Trenutni pol brzine. Načini njegovog određivanja.

brzina jednaka nuli . Ta tačka nosi nazivtrenutni polbrzine. Kada se zna pravac brzine neke tačke tela, pravaprovučena kroz tu tačku a upravna na vektor brzine moraprolaziti kroz trenutni pol brzineP. Takve prave nazivaćemopotezima do trenutnog pola.Ako se na primeru sa slike znaju pravci brzina tačakaA i B, presekom odgovarajućih potega dolazi se do mesta trenutnogpolaP. Pošto ovi potezi moraju biti upravni na vektore brzina

0=PV

Svako kruto telo koje vrši ravno kretanje, u opštem slučaju, u svakom trenutku, na svom materijalnom ili nematerijalnom delu, ima samo jednu tačku P, čija je

za bilo koju drugu tačku tela, na pimer D (sa slike), pravac je definisan. ...,,,, DBA VDPVBPVAP

rrr⊥⊥⊥

Što se tiče smerova vektora brzina, oni su u skladu sa vektorom ugaone brzine.Ugaona brzina se može dobiti kao količnik intenziteta brzine ma koje tačke telai njenog rastojanja do trenutnog pola

...,====ωDP

V

BP

V

AP

V DBA

a samim tim za intenzitete brzina tačaka važe formule

...,,, ω⋅=ω⋅=ω⋅= DPVBPVAPV DBA

Kao dokaz da se trenutni pol nalazi na presekupotega izrazimo prvo preko :

PVr

AVr

,APAP VVVrrr

+=odakle se zaključuje da je , zbog , iliparalelno sa ili je . Zatim se izražavanjem preko :

PVr

APV AP ⊥r

AVr

0rr

=PV

PVr

DVr

,DPDP VVVrrr

+=dolazi do zaključka da je , zbog , iliparalelno sa ili je . Pošto je nemoguće

PVr

DPV DP ⊥r

DVr

0rr

=PVda istovremeno bude paralelno sa i mora biti Dokaz formula

PVr

AVr

DVr

.0rr

=PVvezanih za ugaonu brzinu tela i intenziteta brzina njegovih tačaka, kao i smerova istih, oslanja se načinjenicu da, zbog , važe vektorskejednakosti:

0rr

=PV...,,, P

DDP

BBP

AP

APA VVVVVVVVrrrrrrrr

===+=Neki specijalni slučajevi:

U prikazanom specijalnom slučaju kada se znaju intenzitetiparalelnih, jednako usmerenih brzina, zajedničkog potegado pola, mesto pola se određuje, kao na slici, povlačenjemprave koja spaja vrhove vektora brzina do preseka sapotegom, gde, na osnovu sličnosti trouglova, važi:

( )BA

BBBA

B

A

VVVAB

PBVABVVPBPB

ABPBVV

−⋅=⇒⋅=−⋅⇒

+=

U prikazanom specijalnom slučaju kada se znaju intenzi-teti paralelnih, suprotno usmerenih brzina, zajedničkog po-tega do pola, mesto pola se određuje, kao na slici, povla-čenjem prave koja spaja vrhove vektora brzina do presekasa potegom, gde, na osnovu sličnosti trouglova, važi:

( )BA

BBBA

B

A

VVVAB

PBVABVVPBPB

PBABVV

+⋅=⇒⋅=+⋅⇒

−=

ABVV

PBV BAB +==ω⇒ U dole prikazanom specijalnom slučaju kada su brzine

paralelne i samim tim potezi takođe paralelni (bezpoklapanja) trenutni pol je u beskonačnosti i važi da jeugaona brzina tela, u datom trenutku, jednaka nuli

.0lim ==ω∞→ AP

VA

AP

ABVV

PBV BAB −==ω⇒

To ima za posledicu da svaka tačka tela, na primer D, imakao vektor istu brzinu kao i tačkaA: ,A

ADAD VVVV

rrrr=+=

.0=ω⋅= ADV AD

jer je Dakle, u takvom specijalnom

slučaju važi: ...==== DCBA VVVVrrrr

Primer 2.15 ŠtapAB vrši ravno kretanje tako što tačka Aklizi po vertikalnom zidu a tačka B po horizontalnom podu. Poznate veličine suVA, l i α. Odreditiω i VB?

α⋅==ω

cosl

V

AP

V AA

α⋅α⋅=ω⋅=

cossin

lV

lBPV AB

horizontalnom podu. Poznate veličinesuVB, l i α. Odreditiω?

.tanα⋅=⇒ AB VV

Primer 2.16 ŠtapABvrši ravno kretanje takošto klizi po ivici C dok njegova tačkaB klizi po

,sin

sinα

=⇒=α hBC

BC

h

BPBC=αsin

,sinsin 2 α

=α

=⇒hBC

BP .sin2 α==ωh

V

BP

V BB

Trenutni pol brzine pri kotrljanju bez klizanja.

,r

VC=ω ,22 CC

B Vr

VrBPV =⋅=ω⋅= .

r

VDPDPV C

D ⋅=ω⋅=

Bilo da se disk (točak, obruč) kotrlja bez klizanja po pravolinijskoj ili krivolinijskoj nepokretnoj podlozi, zbog jednakosti brzina dodirnih tačaka, trenutni pol Pmora biti u tački kontakta gde važi:

Pri kotrljanju bez klizanja po pravolinijskoj podlozi, za po-znato aC i r, ugaono ubrzanje određuje formula .raC=ε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r

a

r

tat

r

tVt

dt

d

r

tVt CCCC =ε⇒=ε⇒=ω⇒=ω

Pri kotrljanju bez klizanja po krivolinijskoj podlozi, za po-znato aCT i r, ugaono ubrzanje određuje formula .raCT=ε

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r

a

r

tat

r

tVt

dt

d

r

tVt CTCTCC =ε⇒=ε⇒=ω⇒=ω

Takođe znati daje u tom slučaju:

.2

rR

Va C

CN +=

Projektovanjem vektorske jednačine na izabranu x osu, dobija se:

Teorema o projekciji vektora brzina na zajedničku pravu.Za dve tačke koje pri-padaju telu što vrši ravno kretanje proje-kcije vektora brzina na zajedničku pravu mo-raju biti jednake:

Dokaz (donja slika):A

DAD VVVrrr

+=⇒+= 0: AxDx VVx .coscos α⋅=β⋅ AD VV

.coscos α⋅=β⋅ AD VV

Poznato je ubrzanje jedne tačke telau potpunosti (na primer, tačkeA, , zna mu se pravac, smer i inenzitet) a takođe i ugaona brzinaω i ugaonoubrzanjeε tela u datom trenutku. Treba odrediti mesto tačke telaQčije ubrzanje iznosi nula. Ta tačka Q je trenutni pol ubrzanja.

Aar

Položaj tačkeQ u odnosu na tačku Ai vektor određuju ugaoβ i rasto-janje . Tačnije, ako bi se vektor obrnuo oko tačke A u smeru ugaonog ubrzanja ε bio bi usmeren tačno pre-

Aar

AQ Aar

ma tački Q, koja je od tačke A na rastojanju .AQ

,QAT

QANQA aaaa

rrrr ++= ⇒ε⋅=ω⋅== AQaAQaa QAT

QANQ ,,0 2

rr

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ω+ε⋅=ω⋅+ε⋅=+= 42222222AQAQAQaaa Q

ANQATA

⇒ω+ε⋅= 42AQaA

Određivanje rastojanja :AQ

.42 ω+ε

= AaAQ

Trenutni pol ubrzanja.

Određivanje ugla ββββ:

22tanωε=

ω⋅ε⋅==β

AQ

AQ

a

aQAN

QAT

.arctan 2ωε=β⇒

Na osnovu trouglova sa slike imamo da je:

Određivanje ubrzanja ma koje tačke tela kada mu se zna položaj tačke Q, ωωωω i εεεε (samim tim i ββββ):

Pravac i smer vektora ubrzanja neke tačke tela dobijaju se okretanjem za ugao β vektora koji spaja tu tačku sa tačkom Q oko te tačke. Intenzitete vektora ubrzanja tačaka određuju izrazi:

,..., 4242 ω+ε⋅=ω+ε⋅= CQaBQa CB

Centroide. Primer.Telo koje se u ravni kotrlja bez klizanja po nepokretnojliniji vrši opšte ravno kretanje. Svaka tačka omotačatog tela u trenutku kontakta sa nepokretnomlinijom imaće brzinu jednaku nuli i biće tre-nutni pol brzine. Omotačtog telačini skup trenutnihpolova brzine koji, u odnosu na pokretnikoordinatni sistemηAξ, obrazuje pokretnucentroiduCp. Nepokretnu centroiduCn, koja jezapravo pomenuta nepokretna linija, čini skuptrenutnih polova brzine u odnosu na nepokretnikoordinatni sistem yOx.

Svako ravno kretanje može biti predstavljenokao kotrljanje bez klizanja pokretne centroide

parametarskih jednačina tačkeP u nepokretnom i pokretnom koordinatnom si-stemu eliminacijom parametra iz tih jednačina.

po nepokretnoj. Jednačine tih centroida i( ) 0, =PP yxf( ) 0, =ηξ PPg dobijaju se na osnovu odgovarajućih

U parametarskim jednačinama oblikaparametar je ϕ.

( ) ( ) ( ),,, ϕξ=ξϕ=ϕ= PPPPPP yyxx( ),ϕη=η PP

Ukoliko bismo kruto telo koje vrši ravno kretanje kruto spojili sa pokretnomcentroidom, kotrljanjem bez klizanja pokretne centroidepo nepokretnoj telo bi prolazilo kroz potpuno iste položaje kao i kod njegovog originalnog kretanja.

Primer 2.17Za primer ravnog kretanja, gdetačkaA štapaAB, dužinel, klizi po vertikalnomzidu a njegova tačkaB, klizi po horizontalnompodu, odrediti nepokretnu i pokretnu centroidu?

Pokretna centroida:

Nepokretna centroida:

( ) ( ) .cos,sin ϕ⋅=ϕϕ⋅=ϕ lylx PP

( )⇒ϕ+ϕ⋅=+ 22222 cossinlyx PP .222 lyx PP =+

Parametarske jednačine nepokretne centriode:

Eliminacija parametra ϕ:

Korišćena jednakost: .1cossin 22 =ϕ+ϕParametarske jednačine pokretne centriode:

( ) ( ) ( ) ( ) .cossincos,sinsin 2 ϕ⋅ϕ⋅=ϕ⋅ϕ=ϕηϕ⋅=ϕ⋅ϕ=ϕξ lxlx PPPP

Eliminacija parametra ϕ:

Korišćene jednakosti:

( ) ( ) ( ) ⇒ϕ=ϕηϕ−=ϕξ 2sin2

,2cos12

llPP

⇒ϕ=ηϕ−=−ξ 2sin2

,2cos22

lllPP

( ) ⇒ϕ+ϕ⋅

=η+

−ξ 2sin2cos22

222

22

llPP

.22

22

2

=η+

−ξ llPP

( ) ,2sin21

cossin,2cos121

sin2 ϕ=ϕ⋅ϕϕ−=ϕ .12sin2cos 22 =ϕ+ϕ

Izvođenje izraza za i preko , koje je poželjno znati:ϕ2cos ϕ2cosϕ2sin

,1sincos)1 22 =ϕ+ϕ .2cossincos)2 22 ϕ=ϕ−ϕSabiranjem jednačina 1) i 2), dobija se:

( ).2cos121

cos2 ϕ+=ϕ

( ).2cos121

sin2 ϕ−=ϕ⇒ϕ−=ϕ 2cos1sin2 2

⇒ϕ+=ϕ 2cos1cos2 2

Oduzimanjem jednačina 1) i 2), dobija se:

Složeno kretanje tačke. Prenosno kretanje. Relativno i apsolutnokretanje tačke koja vrši složeno kretanje.Ima smisla govriti o složenom kretanju tačke onda, kada postoji kretanje tela, a takođe postoji, kretanje tačke u odnosu na to telo. To pokretno telo u odnosu na koje se kreće tačka zvaćemo prenosni element, a njegovo kretanje zvaćemo prenosno kretanje. U problemima kakve proučavamo u ovom kursu, prenosno kretanje je najčešće ili obrtanje oko nepomične ose ili translatorno ili opšte ravno, zbog čega se dobro mora znati kinematika ovakvih vrsta kretanja tela.

Kretanje tačke, koja vrši složeno kretanje, u odnosu na prenosni element naziva se relativnim kretanjem. Shodno tome, koristićemo se pojmovima: relativna putanja, relativna brzina i relativno ubrznje, koji suštinski predstavljaju: putanju, brzinu i ubrzanje, te tačke koja vrši složeno kretanje, u odnosu na prenosni element (to jest, odnosu na pokretni koordinatni sistem, koji je vezan za prenosni element).

Kretanje tačke, koja vrši složeno kretanje, u odnosu na okolinu koja, uslovnorečeno, miruje naziva se apsolutnim kretanjem. Shodno tome, koristićemo se pojmovima: apsolutna putanja, apsolutna brzina i apsolutno ubrznje, koji sušti-nski znače: putanju, brzinu i ubrzanje te tačke, koja vrši složeno kretanje, u odnosu na okolinu (to jest, odnosu na nepokretni koordinatni sistem, vezan za okolinu).

Na slici je prikazan prenosni element (ploča) koji vrši obrtanje oko nepomične ose, koja je upravna na ravan crteža i prolazi kroz tačku B. Sa prenosnim elementom se zajedno kreće i pokretni koordinatni sistem ηAξ, vezan za njega. Takođe je prikazan i nepokretni koordinatni sistem yOx, fiksiran za nepokretnu okolinu, kao i dve tačke koje vrše složeno kretanje, to su tačke M i N.

Relativno kretanje tačke M je pravolinijsko, s obzirom da se ona kreće po pravolinijskom žljebu urezanom u prenosni element. Relativno kretanje tačke Nje kružno, s obzirom da se ta tačka kreće po kružnom žljebu urezanom u prenosni element. U problemima će biti jako važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska, jer od toga zavise važni podaci koji se tiču vektora relativne brzine i relativnog ubrzanja.

Vektori relativne, prenosne i apsolutne brzine i jednakost koja ih povezuje.

Prema teoriji, vektor apsolutne brzine tačke(označavaćemo ga sa , bez indeksa), koja vrši složeno kretanje, jednakje zbiru vektora njene prenosnebrzine (označavaćemo je sa ) i relativne brzine ( ), dakle

Vr

pVr

rVr

rp VVVrrr

+=

Prenosna brzina je brzina one tačkeprenosnog elementa na kojoj se (odnosno, nad kojom se), u posmatranom trenutkuvremena, nalazi tačka koja vrši složeno

pVr

kretanje.

Ako saM’ označimo tu tačku prenosnog elementa nad kojom se u posmatranomtrenutku vremena nalazi tačkaM, koja vrši složeno kretanje, onda je jasno da je vektor prenosne brzine jednak vektoru brzine tačkeM’ , dakle .Mp VV ′=

rr

Pošto prenosni elementi na ovim slikama vrše obrtanja oko nepomičnih osa, pravci prenosnih brzina su upravni na duži , dok su im smerovi u skladu sa smerovima ugaonih brzina ω prenosnih elemenata.

Mp VV ′=rr

BM

Za relativnu brzinu je veoma važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska. Ako je pravolinijska, pravac vektora relativne brzine mora biti isti kao i pravac pravolinijske relativne putanje (Sl.1). Ako je relativna putanja krivolinijska, pravac vektora relativne brzine mora se poklopiti sa pravcem tangente na relativnu putanju (Sl.2).

rVr

rVr

Ako je zadata jednačina pravolinijskog relativnog kretanja (Sl.1) intenzitet relativne brzine dobija se prvim izvodom relativne pravolinijske koordinate po vremenu, dakle . Vektor je istog smera kao i porast koordinate s, ako je u tom trenutku , dok je vektor suprotnog smera u odnosu na smer porasta koordinate s, ako je u tom trenutku .

( )ts

sVr &= rVr

0>s& rVr

0<s&

Isto tako, ako je zadata jednačina krivolinijskog relativnog kretanja (Sl.2), imamo da je , gde smer vektora , kao i kod relativne pravolinijske koordinate, zavisi od toga da li je, u tom trenutku, pozitivno ili negativno.

sVr &=( )ts

rVr

s&

Ako se za kružno relativno kretanje ne zada koordinata već odgovarajuća relativna ugaona koordinata , kao na slici 2 (prethodni slajd), gde spredstavlja dužinu kružnog luka nad uglom ψ, onda je pogodno iskoristiti formulu kako bi znali .( )ts

( )ts( )tψ

( ) ( )tRts ψ⋅=Vektori relativnog, prenosnog, Koriolisovog i apsolutnog ubrzanja tačkekoja vrši složeno kretanje i jednakost koja ih povezuje.Prema teoriji, vektor apsolutnog ubrzanja tačke (označavaćemo ga sa , bezindeksa), koja vrši složeno kretanje, jednak je zbiru vektora njenog prenosnog(označavaćemo ga sa ), relativnog ( ) i Koriolisovog ( ) ubrzanja, dakle:

ar

par

rar

corar

.corrp aaaarrrr ++=

Prenosno ubrzanje je ubrzanjeone tačke prenosnog elementa nakojoj se (odnosno, nad kojom se), u posmatranom trenutku vremena, nalazi tačka koja vrši složenokretanje.

par

Ako saM’ označimo tu tačku prenosnog elementa nad kojom se u posmatranomtrenutku vremena nalazi tačkaM, koja vrši složeno kretanje, onda je jasno da je vektor prenosnog ubrzanja jednak vektoru ubrzanja tačkeM’ , dakle .Mp aa ′= rr

Ako prenosni element vrši obrtanje oko nepomične ose, vektor ubrzanja tačke M’ , nad kojom se nalazi tačka M, koja vrši složeno kretanje, mora biti razložen na normalnu i tangencijalnu komponentu. S obzirom da bi u takvom slučaju imali da je , samim tim bi pisali:TMNMM aaa ′′′ += rrr

pTpNp aaarrr += gde je ,NMpN aa ′= rr

.TMpT aa ′= rr

Za relativno ubrzanje je veoma važno primetiti da li je relativna putanja pravolinijska ili krivolinijska. Ako je pravolinijska, pravac vektora relativnog ubrzanja mora biti isti kao i pravac pravolinijske relativne putanje (Sl.1-prethodni slajd). Ako je relativna putanja krivolinijska, pravac tangencijalne komponente vektora relativnog ubrzanja mora se poklopiti sa pravcem tangente na relativnu putanju (Sl.2- prethodni slajd). Ali, osim tangencijalne komponente vektor ima i svoju normalnu komponentu , koja je usme-rena ka centru krivine relativne putanje i čiji je intenzitet određen formulom

rar

rTar

rar

rNar

,2

k

rrN R

Va = gde je poluprečnik krivine relativne putanje. kR

U velikom broju primera relativna krivolinijska putanja je kružna pa je u takvom slučaju jednako poluprečniku kruga R relativne kružne putanje. U takvom slučaju vektor je usmeren ka centru tog kruga.

kRrNar

Ako je zadata jednačina pravolinijskog relativnog kretanja (Sl.1), intenzitet relativnog ubrzanja dobija se drugim izvodom relativne pravolinijske koordinate po vremenu, dakle Vektor je istog smera kao i porast koordinate s, ako je u tom trenutku , dok je vektor suprotnog smera u odnosu na smer porasta koordinate s, ako je u tom trenutku .

( )ts

( )ts .sar &&= rar

0>s&& rar

0<s&&Isto tako, ako je zadata jednačina krivolinijskog relativnog kretanja (Sl.2), intenzitet tangencijalne komponente relativnog ubrzanja takođe se dobija drugim izvodom relativne krivolinijske koordinate po vremenu, dakle

( )ts

( )ts.sarT &&=

Vektor je istog smera kao i porast koordinate s, ako je u tom trenutku dok je vektor suprotnog smera u odnosu na smer porasta koordinate s, ako je u tom trenutku .

rTar

,0>s&&

rTar

0<s&&

gde je vektor ugaone brzine prenosnog elementa .

Prema teoriji Koriolisovo ubrzanje određuje formula ,2 rcor Varrr ×ω=

( )pω=ω rrωr

Pravac i smer vektora ugaone brzine određuje pravilo desne ruke (Sl.1)

ωr

U cilju određivanja pravca i smera Korioli-sovog ubrzanja treba uočiti ravan π koju obrazuju prvi i drugi u vektorskom proizvodu (Sl.2 i Sl.3). Zatim se pravilom desne ruke odrede pravac i smer Korioli-sovog ubrzanja (Prste desne ruke postaviti u ravni π tako da su prsti usmereni od prvog vektora u vektorskom proizvodu ka drugom najkraćim putem. Palac desne ruke pokazaće pravac i smer Koriolisovog ubrzanja).

Intenzitet Koriolisovog ubrzanja:

θ⋅⋅ω⋅= sin2 rcor Va

U takvom slučaju (Sl.4-prthodni slajd), pravac i smer Koriolisovog ubrzanja mogu se dobiti, okretanjem vektora u smeru ω za .

U slučaju kakvi se često sreću u praksi, kada je u pitanju ravanski mehanizam, gde je vektor upravan na ravan crteža, a u samoj ravni crteža leži vektor ugao θ je i samim tim, intenzitet Koriolisovog ubrzanja je

ωr

090

090 .2 rcor Va ⋅ω⋅=

corar

rVr

POTVRDA JEDNAKOSTI corrprp aaaaVVVrrrrrrr

++=+= I

KADA PRENOSNI ELEMENT VRŠI OPŠTE RAVNO KRETANJEZA SLUČAJ

,rVr

Relativna brzina i relativno ubrzanje: ,21 eeAMrrr η+ξ=ρ=

2121 , eeaeeV rr

r&&

r&&rr&

r&r

η+ξ=η+ξ=Koriolisovo ubrzanje:

⇒ϕ=ω×ω= 3,2 eVa prpcor

r&

rrrr

0

002321

ηξϕ=

&&

&

rrr

reee

acor ηξϕ−=

&&

rr

&212

ee

( ) ⇒ξ−ηϕ−= 212 eeacor

r&r&&

r

21 22 eeacor

r&&r

&&r ξϕ+ηϕ−=

Prenosna brzina i prenosno ubrzanje:B

MA

BApA

BABB

MBMp VVVVVVVVVVV ''' ,rrrrrrrrrrr

++=⇒+=+==

⇒ϕη−=ϕξ= 1'2, eVeV BM

AB

r&

rr&

r

12 eeVV Ap

r&

r&

rrϕη−ϕξ+=

BTM

BNM

ABT

ABNAp

ABT

ABNAB

BTM

BNMBMp aaaaaaaaaaaaaaa ''''' ,

rrrrrrrrrrrrrrr ++++=⇒++=++==

⇒ϕη−=ϕη−=ϕξ=ϕξ−= 1'22

'212 ,,, eaeaeaea B

TMB

NMABT

ABN

r&&

rr&

rr&&

rr&

r

122

212 eeeeaa Ap

r&&

r&

r&&

r&

rr ϕη−ϕη−ϕξ+ϕξ−=

Na Sl.2 prikazani su pravci i smerovi vektora ,, '

BM

AB VV

rr

,i,, ''B

TMB

NMABT

ABN aaaa

rrrr

čiji intenziteti su:

,, ' ϕη=ϕξ= &r

&r

BM

AB VV

., '2

' ϕη=ϕη= &&&B

TMB

NM aa

,,2 ϕξ=ϕξ= &&&ABT

ABN aa

'Mp VVrr

='Mp aa

rr =

Apsolutna brzina i apsolutno ubrzanje:

⇒η+ξ+η+ξ+=

⇒η+ξ+=

η+ξ+=⇒η+ξ=ρϕ−=ϕ=ρ+==

2121

21

2121

1221 ,,,

eeeeVV

eerrdt

d

eerree

eeeerrr

A

A

A

AM

r&

r&&r

&rrr

rrrr

rrrrrrr

r&&

rr&&

rrrrr

( ) ( )

( ) ( ) 211222

112

2

21211122

2112

eeeeeeeeaa

eeeeeedt

dee

dt

daa

eeeeVVdt

d

A

A

A

r&&

r&&r&&

r&&

r&

r&&&&

r&

r&&&&

rr

r&&

r&&&r

&&r&&

r&

r&&

r&

r&

rr

r&

r&r&

r&

rr

η+ξ+ϕη−ϕξ+ϕη−ϕη+ϕη−ϕξ−ϕξ+ϕξ+=

⇒η+ξ+η+ξ+ϕη−ϕη−ϕξ+ϕξ+=⇒

η+ξ+ϕη−ϕξ+=

=⇒ ar

Aar

2er

&&ϕξ+ 12

2 eer

&r&& ϕξ−ϕξ+ 1e

r&&ϕη−

22

1 eer

&r&& ϕη−ϕη− 12 ee

r&&

r&& ϕη−ϕξ+ 21 ee

r&&

r&& η+ξ+

=⇒ ar

122

212 eeeeaA

r&&

r&

r&&

r&

r ϕη−ϕη−ϕξ+ϕξ− 21 eer&&

r&& η+ξ+ ( )21 22 eer&&

r&& ξϕ+ηϕ−+

=⇒ ar

par

rar+ cora

r+

=Vr

12 eeVA

r&

r&

rϕη−ϕξ+ 21 ee

r&

r& η+ξ+

=⇒ Vr

pVr

rVr

+

Slaganje ugaonih brzina pri složenomkretanju krutog tela.Ovde se ograđujemo na takvo složeno kretanje tela gde je i prenosno i relativno kretanje, u najtežoj varijanti, opšte ravno, kao na slici. Ovde je jedini cilj da se za poznatu ugaonu brzinu prenosnog tela ωp i poznatu relativnu ugaonu brzinu ωr (tj. ugaonu brzinu nošenog tela, koje vrši složeno kretanje, u odnosu na prenosno telo) odredi apsolutna ugaona brzina nošenog tela ω (tj. njegovu ugaonu brzinu u odnosu na okolinu koja miruje).

Formula koja povezuje ove ugaone brzine je:

.rp ω±ω=ωOvde se smer ugaone brzine ω poklapa sa smerom ωp, dok je predznak ispred ωr „+“ ako se smerovi od ωr i ωp poklapaju, a „-“ ako su suprotni.

Za slučaj sa slike, gde je , smera suprotnog od kazaljke na satu, a istog smera kao i ωp, apsolutna ugaona brzina nošenog tela je

ϕ=ω &p ,ψ=ω &r

takođe smera suprotnog od kazaljke na satu.

,ψ+ϕ=ω+ω=ω &&rp