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Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 1
Corso di Laurea in Ingegneria MeccanicaControlli Automatici L
I diagrammi di Bode
Prof. Carlo RossiDEIS-Università di BolognaTel. 051 2093020Email: [email protected]: www-lar.deis.unibo.it/~crossi
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Diagrammi di Bode - 2Diagrammi di Bode
Funzione di trasferimento in forma fattorizzata (costanti di tempo)
Funzione di risposta armonica associata
4 fattori elementari:
• Poli/zeri reali• Poli/zeri complessi coniugati
• Guadagno statico• Poli/zeri origine
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Diagrammi di Bode - 3
Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezzee fasi) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo e’ possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare il valore dell’ampiezza in scalalogaritmica.
Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi
Dati quindi complessi e interi si ha che
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Diagrammi di Bode - 4
fattori elementari
fattori elementari
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Diagrammi di Bode - 5Fattori elementari
guadagno statico
zero origine
zero reale
zeri c.c.
Ampiezza Fase
• I contributi dei poli si ottengono da quelli degli zeri semplicementecambiando segno (ribaltamento attorno all’asse delle ascisse)
• I contributi di poli/zeri multipli si ottengono semplicemente daquelli a molteplicità singola moltiplicando per la molteplicità
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Diagrammi di Bode - 6
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
102
-360
-315
-270
-225
-180
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Frequenze (rad/sec)
Fase (gradi)Am
piezza (db)
Diagramma logaritmico
Diagramma semi-logaritmico
Ampiezza espressa in decibel:
Scala logaritmica(possibilità di rappresentare
con il dovuto dettagliograndezze che variano in campi molto estesi)
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Diagrammi di Bode - 7• Guadagno statico
Ampiezza Fase
10-1
100
101
102
103
-180
-90
0
90
180
Phas
e (d
eg)
-2
-1
0
1
2
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
sese
se
se
se
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Diagrammi di Bode - 8
10-2
10-1
100
101
102
-200
-100
0
100
200
Phas
e (d
eg)
-40
-20
0
20
40M
agni
tude
(dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
• Zero (polo) nell’origine
Ampiezza Fase
pendenza
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Diagrammi di Bode - 9Polo nell’origine : Il relativo contributo (da sommare nel calcolo dei diagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltandogli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
10-2
10-1
100
101
102
-200
-100
0
100
200
Phas
e (d
eg)
-40
-20
0
20
40M
agni
tude
(dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
pendenza
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Diagrammi di Bode - 10
1 0 - 2 1 0 - 1 1 0 0 1 0 1 1 0 2-4 0
-3 0
-2 0
-1 0
0
1 0
2 0
3 0
4 0
F re q u e n c y ( ra d / s e c )
Mag
nitu
de (d
B)
B o d e D ia g ra m
• Zero (polo) realeAmpiezza
(valore assolutodello zero)
pendenza
se
se
Fase
NB: andamento indipendentedal segno di
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Diagrammi di Bode - 11
10-2 10-1 100 101 102
-20
0
20
40
60
80
100
120
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
egre
e)Phase Diagram
se
se
diagr. approxdiagr. reale
Semiretta a
..fase: caso
Tangente al punto di flesso
Punto di flesso
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Diagrammi di Bode - 12..fase: caso
se
se
diagr. approxdiagr. reale
10-2 10-1 100 101 102-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Frequency (rad/sec )
Pha
se (d
egre
e)
P hase Diagram
Punto di flesso
NB: il diagramma delle fasi èspeculare rispetto all’asse
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Diagrammi di Bode - 13
-40
-30
-20
-10
0
10
20
10-2
10-1
100
101
102
0
45
90
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10-2
10-1
100
101
102
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Polo reale: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo deidiagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltandogli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
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Diagrammi di Bode - 14• Zeri (poli) c.c.
Ampiezza
se
se
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
F requenc y (rad /s ec )
Mag
nitu
de (d
B)
M agn itude D iag ram
Pendenza
Il comportamentoper frequenze prossime apuò discostarsi molto dal diagramma asintotico dipendentementedal valore di )
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Diagrammi di Bode - 15…ampiezza
Calcoliamo la frequenza del minimo della funzione
100
-30
-20
-10
0
10
20
30
Frequency (rad/sec)
Mag
nitu
de (d
B)
Magnitude Diagram
Al calare di la frequenza di picco tende verso e il valore del picco tende a
Il diagramma non dipendedal segno di
Il valore del minimo è alla frequenza e vale
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Diagrammi di Bode - 16Fase: caso
10-2 10-1 100 101 102
0
50
100
150
200
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
egre
e)
Phase Diagram
10-1 100 1010
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Frequancy (rad/sec)
Pha
se (d
egre
e)
Phase DiagramTangente al punto di flesso
Diagramma approssimato
se
se
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Diagrammi di Bode - 17
10-2 10-1 100 101 102
-200
-150
-100
-50
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
egre
e)
Phase Diagram
Fase: casose
se
10-1 100 101-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
egre
e)
Phase Diagram
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Diagrammi di Bode - 18Poli c.c.: Il relativo contributo (da sommare nel calcolo deidiagrammi complessivi) si ottiene semplicemente ribaltandogli andamenti appena calcolati attorno all’asse delle ascisse
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Tracciamento dei diagrammiasintotici analogo al casoprecedente
Il valore del massimo è alla
frequenza
e vale
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Diagrammi di Bode - 19
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
0
45
90
135
180
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Caso poli cc instabili: stesso andamento per il diagramma delleampiezze e ribaltamento rispetto l’asse delle frequenze per il diagramma delle fasi
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Diagrammi di Bode - 20
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (d
B)
10-1
100
101
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Il valore di picco alla
frequenza viene detto
PICCO DI RISONANZA
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Fisicamente rappresenta il fattore di amplificazione massima della coppia di poli a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA
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Diagrammi di Bode - 21
10-1
100
101
0
45
90
135
180
Phas
e (d
eg)
-60
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Il valore di minimo alla
frequenza viene detto
PICCO DI ATTENUAZIONE
Fisicamente rappresenta il fattore di attenuazione massima della coppia di zeri a fronte di sollecitazioni alla FREQUENZA DI RISONANZA
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Diagrammi di Bode - 22
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-100
-50
0
50
100
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-100
-50
0
50
100
(deg
)
(rad/sec)
Tabella riassuntiva
Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 23
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-100
-50
0
50
100
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-100
-50
0
50
100
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-100
-50
0
50
100
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-100
-50
0
50
100
(deg
)
(rad/sec)
….Tabella riassuntiva
Prof. Carlo Rossi Controlli Automatici L
Diagrammi di Bode - 24
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
(deg
)
(rad/sec)
-40
-20
0
20
40
(dB)
10-1
100
101
-200
-100
0
100
200
(deg
)
(rad/sec)
….Tabella riassuntiva
