Buradan sıfır yüksekliğinden olan gerçek hacım, normlandır-ma büyüklüğü d'nin karesi ile normlandınlmış toplanı hacmin çar-pılması ile,

V = V d2

biçiminde kolayca bulunur.

3. SİSTEMİN ÇALIŞMASI

Maden alanı çevresinde, alanın büyüklüğüne ve gereğine görenirengi ve poligon ağı (kurularak sabit noklarm x, y koordinatlarıile yükseklikleri gerekli ölçülerle hesaplanır. Duruma göre ayrıcabir de düşey kontrol ağı oluşturulabilir.

Kazıya başlanmadan önce, maden sınırı köşe noktaları ölçü-lerle belirlenir ve maden alanını 50-60 m taşacak biçimde otomatikkayıt ortamlı elektronik takeometre ile kot noktaları ölçülür. Kotnoktalarının alımı, arazinin karakteristik noikta ve çizgilerini be-lirleyecek ve ortalama en yakın komşu nokta uzaklığı 10 m dola-yında olacak biçimde yapılır. Arazide manyetik kaset bandlarakaydedilen ölçü bilgileri, büroda mikrobilgisayarın diskine aktarı-larak kot noktalarının koordinatları ve yükseklikleri hesaplanır vebir disk kütüğüne yazılır. Kot noktalarının koordinatları hesaplan-dıktan sonra, maden sının içinde kot boşlukları olup olmadığı bil-gisayardaki bir uygulama yazılımı ile araştırılır. Eğer kot boşluk-ları varsa, bu boşlukların çerçeve koordinatları bu yazılım tara-fından belirlenir. Boşluklar arazide ölçülür, koordinat ve yüksek-lik hesapları yapılır ve önce hesaplanan kot noktaları ile aynı kü-tükte birleştirilir. (Şekil 3a). Bu kütük KAZIO kütüğü olarak ad-landırılır.

Kazıdan sonra, kazı yapılan bölgenin sınır noktaları ölçülerekkazı sınırları belirlenir (Şekil 3b) ve alım bu kazı sınırları içindeyapılır (Şekil 3e). Manyetik kaset bandlara aktarılan ölçüler bü-roda bilgisayar disk ortamında oluşturulacak bir kütüğe okutulur.Koordinat ve yükseklik hesaplan yapılarak, kazı sınırları içindekot boşlukları olup olmadığı araştırılır. Kot boşluğu yoksa, bu ka-zıdan sonra yapılan ölçülere ilişkin koordinat ve yükseklik bilgileridaha sonra işlem görmek üzere bir kütükte saklanır.

41

Arazide ölçülen Jkazı bölgesi sınırlarının (köşe noktalarının ko-ordinatlarına uygun yeterli sıklıkta (0.5 -1 m) bir ıkare grid ağında,KAZI-0 .kütüğündeki ilk alını noktalarının koordinatları ve yük-seklikleri yardımı ile sayısal yükseklik modeli oluşturulur ve buağın kapladığı alanın sıfır yüksekliğinden olan hacmi hesaplanır(Şekil 3c).

Daha sonra kazı sınırları köşe noktaları koordinatları yardımıile kazı öncesi kot noktaları kütüğündeki (KAZI-0) noktalar kazısınırları içine giren kot noktalarından ayıklanır (Şekil 3d). Kazısınırları içindeki kazı öncesi kot noktalarından arındırılan kazı ön-cesi alım kütüğü, kazı sonrası alım kütüğü ile birleştirilir (Şekil3e). Bu kütüğe KAZI-1 kütüğü adı verilir.

Aynı grid ağmda KAZI-1 kütüğündeki verilerle yeni bir yük-seklik modeli oluşturularak bu grid ağı üzerinde sıfır yüksekliğin-den olan kazı sonrası hacım hesaplanır (Sakil 3f). Kazıdan önce he-saplanan hacım ile kazıdan sonra hesaplanan hacım arasındaki farkkazı hacmini gösterir.

Bu işlemler sırasında oluşan KAZI-1 kot noktaları kütüğü da-ha sonra yapılacak kazı için ikazı öncesi kot noktaları kütüğü ola-rak kullanılır.

4. SONUÇ

Hacım hesaplarının yeni yöntemlerle daha hızlı ve duyarlı ya-pılmasına duyulan gereksinim hızla artmaktadır. Bu çalışmadaözetlenen biçimde bir bilgisayar programı oluşturulmuş ve klavye-den girilen verilerle işlerliği test edilmiştir. Ancak yöntemin uygu-lama açısından değeri, önerilen donanım ile yapılacak bir pilot uy-gulama sonunda elde edilecek verilerle saptanabilecektir. Bu ko-nudaki öngörümüz, elde edilecek verilerin, yöntemin yeterliliğinive uygulanabilirliği ortaya koyacağı yolundadır. Darboğaz, henüzistenen donanımın laboratuvarlarnnızda noksansız olarak bulun-mamasından kaynaklanmaktadır.

42

K A Y N A K Ç A

Güler, A., 1978 «Sayısal Arazi Modellerinde BnterpolasyonYöntemleri», Harita Dergisi, Sayı 85.

Güler, A., 1983 «Sayısal Arazi Modellerinde İki BnterpolasyonYöntemi İle Denemeler», Karadeniz Üniversi-tesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, GenelYayın No 22, Fakülte Yayın No. 19, Araştırmave İnceleme yayınları dizisi . 1983/3, Trabzon,

Hardy, R.. 1977 «Least Squares Prediction», PhotogrammetricEngineering and Remote Sensing, No. 4

Wolf, H., 1981 «Multiquadrische Methode und Kollokation»,Allgemeine Vermessungs - Naclırichten, Heft 3.

Yaşayan, A., Güler, A,, «Experimental Results of Least Squares and1983 Multiquadrie Interpolations in Digital Eleva-

tion Models», International Colloquium onMathematical Aspects of Digital Elevation Mo-dels, International Society for Photogram-metry and Remote Senning, Commission III,Working Group 3, 18-20 April 1983, Proceeding,Stockholm,

43

POLİGON GEÇKİLERİNDE KABA AÇI HATASININTEK YÖNLÜ HESAPLA BULUNMASI

Yar. Doç. Dr. İbrahim KOÇ

Yıldız Üniversitesi

ÖZET :Poligon geçkilerinde kaba açı hatası araştırması, sık sık kar-

şımıza çıkmaktadır. Genellikle bu durumlarda alışılmış hata bulmayöntemleri, ya poligon geçkisini iki yönlü hesaplamaya ya da ikiyönlü çizim yapmaya dayanır. Oysa bunlar bu yazının konusunu-oluşturan tek yönlü hesaba göre oldukça zaman alan yöntemlerdir.Nokta sayısı fazlalaştıkça bu yöntemlerin kullanışlılığı da gittikçeazalır. Bu nedenlerle, bu yazıda, bu yöntemlere göre daha ekono-mik olan tek yönlü hesabın teori ve uygulaması sergileniyor.

Poligon Geçkilerinde Kaba Açı Hatasının BulunmasıBilindiği gibi kaba açı hatası üç değişik yöntemle belirlenebi-

lir. 1) Poligon geçkisini iki yönden paftaya çizerek 2) Poligon geç-kisini iki yönden hesaplayarak 3) Poligon geçkisini tek yönlü hesap-layarak.

Bu yöntemler sonuca ulaşılma çabukluğuna göre sıralanmıştır.Üçüncü yöntem en hızlı yöntemdir. Burada üçüncü yöntem üzerindedurulacaktır.

Kaba Açı Hatasının Analitik Olarak İncelenmesi.

44

Şekilde görüldüğü gibi poligon geçkisinin 1 nolu noktasında5 kadar bir .kaba açı hatası yapılmış olsun. Ölçülmüş olan kırılmaaçıları ve kenarlara göre paftaya çizilirse 2 noktası 2'de, 3 noktası3'de ve nihayet C nirengi noktası C gibi bir noktada çıkar. Eğer.CC doğrusunun orta dikmesi uzatılırsa bu uzantı kaba açı hatasıyapılan noktadan geçer. Bu olgudan yararlanarak bağıntılar çıka-rılacaık.

Şekil 2. de ta ile gösterilen açılar birbirine eşittir. Zira kenar-ları birbirine dik açılardır. Şekilden;

45

46

P L = X m -X P , C ' K = Y m -Y c ' (7)

elde edilir. (4) ve {7) bağıntılar ı (6) eş it liğ inde yerine konur ve ge-rekl i sadeleş t i rmelerden sonra Xp ye göre çözülürse

,XP = Xm + 0,5 (Yc' — Yc) . CotgS/2 (8)ç ıkar . (8 ) Bağ ınt ıs ı kaba aç ı hatas ı bulunan noktan ın X değeridi r .

Görüldüğü gibi (5) ve (8) bağıntısı yard ımiyle bu yöntem uy-gulanabilmektedir. Bu eş i t liklere dikkat edilecek olursa C ve Cnoktalar ın ın .koordinatlar ı i le 8 kaba aç ı hatas ın ın bilinmesi yet-mektedir . Bu değerler ise geçici poligon hesab ı sonucunda ortayaç ıkmaktad ır. Kaba aç ı hatas ı aşağ ıdaki şekilde hesaplan ır. Bu hata(CD) aç ıklık açıs ının 'koordinatlardan hesaplanan değeri ile ölçüdeğerler inden hesaplanan değer i a ras ındaki sapmad ır . Bu sapmahata s ın ır ından büyüktür .

(CD) = Koordinat lardan hesaplanan aç ıkl ık aç ıs ı

(OD)' = Ölçü değerlerinden elde edilen aç ıkl ık aç ıs ı olsun. Bunlar

Yd — Yc Ya —Yc

t g , (CD) = --------------- ( CD ) = a r e tg ----------------— (9)X<ı — ıXc Xd — Xc

(CD) ' = (AB) + [0] — k. 200 (10)

şeklinde hesaplan ır . Burada;

(AB) = Baş lang ıç aç ıkl ık aç ıs ı

[<$] = K ır ılma açılarının toplamı

d ır . (9) Bağınt ıs ından (10) bağ ınt ıs ı ç ıkar ı larak

S = (CD) — (CD)' = (CD) — [ (AB) + [0] — k. 200] (11)

kaba açı hatası elde edilir. (11) eşitliğinin verdiği S değeri (5) ve (8)nolu bağıntılarda kullanılarak Xp ve Yp değerleri hesaplanır. Budeğerler geçici poligon hesab ında hangi noktan ın koordinat ına eş i tise kaba aç ı hatas ı o noktadad ır . Bu nokta saptand ıktan sonra po-ligon geçkisinin kesin hesab ına geçilir .

Kesin poligon hesabında ise k ır ılma açıs ının doğru değerinikullanmak gerekir. Bu değer ise en iyi şekilde yeniden ölçü yolu ileelde edilir. Böylece kaba hata i le tesadüfi hatalar birbirinden ayrıl -mış olur. Fakat bazı durumlarda hesapla yetinilebilir . Kırı lma açı-s ın ın doğru değer i aşağ ıdaki şeki lde hesaplan ır .

4?

Kaba açı hatası bulunan nokta P noktası olsun. Bu noktadakikırılma açısının kesin değeri ile hatalı değeri arasındaki fark daS ya eşit olacaktır.

5 = (CD) — <CD)' = ft, — P'p (12)Burada;j3p = Kesin kırılma açısı0'p = Hatalı kırılma açısıP'P Geçici poligon hesabında P noktasındaki kırılma açısıdır. (12)Bağıntısındaki kesin kırılma açısı çekilirse

& = p'p ,+ 8 (13)şeklinde hesaplanır. Bu doğru değer poligon geçkisi hesabında yerineıkonarak kesin hesap tamamlanır.

Önemli Not : Bu hatanın bulunabilmesi için poligon geçkisikenarlarının doğru ölçülmesi zorunludur. Ayrıca sadece bir noktadakaba açı hatası yapılmış olmalıdır. Eğer yapılan hata bu durumauyuyorsa yukarıda açıklanan eşitlikler geçerlidir.

SAYISAL UYGULAMA

48r

Sözü edilen öteki iki yöntem ise çok zaman almaktadır. Çün-kü bu yöntemlerden birisi açı ve kenarlara göre paftaya çizime da-yanır. İkincisi ise iki yönlü hesaba dayanmaktadır. Bunlar ise açık-lanan yönteme göre oldukça zaman alıcı uygulamalardır.

Bu nedenlerden dolayı tek yönlü hesap yöntemi tavsiye edilir.

KAYNAKLAR:

Chaperon, P. : Vermessungskunde (Vorlesung). Institut für

Geodâsie und Photogrammetrie

Kdş,. İbrahim : Jeodezik Hesap Ders Notları (henüz basılmadı)

Özbenli, Erdoğan ve

Tüdeş, T. : Ölçme Bilgisi. Pratik Jeodezi. İstanbul 1972.

Özgen, M. Gündoğdu : Madencilik Topografyası Cilt 2. İ.T.Ü,

Songu, Celal ; Ölçme Bilgisi. Cilt 1.

Tansuğ, Burhaneddin : Ölçme Bilgisi

50

POLİGON GEÇKİLERSNDE KABA KENAR HATASININBELİRLENMESİ

Yar. Doç. Dr. İbrahim KOÇYıldız Üniversitesi

ÖZET :Poligon hesaplarında sık sık kaba 'kenar hataları ile karşılaşıl

maktadır. Bunun çözümü bellidir. Bu yazıda ölçme bilgisi kitaplarında üzerinde durulmayan, düzeltme miktarı işaretinin nasıl belirlendiği açıklanmaktadır. Yani ıkenar, kesin değerden kısa mı yoksa uzun mu ölçülmüştür? Bunu ortaya koyacak işlemler sergilenmiştir.

«ts?Poligon Geçkilerinde Kaba Kenar Hatasının Belirlenmesi :

Kaba kenar hatasının hangi kenarda yapıldığını bilmek önem-lidir. Çünkü hu takdirde hangi kenarda hata yapıldıysa sadece onuölçmekle ikenarm doğru değeri bulunur ve hesap tamamlanır. Aksidurumda bütün kenarları tek tek ölçmek gerekecektir. Bu ise emekve zaman kaybı demektir. Oysa zaman kaybını önlemek ve bürodasorunu çözümlemek mümkündür.

51

nar kapanma hatası Fs hata sınırından büyük olacaktır. Şekil in-celenecek olursa (1) nolu durum gerçek durumu, (2) durumu kena-rın gerçekten daha uzun ölçülmesi halindeki durumu, ı(3) nolu du-rum kenarın kısa ölçüldüğü durumu göstersinler. Dikkat edilecekolursa noktalar hata yapılan kenar doğrultusunda ve kaba hatamiktarı kadar ötelenmiş olarak ortaya çıkarlar. Ayni şekilde poli-gon geçkisinin dayandığı C noktası da hata yapılan kenar doğrul-tusunda hata miktarı kadar uzakta C gibi bir noktada ortaya çı-kar. Bu açıklamaya göre kaba hatanın doğrultusunu bilmek gerek-mektedir. Bu doğrultuyu ise C ve C noktalarının koordinatların-dan saptayabiliriz. Ölçme bilgisinde doğrultu açıklık açısı ile ifadeedilmektedir. C noktasının koordinatı başlangıçta verilmiştir. Cnün koordinatı ise geçici poligon hesabı ile elde edilmiştir. O hal-de bu veriler yardımiyle hatalı kenarın açıklık açısı

dır. Şekil gözönüne alınırsa kenar gerçek değerden daha büyük öl-çülürse (ÇC) açıklığı hatalı kenarın açıklığına eşit olmaktadır. Fa-kat kenar gerçek değerden kısa ölçülürse (CC') açıklığı hatalı ke-narın açıklığının 200 g farklısına eşittir.

Yapılan açıklamalardan anlaşılmaktadır ki (CC) açıklığı he-sap çizelgesinde hangi kenarın açıklığına eşitse hata o kenardadırve kenar gerçek değerden daha uzun ölçülmüştür. Düzeltme mik-tarı kenar uzunluğundan çıkarılmalıdır. Ya da (CC) açıklığı hangikenarın açıklığının 200 g farklısına eşitse kaba hata o kenar-dadır. Kenar gerçek değerinden daha kısa ölçülmüştür. Düzeltmemiktarı kenara eklenmelidir. Hata miktarı

52

eşitliği ile hesaplanır. Fakat en uygunu ibu kenarı yeniden ölçmek-tir. Böylece kaba hata tesadüfi hatalardan ayrılmış olacaktır. Eldeedilen bu değerle poligon hesabı yeniden yapılarak işlem tamamla-nır.

Önemli Not : Yukardaki ifadeler hatanın sadece tek bir kenar-da yapılması koşulu ile geçerlidir. Birden fazla kenarda hata ol'duğu takdirde hatayı hesap yolu ile bulmak olanaklı değildir. Ke-narları yeniden ölçmek gerekir.

Geçici Hesap Çizelgesi (3)

Bağıntısına göre

Yc' = 3185,79 + ■(— 43,94) = 3141,85 m

Xc = 2757,58 + 5,70 = 2763,28 m

bulunur. Eğer geçkide kaba hata olmasaydı Yc' ve Xc' değerleri Yc

ve ıXc değerleri ile çakışırdı. Oysa arada hatadan ileri gelen çokbüyük bir fark görülmektedir. Tek kenarda hata yapılma olasılığıdüşünülerek işleme devam edilir. (2) Bağıntısına göre hatalıkena-

53