1

ا$ينا$يملا

Jaan Kalda

S. Ainsaar, T. Pungas, S. Zavjalov :ةطساوب ايئزج ةي78لجنإلل تمجرت

مولسلا .ع .ف لصيف :ةطساوب ةيRرعلل تمجرت

ةمدقملا 1

مسق ؛اFيمانيدلا —4 مسقو اFيتاتسإلا —3 مسق :نايس)ئر نآزج ھلو )kinematics اFيتاميEيكلا( ةكرA@ا ملع => لئاسملا نم ة56اشم ةعيمجتل ةلمكت و! ب)تكلا اذ!

%95( بلغأ لحي نأ ءرملا عيطتسx ،اiمادختساب ؛ةيم!أ stكألا لA@ا راFفأ ميدقت و! هذ! لئاسملا ةعيمجتل lmnاسألا فدiلا .ةعجارم لئاسم fgع يوتحي 5 <(

ت مث ،الوأ ةلأسملا حرطت ام ابلاغ .اFيناFيملا => دايبملوألا لئاسم

�

=> ةلصلا تاذ ةركفلا مقر �gإ �tشx ةركفلا مقر مامأ K فرح( ةلصلا تاذ تاحا�tقالاو راFفألا ضعبب عب

،طقف �tخأ ذالمك حيملتلا مدختس� نأ ح�tقملا نم ھنكل ،)6 مسق( اديج ةلصفم تاحيملت اiقبسx .)7 مسق( ب)تكلا ةيا�6 => تعضو لئاسملا لولح .)ةكرA@ا ملع ب)تك

ةطساوب ح�tقا يذلا ھسفن و! ك¥¤ن نا£ اذإ ام ىرت نأ ديفملا نم نوFيس ،كسفنب حاجنب ةلأسملا لحت امنيح ،كلذ عم( .ةلأسملا لح => كتادوiجم لضفأ لشفت نأ دع�

.)تاحيملتلا

—عيضاوملا نم ةددحم ةعومجم نم "تاليكش�" نع ةرابع دايبملوألا لئاسم ل£ اب¦رقت نأب لداجي ب)تكلا اذiل ير!و¥@ا ھيجوتلا

فاش�كا .لولA@ا راFفأ نم يفكي ام تسرد كنوFب ،ةاطعم ةلأسمل ةحيA©لا ةركفلا fgع فرعتلا ادج بعصلا نم نوFي ال ابلاغ .ةلصلا تاذ لA@ا راFفأ نم ي�أت لولA@ا

ملعتلل )ةيلمع �tغ ¯®ح وأ( ةبعص ظA@ا ءوسل راFفألا روصت ةراiم نكل ،مظعأ ةعتم يطعيسو �tثكب stكأ اعادبإ امتح رiظيس =fعفلا لA@ا ءانثأ ة¦رورضلا راFفألا ل£

كئلوأب ةنراقم ررض => نونوFيس دايبملوألا ءانثأ اذ! ة²رجت fgع نودمتعx نم ءالؤ!و ،ةديدج ةركفل لوصولل تقولا نم �tثكلا كل6°سx دق ،اذ! �gإ ةفاضإ .ميلعتلا وأ

.راFفألا اونقتأ دق نيذلا

لA@ ةفورعملا راFفألا عمجتو قبطت ةيملعلا قاروألا بلغأ :دايبملوألا => يذلا£ ا56اشم ارود بعلت لولA@ا راFفأ ،امومع مولعلا =>

امك ،لاح ل£ fgع .مولعلا ع·اورك اقحال فرع� ا6¶م �tثكو ادج اردان ي�أت ةيقيقA@ا ةديد¥@ا ةدي¥@ا راFفألا .راFفألا ميمع�و ن�سحتل ،)ةميدق ،أوسأ وأ( ةديدج لئاسم

؛ادج ةردقم ةراiملا هذ! .ةحيA©لا عضاوملا => م56 عافتنالاو م!ركذت لiسلا نم س)لف ،اFيناFيملا درجم نم stكأ ةم¹¸ ةيمك fgع يوتحت ةيملعلا راFفألا ةن¦زخ نأ

.ةعقوتم �tغ ةلاح => اديج ةفورعم ةركف فيظوتب لصحيس ½�مم زاجنإ

ط ¯Âس� دق راFفألا ضع� ،ادج يطابتعا م6¶يب ق¦رفتلا ."قرط"و "قئاقح" اضيأ ب)تكلا ضرعx ،راFفألا �gإ ةفاضإلاب

قئاقح وأ اقر

ا6¶كل ،لئاسملا لA@ ة¦رورض وأ ةديفم نوFت نأ نكمملا نم n®لا ةفرعملا =Å ،ةددحم وأ ة¦ر!وج تادوجوم =Å قئاقA@ا :ي�آلا فيEصتلا عضو مت دقو ؛حيÃA سكعلاو

ألا ئدابملا نم ةيادب اiلح نكمملا نم لئاسملا ل£ ،ا¦رظن .ةز!اج تافصو£ ةغاصم تس)ل

"Brute Force ةمشاغلا ةوقلا" Ȥن مادختسا نكل ،)ةيساسألا "قئاقA@ا"( لو

ةعساو ةيلباق تاذ ةقراخ "راFفأ" =Å "قرطلا" ؛لiسأ قرطب لئاسملا لA@ تافصو =Å "راFفألا" ؛=Ðيبط �tغ لFش� ةدقعم انايحأو ةل¦وط تاباسح �gإ يدؤيس ام ةداع

.قيبطتلل

،Estonian-Finnish تادايبملوأ ،ةينطولا وأ ةيميلقإلا ةينوتسإلا تادايبملوألا :لئاسملل تمدختسا دق رداصملا نم ديدعلا

.ردصملا ةلوiجم اiضع� ،)اÖ6يعصت وأ اiليiس� ءاوس( اÕ6لع ةفاضإلا مت لئاسملا ضع� ؛n®ييفوسلا داحتالاو ايسور تادايبملوأ ،"Kvant" ةلجم ،ةيلودلا ءاي½�فلا تادايبملوأ

زمرلا اذ! fgع ءانب ةنولم لئاسملا ماقرأ : ةبعص ،ةطسوتم ، ةلiس �gإ لئاسملا فيEصت مت ،ةكرA@ا ملع ب)تكل ھباشم لFش�

.)!Ù¹Úmn فيEصت ة²وعصلا نأ ركذت( يØوللا

عوضوملا �gإ مدقت طقف :=�اA@ا تقولل اiمiف fgع ارداق تسل n®لا )ماسقألا ضع� وأ( ءايشألا ضع� كان! نا£ ول سأيت ال ،اماتخ

.اقحال اiمiفت مل n®لا ءازجألا كلتل دوع� نأ عيطتس� ؛ةيلاتلا ةلأسملا وأ =�اتلا

يرظنلا ساسألا – bcوألا ن7ناوقلا 2

=> .3 مسق �gإ لقتناو ،)اديدج ائ)ش رصبت دقف ،هأرقت نأ عيطتس� ،لاح ل£ fgع( مسقلا اذ! زواجت نوعيطتسx اFيناFيملا => ةيساسألا ن�ناوقلا نوفلأي نيذلا ءالؤ!

افدا! ب)تكلا اذiل بàA اصÙ¹ نأ Þßرملا �tغ نمو ،اFيناFيملاب أدبت ءاي½�فلا تاررقم ل£ اب¦رقت ھنأل اذ! لعف نوعيطتسx ءارقلا ةيبلاغ نأ عقوتملا نم ،ةقيقA@ا

اذ! ؛اã6اذب ةيفتكم هذ! ةساردلا ليلد ةلسلس لعجن نأ => =âاسملا تنا£ ،اذ! نم مغرلا fgع .ءاي½�فلا => ةقباس ةátخ يأ نودب ةمدقتملا لئاسملا لح تاراiم ر¦وطتل

لاثملا ليæس fgع( ن�ئدتبملل ةب!رم اودبت دق ةيضا¦ر غيص fgع يوتحي نكامألا ضع� =>و ةياغلل طوغضم مسقلا اذ! => ضرعلا ،كلذ عم .=�اA@ا لصفلا ةفاضإ رسفي

2

مسقل ان! ب!ذاو ة¦وناثلا سرادملل اFيناFيم باتك ذخ ،ھب أدبتل ادج ابعص مسقلا اذ! تدجو اذإ .ةلiس ةءارق تس)ل çnف =�اتلا²و ،)لضافتلاو عم¥@ا زمر مادختسا

."اFيتاتسإلا"

ةيكيسالكلا ا$ينا$يملا تاملسم 2.1

.قئاقحك ان! تغيص n®لا ،ةثالثلا نتوين ن�ناوق fgع ايل£ زكترم ملع و! ،ب)تكلا اذ! عوضوم ،ةيديلقتلا اFيناFيملا

رخآ راطإ => عراس�ب كرحتي ،ام راطإ => ةتباث ةعرس� كرحتي مسج ،لاثملا ليæس fgع( =Ðجرملا راطإلا fgع ماسجألا ةكرح دمتع� امنيح ).لوألا نتوين نوناق( :1 ةقيقlmا

ألاب ¯Âسx ام كلان! دجوي ،)ارفص س)ل ن¦راطإلا ن�ب énسEلا عراس�لا نا£ اذإ

.ماسجألا لFل ةA@اص 5-2 قئاقA@ا نوFت ثيح ة¦روصقلا ةيعجرملا رط

m ة¦روصق ةلتكب ھفصو ،نكمي مسج ل£ ؛=ìراخ رثؤمل ةجي�ن ي�أي امئاد ام مس¥@ يرفص �tغلا عراس�لا ،يروصق =Ðجرم راطإ => ).يØاثلا نتوين نوناق( :2 ةقيقlmا

�� ةاواسملا نأ ثيح ،ةوقلاب ا!ركذنس ادعاصف نآلا نم ،�� ةiجتم ةيمكب ھفصو نكمي رثؤم ل£و ،)"ة¦روصق" ةفص كرت مت)س =fي اميف( = m�� اص@Aجوز يأل ة

.مسج-رثؤم

،لعفلاب .ةوقلا رادقمو مس¥@ا ةلتك يف¦رع� انيطع� كلذك 2 ةقيقح نإف ،ءاملا نم دحاو بعكم �tميسxد ةلتكك 1𝑘𝑔 ف¦رع� الثم ،ةلتكلل عجرم دوجو درجمب ھنأ ظحال

ھنإف )ن�عمب رادقمب دودشم كátنز لثم( يطابتعا مسج يأ fgع اiقيبطت نكمي )ب(و ،ةوقلا رادقم سفن ءاطعإ امئاد نمضت )أ( ثيح ةيعجرم ةتباث ةوق انيدل نا£ اذإ

نوناق .ةيعجرملا ةوقلل ن�عضاخ ن�مس¥@ا الك نوFي امدنع عجرملا عراس� �gإ مس¥@ا عراس� ن�ب ةبسEلا يواس�ل ايددع تامارجوليكلاب رخآ مسج يأ ةلتك ف¦رع� اننكمي

نتوينلاب ةوق يأ رادقم ،ھباشم لFش� .تمدختسا ةيعجرم ةوق يأ نع ةلقتسم اÕ6لع لوصïAا ةلتكلا تنا£ اذإ يأ ،ھتاذب قس�م ف¦رع� اذ! نا£ اذإ ß@اص يØاثلا نتوين

𝑁 ـب ھل زمري( ≡ 𝑘𝑔𝑚/𝑠3( يل ھف¦رع� نكميFل ضرعملا مس¥@ا عراس�و ةلتكلا برض لصاح نوiاثلا نتوين نوناق ؛ةوقلا هذØاص ي@ß نع القتسم جتانلا نا£ اذإ

.ھمادختسا مت رابتخا مسج يأ

�� يØاثلا نتوين نوناق :صò¹مك = m�� فاب( مس¥@ا ةلتكل ف¦رعتك انمدخي�tخا اننأ ضا�t؛لعافتلا ةوقل ف¦رعتكو ،)ةلتكلل عجرم ان

.سايقلا ةيلمع نع نالقتسم ةوقلا رادقمو مس¥@ا ةلتك :امã6اذب ناقس�م نيذ! نأ انل نمضي نوناقلا

𝐹455 ة�tثك ىوق كلان! نا£ اذإ :ةiجتم تايمكك ةيعيمجت ىوقلا :3 ةقيقlmا (𝑖 = 1…𝑛) ع رثؤتfg ھتلتك مسج 𝑚 ا نإف@Aاص لظت 2 ةقيق@Aعم ة �� = ∑ 𝐹455<

∑ ةiجتملا ةلصïAا 𝐹455< ا تابكرم عمجب وأ ،عالضألا يزاوتم/ثلثملا ةدعاق ق¦رط نع ا!داجيأ نكميïAروا: 𝐹=555 = ∑ 𝐹4=55555<، ةمالعلا ثيح x ةبكرمل زمرت—x .zو y—يروïA ا6°باتك نكمي ة56اشم تا�tبع� ؛ھجتمل )x—روحم fgع طاقسإلا(

𝑚A(𝑗 اiلتك رغصأ ءازجأ نم عونصم مسج كلان! نا£ اذإ :ةيسايق تايمكك ةيعيمجت لتكلا :4 ةقيقlmا = 1…𝑚) لا ةلتكلا نإفFل ةيلò¥يواس� بكرملا مس

𝑚 ،ھتانوFم لتك عومجم = ∑ 𝑚AA

.��− هاجتالا => ةسكاعمو رادقملا => ة¦واسم A مس¥@ا fgع ةيظA@ ةوق لذبي B مس¥@ا نإف B مسج fgع �� ةوق A مسج لذب اذإ ).ثلاثلا نتوين نوناق( :5 ةقيقlmا

تاملسملا نم ةقتشملا ةيساسألا دعاوقلا 2.2

نم ايضا¦ر اiقاقتشا نكمي ا!�tغو ،تا¦رظن ،قئاقح نم =fي ام ل£ .براجتلا ةطساوب ةدكؤم ،)ةينوتوينلا( ةيكيسالكلا اFيناFيملا تاملسم ا!رابتعا نكمي 5-1 قئاقA@ا

.تاملسملا هذ!

أدبم مدختسØ انك نآلا ¯®ح

اø6دل ھيف طاقنلا ل£ نأ ¯÷عمب ،ايلاقتنا ك�tي مس¥@ا ماد ام ماري ام fgع ءömn ل£ .مس¥@ا عراس�ل امÖ6م

طاقن يأ ،ßون نأ جاتحن نحنف نذإ ،فلتخم عراس� اiل نوFيس ةفلتخم طاقن ا6°قوف رود¦و átتعم ساقم مس¥òل نا£ اذإ ،لاح ل£ fgع .عراس�لا ھجتم سفن

،ةيطقنلا لتكلاب ¯Âسx امل ةA@اص 2 ةقيقA@ا نأ ض�tفنل ،ناFمإلا ردق ةطيس� 5-1 انتاملسم ةعومجم يقبنو ة²وعصلا هذ! ىدعتن نأ لجأ نم .اiعراس� مدختسEس

�tغ لFش� ن�فرعم عراس�و ةعرس كلتمت ةدحاو ةطقنب افرعم ةيطقن ةلتك عقوم نوFيس ،ا6¶يح ؛ةعوطقملا تافاسملاب ةنراقم ادج ة�tغصلا داع�ألا تاذ ماسجألا =Åو

.ةيطقنلا ةلتكلا ةلماعم ا6°لماعم نكمي ا6¶م ل£ ،ة�tغص عطقل ايليخت ا6°ئزجت ةطساوب ھتنم م¥ù تاذ ةقيقح ماسجأل 2 ةقيقA@ا ممعØ نأ عيطتسØ .ضماغ

xنأ ءرملا عيطتس xإ رظنا( قتش�g مòAاثلا نتوين نوناقل ةماعلا ةغيصلا )1 قØي.

f= 𝑃5كلا مخزلل ).ممعملا يØاثلا نتوين نوناق /مخزلا ظفح نوناق( :6 ةقيقlmا = ∑ 𝑚<< 𝑣4555 ةيطقنلا لتكلا نم ماظنل،

HHI𝑃5 = �� )1(

𝑷55( ظوفحم xyكلا مخزلا نإف ،اديدحت stكأ لFش� .ماظنلا fgع ةرثؤملا )ةيجرا¹@ا ةوقلا عومجم( ةلصïAا ةوقلا =�� Åثيح = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕( تنا� اذإ 𝑭55 = 𝟎.

3

𝑃5 ض¦وعتب = ∑ 𝑚<𝑣4555 = ∑ 𝑚<HRS555HI= H

HI∑ 𝑚<𝑟455<<< )ثيح𝑟455 ـلا ةيطقنلا ةلتكلل عقوملا ھجتمل زمرتi(، Øةلداعملا ةباتك ةداعإ عيطتس )ـك )1

M𝑑3𝑟X555𝑑𝑡3 = ��

ثيح

𝑟X555 =∑ Z[RS555[Z[

)2(

xس¯ نلا هذ! .ةلتكلا زكرم� .ةلتكلا زكرم عراس� انمدختسا اذإ ةA@اص لظت 2 ةقيقA@ا ،ة¦رiجم قوفلا ماسجألا ةلاح => :ßوت ةجي

عيطتسØ ،تاعرسلاو مس¥@ا لخاد تافاسملا fgع ماسجألا ن�ب لعافتلا ىوق دمتع� فيك فرعØ امتقو ،يØاثلا نتوين نوناقل اقبط

عيطتسØ ،=�اتلا²و ،اiل£ ماسجألا عراس� فرعØ نحن ،العف .)deterministic ةيEييعتلا ةمظنألاب ¯Âس� هذiك ةمظنأ( تقولا عم ماظنلا روطت)س فيك باسح )ا¦رظن(

ةديد¥@ا ةعرسلا نأ n÷عx ام ،ھلام!إ نكمي ��∆ تاعراس�لا => �tغتلا نإف ،ةيافك ا�tغص n ∆𝑡÷مزلا لصافلا نا£ اذإ :�tغص n÷مز لصاف دع� عقاوملاو تاعرسلا ديدحت

[>�� نوFتس𝑖 ـلا مس¥òل = 𝑣4555 + 𝑎4555 ∆𝑡، ديد¥@ا عقوملا ھجتمو ��<] = 𝑟455 + 𝑣4555 ∆𝑡ةتقؤملا تادامتعالا ل£ ؛ 𝑣4555 (𝑡) و𝑟455 (𝑡) )ـب𝑖 = 1…𝑁 ثيح N Å= ددع

نمزلل ةبسEلاب ةيناثلا تاقتشملا :ةيدايتعا ةيلضافت تالداعم ماظنل يددع لماFت اذ! ،ümnا¦ر ¯÷عمب .نمزلا => ةوطخب ةوطخ مدقتلاب اÕ6لع لوصA@ا نكمي )ماسجألا

,𝑥4 تايثادحإلل 𝑦4, 𝑧4 xعát تايثادحإلا ةطساوب ا6¶ع 𝑥<, 𝑦<, 𝑧<، وألا تاقتشملاو�g𝑥4, 𝑦4, 𝑧4. ا هذ! ،ايئدبم@Aع ،امئاد ا56 مايقلا نكمي تاباسfg ايمقر لقألا

نم ةعيمجت =Å ةينوتوينلا اFيناFيملا ،5-1 قئاقA@ا نع اديع� .ادج ابعص نوFي نأ نكمي يقيبطتلا ümnا¦رلا لمعلا ،أدبمك ،ةيفا£ ةيباسح ةردق انيدل نأ ضا�tفاب

.لiسأ لFش� ةيلضافتلا تالداعملا هذ! لA@ تافصولا

نكمي ةيكيناFيملا ةمظنألا روطت ،هالعأ ليق امل اقبط ھبæس اذ! .يزكرم رود ھل ظفA@ا ن�ناوق قيبطتو داجيإ ،هذiك تافصو ن�ب نم

نكمي ظفA@ا ن�ناوق .�tثكب طس�أ ةيضا¦رلا ةمiملا لعجي اذ! ؛دحاوب ماظنلا اذ! ةبتر ضفخي ظفح نوناق ل£و ،ةيلضافتلا تالداعملا نم ماظن ةطساوب ھنع �tبعتلا

.ةيلمعلا هذ! فلأت نأ نودب اiلح نكمي اFيناFيملا لئاسم مظعم نكل ،اiقاقتشا متي فيك فرع� نأ عبطلاب ديفم ھنأ نم مغرلا fgع ؛نتوين ن�ناوق نم ايضا¦ر اiقاقتشا

�gإ رمتسEس =�اتلاب ،)6 ةقيقح �gإ رظنا( مخزلا ظفح نوناق عم لماعتلاب انمق دقل .طقف غيصلا رفونس ان! ؛3و 2،1 تاقòAملا => ظفA@ا ن�ناوق تقتشا ،اذ! بæس�

.=�اتلا نوناقلا

ℒ يوازلا مخزلا ةلصïA ).يوازلا مخزلا ظفح نوناق( :7 ةقيقح = ∑ 𝑚<𝑟455< × 𝑣4555 ماسجألا نم ماظنل،

HHIℒ = 𝑇5 )3(

ثيح

𝑇5 = i𝑟455<

× 𝐹455

تنا� اذإ ةظوفحم ماظنلل يوازلا مخزلا ةلصحم ،اديدحت stكأ لFش� .𝑖 ةيطقنلا ةلتكلا fgع ةرثؤملا ىوقلا ةلصحم =𝐹455 Å ان! ؛ماظنلا fgع قبطملا مزعلا ةلصحم و!

𝝉5 = 𝟎.

.ماسجألل ةينارودلا ةكرòAل يØاثلا نتوين نوناق ا!رابتعا نكم¦و ،2 قòAم => تقتشا )3( ةلداعم

مظعم ،ظA@ا نسA@ .ادج ابعص نوFي دق =>اصلا يوازلا مخزلاو مزعلا ديدحتل =Åاجتالا برضلا باسح ،داع�ألا ةيثالثلا ةيسدنiلا =>

x حطس => عقت عقوملا تاiجتمو ،موخزلا ،تاعرسلا :داع�ألا ةيئانث ةسدن! نمضتت دايبملوألا لئاسم − y، جتملا برض جتاونوiة¦زاوم )ة¦وازلا موخزلاو موزعلا( تا

ïAرو z. اننأ ¯÷عمب Øنأ عيطتس Øتعát 𝐿5 = 𝑟 × 𝑝 و 𝑇5 = 𝑟 × �� طاقسإب ةفوصوم ،ةيسايق تايمككiع اfg روحم 𝑧 )ي اميفf= xعát ـك ا6¶ع L و𝑇 عfg اوتلا�=(.

=�اتلاب .كلذ فالخ ةبلاسو ،ةعاسلا براقع ةكرح عم قفاوتت �� ھجتملا �gإ 𝑟 ھجتم نم نارودلا نا£ اذإ ةبجوم اذiك مزع ةراشإ ،=Åاجتالا برضلا ف¦رعتل اعوجر

T ةباتك اننكمي = |𝑟| × p��p𝑠𝑖𝑛𝛼، ثيح α Å= ت نأ نكم¦و ةوقلاو رطقلا فصن ھجتم ن�ب ة¦وازلاFنم نارودلا( ةبجوم نو𝑟إ�g �� وأ )ةعاسلا براقع عم

ةوقلا عارذ فرعØ نأ اننكمي .ةبلاس

ℎ = |𝑟|𝑠𝑖𝑛𝛼 )إ رظنأ�g شلاFثيح ،)ل

T = p��pℎ

𝐹I ةوقلل ةيسامملا ةبكرملا مدختسØ نأ عيطتسØ ھباشم لFش� = p��p𝑠𝑖𝑛𝛼 ع لصحنوfg

𝑇 = |𝑟|𝐹I

4

:يوازلا مخزلا fgع اiقيبطت نكمي ة56اشم ةق¦رطب

𝐿 = |𝑟||��|𝑠𝑖𝑛𝛼 = ℎ|��| = |𝑟|𝑝I

مخزلا نم الك نأ ߸اولا نم .ةكرA@ا ميدع مس¥@ا ھيف نوFي يروصق =Ðجرم راطإ كلان! نوFي امنيح تالاA@ا كلت ¯÷عمب ،ماسجألا تانازتا سردي اFيتاتسإلا لاجم

دجوت امك .ارفص نوFت نأ بجي ام مسج fgع ةرثؤملا موزعلا ل£ عومجم كلذكو ،ىوقلا ل£ عومجم نإف =�اتلاب ،ن�تباث انوFي نأ بجي نازتا دنع مس¥@ يوازلا مخزلاو

تحت ھلFش fgع ظفاحي مسج :دلصلا مس¥@ا =Åو ةمiم ةيلاثم ةلاح دجوت ،)اÕ6لع ةوق قيبطت دنع ماسجألا لFش �tغ�( ماسجألا هوش� سردت اFيتاتسإلا fgع لئاسم

.)ادج ة�tبك �tغ( ةوق يأ �tثأت

]3 ةلداعم[ يوازلا مخزلا ةلاح => ،ةوقلا قبطت نيأ مø6 ال ،يØوFسلا ةوقلا نازتا طرشلو ،]1 ةلداعم[ يØاثلا نتوين نوناقل ھنأ امن)ب

ةنورملا ىوق( ن�مس¥@ا ن�ب سمالتلا ةطقن دنع قبطت n®لا سمالتلا ىوقل ةمسقم ىوقلا ،ةيكيسالكلا اFيناFيملا => .امiم اذ! حبصي يØوFسلا مزعلا نازتا طرشلو

.)ةينوFسورiكلاو ةيبذا¥@ا ي�وق لثم( بلصلا مس¥@ا => ةطقن ل£ fgع قبطت n®لا لا¥ïا ىوقو ،)هاندأ رظنا ،كاFتحالا ةوقو ةيدومعلا ةوقلا لثم ،ةفلتï¹ا اiلاFشأب

ة�tغص عطق �gإ )ماسجألا ماظن( الما£ مس¥@ا ميسقت ق¦رط نع مزعلا باسح نكمي ،لا¥ïا ىوق ةلاح => ؛سمالتلا ةطقن حوضوب =Å سمالتلا ىوقل ةوقلا قيبطت ةطقن

ةفلتï¹ا ءازجألا fgع ةقبطملا لا¥ïا يوق ل£ عومجم ¯÷عمب( ةلماFلا لا¥ïا ةوق عم ھنأ ىرن نأ لiسلا نم .ا6¶م ل£ fgع ةقبطملا موزعلل لماFتلا ذخأ²و )ةيطقن لتك( ادج

𝑇5 نأ ثيحب 𝑟 رطق فصن ھجتم دجي نأ امئاد ءرملا عيطتسx ،مس¥@ا fgع قبطملا 𝑇5 لماFلا مزعلاو �� مس¥@ا نم = 𝑟 × ��، ع ھنأ ¯÷عمبfg ىوق نأ نم مغرلا

دعاوقلا ضع� كلان! نوFي ،تالاA@ا ضع� => ؛لاعف �tثأت زكرم fgع تقبط ةوقلا ةلصحم نأ ول امك نوFت �tثأتلا ةلصحم ،مس¥@ا => ةطقن ل£ fgع قبطت لا¥ïا

.ةلتكلا زكرم ھنأ رiظي ،سØاجتم ةيبذاج لاجم ةلاح => لاثملا ليæس fgع ،هذiك �tثأت زكارم داجيإل ةطيسæلا

لا¥ïا ىوق لقنت n®لا تالا¥ïا ،ةiج نم ھنأل ،¯÷عملا ميدع حبصي ىوقلا ن�ب ق¦رفتلا اذ! ،مكلا اFيناFيمل يرï¥iا ىوتسملا دنع

Å= بعتلا اذ56و داوم نع ةرابع�t، £ىوقلا ل Å= ا ىوتسملا دنع كلذك لقنت ةيكيسالكلا سمالتلا ىوق ،لباقملا =>و .سمالت ىوقï¥iبعتلا اذ56و تالاجم ةطساوب ير�t

.ادعاسم لظي اذiك ميسقت ،يرï¥iا قوف ىوتسملا دنع ،اذ! نم مغرلا fgع .تالاجم ىوق =Å ىوقلا ل£

=�اتلا£ )ايلاقتنا كرحتت ةدلص ماسجأ وأ( ةيطقنلا لتكلا نم ماظنل ةيكرA@ا ةقاطلا انفرع اذإ ).3 قòAم �gإ رظنا ؛ليصافتلا نم د¦زمل ؛ةقاطلا ظفح نوناق( :8 ةقيقح

𝐾 =12i𝑚<��<3

<

=�اتلا£ ةيطقنلا لتكلل 𝑑𝑟455 رغصلا ةيئا�6ال ةحازإ ءانثأ ىوقلا ل£ نع ةجتانلا لغشلا ةلصحمو

𝑑𝑊 =i𝐹455<

∙ 𝑑𝑟455

ىوقلا ل£ ةطساوب لوذبملا لغشلا ةلصحم يواسx ةيكرA@ا ةقاطلا �tغ� نإف

𝑑𝐾 = 𝑑𝑊

.ماظنلل ةيئا6¶لاو ةيئادتبالا ن�تلاA@ا fgع طقف دمتعx ةظفاïAا ىوقلا ¯Âسx ام ةطساوب لوذبملا لغشلا .iـلا ةيطقنلا ةلتكلا fgع ةرثؤملا ىوقلا ةلصحم لثمت 𝐹455 ،ان!

ھنع �tبعتلا نكمي ةظفاïAا ىوقلا ةطساوب لوذبملا لغشلا نأ ¯÷عx اذ! .ةيطقنلا لتكلا ھب تكرحت دق راسم يأ fgع س)لو ،)ةيطقنلا لتكلا عقاوم fgع ،¯÷عمب(

Π(𝑟w555 ةنيعم ةلاح ةلاد ضافخناب , 𝑟3555 , … }𝑑𝑊xyz بتكن نأ عيطتسØ رغصلا ةغلاب تاحازإل ؛عضولا ةقاطب اÕ6لإ راشn x®لاو ( = −𝑑Π. انفرع اذإ ،=�اتلا²و

𝐸 ـك ةيلFلا ةيكيناFيملا ةقاطلا = 𝐾 + Π ا6¶يحف

𝑑𝐸 = 𝑑𝑊]

dE نإف هذiك ىوق كلان! نكي مل اذإ ؛ةظفاïAا �tغ ىوقلا ةطساوب لوذبملا لغشلل عجرت [𝑑𝑊 ثيح = =�اتلا²و ،0

𝐸 = 𝐾 + Π = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. )4(

5

ةقاطلا طقف تس)ل بكرم مس¥@ ةيكرA@ا ةقاطلا ،ھتلتك زكرم مخز و! ام مسج مخز نأ امن)ب ،الوأ .تاقيلعتلا ضع� جاتحن ان!

كلذك فاضت نأ بجي ةلتكلا زكرم راطإ => ةيكرA@ا ةقاطلا :ھتلتك زكرمل ةيكرA@ا

𝐾 =12𝑀𝑣X

3 +12i𝑚<

<

𝑢5 <3

𝑢4555ثيح = 𝑣4555 − 𝑣X5555 Å= جتملا ةعرسلاiـلا ةيطقنلا ةلتكلل ة i <= ا ةقاطلا باسح ةيفيك .ةلتكلا زكرم راطإ@Aزكرم راطإ => ةيكر

.اقحال شقان�س رودي دلص مسج ةلتك

ةيدومعلا ةوقلا لثم( نمزلا وأ/و )كاFتحالا ىوق ،لاثملا ليæس fgع( تاعرسلا fgع ةدمتعملا ىوقلا نأ ظحالنل ،ةيا6¶لا =>

ءان#تسا .ماسجألا هذ! ةعرس fgع حوضوب دمتعx هذiك ىوق ةطساوب ام راسم لالخ لوذبملا لغشلا نأل ةظفاحم نوFت نأ نكمي ال ،)كرحتم رادج ةطساوب ةلوذبملا

dW اiل نوFي n®لا )ةيدومعلا ةوقلاو ½�نرول ةوق لثم( ةiجتملا ةعرسلا fgع امئاد ةيدومع ةعرسلا fgع ةدمتعملا ىوقلا نوFت امدنع ي�أي = �� ∙ 𝑑𝑟 = �� ∙𝑣𝑑𝑡 ≡ 0.

ةيساسألا ىوقلا 2.3

ماسجألا ل£ نأ ملعØ "ةكرA@ا ملع" نم .�� رA@ا طوقسلا عراس� ھجتم ةطساوب اiفصو نكمي ؛stكأ ليصافتب ةيبذا¥@ا لاجم ةلاح رابتعاب مقنل ،نآلا .ةيبذا�lا

ةوق ةطساوب ثدحي نأ بجي اذ! ،يØاثلا نتوين نوناقل اقبط ،ا6¶يح ؛�� عراس�ب كرحت�س

�� = 𝑚��.

نوناق ةطساوب تفرع ةلتكلا نأ ركذتنل .ةيátتخم ةجي�ن átتع� مس¥@ا ةلتك عم ةيبذا¥@ا ةوق بسان�ت ،ىطعم ةيبذاج لاجم => ھنأ ةقيقح .ةيبذا¥@ا ةوقب ¯Âس� هذ!

،اذ! نم مغرلا fgع .ة¦روصقلا ةلتكلا اÕ6مسØ نأ اضيأ اننكمي اذ! بæس� ؛ةiجتملا ھتعرس� ظافتحالا fgع مس¥@ا ةردق ¯÷عمب ،ام مسج روصق فصتو يØاثلا نتوين

ةلتكلا اiمسEل ،مس¥òل ىرخأ ةفص ةطساوب فرع� ةيبذا¥@ا ةوق نأ ليخت لiسلا نم .ةلتكلا عم بسان�ت ةيبذا¥@ا ةوق :امامت فلتخم نوناق => لخدت ةلتكلا ان!

"ة¦روصق" ن�تفصلا نع ءانغتسالا اننكمي اذ56و ة¦روصقلا ةلتكلا يواس� امئاد ةيلاقثلا ةلتكلا نأ ترiظأ براجتلا .ة¦روصقلا ةلتكلاب ةطبترم �tغ =Åو ،ةيلاقثلا

.ةماعلا ةيæسEلا ة¦رظنلل ةدعاقلا ر¥ùو ةيساسألا ةملسملا لثم¦و ءاي½�فلا => ة�tبك ةيم!أ ھل ة¦روصقلاو ةيلاقثلا ن�تلتكلا ؤفاFت ،عقاولا => ."ةيلاقث"و

Øس� لصحت ةوق ل£ نأ ثلاثلا نتوين نوناق نم ملعæع ةقبطم ةيبذاج ةوق :رخآ مسج بfg مسج 𝐴 ت نأ بجيFسم نوæمسج ةطساوب ةب

𝐵. وØسم ةيبذا¥@ا ةوق نأ كلذك ملعæتو ةلتكلا ةطساوب ةب� نأ بجي ةوقلا نإف ،=�اتلا²و .𝐵 مس¥@او 𝐴 مس¥@ا نم ل£ fgع قبطني اذ! ،ر!اظ لFش'و ،اiعم بسان

F ،ن�تلتكلا برض لصاح عم بسان�ت = c𝑚�𝑚�، بسانتلا لماعم ثيح𝑐 ي نأ نكميFظ .ةفاسملا => ةلاد نوiنأ ر 𝑐 ي�c ،ةفاسملا ع'رم عم ايسكع بسان =

G/𝑟3تعنل ؛át !نك اذ�𝐺 ،ةيلمع ةجي ≈ 6.67 × 10�ww𝑚�𝑘𝑔�w𝑠�3 xس¯ سلا نم .بذ¥@ا تباثiتس ةوقلا هذ! نأ عقوتلا لFهاجتالل ة¦زاوم نو

.بذاجت ةوق ا�6أ رiظي ةيبذا¥@ا ةوق ،اذ! �gإ ةفاضإلاب ؛لعفلاب ةلاA@ا =Å هذ! .ام6¶يب لصاولا ط¹@ا و!و الأ ،ن�تيلتك ن�تطقن نم نوFم ماظنل ديحولا لضفملا

=�اتلا£ ا6¶ع �tبعتلا نكمي 𝑗ـلا ةيطقنلا ةلتكلا بæس� 𝑖 ـلا ةيطقنلا ةلتكلا fgع ةرثؤملا ةيبذا¥@ا ةوق :9 ةقيقح

𝐹455 = 𝑟4���Z[Z�

R[�� (5)

ةوق ةلصحم :ان! لمعx بكا�tلا أدبم نأ ¯÷عمب ،نوناقلا اذ! ةيحالص => رثؤي ال ثلاث مسج دوجو .𝑗 مس¥@ا �gإ𝑖 مس¥@ا نم �tشملا ةدحولا ھجتم و! ��𝑟4 ثيح

عزوت تاذ ةبذاجتملا ماسجألا نوFت امدنع ةA@اص كلذك لظت )5( ةلداعم .)5( ةلداعملل اقبط ةبذا¥@ا ماسجألا ل£ تام!اسم عمج ق¦رط نع ا!داجيإ نكمي ةيبذا¥@ا

،ةيطابتعالا لاFشألا تاذ ماسجألا ةلاح => !اديج ظحال )ةلتكلا يزكرم fgع ناقبطني ناذللا( لثامتلا يزكرم �gإ نا�tش� 𝑟Aو >𝑟 ،ةلاA@ا هذ! => —ة¦ورك لثامتم ةلتك

.لماFتلا ذخأو ةيطقن لتك �gإ مس¥@ا ميسقت ق¦رط نع ةوقلا بسحت نأ بجي ؛ائطاخ نوFيس ةلتكلا زكرم مادختسا

نوFتل ،�𝑅 ضرألا رطق فصنل 𝑟<A ب¦رقت اننكمي ،ةيضرألا ةركلا بذ¥@

�� = 𝑚��,�� = �� ������ ≈ �� ∙ 9.81𝑚/𝑠3 (6)

.ضرألا ةلتكل زمري �𝑀 و لفسألا �gإ �tشx يذلا ةدحولا ھجتم و! �� ثيح

،مس¥@ا ةلتك زكرم fgع لاعف لFش� ةقبطم نوFت �� سØاجتم ةيبذاج لاجم بæس� ةجتانلا ةوقلا نأ ظحال

=�اتلا£ بسحي ةيبذا¥@ا ةوق نع جتانلا مزعلا ،لعفلاب .ھلFش نع رظنلا ضغ�

6

𝑇5 =i𝑟455 × ��𝑚<<

= ¡i𝑟455<

𝑚<¢ × �� = 𝑟X555 × ��𝑀,

𝑀 ثيح = ∑ 𝑚<<.

ن�تيطقنلا ن�تلتكلا ن�تا! ن�ب لصاولا ط¹@ا لاوط fgع ةiجتم نوFت ةوقلا ،ةيطقنلا لتكلا نم جوز يأل ھنأل ةظفاحم ةوق ةيبذا¥@ا ةوق

�� ةيبذاج ةوق ةطساوب لوذبملا لغشلا .)3 قòAم �gإ رظنا( ام6¶يب ةفاسملا fgع طقف دمتع�و = 𝑚�� ن�𝑑𝐴 ـك ھنع �tبعتلا نكمي سØاجتم ةيبذاج لا¥ï ةجي =𝑚�� ∙ 𝑑��، اتلابف�= 𝑑Π = −𝑚�� ∙ 𝑑𝑟ع لصحن ؛át تلاFع لماfg

Π = −𝑚�� ∙ (𝑟 − 𝑟£555 )

ةباتك اننكمي ،ةيعيمجت ةقاطلا نأ ركذت عم ،نآلا .ةيطابتعا ةيعجرم ةطقن �gإ �tشملا ھجتملا و! 𝑟£555 ثيحب

:ماسجألا نم N ددعل عضولا ةقاطل �tبع�

(7) Π = −�� ∙ ∑ 𝑚<< (𝑟 − 𝑟£555 ) = −�� ∙ (𝑟X555 − 𝑟£555 ) ∑𝑚<

هدنع عضولا ةقاط نوFت يذلا( =Ðجرملا روصتلا ذخأ مئالملا نم نوFي ام ابلاغ ،ن�تيطقن ن�تلتكل ؛لماFتلا ذخأ ق¦رط نع ا56اسح نكمي ن�تيطقن ن�تلتك عضو ةقاط

ن�مس¥@ا الك fgع ةرثؤملا ةيبذا¥@ا ىوق ةطساوب لوذبملا لغشلا ،ة�tغص تاحازإل .ةيئا�6ال ن�مس¥@ا ن�ب ةفاسملا نو£ دنع )رفص

𝑑𝑊 = 𝐺𝑚w𝑚3

𝑟w33𝑟w3� ∙ (𝑑𝑟w555 − 𝑑𝑟3555 ) = −𝐺

𝑚w𝑚3

𝑟w33𝑑𝑟w355555

𝑑𝑟w555 نأ نابسA@ا => ذخألاب انمق ان! − 𝑑𝑟3555 = 𝑑(𝑟w555 − 𝑟3555 �𝑟w3و ،( ∙ 𝑑(𝑟w555 − 𝑟3555 ) = −𝑑𝑟w3. نذإ،

Π = ∫ 𝐺 Z¥Z�R�

R¥�¦ 𝑑𝑟 = −𝐺 Z¥Z�

R¥� (8)

𝑖 عم جاوزألل اiعمجن =�اتلاب ،ةدحاو ةرم دعx نأ بجي ماسجألا نم جوز يأ ن�ب لعافتلا ةقاط نأ ظحال > 𝑗.

مس¥@ عضولا ةقاط �tغتف ،𝑔ةوقب لفسألل ھجتم سØاجتم ةيبذاج لاجم ةلاح => ؛)8( ةلداعملاب ىطعx يورك لثامت امiل ن�مس¥@ ةيبذا¥@ا عضولا ةقاط :10 ةقيقح

Π∆ و! 𝑚 ھتلتك = m𝑔∆ℎ، ثيح ∆ℎ !غتلا و�t <= عافترالا.

تالعافتلا ةطساوب )أدبملا => لقألا fgع( ةنورملا ىوق ل£ حرش اننكمي ا¦رiجم امن)ب .ايفرح ةوطخ ل£ => اiiجاون نأ نكمي ،ةيبذا¥@ا ىوقل ھباشم لFش� .ةنورملا

ةلباقلا ماسجألل ةنورملا ىوق فصي يذلا كو! نوناق كلان! دجوي ،ةيادب .ا¦رiجم قوف ةفلتخم الاFشأ ذخأت نأ ا6¶كمي ،مكلا اFيناFيم مادختساب ةيس)طانغمورiكلا

ةوقلا نم ل£ ،ةقيقA@ا => نكل ،ةنورملا نع دعبلا ل£ نيديع� ناودبي ناذللا فا¥@ا كاFتحالا ةوقو ةيدومعلا ةوقلا كلذك دجوي ؛)كátنزلا وأ طاطملا لثم( هوش�لل

.كو! نوناقك ا¦رiجم روذ¥@ا سفن امiل فا¥@ا كاFتحالا ةوقو ةيدومعلا

يأ ،هوش�لا عم بسان�ت ارادقم )ب(و �� هوش�لا ھجتمل ةسكاعم )أ( ةوق لذبي هوشملا مس¥@ا نإف ،ادج ا�tبك س)ل مسج هوش� نا£ اذإ )كو! نوناق( :11 ةقيقح

�� = −𝑘�� )9(

وأ( ددمتلا طقف نمضتي مس¥@ا هوش� نأو ،ادج ا�tبك س)ل هوش�لا نأ املاط ،+@إ ،تا£átنزلا ،طاطملا ةنمضتم ةنرملا داوملا لFل ة�tغصلا تا!وش�لل ß@اص نوناقلا اذ!

�� ةدحولا ھجتمب افوصوم( تباث هوش� هاجتا عم ،صقلاو ءانحنالا تا!وش� تمض اذإ .صقلا وأ A÷n@ا نمضتي الو ،)طاغضنالا ≡ ��/|��|(، ةوقلا رادقم لظي

.ةحازإلل ةسكاعم ةرورضلاب نوFت ال ةوقلا ا6¶يحو ،fg ��ع كلذك دمتع𝑘( x بسانتلا لماعم( ءوس¥@ا نوFي ا6¶يح ،لاح ل£ fgع ؛|��| عم ابسانتم

Π طيس� لماFت ق¦رط نع ا!داجيإ نكمي عضولا ةقاط ،ةظفاحم ةنورملا ىوق = −∫ �� ∙ 𝑑�� = ∫𝑘𝑎𝑑𝑎 = w3𝑘𝑎3.

ـب ىطع� هوش�لل لباق مس¥@ عضولا ةقاط ،9 ةقيقح ضا�tفا تحت :12 ةقيقح

Π = w3ka3 (10)

ميسقت ءرملا عيطتسx ،لعفلاب .فصنلا �gإ ضفخن)س هءوسج نإف ن�ترمب لوطأ هانلعج ول اننإف ،لاثملا ليæس fgع 𝑘 هءوسجو 𝑙 ھلوط اطاطم انذخأ اذإ ھنأ ߸اولا نم

𝑥 ـب ناددمت)س ن�فصنلا الك ،ل¦وطلا طاطملل ةيا6¶لا طاقن fgع 𝐹 ةوقلا سفن نآلا انقبط ول اننأ n÷عx ام ،𝑙 لوطب ام!الك ،ن�فصن �gإ ايلايخ ل¦وطلا طاطملا = 𝐹/𝑘

[𝑥 ـب ددمت)س طاطملا لما£ ،=�اتلا²و = 𝑥 + 𝑥 = 2𝐹/𝑘

تا£átنزلا fgع قبطني ال اذ! !اديج ظحال .ن�¦زاوتم ن�ليحن ن�نثا£ كيمسلا طاطملا رابتعا عيطتسØ اننأل هءوسج فعاضيس ن�ترم كمسأ طاطملا لعج ،ھباشم لFش�

كيمسلا كلسلا :ن�ترم نم stكأ ءوس¥@ا فعاضيس ن�ترم كمسأ كلس� ھعنص نكل ،عبطلاب فصنلا �gإ ءوس¥@ا ضفخيس ن�ترم لوطأ كátنزلا لعج :ءانحنالا هوش�و

.ةيلاتلا ةقيقA@اب اiصيò¹ت نكمي ةرقفلا هذ! .ءانحنالا ة¦واز سفن دنع ليحنلا كلسلا نم stكأ هوش�يس

7

ءوس¥@ا ،ümn 𝐴رعلا اiعطقم ةحاسمو 𝐿 اiلوط ةنرم ةدامل :13 ةقيقح

𝑘 = �¬­

(11)

.ةداملل جنوي لماعمب ¯Âسx امل زمرت 𝑌 ثيح

én εسEلا هوش�لا ھنوFب فرعم و!و ،لاعفنالا موiفم ميدقتب مقنلف .كو! نوناقل ةليدب ةغيص يطعØ نأ نكمملا نم ھلعجت ةاواسملا هذ! = 𝑎/𝐿، جإلاوiفرع-و دا

𝜎 ،تاحاسملا ةدحول ةنورملا ةوق ھنأب = 𝐹/𝐴. اتلا£ كو! نوناق ةباتك ةداعإ نكمي ،=�اتلاب�=

𝜎 = 𝜀𝑌

xفم كلذك مدقي نأ ءرملا عيطتسiو ،ة!وشم ةدامل ةقاطلا ةفاثك موÅ= لاEم¥.@او عضولا ةقاط ن�ب ةبس، 𝑤 = Π/(𝐿𝐴) = w3𝑌𝜀3.

ةجاحب اننأ ءرملا ركفي دق .اA@اص لظي كو! نوناق نأ ثيحب "ةيافك ة�tغص" ا!رابتعا نكمي تا!وش� يأ ،لاؤسلا ركذ اننكمي نآلا

ε نوFل ≪ تا!وش�لا نوFت امدنع راي�6الاب كو! نوناق أدبي ،ةداع .�tثكب ε~1 تا!وش� لوصو لبق عطقنت ةنرملا داوملا ةيبلاغ :ادج وخر بلطتم ةداع اذ! نكل ،1

لFش� ي·ادتبالا اiلFش ةداملا عج�tس� نل ،ةوقلا داع�إ دنع :لماFلاب ةنرم داوملا لظت نل ،هذiك ة�tبك تا!وش�ل ،كلذك .عاطقنالل ةب¦رق حبصت داوملا نأ ثيحب ة�tبك

عساو ىدم átع ايندل هوش�ت n®لا )ةندللا داوملاب اÕ6لإ ةراشإلا نكمي n®لا( داوم كلذك دجوي .ةندللا تا!وش�لاب اÕ6لإ راشx هذiك تا!وش� ؛ىقب)س هوش�لا ضع'و لما£

.انرم هوش�لا اÕ6ف لظي n®لا رغصلا ةغلاب تالاعفنال طقف اA@اص لظي كو! نوناق ،هذiك تالاح => .عطق �gإ مطحتت نأ لبق لاعفنالا نم

ε ادج ايلاع اÕ6ف هوش�لا حبصي نأ نكمي ةنورملا ةقراخ داوم دجوت ھنأ ظحال > ε فرظلا ،لعفلاب ا6¶يح ؛1 ≪ ابلطتم نوFيس 1

.كو! نوناق قيبطت ةيلباقل

تا!وش� بæس�س ةيدايتعالا ىوقلا نإف ةليحنو ةل¦وط كالسأ وأ طوي¹@ انكالتما رارغ fgع ھنأ n÷عx امم ةيلاع 𝑌 ميق اiل داوملا ةيبلاغ

ھنإف ،هوش�لل lmnدنiلا �tثأتلا لام!إ نكمي ھنأ امن)ب ،تالاA@ا هذ! => .ةبلصلا حطسألاو ،نابضقلا ،لابA@ا ،كالسألل ابلاغ ةلاA@ا =Å هذ! .ةظحالم �tغو ةلي/ض

كالسألا ،نابضقلا ةلاح => ؛ةيدومعلا ةوقلا ¯Âس� هذiك ةينورم ةوق نإف ،بلص حطس عم لماعتن انك اذإ .ةقبطم ةيجراخ ةوق يأ لداع� ةينورم ىوق لFش�تس

.دشلا ةوق اÕ6مسØ ،لابA@او

ال :ةلاA@ا امئاد هذ! ،ليحنلا كلسلا وأ لبA@ا ةلاح => .لبA@او كلسلا ،ب)ضقلل ة¦زاوم دشلا ةوق نأ ض�tفي ھنإف ،ه�tغ ددشx ملام

ةيجراخ ةوق قيبطت ةطساوب ةيدومع ةينورم ةوق جاتنا انلواح اذإ :هذiك تا!وش�ل ةبسEلاب ادج يرط ةداع لبA@ا نأل يØورم ءانحنا وأ صق دجاوتل ةيناFمإ يأ دجوت

ةلواحم اينورم عØامي ب)ضقلا نإف ،ةيجراخ ةيدومع ةوق انقبط اذإ :احيÃA س)ل اذ! ،ب)ضقلا ةلاح => .ةظوòAم ةوق يأ ن¦وFت نودب n÷حن)س لبA@ا نإف ،ةيدومع

.ب)ضقلل ة¦زاوم اضيأ نوFتس دشلا ةوق ،ثلاثلا نتوين نوناقل اقبط ھنإف ،ب)ضقلل ة¦زاوم ةيجرا¹@ا ىوقلا ل£ تنا£ اذإ نكل .ةيدومع دش ةوق ةبكرم نوF¦و ھينح

مiضع� بذجب ناتعطقلا موقت ،𝑃 ميسقتلا ةطقن دنع مث .ن�ئزج �gإ ايم!و ھميسقت اننكمي ،)+@إ ،لبح ،ب)ضق( دودشم طيخ ةلاح =>

لعافتي n®لا ةوقلا .ھسفن لظي ةوقلا رادقم ،ثلاثلا نتوين نوناقل اقبط ھنكل ،هرابتعا مت طي¹@ا نم ءزج يأ fgع دمتعx ةوقلا هذ! هاجتا .ةنيعم ةينورم ةوقب ضعبلا

𝑇 دشلاو ،طي¹@ا ةيا�6 ةطقن fgع ةقبطملا �� ةوقلا ½�يمتب موقنس ،نذإ .دشلاب اÕ6لإ راش-و ،ةطقنلا هذ! دنع طي¹@ا ةلاح فصت 𝑃 ةطقنلا دنع نايم!ولا نآز¥@ا ا56

p��p ،نازتا => طي¹@ ةيا6¶لا طاقن fgع طقف ةقبطم ةيجرا¹@ا ىوقلا نوFت امدنع ھنأ ظحال ؛ا6°لاح فص¦و طي¹@ا => ةطقن يأل فرعملا = 𝑇 )!نك ي�أي اذ� طرشل ةجي

.)طي¹@ا نم Ân!و ءزج يأل ىوقلا نازتا

)ب)ضقلا ةلاح => نكمملا و!و ،ھعفد وأ( ھبàA مت اذإ ،ددمتلل لباق �tغ طيخ يأل .)+@إ ،كلسلا ،لبA@ا( طي¹@ا لثم يطخ رصنع => ةينورم ةوق و! دشلا :14 ةقيقح

رح لبح => .ھلوط fgع ةتباث دشلا ةوق نإف ،لبح وأ طيخ ةلتك لام!إ نكمملا نم نا£ اذإ .ددمت ثادحإ نم ةيجرا¹@ا ةقبطملا ةوقلا عنمل اã6اذ نم لدع� دشلا ةوق نإف

.𝑃 ةطقنلا دنع لبòAل موسرملا ساملل ة¦زاوم 𝑃 ةطقن دنع دشلا ةوق ،n÷حم عنمل اã6اذ ليدعتب موقت ؛سمالملا مس¥@ا fgع دلصلا مس¥@ا ا56 رثؤي n®لا )هوش�لل لباق �tغ( دلص مسج حطس fgع ةدماعم ةينورم ةوق =Å ةيدومعلا ةوقلا :15 ةقيقح

.دلصلا مس¥@ا => هوش� ثادحإ نم ةيجرا¹@ا ةقبطملا ةوقلا

ةنورملا ةوق ،ثلاثلا نتوين نوناقل اقبط ھنإف دلصلا مس¥@ا حطس fgع ةيدومع تس)ل ةيجرا¹@ا ةقبطملا ةوقلا تنا£ اذإ ھنأ ظحال

=Å كاFتحالا ةوق ،ةقد stكأ لFش� .كاFتحالا ةوقك ن�بلص ن�مسج ن�ب سمالتلا طاقن دنع اiسفن رiظت ة�tخألا .)حطسلل ة¦زاوم( ةيساممو ةيدومع ن�تبكرم كلتمتس

امiضع� قوف قالزنالا ةلواحمب نامس¥@ا موقي امدنع رخآلا مس¥@ا تائ¦زج عم ام مسج تائ¦زج ن�ب لعافتلا بæس� ثدحتو ن�مسج ن�ب سمالتلا ةطقن دنع ةوق

� هذ! ةنورملا ىوق ؛ن�مس¥@ا نم مسج ل£ لخاد ةنورملا ىوق بæس� ا�6اFم ىقبت حطسلا تائ¦زج ؛ضعبلا

ة�tغص نوFت ام ةداع n®لا( صقلا تا!وش� ةطساوب بæس

ن�مس¥òل )ظوòAم �tغ لFش�

8

=´Å= 𝐹Z ن�مسج ن�ب سمالتلا ةقطنم دنع ¯Âظعلا يØوFسلا كاFتحالا ةوق ).سØوتنومأ نوناق( :16 ةقيقح = 𝜇{𝑁، ثيح 𝑁 Å= ةقطنم دنع ةيدومعلا ةوقلا

،=�اتلاب .+@إ ،ة²وطرلا ،ةرارA@ا ةجرد fgع كلذك دمتعx دق ؛يØوFسلا كاFتحالا لماعمب ھيلإ راشx ،ن�سمالتملا ن�مس¥@ا ي�دام fgع دمتعx تباث و! ¶𝜇و سمالتلا

𝐹Z´= سمالتلا ةقطنم ةحاسم نع ةلقتسم.

=Å ام6¶يب سمالتلا ةقطنم دنع كاFتحالا ةوق ،ضعبلا امiضعبل ةبسEلاب نامسج كرحتي امدنع ).كاFتحالل مولو£ نوناق( :17 ةقيقح

𝐹 = 𝜇·𝑁، ثيح 𝑁 Å= و سمالتلا ةقطنم دنع ةيدومعلا ةوقلا 𝜇· !تباث و xع دمتعfg ن�سمالتملا ن�مس¥@ا، xتحالا لماعمب ھيلإ راشFا كا@Aدامتعالاب موقي ؛ي£ر

.ةداع لمø6و فيعض دامتعالا اذ! نكل ،قالزنالا ةعرس fgع اليلق

·𝜇 نأ ض�tفن تاقوألا بلاغ ،دايبملوألا لئاسم ةلاح => = 𝜇{، ع ناذخؤي نايحألا ضع� نكلfg عم نافلتخم ام�6أ 𝜇¶ > 𝜇·.

ةيثحب قاروأ كلان! لاز ام( ادج بعص لمع ھنأ رiظ )ةي/¦ز¥@ا( ة¦رï¥iا ةكرA@ا نم اiقاقتشا ،ل¦وط نمز لبق ا6°غايص تمتو ادج ةطيس� كاFتحالا ن�ناوق نأ امن)ب

.)اذ! عوضوملا => حرطت

ا$يتاتسإلا 3

�� ،نازتالا دنع مسج لFل ھنأ انل لوقت )3(و )1( تالداعم :ةيسايقلا ةمشاغلا ةوقلا ةق¦رط مدختسx نأ امئاد ءرملا عيطتسx ،اFيتاتسإلا => لئاسم لح دنع = 0

𝑇5.و = ,𝑦و𝑧 رواحم fgع اiطاقسإ متي تالداعملا هذ! ،ةيسايقلا ةق¦رطلا �gإ اعوجر .موزعلل نازتا فرظو ،ىوقلل نازتا فرظ انيدل ،بلص مسج لFلف ،نذإ 0 𝑥

جاتحنس ،حيÃA لFش� ةحورطم ةلأسمل .6N و! تالداعملل =fكلا ددعلا ،لعافتم مسج N انيدل نا£ اذإ ؛)داع�ألا ةيثالث ةسدن! ضا�tفاب( تالداعم تس انيطعx امم

ةلاح => .ادج ابعص نوFي دق تالداعملا نم �tبك ددع لح نكل ،الiس ودبي ةيلمعلا فصو .ةيát¥@ا تالداعملا نم ةعوم¥ïا هذ! لحن نأ اننكمي ثيحب �tغتم 6N اضيأ

ةدحاو ةلداعم دجوت نذإ ،ىوتسملا fgع ةدماعم تحبصأ موزعلا ل£و ن�نثا حبصأ ةوقلا نازتا تالداعم ددع( ن�ترم ل½�خا تالداعملا ددع ،داع�ألا ةيئانث ةسدنiلا

.تالداعم 6 انيدل لاز ام ،طقف ن�مسجب ¯®ح نكل ،)مزعلل

@Aا نس@Aاسألا عادبإلا عقي ام ةداع !تالداعملا ددع لا½�خال اندعاس� نأ عيطتس� ليح دجوت ،ظlmn <=

،ا56 ن�متiم انسلو اiفرعØ ال n®لا ىوقلا تاطاقسإ اصوصخ ،ىوقلا تاطاقسإ نم نكمم مك átكأ ءاغلإل fgثملا رواïAا �tخا :1 ةركف

نوFت ال دق رواïAا )أ نأ ظحالت نأ ديفملا نم ىوقلا نم نكمم ردق átكأ ءاغلإل .)ب)ضق وأ( طي¹@ا => دشلا ةوق وأ ن�مسج ن�ب لعافتلا ةوق ،لاثملا ليæس fgع

.مسج لFل ا!رايتخا نكمي رواïAا نم ةفلتخم ةعومجم نإف ،ماسجأ ةدع نم نوFتي ماظنلا نا£ اذإ )ب ؛ةدماعتم

.ةمiم �tغلا ىوقلا موزع ءاغلإل اصوصخ ،اددجم .ىوقلا عرذأ نم نكمم ردق átكأ =0لت روحم ةطقن راتخت نأ ةمكA@ا نم ،موزعلا ةلداعمل :2 ةركف

.ارفص نانوFيس ام6¶يب لعافتلا ةوقو ام6¶يب كاFتحالا ةوقل ةوقلا =âارذ نإف ،ن�مسج سمالت ةطقن دنع نوFيل اروحم ان�tخا اذإ ،لاثملا ليæس fgع

)مسج لFل( ةدحاو ةلداعمو )-yو -n x®بكرم( مسج لFل ىوقلل ن�تلداعم بتكن نأ عيطتسØ ،داع�ألا ي·انث ماظنل ،هالعأ ركذ امك

نازتال )نارود "روحم"( ة¦روحم ةطقن نم stكأ مادختساب وأ ،ىوقلا نازتا تالداعمل ن�طاقسإ نم stكأ مادختساب ءاوس تالداعملا ددع د¦زن نأ نكمملا نم .موزعلل

،لاح ل£ fgع .موزعلا

نأ ثيح ،داع�ألا ةيئانث ةلاòAل ةثالث( مس¥òل ة¦رA@ا تاجرد ددع يواسx )مزعلاو ةوقلا نازتا فصت n®لا( ةلقتسملا ةيط¹@ا تالداعملل ¯Úmقألا ددعلا :18 ةقيقح

.)داع�ألا ةيثالث ةلاòAل ةتسو ،-yروحمو -xروحم لوط fgع حا½1¦و ىوتسملا => رودي نأ عيطتسx مس¥@ا

.ىرخألا ثالثلا نم ةدئاز ةجي�ن امود نوFتس ع'رألا تالداعملا هذ! نم ةدحاو نإف موزعلا نازتال ن�تلداعمو ىوقلا نازتال ن�تلداعم انæتك اذإ ،نذإ

؛ةوق n®لداعمو ةدحاو موزع ةلداعم مدختسØ نأ انيلع بجوتي ،داع�ألا ةيئانث ةسدنiلل ھنأ نالوقت ام�6أ£و ناودبت )3(و )1( ناتلداعملا

ةلداعم مدختسØ نأ عيطتسØ ،مزع ةلداعمو ةوق n®لداعمل ةيساسألا ةليكش�لا نع اديع� ،=�اتلاب .ةدحاو موزع ةلداعمب "اiلادب�سا" نكمي ةوق ةلداعم ل£ ،لاح ةيأ fgع

.ط¹@ا سفن fgع اiل£ عقت الأ طرش� ةفلتخم ة¦روحم طاقن ثالثب موزع تالداعم ثالث مدختسØ نأ كلذك عيطتسØو ،)ةفلتخم رواحم n®طقنب( مزع n®لداعم عم ةوق

∑ ،موزعلل نازتا افرظ انيدل نكيل ،لعفلاب 𝑂𝑃4555555< × 𝐹455 = ∑ و 0 𝑂]𝑃45555555< × 𝐹455 = نم ن�تلداعملا دحأ حرطن امنيح . 𝐹455 ةوقلل �tثأتلا ةطقن =𝑃< Å ثيح ،0

∑ fgع لصحنس ،ىرخألا 𝑂𝑂]4555555555< × 𝐹455 = 𝑂𝑂]< × ∑ 𝐹455< = دجاوت نم دبال ھنأ دكؤن نأ بجوتملا نم .’fg OOع يدومعلل ىوقلا نازتا طاقسإ و!و ،0

اعوبتم 𝑑𝜑 ة�tغص ة¦وازب 𝑂 لوح نارودلا نأ بæس� لمعx مزعلا تالداعمب ةوقلا تالداعم "لدابت" :كتالداعم ةعومجم => لقألا fgع ةدحاو موزع نازتا ةلداعم

.ةينارود ةكرح ھنع جتEي دق هذiك ةيلاقتنالا تا£رA@ا نم لسلس� يأ دجوي ال ھنكل ،𝑂𝑂]|𝑑𝜑| ا!رادقم ةيلاقتنا ةكرح جتEي 𝑑𝜑− ة¦وازب [𝑂 لوح نارودب

fgع فرظلا طاقسإ ق¦رط نع طقف ةدحاو ةوق ل¦زن نأ اننكمي ،ىوقلا نازتا فورظ مادختسا نم fgعأ ةءافك اذ نوFي ام ابلاغ مزعلا نازتا فورظ مادختسا :3 ةركف

.ةلداعملا نم نايفتختس ن�توقلا الك ،ن�ت¦زاوتم �tغ ن�توق تادادتما عطاقت ةطقنك ة¦روحم ةطقن ان�tخا ول ،تقولا سفنب ؛ةوقلا هذiل يدومعلا

9

ىرخألا ةیاھنلاب تقلع 𝑀 اھتلتك هرك . 𝑙 كلسلا نم میقتسملا ءزجلا لوط . r هرطق فصن قوط لكش ىلع تینح فیفخ كلس ةیاھن س.1 كلسلا نیب نازتالا ةیواز دجوأ .𝜇 وھ روحملاو قوطلا نیب كاكتحالا لماعم .راود روحم ةطساوب قوطلا نم قلع نوكتملا لودنبلا .كلسلل .يسأرلاو

ةمسر مسر يف العف دعاسی ام .احیحص ایعون امسر اھمسر يف ةبوعص دجی اھلحی نأ لواحی نم بلغأ نأل ةبعصك ةلأسملا هذھ فینصت مت ـب ىطعتس تایضایر تاطیسبت .2 ةركف ىلع دامتعالا وھ ةحیحص𝑡𝑎𝑛𝛼 لیملا ةیواز ققحت امدنع أدبیس قالزنالا ،لئام حطس ىلع :19 ةقیقح = 𝜇.

مسجلا نیب كاكتحالا لماعم .اھلخاد عضو𝑚 ھتلتك مسج .يقفأ اھروحمو ،𝛼 نالیم ةیوازب لئام حطس ىلع 𝑀 ةلتك تاذ ةناوطسأ دجوت س.2 ؟ةرقتسم ةناوطسألا لظت ثیحب 𝛼 ىمظعلا نالیملا ةیواز يھام .قلز ریغ لئاملا حطسلا .𝜇 وھ ةناوطسألاو

انفضأ اذإ 2 ةركفو 18 ةقیقحلا مادختسا اننكمی انھ الماك ماظنلل موزعلا وأ/و ىوقلا تالداعم بتكنو دحاو مسجك )رثكأ وأ( نیمسج نم انوكم اماظن ربتعن نأ دیفملا نم نوكی انایحأ :4 ةركف طسبتت انتاباسح .ءازجألا ىلع ةقبطملا ةیجراخلا )موزعلا( ىوقلا عومجم يھ بكرملا مسجلا ىلع ةقبطملا )موزعلا وأ( ىوقلا ةلصحم ،اھنیح .)ضعبلا مھضعب ریثأت وغلی ثیح ثلاثلا نتوین نوناق ببسب( اھلھاجت نكمی بكرملا مسجلل ةیلخادلا ءازجألا نیب ةیلخادلا )موزعلا( ىوقلا نأل .مسجلاو ةناوطسألا نم بكرم مسج نیوكت عفانلا نم ،ةریخألا ةلأسملل

ن�تطقنلا ن�تا! ن�ب ةفاسملا .B و n A®طقن دنع فقس� ناقلعم نايجرا¹@ا نالصفملا ،لصافم ةطساوب ضعبلا اiضعبب اiليصوت مت ةلثامتم نابضق ةثالث س.3

لع 𝑚ةلتك .ب)ضقلا لوط فعض ؟ايقفأ CD ب)ضقلا نو£ عم اتباث ماظنلا ظفfg D @Aع ةقبطملا ةمزاللا ةوقلا رادقم مك لقألا fgع .C لصفمب تق

Øا .2 ةركف مادختسا اددجم عيطتس@Aةطساوب كلذك معدي ل

قلعx نأ وأ ھلماوح fgع ب)ضقلا دن�سx نأ£( ةدلص �tغ ھتياn �6®طقن دنع ب)ضقلا تاتæثم تنا£و ب)ضق ةياn �6®طقن fgع طقف ةقبطم ىوقلا تنا£ اذإ :20 ةقيقح

.ب)ضقلا لوط fgع ةiجوم ب)ضقلا => دشلا ىوق نإف ،)لصفم وأ طيخب

.ارفص نوFي نأ بجي ىرخألا ةيا6¶لا ةطقنل ةبسEلاب مزعلا نأ امب ،ب)ضقلا لوط fgع �tش� نأ دبال ةقبطملا ةيجرا¹@ا ةوقلا ةلصحم ،ةيا6¶لا n®طقن نم يأ دنع ،لعفلاب

��نذإ ،𝑇5 دشلا ةوق =Åو ،ب)ضقلا نم ةلوذبم اiل ةسكاعمو ة¦واسم ةوقب لباقت نأ بجي�� ةيجرا¹@ا ةوقلا ،ثلاثلا نتوين نوناقل اقبط ،كلذك = −𝑇5.

10

.ةيضا¦رلا كلت اصوصخ ،ةينو£ راFفألا ضع�

.ھيلع دماعملا و! ام حطسل ةطقن نم رصقألا راسملا ،لاثملا ليæس fgع ،تاقتشملا مادختسا نود ا!داجيإ لiسلا نم ىوصقلا طاقنلا ضع� .K-2 ةركف

)أ امدنع نیتلاحلا نم ققحت ؟μ كاFتحالا لماعم نا£ اذإ ،αناليم ة¦وازب لئام حطس fgع دن�س𝑚 x ھتلتك مسج ةحازإل ةمزاللا ىرغصلا ةوقلا =Åام س.4

α = (𝜇)arctan)ب . 0 > α > 0.

.رواïAا fgع ءömn يأ طاقسإ نودب تاiجتملا مادختساب انايحأ ھلح نكمي ىوقلا نازتا :5 ةركف

:ةدئاف ھل نأ رiظ ،اiميمع� ىرحألاب وأ ،19 ةقيقح

.حطسلا fgع يدومعلا عم (𝜇)arctan ة¦واز ذخأي لعافتلا ةوقو كاFتحالا ةوق عومجم نإف ،)قل½1ي وأ( قالزنالا كشو fgع مسج نا£ اذإ :6 ةركف

.ةيلاتلا ةلأسملا => الثم ،ا�tثك اiمادختسا نكمي ةركفلا هذ!

n®لا 𝜇 كاFتحالا لماعم ميق ددح .حطسلل lmnأرلا طاقسإلا fgع ايدومع عقي يذلا a يقفأ عراس�ب كرحتي حطسلا .𝛼ليم ة¦وازب لئام حطس fgع تنكس ةلتك س.5

.ا6°لاح fgع لظت نأب ةلتكلل حمس�

مادختسا انھ دیفملا نم .يروصق ریغ يلاقتنا يعجرم راطإ يف ادج ةلھس حبصت لئاسملا نم دیدعلا :7 ةركف ثیح m��− ةیروصق ةوقب يفاضإ لكشب رثأتی مسج لك نأ لیختب نتوین نیناوق حرط دیعن نأ عیطتسن يلاقتنالا يعجرملا راطإلا يف :حیضوتلل�� و يعجرملا راطإلا عراست يھ𝑚 تاعراستلا ،ایلاقتنا كرحتی يعجرم راطإل ھنأ اكیتامینیكلا يف انملعت دقل ،لعفلاب .ىطعملا مسجلا ةلتك يھ �� ةیفاضإ ةوق كلانھ ناك ھنأ ول امكو ��−يفاضإ عراست ىلع لصحت ماسجألا لك ،كرحتم راطإ يف ،نذإ ؛K-19 ةركف عجار ،اھعمج نكمی =

−m��ھتلتك مسج ىلع رثؤت 𝑚. .ةیبذاجلا ةوقل امامت ةلثامم ةیروصقلا ةوقلا )2.3 مسق ىلإ رظنأ( ةیوبذجلاو ةیروصقلا نیتلتكلا ؤفاكت ببسب ھنأ ظحال

مدختسن نأ عیطتسن ،اذھ ببسب .ةلاعف ةیبذاج ةوقك لمعتست روصقلاو ةیبذاجلا يتوق ةلصحم :8 ةركف

مسجلا نیب كاكتحالا لماعم ،يلخادلا اھحطس ىلع ریغص مسج عقی .ω ةیواز ةعرسب اھروحم يلاوح لزغت 𝑅 اھرطق فصن ةناوطسأ س.6 روحم )أ( ثیح نیتلاحلا ربتعا .)ةناوطسألل ةبسنلاب انكاس لظی( قلزنی ال مسجلا نأ ثیحب ةیوازلا ةعرسلا میق دجوأ .μ يلخادلا حطسلاو .يقفألل ةبسنلاب α ةیوازب لئام ةناوطسألا روحم )ب( .يقفأ ةناوطسألا

11

نم موسرم ھجتم وھ 𝑅5و راطإلل ةیوازلا ةعرسلا 𝜔 ثیح( 𝑚𝜔3𝑅5 يزكرم درط ةوق ةفاضإ ربع راود يعجرم راطإ مادختسا نكمی :9 ةركف راطإ يف نارودلا روحمل يزاوم لكشب كرحتم وأ نكاس مسجل )أ( ةمھم ریغ ةریخألا .سیلویروك ةوقو )لاؤسلا يف ةطقنلا ىلإ نارودلا روحم ،ةھجتملا ةعرسلا ىلع ةدماعم سیلویروك ةوق ةلاحلا هذھ يف( ةقاطلا ظفحل )b( ؛)ارفص يواست سیلویروك ةوق ةلاحلا هذھ يف( راود يعجرم .)ةقاطلا ریغت ال ،يلاتلابو .4 قحلم يف تقتشا سیلویروك ةوقو يزكرملا درطلا ةوق تاریبعت .ایظحل سیل ،ایلعف نوكی نأ بجی نارودلا روحم ،ةركفلا هذھ يف :ریذحت فضأ ،)ب( ءزجل ؛6 ةركفو K-2b ةركف كلذك ركذت ،6 ةلأسمل ،لاثملا لیبس ىلع( ةمھملا ماسجألا لك تناك اذإ اصوصخ دیج اذھ .داعبألا ةیئانث تاعاطق ربتعا ،داعبألا ةیثالث ةسدنھلا ةلاح يف :K-11 ةركف .نمزلا عم ریغتی دق تاعاطقلا عقومو ھجوت .دحاو عاطق يف عقت )ةوقلا تاھجتم

الك .لكشلا يف حضوم وھ امك كاكتحالا میدع روحمو كالسأ مادختساب يقفأ بیضق ةطساوب ناتلصوم ناتیناوطسأ ناتلجع اھیدل ةبرع س.7 زكرم نم 𝑅/3 دعب ىلع روحملل ایزاوم روفحم𝑅/2 هرطق فصن يناوطسأ بقثو ، 𝑅 رطق فصن وذ سناجتم صرق نم ناتعونصم نیتلجعلا اھیف أدبتس يتلا 𝑣 ةجرحلا ةعرسلا يھام .يقفأ حطس ىلع ةبرعلا تكرحو ،ضعبلا امھضعبل ناترفحلا ریشت ثیحب نیتلجعلا ریودت مت .ةلجعلا ؟زفقلاب تالجعلا

كرحتی راطإ يف ةیلمعلا انضرتفا ول ،لعفلاب .اقبسم اھانسرد يتلا راكفألا كلت مادختساب اھلح اننكمیو ،ةقباسلا ةلأسملاب ام اعون ھیبش ةلأسملا هذھ راكفألا نم لیلق مادختساب اھلحب مقنل ،لاح لك ىلع .ةلجعلا ةلتك زكرمل يزكرملا عراستلل يناثلا نتوین نوناق قیبطت بسحف اننكمی ،ةبرعلا عم .ةیفاضإلا :ةیتآلا تالاحلا يف طقف ةلتكلا زكرم ىلع ةقبطم اھنأ ىلع اھرابتعا نكمی )مسجلا ةلتك عم بسانتت يتلا ةیمھولا ةوقلا وأ( ةیبذاجلا ةوق :10 ةركف

؛سناجتم لاعفلا ةیبذاجلا لاجم )أ( ؛ایورك لثامتم يلتك عزوت كلتمی مسجلا )ب( حطسلل ةدیقم ةكرحلا تناك اذإ يزكرملا درطلا ةوق لاجم ،لاثملا لیبس ىلع ،رطقلا فصن ھجتم عم بسانتی لاعفلا ةیبذاجلا لاجم )ت(

،ةلتكلا زكرم ىلع ةقبطم لازت ام ةیبذاجلا ةوق نأ ةفدصلاب ثدحی دق ،ىرخألا تالاحلا لك يف .نارودلا راطإ روحم ىلع يدومعلا راطإلا نم ىری امك( رودی ال مسجلا ناك اذإ طقف ةلتكلا زكرم ىلع ةقبطم اھرابتعا نكمی سیلویروك ةوق ،الثمف .نوكت ال ةداع نكل .)راودلا

تالاجملا( ةیسیطانغملاو ءابرھكلا بیتك يف امھزیفحت متیس )ت(و )ب( نآزجلا ؛9 ةركف يلت يتلا ةرقفلا يف هزیفحت مت )أ( ءزج .)ةھباشتم نیناوقل عضخت ةیبسنلا ریغ ةیوبذجلاو ةینوكسورھكلا ،انھ امھمادختسا نكمی ناتیفاضإ ناتركف دجوی ام ةیمكل ةیرفص ةمیق تاذ ام ةقطنم لیثمت انایحأ دیفملا نم ،ام ةقیرطب طسبأ ةلاحلا لعجل وأ الثامت رثكأ لكش ىلإ لوصولا لجأ نم :11 ةركف .ةیمكلا سفنل ةسكاعتم تاراشإب نیتقطنم بكارتك عم ةلیحلا هذھ عمجت ام ابلاغ .خلإ ،ام ةوق لاجم ،رایتلا ةفاثك وأ ةنحشلا ،)ةلاحلا هذھ لثمك( ةیلتكلا ةفاثكلا نوكت نأ نكمی ةیمكلا هذھ .عاطتسملا ردق ةلثامتم ةلأسملا لعجا :12 ةركف ثیح( راوطأ ةدعل لحلا ةیلمع ئیزجت ،ةبسانملا ةیعجرملا تاراطإلا رایتخا ةطساوب كلذك نكل ،11 ةركف قیبطت ربع ھقیقحت نكمی فدھلا اذھ .خلإ ،)ةلثامتم ةسدنھ راوطألا ضعب مدختست

12

طیخ فل .ناكم لك يف حطسلا ةسمالم ةمعانلا ةحطسملا اھتیاھنب يقفأ حطس ىلع فقت 𝑅 اھرطق فصنو 𝑚 اھتلتك ةفوجم ةناوطسأ س.8 ادع ام ناكم لك يف رفص ةناوطسألاو حطسلا نیب كاكتحالا لماعم )أ( :نیتلاح ربتعا .طیخلل ةیزاوم v ةعرسب ةرحلا ةیاھنلا بحس متو اھیلاوح𝑎 ھنع ھتفاسمو طیخلل يزاوم طیرشلا ،𝜇 كاكتحا لماعمب )ةناوطسألا رطق فصن نم اریثك فحنأ( لیحن میقتسم طیرش < 2𝑅 )حضوی لكشلا نارود زكرم لوح نارودك اھرابتعا نكمی دلص مسجل ةیحطس ةكرح يأ :حیملت .ناكم لك يف 𝜇 كاكتحالا لماعم )ب( ؛)ىلعألا نم رظنملا .يقیقحلا نارودلا روحملا وھ يظحللا زكرملا ناك ول امك اھسفن يھ مسجلا يف ةطقن يأل ةعرسلا ھجتم نأ ىنعمب ،يظحل ةظحالم دیفملا نم .العف ةبعص ةلأسم هذھ

.اكیتاتسإلا نع ةلأسملا نإف ،ةتباث ةھجتم ةعرسب كرحتی نأ مسج ىلع ناك اذإ :13 ةركف ،اھتجیتنب اھلادبتسا نكمی ةریخألا .2و 1 نیتركفلا ركذت كلذك عطاقتلا ةطقن نأ ظحال( ةدحاو ةطقن يف عطاقتت ىوقلا تادادتما نإف ،ةلصفنم طاقن ثالث دنع ىوق ةثالثب رثأتی نازتا يف مسج ناك اذإ :14 ةركف نیطخلا نإف ،بسحف ناتوق كلانھ ناك اذإ .)ضعبلا اھضعبل ةیزاوم طوطخلا نأ ينعی ةیاھناللا دنع ةعطاقتم طوطخ—ةدیعب ایئاھنال نوكت دق .ناقباطتی ةیواسم مزع ةلصحمو ةوق يعارذب( ةیروحملا ةطقنلا نوكتل عطاقتلا ةطقن تذخأ اذإ موزعلا نازتا طرش نم ةرشابم يتأت ادج ةدیفملا ةركفلا هذھ .)ارفص يواست نأ دبال ةثلاثلا عارذلا ،رفصلل

يھ ىرخأ ةدیفم ةقیقح ببسملا مسجلل يعجرملا راطإلا يف ةطقنلا هذھل ةھجتملا ةعرسلا هاجتال ةسكاعم امئاد نوكت ةاطعم ةطقن ىلع ةرثؤملا كاكتحالا ةوق :21 ةقیقح .كاكتحالل تایرظنلا لك لالخ( سیلاط ةیرظن ةلاح ادیدحت رثكأ لكشبو ،ةیطیحملا ایوازلل ةیصاخ يھ انھ ؛ةیضایرلا لیحلا ضعب مدختست رخآل تقو نم ،)ةیئایزیفلا لئاسملا لحل اعفن رثكألا يھ ابلاغ هذھ ،ةیسدنھلا

فصنو اھسوق لوط نیب ةبسنلا فصن يواست نایدارلاب ةیطیحملا ةیوازلا :ماع لكشب( ةرئاد فصن ةطساوب ةنمضتم ةمئاقلا ةیوازلا :22 ةقیقح .)رطقلا

انفضأ اذإ ،ةمداقلا ةلأسملا يف كلذك ةدیفم ةیطیحملا ایاوزلل ةیصاخلا هذھ .ایند مسجلل عضولا ةقاط نوكت رقتسملا نازتالا يف :15 ةركف

كلسلا عقوم دجوأ .𝑎 ةيقفأ ةفاسموℎ عافترا قرف تاذ تاماعد fgع كلسلا عضو مت .ءانحنالاب ةليقث ةرك تلصوو ةمئاق ة¦واز لFش fgع n÷ح فيفخ كلس س.9

ىوتسم => ةكرA@ا ل£ لعجت ازوزح تاماعدلا كلتمت ؛تاماعدلاو كلسلا ن�ب كاFتحا يأ لم!أ .lmnأرلاو ةمئاقلا ة¦وازلا فصنم ن�ب ة¦وازلاب عقوملا نع átع .ھنازتا دنع

.لFشلاو كلسلا

ℎ عافتراب فقسب قلع l ھلوط بیضق س.10 < 𝑙. هاجتا يف حوللا ةكرح فقوی نأ بیضقلاب ضرتفی .ةیضرألا ىلع حول رج متی ،لفسألا يف نیب 𝜇w وھ كاكتحالا لماعم ؟ھلمعب موقی ىتح ققحتی نأ بجوتی يذلا فرظلا وھ ام .رخآلا هاجتالا يف ةكرحلاب حولل ھحامس ءانثأ يف دحاو .ةیضرألاو حوللا نیب 𝜇3و ،بیضقلاو حوللا

13

اددحم امئاد نوكی لعافتلاو كاكتحالا يتوق يھجتم ةلصحم هاجتا نإف فورعم هاجتا ھل نیمسج نیب يبسنلا قالزنالا ناك اذإ :6 ةقیقح ركذتنل ىوقلا تداز املك :نادسنیس اھدنعف لعافتلا ىوق دادزت ثیح ام ةقیرطب كرحتی ماسجألا دحأ لعجت ةوق تناك اذإ .كاكتحالا لماعم ةطساوب درفتب .ماسجألا نادیقت ناتللا لعافتلاو كاكتحالا اتوق تدادزا املك ،ماسجألا اھب بحسن يتلا ةیجراخلا ةقبطملا ةوقلاو لعافتلا ةوق ،كاكتحالا ةوق ءانثتساب ةلمھم حبصت ىوقلا لك ،هذھك ةلاح يف .ةكرحلا بجح عیطتسی كاكتحالا :16 ةركف لكشب عفدن وأ بحسن نأ انلواح املك ربكأ حبصت اھنع انثدحت يتلا ىوقلا نكل ،ةتباث اھریغو ةیبذاجلا ةوق نأل ،كرحتی ماظنلا لعج لواحت يتلا .ىوقأ

ةبیرغلا ةلآلا هذھ تایاھن دحأ .ةقباطتم تانیعم ثالث ةنوكم ضعبلا اھضعبب تتبث ىلوألا لوط فصنب نابضق عبرأو ةلیوط نابضق عبرأ س.11 .طیخلا يف دشلا ةوق دجوأ .طیخب هولعی يذلا لصفملاب لصوم ةلتكلل بیرقلا لصفملا . m ھتلتك نزوب ةقلعم ىرخألا ةیاھنلا ،فقسلاب قلع

.ةيضا�tفالا ةحازإلا ةق¦رط مادختسا ةطساوب ةلوiس� اiلح نكمي ةلأسملا هذ!

لصحنس ،Π∆ عضولا ةقاط �tغتب 𝑇∆𝑥 لغشلا ةاواسمب .𝑥∆ ادج لي/ض رادقمب ا6¶ع ثحبن n®لا دشلا ةوقب ب)ضق وأ طيخ لوط �tيغ� انرودقمب ھنأ ليخت :1 ةق�رط

fg 𝑇ع = ∆Π/∆x.

𝐹455 ةيجرا¹@ا ىوقلا نم د¦زملا ةلاح => :ميمع� (𝑖 = 1,2, … ةيلوط ةلاطتسا مiملا ب)ضقلا وأ طيò¹ل لصحي امن)ب ،δ𝑥4555 ا!�tثأت طاقنل تاحازإب ماظنلا fgع ةرثؤم (

∆𝑥، نإف

𝑇 = (∆Π −iδ𝑥4555<

∙ 𝐹455 )/∆x

عيطتسx ايليخت ةمولعم �tغ ةوقل �tثأتلا ةطقن ةحازإ átع :)تاركبلا لوح لئاسملا => ،لاثملا ليæس fgع( دشلا �tغ ىوقلا ضع� داجيإل اiمادختسا نكمي ةق¦رطلا هذ!

.ةيضا�tفالا ةحازإلا هاجتا => ةوقلا هذ! طاقسإ داجيإ ءرملا

Fي ھي�يا�6 نم يأ دنع لبòAل سامملا .هزكرمب 𝑀 ھتلتك لقث ليصوت متو ھي�يا�6 نم فقسلاب قلع 𝑚 ھتلتك لبح س.12

ة¦وازلا =Å ام .فقسلل ةبسEلاب𝛼ة¦واز نو

𝛽 ل سامملا ن�بòA؟لقثلا دنع لب

فیظوت اننكمی ةفاضإلاب .طیخلا سامم ىلإ ھجتی ةیرحب قلعم طیخ يف دشلا :14 ةقیقح ءاعدتساب مقنل

14

.اھیلع ةرثؤملا نازتالا ىوق تابكرم لوح ریكفتلاو لصفنم لكشب لبحلا نم ةعطق رابتعا دیفملا نم .خلإ ةیشغألا ،ةقلعملا لابحلل :17 ةركف ،اھجئاتن دحأ لب ،ماع لكشب ةركفلا جاتحن ال نحن انھ ،ةقیقحلا يف .ةتباث لیقثلا لبحلا يف دشلل ةیقفألا ةبكرملا :23 ةقیقح .حلاص يتآلا بیرقتلا نأ راھظإ ایبسن لھسلا نم ،23 ةقیقحلاو 17 ةركفلا مادختساب ةقدب هرابتعا نكمی يقفألا ةلتكلا عزوتو ریغص لبحلا ءانحنا نإف ھیف دشلا نم ریثكب رغصأ لبحلا نم قلعملا ءزجلا نزو ناك اذإ :18 ةركف .تباثك هذھ حضوت ةمداقلا ةلأسملا .)ھتلتك زكرمل يقفألا يثادحإلا فرعن اننأ ثیح( لبحلا نم قلعملا ءزجلل موزعلا نازتا طرش ةباتكب انل حمسی اذھ .ةقیرطلا

L ھلوط لبح رجب يبص موقی س.13 = 50m اھكاكتحا لماعم ةیقفأ ضرأ لوط ىلع 𝜇 = عافترا دنع لبحلا ةیاھن الماح ، 0.6 H = 1m لبحلا نم ضرألا سملی ال يذلا ءزجلا لوط وھ ام .ضرألا نم 𝑙 ؟

ةیواز ةعرسب ھسفن لوح لصفملا ریودت مت .طقف دحاو حطس يف يوطنی لصفملا نأ ثیح ام ةقیرطب ھقیلعت مت 𝑙 ھلوط فیفخ بیضق س.14𝜔 ب( .ارقتسم يسأرلا هاجتالا لعجت يتلا ةیوازلا تاعرسلا دجوأ )أ( .بیضقلل ىرخألا ةیاھنلا يف تتبث ةریغص ةرك .يسأرلا روحملا لوح( وھ ام .ةقیرطلا سفنب هریودت مت يولعلا لصفلا ؛)هاندأ لكشلا ىلإ رظنأ( لصفملا اذھل لثامم بیضق تبث كلذكو رخآ لصفمب تتبث نآلا ةركلا

؟يسأرلا هاجتالل نآلا نازتالا فرظ

ةیتآلا ةركفلا مدختسن انھ .نارایخ دجوی ،ام نازتا رارقتسا لیلحتل :19 ةركف—رھظیس يذلا مزعلا وأ ةوقلا هاجتا دجوأ مث ،φ∆ ةریغص ةیوازب وأ 𝑥∆ ةریغص ةحازإب ءاوس ،ھنازتا نع الیلق فرحنی ماظنلا نأ ضرتفا ،الوأ

.ھنع ادیعب وأ نازتالا هاجتاب ناك ءاوس نأ ھعضو ةقاطل دبال ،نزتم ماظنل( ىرغص وأ ىمظع ةمیق اھل ناك اذإ ام ىرتل ةریغص ةحازإ ةلالدب عضولا ةقاطل يلكلا ریغتلا نع ربع ،ایناث .)5 قحلم ىلإ رظنا ،ةقیرطلا هذھ میمعتو زیفحتل( رارقتسالا مدعب طبترت ىمظعلاو ،رارقتسالاب طبترت ىرغصلا ؛)ىوصق نوكت

عم لماعتلا دنع ؛طقف فارحنالا عم ایطخ بسانتت يتلا دودحلا ءاقبإ يفكی ام ابلاغ ،)موزعلا( ىوقلا عم لمعلا دنع :ایبیرقت بسحا !ادیج ظحال .يعیبرتلا بیرقتلا مادختسا متی ،عضولا ةقاط ىلع ةینبملا ،ىلعأ تاجردل انایحأو ،ةیعیبرت ،ةیطخ تابیرقت قیبطت ىلع ةردقملا ءایزیفلا يف ةیاغلل مھملا نم رولیات ةلسلستم :20 ةركف

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓](𝑥)∆𝑥 + 𝑓]](𝑥)∆𝑥3

2+⋯

sinφ ،الثمف ≈ tanφ ≈ φ؛ cosφ ≈ 1 − =�

3=𝑒 ؛ ≈ 1 + 𝑥 + =�

31) ؛ + 𝑥)´ ≈ 1 + 𝑎𝑥 + ´(´�w)

3𝑥3؛

ln(1 + 𝑥) ≈ 1 + 𝑥 − =�

3𝑥) لاثملا لیبس ىلع ،تاریغتملا ةدیدع تاریبعتلل اھمادختسا نكمی ةھباشم ةقیرط . + ∆𝑥)(𝑦 + ∆𝑦) ≈

𝑥𝑦 + 𝑥∆𝑦 + 𝑦∆𝑥. ریغص تالماعملا دحأ نأ حملت ةیئادتبالا تانایبلا تناك ام ىتم هذھك تابیرقت مادختسا ربتعا. ىلع .)نیبیضقلل φ2∆و φ1∆ فارحنالا ایاوز ،لاثملا لیبس ىلع( ةیرح يتجرد ماظنلل نأ ثیح يلعف لكشب بعصأ )ب( ةلاحلا

.15 ةركفلا نم ءدبلا لھسألا نم ھنأ حضتی ،ةدحاو ةیرح ةجرد نم رثكأل اھمیمعت نكمی 19 ةركفلا نأ نم مغرلا𝑥 نازتالا :21 ةركف = 𝑦 = ,Π(𝑥 عضولا ةقاط تناك )اذإ طقفو( ارقتسم نوكی ةیرح يتجرد كلتمی ماظنل 0 𝑦) ةطقن اھل نیریغتم يف ةلادك

𝑥 دنع ةیلحم ىرغص = 𝑦 = ,𝑥 میق نم جوز يأل ھنأ ىنعمب ،.0 𝑦 ةنیابتملا ،)0,0( نازتالا ةطقن ةبارق Π(𝑥, 𝑦) > Π(0,0) نأ بجی .ةحیحص نوكت

ىتح ةلباقتملا عالضألا يجوز دحأ فتلی فوس ،ءاملا يف ادج ةضفخنم ةفاثك وذو لكشلا عبرم يضرع عطقم وذ ادومع انعضو اذإ س.15 ءاملا ةفاثك .لوحتلا اذھ اھدنع لصحی يتلا ةجرحلا ةفاثكلا دجوأ .ھتفاثك دیزن امدنع رقتسم ریغ حبصی هاجتالا اذھ ،لاح ةیأ ىلع .نییقفأ احبصی𝜌Í يھ = 1000𝑘𝑔/𝑚�. .حازملا لئاسلا ةلتك زكرم fgع ةرثؤم نوFتل ة�tخألا ةوقلا انذخأ اذإ ،وفطلا ةوق نم مزعلا يواسx لئاس لخاد عوضوم مسج fgع رثؤملا مزعلا :22 ةركف

15

نازتا ةلاح => هؤلم داعملا م¥.@ا نوFيس اعبط ا6¶يح .هداع�إ مت ھسفن مس¥@ا نأو ،لئاسلاب هؤلم اددجم مت حازملا م¥.@ا نأ انليخت ول ا6°¦ؤر نكمي 22 ةركفلا ةيحالص

fgع قبطم هؤلم داعملا م¥.@ا نزو ؛هؤلم داعملا م¥.@ا نزو نم مداقلا مزعلا نزاوي نأ بجي وفطلا ةوق نم مزعلا نأ n÷عx اذ! .)نكاسلا لئاسلا نم ءزج ھنأ ول امك(

.ةلتكلا زكرمب راملا موسرملا ط¹@ا fgع ةرثؤم نوFت نأ بجي وفطلا ةوق ،14 ةركفلل اقبطو ،ھتلتك زكرم

.12و 11 ن�تركفلا مادختسا ق¦رط نع طسæي نأ نكمي 15 ةلأسم لح ،22 ةركف نع اديع�

تأدب ،ة¦واA@ا تألتما امدنع طبضلاب .ة¦واA@ا لفسأ => ة�tغص ةحتف átع اiلخاد ءام بكس مت .معان يقفأ حطس fgع ة²ولقم تعضو ة¦ورك فصن ة¦واح س.16

.𝑅 ةركلا فصن رطق فصنو𝜌ءاملا ةفاثك تنا£ اذإ ة¦واA@ا ةلتك دجوأ .ة¦واA@ا دحو ةلواطلا ن�ب برس�لاب هايملا

ةوقلا يلاتلاب .نازخلا فاوحو ةلواطلا نیب تشالت نوكت نأ بجی ةیدومعلا ةوقلا نإف ،بولقم نازخ تحت نم بایسنالاب لئاسلا أدب اذإ :23 ةركف .يكیتاتسوردیاھلا طغضلا نم ةوقلا طقف يواست ةلواطلا نم لئاسلاو نازخلا نم نوكملا ماظنلا ىلع ةرثؤملا .نازخلل ةحوتفملا ةھجلا ةحاسم يھ Sو ةلواطلا ىلعأ برق لئاسلا طغض وھ p ثیح ،pS ـب يطعی ریخألا

μ وھ امھنیب كاكتحالا لماعم ،𝛼 ةیوازب لئام حطس ىلع مسجلا عضو س.17 > 𝑡𝑎𝑛𝛼. عیرس لكشب افلخو امامأ بحسی لئاملا حطسلا وھ ام .τ ةینمز ةدم لك دعب ئجافم لكشب سكعنی u هاجتا ؛v تباث رادقم ھلو قفألاو لئاملا حطسلا نم لكل زاوم u ةعرسلا ھجتم نأ ثیحب𝑔𝜏 نأ ضرتفا ؟مسجلا ةكرحل w ةعرسلا طوتم ≪ 𝑣.

،اديقع� stكألا تالاA@ا => .ةيليصفتلا تاباسA@ا نع الدب ⟨𝑋⟩ ميقلل n÷مزلا طسوتملا مادختسا ابلاغ =fمعلا نم نإف ،=�اع ددرت عم �tغتي ماظنلا نا£ اذإ :24 ةركف

𝑋 ثيحب( ا6°فاضإ نكمي 𝑋Ö لاع ددرت ةبكرم = ⟨𝑋⟩ + 𝑋Ö( دنع مس¥@ا ةكرح دجوأ الوأ :)stكأ وأ( ن¦روط => ةلأسملا لح ا6¶يحف ،هرغص ضا�tفا نكمي ام ةوق �tثأت نا£ اذإ )perturbation method بارطضالا ةق¦رط( :2 ةق�رط

حيA©ت يأ رظنا .ھيلع رثؤت ة�tغص ةوق كلان! دجوي نكل ،لوألا روطلا => تدجو امك كرحتي مس¥@ا نأ ر!اظت ا6¶يح ؛)يرفصلا ب¦رقتلاب ¯Âسx ام( ةوقلا هذ! بايغ

.ةوقلا هذ! بæس� يرفصلا ب¦رقتلل ھتفاضإ نكمي )لوألا حيA©تلاب ¯Âسx ام(

𝑔𝜏 نأ طرشلا .حرشلا ضع� جاتحي يرفصلا ب¦رقتلا رايتخا ،ةددïAا ةلاA@ا هذ! => ≪ 𝑣 جتملا ةعرسلا ،دحاو يرود نمز لالخ ھنأ =;ويiل ةò¥نأ نكمي ال مس

ا!ذخأ ا6¶كمي ةiجتملا مس¥@ا ةعرس نإف ،ة�tصق ةينمز ةدم رابتعاب انمقو w ام ةعرس دنع ةيئادتبالا ةلاA@ا => لفسألل قل½1ي مس¥@ا نا£ نإف =�اتلاب .ا�tثك �tغتت

=> اÕ6لع انلصح n®لا ةكرA@ا fgع ءانب كاFتحالا ةوق طسوتم داجيإل يØاثلا روطلل لاقتنالا نآلا اننكمي .ميقتسم طخ => كرحتت ھنأ ثيحب ،يرفصلا ب¦رقتلا => تباثك

.لوألا روطلا

،ةكرA@ا ملع نم اسرد ركذت ،17 ةلأسمل

.كاFتحالل ةبæسملا ةئ)بلا نوFي ام ابلاغ بسانملا =Ðجرملا راطإلا نإف ةكرA@ا => رثؤي كاFتحالا نا£ اذإ K-7 ةركف

ℎقمع دنع طيïAا عاق => ديدح بسار átتعا .ءاملا حطس ىوتسم fgع بساور لFش� ديدA@ا مكارت رثؤي دق ةجرد يأل فاشكتساب مقنل س.18 = 2𝑘𝑚. ح®¯

ـب ةروا¥ïا رو¹©لا نم átكأ ةفاثكب 1𝑘𝑚 رطق فصنب يورك بسارلا نأ ض�tفنل ،انليلحت طسæن

𝛥𝜌 = 1000𝑘𝑚/𝑚�. فا�tا عاق سملت ةركلا هذ! نأ ضïAقمع دنع عوضوم ا!زكرم نأ ¯÷عمب ،ا!العأب طي 𝑟 + ℎ.

16

؟ءاملا ىوتسم طسوتم نع ديدA@ا بسار قوف ةرشابم عقاولا ءاملا ىوتسم فلتخي مكب

.حطسلا ىلع ةطقن لك يف ةیواستم ھحطس ىلع تامیسجلا ةقاط نأ ىنعمب ،دھجلا يواستم الكش ذخأی نازتالا يف لئاسلا حطس :25 ةركف حطسلا لوط ىلع نایرجلاب ھحطس ىلع تامیسجلا ضعبل حامسلا قیرط نع اھضیفخت نكمی لئاسلا عضو ةقاط نإف ،ةلاحلا يھ هذھ نكت مل اذإ .10 ةقیقح كلذك ركذت .)15 ةركف ىلإ رظنا( لقأ عضولا ةقاط تناك امثیحل

لفسأللو ىلعألل كرحتیو ةیرحب رودی نأ عیطتسی 𝑅 رطق فصن وذ صرق . ω ةیواز ةعرسب يسأر روحم لوح رودت ةیقفأ ةصنم س.19d ةفاسم دنع عوضوم قلز يسأر روحم لوط ىلع > R لماعم ،ةیبذاجلا ببسب ةراودلا ةصنملا ىلع طوغضم صرقلا .ةصنملا روحم نم .ةلماك صرقلا ةدعاق ىلع يواستلاب عزوم طغضلا نأ ضرتفا .صرقلل ةیوازلا ةعرسلا دجوأ .μ وھ امھنیب كاكتحالا

تاعرسلا ةداع عمجن انك امك ةیظحللا نارودلا رواحم لوح ةیوازلا تاعرسلا عمج انناكمإبف ،راود يعجرم راطإ ىلإ انلوحت اذإ :26 ةركف .ةھجتملا𝜔�55555 نإف يلاتلاب = 𝜔w55555 + 𝜔355555، ثیح 𝜔w55555يعجرملا راطإلل ةیوازلا ةعرسلا يھ، 𝜔355555راودلا يعجرملا راطإلا يف مسجلل ةیوازلا ةعرسلا يھ كلذك و.K-7 2،9،13 راكفألا ،21 ةقیقحلا مادختسا اننكمی ،لاؤسلا اذھ يف .رقتسملا راطإلا يف ةیوازلا ةعرسلا يھ𝜔�55555و .)مسجلا ةعرس تاھجتم ةلالدب( يظحل نارود زكرم لوح نارودك اھرابتعا انكمی دلص مسجل ةیطابتعالا ةكرحلا K-33: ةركف .)20 ةركف مدختسا ،ةرورضلا دنع( رصقلا ةیئاھنال تارتف ىلإ ةیلمعلا وأ رغصلا ةیئاھنال عطق ىلإ نئاكلا مسق )لضافتلا باسح( :3 ةقیرط دنع .)كاكتحالا ةوق هاجتا يھ ةیمكلا ،انتلاح يف( تباثك اھذخأ نكمی )نامزلا( ناكملا يف ریغتت يتلا تایمكلا ،رغصلا ةغلاب )ةرتف( ةعطق لالخ .لماكتلا ىمسی اذھ—عطقلا لك ربع اھعمج نكمی تایمكلا هذھ ،)ةمداقلا ةلأسملا ىلإ رظنا( ةرورضلا

عزوی اھنزو نإف ،ةیضرألا ىلع تناك اذإ اھنأ ثیح ،ةدحاو ةھج نم ةریصق تاریعشب ةفاثكب يغم 𝑀 ھتلتك لیقث صرق نم نوكتت ةلآ س.20 نع جتانلا مزعلا ةلداعمب موقی مدختسملا ، 𝜔 ةیواز ةعرسب رودی صرقلا لعجی يئابرھك كرحم .𝑅 رطق فصنب ةیرئاد ةحاسم ىلع يواستلاب اھلعجل اھب ةلآلا عفد بجی ةوق يأب .ةیضرألا لوط ىلع افلخو امامأ ةلآلا عفدل ھمادختسا نكمی ضبقملا سفن .لیوط ضبقم ةطساوب كاكتحالا ىوقωR ،ةریبك صرقلل 𝜔 ةیوازلا ةعرسلا نأ ضرتفا .𝑣 ةعرسب كرحتت ≫ v، كاكتحالا لماعم .اھلامھا نكمی مزعلا ةلداعمل ةمزاللا ةوقلا نأو .μ وھ ةیضرألاو تاریعشلا نیب ةفاضإلابو ،K-33،11 راكفأ ،21 ةقیقح جاتحن انھ .طاقنلا نم جاوزأ دنع ضعبلا اھضعب يغلت )موزعلا وأ( ىوقلا نوكت امثیح ةقطنملا ددحت نأ لواح :27 ةركف .اضیأ ةلص تاذ 12 ةركف .ةلثامتم عقت ام ابلاغ هذھ طاقنلا جاوزأ

يأ تحت .φ وھ يقفألاو لیملا نیب عطاقتلا طخو صاصرلا ملق روحم نیب ةیوازلا ؛α نالیم ةیوازب لیم ىلع عقی يسادس صاصر ملق س.21 ؟لفسألل صاصرلا ملق جرحدتی نل ةلاح

17

تاقالع قیبطتو بسانم لكشب ةراتخم رواحم يف تایثادحإلا باسح نایحألا ضعب يف دیفملا نم نوكی ،داعبألا ةیثالث لئاسم لح دنع :28 ةركف[φ، 𝑥 ةیوازب z روحم لوح نارودلل .يناكملا نارودلا = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜑 و𝑦] = 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝜑. يف ؛ةكرحلا يف أدبت امدنع ةلتكلا زكرمل ةریغصلا ةحازإلا وھ دیحولا دعاولا رایخلا ؟انتلاح يف ھتابكرم ةطساوب ھنع ریبعتلا نكمی ھجتم يأ .ةیسأرلا اھتبكرمب طقف نیمتھم نحن ةیاھنلا

يضرع عطقمل P ةطقن ىلعأب ھلیصوت مت L لوطب طیخ .يقفألاو اھروحم نیب 𝛼 ةیواز عنصل اھعفر مت R اھرطق فصن ةقلز ةناوطسأ س.22 حازم نزولا ؟𝑙 ةناوطسألا سملی ال يذلا ءزجلا لوط مك ،ھنازتا عضوم طیخلا ذخأی .m ھتلتك نزوب ةدودشم طیخلل ىرخألا ةیاھنلا ،ةناوطسألل

؟ةریغص تازازتھال يرودلا نمزلا وھ ام ؛ةناوطسألا روحم نمضتملا يسأرلا حطسلل زاوم ةحازالا ھجتم نأ ثیحب ھنازتا عضوم نع

داجیإ يف اذھ دعاسی ،ىرخأ رومأ نیب نم ،لئاسملا لح يف دعاسی حطسملا حطسلا ىلإ رظنلاو داعبألا يثالث مسج حطس نم ءزج رشن :29 ةركف .رصقألا تافاسملا

،ضعبلا اiضع� 𝑙/3 ةفاسم fgع lmnأر لFش� ب)ضقلاب كالسألا ليصوت مت .ةلثامتم ةفيفخ كالسأ ةع'رأ ةطساوب قلعم 𝑙 ھلوطو 𝑚 ھتلتك مظتنم ب)ضق س.23

£𝑇،كالسألا لFل اiسفن =Å دشلا ىوق ،يقفأ ب)ضقلا نأ ن�ح => = 𝑚𝑔/4. ةيجرا¹@ا كالسألا ىدحإ تعطق نأ دع� دشلا ىوق دجوأ.

يأ( ينوكس نازتا ةلاح يف مسج ءاقبإل يرورضلا ىندألا ددعلا نم رثكأ )خلإ ،طویخ ،نابضق( تیبثتلا رصانع نم ددع مدختسا اذإ :30 ةركف بجی ،اننكمم اذھ لعج لجأ نم .هدیدحت نكمی ال رصانعلا يف دشلا نإف ،قلطم لكشب ةدلص تیبثتلا رصانع تناكو )ةیرحلا تاجرد ددع نم رثكأ .13 ةقیقح ركذت ؛)هوشتلا ىلع ةرداق( ةنرم رصانعلا ربتعت نأ .)تالداعملا نم رثكأ لیھاجم كلانھ نوكی نأ نكمی ال( تالداعملا نم نكمملا ددعلا يطعت يتلا 18 ةقیقح عم قفاوت يف حیرصتلا اذھ نأ ظحالنل .)كالسألا بایغ دنع( رودی نأ نكمی مسجلا نكل ،ةیقفأ ىوق يأ نودب دعبلا ةدیحو ةسدنھ عم لاعف لكشب لماعتن نحن ،ةنیعملا ةلاحلا هذھ يف "كلس" ةملك ؛كلذك ءوسجلا سفن مھل نوكی نأ دبال ،ةقباطتم كالسألا نأ امب .ةینارودلاو ةیسأرلا نیتكرحلاب نیتطبترم ،ةیرح اتجرد انیدلف يلاتلاب .ناریغص )بیضقلا رادحنا ةیواز كلذكو( هوشتلا نأ يأ ریبك ءوسجل حملت

اكیمانیدلا 4 لحل ةنكمم قرط ةدع دجوی .ماسجألا ىلع ةرثؤملا ةوقلا داجیإ وأ ،ماسجألا ةمظنأ ضعب عراست داجیإ نمضتت اكیمانیدلا لئاسم نم ةریبك ةبسن .مھنم ةثالث ربتعنس انھ ،هذھك لئاسم تابكرملا ةلالدب يناثلا نتوین نوناق بتكنسو ،كاكتحالا ىوقو ةیدومعلا ىوقلا كلذ نمضتی ،مسج لك ىلع ةرثؤملا ىوقلا لك دجنس :4 ةقیرط نوكی دق ،تالاحلا ضعب يف .1 ةركف ىلإ رظنا ،رذحب رواحملا هاجتا رتخا !ادیج ظحال .)𝑧 امبرو 𝑦و 𝑥 —رواحم ىلع ةلداعملا طاقسإ ىنعمب( .ةیھجتملا تالداعملا عم لمعلاو تاطاقسإلا مادختسا نع عانتمالا )ةمءالم رثكأو( انكمم

عابتا( لیھاجملا ددعل واسم ةلقتسملا ةیطخلا تالداعملا نم ددع ةباتك انكمم نوكی نأ بجوتی ،ادیج ةحورطم ةلأسم يأل ھنأ نابسحلا يف عض ةركف ىلإ رظنا ،اكیتاتسإلا لئاسم يف يتلاك اھسفن لظت اھداجیإ نكمی يتلا تالداعملا ددع مك داجیإل ةیھیجوتلا دعاوقلا .)مقرلا اذھ للقی دق 1 ةركف

18

ددعو تالداعملا ددع ناك اذإ .)طقف ةیلاقتنالا ةیرحلا تاجرد دع ىلإ جاتحن نحنف اذل ،ماسجألا رودت ال ثیح الئاسم ربتعنس يلاحلا تقولل( 18 .)23 ةلأسم ةلاح لثم( ةیفاضإ ةیئایزیف تاضارتفا عضو كیلع بجوتی ھنأ وأ ،ئطاخ لكشب ةحورطم ةلأسم اھنأ امإف ،قفاوتی ال لیھاجملا

لالخ طي¹@ا بàA مت .طيخ ةطساوب لثامم بعكمب لصوم هرودب و! يذلا 𝑚 ةلتكب رخآ بعكم ھقوف دجوي .قلز يقفأ حطس fgع 𝑀 ةلتكب بعكم عقي س.24

عيطتس� .ةرشابم ماظنلا ررحي نأ دع� �tبكلا بعكملا عراس� دجوأ .نوFس => ماظنلا نا£ ،ةيادبلا => .ايسأر قلعم يØاثلا بعكملاو �tبكلا بعكملا ة¦واز دنع ةعوضوم ةركب

.ةركبلاو طي¹@ا n®لتك لمã6 نأ كنكمي امك ،كاFتحالا لمã6 نأ

.راكفألا نم دیزملا جاتحن اننكل ،4 ةقیرط ةطساوب حاجنب ھلح نكمی لاؤسلا اذھ .اروف ةكرحلا ةیادب دعب )كلذك ھعراستو( ھیلع ةقبطملا ةوقلل ایزاوم نوكیس ھتحازإ ھجتم نإف ،نوكس يف ایئادتبا مسجلا ناك اذإ :31 ةركف ةیباسح ةیطخ ةقالع دجوی ھنإف ،رخآلا ةطساوب اموعدم اھدحأ ناك وأ ةركب امبر وأ بیضق وأ لبح ةطساوب ةلصتم ماسجأ تناك اذإ :32 ةركف .تباث )خلإ ،بیضقلا( طیخلا لوط نوك ةقیقح فصت يتلا )مھتاعراستو مھتاعرسو( ماسجألا تاحازإ نیب نیترم وأ ةرم اھلضافت باسح نكمی ةقالعلا هذھ ،میقتسم طخ لوط ىلع ةكرحلا تناك اذإ ؛هداجیإ لھسلا نم ابلاغ نوكی تاحازإلا نیب ةقالعلا لصنسف ،ةدلص ماسجألو تاعرسلا ةلاح يف .ةینحنملا ةكرحلا ةلاح يف ةطیحلا ذخأ بجی .تاعراستلاو تاعرسلل ةقالعلا داجیإل ،نمزلل ةبسنلاب ادیقعت رثكأ ةلاحلا ،تاعراستلا ةلاح يف .)ةیواستم مھنیب لصاولا طخلا ىلع تاعرسلا تاطاقسإ ،دلص مسج ىلع نیتطقنل( K-35 ةركف ىلإ نأو تباث عراستلا نأ t نمزلا نم ادج ةریصق ةدمل ضارتفالا اننكمی ،نوكسلا نم ةكرحلا تأدب اذإ ،لاح لك ىلع .ةیزكرم تاعراست دوجول

𝑠 ةطیسب ةیطخ ةقالع دجوی يلاتلاب ،)ادج ةریغص لازت ام 𝑣 ةعرسلا( لمھم 𝑣3/𝑟 يزكرملا عراستلا = I�

3�� ةحازإلا نیب 𝑠 عراستلاو��

�I لماعملا ؛ددحم مسجل ةددحم ةطقنل

3 عم بسانتت تاحازإلا حبصتو لماعملا اذھ ىشالتیس ةبسنلا ذخأ دنع كلذل ،تاحازإلا نیب اكرتشم نوكیس

.تاعراستلا لبحلا فتلا اذإ ؛ةركبلا يتھج الك يف رادقملا سفن ھل لبحلا يف دشلا نإف )ةلتكلا لمھم امھالك( ةیلاثم ةركب ىلع فیفخ لبح ىمر اذإ :33 ةركف .دشلا ىوقل يھجتملا عمجلا قیرط نع اھداجیإ نكمی يتلا لبحلاو ةركبلا نیب ةیدومع ةوق كلانھ نإف ،ةركبلا دنع ھلامھإ نكمی يناثلا نتوین نوناق يف يروصقلا دحلا نإف يلاتلاب ،اھلامھإ نكمی اھتلتك ؛ةركبلا سمالی يذلا لبحلا نم ءزجلا كلذ ربتعا ،لعفلاب .دشلا ىوقل يھجتملا عمجلل ةسكاعمو ةیواسم لبحلا يف ةرثؤملا ةیدومعلا ةوقلا نوكت نأ دبال اذھل ،كلذك .نوكس يف ماسجألا ىدحإ نوكت ثیح )7 ةركف ىلإ رظنا( يروصق ریغ يعجرم راطإ يف ةكرحلا يف قیقحتلا متی نكل ،4 ةقیرطك يھ :5 ةقیرط ةركف قیبطت .ربتخملا راطإ يف نیفسإلا ىلع مسج ءاقب طرش ةباتك بعصلا نم :تانیفسإلا نمضتت يتلا لئاسملا نم دیدعلا يف ةدیفم 5 ةقیرط

:نوكس يف نوكی يعجرملا راطإلا فرعی يذلا مسجلا نأ ىسنت ال .ربتخملا راطإ يف ھنع نیفسإلل يعجرملا راطإلا يف لھسأ نوكی ام ابلاغ 32 .يكیتاتسلا ھنازتا نافصی رثكأ وأ ةدحاو ةلداعم انیدل

.ضعبلا امھضعب هاجتاب نالیمیو قفألا عم α ةیواز ناعنصی نیلیم نم نوكتی يولعلا ھحطس .ةقلزو ادج ةفیفخ ةدام نم نیفسإ عنص مت س.25 ىلوألا ةركلا نم ىلعأ تعضو M اھتلتك ىرخأ هرك .يولعلا ھحطس يف ةحتفلا ىندأ دنع عقت m اھلتك ةرك ؛يقفأ حطس ىلع نیفسإلا عضو مت .كاكتحالا لامھإ نكمی ؟لیملا لاوط ىلع ىلعألل m ةلتكلا تاذ ةریغصلا ةركلا قلزنتس فرظ يأ دنع .ماظنلا قالطإ متو

مادختسا ربع فرعتو جنارجاللا ةغیص ـك فرعت ،كانھ .ةیلیلحتلا اكیناكیملا نم عبنتو ةممعملا تایثادحإلا مادختسا ىلع ةینبم ةریخألا ةقیرطلا رثكأ ةلصفم ةشقانم .يفكت هاندأ ةروكذملا ةطسبملا اھتخسن ،لئاسملا مظعمل نكل ،)ریاغتلا لیلحت ،يئزجلا لضافتلا( ایبسن ةمدقتم ةیضایر تاودأ

.6 قحلم يف ةرفوم ةیجنارجاللا غیصلا نع

19

.ξ يثادحإلل �� عراستلا دجن نأ جاتحن اننأ لقنل .دیحولا مقرلا اذھب اھفصو نكمی ماظنلل ةلماكلا ةلاحلا تناك اذإ اممعم ایثادحإ ξ يمسنل :6 ةقیرط𝐾 لكشلا يف ةیكرحلا ةقاطلاو ξ يف Π(𝜉) ةلادك ماظنلل Π عضولا ةقاط نع ریبعتلا انناكمإب ناك اذإ = ℳξ3/2 لماعملا ثیح ℳ قفاوت وھ نإف ،)يتاذلا روصقلا مزع امبرو( ماسجألا لتكل

ξ = −Π](ξ)/ℳ Π(ξ) ةقاطلا ظفح ببسب ،لعفلاب .ξ يثادحإلل ةبسنلاب قاقتشالا لثمی طخلاو نمزلل ةبسنلاب قاقتشالا لثمت ةطقنلا +ℳξ

3/2 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡. دنع

Π](ξ)ξ+ℳξξ ىلع لصحنس ،ةلسلسلا ةدعاق مادختسابو نمزلل ةبسنلاب اذھ قاقتشا = .ξ ىلع میسقتلا دعب اھركذ قباسلا ةلداعملل لصنس .0

رادجب تبثمو نیفسإلا ىلعأب ةتبثم ةركب ىلع بوحسم لبحب لصوم مسجلا .M ةلتكو α ةیوازب نیفسإ ىلع عقی m ھتلتك ریغص مسج س.26 .)كاكتحا دجوی ال( ةقلز حوطسلا لك .نیفسإلا عراست دجوأ .)لكشلا ىلإ رظنأ( يسأر

.6 ةقیرط حیضوتل تاحیملتلا مسق يف ىطعم ةلأسملا هذھل لماك لح

اھتیاھن ،نیفسإلا ىلعأ ىلع ةعوضوم هركب ىلع طیخ بحس مت .يقفأ حطس ىلع عقیو𝛼wو𝛼3 ناتداح ناتیواز ھل M ھتلتك نیفسإ س.27 .ناكم يأ يف كاكتحا دجوی ال ؟نیفسإلا عراست نوكیس اذام .𝑚w,𝑚3 نیتلتكب اتتبث طیخلا

لك ىلع .نیفسإلل ةبسنلاب كرحتی نأ عیطتسی طیخلاو كرحتی نأ ردقی نیفسإلا :ةلأسملا هذھ يف ةدحاو ةیرح ةجرد نم رثكأ دجوی ھنأ اودبی دق ةطساوب انذاقنإ مت ،لاح .اتباث لظی ةلتكلا زكرمل 𝑥—يثادحإ نإف ،ارفص ةلتكلا زكرم ةعرسو ةیجراخلا ىوقلا عومجمل 𝑥—تابكرم تناك اذإ :34 ةركف ةحازإ نع ریبعتلا اننكمی يلاتلابو نیتبكرم نمضتی ماظنلا ،ةددحملا انتلاح يف .ةیرحلا تاجردل لاعفلا ددعلا لازتخال فرظلا اذھ مادختسا اننكمی .ىرخألا ةحازإ ةطساوب نیتبكرملا ىدحإ وھ ماسجألا نم ماظنل ةلتكلا زكرمل 𝑥—يثادحإلا :35 ةركف

𝑋X =i𝑥<𝑚< /i𝑚<

𝑋X ،لماكتلا ةغیصب اھتباتك ةداعإ نكمی ةلداعملا .اھتلتك زكرم يثادحإل زمرت >𝑥و 𝑖ـلا ةبكرملا ةلتكل زمرت >𝑚 ثیح = ∫𝑥 𝑑𝑚/∫𝑑𝑚، 𝑑𝑚 ثیح = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 ةلتكلا لضافت يھ.

.ةوجفلا ىلع تعضو r اھرطق فصن ةناوطساو ،ةجردلا برق ھعفد مت ةجردلا عافترا سفن ھل مسج .ةجرد نانوكی ناقلز نایقفأ ناحطس س.28 ةجردلاو مسجلا نیب ةفاسملا نوكت امدنع ةظحللا دنع ةجردلاو ةناوطسألا نیب N ةیدومعلا ةوقلا دجوأ .𝑚 ةلتك امھل مسجلاو ةناوطسألا نم لك

20

√2𝑟. لصفنتس لھ .ناكم لك يف رفص كاكتحالا .ةنكاس تناك ماسجألا لكو ضعبلا امھضعبل ادج نیبیرق اناك ةجردلاو مسجلا ،ةیادبلا يف ؟ةوطخلا نع مأ مسجلا نع الوأ ةناوطسألا بتكن نأ لبق رذحب لحلل ططخن نأ ةمكحلا نم يلاتلاب .ءاطخأ ىلإ اذھ دوقی دقو ،ادج ةدقعم تاریبعتب يھتنن نأ ةلأسملا هذھ لح نیح لھسلا نم .تالداعم يأ .عراستلا قیرط نع ةوقلا داجیإ ءاكذلا نم نایحألا يف نكل ،ةوقلا نم عراستلا داجیإل ابلاغ مدختست نتوین نیناوق :36 ةركف :يكیتكت حارتقا اذھ .ةلیوط تاریبعت ىلإ دوقی لیبسلا اذھ نكل ،6 ةقیرط مادختساب اھداجیإ نكمملا نم ؟ةلاحلا هذھ يف تاعراستلا دجن فیك نكل طوطخلا :دیدحتلاب لاؤسلا اذھ يف "ةفداصم" كلانھ دجوی .لھسأ قیرط كلانھ ناك اذإ ركفو فقوت ،اینقت بعصأف بعصأ حبصی لحلا نأ تیأر اذإ .اندعاسیس اذھ ،لعفلاب ؟اندعاسی نأ اذھل نكمی لھ ؛ةدماعم سمالتلا طاقنل ةناوطسألا زكرم نم ةموسرملا ةمیقتسملا !اھنم ةجتانلا تاطیسبتلا مدختساو ةصاخلا تالاحلل كھابتنا طعأ :37 ةركف :ةكرحلا ملع يف انملعت ام ركذتب مقنل فصنو 𝑣 ةعرسلا ةطساوب ددحت 𝑣3/𝑅 ةطقن عراستل )راسملا ىلع ةدماعملا( ةیرطقلا ةبكرملا ،ىنحنم لاوط ىلع ةكرحلا ةلاح يف K-34 ةركف .)يوازلا عراستلا وھ ε ثیح ،ةینارودلا ةكرحلا ةلاح يف ε𝑅 يواست( يطخلا عراستلا يھ ىنحنملا لوط ىلع ةبكرملا ؛𝑅 روكتلا رطق ریوطت .اھمادختسا نع ضیعتسن نأ انوجر اننكل — ينارودلا عراستلا داجیإل ةیرورض 6 ةقیرط ،ةینارود ةكرح كرحتیس ةناوطسألا ةلتك زكرم :اندعاسیس 1 ةركف ةیسامملا ةبكرملا وأ ةمولعم ریغ ةوق ،لاثملا لیبس ىلع ،ھب بوغرم ریغ ھجتم ىلع يدومعلا روحملا ىلع يناثلا نتوین نوناق طقسأ :38 ةركف .عراستلل انمدختسا اذإ )عراستلل ةیرطقلا ةبكرملا ،يلاتلابو( ةناوطسألا ةعرس داجیإ ةلوھسب اننكمی كلانھ نكی مل اذإ ةظوفحم ةقاطلا .اروف فرظلا اذھ بتكا ،)لغشلا ةطساوب ھباسح نكمی اھیف ریغتلا ناك وأ( ةظوفحم ةقاطلا تناك اذإ :39 ةركف ؛)لئاملا حطسلا لثم( ةنكاس ماظنلا ىلع ةیجراخلا ىوقلا تناكو )خلإ ،ةنرم ریغ تامداصت ،كاكتحا( ددبت ةیأ ظفح نوناق ةباتكل دعاست 32 ةركف .كلذك ةقاطلا ریغت )كرحتم لئام حطس ،ةكرحتم ةطقن ىلع ةرثؤملا ةوقلا( نمزلا يف ةلادك ریغتت يتلا ىوقلا جاتحن ،يناثلا لاؤسلا ةباجإل .)!ماسجألا تاعرس نیب ةقالعلا( ةقاطلا .حطسلا نع مسجلا اھیف لصفنی يتلا ةظحللا دنع ىشالتت ةیدومعلا ةوقلا :40 ةركف .ةیقفألا تاعراستلا تابكرمل 32 ةركف عجار ،اضیأ

كرحت�س 𝛼 اياوز يأل .𝛼ة¦وازب ردحنم �gإ ةأجف لصي يذلا يقفأ حطس لوط fgع ماظنلا جرحدتي .ليقث روحمب 𝑟رطق فصن تاذ ةفيفخ تال¥> انلصو س.29

.𝑣 ةiجتم ةعرس ھلو ردحنملاو يقفألا حطسلا ن�ب دòAل زاوم روïAا .تال¥=لا ةلتك لام!إ نكمملا نم ؟تاقوألا ل£ => حطسلا سملت نأ ¯÷عمب ،عفترت نأ نودب تال¥=لا

.ةیدومع ةوق لقأ اھل يتلا راسملا ىلع ةطقنلا كلت دجن نأ بجی ،عفتریس مسج ناك اذإ ام لاؤسلا ةباجإل :41 ةركف عجار ،اضیأ .40 ةركف عم اھنراق — رفص يھ ةجرحلا ةمیقلا ؛عفتریس مسجلا نإف ،ةطقنلا هذھ دنع ةبلاس ةیدومعلا ةوقلا نوكت نأ مزلت اذإ .K-29و 39 ،1 راكفألا

هرطق ةناوطسأ فصن لكشب فیوجت دجوی ،قئاعلا حطس ىلعأ يف .ایسأر ارادج اضیأ سملیو قلز يقفأ حطس ىلع عقی 𝑀 ھتلتك قئاع س.30𝑟. اھتلتك ةریغص ةیرك 𝑚 ؟ةیلاتلا ھتكرح ءانثأ قئاعلل ىوصقلا ةعرسلا يھام .رادجلل برقألا ةیحانلا نم ،فیوجتلل ةیولعلا ةفاحلا دنع اھقالطا مت .كاكتحالا لامھإ نكمی

.نمزلا نم ام ةرتفل طقف دمصی دق ظفحلا نوناق :42 ةركف .طقف دحاو روحم ىلع اظوفحم مخزلا نوكی نایحألا ضعب ؛رفص ةیجراخلا ىوقلا عومجم ناك اذإ ظوفحم مخزلا :43 ةركف .كلذك 39 ةركف جاتحتس

21

𝑎 نأل( ارفص )ىوقلا ةلصحمو( عراستلا نوكی امدنع )ایند وأ( ىمظع نوكت ةعرسلا :44 ةركف = HàHI= نوكت امدنع ىوصق ةحازإلا ؛(0

.ةیثحلا ةیئابرھكلا ةعفادلا ةوقلا — رایتلا ،رایتلا — )فثكملا دھج( ةیئابرھكلا ةنحشلا :ةنكمم ىرخأ جاوزأ .ارفص ةھجتملا ةعرسلا

امھدعبو امھنیب ةفاسملا ،بیضقلاب اتتبث Mو m امھتلتك ناترك .واستم امھلوط نیطیخ ةطساوب فقسلاب قلع 3𝑙 ھلوط فیفخ بیضق س.31 .اروف لوألا عطق نأ دعب يناثلا طیخلا يف دشلا دجوأ .𝑙 يواست اھلك بیضقلا تایاھن نع

يوازلا عراستلا ،الوأ .بیضقلل يوازلا عراستلا داجیإل ةجاحلاو 36 ةركف مادختسا يف كرتشت اھلك ،لاؤسلا اذھ لحل ةدیج ةدیدع قرط دجوی ةكرحلل يناثلا نتوین نوناق مدختسن نأ اننكمی ،ایناث .ممعملا يثادحإلا نوكتل φ نارودلا ةیواز رایتخا ربع 6 ةقیرط ةطساوب هداجیإ نكمی بیضقلل يتاذلا روصقلا مزعو يوازلا عراستلا وھ ε ثیح 𝐼𝜀 ـب هواسو يناثلا طیخلا عم قیلعتلا ةطقنل ةبسنلاب بیضقلا ىلع مزعلا دجنس :ةینارودلا

𝐼 = 𝑚𝑙3 + 4𝑀𝑙3. ماع لكشب، 𝑀 يھ اھب رثأتی يتلا مزعلا ةلصحم نإف ،𝑠 روحملا لوح مسج رودی امدنع :45 ةركف = 𝐼𝜀 )ثیح ،)مسجلا ةلتكب اھطلخت ال 𝐼 روصقلا مزع يھ 𝑠، 𝐼 روحمل ةبسنلاب يتاذلا = ∑𝑚<𝑟<3 = ∫ 𝑟3 𝑑𝑚 = ∫𝑟3 𝜌𝑑𝑉 ثیح 𝑟< ـلا میسجلا نیب ةفاسملا يھ𝑖 روحملاو 𝑠. )لكل عومجملا بسحی

𝐾 يھ ةیكرحلا ةقاطلا .)مسجلا تامیسج = w3𝐼𝜔3.

مادختسا دیفملا نم نوكی دق 36 ةركف قبطن نأ لجأ نم ،يوازلا عراستلا دجن نإ ام

�� يھ يناثلا نتوین نوناقل اھنع ىنغتسی ال يتلاو امومع رثكألا ةغیصلا :46 ةركف = Hâ5HI

عومجم وھ ��و ماظنلل يلكلا مخزلا وھ 𝑃5 ثیح ،

𝑀55 يھ ةلثامم ةلداعم .ماظنلا ىلع ةرثؤملا ةیجراخلا ىوقلا = H­5HI

وھ 𝑀55 و )ةاطعم ةطقنل ةبسنلاب( ماظنلل يوازلا مخزلا ةلصحم وھ 𝐿5 ثیح ، .ةیجراخلا موزعلا عومجم .موزعلاو ىوقلا نم لك ىلع اھقبطن امدنع ةرمثم ةریخألا ةقیرطلا ،هذھ انتلاح يف

قیرط نع هداجیإ نكمی نیتركلا عراست اھنیح .)ةلعافتم( ةلصفنم ماسجأ ةثالثك نیتركلاو بیضقلا رابتعا يھ لحلل ىرخأ ةقیرط فظوی نأ كلذك ءرملا عیطتسی ؛32 ةركف .ارفص نوكت )ىرخألا ماسجألل ةبسنلاب( ادج ةفیفخلا ماسجألا ىلع ناترثؤملا مزعلاو ةوقلا اتلصحم :47 ةركف .ةلتكلا میدع مسجل ایئاھنال اعراست دلوتس ةیرفص ریغ ةوق يأ نإف ،حیحص ریغ اذھ ناك اذإ ھنأ حضتی

ھتلتك قوط نم ةنوكم ةركبلا .𝑙 ةقلعتملا تایاھنلا دحأ لوط نأ ثیحب ةركب ىلع يمر 𝐿 لوطو ρ ةیلوط ةفاثك ھل ددمتلل لباق ریغ طیخ س.32𝑚 هرطق فصنو 𝑅 تأدب نأ دعب روحملا ىلع ةرثؤملا ةوقلا دجوأ .كرحتیل كرت ةیادبلا يف نكاسلا ماظنلا .ةفیفخ تاننسمب يقفأ روحمب تبثم

.لمھم روحملاو ةركبلا نیب كاكتحالا .ةكرحلا

فیظوتب مقنل ،ادیج 36 ةركف قیبطتل .6 ةقیرط مادختساب هداجیإ نكمی ماظنلا عراست ؛36 ةركف مدختسنس ،ةوقلا داجیإل :يلاتلاب موقن ال اذامل�� ـك ھتباتك نكمی يناثلا نتوین نوناق :48 ةركف = 𝑀𝑎X5555، ثیح 𝑎X5555 ةلتكلا زكرم عراست وھ. قرفلا :ةلاحلا هذھ يف امك طبضلاب( كرحتت ایبسن ةریغص ةلتك طقفو ةكرحلا میدع ماظنلا نم ءزج نوكی امدنع لالغتسا لضفأ لغتست ةركفلا هذھ نوكتس 34 ةركف نأ حضاولا نم .)ىرخألا ةھجلا يف "بسكی"و ةھج يف "دقفیس" لبحلا نم اریغص اءزج نأ وھ ةریغص ةینمز ةرتف دعب دیحولا يف طقف لب ،ةلتكلا زكرم يثادحإب نیمتھم انسل نحن ةلاحلا هذھ يف ھنأ رابتعالا نیع يف ذخ .دھجلا نم اضعب كل ظفحتس 11 ةركفو ،انھ ةدیفم .ىشالتیس نمزلل ةبسنلاب مھلضافت نأل :نمزلا نع ةلقتسملا دودحلا فذح اننكمی يثادحإلا اذھ نع ریبعتلا يفف يلاتلاب ؛نمزلا يف ةلادك ھیثادحإ ریغت ھتقتشم جتنتس 6 ةقیرط نأ امب( 6 ةقیرط عم ھمدختسنس يذلا يثادحإلا سفنب ھنع ریبعتلا بجی ةلتكلا زكرم يثادحإ نم نمزلا ىلع دمتعملا ءزجلا

22

ماظن يف ةیثادحإ رواحم ىلع ھتاطاقسإ )ب( ؛ھھاجتاو هرادقم )أ( ةطساوب ددحی ھجتملا :دعاست دق ةریغص ةیكینكت ةحیصن .)نمزلا ةبسنلاب ةیناثلا ؛ىطعم تایثادحإ .طقف هرادقمب نیمتھم انك اذإ ىتح ،ھجتم تابكرم باسح لھسألا نم نوكی نایحألا ضعب :49 ةركف 𝐹ã555و 𝐹=555 داجیإ انیلع بجوتی ،ةلاحلا هذھ يف .نیحضاو ریغو نیمولعم ریغ ھھاجتاو ھجتملا رادقم نم لك نوكی امدنع قبطنی اذھ ،ءيش لك قوف .بسانم تایثادحإ ماظن يف

ایظحل هءاطعإ مت امھدحأ .ھسفن عافترالا ىلع نامسجلا ناك ةیادبلا يف .ةلتكلا سفنب نامسج دجوی ھیتیاھن الك دنع .ةركب ىلع طیخ يمر س.33 .ةلمھم ةركبلا ةلتك ؟ةجتانلا ةكرحلا لالخ ىلعأ لصیس نیمسجلا نم يأ .𝑣 ةریغص ةیقفأ ةعرس

ادج صصختمو مادختسالا ردان اھلحل حاتفملا نأل ،لعفلاب ةدقعم ةلأسملا هذھ .رفص يھ ھیلع ةرثؤملا ىوقلا ةلصحم نإف ،ةكرحلا ىلع ةلتكلا زكرم ردقی مل اذإ :50 ةركف رظنا—لودنبلاب ةھیبشلا لوكرملا مسجلا ةكرحل ةدحاو ةرودل طسوتم ذخأب( لیوطلا ىدملا ىلع نكل ،الیلق كرحتی نأ عیطتسی ةلتكلا زكرم انھ ةبكرملا ىلع ریثأتلا يغلی امم رادقملا سفنب لزنیس رخآلا نإف ،امھدحأ عفترا اذإف ةلتكلا سفن امھل نامسجلا :ةكرحلا میدع ربتعی )24 ةركف ىلإ ءيش بلجب كلذك مقنل .لاؤسلا اذھ لحل ةیسأرلا ةبكرملا رابتعا يفاكلا نم نكل ،ةیقفألا ةبكرملل حیحص اضیأ اذھ .ةلتكلا زكرم عقومل ةیسأرلا حضاو .ناكم يأ يف ھسفن لظی كاكتحالا میدع حطس لوط ىلع بوحسملا وأ ةلتكلا ةمیدع ةركب ىلع يمرملا ةلتكلا میدع طیخ يف دشلا :24 ةقیقح لك طسوتم ذخأب موقنس ؛دحاو مسج )ب(و نیمسجلا نم نوكملا ماظنلا )أ( ـل يناثلا نتوین نوناق بتكنس :يلاتلاك نوكتس لحلا ةیمتیراغولف نذإ ،24 ةركف ساسأ ىلع .)ب( ةلداعم يف ھضیوعتب موقنس يذلا ،طیخلا يف دشلا طسوتم داجیإل )أ( نم ةرھاظلا ةاواسملا مدختسنسو نیتلداعملا نم .20 ةركف مدختسنسو يلاعلا ددرتلا ةبكرمو طسوتملا ىلإ طیخلا يف دشلا ةئزجتب موقنس

حطسلاو ماسجألا نیب يذلا امنیب ، µ ماسجألا نیب كاكتحالا لماعم .لكشلا يف حضوم وھ امك ،سلمأ حطس ىلع عقی ماسجأ نم ماظن س.34µ وھ = .ماسجألا لك تاعراست دجوأ .F ةوقب ھبحس متی يلفسلا نمیألا مسجلا .0

ةنكمملا تالاحلا لك رابتعا انیلع بجوتیس لماك لكشب لئاسملا ضعب بواجن نأ لجأ نم ھنإف ،كاكتحا ىوقب ماسجأ لصتت امدنع :51 ةركف .ةسمالتملا حوطسلا لك نیب يبسن قالزنا دوجول

داجیإ كیلع بجوتس اھنیح .دحاو مسجك امھتلماعم اننكمی ھنإف ،نیسمالتم نیحطس نیب قالزنا دجوی ال ھنأ ضرتفنس انك اذإ ،لاثملا لیبس ىلع .μ𝑁 ىمظعلا ينوكسلا كاكتحالا ةوق نم لقأ 𝐹å نوكت ىتم يأ ،ضارتفالا دمصی ىتم دیدحتو نیمسجلا نیب 𝐹å كاكتحالا ةوق

ثیح ةلاحل لصن ھنأ نكمی ھنأ ثیحب اھدنع ةنكاسلا ةركلا عضو نكمی طاقنلا نم ةعومجم يأ دنع .ةنكاس ىرخأب مدطصت ودرایلب ةرك س.35 .)لمھم نیتركلا نارود نإف يلاتلاب( امامت ناتقلز ناتركلا ،امامت ةنرم تامداصتلا ؟ةلواطلا يف ةفلتخم رفح يف ناتركلا الك لخدت مداصتلا دعبف ،ھلامھإ نكمی نیتركلل )ةجرحدلا( نارودلا ناكو ةكرحلا ةمیدع ىرخأ ةلثامم ةركب ةنورملا ةمات ةرك تمدطصا اذإ :52 ةركف .نیتركلل ةعرسلا تاھجتم نیب ةمئاق ةیواز كلانھ نوكیس نأ ينعی ةقاطلا ظفح .مخزلا ظفح نوناق ببسب اثلثم نوكت )مداصتلا دعب ناتعرسلاو لبق ةعرسلا( ةثالثلا ةعرسلا تاھجتم نأ ظحال اذھ تابثإل )ةمداقلا دعب ةلأسملا ىلإ رظنأ( ةجیتنلا هذھل ةصاخ ةلاح .سروغاثیف ةیرظن ققحت ثلثملا عالضأ

.ىلوألا ةركلا ةعرس ىلع لصحت ةیناثلاو فقوتت ىلوألا نإف ،ةنكاس ةلثامم ةرك عم ایزكرم امداصت ةنرم ةرك مدطصت امدنع :25 ةقیقح

23

ناعقی امھیتلتك ازكرمو ناسمالتت ناتنكاسلا ناتركلا .نیتنكاس نیتلثامم نیترك هاجتاب 𝑣 ةعرسب كرحتت ةنورملا ةماتو ةقلز ودرایلب ةرك س.36 ةركلا ىدل نوكتس ةعرس يأ .نیتركلا نیب سمالتلا ةطقن ىلإ مامتلاب ةھجوم ةكرحتملا ةركلا .ةمداقلا ةركلا ةعرسلا ھجتمل دماعملا طخلا ىلع ءيشلا ضعب فرحنم ةمداقلا ةركلا راسم )ب( ؛نیتركلا نیب فصتنملاب طبضلاب مدطصت ةمداقلا ةركلا )أ( :نیویرانیس ربتعا ؟مداصتلا دعب ةمداقلا .ایشماھ الوأ نیتنكاسلا نیتركلا دحأب مدطصتف

مادختسا يرورضلا نم ،لوألا لاؤسلا ةباجإل يف اھعم لماعتلا لھسألا نم )تاكربنز وأ طویخ ةطساوب ةلصتملا تاركلا ةكرح لثم ،ماسجألا ةدیدع تالعافتلا ةیقبو( تامداصتلا :53 ةركف .)رفص مخزلا ةلصحم( مخزلا ظفح نوناق ةباتك لھسلا نم نوكی ماظنلا اذھ يف ھنأل ،ةلتكلا زكرم ماظن مادختساب مقنل ،يناثلا لاؤسلل !39 ةركف ىسنت ال ،اضیأ .ةوقلا هاجتا سفن ھل لوقنملا مخزلا نإف ،اھھاجتا ریغتی مل ةمولعم ةدم ءانثأ مسج ىلع ةرثؤملا ةوقلا تناك اذإ :54 ةركف

كلذكو ،لمھم تایركلا مجح ؟تامداصتلا نم نكمم ددع ربكأ وھ ام .كاكتحالا میدع كلس لوط ىلع قلحزتت ةنورملا ةمات ةیرك 𝑛 س.37 .تقولا سفنب نامدطصتس نیتیرك نم رثكأ نأ ةیلامتحا .ةمیظع ةدعاسم نوكیل لیمی ،ينایب مسر مادختسا لثم ،ایرصب ةیلمعلا لیثمت :55 ةركف𝑥 ينایب مسر يف نیترك نیب نرم مداصت ودبیس اذام :دعاسم لاؤس اذھ − 𝑡؟

حوللاو ةلتكلا نیب كاكتحالا لماعم .ھیتیاھن دحأ دنع 𝑚 ةریغص ةلتك عقت ؛معان يقفأ حطس ىلع عقی 𝑀 ھتلتكو 𝐿 ھلوط يبشخ حول س.38 عقتو حوللا لاوط ىلع ةلتكلا قلزنتس ةجتانلا ةكرحلا لالخ ھنأ ثیحب ةعیرس ةعفدب حولل اھءاطعإ بجی يتلا ایندلا ةعرسلا يھام .μ وھ يبشخلا .لمھم ةلتكلا مجح ؟ھنم

فیظوتو ،53و 39 نیتركفلا مادختسا اننكمی ،ایناث .7 ةركف مادختساب اھلح اننكمی ،الوأ .نائفاكتم نالح اھل ةلأسملا هذھ .قالزنالا راسم لوطو كاكتحالا ةوق برض جتان يواست ةرارح ىلإ لوحتت يتلا ةقاطلا نإف ،ام حطس لوط ىلع مسج قلزنا اذإ :56 ةركف .ةحازإلل زاوم هاجتا امئاد اھل ،ةماعدلل يعجرملا راطإلا نم ىرت امكو ،تباث رادقم اھل كاكتحالا ةوق ،لعفلاب

هاجتا نیبی مھسلا .ناتفلتخم امھیتلتك نكل رطقلا سفن امھل نیترك مداصت نیبیو يبوكسوبورتسا ریوصت ةطساوب ھجاتنا مت ىطعملا مسرلا س.39 .مداصتلا لبق ىرخألا ةركلا ةكرح هاجتا ناك اذام رھظأو نیتلتكلا نیب ةبسنلا دجوأ .مداصتلا لبق نیتركلا دحأ ةكرح

عالضألا يزاوتم ةدعاق وأ ثلثملا ةدعاق مادختساب مھحرطو مھعمج عم لماعتلا ،تاھجتمك موخزلا ةلماعم نایحألا ضعب دیفملا نم :57 ةركف )خلإ ،ىوقلا ،تاعراستلا ،ةھجتملا تاعرسلا ،تاحازإلا :ىرخألا ةھجتملا تایمكلل اضیأ حیحص اذھ( .5 ةركف ىلإ رظنأ .امھیمخزل يھجتملا حرطلا يواسیس عفدلا ھجتم ،نامسج لعافتی امدنع :اصیصخت رثكأ نوكنل

.ةھجتملا ھتعرس عم بسانتی يلاتلا عقوملا ىلإ مسجلا عقوم نم ھجتملا ،يبوكسوبورتسالا ریوصتلا يف :26 ةقیقح .هاجتالا يف ةسكاعتمو ةیواستم نیمسجلا يمخز يف تاریغتلا نإف ،اعم نامسج لعافت اذإ )ثلاثلا نتوین نوناق( :27 ةقیقح

وھ نیروبنصلا نع ءاملا حطس عافترا ،ناروبنصلا حتف .لكشلا ىلإ رظنا ،فلتخم میمصت امھل امھروبنص )𝐵و 𝐴( نالیمرب دجوی س.40H. ؟نیلیمربلا نم ءاملا رایت اھب جرخی يتلا ةعرسلا يھام

24

!عقاولا يف ظوفحم ریغ نیذھ نم دحاو نإف ،ةقاطلا ظفحو مخزلا ظفح نم لك مادختساب ةلأسم لح نكمملا نم ھنأ ادب اذإ :58 ةركف ةقاطلا :بایسنالا ةیقبط ءاقبإل ةحضاو ةلواحم كلانھ ناك ،𝐴 روبنص میمصت نیح .ةفلتخم نوكتس ةبوجألا :اذھ رارغ ىلع ،نوكت نأ نكمی ال 𝑑𝑡—𝑝𝑆𝑑𝑡 ةلیئض ةینمز ةدم لالخ وجلا طغض ةطساوب رایتلل ىطعملا مخزلا ةباتكب موقنس انك ،3 ةقیرط انمدختسا اذإ ،لاح لك ىلع .ةظوفحم𝑝 ،هایملا بایسنا لضفب ھنأ ،اھنیح ىرنس انك ،)روبنصلل يضرعلا عطقملا ةحاسم يھ 𝑆 ثیح( ≠ 𝜌𝑔𝐻 )نوناق ،يكیمانیدلا طغضلا ببسب اننكمی ،اذھ نم مغرلا ىلع .ةقاطلل دقفو تاماود كلانھ نوكیس ؛ظوفحم ریغ يقبطلا بایسنالا ،𝐵 روبنصلل ،ىرخألا ةھجلا نم .)!يلونریب نمیألاو رسیألا بناجلا ةطساوب قبطملا طغضلا امومع( لیمربلا ناردج ةطساوب لئاسلا ىلع قبطملا طغضلل اریبعت بتكنس :مخزلا عم لماعتلا𝑝 يغلم ریغ ءزج كلانھ لظیس نكل ،ضعبلا امھضعب نایغلیس ناردجلل = 𝜌𝑔𝐻 روبنصلل يضرعلا عطقملا راسیل ةقبطم 𝑆(.

ةیلفسلا ةركبلا ةطساوب مازحلا كیرحت متی ؛α قفألا عم ھتیواز ،𝑙 وھ مازحلا لوط .كرحتم مازح مادختساب ءانبلا ةھجل لمرلا لقن متی س.41

é·ê تباث لدعمب مازحلا ىلع لمرلا عضو متی .جراخلا نم ةلغشم يھو ،𝑅 اھرطق فصن يتلا{ëμ. يھام ؟لمرلا لقنل بولطم مزع ىندأ وھ ام

ةعرسلا ربتعا ؛مازحلاب اھمادطصا دعب ةرشابم كرحتلا نم لمرلا تابیبح فقوتتل ةیافك ریبك كاكتحالا لماعم ؟مزعلا اذھ دنع مازحلا ةعرس .ارفص لمرلا تابیبحل ةیئادتبالا

.ةوق قیبطت بجی — )لمرلا لثم( بایسنا وأ ماسجأ — كرحتی ءيش يأ لعجل :28 ةقیقح ىلإ ةفاضإلاب اندعاستس 3 ةقیرطو 58 ةركف ،ةلأسملا هذھل لقتسمو تباث )نمزلا ةدحول نایرسلل يضرعلا عطقملا قرتخی يذلا ءيشلا ةیمك( ةداملا قفدت ،رقتسم بایسنال )ةیرارمتسالا طرش( :59 ةركف𝜎𝑣 :يضرعلا عطقملا نع = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡 ] σ(𝑥) و ةفاسملا ةدحول ةداملا ةفاثك وھ𝑣(𝑥)— بایسنالا ةعرس[. σ نوكتس ةفاثكلا ،بوبنأ يف )ةتباث ھتفاثك( طغضنم ریغ لئاس بایسنال = ρ𝑆 يلاتلابو 𝑣𝑆 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡. غیرفت متی ثیح ءاضفلا نم ةقطنمل HZ :دادزت ةلتكلا — ةعولاب –- قفدتلا

HI= 𝜎𝑣 — اضیأ ةیرارمتسالا طرش اھتیمست نكمی ةلداعملا هذھ.

كاكتحالا لماعم ناك اذإ قالزنالا ةیادب دنع ةركلا ةعرس يھام .قالزنالاب أدبتو ℎ عافترا نم ةیضرألا ىلع طقست ةنرم لاصلص ةرك س.42 .𝑢 تناك ةركلل ةیئادتبالا ةیقفألا ةعرسلا ؟μ يھ ةركلاو ةیضرألا نیب .μ يھ رادجلل ایدومعو ایزاوم لقتنملا عفدلا نیب ةبسنلا نإف ،بلص رادج عم مداصتلا ةرتف لاوط ىلع قالزنا لصح اذإ :60 ةركف𝑝í∆ ،لعفلاب = ∫𝑁(𝑡)𝑑𝑡 )و )ریثأتلا ةدم لك ىلع ةلماكم∆𝑝∥ = ∫𝜇𝑁(𝑡)𝑑𝑡 = 𝜇 ∫𝑁(𝑡)𝑑𝑡.

ℎ ھعافترا نا£ اذإ لتلا ةمق �gإ ة¥@زملا لقنيل énصلا ھلعفي يذلا لغشلا و! ام .ءطبب ةلت دعصي امن)ب ھفلخ لبح ةطساوب ة¥@زم بén �>Aص موقي س.43

.òÈ 𝜇ثلاو ة¥@زملا ن�ب كاFتحالا لماعم نأو ،لتلا ليمل يزاوم امئاد لبA@ا نأ ض�tفا ؟𝑎 ھتمق �gإ لتلا لفسأ نم ةيقفألا ةفاسملاو

نأ تبثأ :ةماعلا ةلاحلا عم لماعتلا كیلع بجوتیس ،ىطعم ریغ نمزلا ىلع دامتعال وأ ددحم حطسل قیقدلا لكشلا ناك اذإ :29 ةقیقح.يطابتعا لكش يأل حیحص ضارتفالا .3 ةركف ىلإ جاتحتس ،29 ةركف قیبطتل ،حوضوب

25

𝛼 ھنالیم ةیواز لئام حطس لوط ىلع قالزنا نودب جرحدتت 𝑀 اھتلتك ةغراف ةناوطسأ س.44 = 45ï. ةلتك عیطتست يلخادلا اھحطس ىلع 𝑚 ةریغص = 𝑀/2 ةیوازلا يھام .ةیرحب قلحزتت نأ β ؟ةلتكلاو ةناوطسألا زكرم نیب لصاولا میقتسملا طخلاو لئاملا حطسلا ىلع يدومعلا نیب ،ةجرحدتم ةناوطسأل ةیكرحلا ةقاطلا بسحن نأ لجأ نم نكل ،6 ةركف ىلع دمتعی لح لھسأ نأ حضاولا نم

K :61 ةركف = Kñ +Mòvñ3/2، ثیح 𝐾X و ةلتكلا زكرم راطإ يف ىرت امك ةیكرحلا ةقاطلا يھ 𝑀ò— لكشب .ماظنلا لتك عومجم وھ 𝑃5 ھباشم = 𝑀ò𝑣X )نأل 𝑃5X ≡ 𝐿5 يوازلا مخزلاو )0 = 𝐿X5555 + 𝑟X × 𝑃5. دمصت )رنیتس( ةیزاوتملا رواحملا ةیرظن: 𝐼 = 𝐼£ + 𝑀ó𝑎3، نیب ةفاسملا يھ a امنیب )𝑠ـل زاوم( ةلتكلا زكرم لالخ روحمل يتاذلا روصقلا مزع يھ 𝐼yو s روحمل ةبسنلاب يتاذلا روصقلا مزع يھ 𝐼 ثیح .نیروحملا

.الیلق رومألا حیضوتب مقنلف اذل ،ةمداقلا ةلأسملا يف يوازلا مخزلا باسحب موقنس𝐿5 ،ةیطقن لتك ىلإ ماظنلا میسقت .يعیمجت يوازلا مخزلا :62 ةركف = ∑ 𝐿5 𝑖، 𝐿5ـلا ةیطقنلا ةلتكلل ھنأ ثیحب ،> < = ��< × ��< )وأ )ماع لكشب

𝐿< = ℎ<𝑝< = 𝑟<𝑝I< )حطس يف ةكرحل(، ℎ< = 𝑟<𝑠𝑖𝑛𝛼< و ةوقلا عارذ يھ 𝑝I< = 𝑝<𝑠𝑖𝑛𝛼< ةیكرحلا ةقاطلا .مخزلل ةیسامملا ةبكرملا يھ، .كلذك نویعیمجت خلإ ،مخزلا لكشب وھ يلاتلابو حطسلا اذھ ىلع يدومع ھجتملا اذھ نإف ام حطس يف ةكرحلا تناكو ،داعبألا يثالث ءاضف يف اھجتم يوازلا مخزلا ناك اذإ ،تامیسج ىلإ مسجلا میسقتب موقن ال نحن :62و 61 نیتركفلا عمج ابلاغ دیفملا نم .)يھاجتالا برضلا كرت اننكمی يلاتلابو( ةیسایق ةیمك لاعف𝐿( ةدلص ماسجأ ىلإ لب = ∑𝐿<(، يتاذلا روصقلا مزع باسحب موقنس 𝐼< ادئاز ةلتكلا زكرمل يتاذلا روصقلا مزع :61 ةركفل اقبط مسج لكل

.ةلتكلا زكرم راطإ يف ساقی امك يتاذلا روصقلا مزع𝑙: w ھلوط بیضق .ةلتكلا زكرمل ةبسنلاب ،ماسجألا ضعبل يتاذلا روصقلا موزع انھ :63 ةركف

w3𝑀𝑙3، 3 :ةبلص ةرك

ô𝑀𝑅3، ةیورك ةرشق:

3�𝑀𝑅3، ةناوطسأ: w

3𝑀𝑅3، علض لوطب عبرم a ھحطس ىلع دماعم روحمو: w

õ𝑀𝑎3.

؛ةیزاوتملا رواحملا ةیرظن مادختساب روحملل ةبسنلاب يتاذلا روصقلا مزع داجیإ )أ( اننكمیف اھنیح ،ةلتكلا زكرم قرتخی ال نارودلا روحم ناك اذإ .)ةلتكلا زكرمل ةبسنلاب يتاذلا روصقلا مزع ةفرعم بحسف يفكی اھنیحو( يوازلا مزعلا وأ ةیكرحلا ةقاطلا باسحل 61 ةركف قیبطت )ب(

ةعرسلا تنا£ ام ةظÅ= 𝜔. @A ھل ةiجتملا ةينارودلا ةعرسلا ،Å= 𝑣 ب)ضقلا ةلتك زكرمل ةiجتملا ةعرسلا .ديل¥@ا fgع قل½1ي 2𝑙 ھلوطو 𝑀 ھتلتك ب)ضق س.45

نرم �tغ مداصتلا )أ نا£ ول مداصتلا دع� ةلتكلا زكرمل ةiجتملا ةعرسلا =Å ام .ھتيا6¶ب اتæثم ادومع ب)ضقلا برض ،ھسفن ب)ضقلا fgع ةيدومع ةلتكلا زكرمل ةiجتملا

.مات لFش� نرم مداصتلا )ب ؛)ةكرA@ا نع تفقوت دومعلا ت²رض n®لا ةيا6¶لا( اتاتب

ةیاھن نوك يھو :رھظیس رخآ فرظ نإف ،نرم ریغ مداصتلا ناك اذإ ؛ةقاطلا ظفح نم ةلداعم ىلع لصحنس ةنورملا مات مداصتلا ةلاح يف نم يتأت ىرخألا ةلداعملا .ناریغتم انیدل ،اذھ عم .ةكرحلا میدع بیضقلا .ریثأتلا ةطقنل ةبسنلاب ظوفحم يوازلا ھمخز نإف ،ءيش عم مسج مداصت اذإ :64 ةركف كرحت اذإ .رفص امھیتوق عارذ :ریثأتلا ةطقن لالخ ناقبطی امھالك نكل ،كاكتحالاو ةیدومعلا ىوقلا ةطساوب رثأتت مسجلا ةكرح مداصتلا ءانثأ ،معن

لظی مداصتلا لبقو دعب اروف نكل ،ریثأتلا ةطقنل ةبسنلاب ریغتلاب يوازلا مخزلا أدبیس دیعبلا ىدملا ىلع امبرف ،ھباش ام وأ ةیبذاج لاجم يف مسج الف ،يرفص ریغ ةیبذاجلا ةوق عارذ ناك اذإ ىتح ؛رمعلا ةلیئض اھنكل ةیوق يھ يتلا ةیدومعلا ىوقلاب ةنراقم ةیافك ةیوق تسیل ةیبذاجلا( ھسفن .)ةظحل يف يوازلا مخزلا رییغت اھنكمی

توفی مداصتلا نأ املاط ىذأتت دق برضملل ةلماحلا دیلا نإف ،برضم ةطساوب — ةرانإ دومع لثم — ادلص ائیش ام صخش برض اذإ س.46 ضرتفت نأ عیطتست .ةفاثكلا مظتنم برضمل عاقیإلا زكرم عقوم ددح .)زكرملا اذھ لفسأ وأ ىلعأ امإ برضیو( برضملل عاقیإلا زكرمب ىمسی ام .ةلماحلا دیلا لوح رودی برضملا ناك مداصتلا ءانثأ ھنأ

26

.اجذومن عنصا ،رخآ ىنعمب — تایضایرلاو ءایزیفلا ةغل ىلإ ةیعقاو ةلأسم لوح :7 ةقیرط دحأ وھ—ةلأسملا ةجذمن يأ—ةقیقحلا ةایحلا تاھویرانیس لیوأتو لیوحت ،لاح لك ىلع .فدھلا ةمیدع ةقیرطلا هذھ ودبت دق ،لكشلا اذھب ةغاصم اھل ةیرحلا هذھ ،كلذ عم .ةفورعم راكفأب دوجوم جذومن لح نم رثكأ ةیعادبإ ةیرح رفوی ھنأل قوشم وھ .اقیوشتو ایدحت ءایزیفلا بناوج مھأ

ایلقع ءاوس لحلل الباق جذومنلا نوكی نأ لضفملا نمو ةیقطنم نوكت نأ بجی تابیرقتلا ،نكمی ام لضفأب عقاولا فصی نأ بجی جذومنلا :دودح أدبنل .ادیج اضارتفا نوكیس دق امل تاحیملت كلانھ دجوی :ھطیسبت مت لمعلاو ةیقبتم ةریثك ةیرح دجوت ال ،ةاطعم ةلأسمل .بساح ةطساوب وأ نم 𝑥 دعب ىلع .بیضقلا ىلع دماعم نارودلا روحم ،𝜔 ةیواز ةعرسب ھیتیاھن دحأ لوح رودی ةمظتنم ھتفاثك 𝑙 ھلوط دلص بیضق ’’:ةمجرتلاب ؟نرم ریغ مأ نرم مداصتلا لھ :ىلوألا ةبقعلا ھجاون نآلا ’’.دومعلاب بیضقلا مدطصی .نارودلا روحمل يزاوم ةكرحلا میدع دومع دجوی روحملا لاؤسلا ھجاون نآلا .)ةلاحلا يھ هذھ نأ رھظی( ءيشلا اذھ ضارتفا نودب لحلل لوصولا اننكمی امبر :نآلل ھكرتنل .لاؤسلا صن يف اذھ ركذ متی مل ةرتف ءانثأ اندی نم اعفد ىقلتیس ءيشلا اذھ ناك اذإ—اندی ام ءيش برضی امدنع ىذأتنس اننأ ملعن نحن ؟"ىذأتت" ال دیلا نأ ينعی اذام :يزكرملا اذھب .دیلا نم عفد يأ يقلت نودب فقوتت نأ بجی برضملا ةیاھن نإف اذل ،ةرقتسم دیلا .ةریبك ةوق ثادحإ ىلإ يدؤیس امم ،ةریغصلا مادطصالا0 ،نارودلا سكعنیس ،مادطصالل اعبت ’’ :لمتكا دق انیلوأت ≥ 𝜔] ≥ −𝜔دجوأ .برضملا ىلع عفدب رثؤی ال نارودلا روحم مادطصالا ءانثأو ؛ 𝑥.‘‘ 64 ةركف مادختسال حملت ةریخألا لبق ةلمجلا.

ل .ةناوطسألا طيحم لوط fgع هرفح مت 𝑎 قمع� قيض دودخأ .ةيضرألا fgع يقلتس�𝑅 ا!رطق فصنو 𝑀 ا6°لتك ةليقث ةناوطسأ س.47

متو دودخألا لوح طيخ ف

àAا ھتيا6¶ب ھب@Aش� ،ةرFةوقب يقفأ ل 𝐹. س عراس� يأب .ةناوطسألا لفسأ نم كفني طي¹@ا نأ ثيحب ةناوطسألا عضو مت� ن�ب كاFتحالا ؟ھب ةكرA@ا ةناوطسألا أدب

.قالزنا يأ لصحي ال ¯®ح ةيافك يوق ةناوطسألاو ةيضرألا

.ةیتآلا ةركفلا مادختساب مقنل نكل ،ةلأسملا هذھ لحل ةریثك قرط كلانھ𝐼𝜀 ةقالعلا :65 ةركف = 𝑀 امدنع ةحلاص اضیأ نوكت اھنأ رھظ ،لاح لك ىلع ؛ةكرحلا میدع نارودلا زكرم ناك اذإ بسحف حوضوبو ةحلاص .)يورك وأ يناوطسأ مسج ةجرحد دنع لثم( ریغتت ال ةلتكلا زكرمو روحملا نیب ةفاسملا نأ ثیحب ایلاقتنا كرحتی يظحللا نارودلا روحم نوكی

𝐾 ،لغش لمع متی امدنع رھظت ةیكرحلا ةقاطلا :6 ةركف ركذت ،ةركفلا هذھ تبثن ىتح = w3𝐼𝜔3 = 𝑀𝜑 )φ مسجلا نارود ةیواز يھ،

𝜔 = 𝑑𝜑/𝑑𝑡(. يظحللا نارودلا روحمل ةبسنلاب يتاذلا روصقلا مزع ناك اذإ 𝐼 نإف ،نمزلا ىلع دمتعی ال

H÷HI=

¥�øHù

�

HI= 𝐼𝜔𝜀 = H�ú

HI= 𝑀𝜔.

𝑥 ةقطنملا يف يقفأ حطس لوط ىلع ةرك جرحدتت س.48 < £�� ةھجتم ةعرسب 0 = (𝑣=£, 𝑣ã£). ةقطنملا يف 𝑥 > لقان مازح دجوی 0𝑢5 ةھجتم ةعرسب كرحتی = (0, 𝑢) )ھتفاحل ایزاوم 𝑥 = �� ةركلل ةھجتملا ةعرسلا دجوأ .)0 = (𝑣=, 𝑣ã) ىلع جرحدتت نأ دعب مازحلل ةبسنلاب .حطسلا ىوتسم سفن ىلع عقیو )قلزنت ال ةركلا( نشخ لقانلا مازحلا حطس .مازحلا عقی يطابتعا روحم يأل ةبسنلاب ظوفحم يوازلا مخزلا نإف ،يقفأ حطس ىلع قلزنت وأ جرحدتت يتلا ةیوركلا وأ ةیناوطسألا ماسجألل :66 ةركف .حطسلا ىوتسم يف يفاصلا مھمزع نأ ىنعمب ،رفص مھتلصحمو اھسفن ىوقلا ھیلع عقت يذلا طخلا سفن ىلع عقت ةیبذاجلاو ةیدومعلا ةوقلا اھیلع رثؤت يتلا طاقنلا ،معن

.رفص ىوتسملا سفن يف روحمل ةبسنلاب اھتوق عارذف اذھلو ،حطسلا ىوتسم يف عقت كاكتحالا ةوق ؛كلذك رفص

لك ةعرس ،ضعبلا امھضعب هاجتاب ناقلزنی مھنم نانثا .𝑘 هءوسج كربنزب ناتلصومو 𝑚 امھتلتك نیترك نم نوكتی "يكربنز لبمد" س.49 لكشب ةنرم تامداصتلا ؟ىرخأ ةرم 𝐿 امھنیب ةفاسملا نوكتس نمز يأ دعب .)لكشلا ىلإ رظنأ( 𝐿 امھنیب ةفاسملا تناك ام ةطقن يف .𝑣y امھنم .مات

ماسجألل مداصتلا ةدم نوكت اھنیحف ،ىرخأ ماسجأ عم خلإ ،طویخ ،تاكربنز ةطساوب ةلصوم ،ةنرم ماسجأل نمضتم ماظن لعافت اذإ :67 ةركف ةنرم ماسجأل ایظحل نوكی داكی مداصت الوأ :طسبأ لحارم ىلإ ةلماك ةیلمعلا میسقت نذإ نكمی .ىرخألا تایلمعلل زیمملا نمزلا نم ریثكب لقأ ةنرملا وأ ،ھلبق وأ( هدعب يتأی امو )ينورم مداصت يف ةلوذبملا ةوقلاب ةنراقم ةربتعم ریغ ةوق لذبی كربنزلا نأ ثیح ةرح ةلحرم اھرابتعا نكمی هذھ( .خلإ ،كربنزلا بذبذت لثم :ةئیطب تایلمع نم )تامداصتلا ءانثأ

27

ماظنلا يف لصحت )ةیظحل داكلاب( ةفطاخ تایلمع انیدل ناك اذإ اعفان نوكی نأ نكمی طسبأ تاوطخ ىلإ ةیلمعلا ئیزجت ،ةماع ةركف هذھ :ظحالم .)53 ةركف كلذك ركذت( ةمداقلا ةلأسملا ىلإ لاثملا لیبس ىلع رظنأ ؛يكیمانیدلا

يھ ضوحلا نالیم ةیواز .)لكشلا ىلإ رظنأ( 𝑅 هرطق فصن يناوطسأ ضوح لوط ىلع كاكتحا نودب قلزنت ةریغص لمر تابیبح س.50𝛼. ةطقنلا برقب أدبتو ةیرفص ةیئادتبا ةعرس اھل تابیبحلا لك 𝐴 )ةطقن دنع ةرورضلاب سیل نكلو 𝐴 ضوحلا لوط ىلع بجوتی اذام .)اھسفن ؟)ضوحلا ةرخؤم دنع طبضلاب يأ( 𝐵 ةطقنلا دنع ھنم جرختس تابیبحلا لك نأ ثیحب نوكی نأ

ةیدومع ةكرح يأ( ةیزازتھا ال ةكرحو فورعم هاجتا يف زازتھا ىلإ اھمیسقت نكمی تامیسجلا نم ةرشتنم ةعومجم ةكرح تناك اذإ :68 ةركف .2𝜋 تافعاضم نم وأ ارفص تامیسجلا لكل زازتھالا روط نوكی امنیح :طاقنلا ضعب دنع ةزكرم نوكتس تامیسجلا نإف ،)زازتھالا ىلع

لوطألا علضلا ناك ىلوألا نیتلاحلا يف .لكشلا ىوتسم يف ةریغص ةعسب بذبذتی مظتنم ریغ يلتك عزوت وذ كلس نم عونصم قالعم س.51 .يرودلا نمزلاو ةلتكلا زكرم عقوم دجوأ .يواستم يرودلا نمزلا ةثالثلا تالاحلا لك يف .ایقفأ

ةریغص تابذبذتل هددرت قاقتشا لھسلا نم .يئایزیفلا لودنبلاب تبثم روحم لوح بذبذتی يذلا يھتنملا مجحلا وذ دلصلا مسجلا فرعی :ةمولعم𝐼�� ةقالعلا ةطساوب = −𝑚𝑔𝑙𝜑، ثیح 𝐼 و بذبذتلا روحمل ةبسنلاب يتاذلا روصقلا مزع وھ 𝑙 روحملا اذھ نع ةلتكلا زكرم دعب وھ: 𝜔�3 =

øZêü

= øýZêü

+ 𝑙/𝑔 )ةفاسملا وھ يئایزیفلا لودنبلل لزتخملا لوطلا .)61 ةركف ىلإ رظنأ ،ةیزاوتملا رواحملا ةیرظن انھ انفظو 𝑙þ = 𝑙 +

𝐼y/𝑚𝑙 يئایزیفلا لودنبلا ددرتك ھسفن وھ لوطلا اذھب يضایر لودنب بذبذت ددرت نأ ثیحب. ىلإ نارودلا روحم انكرح ول اننإف ،نارودلا زكرم ىلع فقت ھیتیاھن دحأو ةلتكلا زكرمب رمی ھنأ ثیحب 𝑙þ ھلوط امیقتسم اطخ انمسر اذإ :69 ةركف عضو نكمی يتلا طاقنلا ةعومجم :جاتنتسالا .میدقلا لثم نوكیس دیدجلا ددرتلا نإف ،)رقتسم نازتا ىلإ لصی مسجلا انلعجو( طخلل ىرخألا ةیاھنلا .ةلتكلا زكرم لوح زكرملا يتدحتم نیترئاد نمضتت بذبذتلا ددرت رییغت نودب اھیلع نارودلا زكرم𝑙þ لزتخملا لوطلل يأ( ω ىطعملا ددرتلل طبترملا 𝑙 لوطلا داجیإل ةیعیبرت ةلداعمك اھتباتك ةداعإ نكمی هالعأ ةلداعملا :تابثإلا = 𝑔/𝜔3(:

𝑙3 − 𝑙𝑙þ + 𝐼y/𝑚 = 𝑙w ناققحی 𝑙3و 𝑙w نالحلا ،اتیف تاقالعل اقبط .0 + 𝑙3 = 𝑙، نذإف 𝑙w و𝑙3 = 𝑙þ − 𝑙w ةبذبذلا ددرت سفن ناجتنیس.

ρ اھتفاثكو 2𝑚𝑚 اھرطق فصن ةیندعم ةرك س.52 = 3000kg/𝑚� عراستب ارح اطوقس ءاملا يف كرحتت 𝑎y = 0.57𝑔. ءاملا ةفاثك لمھأ ؛نیتلاحلا الك يف يقبط قفدتلا نأ ضرتفا ؟ءاملا يف 1𝑚 اھرطق فصن ةیورك ةعاقف ھب عفترتس عراست يأب .�1000𝑘𝑔/𝑚 يھ .كاكتحالا )ب( ؛كرحتیس مسجلل بیرقلا عئاملا طقفف ،)تاماود ال( ایقبط قفدتلا ناك اذإ )أ( .اضیأ كرحتیس عئاملا نإف ،عئام يف مسج كرحت اذإ :70 ةركف .مسجلا ةعرس سفن يھ كرحتملا عئاملل ةزیمملا ةعرسلا نیتلاحلا الك يف .مسجلا ءارو برطضم لیذ نوكتیسف ،ابرطضم قفدتلا ناك اذإ𝐾 ماظنلل ةیكرحلا ةقاطلا )أ( ةلاح يف ھنأ دجنس 6 ةقیرط مادختساب = w

3𝑣3(𝑚 + 𝛼𝜌y𝑉)، تباثلا ثیح 𝛼 يذلا مسجلا ةسدنھ زیمی مقر وھ

مسجلا برقب لئاسلل ةزیمملا ةعرسلا نأ ةظحالمب ریبعتلا اذھ ىلع انلصح .)ھسفن مسجلا مجحب ةنراقم( كرحتیس يذلا عئاملا ةقطنم ىدم نع ربعی نع ةجتانلا ةردقلا نإف ،ام مسج ىلع 𝐹 ةوق تلذب اذإ .ھسفن مسجلا مجح نوكیل برق لئاسلا اھیف كرحتی يتلا ةقطنملل زیمملا مجحلا نأو ،𝑣 يھ𝑃 يھ ةوقلا هذھ = 𝐹𝑣 = H÷

HI= 𝑣𝑎(𝑚 + 𝛼𝜌y𝑉). يلاتلاب 𝐹 = 𝑎(𝑚 + 𝛼𝜌y𝑉): رادقمب تدادزا مسجلل ةلاعفلا ةلتكلا 𝛼𝜌y𝑉. يف

.ةلأسملا نم لوألا فصنلا يف ةاطعملا فورظلا ةطساوب هداجیإ نكمی يوركلا مسجلل 𝛼 تباثلا ،هالعأ ةلأسملا𝐾 نأ دجنس ،ةتباث مسجلا ةعرس نأ انضرتفا اذإ ،)ب( ةلاح يف = w

3𝑣3𝜌y(𝛼𝑆𝑣𝑡)، ثیح 𝑆 مسجلل يضرعلا عطقملا ةحاسم يھ

نأ داجیإ لھسلا نم ،انھ نم .مسجلا فصت اددجم 𝛼 ـلا هذھ .برطضملا لیذلل يضرعلا ضرعملا ةحاسم يھ 𝛼𝑆 و

28

𝐹𝑣 = H÷HI= "

3𝑣�𝜌y𝑆، يطعیس يذلا"

3𝑣3𝜌y𝑆 𝐹 =.

نیرایتلا نم لك تاعرس دجوأ .راسیلاو نیمیلا ىلإ نیبھاذ نیریغص نیرایت ىلإ مسقنیو 𝑣 ةعرسب ةیلفس ةانق ىلع طقسی ءاملا نم رایت س.53 نیرایتلا عم نمزلا ةدحو يف نیتلوقنملا ءاملا يتیمك نیب ةبسنلا يھام .)نینوكتملا نیرایتلاو( ةانقلا نع α ةیوازب لئام مداقلا رایتلا ناك اذإ ؟نیجراخلا

.قئاقحلاو راكفألا نم ضعب حرطب الوأ مقنل .ةبعص ةلأسم هذھ𝑝 :ادعاسم نوكی ام ابلاغ )ةقاطلا ظفح يأ( يلونریب نوناق ،لئاس بایسنال :71 ةركف + 𝜌𝑔ℎ + w

3𝜌𝑣3 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡، ثیح 𝑝 طغضلا وھ

.ةطقنلا هذھ يف بایسنالا ةعرس يھ 𝑣و ةربتعملا ةطقنلا عافترا وھ ℎ ،يكیتاتسلا .يجراخلا طغضلل ایواسم يكیتاتسلا طغضلا نوكی رحلا ھحطسل برقلاب لئاسلا لخاد :30 ةقیقح :يتآلا جاتحن ،ةلأسملا نم يناثلا فصنلا لحن ىتح :)ماظنلا نم جرختو لخدت ةداملا نم ةنیعم تایمك( ةحوتفملا ةمظنألل ةحلاص حبصت ثیحب اھمیمعت نكمی 46 ةركف :72 ةركف

�� = Hâ5HI+Φ555 â<z −Φ555 ây$I، ثیح Φ555 â<z وΦ555 ây$I نم جراخلاو لخادلا مخزلا ةلصحم ،رخآ ىنعمب( جراخلاو لخادلا مخزلا اقفدت امھ

.)يلاوتلا ىلع ماظنلا ماظنلا نم جراخلا/ ىلإ لخادلا لئاسلا مجح( قفدتلا لدعم عم 𝜌�� ةیمجحلا مخزلا ةفاثك برض لصاحك ھباسح نكمی باسنم لئاسل مخزلا قفدت .)نمزلا ةدحول

لخادلا قفدتلا لدعم طبرب انل حمسیس اماظن نوكیس ،حوضوب ؟ةلاحلا هذھ يف هرابتعا انیلع بجوتی يذلا حوتفملا ماظنلا وھ ام𝜇(𝑘𝑔/𝑠) ةجراخلا تاقفدتلا عم 𝜇ü, 𝜇R رایتلا اھیف مسقنی يتلا ةقطنملا نمضتت يتلا ءاضفلا نم ةریغص ةیلیخت ةقطنم :هالعأ ةلداعملا مادختساب

.نینثا ىلإ قفدتلا ىلع )قفدتلا دحت يتلا ناردجلا انمضتم( رایتلا ىرجم ةطساوب ةلوذبملا ةوقلا ةبكرم نإف ،ةجوزللا لامھإ انناكمإب ناك اذإ :31 ةقیقح .رفص ناردجلا هذھل ةیزاوملا

هایملا قمع نم ربتعم لكشب ربكأ يجوملا لوطلا ناك اذإ ةلحض هایملا ربتعت .ةلحضلا هایملا يف ةریغصلا تاجوملا راشتنا ةعرس دجوأ س.54𝐻. تامیسجلا عیمجل ةیقفألا ةعرسلا نوكت يسأرلا يضرعلا عطقملا لوط ىلع ھنأ ضارتفا اننكمی اذھ لضفب 𝑣å ةیقفألا ةعرسلا نأو اھسفن يھ نأ ضارتفاب انل حمسی اذھ .هایملا قمع نم اریثك رغصأ اھتاعافترا نأ ينعی تاجوملا رغص .ةیسأرلا ةعرسلا نم اریثك رغصأ ءاملا تایمسجل .𝑢 ،ةجوملا ةعرس نم اریثك رغصأ ءاملا تامیسجل ةیقفألا ةعرسلا ھیف نوكت يعجرم ماظن رایتخا يھ )تباث لكش يذ رخآ بیكرتل وأ( ةجومل )ىرخأ ةیصاخ وأ( راشتنالا ةعرس داجیإل ةیسایق ةقیرط :73 ةركف ةقاطلا ظفح ةنیعم تالاح يف .نادمصی )يلونریب نوناق لكش يف( ةقاطلا ظفح )ب(و )59 ةركف( ةیرارمتسالا )أ( ،راطإلا اذھ يف .ةنكاس ةجوملا .ىوقلا نازتاب ھلادبتسا نكمی ).ةنرتقملا ةیئزجلا ةیلضافتلا تالداعملا نم ماظن لحو يطخلا لكشلل تاریغتملا لیوحت يھ ةلیدب ةقیرط(

𝑚 اھتلتك ةریغص ةرك س.55 = 1𝑔 مسجلا ةلتك .مسجو رادج عم اینورم ةمداصتم ابایإو اباھذ ةقلحزتم ،معان حطس لاوط ىلع كرحتت 𝑀 يھ يلیطتسملا = 1𝑘𝑔، يھ ةركلل ةیئادتبالا ةعرسلا 𝑣y = 10𝑚/𝑠. ةركلا نیب ةفاسملا اھیف نوكت يتلا ةظحللا دنع ةركلا ةعرس يھام ؟اھنیح ةركلا ةطساوب رادجلا ىلع ةرثؤملا )نمزلل ةبسنلاب( ةوقلا طسوتم ریغتیس ةرم مكب ؟ةیادبلا يف ھیلع تناك امع تفعاضت رادجلاو 𝐼 يتابایدألا تباثلاب ىمسی ام اھنیحف ،)يرودلا نمزلاب ةنراقم( ءطبب ماظنلا تالماعم ریغتت ثیحب ،ةھباشم ةیددرت ةكرح تدجو اذإ :74 ةركف يثادحإلا يھ ھتایثادحإو( روطلل ينایبلا مسرلاب ىمسی ام ىلع ماظنلا راسم ةطساوب عونصم قلغم طیحم لخاد ةیوطنملا ةحاسملا ھنإ :ظوفحم .)=𝑝 مخزلاو 𝑥 يناكملا,𝑝=(𝑡) )روطلا راسمب ىمسی ام( )يرتماراب( يطیسو ىنحنمك عنص قلغملا طیحملا .انھ ةقد رثكأ نكنل 𝑥(𝑡) لالخ ماظنلا ةكرح عبتتب انمق اذإ

عفترت اظوفحم ھنوك ةقد نكل ،مامتلاب اظوفحم سیل يتابایدألا تباثلا .ةكرحلا هاجتا حضوی مھس عم ةداع مسری روطلا راسم .𝑇 دحاو يرود نمز .ماظنلا تالماعم ریغتل زیمملا نمزلا وھ 𝜏 ثیح ،𝜏/𝑇 ةبسنلا تعفترا ام اذإ

ددمتلا نوناق عم ةیضاملا ةلأسملا ةجیتن نراق( تازاغلا يف يتابایدألا نوناقلا نم :ءایزیفلا يف الاعف ارود بعلی يتابایدألا تباثلا

29

تناك اذإ ظوفحم—تانوتوفلا لثم—ماظنلا يف تامكلا ددع( مكلا اكیناكیم يف ىتح ھقیبطت نكمیو )!ةدحاو ةیرح ةجرد وذ يلاثم زاغل يتابایدألا .)ءطبب ریغتت ماظنلا تالماعم

ةعجارم لئاسم 5

90 يھ بیضقلاو طئاحلا نیب ةیوازلا نأ ثیحب يسأر طئاح ىلع هدانسإ مت سناجتم میقتسم بیضق س.56 > 𝛼. میق يأل 𝛼 بیضقلا حبصیس كاكتحا لماعمب نشخ رادجلاو ةقلز ةیضرألا )ب ؛𝜇 كاكتحا لماعمب ةنشخ ةیضرألاو قلز طئاحلا )أ :نیھویرانیس ربتعا ؟هدانسإ دنع ارقتسم𝜇.

.اصعلا لوط ىلع الوزن فحزت نأ ةرشح دیرت .ةیقفأ ةیضرأ ىلع ىرخألا ةیاھنلاو يسأر رادج ىلع اھیتیاھن دحأب دنتست ةفیفخ اصع س.57 ةیوازلا ،𝑙 وھ اصعلا لوط ،𝑚 يھ ةرشحلا ةلتك ؟اصعلل ةیولعلا ةیاھنلا ةطقن نیبو اھنیب ةفاسملا ىلع دمتعی نأ ةرشحلا عراست ىلع بجوتی فیك𝜇( ناقلز ةیضرألاو رادجلا نم لك ؛ةلمھم اصعلا ةلتكو 𝛼 يھ اصعلاو ةیضرألا نیب = عم اصعلا ةیاھنل لصت ىتح تقولا نم ذخأتس مك .)0 ؟)نوكسلا نم( ةطقن ىلعأ يف تأدب اھنأ ملعلا

ھنكمیو ،بقثلا اذھ يف بیضق عضو مت .فقسلا يف ةقلز ھناردج بقث دجوی .يقفأ حطس ىلع عقیو 𝛼 ةیواز عنصت ھتمدقم نیفسإ انیدل س.58

ةدیحولا ةطقنلا يھ سمالتلا ةطقنو ؛نیفسإلا عم بیضقلا سمالتی .امئاد ایسأر هروحم نوك عم ،كاكتحا نودب لفسألا ىلإو ىلعألا ىلإ كرحتی نأ ربع ،بیضقلا ءارو ام ،مامألا ىلإ نیفسإلا عفد نكمملا نم نوكیس 𝜇 نم میق يأل .𝜇 كانھ كاكتحالا لماعم نوكی ثیحب ،كاكتحا اھیف دجوی يتلا ؟بسحف ةیفاك ةیقفأ ةوق قیبطت

ةلئام ةحیفص انیدل تبثم يسأر حطس لباقم .هاندأ ضرعیس اھجذومنو ،طئاحلا ىلع اھریغو توصلا قیلعتل ةادأ مدختست نایحألا ضعبس.59 قبطلا عضو .اھیف لیحن قبط عضو نكمی ةحیفصلاو حطسلا نیب غارف دجوی .𝛼 حطسلا نیبو اھنیب ةیوازلا نوكت ثیحب ،كیرحتلل ةلباق ریغ كرحتلا اھنكمی 𝑚 اھتلتك ةناوطسأ انیدل قبطلاو ةحیفصلا نیب ناكملا يف .ارفص امھنیب كاكتحالا لماعم رابتعا نكمی ؛يسأرلا حطسلا لباقم ماكحإب نیحطسلا نیذھ ىلع كاكتحالا لماعمو قبطلاو ةحیفصلا نم لك ىلع عقت ةناوطسألا .ةربتعملا حطسألل ایزاومو ایقفأ اھروحم نوكی ثیحب ،ةیرحب ؟ھتلتك نع رظنلا ضغب طقسی نل قبطلا نأ دكؤملا نم نوكیس كاكتحالا تالماعمل میق يأل .يلاوتلا ىلع 𝜇3و 𝜇w امھ

30

؟ارقتسم حولل يقفألا عقوملا نوكیس ةناوطسألل 𝑅 رطق فصن يأل .ℎ ھكمسو 𝑙 ھلوط ،يقفأ اھروحم ةناوطسأ ةمق ىلع حول عضو س.60

عضوو بقع ىلع اسأر بلق ،ءاملاب امامت ةءولمم ةیورك فصن ةرفح ھیفو 𝑅 اھرطق فصن يواسی اھعافترا ةناوطسأ لكشب ءاعو س.61 فاوح تحت نم ءاملا ضعب برستی .ءاعولا ةرخؤم يف ریغص بقث كلانھ دجویو 𝑅 وھ ةیورك فصنلا ةرفحلا رطق فصن .يقفأ حطس ىلع نم ةحیرشل مجحلا ةلداعم مدختسا ،يرورضلا نم ناك اذإ ؟𝜌 ءاملا ةفاثكو 𝑚 ءاعولا ةلتك تناك ول ،يقبتملا ءاملا عافترا نوكیس مك .ءاعولا𝑉 :)لكشلا ىلإ رظنأ( ةرك = 𝜋𝐻3(𝑅 − %

�).

برق ھنع روحملا دنع ءاملا حطس عافترا فلتخی مكب .𝜔 ةیواز ةعرسب هروحم لوح رودی 𝑅 هرطق فصن يسأر يناوطسأ ءاعو س.62 ؟ءاعولا فاوح

𝑚 ةریغص ةلتك ىلإ مسجلا فاوح دحأب ةرام ھیتیاھن دحأ نم رادجلا نم دتمی طیخ انیدل .سلمأ يقفأ حطس ىلع عقت 𝑀 ھتلتك مسج انیدل س.63 𝛼 ةیوازلا لظتس ةلتكلا نیب ةبسن يأل .ماظنلا قالطإ مت اھدعب .ةتبثم لتكلا تناكو ادودشم طیخلا ناك ةیادبلا يف .يسأرلا عم 𝛼 ةیواز عنصت ؟ةجتانلا ةكرحلا لاوط ةتباث

𝜇( ناسلمأ نالئام ناحطس انیدل س.64 = ،ةلباقتم نالیملا حطسأ ،ةیزاوتم امھبناوج نوكت ثیحب اعضو 𝛼 نالیملا ةیواز سفن امھل )0

دحأو ضعبلا امھضعب نامعدی ثیحب ،ينیفسإ لكش وذ مسجو ةناوطسأ نیحطسلا نیذھ ىلع عضو .)لكشلا ىلإ رظنأ( امھنیب طیسب قراف دجویو .امھنیب لعافتلا ةوق دجوأ ؟مسجلاو ةناوطسألا نم لك كرحتتس عراست يأب .𝑀و 𝑚 يھ يلاوتلا ىلع لتكلا .ةیقفأ مسجلا بناوج

ثیح ،ىطسولا ةناوطسألا برق لصفم دجوی ثیحب ،ةلتكلا ةمیدع نابضق قیرط نع ضعبلا اھضعبب تلصو ةریغص تاناوطسأ ثالث س.65 دجوأ .4𝑚 ةلتك اھل بناجلاب يتلا ىرخألاو 𝑚 ةلتك امھل ناتناوطسأ .ةمئاق ةیوازلا هذھ تناك ةیادبلا يف .ةیحیرأب نیبیضقلا نیب ةیوازلا ریغتت .كاكتحالا لمھأ .ةرشابم ةكرحلا ءدب دعب ةلیقثلا ةناوطسألا عراست

31

اھتلتك ةریغص ةرك انقلع .دومعلا لوط ىلع قالزنالا ھنكمی 𝑚 ھتلتك ریغص متاخ انیدلو .قفألا عم α ةیواز ىلع اسلمأ ادومع انعضو س.66𝑀 ؟اروف اذھ دعب ةركلا عراست وھ ام .متاخلا قالطإ مت اھدعب .ایسأر طیخلا ناكو ،ھب اكسمم متاخلا ناك ةیادبلا يف .لیوط طیخ ةطساوب متاخلاب

اھناكم يف ةتبثم ةركلا .حطسلاب لاصتالا مسجلا اذھ ھیف رسخیس يذلا عافترالا دجوأ .يورك حطسل ةطقن ىلعأ دنع قالزنالاب مسج أدبی س.67 .كاكتحا يأ دجوی ال ؛𝑅 وھ اھرطق فصنو

𝑥 ةفاسم دنع تتبث 𝑚 اھتلتك ةریغص ةرك .2𝑙 ھلوط ةلتكلا میدع بیضق انیدل س.68 = 𝑙 ىلع ھیتیاھن دحأب نكاس بیضقلا .ایلعلا ھتیاھن نع ةركلا اھب رثؤت يتلا ةوقلا دجوأ )أ( .رادجلا نع ادیعب 𝑣 ةتباث ةعرسب ةیضرألا ىلع يتلا ةیاھنلا تكرح .ةیضرألا ىلع ىرخألا ھتیاھنو رادج𝛼 بیضقلاو رادجلا نیب ةیوازلا نوكت امدنع بیضقلا ىلع = 45yتناك اذإ باوجلا وھام )ب( ؛ 𝑥 ≠ 𝑙؟

ناك ةیادبلا يف .بیضقلا ةیاھنب تلصو m اھتلتك ةریغص ةرك كلانھو ؛لصفم ةطساوب يقفألا حطسلاب لصو 𝑙 ھلوط فیفخ بیضق س.69 ةظحللا دنع—بعكملا حطس عم اھسمالت ةركلا تدقف نیعم تقو دعبو ،ارح ماظنلا كرت مت .M ھتلتك ابعكم سملت ةركلا تناكو ایسأر بیضقلاα ةیواز بیضقلا اھیف عنصی يتلا = π/6 نیتلتكلا نیب ةبسنلا دجوأ .يقفألا عم M/m ةعرسلاو 𝑢 لاصفنالا ةظحل دنع بعكملل.

ةفاح دنع تعضو ةركب لوح دتمیو 2𝑙 طیخلا لوط .قباطم رخآ مسجل طیخ ةطساوب لصوم وھو ةلواط ةفاح نم 𝑙 دعب ىلع مسج عقی س.70 لصیس لھ :الوأ لصحیس يذلام .يناثلا مسجلا قالطإ مت اھنیح .دشلا تحت طیخلا نوكی ثیحب ةلواطلا قوف ھكاسمإ مت لوألا مسجلا .ةلواطلا ؟ةلواطلاب مدطصیس لوألا مسجلا نأ مأ ةركبلا ىلإ يناثلا مسجلا

32

لكشب اقلز دیلجلا ناك اذإ صرقلا ھعبتیس راسم يأ .𝑢 ةیلاقتنا ةعرسو 𝜔 ةیواز ةعرس يطعأ نیمظتنم ةفاثكو كمس وذ يكوھ صرق س.71𝜔 نوكت امدنع :رثكأ قلزنیس ةلاح يأ يف ؟ناكم لك يف واستم = 𝜔 نوكت امدنع وأ 0 ≠ ؟اھسفن 𝑢 نیتلاحلا الك يف ھنأ ضارتفاب ،0

ةلتكلا میدع بیضق ربع 𝑚 اھتلتك ىرخأ ةریغص ةركب تلصو امك ،ادج لیوطو ةلتكلا میدع طیخ ةیاھنب قلعتت 𝑀 اھتلتك ةریغص ةرك س.72 عم عافترالا سفن ىلع حبصت ىتح عفترت نأ لجأ نم ةیلفسلا ةركلل اھءاطعإ مزاللا ةیقفألا ةعرسلا يھ ام .انزتم ماظنلا ناك ةیادبلا يف .𝑙 ھلوط .بیضقلا لوطب ةنراقم لمھم نیتركلا اساقم ؟ةیولعلا ةركلا

ىلوألا نیب لصی طیخ انیدل .𝑚 ىرخأ ةلتك ةریخألا قوفو ،𝑚 ىرخأ ةلتك ةلتكلا هذھ قوف .سلمأ يقفأ حطس ىلع عقت 𝑚 ةلتك انیدل س.73 .𝜇 لتكلا نیب كاكتحالا لماعم ؟ةیناثلا ةلتكلا عراست وھ ام .𝐹 ةوقب اھبحس متی ةركب لوح دتمی ثیحب ةثلاثلاو

ھعفدب ماقو رخآلا يبصلا وحن ایراج عارسإلاب موقی اذل .جلثلا ىلع فقیو ھتلتك نم ربكأ 𝑀 ھتلتك رخآ يبص عفد دیری 𝑚 ھتلتك يبص س.74

كاكتحالا لماعم ،𝑣 يھ يرجلل ىمظعلا ةعرسلا ؟ةقیرطلا هذھب اھعفد اھب نكمی يتلا ىمظعلا ةفاسملا يھام .نیفقاو اھیف الظی نأ نكمی ةدم ربكأل .𝜇 وھ جلثلاو نییبصلا نم لك نیب

ةیضرأ ىلع عقت بیضقلل ةیلفسلا ةیاھنلا .فقسلا يف 𝐴 ةطقنب لصوم )كلذك 𝑙 ھلوط يذلا( ةلتكلا میدع طیخب تبث 𝑙 ھلوط مظتنم بیضق س.75𝑙 ثیحب ،𝐻 وھ 𝐴𝐵 لوط .𝐴 ةطقن لفسأ ةرشابم عقت 𝐵 ةطقن دنع ءاسلم < 𝐻 < 2𝑙. ةعرسلا دجوأ ؛نوكسلا نم قالزنالاب بیضقلا أدبی ىمظع بیضقلا ةعرس اھیف نوكت يتلا ةظحللا دنع طیخلا يف دشلاو بیضقلا زكرم عراست دجوأ كلذك .ةقحاللا ةكرحلا ءانثأ ھتلتك زكرمل ىمظعلا .𝑚 ھتلتك تناك اذإ

قالزنالاب تأدب مث ةیسأر اصعلا تناك ةیادبلا يف .طئاحلا ىلع ىرخألاو ةیضرألا ىلع اھیتیاھن دحأب ةنكاس ةفاثكلا ةمظتنم اصع انیدلس.76 لمھأ ؟رادجلل اھتسمالم اھیف رسختس يتلا ةظحللا دنع رادجلاو اصعلا نیب ةیوازلا يھام .نیدعب يف نوكتس ةجتانلا ةكرحلا نأ ثیح نوكسلا نم .كاكتحالا

33

بیضقلا اھیف نوكی يتلا ةظحللا دنع .𝜔 ةیوازلا ھتعرس ،𝑣 بیضقلا ةلتك زكرم ةعرس .ھنارود ءانثأ جلثلا ىلع قلزنی 𝑀 ھتلتك بیضق س.77 ؟ادیعب صرقلا قلزنیو ھناكم يف بیضقلا لظیس 𝑀/𝑚 نیتلتكلا نیب ةبسن يأل .𝑚 ھتلتك نكاس صرقب مدطصی ،ھتلتك زكرم ةعرس ىلع ایدومع .ةمظتنم ةیلوطلا ھتفاثك بیضقلا .امامت ةینورم تامداصتلا

دعب ةركلل ةیوازلا ةعرسلاو ةعرسلا دجوأ )أ .رودت نكت ملو £𝑣 ةیقفألا ةركلا ةعرس تناك ةیادبلا يفف ،ℎ عافترا نم ةرك تطقس س.78

ةركلا نم ءزجلا نأ ثیحب سمالتلا حطس دنع كاكتحا كلانھ ناك نكل ،امامت اینورم ناك ةیضرألا ىلع ةركلا هوشت :ةیضرألا عم يلاتلا مداصتلا كلانھ ناك مداصتلا ءانثأ ھنأو سناجتت مل ةسمالملا حوطسلا تاعرس نأ ضارتفاب لاؤسلا سفن نع بواج )ب .فقوت ةیضرألل اسمالم ناك يذلا .𝜇 لماعمب كاكتحا

.𝜇 وھ حطسلاو ةركلا نیب كاكتحالا لماعم ،α ةیواز ىلع لئام حطسلا .ةركلا عراست دجوأ .لئام حطس ىلع الوزن ةرك جرحدتت س.79

نأ 𝑚 ھتلتك ریغص مسجل نكمی ،قوطلا لخاد قلز لیحن قفن كلانھ دجوی .قلز يقفأ حطس ىلع عقی 𝑟 هرطق فصنو 𝑀 ھتلتك قوط س.80 دنع ةیزكرملا قوطلا ةطقن عراستو ةعرس دجوأ .قوطلل ةطقن ىلعأ دنع مسجلا ناكو ةحار يف ماسجألا لك تناك ةیادبلا يف .ھلوط ىلع قلزنی .𝜑 يسأرلا عم مسجلا عقومو قوطلا زكرم نیب لصاولا يلیختلا طخلا نیب ةیوازلا اھیف نوكت يتلا ةظحللا

𝑚 ھتلتك مسج س.81 = 10𝑔 كاكتحالا لماعم نوكی ،راسیلا وحن قالزنالا نوكی امدنع ھنأ ثیحب عنص حول ىلع عضو 𝜇w = امنیب ،0.3𝜇3 نوكی نیمیلا وحن قالزنالا نوكی امدنع = .)لكشلا ىلإ رظنأ( 𝑣(𝑡) ىنحنملا ىلع ءانب راسیلاو نیمیلل ددرتم لكشب حوللا كرحی .0.5𝑇 يرود نمزب يرود ىنحنملا = 0.01𝑠ةعرسلا ؛ 𝑣 ةھجتملا ةعرسلا طسوتم دجوأ ،ىنحنملا مادختساب .نیمیلا هاجتا يف ةبجوم ربتعت حولل .مسجلا اھب كرحتیس يتلا

.راود روحمب اھتایاھن دحأب تتبث 𝑙 اھلوط ةفیفخ ةیوتسم حاولأك اھرابتعا نكمی يتلا فیداجملا نم اریبك اددع نمضتی ءام نیبروت س.82 𝜇(𝑘𝑔/𝑠) قفدت لدعمو 𝑣 ةعرسب ءاملا نم رایت .نیبروتلا روحم عم زكرملا ةدحتم ةیلیخت ةناوطسأ حطس ىلع تعضو فیداجملل ةرحلا تایاھنلا ددع نأ ضرتفا ؛اذھك نیبروت نم اھجارختسا نكمی يتلا ىمظعلا ةردقلا دجوأ .طقف فیداجملا ةیاھنب مدطصی ھنأ ثیحب نیبروتلا ىلع ھھیجوت مت .فادجمب مدطصتس هایملا مزح لك نأ ثیحب ةیافك ریبك فیداجملا

34

ةبسنلاب 𝑣 ةعرسب كرحتی حوللا .ءاملا جراخ ىرخألا ةیاھنلا ،ءاملا يف ھیتیاھن دحأ .يسأرلل ةبسنلاب 𝛼 ةیوازب ھلییمت مت وتسم حول س.83 ؟حوللا ىلعأل ھجتملا ءاملا رایت ةعرس يھام .ھیلع يدومعلل

لكشب ةبرعلا عراستت .𝑙 ھلوط لباك ةطساوب ةبرعلا لفسأب لصوت لاقثألا .𝐿 ةفاسم ایقفأ لاقثأ لقنل مدختست كرحمب كرحتت ةبرع انیدل س.84 ةقلعتم لاقثألا نوكتس ،ةھجولا لوصو نیح ھنأ ثیحب 𝑎 عراستلا میق دجوأ .مظتنم لكشب رخآلا فصنلا لالخ أطابتت مث ،نمزلا فصنل مظتنم𝑎 نأ ضارتفا كنكمی .نوكسب ≪ 𝑔.

دجوأ .}𝑐 ةعرسب ةرشتنم ،𝑝w ىلإ 𝑝y ةمیق نم ءاوھلا طغضل ةلصتم ریغ تازفقك اھرابتعا نكمی shockwave ةمدصلا ةجوم س.85 لجرأب ةیوازلا مئاق ثلثم ھتدعاقو ،𝑐 ھعافترا ينیفسإ لكش وذ روشنم )أ( ،ةمدصلا ةجومب هرثأت دنع يتآلا نم لك اھیلع لصحیس يتلا ةعرسلا𝑎 و𝑏 اھتفاثك ةدام نم عونصم 𝜌ھمجح يطابتعا لكش وذ مسج )ب( ؛ 𝑉 ھتفاثكو 𝜌.

دجوأ .ىرخأ ةقباطم ةرك هاجتاب 𝑣 ةعرسب هروحمل زاوم لكشب كرحتی لیحن دیدح بیضقب نیتلصتم نیتینورم نیترك نم نوكتم لبمد س.86 ؟ةظوفحم ماظنلل ةیكرحلا ةقاطلا لھ .يزكرملا مداصتلا دعب لبمدلا ةعرس

مخزلا ظفح نوناق :1 قحلم𝐹455 ،عومجمل 𝑖 ـلا مسجلا ىلع ةرثؤملا ةوقلا نع ریبعتلاب مقنلو ،ةیطقن ةلتك 𝑁 نم نوكم ماظن رابتعاب مقنل = ∑ 𝐹4�5555A + ℱ4555، ثیح 𝐹4�5555 ةوقلا يھ ،اھنیح .ماظنلا نم ءزج ربتعت ال ماسجأ ةطساوب ةقبطملا ىوقلا كلت يأ ،ةیجراخلا ةوقلا يھ ℱ4555 و 𝑗 ـلا مسجلا ةطساوب 𝑖 ـلا مسجلا ىلع ةلوذبملا ـك بتكیس 𝑖 ـلا مسجلل يناثلا نتوین نوناق

𝑚<𝑑𝑑𝑡 𝑣4555 = i𝐹4�5555

A

+ ℱ4555

ىلع رسیألا فرطلا يف لصحنس اھنیحف 𝑖 زمرلا میق لكل ةاواسملا هذھ عمجب انمق اذإ

i𝑚<<

𝑑𝑑𝑡 𝑣4555 =

𝑑𝑑𝑡i𝑚<

<

𝑣4555 =𝑑𝑑𝑡 𝑃5

𝑃5 ثیح = ∑ 𝑚<< 𝑣4555 ذخأب انمق دق انھ .ماسجألا نم ماظن مخزب يمسی 𝐹445555 = عومجم يھ عومجملا ةقتشم :قاقتشالا ةیعیمجت انمدختساو ،0 :اضعب اھضعب يغلت نیمیألا بناجلا يف ةیلخادلا ىوقلا .تاقتشملا

i(i𝐹4�5555A<

) = i𝐹4�5555<,A

=i*𝐹4�5555 + 𝐹�4555 + = 0<,A

35

∑ اعم )𝑗𝑖و 𝑖𝑗( ةلثامتملا زومرلا تاذ جاوزألا لك عمجب انمق مث ،𝑖𝑗 نیزمرلا جاوزا عیمجل ذخأ ھنأ ول امك عومجملا لیثمتب ةیادبلا يف انمق .<,A 𝑖 ثیح جاوزألا هذھ لكل ذوخأم عومجملا نأ ينعت > 𝑗(نأ جاتنتسال ثلاثلا نتوین نوناق انمدختسا ،ةیاھنلا يف ؛ 𝐹4�5555 + 𝐹�45555 = میدقت عمف .0ℱ5 ـك ةیجراخلا ةوقلا ةلصحم = ∑ ℱ4555<، ىلع لصحنس

𝑑𝑑𝑡 𝑃

5 = ℱ5

ℱ5 ،ةیجراخ ىوق ةیأ كلانھ نكی مل اذإ ،ادیدحت رثكأ لكشب .ماسجألا نم ماظنل يناثلا نتوین نوناقل میمعت الصأ يھ ةریخألا ةاواسملا = نإف ،0 .ظوفحم 𝑃5 مخزلا

نع ربعت يتلا تالداعملا يأ ،)ماظنلا روطتی فیك فصت يتلا تالداعملا( ةكرحلا تالداعم نإف ،ةیجراخ ىوق ةیأ كلانھ نكی مل اذإ ھنأ ظحال ،لعفلاب .ةكرحلا تالداعم ىلع ریثأت ةیأ نودب �� ھجتم ةطساوب ایلاقتنا يعجرملا راطإلا ةحازإ اننكمی :يلاقتنا لثامتل عضختس ،يناثلا نتوین نوناق𝑟4]555 ـك ةمیدقلا تاھجتملا ةطساوب اھنع ربعی )رطقلا فصن تاھجتم( ماسجألا عقاوم ىلإ ریشت يتلا ةدیدجلا تاھجتملا = 𝑟455 − ��. ةیلخادلا ىوقلا

𝐹4�5555 تاھجتملا ىلع يأ ،ماسجألل يبسنلا عضوملا ىلع طقف دمتعت 𝑟4]555 − 𝑟�]555 = (𝑟455 − ��) − *𝑟�55 − ��+ = 𝑟455 − 𝑟�55 ةطساوب اھنع ربعی يتلا .ةمیدقلا تایثادحإلا ةطساوب اھنع ربعی امك امامت ةدیدجلا تایثادحإلا .ظفح نوناق يطعیس )ةریغص ةیطابتعا امیق ذخأی نأ نكمی يذلا( ریغتم ةنمضتملا ةكرحلا تالداعمل لثامت لكل ھنأ رھظی ةیلیلحتلا اكیناكیملا لاجم,𝑎ã ةحازإلا ھجتم تابكرم ،ةلقتسم تاریغتم ةثالث انیدل عقاولا يف انھ 𝑎= و𝑎-ھجتم تابكرم يھو الأ — ةظوفحم تایمك ةثالث انیدل اذھلو ؛ .𝑃5 مخزلا يوازلا مخزلا ظفح نوناق :2 قحلم :𝑖 ـلا مسجلل يوازلا مخزلا ریبعتل نمزلا ةقتشم ذخأب موقنس .مسج 𝑁 نم انوكم اماظن ربتعنس ،مخزلا ظفح نوناقل ھباشم لكشب

𝑑𝑑𝑡𝑚<𝑟455 × 𝑣4555 = 𝑚<(

𝑑𝑟455𝑑𝑡 × 𝑣4555 + 𝑟455 ×

𝑑𝑣4555𝑑𝑡 )

[(𝑎𝑏) بورضملا ةقتشم ةدعاق قیبطتب انمق انھ = 𝑎]𝑏 + 𝑎𝑏] )ایلیدبت سیل يھاجتالا برضلا نأل تاھجتملا بیترت ءاقبإ انیلع بجوتی !ظحال، �� × 𝑏5 = −𝑏5 × ��( نأ ظحال H

HI𝑟455 = 𝑣4555 و 𝑣4555 × 𝑣4555 = انتاواسم عمجب اضیأ مقنل .ىشالتیس نمیألا بناجلا يف لوألا دحلا نإف يلاتلاب ،0

،يناثلا نتوین نوناق مادختساب نمیألا بناجلا يف ةیقبتملا دودحلا ضیوعتب مقنلو ،𝑖 ـلا عیمجل ىلوألا

𝑚<𝑑𝑣4555𝑑𝑡 =i𝐹4�5555

A

+ ℱ4555 ⇒ 𝑚<𝑟455 ×𝑑𝑣4555𝑑𝑡 = 𝑟455 × (i𝐹4�5555 + ℱ4555 )

A

ىلع لصحنل𝑑𝑑𝑡 ℒ =i𝑟455 × 𝐹4�5555

<,A

+i𝑟455 × ℱ4555<

𝐹4�5555 ثلاثلا نتوین نوناق ببسب ھنأ ظحال ،نآلا = −𝐹�45555سمالتلا ةطقن دنع امإ ثدحت نیتیلتك نیتطقن نیب ةیوبسن ریغلا ةیرھجملا قوف ىوقلا لك ؛ ةوق ،ةینوكسورھكلا ةوق( نیتطقنلا نیتاھ نیب لصاولا طخلل ةیزاوم نوكت وأ ،)كاكتحالا ةوق ،ةنورملا ةوق( اعم نیتطقنلا نیتاھ سمالتت امدنع𝑟�55 ةباتك اننكمی ،نیتلاحلا الك يف ،)ةیبذاجلا = 𝑟455 + 𝑘𝐹�45555ـب ةاواسملا هذھ انبرض اذإ ؛ 𝐹4�5555، ىلع لصحنس 𝑟455 × 𝐹4�5555 = 𝑟�55 × 𝐹4�5555 = −𝑟�55 × 𝐹�45555، يجراخلا مزعلا ةلصحم وھ ىقبیس ام ؛عمجلا نم اضعب اھضعب يغلت ةیلخادلا موزعلا نإف يلاتلاب Τ55 = ∑ 𝑟455 × ℱ4555<:

𝑑𝑑𝑡 ℒ = Τ55

Τ55) ارفص ةیجراخلا موزعلا ةلصحم تناك اذإ ؛ماسجألا نم ماظنل ةینارودلا ةكرحلل يناثلا نتوین نوناقل امیمعت هرابتعا نكمی اذھ = اننإف (0ℒ ،يوازلا مخزلا ظفحب يھتننس = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ریودتب موقن امدنع( يكیناكیم ماظنل ةلماكلا ةقاطلل ينارودلا لثامتلا نم ھقاقتشا نكمی يوازلا مخزلا ظفح ،ةیلیلحتلا اكیناكیملا لاجم يف ھنأ ظحال .)اتباث لظی نأ بجی ةلماكلا ةقاطلا ریبعت ،لصألا ةطقن لالخ روحم لوح α ةیوازب يعجرملا راطإلا ةقاطلا ظفح نوناق :3 قحلم يلاتلاك ةفرعملا ،نمزلل ةبسنلاب ماسجألا نم ماظنل ةیكرحلا ةقاطلا ةقتشم رابتعاب معنل ،ةقاطلا ظفح نوناق قاقتشا لجأ نم 𝐾 = w

3∑ 𝑚<��<3A = w

3∑ 𝑚<𝑣4555 ∙ 𝑣4555A )نع انربع انھ ��<3 نیب يسایقلا برضلا جتانك 𝑣4555 ةدعاقلا قبطت ،يسایق برض ةقتشمل .)اھسفنو

��) :بورضم ةقتشمل ةیداعلا ∙ 𝑏5 )] = ��] ∙ 𝑏5 + �� ∙ 𝑏5 �� يأ( يلادبإ يسایقلا برضلا نأ امب ؛[ ∙ 𝑏5 = 𝑏5 ∙ ��(، ىلع لصحنس

36

(�� ∙ ��)] = 2�� ∙ ��]. نذإ، 𝑑𝑑𝑡 𝐾 =i𝑚<

A

𝑑𝑣4555𝑑𝑡 ∙ 𝑣4555 = i𝐹455 ∙ 𝑣4555

A

𝑑𝐾 ـك ةیكرحلا ةقاطلا لضافتك اھتباتك ةداعإ نكمی يتلا = ∑ 𝐹455 ∙ 𝑣4555A 𝑑𝑡، ـلا مسجلا ىلع ةرثؤملا ةوقلا نع ریبعتلا اننكمی ثیح 𝑖 عومجمك 𝐹455 ،ةیجراخلاو ةیلخادلا ىوقلا = ∑ 𝐹4�5555A + ℱ4555 و 𝑣4555 𝑑𝑡 = 𝑟455. نإف

𝑑𝐾 =i𝐹4�5555 ∙ 𝑑𝑟455<,A

+iℱ4555 ∙ 𝑑𝑟455<

𝐹4�5555 ،انھ ∙ 𝑑𝑟455 ةوقلا ةطساوب لوذبملا لغشلاب ىمست 𝐹4�5555. ىوقلا تناك اذإ 𝐹4�5555 ؛𝑡 نمزلا ىلعو >�� ةھجتملا تاعرسلا ىلع دمتعت الو >𝑟 تایثادحإلا ىلع طقف دمتعت )أ

Π ةلاد دجوی )ب ≡ Π(𝑟w, 𝑟3, … 𝑟0) )رغصلا ةیئاھنال تاحازإ يأ تحت ھنأ ثیحب )عضولا ةقاطب ادعاصف نآلا نم ىمستس 𝑑𝑟< ماسجألل، ℱ5 ةیجراخلا ىوقلاو ��<A ةیلخادلا ىوقلا لك ةطساوب لوذبملا لغشلا عومجم نإف يأ ،عضولا ةقاطل لماكلا لضافتلا سوكعم يواسیس >

−𝑑Π(��w, 𝑟3, … 𝑟0) =i(ℱ5 < +i��<A) ∙ 𝑑��<A<

𝑑𝐾 ،ماظنلل ةحازإ يألف اھنیح = −𝑑Π يلاتلابو، 𝑑(𝐾 + Π) = 𝐸 ةلماكلا ةقاطلا نأ يأ ،0 = 𝐾 + Π = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡ةیلخادلا ىوقلا كلت ؛ ��<A ةیجراخلا ىوقلاو ℱ5 .ةظفاحملا ىوقلاب اھیلإ راشی هالعأ طورشلا ققحت يتلا >

عقاوم ىلع يأ( ماظنلل ةیئادتبالاو ةیئاھنلا نیتلاحلا ىلع طقف دمتعی ىوقلا ةطساوب لوذبملا لغشلا نإ لوقل ئفاكم هالعأ )ب( طرشلا نأ ظحال ،يئزجلا لضافتلا مادختساب ھتباتك ةداعإ نكمی طرشلا اذھ ،ایضایر .ةیطقنلا لتكلا اھیلع تكرحت يتلا تاراسملا ىلع سیلو ،)ةیطقنلا لتكلا

−𝜕Π(𝑟w, 𝑟3, … ��0)

𝜕𝑥<= i𝐹<A=

A

+ ℱ<=

ةھباشم طورش ؛𝑖 میسجلل 𝑥—يثادحإلل زمرت >𝑖 )𝑥ـلا ةیطقنلا ةلتكلا ىلع ةرثؤملا ىوقلا ةلصحمل 𝑥—ةبكرم وھ طرشلا اذھ نم نمیألا بناجلا .𝑧—و 𝑦—نیتبكرملل ةحلاص نوكت نأ بجی

نیذھ نیب لصاولا طخلل ةیزاوم نیتیلتك نیتطقن نیب ةیلخادلا ةوقلا :ةیزكرملا ىوقلا تالاجم ةلاح يھ ةظوفحم ىوقلا اھیف نوكت ةمھم ةلاح ،ةفاسملا رادقم ىلع طقف دمتعتو نیتیلتكلا نیتطقنلا

��<A = (𝑟< − 𝑟A)𝑓<A(p𝑟< − 𝑟Ap) ،𝑟<y دنع ةیعجرم ةطقنل ةبسنلاب ةلثامم ةیصاخ اھل 𝑖ـلا ةیطقنلا ةلتكلا ىلع ةرثؤملا ةیجراخلا ةوقلاو

ℱ5 < == (𝑟< − 𝑟<y)𝑓<(|𝑟< − 𝑟<y|) 𝑓<A(𝑟) ،ثلاثلا نتوین نوناق ببسب ھنأ ظحال = 𝑓A<(𝑟). ـل ةبجوملا میقلاف ،نذإ𝑓<A و𝑓< عضولا ةقاط ،بذاجتلا ينعت ةبلاسلا میقلاو رفانتلا ينعت ـب ىطعت

(12) Π = ∑ 𝑔<A*p𝑟< − 𝑟Ap+<2A30 + ∑ 𝑔<(𝑟< − 𝑟<y)<30 ثیح

𝑔<A(𝑟) = −∫ 𝑓<A(𝑟])𝑟]𝑑𝑟]R.، 𝑔<(𝑟) = −∫ 𝑓<(𝑟])𝑟]𝑑𝑟]

R. )13(

،لعفلاب ،ققحتت )12( ةاواسملا ،هذھك عضو ةقاط عم ھنأ دكأتلا ادج بعصلا نم سیل .)ایطابتعا نوكی نأ نكمی تالماكتلا هذھل يلفسلا دحلا( .𝑖 میق عیمجلℱ5 ،ةظفاحم ریغلاو ةظفاحملا ىوقلا لصف اننكمی اھنیحف ةظفاحم ریغ ةیجراخ ىوق كلانھ ناك اذإ < = ℱ5 <] + ℱ5 ىلإ دوقی امم ،[[>

𝑑(𝐾 + Π) =iℱ5 <]]𝑑𝑟<<

ℱ5 ثیح .𝑖ـلا ةیطقنلا ةلتكلا ىلع ةرثؤملا ةظفاحم ریغلا ىوقلا لك عومجمل زمرت [[> سیلویروك ةوقو يزكرملا درطلا ةوق :4 قحلم ثیحب ،𝑃 ةطقن ربتعا .)حاتفملا ةدعاقل اعوجر نارودلا روحم فرعی ھجتملا( Ω55 ةیواز ةعرسب 𝑂 لصألا ةطقن لوح رودی ایعجرم اماظن ربتعا𝑟 زمرب مقنلو ،راودلا ماظنلا يف ةكرحلا ةمیدع نوكت = 𝑂𝑃55555. ةطقنلا ،ربتخملا ماظن عجرم يف 𝑃 ةعرسب كرحتت 𝑣 = 𝑟Ω، هاجتا ةسارد دنعو

37

�� ةھجتملا ةعرسلا = HRHI

�� نأ ةیؤر ءرملا عیطتسی ، = Ω55 × 𝑟. ةعرسب راودلا يعجرملا راطإلا يف كرحتت ةطقنلا تناك اذإ ،نآلا 𝑢5 = HRH5

:ةكرحلا ةمیدع ةطقنلا ھیلع تناك امل فاضت نأ بجی ةیفاضإلا ةھجتملا ةعرسلا هذھ اھنیحف ،)راودلا ماظنلا يف نمزلا سایقل τ مادختساب مقنل(

𝑑𝑟𝑑𝑡 =

𝑑𝑟𝑑𝜏 + Ω

55 × 𝑟 ةقالع اھطبرت ةیعجرملا نارودلاو ربتخملا تاراطإ يف تاھجتمل نمزلل ةبسنلاب تاقتشملا نأ جاتنتسا اننكمی ،نذإ

𝑑𝑑𝑡 =

𝑑𝑑𝜏 + Ω

55 ×

هذھ قبطن نأ عیطتسن ،ایقیبطت .ةثالثلا دودحلا لك نیمی ىلع (��وأ 𝑟 الثم( ھجتم يأ ةباتك اننكمی ھنأ ينعی امم ،رثؤم ةغیصب ةبوتكم ةقالعلا هذھ�� ةلداعملا نم رسیألاو نمیألا نیفرطلل ةلداعملا = 𝑢5 + Ω55 × 𝑟:

𝑑��𝑑𝑡 = 6

𝑑𝑑𝜏 + Ω

55 ×7 *𝑢5 + Ω55 × 𝑟+

=𝑑𝑢5𝑑𝜏 + Ω

55 × 𝑢5 +𝑑(Ω55 × 𝑟)

𝑑𝜏 + Ω55 × (Ω55 × 𝑟)

صوصخلا ھجو ىلع ؛اھقیبطت نكمی ةفورعملا دعاوقلا لك نإف ،تاھجتملا برضو تاھجتم لضافت ذخأ دنع ھنأ رابتعالا نیعب عضن نأ بجی انھHHI*�� × 𝑏5 + = H 5

HI× 𝑏5 + �� × H85

HIH و

HI*�� ∙ 𝑏5 + = H 5

HI∙ 𝑏5 + �� ∙ H8

5

HI ،فعاضملا يھاجتالا برضلل ةدعاق كلذك جاتحن .

�� × *𝑏5 × 𝑐+ = 𝑏5 (�� ∙ 𝑐) − 𝑐(�� ∙ 𝑏5 نیھجتملل ایطخ اقفاوت ربتعی فعاضملا برضلا نأ ركذت قیرط نع ةاواسملا هذھ ركذت كنكمی ؛(

H955 نأ رابتعالا يف ذخأ عم ،يلاتلاب .طسولا يف ھجتملا عم يتأت ةبجوملا ةراشإلا نأو ،ساوقألا لخاد

H5= HR و 0

H5= 𝑢5، نأ ضارتفابو

𝑟 ⊥ Ω55 ⟹ 𝑟 ∙ Ω55 = ىلع لصحنس ،0𝑑��𝑑𝑡 =

𝑑𝑢5𝑑𝜏 + 2Ω

55 × 𝑢5 − Ω3𝑟

Hà5 نأ ركذتنلHI

H$55 و ،يعجرملا ربتخملا راطإ نم ىری امك 𝑃 ةطقنلا عراست وھ H5

،نآلا .يعجرملا ينارودلا راطإلا يف ىری امك ةطقنلا عراست وھ

�� نإف ،𝑃 ىلع رثؤت �� ةیجراخ ةوق كلانھ ناكو ،𝑚 ةیلتك ةطقن 𝑃 تناك اذإ = 𝑚 Hà5HI

يلاتلابو

𝑚𝑑𝑢5𝑑𝜏 = �� − 2Ω55 × 𝑢5 𝑚 − Ω3𝑟𝑚

2Ω55− سیلویروك ةوق :ةیفاضإ ىوق كلانھ ناك ھنأ ول امك فرصتی مسجلا ،راودلا يعجرملا ماظنلا يف ھنأ ىنعمب × 𝑢5 𝑚، يزكرملا درطلا ةوقو −Ω3𝑟𝑚.

ظفحلا نیناوقو نازتالا :5 قحلم دجوی ،امریف أدبم ةلاح يف ؟ىوصقلا نع ایندلا ةمیقلا فلتخت امل ؟اذامل نكل .ھعضو ةقاطل ةمیق ىندأ دنع رقتسم نوكی ماظنلا نأ فورعملا نم دجوی عبطلاب نكل ،—بسحف ةیئاوشع ةكرحب كرحتی نأ عاعشلا عیطتسی—نیتطقن نیب يئوض راسم لوطأ كلانھ دجوی ال :حضاو قرف كلانھ !راسم رصقأ كلانھ ةیطرش ىوصق ةمیق وھ رارقتسالا ةلاحل ایلعف ھجاتحن يذلا .)ةبجوم لتكلا تمادام( ایند امئاد ةیكرحلا ةقاطلا ،نازتالا ةلاح دنع — طیسب ببسلا ربتعا .)ةیطرش ریغ ىوصق ةمیقب سأب ال( ةتباث تیقبأ ةظوفحملا تایمكلا ةیقب نأ ضارتفا تحت ،)ةلماكلا ةقاطلا لثم( ام ةظوفحم ةیمكل

يھ ةلماكلا ةقاطلا .)مخزلا( 𝑝و 𝑥 تایثادحإلاب ،روطلا ىوتسم يف ھفصوب مقنلو 𝑥—روحم لوط ىلع مسج ةكرح 𝐸 = 𝑈(𝑥) + 𝑝3/2𝑚. تایثادحإ عم ،داعبألا يثالث ءاضف يف حطسك ةقاطلا هذھ مسرب انمق اذإ ،نآلا 𝑝, 𝑥 و𝐸، ةلاح فصت يتلا ةطقنلا نإف 𝐸 يقفألا ىوتسملاو حطسلا اذھ نیب عطاقتلا طخ لاوط ىلع كرحتتس ماظنلا = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ىندأ دنع 𝑈(𝑥)، عم 𝑝 = نوكیس اذھ عطاقتلا طخ ،0

38

𝐸 ،الیلق يقفألا ىوتسملا انعفر اذإ ةبیرقلا تاراسملا ىلع لصحنس .حطسلا اذھل ةطقن ىندأ يھ هذھ نأل ،ةدحاو ةطقن درجم = 𝐸Z<z + 𝜀، ،نازتالا ةطقن ىلإ ةبیرق ربتعت )صقانلا عطقلا( راسملا اذھ ىلع طاقنلا لك .ھنم اریغص اصقان اعطق عطقی لب ،بسحف حطسلا سملی ال ھنأ ثیحب .ةرقتسم ةلاحلا هذھ ،لعفلاب نذإ نوكت نأ نكمی ةقاطلل ةیطرش ریغلا ىوصقلا ةمیقلا نأ نیح يف :ةقاطلا لماكل ةیطرش ىمظع ةمیق ببسب ارقتسم نوكی نأ ماظنل نكمی ھنأ رھظی ،𝑏 ضرع ،𝑎 لوطب ةیلیطتسم ةبوط ربتعنل .دلصلا مسجلا نارود وھ لاثم طسبأ امبر .ةیطرشلا ىوصقلا میقلل ةبسنلاب ةفلتخم رومألا ،ایند𝑐 )𝑎 كمسو > 𝑏 > 𝑐(. نكتل Ix ىوتسملا ىلع يدومعو اھتلتك زكرمب راملا روحملل ةبوطلل يتاذلا روصقلا مزع—)𝑎, 𝑏(؛ 𝐼8 و𝐼 نافرعی 𝐼x نأ امامت حضاولا نم نكل ،نارودلا روحم ھجوت ىلع دمتعیس 𝐼 يتاذلا روصقلا مزع ،ةماع ةلاحل .ةھباشم ةقیرطب > 𝐼 > 𝐼 )ھتابثإ نكمی عم كرحتی راطإ يف اھتكرح ةساردب مقنو ءاوھلا يف رودت يھو ةبوطلا يمرب مقنل ،نآلا .)تارتوملا تاباسح مادختسا ةیفیك ملعتت املاح ھلوھسب نارودلا ةقاطو ،𝐿 يوازلا مخزلا :ناتظوفحم ناتیمك كلانھ .)ةیبذاجلا لامھإب موقنس ،راطإلا اذھ يف( اھتلتك زكرم K = 𝐿3/2𝐼. ـل ھنأ ىرن نأ اننكمی 𝐿 دنع ایند ةقاط ماظنلل نوكیس ،ةتباث 𝐼 = 𝐼x )ـل ىمظع ةقاطو ،)ةبوطلل ةفاح رصقأل يزاوملا روحملا

𝐼 = 𝐼 )اذإ ،تقولا سفن يف !لعفلاب ناترقتسم نارودلا يتقیرط الك نأ ةلوھسب ایلمع ققحتلا كنكمی .)ةبوطلل ةفاح لوطأل يزاوملا روحملا ،ةیلودلا ءاضفلا ةطحم يف NASA ةطساوب جتنم ویدیف يف ةنیبم ةرھاظلا هذھ .رقتسم ریغ نارودلا نإف ،ةثلاثلا ةفاحلل ایزاوم روحملا ناك

https://mix.msfc.nasa.gov/abstracts.php?p=3873. ةكرح لیثمت انلواح اذإ .ددبتلا يف عقی ببسلا ؛ىمظعلا ةقاطلا عم نارودلا نع لیلقب رثكأ ارقتسم لظی ایندلا ةقاطلا عم نارودلا ةقیقحلا يف ،انسح دنع ؛ةلت لكش وذ دحاوب لدبتسیس )هالعأ لكشلا يف يذلا لثم( ءاعولا لكش وذ ةقاطلا حطس ،)هالعأ فوصوم وھ امك( روطلا ءاضف يف ماظنلا𝐸 يقفألا ىوتسملا سمت ثیح "ةلتلا" ىلعأ يف ةطقن يف زكرتیس روطلا راسم ،نازتالا = 𝐸Z´=. لقتس ةقاطلا ،ددبتلا ببسب، 𝐸 = 𝐸Z´= −𝜀، انھ ،ةرقتسملا ةلاحلا وحن ماظنلا بحسی ددبتلا نأ ةفرعم ىلع تدتعا بلغألا ىلع كنأ امنیب ،نذإ .يبلول لكشب روطلا راسم فلیس اذھبو .ددبتملا رارقتسالا مدع ـب فرعی ام اذھ !ةرقتسملا ةلاحلا نع ادیعب ماظنلا بحسی ددبتلا ،ةبولقم ةلاحلا يجنارجاللا ةغیص :6 قحلم ظفح نوناق مادختسابو ،ةظفاحملا ىوقلل حلاصلا ةقاطلا ظفح نوناق انیقتشا ،اذھ ىلع ءانب ؛نتوین نیناوق میلستب انمق ،اكیناكیملا يف انتقیرط يف .ةممعملا تایثادحإلا ةقیرط ىلإ انلصو ،ةقاطلا ؛نایعمج امھالكو ،ةددحم ةیكرح ةقاطو ،ةددحم عضو ةقاط ھل يكیناكیم ماظن يأ نأ ملسن نحن ،ةیادب .سوكعم بیترتلا ،ةیلیلحتلا اكیناكیملا يف لكشب اذھ لعف متی( لعافتلا ةیعون ىلع ءانب ةیطقنلا ةلتكلا تالعافتل عضولا تاقاطلو ،ةیطقنلا لتكلل ةیكرحلا ةقاطلل ةلداعم ءاشنإب كلذك موقن .)2 مسقلا يف ةفلتخم تالعافت عاونأل ىوقلا باسح دعاوق ءاشنإ ةیفیكل ھباشم اذإ ھنأ ملسنس .لماعم 𝑛 جاتحنس ،دیرف لكشب ماظنلا ةلاح دیدحت لجأ نم ھنأ يأ ،ةیرحلا تاجرد نم 𝑛 ددع ھل يكیناكیم ماظن رابتعاب مقنل ،ایناث𝑞<، 𝑖 تایثادحإ ةعومجمب ةفوصوم ام ةلاح نم روطتی ماظنلا اذھ ناك ∈ [1, 𝑛] نمز دنع 𝑡 = 𝜏 ]وذ ءاضف يف ةطقنل طبترت ةلاحلا هذھ 𝑛 +,𝑞w( تایثادحإب دعب 1 𝑞3, … , 𝑞z, 𝑡([ ىرخأ ةلاحل 𝑞<] نمز دنع 𝑡 = 𝜏] انیعم اراسم ذخأی نمزلا يف ماظنلا روطت نإف 𝑞<(𝑡) )ينحنم طخ فرعی ،لعفلا ـب ھیلإ راشی ،لماكتلا اذھ .نكمی ام رغصأ 𝒮 نیعم لماكت ةمیق لعجی ثیحب )ءاضفلا يف ةیئاھنلاو ةیئادتبالا نیتلاحلا نیب لصی𝑉 ،تایثادحإلا ىلع دمتعت 𝑉 ؛يلاوتلا ىلع 𝑉و 𝑇 ـب امھیلإ زمری ،ماظنلل نیتلماكلا عضولاو ةكرحلا يتقاط ةطساوب = V(𝑞<)،

𝑖 ∈ [1, 𝑛]، و 𝑇 تایثادحإلل ریغتلا تالدعم ىلع اضیأ دمتعت ��<:

𝒮 = ∫ ℒ[𝑞<(𝑡), ��<(𝑡), 𝑡]𝑑𝑡5D

5 )14( ثیحب

ℒ[𝑞<(𝑡), ��<(𝑡), 𝑡] = 𝑇[𝑞<(𝑡), ��<(𝑡), 𝑡]− 𝑉[𝑞<(𝑡), 𝑡] )15( .ىندألا لعفلا أدبمب فرعت اھسفن ةملسملاو ،ماظنلل يجنارجاللا يمسی ناك اذإ ىوصق ةمیق ھل 𝒮 لماكتلا نأ تابثإ ءرملل نكمی ،ریاغتملا لیلحتلا قرط مادختساب

HHI

EℒEF[

= EℒEF[

)16(

Eℒ انھEF[,ℒ[𝑞<(𝑡) يجنارجاللا قتشنس اننأ ينعت ��<(𝑡), 𝑡] 2 ـلا اھتاریغتم نم دحاو ریغتمل ةبسنلاب𝑛 + 1، ��<، ةیقب ربتعنس امنیب

Eℒ .ةتباث نوكتل تاریغتملاEF[H .ھباشم لكشب ةفرعم

HI لكشب نمزلا ىلع ℒ دامتعا رابتعالا نیع يف عضنس اننأ يأ ،ةلماكلا نمزلا ةقتشمل زمرت

ةحلاص )16( ةلداعم نأ ءاجر ظحال .اضیأ نمزلا يف لاود 𝑞4و >𝑞 تایمكلا نأ ثیح رشابم ریغ لكشب اضیأو 𝑡 ریخألا اھریغتم لالخ رشابم عیطتسن اذل ،ةدحاو ةیضایر ةوطخ نمضتی )16( ةلداعم ىلإ ىندألا لعفلا أدبم نم لاقتنالا .تالداعم 𝑛 نم انوكم اماظن كلتمنس اذھبو ،𝑖 لكل .)16( ةلداعملا ملست ةیلیلحتلا اكیناكیملا نأب لوقلا ةیدیلقتلا ةقیرطلا نأ امنیب .فعضو ةوق طاقن امھل نیتقیرطلا الك ؟16 ةلداعم میلستب وأ ،نتوین نیناوقب میلستلاب ةیخیراتلا ةقیرطلا :لضفأ ةقیرط يأ انیطعت )16( ةلداعم ،تقولا سفنب .ءيش ال نم ىندألا لعفلا أدبم ذخأی ةیلیلحتلا اكیناكیملا ةقیرط ،ةیلمعم تادھاشم ىلع ءانب ةوطخب ةوطخ ةینبم ةلداعم ةباتك اننكمی ،يجنارجالل ریبعت انیدل نوكی امتقو :)بسحف اكیناكیملا ىلع اروصقم سیل اھمادختسا( يرظنلا لیلحتلل ةینوكو ةقراخ ةادأ

39

ℒ ،ةیكیسالكلا اكیناكیملا ةلاح يف طقف ھنأ رابتعالا نیعب ذخأن نأ بجی ،لاح لك ىلع .ماظنلا روطتیس فیك فصت يتلا روطتلا = 𝑇 − 𝑉، .)هاندأ رظنأ( ةیكیسالكلا اكیناكیملا ةلاح يف ىتح اظقی ىقبت نأ بجیو ةلادك ایطقن امیسج انربتعا اذإ ،معن .مكلا اكیناكیم مادختساب )"ءيشاللا" نم سیلو( رثكأ ةیعیبط ةقیرطب ىندألا لعفلا أدبم میدقت نكمی ،عقاولا يف يلاتلاك ھجوملا روط نع ربعن نأ اننكمی ،يكیسالك ھبش بیرقت مادختساب اھنیحف ةیمك ةیكیناكیم لامتحا

𝜑 = ∫*𝑘5 ∙ 𝑑𝑟 − 𝜔𝑑𝑡+ = ℏ�w ∫(𝑝 ∙ 𝑑𝑟 − 𝐸𝑑𝑡) )17( 𝑑𝑟 نأ اننھذ يف انیقبأ اذإ .میسجلا ةقاط يھ 𝐸 و مخزلا وھ �� انھ = ��𝑑𝑡 و �� ∙ 𝑝 = 2𝑇 نأ لوقلا اننكمیف

𝜑 = ℏ�w ∫[2𝑇 − (𝑇 + 𝑉)]𝑑𝑡 = ℏ�w𝒮. لعفلا ،نذإ 𝒮 روطلا سفنب اولصو اذإ ایئانب بكارتت تاجوملا .ةجوملا روط ةرشابم انیطعی، نأ ةظحالم بجی .ىندألا لعفلا راسمل ةبیرق تاراسملا هذھ تناك اذإ روطلا سفنب ابیرقت نوكت ةفلتخم تاراسم ربع ةمداقلا تاجوملا نم دیدعلاو ةعس نأ ،ةجوملا راشتنال زنغیھ أدبمل اقبط ھنأ لوقلا اننكمی .امریف أدبمب اھصیخلت نكمیو ،ءوضلا راشتنا ةلاح يف طبضلاب ثدحت ةرھاظلا سفن ببسب اھضعب اھضعب يغلت تامھاسملا هذھ مظعم ،لاح لك ىلع ؛ةنكمملا ةعشألا تاراسم تامھاسم عومجمك اھداجیإ نكمی لامتحالا ةجوم يتلاو( ىوصق ةمیقب طابترالا ينعی "لثمألا" ؛ةمیلس )ةرشابم ھل ةرواجملا تاراسملاو( "لثمألا راسملا" ةمھاسم طقف ىقبتو ،ةسكاعتملا راوطألا .ىندألا لعفلا راسم لوط ىلع كرحتت ةیطقنلا ةلتكلا نأب لوقلا اننكمی ،نذإ .لعفلل )ایند اھنأ رھظی𝑚<، 𝑖 ةیطقنلا لتكلا نم اماظن ربتعنل ،ةیاھنلا هذھل .نتوین نیناوق عم قفاوتی ىندألا لعفلا أدبم ناك اذإ ام دكأتنل ،نآلا ∈ [1, 𝑛]، مدختسنلو ـك يجنارجاللاب )ملسنس( فرعنس اھنیح .𝑖ـلا ةیطقنلا ةلتكلا عقوم ىلإ ةریشم >𝑟 نكتل :ةداتعملا ةیدیلقإلا تایثادحإلا

ℒ =12i𝑚<��<3

<,A

− Π(��w, 𝑟3, … )

>�� انزمر انھ =HRS555HI

,Π(𝑟w :ةظفاحم لعافتلا ىوق لك نأ انضرتفاو 𝑟3, … ،نذإ .تامیسجلا لك تایثادحإ يف ةلادك ةلماكلا عضولا ةقاط لثمت (

Eℒ نأ انناھذأ يف انیقبأو ،يجنارجاللا اذھل 16 ةلداعم انقبط اذإEà[H

= 𝑚𝑣<= )زمرلا ثیح 𝑥 روحم ىلع ھجتملا طاقسإل زمری—𝑥، لصحنس

ىلع𝑑𝑑𝑡𝑚𝑣<= = −

𝜕Π(��w, 𝑟3, … 𝑟0)𝜕𝑥<

—يتبكرمل ھباشم ریبعت ىلع لصحنس حوضوبو( 𝑖ـلا میسجلا ىلع ةرثؤملا ةوقلل 𝑥—ةبكرم وھ نمیألا فرطلا يف انیدل ام ،12 ةلداعمل اقبط𝑥 و—𝑦(. ةلداعملا نأ جتنتسن ،نذإ )ةلداعم نوك ،تقولا سفن يف .نتوین نیناوقل ةئفاكم نوكتس ةیدیلقإلا تایثادحإلل ةبوتكم نوكت امنیح )16 اذإ :رواحملا ماظن نع لقتسم لكشب ھتغایص تمت ىندألا لعفلا أدبم نأ ظحالنل ،نآلا .احلاص ىندألا لعفلا أدبم نوكل ئفاكم وھ ةققحم )16(>𝑟 نیعم راسم انیدل ناك = 𝑟<(𝑡) ةممعم تایثادحإ ةطساوب ھنع انربع اذإ ىتح ىندألا ىقبیس ھنإف ةیدیلقإلا تایثادحإلا يف ىندأ لعف ھل 𝑞< =

𝑞<(𝑡). ةممعملا تایثادحإلا ةلالدب ىصقأ لعف ھل راسملا نأ امب 𝑞< نوكت نأ بجی )16( يجنارجاللا ةلداعم ،)ریاغتلا لیلحت جئاتنل اقبط( نإف .ناتئفاكتم )16( ةلداعمو نتوین نیناوق نأ انتابثإ لمكی اذھ .>𝑞 ةممعملا تایثادحإلا مادختسا دنع ةحلاص ،لاثمك .ةفلتخم دویق ببسب ةیرحلا تاجرد ددع صقن اذإ ام ىلع تاقیلعتلا ضعب عضن نأ جاتحنس ،ناھربلا انلمكأ ام اعون اننأ نم مغرلا ىلع تبثم تائیزجلا نیب ةیبسنلا ةفاسملا ،لاح لك ىلع .ةیرح ةجرد 3𝑁 اھل هذھ تائیزجلا ةعومجم ؛ءيزج 𝑁 نم اعونصم ادلص امسج ربتعنل نع ربعت ىرخأ ةثالثو ،ةلتكلا زكرم عقوم نع ماقرأ ةثالث ربعت ثیحب :ةیقبتم ةیرح تاجرد تس طقف دجوت ھنأ ثیحب ،ةیئیزجلا ىوقلا ةطساوب يف روطتی انماظن نأ ملعن نحنف اذل ،)تائیزجلا( ةیطقنلا لتكلا نم ةعومجمل حلاص ىندألا لعفلا أدبم نأ اقباس انتبثأ دق .مسجلا هاجتاو فافتلا3𝑁 وذ يروصت ءاضف + اضھ يف .نكمی ام لقأ لعفلا نوكی ثیحب 𝐵 ةیاھنلا ةطقنو 𝐴 ةیادبلا ةطقن نیب لصی 𝜎 راسم لاوط ىلع دعب 1 دق ةیئیزج نیبلا لعافتلا تاقاط ریبعت نأ امنیب .ةیئیزج نیبلا لعافتلا تاقاط رابتعالا نیعب ذخأی نأ يجنارجاللا ىلع بجی ،يروصتلا ءاضفلا عم ةتباث نوكت نأ نكمی تافاسملا .تافاسملا تبثن نأ طقف جاتحنس ،ةیرھجم قوفلا ةكرحلا يف طقف نومتھم اننأ املاطف ،دیقعتلا غلاب نوكی

ةیلاع حبصتسو ،نوكت نأ ضرتفی امل ةیواسم نیئیزجلا نیب ةفاسملا تناك ةلاح يف ،رفص ةیئیزج نیبلا لعافتلا ةقاط نأ لوقنس :طسبم يجنارجال اذھ ؛ةممعم تایثادحإ ةتس مادختساب لماك لكشب اھفصو نكمی ماظنلا اذھ ةلاح ،ةتباث ةیئیزج نیبلا تافاسملا نوك ببسب .ةلاحلا هذھ ریغ يف ادج3𝑁ـلا يروصتلا ءاضفلا يف تاراسملا لك نأ ينعی + كلذك اعقت نأ بجی 𝐵و 𝐴 ناتطقنلا( ℳ داعبألا يسادس قئاف حطس يف ةدیقم دعبلا 1

3𝑁ـلا يروصتلا ءاضفلا يف ىندألا 𝐵و 𝐴 نیب لعفلا لعجی 𝜎 راسملا نأ ملعن نحن .)قئافلا حطسلا اذھ ىلع + نوكی ℳ قئافلا حطسلا ؛دعب 1 ىقبت نأ دبال )16( ةلداعم ،يلاتلاب .قئافلا حطسلا اذھ ىلع ىندألا 𝐵و 𝐴 نیب لعفلا لعجیس راسملا اذھ نأ دیكأتلابف اذل ،ءاضفلا اذھ نم اءزج

تبثت دویق يأل كلذك لب ،دلصلا مسجلل طقف لمعت ال ةجاحملا هذھ .دلص مسج ةلاح فصول ةممعملا تسلا تایثادحإلا مدختسن امدنع ةحلاص .)ةیرحلا تاجرد ددع لزتخی امم( ماظنلا ءازجأل ةیبسنلا عقاوملا نإف ،ةیرھوج ادویق يوتحی ماظنل ةممعملا تایثادحإلا مادختساب يجنارجاللا انبتك اذإ :ةقباسلا ةرقفلا يف ةشقانملا نم ةمھم ةدعاق جتنتسن نأ اننكمی

ةمیق نأل ،ةعبس سیلو تایثادحإ ةتس مدختسن نأ انیلع بجوتیس ،دلص مسج انیدل ناك اذإ ،الثمف .نكمی ام لقأ نوكی نأ بجی تایثادحإلا ددع يثادحإلا ةمیق تیبثتل يجنارجاللا ىلإ ایفاضإ ادح فیضن نأ رطضنس ،عباسلا يثادحإلا دوجوب( ىلوألا ةتسلا نم اھقاقتشا نكمی عباسلا يثادحإلا .)عباسلا ةلداعم ةلاحلا هذھ يف انیقتشا ثیح 6 ةقیرط مادختسا كلذك اننكمیو ،)16( يجنارجاللا ةلداعم مدختسن نأ اننكمی :نارایخ انیدل حبصأ نآلا ،نذإ تایثادحإلا ةلالدب ةكرحلاو عضولا يتقاط نع ربعن نأ جاتحنس نیتلاحلا الك يف :ةیاغلل ناتھباشتم ناتقیرطلا ناتاھ .ةقاطلا ظفح نوناق نم ةكرحلا

40

نوناق نم ةرشابم ةكرحلا ةلداعم قاقتشاب موقن ،نیتلاحلا دحأ يف :ةنیعم تاقورف كلذك دجوی ،لاح لك ىلع .نمزلل ةبسنلاب اھتاقتشمو ةممعملا نتوین نیناوق نم ةقتشم وأ ،ةملسمك اھرابتعا اما اننكمی ةلداعم قبطنو نیتقاطلا نیتاھ نیب قرفلا رابتعاب موقن ىرخألا ةلاحلا يف ؛ةقاطلا ظفح .دیقعتلا ةغلاب ةقیرطب طقف اھقیبطت نكمی ةقاطلا ظفح ىلع ةینبملا 6 ةقیرط ،امئاد اھمادختسا نكمی )16( ةلداعم امنیب ھنأ دكؤن نأ بجی ،ةیادبلا يف ؟لضفأ ةقیرط يأ نوناق ةقتشم ذخأ دعب ،لعفلاب .دحاو ممعم يثادحإ ةطساوب اھفصو نكمی ماظنلا ةلاح نأ يأ ،ةدحاو ةیرح ةجرد اھیف نوكی يتلا تالاحلا كلت يف تاجرد( ةلوھجملا لاودلا ددع يواسی تالداعملا نم اددع جاتحنس اننكل ،ةدحاو ةیلضافت ةلداعم ىلع لصحنس ،نمزلل ةبسنلاب ةقاطلا ظفح ددعلا لزتختس ،مخزلا لثم ،ةیفاضإ ةظوفحم ةیمك لك نأ كنھذ يف قبأ( ققحتی طرشلا اذھ ،دایبملوألا لئاسم مظعمل ،لاح لك ىلع .)ةیرحلا .)دحاوب ةیرحلا تاجردل لاعفلا

ةلاح يف .نمزلا ىلع حیرص لكشب دمتعت ال تاقاطلا نأ ضرتفنلو ،𝑞 دحاو ممعم يثادحإ انیدل نوكی امدنع نیتقیرطلا نیتاھ ةنراقمب مقنل ،انسح𝑇 نأ ضارتفا اننكمی اذل ،ةعرسلا عبرم عم بسانتت ةیكرحلا ةقاطلا ،ةینوتوینلا اكیناكیملا = w

3ℳ(𝑞)��3. نأ صنی ةقاطلا ظفح نوناق ،اھنیح

w3ℳ(𝑞)��3 + 𝑉(𝑞) = 𝐸، يلاتلاب w

3ℳ](𝑞)��� +ℳ(𝑞)���� + 𝑉](𝑞)�� = ـف 0

ℳ(𝑞)�� = −12ℳ

](𝑞)��3 − 𝑉](𝑞)

ℒ ـك يجنارجاللا نع ریبعتلا متی ،تقولا سفن يف = w3ℳ(𝑞)��3 − V(q)عمو ،اھنیح ؛

HHI

EℒEF= H

HIℳ(𝑞)�� =ℳ](𝑞)��3 +ℳ(𝑞)��، ـك بتكتس )16( ةلداعم

ℳ](𝑞)��3 +ℳ(𝑞)�� =12ℳ

](𝑞)��3 − 𝑉](𝑞) انجتحا دقل ،لاح لك ىلع .ایواستم ابیرقت ناك ةبوعصلا ىوتسم ،ایضایر ھنأو ،نیتلاحلا الك يف ةلداعملا سفن ىلع انلصحت اننأ ةیؤر لھسلا نم .فیفط لكشب لھسأ ةقاطلا ظفح نوناق ىلع ةینبملا ةقیرطلا لعجی امم ،)16( ةلداعم ركذتن نأ 𝑎 ھلوط كربنز ةطساوب ضعبلا امھضعبب نیتلوصوم ،𝑚 امھنم لك ةلتك نیترك نم نوكم ماظن رابتعاب مقنل ،يئاھن جاتنتسا يأ عضن نأ لبق ،)كربنزلا لوطو ةیوازلا( ةیرح يتجرد ماظنلل نأ ودبی دق انھ .ءاضفلا يف )كربنزلا ىلع يدومع وھ يذلا( 𝐿5 يواز مخزب نارودتو ،𝑘 هءوسجو يثادحإلاك 𝑥 كربنزلا هوشت مدختسنل .دحاو ىلإ ماظنلل ةلاعفلا ةیرحلا تاجرد ددع لزتخی )يوازلا مخزلل( يفاضإ )ةقاطلا ریغ( ظفح نوناق نكل ،اھنیح .ممعملا

𝑇 = Z=�

J+ ­�

Z(´K=)�، Π = w

3𝑘𝑥3

فرصتی ةیكرحلا ةقاطلا يف يناثلا دحلا ،ریثأتلا ةیحان نم ؛𝑥 ىلع كلذكو لب ،بسحف �� ىلع طقف دمتعت ال ةیكرحلا ةقاطلا نأ انھ ظوحلملا ءيشلا ىلع لصحنس ،6 ةقیرط عابتاب .ةیلكلا ةقاطلا ریبعت يف ةلاعف عضو ةقاط لخاد ھجمد نكمیو ،عضو ةقاطك

12𝑚���� −

2𝐿3

𝑚(𝑎 + 𝑥)� �� + 𝑘𝑥�� = 0 ⇒ �� =4𝐿3

𝑚3(𝑎 + 𝑥)� − 2𝑘𝑚𝑥

:)!ائطاخ نوكیس اذھ !ادیج ظحال( يجنارجاللا مادختساب ةجیتنلا سفن ىلع لصحن نأ اضیأ لواحنل

ℒ =𝑚��3

4 +𝐿3

𝑚(𝑎 + 𝑥)3 −12𝑘𝑥

3

يلاتلاب12𝑚�� = −

2𝐿3

𝑚(𝑎 + 𝑥)� − 𝑘𝑥 ⇒ �� = −4𝐿3

𝑚3(𝑎 + 𝑥)� − 2𝑘𝑚𝑥

امب حوضوب ةحیحص ىلوألا ةجیتنلا ؟انأطخأ اذام يف ،نذإ !ةفلتخم ةراشإ ھیدل نمیألا فرطلا يف لوألا دحلا—ةقباسلا ةجیتنلا سفن تسیل هذھ ةیادبلا يتطقن رییغتب انمق دق تایثادحإلا ددع لازتخال يوازلا مخزلا ظفح نوناق مادختساب ھنأ لصح ام .حوضوب ةظوفحم ةلماكلا ةقاطلا نأ ددع لازتخال ظفحلا نیناوق مدختسن مل اذإ حلاص ])16( ةلداعم يلاتلابو([ ىندألا لعفلا أدبم ،هالعأ انھرب امك .يروصتلا ءاضفلا يف ةیاھنلاو مادختسا اننكمی :نانثا ناك ةیرحلا تاجردل يلصألا ددعلا ،ةلاحلا هذھ يف .)16( ةلداعملل ةجیتن ربتعت ظفحلا نیناوق لك تناكو ،ةیرحلا تاجرد اھنیح طبترملا يجنارجاللا عم نییثادحإلا نیذھ مادختساب انمق اذإ .لماك لكشب ماظنلا ةلاح فصن ىتح 𝜑 كربنزلا نارود ةیوازو 𝑥 هوشتلا

لعفلا :احیحص ءيش لك نوكیس

L M𝑚��3

4 +𝑚��3(𝑎 + 𝑥)3

4 −12𝑘𝑥

3N𝑑𝑡I�

I¥

,𝑥w ةیئادتبالا ةلاحلا نیب ةلصاولا تاراسملا ةنراقمب انمق اذإ يقیقحلا راسملل ةمیق لقأ دنع نوكیس 𝜑w ةیئاھنلا ةلاحلاو 𝑥3, 𝜑3. نكل ةیفاضإلا تاراسملا نم دیدعلا نإف ،ةیئاھنلاو ةیئادتبالا نیتیوازلا طرش يمرب انمق اذإو ،𝜑 ریغتملا داعبتساب نآلا انمق دقل ،لاح لك ىلع اذھ نم هانملعت مھم سرد .لقألا لعفلا وذ نوكی نأ جاتحی نل يقیقحلا راسملا :𝑥3 ةیئاھنلا ةلاحلاو 𝑥w ةیئادتبالا ةلاحلا نیب لصتس

41

تاریغتملا تاقتشم نمضتی )ظفح نوناق( دیق مادختسا ربع ةیرحلا تاجرد ددع لازتخاب تمق اذإ )16( ةلداعم مدختست ال لیلحتلا تعطتساو ظفح نیناوق كیدل ناك اذإ .ھسفن يثادحإلا ةمیق تبثن نأ ردقن نلف نمزلل ةبسنلاب ةقتشملا ةمیق تیبثت ربع ھنأل ،نمزلل ةبسنلاب يلصألا ددعلا قبأ اذھ فالخ ؛6 ةقیرط مدختساو ،اذھب مقف دحاو ىلإ لزنی ةیرحلا تاجرد ددع لعجتس كنأ ثیحب ةریثك ادویق دجت نأ .)16( ةلداعم قبطو تایثادحإلل نوكتس ،ىرخألا تالاحلا يف ؛ةیكیسالكلا اكیناكیملا ةلاح طقف عضولاو ةكرحلا يتقاط نیب قرفلاب ىطعی يجنارجاللا نأ ىلع دیكأتلاب مقنل ،ةیاھن يف ةكرحلا ةلداعم ةیادبلا نم فرعن اننأ ضارتفاب .نارایخ دجوی ایئدبم ؟اذھب مایقلا اننكمی فیك .يجنارجاللا ریبعت فاشتكا ىلوألا ةمھملا,>ℒ(𝑥 يجنارجالل لصن ىتح بیرجتلا اننكمی ،>𝑥 ةیدیلقإلا تایثادحإلا ��<, 𝑡) نأ ظحال .ةكرحلا ةلداعمل ةقباطم حبصت )16( ةلداعم نأ ثیحب اذإ ،الثمف :ایئایزیف اھلیوأت اننكمیس ،اھب طبترملا يجنارجاللا داجیإ ربع ،لاح لك ىلع .ةیئایزیف لوصأ اھل نوكی نأ جاتحت ال ةیلصألا ةلداعملا هذھ مدختسنس ،ةیسیطانغمورھكلا يف .مخزلا اھمیسنو ةظوفحم ةیمك داجیإل رثیون ةیرظن مادختسا اننكمیس ،يلاقتنا لثامتل عضخی يجنارجاللا ناك .يسیطانغم لاجم يف نوحشم میسجل ممعملا مخزلا قاقتشال ةقیرطلا ىندألا لعفلا أدبم نأ ملعن نحن .ةیوبسن ةیطقن ةلتك رابتعاب اذھ حضونل ؛مكلا اكیناكیم مادختساب هرابتعا نكمی اماظن انسرد اذإ لمعی يناثلا رایخلا ــℏـب ابورضم ،ةیمكلا ةیكیناكیملا لامتحالا ةجوم روط نوكی نأ دبال لعفلا ،يلاتلابو ])17( ةلداعم ىلإ رظنا [ زنغیھ أدبمب طبتری اكیناكیملا يف نوكسلا ةلتكل ةزمار £𝑚 و ةیوبسنلا ةلتكلل ةزمار 𝑚 عم ،نذإ .يوبسنلا لعفلل ةعرسلا ةریغص ةیاھنلا يكیسالكلا لعفلا نوكیس ةلاحلا هذھ يف ،میسجلل

𝒮 = L(�� ∙ �� − 𝑅)𝑑𝑡 = L(𝑚𝑣3 − 𝑇 − 𝑉)𝑑𝑡 = L[𝑚(𝑣3 − 𝑐3) − 𝑉]𝑑𝑡

يلاتلاب

ℒ = 𝑚(𝑣3 − 𝑐3) − 𝑉 = −𝑚£O1 −𝑣3

𝑐3 − 𝑉

𝑉 نأ ركذت عمو ،)16( ةلداعم يف يجنارجاللا اذھ انعضو اذإ ھنأ نم دكأتلا لھسلا نم = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) و𝑣(��, ��, ��)، نوناق ىلع لصحنس .يجنارجاللا يف ةنمضتم ةیكرح ةقاط كلانھ دجوی ال ،نآلا ىرن نأ اننكمی امك .يوبسنلا يناثلا نتوین

تاحیملتلا 6 قلزنی كلسلا نأ ىطعم( يقفألا عم 𝑂 ةطقنلا دنع روحملل ةیسامملا ةیوازلا يھام .روحملاو قوطلا نیب 𝑂 سمالتلا ةطقنل موزعلا نازتا ةلداعم بتكا .1 ؟)روحملا ىلع ةناوطسألل سامملا اھعنصی يتلا ةیوازلا يھام .لئاملا حطسلاو ةناوطسألا نیب سمالتلا ةطقنل ةبسنلاب مسجلا-ةناوطسألا ماظنل موزعلا ةلداعم بتكا .2 ؟قفألا عم مسجلا عقوم دنع,𝑚�� :ھیلع ةرثؤم ىوق ةعبرأ كلانھ دجوی ؛الماك ’’𝑚 ةلتكلا + 𝐶𝐷 بیضق ’‘ ماظنلا ربتعا ،4 ةركفل اعوجر .3 ��، نابضقلا نم دشلا ىوقو،

𝑇�X555555 , 𝑇�Q555555. بیضقلا ىلع ةرثؤملا موزعلا نازتا نم جرختس ىوقلا هذھ ،2 ةركفل اعوجر .اھفرعن نأ دیرن الو اھفرعن ال يتلا ىوقلا يھ دشلا ىوق 𝐶𝐷 ،نآلا .𝐵𝐷 بیضقلا ىلع قبطنی ءيشلا سفن ؛𝐴𝐶 ـل ةیزاوم 𝐴𝐶 بیضق يف دشلا ةوق ،20 ةقیقح ببسب ،لعفلاب .𝐵𝐷و 𝐴𝐶 نیب عطاقنلا ةطقنل ةبسنلاب ؟اھل رادقم لقأب بولطملا مزعلا ىلع لصحنس ةوقلا هذھل هاجتا يأل ؟𝐹 ةوقلا مزع نوكی نأ بجی اذام𝑓 ةیدومعلا ةوقلاو كاكتحالا عمج يغلی نأ بجی 𝑚��و �� ىوقلل يھجتملا عمجلا .4 = 𝑁55 + 𝐹å5555، ةیواز عنصی نأ بجی ھنأ ىنعمب arctan 𝜇 عم 𝑚�� ىوقلا ثلثم مسرب مقنل .حطسلا ىلع يدومعلا + 𝑓 + �� = نكمی 𝑓 هاجتا ،)نامولعم هرادقمو ھھاجتا( ةرشابم ھمسر نكمی 𝑚�� ھجتملا :0 ھتمیق نوكتس هاجتا يأل .𝑚�� ـل ةیادبلا ةطقنل میقتسملا طخلا اذھ لصوت نأ بجی 𝑚��. �� ـل ةیاھنلا ةطقن لالخ ربعی میقتسم طخ ةطساوب ھتظحالم ؟نكمی ام ىندأ

��( 4 ةلأسم يف يتلاك ةقیرطلا سفن مدختساو )8و 7 نیتركفلا لغتسا( لئاملا حطسلل يعجرملا راطإلا ىلإ بھذا .5 + �� ةلاعفلا ةیبذاجلاك لمعت 𝑔R5555(. ةیاھنلا ةطقن )أ( .) لخادلا ىلإ ریشتو ةتباث 𝑓I يزكرملا درطلا ةوقو ،انكاس مسجلا نوكی ثیح( ةناوطسألاب اطبترم اراود ایعجرم اراطإ مدختسا .6 ىمظعلا ةیوازلا يھام .𝑓 كاكتحالا ةوقو ةیدومعلا ةوقلا ةلصحمل ةیواسم نوكت نأ بجیو ةرئاد ىلع كرحتت ةیبذاجلاو يزكرملا درطلا يتوق ةلصحمل ىوق ثالث دجوی لازام )ب( ؟ىمظع 𝑓Iو 𝑓 نیھجتملا نیب ةیوازلا نوكتس 𝑚�� ـل هاجتا يأل ؟قالزنا دجوی ال ثیحب 𝑓Iو 𝑓 نیھجتملا نیب ةحومسملا ىوقلا نازتا مسرنس ،K-11 ةركفلل اقبط .ىوتسملا سفن ىلع عقت نأ بجی ،يلاتلابو اثلثم نوكت نأ بجی ثالثلا تاھجتملا هذھ ،نازتا دجوی املاط ؛طقف ـل ةیاھنلا ةطقن نكل ،انھ اھمادختسا نكمی )أ( ءزج يف ةمدختسملا ةقیرطلا .𝑓I555و �� نیھجتملا ةطساوب فرعملا ىوتسملا يف يأ ،ىوتسملا اذھ يف

𝑓I555 + 𝑚�� نیب ىمظعلا ةیوازلا نوكت نأ ثدحی نأ نكمی ،سوقلا لوط ىلع ءانب .سوقلا اذھل ةیزكرملا ةیوازلا ددح .ةلماك ةرئاد نم اسوق طقف مسرتس =( حطسلا ىلع يدومعلا هاجتا 𝑓I555( و𝑓 سوقلا ةیاھن يتطقن دحأ دنع.

،ةتباث ةیواز ةعرسب نارودت نیتناوطسألا نم لك ،اضیأ .ةتباث ةعرسب كلذك كرحتی ةلماك ةبرعلا ةلتك زكرم ،ةتباث ةعرسب جرحدتلا ءانثأ ھنأ ظحال .7 ضیوعتل 11و 12 نیتركفلا قبط ؛ةلجعلل راودلا راطإلا مدختسا .ارفص نوكت نأ بجی كاكتحالا ةوق يلاتلاب ،اھیلع رثؤی مزع كلانھ نوكی نل يلاتلاب

مسرل 10و 9 نیتركفلا مدختسا اھدعب ؛ةبلاس ةفاثك تاذ ةناوطسأو ،ةرفح ریغب ةناوطسأ ،نیلثامتم نیمسجب )ةرفح عم ةناوطسألا( لثامتم ریغ مسج .ةیسأر ةوق يأ لذب ھنكمی ال نكل ،ةیقفأ ةوق يأ يطعی دق بیضقلا نأ نابسحلا يف ذخ ؛يزكرملا درطلاو ةیبذاجلا يتوق

42

يھجتم ةطساوب نیتعونصملا نیتیوازلا نع لوقلا اننكمی اذام ؟نوكت نأ كاكتحالا ىوق عطاقت ةطقن ىلع بجوتی طخ يأ ىلع ،14 ةركف ىلع ءانب .8 ؟كاكتحالا ةوق يھجتم عطاقت ةطقن نیأ .هالعأ نیجاتنتسالا جمدب مق نآلا ؟)طیخلا يف دشلا عم دماعتم روحملا( 1 ةركفلا طعم طیخلا هاجتاو كاكتحالا ةوق فرعت ىتح( ةناوطسألل يظحللا نارودلا زكرم وھ نیأ ؟نشخلا طیرشلا ىلع ةناوطسألا اھیف عقت يتلا طاقنلا دنع ةناوطسألا ةعرس تاھجتم هاجتا وھ ام لكشب انشخ حطسلا نوك عم ضراعتیس هالعأ نازتالا طرش لھ )ب( ؟ةناوطسألا زكرمل ةعرسلا ھجتم وھ ام ؟)ةكرحلا ملع بیتك ىلإ رظنا هدجت فیك ؟مظتنم ىندأ نیأ ؟ھیلع كرحتت نأ ةركلل نكمی ىنحنم يأ :22 ةركف مدختسا .ةماعدلا طاقن نیب لصی يذلا میقتسملا طخلا اھرطق نوكی ثیح ةرئاد مسرا .9 ؟ىنحنملا اذھل ةطقن

ىلع رثكأ بیضقلا عفدت كاكتحالا ةوقو ةیدومعلا ةوقلل ةلصحملا ةوقلا نوكتس α ةیواز يأل .لصفملل ةبسنلاب بیضقلا ىلع ةرثؤملا موزعلا ربتعا .10 ؟حوللا

؟𝛿 ةفاسم طیخلا ددمت اذإ ةلتكلا لزنتس مك .11 ىلع ةرثؤملا ىوقلا نازتا طرش بتكا ؟نزولا برقب ؟فقسلا برق دشلل ةیسأرلا ةبكرملا يھام .=𝑇 يھ لبحلا يف دشلل ةیقفألا ةبكرملا نأ ضرتفنل .12

.)4 ةركف ىلإ رظنا( لبحلاو لقثلا ماظن )بو لقثلا )أ𝐻 نأ ةیؤرب .13 ≪ 𝐿، لبحلل يقفألا ىوقلا نازتا نم .ناكم لك يف ةریغص لظتس قفألاو لبحلا نیب ةیسامملا ةیوازلاو ،اریغص لبحلا ءانحنا نوكیس،

ةطقنلا دنع اھتمیق جاتحنس ،لبحلا نم ةقلعملا ةعطقلا لوط ىلع ةتباث لظت =𝑇 امنیب ھنأ ظحال( 𝑙 لوطلا يف ةلادك =𝑇 دشلا ةوقل ةیقفألا ةبكرملا نع ربع𝑃 مت ام ىلع ءانب( ةلماحلا دیلل ةبسنلاب لبحلا نم قلعملا ءزجلا ىلع ةرثؤملا موزعلا نازتا ةلداعم بتكا .)ةعوضوملاو ةقلعملا نیتعطقلا نیب ةلصافلا .𝑙 لوطلل ةیعیبرت ةلداعم ىلع لصحت نأ كیلع بجوتی ،ةجیتنك .)𝑙/2 نوكتل اھبیرقت نكمی ةیبذاجلا ةوق عارذ ،هالعأ هركذ

ةیوازل )2 ةركف( لصفملل ةبسنلاب مزعلا نازتا طرش بتكا ،19 ةركف عابتاب )أ .راودلا لصفملل يعجرملا راطإلا ىلإ بھذا :9 ةركف مدختسا .14 )ب .)ةلأسملا هذھ لحل 21 ةركف مادختسا نكمی ،ریاغم لكشب ھنأ ظحال( ؟يزكرملا درطلا ةوق وأ 𝑚�� ،ربكأ امزع جتنی امھیأ .𝜑 ةریغص فارحنا )!ةینورم ةوق لثمت يتلا( يزكرملا درطلا ةوق يتقاط مادختساب 𝜑3و 𝜑w نیتریغص فارحنا يتیوازل ةلماكلا عضولا ةقاط نع ربع ،21 ةركف عابتاب𝜑w نازتالا .𝜑3و 𝜑w ،نیریغتم يف دودح ةریثك ىلع لصحت نأ ضرتفی .ةیعیبرتلا دودحلا طقف قبأ ،20 ةركفل اقبط ؛ةیبذاجلا ةوقو = 𝜑3 = نوكی0 ،الوأ .نیتنیابتم ىلإ يدؤی طرشلا اذھ ؛نازتالا ةطقن نع داعتبا يأل ةبجوم امیق يطعتس دودحلا ةریثك نأ يأ ،ایند عضو ةقاطب طبتری ناك اذإ ارقتسم𝜑3 رابتعاب = 𝜑w عم( 0 ≠ 𝜑3 يأل ،ایناث .ابجوم نوكی نأ بجی 𝜑w3 لماعم نأ جتنتسنس )0 ≠ اننأ يأ ،ةبجوم نوكت نأ بجی دودحلا ةریثك ،0 .ةبلاس نوكت نأ بجی ةددحملا نأ ينعی امم ،ةیقیقح لولح يأ كلانھ نوكی الأ بجی ،𝜑w يف ةیعیبرت ةلداعمك هانربتعاو رفصلاب ریبعتلا اذھ انیواس اذإ

ةطقنلا نوكیل ةلتكلا زكرم ذخ ،2 ةركف نم .)ةیسأرلا ىوقلا نازتا ضارتفاب يأ( وفطلا ةوق ھیف ریغتت ال يواز عقومل 22و 19 نیتركفلا قبط .15 نكمی نكل ،رفص حازملا ءاملا ةفاثك نإف ،ةنیعم ةقطنم يف حازم ءام دجوی مل اذإ :11،12 نیتركفلا مدختسا ،وفطلا ةوق مزع باسح ءانثأ .ةیروحملا0 :ةبلاسو ةبجوم نیتفاثك بكارتك اھلیثمت = 𝜌Í + (−𝜌Í). نیثلثمو لیطتسم بكارتك ھلیثمت نكمی دومعلا نم هایملا لفسأ ءزجلل يضرعلا عطقملا .)ةلتكلا بلاس امھدحأ( نیلیحن نیلثامتم

ریبعتلا اننكمیف ،نازخلا ةدعاق دنع لئاسلا طغض فرعن اننأ امب .لئاسلل يقفألا حطسلل ةیدومعلا لعافتلا ةوقبو ةیبذاجلاب رثأتی ءاملاو نازخلا ماظن .16 .يسأرلا نازتالا طرش نم نازخلا ةلتك نع

ةفرعمب :مظتنم لكشب لفسألل قلزنملا مسجلل يعجرملا ماظنلاو 51 ةقیقح مدختسنس بارطضالا ةقیرط مادختساب لوألا حیحصتلا باسح لجأ نم .17 .طسوتملا دخأ دعب ىغلتس اذل ،ةرود فصن دعب بلقنت ةریخألا ةراشإ .𝑢5و 𝑤55 يھاجتا يف اھیتبكرم دجن نأ عیطتسنس كاكتحالا ةوق هاجتاو رادقم

ةیبذاج دھجل ةیرفصلا ةیعجرملا ةطقنلل .طیحملا حطس ىلع دیدحلا بسار نم ادج ةدیعب ةطقن نوكتل يسأرلا 𝑥—روحمل لصألا ةطقن رایتخاب مقنل .18𝑥 راتخنس ضرألا = 𝜑R´RIå نأ يأ( 0 = 𝑔𝑥(، طیحملا حطس ىلع طاقنلا كلتل ،اھنیح .ةیاھناللا دنع ةطقنلا هذھ نوكتس دیدحلا بسارل ةبسنلابو )بكارتلا أدبم مادختساب( 𝑥 يف ةلادك دیدحلا بسار قوف دھجلل ریبعت داجیإ انل ةبسنلاب ىقبتی .ارفص ةیبذاجلا دھج نوكیس ،دیدحلا بسار نع ادج ةدیعبلا .رفصلاب ھتاواسمو

ةطساوب ةلوذبملا ةوقلا عارذ نوكتس اھنیح( ریغصلا صرقلا روحمل ةبسنلاب موزعلا نازتا رابتعاب ماقنل .ةصنملل يعجرملا راطإلا فیظوتب مقنل .19 تاعرسلا وحن ھجتتو رادقملا يف ةیواستم عطقلا هذھ ىلع ةرثؤملا كاكتحالا ىوق .مجحلا ةیواستم ةریغص عطق ىلإ صرقلا میسقتب مقنلو .)ارفص روحملا رئاودلا نإف ،يظحل روحم لوح نارودك اھنع ریبعتلا نكمی صرقلا ةكرح نأ امب .)راتخملا يعجرملا راطإلا يف( صرقلا طاقنل ةیطخلا ةھجتملا روحمل ةبسنلاب تاھجتملا هذھ مزع ةلصحم ،حوضوب .)يظحللا نارودلا روحم لوح ةزكرتم( نوكتتس كاكتحالا ىوق تاھجتمل زكرملا يف ةكراشتملا ةیاھناللا دنع يظحللا نارودلا روحم نوكی امدنع ارفص نوكیس مزعلا :)يظحللا نارودلا روحم دعب املك يأ( رئاودلا ءانحنا رغص املك رغصیس صرقلا�𝜔 ،ةیلاقتنا ةكرحلا نأ ينعی ةیاھناللا دنع يظحل نارود روحم .ةیزاوتم ةمیقتسم اطوطخ دحاولا زكرملا تاذ رئاودلا حبصتف = ةعرسلا نأ امب( 0𝑣 ةیطخلا = 𝜔�𝑟 نكل ،ةیئاھن ام ةطقنل 𝑟 = ∞(.

𝑟 دعب ىلع يظحللا نارودلا روحم .20 = 𝑣/𝜔 ةبكرم باسحب نآلا مق .ةقباسلا ةلأسملا يف امك ةیلیختلا ةئزجتلا سفن مدختسنل .صرقلا روحم نم ةیرئاد ةقطنم ربع اضعب اھضعب لداعت يظحللا نارودلا روحمل ةبسنلاب ةلثامتملا طاقنلا ىلع كاكتحالا ىوق نأ ظحال .ةكرحلا هاجتا يف ةوقلا ةلصحم𝑅 اھرطق فصن − 𝑟. رطق فصن ىلإ "ةلداعتملا" ةقطنملا عیسوت لیختنل .فسألل اھباسح بجی ةلداعتماللا ةقطنملا 𝑅 )لكشلا يف ةعطقملا ةرئادلا(. رودی امھدحأ ،نیصرق بكارتب ھلیثمت نكمی ،)لكشلا يف قماغلا يدامرلا لالھلا( ةعسوملا ةقطنملا هذھ نم يلعف راود صرق ھیف نوكی ال يذلا ءزجلا سكع يتلا ةبكرملا امنیب ،لداعتلا يف كرتشتس ةعاسلا براقع عم يتلا ةبكرملا ةلاحلا هذھ يف .ةعاسلا براقع سكع امھدحأو ،ةعاسلا براقع عم يدامرلا( يقیقحلا صرقلاب طبتری امھدحأ :)نیتنزتم ریغ( نیتلداعتم ریغ يلالھ لكش تاذ ناتقطنم لظتس ،صخلمك .ةلداعم ریغ لظتس ةعاسلا براقع .ناكم لك يف 𝑟 يواسی قطانملا هذھ كمس ،��ـل دماعم لكشب ؛)قماغلا يدامرلا( ةعاسلا براقع سكع رودی صرقب طبتری رخآلاو ،)لكشلا يف حتافلا𝜑: p��p يبطقلا يثادحإلا مادختساب لكشلا نیتیلالھ نیتقطنملا لماكل لماكتلا ذخأ وھ ةلصحملا ةوقلا داجیإل ةقیرط لھسأ = 𝐴 ∙ 𝑑𝑆، ثیح 𝑑𝑆 يھ =𝑑𝐹 ؛حطسلا رصنع ةحاسم = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑𝑑𝑆 = 𝐵𝑐𝑜𝑠3𝜑𝑑𝜑، 𝐹= = ∫𝑑𝐹= = 𝐵 ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝜑𝑑𝜑3U

؟𝐵و 𝐴 تباوثلا میق يھام .£

43

نع ربعنل .ةكرحلاب صاصرلا ملق اھیف أدبی يتلا ةظحللا دنع ةلتكلا زكرمل رغصلا ةیھانتملا ةحازإلا ىلإ ریشملا ھجتملا 𝜏 ةدحولا ھجتم ربتعا .21,𝑥) ةیتراكیدلا رواحملا يف ھتایثادحإ 𝑦, 𝑧)، ثیح 𝑥 حطسلاو ،ملقلل ةیزاوم (𝑥, 𝑦)—ھلثمنس يناكملا نارودلا تاقالع مادختساب .لئاملا حطسلل يزاوم ,[𝑥) ةدیدجلا تایثادحإلا يف 𝑦], 𝑧])، ـل ةبسنلاب نارود اھرودب يتلا(𝑥, 𝑦, 𝑧) روحملا لوح—𝑧 ةیوازب 𝜑 )روحملا نوكی ثیحب 𝑥] مادختساب .)ایقفأ ,[𝑥) ةیثادحإلا رواحملا يف [𝑧 ةیسأرلا 𝜏 ھجتملا ةبكرم نع ربعنس يناكملا نارودلا تاقالع 𝑦], 𝑧])، رواحملا نم اھیلع لصحی يتلا (𝑥], 𝑦], 𝑧]) .𝛼 ةیوازب [𝑥 لوح هریودت ربع

يسأرلا ىوتسملا ربتعا .الیطتسم حبصتس ةناوطسألا درفن امدنع ؛ةناوطسألا بناج ىلع رصقألا ةفاسملا لالخ نیتطقنلا لیصوتب طیخلا موقی .22 درف تلیخت اذإ .𝑠 میقتسم طخ يف امھضعب ناسملی ةناوطسألاو ىوتسملا اذھ .طیخلا نم قلعتملا ءزجلا نمضتی يذلا ةناوطسألا حطسل سمالملا بذبذتت امدنع .𝑙 داجیإ لھسلا نم نوكیس اذھ عم .𝛼 ةناوطسألا نالیم ةیواز يواستس 𝑠 میقتسملا طخلاو طیخلا نیب ةیوازلا نأ ىرتسف ،ةناوطسألا ةیذبذت ةلاح يأ ىلع دمتعی نل )ةلتكلل عضولا ةقاط يلاتلابو( قلعتملا طیخلا لوطف يلاتلاب .ةدورفملا ةناوطسألا ىلع امیقتسم ىقبیس طیخلا رثأ نإف ،ةلتكلا .)ھیلع اظفاحم 𝑠 روحمل يناكملا ھجوتلا ماد ام( يسأر حطس لكشب ادورفم ناك وأ لعفلاب ایناوطسأ حطسلا ناك اذإ ام ىلع وأ

𝑇w :طویخلا تالاطتسا نیب ةیطخلا ةقالعلا فصت ىرخأو ،موزعلاو ةوقلا نازتا فصول نیتلداعم بتكا .23 − 𝑇3 = 𝑇3 − 𝑇�. كلتلو ، 𝑎w ةریبكلا ةلتكلا عراست ناك اذإ .اضیأ ایسأر نوكیس يئادتبالا ةحازإلا ھجتم نإف يلاتلاب ،قلعملا مسجلا يف رثؤت ةیسأرلا ىوقلا طقف ةیادب .24

𝑎w نإف ،�𝑎 قلعملا مسجللو 𝑎3 اھقوف ةلتكلا + 𝑎3 = 𝑎�. طیخلا يف دشلا وھ ریخألاو عبارلا لوھجملا .مسج لكل يناثلا نتوین نوناق ةباتك اننكمی نآلا. )كانھ نوكس يف ةركلا لظت ىتح( رسیألا لیملا ىلع ةیدومع 𝑚 ةركلا ىلع ةیبذاجلاو روصقلا ىوق ةلصحم .نیفسإلل يعجرملا راطإلا ىلإ بھذا .25

تاركلا ىلع ةرثؤملا 𝑁35555و 𝑁w5555 ةیدومعلا ىوقلل ةیواسم تابكرملا هذھ .𝐹í3555555و 𝐹íw555555 يھ ةیدومعلا اھتابكرم .تاركلا ىلع ةرثؤملا ىوقلا ةلصحم ربتعا𝐹íw( ةمیقلا سفن امھل يلاتلابو = 𝐹í3( نیفسإلل ایقفأ ققحتیس ىوقلا نازتا نأ نامضل.

ریغ لبحلا نأل ،نیفسإلل ةبسنلاب رادقملا سفنب كرحتیس مسجلا نإف ،𝜉ـب ماظنلا كرحت اذإ .ماظنلا عقوم فصی يثادحإك نیفسإلل 𝜉 ةحازإلا ذخأنل .26Π ـب ةیكرحلا ةقاطلا ریغتت امك ،ددمتلل لباق = mg𝜉𝑠𝑖𝑛𝛼. يھ نیفسإلا ةعرس �� 2 مسجلل كلتو��𝑠𝑖𝑛 "

3 نأ ثیح ،نیتعرسلا عمجب اھیلع لصحتس(

𝐾 ةلماكلا ةیكرحلا ةقاطلا نوكتس يلاتلابو ،)𝛼 ةیواز امھنیب �� نیھجتملا = w3��3(𝑀 + 4𝑚𝑠𝑖𝑛3 "

3Π](𝜉) دجنس اھنیح .( = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼

ℳو = 𝑀+ 4𝑚𝑠𝑖𝑛3 "3

.باوجلا يطعیس امھعمج ؛ يطعیس انكاس ةلتكلا زكرم نوك نإف ،𝜂 نیفسإلا حطس لوط ىلع مسجلا ةحازإ تناك اذإ ؛𝜉 يثادحإلا نوكتل نیفسألا ةحازإ ذخأنل ،ىرخأ ةرم .27

η(𝑚w𝑐𝑜𝑠𝛼w +𝑚3𝑐𝑜𝑠𝛼3) = (𝑀 +𝑚w +𝑚3)𝜉. ىلع لوصحلا ءرملا عیطتسی انھ نم 𝜂 يف ةلادك 𝜉، ةرصتخم ةلداعملا لعج لجأ نم نكل ةیقفألا تاقاطلا عومجمب اھیلع لوصحلا نكمی ماسجألل ةیكرحلا تاقاطلا .ناكم لك يف ریبعتلا اذھ ضیوعت مدع لضفألا نم نوكیس

Ww3𝑚<(�� − ��𝑐𝑜𝑠𝛼<)3X ةیسأرلا تاقاطلاو Ww

3𝑚<(��𝑠𝑖𝑛𝛼<)3X.

.)؟اذامل( اضیأ ةیسأرلا ةناوطسألا ةعرس يواست ةریخألا نأو ةیقفألا ةناوطسألا ةعرس فعض مسجلا ةعرس نأ ظحال ،ةقاطلا ظفح نوناق ةباتك دنع .28 ةناوطسألا نیب ةیدومعلا ةوقلا نم لك ىلع دماعم روحملا اذھ :ةناوطسألا زكرمو ةجردلل ةیولعلا ةفاحلاب راملا روحملا ىلع يناثلا نتوین نوناق طقسأ ةیقفألا تاعراستلا نیب نراق :حیملت ؟يواست اذام ؟اذامل( ةتباث نیتیدومعلا نیتوقلا نیب ةیبسنلا :يناثلا لاؤسلا .ةناوطسألل يسامملا عراستلل كلذكو مسجلاو .ةظحللا سفن يف ارفص ناحبصیس يلاتلاب ،)يناثلا نتوین نوناق ركذتو مسجلاو ةناوطسألل

راسملا ءزج نم ةطقن ىندأ دنع رغصألا نوكت ةیدومعلا ةوقلا نأ ىرنس ةیدومعلا ةوقلا هاجتا يف روحملا ىلع يناثلا نتوین نوناق طاقسإ ربع .29 .)نكمی ام رغصأ روحملا لوط ىلع ةیبذاجلا ةوق نوكتو ،نكمی نم ربكأ يزكرملا عراستلا نوكی ،اھنیح( .سوقملا

،ةیناثلا ةرملل كانھ لصت امدنع .ىلفسلا ةطقنلا ربع ةیركلا رمت امتقو اظوفحم ھنوك أدبیس مخزلا ؛ةظوفحم امئاد "مسجلا&ةیركلا" ماظن ةقاط .30 .)؟اذامل( ىمظعلا مسجلا ةعرس نوكتس

𝑃 وھ يلكلا ماظنلا مخز :𝑃5ـل 46 ةركف قبطنل .31 = 𝜔𝑙𝑚 + 2𝜔𝑙𝑀، ةوقلا ةلصحم 𝐹 = (𝑚 +𝑀)𝑔 − 𝑇. ةینارود تارابتعاب ءيشلا سفنو: 𝑇) يھ مزعلا ةلصحم ؛)𝑙—ضبقملا عارذ ،2ω𝑙 يھ ةعرسلا( 𝑙(2𝜔𝑙)𝑀 وھ يوازلا مخزلا نإف ،يلوألا ىرسیلا ةركلا عقومل ةبسنلاب +𝑀𝑔)𝑙. 𝜀 يوازلا عراستلا جاتحنس 46 ةركف يف ةاطعملا ةلداعملل ،نآلا = ��. 6 ةقیرط مادختساب هدجنل: Π = 𝑙𝜑(𝑚 + 2𝑀)، 𝐾 = w

3��3𝑙3(𝑚 + 4𝑀). ؛)طیخلا دشو عراستلا ،تایدومع ناتوق( لیھاجم ةعبرأ انیدل دجوی ؛1:2 يھ نیعراستلا نیب ةبسنلا :رخآ لح راسم

.)بیضقلل ىرسیلا ةیاھنلل ةبسنلاب( مزع نازتا ةلداعمو )بیضقلاو نیتركلا نم يأل( نازتا تالداعم ةثالث :تالداعملا 𝜉𝜌ℎ/𝑀 وھ ةلتكلا زكرمل 𝑦—يثادحإ يف ریغتلا :34،12 ناتركفلا .طیخلا ةیاھن ةطقن ةحازإ مادختسا اننكمی 𝜉 ممعم يثادحإل :6 مقر ةقیرطلا .32

)ℎ طیخلا ةیاھن يتطقن يعافترا يف فالتخالا وھ، 𝑀 نأ ضرتفا ؛ماظنلل ةیلكلا ةلتكلا يھ ξ ≪ h(. يثادحإلل—𝑥 2 نوكیس𝜉𝜌𝑅/𝑀. 33. ⟨𝑇(1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼)⟩ = 2𝑚𝑔، 𝑇 = ⟨𝑇⟩ + 𝑇Ö، ثیح p𝑇Öp ≪ 𝑇. رغصألا دحلا لمھنس 20 ةركف ىلع ءانب ⟨𝑇Ö𝛼3⟩ نأ ظحالنو

⟨𝛼3⟩ > 0. لصحت نأ تالاحلل نكمی ال اذامل .لصفنم لكشب كرحتیس نمیألا ریبكلا مسجلا نأ وأ ،اعم ماسجألا لك كرحتت نأ امإ :نیتلاح رابتعا انیلع بجوتیس .34

؟لصفنم لكشب كرحتی رسیألا ریبكلا مسجلا )ب( وأ ،لصفنم لكشب كرحتت ةثالثلا تانوكملا لك )أ( ثیح .زكرملا نع افرحنم مداصتلا ناك مكب ددحتتس يئادتبالا راسملل ةبسنلاب ةیوازلا ؛ةدماعتم ةمیقتسم اطوطخ تاركلا تاراسم نوكتس مداصتلا دعب .35

44

تاعرسلا نع ربع :ةیزكرملا ةكرحلا .اددجم 52 ةركف قبط نآلا ؟الوأ تمدص يتلا ةركلا مخز هاجتا نوكیس اذام :داكلاب ةیزكرم ریغ ةكرحل .36 ةلداعم انل رفوی ةقاطلا ظفح ؟𝑝ã ةلقتنملا ةیسأرلا ةبكرملا يھام .تاركلا دحأل اھلقن مت يتلا =𝑝 مخزلل ةیقفألا ةبكرملا ةطساوب مداصتلا دعب ةھجتملا

.)𝑝3/2𝑚 ـك ةقاطلا نع ریبعتلا مئالملا نم( 𝑝ã داجیإل يتكرح الكل مسرلا( نیتركلا نیب مداصت ىلإ ریشی ةمیقتسملا طوطخلا نم جوزل عطاقتلا ةطقن ؛عطاقتم میقتسم طخ 𝑛 ـك ودبیس ينایبلا مسرلا .37

.)نامیقتسملا ناطخلا عطاقت ول امك ودبی ثیحب ةننسملا طوطخلا ایاوز سمالتتس مداصتلا ةطقن دنع ؛اننسم اطخ نوكیس نیتركلاZà :ةلتكلا زكرم يف ةیئادتبالا تاعرسلا .38

ZK�, �àZK�

.𝜇𝑚𝑔𝐿 :الغش عنصی كاكتحالا ؛رفص ةیئاھنلا تاعرسلا ، ةزومرملا ةركلا ھجتتس نیأ ةفرعم يرورضلا نم .ةرك يأل مخز يأ سیل نكل ،موخزلا تاھاجتاو ریداقم ىلع ةرشابم لصحنس لكشلا نع ءانب .39

.ثالثلا تارایتخالا نم رایتخالا يف دعاستس 27 ةركف .مداصتلا دعب ھجتتس مھسلاب ىوتسم ىلإ ىلعألا نم ھلقن مت 𝑑𝑚 ةلتكلا نم انیعم اءزج نكل ،زكرملا يف ءاملا ضعب كانھ لظیس :ریغتیس عئاملا عزوت 𝑑𝑡 تقو يف :ةقاطلا .40

𝑔𝐻 وھ ماظنلا عضو ةقاط يف ریغتلا نإف اذل ،)روبنصلا لالخ اھدعبو( روبنصلا ∙ 𝑑𝑚. يلك مخز ىلع لصحیس لیمربلا يف ءاملا :مخزلا 𝜌𝐺𝐻𝑆𝑑𝑡 𝜌𝑆𝑣 ھتلتك يذلا ءاملا رایت ىلإ لقنیس مخزلا اذھ .ناردجلا نم ∙ 𝑑𝑡.

امخز لقانلا مازحلا ىلع طقاسلا لمرلا لصحیس 𝑑𝑡 نمز يف .كاكتحالاب رثأتتو قلزنت لمرلا تابیبح :ةظوفحم تسیل ةقاطلا .41 𝑑𝑝 = 𝑣𝑑𝑚 = 𝑣𝜇𝑑𝑡 يھ مازحلاو طوقسلا ثیدح لمرلا نیب ةوقلا :مازحلا نم 𝐹w = 𝑑𝑝/𝑑𝑡. ةیبذاجلا ةوقب رعشیس مازحلا ىلع لمرلا 𝑚𝑔 يذلا 𝐹3 ،مازحلل ةیزاوملا كاكتحالا ةبكرم ةطساوب سكاعت = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼، ثیح 𝑚 = 𝜎𝐿 و مازحلا ىلع لمرلا ةلتك يھ𝜎𝑣 = 𝜇. ذخؤتس ایندلا ةمیقلا .𝑣 ـل ةبسنلاب

𝑝í∆ مداصتلا ءانثأ .42 = \2𝑔ℎ. ،كاكتحالا ةمواقمل لوذبم لغش كلانھ نوكیس عضولا ةقاط ریغتل ةفاضإلاب .𝑑𝑙 لوطب ةلتلا لوط ىلع راسملا نم اریغص اعطقم ربتعا .43

𝑑𝐴å = 𝜇𝑚𝑔𝑡𝑎𝑛𝛼 ∙ 𝑑𝑙 . نأ دجن 𝑑𝐴å = 𝐶 ∙ 𝑑𝑥، ثیح 𝐶 ةریغصلا تاراسملا لكل عومجملا ذخأب .تباث 𝑑𝑙 دجنس 𝐴å = 𝐶∆𝑥. 𝐾 ةیكرحلا ةقاطلا .44 = Z

3��3 + 𝑀��3، ثیح 𝑥 ؛لئاملا حطسلا لوط ىلع ةحازإلا يھ Π = (M +m)xsinα. عراستلل انداجیإبو 𝑎 بھذنس

.ةنكمم ةطقن ىندأ ىلإ ةلاعفلا ةیبذاجلا ةطساوب مسجلا حازیس ثیح ،)8و7 ناتركفلا( 𝑎 عراستب كرحتی )ةناوطسألا( راطإ ىلإ£𝐿 نوكیس مداصتلا لبق بیضقلل يوازلا مخزلا ،62و 61 نیتركفلل اقبط .45 = 𝑀𝑙𝑣 − w

�𝑀𝑙3𝜔مداصتلا دعب ؛ 𝐿w = 𝑀𝑙𝑣] − w

�𝑀𝑙3𝜔]؛

𝐿£ = 𝐿w. وھ يئاھنلا فرظلا: 𝑣] + 𝑙𝜔] = .)لكشلا يف حضوملا هاجتا يف نارودلا ناك اذإ ةبجوم 𝜔 ربتعنس( 0𝑚𝑣 :مداصتلا لبق ریثأتلا ةطقنل ةبسنلاب يوازلا مخزلا .46 é𝑥 − ü

3ë − 𝐼£𝜔، ثیح 𝑣 = 𝜔 ü

3𝐼yو =

ww3𝑚𝑙3.

؛65 ةركف مادختسا اننكمی اھنیح ،ریغتی ال ةلتكلا زكرم نع ھتفاسم ؛ةیضرألاو ةناوطسألا نیب سمالتلا ةطقنب رمی يظحللا نارودلا روحم .47 𝐼 = �

3𝑚𝑅3.

[ وھ 𝑥—روحمل ةبسنلاب يئاھنلا يوازلا مخزلا .)ةیوازلا موخزلا تاراشإ تبثیس اذھ( ىلعأ ىلإ 𝑧 روحم ھجونل .48ô𝑚𝑣ã𝑅 −𝑚𝑢𝑅 ةبسنلابو

[ نوكیس 𝑦—روحملô𝑚𝑣=𝑅.

نل مداصتت مل يتلا تاركلا ةعرس ،هاجتالاب سكعنتس ةمداصتملا تاركلا تاعرس ،نینكاس نیلبمدلا ةلتك ازكرم نوكیس لوألا مداصتلا دعب ةرشابم .49 .لوألا ثدح املثم يناثلا مداصتلا لصحیس مث ،ھیبذبذت ةرود فصن نالمكیو لودنبلا لثم نافرصتیس نیلبمدلا الك .ریغتت

𝑙 ھلوط يضایر لودنب لثم—ةناوطسألا روحم عم دماعتملا ىوتسملا يف ایقفاوت ابذبذت يدؤتس لمرلا تابیبح .50 = 𝑅 ةیبذاج لاجم يف 𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼؛ 𝑎( روحملا لوط ىلع تباث عراست دجوی = 𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼(. احیحص افعاضم هروحم لوط ىلع ضوحلا روبعل مزاللا نمزلا ناك اذإ لصحیس زكرتلا .يرودلا نمزلا فصنل

نیتكراشتملا نیترئادلا ىلع ةعقاو نوكت نأ دب ال ثالثلا قیلعتلا طاقن .قالعملا لثامت روحم يف عقی ةلتكلا زكرم نأ جتنتسنس نازتالا عقوم ةبقارمب .51 بجی )قالعملا ةلتك زكرم( رئاودلا زكرم امنیب ،اھنم نیتطقن لقألا ىلع مضت نأ دبال نیترئادلا نیتاھ دحأ يلاتلاب .69 ةركف يف نیتروكذملا زكرملا يف لوطلا ددحنس تاثلثملا باسح مادختساب نیترئادلل 𝑙3و 𝑙w نیرطقلا يفصن باسحب .ھلثامت روحم ىلع قالعملا كالسأب ةطاحملا ةقطنملا لخاد عقی نأ𝑙w لودنبلل لزتخملا + 𝑙3 يرودلا نمزلا ىلع لصحنس اذھ مادختسابو.

ةنراقم زاغلا ةلتك ،طبضلاب اھلثم ةلاعفلا ةلتكلا نوكتس ةدعاصتملا ةعاقفلل .ةطقاسلا ةركلا عراست مادختساب اھداجیإ نكمی كرحتملا ءاملل ةلاعفلا ةلتكلا .52 .ةلمھم نوكتس اذھب

الك يف .نانوكتیس نییمھو هایم ابوبنأ ،يلاتلاب .نیمیلل ھجتیس نمیألاو ،راسیلل ھجتیس رسیألا رایتلا :نیمسق ىلإ ایلقع ھمیسقت نكمی ءاملا رایت .53 مخز نإف ،يقفألا مخزلا ظفح ىلع ءانب .ریغتت نأ نكمی ال لئاسلا ةعرس ،يلونریب نوناقل اقبط :يجراخلا طغضلا يكیتاتسإلا طغضلا يواسیس نیبوبنألا𝜇 ،ةیرارمتسالا ببسب ھنأ ظحال .يقفألا يساسألا قفدتلا مخز احبصیل اعمجی نأ بجی نیمیلل قفدتلا مخزو راسیلل قفدتلا = 𝜇à + 𝜇^.

𝑢) ةیرارمتسالا ببسب .54 + 𝑣)(𝐻 + ℎ) = 𝐻𝑢 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡، ثیح ℎ = ℎ(𝑥) ةطقن دنع ءاملا عافترا وھ 𝑥 و𝑣 = 𝑣(𝑥) اننكمی .ةعرسلا يھ :)حطسلا نع ةدیعب تسیل يتلا بایسنالا طوطخو رحلا حطسلا نیب ةقطنملا( حطسلا برق يلیخت بوبنأل يلونریب نوناق ةباتك w

3𝜌(𝑢 + 𝑣)3 + 𝜌𝑔(𝐻 + ℎ) = w

3𝜌𝑢3 + 𝜌𝑔𝐻 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡. تالماعم نمضتت يتلا( ةریغصلا ةیناثلا ةجردلا تاذ دودحلا لامھا اننكمی 𝑣3

.𝑣ℎ وأ .4𝐿𝑚𝑣 نذإ نوكیس يتابایدألا تباثلا ؛رادجلاو مسجلا نیب ةفاسملا يھ 𝐿 ثیح ،2𝑚𝑣و 𝐿 لاوطأب يقفأ لیطتسم نع ةرابع روطلا راسم .55 .ةلتكلا زكرم قوف مھعطاقت ةطقن نوكت نأ بجوتیس ،مھدیدمتب موقت امدنع ،كاكتحالاو ةیدومعلا ةوقلا تاھجتم ةلصحمل .موزعلا نازتا ربتعا .56

45

𝐿 وھ ةرشحلل يوازلا مخزلا :ةیدومعلا ىوقلا عطاقت ةطقنل ةبسنلاب ةینارودلا ةكرحلل يناثلا نتوین نوناق بتكنل .57 = 𝑚𝑣𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼، ریغت لدعم بلاس عراستلا نأ ظحال ،نمزلا باسح دنع .)رفص ىوقلا ةیقب ةوق عرذأ( ةرشحلا ىلع ةرثؤملا ةیبذاجلا نع جتانلا مزعلا نوكیس يوازلا مخزلا اذھ .ةیقفاوت تابذبذت عم لماعتن اننأ يأ ،ىلفسلا ةیاھنلا نم ةفاسملا عم بسانتیو

.لفسألل بیضقلا كاكتحالاو ةیدومعلا ةوقلا ةلصحم بحست امدنع لصحی بجحلا .58 كاكتحالاو ةیدومعلا ةوقلا ةلصحم اھنیحف .لصحیس ھنأ ضرتفا .كاكتحالاو ةیدومعلا ىوقلا ادع ام ىوقلا لك لامھإ اننكمی بجحلا ثدحی امدنع .59

نیب ةیوازلا ىلع لصحنس اذھبو .رادقملا سفن مھلو طخلا سفن ىلع عقت نأ بجی يأ ،موزعو ىوقك ضعبلا امھضعب الداعت نأ بجی نیمیلاو راسیلا نم .كاكتحالاو ةیدومعلا ةوقلا ةلصحمو حطسلا ىلع يدومعلا

زكرمل يقفألا يثادحإلا ،𝑅𝜑ـب سمالتلا ةطقن حازتس :𝜑 ةیوازب حوللا فتلی امدنع ،لصاوتلا ةطقنل ةبسنلاب حوللا ىلع رثؤملا مزعلا هاجتا ربتعا .60å ةفاسمب حازیس ةلتكلا

3𝜑 سمالتلا ةطقنل يلوألا عقوملا نم.

𝑚) ةیبذاجلا ةوق نزاوت يھو ؛𝜌𝑔ℎ𝜋𝑅3 يكیتاتسوردیاھلا طغضلا نم يتأت ءاملاو ءاعولا ماظن ىلع حطسلا نم ةدیحولا ةوقلا .61 + 𝜌𝑉)𝑔. ظحال 𝐻 نأ = 𝑅 − ℎ.

w يھ يزكرملا درطلا ةوقل ةیبذاجلا عضو ةقاط .623𝜔3𝑟3، ثیح 𝑟 نارودلا روحم نم ةفاسملا يھ.

يھام ؟)يتاذلا روصقلاو ةیبذاجلا يتوق ةلصحم( ةلاعفلا ةیبذاجلا ھجوتتس نیأ .)𝑎 عراستب كرحتی يذلا( ریبكلا مسجلل يعجرملا راطإلا نأ ضرتفا .63𝑎دشلا وھ ام ؟يعجرملا راطإلا اذھ يف ةریغصلا ةلتكلا ھب طقستس عراست يأب ؟ 𝑇 ةلتكلل نازتالا فرظ ةباتك اننكمیس ةلئسألا هذھ ةباجإب ؟طیخلا يف 𝑚𝑎 ةریبكلا = 𝑇(1 − 𝑠𝑖𝑛𝛼).

حوضوب ؟)رخآلا لئاملا حطسلا يف اعافترا( ةركلا ةحازإ يھ ام .𝜉 ممعملا يثادحإلا نوكتل )لئاملا حطسلا يف الوزن( ةركلا ةحازإ مدختسنل .64 Π = (𝑚 −𝑀)𝑔𝜉𝑠𝑖𝑛𝛼. لئاملا حطسلا هاجتا ىلع يناثلا نتوین نوناق طاقسإ ربع هداجیإ نكمی نیمسجلا نیب ةیدومعلا ةوقلا.

زكرم نأ ةفرعمب مھنیب ةقالعلا يھام .يلاوتلا ىلع 𝑦و 𝑥 ىرسیلاو ىطسولا نیتناوطسألل ةیقفألا ةحxxازإلاو ،𝜉 ةریبكلا ةناوطسألا ةحازإ نكتل .65 انضرتفا اذإ .𝜉 ةلالدب 𝑦و x نع ریبعتلا اننكمیس اھیلع انلصح يتلا نیتلداعملا نم ؟ریغتت ال نابضقلا لوط نأ رابتعاب مھنیب ةقالعلا يھام ؟نكاس ةلتكلا𝜉 ،يقفألا بیضقلا لوطو ىطسولا ةناوطسألل 𝑧 ةیسأرلا ةحازإلا نیب ةقالعلا نوكتس اذام ،ةریغص ةحازإلا نأ − 𝑥ةقیرط قیبطت ،جئاتنلا هذھ ةفرعمب ؟

.ارشابم نوكیس 6 .6 ةقیرط مدختسا ؟𝜉 ةلالدب متاخلا ةحازإ يھام ؟)31 ةركف ىلإ رظنأ( ةركلل 𝜉 ةریغصلا ةحازإلا هاجتا وھام .66 .ایرطق يناثلا نتوین نوناق يف عراستلاو ةوقلا طاقسإ ربع ةقاطلا ظفح عم 40 ةركف مدختسا .67 دجنس v ةعرسب كرحتی يعجرم راطإ ىلإ لاقتنالا ربع :K2و K1, K29( ةركلا عراست داجیإل ةكرحلا ملع نم راكفألا ضعب مادختساب مقنل .68

مدختسا نآلا .)عراستلا رادقم تاثلثملا ةسدنھ مادختساب دجنس ،رفص ةركلل يقفألا عراستلا نأ ةظحالم ربعو بیضقلا هاجتا يف ةركلا عراست ةبكرم .يناثلا نتوین نوناق

ةركف مادختساب .)ةیواستم ةیقفألا امھتاعرس نأ زیكرتلا عم( اھصحفتن يتلا ةظحللا دنع مسجلا ةعرس نع ریبعتلا اننكمی ةركلل v ةعرس مادختساب .69 نم .رفص بیضقلا يف دشلا نأ جتنتسنس يقفألا هاجتالاو ةركلل يناثلا نتوین نوناق مادختساب ؛رفص )ةركلل يلاتلابو( مسجلل يقفألا عراستلا دجنس 40

.لحلا اھیف نمكی ةلداعم ىلع لصحنس بیضقلا هاجتاب ھجتملا روحملاو ةركلل يناثلا نتوین نوناق نمو 𝑣3 نع ربعنس ةلتكلا ظفح نوناق نالصحیس نیثدحلا لك اھنیحف ،ةلتكلا زكرم كرحتی مل اذإ( نیمیلا وأ راسیلل كرحتیس ةلتكلا زكرم ناك اذإ ام يصقتل يناثلا نتوین نوناق مادختساب .70

.)تقولا سفن يف مدختسا يناثلا ءزجلا نع ةباجإلا لجأ نم .)27 مقر ةركفو 3 ةقیرط مدختسا( رفص ةعرسلل ةیدومعلا ةوقلا نأ رھظأ :لوألا ءزجلا نع ةباجإلل .71 .56 ةركفو 3 ةقیرط

ةعرسلا ىلع لصحنس نیتاھ نیتلداعملا نم .ةقاطلا كلذكو ،ةظوفحم مخزلل ةیقفألا ةبكرملا نأ يأ ،ةیقفأ ىوق كلانھ نوكی نل طیخلا لوط ببسب .72v ةیدحلا = 𝑣£، 44 ةركف ىلإ رظنأ ارفص ةیسأرلا اھتعرس نوكتس ةظحللا هذھ دنع ھنأ ظحال .ةیولعلا عافترا ىلإ ةیلفسلا ةركلا اھب عفترتس يتلا.

ىقبت نأ نكمملا نم سیل اذامل( اعم نایقبتس ناتیلفسلاو قلزنتس ةیولعلا ؛قلزنیس ءيش لك ؛اعم ىقبتس ماسجألا لك :تارایخلا .51 ةركف مدختسا .73 .)؟ةیلفسلا قلزنتو اعم ناتیولعلا ناتنثالا

نكمی لھ( اینورم ال مأ امات اینورم مادطصالا ربتعنس لھ— )مادطصالا نم ةروصحم ةدم ءانثأ( نایبصلا مداصتی امدنع لمعیس ظفح نوناق يأ .74 نیتعرسلا ةفرعمب ،تباث نییبصلا نیب كرتشملا عراستلا :مداصتلا دعب .58 ةركف ىلإ رظنا )؟ةقاطلا بھذتس نیأ ،اینورم ال ناك اذإ ؟نیأو مخزلا دقفی نأ .ةطیسب ةكرح ملع ةلأسم ةفاسملا داجیإ حبصیس ةیئاھنلاو ةیئادتبالا

اذھ يف ارفص نوكتس ةیوازلا ھتعرس نأ نھربو بیضقلا نارود ةیوازل 44 ةركف قیبطت ربع( ىمظع v ةعرسلا نوكتس يسأر طیخل ھنأ تبثأ .75𝜔 نأ ركذت( ةقاطلا ظفح قیبطت طقف ىقبیس اھنیح .)61 ةركف مدختسا ؛عقوملا = يقفألا عراستلا نأ ظحالنلو 44 ةركف مادختساب مقنل ،a عراستلل .)0 يباسحلا طسوتملا وھ ةلتكلا زكرمل يسأرلا يثادحإلا نأ اضیأ ظحال .)ةظحللا هذھ يف ةیقفأ ىوق ةیأ كلانھ دجوت ال( ارفص نوكی نأ بجی ةلتكلا زكرمل

𝑥ï ،ةیاھنلا يتطقن يثادحإل =w3(𝑥� + 𝑥�)ىلع لصحنس نمزلل ةبسنلاب ةقتشملا ذخأ ربعو ؛ ��ï =

=_3

��ïو ≡ 𝑎 = =_3

.)تباث �𝑥 نأ سنت ال( يف A ةطقن عراستل )ةیزكرملا يأ( ةیرطقلا ةبكرملا يھ هذھو ؛A ةیولعلا بیضقلا ةیاھنل يسأرلا عراستلا فصنك هداجیإ نكمی 𝑂 عراست ،يلاتلاب

T ةدحاو ةلداعم انیدل 𝑇 دشلا ةوقل ،اماتخ .قیلعتلا ةطقن لوح ةیرئادلا اھتكرح + N −mg = ma، جاتحنس ،اھیلع لوصحلل .ىرخأ ةلداعم جاتحن اننكل ةبسنلاب مزعلا .𝑎 ىلعألل عراستبو ،𝑣 ةعرسب نیمیلل ایلاقتنا كرحتی دیدجلا انراطإ ،ةظحللا كلت يف .O راطإ يف بیضقلل ةیوازلا ةكرحلا ربتعن نأ𝑇 طبر اننكمی نذإ .)رفص امھعارذ روصقلاو ةیبذاجلا اتوق( 𝑁و T نم يتأی ةلتكلا زكرمل − 𝑁 يناثلا نتوین نوناق ربع بیضقلل يوازلا عراستلاب ةیسأرلا ةعرسلا( ناتیقفأ نیتعرسلا الك ،لعفلاب ؛ناتیواستم 𝑂و 𝐴 اتعرس ،ربتخملا راطإ يف ھنأ ظحالنل ،يوازلا عراستلا ىلع روثعلل .ةیوازلا ةكرحلل

46

��ïو ،اھراسم يف ةطقن ىندأ يف اھنأل رفص Aـل ==_3

)ةیواستم نوكت نأ بجی بیضقلا هاجتا يف تاعرسلا تاطاقسإ( K-35 ةركف مادختسابو ،) .يزكرملا اھعراست عم لاحلا وھ امك ارفص نوكت نأ بجی 𝐴 ةطقنلا ةعرس ،كرحتملا راطإلا يف ،يلاتلاب .ةتباث نوكت نأ بجی تاعرسلا نإ جتنتسنس .هرادقم ىلع لوصحلا اننكمی تاثلثملا ملع مادختسابو 2a عراستلل ةیسأرلا ةبكرملا فرعن نحن ،بیضقلا ىلع ایدومع نوكی نأ بجی عراستلا ،يلاتلابو .بیضقلل يوازلا عراستلا داجیإ اننكمی ،عراستلا اذھ عم

w وھ ةلتكلا زكرم نع هدعب نأ دكأت( يظحللا نارودلا روحم دجوأ .763

،ةیضرألاو رادجلا ةفاح لوح ةزكرتم ةرئاد ربع كرحتی ةلتكلا زكرم نأ تبثأ .) روحملل �� ةقتشملا يف ةلادك ةیكرحلا ةقاطلا نع ربع .اصعلاو رادجلا نیب 𝜑 ةیوازلا سفن وھ ةرئادلا هذھ ىلع ةلتكلا زكرمل يبطقلا يثادحإلا نأ امنیب𝜔3 ـك ةقاطلا ظفح نع ربعو )رنیتس( ةیزاوتملا رواحملا ةیرظن مادختساب 𝜑 ممعملا = 𝑓(𝜑)ىلع لصحنس 6 ةقیرط مادختساب ؛ 𝜀 = �� = w

3𝑓](𝜑)

زكرمل يرطقلاو يسامملا نیعراستلا مادختساب فرظلا اذھ نع ربع :ایسأر ةلتكلا زكرم عراست نوكیس ،رفصلا رادجلا نم ةیدومعلا ةوقلا لصت امدنعü( يرئادلا هراسم ىلع ةلتكلا

3𝜀 وü

3𝜔3( داجیإل ةلداعمك ھمدختساو 𝜑.

𝜔 نأ دجنس 64 ةركف ىلع ءانب .77 = 6𝑣/𝑙. ریبعتلا اننكمیسو مادطصالا دعب صرقلا ةعرس نم صلختنس مخزلاو ةقاطلا ظفح مادختساب مادختساب .لتكلا ةبسن نع

ةبكرم نوكتس مداصتلا دعب :مداصتلا ءانثأ ةظوفحم يسأرلا هاجتالا يف ةقاطلا اذھلو ،ةینورم ىوق يھ حطسلا ىلع يدومعلا هاجتاب ھجتملا ىوقلا .78 ةیناثلا ةلداعملا .64 ةركف نم ةدحاو ةلداعم ىلع لوصحلا اننكمیس ،ةیوازلاو ةیقفألا ناتعرسلا ،نیرخآلا نیلوھجملا داجیإل .قباسلاك اھسفن يھ ةعرسلا

.60 ةركف نم ةرھاظلا ةلداعملا )ب( ؛)قالزنا ال( سمالتلا ةطقن دنع رفص ةركلا حطس ةعرس نأ طرش )أ( نم رھظتس .65 ةقیرط مادختسا يھ باوجلا داجیإل ةقیرط عرسأ نوكتس ةریخألا ةلاحلا يف .جرحدتلاو قالزنالا تارتف فشكتسنس 51 ةركف مادختساب .79 اللا يعجرم راطإلا مادختسا بسانملا نم عراستلا داجیإل .)ایلاقتنا كرحتی قوطلا نأ ظحال( مخزلاو ةقاطلا ظفح ينوناق نم اھداجیإ نكمی ةعرسلا .80

ىسنت ال( قوطلاو مسجلا نیب ةیدومعلا ةوقلا يطعی يرطقلا نازتالا طرش .مسجلل يزكرملا درطلا عراست داجیإ لھسلا نم نوكی ثیحب ،قوطلل يروصق .عراستلا داجیإل ةلداعم يطعی قوطلل يقفألا نازتالا طرش ؛)!ةیروصقلا ةوقلا

نمزلا اذھ يف كاكتحالا ةطساوب لوقنملا مخزلا نأ امك مسجلل ةبسنلاب راسیلل ةدعاقلا قلزنتس 𝑡ü ام نمزل .ابیرقت ةتباث مسجلا ةعرس نأ ضرتفنل .81 نازتالا طرش .اضیأ نیمیلا هاجتاب نوكیس لوقنملا مخزلا نأ امك مسجلل ةبسنلاب نیمیلل ةدعاقلا قلزنتس 𝑡R يقبتملا نمزلا ءانثأ .اضیأ راسیلا هاجتاب نوكیس دنع ةبسنلا اھیف نوكت يتلا ةعرسلا دجنس ينایبلا مسرلا نم .𝑡ü/𝑡R ـل نازتالا ةمیق نع ثحبنس يلاتلاب ؛رادقملا سفن امھل نیمخزلا نیذھ نأ نوكیس .ةبسانملا ةمیقلا

82.

.52 مقر ةلأسمل ةئفاكم ةلأسملا نوكتس حولل يعجرملا راطإلا يف .83𝑎3\ ةلاعفلا ةیبذاجلا نوكت ثیح ،ةبرعلل عراستملا يعجرملا راطإلا ىلإ بھذا .84 + 𝑔3 نكسیس نكل بذبذتیس لمحلا .يسأرلا عم ةریغص ةیوازب

ءانثأ مظعألا فارحنالا دنع طبترملا عقوملا نوكی امدنع نكمملا نم اذھ .ارفص لمحلا ةعرس تناكو فوقولا ةظحل دنع ایسأر كلسلا ناك اذإ ةیاھنلا يف هذھ يف .ایسأر كلسلا نوكی نأ بجوتیس ؤطابتلا أدبی امدنع ىتح ھنأ ثیحب ،ؤطابتلاو عراستلا ءانثأ اھسفن نوكت نأ بجی بذبذتلا ةعس يلاتلاب .بذبذتلا ؟عراستلا ةدم عم يرودلا نمزلا طبتریس فیك ،ةلاحلا

ةبوجألا 71. 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 �`

(�Kü)\`�Kw

2. arcsin ZZK�

`\`�Kw

3. 𝑚𝑔/2 4. 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜇 − 𝛼)(؛ب `Zê

\`�Kw .أ)

5. μ ≥ |ê{<z"�´xy{"|êxy{"K´{<z"

𝑔 ناك اذإ + 𝑎𝑡𝑎𝑛𝛼 > 0.

𝜔3𝑅 )أ .6 > 𝑔\1 + 𝜇�3؛ 𝜔3𝑅 )ب ≥ 𝑔\1 + 𝜇�3 ناك اذإ μ < 𝑐𝑜𝑡𝛼 و 𝜔3𝑅 ≥

𝑔(𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝜇�w𝑠𝑖𝑛𝛼) ناك اذإ μ > 𝑐𝑜𝑡𝛼 7. 𝑣 = 3\𝑔𝑅 8. 𝑣/2 9. 𝑡𝑎𝑛2𝛼 = ℎ/𝑎

10. 𝜇w ≥ √𝑙3 − ℎ3/ℎ 11. 3𝑚𝑔 12. 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 Wé1 + Z

�ë 𝑐𝑜𝑡𝛼X

13. \2𝐻𝐿𝜇 + 𝜇3𝐻3 − 𝜇𝐻 ≈ \2𝐻𝐿𝜇 − 𝜇𝐻 ≈ 7.2𝑚 𝜔3 )أ .14 < 𝑔/𝑙ب ؛( 𝜔3 < *2 − √2+𝑔/𝑙

15. w3(1 − 3�

¥�)𝜌à ≈ 211𝑘𝑔/𝑚�

16. U�𝜌𝑅�

17. 𝑣/\𝜇3𝑐𝑜𝑡3𝛼 − 1 18. J

�𝜋𝐺𝑟�∆𝜌/𝑔(𝑟 + ℎ) ≈ 0.95𝑐𝑚

19. −ω 20. 𝜇𝑚𝑔𝑣/𝜔𝑅 21. 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑡𝑎𝑛𝛼 < 𝑡𝑎𝑛30y 22. 𝐿 − 𝜋𝑅/2𝑐𝑜𝑠𝛼2 ؛π\𝐿/𝑔 23. w

w3𝑚𝑔, w

�𝑚𝑔, ]

w3𝑚𝑔

24. 𝑚𝑔/(2𝑀 +𝑚) 25. 𝑚 < 𝑀𝑐𝑜𝑠2𝛼 26. Zê{<z"

[�K3Z(w�xy{")]= 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼/[𝑀 + 4𝑚𝑠𝑖𝑛3 "

3]

27. 𝑔 (Z¥{<z"¥�Z�{<z"�)(Z¥xy{"¥KZ�xy{"�)(Z¥KZ�K�)(Z¥KZ�)�(Z¥xy{"¥KZ�xy{"�)

28. 𝑚𝑔(5√2 − .تقولا سفن يف ؛6/(4

47

29. 𝑐𝑜𝑠𝛼 ≥ w�(2 + 𝑣3/𝑔𝑅)

30. 2 Z�KZ\2𝑔𝑅

31. 𝑚𝑀𝑔/(𝑚 + 4𝑀) 32.

𝐹= = 2𝑅𝑎𝜌, 𝐹ã = (𝑚 + 𝜌𝐿)𝑔 − 𝜌(𝐿 − 𝜋𝑅 − 2𝑙)𝑎 𝑎 ثیح ، = 𝜌𝑔(𝐿 − 𝜋𝑅 − 2𝑙)/(𝑚 + 𝜌𝐿).

.ھعفد متی مل يذلا .33𝐹 ناك اذإ .34 ≤ 2𝜇𝑚𝑔 ZK�

3ZK�: 𝑎w = 𝑎3 =

w3

b�KZ

فالخ ؛

𝑎w نوكتس ،اذھ =b�− 𝜇𝑔Z

�، 𝑎3 = 𝜇𝑔 Z

3ZK�.

.ةرئاد فصن ىلع .35 .𝑣/4 )ب( ؛𝑣/5 )أ( .3637. 𝑛(𝑛 − 1)/2

38. c2𝜇𝑔𝐿(1 + Z�)

.نیمیلا لفسأ نم امداق ناك ،3.5 .3940. 𝐴: \2𝑔𝐻، 𝐵: \𝑔𝐻. 41. 2𝑅𝜇\𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼، \𝑔𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼. 42. 𝑢 − 𝜇\2𝑔ℎ 43.𝑚𝑔(ℎ + 𝜇𝑎) 44.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 3

ô≈ 21.48y

3𝑣) )أ(.45 − 𝜔𝑙)/4ب( ؛( (𝑣 − 𝜔𝑙)/2 .برضملا لوط يھ 𝑙 ثیح ،ةلماحلا دیلا نم 2𝑙/3 دعب ىلع.4647.3

�b�´�

48. (𝑣=£, 𝑣㣠−ô]𝑢)

49.𝐿/𝑣y + 𝜋\𝑚/2𝑘 50.w

3𝜋3(𝑛 + w

3)3𝑅𝑡𝑎𝑛𝛼

51.1.03𝑠 52.2.0𝑔 53.𝑣w = 𝑣3 = 𝑣؛ 𝑐𝑜𝑡3 "

3

45.\𝑔𝐻 55.5𝑚/𝑠

𝑡𝑎𝑛𝛼 )أ( .56 ≤ 2𝜇لیحتسم )ب( ؛ 57. 𝑔(1 − =

ü)𝑠𝑖𝑛�w𝛼؛ U

3\𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼/𝑔

58.𝜇 < 𝑐𝑜𝑡𝛼 59.𝜇w < 𝑡𝑎𝑛 "

3𝜇3و < 𝑡𝑎𝑛 "

3

60.𝑅 > ℎ/2 61.\3𝑚/𝜋𝜌d 62.𝜔3𝑅3/2𝑔

63.𝑀/𝑚 = (w�{<z")�

{<z"

64. 3Z��KZ

𝑔𝑡𝑎𝑛𝛼 65. 𝑔/9 66.𝑔 ZK�

ZK�{<z�"𝑠𝑖𝑛3𝛼

67. 2/3𝑅 68. 𝑚e𝑔 − 𝑣3(2𝑙 − 𝑥)/√2𝑙3f

69. �Z= 4, 𝑢 = \𝑔𝑙/8

.الوأ لصت ىلوألا .70𝜔 تناك اذإ ؛میقتسم طخ .71 ≠ 0. 72. \2𝑔𝑙(1 +𝑚/𝑀) 73. b

�Zb اذإ ،

Z`ê< b ؛6

JZ+ w

3𝜇𝑔، 6 اذإ < b

Zê< ؛10

3µ𝑔، اذإ bZ`ê

> 10

74. 𝑚3𝑣3/2(𝑀3 −𝑚3)𝜇𝑔

75. 𝑣 = cé𝑙 − %3ë𝑔، 𝑎 = ê

3(1 − %

3ü)،

𝑇 = ZêJ(3 − %

3ü+ ü

õ%)

76. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 3�≈ 48.12y

77.𝑀/𝑚 = 4 𝜔 )أ( .78 = 5𝑣£/7𝑅، 𝑣= = 5𝑣£/7، 𝑣ã = \2𝑔ℎب( ؛(

𝑣ã = \2𝑔ℎ، 𝑣= = 𝑣£ − 2𝜇𝑣ã. 79. ô

]𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼، اذإ 𝜇 > 𝑡𝑎𝑛𝛼، اذھ فالخ

𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼

80. c 3êRZKZ

wKxy{úZ{<z�"K�

𝑚𝑐𝑜𝑠𝜑؛

êZ{<z3úZ{<z�úK�

Ww3+ Z�xy{ú(wKxy{ú)

(Z{<z�úK�)(ZK�)X

81. 0.6𝑚/𝑠 82.J

3]𝜇𝑣3

83.𝑣/𝑐𝑜𝑠𝛼 84.𝑛�3𝐿𝑔/4𝜋3𝑙، 𝑛 = 1,2, … 𝑝w) )ب(،)أ( .85 − 𝑝£)𝑉/𝑚𝑐{ 86. w

3𝑣£تومت امك( مث بیضقلل ةیلوطلا تابذبذتلل بھذی ءزج ،الك ؛

ةرارح ىلإ )ةبذبذلا