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（大要） 相対論カーニューマン解を利用したニュートン力学手法による太陽系惑星軌道

ティティウスボーデ法則土星リング個数 および ファイン リング径 の導出

犬 山 文 孝 元 九電産業(株)環境部部長

谷口 佐由利 星空愛好者 ∟Senior Power Engineer

はじめに

太陽系惑星軌道に関する美しいティティウスボーデ法則 (120585 = 04 + 03 times 2n) は約 250年前(1766年)

に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれは力学的な必然ではなく偶然だという

考え方が主流となっている１）著者は小惑星群軌道の安定性外乱修復性を考えると何らかの必然性

があると主張するものである

惑星軌道は運動エネルギーと万有引力エネルギーを考慮したニュートン力学によって算出されること

が多いしかしこのニュートン力学に対してエネルギー的安定であるエネルギー最小原理を適用す

ると安定軌道半径は唯一の値となり実現象と完全に食い違っているこの要因は惑星軌道を支配

する要素の抽出が不足している為である

安定軌道を支配するその他のエネルギー要素として一般相対性理論（1915年に発見）の厳密解であ

るカーニューマン解（1965年に発見）から導かれる電荷エネルギーと回転エネルギーがあるつま

り太陽などの中心核星の質量電荷回転要素を取り入れた複雑なエネルギー式に対してニュー

トン力学の手法であるエネルギー最小原理を適用するこれによって 今まで不可解であったティティ

ウスボーデ法則の物理的証明や同じ微分方程式を利用して土星リングの個数 最大 31 個が導出でき

る質量電荷回転要素が絶妙にバランスする場合ファイン リング星が形成されるこれは数学

の数式計算であり詳細な計算過程は別に示す２）

解法フローの概要

解法フローの概要は次の通りであり関連する方程式の番号を示す

１) 一般相対性理論アインシュタイン方程式の厳密解であるカーニューマン解 (質量要素回転要

素電荷要素を織り込み) から時空のエネルギー式を算出する

f 1(ρ θ dρdt dθdt dφdt ε) = 0 ( eq 3）

２) エネルギー式を θで偏微分しエネルギー最小の角度を算出すると θ=π2 となるので以下

θ=π2 の赤道面について計算する

f 2(ρ π2 dρdt 0 dφdt ε) = 0

３) 変分原理のオイラーラグランジュ方程式をカーニューマン解に適用し dφdtを求めて角運

動量相当 J を導入する

ξ(ρ dφdt J ) = 0 ( eq 6)

４) 軌道の遠日点距離近日点距離 R で 距離増分 dρ=0であるので以下 f 2 を遠日点近日点につい

て計算する

f 3(R π2 0 0 dφdt ε) = 0 ( eq 7)

５) f 3(R π2 0 0 dφdt ε) = 0 の dφdt に ξ(ρ dφdt J ) = 0 を代入し惑星軌道半径とエネルギ

ーと角運動量相当の式を算出する

f 4(R π2 0 0 J ε) = 0 ( eq 9)

2

６) 軌道半径はエネルギーと角運動量相当の変数 119877 = 119877(휀 119869) なので数学的テクニックとして軌道

半径をエネルギーで偏微分 120597119877120597휀 する(エネルギーを軌道半径で偏微分すると 角運動量相当の

取り扱いに困窮)つまり f 4 を 휀 で偏微分する

ｇ(R J ε 120597119877120597휀) = 0 ( eq 10)

７) f 4(R π2 0 0 J ε) = 0 から角運動量相当 J の式を導きｇ(R J ε 120597119877120597휀) = 0 に代入して数値

解でなく 軌道の解析的特徴に繋がる軌道半径とエルギーだけの重要な微分方程式にする

h(R ε dεdR) = 0 ( eq 11)

８) 軌道半径の微分方程式 h を解くと積分定数 K が出てくる(arctan logべき乗 等の関数が出現)

H(R ε K) = 0 ( eq 14) ( eq 15)

９) 軌道半径のエネルギー的安定に対してエネルギー最小(極小)原理 dεdR = 0 を適用し ε

微分方程式の解 H と h を連立させる

H(r εmin K) = 0 ① h(r εmin 0) = 0 ( eq 16) ②

10) 積分定数 K は全惑星に共通であることから基準惑星基準リングを定めると微分方程式の判

別式に応じてティティウスボーデ法則土星リングファインリングが物理的に証明される

I (r K) = 0 ( eq 23) ( eq 26) ( eq 27)

なお代数計算では高次微小項の省略は勿論のこと代数学では解けないリッカチ微分方程式より

も複雑な微分方程式を解くために 近似計算やマクローリン級数展開を行っている

( eq 13) ( eq 20)

第１章 エネルギー方程式

１１ エネルギー方程式の導入

本解析の前提条件は一般相対論カーニューマン解(エネルギー運動量テンソル=0)の前提条件のほ

かに次の 3つである

① 調査対象の空間座標は原点の惑星系の中心核星の近傍ではなく中心核星から充分離れている

② 中心核星の回転はそれほど速くなく相対性理論 カー解に特有なボイヤーリンキスト座標は

119886ρの１次オーダで一般球座標と同等になる３）

③ エネルギー方程式は特殊相対論のローレンツ変換係数γと同様に一般相対論カーニューマン

解 Γ から導かれるまた惑星やダーク体のエネルギー運動量テンソルは無視できる

厳密なカーニューマン解はボイヤーリンキスト座標を用いて次のように表される 4)

ds2 = minusR2Δ

ρ2(dt minus a sin2θ dφ)

2+

ρ2

R2Δdr2 + ρ2 dθ2+

R4sin2θ

ρ2 (dφminus

aR2

dt)2

半径ｒが大きくなるとボイヤーリンキスト座標の近似化によって次のようになる

ds2 rarr minus(1 minus2M

r)dt2

minus4aMsin2θ

rdt dφ+ (1 +

2M

r)dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dφ)

ここからは記号をボイヤーリンキスト座標から普通の極座標 に変える

一般相対性理論のアインシュタイン方程式を厳密に解き中心核星の質量要素 ｍ回転要素 119886 と電荷

要素 e を織り込んだ近似カーニューマン解は（式 1）である

R

3

(1) 1198891199042 = (1 minus2119898120588 minus 1198902

1205882 + 1198862cos2120579)(119888119889119905)2 minus

1205882 + 1198862 cos2 120579

1205882 + 1198862 minus 2119898120588 + 11989021198891205882 minus (1205882 + 1198862cos2120579)1198891205792

minus [ (1205882 + 1198862) +(2119898120588minus1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 1198891205932 minus

2(2119898120588 minus 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579119888119889119905 ∙ 119889120593

ds を時間成分 ( cdt ) で割ると Γ は次のようになる

1

1205482= (

119889119904

119888119889119905)2

特殊相対性理論のミンコフスキー時空に関わるローレンツ変換係数 γ(= cdtds) は重要なエネルギー

式 E = Mc2 = M0γc2 の根原であるようにγの拡張である一般相対性理論の Γ(= cdtds) もエネル

ギー式の根原である

このことから「エネルギー極小原理」の E を標榜すると 119898 の符号は反転して minus119898 に119898 がマイナ

スなので 119886 の符号はそのまま +119886 にｅの符号はそのまま +e にする

つまりエネルギー式は Ｅ＝Γ( ρθφtminus119898119886ｅ) (式 2) になる

(2) 1

1198642= (1+

2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579) minus

1205882 + 1198862 cos2 120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin21205791205882 + 1198862 cos2 120579

]sin2120579 (119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

E には支配的な質量エネルギー M0c 2 が含まれるのでエネルギー ε (式 3) に変数変換する

1

1198642= 1 minus 2휀 （

119889119864

1198643= 119889휀 である )

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

エネルギー ε ( ρθφt ) が極小となる座標を求めるため120597휀120597120579 = 0 を計算する

(2119898120588 + 1198902)1198862

(1205882 + 1198862cos2120579)2+

1198862

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

+ 1198862 (119889120579

119888119889119905)2

minus [(1205882 + 1198862) minus(2119898120588 + 1198902)21198862sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579minus(2119898120588 + 1198902)1198864sin4120579

(1205882 + 1198862cos2120579)2](119889120593

119888119889119905)2

+ [2(2119898120588 + 1198902)119886

1205882 + 1198862 cos2 120579+2(2119898120588 + 1198902)1198863sin2120579

(1205882 + 1198862 cos2 120579)2] (119889120593

119888119889119905)

つまり回転の遅い中心核星の回転軸の赤道面(θ＝π2)において E εは極小となり惑星はエネ

ルギー的に安定な赤道面に集まるこの結論は渦巻銀河の周辺部ディスクについても成立する２）

１２ 変分原理による時間成分

中心核星の回転が遅く近似カーニューマン解を 119886ρ の 1 次オーダで展開すると (式 4) になる

(4) (119889119904

119889119904)2

= 1 = (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

minus 1205882sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904)

これを変分問題として考えオイラーラグランジュ方程式５）に入れる

sin 2θ ＝ 0

4

120517int (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

+ sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin2120579 (

119888119889119905

119889119904)(119889120593

119889119904) 119889119904 = 0

これによってエネルギー的に安定な中心核星の赤道面では (式 5) が得られる

以下 θ＝π2 とする

119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119889120593

119889119904)] = 0

119889

119889119904[1205882 (

119889120593

119889119904)+

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

(式 5) の両式を ds で積分しこの連立方程式から 119869 を積分数として 119889120593119889119905 (式 6) を求める

(6) 119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

= 119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)

∙ 119888 119869 ∶ 角運動量相当

（相対論 Carter constant の一種）

ここで距離記号の説明をしておく

ρ3次元又は 2次元座標における任意の軌道距離

R中心核星の赤道面における遠日点近日点距離

r赤道面におけるエネルギー的安定の遠日点近日点距離

１３ 角運動量相当の導出

遠日点近日点距離 R において ρ の増分 dρ＝0 であるのでエネルギーは (式 7) になる

(7) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus1198772 (

119889120593

119888119889119905)2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)(

119889120593

119888119889119905)

角運動量相当から求められた dφcdt (式 6) をエネルギー (式 7) に代入しR の 2次オーダまで

を採用するとJ は (式 8) になる

(8) 119869 =4119886119898 + 119877120575radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

1198772(119877 minus 2119898 + 119862) minus 119886(2119898 minus 119862)120575radic119877(2휀119877 + 2119898+ 119862)1198772

ここで120575 = plusmn1 119862 = 1198902119877 としている120575 は軌道と中心核星の回転方向に関わるものである

第２章 Space Fantasy微分方程式

２１ Space Fantasy微分方程式の導出

数値解でなく軌道の特徴に繋がる解析解を得ることにするRεJ の関係は角運動量相当 (式 8)

を変形すると (式 9) になりKepler-Newton式 2휀1198772 + 2119898119877 minus 1198692 = 0 より遥かに複雑である

(9) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus 1198772 [

119869 (119877 minus 2119898 +1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)[119869 (119877 minus 2119898+

1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

時間成分

φ 成分 ( θ 成分については 0 )

si-ta ni

(

2119898120588 )

(21198981198862119898119886)

(5)

5

惑星軌道 119877 はエネルギー 휀 と角運動量相当 119869 から決まるので 119877 = 119877(휀119869) である(式 9) の 119877 を 휀

で偏微分し120597119877120597휀 の逆数を採ると (式 10) になる

(10) 120597휀

120597119877[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

=(119898 + 119862)[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

1198772+[119869(119877 minus 2119898+ 119862) minus 2119886119898 + 119886119862] [119869(119877 minus 2119898 + 119862) + 3119886119862] ∙ 119877

1

+21198772[119869(119877 minus 2119898 + 119862) minus 4119886119898] [1198692119886(119898 minus 119862) minus 1198691198772(119877 minus 3119898 + 2119862) + 1198861198772(3119898 minus 2119862)]

1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)

ここで (式 8) J を (式 10) に代入しR の 2次オーダまで採用する

このタフな計算過程２）を経て結果として εと 119877 の関係は (式 11) になる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2次オーダ)

(式 11) の 2次オーダ微分方程式を Space Fantasy微分方程式と呼ぶ

Space Fantasy微分方程式を解くために変数変換 Sを行うと (式 12) になる

119878 = 119877radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

(12) 119941119930

119941119929=120784119942120784(119942120784 + 120784119950120784)

119930119929+120786119938120633119950+ 119930

119929+120788119938120633119950119930120784

119929120787 ( 119877 0次オーダ )

この微分方程式はリッカチ微分方程式よりも複雑な形でありリッカチ微分方程式の厳密な一般解は

初等代数学で解けないことが証明されている６） そこで 611988612057511989811987821198775 は SR 4119886120575119898119877 に比べ微小

であるので定数扱い 120579 にした近似微分方程式 (式 13) を考える

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

61198782

41198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

≒1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 + 120579)+

1198782

119877] 120579 =

311987802

211987704 (1198780

211987704 は重心点 11987823 11987745)

(13) 119878119889119878

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644=119889119877

119877

積分公式 7）を使って微分方程式 (式 13) を解くと (式 14) ～ (式 17) になる

判別式 120549 ＝1198644 minus 211988621198982(1 + 120579)2 ＞0 の場合

1

2log[1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644] minus

4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

2119878 + 4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)

= log119877 + 119870

従って

(14) 119870 =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

6

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 ＜0 の場合

log[1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644]

minus2119886120575119898(1 + 120579)

radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644∙ log [

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644 ] = 2 log119877 + 119870

従って

(15) 119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 = 0 の場合

(16) 119870 = 119878 + radic21198642

119877 119864119883119875〔

radic21198642

119878 + radic21198642］

２２ エネルギー極小軌道の条件

(式 11) SF微分方程式でエネルギー極小の条件は 120597휀120597119877 = 0 であるのでεの 3次方程式になる

0 = 휀3 ∙ 3211988621199033(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2

+ 휀2 ∙ 1199032 161198862(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2(2119898+ 119862)

+ 321198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus 41199033(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)2

+ 휀 ∙ 4119898119903 21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

+ 41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)(2119898 + 119862)

minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)

+ 1198982[41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2(2119898 + 119862) minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)2]

微小根の 3 次方程式を解きエネルギー極小原理に従い最も０に近い 휀119898119894119899 (式 17) を採用する

minus119898 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)2 minus 41198862(2119898 + 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

4119903 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 4119862119903 + 81198982)

minus41198862(2119898+ 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

≒ minus119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

変数変換した (式 12) 119878 = 119903radic119903(2휀119903 + 2119898+ 119862) に (式 17) 휀119898119894119899 を代入する

minus1198981199034 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

2 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

+ 1199032(2119898119903 + 1198902)

= 1199034 times [1199038 の多項式] + 1199032(2119898119903 + 1198902) times [1199039 の多項式]

[1199039 の多項式] =

1199032 times 119875

119876

(17) εmin =

S2 =

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

2

６) 軌道半径はエネルギーと角運動量相当の変数 119877 = 119877(휀 119869) なので数学的テクニックとして軌道

半径をエネルギーで偏微分 120597119877120597휀 する(エネルギーを軌道半径で偏微分すると 角運動量相当の

取り扱いに困窮)つまり f 4 を 휀 で偏微分する

ｇ(R J ε 120597119877120597휀) = 0 ( eq 10)

７) f 4(R π2 0 0 J ε) = 0 から角運動量相当 J の式を導きｇ(R J ε 120597119877120597휀) = 0 に代入して数値

解でなく 軌道の解析的特徴に繋がる軌道半径とエルギーだけの重要な微分方程式にする

h(R ε dεdR) = 0 ( eq 11)

８) 軌道半径の微分方程式 h を解くと積分定数 K が出てくる(arctan logべき乗 等の関数が出現)

H(R ε K) = 0 ( eq 14) ( eq 15)

９) 軌道半径のエネルギー的安定に対してエネルギー最小(極小)原理 dεdR = 0 を適用し ε

微分方程式の解 H と h を連立させる

H(r εmin K) = 0 ① h(r εmin 0) = 0 ( eq 16) ②

10) 積分定数 K は全惑星に共通であることから基準惑星基準リングを定めると微分方程式の判

別式に応じてティティウスボーデ法則土星リングファインリングが物理的に証明される

I (r K) = 0 ( eq 23) ( eq 26) ( eq 27)

なお代数計算では高次微小項の省略は勿論のこと代数学では解けないリッカチ微分方程式より

も複雑な微分方程式を解くために 近似計算やマクローリン級数展開を行っている

( eq 13) ( eq 20)

第１章 エネルギー方程式

１１ エネルギー方程式の導入

本解析の前提条件は一般相対論カーニューマン解(エネルギー運動量テンソル=0)の前提条件のほ

かに次の 3つである

① 調査対象の空間座標は原点の惑星系の中心核星の近傍ではなく中心核星から充分離れている

② 中心核星の回転はそれほど速くなく相対性理論 カー解に特有なボイヤーリンキスト座標は

119886ρの１次オーダで一般球座標と同等になる３）

③ エネルギー方程式は特殊相対論のローレンツ変換係数γと同様に一般相対論カーニューマン

解 Γ から導かれるまた惑星やダーク体のエネルギー運動量テンソルは無視できる

厳密なカーニューマン解はボイヤーリンキスト座標を用いて次のように表される 4)

ds2 = minusR2Δ

ρ2(dt minus a sin2θ dφ)

2+

ρ2

R2Δdr2 + ρ2 dθ2+

R4sin2θ

ρ2 (dφminus

aR2

dt)2

半径ｒが大きくなるとボイヤーリンキスト座標の近似化によって次のようになる

ds2 rarr minus(1 minus2M

r)dt2

minus4aMsin2θ

rdt dφ+ (1 +

2M

r)dr2 + r2(dθ2 + sin2θ dφ)

ここからは記号をボイヤーリンキスト座標から普通の極座標 に変える

一般相対性理論のアインシュタイン方程式を厳密に解き中心核星の質量要素 ｍ回転要素 119886 と電荷

要素 e を織り込んだ近似カーニューマン解は（式 1）である

R

3

(1) 1198891199042 = (1 minus2119898120588 minus 1198902

1205882 + 1198862cos2120579)(119888119889119905)2 minus

1205882 + 1198862 cos2 120579

1205882 + 1198862 minus 2119898120588 + 11989021198891205882 minus (1205882 + 1198862cos2120579)1198891205792

minus [ (1205882 + 1198862) +(2119898120588minus1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 1198891205932 minus

2(2119898120588 minus 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579119888119889119905 ∙ 119889120593

ds を時間成分 ( cdt ) で割ると Γ は次のようになる

1

1205482= (

119889119904

119888119889119905)2

特殊相対性理論のミンコフスキー時空に関わるローレンツ変換係数 γ(= cdtds) は重要なエネルギー

式 E = Mc2 = M0γc2 の根原であるようにγの拡張である一般相対性理論の Γ(= cdtds) もエネル

ギー式の根原である

このことから「エネルギー極小原理」の E を標榜すると 119898 の符号は反転して minus119898 に119898 がマイナ

スなので 119886 の符号はそのまま +119886 にｅの符号はそのまま +e にする

つまりエネルギー式は Ｅ＝Γ( ρθφtminus119898119886ｅ) (式 2) になる

(2) 1

1198642= (1+

2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579) minus

1205882 + 1198862 cos2 120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin21205791205882 + 1198862 cos2 120579

]sin2120579 (119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

E には支配的な質量エネルギー M0c 2 が含まれるのでエネルギー ε (式 3) に変数変換する

1

1198642= 1 minus 2휀 （

119889119864

1198643= 119889휀 である )

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

エネルギー ε ( ρθφt ) が極小となる座標を求めるため120597휀120597120579 = 0 を計算する

(2119898120588 + 1198902)1198862

(1205882 + 1198862cos2120579)2+

1198862

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

+ 1198862 (119889120579

119888119889119905)2

minus [(1205882 + 1198862) minus(2119898120588 + 1198902)21198862sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579minus(2119898120588 + 1198902)1198864sin4120579

(1205882 + 1198862cos2120579)2](119889120593

119888119889119905)2

+ [2(2119898120588 + 1198902)119886

1205882 + 1198862 cos2 120579+2(2119898120588 + 1198902)1198863sin2120579

(1205882 + 1198862 cos2 120579)2] (119889120593

119888119889119905)

つまり回転の遅い中心核星の回転軸の赤道面(θ＝π2)において E εは極小となり惑星はエネ

ルギー的に安定な赤道面に集まるこの結論は渦巻銀河の周辺部ディスクについても成立する２）

１２ 変分原理による時間成分

中心核星の回転が遅く近似カーニューマン解を 119886ρ の 1 次オーダで展開すると (式 4) になる

(4) (119889119904

119889119904)2

= 1 = (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

minus 1205882sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904)

これを変分問題として考えオイラーラグランジュ方程式５）に入れる

sin 2θ ＝ 0

4

120517int (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

+ sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin2120579 (

119888119889119905

119889119904)(119889120593

119889119904) 119889119904 = 0

これによってエネルギー的に安定な中心核星の赤道面では (式 5) が得られる

以下 θ＝π2 とする

119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119889120593

119889119904)] = 0

119889

119889119904[1205882 (

119889120593

119889119904)+

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

(式 5) の両式を ds で積分しこの連立方程式から 119869 を積分数として 119889120593119889119905 (式 6) を求める

(6) 119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

= 119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)

∙ 119888 119869 ∶ 角運動量相当

（相対論 Carter constant の一種）

ここで距離記号の説明をしておく

ρ3次元又は 2次元座標における任意の軌道距離

R中心核星の赤道面における遠日点近日点距離

r赤道面におけるエネルギー的安定の遠日点近日点距離

１３ 角運動量相当の導出

遠日点近日点距離 R において ρ の増分 dρ＝0 であるのでエネルギーは (式 7) になる

(7) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus1198772 (

119889120593

119888119889119905)2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)(

119889120593

119888119889119905)

角運動量相当から求められた dφcdt (式 6) をエネルギー (式 7) に代入しR の 2次オーダまで

を採用するとJ は (式 8) になる

(8) 119869 =4119886119898 + 119877120575radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

1198772(119877 minus 2119898 + 119862) minus 119886(2119898 minus 119862)120575radic119877(2휀119877 + 2119898+ 119862)1198772

ここで120575 = plusmn1 119862 = 1198902119877 としている120575 は軌道と中心核星の回転方向に関わるものである

第２章 Space Fantasy微分方程式

２１ Space Fantasy微分方程式の導出

数値解でなく軌道の特徴に繋がる解析解を得ることにするRεJ の関係は角運動量相当 (式 8)

を変形すると (式 9) になりKepler-Newton式 2휀1198772 + 2119898119877 minus 1198692 = 0 より遥かに複雑である

(9) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus 1198772 [

119869 (119877 minus 2119898 +1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)[119869 (119877 minus 2119898+

1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

時間成分

φ 成分 ( θ 成分については 0 )

si-ta ni

(

2119898120588 )

(21198981198862119898119886)

(5)

5

惑星軌道 119877 はエネルギー 휀 と角運動量相当 119869 から決まるので 119877 = 119877(휀119869) である(式 9) の 119877 を 휀

で偏微分し120597119877120597휀 の逆数を採ると (式 10) になる

(10) 120597휀

120597119877[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

=(119898 + 119862)[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

1198772+[119869(119877 minus 2119898+ 119862) minus 2119886119898 + 119886119862] [119869(119877 minus 2119898 + 119862) + 3119886119862] ∙ 119877

1

+21198772[119869(119877 minus 2119898 + 119862) minus 4119886119898] [1198692119886(119898 minus 119862) minus 1198691198772(119877 minus 3119898 + 2119862) + 1198861198772(3119898 minus 2119862)]

1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)

ここで (式 8) J を (式 10) に代入しR の 2次オーダまで採用する

このタフな計算過程２）を経て結果として εと 119877 の関係は (式 11) になる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2次オーダ)

(式 11) の 2次オーダ微分方程式を Space Fantasy微分方程式と呼ぶ

Space Fantasy微分方程式を解くために変数変換 Sを行うと (式 12) になる

119878 = 119877radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

(12) 119941119930

119941119929=120784119942120784(119942120784 + 120784119950120784)

119930119929+120786119938120633119950+ 119930

119929+120788119938120633119950119930120784

119929120787 ( 119877 0次オーダ )

この微分方程式はリッカチ微分方程式よりも複雑な形でありリッカチ微分方程式の厳密な一般解は

初等代数学で解けないことが証明されている６） そこで 611988612057511989811987821198775 は SR 4119886120575119898119877 に比べ微小

であるので定数扱い 120579 にした近似微分方程式 (式 13) を考える

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

61198782

41198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

≒1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 + 120579)+

1198782

119877] 120579 =

311987802

211987704 (1198780

211987704 は重心点 11987823 11987745)

(13) 119878119889119878

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644=119889119877

119877

積分公式 7）を使って微分方程式 (式 13) を解くと (式 14) ～ (式 17) になる

判別式 120549 ＝1198644 minus 211988621198982(1 + 120579)2 ＞0 の場合

1

2log[1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644] minus

4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

2119878 + 4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)

= log119877 + 119870

従って

(14) 119870 =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

6

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 ＜0 の場合

log[1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644]

minus2119886120575119898(1 + 120579)

radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644∙ log [

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644 ] = 2 log119877 + 119870

従って

(15) 119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 = 0 の場合

(16) 119870 = 119878 + radic21198642

119877 119864119883119875〔

radic21198642

119878 + radic21198642］

２２ エネルギー極小軌道の条件

(式 11) SF微分方程式でエネルギー極小の条件は 120597휀120597119877 = 0 であるのでεの 3次方程式になる

0 = 휀3 ∙ 3211988621199033(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2

+ 휀2 ∙ 1199032 161198862(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2(2119898+ 119862)

+ 321198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus 41199033(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)2

+ 휀 ∙ 4119898119903 21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

+ 41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)(2119898 + 119862)

minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)

+ 1198982[41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2(2119898 + 119862) minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)2]

微小根の 3 次方程式を解きエネルギー極小原理に従い最も０に近い 휀119898119894119899 (式 17) を採用する

minus119898 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)2 minus 41198862(2119898 + 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

4119903 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 4119862119903 + 81198982)

minus41198862(2119898+ 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

≒ minus119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

変数変換した (式 12) 119878 = 119903radic119903(2휀119903 + 2119898+ 119862) に (式 17) 휀119898119894119899 を代入する

minus1198981199034 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

2 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

+ 1199032(2119898119903 + 1198902)

= 1199034 times [1199038 の多項式] + 1199032(2119898119903 + 1198902) times [1199039 の多項式]

[1199039 の多項式] =

1199032 times 119875

119876

(17) εmin =

S2 =

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

3

(1) 1198891199042 = (1 minus2119898120588 minus 1198902

1205882 + 1198862cos2120579)(119888119889119905)2 minus

1205882 + 1198862 cos2 120579

1205882 + 1198862 minus 2119898120588 + 11989021198891205882 minus (1205882 + 1198862cos2120579)1198891205792

minus [ (1205882 + 1198862) +(2119898120588minus1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 1198891205932 minus

2(2119898120588 minus 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579119888119889119905 ∙ 119889120593

ds を時間成分 ( cdt ) で割ると Γ は次のようになる

1

1205482= (

119889119904

119888119889119905)2

特殊相対性理論のミンコフスキー時空に関わるローレンツ変換係数 γ(= cdtds) は重要なエネルギー

式 E = Mc2 = M0γc2 の根原であるようにγの拡張である一般相対性理論の Γ(= cdtds) もエネル

ギー式の根原である

このことから「エネルギー極小原理」の E を標榜すると 119898 の符号は反転して minus119898 に119898 がマイナ

スなので 119886 の符号はそのまま +119886 にｅの符号はそのまま +e にする

つまりエネルギー式は Ｅ＝Γ( ρθφtminus119898119886ｅ) (式 2) になる

(2) 1

1198642= (1+

2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579) minus

1205882 + 1198862 cos2 120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin21205791205882 + 1198862 cos2 120579

]sin2120579 (119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

E には支配的な質量エネルギー M0c 2 が含まれるのでエネルギー ε (式 3) に変数変換する

1

1198642= 1 minus 2휀 （

119889119864

1198643= 119889휀 である )

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

エネルギー ε ( ρθφt ) が極小となる座標を求めるため120597휀120597120579 = 0 を計算する

(2119898120588 + 1198902)1198862

(1205882 + 1198862cos2120579)2+

1198862

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

+ 1198862 (119889120579

119888119889119905)2

minus [(1205882 + 1198862) minus(2119898120588 + 1198902)21198862sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579minus(2119898120588 + 1198902)1198864sin4120579

(1205882 + 1198862cos2120579)2](119889120593

119888119889119905)2

+ [2(2119898120588 + 1198902)119886

1205882 + 1198862 cos2 120579+2(2119898120588 + 1198902)1198863sin2120579

(1205882 + 1198862 cos2 120579)2] (119889120593

119888119889119905)

つまり回転の遅い中心核星の回転軸の赤道面(θ＝π2)において E εは極小となり惑星はエネ

ルギー的に安定な赤道面に集まるこの結論は渦巻銀河の周辺部ディスクについても成立する２）

１２ 変分原理による時間成分

中心核星の回転が遅く近似カーニューマン解を 119886ρ の 1 次オーダで展開すると (式 4) になる

(4) (119889119904

119889119904)2

= 1 = (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

minus 1205882sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904)

これを変分問題として考えオイラーラグランジュ方程式５）に入れる

sin 2θ ＝ 0

4

120517int (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

+ sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin2120579 (

119888119889119905

119889119904)(119889120593

119889119904) 119889119904 = 0

これによってエネルギー的に安定な中心核星の赤道面では (式 5) が得られる

以下 θ＝π2 とする

119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119889120593

119889119904)] = 0

119889

119889119904[1205882 (

119889120593

119889119904)+

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

(式 5) の両式を ds で積分しこの連立方程式から 119869 を積分数として 119889120593119889119905 (式 6) を求める

(6) 119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

= 119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)

∙ 119888 119869 ∶ 角運動量相当

（相対論 Carter constant の一種）

ここで距離記号の説明をしておく

ρ3次元又は 2次元座標における任意の軌道距離

R中心核星の赤道面における遠日点近日点距離

r赤道面におけるエネルギー的安定の遠日点近日点距離

１３ 角運動量相当の導出

遠日点近日点距離 R において ρ の増分 dρ＝0 であるのでエネルギーは (式 7) になる

(7) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus1198772 (

119889120593

119888119889119905)2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)(

119889120593

119888119889119905)

角運動量相当から求められた dφcdt (式 6) をエネルギー (式 7) に代入しR の 2次オーダまで

を採用するとJ は (式 8) になる

(8) 119869 =4119886119898 + 119877120575radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

1198772(119877 minus 2119898 + 119862) minus 119886(2119898 minus 119862)120575radic119877(2휀119877 + 2119898+ 119862)1198772

ここで120575 = plusmn1 119862 = 1198902119877 としている120575 は軌道と中心核星の回転方向に関わるものである

第２章 Space Fantasy微分方程式

２１ Space Fantasy微分方程式の導出

数値解でなく軌道の特徴に繋がる解析解を得ることにするRεJ の関係は角運動量相当 (式 8)

を変形すると (式 9) になりKepler-Newton式 2휀1198772 + 2119898119877 minus 1198692 = 0 より遥かに複雑である

(9) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus 1198772 [

119869 (119877 minus 2119898 +1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)[119869 (119877 minus 2119898+

1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

時間成分

φ 成分 ( θ 成分については 0 )

si-ta ni

(

2119898120588 )

(21198981198862119898119886)

(5)

5

惑星軌道 119877 はエネルギー 휀 と角運動量相当 119869 から決まるので 119877 = 119877(휀119869) である(式 9) の 119877 を 휀

で偏微分し120597119877120597휀 の逆数を採ると (式 10) になる

(10) 120597휀

120597119877[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

=(119898 + 119862)[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

1198772+[119869(119877 minus 2119898+ 119862) minus 2119886119898 + 119886119862] [119869(119877 minus 2119898 + 119862) + 3119886119862] ∙ 119877

1

+21198772[119869(119877 minus 2119898 + 119862) minus 4119886119898] [1198692119886(119898 minus 119862) minus 1198691198772(119877 minus 3119898 + 2119862) + 1198861198772(3119898 minus 2119862)]

1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)

ここで (式 8) J を (式 10) に代入しR の 2次オーダまで採用する

このタフな計算過程２）を経て結果として εと 119877 の関係は (式 11) になる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2次オーダ)

(式 11) の 2次オーダ微分方程式を Space Fantasy微分方程式と呼ぶ

Space Fantasy微分方程式を解くために変数変換 Sを行うと (式 12) になる

119878 = 119877radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

(12) 119941119930

119941119929=120784119942120784(119942120784 + 120784119950120784)

119930119929+120786119938120633119950+ 119930

119929+120788119938120633119950119930120784

119929120787 ( 119877 0次オーダ )

この微分方程式はリッカチ微分方程式よりも複雑な形でありリッカチ微分方程式の厳密な一般解は

初等代数学で解けないことが証明されている６） そこで 611988612057511989811987821198775 は SR 4119886120575119898119877 に比べ微小

であるので定数扱い 120579 にした近似微分方程式 (式 13) を考える

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

61198782

41198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

≒1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 + 120579)+

1198782

119877] 120579 =

311987802

211987704 (1198780

211987704 は重心点 11987823 11987745)

(13) 119878119889119878

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644=119889119877

119877

積分公式 7）を使って微分方程式 (式 13) を解くと (式 14) ～ (式 17) になる

判別式 120549 ＝1198644 minus 211988621198982(1 + 120579)2 ＞0 の場合

1

2log[1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644] minus

4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

2119878 + 4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)

= log119877 + 119870

従って

(14) 119870 =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

6

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 ＜0 の場合

log[1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644]

minus2119886120575119898(1 + 120579)

radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644∙ log [

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644 ] = 2 log119877 + 119870

従って

(15) 119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 = 0 の場合

(16) 119870 = 119878 + radic21198642

119877 119864119883119875〔

radic21198642

119878 + radic21198642］

２２ エネルギー極小軌道の条件

(式 11) SF微分方程式でエネルギー極小の条件は 120597휀120597119877 = 0 であるのでεの 3次方程式になる

0 = 휀3 ∙ 3211988621199033(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2

+ 휀2 ∙ 1199032 161198862(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2(2119898+ 119862)

+ 321198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus 41199033(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)2

+ 휀 ∙ 4119898119903 21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

+ 41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)(2119898 + 119862)

minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)

+ 1198982[41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2(2119898 + 119862) minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)2]

微小根の 3 次方程式を解きエネルギー極小原理に従い最も０に近い 휀119898119894119899 (式 17) を採用する

minus119898 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)2 minus 41198862(2119898 + 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

4119903 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 4119862119903 + 81198982)

minus41198862(2119898+ 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

≒ minus119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

変数変換した (式 12) 119878 = 119903radic119903(2휀119903 + 2119898+ 119862) に (式 17) 휀119898119894119899 を代入する

minus1198981199034 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

2 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

+ 1199032(2119898119903 + 1198902)

= 1199034 times [1199038 の多項式] + 1199032(2119898119903 + 1198902) times [1199039 の多項式]

[1199039 の多項式] =

1199032 times 119875

119876

(17) εmin =

S2 =

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

4

120517int (1 minus2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904)2

minus1

1minus2119898120588

+1198902

1205882

(119889120588

119889119904)2

minus 1205882 (119889120579

119889119904)2

+ sin2120579 (119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin2120579 (

119888119889119905

119889119904)(119889120593

119889119904) 119889119904 = 0

これによってエネルギー的に安定な中心核星の赤道面では (式 5) が得られる

以下 θ＝π2 とする

119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119889120593

119889119904)] = 0

119889

119889119904[1205882 (

119889120593

119889119904)+

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

(式 5) の両式を ds で積分しこの連立方程式から 119869 を積分数として 119889120593119889119905 (式 6) を求める

(6) 119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

= 119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)

∙ 119888 119869 ∶ 角運動量相当

（相対論 Carter constant の一種）

ここで距離記号の説明をしておく

ρ3次元又は 2次元座標における任意の軌道距離

R中心核星の赤道面における遠日点近日点距離

r赤道面におけるエネルギー的安定の遠日点近日点距離

１３ 角運動量相当の導出

遠日点近日点距離 R において ρ の増分 dρ＝0 であるのでエネルギーは (式 7) になる

(7) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus1198772 (

119889120593

119888119889119905)2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)(

119889120593

119888119889119905)

角運動量相当から求められた dφcdt (式 6) をエネルギー (式 7) に代入しR の 2次オーダまで

を採用するとJ は (式 8) になる

(8) 119869 =4119886119898 + 119877120575radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

1198772(119877 minus 2119898 + 119862) minus 119886(2119898 minus 119862)120575radic119877(2휀119877 + 2119898+ 119862)1198772

ここで120575 = plusmn1 119862 = 1198902119877 としている120575 は軌道と中心核星の回転方向に関わるものである

第２章 Space Fantasy微分方程式

２１ Space Fantasy微分方程式の導出

数値解でなく軌道の特徴に繋がる解析解を得ることにするRεJ の関係は角運動量相当 (式 8)

を変形すると (式 9) になりKepler-Newton式 2휀1198772 + 2119898119877 minus 1198692 = 0 より遥かに複雑である

(9) 0 = 2휀 +2119898

119877+1198902

1198772minus 1198772 [

119869 (119877 minus 2119898 +1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

2

+4119886

119877(119898 +

1198902

2119877)[119869 (119877 minus 2119898+

1198902

119877) + 119886 (

1198902

119877minus 2119898)

1198773 + 119869119886 (2119898 minus1198902

119877)

]

時間成分

φ 成分 ( θ 成分については 0 )

si-ta ni

(

2119898120588 )

(21198981198862119898119886)

(5)

5

惑星軌道 119877 はエネルギー 휀 と角運動量相当 119869 から決まるので 119877 = 119877(휀119869) である(式 9) の 119877 を 휀

で偏微分し120597119877120597휀 の逆数を採ると (式 10) になる

(10) 120597휀

120597119877[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

=(119898 + 119862)[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

1198772+[119869(119877 minus 2119898+ 119862) minus 2119886119898 + 119886119862] [119869(119877 minus 2119898 + 119862) + 3119886119862] ∙ 119877

1

+21198772[119869(119877 minus 2119898 + 119862) minus 4119886119898] [1198692119886(119898 minus 119862) minus 1198691198772(119877 minus 3119898 + 2119862) + 1198861198772(3119898 minus 2119862)]

1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)

ここで (式 8) J を (式 10) に代入しR の 2次オーダまで採用する

このタフな計算過程２）を経て結果として εと 119877 の関係は (式 11) になる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2次オーダ)

(式 11) の 2次オーダ微分方程式を Space Fantasy微分方程式と呼ぶ

Space Fantasy微分方程式を解くために変数変換 Sを行うと (式 12) になる

119878 = 119877radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

(12) 119941119930

119941119929=120784119942120784(119942120784 + 120784119950120784)

119930119929+120786119938120633119950+ 119930

119929+120788119938120633119950119930120784

119929120787 ( 119877 0次オーダ )

この微分方程式はリッカチ微分方程式よりも複雑な形でありリッカチ微分方程式の厳密な一般解は

初等代数学で解けないことが証明されている６） そこで 611988612057511989811987821198775 は SR 4119886120575119898119877 に比べ微小

であるので定数扱い 120579 にした近似微分方程式 (式 13) を考える

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

61198782

41198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

≒1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 + 120579)+

1198782

119877] 120579 =

311987802

211987704 (1198780

211987704 は重心点 11987823 11987745)

(13) 119878119889119878

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644=119889119877

119877

積分公式 7）を使って微分方程式 (式 13) を解くと (式 14) ～ (式 17) になる

判別式 120549 ＝1198644 minus 211988621198982(1 + 120579)2 ＞0 の場合

1

2log[1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644] minus

4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

2119878 + 4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)

= log119877 + 119870

従って

(14) 119870 =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

6

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 ＜0 の場合

log[1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644]

minus2119886120575119898(1 + 120579)

radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644∙ log [

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644 ] = 2 log119877 + 119870

従って

(15) 119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 = 0 の場合

(16) 119870 = 119878 + radic21198642

119877 119864119883119875〔

radic21198642

119878 + radic21198642］

２２ エネルギー極小軌道の条件

(式 11) SF微分方程式でエネルギー極小の条件は 120597휀120597119877 = 0 であるのでεの 3次方程式になる

0 = 휀3 ∙ 3211988621199033(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2

+ 휀2 ∙ 1199032 161198862(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2(2119898+ 119862)

+ 321198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus 41199033(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)2

+ 휀 ∙ 4119898119903 21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

+ 41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)(2119898 + 119862)

minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)

+ 1198982[41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2(2119898 + 119862) minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)2]

微小根の 3 次方程式を解きエネルギー極小原理に従い最も０に近い 휀119898119894119899 (式 17) を採用する

minus119898 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)2 minus 41198862(2119898 + 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

4119903 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 4119862119903 + 81198982)

minus41198862(2119898+ 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

≒ minus119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

変数変換した (式 12) 119878 = 119903radic119903(2휀119903 + 2119898+ 119862) に (式 17) 휀119898119894119899 を代入する

minus1198981199034 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

2 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

+ 1199032(2119898119903 + 1198902)

= 1199034 times [1199038 の多項式] + 1199032(2119898119903 + 1198902) times [1199039 の多項式]

[1199039 の多項式] =

1199032 times 119875

119876

(17) εmin =

S2 =

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

5

惑星軌道 119877 はエネルギー 휀 と角運動量相当 119869 から決まるので 119877 = 119877(휀119869) である(式 9) の 119877 を 휀

で偏微分し120597119877120597휀 の逆数を採ると (式 10) になる

(10) 120597휀

120597119877[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

=(119898 + 119862)[1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)]2

1198772+[119869(119877 minus 2119898+ 119862) minus 2119886119898 + 119886119862] [119869(119877 minus 2119898 + 119862) + 3119886119862] ∙ 119877

1

+21198772[119869(119877 minus 2119898 + 119862) minus 4119886119898] [1198692119886(119898 minus 119862) minus 1198691198772(119877 minus 3119898 + 2119862) + 1198861198772(3119898 minus 2119862)]

1198773 + 119869119886(2119898 minus 119862)

ここで (式 8) J を (式 10) に代入しR の 2次オーダまで採用する

このタフな計算過程２）を経て結果として εと 119877 の関係は (式 11) になる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2次オーダ)

(式 11) の 2次オーダ微分方程式を Space Fantasy微分方程式と呼ぶ

Space Fantasy微分方程式を解くために変数変換 Sを行うと (式 12) になる

119878 = 119877radic119877(2휀119877 + 2119898 +119862)

(12) 119941119930

119941119929=120784119942120784(119942120784 + 120784119950120784)

119930119929+120786119938120633119950+ 119930

119929+120788119938120633119950119930120784

119929120787 ( 119877 0次オーダ )

この微分方程式はリッカチ微分方程式よりも複雑な形でありリッカチ微分方程式の厳密な一般解は

初等代数学で解けないことが証明されている６） そこで 611988612057511989811987821198775 は SR 4119886120575119898119877 に比べ微小

であるので定数扱い 120579 にした近似微分方程式 (式 13) を考える

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

61198782

41198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

≒1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 + 120579)+

1198782

119877] 120579 =

311987802

211987704 (1198780

211987704 は重心点 11987823 11987745)

(13) 119878119889119878

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644=119889119877

119877

積分公式 7）を使って微分方程式 (式 13) を解くと (式 14) ～ (式 17) になる

判別式 120549 ＝1198644 minus 211988621198982(1 + 120579)2 ＞0 の場合

1

2log[1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644] minus

4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

2119878 + 4119886120575119898(1 + 120579)

2radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)

= log119877 + 119870

従って

(14) 119870 =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

6

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 ＜0 の場合

log[1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644]

minus2119886120575119898(1 + 120579)

radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644∙ log [

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644 ] = 2 log119877 + 119870

従って

(15) 119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 = 0 の場合

(16) 119870 = 119878 + radic21198642

119877 119864119883119875〔

radic21198642

119878 + radic21198642］

２２ エネルギー極小軌道の条件

(式 11) SF微分方程式でエネルギー極小の条件は 120597휀120597119877 = 0 であるのでεの 3次方程式になる

0 = 휀3 ∙ 3211988621199033(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2

+ 휀2 ∙ 1199032 161198862(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2(2119898+ 119862)

+ 321198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus 41199033(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)2

+ 휀 ∙ 4119898119903 21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

+ 41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)(2119898 + 119862)

minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)

+ 1198982[41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2(2119898 + 119862) minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)2]

微小根の 3 次方程式を解きエネルギー極小原理に従い最も０に近い 휀119898119894119899 (式 17) を採用する

minus119898 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)2 minus 41198862(2119898 + 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

4119903 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 4119862119903 + 81198982)

minus41198862(2119898+ 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

≒ minus119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

変数変換した (式 12) 119878 = 119903radic119903(2휀119903 + 2119898+ 119862) に (式 17) 휀119898119894119899 を代入する

minus1198981199034 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

2 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

+ 1199032(2119898119903 + 1198902)

= 1199034 times [1199038 の多項式] + 1199032(2119898119903 + 1198902) times [1199039 の多項式]

[1199039 の多項式] =

1199032 times 119875

119876

(17) εmin =

S2 =

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

6

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 ＜0 の場合

log[1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644]

minus2119886120575119898(1 + 120579)

radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644∙ log [

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644 ] = 2 log119877 + 119870

従って

(15) 119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

判別式 Δ ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2 = 0 の場合

(16) 119870 = 119878 + radic21198642

119877 119864119883119875〔

radic21198642

119878 + radic21198642］

２２ エネルギー極小軌道の条件

(式 11) SF微分方程式でエネルギー極小の条件は 120597휀120597119877 = 0 であるのでεの 3次方程式になる

0 = 휀3 ∙ 3211988621199033(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2

+ 휀2 ∙ 1199032 161198862(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)2(2119898+ 119862)

+ 321198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus 41199033(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)2

+ 휀 ∙ 4119898119903 21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

+ 41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)(2119898 + 119862)

minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)(minus1199032 + 6119898119903 minus 4119862119903 minus 81198982)

+ 1198982[41198862(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2(2119898 + 119862) minus 1199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 4119862119903 minus 121198982)2]

微小根の 3 次方程式を解きエネルギー極小原理に従い最も０に近い 휀119898119894119899 (式 17) を採用する

minus119898 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)2 minus 41198862(2119898 + 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

4119903 1199033(1199032 minus 8119898119903 + 4119862119903 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 4119862119903 + 81198982)

minus41198862(2119898+ 119862)(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)(3119898119903 minus 2119862119903 minus 61198982 + 7119862119898)

minus21198862119898(21199032 + 2119898119903 minus 119862119903 minus 121198982)2

≒ minus119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

変数変換した (式 12) 119878 = 119903radic119903(2휀119903 + 2119898+ 119862) に (式 17) 휀119898119894119899 を代入する

minus1198981199034 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

2 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2

+ 1199032(2119898119903 + 1198902)

= 1199034 times [1199038 の多項式] + 1199032(2119898119903 + 1198902) times [1199039 の多項式]

[1199039 の多項式] =

1199032 times 119875

119876

(17) εmin =

S2 =

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

7

≒3119898

21199033 ( 119903 0次オーダ )

ここで 119875 119876 は（式 18）(式 19)である

(18) 分子 119875 = minus11989811990322 〔 1199034(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)2 minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 〕

+ (2119898119903 + 1198902) times 119876 [11987111] [11990310 の多項式]

(19) 分母 119876 = 1199035(1199032 minus 8119898119903 + 41198902 + 121198982)(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

minus 41198862(2119898119903 + 1198902)(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)(31198981199032 minus 21198902119903 minus 61198982119903 + 71198981198902)

minus 211988621198981199032(21199032 + 2119898119903 minus 1198902 minus 121198982)2 [1198719] [1199039 の多項式]

また120579 について

120579 =31198780

2

211987704 =

51198782

21199034=

5119875

21198761199032

≒15119898

4119903 ( 119903 0次オーダ )

惑星軌道のように大きく離れた飛び飛びの固有値問題に対して0次オーダの εmin Sを使う土星リ

ングのように繊細な微小軌道差で僅かな違いを問題にする場合2次オーダの εmin S を使う

第３章 ティティウスボーデ法則

３１ ティティウスボーデ法則の証明

SF 微分方程式の判別式が正の場合

(式 14) を関数 119891(θ )としてマクローリン級数展開し 1205792 以上の高次項は無視すると (式 20) になる

119891(θ) =1198782 + 4119886120575119898(1 + 120579)119878 + 21198644

1198772∙ EXP [

minus4119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1+ 120579)2arctan(

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579)

radic21198644 minus 411988621198982(1 + 120579)2)]

minus119870 = 0

119891(θ) = 119891(0) +1

1∙120597119891(0)

120597120579120579 +

1

2∙1205972119891(0)

(120597120579)21205792 +⋯ = 0

(20) 119891(θ) =3119898119903

2∙ EXP [

minus4119886120575119898

radic21198644 minus 411988621198982arctan(

119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] times

times [1 minus3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

times arctan (119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982)] minus 119870 = 0

119903 が充分大きいとして arctan(119903radic3119898119903

2radic1198644 minus 211988621198982) =

120587

2+ 120587119873 minus

2radic1198644 minus 211988621198982

119903radic3119898119903 となるので

119870 =3119898119903

2∙ EXP [

minus2119886120575119898120587(1 + 2119873)

radic21198644 minus 411988621198982] ∙ [1 minus

3011988612057511989821198644

119903[21198644 minus 411988621198982]32

∙120587(1 + 2119873)

2]

積分定数 K は中心核星に属する全ての惑星に共通であるので基準惑星を r1 N1 N－N1 ＝119899 minus 1

基準惑星との遠日点近日点距離比を 120585 = 1199031199031 とすると (式 21) になる

(21) 119899 minus 1 =radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587∙ log

[ 120585 minus

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 2119899 minus 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

1 minus1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32 ]

一方ティティウスボーデ法則は (式 22) になる

120585119864119886119903119905ℎ

＝ 04 + 03 times 2119899 ＝ 04 + 06 times 2119899minus1 （ 120585119864119886119903119905ℎ

地球基準の 120643 ）

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

8

(22) 119899 minus 1 = 1

log 2∙ log

120585119864119886119903119905ℎ minus 04

1 minus 04

ティティウスボーデ法則 (式 22) は SF 微分方程式近似解 (式 21) と酷似しており2個の係数が

等しいとすることによって ほぼ一致する(基準惑星の地球は n =1 )

1

log 2 =

radic21198644 minus 411988621198982

4119886120575119898120587 04 =

1511988612057511989821198644120587(21198731 + 1)

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

地球の 1199031 = 15 times 108119896119898 太陽の 119898＝1476119896119898 119886＝032119896119898 として試算すると８）

119890 = 21119896119898 1198731 = 15 times 107 となり1198731 が非常に大きく(式 21) 右辺の 2119899 は省略できる従って

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

ここで 120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものである

中心核星の回転方向と惑星軌道の回転方向が同じ場合 120575 = +1 であるのでこうして (式 23) は

ティティウスボーデ法則 (式 22) と一致し法則が証明された

120585120575=+1 = [1 minus30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899minus1)

radic21198644minus411988621198982] +

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]

32

120585119864119886119903119905ℎ

= (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04

３２ 中心核星と反対方向に回転する惑星軌道

(式 23)の120575 = plusmn1 は軌道回転方向に関わるものであるので120575 = minus1 つまり惑星軌道が中心核星と反

対方向に回転している場合

120585120575=minus1 = [1＋30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

] ∙ EXP [4119886119898120587(119899 minus 1)

radic21198644 minus 411988621198982] minus

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644 minus 411988621198982]

32

となり「惑星軌道半径の比が太陽系惑星のものと逆転する」実現象 9) が系外惑星に発生する

計算例として太陽系と同じように 1

log2=

radic21198644minus411988621198982

4119886119898120587 04 =

30119886119898211986441205871198731

1199031[21198644minus411988621198982]32

とする場合の 120585120575=+1

120585120575=minus1 119903n 119903119899minus1 の結果を表 1に示すn が大きくなると 120585120575=+1 120585120575=minus1 は 20 になる

しかしn=1 では 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=+1)=14 lt20 119903n 119903119899minus1(in 120585120575=minus1)=33 gt20 である

120585120575=+1 = (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 120585120575=minus1 = (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04

表１ ｎと惑星軌道半径 119903n 119903119899minus1の比

ｎ -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ξδ=＋１ (1 minus 04) ∙ 2119899minus1 + 04 04 05 06 07 10 16 28 52 10 20 39 77

rn rn-1 10 11 12 13 14 16 18 19 19 20 20 20

Ξδ=―１ (1 + 04) ∙ 2119899minus1 minus 04 -03 -02 -01 03 10 24 52 11 22 44 89 179

rn rn-1 09 07 02 -60 33 24 22 21 20 20 20 20

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

9

第４章 土星リング

４１ 土星リングの個数

土星の自転は速いのでSF 微分方程式の判別式 Δ＝E 4－21198862 1198982(1+θ ) 2＜0 とする(式 15) は

119870 = log

[

1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1198772

[119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

]

べき乗数 [2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644] は 1 に近いので分母を ( 1 minus 120582 ) で表すλ は非常に小さく(ne0)SF

微分方程式の解は (式 24) になる

1 minus 120582 = [119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644

119878 + 2119886120575119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1 + 120579)2 minus 21198644]

2119886120575119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

(24) 119870 = 1198782 + 4119886120575119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

積分定数 119870 は全てのリングについて共通でありまた基準リングを 1199031 基準の 119870 を 119865 とすると

S の多項式 (式 25) になる

(25) 1198784 minus 21198782[119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644 + 811988621198982(1 + 120579)2] + [119865(1 minus 120582)1199032 minus 21198644]2 = 0

(式 25) の S 120579 に 119875 (式 18) 119876 (式 19) を代入して r の多項式で表すと（式 26）になる

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 +120787119927 )

120784 = 120782

(式 26) の次数は第 1項 119876119903211987521199034 の次数が最も高く 119903 の 35〔9+2+10times2+4〕乗であるので(式 26) は

高次係数λが付いている 119955120785120787 の多項式であるこの結果 35個の根があるが微小根 4個を除くと

土星などリング星の群リングは最大 31個 存在することになる（ 119903 の複素数根マイナス根重

根中心核星の膨らみによって実際の有効な 119903 のプラス根は減る) 現在 未知である電荷要素

e回転要素 119886 の観測算定が待たれる

４２ 中心核星の回転方向と逆回転リング

120575 = plusmn1 はリング回転方向に関わるものであるλ及び F は 120575 = plusmn1 を含んでいるので120575 = minus1 つ

まり中心核星の回転方向と逆回転リングのリング星が存在するこの場合 (式24) は次式のようにな

るまたリングは最大 31 個 存在することになる

1 minus 120582 = [119878 minus 2119886119898(1 + 120579) minus radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644

119878 minus 2119886119898(1 + 120579) + radic411988621198982(1+ 120579)2 minus 21198644]

minus2119886119898(1+120579)

radic411988621198982(1+120579)2minus21198644

119870 = 1198782 minus 4119886119898119878(1 + 120579) + 21198644

1199032∙

1

(1 minus 120582)

第５章 ファイン リング星

回転の影響等のバランスが絶妙でありSF微分方程式の判別式が Δ＝2E 4－41198862 1198982(1+θ ) 2＝0 である

場合を考えるSF微分方程式の原点に戻ると

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

10

119889119878

119889119877=1

119878[21198644

119877+4119886120575119898119878

119877(1 +

31198782

21198774) +

1198782

119877] 1198644 = 1198902(1198902 + 21198982)

判別式は 120549＝21198644 minus 411988621198982 (1 +31198782

21198774)

2

= 0 ①

微分方程式は 119889119878

119889119877=1

119878∙ (119878 + radic21198642)2

119877 これを解くと

119870 =119878 +radic21198642

119877119864119883119875(

radic21198642

119878 + radic21198642) ②

エネルギー安定式は S = 119903radic31198981199032 ③

119903 119878 119870 を未知数とする ① ② ③ の連立方程式を解くと (ここでは 120575 =＋1 である)

(27) 119955 =120791119938120633119950120784

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119886120575119950)

119898 119890 119886 は小さな定数値であるが概ね 1198642 minus radic2119886120575119898 ≃ 0 をならば非常に大きな 119903 となるつまり

1198862 ≃ 1198902 (1 + 1198902

2 1198982)

の絶妙なバランスの場合スーパファインリング星を形成する判別式を 0 とする絶妙なバランスか

ら若干ズレている場合は土星リングや太陽系惑星軌道の要素が混じるファインリングになる

第６章 楕球惑星系

楕球惑星系では中心核星は回転していないので(式 11) で 119886= 0 とすると (式 28) になる

(28) 119889휀

119889119877+2(1198772 minus 6119898119877 + 4119862119877 + 81198982)

119877(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)∙ 휀 =

119898(minus1198772 + 8119898119877 minus 4119862119877 minus 121198982)

1198772(1198772 minus 4119898119877 + 2119862119877 + 41198982)

またエネルギー極大極小の軌道条件は 120597휀120597119877 = 0 であるので

휀 =119898(minus1199032 + 8119898119903 minus 41198902 minus 121198982)

2119903(1199032 minus 6119898119903 + 41198902 + 81198982)

微分方程式 (式 28) の一般解を解きエネルギー極小の条件を付けると積分定数 119870 は

119870 =1198981199033(minus1199032 + 8119898119903 minus 121198982 minus 41198902)

2(1199032 minus 6119898119903 + 81198982 + 41198902)(1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 121198902)

+(1199032 minus 4119898119903 + 141198982 + 1198902)119898119903 minus 61198982(21198982 + 1198902)

1199032 minus 4119898119903 + 41198982 + 21198902minus119898(21198982 + 1198902)120587(1 + 2119873)

2radic2119890

119870 は共通であるので基準軌道を 11987311199031 として119873minus1198731 = 119899 minus 1 とすると (式 29) になる

119955120785 (minus119955120784 + 120790119950119955minus 120783120784119950120784 minus 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

(29) + 120784119955(119955120784 minus 120786119950119955+ 120783120786119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 +120783120784119942120784)

minus120783120784119950(120784119950120784 + 119942120784)(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)

(119955120784 minus 120788119950119955+ 120790119950120784 + 120786119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120783120784119942120784)(119955120784 minus 120786119950119955+ 120786119950120784 + 120784119942120784)

= 119917 minusradic120784(120784119950120784 + 119942120784)120645(119951 minus 120783)

119942

119865 は (式 29) で 119903＝1199031 である(式 29) は自然数 119899 (変数) の係数の付いたエネルギー極大極小の 119955120789

多項式であるので楕球惑星系においてはエネルギー極小である最大 ４個 times 周期差 119899 の楕球面が

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

11

存在しその楕球面内に軌道があることになる119903 の複素数根マイナス根重根中心核星の膨ら

みによって実際の 119903 のプラス根は減る

第７章 自 由 軌 道

前章まではエネルギー安定な究極的軌道について検討してきたが本章ではエネルギー的に未だ安定

ではない過渡的な自由軌道具体例として人工衛星等のような自由軌道について検討する

その前提として中心核星は楕球でなく 質点と同等とみなされるような正球とする

(5)(6)のように中心核星の回転が遅い場合の近似カーニューマン解をオイラーラグランジュ方

程式に入れることで次のように表すことができる

時間成分 119889

119889119904[(1 minus

2119898

120588+1198902

1205882)(

119888119889119905

119889119904) minus

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588)sin2120579 (

119889120593

119889119904)] = 0

120579 成分 119889

119889119904[1205882 (

119889120579

119889119904)] minus 1205882sin120579 ∙ cos120579 (

119889120593

119889119904)2

minus2119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) sin120579 ∙ cos120579 (

119888119889119905

119889119904) (119889120593

119889119904) = 0

120593 成分 119889

119889119904[1205882sin2120579 (

119889120593

119889119904) +

119886

120588(2119898 minus

1198902

120588) (

119888119889119905

119889119904)] = 0

これにより

119889120593

119889119905=(119889120593119889119904)

(119889119905119889119904)

=119869 (120588 minus 2119898 +

1198902

120588) + 119886 (

1198902

120588minus 2119898)

[1205883 + 119869119886 (2119898 minus1198902

120588)] sin2120579

∙ 119888 119869 =h

119896 とする

またエネルギー式は(3)であるので

(3) minus 2ε =2119898120588 + 1198902

1205882 + 1198862cos2120579minus

1205882 + 1198862cos2120579

1205882 + 1198862 + 2119898120588 + 1198902(119889120588

119888119889119905)2

minus (1205882 + 1198862cos2120579)(119889120579

119888119889119905)2

minus [ (1205882 + 1198862) minus(2119898120588+1198902)1198862sin2120579

1205882 + 1198862 cos2 120579] sin2120579 (

119889120593

119888119889119905)2

+2(2119898120588 + 1198902)119886 sin2120579

1205882 + 1198862cos2120579(119889120593

119888119889119905)

上記両式から 119888119889119905 を消去すると 0 次オーダの自由軌道方程式は次のようになり 1198902 は現れない

(30) ( 119921120646 minus120784119938119950)120784 [(119941120646)120784 + (120646119941120637)120784]

= [120784120634(120784119938119950119921 119852119842119847120784120637 + 120646120785)120784 + 120646120785(minus 119921120784120646 119852119842119847120784120637+ 120790119938119950119921 119852119842119847120784120637+ 120784119950120646120784)](119941120651)120784

120579=π2 119886= 0 とするとケプラー楕円軌道の微分方程式 1198692(119889120588)2 = [ 2휀1205882 minus 1198692 + 2119898120588 ] 1205882(119889120593)2 になる

太陽系惑星を考えても太陽自身の自転運動によって 119886 が生じておりまた自転の遠心力によって

赤道面が膨らんでいる地球も同様に真円の球体でなく赤道面が膨らんでいる人工衛星等の精密軌

道を考える場合地球などを楕球として捉える必要があるそこで 楕球を微小質点の集合体として

考え3 組の座標の座標変換を行う3 組の座標の相互関係は単純に平行移動しており回転はない

デカルト座標 極座標

楕球の原点を基準とした時空の座標 （x y z） (λμν)

楕球の原点を基準とした微小質点の座標 （ξηζ） （χαβ）

微小質点を基準とした時空の座標 （X Y Z） (120588 120579 120593)

各座標の相互関係は次のようになる

x =ξ+ X λsinμcosν＝ρsin 120579 cos 120593＋χsinαcosβ

y =η+ Y λsinμsinν＝ρsin 120579 sin 120593＋χsinαsinβ

z =ζ+ Z λcosμ＝ρcos 120579＋χcosα

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

12

上式から (λμν)（χαβ）を使って (120588 120579 120593) を表す

1205882 = 1205822 +χ2

minus 2120582χ [ cosαcosμ+ sinα sinμ cos(βminusν) ]

cos2120579 = (λcosμminusχcosα)

2

1205882 sin2120593 =

(λsinμsinνminusχsinα sinβ)2

1205882 minus (λcosμminusχcosα)2

次に 1205882 cos2120579 sin2120593 の式を微分して(119889120588 119889120579 119889120593)を出して0 次オーダの自由軌道微分方程式に代

入し楕球の微小体積 119889ξ119889η119889ζ＝χ2sinα 119889χ119889α119889βについて積分することになるが手計算で理

論解析を進めることは困難であるようだ

第８章 ま と め

ティティウスボーデ法則は 250年前に発見されたが現代まで物理的な証明ができないためこれ

は力学的な必然ではなく偶然だという考え方が主流となっているしかし著者は本文頭に示した手

順によって この法則を初めて証明し「天文学２５０年の謎」を解くとするとともに土星のリング

が最大 31 個あることを同じ Space Fantasy微分方程式から物理学的に導き出した

アインシュタイン方程式のカーニューマン解につてはブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem)

においてすべての現実的なブラックホールはいずれ角運動量質量電荷の 3つの物理量のみ

を持つカーニューマンブラックホールに落ち着くと考えられているまた「アインシュタイン

マクスウェル方程式での軸対称定常解はカーニューマン解に限られる」というブラックホール唯

一性定理 (uniqueness theorem) も存在する10)11)

このように本解析は成熟した銀河系において安定した定常解であるカーニューマン解を利用し

ているので成熟していない まだ若い遷移的銀河系に適用できないまた(式 11) は惑星のエネルギ

ー運動量テンソルを無視することによって成立している本解析で 4個の重要な式は次の通りである

(式 11) は成熟した銀河の安定した定常解であるカーニューマン解に従い太陽系のみならず宇

宙の惑星およびリング星に適用できる基礎微分方程式であるしかし基礎微分方程式の近似解は多

数あり（式 23)や(式 26)は 1 個のエネルギー安定近似解である

(式 21) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり太陽系惑星のみならず現在約

4000 個発見されている系外惑星のうち安定惑星の多くに適用できるしかし中心星に捕捉された彗

星のようにまだ若く不安定な星リングはもともと基礎微分方程式の対象外である

(式 26) は基礎微分方程式の 1 個のエネルギー安定近似解であり土星リングや海王星リングのみ

ならず太陽系外のリング星のうち安定リング星の多くに適用できる

(11) 119941120634

119941119929119929120786(119929120784 minus 120786119950119929+ 120784119914119929+ 120786119950120784)

= 119950119929120784(minus119929120784 + 120790119950119929minus 120786119914119929minus 120783120784119950120784) + 120634 ∙ 120784119929120785(minus119929120784 + 120788119950119929minus 120786119914119929minus 120790119950120784)

+120784119938119950(120784119929120784 + 120784119950119929minus119914119929 minus120783120784119950120784)120633radic119929(120784120634119929+ 120784119950+119914)

+120634 ∙ 120786119938119929(120785119950119929minus 120784119914119929minus 120788119950120784 + 120789119914119950)120633radic119929(120784120634119929 + 120784119950+ 119914) 119862 = 1198902119877 (119877 2ry order)

(23) 120643 = [120783 minus120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

] ∙ 119812119831119823 [120786119938119950120645(119951minus 120783)

radic120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784] +

120785120782119938120633119950120784119916120786120645119925120783

119955120783[120784119916120786 minus 120786119938120784119950120784]

120785120784

13

(26) 119928119955120784 ( 119927119955120784 minus119928 〔 119917(120783 minus 120640)119955120784 minus 120784119916120786 ] )120784 minus 120786119938120784119950120784119927 ( 120784119928119955120784 + 120787119927 )120784 = 120782

119875 119876 は（式 18）(式 19)である 1198644＝1198902(1198902 + 21198982)

120575 = plusmn1 は軌道と中心核星の回転方向に関わるものである

中心核星の 3要素定数が特別に絶妙バランスする場合 スーパファイン リング星が存在する

(27) 119955 =1207911199381205751198982

120784radic120784(119916120784 minus radic120784119938120633119950)

またSpace Fantasy微分方程式 2次オーダを用いて渦巻惑星系楕球惑星系等の中心核星からの遠日

近日点距離は理論体系的に中心核星の質量要素 119898回転要素 119886電荷要素 119890 によって次のように

整理される ( 119898 ne 0 )なおこれは渦巻惑星系の場合 Space Fantasy微分方程式の近似解であり119886 の

宇宙時間的減衰を考慮すると時系列的に楕球惑星系は晩期形態とも考えられる

119886 ne 0 1198904 + 211989021198982 minus 211988621198982 lt 0 11990335 群多項式の解 (例土星のリング)

119886 ne 0 1198904 + 211989021198982 minus 211988621198982 gt 0 周期解 SFティティウス式 (例太陽系惑星) 渦巻惑星系

119886 = 0 119890 ne 0 周期解の周期差 119899 times 1199037 多項式の解 119886 = 0 119890 = 0 1199033 多項式の解 楕球惑星系

本理論は一極中心核星の天空惑星系に適用されるものの回転する中心核星に近いバルジ相応の空間

で不適であるほかダーク体のエネルギー運動量テンソルを考慮すべき銀河系に適用できない

【参考】 解析解と数値解

これまでエネルギー極小軌道を決定するために軌道の特徴を明確にする Space Fantasy 微分方程式

(質量要素 m回転要素119886電荷要素 e を含む)を導き出し初等関数の解析解を得るように努めた

しかしこの方法によらず数値的に軌道を計算する方法があるSF 微分方程式を導出する際に 軌道

半径 Rはエネルギーεと角運動量相当 Jの関数 R＝R(ε J) でありRを εで偏微分した

一方R＝R(ε J) から形式的に J=J(R ε) が出るのでこの Jを εで偏微分すると 0=H(R ε dRdε) に

なるこれからエネルギー極小軌道は 0=H(R εmin 10) である

また0=H(R ε dRdε) を εで積分すると積分定数 K= J(R εmin) に戻る

0=H(R εmin 10) と K= J(R εmin) から εminを消去すると Rと K の関係式が得られる

しかしながらこのベキ乗代数式の数値解から軌道の特徴は判り難い

参考資料

1) Internet TitiusndashBode law - Wikipedia

httpsenwikipediaorgwikiTitiusE28093Bode_law accessed in Jan 2018

2) Internet 相対性理論による太陽系惑星軌道「ティティウスボーデ法則」および土星リング個数の

導出 httpssayuri-fumitakaicurusjp accessed in Sep 2017

3) Internet BoyerndashLindquist coordinates - WikipediahttpsenwikipediaorgwikiBoyerE28093

Lindquist_coordinates accessed in Jan 2018

4) Internet General Relativity Black Holes and Cosmology Andrew J S Hamilton

httpjilacoloradoedu~ajshastr5770_14grbookpdfsearch=27general+relativity

2C+black+hole+and+cosmology27 accessed in Jan 2018

2119870

119898

2119870

119898

14

5) Internet Euler-Lagrange Differential Equation httpmathworldwolframcomEuler-Lagrange

DifferentialEquationhtml accessed in Jan 2018

6) Internet Riccati equation - Wikipedia (similar to Japanese)

httpsenwikipediaorgwikiRiccati_equation accessed in Jan 2018

7) 高等数学公式便覧朝倉書店河村哲也監訳 井元薫訳 (p103)

8) 一般相対性理論入門ピアソンエデュケーション エドウィン Fテイラー

ジョンアアーチボルドホイラー著 牧野伸義訳 (p272)

9) Winn amp Fabrycky (2015) ldquoThe Occurrence and Architecture of Exoplanetary Systemsrdquo Annual Review of

Astronomy and Astrophysics 53 p409-

10) Internet No-hair theorem - Wikipediaen httpsenwikipediaorgwikiNo-hair_theorem

accessed in Jan 2018

11) Internet Uniqueness theorem - Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiUniqueness_theorem -

accessed in Jan 2018

12) 日本天文学会 2017 年秋季年会 講演予稿集2018年春季年会 講演予稿集 犬山文孝

日本惑星科学会 2019 年秋季講演会 講演予稿集 犬山文孝

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渦巻銀河（関連ページ 3） 楕円銀河（関連ページ 8）

太陽系惑星（関連ページ 7）

土星のリング（関連ページ 8） 以上全写真出典NASA

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ヨーロッパ南天天文台（ESO）が 2011 年 8 月に公開したファインリング星雲（Fine Ring Nebula）

輪のような風変わりな形状は連星が白色矮星となった場合に生まれるという〔これに対し著者は連星を必

要としない(式 27）の変形を主張〕 Image courtesy ESO natgeonikkeibpcojpnngarticlenews144682

インターネットリング状の特異な惑星状星雲 | ナショナルジオグラフィック日本版サイト

Fine Ring Nebula mdash captured here by the ESO Faint Object Spectrograph and Camera mounted on the New Technology

Telescope at the La Silla Observatory in Chile[1] Credit ESO

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ヨーロッパ南天天文台（ESO）が 2011 年 8 月に公開したファインリング星雲（Fine Ring Nebula）

輪のような風変わりな形状は連星が白色矮星となった場合に生まれるという〔これに対し著者は連星を必

要としない(式 27）の変形を主張〕 Image courtesy ESO natgeonikkeibpcojpnngarticlenews144682

インターネットリング状の特異な惑星状星雲 | ナショナルジオグラフィック日本版サイト

Fine Ring Nebula mdash captured here by the ESO Faint Object Spectrograph and Camera mounted on the New Technology

Telescope at the La Silla Observatory in Chile[1] Credit ESO