6 7

sisukord

I OSA – PÕHIMÕISTED JA ÜLESANDETÜÜBID 9

Kust on pärit sõna protsent? 11

Kus protsente kasutatakse? 12

Tervik, osa ja osamäär 14

Osamäära erinevad kujud ja teisendused nende vahel 18

Osa leidmine antud terviku ja protsendi kaudu 23

1% vastava osa leidmine 23

Suurematele protsentidele vastavate osade leidmine 24

Kui kasutad kalkulaatorit 26

Protsendi leidmine antud osa ja terviku kaudu 28

Terviku leidmine antud osa ja protsendi kaudu 30

Terviku leidmine 1% kaudu 30

Kui kasutad kalkulaatorit 31

Võrdluse alus 32

Võrde põhiomadusel ehk risti korrutamise reeglil põhinev lahendus 34

Kui kuidagi meelde ei jää, mis siis? 38

II OSA – RAKENDUSED 41

Hinnamuutus 42

Allahindlusega seotud ülesanded 43

Hinnatõusuga seotud ülesanded 44

Protsentkordaja 45

Uue hinna arvutamine protsentkordaja kaudu 46

Järjestikused muutused 48

Kui kasutad kalkulaatorit 50

Pangas 52

Hoius 52

Laen 54

Kiirlaen 56

Köögis 58

Toiduainete koostis 58

Morss 59

Veesisalduse muutumine toiduainete kuivatamisel 60

Lauaäädika valmistamine 61

Lahused 65

„Metallurgiahuvilistele” 68

Palk ja maksud 70

Protsendid ja protsendipunktid valimistel 73

Veidi statistikast 75

Proovi lahendada 76

Vastused 80

LISA 81Pitsa ja taldrikProtsendiketas

30 31

Terviku leidmine antud osa ja protsendi kaudu

Terviku leidmine 1% kaudu

Selleks, et arvutada tervikut, pead teadma osa ja sellele vasta-vat osamäära ehk protsenti.

1% kaudu arvutamisel leitakse kõigepealt 1%-le vastav osa ja seejärel 100%-le vastav osa ehk tervik.

Näiteks 84 õpilast ehk 35% kogu kooli õpilastest tahtis osaleda konkursil „Kes tahab saada superstaariks”. Kui palju õpilasi on koolis kokku?

Tervik: ?Osa: 84 õpilastOsamäär: 35%

Kui 35%-le vastab 84 õpilast, siis mitu õpilast vastab 1%-le?Kuna 1% on 35 korda vähem kui 35%, siis vastab 1%-le ka 35 korda vähem õpilasi kui 35%-le ehk 84 tuleb jagada 35-ga.

84,0 : 35 =2,4

Kui 1%-le vastab 2,4 õpilast, siis 100%-le vastab 100 korda rohkem õpilasi ehk

2 4 100 240, ⋅ = õpilast.

Vastus: koolis on kokku 240 õpilast.

- 70140

- 1400

Mõtleme, kuidas arvutasime, ja moodustame reegli:

8435100 240 100⋅ = → ⋅ =

OSAPROTSENDIMÄÄR

TERVIK

Kui kasutad kalkulaatorit

Soovitan sul arvutada kalkulaatoril samamoodi kui 1% kaudu. Pea alati meeles, et igasugustest pähetuubitud reeglitest täht-sam on see, et sa ise oma arvutuskäiku mõistaksid. Võid arvu-tada ka mitme tehte kaudu, peaasi et tead, mida teed – siis on ka vastus õige.

Kuna aga paljudes õpikutes on kasutusel reegel, et terviku leidmiseks tuleb osa jagada osamääraga, siis vaatame koos ka seda arvutuskäiku.

Oled õppinud juba murdarve ja tead, et selle asemel, et jagada mingit arvu hariliku murruga, korrutatakse see arv antud hari-liku murru pöördarvuga ehk teisisõnu:

2 43

2 34

: = ⋅ või veidi suuremate arvudega

84 35100

84 10035

: = ⋅

Just sellel reeglil põhinebki terviku arvutamine kalkulaatoril.

Vaata arvutuskäiku osa jagamisel osamääraga ja selle teise-nemist juba tuttavaks tehteks, mida kasutasime 1% kaudu arvutamisel:

84 0 35 84 35100

84 10035

84 10035

8435100 240: , := = ⋅ =

⋅= ⋅ =

240 õpilast

· 100

84 õpilast: 35

· 100: 35

2,4

1%

35%0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

8435100 240 100⋅ = → ⋅ =

OSAPROTSENDIMÄÄR

TERVIK

32 33

Võrdluse alus

Põhikooli algklassides lahendasid tihti ülesandeid, kus tuli võr-relda kahe eseme pikkusi. Võtame näiteks kaks lauda, ühe pik-kus on 4 m ja teise pikkus 5 m. Selge on see, et 4-meetrine laud on 5-meetrisest 1 m võrra lühem, ja 5-meetrine 4-meetrisest 1 m võrra pikem.

Juhul, kui hakkame arvutama, mitme protsendi võrra on üks laud teisest pikem (või lühem), osutub väga oluliseks see, kum-maga neist teist võrreldakse ehk mis on võrdluse alus.

Võrdluse alus on kokkuleppeliselt tervik ehk 100%, teine suu-rus vastab siis osale.

Mina olen võrdluse alus.

Sina oled minust 30%

võrra lühem.

Mina olen võrdluse alus. Sina oled minust 43%

võrra pikem.

100%

100%

Valides võrdluse aluseks ehk tervikuks 5-meetrise laua, saame, et lühem laud (osa) moodustab selle pikkusest

45

45

80100

80

1

1

20mm

= = =(

%

ehk on sellest 20% võrra lühem.

Valides aga võrdluse aluseks ehk tervikuks lühema, 4-meetrise laua, saame, et pikem laud (mis on nüüd osa!) moodustab selle pikkusest

54

54

125100

125

1

1

25mm

= = =(

%

125% – 100% = 25%

ehk on sellest 25% võrra pikem.

Näed, et kuigi laudade pikkuste vahe on 1 m, pole protsentuaalsel võrdlemisel vastus sama, vaid tulemus oleneb sellest, mis on võe-tud võrdluse aluseks (ehk kumb suurus on kummaga jagatud).

4 m

5 m

20%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

4 m

5 m

25%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 110% 120% 125%

34 35

See, et osa on suurem kui tervik, võib tunduda mõneti harju-matuna. Kui hästi järele mõelda, võid leida näiteid oma elust. Näiteks antakse sulle kodutööks neli matemaatikaülesannet – see on kogu töö ehk tervik. Kui sulle aga hakkab ülesannete lahendamine meeldima ja lahendad rohkem ülesandeid, oled n-ö plaani ületanud ja teinud rohkem kui 100%. Tervik ehk kokkulepitud ülesannete hulk jääb seejuures ikkagi samaks ja keegi ei hakka sinu klassikaaslastega riidlema juhul, kui nad lahendasid neli ülesannet, nagu pidigi.

Võrde põhiomadusel ehk risti korrutamise reeglil põhinev lahendus

Nagu juba eespool juttu oli, on protsentideks kõige lihtsam tei-

sendada selliseid osa ja terviku suhteid, kus tervik on 100 ehk osa100

, kuna sel juhul murru lugejas olev arv ongi protsendi-

määr. Kõikide teistel juhtudel otsime tegelikult vastust küsi-

musele „kui suur oleks osa, kui tervik oleks 100?”.

Kui oled juba õppinud võrret, siis tead, et see on võrdus, mille mõlemad pooled on suhted, näiteks

35

915

=

ehk

3 suhtub 5-sse, nagu 9 suhtub 15-sse.

Võrde põhiomadusest tulenevalt saame omavahel risti olevaid liikmed korruta-des kaks võrdset korrutist:

35

915

= => 3 ∙ 15 = 5 ∙ 9

Näed, et kui ükskõik, milline nendest neljast võrde liikmest oleks tundmatu, saaksime selle välja arvutada. Näiteks

x5

915

=

15x = 5 ∙ 9 | : 15

x = ⋅=

1 3

31

5 915

31

või x = 5 915⋅

;

x = 4515

x = 3

Kuidas seda meetodit protsentarvutuses kasutada? Tuleb osata moodustada kaks võrdset suhet ja seejärel lahendada võrre risti korrutamise reegli abil. Kõige lihtsam on and-med korrastada tabeli kujul, mida mõned õpetajad ka „võlu- tabeliks” nimetavad – tundub tõepoolest, et see tabel aitab otsekui võluväel lahendada protsentülesandeid.

Selle meetodi laialt levinud nimetus – ristkorrutis – pole matemaatiliselt päris kor-rektne. Õigem on seda nime-tada risti korrutamise reegliks.

36 37

Võtame näiteks juba tuttava ülesande „Kes tahab saada super-staariks” ja alustame lõpust – sisestame kõik andmed tabeli õigetesse lahtritesse.

ühikutes protsentides

osa 84 õpilast 35%

tervik 240 õpilast 100%

Näed, et liikudes mööda ridu, saad üksteisele vastavad suurused: 84 õpilast vastab 35%-le ja 240 õpilast on tervik ehk 100%.Suhted aga moodustuvad mööda veerge ülevalt alla:

84240

35100

1

1

1

1őpilastőpilast

=%%

Teisisõnu: 84 suhtub 240-sse, nagu 35 suhtub 100-sse.

Nüüd mängime näiteks, et me ei tea, kui palju on koolis õpilasi. Täidame ülejäänud tabeli, kuid lahtrisse „tervik ühikutes” kir-jutame arvu asemel x-i:

ühikutes protsentides

osa 84 õpilast 35%

tervik x õpilast 100%

Saame võrde

84 35

1001

1

1

1őpilast

x őpilast=

%%

84 35

100x=

35x = 84 ∙ 100 | : 35

x = 12 20

7

84 100351

⋅

x = 240 (õpilast).

Vastus: kogu koolis on 240 õpilast.

Proovi analoogiliselt leida osa, asendades tabelis „84 õpilast” „x õpilasega”.

Kirjutades x-i parempoolsesse ülemisse lahtrisse, saad arvu-tada osamäära protsentides.

õ

õÜlesande lähteandmetes on kolm suurust – osa, tervik ja osamäär, millest kaks on teada ja kolmandat küsitakse. Selleks, et saaksid täita „võlutabeli” kõik neli lahtrit, tuleb sul endal ter-vikule vastavate protsentide lahtrisse lisada 100%.

õ

õ

38 39

Kui kuidagi meelde ei jää, mis siis?

On olemas kolm-ühes-reegel, mille kasutamist võid proo-vida. See aitab küll ainult lihtsamate ülesannete lahendamisel, mille puhul saab kindlalt eristada kolme põhilist arvnäitajat – tervikut, osa ja protsenti.

Enne kui asud seda kasutama, mõtle hoolega, kas oskad neid kolme omavahel eristada ning teisendada protsenti harilikuks või kümnendmurruks ja vastupidi, sest selle reegli puhul arvutuskäikudes protsendi kuju ei kasutata!

Reegel ise on lihtne ja esitatav pildi kujul:

OSA

OSAMÄÄR · TERVIK

Osamäär tohib siin olla ainult hariliku murru või kümnend-murru kujul!

1) Kui otsitav on OSA, siis peida see sõna sõrmega ja näed, et pead korrutama OSAMÄÄRA ja TERVIKU:

OSA OSAMÄÄR TERVIK= ⋅

2) Kui otsitav on OSAMÄÄR, siis peites selle sõna, näed, et OSA tuleb jagada TERVIKUGA:

OSAMÄÄR OSATERVIK

=

Saadud osamäär tuleb teisendada protsentideks, aga seda sa juba oskad.

3) Kui otsitav on TERVIK, siis peites selle sõna, näed, et OSA tuleb jagada OSAMÄÄRAGA:

TERVIK OSAOSAMÄÄR

=

Mulle endale see reegel ei meeldi, sest see on lihtsalt üks pähe-tuubitav mehaaniline abivahend, mis ei aita lahenduskäiku mõista. Aga tagataskus võib see sul ju olla, siis on sul lihtsalt julgem tunne.