(d)の証明: an は収束するので有界であるから，あるM > 0があって |an| ≤M．また任意の � > 0について，ある n0 があって，n ≥ n0 ならば，bn > 1/�がいえる．これは 0 < 1/bn < 1/�と同値である．よって，この nのとき， ∣∣∣∣anbn − 0

∣∣∣∣ = |an||bn|< M�

an/bn は 0に収束する．

�

この定理から，両方とも ±∞に発散する数列の四則については，簡単に言えるので，以下の定理は証明しない．

定理 4.20 (ともに ±∞に発散する数列の四則) 2つの数列 an, bn について，

(i). limn→∞

an = limn→∞

bn = ±∞ =⇒

lim

n→∞(an + bn) = ±∞ (複合同順)

limn→∞

(−an − bn) = ∓∞ (複合同順)

limn→∞

(anbn) = ∞

(ii). limn→∞

an = ∞, limn→∞

bn = −∞ =⇒

lim

n→∞(an − bn) = ∞

limn→∞

(bn − an) = −∞

limn→∞

anbn = −∞

y

商は一定ではない．an, bn の形によって変わるので不定形という．∞に発散する 2つの数列の差も同様である．0に収束する 2つの数列の商も含めると，不定形は標語的に

∞∞, (∞)− (∞), 0

0,

などと書かれることが多い．

例題 4.21 s ≥ 1の整数とするとき，次を証明せよ．

limn→∞

ns = ∞ (4.18)

y

（解答）の証明: s = 1のとき成り立つのは，アルキメデスの原理より明らかである．

k が 1以上の整数で，s = k のとき命題が成り立つと仮定する．

nk+1 = nk · n

でかつ，nk も nも，ともに∞に発散するので，定理 4.20(i)より，nk+1 も∞に発散する．つまり s = k+1のときも命題が成り立つ．

以上より数学的帰納法から成り立つ．

（解答終）

32


練習 4.22 以下の数列 an (n = 1, 2, · · · )で，収束しそうな数列はどれか．∞に発散しそうな数列はどれか，−∞に発散しそうな数列はどれか，それぞれ PCなどを用いてもよいので予想せよ．

(1). an = n2 +

1

n, (2). an =

1

n+ 1, (3). an =

{1 (nが偶数のとき)

0 (nが奇数のとき), (4). an =

n

n+ 2

(5). an =

{1n +

n2+2nn+10000 (nが偶数のとき)

0 (nが奇数のとき)(6). an =

{−n (nが 5の倍数のとき)−n2 + 5n (その他のとき)

y

4.6 極限値の不等号と，はさみうちの原理

前節は等号についての計算について説明したので，この節では極限の不等号について説明する．

定理 4.23 (極限値の不等号) 数列 an, bn について，任意の nで an ≤ bn であり，かつ，an, bn の極限値がそれぞれ存在する場合，

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn

y

証明　 an, bn の極限値をそれぞれ α, β として，背理法で証明する．α > β を仮定する．(α − β)/2 > 0なので，an の収束より，ある n1 ∈ N が存在して，n ≥ n1 ならば，

α− (α− β)/2 < an

同様に，bn の収束から，ある n2 ∈ N が存在して n ≥ n2 ならば，

bn < β + (α− β)/2

が成り立つ．よって n ≥ max{n1, n2}のとき，

bn < (α+ β)/2 < an

がいえるが，これは任意の nについて an ≤ bn に矛盾する．よって，α ≤ β がいえる． �

以下の定理から，極限を知っている数列によって，上から押さえたり，または下から押さえたりして，別の

数列の極限を知ることができる．

定理 4.24 (はさみうちの原理)数列 an, bn, cn が任意の nについて，bn ≤ an ≤ cn となっているとする．

(i). bn, cn の極限値が存在して等しいならば，an の極限値もその値に等しい．

(ii). bn が∞に発散するならば，an も∞に発散する．(iii). cn が −∞に発散するならば，an も −∞に発散する．

y

注意:　はさみうちの原理とは一般に (i)のことを言うが，考え方としては，(ii)も (iii)もそれにあたる．(注

意終)

33


証明　 (i)の証明: bn, cn が αに収束するとする．それぞれの収束から，任意の p < αと任意の q > αにつ

いて，以下の 2式がいえる．∃n1 ∈ N , ∀n ≥ n1, p < bn∃n2 ∈ N , ∀n ≥ n2, cn < q

よってこの p, q について，ある n0 = max{n1, n2}があって，n ≥ n0 のとき，

p < an < q

なので，an が αに収束する．

(ii)の証明: bn の仮定から，任意の Gについて，ある n1 ∈ N が存在して，n ≥ n1 ならば bn > Gであり，さらに仮定より an > Gとなる．これは an が∞に発散することを意味する．(iii)の証明は (ii)とほぼ同様なので，省略する．

�

この系は重要である．

系 4.25 数列 an, cn について，任意の nについて，|an − α| ≤ cn かつ，cn の極限値が 0ならば，an の極限値は αである． y

なおこの cn は 0以上の数列である (なぜなら 0 ≤ |an − α| ≤ cn だから)ことに気を付けること．はさみうちの原理 (定理 4.24)やその系 4.25は，不等式による比較で an の極限を求めた．これに対して比

をとって極限を求める方法も有力である．

定理 4.26 (比による極限)数列 an, bn で，任意の n ∈ N で bn 6= 0とする．

(i). bn とanbnがともに収束するとき，

limn→∞

an = limn→∞

anbn

limn→∞

bn

(ii). limn→∞

anbnが正値に収束するか，または∞に発散するとき，

limn→∞

bn = ±∞ =⇒ limn→∞

an = ±∞ (複合同順)

(iii). limn→∞

anbnが負値に収束するか，または −∞に発散するとき，

limn→∞

bn = ±∞ =⇒ limn→∞

an = ∓∞ (複合同順)

y

この証明については，定理 4.17・定理 4.19・定理 4.20の，積の部分からいえる．

例題 4.27 次の極限について証明せよ．

(i). limn→∞

(−1)n

n= 0

(ii). limn→∞

2n = ∞

y

34


証明　 (i)の証明　 ∣∣∣∣ (−1)nn − 0∣∣∣∣ = 1n

(例題 4.18より)　→ 0 (n→ ∞)

系 4.25より， (−1)n

n は 0に収束する．

(ii)の証明　数学的帰納法より，n ≥ 1のとき，2n ≥ nがいえる (確かめよ)ので，このとき，

2n ≥ n(例題 4.21より)　→ ∞ (n→ ∞)

定理 4.26(ii)から，2n は∞に発散する．�

上の (ii)の場合を含めてより一般的に定数 r > 1として，rn の極限を考える．

練習 4.28 r > 1のとき， limn→∞

rn = ∞を証明したい．

(i). (1 + a)2 を展開せよ．

(ii). a > 0のとき，整数 n ≥ 3のとき，(1 + a)n ≥ (1 + a)2 を確認せよ．(iii). 次の式の 2行目のアの部分に数式を書いてて，証明を完成させよ．

(証明)　 r = 1 + aとすると，a > 0である．また n ≥ 3とすると，

rn = (1 + a)n

>ア

> an

→ ∞ (n→ ∞)

より，rn は∞に発散する．

y

4.7 上に有界な単調増加数列はその上限に収束する

いろいろな数列が考えられるが，その中でも単調に増えていくものや減っていくものは，取扱いが楽である

ので，それを定義する．

定義 4.29 (単調数列)数列 an について，

(i). 任意の nについて，an+1 ≥ an が成り立つとき，an は単調増加数列という．(ii). 任意の nについて，an+1 > an が成り立つとき，an は狭義単調増加数列という．

(iii). 任意の nについて，an+1 ≤ an が成り立つとき，an は単調減少数列という．(iv). 任意の nについて，an+1 < an が成り立つとき，an は狭義単調減少数列という．

y

35


上限や下限の存在と組み合わせることによって，以下がいえる．

定理 4.30 (i). 上に有界な単調増加数列は，その上限に収束する．

(ii). 下に有界な単調減少数列は，その下限に収束する．

y

証明　 (i)のみ証明する．仮定をみたす数列を an とする．上限が存在するので sとする．上限の定義から，

任意の � > 0について，s− � < an0 を満たす n0 ∈ N が存在する．an が単調増加数列なので，n ≥ n0 ならば s− � < an0 ≤ an であり，sが上限であることから，an ≤ sである．よって，任意の � > 0について，ある n0 ∈ N があって，任意の n ≥ n0 について，|an − s| < �が成り立つので，an は sに収束する． �

イメージ図は以下である．[1]から [5]の順に考えるとよい．

[1]an ≤ an+1 ≤ · · ·s

[2]an はここから右にはない

[3]s− �[4]an0

[5]n ≥ n0なら an0 ≤ an

図 4.1 上に有界な単調増加数列が収束するイメージ図

単調性に関しては，以下も成り立つ．

定理 4.31 (i). 上に有界でない単調増加数列は，∞に発散する．(ii). 下に有界でない単調減少数列は，−∞に発散する．

y

証明　 (i)のみ証明する．an は上に有界でない単調増加数列とする．上に有界ではないので，任意の Gに

ついて，ある n0 ∈ N があって，an0 > Gが成り立つ．単調増加数列なので，n ≥ n0 のとき，an ≥ an0 である．まとめると，任意の Gについて，ある n0 ∈ N があって，n ≥ n0 ならば an > Gなので，an は∞に発散する．

�

例題 4.32 以下の数列 an (n = 1, 2, · · · )が全て単調数列であることを確認し，それぞれ (i)単調増加か単調減少かを判断し，(ii)そして単調増加なら上限を，単調減少なあ下限をそれぞれ求め，(iii)感覚的でいいので，

それぞれの数列がその値に収束 (±∞の場合は発散)することを確認せよ．

(1). an = −1

n, (2). an = n

3, (3). an = n−1

n, (4). an =

1

n+

1

n2, (5). an = −2n

36


y

4.8 上極限と下極限

さて，極限値の四則 (定理 4.17) や，はさみうちの原理 (定理 4.24) などでは，極限値が存在するという仮

定のもとで成り立っている．極限値が存在しない場合は，それらは成り立たない．「極限値が存在するならば」

といちいち書くのは面倒なので，極限値の考え方を拡張する．

そこで，まずは実数を拡張することを考える．それは実数の集合Rに −∞や∞も含んで考えた集合

R ∪ {∞} ∪ {−∞}

である．これを拡張された実数と呼び，Rであらわす．この節において，これ以降の等号や不等号は，実数だ

けでなく，Rの等号・不等号も含んでいる．それらについては，

• ∞ = ∞, −∞ = −∞• 任意の a ∈ Rについて，−∞ < a


なので4.3 ，命題 4.33より，m→ ∞ を考えるとRで唯一定まる．実際計算すると，以下である．

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

limm→∞

(supn≥m

an

)0 ∞ −∞ 1 ∞

limm→∞

(infn≥m

an

)0 ∞ −∞ −1 −∞

このようにRの中で， limm→∞

(supn≥m

an

), limm→∞

(infn≥m

an

)がそれぞれ 1つ定まるのである．定義すると，

定義 4.34 (上極限・下極限)数列 an について，

(i). limm→∞

(supn≥m

am

)を an の上極限と呼び，以下のように書く．

lim supn→∞

an, limn→∞

an

(ii). limm→∞

(infn≥m

am

)を x→ ∞のときの下極限と呼び，以下のように書く．

lim infn→∞

an, limx→∞

an

y

lim infn→∞

an ≤ lim supn→∞

an は明らかである．さらに以下がいえる．なお，この節の以下では，簡単化のため

limn→∞

, lim supn→∞

, lim infn→∞

の添字 n→ ∞は省略している．

定理 4.35 (上極限・下極限の不等式)aは実数とする．数列 an, bn で以下が成り立つ．

(i). 任意の nについて an ≤ bn ならば，{lim sup an ≤ lim sup bnlim inf an ≤ lim inf bn

(ii). lim sup an が実数 αの時，

（a）任意の � > 0について，ある n0 ∈ N があって，

n ≥ n0 =⇒ an < α+ � (4.19)

（b）任意の � > 0と，任意の n0 ∈ N について，ある n > n0 があって，

α− � < an

4.3 上限のイメージとして，人間の身長の高さを考えてみよう．「世界中の人間の身長の高さの上限」≤ 「日本中の人間の身長の高さの上限」≤ 「関東中の人間の身長の高さの上限」≤ 「東京中の人間の身長の高さの上限」というような関係が得られるのは明らかである．上限については，対象を狭めれば，このように不等号が小さくなっていくことがイメージできるであろう．さて，では数列の話に戻ろう．自然数で定義された数列 an が与えられたとき，その上限の範囲を狭めていくことによって，「n = 0以上の範囲の an の上限」≥「n = 1以上の範囲での an の上限」≥ 「n = 2以上の範囲の an の上限」≥・・・と減少していくことがわかることであろう．つまりmについて supn≥m an は単調減少となるのである．

38


(iii). lim inf an が実数 αの時，

（a）任意の � > 0について，ある n0 ∈ N があって，

n > n0 =⇒ α− � < an (4.20)

（b）任意の � > 0と，任意の n0 ∈ N について，ある n > n0 があって，

an < α+ �

y

証明　

(i)の証明:　 lim sup an, lim sup bn がともに実数の場合は，定理 4.23より，lim sup an ≤ lim sup bn がいえる．どちらかが ±∞の場合は明らかに lim sup an ≤ lim sup bn が成り立つ．lim inf an ≤ lim inf bn も同様に証明できる．

(ii)の証明:　 lim sup an が実数なので， supn≥m

an はmに関する数列となり，±∞はとらない．

(a)については， supn≥m

an が単調減少数列で lim sup an に収束することからいえる．

(b)については， supn≥n0

an は n ≥ n0 の範囲の an の上限なので，任意の � > 0について， supn≥n0

an − � < an1をみたす，ある n1 > n0 が存在する．よって，

an1 > supn≥n

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微分積分学 レジュメ (ver. 2tkadoda/math/2016calc0608.pdf微分積分学 レジュメ(作成中) 2016 年6 月8 日version まえがきと参考文献リスト． (i). このPDF

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