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7/16/2019 Identidad.docx

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Identidad (matemática)

No debe confundirse con igualdad matemática o ecuación.

En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que se escribenmatemáticamente diferente son de hecho el mismo objeto.1 En particular, una identidades una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de lasdistintas variables empleadas.2 Las identidades suelen utilizarse para transformar unaexpresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.

Ejemplos

En el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Estaidentidad no relaciona variables sino únicamente constantes matemáticas.

En trigonometría, existen numerosas identidades que facilitan los cálculos. Por ejemplo,

es una identidad, cierta para cualquier valor del número real (e incluso complejo) .

Identidades notables

Algunas identidades algebraicas se denominan «notables» y facilitan los cálculos o lafactorización de expresiones polinómicas.

Por ejemplo el producto notable , que es cierto seancuales sean los elementos y de un anillo conmutativo.

Ecuación

En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidoso incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos

pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud sehaya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadasgeneralmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, enla ecuación:

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica



http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas



http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_%28matem%C3%A1tica%29#cite_note-1






http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_%28matem%C3%A1ticas%29






http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complejos



http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler



http://es.wikipedia.org/wiki/Cero



http://es.wikipedia.org/wiki/Uno



http://es.wikipedia.org/wiki/Unidad_imaginaria



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_e



http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Constantes_matem%C3%A1ticas



http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa



http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo



http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra



http://es.wikipedia.org/wiki/Cuenta_%28matem%C3%A1ticas%29



http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_conmutativo









http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica



http://es.wikipedia.org/wiki/Dato



http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero



http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_matem%C3%A1tico



http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_%28matem%C3%A1ticas%29








































la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa

dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional , en la que solo ciertos valoresde las variables la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables quela satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Ejemplos:

1. ¿ Es 6 una solución para la ecuación 3x - 1 = 2x +5?

3x -1 = 2x + 53(6)-1 = 2(6) + 5 <Se sustituyó el x por el 6>18 - 1 = 12 + 5 <Se resuelve en ambos lados>

17 = 17

2. ¿Es 3 la solución de la ecuación 3x + 1 = 2x + 3 ?

3x + 1 = 2x + 33(3) + 1 = 2(3) + 39 + 1 = 6 + 3

10 = 9 < 3 no es la solución >

3. x - 3 = 9

x + -3 = 9x + -3 +3 = 9 + 3 <añadir 3 elimina la resta y

x + 0 = 12 mueve todo excepto la variable xx = 12 del lado izquierdo>

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

En la igualdad se dan cinco propiedades; a saber:

1. Propiedad idéntica o reflexiva: establece que toda cantidad o expresión es

igual a sí misma.



Ejemplos:

2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x

2. Propiedad simétrica: consiste en poder cambiar el orden de los miembros

sin que la igualdad se altere.

Ejemplos:

Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11

Si a - b = c, entonces c = a - b

Si x = y, entonces y = x

3. Propiedad transitiva: enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en

común, los otros dos miembros también son iguales.

Ejemplos:

Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5

Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b

Si m = n y n = p, entonces m = p

4. Propiedad uniforme: establece que si se aumenta o disminuye la mismacantidad en ambos miembros, la igualdad se conserva.

Ejemplos:

Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)

Si a = b, entonces a + x = b + x

Si 3y = 12, entonces

5. Propiedad cancelativa: dice que en una igualdad se pueden suprimir doselementos iguales en ambos miembros y la igualdad no se altera.

Ejemplos:

Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12

Si a + b = c + b, entonces a = c

Si (8 ÷ 4) (5) = (2) (5), entonces 8 ÷ 4 = 2



Ecuaciones lineales

Ecuación lineal con n incógnitas

Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b .

Los valores ai se denominan coeficientes,

b es el término independiente.

Los valores xi son las incógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina soluciónde la ecuación.

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

Ecuaciones lineales equivalentes

Son aquellas que tienen la misma solución.

x + y + z + t = 0 2x + 2y + 2z + 2t = 0

Ecuaciones lineales de primer grado

Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó

cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esaexpresión.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientespasos:

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.



5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

Ecuacion Cuadrática

La ecuación cuadrática o también conocida como la ecuación de segundo grado esaquella ecuación que obedece a un polinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + cigual a cero.

Donde el coeficiente "a" es necesariamente diferente a cero (En el caso que a = 0 seobtiene una ecuación lineal o de primer orden)

Método de solución de la ecuación

cuadrática



Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión

Para lo cual se suma y resta

, que puede escribirse como

Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término

puede despejarse

El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo

grado



El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tienedos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la xque se obtuvo De esta manera se tiene

Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí

Si las dos raíces son reales e iguales

Si las dos raíces son complejas conjugadas

Ejemplos numéricos

Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0

Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1

Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula

Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que , en este

ejemplo en particular

Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1



Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que

Tercer ejemplo, x2

+ x + 1 = 0

Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1

Se reemplazan los coeficientes en la fórmula

Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que , para esta

ecuación se obtuvo

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Las ecuaciones con valor absoluto (también existen inecuaciones con valor absoluto) son aquellas donde tienes encerrados algunos términos en vez decon paréntesis con barras.La propiedad fundamental del valor absoluto, está asociada al concepto dedistancia.. el valor absoluto es siempre positivo. Pues se parte del siguienteconcepto:

IxI=x si y sólo si x>0IxI= -x si y sólo si x<0



qué quiere decir esto???I3I=3 pues x>0I3I= - (-3) pues x<0I3I= +3 aplicando la regla de signos.con este concepto, todos los números son convertidos en positivos... por ello se

asocia con distancia

Resolver las siguientes ecuaciones:





ECUACIÓN CON RADICALES



Las ecuaciones con radicales o ecucaciones irracionales son aquellas que tienen laincógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones con radicales

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto delos términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.

3º Se resuelve la ecuación obtenida.

4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial . Hay que

tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene lasmismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiandoel signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del procesohasta eliminarlos todos.

1º Aislamos el radical:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

APLICACIONES DE ECUACIONES

Aplicaciones a la Biología:



Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticoshan sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieranaun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivosdesde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a laimaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento deuna célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuacióndiferencial fundamental era:

dy / dt = y

con solución

y = ce

Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si> 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre

sí < 0.

Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de susolución correspondiente es que si > 0 entonces tenemosque y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Estoesta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemosque una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.

Formulación Matemática:

Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha

mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de lascélulas). Tendríamos entonces:

dy / dx = F(y) y = Yo para t=0

Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una

función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) =y no es apropiada, ensayemos como una aproximación deorden superior dada por la función cuadrática F(y) = y -

y² , y = Yo para t = 0.

Puesto que la ecuación F(y) = y -y² es de variables separables, tenemos

dy / y - y² = dt ó " dy / y( - y) = t + c



esto es, "1/ [1/y +/ -

y]dy = t + c

= 1/ [ln y - ln ( -

y)] = t + c

Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:

Y = / _ _

1 + [ / / Yo - 1] e

Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que> 0, que:

Ymax = lim Y = /

t!"

Por simple álgebra encontramos:

Ymax = lim Y = Y1(Yo - 2YoY2 + Y1Y2)

t!" Y1² - YoY2

Ejemplo:

Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguientetabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con plenocrecimiento.

Edad Altura (pul)

Nacimiento 19.4

1 año 31.3

2 años 34.5

3 años 37.24 años 40.3

5 años 43.9

6 años 48.1

7 años 52.5

8 años 56.8

solución: Para cubrir en conjunto completo de datos dado en la tabla, sea t = 0,1,2 lasedades al nacimiento, 4 años y 8 años, respectivamente. Así tenemos que Yo = 19.4 Y1= 40.3 Y2 = 56.8.



Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.

Problemas de Epidemiología:

Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llamaepidemiología K , y si un porcentaje grande no común de una población adquiere laenfermedad, decimos que hay una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algocomplicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación deuna enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita.Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio ouniversidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo

relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que haysolo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamadosinfectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que soncapaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado queinicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.


Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes noinfectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos

N = Ni + Nu

La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por laderivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nuen virtud de la formula N = Ni + Nu.

Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N,tenemos entonces que:

dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²

Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni,esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde

Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultimaformulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/N

Así que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni).Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay Noestudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:

Ni = N _



1 + (N/No - 1)e

Aplicaciones a la Economía:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a

la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra mucho factoresimpredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulaciónmatemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los

problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debefinalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda

Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada ( por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t.Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo

t.

El numero de unidades del bien que desean los consumidores por unidad de tiempo encualquier tiempo t se llama la demanda y se denota por D(t), o brevemente D. Estademanda puede depender no solo del precio p en cualquier tiempo t, esto es, p(t), sinotambién de la dirección en la cual los consumidores creen que tomaran los precios, estoes, la tasa de cambio del precio o derivada p´(t). Por ejemplo, si los precios están altosen tiempo t pero los consumidores creen que pueden subir, la demanda tiende aincrementar. En símbolos esta dependencia de D en p(t) y p´(t) puede escribirse:

D = (p(t)),p´(t)

Llamamos la función de demanda.

Similarmente, el numero de unidades del bien que los productores tienen disponible por unidad de tiempo en cualquier tiempo t se llama oferta y se denota por S(t), o

brevemente S. Como en el caso de la demanda, S también depende de p(t) y p´(t). Por ejemplo, si los precios están altos en tiempo t pero los productores creen que estos

pueden subir mas, la oferta disponible tiende a incrementar anticipándose a precios másaltos. En símbolo esta dependencia de S en p(t) y p´(t) puede escribirse:

S = g(p(t), p´(t)

Llamamos g a la función oferta.

Principio económico de la oferta y la demanda:

El precio de un bien en cualquier tiempo t, esto es, p(t), esta determinada por lacondición de que la demanda en t sea igual a la oferta en t, en forma matemática estoquiere decir:

(p(t),p´(t)) = g(p(t),p´(t))

Las formas que debería tener y g son las siguientes:



D = (p(t),p´(t)) = A1p(t) + A2p´(t) + A3

S = g(p(t),p´(t)) = B1p(t) + B2p´(t) + B3

donde A´S y B´S son constantes, en ese caso la formula matemática se transforma a la

siguiente expresión:

A1p(t) + A2p´(t) + A3 = B1p(t) +B2p´(t) + B3

(A2 - B2)p´(t) + (A1 - B1)p(t) = B3 - A3

Asumamos que A1"B1, A2"B2 y A3"B3. Entonces podríamos escribir la formula como:

p´(t) + (A1-B1/A2-B2)p(t) = B3-A3/A2-B2

Resolviendo esta ecuación lineal de primer orden sujeta a p = Po en t = 0 da como

resultado:

p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e

Caso I: Si Po = (B3-A3)/(A1-B1) y p(t)=Po entonces, los precios permanecenconstantes en todo tiempo.

Caso II: Si (A1-B1)/A2-B2)>0 entonces se tendría una estabilidad de precios.

Caso III: Si (A1-B1)/A2-B2)<0. en este caso vemos que de la ecuación p(t) = B3-A3/A1-B1 + [Po- (B3-A3/A1-B1)]e que el precio p(t) crece indefinidamente a medidaque t crece, asumiendo que Po > (B3-A3)/A1-B1),esto es, tenemos inflación continuadao inestabilidad de precio. Este proceso puede continuar hasta que los factoreseconómicos cambien, lo cual puede resultar en un cambio a la ecuación (A2 - B2)p´(t) +(A1 - B1)p(t) = B3 -A3.

Ejemplo:

La demanda y oferta de un cierto bien están en miles de unidades por D = 48 - 2p(t) +3p´(t), S = 30 + p(t) + 4p´(t), respectivamente. Si en t =0 el precio del bien es 10unidades, encuentre (a) El precio en cualquier tiempo t > 0 y (b) Si hay estabilidad o

inestabilidad de precio.

Solución: El precio p(t) esta determinado al igualar la oferta con la demanda, esto es,

48 - 2p(t) + 3p´(t) = 30 + p(t) + 4p´(t) = p´(t) + 3 p(t) = 18

Resolviendo la ecuación del primer orden lineal sujeta a p = 10 en t = 0 da comoresultado: p(t) = 6 + 4e

De este resultado vemos que, sí t!", p!6. Por tanto tenemos estabilidad de precio, y el precio de equilibrio es de 6 unidades.

Inventarios:



Si la oferta es mayor a la demanda, entonces los productores tiene una cierta cantidad de bien en su posesión, la cual se llama inventario del bien, el cual esperan vender. Por otrolado, si la demanda es mayor que la oferta, entonces los productores deben adquirir inventario.


Sea q(t) la cantidad o numero de unidades de un bien C disponible en tiempo t.Entonces q(t + "t) = q(t) + "q es la cantidad disponible en tiempo t + "t. Así tenemosque:

Cantidad acumulada en intervalo t a t + "t = "q = q(t + "t) - q(t).

S = numero de unidades de C ofrecidas de tiempo por los productores en tiempo t.

D = numero de unidades de C demandadas por unidad de tiempo por los consumidores

en tiempo t.

Entonces el numero de unidades ofrecidas por los productores y demandas por losconsumidores entre t y t +"t están dados aproximadamente por S"t y D"trespectivamente, donde los resultados son precisos excepto por términos que involucran("t)² y mayores.

Así, cantidad acumulada en el intervalo t a t + "t es igual a:

S"t - D"t + términos con ("t)² o mayores.

Así "q/"t = S - D + términos con ("t)² o mayores.

tomando el limite cuando "t!0, dq/dt = S - D.

De esta ultima ecuación podremos decir que servirá de base para el posterior análisissobre precios. Como una ilustración, supongamos que un productor desea proteger susutilidades al requerir que la tasa a la cual incrementara el precio sea proporcional a latasa a la cual declina el inventario. En ese caso tenemos que:

dp/dt = - dq/dt

Donde > 0 es la constante de proporcionalidad que seasume conocida, de modo que usando la ecuación dp/dt = -

(S - D). Puesto que S y D se pueden expresar en términosde p, la ecuación dp/dt = - (S - D) es una ecuacióndiferencial para p.

Ejemplo:

Suponga que la oferta y la demanda están dadas en términos de precios p por S = 60 +2P, D = 120 - 3P, respectivamente, la constante de proporcionalidad es

= 4. Escriba la ecuación diferencial para p y determine el precio en cualquier tiempo t > 0 asumiendo que p = 8 en t = 0



solución: de la formula dp/dt = - dq/dt la ecuacióndiferencial requerida para p es: dp/dt = -4(60 + 2P - 120 + 3p) o dp/dt + 20 p = 240

resolviendo esta ultima ecuación diferencial tenemos que p = 12 + ce

usando p = 8 en t = 0 da c = - 4 y así p = 12 - 4e

Aplicaciones a la Química:

Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunasde estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo:

Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal ) de agua salada en la cual estándisueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al

tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.

Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.

¿Cuanta sal está presente después de 10min?

¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?


Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es latasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:

dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida

Puesto que entran 2gal/min. conteniendo 3lb/gal de sal tenemos que la cantidad de salque entra por minuto es:

2gal / min. x 3 lb./gal = 6 lb./min. Lo cual es la tasa a la cual se gana sal. Puesto quesiempre hay 10 gal en el tanque y debido a que hay A libras de sal en cualquier tiempo t,la concentración de sal al tiempo t es A libras por 10gal. La cantidad de sal que sale por

minuto es, por tanto,

Alb / 10gal x 2gal / min. = 2A lb. / 10min. = A lb./ 5min.

de: (dA / dt),(6 lb./min.) y (A lb./5min) tenemos que: dA / dt = 6 - A/5.

Puesto que inicialmente hay 5lb. de sal, tenemos que A = 5 en t = 0. Así, la formulaciónmatemática completa es:

dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0

solución:



Usando el método de separación de variables, tenemos:

" (dA / 30 - A) = " (dt / 5) ó - ln (30 - A) = t / 5 + c

Puesto que A = 5 en t = 0, c = - ln 25. Así,

- ln (30 - A) = t/5 - ln 25 = ln[(30 - A)/25] = A = 30 - 25 e

La cual es la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.

Al final de los 10min. la cantidad de sal es A = 30 - 25 e ² = 26.6 lb.

Después de un tiempo largo, esto es, cuando t!", vemos que A!30 lb., Esto también podría ser visto desde la ecuación diferencial haciendo dA / dt = 0, puesto que tambiénA es una constante cuando se alcanza el equilibrio.

Mezclas químicas:

Ejemplo:

Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa ala cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B

presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. deB están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar lacantidad del químico C en cualquier tiempo.


Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es latasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) deB, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A

presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en estetiempo es 20 - x/3. Por tanto:

dx / dt = K [10 - (2x/3)] * [20 - (x/3)]; Donde K es la constante de la proporcionalidad.Esta ecuación puede escribirse de la siguiente manera: dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)]donde k es otra constante. Hay dos condiciones. Puesto que el químico C inicialmente

no está presente, tenemos x = 0 en t = 0. También x = 6 en t = 1/3. Necesitamos doscondiciones, una para determinar k, y la otra para determinar la constante arbitraria de lasolución de la ecuación diferencial.

La formulación completa es:

dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3

solución:

La separación de variables produce:

" dx / [(15 - x) (60 - x)] = " k dt = kt + C1



Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx

= 1/45 ln [(60 - x) / (15 - x)]; así podemos mostrar que:

60 - x / 15 - x = C e

Puesto que x = 0 en t = 0, encontramos c = 4. Así

( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e

Puesto que x = 6 en t = 1/3, tenemos e = 3/2. Así, [(60 - x) / (15 - x)] = 4(e )³t = 4(3/2)³tó x = 15 [ 1 - (2/3)³t]

1 - (1/4)(2/3)³t

Cuando t!", x!15lb.

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