Т. П. Гой, О. В. Махней

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIРIВНЯННЯ

Навчальний посiбникдля студентiв вищих навчальних закладiв

напрямiв пiдготовки«iнформатика», «прикладна математика»

Видання друге, виправлене та доповнене

ТЕРНОПIЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА – БОГДАН

УДК 517.9ББК 22.161.6

Г 59

Рекомендовано Мiнiстерством освiти i науки, молодi та спортуУкраїни (лист № 1/11-12145 вiд 22.12.2011)

Рецензенти:Iванчов М. I., доктор фiзико-математичних наук, професор (Львiв-

ський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка),Каленюк П. I., доктор фiзико-математичних наук, професор (Нацiо-

нальний унiверситет «Львiвська полiтехнiка»),Мойсишин В. М., доктор технiчних наук, професор (Iвано-Франкiв-

ський нацiональний технiчний унiверситет нафти i газу)

Гой Т. П.Г59 Диференцiальнi рiвняння : навчальний посiбник / Т. П. Гой,

О.В. Махней. — Вид. 2-ге, випр. та доп. — Тернопiль : Навчальнакнига – Богдан, 2014. — 360 с.ISBN 978-966-10-3529-3

У посiбнику викладено основи теорiї звичайних диференцiаль-них рiвнянь, а також деякi спорiдненi питання (рiвняння з ча-стинними похiдними першого порядку, основи стiйкостi розв’яз-кiв рiвнянь). Автори намагались поєднати строгiсть викладу ма-терiалу теорiї диференцiальних рiвнянь з прикладним спряму-ванням її методiв, наводячи для цього численнi приклади з при-родничих наук. Кожна тема супроводжується питаннями та зав-даннями для самостiйного розв’язування. Наведено також при-клади застосування пакета символьних обчислень Maple для iн-тегрування диференцiальних рiвнянь.Для студентiв напрямiв пiдготовки «iнформатика», «приклад-

на математика». Може бути корисним для студентiв природни-чих та iнженерно-технiчних напрямiв пiдготовки.

УДК 517.9ББК 22.161.6

ISBN 978-966-10-3529-3 c© Т. П. Гой, О. В. Махней, 2014c© Навчальна книга – Богдан, 2014

ЗМIСТ

ПЕРЕДМОВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

РОЗДIЛ 1. ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIРIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ . 13

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняннята диференцiальнi моделi . . . . . . . . . . 13

1. Диференцiальнi рiвняння та математичне моделю-вання . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 193. Складання диференцiальних рiвнянь виключеннямдовiльних сталих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Питання до лекцiї 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вправи до лекцiї 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Лекцiя 2. Диференцiальнi рiвняння першого по-рядку, розв’язанi вiдносно похiдної (за-гальна теорiя) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 242. Задача Кошi. Умови iснування та єдиностi розв’яз-ку задачi Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Класифiкацiя розв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . 274. Геометричне та механiчне тлумачення диферен-цiального рiвняння першого порядку та йогорозв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Питання до лекцiї 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Вправи до лекцiї 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Лекцiя 3. Найпростiшi диференцiальнi рiвнянняпершого порядку, iнтегровнi у квадра-турах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1. Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними та звiднiдо них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Однорiднi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393. Рiвняння, звiднi до однорiдних . . . . . . . . . . . . 42Питання до лекцiї 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Вправи до лекцiї 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 ЗМIСТ

Лекцiя 4. Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння та звi-днi до них . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1. Лiнiйне диференцiальне рiвняння та методи йогорозв’язування . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2. Властивостi розв’язкiв лiнiйних рiвнянь . . . . . . 513. Рiвняння Я. Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . 524. Рiвняння Рiккатi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Питання до лекцiї 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Вправи до лекцiї 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Лекцiя 5. Рiвняння у повних диференцiалах тазвiднi до них . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1. Рiвняння у повних диференцiалах . . . . . . . . . . 592. Iнтегрувальний множник та деякi способи його зна-ходження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Теореми про iснування, неєдинiсть та загальний ви-гляд iнтегрувального множника . . . . . . . . . . . 66Питання до лекцiї 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Вправи до лекцiї 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Лекцiя 6. Неявнi диференцiальнi рiвняння першо-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 712. Задача Кошi. Класифiкацiя розв’язкiв . . . . . . . 733. Рiвняння степеня n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Питання до лекцiї 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Вправи до лекцiї 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Лекцiя 7. Неявнi диференцiальнi рiвняння першо-го порядку (продовження) . . . . . . . . . 81

1. Метод уведення параметра . . . . . . . . . . . . . . 812. Рiвняння Лаґранжа та рiвняння Клеро . . . . . . . 833. Задача про iзогональнi траєкторiї . . . . . . . . . . 86Питання до лекцiї 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Вправи до лекцiї 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Лекцiя 8. Основнi властивостi розв’язкiв дифе-ренцiальних рiвнянь першого порядку . 91

1. Принцип стискаючих вiдображень . . . . . . . . . . 91

ЗМIСТ 5

2. Теорема iснування та єдиностi розв’язку задачiКошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. Продовження розв’язку задачi Кошi . . . . . . . . . 994. Коректнiсть задачi Кошi . . . . . . . . . . . . . . . 101Питання до лекцiї 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Вправи до лекцiї 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Лекцiя 9. Диференцiальнi моделi . . . . . . . . . . . 1041. Побудова диференцiальних моделей природничихнаук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Розв’язування геометричних задач з допомогою ди-ференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3. Розв’язування задач з допомогою iнтегральних рiв-нянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Питання до лекцiї 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Вправи до лекцiї 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Додаток 1. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування звичайних диферен-цiальних рiвнянь першого порядку . . . . . . 114

РОЗДIЛ 2. ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIРIВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ . . 124

Лекцiя 10. Диференцiальнi рiвняння вищих по-рядкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1. Основнi поняття й означення. Задача Кошi . . . . 1242. Класифiкацiя розв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . 1273. Рiвняння, яке мiстить тiльки незалежну змiнну iпохiдну порядку n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Питання до лекцiї 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Вправи до лекцiї 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Лекцiя 11. Диференцiальнi рiвняння вищих по-рядкiв, якi допускають зниження по-рядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1. Рiвняння, яке не мiстить шуканої функцiї та кiль-кох послiдовних похiдних . . . . . . . . . . . . . . . 136

2. Рiвняння, яке не мiстить незалежної змiнної . . . . 139

6 ЗМIСТ

3. Рiвняння, однорiдне вiдносно шуканої функцiї та їїпохiдних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4. Рiвняння з точними похiдними . . . . . . . . . . . . 142Питання до лекцiї 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Вправи до лекцiї 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Лекцiя 12. Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiв-няння n-го порядку . . . . . . . . . . . . . 147

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 1472. Властивостi розв’язкiв лiнiйного однорiдного рiв-няння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3. Лiнiйно залежнi та лiнiйно незалежнi функцiї . . . 1504. Основна теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535. Формула Остроградського–Лiувiлля . . . . . . . . . 154Питання до лекцiї 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Вправи до лекцiї 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекцiя 13. Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiв-няння n-го порядку зi сталими коефi-цiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 1592. Метод Ейлера. Випадок простих характеристичнихчисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3. Метод Ейлера. Випадок кратних характеристичнихчисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4. Диференцiальнi рiвняння, звiднi до рiвнянь зi ста-лими коефiцiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Питання до лекцiї 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Вправи до лекцiї 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Лекцiя 14. Лiнiйнi неоднорiднi диференцiальнiрiвняння n-го порядку . . . . . . . . . . . 171

1. Структура загального розв’язку лiнiйного неодно-рiдного рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

2. Метод варiацiї довiльних сталих . . . . . . . . . . . 1733. Метод Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754. Метод невизначених коефiцiєнтiв . . . . . . . . . . 178Питання до лекцiї 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

ЗМIСТ 7

Вправи до лекцiї 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Лекцiя 15. Лiнiйнi однорiднi рiвняння другого по-

рядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841. Канонiчна форма лiнiйного однорiдного рiвняннядругого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

2. Побудова загального розв’язку у випадку, якщо вi-домий один частинний розв’язок . . . . . . . . . . . 186

3. Iнтегрування лiнiйних рiвнянь з допомогою степе-невих рядiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Питання до лекцiї 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Вправи до лекцiї 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Лекцiя 16. Диференцiальнi моделi коливальнихпроцесiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

1. Застосування лiнiйних однорiдних диференцiаль-них рiвнянь другого порядку до коливальних рухiв 196

2. Застосування лiнiйних неоднорiдних диференцiаль-них рiвнянь другого порядку до коливальних рухiв 200

3. Диференцiальна модель математичного маятника . 204Питання до лекцiї 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Вправи до лекцiї 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Лекцiя 17. Крайовi задачi для диференцiальнихрiвнянь другого порядку . . . . . . . . . 208

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 2082. Iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi . . 2093. Функцiя Ґрiна крайової задачi . . . . . . . . . . . . 2114. Крайовi задачi на власнi значення . . . . . . . . . . 215Питання до лекцiї 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Вправи до лекцiї 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Додаток 2. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування звичайних диферен-цiальних рiвнянь вищих порядкiв . . . . . . . 219

8 ЗМIСТ

РОЗДIЛ 3. СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕ-РЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . . . . 228

Лекцiя 18. Системи звичайних диференцiальнихрiвнянь (загальна теорiя) . . . . . . . . . 228

1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 2282. Механiчне тлумачення нормальної системи та їїрозв’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

3. Зведення диференцiального рiвняння n-го порядкудо нормальної системи й обернена задача . . . . . . 235

4. Лiнiйнi однорiднi системи . . . . . . . . . . . . . . . 238Питання до лекцiї 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Вправи до лекцiї 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Лекцiя 19. Лiнiйнi однорiднi системи звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . 242

1. Лiнiйно залежнi та лiнiйно незалежнi сукупностiфункцiй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

2. Формула Остроградського–Якобi . . . . . . . . . . . 2453. Основна теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464. Лiнiйнi однорiднi системи зi сталими коефiцiєнта-ми. Метод Ейлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Питання до лекцiї 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Вправи до лекцiї 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Лекцiя 20. Лiнiйнi неоднорiднi системи звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . 257

1. Структура загального розв’язку лiнiйної неоднорiд-ної системи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

2. Метод варiацiї довiльних сталих . . . . . . . . . . . 2593. Метод невизначених коефiцiєнтiв . . . . . . . . . . 2624. Метод Д’Аламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Питання до лекцiї 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Вправи до лекцiї 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Додаток 3. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування систем звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . 269

ЗМIСТ 9

РОЗДIЛ 4. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯЗ ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИПЕРШОГО ПОРЯДКУ . . . . . . . . . 273

Лекцiя 21. Лiнiйнi однорiднi рiвняння з частинни-ми похiдними першого порядку . . . . . 273

1. Зв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння з частинни-ми похiдними першого порядку з вiдповiдною си-стемою характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

2. Побудова загального розв’язку лiнiйного однорiд-ного рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

3. Задача Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння . 280Питання до лекцiї 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Вправи до лекцiї 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Лекцiя 22. Квазiлiнiйнi та нелiнiйнi рiвняння з ча-стинними похiдними першого порядку 284

1. Побудова загального розв’язку квазiлiнiйного рiв-няння першого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . 284

2. Задачi Кошi для квазiлiнiйного рiвняння першогопорядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

3. Нелiнiйнi рiвняння з частинними похiдними першо-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

4. Рiвняння Пфаффа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293Питання до лекцiї 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295Вправи до лекцiї 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Додаток 4. Застосування математичного пакетаMaple для iнтегрування рiвнянь з частинни-ми похiдними першого порядку . . . . . . . . . 297

РОЗДIЛ 5. СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕ-РЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . . . . 302

Лекцiя 23. Основи теорiї стiйкостi за Ляпуновим . 3021. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . 3022. Дослiдження на стiйкiсть точок спокою . . . . . . . 3063. Стiйкiсть за першим наближенням . . . . . . . . . 3084. Критерiї Рауса–Гурвiца, Л’єнара–Шипара . . . . . 312Питання до лекцiї 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

10 ЗМIСТ

Вправи до лекцiї 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Лекцiя 24. Теорема Ляпунова. Фазова площина . . 315

1. Дослiдження на стiйкiсть з використанням функцiйЛяпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

2. Класифiкацiя точок спокою автономної системи . . 318Питання до лекцiї 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Вправи до лекцiї 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Додаток 5. Застосування математичного пакетаMaple для дослiдження на стiйкiсть розв’яз-кiв звичайних диференцiальних рiвнянь таїхнiх систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Додаток 6. Основи роботи з математичним паке-том Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

КОРОТКI ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКIЗГАДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ . . . . . . . . 347

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ . 352

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК . . . . . . . . . . . . 355

11

ПЕРЕДМОВА

Диференцiальнi рiвняння й методи дослiдження їхнiх роз-в’язкiв широко використовують у рiзноманiтних галузях i роз-дiлах сучасної науки й технiки. Саме тому навчальна дисциплi-на «Диференцiальнi рiвняння» займає чiльне мiсце у пiдготовцiфахiвцiв з iнформатики, математики, прикладної математикитощо.

Пропонований посiбник охоплює основну частину унiвер-ситетської програми з диференцiальних рiвнянь для студентiвнапрямiв пiдготовки «iнформатика», «прикладна математика»,але може бути використаний також студентами iнженерно-технiчних вищих навчальних закладiв.

Метою посiбника є ознайомлення студентiв з основними по-няттями, твердженнями, методами та застосуваннями теорiїдиференцiальних рiвнянь, сприяння глибокому засвоєнню тео-ретичного матерiалу з допомогою розв’язаних прикладiв i за-дач рiзного рiвня складностi, пiдготовка їх до самостiйної ро-боти з науковою лiтературою.

Посiбник має вигляд курсу з 24 лекцiй, якi умовно мо-жна подiлити на 5 роздiлiв: «Звичайнi диференцiальнi рiв-няння першого порядку», «Звичайнi диференцiальнi рiвнян-ня вищих порядкiв», «Системи звичайних диференцiальнихрiвнянь», «Диференцiальнi рiвняння з частинними похiднимипершого порядку», «Стiйкiсть розв’язкiв диференцiальних рiв-нянь».

Те, що авторами названо «лекцiями», можна вважати нимиумовно — передовсiм через обсяг, який не завжди вiдповiдаєдвом академiчним годинам, а також через нерiвномiрно розпо-дiлений матерiал. Насправдi, термiн «лекцiя» — це радше пев-ний тематично об’єднаний матерiал, який може бути основоюдля справжньої лекцiї та вiдповiдного практичного заняття.

Важливi поняття, теореми, методи iлюструються приклада-ми та задачами. Кiнець розв’язаних прикладiв i задач позна-чається символом �, але у тих випадках, де було ймовiрним«загубити» вiдповiдь серед тексту, її написано в кiнцi прикла-

12 ПЕРЕДМОВА

ду чи задачi.Знак � означає завершення доведення теореми.Кожна лекцiя супроводжується питаннями для контролю

та самоконтролю засвоєння матерiалу та вправами, якi у поєд-наннi з iншими збiрниками можуть бути основою для проведе-ння практичних занять з певної теми. Посiбник може викори-стовуватись i як довiдник, чому сприяє детальний предметнийпокажчик.

У додатках до роздiлiв для майже всiх розв’язаних у вiдпо-вiдних темах прикладiв наводяться їх розв’язання з допомогоюпакета символьних обчислень Maple. З основами роботи з нимчитач може ознайомитись у додатку 6.

У списку лiтератури читач знайде перелiк лiтературнихджерел, у яких питання, висвiтленi у цьому посiбнику, викла-денi по-iншому або бiльш повно.

Сподiваємось, що цей посiбник допоможе студентам в ово-лодiннi важливими роздiлами сучасної математики, а такожбуде корисним для викладачiв пiд час роботи зi студентами.

У другому виданнi виправлено помiченi недолiки i помилкита оновлено рекомендовану лiтературу.

Автори висловлюють щиру вдячнiсть рецензентам профе-сорам М. I. Iванчову, П. I. Каленюку, В. М. Мойсишину за ко-риснi критичнi зауваження й методичнi поради, якi безумовносприяли покращенню якостi рукопису.

Усi критичнi зауваження, рекомендацiї й побажання звдячнiстю будуть сприйнятi авторами та врахованi для по-кращення змiсту наступних видань посiбника. Усю iнфор-мацiю просимо надсилати на e-mail: tarasgoy@yahoo.com,makhney1@yahoo.com.

13

Роздiл 1ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI

РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняннята диференцiальнi моделi

План

1. Диференцiальнi рiвняння та математичне моделювання.2. Основнi означення й поняття.3. Складання диференцiальних рiвнянь виключенням до-

вiльних сталих.

1. Диференцiальнi рiвняння та математичне моде-лювання. Дослiджуючи рiзноманiтнi фiзичнi явища, техноло-гiчнi процеси у багатьох галузях науки i технiки, деякi процеси,якi виникають в економiцi, екологiї та iнших соцiальних нау-ках, не завжди вдається безпосередньо простежити залежнiстьмiж величинами, що описують певний процес чи явище. Однаку багатьох випадках можна виявити функцiональну залежнiстьмiж визначальними характеристиками процесу (функцiями),швидкостями їх змiни й часом, тобто знайти рiвняння, якi мi-стять шуканi функцiї та/або їхнi похiднi. Такi рiвняння нази-вають диференцiальними, а знаходження невiдомої функцiї(розв’язку) — iнтегруванням диференцiального рiвняння.

Диференцiальне рiвняння, одержане у процесi дослiджен-ня деякого реального явища або процесу, називають дифе-ренцiальною моделлю цього явища, процесу. Диференцiаль-нi моделi називають ще динамiчними математичнимимоделями. У таких моделях, крiм шуканих залежних вели-чин, мiстяться також похiднi шуканих залежностей, напри-клад, швидкостi, прискорення та iн.

Диференцiальнi моделi допомагають зрозумiти дослiджу-ванi явища i процеси, дають можливiсть установити якiснi та

14 Роздiл 1. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

кiлькiснi характеристики їхнiх станiв, з використанням моде-лей можна описати механiзм розвитку процесу, а також пе-редбачити його подальший розвиток без натуральних експе-риментiв, проведення яких часто є надто дорогим або простонеможливим.

Диференцiальнi моделi є важливою складовою математич-ного моделювання, яке включає в себе не тiльки побудову iдослiдження математичних моделей, але й створення обчи-слювальних алгоритмiв i програм, що реалiзують цi моделi наелектронно-обчислювальних машинах.

У процесi побудови диференцiальних моделей важливе зна-чення має знання законiв тiєї областi науки, з якою пов’язанаприрода задачi, що вивчається. Наприклад, у механiцi це мо-же бути другий закон Ньютона1) (F = ma, де m — маса тiла,a — прискорення руху тiла, F — сума сил, що дiють на тi-ло); у електротехнiцi — закон Кiрхгофа (алгебрична сума силструмiв, якi протiкають у певнiй точцi електричного кола, до-рiвнює нулю); у хiмiї — закон розчинення речовини (швидкiстьрозчинення пропорцiйна наявнiй кiлькостi нерозчиненої речо-вини та рiзницi концентрацiй насиченого розчину i розчину упевний момент часу) тощо.

Питання про вiдповiднiсть математичної моделi й реально-го явища вивчається на основi аналiзу результатiв дослiду таїх порiвняння з поведiнкою розв’язку одержаного диференцi-ального рiвняння2).

Розглянемо декiлька прикладних задач, якi приводять дозвичайних диференцiальних рiвнянь.

Задача 1. Знайти закон зростання iнформацiйних пото-кiв у науцi (зростання кiлькостi наукових публiкацiй), якщовiдомо, що швидкiсть зростання прямо пропорцiйна досягну-тому рiвню кiлькостi публiкацiй. Визначити, за який час

1)Бiблiографiчнi данi про вчених, прiзвища яких зустрiчаються у по-сiбнику, можна знайти на с. 347–351.

2)Детальнiше про диференцiальнi моделi та методику їх складання йти-меться в лекцiї 9.

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняння та диференцiальнi моделi 15

кiлькiсть публiкацiй подвоїться порiвняно з початковою кiль-кiстю, якщо вiдносна швидкiсть зростання складає 7%.Розв’язання. Нехай y(t) — кiлькiсть публiкацiй у момент ча-су t, а y0 — початкова кiлькiсть публiкацiй, тобто y(0) = y0.Швидкiсть зростання iнформацiйних потокiв як швидкiсть змi-ни функцiї є похiдною цiєї функцiї. Отже, закон зростання iн-формацiйних потокiв можна записати у виглядi диференцiаль-ного рiвняння

y′(t) = k y(t), (1.1)

де k > 0 — коефiцiєнт пропорцiйностi, що характеризує вiдгукина публiкацiї у певнiй галузi знань.

Диференцiальне рiвняння (1.1) разом з умовою y(0) = y0є математичною моделлю зростання iнформацiйних потокiв.Розв’яжемо це рiвняння, враховуючи, що y′(t) = dy

dt :

dy

dt− ky = 0 ⇒ dy

y− kdt = 0 ⇒

⇒ d (ln y − kt) = 0 ⇒ ln y − kt = C1 ⇒ y = eC1+kt,

де C1 — довiльна стала. Якщо перепозначити eC1 через C, тоy(t) = Cekt. Оскiльки y(0) = y0, то C = y0, тобто шуканийзакон зростання iнформацiйних потокiв у науцi визначаєтьсяформулою

y(t) = y0ekt. (1.2)

Знайдемо тепер час T , за який потiк наукової iнформацiї упорiвняннi з початковою кiлькiстю збiльшиться вдвiчi. За умо-вою задачi, вiдносна швидкiсть y′/y зростання iнформацiйнихпотокiв складає 7%, а тому k = 0,07. Оскiльки y(T ) = 2y0, то

y(T ) = y0ekT = 2y0 ⇒ T =

ln 2

0,07≈ 10рокiв. �

Вiдзначимо, що через стримуючi фактори, пов’язанi з рiз-кими змiнами зовнiшнiх умов, експоненцiальний характер зро-стання потоку наукової iнформацiї зберiгатися не може. Зро-стання рiвня обмежується певним його значенням, i механiзм

16 Роздiл 1. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

зростання кiлькостi публiкацiй виражатиметься диференцiаль-ним рiвнянням

y′ = ky(M − y),

де k > 0,M — максимально можливе значення функцiї y, тобто0 < y < M . Розв’яжемо це рiвняння. Маємо:

dy

y(M − y)= kdt ⇒ 1

M

(1

y+

1

M − y

)dy − kdt = 0 ⇒

⇒ d(ln y − ln(M − y)− kMt

)= 0 ⇒

⇒ lny

M − y= kMt+ C1 ⇒ y =

MeMkt+C1

1 + eMkt+C1⇒

⇒ y =M

1 + Ce−Mkt,

де, враховуючи довiльнiсть сталої C1, перепозначено e−C1 че-рез C. Надалi у такiй ситуацiї використовуватимемо знак :=,наприклад, C := e−C1 .

Криву, визначену останнiм рiвнянням, називають логiсти-чною кривою. У початковi моменти часу, коли y значно мен-ше вiд M , логiстична крива практично збiгається з графiкомпоказникової функцiї y =MeMkt. Прямi y =M i y = 0 є асим-птотами логiстичної кривої (на рис. 1.1 побудована логiстичнакрива при M = 4C = 8k).

t

y

O

M

Рис. 1.1

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняння та диференцiальнi моделi 17

Закон зростання iнформацiйних потокiв, визначений фор-мулою (1.2), є доволi унiверсальним. Ним можна скористатисядля опису процесiв радiоактивного розпаду, хiмiчних реакцiй,для розв’язування багатьох задач екологiї, задачi про ефектив-нiсть реклами тощо [7, 10, 19, 22]. У банкiвськiй справi на-рахування заборгованостi за кредитом або доходiв за вклада-ми також вiдбувається вiдповiдно до цього закону, але у цихвипадках час вiдраховується не неперервно, а через дискретнiпромiжки.

Задача 2. Човен сповiльнює свiй рух пiд дiєю опору во-ди, який пропорцiйний квадрату швидкостi човна. Початковашвидкiсть човна 3 м/с, а його швидкiсть через 4 c складає1 м/с. Через який час швидкiсть човна зменшиться до 1 см/с?Розв’язання. Згiдно з другим законом Ньютона ma = F , деm — маса човна, a = dv

dt — його прискорення (похiдна швидко-стi v(t) за часом t), F — сила опору води. За умовою задачi,F = kv2. Отже, маємо таке диференцiальне рiвняння:

mdv

dt= kv2. (1.3)

З (1.3) одержуємо:

dv

v2=

k

mdt ⇒ d

(−1

v− k

mt

)= 0 ⇒

⇒ − 1

v− k

mt = C ⇒ v =

−m

kt+ Cm.

З умови v(0) = 3 знаходимо C = −1/3, а тому

v(t) =3m

m− 3kt. (1.4)

З (1.4), враховуючи, що v(4) = 1, одержуємо, що 3mm−12k = 1,

mk = −6, а отже,

v(t) =3m

m− 3kt=

3mkmk − 3t

=3(−6)

−6− 3t⇒

⇒ v(t) =6

t+ 2. (1.5)

18 Роздiл 1. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Якщо тепер в (1.5) пiдставити t = T (T — шуканий час), атакож v = 0,01, то звiдси знаходимо T = 598 с. �

Задача 3. Визначити форму дзеркала, яке збирає в однуточку спрямований на нього потiк паралельних променiв.Розв’язання. Зробимо перерiз дзеркала площиною Oxy, щобточка, в яку збираються променi (фокус), була початком коор-динат, а вiсь Ox — паралельною до променiв, якi падають надзеркало. У перерiзi одержуємо деяку криву y = f(x) (рис. 1.2).

α

�

x

y

OA B

M

y

α

α

y = f(x)

Рис. 1.2

Використаємо закон геометричної оптики, згiдно з яким кутпадiння променя дорiвнює куту його вiдбиття (цей кут позна-чено через α). НехайM(x, y) — довiльна точка кривої y = f(x).Проведемо у цiй точцi дотичнуMA. ТрикутникMOA — рiвно-бедрений. Не втрачаючи загальностi, вважатимемо, що y > 0.Оскiльки y′ = tg α (геометричний змiст похiдної), то одержує-мо

y′ = tgα =MB

AB=

y√x2 + y2 + x

або, домножуючи чисельник i знаменник дробу на√x2 + y2−x,

y′ =1

y

(√x2 + y2 − x

). (1.6)

Диференцiальне рiвняння (1.6) є диференцiальною моделлюзадачi й описує форму перерiзу дзеркала площиною Oxy. З

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняння та диференцiальнi моделi 19

(1.6) одержуємо:

x+ yy′√x2 + y2

= 1 ⇒ d

dx

(√x2 + y2

)= 1 ⇒

⇒√x2 + y2 = x+ C,

де C — довiльна стала. Отже, маємо рiвняння осьового пере-рiзу дзеркала площиною Oxy: y2 = 2Cx+C2. Одержали сiм’юпарабол з вершинами у точках (−C/2; 0), а тому поверхня дзер-кала як поверхня обертання осьового перерiзу навколо осi Oxмає вигляд y2 + z2 = 2Cx+ C2, тобто шуканi форми дзеркалаописуються сiм’єю рiвнянь параболоїдiв обертання. �

2. Основнi означення й поняття. Звичайним дифе-ренцiальним рiвнянням називають спiввiдношення

F(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)

)= 0 (1.7)

мiж незалежною змiнною x, шуканою функцiєю y = y(x) цiєїзмiнної i похiдними y′, y′′, . . . , y(n).

Позначення, використанi у наведеному означеннi, не є сут-тєвими: незалежна змiнна може позначатися через t, шуканафункцiя — через s, f , ϕ, F тощо.Порядком звичайного диференцiального рiвняння назива-

ють порядок найвищої похiдної невiдомої функцiї, яка входитьу рiвняння. У рiвняннi n-го порядку (1.7) вважається, що по-хiдна n-го порядку шуканої функцiї справдi входить у це рiв-няння, тодi як наявнiсть решти аргументiв необов’язкова.

Наведемо приклади звичайних диференцiальних рiвнянь:

y = xy′ + y′3, y′ + |y′| = 0, y′′ + y = cos x,

y(4) − 4y′′′ + 5y′′ − 2y′ + y = xex, y(10) = x.

Першi два з наведених рiвнянь мають перший порядок, третєрiвняння має другий порядок, четверте рiвняння — четвертийпорядок, п’яте — десятий порядок.

20 Роздiл 1. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Якщо диференцiальне рiвняння мiстить частиннi похiднiневiдомої функцiї вiд кiлькох незалежних змiнних, то його на-зивають рiвнянням з частинними похiдними. Наведемоприклади таких рiвнянь:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x= 0,

∂u

∂t= a2

∂2u

∂x2,

∂2u

∂t2= a2

∂2u

∂x2,

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= f(x, y, z).

Надалi, крiм лекцiй 21 i 22, розглядатимемо тiльки звичайнiдиференцiальнi рiвняння, причому завжди незалежну змiнну iшукану функцiю вважатимемо дiйсними.Розв’язком рiвняння (1.7) на деякому iнтервалi (a, b),

−∞ � a < b � +∞, називають функцiю y = y(x), яка має нацьому iнтервалi похiднi до порядку n включно та задовольняєрiвняння (1.7). Це означає, що для всiх x ∈ (a, b) справджує-ться тотожнiсть F

(x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(n)(x)

) ≡ 0.Наприклад, функцiя y = cos 2x є розв’язком диференцi-

ального рiвняння другого порядку y′′ + 4y = 0 на iнтервалi(−∞,+∞). Розв’язками цього рiвняння, як легко перевiрити, єтакож y = sin 2x, y = 3cos 2x, y = cos 2x− sin 2x й, узагалi, всiфункцiї y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x, де C1, C2 — довiльнi сталi.

Нижче буде встановлено, що звичайне диференцiальне рiв-няння n-го порядку у загальному випадку має сiм’ю розв’яз-кiв, залежну вiд n довiльних сталих. Наприклад, усi розв’яз-ки диференцiального рiвняння y(n) = 0 мiстяться у формулiy = C1x

n−1 + C2xn−2 + . . . + Cn−1x + Cn, де C1, . . . , Cn —до-

вiльнi сталi.З геометричної точки зору розв’язку диференцiального рiв-

няння у прямокутнiй системi координат вiдповiдає деяка кри-ва, яку називають iнтегральною кривою. Сукупнiсть iн-тегральних кривих, залежну вiд довiльних сталих, назива-ють сiм’єю iнтегральних кривих. Наприклад, розв’язкирiвняння y′′ = 2 утворюють двопараметричну сiм’ю параболy = x2 + C1x+ C2, кожна з яких є iнтегральною кривою.

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняння та диференцiальнi моделi 21

Процес знаходження розв’язкiв диференцiального рiвнянняназивають iнтегруванням цього рiвняння. Якщо при цьомувсi розв’язки вдається виразити через елементарнi функцiї абоу квадратурах (коли розв’язки виражаються через iнтеграливiд елементарних функцiй), то кажуть, що рiвняння зiнтегро-ване у скiнченному виглядi. Розглядатимемо переважно са-ме такi рiвняння, хоча значно бiльше диференцiальних рiвняньне iнтегруються у скiнченному виглядi й для представленняїхнiх розв’язкiв доводиться використовувати бiльш складнийматематичний апарат.

Основною задачею теорiї iнтегрування диференцiальнихрiвнянь є знаходження всiх розв’язкiв заданого диференцiаль-ного рiвняння та дослiдження їхнiх властивостей.

3. Складання диференцiальних рiвнянь виключен-ням довiльних сталих. Нехай маємо рiвняння сiм’ї кривих,залежної вiд одного дiйсного параметра C:

Φ(x, y, C) = 0. (1.8)

Побудуємо диференцiальне рiвняння сiм’ї кривих (1.8), тоб-то рiвняння, яке описує властивостi, притаманнi всiм кривимцiєї сiм’ї. Для цього здиференцiюємо за змiнною x обидвi ча-стини рiвностi (1.8), враховуючи, що y = y(x):

∂Φ

∂x+∂Φ

∂y· dydx

= 0. (1.9)

Якщо спiввiдношення (1.9) не мiстить C, то воно буде ви-ражати ту загальну властивiсть, яка притаманна усiм кривимсiм’ї (1.8) (наприклад, якщо y = x+C, то y′ = 1). У загальномувипадку рiвнiсть (1.9) залежатиме вiд параметра C. Тодi, ви-ключаючи цей параметр iз системи, складеної з рiвнянь (1.8),(1.9), одержимо диференцiальне рiвняння першого порядку

F (x, y, y′) = 0. (1.10)

Рiвняння (1.10) називають диференцiальним рiвняннямсiм’ї кривих (1.8). Воно виражає спiльну властивiсть кривих(1.8) незалежно вiд сталої C.

22 Роздiл 1. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Приклад 1. Знайти диференцiальне рiвняння сiм’ї пара-бол, якi проходять через початок координат i мають осi си-метрiї, паралельнi до осi ординат.Розв’язання. Сiм’ю парабол з умови задачi можна описатиз допомогою формули y = x2 − Cx, де C — довiльна стала.Складемо систему {

y = x2 − Cx,y′ = 2x− C

i виключимо з неї сталу C. Для цього знайдемо C з першогорiвняння системи i пiдставимо у друге:

C =x2 − y

x⇒ y′ = 2x− x2 − y

x⇒ y′ =

x2 + y

x.

Вiдповiдь: xy′ = x2 + y.

Аналогiчно, маючи сiм’ю кривих Φ(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0,залежну вiд n довiльних сталих, можна при певних умоваходержати диференцiальне рiвняння, для якого цi кривi будутьiнтегральними. Для цього потрiбно здиференцiювати спiввiд-ношення Φ(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0 n разiв за змiнною x i ви-ключити з нього та отриманих унаслiдок диференцiюванняn рiвнянь сталi C1, C2, . . . , Cn. У результатi одержимо диферен-цiальне рiвняння сiм’ї кривих, яке виражатиме загальну вла-стивiсть цих кривих.

Приклад 2. Знайти диференцiальне рiвняння сiм’ї кривих(x− C1)

2 + C2y2 = 1.

Розв’язання. Двiчi здиференцiюємо за змiнною x тотожнiсть(x− C1)

2 + C2y2 − 1 = 0:

2(x− C1) + 2C2yy′ = 0, 1 + C2

(y′2 + yy′′

)= 0.

Виключаючи з трьох рiвностей сталi C1, C2, пiсля нескладнихперетворень одержуємо диференцiальне рiвняння другого по-рядку y3y′′ +

(y′2 + yy′′

)2= 0. �

Рекомендована лiтература: [1, с. 15–23], [7, с. 3–13,22–25], [8, с. 9–19], [9, с. 4–8], [22, с. 6–15].

Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняння та диференцiальнi моделi 23

Питання до лекцiї 1

1. Яке рiвняння називають звичайним диференцiальним рiвнян-ням? Чим вiдрiзняються звичайнi диференцiальнi рiвняння вiд рiв-нянь з частинними похiдними?2. Як визначити порядок диференцiального рiвняння?3. Яку функцiю називають розв’язком диференцiального рiвнян-

ня? Як називають операцiю знаходження розв’язкiв диференцiаль-ного рiвняння? Яку криву називають iнтегральною кривою дифе-ренцiального рiвняння?4. У чому полягає основна задача теорiї iнтегрування диферен-

цiальних рiвнянь?5. У чому полягає математичне моделювання реальних проце-

сiв i явищ, яка його роль у вивченнi процесу? Що називають ди-ференцiальною моделлю? Наведiть декiлька прикладних задач, якiприводять до звичайних диференцiальних рiвнянь.6. Який вигляд має рiвняння сiм’ї кривих, залежних вiд одного

параметра (n параметрiв)? Як знайти диференцiальне рiвняння за-даної сiм’ї однопараметричних кривих (n-параметричних кривих)?

Вправи до лекцiї 1

1. Перевiрте, чи є функцiї

а) y = x ·x∫0

sin tt dt; б) 5x = ln 5y; в) y = 3x+ lnx+ 2

розв’язками вiдповiдних диференцiальних рiвнянь

а) y′ = y+x sin xx ; б) y′ = exy

′/y; в) x2y′′ lnx = xy′ − y.

2. Знайдiть кривi, в яких кожний вiдрiзок дотичної, що лежитьмiж координатними осями, точкою дотику дiлиться навпiл.3. Складiть диференцiальне рiвняння сiм’ї кривих:

а) x2 − y2 = C; б) y = sin(x+ C); в) y = C1x2 + C2e

x.

4. Складiть диференцiальне рiвняння:а) усiх кiл, якi дотикаються до осi абсцис;б) усiх прямих на площинi;в) парабол, якi проходять через точку (1; 2) i мають вiсь, пара-

лельну до осi абсцис.5. Знайдiть кривi, нормалi до яких в усiх точках проходять через

початок координат.