I, Prvavezba-kinematika Tacke

KINEMATIKA TAČKE

PRVI DEO Isti tekst važi za sve zadatke u prvom delu. Na osnovu datih konačnih jednačina kretanja tačke odrediti: (a) liniju putanje i trajektoriju, eliminacijom parametra t, a zatim ih nacrtati, (b) smer kretanja tačke po trajektoriji i karakteristične trenutke, (c) brzinu tačke u funkciji vremena, (d) jednačinu hodografa brzine i nacrtati ga, (e) tangentno, normalno i ukupno ubrzanje tačke kao i uglove koje ukupno ubrzanje obrazuje sa koordinatnim osama u datom trenutku vremena T,

(f) poluprečnik krivine trajektorije tačke kinematskom metodom u položaju u kome se ona našla u trenutku T. Redni broj

x=x(t) y=y(t) T

1 42 2 +−= tx t5y −= 1/2

2 4t4x += )1/(4 +−= ty 2

3 )1/( 32 ttx += )t1/(ty 3+= 1

4 )3/sin(2 tx π= 4)3/cos(3 +−= ty π 1

5 )2cos(2)2sin( ttx += )2cos()2sin(2 tty −= 12/π

6 23t4x 2 += )/(cos π )3/(sin4 2 ty π= 1

7 2t2x −−= )1t/(2y +−= 2

8 t3x = 1t4y 2 += 1/2

9 4t5x 2 −−= t3y = 1

10 56t7x 2 −= )/(sin π )/(cos 6t7y 2 π−= 1

11 x= t6− y= 4t2 2 −− 1

12 x= 1t4 2 +− y= t3− 1

13 x= )/sin( 6t93 2π−− y= 56t9 2 +− )/cos(π 1

14 x= )/(sin 6t5 2 π y= 36t5 2 −− )/(cos π 1

154 Lazarević, M. – Priručnik za samostalne vežbe iz Kinematike

15 x= 2t3 2 + t4y −= 1/2

16 x= 26t8 2 +)/(cos π y= 76t8 2 −− )/(sin π 1

17 x= 33t 2 +− )/cos(π y= 13t 2 −)/sin(π 1

18 )(tshx = )(tchy = 1

19 x= )/cos( 3t5 2π y= )/sin( 3t5 2π− 1

20 x= )/cos( 3t4 π y= )/sin( 3t3 π− 1

21 x= 2t6t32 −− y= 2t32/t33 −− 1

22 x= 13t4 −− )/cos(π y= )/sin( 3t4 π− 1

23 )t1/(tx 3+= )t1/(ty 32 += 1

24 x= 23t2 2 −)/cos(π y= 33t2 2 +− )/sin(π 1

25 x= 1tt3 2 +− y= 23/t5t5 2 −− 1

26 )sin(t3x = )cos(t2y = 3/π

27 x= 2t3t3 −+ y= 3/t5t54 2 +− 1

28 )( t2chx = )( t2shy = 1

29 )cos()sin( t22t2x −= )cos()sin( t2t22y += 6/π

30 x= 3t7 2 − y= t5 1/4

31 x= 36t7 2 +)/sin(π y= )/cos( 6t72 2π− 1

32 x= 23/t5t5 2 −+ y= 3tt3 2 ++ 1

33 )sin(tx = t2y cos= 3/π

34 x= 26t6 2 −)/sin(π y= 36t6 2 +)/cos(π 1

35 x= )2t/(3 +− y= 6t3 + 2

36 x= 1t4 2 +− y= t3− 1/2

37 )/( 2ttg2x = )sin(ty = 3/π

38 t2x = )t1/(ty 22 += 1

39 )cos()sin( t22t2x −= )cos()sin( t2ty −= 6/π

40 t2x = )t41/(1t2y ++= 1

Kinematika tačke 155

DRUGI DEO Na osnovu konačnih jednačina kretanja datih u polarnim koordinatama odrediti (a) liniju putanje tačke i trajektoriju, (b) brzinu tačke, (c) radijalno, poprečno i ukupno ubrzanje tačke, (d) tangentno i normalno ubrzanje tačke, (e) poluprečnik krivine trajektorije tačke kinematskom metodom u funkciji potega r, (f) jednačinu putanje tačke u Dekartovim koordinatama. Napomena: a,b,ω =const

redni broj

r=r(t) )t(ϕϕ =

1 tar ω= tωϕ =

2 )/( tar ω= t2ωϕ =

3 taer ω= 2/tωϕ =

4 t/ar ω= tωϕ =

5 [ ]btar b += )(ω tωϕ =

6 [ ]2)(1 tar ω−= t2ωϕ =

7 ( ) btar += 2/3ω tωϕ =

8 )sin( tbar ω= tωϕ =

9 )cos( tbar ω= tωϕ =

10 )ln(btar = bt2=ϕ

11 )2/(sin/ 2 tar ω= tωϕ =

12 )1/( tar ω−= tωϕ =


13. Tačka M opisuje kardioidu [ ]radtr 3)),cos(1(2 =+= ϕϕ , gde su r i ϕ polarne koordinate tačke. Odrediti poluprečnik krivine putanje tačke, intezitet brzine i ubrzanja tačke M u trenutku kada se ona nalazi na rastojanju [ ]mrOM 111 == od pola O. Takodje nacrtati i krivu po kojoj se tačka kreće. 14. Kretanje tačke M dato je u polarno-cilindričnim koordinatama konačnim jednačinama ,][2/],[2 2 radtcmr == ϕ ][],[3/3 stcmtz = . Odrediti brzinu, ubrzanje tačke M kao i poluprečnik krivine putanje tačke u trenutku t1=2 s. 15. Tokom kretanja tačke, njen vektor polozaja menja se po zakonu:

ktjtRitRtrr 2)2sin()2cos()( ++== , gde je t- vreme a R- konstanta. Odrediti liniju putanje. Odrediti brzinu i ubrzanje tačke, poluprečnik krivine putanje i ortove prirodnog trijedra u proizvoljnom trenutku vremena, u polarno-cilindričnim koordinatama. 16. Tačka M se kreće u ravni konstantnom sektorskom brzinom, pri čemu je jednačina njene putanje data u polarnim koordinatama ϕ32er = . U početnom trenutku to=0, kada je ,0o =ϕ vektor početne brzine oV čiji je intezitet

]/[4 scmVo = , zaklapa sa potegom ro ugao od 30 . Odrediti brzinu i ubrzanje tačke u funkciji potega r. 17. Tačka M se kreće u ravni po krivoj liniji ,cos/ ϕar = gde je a konstanta, a r i ϕ polarne koordinate, konstantnom sektorskom brzinom constcrS === ϕ22 . Odrediti brzinu i ubrzanje tačke M u funkciji potega r. 18. Tačka M se kreće u ravni konstantnom sektorskom brzinom

22

21

21 abrS == ϕ gde su a i b date konstante. Za vreme kretanja poprečna i

radijalna brzina tačke M zadovoljavaju sledeću relaciju )1( ϕ+−=r

p

VV

gde je

ϕ polarni ugao. U početnom trenutku 0,,0 === ooo brt ϕ . Odrediti trajektoriju tačke, intezitet brzine i ubrzanje tačke M u funkciji potega r. 19. Tačka M se kreće po kružnici 222 2)2( =−+ yx dvostrukom sektorskom

brzinom )2/(sin162 22 ttS ππ= gde su x, y[cm], t[s] , S[cm2/s]. Odrediti ubrzanje tačke M u trenutku t1= 2/2 s. U početnom trenutku 0,0 == oot ϕ .


20. Tačka M se kreće u ravni konstantnom sektorskom brzinom. Poteg tačke se

menja po zakonu 1322 += tr . Odrediti trajektoriju tačke, brzinu i ubrzanje tačke u funkciji potega r, ako je u početnom trenutku tačka bila na polarnoj osi a ugao izmedju vektora početne brzine i početnog potega bio 30=oϕ . 21. Tokom kretanja tačke, njen vektor polozaja menja se po zakonu:

kRtjtRitRtrr ++== )cos()sin()( , gde je t- vreme a R- konstanta. Odrediti liniju putanje tačke. Odrediti brzinu i ubrzanje tačke, poluprečnik krivine putanje i ortove prirodnog trijedra u proizvoljnom trenutku vremena, u polarno-cilindričnim koordinatama. 22. Tačka M kreće se u ravni brzinom rkV /= i konstantnom sektorskom brzinom S=C pri čemu r predstavlja poteg tačke M u odnosu na pol O. Odrediti konstante k i C i liniju putanje tačke, ako su početni uslovi: ,)0(,0)0( Rr ==ϕ

α=∠= ),(,)0( ooo VOMVV . U početnom trenutku, početna brzina Vo je zaklapala ugao sa potegom )0(rOM o = ugao 30=α ( α=∠ ),( oo VOM ). 23. Tačka M kreće se u ravni xOy, po krivoj liniji, brzinom konstantnog inteziteta V=a[m/s]. Za vreme kretanja vektor brzine tačke zaklapa sa y-osom ugao

][radat=α . U početnom trenutku ][0 sto = , tačka je bila u koordinatnom početku. Odrediti radijalno i poprečno ubrzanje tačke M kada se ona nađe ponovo na x-osi. 24. Tačka M kreće se u ravni konstantnom sektorskom brzinom, pri čemu se intezitet brzine tačke menja po zakonu: rV /2= gde je r poteg tačke M u odnosu na pol O. Odrediti jednačinu trajektorije, kao i ubrzanje tačke u funkciji polarnog ugla ϕ , ako je u početnom trenutku 1,0,1,0 ==== oooo rt ϕϕ i 0≠or . 25. Tačka M se kreće konstantnom sektorskom brzinom po putanji 222 axy =− . U početnom položaju Mo(0,a) tačka je imala početnu brzinu ivv oo = . Odrediti ubrzanje tačke M u funkciji koordinate x. Izračunati poluprečnik krivine putanje tačke u početnom položaju. 26. Kretanje tačke u polarnim koordinatama zadato je vektorom brzine:

)( oo prrV ϕ−= , gde su oo pr , jedinični vektori radijalnog i poprečnog pravca. Odrediti liniju putanje i poluprečnik krivine putanje u funkciji potega r, ako je u početnom trenutku to=0, poteg ro= ][/4 mπ , dok polarni ugao iznosi

][4/ rado πϕ = .


27. Tačka M kreće se u ravni tako da su intenziteti poprečne brzine Vp=Vo i radijalnog ubrzanja ar=ao konstantni. Ako je u trenutku kada se tačka M nalazila na rastojanju ro od pola O, vektor brzine tačke M bio upravan na poteg OM, odrediti intenzitet brzine tačke M u trenutku kada je njeno rastojanje od pola 3ro. 28. Tačka M kreće se u ravni, po krivoj liniji, brzinom konstantnog inteziteta

[ ]smV /4= . Za vreme kretanja vektor brzine zaklapa sa x-osom ugao [ ]radt4=α . U početnom trenutku tačka je bila u koordinatnom početku. Odrediti radijalno i poprečno ubrzanje tačke kada se ona nađe na y-osi (izvan koordinatnog početka). 29. Kretanje tačke u polarnim koordinatama zadato je radijalnom i poprečnom projekcijom brzine tačke rVrV pr 2/1,/1 2 == . Naći trajektoriju tačke i poluprečnik krivine trajektorije tačke u funkciji od r ako je u početnom trenutku ( 0,0 == oor ϕ ). 30. Tačka M se kreće u ravni tako da joj je radijalno ubrzanje konstantno Vr=a=const., a>0, a radijalno ubrzanje negatino i obrnuto proporcionalno trećem stepenu potega r sa koeficijentom proporcionalnosti a2. Naći trajektoriju i sektorsku brzinu tačke ako je u početnom trenutku ,0)0(,0)0( ≠=≠= oorr ϕϕ i

0>oϕ .


TREĆI DEO 1. Tačka se kreće u ravni xOy ubrzanjem [ ]./42 2smjia += Ako je početna brzina tačke [ ]smjiVo /42 −−= , odrediti u trenutku t1=2s, pređeni put i poluprečnik krivine trajektorije tačke. 2. Tačka M se kreće po luku elipse .1// 2222 =+ byax Vektor ubrzanja tačke za sve vreme kretanja ima pravac ose Oy. Odrediti ubrzanje tačke M u trenutku kada je njena ordinata b/2. U početnom trenutku tačka se nalazila u položaju Mo(0,b) i imala brzinu inteziteta Vo. 3. Tačka M se kreće po krivoj ][,,ln cmyxxy = konstantnom brzinom inteziteta

scmV /2= . Odrediti ubrzanje tačke, normalno ubrzanje kao i poluprečnik krivine trajektorije tačke u položaju M1(1,0). 4. Tačka se kreće u ravni xOy ubrzanjem [ ]2/ smjia += . Ako je početna brzina tačke [ ]smjiVo /−−= , odrediti u trenutku t1=2s, pređeni put i poluprečnik krivine trajektorije tačke. 5. Date su projekcije vektora brzine tačke M na ose Dekartovog koordinatnog sistema Oxy: )2sin(8 tVx −= , )12cos(12 tVy = (x,y[m];t[s]). Odrediti: (a) trajektoriju tačke M ako je u to=0 xo=2[m], yo=3[m].

(b) tangencijalno i normalno ubrzanje kao i poluprečnik krivine trajektorije

tačke M u početnom položaju, (c) trenutak t1=? kada će se tačka naći na osi Ox.

6. Tačka M kreće se po paraboli 22 xy = tako da joj je ubrzanje konstantno

]/[1 2smja = , gde je j jedinični vektor Oy ose. Odrediti:

(a) konačne jednačine kretanja tačke M, brzinu i normalno ubrzanje tačke M u proizvoljnom trenutku vremena,

(b) zakon puta s=s(t) (c) poluprečnik krivine trajektorije tačke u trenutku t1=3 [s]. U početnom

trenutku to=0 tačka je bila u položaju Mo(0,0); uzeti da je s(0)=0.


7. Tačka M se kreće u ravni xOy tako da ima ubrzanje inteziteta ]/[2 2sma = . Pravac ubrzanja je paralelan sa pravom xy −= a smer je kao na slici. Ako je u početnom trenutku tačka bila u koordinatnom početku i imala početnu brzinu duž x-ose, ]/[4 smVo = , odrediti vremenski trenutak T kada je intezitet brzine tačke minimalan, vrednost te brzine kao i liniju putanje tačke. 8. Krak dizalice OA dužine 2b pokreće se horizontalnom polugom BC gde je za

klizač B vezana sajla BAM dužine 2b i koja je prebačena preko kotura A. Deo sajle AM je stalno paralelan Oy osi. Odrediti projekcije brzine i ubrzanja tereta M na ose x i y u položaju 45=ϕ gde je brzina i ubrzanje horizontalne poluge BC iznosilo v i bva /2 2= , respektivno. Dimenzije klizača B i kotura A zanemariti. 9. Tačka M se kreće po luku kružnice

.222 Ryx =+ Vektor ubrzanja tačke za sve vreme kretanja ima pravac ose Ox. Odrediti ubrzanje tačke M u trenutku kada je njena apscisa R/3. U početnom trenutku tačka se nalazila u poločaju Mo(R,0) i imala brzinu inteziteta Vo. 10. Poluga OA=l obrće se konstantnom ugaonom brzinom oω oko ose O. Na kraju poluge nalazi se točkić A, zanemarljivog poluprečnika, preko koga je prebačeno uže MAB. Na kraju M užeta nalazi se klizač M koji klizi duž poluge, dok je drugi kraj užeta vezan za nepomičnu tačku B. Ako je dužina OB=l i dužina užeta takodje jednaka l, a početni položaj poluge odredjen uglom 0=oϕ odrediti: jednačinu putanje klizača M, brzinu i ubrzanje klizača M u položaju [ ]rad3/1 πϕ = . 11. Tokom kretanja tačke, njen vektor položaja menja se po zakonu: ktjtRitRtrr ++== )cos()sin()( , gde je t- vreme a R- konstanta. Odrediti liniju putanje. Odrediti brzinu i ubrzanje tačke, poluprečnik krivine putanje i ortove prirodnog trijedra u proizvoljnom trenutku vremena, u Dekartovim koordinatama.


12. Tačka M se kreće po krugu poluprečnika R, pri čemu njeno ubrzanje obrazuje sa brzinom stalni ugao ]rad[αϕ = . Za koje će se vreme, računajući od početka kretanja, brzina tačke utrostručiti, ako je u početnom trenutku ona imala vrednost vo ? Koliki put je za to vreme tačka prešla? 13. Tačka M kreće se po krugu poluprečnika R, sa središtem u tački O. U početnom trenutku ona je bila u položaju Mo, i imala početnu brzinu vo. Ako je tokom kretanja, ubrzanje tačke M stalno paralelno pravcu OMo, odrediti: (a) zavisnost brzine i ubrzanja tačke od koordinate s (M Mo =s), (b) vreme za koje će tačka preći šestinu obima kruga. 14. Tačka M se kreće po krugu poluprečnika R, pri čemu njeno ubrzanje obrazuje sa brzinom stalni ugao [ ].3/2 radπα = Ako u početnom trenutku intezitet brzine ima vrednost Vo, odrediti za koje će se vreme, računajući od početka kretanja, intezitet brzine tačke smanjiti za vrednost 2/Vo , kao i koliki je put za to vreme tačka prešla.

15. Poluprava OA počinje da se obrće ugaonim ubrzanjem constkk == ),cos(ϕε iz horizontalnog položaja iz stanja mirovanja, oko nepokretne vertikalne ose Oz upravne na nepokretnu kružnicu poluprečnika OC=R. Odrediti brzinu i ubrzanje tačke M, (presek kružnice i poluprave), u zavisnosti od ugla ϕ . 16. Ubrzanje tačke M prikazano je u Dekartovom koordinatnom sistemu kao:

[ ] ]/[)4/5sin(,]/[)sin()cos(22 22 smtysmttx +=+= π

(a) odrediti zakon promene brzine kretanja tačke, V(t), ako je ]/[2/2)0(,2/2)0( smyx =−= , (b) odrediti jednačinu hodografa brzine i nacrtati ga; (c) odrediti predjeni put tačke od trenutka t1=1 s do trenutka t2=2 s. 17. Tačka M se kreće brzinom 2)sin4(1cos2 ttV += pri čemu je projekcija brzine na osy y, tVy 2sin4= . Naći ubrzanje tačke M u proizvoljnom trenutku i linuju putanje tačke. U početnom trenutku tačka je bila u položaju Mo(-1,0). 18. Po kom zakonu treba da se obrće reflektor, koji se nalazi na zemlji, da bi njegovi zraci neprestano osvetljavali letilicu koja se kreće horizontalno


pravolinijski na poznatoj visini [ ]mh , jednakoubrzano ubrzanjem [ ]2/4/ smha = , pri čemu u trenutku nadletanja reflektora (početni trenutak)

letilica je imala brzinu inteziteta [ ]smhVo /4/3= . Pod tim uslovima odrediti ugao koji zraci reflektora zaklapaju sa vertikalom u trenutku st 21 = , ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje reflektora u tom trenutku. 19. Polugu OA dužine l dovodi u obrtno kretanje ugaonik BDC ( aBD = ) koji se kreće po horizontalnim vodjicama konstantnom brzinom inteziteta V pri čemu je u

tački B spojen sa polugom obrtnim klizačem. Odrediti brzinu i ubrzanje tačke A u funkciji ugla ϕ=∠DOB . 20. Kulisa OM dužine l dovodi se u kretanje krivajom AO1 koja se obrće u pozitivnom

matematičkom smeru po zakonu [ ]radtt 2/)( 2=ϕ . Napisati jednačine kretanja tačke M. Odrediti liniju putanje kao i intezitet ubrzanja tačke M u trenutku st 11 = ako je AOOO 11 = .

21. Tačka M se kreće po paraboli 12 2 += xy brzinom konstantnog inteziteta, pri čemu je .0>= xVx Odrediti položaj tačke M na trajektoriji u kome su projekcije njenog ubrzanja ax i ay jednake. 22. Točak poluprečnika R kotrlja se bez klizanja po nepokretnom točku istog poluprečnika R uz pomoć krivaje O1A koja se obrće po zakonu t=ϕ . Odrediti poluprečnik krivine linije putanje u trenutku 2/1 π=t , one tačke oboda pokretnog točka koja je u početnom trenutku bila tačka dodira sa nepokretnim točkom. Uzeti


početni položaj tačke za pol, a početni položaj krivaje koja prolazi kroz ovu tačku za polarnu osu.

23. Točak poluprečnika R, kotrlja se bez klizanja po nepomičnoj ravni OP tako da je brzina centra točka konstantna Vc=const. Ako je AMMC = i u početnom trenutku duž AC je bila paralelna Oy osi pri čemu se tačka A poklapala sa tačkom dodira, odrediti poluprečnik krivine trajektorije tačke M u trenutku kada je točak učinio 3/4 obrtaja. 24. Klizač A, mehanizma prikazanog na slici, kreće se po pravolinijskoj vodjici brzinom konstantnog inteziteta Va=2kl [cm/s], k=const. Odrediti : (a) zakon promene ugla )(tϕϕ = krivaje OC (b) naći brzinu i ubrzanje tačke M. Dato je: ==== BMBCACOC l.

25. Klizač A mehanizma prikazanog na slici kreće se duž vodjice A po zakonu sA(t)= tπ2sin260 . Ako je =AB l, =MB l/3, odrediti brzinu, ubrzanje tačke M kao i poluprečnik krivine putanje tačke u trenutku

st 12/11 = . 26. Kretanje tačke M je odredjeno zakonom

promene vektora položaja tačke : ktjtir )1ln(2 +++= Odrediti brzinu i poluprečnik krivine trajektorije tačke M u trenutku kada je projekcija sektorske brzine tačke na osy y jednaka -1/2.


27. Odrediti trajektoriju tačke M koja se kreće u ravni xOy tako da su joj projekcije brzine: kxVkyV yx == , , k=const. U početnom trenutku tačka se nalazila u položaju Mo (C,0), gde je C=const. Odrediti vreme koje je potrebno da materijalna tačka dodje iz početnog položaja do ma kog položaja na trajektoriji. 28. Tačka M se kreće brzinom inteziteta V=k=const, gde je trajektorija tačke M data sa: 0, >= xtgxy . Odrediti normalno ubrzanje tačke M, an(x) u funkciji x, kao i poluprečnik krivine trajektorije tačke )(xRR kk = . 29. Projekcije brzine tačke M, koja se kreće u ravni xOy, na ose koordinatnog sistema su: tytx 2sin4cos3 −== . U početnom trenutku tačka je bila u položaju Mo(0,2). Odrediti:

(a) trajektoriju, brzinu i ubrzanje tačke M u proizvoljnom trenutku vremena,

(b) poluprečnik krivine trajektorije u položaju u kome putanja tačke prvi put seče osu Ox.

30. Tačka M se kreće u ravni xOy sa ubrzanjem [ ]2/ smjia −= . Ako je početna brzina tačke [ ]smjiVo /+= , i tačka bila u koordinatnom početku odrediti poluprečnik krivine trajektorije tačke u položaju u kome koordinata y tačke M ima najveću vrednost.

Documents

I, Prvavezba-kinematika Tacke