BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHAN THỤC CHI

BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

PHI TUYẾN CẤP MỘT

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60. 46. 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

Phản biện 1: TS. Trần Nhân Tâm Quyền

Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn

tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

15 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

`

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một xuất hiện

trong nhiều lĩnh vực của lý thuyết vật lý, như trong động lực học (với

các phép biến đổi chính tắc), trong cơ học liên tục (với các luật bảo

toàn khối lượng, mô-men, năng lượng…) và trong quang học (khi

mô tả các mặt sóng âm).

Nói chung, tính phi tuyến gây ra nhiều khó khăn cho việc

tìm công thức biểu diễn nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng.

Trong luận văn “Biểu diễn nghiệm của phương trình đạo hàm riêng

phi tuyến cấp một” này, chúng ta sẽ tìm hiểu các kỹ thuật khác nhau

đã được các nhà toán học sử dụng để đưa ra các biểu diễn nghiệm

(địa phương hoặc toàn cục) của phương trình đạo hàm riêng phi

tuyến cấp một.‘‘‘

2. Mục tiêu nghiên cứu

Tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn

khác nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy

đủ các kiến thức cũ và mới về các biểu diễn nghiệm của phương

trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một để có thể trình bày lại các kiến

thức đó trong luận văn này và hy vọng luận văn có thể được sử dụng

như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên tại các trường đại

học.

Trong chương 1 của luận văn này, chúng ta nghiên cứu tích

phân đầy đủ và kỹ thuật bao hình, phương pháp đặc trưng tìm

2

`

nghiệm địa phương của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp

một. Trong chương 2, ta khảo sát phương pháp biến phân và vấn đề

biểu diễn nghiệm toàn cục của phương trình Hamilton – Jacobi và

các luật bảo toàn.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình đạo hàm riêng phi

tuyến cấp một.

3.2 Phạm vi nghiên cứu: Cách giải các phương trình đạo

hàm riêng phi tuyến cấp một.

4. Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách và

các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu

thập thông tin và trình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu của đề tài.

5. Bố cục đề tài

Mở đầu

Chương 1: Kỹ thuật bao hình và phương pháp đặc trưng

1.1. Tích phân đầy đủ, bao hình

1.2. Phương pháp đặc trưng

Chương 2: Phương trình Hamilton – Jacobi và các luật bảo toàn

2.1. Phương trình Hamilton – Jacobi

2.2. Luật bảo toàn

Kết luận

3

`

Tài liệu tham khảo

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Trong tài liệu này chúng ta nghiên cứu các phương trình đạo

hàm riêng phi tuyến cấp một tổng quát dạng

F(Du,u,x) = 0,

trong đó x U∈ và U là một tập mở trong n¡ . Ở đây

: nF U× × →¡ ¡ ¡

là hàm cho trước, và :u U → ¡ là ẩn hàm, u = u(x).

Ghi chú. Ta viết

F = F(p,z,x)=F(p1,…,pn,z,x1,…,xn)

với , ,np z x U∈ ∈ ∈¡ ¡ . Vì thế “p” là tên của của biến ta thay

thế cho gradient Du(x), và “z” là biến thay cho u(x). Ta cũng giả sử

từ đây về sau F là hàm trơn, và đặt

1

1

( ,..., )

( ,..., ).

n

n

p p p

z z

x x x

D F F F

D F FD F F F

=

= =

□

Chúng ta quan tâm đến việc tìm ra nghiệm u của phương

trình đạo hàm riêng F(Du,u,x)=0 trong tập U, thông thường đưa ra

điều kiện biên là

4

`

u = g trênΓ ,

trong đó Γ là một vài tập con cho trước của U∂ và :g Γ → ¡ là

hàm số được qui định.

Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một xuất hiện

trong nhiều lý thuyết vật lý, chủ yếu trong động lực học (tạo ra các

phép biến đổi hợp qui tắc), cơ học liên tục (ghi lại sự bảo toàn khối

lượng, động lượng, năng lượng,..) và trong quang học (mô tả sóng

trước). Tuy tính phi tuyến mạnh thường ngăn cản việc chúng ta tìm

được bất kì công thức đơn giản nào cho nghiệm của phương trình,

song chú ý rằng chúng ta thường có thể sử dụng các phép tính để

lượm lặt các thông tin chi tiết rõ ràng về nghiệm. Các kĩ thuật được

đề cập trong mục 1.1 và 1.2, chỉ cục bộ tiêu biểu. Trong mục 2.1 và

2.2 chúng ta sẽ nghiên cứu các trường hợp quan trọng của phương

trình Hamilton – Jacobi và các luật bảo toàn chuyển hóa chính xác

toàn bộ công thức biểu diễn cho các nghiệm không chắc được xác

định thích hợp.

5

`

CHƯƠNG 1

KỸ THUẬT BAO HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG

1.1. TÍCH PHÂN ĐẦY ĐỦ, BAO HÌNH

1.1.1. Tích phân đầy đủ

ĐỊNH NGHĨA. Một hàm u = u(x;a) thuộc lớp C2 được gọi là một

tích phân đầy đủ trong U A× với điều kiện là

(i) u(x;a) thỏa phương trình đạo hàm riêng (1) với mỗi a A∈

và (ii) 2( , )a xarank D u D u n= ( , ).x U a A∈ ∈

1.1.2. Nghiệm mới từ bao hình.

ĐỊNH NGHĨA. Cho ( ; )u u x a= là một hàm thuộc lớp C1 của

x U∈ , a A∈ , trong đó nU ⊂ ¡ và mA ⊂ ¡ là các tập mở. Xét

phương trình vectơ

(10) ( ; ) 0 ( , )aD u x a x U a A= ∈ ∈ .

Giả sử ta có thể giải (10) với tham số a như là một hàm thuộc lớp C1

của x,

(11) ( );a xφ=

vì thế

(12) ( ; ( )) 0 ( )aD u x x x Uφ = ∈ .

Khi đó ta gọi

6

`

(13) ( ) : ( ; ( )) ( )v x u x x x Uφ= ∈

là bao hình của họ hàm { }( ; ) a Au a ∈⋅ .

Bằng sự hình thành các bao hình ta có thể xây dựng các

nghiệm mới của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một:

ĐỊNH LÝ 1. (Việc xây dựng nghiệm mới). Giả sử với mỗi a A∈

như trên rằng ( ; )u u a= ⋅ thỏa phương trình đạo hàm riêng (1). Giả

sử rằng bao hình v, được định nghĩa theo (12) và (13) ở trên, tồn tại

và là một hàm thuộc lớp C1. Khi đó v cũng thỏa phương trình (1).

Bao hình v được định nghĩa trên đôi khi được gọi là một tích

phân kì dị của (1).

ĐỊNH NGHĨA. Tích phân tổng quát (phụ thuộc vào h) là bao hình

v’=v’(x) của các hàm

'( ; ') ( ; ', ( '))u x a u x a h a= ( , ' ')x U a A∈ ∈ ,

với điều kiện là bao hình này tồn tại và là hàm thuộc lớp C1.

1.2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶC TRƯNG

1.2.1. Đạo hàm của phương trình vi phân thường đặc

trưng.

Tìm phương trình vi phân thường đặc trưng.

(11)(a) p( ) (p( ), ( ),x( )) (p( ), ( ),x( ))p( )(b) ( ) (p( ), ( ),x( )).p( )

(c) x( ) (p( ), ( ),x( )).

x z

p

p

s D F s z s s D F s z s s sz s D F s z s s s

s D F s z s s

= − −

= =

&&&

7

`

Ta chứng minh được:

ĐỊNH LÍ 1. (Cấu trúc của phương trình vi phân thường đặc trưng).

Cho 2( )u C U∈ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

cấp một (1) trong U. Giả sử x( )⋅ là nghiệm của phương trình

(11)(c), trong đó p( ) (x( )), ( ) (x( ))Du z u⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ . Khi đó p( )⋅ là

nghiệm của (11)(a) và ( )z ⋅ là nghiệm của (11)(b), đối với những s

sao cho x( )s U∈ .

1.2.2. Các ví dụ

a. F tuyến tính

(17) (a) x( ) b(x( ))(b) ( ) (x( )) ( )

s sz s c s z s

= = −

&&

b. F gần như tuyến tính

(21)(a) x( ) b(x( ), ( ))(b) ( ) (x( ), ( ))

s s z sz s c s z s

= = −

&&

c. F hoàn toàn phi tuyến

Trong trường hợp tổng quát, toàn bộ các phương trình đặc

trưng (11) phải được lấy tích phân, nếu có thể.

1.2.3. Điều kiện biên

a. Làm thẳng biên

b. Tính tương thích các điều kiện trên dữ liệu biên

c. Dữ liệu biên không đặc trưng

BỔ ĐỀ 1 ( Điều kiện biên không đặc trưng). Tồn tại một nghiệm duy

nhất q( )⋅ của (33), (34) với mọi y ∈Γ đủ gần x0, thỏa mãn

8

`

(35) 0 0 0( , , ) 0.npF p z x ≠

Ta nói bộ ba chấp nhận được 0 0 0( , , )p z x là không đặc

trưng nếu (35) xảy ra. Từ đây ta thừa nhận điều kiện này.

1.2.4. Nghiệm địa phương.

BỔ ĐỀ 2 (Tính nghịch đảo địa phương). Giả sử ta có điều kiện

không đặc trưng 0 0 0( , , ) 0npF p z x ≠ . Khi đó tồn tại một khoảng mở

I ⊂ ¡ chứa 0, một lân cận W của 0x trong 1n−Γ ⊂ ¡ , và một lân

cận V của 0x trong n¡ , sao cho với mỗi x V∈ tồn tại duy nhất

,s I y W∈ ∈ sao cho x( , ).x y s=

Các ánh xạ ,x s ya là các hàm thuộc lớp C2.

ĐỊNH LÍ 2 (Định lí sự tồn tại địa phương). Hàm u được xác định ở

trên là một hàm thuộc lớp C2 và thỏa phương trình đạo hàm riêng

( ( ), ( ), ) 0 ( ),F Du x u x x x V= ∈

cùng với điều kiện biên

( ) ( ) ( ).u x g x x V= ∈Γ ∩

1.2.5. Ứng dụng

a. F tuyến tính

b. F gần như tuyến tính

Đặc trưng giao nhau.

c. F hoàn toàn phi tuyến

9

`

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON – JACOBI

VÀ CÁC LUẬT BẢO TOÀN

2.1. PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI

Trong phần này ta tìm hiểu một cách chi tiết bài toán giá trị

ban đầu đối với phương trình Hamilton – Jacobi:

(1) ( ) 0 trong (0, )

trên { 0}.

nt

n

u H Du

u g t

+ = × ∞

= × =

¡

¡

Ở đây : [0, )nu × ∞ →¡ ¡ là hàm ẩn, ( , ),u u x t= và

xDu D u= = 1

( ,..., ).nx xu u Ta có được hàm toán tử Hamilton

: nH →¡ ¡ và hàm ban đầu : .ng →¡ ¡

2.1.1. Phép tính biến phân, phương trình vi phân thường

của Hamilton.

a. Phép tính biến phân.

(2) 0

[w( )] (w( ),w( )) ,t dI L s s ds

ds ⋅ = = ∫ i&

được xác định với các hàm 1 2w( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nw w w⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ thuộc lớp

chấp nhận được

2{w( ) ([0, ]; ) | w(0) ,w( ) }.nA C t y t x= ⋅ ∈ = =¡

10

`

Vì thế một đường cong w( )⋅ thuộc lớp C2 nằm trong A nếu

nó bắt đầu tại điểm y ở thời điểm 0, và đến điểm x ở thời điểm t. Một

bài toán cơ bản trong phép tính biến phân là sau đó đi tìm đường

cong x( ) A⋅ ∈ thỏa mãn

(3) w( )

[x( )] min [w( )].A

I I⋅ ∈

⋅ = ⋅

ĐỊNH LÍ 1 (Phương trình Euler – Lagrange). Hàm x( )⋅ thỏa hệ

phương trình Euler – Lagrange

(4) ( (x( ), x( ))) (x( ),x( )) 0 (0 ).q x

d D L s s D L s s s tds

− + = ≤ ≤& &

b. Phương trình vi phân thường của Hamilton.

Trước tiên ta đặt

(8) p( ) : (x( ),x( )) (0 );qs D L s s s t= ≤ ≤&

p( )⋅ được gọi là động lượng tổng quát hóa tương ứng với vị trí x( )⋅

và vận tốc x( )⋅& . Tiếp theo ta tạo giả thuyết quan trọng này.

Ta sẽ kiểm tra giả định này trong nhiều chi tiết về sau: xem §2.1.2.

Giả sử với mọi ,n

x p ∈¡ , phương trình

( , )qp D L q x=

có thể được giải duy nhất đối với q như

một hàm trơn của p và x, q( , )q p x= .

(9)

11

`

ĐỊNH NGHĨA. Toán tử Hamilton H liên kết với toán tử Lagrange L

là

( , ) : q ( , ) (q ( , ), ) ( , ),nH p x p p x L p x x p x= ⋅ − ∈ ¡

trong đó hàm q( , )⋅ ⋅ được định nghĩa hoàn toàn bởi (9).

ĐỊNH LÝ 2 (Đạo hàm phương trình vi phân của Hamilton). Họ hàm

x( )⋅ và p( )⋅ thỏa các phương trình của Hamilton:

(10) x( ) (p( ),x( ))

p( ) (p( ),x( ))p

x

D H s s

D H s s

⋅ =

⋅ = −

&&

đối với 0 s t≤ ≤ . Hơn nữa, ánh xạ (p( ),x( ))s H s sa là hằng.

2.1.2. Biến đổi Legendre, công thức Hopf – Lax.

a. Biến đổi Legendre.

Ta giả sử về sau : nL →¡ ¡ thỏa các điều kiện:

(11) ánh xạ ( )q L qa là lồi

và (12) ( )lim .q

L qq→∞

= +∞

Tính lồi dẫn đến L là liên tục.

ĐỊNH NGHĨA. Biến đổi Legendre của L là

(13) *( ) sup { ( )} ( ).n

n

qL p p q L q p

∈= ⋅ − ∈

¡¡

12

`

ĐỊNH LÝ 3. (Tính đối ngẫu lồi của toán tử Hamilton và toán tử

Lagrange). Giả sử L thỏa (11), (12) và xác định H bởi (13), (14).

(i) Khi đó ánh xạ ( )p H pa lồi

và ( )lim .p

H pp→∞

= +∞

(ii) Hơn nữa

(15) *L H= .

b. Công thức Hopf – Lax.

(17) 0

( , ) : in f ( w ( )) ( ) w (0) , w ( ) ,t

u x t L s ds g y y t x = + = =

∫ &

infimum nhận được từ mọi hàm w( )⋅ thuộc lớp C1 với w( )t x= .

Bây giờ chúng ta dự định nghiên cứu ý nghĩa mà trong đó u

được xác định bởi (17) thực sự thỏa bài toán giá trị ban đầu đối với

phương trình đạo hàm riêng Hamilton – Jacobi:

(18) ( ) 0 trong (0, )

trên { 0}.

nt

n

u H D u

u g t

+ = × ∞

= × =

¡

¡

Nhắc lại là ta đang giả sử H trơn,

(19) H lồi và ( )lim .p

H pp→ ∞

= + ∞

Từ đây ta cũng giả sử

13

`

(20) : ng →¡ ¡ là liên tục Lipschitz;

nghĩa là ,

( ) ( )Lip( ) : sup .

nx yx y

g x g yg

x y∈≠

− = < ∞ − ¡

Trước hết ta lưu ý công thức (17) có thể được đơn giản:

ĐỊNH LÝ 4 (Công thức Hopf – Lax). Nếu nx ∈ ¡ và 0t > , khi

đó nghiệm ( , )u u x t= của bài toán cực tiểu hóa (17) là

(21) ( , ) m in ( ) .ny

x yu x t tL g yt∈

− = + ¡

ĐỊNH NGHĨA. Ta gọi biểu thức vế phải của (21) là công thức Hopf

– Lax.

BỔ ĐỀ 1 (Tính đồng nhất hàm). Với mỗi nx ∈ ¡ và 0 s t< ≤ , ta

có

(22) ( , ) m in ( ) ( , ) .ny

x yu x t t s L u y st s∈

− = − + − ¡

Nói cách khác, ta tính ( , )u t⋅ , ta có thể tính u tại điểm s và khi đó

dùng ( , )u s⋅ như điều kiện ban đầu trên khoảng thời gian còn lại

[ , ]s t .

BỔ ĐỀ 2 (Tính liên tục Lipschitz). Hàm u là liên tục Lipschitz trong

[0, ),n × ∞¡ và u g= trên { 0}.n t× =¡

14

`

ĐỊNH LÍ 5. (Giải phương trình Hamilton – Jacobi) . Giả sử

,nx∈¡ 0,t > và u được xác định bởi công thức Hopf – Lax (21)

là khả vi tại một điểm ( , ) (0, ).nx t ∈ × ∞¡ Khi đó

( , ) ( ( , )) 0.tu x t H Du x t+ =

ĐỊNH LÍ 6 (Công thức Hopf – Lax như là nghiệm). Hàm u xác định

bởi công thức Hopf – Lax (21) là liên tục Lipschitz, là khả vi hầu

khắp nơi trong (0, ),n × ∞¡ và thỏa bài toán giá trị ban đầu

(32) ( ) 0tu H Duu g

+ =

=

trong (0, )

trên { 0}.

n

n t

× ∞

× =

¡

¡

2.1.3. Nghiệm yếu, tính duy nhất.

a. Tính bán lõm.

BỔ ĐỀ 3

ĐỊNH NGHĨA.

BỔ ĐỀ 4

b. Nghiệm yếu, tính duy nhất.

ĐỊNH NGHĨA.

ĐỊNH LÍ 7.

ĐỊNH LÝ 8 (Công thức Hopf – Lax như một nghiệm yếu). Giả sử H

là hàm thuộc lớp C2 thỏa (19), và g thỏa (20). Nếu g bán lõm hoặc H

lồi đều, thì

hầu khắp nơi

15

`

( , ) min ( )ny

x yu x t tL g yt∈

− = + ¡

là nghiệm yếu duy nhất của bài toán giá trị ban đầu (38) đối với

phương trình Hamilton – Jacobi.

2.2. GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN

Trong phần này ta xem xét bài toán giá trị ban đầu đối với

các định luật bảo toàn vô hướng trong không gian một chiều:

(1) ( ) 0 trong (0, ) trên { 0}.

t xu F uu g t

+ = × ∞

= × =

¡¡

2.2.1. Sự xung kích, điều kiện entropy.

a. Phân loại nghiệm; điều kiện Rankine – Hugoniot.

(2) : [0, )v × ∞ →¡ ¡ trơn, với giá compact.

Ta gọi v là một hàm thử.

ĐỊNH NGHĨA. Ta nói rằng ( (0, ))u L∞∈ × ∞¡ là một nghiệm tích

phân của (1), miễn là đẳng thức (4) đúng với mỗi hàm thử v thỏa

(2).

Thực tế hãy giả sử trong một số miền mở (0, )V ⊂ × ∞¡

rằng u trơn ở hai bên của một đường cong trơn C. Đặt lV là phần của

V ở phía trái của đường cong và rV là phần ở bên phải. Ta giả sử u

là một nghiệm tích phân của (1), và giả sử u và đạo hàm cấp một của

nó liên tục đều trong lV và trong rV .

Trước tiên, chọn một hàm thử v với giá compact trong lV .

Khi đó (4) trở thành

16

`

(5) 0 0

0 ( ) [ ( ) ] ,t x t xuv F u v dxdt u F u vdxdt∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞= + = − +∫ ∫ ∫ ∫

tích phân từng phần được chứng minh là đúng vì u là hàm thuộc lớp

C1 trong lV và v triệt tiêu gần biên của lV . Đồng nhất thức (5) đúng

với mọi hàm thử v với giá compact trong lV , và vì vậy

(6) ( ) 0t xu F u+ = trong lV .

Tương tự,

(7) ( ) 0t xu F u+ = trong rV .

Bây giờ chọn một hàm thử v với giá compact trong V, nhưng

nó không nhất thiết triệt tiêu dọc theo đường cong C. Lại sử dụng (4)

ta suy ra

(8) 00 ( )

( ) ( ) .l r

t x

t x t xV V

uv F u v dxdt

uv F u v dxdt uv F u v dxdt

∞ ∞−∞

= +

= + + +

∫ ∫∫∫ ∫∫

Bây giờ vì v có giá compact trong V, ta có

(9) 2 1

2 1

( ) [ ( ) ] ( ( ) )

( ( ) )l r

t x t x l lV V C

l lC

uv F u v dxdt u F u dxdt u F u vdl

u F u vdl

υ υ

υ υ

+ = − + + +

= +

∫∫ ∫∫ ∫

∫

theo (6). Ở đây 1 2( , )υ υ υ= là pháp tuyến đơn vị của đường cong C,

hướng từ lV vào trong rV , và chỉ số “l” có nghĩa là giới hạn bên trái.

Tương tự, (7) dẫn đến

2 1( ) ( ( ) ) ,r

t x r rV Cuv F u v dxdt u F u vdlυ υ+ = − +∫∫ ∫

chỉ số “r” có nghĩa là giới hạn bên phải. Cộng đồng nhất thức này

vào (9) và nhắc lại (8) cho ta:

17

`

1 2[( ( ) ( )) ( ) ] 0.l r l rC F u F u u u vdlυ υ− + − =∫

Đẳng thức này đúng với mọi hàm thử v như trên, và vì vậy

(10) 1 2( ( ) ( )) ( ) 0l r l rF u F u u uυ υ− + − = dọc theo C.

Bây giờ giả sử C được biểu diễn một cách tham số như

{( , ) | ( )}x t x s t= với một vài hàm trơn ( ) :[0, ) .s ⋅ ∞ → ¡ Ta có thể

lấy 1 2 2 1/ 2( , ) (1 ) (1, ).s sυ υ υ −= = + −& & Do đó (10) dẫn đến

(11) ( ) ( ) ( )l r l rF u F u s u u− = −& trong V, dọc theo đường cong C.

Ghi chú.

[[ ]] l ru u u= − = bước nhảy trong u băng qua C

[[ ( )]] ( ) ( )l rF u F u F u= − = bước nhảy trong F(u)

sσ = =& vận tốc của đường cong C. □

Sau đây ta hãy viết lại (11) như đồng nhất thức

(12) [[ ( )]] [[ ]]F u uσ=

dọc theo đường cong gián đoạn. Đây là điều kiện Rankine –

Hugoniot. Theo đó vận tốc σ và các giá trị , , ( ), ( )l r l ru u F u F u

thường sẽ biến thiên dọc theo đường cong C. Mục đích là mặc dù các

đại lượng có thể thay đổi, các biểu thức [[ ( )]] ( ) ( )l rF u F u F u= − và

[[ ]] ( )l ru s u uσ = −& phải luôn luôn cân bằng một cách chính xác.

b. Xung kích, điều kiện entropy

Điều kiện entropy. Ta hãy nhắc lại từ §1.2.5 rằng với định luật bảo

toàn vô hướng tổng quát của dạng

( ) 0,t xu F u+ =

18

`

nghiệm u, khi trơn, nhận giá trị hằng 0 0( )z g x= dọc theo đặc trưng

qui chiếu

(16) 0 0y( ) ( ( ( )) , ) ( 0).s F g x s x s s′= + ≥

Vì vậy ta giả sử tại một vài điểm trên đường cong C của điểm gián

đoạn rằng u có giới hạn trái và phải riêng biệt, lu và ru , một

phương trình đặc trưng từ bên trái và một phương trình đặc trưng từ

phía phải gặp C tại điểm này. Sau đó theo (16) ta suy ra

(17) ( ) ( ).l rF u F uσ′ ′> >

Các bất dẳng thức này được gọi là điều kiện entropy (từ một

sự tương tự gần đúng với nguyên tắc nhiệt động lực học rằng entropy

vật lý không thể giảm khi thời gian đi về phía trước). Một đường

cong của sự gián đoạn đối với u được gọi là một xung kích miễn là

cả đồng nhất thức Rankine – Hugoniot (12) và các bất đẳng thức

entropy (17) đúng.

Ta hãy giải thích thêm điều kiện entropy dưới đây theo giả

thuyết bổ sung

(18) F lồi đều.

Điều này có nghĩa 0F θ′′ ≥ > đối với một vài hằng θ . Vì thế đặc

biệt F ′ tăng chặt. Khi đó (17) tương đương với bất đẳng thức

(19) l ru u>

dọc theo bất kì đường cong xung kích.

2.2.2. Công thức Lax – Oleinik.

ĐỊNH LÝ 1 (Công thức Lax – Oleinik). Giả sử :F →¡ ¡ trơn, lồi

đều, và ( )g L∞∈ ¡ .

19

`

(i) Với mỗi thời gian 0,t > tồn tại với mọi trừ tại hầu hết

nhiều giá trị đếm được của x ∈¡ một điểm duy nhất ( , )y x t sao

cho

( , )min ( ) ( ( , )).y

x y x y x ttL h y tL h y x tt t∈

− − + = + ¡

(ii) Ánh xạ ( , )x y x ta không giảm.

(iii) Với mỗi thời gian 0t > , hàm u được định nghĩa bởi

(27) là

(29) ( , )( , ) x y x tu x t Gt

− =

đối với hầu khắp nơi x. Cụ thể, công thức (29) đúng với hầu khắp

nơi ( , ) (0, ).x t ∈ × ∞¡

ĐỊNH NGHĨA. Ta gọi phương trình (29) là công thức Lax – Oleinik

đối với nghiệm (1), trong đó h được định nghĩa bởi (23), L bởi (25).

ĐỊNH LÍ 2 (Công thức Lax – Oleinik là nghiệm tích phân). Dưới

giả thiết của định lí 1, hàm u được xác định bởi (29) là một nghiệm

tích phân của bài toán giá trị ban đầu (1).

2.2.3. Nghiệm yếu, tính duy nhất.

a. Điều kiện Entropy đã kiểm tra lại.

BỔ ĐỀ (Sự đánh giá bước nhảy một chiều). Dưới các giả thuyết của

định lí 1, tồn tại một hằng số C sao cho hàm u được định nghĩa bởi

công thức Lax – Oleinik (29) thỏa mãn bất đẳng thức

20

`

(36) ( , ) ( , ) Cu x z t u x t zt

+ − ≤

đối với tất cả 0t > và , , 0.x z z∈ >¡

ĐỊNH NGHĨA. Ta gọi bất đẳng thức (36) là điều kiện entropy.

b. Nghiệm yếu, tính duy nhất.

ĐỊNH NGHĨA. Ta nói rằng một hàm ( (0, ))u L∞∈ × ∞¡ là một

nghiệm entropy của bài toán giá trị ban đầu

(37) ( ) 0 trong (0, ) trên { 0}

t xu F uu g t

+ = × ∞ = × =

¡¡

miễn là

(i) 00( ) | 0t x tuv F u v dxdt gvdx∞ ∞ ∞

=−∞ −∞+ + =∫ ∫ ∫

đối với tất cả hàm thử : [0, )v × ∞ →¡ ¡ với giá compact, và

(ii) 1( , ) ( , ) 1u x z t u x t C zt

+ − ≤ +

đối với một vài hằng số 0C ≥ và hầu khắp nơi , , 0,x z t∈ >¡ với

0.z >

ĐỊNH LÝ 3 (Tính duy nhất của nghiệm entropy). Giả sử F lồi và

trơn. Khi đó tồn tại –trên một tập hợp các ước số không - tối đa một

nghiệm entropy của (37).

21

`

2.2.4. Bài toán Riemann’s.

Bài toán giá trị ban đầu (1) với hàm ban đầu không đổi trên

từng khoảng (hàm bậc thang)

(53) khi 0( )

khi 0l

r

u xg x

u x<

= >

được gọi là bài toán Riemann’s đối với luật bảo toàn vô hướng (1). Ở

đây ,l ru u ∈¡ là các trạng thái ban đầu bên trái và bên phải,

l ru u≠

Ta tiếp tục giả sử F lồi đều và thuộc lớp C2, và như trước khi

ta viết 1( ) .G F −′=

ĐỊNH LÍ 4 (Nghiệm của bài toán Riemann’s).

(i) Nếu ,l ru u> nghiệm entropy duy nhất của bài toán Riemann (1),

(53) là

(54) khi ( , ) : ( , 0),

khi

l

r

xutu x t x txut

σ

σ

<= ∈ > >

¡

trong đó

(55) ( ) ( ): .l r

l r

F u F uu u

σ−

=−

22

`

(ii) Nếu ,l ru u< nghiệm entropy duy nhất của bài toán Riemann (1),

(53) là

(56) khi ( )

( , ) : khi ( ) ( )

khi ( )

l l

l r

r r

xu F ut

x xu x t G F u F ut t

xu F ut

′< ′ ′= < <

′>

( , 0).x t∈ >¡

b. Sự phân rã thành sóng N. Sóng xung kích thỏa bài toán

Riemann’s đối với ul > ur

2.2.5. Tác động kéo dài.

a. Sự phân rã trong tiêu chuẩn trên.

u=ur u=ul

x=σt

23

`

Ta dùng công thức Lax – Oleinik (29) để nghiên cứu tác

động của nghiệm entropy u của (1) khi t → ∞ . Ta giả sử dưới đây

rằng F trơn, lồi đều, (0) 0,F = và g bị chặn và khả tổng.

ĐỊNH LÍ 5 (Tiệm cận trong chuẩn L∞ ). Tồn tại hằng số C sao cho

(57) 1/2( , ) Cu x t

t≤

với mọi , 0x t∈ >¡

ĐỊNH LÍ 6 (Các tiệm cận trong chuẩn L1). Giả sử rằng p, q > 0. Khi

đó tồn tại một hằng số C sao cho

(67) 1/2( , ) ( , ) Cu t N t dx

t∞

−∞⋅ − ⋅ ≤∫

với mọi t > 0.

24

`

KẾT LUẬN

Trên đây là luận văn Biểu diễn nghiệm của phương trình đạo

hàm riêng phi tuyế‘n cấp một. Luận văn này trình bày lại các kỹ

thuật khác nhau đã được các nhà toán học sử dụng để đưa ra các biểu

diễn nghiệm (địa phương hoặc toàn cục) của phương trình đạo hàm

riêng phi tuyến cấp một bao gốm: tích phân đầy đủ và kỹ thuật bao

hình, phương pháp đặc trưng, phương pháp biến phân. Luận văn tập

trung chủ yếu vào việc chứng minh các định lý, bổ đề và một số ví

dụ minh họa cụ thể của các phương pháp biểu diễn nghiệm của

phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp một. Thông qua các định

lý và các ví dụ luận văn giải thích khá cặn kẽ ý tưởng và cơ sở lý

luận của các phương pháp biểu diễn nghiệm của phương trình đạo

hàm riêng phi tuyên cấp một nói trên. Luận văn có thể được sử dụng

như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên tại các trường đại

học.

Do thời gian thực hiện luận văn có hạn, trình độ người viết

còn nhiều hạn chế, nên dù bản thân đã rất cố gắng nhưng sai sót vẫn

là điều không thể tránh khỏi. Vì thế tôi rất mong nhận được sự góp ý

của quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện

hơn nữa.