КИЇВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ iменi ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

на правах рукопису

Жук Сергiй Миколайович

УДК 517.926:681.518.2

ЗАДАЧI МIНIМАКСНОГО СПОСТЕРЕЖЕННЯ ДЛЯ ЛIНIЙНИХ

ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМ

або дiалоги з проф.Наконечним

01.05.04 – системний аналiз i теорiя оптимальних рiшень

ДИСЕРТАЦIЯ

на здобуття наукового ступеня

кандидата фiзико-математичних наук

Науковий керiвник:

доктор фiзико-математичних наук, професор

НАКОНЕЧНИЙ Олександр Григорович

Київ-2006

1ЗМIСТ

ВСТУП 3

1. ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ З ТЕМИ ДИСЕРТАЦIЇ 9

2. МIНIМАКСНI ЗАДАЧI СПОСТЕРЕЖЕННЯ ДЛЯ ЛIНIЙ-

НИХ ДЕСКРИПТОРНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ 17

2.1. Мiнiмакснi оцiнки лiнiйних функцiй вiд розв’язкiв систем лiнiйних

алгебраїчних рiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.2. Апостерiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Мiнiмакснi оцiнки для квадратичних обмежень . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2. Апостерiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3. Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3. Мiнiмакснi оцiнки лiнiйних функцiй, заданих на множинi розв’яз-

кiв лiнiйного дескрипторного рiзницевого рiвняння . . . . . . . . . 40

2.3.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2. Апостерiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4. Мiнiмакснi оцiнки для квадратичних обмежень . . . . . . . . . . . . 46

2.4.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.2. Апостерiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.3. Мiнiмаксна фiльтрацiя у дискретних системах . . . . . . . . 49

2.4.4. Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5. Висновки до 2-го роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

23. МIНIМАКСНI ЗАДАЧI СПОСТЕРЕЖЕННЯ ДЛЯ ЛIНIЙ-

НИХ ДЕСКРИПТОРНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 56

3.1. Лiнiйнi дескрипторнi системи з позицiй теорiї замкнених лiнiйних

операторiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Мiнiмакснi оцiнки лiнiйних обмежених функцiоналiв, заданих на

множинi розв’язкiв лiнiйного дескрипторного диференцiального

рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.1. Постановка задачi мiнiмаксного спостереження . . . . . . . . 76

3.2.2. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3. Апостерiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3. Мiнiмакснi оцiнки для квадратичних обмежень . . . . . . . . . . . . 94

3.3.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . 94

3.3.2. Апостерiорнi оцiнки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.3.3. Мiнiмаксна фiльтрацiя у неперервних системах . . . . . . . . 117

3.3.4. Приклади . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.4. Висновки до 3-го роздiлу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

ВИСНОВКИ 130

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 134

3

ВСТУП

Протягом останнiх 30 рокiв на сторiнках наукових журналiв, конференцiях

i у монографiчнiй лiтературi обговорюються прикладнi та теоретичнi аспекти

цiлого комплексу проблем, явно чи опосередковано пов’язаних iз системами, стан

яких описується рiвняннями (неперервний час)

d

dt(F (t)x(t)) + C(t)x(t) +B(t)f(t) = 0 (0.1)

(дискретний час)

Fk+1xk+1 + Ckxk + Bkfk = 0, k ∈ 0, N (0.2)

У лiтературi в якостi назви для системи рiвнянь типу (0.1)− (0.2) використову-

ють термiн "лiнiйна дескрипторна система" (ЛДС). Доволi часто, особливо в

англомовнiй журнальнiй лiтературi, цей термiн застосовують до системи рiвнянь

типу

F (t)x(t) + C(t)x(t) +B(t)f(t) = 0, (0.3)

в той час як у вiтчизнянiй та росiйськомовнiй лiтературi, маючи на увазi (0.3),

здебiльшого послуговуються термiнами алгебро-диференцiальнi системи або ви-

родженi системи.

Пiд час розв’язання рiзноманiтних задач, що виникають у таких прикла-

дних галузях, як математична економiка, робототехнiка, обробка зображень1,

теорiя керування, теорiя електричних кiл, радiофiзика, хiмiчна та бiологiчна кi-

нетика, дослiдники стикаються з дескрипторними системами. Це зумовлює акту-

альнiсть вивчення цiлої низки питань, серед яких умови iснування та єдиностi

розв’язкiв, чисельнi методи, оберненi задачi та задачi оптимального керування.

Пiдкреслимо, що навiть у лiнiйному випадку пiд час дослiдження задач iз цього

перелiку виникають серйознi труднощi. Лише для стацiонарних ЛДС побудовано

задовiльну за ступенем завершеностi теорiю. Рiзнi аспекти теорiї дескрипторних1"image modeling"у англомовнiй лiтературi

4систем розвивалася в роботах Ф.Р.Гантмахера, Ю.I.Боярiнцева, В.Ф.Чистякова,

Г.А.Курiної, О.I.Костюкової, В.I.Ткаченко, А.Г.Руткаса, А.М.Самойленка,

М.I.Шкiля, В.П.Яковця, Ю.Д.Шлапака, Ф.Льюїса, С.Кемпбелла, К.Бренана,

Л.Петцольда, Л.Даi, П.Мюллера, Д.В.Люенбергера та їхнiх учнiв.

Актуальнiсть теми дисертацiї. Дескрипторнi системи є ефективним за-

собом проведення прикладних дослiджень. У якостi прикладу згадаємо хоча б

об’єктно-орiєнтоване середовище Modelica2, де для математичного опису моделей

складних фiзичних систем використовуються лiнiйнi та нелiнiйнi дескриптор-

нi або алгебро-диференцiальнi рiвняння, що можна пояснити такою особливi-

стю внутрiшньої структури цих рiвнянь як наявнiсть алгебраїчної та диференцi-

альної складових. Останнє дає можливiсть вивчати гiбриднi системи3 методами

системного аналiзу, з-помiж прикладних проблем якого важливий клас станов-

лять так званi оберненi задачi: за спостереженнями про стан системи потрiбно

вiдновити деякi її характеристики. Досить часто навiть в iдеалiзованiй ситуа-

цiї дослiджувана система перебуває пiд впливом зовнiшнiх сил, вичерпний опис

яких вiдсутнiй. При цьому iнформацiя про деякi параметри обраної математи-

чної моделi, як правило, є неповною: вiдомостi про невизначенi величини (по-

чатковi умови, коефiцiєнти вiдповiдних рiвнянь тощо) задаються шляхом опису

множин обмежень, яким цi величини пiдпорядкованi. Iншим джерелом невизна-

ченостей є спостереження за станом системи: властивостi похибок вимiрювання

або шумiв ( наприклад, стохастичнi характеристики випадкових процесiв, яки-

ми моделюється шум ), необхiднi для адекватного математичного опису процесу

спостереження, частково невiдомi, натомiсть заданi лише вiдповiднi множини

обмежень. Описана ситуацiя вкладається у постановки обернених задач в умо-

вах неповної iнформацiї, вiдомих також як задачi мiнiмаксного спостережен-

ня. Теорiя гарантованого (мiнiмаксного) оцiнювання, предмет якої становлять

згаданi задачi, була започаткована в роботах М.М. Красовського i розробляла-

ся зусиллями О.Б.Куржанського, О.Г.Наконечного, Б.М.Бублика, Б.М.Пшени-2Freeware object-oriented modeling language Modelica, www.modelica.org3Системи, компоненти яких задовольняють деякi алгебраїчнi та диференцiальнi спiввiдношення.

5чного, Н.Ф.Кириченка, Ю.К.Подлипенка, В.M.Кунцевича, Г.М.Бакана та їхнiх

учнiв. Переважна бiльшiсть одержаних ними результатiв стосувалася однозна-

чно розв’язних лiнiйних рiвнянь.

У тому випадку, коли стан системи описується лiнiйним неоднозначно

розв’язним рiвнянням, виникає додатковий ступiнь невизначеностi: розв’язки

рiвняння, якi вiдповiдають фiксованому допустимому збуренню, вiдрiзняються

мiж собою на довiльний елемент деякого лiнiйного многовиду, що в свою чергу

спричиняється до появи у лiнiйнiй моделi спостережень "невiдомої" адитивної

складової. Задачi мiнiмаксного оцiнювання для таких систем були поставленi та

розв’язанi у роботах О.Г.Наконечного та Ю.К.Подлипенка.

Що стосується ЛДС, то вiдомi дотепер iнструменти теорiї мiнiмаксного

оцiнювання (означення мiнiмаксних програмних та позицiйних оцiнок, методи

їх вiдшукання) виявились малоефективними у застосуваннi до цих систем через

брак таких властивостей оператора системи як n-нормальнiсть, d-нормальнiсть

i нормальна розв’язнiсть. Це зумовило необхiднiсть розробки нових методiв га-

рантованого оцiнювання з урахуванням специфiки ЛДС.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Ди-

сертацiйна робота виконана в межах держбюджетної мiжкафедральної науково-

дослiдної теми №01БФ015-01 "Розвиток теорiї та програмного забезпечення сто-

хастичних та алгебраїчних систем iз застосуванням в економiцi, соцiологiї, технiцi

та освiтi"(№держ. реєстр. 0101U002173).

Мета та задачi дослiдження. Метою дисертацiйного дослiдження є роз-

робка методiв апрiорного (програмного) та апостерiорного (позицiйного) гаран-

тованого оцiнювання значень лiнiйних функцiоналiв на множинi розв’язкiв лi-

нiйних дескрипторних систем з дискретним та неперервним часом. Мета дисер-

тацiйного дослiдження зумовила постановку i розв’язання наступних задач:

1. запропонувати новi означення мiнiмаксних апрiорних та апостерiорних оцi-

нок, якi б узгоджувались з вiдомими, враховували специфiку ЛДС i вказу-

вали шлях до розв’язання вiдповiдних задач гарантованого оцiнювання;

62. дослiдити необхiднi та достатнi умови скiнченностi похибки оцiнювання,

iснування та єдинiсть мiнiмаксної оцiнки;

3. описати клас функцiоналiв, для яких мiнiмаксна похибка скiнченна;

4. дослiдити умови дуальностi задач спостереження та керування для ЛДС;

5. знайти представлення мiнiмаксних оцiнок для випадку рiзних типiв обме-

жень. Дослiдити можливiсть представлення оцiнок у випадку квадратичних

обмежень за допомогою розв’язкiв крайових задач для системи дескриптор-

них рiвнянь типу Ейлера, у виглядi мiнiмаксного фiльтру.

Об’єкт, предмет та метод дослiдження. Об’єктом дослiдження є лiнiйнi

дескрипторнi системи. Предметом дослiдження є задачi мiнiмаксного спостере-

ження для лiнiйних дескрипторних систем.

Методи дослiдження. У дисертацiйнiй роботi використано методи теорiї

необмежених лiнiйних операторiв, що дозволило пiд час дослiджень замiнити

ЛДС еквiвалентним операторним рiвнянням, до якого вже застосовувались ме-

тоди опуклого аналiзу у просторах Гiльберта. Цими останнiми доведено теореми

про скiнченнiсть похибки, про вигляд множини оцiнюваних функцiоналiв, про

iснування та єдинiсть мiнiмаксних оцiнок та теореми про представлення оцiнок.

Процедура вибору єдиної мiнiмаксної оцiнки з множини усiх можливих заснована

на методi регуляризацiї Тихонова.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисертацiйнiй роботi за-

пропоновано новий пiдхiд до розв’язання задач гарантованого оцiнювання у лi-

нiйних дескрипторних системах, заснований на iдеях опуклого аналiзу i теорiї

лiнiйних необмежених операторiв у спецiальних гiльбертових просторах. За до-

помогою розробленого у дисертацiї математичного апарату (теореми двоїстостi

для опуклих функцiоналiв спецiального вигляду, лема про опорний функцiонал

множини Лебега опуклого функцiоналу у гiльбертовому просторi) одержано не-

обхiднi та достатнi умови скiнченностi мiнiмаксної похибки, достатнi умови ду-

альностi задач мiнiмаксного оцiнювання та керування для ЛДС, необхiднi та

7достатнi умови iснування i єдиностi мiнiмаксної апостерiорної оцiнки, достатнi

умови iснування та єдиностi мiнiмаксної апрiорної середньоквадратичної оцiнки.

У випадку квадратичних обмежень доведено iснування оцiнки для функцiона-

лiв з допустимого класу, на основi принципу дуальностi Калмана запропоновано

рiзнi представлення мiнiмаксних оцiнок, встановлено достатнi умови представ-

лення оцiнок у виглядi розв’язкiв крайових задач типу Ейлера, за допомогою

мiнiмаксного дескрипторного фiльтру, одержано достатнi умови еквiвалентностi

програмних та позицiйних оцiнок. Для систем з дискретним часом запропонова-

но процедуру рекурентного обчислення (аналог дискретного фiльтру Калмана)

мiнiмаксної апостерiорної оцiнки.

Практичне значення одержаних результатiв. Теоретичний пiдхiд, за-

пропонований у дисертацiї, може бути використаний пiд час дослiджень, пов’яза-

них iз гарантованим оцiнюванням лiнiйних функцiоналiв на множинi розв’язкiв

широкого класу рiвнянь з лiнiйним щiльно визначеним замкненим оператором у

гiльбертовому просторi для спецiальних обмежень на невiдомi параметри. Одер-

жанi результати можна застосувати в дослiдженнях, пов’язаних з системами лi-

нiйних алгебраїчних рiвнянь, права частина яких задана неточно або пiд час

вивчення задач вiдновлення стану динамiчних систем за результатами спосте-

режень в умовах неповної iнформацiї про параметри системи та шум у каналi

спостереження. Такi задачi виникають наприклад у робототехнiцi, обробцi зо-

бражень, матекономiцi.

Деякi з одержаних у дисертацiї результатiв використовувались у програ-

мах спецкурсiв з методiв гарантованого оцiнювання та оптимiзацiї, що читається

студентам кафедри системного аналiзу та теорiї прийняття рiшень факультету

кiбернетики Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка.

Особистий внесок здобувача. Всi результати дисертацiйної роботи, що

виносяться до захисту, одержанi автором особисто. Постановки задач належать

науковому керiвниковi.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї пройшли

апробацiю на мiжнародних конференцiях, семiнарах та школах, серед яких

8семiнари Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка "Си-

стемний аналiз i теорiя оптимальних рiшень"(керiвник проф. О.Г.Наконечний),

"Моделювання та оптимiзацiя систем з неповними даними"(керiвник проф.

Ф.Г.Гаращенко), Iнституту прикладного системного аналiзу НАНУ (кер. проф.

В.В.Остапенко), Iнституту кiбернетики iм. В.М.Глушкова НАНУ (кер. проф.

А.О.Чикрiй); мiжнароднi школи-семiнари "Проблеми прийняття управлiнських

рiшень в умовах невизначеностi"(2003 р., Алушта), "Robust Control"(2003 р.,

Гурзуф); мiжнароднi конференцiї "Сучаснi проблеми математичного моделю-

вання, прогнозування та оптимiзацiї"(2004 р., Кам’янець-Подiльський), "Про-

блеми прийняття рiшень в умовах невизначеностi"(2004 р., Тернопiль, 2005 р.,

Бердянськ).

Опублiкованiсть результатiв. За матерiалами дисертацiї опублiковано 9 ро-

бiт, з яких 5 – у виглядi статей [1]-[5] у фахових виданнях з перелiку ВАК

України, 4 – у виглядi тез доповiдей [6]-[9] наукових конференцiй.

Структура та обсяг роботи. Дисертацiя складається iз вступу, трьох роздi-

лiв, висновкiв та списку використаних джерел (мiстить 83 посилання). Кожен

роздiл має власну нумерацiю формул, теорем, лем та наслiдкiв. Загальний обсяг

дисертацiї – 140 сторiнок, з них 130 сторiнок основного змiсту.

Автор вдячний Олександру Григоровичу Наконечному за допомогу пiд час

вибору теми дисертацiї та кориснi поради щодо можливих методiв дослiдже-

ння.

9

РОЗДIЛ 1

ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ З ТЕМИ ДИСЕРТАЦIЇ

Лiнiйнi дескрипторнi системи. Системи, стан яких описується лiнiйним

диференцiальним рiвнянням

F (t)x(t) + C(t)x(t) +B(t)f(t) = 0 (1.1)

систематично вивчаються з 70-х рокiв минулого столiття: ще у вiдомiй моно-

графiї [10] було запропоновано умови сумiсностi стацiонарної системи лiнiйних

диференцiальних рiвнянь типу (1.1) в термiнах мiнiмальних iндексiв та елемен-

тарних дiльникiв сингулярної в’язки матриць F + λC.

Системи типу (1.1) можна умовно роздiлити [11] на сингулярнi та регу-

лярнi залежно вiд сингулярностi чи регулярностi в’язки матриць λF (t) + C(t)

для всiх t. Вiдомо [12], що стацiонарна регулярна система невиродженим лiнiй-

ним перетворенням зводиться до центральної канонiчної форми (ЦКФ), тобто до

вигляду [En−s 00 Ns

] ddtx (t) =

[M 00 Es

]x (t) + g(t),

де Es, En−s – одиничнi матрицi, Ns – нiльпотентна матриця ступеня m. Ва-

жливiсть поняття ЦКФ, вперше запровадженого в роботах американських ма-

тематикiв [13], полягає в тому, що за умови достатньої гладкостi вектор-функцiї

v(t)def= B(t)f(t) система (1.1) може бути розщеплена [14] на алгебраїчну та дифе-

ренцiальну складовi

x1(t) = Ax1(t) + v(t), x2(t) = −Dv(t)−m−1∑i=1

N iD(d

dt

i

(v(t)), x1x2 = Q−1x,

що гарантує однозначну розв’язнiсть вiдповiдної задачi Кошi. У [11] для стацiо-

нарних регулярних систем та достатньо гладкої функцiї v у якостi альтернатив-

ного представлення розв’язку (1.1) запропоновано метод базових матриць.

10По аналогiї з стацiонарним випадком для рiвняння (1.1) зi змiнними коефiцiєн-

тами кажуть, що (1.1) має на [a, b] ЦКФ, якщо iснують квадратнi неперервнi

невиродженi на [a, b] матрицi P (t), Q(t) такi, що

P (t)F (t)Q(t) = Ed 00 N(t) , P (t)C(t)Q(t)− P (t)F (t)Q′(t) = J(t) 0

0 En−d

де Ed, En−d – одиничнi матрицi, порядок яких вказано iндексом, 0 6 d 6 n, J(t)

– деяка матриця, N r(t) ≡ 0, r < n− d.Достатнi умови звiдностi (1.1) до ЦКФ запропоновано українськими математи-

ками у [15], де асимптотичними методами дослiджується структура загального

розв’язку задачi Кошi для ЛДС спецiального вигляду.

У роботах росiйських математикiв [16, 17] проведено дослiдження iснува-

ння розв’язкiв початкових та крайових задач для (1.1), на основi поняття лiвого

(правого) регуляризуючого оператора (ЛРО) [17]

Λ∗,r[d

dt(F (t)x(t)) + C(t)x(t)] =

d

dtx (t) + Λ∗,r[C(t)]x (t),Λ∗,r =

r∑j=0

Lj(t)(d

dt)i,

що для деяких систем узагальнює1 поняття ЦКФ. Необхiднi та достатнi умови

iснування ЛРО [18] виражаються у виглядi умов на ранг матриць F (t), C(t) та

їх похiдних до деякого порядку. У [17] запропоновано алгоритм побудови ЛРО

(у припущеннi iснування ЛРО).

Методи наближеного розв’язку задач Кошi для (1.1) розглядалися у [16, 19].

Рiзнi властивостi системи типу (1.1) вивчалися у [20, 21, 22, 23].

У [12, 18, 24, 25, 26, 27] запропоновано деякi критерiї спостережуваностi та

керованостi для лiнiйних алгебро-диференцiальних систем спецiального вигляду

(таких, для яких iснує ЦКФ або ЛРО). Стiйкiсть, критерiї оптимальностi, синтез

оптимальних керувань для лiнiйних та нелiнiйних ДС вивчалися у [28]-[33].

Для регулярних ЛДС (1.3) з дискретним часом розв’язнiсть, керованiсть та

спостережуванiсть вивчалися у [34, 35], задачi лiнiйно-квадратичного керування1Для випадку аналiтичних матриць системи iснування ЛРО еквiвалентно iснуванню ЦКФ. Якщо ж матрицi

нескiнченно диференцiйованi, то у [18] наведено приклади АДС, для яких ЛРО iснує в той час як ЦКФ

невизначена.

11для нерегулярних нестацiонарних ЛДС у гiльбертовому просторi присвячено пу-

блiкацiю [36], задачi фiльтрацiї вивчалися у [37, 38, 39], розв’язнiсть та наближенi

методи знаходження розв’язкiв дескрипторного рiвняння Рiккатi розглядалися

у [39, 40].

Серед застосувань ЛДС вiдмiтимо економiчну кiбернетику [41, 42], радiо-

електронiку [43, 44], обробку зображень (image modeling) [45], радiофiзику [20,

43], робототехнiку [46], теорiю керування [12, 24, 28]. Приклади iнших галузей

науки i технiки, де застосовуються ЛДС, можна знайти у [11, 12, 14, 15, 24].

Теорiя мiнiмаксного оцiнювання. Розробка методiв гарантованого оцiню-

вання функцiоналiв вiд станiв системи на основi доступних вимiрювань є пре-

дметом теорiї мiнiмаксного спостереження (оцiнювання) [47, 48, 49]. Суть мiнi-

максного пiдходу полягає у тому, що фiксованому функцiоналу з-помiж усiх оцi-

нок деякого класу зiставляється оптимальна (мiнiмаксна), для якої найбiльше

вiдхилення (в сенсi належним чином обраної метрики) вiд оцiнюваного виразу

пiд час варiацiї невiдомих змiнних у заданих межах є найменшим у класi оцi-

нок; при цьому оптимальною (мiнiмаксною) похибкою оцiнювання вважається

точна нижня грань числової множини максимальних вiдхилень для даного кла-

су оцiнок. Загальна постановка задачi мiнiмаксного спостереження (оцiнювання)

може бути сформульована [50] наступним чином.

Припустимо, що результати спостережень y ∈ Y за станом системи, що описує-

ться абстрактним рiвнянням2

A (x, f) = 0,

де (x, f) 7→ A(x, f) – вiдоме вiдображення простору X ×F у простiр X1, можна

подати у виглядi

y = C (x, v),

де (x, v) 7→ C (x, v) – задане вiдображення простору X × V у простiр Y , а

v ∈ V можна тлумачити як шум. Iнформацiя про збурення системи f та шум v

2Вектор f можна iнтерпретувати як невизначене збурення системи.

12задається у виглядi включення

(f, v) ∈ G ,

де G – задана пiдмножина простору F × V . Задача мiнiмаксного апрiорно-

го оцiнювання полягає у виборi з деякого допустимого класу U вiдображення

y 7→ uc(y), оптимального у сенсi мiнiмаксного критерiю. uc(y) називають [50]

мiнiмаксною апрiорною або програмною [48] оцiнкою. Якщо вектор y є вiдомим

заздалегiдь, для заданого вiдображення S : X ×F →X2 будують так звану [50]

апостерiорну множину

Dydef={S(x, f)|∃v : y = C (x, v),A (x, f) = 0, (f, v) ∈ G },

серед елементiв якої шукаються мiнiмакснi апостерiорнi [50] або позицiйнi [48]

оцiнки.

Для того випадку, коли Y ,X ,F ,X1,2,V є скiнченновимiрними евклiдо-

вими просторами, вiдображення A ,C мають вигляд

A (x, f) = Ax−Bf, y = Hx+ v,

де A,B,H – деякi матрицi узгодженої розмiрностi, det(A) 6= 0, G – опуклий ком-

пакт, вiдображення S є лiнiйним по (x, f), вектори v, f – детермiнованi (реалiза-

цiї випадкових векторiв), мiнiмаксна оцiнка обирається у класi лiнiйних з умови

мiнiмiзацiї найбiльшого вiдхилення вiд оцiнюваного виразу S(x, f) у розумiн-

нi евклiдової норми (середньоквадратичного вiдхилення), у роботах [49, 51]-[53]

побудовано лiнiйнi апрiорнi (середньоквадратичнi) та апостерiорнi оцiнки. Для

випадку квадратичних обмежень показано, що апрiорнi та апостерiорнi оцiнки

збiгаються i можуть бути представленi у виглядi розв’язкiв деяких систем лiнiй-

них алгебраїчних рiвнянь, якщо S(x, f) = (`, x).

Лiнiйнi мiнiмакснi апрiорнi та апостерiорнi оцiнки для випадку лiнiйних

рiзницевих рiвнянь

Ak(x, f) = xk+1 − (Ck + ηkE)xk −Bkfk, yk = Ck(x, v) = (Hk + ξkE)xk + vk

13розглядалися у [54]-[58], де було, зокрема, запропоновано процедури рекурен-

тного обчислення оцiнки за допомогою мiнiмаксного фiльтра або мiнiмаксного

однокрокового екстраполятора.

Якщо Y ,X ,F ,X1,2,V є нескiнченновимiрними гiльбертовими простора-

ми, вiдображення A ,C мають вигляд

A (x, f) =d

dt(x(t)) + C(t)x(t) +B(t)f(t),C (x, v) = H(t)x (t) + g(t),

де C(t), B(t),H(t) матрицi з неперервними на обмеженому сегментi дiйсної вiсi

елементами, (f0, f, g) ∈ G ⊂ Rn × L2

([a, c],Rp

)× L2

([a, c],Rl

), оцiнюваний фун-

кцiонал дається виразом

S(x, f) = `(x) = (a, x(T )) +

∫ T

t0

(`(t), x (t)) dt,

то мiнiмаксна апрiорна оцiнка виразу `(x), x – розв’язок задачi Кошi

A (x, f) = 0, x(t0) = f0

може бути знайдена з умови

supG|`(x)− uc(y)| = inf

u∈Usup

G|`(x)− uc(y)|,

мiнiмаксна апостерiорна оцiнка знаходиться з умови

supf∈Gy

|(x)− `(x)| = inff∈Gy

supf∈Gy

|`(x)− `(x)|,

де Gy = {f : (f, y −Hx) ∈ G }.Задачi мiнiмаксного спостереження для звичайних лiнiйних диференцiальних

рiвнянь вперше були розглянутi в роботах Н.Н.Красовського [47], де запропо-

новано мiнiмакснi оцiнки лiнiйного функцiоналу x 7→ (a, x(T )) вiд розв’язкiв

лiнiйного диференцiального рiвняння при вiдомiй функцiї f за рiзних обмежень

на невiдоме збурення g. Пiзнiше ця тематика розвивалася у роботах багатьох ав-

торiв, серед яких вiдмiтимо [48, 49, 54, 57, 59, 60, 61, 62]. Бiльш докладний огляд

можна знайти у [50].

Застосування принципу дуальностi [63] Калмана дало можливiсть [49] одер-

жати у випадку квадратичних обмежень представлення для мiнiмаксної оцiнки

(a, x(T )) = (a, x(T )) (1.2)

14де x задовольняє рiвняння

d

dt(x(t)) = C(t)x(t) + P (t)H′(t)Q2(t)(y(t)− H(t)x(t)), x(t0) = 0

а P знаходиться з матричного рiвняння Рiккатi

d

dtP (t) = C(t)P (t) + P (t)C′(t) +B(t)Q−1

1(t)B(t)− P (t)H′(t)Q2(t)H(t)P (t),

з початковою умовою P (t0) = Q−10 .

Якщо f, g – реалiзацiї неперервних у середньому квадратичному випадко-

вих векторних процесiв, то мiнiмаксна середньоквадратична апрiорна оцiнка `(x)

знаходиться з умови

supm0,m,R,R0

M [`(x)− uc(y)]2 = infu∈U

supm0,m,R,R0

M [`(x)− uc(y)]2,

де m0, R0 – середнє та кореляцiйна матриця вектора f0, m,R – середнє значення

та кореляцiйна функцiя (f, g). Для випадку квадратичних обмежень

(Q0m0,m0) +

∫ T

t0

(Q1(t)m(t),m(t)) dt 6 1,

∫ T

t0

tr Q2(t)R(t, t) dt 6 1

одержано [49, 57, 64, 65] представлення мiнiмаксної середньоквадратичної оцiнки

у виглядi (1.2).

Проблемам мiнiмаксного оцiнювання лiнiйних функцiоналiв вiд розв’язкiв

операторних та варiацiйних рiвнянь присвячено роботи [66, 67]. Оригiнальний

пiдхiд до оцiнювання правих частин рiвнянь з нетеровим оператором у гiльбер-

товому просторi

Aϕ = Bf (1.3)

запропоновано Ю.К.Подлипенко у [68], де автор знiмає невизначенiсть, поро-

джену неоднозначнiстю рiвняння (1.3), шляхом введення додаткового перебору

по скiнченновимiрному ядру оператора системи A. Застосування цiєї схеми про-

iлюстровано на лiнiйних алгебраїчних рiвняннях та крайових задачах для ди-

ференцiальних рiвнянь елiптичного типу. При цьому для випадку алгебраїчних

рiвнянь припускалося, що dimR (B) = codimR (A).

15Задачi оцiнювання параметрiв для регулярних стацiонарних дескриптор-

них систем розглядалися у дисертацiї [14]. У [37] для дескрипторного рiвняння

(Fk+1 + δ(Fk+1))xk+1 = (Ck + δ(Ck))xk + ωk

за спостереженнями

yk = (Hk + δ(Hk))xk + vi,

де x0, ωk, vi – некорельованi випадковi вектори з нульовим середнiм та вiдоми-

ми кореляцiйними матрицями, збурення δ(Fk+1), δ(Hk), δ(Ck) – деякi обмеженi

матрицi, одержано мiнiмаксний аналог фiльтру Калмана та мiнiмаксний одно-

кроковий екстраполятор. При цьому припускалося, що матриця HkFk

має повний

ранг по стовпчиках для всього дiапазону змiни iндексу k.

Напрямок та методи дослiдження. У бiльшостi з названих вище робiт

система (1.1) вивчається на основi понять ЦКФ та ЛРО, себто пiдходи до розв’я-

зання задач спостереження та керування базуються на зведеннi рiвняння стану

(1.1) до деякої канонiчної форми. Останнє гарантує однозначну розв’язнiсть (1.1)

у випадку достатньо гладкої правої частини i дозволяє застосувати методи, роз-

робленi для нормальних [69] звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь. Зада-

чi мiнiмаксного оцiнювання для рiвнянь типу (1.1) розглядалися у припущеннi

F (t) ≡ E, тобто вивчалися методи оцiнювання лiнiйних функцiоналiв уздовж

траєкторiй регулярних або причинних3 ЛДС.

У запропонованiй дисертацiї розглядаються задачi мiнiмаксного спостере-

ження для ЛДС вигляду (неперервний час)d

dt(Fx(t)) + C(t)x(t) +B(t)f(t) = 0 (1.2)

або (дискретний час)

Fk+1xk+1 + Ckxk + Bkfk = 0, k ∈ 0, N (1.3)

i використовується iнше поняття про розв’язок неперервної ЛДС, узгоджене з [28,

31], що дозволяє включити до розгляду непричиннi4 системи [32].3Casual descriptor systems.4Noncasual descriptor systems.

16Обраний напрям наукових дослiджень зумовив вибiр загальної методики,

яка полягає у синтетичному поєднаннi iдей операторного пiдходу у спецiальних

гiльбертових просторах та методiв нескiнченновимiрного опуклого аналiзу. А са-

ме, застосування операторних методiв, розвинених у роботах С.Г.Крейна [70],

до задач апрiорного та апостерiорного оцiнювання для ЛДС типу (1.2) дає мо-

жливiсть сформулювати задачу гарантованого оцiнювання у виглядi спецiаль-

ної задачi оптимiзацiї у гiльбертовому просторi, розв’язання якої здiйснюється

шляхом залучення результатiв нескiнченновимiрного опуклого аналiзу. Останнє

дозволяє уникнути обмежень на структуру (1.2), з’ясувати новi риси задач мiнi-

максного спостереження та запропонувати нове тлумачення вiдомих у цiй галузi

результатiв.

17

РОЗДIЛ 2

МIНIМАКСНI ЗАДАЧI СПОСТЕРЕЖЕННЯ

ДЛЯ ЛIНIЙНИХ ДЕСКРИПТОРНИХ

РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ

Цей роздiл присвячено задачам мiнiмаксного спостереження для лiнiйних

дескрипторних рiзницевих рiвнянь: сформульовано постановки задач мiнiмаксно-

го оцiнювання, дослiджено питання iснування та єдиностi мiнiмаксних апрiорних

середньоквадратичних та апостерiорних оцiнок, описано множину оцiнюваних

функцiоналiв, для спецiальних обмежень на невизначеностi, присутнi у рiвняннi

стану та спостереженнях, запропоновано представлення оцiнок у виглядi розв’яз-

кiв задач оптимiзацiї у скiнченновимiрному евклiдовому просторi. Для квадрати-

чних обмежень наведено представлення мiнiмаксних оцiнок у виглядi розв’язкiв

систем лiнiйних дескрипторних рiзницевих рiвнянь, запропоновано процедуру

рекурентного обчислення мiнiмаксної апостерiорної оцiнки, розглянуто прикла-

ди.

Дослiдження задач мiнiмаксного спостереження для лiнiйних дескриптор-

них рiзницевих рiвнянь проводиться на основi розвинених у цьому роздiлi мето-

дiв гарантованого оцiнювання лiнiйних функцiй, заданих на множинi розв’язкiв

системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь з прямокутною матрицею.

182.1. Мiнiмакснi оцiнки лiнiйних функцiй вiд розв’язкiв си-

стем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь

Цей пiдроздiл присвячено вивченню питання iснування та єдиностi мiнi-

максних апрiорних (§2.1.1) та апостерiорних оцiнок ( §2.1.2) для обмежень у ви-

глядi опуклих замкнених обмежених пiдмножин вiдповiдних скiнченновимiрних

евклiдових просторiв; представленню оцiнок у виглядi розв’язкiв деяких задач

оптимiзацiї, вигляд яких визначається опорними функцiями вiдповiдних множин

обмежень.

2.1.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки

Припустимо, що1 вектор x ∈ Rn задовольняє систему лiнiйних алгебраї-

чних рiвнянь

Fx = Bf, (2.1)

i, водночас, спостерiгається реалiзацiя вектору y ∈ Rl вигляду

y = Hx+ η, (2.2)

де F – m × n-матриця, B – m × p-матриця, H – l × n-матриця, η – реалiзацiя

випадкового l-вектора, x – один з елементiв множини X(f) розв’язкiв (2.1) при

деякому f ∈ Rp такому, що вектор Bf лежить у множинi значень матричного

оператора x 7→ Fx.

Ми будемо вважати, що iнформацiя про вигляд f та Rηdef= Mηη′ є неповною,

тобто данi про вигляд невiдомих величин задаються у виглядi включення

f ∈ G ,Rη ∈ G2,

де G ,G2 – деякi пiдмножини вiдповiдних просторiв.

Поставимо собi за цiль оцiнити лiнiйну функцiю x 7→ (`, x)n, ` ∈ F на

множинi розв’язкiв (2.1) за допомогою афiнної функцiї2 y 7→ (u, y)l + c вiд спо-1 Символом Rnпозначено n-вимiрний евклiдовий простiр над полем дiйсних чисел R з повною ортонормова-

ною системою {ei}n1 та скалярним добутком (x, y)ndef=∑ni=1 xiyi, де через xi позначено i-ту компоненту вектора

x у розкладi за системою {ei}n1 .2Функцiю y 7→ uc(y) = (u, y)l + c будемо називати оцiнкою.

19стережень (2.2). Кожнiй оцiнцi uc поставимо у вiдповiднiсть гарантовану похибку

оцiнювання

σ(u, c)def= sup

x,Rη

{M[(`, x)n − (u, y)l − c]2|Fx ∈ B(G ),Rη ∈ G2},

де B(G ) = {Bf |f ∈ G } i введемо означення мiнiмаксних середньоквадратичних

оцiнки та похибки.

Означення 2.1.1. Оцiнка (`, x) = (u, y)l + c, що знаходиться з умови

σ(u, c) = infu,c

supx,Rη

{M[(`, x)n − (u, y)l − c]2|Fx ∈ B(G ),Rη ∈ G2} (2.3)

називається мiнiмаксною середньоквадратичною оцiнкою. Число

σ = infu,cσ(u, c),

називається мiнiмаксною середньоквадратичною похибкою оцiнювання.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що обчи-

слення найбiльшого вiдхилення оцiнки uc вiд оцiнюваного виразу `(x) проводи-

ться на множинi {x : Fx ∈ B(G )} × G2, що, водночас, вказує спосiб вiдшукан-

ня самої оцiнки: застосування вiдомих теорем двоїстостi образiв та прообразiв

опуклих функцiй вiдносно лiнiйних обмежених операторiв. При цьому збереже-

но основну iдею програмного оцiнювання [47, 48, 49], що полягає в обчисленнi

для заданої оцiнки "гарантованого вiдхилення"( середньоквадратичної вiдстанi

при "найгiрших"f,Rη ) i подальшiй мiнiмiзацiї цього вiдхилення. Отже, (`, x)

(якщо (`, x) iснує!) можна схарактеризувати як таку, для якої середньоквадра-

тичне вiдхилення вiд оцiнюваного виразу (`, x)n у випадку найгiршої реалiзацiї

f, η є найменшим серед усiх допустимих оцiнок uc, причому

σ = σ(u, c) = supx,Rη

{M[(`, x)n − (`, x)]2|Fx ∈ B(G ),Rη ∈ G2}

Тут пiд допустимою оцiнкою uc слiд розумiти таку, для якої у випадку σ 6≡ +∞виконано σ(u, c) < +∞. Помiтимо, що випадок σ ≡ +∞ не виключено, причому

нескiнченнiсть гарантованої похибки зумовлена, зокрема, виглядом `. Сукупнiсть

20усiх векторiв `, для кожного з яких знайдеться допустима оцiнка uc, позначимо

символом F . Вiдповiдно для кожного ` ∈ F символом U` позначимо множину

допустимих оцiнок.

Перш нiж сформулювати теорему про вигляд гарантованої похибки та мiнiма-

ксної середньоквадратичної оцiнки, введемо деякi позначення, а саме покладемо

Xdef={x : Fx ∈ B(G )}, символом s(·|X) позначимо опорну функцiю X i нехай

Fdef={` ∈ Rn|∃u, z : F ′z +H ′u = `},U`

def={u ∈ Rl|∃ z : F ′z = `−H ′u}.

Теорема 2.1.1. Якщо G ,G2 – опуклi обмеженi пiдмножини вiдповiдних

скiнченновимiрних просторiв, то гарантована середньоквадратична похибка

оцiнювання має вигляд

σ(u, c) =

[β+u + |c− β−u |]2 + supRη∈G2

(Rηu, u)l, (`, u) ∈ F ×U`,

+∞, (`, u) /∈ F ×U`

де β±udef= 1

2(s(`−H ′u|X)± s(H ′u− `|X)).

Якщо u – деякий розв’язок задачi безумовної оптимiзацiї

1

4(s(`−H ′u|X) + s(H ′u− `|X))2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l → infu

то мiнiмаксна середньоквадратична оцiнка лiнiйної функцiї ` ∈ F на множинi

розв’язкiв рiвняння Fx = Bf має вигляд

(`, x) = (u, y)l + c,

де c = 12(s(`−H ′u|X)−s(H ′u−`|X)). При цьому мiнiмаксна середньоквадратична

похибка дається виразом

σ =1

4(s(`−H ′u|X) + s(H ′u− `|X))2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l.

Доведення. Обчислимо σ(u, c). Безпосередньо встановлюється, що

M[(`, x)n − (u, y)l − c]2 = [(`−H ′u, x)n − c]2 + M(u, η)2l

21вiдтак

σ(u, c) = supx{[(`−H ′u, x)n − c]2|Fx ∈ B(G )}+ sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l

В силу обмеженостi множини G2 для довiльного u

supRη∈G2

(Rηu, u)l < +∞

Обчислимо supx{[(`−H ′u, x)n−c]2|Fx ∈ B(G )}. Легко показати, що ефективною

множиною функцiї

v 7→ g(v) = supx{[(v, x)n − c]2|Fx ∈ B(G )}

є множина R (F ′)def={F ′z, z ∈ Rm}. Дiйсно, випадок невиродженої матрицi F

тривiальний, бо R (F ′) = Rm i для довiльного v ∈ R (F ′)

supx{[(v, x)n − c]2|Fx ∈ B(G )} = sup

f∈G[(F−1B)′v, f)p − c]2 < +∞

в силу обмеженостi G . Далi, якщо v /∈ R (F ′), то знайдеться x0 таке, що Fx0 = 0

i (v, x0)n > 0, вiдтак

supx{[(v, x)n − c]2|Fx ∈ B(G )} = +∞

Якщо ж v ∈ R (F ′), то F ′z = v для деякого z. З iншого боку згiдно [71,

c.160,т.16.3]

−∞ < supx{(v, x)n − δ(Fx|B(G ))} = cl inf{s(z|B(G ))|F ′z = v} 6

inf{s(B′z|G )|F ′z = v} < +∞,

бо опорна функцiя s(·|G ) непорожньої обмеженої опуклої множини G є [71,

c.131,c.13.2.2] скiнченною додатно однорiдною функцiєю на Rp. З iншого боку,

для всiх v ∈ R (F ′)

g(v) = [1

2(s(v|X) + s(−v|X)) + |c− 1

2(s(v|X)− s(−v|X))|]2

як це випливає з очевидної рiвностi supk:|k|6v |k −m| = v + |m| та оцiнки

|(v, x)n −1

2(s(v|X)− s(−v|X))| 6 1

2(s(v|X) + s(−v|X))

22Отже, для (`, u) ∈ F ×U` i лише для них

σ(u, c) = [β+u + |c− β−u |]2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l

Нехай u, c означено як у формулюваннi теореми. Тодi для всiх c ∈ R, u ∈ U` ми

будемо мати

σ(u, c) = [β+u ]2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l 6 [β+u + |c− β−u |]2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l = σ(u, c),

тому (`, x) = (u, y)l + c за означенням (див. (2.3)). Теорему доведено.

Наслiдок 2.1.1. Якщо в умовах теореми множина G центрально симе-

трична вiдносно нуля, то задача мiнiмаксного оцiнювання еквiвалентна задачi

оптимiзацiї

s2(`−H ′u|X) + supRη∈G2

(Rηu, u)l → infu

Якщо остання має розв’язки, то c = 0.

Доведення. Для доведення достатньо помiтити, що у цьому випадку

s(`−H ′u|X) = s(H ′u− `|X)

i застосувати теорему 2.1.1. Наслiдок доведено.

Наслiдок 2.1.2. Якщо в умовах теореми 2.1.1 у вiдноснiй внутрiшно-

стi3 ri G множини G знайдеться вектор f такий, що Bf = Fx для деякого

x ∈ Rn, то для (`, u) ∈ F ×U` i лише для них

σ(u, c) = [1

2((F ′sB′)(`−H ′u) + (F ′sB′)(H ′u− `))+

|c− 1

2((F ′sB′)(`−H ′u)− (F ′sB′)(H ′u− `)|]2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l

де (F ′sB′)(v) = inf{s(B′z|G )|F ′z = v}. Функцiя v 7→ (F ′sB′)(v) слабко напiвне-

перервна знизу i для кожного v точна нижня грань у її означеннi або досягає-

ться або рiвна +∞.3 Вiдносною внутрiшнiстю опуклої множини C ⊂ Rn називається сукупнiсть внутрiшнiх точок C, якщо

останню розглядати як пiдмножину її афiнної оболонки (див. [71, c.59]).

23Доведення. Нехай Fx = Bf для деякого f ∈ riG . Тодi [71, c.64,т.6.6] Bf ∈riB(G ), вiдтак

Fx ∈ riB(G ) = ri dom δ(·|B(G ))

i тому, згiдно [71, c.160,т.16.3] знайдеться z0 таке, що

s(`−H ′u|X) = supx{(`−H ′u, x)n − δ(Fx|B(G ))} = (δF )∗(`−H ′u|B(G )) =

supx{(`−H ′u, x)n − δ(Fx|B(G ))} = (F ′δ∗)(`−H ′u) =

inf{s(z|B(G ))|F ′z = `−H ′u} = s(B′z0|G )

як тiльки (`, u) ∈ F × U`. При цьому власна опукла функцiя v 7→ (F ′sB′)(v)

напiвнеперервна знизу i для довiльного v точна нижня грань у її означеннi або

досягається або рiвна +∞. Тепер залишилось застосувати теорему 2.1.1. Наслi-

док доведено.

Вигляд множин F ,U` наводить на думку про те, що для оцiнки та похибки по-

винно iснувати альтернативне представлення за допомогою розв’язкiв спряженої

системи.

Наслiдок 2.1.3. В умовах теореми

σ(u, c) =

[β+z + |c− β−z |]2 + supRη∈G2

(Rηu, u)l, (`, u) ∈ F ×U`,

+∞, (`, u) /∈ F ×U`

де β±zdef= 1

2(s(B′z|G1)± s(−B′z|G1)), G1

def={f |f ∈ G ,∃x ∈ Rn : Fx = Bf}.

Доведення. Якщо (`, u) ∈ F ×U`, то F ′z = `−H ′u для деякого z ∈ Rm, вiдтак

s(`−H ′u|X) = supx∈X{(B′z, f)p − δ(Bf |R (F ))− δ(f |G )} = s(B′z|G1)

Помiтимо, що (B′z, f)p = (z,Bf)m = (z+|Bf)m, де z+ – проекцiя z на множину

R (F ), тобто z+ = F+(`−H ′u). Тепер залишилось застосувати теорему 2.1.1.

242.1.2. Апостерiорнi оцiнки

Припустимо, що x ∈ Rn задовольняє (2.1), причому нам вiдома реалiзацiя

y ∈ Rl вигляду

y = Hx+ g, (2.4)

де g ∈ Rm – деякий детермiнований вектор. На вiдмiну вiд §2.1.1 ми припу-

скатимемо, що вектори (f, g) – деякi, заздалегiдь невiдомi елементи множини

G ⊂ Rl × Rm. Введемо аналог апостерiорної множини, запропонованої у [49].

Множину

Gydef={f ∈ Rp|∃x ∈ Rn : (f, y −Hx) ∈ G , Bf = Fx}

назвемо апостерiорною множиною. Покладемо

Xdef={x ∈ Rn|∃ (f, g) ∈ G : Fx = Bf, y −Hx = g}.

Припустимо, що у (2.1)- (2.4) реалiзувався деякий набiр (f, g). Будемо шукати

оцiнку виразу `(x) = (`, x)n на множинi розв’язкiв (2.1), характеризуючи якiсть

апроксимацiї за допомогою виразу

σ(x)def= sup

x∈X|`(x)− `(x)|.

Означення 2.1.2. Оцiнка (x), що задовольняє умову

supx∈X|`(x)− (x)| = inf

x∈Xsupx∈X|`(x)− `(x)|

називається мiнiмаксною апостерiорною оцiнкою. Число

σdef= sup

x∈X|`(x)− (x)|

назвемо мiнiмаксною апостерiорною похибкою оцiнювання.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що оцiнка

виразу `(x) на вiдмiну вiд [49] шукається у виглядi (`, x)n, де x ∈ X. Множина

X за означенням складається з усiх таких розв’язкiв (2.1), якi тiльки i можуть

25призвести до появи заданого вектора y у (2.4). Водночас у даних означеннях збе-

режено основну iдею позицiйного оцiнювання [47, 48, 49], що полягає в уточненнi

гарантованої похибки у вiдповiдностi до вiдомих результатiв спостережень. Ця

iдея закладена в означеннi множини X, що виступає альтернативою "апостерiор-

нiй множинi"з [49]. Пiдкреслимо, що структура введеного означення вказує спосiб

вiдшукання оцiнки: застосування вiдомих теорем двоїстостi образiв та прообразiв

опуклих функцiй вiдносно лiнiйних обмежених операторiв.

Наступна теорема дає необхiднi та достатнi умови скiнченностi гарантованої по-

хибки оцiнювання та встановлює вигляд оцiнки.

Теорема 2.1.2. Гарантована апостерiорна похибка має вигляд

σ(x) =

12 [s(`|X) + s(−`|X)] + |`(x)− 1

2 [s(`|X)− s(−`|X)]|, ` ∈ F ,

+∞, ` /∈ F

Якщо ` ∈ Fdef={` = F ′z +H ′u, z ∈ Rm, u ∈ Rl}, то(x) =

1

2[s(`|X)− s(−`|X)],

а для мiнiмаксної апостерiорної похибки справедливе представлення

σ =1

2[s(`|X) + s(−`|X)]

Доведення. Помiтимо, що для ` /∈ F

supx∈X|`(x)− `(x)| = +∞

бо supx∈X |`(x)| = +∞. Справдi, нехай ` /∈ F i ∃x0 6= 0 : Fx0 = 0, Hx0 = 0.

Тодi вектор xndef= x+ nx0, n = 1, 2, ... лежить у X для довiльного x з множини X,

вiдтак

xn ∈ X, |`(xn)| → +∞, n→ +∞.

Якщо Fx0 = 0, Hx0 = 0 ⇒ x0 = 0, то F = Rn i нам залишилось показати, що

σ(x) < +∞ за умови ` ∈ F . Для цього помiтимо, що як це випливає з означення

X,F

x ∈ X⇒ ∃(f, g) ∈ G : Fx = Bf,Hx = y − g,

` ∈ F ⇒ ∃(u, z) : F ′z +H ′u = `

26вiдтак

supx∈X|`(x)| = sup

x∈X|(z, Fx)m + (u,Hx)l| 6 sup

(f,g)∈G|(B′z, f)m + (u, y − g)l| < +∞.

Далi, враховуючи рiвнiсть sup|x|6d |x− c| = d+ |c|, знаходимо

supx∈X|`(x)− `(x)| = 1

2[s(`|X) + s(−`|X)] + |`(x)− 1

2[s(`|X)− s(−`|X)]| > σ

Покажемо, що знайдеться x ∈ X таке, для якого `(x) = σ. Для цього до-

статньо показати опуклiсть X, бо в такому разi образом опуклої множи-

ни X при неперервному вiдображеннi x 7→ (`, x)n буде, взагалi кажучи, iн-

тервал Idef=(−s(−`|X), s(`|X)), причому, очевидно, σ ∈ I, вiдтак неодмiнно

`(x) = (x) = σ для деякого x ∈ X.

Покажемо опуклiсть X. Нехай w def= αx+ (1− α)v – опукла комбiнацiя еле-

ментiв X. Тодi знайдуться fx, fv ∈ Gy такi, що Fx = Bfx, Fv = Bfv, вiдтак

w ∈ X, бо αfx + (1− α)fv ∈ Gy за лемою 2.1.1. Теорему доведено.

Лема 2.1.1. Gy – опукла обмежена пiдмножина Rp.

Доведення. Покажемо обмеженiсть Gy. Справдi, для кожного f ∈ Gy знайде-

ться g таке, що (f, g) ∈ G , вiдтак

(f, f)p 6 (f, f)p + (g, g)l 6 N,N > 0

в силу обмеженостi G .

Помiтимо, що Gy = S(G1 ∩ N), де S(f, x) = f , N = {(f, x)|Fx − Bf = 0},G1

def={(f, x)|(f, y−Hx) ∈ G }. Множина G1 опукла, як прообраз опуклої множини

G − (0, y) при лiнiйному вiдображеннi (f, x) 7→ (f,−Hx), вiдтак Gy – опукла,

як образ перетину опуклих множин G1,N при лiнiйному вiдображеннi S. Лему

доведено.

272.2. Мiнiмакснi оцiнки для квадратичних обмежень

У цьому пiдроздiлi, спираючись на результати попереднього пiдроздiлу,

запропоновано представлення апрiорної (§2.2.1) та апостерiорної (§2.2.2) оцiнок

у виглядi розв’язкiв систем лiнiйних алгебраїчних рiвнянь, розглянуто чисельнi

приклади (§2.2.3).

2.2.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки

Припустимо, що Q1,Q2 є додатно означенi симетричнi матрицi i покладемо

G = {f ∈ Rp|(Q1f, f)p 6 1}, G2 = {Rη : tr Q2Rη 6 1}

Наступна теорема встановлює вигляд мiнiмаксних середньоквадратичних оцiнки

та похибки для випадку обмежень на f,Rη, заданих множинами G ,G2.

Теорема 2.2.1. Мiнiмаксна середньоквадратична оцiнка лiнiйної функцiї

x 7→ (`, x)n, ` ∈ F на множинi розв’язкiв Fx = Bf має вигляд

(`, x) = (u, y)l, u = Q2Hp.

Мiнiмаксна середньоквадратична похибка оцiнювання дається виразом

supx,Rη

M[(`, x)n − (`, x)]2 = (`, p)n,

де p знаходиться з системи

Fp = BQ−11B′z,

F ′z = `−H ′Q2Hp.(2.5)

Доведення. Оскiльки 0 ∈ int G , то [71, c.64,т.6.6] 0 ∈ riB(G ), вiдтак

Fx ∈ ri dom δ(·|B(G ))

для x : Fx = 0 i ми опинились у полi дiї наслiдку 2.1.2, вiдтак

σ(u, c) = [1

2((F ′sB′)(`−H ′u) + (F ′sB′)(H ′u− `))+

|c− 1

2((F ′sB′)(`−H ′u)− (F ′sB′)(H ′u− `)|]2 + sup

Rη∈G2

(Rηu, u)l

28де (F ′sB′)(v) = inf{s(B′z|G )|F ′z = v}, причому функцiя v 7→ (F ′sB′)(v) напiв-

неперервна знизу i для кожного v точна нижня грань або досягається або рiвна

+∞. Легко збагнути, що множина X є центрально-симетричною вiдносно нуля,

вiдтак s(`−H ′u|X) = s(H ′u− `|X). Але тодi

σ(u, c) = (F ′sB′)2(`−H ′u) + supRη∈G2

(Rηu, u)l,

бо (див. доведення наслiдку 2.1.2)

s(`−H ′u|X) = (δF )∗(`−H ′u|B(G )) = (F ′sB′)(`−H ′u)

Обчислимо supRη∈G2(Rηu, u)l. Легко переконатись, враховуючи узагальнену не-

рiвнiсть Кошi-Буняковського, що

M(u, η)2l6 (Q−1

2u, u)lM(Q2η, η)l.

Оскiльки M(Q2η, η)l =∑

i,j qijMηjηi = tr Q2Rη, то, враховуючи вигляд G2, одер-

жимо, що

supRη∈G2

(Rηu, u)l = (Q−12u, u)l.

Обчислимо s(·|G ). Згiдно узагальненої нерiвностi Кошi-Буняковського ми маємо

s(z|G ) = (Q−11z, z)

12m,

Отже, задача оцiнювання еквiвалентна задачi оптимiзацiї

J(u)def= inf{(BQ−1

1B′z, z)m|F ′z = `−H ′u}+ (Q−1

2u, u)l → inf

u(2.6)

Функцiя u 7→ inf{(BQ−11B′z, z)m|F ′z = `−H ′u} напiвнеперервна знизу, що є про-

стим наслiдком напiвнеперервностi знизу функцiї v 7→ (F ′sB′)(v), вiдтак задача

оптимiзацiї (2.6) має єдиний розв’язок u, що, водночас, є мiнiмаксною середньо-

квадратичною оцiнкою лiнiйної функцiї ` ∈ F . При цьому c = 0.

Помiтимо [72, c.47,п.2.2], що u задовольняє нерiвнiсть

inf{(BQ−11B′z, z)m|F ′z = `−H ′u} − inf{(BQ−1

1B′z, z)m|F ′z = `−H ′u}+

2(Q−12u, u− u)l > 0

29для довiльного u ∈ U`. Символом z позначимо вектор, для якого

(BQ−11B′z, z)m = inf{(BQ−1

1B′z, z)m|F ′z = `−H ′u}.

Введемо множину Wdef={(u, z) : F ′z+H ′u = `} i виберемо u, z так, що (u, z) ∈ W .

Тодi u ∈ U` i

(BQ−11B′z, z)m − (BQ−1

1B′z, z)m + 2(Q−1

2u, u− u)l > 0

для всiх z ∈ {z : F ′z = `−H ′u}. Отже, скрiзь на W ми маємо нерiвнiсть

(BQ−11B′z, z)m − (BQ−1

1B′z, z)m + 2(Q−1

2u, u− u)l > 0

звiдки негайно випливає, що для опуклої функцiї

(u, z) 7→ J(u, z) = (BQ−11B′z, z)m + (Q−1

2u, u)l

на множинi W виконано нерiвнiсть4

J(u, z)− J(u, z) > (BQ−11B′z, z)m − (BQ−1

1B′z, z)m + 2(Q−1

2u, u− u)l > 0

Але тодi (z, u) є розв’язком задачi оптимiзацiї J(u, z)→ infW , тому [72, c.45] для

довiльних (u, z) ∈ W буде

(BQ−11B′z, z − z)m + (Q−1

2u, u− u)l > 0

вiдтак знайдеться таке p, що (Fp,Hp) = (BQ−11B′z,Q−1

1u), звiдки, враховуючи

включення (u, z) ∈ W одержимо систему (2.5). Для завершення доведення тео-

реми залишилось знайти вираз для мiнiмаксної похибки. Для цього, як це видно

iз наведених вище мiркувань, потрiбно обчислити J(u, z). Беручи до уваги вигляд

u та систему (2.5), легко переконатись, що

J(u, z) = (BQ−11B′z, z)m + (Q−1

2u, u)l = (`, p)n.

Теорему доведено.4Ми скористалися тим фактом, що для довiльних u, v має мiсце (Q−1

2 u, u)m − (Q−12 v, v)m > 2(Q−1

2 v, u− v)m.

30Наслiдок 2.2.1. Якщо ` ∈ F = {` = F ′z + H ′u, z ∈ Rm, u ∈ Rl}, то

система

Fp = BQ−11B′z,

F ′z = `−H ′Q2Hp.(2.7)

має непорожню множину розв’язкiв.

Доведення. Фактично, справедливiсть твердження наслiдку показано пiд час

доведення теореми. Приведемо незалежне доведення. Для цього розглянемо фун-

кцiю (u, z) 7→ J(u, z) = (BQ−11B′z, z)m + (Q−1

2u, u)l, яку можна подати в еквiва-

лентному виглядi w 7→ J(w) = (Qw,w), де Q = BQ−11 B′ 0

0 Q−12

, w = (z, u), (·, ·)– скалярний добуток у Rm × Rl. Оскiльки (Qw,w) > 0 для довiльного w, то

[71, c.44,т.4.5] квадратична функцiя w 7→ J(w)def=(Qw,w) є опуклою, вiдтак [71,

c.283,c.27.3.1] для довiльної непорожньої полiедральної множини C задача опти-

мiзацiї

J(w)→ infw∈C

має непорожню множину розв’язкiв, зокрема, це виконано для афiнної множини

Wdef={w : Tw = `}, де Tw = F ′z +H ′u, а ` ∈ F .

З iншого боку легко переконатись, що w 7→ (Qw,w) – двiчi неперервно диферен-

цiйована функцiя, градiєнт якої ∇J у точцi w має вигляд ∇J(w) = 2Qw. Як це

вiдомо з лiтератури [73, c.28,т.5], умова

(Qw, v − w) > 0, ∀v ∈ W, (A)

є необхiдною i достатньою для того, щоб функцiя w 7→ (Qw,w) досягала свого

мiнiмуму у точцi w на опуклiй множинi W .

НехайW ∗ – сукупнiсть точок мiнiмуму w 7→ (Qw,w) наW . Тодi для кожно-

го w∗ ∈ W ∗ виконано (A), вiдтак Qw∗ ⊥ {v : Tv = 0}, бо T (w−w∗) = 0, ∀w ∈ W .

Але тодi знайдеться p ∈ Rn таке, що Qw∗ = T ′p. Отже, iснують такi (w∗, p), що

одночасно Tw∗ = `,Qw∗ = T ′p. Перепишемо цi рiвняння з урахуванням вигляду

Q, T, w∗. ОдержимоF ′z∗ +H ′u∗ = `,

BQ−11B′z∗ = Fp,Q−1

2u∗ = Hp,

(B)

31Ми показали iснування таких (z, u, p), якi перетворюють (B) на тотожнiсть, вiд-

так (B) має непорожню множину розв’язкiв. Беручи до уваги додатну означе-

нiсть Q2, легко переконатись, що (B) еквiвалентна (2.7). Наслiдок доведено.

2.2.2. Апостерiорнi оцiнки

Припустимо, що

G = {(f, g) : (Q1f, f)p + (Q2g, g)l 6 1}, (2.8)

де Q1, Q2 – додатно означенi симетричнi матрицi. Обчислимо мiнiмакснi апосте-

рiорнi оцiнку та похибку.

Теорема 2.2.2. Якщо множина G має вигляд (2.8), то мiнiмаксна апо-

стерiорна оцiнка лiнiйної форми (`, x)n, ` ∈ F = {` = F ′z+H ′u, z ∈ Rm, u ∈ Rl}на розв’язках рiвняння Fx = Bf має вигляд

(x) = (`, x)n = (Q2Hp, y)l.

Похибка оцiнювання дається виразом

σ = [1− (y −Hx,Q2y)l]12 (`, p)

12n,

де p знаходиться з системи (2.7), x знаходиться з системи

Fx = BQ−11B′p,

F ′p = H ′Q2(y −Hx).(2.9)

Доведення. Згiдно теореми 2.1.2 для знаходження мiнiмаксних апостерiорних

оцiнки та похибки нам достатньо обчислити 5 опорну функцiю множини X. По-

кладемо

Jy(f, x)def=(Q1f, f)p + (Q2(y −Hx), y −Hx)l

i нехай

G2

def={(f, x) : Jy(f, x) 6 1}, N

def={(f, x) : Fx−Bf = 0}

5 Нагадаємо тут для зручностi означення (див. §2.1.2) множини X – це сукупнiсть усiх таких x ∈ Rn, длякожного з яких знайдуться g ∈ Rl, f ∈ Rp такi, що одночасно (f, g) ∈ G , g = y −Hx i Fx = Bf для заданого

y, причому за змiстом задачi мiнiмаксного апостерiорного спостереження X 6= ∅.

32

Означимо функцiю J0(f, x)def=(Q1f, f)p + (Q2Hx,Hx)l i покладемо

G1

def={(f, x) : J0(f, x) + Jy(f , x) 6 1},

де f def= Q−1

1B′p, а (p, x) знаходяться6 з системи (2.9). Символом A позначимо лi-

нiйне вiдображення A(f, x) = x. Справедлива

Лема 2.2.1. Jy(f , x) = infN Jy(f, x) = (y,Q2(y−Hx))l 6 1 i, водночас, для

всiх (f, x) ∈ N виконано рiвнiсть

Jy(f − f, x− x) = J0(f, x) + Jy(f , x) (2.10)

Якщо ` ∈ F , то

s(`|X) = (`,A(f , x))n + s(A∗`|G1 ∩ N),

де x 7→ A∗x = (0, x).

Оскiльки G1 – опукла центрально-симетрична вiдносно нуля множина, то, засто-

совуючи теорему 2.1.2, одержимо

(x) =1

2[s(`|X)− s(−`|X)] = (`, x)n, σ =

1

2[s(`|X) + s(−`|X)] = s(A∗`|G1 ∩ N)

Враховуючи системи (2.5)-(2.9) легко переконатись, що (`, x)n = (Q2Hp, y)l.

Обчислимо мiнiмаксну похибку. Для цього введемо допомiжнi позначення

ydef= 0

y , wdef= f

x , Tdef= E 0

0 H , Qdef= Q1 0

0 Q2(2.11)

Справедлива

Лема 2.2.2.

s(w∗|G1) =

[1− (y −Hx,Q2y)l]12 ((T ′QT )+w∗, w∗)

12 , w∗ ∈ R (T ′QT ),

+∞, iнакше

Помiтимо, що riN = N i 0 ∈ riG1. Останнє слiдує з того, що для довiльного w ∈ G1

знайдеться µ > 1, для якого µ ∗ 0 + (1− µ)w ∈ G1 (теорема 6.1,[71, c.60]).

Таким чином riN ∩ riG1 6= ∅, тому (див. [71, c.163,сл.16.4.1])

s(A∗`|G1 ∩ N) = infd{s(A∗`− d|G1) + s(d|N)} = inf

z∈Rms( B′z

`−F ′z |G1)

6 Розв’язнiсть (2.9) слiдує з наслiдку 2.2.1.

33Оскiльки (лема 2.2.2)dom s(·|G1) = R (T ′QT ), то

infz∈Rm

s( B′z`−F ′z |G1) = inf{s( B′z

`−F ′z |G1), z ∈ Rm, B′z`−F ′z ∈ R (T ′QT )}

Враховуючи (2.11), легко збагнути, що B′z`−F ′z ∈ R (T ′QT ) лише тодi, коли Q1f =

B′z, `−F ′z = H ′Q2Hx для деяких (f, x), що в свою чергу виконано для z ∈ Z =

{z ∈ Rm|∃x ∈ Rn : `− F ′z = H ′Q2Hx} i лише для них.

Беручи до уваги характеризацiю Пенроуза псевдооберненої матрицi (див. [81])

легко переконатись, що (T ′QT )+ = Q−11 00 (H ′Q2H)+

, вiдтак

σ = [1−(y−Hx,Q2y)l]12 inf

z{[(BQ−1

1B′z, z)m+((H ′Q2H)+(`−F ′z), `−F ′z)n]

12 , z ∈ Z}

(∗)Покладемо

z 7→ f(z)def=(BQ−1

1B′z, z)m + ((H ′Q2H)+(`− F ′z), `− F ′z)n > 0

Згiдно (∗) нам потрiбно обчислити infz∈Z f12 (z). Нехай z, p знаходяться як розв’я-

зок (система сумiсна, бо ` ∈ F )

F p = BQ−11B′z,

F ′z = `−H ′Q2Hp.

Очевидно, z ∈ Z. Для довiльного z ∈ Z ми будемо мати

f(z) = (BQ−11B′z, z)m + ((H ′Q2H)x, x)n

вiдтак1

2(f(z)− f(z)) > (BQ−1

1B′z, z − z)m + (H ′Q2Hp, x− p)n = 0 (∗∗)

в силу означення множини Z. Якщо f(z) = 0, то z є точкою мiнiмуму f12 на Z. У

протилежному випадку для довiльного z ∈ Z

f12 (z)− f

12 (z) =

f(z)− f(z)

f12 (z) + f

12 (z)

> 0

як це випливає з (∗∗) i невiд’ємностi f , тому z ∈ ArginfZ f12 . Для завершення

доведення залишилось помiтити, що

infz∈Z

f12 = f

12 (z) = ((BQ−1

1B′z, z)m + (H ′Q2Hp, p)n)

12 = (`, p)

12n

Теорему доведено.

34Доведення леми 2.2.1. У позначеннях (2.11))

Jy(f, x) = (Q(y − Tw), y − Tw), J0(f, x) = (QTw, Tw),

вiдтак множина ArginfN Jy(f, x) збiгається з множиною розв’язкiвW ∗ задачi уза-

гальненого проектування (Q(y − Tw), y − Tw) → infw вектора y на лiнiйний

пiдпростiр {Tw,w ∈ N}, причому W ∗ 6= ∅. Нехай ω ∈ W ∗. Тодi [74, c.23,c.1.4.3]

(Q(y − T ω), Tw) = 0, ∀w ∈ N (∗)

звiдки T ′Q(Tw − y) ∈ N⊥ = { F ′

−B′ z, z ∈ Rm}, вiдтак iснує z таке, що[E 00 H ′

] [Q1 00 Q2

] [−ω1

y−Hω2

]= −B′z

F ′zтобто Q1ω1 = B′z, H ′Q2(y − Hω2) = F ′z. З

iншого боку Bω1 = Fω2, бо ω ∈ N. Отже, ми показали, що ω = (Q−11B′z, ω2), де

(z, ω2) задовольняють (2.9). Легко пересвiдчитись7, що для довiльного розв’язку

(p, x) системи (2.9) має мiсце включення ω = (Q−11B′p, x) ∈ W ∗. Отже

infN

Jy(f, x) = Jy(f , x) = (B′p, f)m + (Q2(y−Hx), y)p− (F ′p, x)p = (y,Q2(y−Hx))l

Iмплiкацiя X 6= ∅⇒ G2 ∩ N 6= ∅ свiдчить про те, що (y,Q2(y −Hx))l 6 1.

Для довiльного w = (f, x) ∈ N i ω = (f , x), користуючись (∗), знаходимо

Jy(f − f, x− x) = (Q(T (w − w)− y), T (w − w)− y) = (QTw, Tw)−

2(Q(Tw − y), Tw) + (Q(Tw − y), T w − y)) = Jy(f , x) + J0(f, x),

Легко переконатись, що X = A(G2 ∩ N). Справдi, якщо x ∈ X, то за означенням

X знайдуться такi (f, g) ∈ G , для яких Fx = Bf i y − Hx = g одночасно,

звiдки видно, що (f, x) ∈ G2 ∩ N, вiдтак X ⊂ A(G2 ∩ N). Зворотнє включення є

безпосереднiм наслiдком означення множини X.7Сравдi, помiтимо, що функцiя f 7→ (Q1f, f)p опукла та скрiзь диференцiйована у Rp, вiдтак [71, c.258,т.25.1]

для довiльного h ∈ Rp виконано нерiвнiсть (Q1h, h)p − (Q1f, f)p > 2(Q1f, h− f)p. Аналогiчно (Q2Hx,Hx)l −(Q2Hx,Hx)l > 2(Q2Hx,H(x− x))l. Нехай (p, x) знаходиться з системи (2.9) i f def

= Q−11 B′p. Тодi

1

2(Jy(f, x)− Jy(f , x)) =

1

2((Q1f, f)p − (Q1f , f)l) + (Q2y,H(x− x))l+

1

2((Q2Hx,Hx)l − (Q2Hx,Hx)l) > (Q1f , f − f)l + (Q2Hx,H(x− x))l+

(Q2y,H(x− x))l = (Q1f , f − f)l + (Q2(y −Hx), H(x− x))l = (F ′p, x− x)m+

(B′p, f − f)p = (p, Bf)n − (B′p, f)p + (B′p, f)p − (p, Bf)n = 0

для всiх (f, x) ∈ N.

35

Покажемо, що G2 ∩ N = (f , x) + G1 ∩ N. Справдi, для довiльного (f, x) ∈G2 ∩ N ми покладемо (f1, x1)

def=(f, x)− (f , x). Тодi (f1, x1) ∈ N ∩ G1, бо Fx = Bf

згiдно (2.9) i, згiдно (2.10)

J0(f1, x1) + Jy(f , x) = J0(−f1,−x1) + Jy(f , x) = Jy(f + f1, x+ x1) 6 1,

тобто (f1, x1) ∈ G1 за означенням. Таким чином, G2∩N−(f , x) ⊂ G1∩N. Навпаки,

якщо (f, x) ∈ G1 ∩ N, то для (f1, x1)def= −(f, x) + (f , x) згiдно (2.10) ми будемо

мати

Jy(f1, x1) = Jy(f − f, x− x) = J0(f, x) + Jy(f , x) 6 1,

тому −G1 ∩ N + (f , x) ⊂ G2 ∩ N.

Таким чином

s(`|X) = (`,A(f , x))n + s(A∗`|G1 ∩ N)

Лему доведено.

Доведення леми 2.2.2. Помiтимо, що

G1 = {w : d(w)def=

1

2(QTw, Tw)− 1

2β 6 0},

де β def= 1− infN J(f, x). Функцiя w 7→ d(w) – опукла власна напiвнеперервна знизу

(що для опуклих функцiй еквiвалентно замкненостi), тому [71, c.136,т.13.5] опор-

ною функцiєю множини G1 буде замикання додатно однорiдної опуклої функцiї

k, яка породжується d∗ за правилом [71, c.51]

k(w∗)def= inf{(d∗λ)(w∗), λ > 0}

де (d∗λ)(w∗) = λd∗(λ−1w∗), λ > 0 i (d∗0)(w∗) = δ(w∗|0). Таким чином

s(w∗|G1) = cl k(w∗)

Обчислимо d∗. За означенням

d∗(w∗) = sup{(w∗, w)− d(w)} = sup{(w∗, w)− 1

2(QTw, Tw)}+

1

2β =

12((T ′QT )+w∗, w∗) + 1

2β, w∗ ∈ R (T ′QT ),

+∞, iнакше

36Якщо w∗ /∈ R (T ′QT ), то k(w∗) = +∞. Дiйсно, у цьому випадку (d∗0)(w∗) = +∞,

вiдтак

k(w∗) = inf{(d∗λ)(w∗), λ > 0}

але (d∗λ)(w∗) = +∞, бо λ−1w∗ /∈ R (T ′QT ) для довiльних λ > 0. Тому dom k ⊂R (T ′QT ). З iншого боку для довiльного8 w∗ ∈ R (T ′QT )

k(w∗) = inf{ α2λ

+λ

2β, λ > 0},

де α def=((T ′QT )+w∗, w∗) > 0, β > 0, бо infN Jy(f, x) = (y,Q2(y −Hx))l 6 1. Легко

збагнути, що опукла функцiя λ 7→ α2λ + λ

2β на λ > 0 має точку мiнiмуму λ =√

αβ ,

вiдтак k(w∗) =√β((T ′QT )+w∗, w∗)

12 < +∞. Тому dom k = R (T ′QT ), звiдки [71,

c.72,c.7.4.2] cl k = k. Лему доведено.

2.2.3. Приклади

Розглянемо числовi приклади апостерiорного оцiнювання для випадку ква-

дратичних обмежень та детермiнованих шумiв (§ 2.2.2). Будемо вважати, що

Q2,Q1 – одиничнi матрицi. Нехай m = 5, n = 4, l = 12, p = 8. Розглянемо такi

задачi оцiнювання

1. Задача оцiнювання лiнiйної функцiї x 7→ (l, x) на множинi {x : Fx = 0}(вiдповiдає тому випадку, коли реалiзувався вектор f ∈ {f ∈ G : Bf = 0}).

2. Задача оцiнювання лiнiйної функцiї x 7→ (l, x) на множинi {x : Fx = Bf 6=0, f ∈ G }.

8 Ми маємо право у означеннi k розглядати вiдкритий промiнь λ > 0, замiсть замкненого з таких мiркувань:

для w∗ 6= 0, очевидно, (d∗0)(w∗) = +∞, тому λ = 0 можна вилучити з розгляду; якщо ж w∗ = 0, то 0 6 d∗(0) <

+∞, вiдтак inf{λd∗(0), λ > 0} = 0 i λ = 0 знову ж таки можна вiдкинути.

371. Покладемо

H =

−2 −2 −4 −2

−2 −143 −12 −14

−8 −283 −20 −14

−4 −283 −24 −28

−4 −203 −16 −16

−24 −2489 −176

3 −40

−4 −529 −40

3 −12

−16 −24 −56 −52

−4 −203 −16 −16

−12 −36 −96 −120

−36 −1363 −100 −78

−20 −2609 −200

3 −60

F =

4 43 4 1

2

3 −1 2 −458

3 −3 1 −938

1 −53 0 −47

8

6 −2 4 −454

− 1 ∗B =

1 1 13

13

13 1 1

827

3 3 1 1 1 3 38

67

3 3 1 1 1 3 38

67

5 5 53

53

53 5 5

8107

2 2 23

23

23 2 1

447

Помiтимо, що rang(F ) = 2, rang(B) = 1, rang(H) = 2. Покладемо

fdef=(

205

28, 0, 0, 0, 0, 0,−22,−16),

gdef=(−41,−13,−139,−44,−227,−36,−308,−44, 330, 5,−278,−480).

Введемо нормуючий множник µ def= 1

30 i визначимо вектори f, g з умови

fdef=

√1− µ

max(|f |Rp, |g|Rlf , g

def=

õ

max(|f |Rp, |g|Rlg.

Перевiримо умову (f, g) ∈ G . За допомогою обчислень встановлюємо

|f |Rp ' 0.0360792, |g|Rl ' 0.182574.

Припустимо, що реалiзувався набiр (f, g) i спостерiгається вектор y = Hx + g,

де

y ' (−80.648,−185.322,−374.927,−370.649,−266.011,

− 1107.24,−231.137,−959.159,−265.879,−1425.96,−1817.94,−1155.43),

x ' (−40., 45., 27.4468,−19.5745)

38Прямим пiдрахунком встановлюється, що Fx = Bf = 0 i y = Hx + g. Розв’язу-

ючи системуF ′p = H ′(y −Hx),

F x = BB′p

знаходимо

x ' (−40.0019, 45.0042, 27.4475,−19.576)

Евклiдова вiдстань мiж x та x має вигляд

|x− x|Rn ' 0.00493445

2. Нехай

H =

−2 −2 −4 −83

−3 13 0 −43

−6 58 −4 −403

−6 58 −209 −613

18

−8 8 −4109 −797

9

−12 −43 −

1723 −1274

9

−2 22 −1133 −934

3

−6 66 −1153 −310

3

−2 54 −1093 −2300

3

−2 583 −52

3 −31549

−4 203 −44

3 −33689

−12 68 −42 −5123

F =

−2 −2 −2 −1

−4 11 11 4

−3 2 −40 −272

−2 143 −70

3 −233

−2 3 −81 −27

B =

3 3 34

35 1 6 3

2 1

9 26 434

27310

572

1245

616

727

9 352

132

29120

634

1075

223

9314

6 23 10 26710

552

945

263

657

9 43 774

2645 54 158

5956

1237

Легко переконатись, що rang(F ) = 3, rang(B) = 2, rang(H) = 4. Припустимо, що

реалiзувався набiр (f, g), де µ = 12 ,

f = (1805

21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 19),

g = (−13, 46,−134, 132, 182, 68,−80, 281, 80,−373,−105, 449)

Тодi

|f |Rp ' 0.0864069, |g|Rl = 0.707107, (f, f)Rp + (g, g)Rl ' 0.507466

39Припустимо, що

y ' (100.275, 190.993, 1529.59, 3661.32, 7312.5,

12118., 30005.8, 9439.45, 75798.2, 34576.3, 36938.7, 16005.1),

x ' (9.83694, 6.70193, 33.3252,−100)

Прямим пiдрахунком переконуємось, що Fx = Bf 6= 0, y = Hx+ g. Покладемо

`def=(−583,

2806

3,−56456

3,−37613

6)

i знайдемо x, p з систем (2.7)-(2.9). Одержимо

x ' (9.82673, 6.70411, 33.3246,−99.9997) ,

p ' (−0.892425, 0.190643,−0.0530493, 0.0267444)

Помiтимо, що

‖x− x‖Rn ' 0.0104682, (y, y −Hx) ' 0.301074, (`, p) ' 0.698926

вiдтак (f , x) ∈ G ∩ N i за теоремою 2.2.2 мiнiмакснi апостерiорнi похибка та

оцiнка мають вигляд

(x) = (`, x) ' 297.757, σ =√

[1− (y, y −Hx)](`, p) ' 32.6931

З iншого боку (`, x) ' 280.253, вiдтак реальна похибка оцiнювання становить

|(`, x)− (`, x)| = 17.5036. Пiдкреслимо, що для побудови операцiї апостерiорного

оцiнювання ` 7→ (`, x) достатньо один раз розв’язати систему (2.9).

402.3. Мiнiмакснi оцiнки лiнiйних функцiй, заданих на мно-

жинi розв’язкiв лiнiйного дескрипторного рiзницевого

рiвняння

Цей пiдроздiл присвячено задачам мiнiмаксного оцiнювання лiнiйних фун-

кцiй на множинi розв’язкiв лiнiйних дескрипторних рiзницевих рiвнянь. Для ви-

падку опуклих компактних обмежень на невизначеностi ( праву частину, поча-

ткову умову, кореляцiйнi функцiї випадкових збурень, детермiнованi збурення)

на основi результатiв пiдроздiлу 2.1 запропоновано критерiї iснування мiнiма-

ксних апрiорних середньоквадратичних (§2.3.1) та апостерiорних оцiнок (§2.3.2)

i наведено представлення останнiх за допомогою розв’язкiв деяких задач опти-

мiзацiї.

2.3.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки

Припустимо, що вектор xk ∈ Rn задовольняє лiнiйне рiзницеве дескриптор-

не рiвняння

Fk+1xk+1 − Ckxk = Bkfk, k = 0, N, F0x0 = Sg0, (2.12)

де Fk, Ck, S – m × n-матрицi, Bk – m × p-матриця, fk ∈ Rp, g0 ∈ Rm – деякi

вектори, i, водночас, для кожного k ∈ {0, . . . , N} спостерiгається реалiзацiя yk ∈Rl вигляду

yk = Hkxk + ηk, (2.13)

де Hk – l × n-матриця, ηk ∈ Rl – реалiзацiя випадкового вектора, Mηk = 0.

Будемо вважати, що iнформацiя про вигляд правої частини fk, початкової

умови g0 та матрицi Rk,s = Mηkηs є неповною у тому сенсi, що вiдомостi про

невiдомi величини задаються за допомогою включення

fdef=[g0, f0, . . . fN ] ∈ G , R = {Rk,s}Nk,s=0 ∈ G2,

де G – обмежена пiдмножина евклiдового простору

EpN+2

def= Rp

N+2︷ ︸︸ ︷× · · ·×Rp,

41G2 – обмежена пiдмножина евклiдового простору (El

N+1)2.

Кожному f в силу системи (2.12) можна зiставити множину X(f), що скла-

дається з усiх таких векторiв x = [x0, . . . , xN+1], компонента xk ∈ Rn кожного з

яких задовольняє (2.12) для довiльного k ∈ {0, . . . , N}. Символом G1 позначимо

множину всiх f ∈ G , для яких X(f) 6= ∅, покладемо Xdef= ∪f∈G1

X(f).

Нехай у (2.12) реалiзувався вектор f ∈ G1, у (2.13) спостерiгається реа-

лiзацiя випадкового вектору ηk, причому Rη = Mηη′ ∈ G2, де η = (η0, . . . , ηN).

Поставимо собi за мету наблизити у середньоквадратичному значення лiнiйної

функцiї

`(x)def=

N+1∑k=0

(`k|xk)ndef=(`|x)En, `k ∈ Rn (2.14)

на множинi X(f) за допомогою значень афiнної функцiї

uc(y)def=

N∑k=0

(uk|yk)l + c, uk ∈ Rl, c ∈ R. (2.15)

Функцiю uc вигляду (2.15) будемо називати оцiнкою. Дамо означення мiнiма-

ксних середньоквадратичних оцiнки та похибки.

Означення 2.3.1. Оцiнка uc(y) називається мiнiмаксною середньоква-

дратичною оцiнкою, якщо

σ(u, c) 6 supx∈X,Rη∈G2

M[`(x)− uc(y)]2def= σ(u, c) (2.16)

для всiх оцiнок uc. Вираз

σ = infu,cσ(u, c)

називається мiнiмаксною середньоквадратичною похибкою оцiнювання.

Будемо шукати мiнiмаксну середньоквадратичну оцiнку виразу `(x) за допомо-

гою пiдходу, розробленого у пiдроздiлi 2.1. Для цього введемо евклiдовий простiр

EnN+2

i помiтимо, що у EnN+2

система (2.12) запишеться у виглядi лiнiйного опера-

торного рiвняння

Fx = Bf, (2.17)

42де оператор x 7→ Fx дiє з евклiдового простору En

N+2у евклiдовий простiр Em

N+2i

у парi базисiв EnN+2,Em

N+2визначається матрицею

F0 0 0 ... 0 0−C0 F1 0 ... 0 00 −C1 F2 ... 0 0... ... ... ... ...0 0 0 ... −CN FN+1

(2.18)

оператор f 7→ Bf у парi базисiв EpN+2,EmN+2визначено за допомогою матрицi

S 0 0 ... 00 B0 0 ... 0... ... ... ...0 0 0 ... BN

(2.19)

Подамо (2.13) у виглядi лiнiйного операторного рiвняння

y = Hx+ η, (2.20)

де оператор x 7→ Hx дiє з евклiдового простору EnN+2

у евклiдовий простiр ElN+1

i

у парi базисiв цих просторiв визначається матрицеюH0 0 ... 0 00 H1 ... 0 0... ... ... ...0 0 ... HN 0

(2.21)

У вiдповiдностi з §2.1.1 введемо множини

Fdef={`|∃u, z `−H∗u = F ′z},

U`

def={u : `−H∗u ∈ R (F ′)}

(2.22)

Теорема 2.3.1. Припустимо, що G ,G2 – опуклi компактнi пiдмножини

вiдповiдних евклiдових просторiв. Тодi

σ(u, c) =

[β+u + |c− β−u |]2 + γ2(u), (`, u) ∈ F ×U`,

+∞, (`, u) /∈ F ×U`

(2.23)

де β±udef= 1

2(s(`−H ′u|X)± s(H ′u− `|X)), γ2(u)def= supRη∈G2

(Rηu|u)El.

Якщо u – деякий розв’язок задачi безумовної оптимiзацiї

1

4(s(`−H ′u|X) + s(H ′u− `|X))2 + γ2(u)→ inf

u

43то мiнiмаксна середньоквадратична оцiнка лiнiйної функцiї ` ∈ F має вигляд

(`|x) = uc(y)def=

N∑k=0

(uk|yk)Rl + c,

де c = 12(s(`−H ′u|X)+s(H ′u−`|X)). При цьому мiнiмаксна середньоквадратична

похибка дається виразом

σ =1

4(s(`−H ′u|X) + s(H ′u− `|X))2 + γ2(u)

Доведення. Перетворимо вираз для σ(u, c). Беручи до уваги (2.17),(2.20), легко

одержати, що

(`|x)En − (u|y)El − c = (`−H∗u|x)En − (u|η)El − c := α. (2.24)

Враховуючи вiдоме спiввiдношення Dξ = Mξ2−(Mξ)2 мiж дисперсiєю Dξdef= M[ξ−

Mξ]2 випадкової величини ξ та її середнiм Mξ, а також той факт, що Mηk = 0,

одержимо:

M[`(x)− uc(y)]2 = (Mα)2 + Dα = [(`−Hu|x)En − c]2 + M(u|η)2El.

Останнiй доданок попереднього спiввiдношення можна подати у виглядi

M(u|η)2El = M(u|η)El(u|η)El =∑k

∑s

M(uk|ηk)l(us|ηs)l =∑k

∑s

∑i

∑j

Mηk,jηs,ius,juk,i =∑k,s

(Rk,suk|us)Rl = (Rηu|u)El

тому

σ(u, c) = supx∈X

[(`−Hu|x)En − c]2 + supRη∈G2

(Rηu|u)El

Подальше доведення проводиться у повнiй вiдповiдностi з доведенням теореми

2.1.1. Теорему доведено.

Зауваження 2.3.1. Помiтимо, що у теоремi встановлено скiнченнiсть

похибки лише для векторiв з деякого класу F , а саме для F = P(EnN+2

), де

символом P позначено оператор ортогонального проектування на пiдпростiр

R (F∗) + R (H∗). Ми можемо розширити клас F до всього простору, якщо

точну верхню грань у (2.16) будемо обчислювати лише по x ∈ P(X), бо тодi

для довiльного ` ∈ F буде (P`−H∗u, x)En = (`−H∗u,Px)En.

44Наслiдок 2.3.1. Якщо в умовах теореми множина G центрально симе-

трична вiдносно нуля, то задача мiнiмаксного оцiнювання еквiвалентна задачi

оптимiзацiї

s2(`−H ′u|X) + γ2(u)→ infu

Якщо остання має розв’язки, то c = 0.

Доведення. Для доведення достатньо помiтити, що у цьому випадку

s(`−H ′u|X) = s(H ′u− `|X)

i застосувати теорему 2.3.1. Наслiдок доведено.

Наслiдок 2.3.2. Припустимо, що множина G центрально симетрична

вiдносно нуля. Тодi задача мiнiмаксного спостереження еквiвалентна задачi

оптимiзацiї

s2(z|G1) + γ2(u)→ infω=[z,u]∈W

(2.25)

2.3.2. Апостерiорнi оцiнки

Нехай xk ∈ Rn задовольняє лiнiйне рiзницеве рiвняння (2.12) i, водночас,

вiдома реалiзацiя вектору

yk = Hkxk + vk, k ∈ 0, N.

Ми будемо вважати, що початкова умова g0, права частина f = (f0, . . . , fN)

та адитивна складова спостережень v = (v0, . . . , vN) невiдомi, причому вектор

(g0, f, v) може бути довiльним елементом опуклої замкненої обмеженої множини

G вiдповiдного скiнченновимiрного евклiдового простору.

Поставимо собi за цiль оцiнити значення лiнiйної функцiї `(x) вигляду

(2.14) на множинi розв’язкiв (2.12), спираючись на вiдомi спостереження y =

(y1, . . . , yN). По аналогiї з §2.1.2 мiнiмаксну оцiнку (x) виразу `(x) будемо шу-

кати серед значень x 7→ `(x) на множинi9

Xdef={x|∃(f, g) ∈ G : y −Hx = g,Fx = Bf},

керуючись пiд час вибору мiнiмаксним критерiєм якостi.9 За символами F ,H збережено той самий змiст, що i у §2.3.1

45

Означення 2.3.2. Оцiнку (x), що знаходиться з умови

supx∈X|`(x)− (x)| = inf

x∈Xsupx∈X|`(x)− `(x)|

називають мiнiмаксною апостерiорною оцiнкою виразу `(x). Число

σdef= sup

x∈X|`(x)− (x)|

називають мiнiмаксною апостерiорною похибкою оцiнювання.

Згiдно формули (3.19)

Fdef={` ∈ R (F ′) + R (H∗)}

тобто ` ∈ F тодi i лише тодi, коли знайдуться uk, zk, що задовольнятимуть

лiнiйне дескрипторне рiзницеве рiвняння

F ′kzk = C ′kzk+1 + `k − Hkuk, F′N+1zN+1 = `N+1.

Справедлива

Теорема 2.3.2. Гарантована похибка оцiнювання для функцiї (`|x)En

скiнченна лише тодi коли ` ∈ F . Для ` ∈ F гарантована похибка має вигляд

σ(x) = supx∈X|`(x)− `(x)| = 1

2[s(`|X) + s(−`|X)] + |`(x)− 1

2[s(`|X)− s(−`|X)]|,

мiнiмаксна апостерiорна оцiнка дається виразом

(x) =1

2[s(`|X)− s(−`|X)].

При цьому для мiнiмаксної апостерiорної похибки справедливе представлення

σ =1

2[s(`|X) + s(−`|X)].

Доведення. Помiтимо, що множина X збiгається з множиною X, введеною у

§2.1.2 пiд час доведення теореми 2.1.2, тому для перевiрки справедливостi твер-

дження теореми достатньо повторити мiркування, викладенi пiд час доведення

теореми 2.1.2. Теорему доведено.

462.4. Мiнiмакснi оцiнки для квадратичних обмежень

У цьому пiдроздiлi, спираючись на результати попереднього пiдроздiлу, по-

будовано представлення мiнiмаксних оцiнок у виглядi розв’язкiв деяких систем

лiнiйних дескрипторних рiзницевих рiвнянь (§2.4.1-2.4.2), запропоновано спосiб

рекурентного обчислення апостерiорної оцiнки (§2.4.3), розглянуто чисельнi при-

клади (§2.4.4).

2.4.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки

Припустимо, що множини G ,G2 мають вигляд

Gdef={f : (Q0g0, g0)m +

N∑k=0

(Q1,kfk, fk)m 6 1},

G2

def={R :

N∑k=0

tr Q2,kRk,k 6 1},

де Q0,Q1,k,Q2,k – додатно означенi симетричнi матрицi для кожного натурального

k ∈ [0, N ]. Введемо вектори (pk, zk) як розв’язки системи

F′kzk = C′kzk+1 − H′kQ2,kHkpk + `k, F ′N+1zN+1 = `N+1,

Fk+1pk+1 = Ckpk +BkQ−11,kB′kzk, F0p0 = SQ−1

0 S′z0, k = 0, N.

(2.26)

Теорема 2.4.1. Якщо ` ∈ F , то (2.26) має розв’язки, мiнiмаксна сере-

дньоквадратична оцiнка (`, x) лiнiйної функцiї `(x) =∑N+1

k=0 (`k, xk)n на множинi

розв’язкiв лiнiйного рiзницевого дескрипторного рiвняння

Fk+1xk+1 − Ckxk = Bkfk, F0x0 = Sg0

має вигляд

(`, x) =N∑k=0

(Q2,kHkpk, yk)l

Мiнiмаксна середньоквадратична похибка оцiнювання дається виразом

σ =N+1∑k=0

(`k, pk)n

47Доведення. Введемо блочнi матрицi вигляду Q1 = diag{Q0,Q1,0, . . . ,Q1,N},Q2 = diag{Q2,0, . . . ,Q2,N}. Тодi поставлену задачу в позначеннях § 2.3.1 можна

переформулювати наступним чином

Знайти мiнiмаксну середньоквадратичну оцiнку (`, x) лiнiйної функцiї

`(x) на множинi розв’язкiв Fx = Bf у класi оцiнок u(y), y = Hx+η для випадку

квадратичних обмежень G = {f : (Q1f, f)Em 6 1}, G2 = {R : trQ2R 6 1} на

f,Rη, де Rη – кореляцiйна матриця випадкового вектора η.

По аналогiї з § 2.2.1 можна пересвiдчитись, що для ` ∈ F i лише для них

мiнiмаксна оцiнка u iснує i має вигляд

(`, x) = (u, y)l, u = Q2Hp,

а мiнiмаксна середньоквадратична похибка оцiнювання дається виразом

supx,Rη

M[(`, x)n − (`, x)]2 = (`, p)En,

де p знаходиться з системи

Fp = BQ−11B∗z,

F ′z = `−H∗Q2Hp.(2.27)

Обчислимо матрицi операторiв F ′,BQ−11B∗,H∗Q2H у базисах вiдповiдних про-

сторiв. Прямим пiдрахунком знаходимо, що операторовi F ′ вiдповiдає матриця

F ′0 −C ′0 0 0 ... 0 00 F ′1 −C ′1 0 ... 0 0... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... F ′N −C ′N0 0 0 0 ... 0 F ′N+1

(2.28)

матриця оператора H∗Q2H має вигляд

H ′0Q2,0H0 0 ... 0 00 H ′1Q2,1H1 ... 0 0... ... ... ...0 0 ... H ′NQ2,NHN 00 0 ... 0 0

(2.29)

операторовi BQ−11B∗ вiдповiдає матриця

SQ−10 S′ 0 ... 0

0 B0Q−11,0B0 ... 0

... ... ... ...0 0 ... BNQ−11,NB′N

48Оскiльки z ∈ Em

N+2, то z = (z0, . . . , zN+1), zk ∈ Rm. Вiдповiдно p = (p0, . . . , pN+1)

i pk ∈ Rn. Тодi рiвняння F ′z = ` − H∗Q2Hp у по-компонентному виглядi запи-

шеться як

F′kzk − C′kzk+1 = `k − H′kQ2,kHkpk, F ′N+1zN+1 = `N+1, k = 0, N

Вiдповiдно

Fk+1pk+1 − Ckpk = BkQ−11,k

B′kzk, F0p0 = SQ−10 S

′z0, k = 0, N

є записом рiвняння Fp = BQ−11B∗z у по-компонентному виглядi. Похибка матиме

наступний вигляд σ = (`, p)En =∑N+1

k=0 (`k, pk)n. Теорему доведено.

2.4.2. Апостерiорнi оцiнки

Припустимо, що множина G має наступний вигляд

Gdef={(f, v) : (Q0g0, g0)m +

N∑k=0

{(Q1,kfk, fk)m + (Q2,kvk, vk)l 6 1},

де Q0,Q1,k,Q2,k означено як у § 2.3.1. Введемо вектори (pk, xk) як розв’язки си-

стеми

Fk+1xk+1 = Ckxk +BkQ−11,kB′kpk, F0x0 = SQ−1

0 S′p0,

F′kpk = C′kpk+1 + H′kQ2,k(yk − Hkxk), F ′N+1pN+1 = 0, k = 0, N

(2.30)

Теорема 2.4.2. Для ` ∈ F i лише для них мiнiмаксна апостерiорна оцiн-

ка (`, x) лiнiйної функцiї `(x) =∑N+1

k=0 (`k, xk)n на множинi розв’язкiв лiнiйного

рiзницевого дескрипторного рiвняння

Fk+1xk+1 − Ckxk = Bkfk, F0x0 = Sg0

має вигляд

(`, x) =N+1∑k=0

(`k, xk)l =N∑k=0

(Q2,kHkpk, yk)l

Мiнiмаксна апостерiорна похибка оцiнювання дається виразом

σ =[1−

N∑k=0

(yk − Hkxk,Q2,kyk)l] 1

2(N+1∑k=0

(`k, pk)l) 1

2 ,

де pk знаходиться з (2.26).

49Доведення. Введемо блочнi матрицi вигляду Q1 = diag{Q0,Q1,0, . . . ,Q1,N},Q2 = diag{Q2,0, . . . ,Q2,N}. Тодi поставлену задачу в позначеннях § 2.3.2 можна

переформулювати наступним чином

Знайти мiнiмаксну апостерiорну оцiнку (`, x) лiнiйної функцiї `(x) на

множинi розв’язкiв Fx = Bf у класi оцiнок `(x), x ∈ X для випадку квадрати-

чних обмежень G = {(f, v) : (Q1f, f)Em + (Q2v, v)El 6 1} на f, v.По аналогiї з § 2.2.2 можна пересвiдчитись, що для ` ∈ F i лише для них

мiнiмаксна оцiнка лiнiйної форми `(x), ` ∈ F = {` = F ′z +H∗u} на розв’язках

рiвняння Fx = Bf має вигляд(x) = (`, x)En = (Q2Hp, y)El.

Похибка оцiнювання дається виразом

σ = [1− (y −Hx,Q2y)El]12 (`, p)

12

En,

де p знаходиться з системи (2.27), x знаходиться з системи

F x = BQ−11B∗p,

F ′p = H∗Q2(y −Hx).

Беручи до уваги доведення теореми 2.4.1 легко переконатись, що остання система

еквiвалентна (2.30). Теорему доведено.

2.4.3. Мiнiмаксна фiльтрацiя у дискретних системах

Припустимо, що вектор xk ∈ Rn задовольняє лiнiйне рiзницеве дескриптор-

не рiвняння вигляду

Fk+1xk+1 − Ckxk = fk, k = 0, N − 1, F0x0 = g0, (2.31)

i, водночас, для кожного k ∈ [0, N ] спостерiгається реалiзацiя вектора yk ∈ Rl

вигляду

yk = Hkxk + vk, (2.32)

а обмеження на g0, fk, vk задано у виглядi

Gdef={(f, v) : (Q0g0, g0)m +

N−1∑k=0

{(Q1,kfk, fk)m +N∑k=0

(Q2,kvk, vk)l 6 1},

50де Q0,Q1,k,Q2,k означено як у § 2.3.1.

Нижче за деяких умов на вигляд матриць Fk, Hk буде запропоновано спосiб

рекурентного обчислення мiнiмаксної апостерiорної оцiнки скалярного добутку

(a, xN)n.

Теорема 2.4.3. Якщо при кожному k матриця FkHk

має лiнiйно незале-

жнi стовпчики, то для довiльного a ∈ Rn мiнiмаксна апостерiорна оцiнка ска-

лярного добутку (a, xN)n для деякого розв’язку лiнiйного дескрипторного рiзни-

цевого рiвняння (2.31) має вигляд

(a, xN)n = (a, xN |N)n,

де xk|k обчислюється за допомогою алгоритму

xk|k = Pk|kF′k(Q

−11,k−1 + Ck−1Pk−1|k−1C

′k−1)

−1Ck−1xk−1|k−1 + Pk|kH′kQ2,kyk,

Pk|k =(F′k(Q

−11,k−1 + Ck−1Pk−1|k−1C

′k−1)

−1Fk + H′kQ2,kHk

)−1,

P0|0 = (F ′0Q0F0 +H ′0Q2,0H0)−1, x0|0 = P0|0H

′0Q2,0y0,

(2.33)

Доведення. Ми можемо звести задачу мiнiмаксного оцiнювання для (2.31) до

еквiвалентної задачi оцiнювання розв’язкiв лiнiйного алгебраїчного рiвняння

Fx = f,

за спостереженнями

y = Hx+ v,

для випадку квадратичних обмежень

G = {(f, v) : (Q1f, f)Em + (Q2v, v)El 6 1}

Дiйсно, для цього достатньо покласти ` def=0...a,x =

x0...xN

, f def=

g0f0...

fN−1

, vdef=(v0, . . . , vN),

Q1 = diag{Q0,Q1,0, . . . ,Q1,N−1}, Q2 = diag{Q2,0, . . . ,Q2,N}

F def=

F0 0 0 ... 0 0−C0 F1 0 ... 0 00 −C1 F2 ... 0 0... ... ... ... ...0 0 0 ... −CN−1 FN

,H def=

H0 0 ... 00 H1 ... 0... ... ...0 0 ... HN

51

Згiдно теореми 2.2.2 мiнiмаксна апостерiорна оцiнка (x) лiнiйної форми (`, x)n,

` ∈ F = {` = F ′z + H∗u} на розв’язках рiвняння Fx = f має вигляд (x) =

(`, x)n, де x знаходиться з системи

F x = Q−11p,

F ′p = H∗Q2(y −Hx).(2.34)

З умови теореми легко вивести, що F збiгається з усiм простором EnN+1. Дiйсно,

i-й рядок матрицi (F ′,H∗) має вигляд

0 ... F ′i−1 −C ′i−1 0 ... 0 ... 0 H ′i−1 ... 0

звiдки [75] i з того, що матриця (F′k,H′k) має лiнiйно незалежнi рядки, одержимо

лiнiйну незалежнiсть рядкiв матрицi (F ′,H∗). Отже, оцiнка iснує для довiльного

`. Легко переконатись, враховуючи (2.34), що x є розв’язком задачi безумовної

оптимiзацiї

(Q1Fx,Fx)Em + (Q2(y −Hx), y −Hx)El → minx

Остання з урахуванням вигляду x, y,Q1,F ,H може бути подана у еквiвалентно-

му виглядi

(Q0F0x0, F0x0)m +N−1∑k=0

(Q1,k(Fk+1xk+1 − Ckxk),Fk+1xk+1 − Ckxk)m+

N∑k=0

(Q2,k(yk − Hkxk), yk − Hkxk)l → minx0,...,xN

абоN∑k=0

‖Fkxk − Ck−1xk−1‖2Sk + ‖yk − Hkxk‖2Q2,k→ min

x0,...,xN(∗)

де покладено x−1 = 0, S0def= Q0, Sk+1

def= Q1,k. У [38] показано, що вектори

{x0|0, . . . , xN,N}, обчисленi згiдно (2.33), дають розв’язок (∗). Теорему доведено.

Наслiдок 2.4.1. Якщо при кожному k матриця Fk має оберенену, то

для довiльного ` ∈ Rn мiнiмаксна апостерiорна оцiнка скалярного добутку

(`, xN)n має вигляд(`, xN)n = (`, xN |N)n,

522.4.4. Приклади

Наведемо приклади застосування теореми 2.4.3 для стацiонарних лiнiйних

рiзницевих дескрипторних рiвнянь. Покладемо

m = 2, n = 3, l = 4, N = 200

i нехай початкове значення має вигляд g0 =2

1494

149

, а структура системи визначає-

ться матрицями Fk = 1 0 00 1 0 ,

Ck ≡ C =140 0.5 0

0.1 14

310

,Hk ≡ H =0.6 0.96 20.001 2.3 0.61 0.1 10 0 0.23

У цьому випадку рiвняння стану та спостереження запишуться у виглядi

x1,k+1 =1

40x1,k + 0.5x2,k + f1,k,

x2,k+1 = 0.1x1,k +1

4x2,k +

3

10x3,k + f2,k,

y1,k = 0.6x1,k + 0.96x2,k + 2x3,k + v1,k,

y2,k = 0.001x1,k + 2.3x2,k + 0.6x3,k + v2,k,

y3,k = x1,k + 0.1x2,k + x3,k + v3,k,

y4,k = 0.23x3,k + v4,k,

Виберемо вектори fk та vk з умови

(g0, g0) +N−1∑k=0

(fk, fk) +N∑k=0

(vk, vk) 6 1

На малюнку 2.1 зображено графiки функцiй k 7→ ‖fk‖, k 7→ ‖vk‖; малюнок 2.2

демонструє результати порiвнянь промодельованого вектору стану xk (жовтий

колiр) та його мiнiмаксної оцiнки xk (синiй колiр) Як видно з малюнку 2.2, най-

кращим чином апроксимується друга компонента вектора стану системи, в той

час як для (довiльної!) третьої компоненти x3,k майже скрiзь має мiсце нерiвнiсть

x3,k > x3,k, водночас для x1,k майже скрiзь x1,k > x1,k.

53

Рис. 2.1: Норми збурень та шумiв.

54

Рис. 2.2: Зображення промодельованої (Simulated) та одержаної в результатi мiнiмаксної фiль-

трацiї (Minmax) траєкторiй xk, xk.

552.5. Висновки до 2-го роздiлу

У 2-му роздiлi дисертацiйної роботи для лiнiйних дескрипторних рiзнице-

вих рiвнянь

• сформульовано постановки задач мiнiмаксного спостереження;

• запропоновано (§2.3.1-2.3.2) новi означення мiнiмаксних апрiорних та апо-

стерiорних оцiнок;

• доведено теореми iснування i єдиностi мiнiмаксних апрiорних середньоква-

дратичних та апостерiорних оцiнок для опуклих компактних обмежень на

невизначеностi; описано клас лiнiйних функцiй F , для елементiв якого i

лише для них гарантована похибка оцiнювання набуває скiнченних значень;

• для квадратичних обмежень (§2.4) доведено, що для функцiй з класу F

завжди iснує єдина оцiнка, яка може бути подана у виглядi розв’язку си-

стеми лiнiйних дескрипторних рiвнянь з дискретним часом; запропоновано

рекурентну процедуру обчислення апостерiорної мiнiмаксної оцiнки, що є

аналогом дискретного фiльтру Калмана.

Результати, одержанi у цьому роздiлi, узгоджуються з вiдомими для регуляр-

ного випадку [54, 55]. Запропонованi означення удосконалюють та розширюють

iснуючi на випадок ЛДС з дискретним часом. Спосiб вiдшукання оцiнок є новим.

Його основна iдея знайшла своє вiдображення у означеннi оцiнок.

56

РОЗДIЛ 3

МIНIМАКСНI ЗАДАЧI СПОСТЕРЕЖЕННЯ

ДЛЯ ЛIНIЙНИХ ДЕСКРИПТОРНИХ

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ

У цьому роздiлi окреслюється клас дослiджуваних систем, дається опе-

раторна iнтерпретацiя ЛДС, в термiнах якої формулюється постановка задачi

мiнiмаксного спостереження для лiнiйних дескрипторних диференцiальних рiв-

нянь i вводяться новi означення мiнiмаксних оцiнок. Методами опуклого аналiзу

та теорiї лiнiйних необмежених операторiв розробляється математичний апарат,

на основi якого проводиться дослiдження задачi мiнiмаксного оцiнювання лiнiй-

них обмежених функцiоналiв на множинi розв’язкiв ЛДС для випадку опуклих

слабко компактних обмежень на невiдомi початкову умову, праву частину i по-

хибку вимiрювання, будуються рiзнi представлення апрiорних та апостерiорних

оцiнок. Разом iз тим розглянуто мiнiмаксне оцiнювання бiльш загальних лiнiй-

них функцiоналiв, запропоновано представлення мiнiмаксних оцiнок у виглядi

мiнiмаксного фiльтру.

573.1. Лiнiйнi дескрипторнi системи з позицiй теорiї замкне-

них лiнiйних операторiв

У цьому пiдроздiлi описано спосiб визначення розв’язку лiнiйного дескри-

пторного диференцiального рiвняння, заснований на iдеях операторного пiдходу

в спецiальних просторах Гiльберта, встановлено замкненiсть та щiльна визначе-

нiсть оператора системи i побудовано спряжений оператор.

Введемо додатковi позначення. Символом L2

([a, c],Rn

)будемо позначати

гiльбертовий простiр, елементами якого є усi можливi класи еквiвалентних (тоб-

то майже скрiзь рiвних мiж собою вiдносно мiри Лебега) функцiй t 7→ x (t) зi

значеннями у Rn, для яких на скiнченному промiжку [a, c] виконано умову∫ c

a

|x (t)|2Rn dt =

∫ c

a

n∑k=1

x2k(t) dt <∞.

Скалярний добуток 〈 ·, ·〉n2у L2

([a, c],Rn

)задається формулою

〈 f, g〉n2

def=

∫ c

a

(f(t), g(t))n dt =

∫ c

a

n∑k=1

fk(t)gk(t) dt .

Позначимо через A([a, b],Rn

)сукупнiсть усiх вектор-функцiй t 7→ x (t) ∈ Rn, аб-

солютно неперервних на промiжку [a, c]. Нагадаємо, що для кожної вектор-

функцiї x ∈ A([a, b],Rn

)майже скрiзь 1 на [a, c] iснує похiдна x (або d

dt x) у

тому розумiннi, що

limh→t

∣∣∣∣x(h)− x (t)

h− t− x(t)

∣∣∣∣Rn

= 0,

причому ∫ c

a

|x(t)|Rn dt <∞

i має мiсце векторний аналог формули Ньютона-Лейбнiца

x(c)− x(a) =

∫ c

a

x(t) dt .

Сукупнiсть тих вектор-функцiй x з A([a, b],Rn

), для яких виконуються умови∫ c

a

|x (t)|2Rn dt <∞,∫ c

a

|x(t)|2Rn dt <∞

1 Тобто для всiх точок t ∈ [a, c] за виключенням хiба що множини лебегової мiри нуль

58позначимо символом W1

2

([a, c],Rn

). Вектор-функцiю g ∈ W1

2

([a, c],Rn

)отото-

жнимо з класом g, утвореним вектор-функцiями, кожна з яких майже скрiзь на

[a, c] набуває тих самих значень, що i g. Пiсля цього W1

2

([a, c],Rn

)стає власною

лiнiйною пiдмножиною простору L2

([a, c],Rn

). Покладемо

W1

2,0

([a, c],Rn

) def={x ∈W1

2

([a, c],Rn

): x(a) = 0},

W1,0

2

([a, c],Rn

) def={x ∈W1

2

([a, c],Rn

): x(c) = 0}

Множини вектор-функцiй з простору L2

([a, c],Rm

), що володiють тими самими

властивостями, позначимо символами W1

2,0

([a, c],Rm

)та W1,0

2

([a, c],Rm

)вiдповiд-

но. Для деякої m × n-матрицi F = {Fi,j}m,ni,j=1 та x ∈ L2

([a, c],Rn

)символом Fx

будемо позначати елемент простору L2

([a, c],Rm

)– вектор-функцiю

Fx = (z1, . . . , zm), zi =n∑k=1

Fi,kxk.

Символом W1

2,F

([a, c],Rn

)позначимо сукупнiсть усiх таких x ∈ L2

([a, c],Rn

), для

кожного з яких Fx ∈ W1

2

([a, c],Rm

). Очевидно, W1

2

([a, c],Rn

)⊂ W1

2,F

([a, c],Rn

),

вiдтак clW1

2,F

([a, c],Rn

)= L2

([a, c],Rn

), де через cl позначено операцiю замикан-

ня. Легко збагнути, що W1

2,E

([a, c],Rn

)= W1

2

([a, c],Rn

)для одиничної матрицi E

порядку n. По аналогiї визначимо множину W1,F′2

([a, c],Rm

)як сукупнiсть усiх

z ∈ L2

([a, c],Rm

), для яких F′z ∈W1

2

([a, c],Rn

).

Для оператора A : H1 → H2, що дiє з гiльбертового простору H1 у гiль-

бертовий простiр H2, символом D (A ) будемо позначати область визначення

A , через R (A ) та N (A ) – множину значень та ядро оператора A . Графiк

{(x, Lx)|x ∈ D (L)} щiльно визначеного замкненого лiнiйного оператора L по-

значимо через GL. Вiдомо, що G⊥L = {(−L∗z, z)|z ∈ D (L∗)} – обернений графiк

спряженого2 оператора L∗.

Символом δ(·|G ) позначимо iндикаторну функцiю множини G , нехай s(·|G ) –

опорна функцiя G , ефективну множину {z ∈ H2 : f(z) < ∞} та надграфiк

{(z, µ) : µ > f(z)} функцiоналу f ми будемо позначати символами dom f , epi f

2Означення спряженого до необмеженого лiнiйного оператора, прийняте у дисертацiї, обговорюється нижче

у цьому пiдроздiлi.

59вiдповiдно. Для функцiональних просторiв ми будемо послуговуватися термiна-

ми опорний (iндикаторний) функцiонал.

Припустимо, що на [a, c] динамiка дослiджуваної системи описується лiнiй-

ним диференцiальним рiвнянням

d

dtFx− C(t)x (t) = f(t), (3.1)

де F – m×n-матриця, C(t) – m×n-матриця з неперервними на [a, c] елементами,

t 7→ f(t) ∈ Rm – деяка вектор-функцiя з L2

([a, c],Rm

). Нехай також для деякого

f0 ∈ Rm виконано умову

Fx(a) = f0 (3.2)

Вiдомо [49, c.24], що для випадку F = E розв’язком3(3.1) з початковою умовою

(3.2) вважають вектор-функцiю x, яка задовольняє iнтегральне рiвняння Воль-

терра другого роду

x (t) = f0 +

∫ t

a

C(s)x(s) + f(s) ds .

Рiвняння такого типу має єдиний розв’язок x у класi абсолютно неперервних

вектор-функцiй W1

2

([a, c],Rn

), причому x майже скрiзь задовольняє (3.1). З’я-

суємо, що ми будемо розумiти пiд розв’язком (3.1)-(3.2) у випадку довiльної

сталої прямокутної матрицi F . Для цього скористаємось методами теорiї нео-

бмежених лiнiйних операторiв [76, 77]. Введемо лiнiйний оператор x 7→ Lx ∈L2

([a, c],Rm

)× Rm, що задається за допомогою спiввiдношень

D (L)def={x ∈ L2

([a, c],Rn

): Fx ∈W1

2

([a, c],Rm

)} = W1

2,F

([a, c],Rn

),

Lx def=(

d

dtFx(t),Fx(a)), x ∈ D (L).

Символом C позначимо лiнiйний оператор x 7→ Cx ∈ L2

([a, c],Rm

)× Rm, визна-

чений на D (C) def= L2

([a, c],Rn

)згiдно правила

Cx def=(−C(t)x (t), 0), x ∈ L2

([a, c],Rn

).

Покладемо D := (L+ C). Зрозумiло, що D (D) = D (L) i

Dx def=( d

dtFx (t)− C(t)x (t),Fx(a)

), x ∈W1

2,F

([a, c],Rn

).

3Розв’язок (3.1)-(3.2).

60

Нехай f def=(f, f0) ∈ L2

([a, c],Rm

)×Rm. Пiд розв’язком (3.1)- (3.2) будемо розумiти

елемент x множини W1

2,F

([a, c],Rn

), що задовольняє операторне рiвняння

Dx = f . (3.3)

Обговорення. ОператорD означено подiбно до того, як це було зроблено в робо-

тах С.Г.Крейна у випадку крайових задач для лiнiйних диференцiальних рiвнянь

n-порядку. Як це випливає з структури введеного операторного рiвняння вектор-

функцiя x з простору L2

([a, c],Rn

)належить множинi розв’язкiв (3.1)-(3.2) при

фiксованих початковiй умовi f0 та правiй частинi f , якщо вектор-функцiя Fx

абсолютно неперервна, має похiдну класу L2

([a, c],Rm

), яка майже скрiзь задо-

вольняє (3.1), i виконано (3.2). Вiдмiтимо, що запропоноване означення розв’яз-

ку (3.1)-(3.2) узгоджується з роботами Г.О.Курiної [28] та О.I.Костюкової [31] i

дозволяє уникнути припущень про iснування перетворення, за допомогою яко-

го вихiдне дескрипторне рiвняння (3.1) може бути розщеплено на алгебраїчну

та диференцiальну складовi. Це дозволяє позбутися суттєвих обмежень [11]-[18],

[19, 24, 39]- структури матриць (3.1) та вимог достатньої гладкостi правої части-

ни [14], що в свою чергу дозволяє вивчати задачi мiнiмаксного оцiнювання лiнiй-

них функцiоналiв на множинi розв’язкiв широкого класу лiнiйних дескрипторних

диференцiальних "непричинних"(non-casual descriptor systems) [32] систем, який

мiстить в собi клас "регулярних"систем.

Сформулюємо у виглядi леми необхiднi та достатнi умови розв’язностi (3.3).

Лема 3.1.1. Наступнi твердження еквiвалентнi

1) x – розв’язок задачi оптимiзацiї∥∥Dx− f∥∥2Lm2→ inf

x

2) x – розв’язок (3.3) при f = gdef= pr(f , cl R (D))

3) x – розв’язок варiацiйної рiвностi

〈Dx− f ,Dv〉Lm2 ×Rm = 0, ∀v ∈ D (L)

61Доведення. Нам достатньо показати еквiвалентнiсть 1) та 3), що ми i зробимо,

спираючись на [78, с.116,теор.18.1].

1)⇒ 3). Символом g позначимо проекцiю вектора f на множину cl R (D).

Тодi Dx = g i, очевидно,

Dx− g ⊥ cl R (D)

3)⇒ 1). Беручи до уваги той факт, що f − g ⊥ cl R (D), легко одержати,

що x є розв’язком варiацiйної рiвностi

〈Dx− g,Dv〉Lm2 ×Rm = 0 ∀v ∈ D (L), (∗)

звiдки (Dx−g) ∈ cl R (D), вiдтак у R (D) знайдеться послiдовнiсть векторiв Dvn,що збiгається до (Dx− g). Згiдно (∗)

lim 〈Dx− g,Dvn〉Lm2 ×Rm = 0

З iншого боку

lim 〈Dx− g,Dvn〉Lm2 ×Rm = ‖Dx− g‖2L2m×Rm,

тому Dx = g. Лему доведено.

Зупинимось бiльш докладно на властивостях операторiв D та D∗.

Замкненiсть D. Символом ddtF позначимо оператор

x 7→ d

dtFx ∈ L2

([a, c],Rm

),

що дiє з D ( ddtF)

def= W1

2,F

([a, c],Rn

)за правилом

d

dtFx

def=

d

dtFx(t)

По аналогiї означимо оператор

z 7→ − d

dtF′z = − d

dtF′z,

визначений на D (− ddtF′)

def= W1,F′

2

([a, c],Rm

).

Лема 3.1.2. Кожен з операторiв ddtF,−

ddtF′ замкнений.

62Доведення. Розглянемо спочатку оператор d

dtF. Нехай {xn} – довiльна послi-

довнiсть вектор-функцiй з D ( ddtF), що задовольняє умови:

1) послiдовнiсть {xn} збiгається до x у L2

([a, c],Rn

),

2) послiдовнiсть { ddtFxn} збiгається до z у L2

([a, c],Rm

).

Як це вiдомо з лiтератури [76, c.17] оператор ddtF замкнений лише тодi, коли

одночасне виконання умов 1)-2) спричиняється до того, що x ∈ D ( ddtF) i d

dtFx =

z. Покажемо це. Покладемо pndef= Fxn. Тодi

pn(t) = pn(a) +

∫ t

a

d

dtpn ds, a 6 t 6 c,∫ c

a

| ddtpn(t)− z(t)|2Rm dt −−−→

n→∞0.

(3.4)

Згiдно нерiвностi Кошi-Буняковського [79, c.52] для довiльного t ∈ [a, c](∫ t

a

(d

dtpn,i(s)− zi(s)) ds

)2

6 (t− a)

∫ c

a

(d

dtpn,i(s)− zi(s))

2 ds,

звiдки ∣∣∣∣∫ t

a

(d

dtpn − z)(s) ds

∣∣∣∣2Rm

=m∑i=1

(∫ t

a

(d

dtpn,i(s)− zi(s)) ds

)26

(c− a)

∫ c

a

| ddtpn − z|2Rm ds −−−→

n→∞0.

Тому∫ taddt pn ds −−−→

n→∞

∫ ta z ds рiвномiрно по t ∈ [a, c]. Покажемо, що послiдовнiсть

{pn(a)} збiжна. Справдi, ‖xn− xm‖Ln2 → 0 при m,n→∞ згiдно умови 1), вiдтак

‖pn − pm‖Lm2 → 0 при m,n → ∞, тому, враховуючи представлення (3.4), будемо

мати (T def= c− a)

T|pn(a)− pm(a)|Rm 6∫ c

a

|∫ t

a

d

dt(pn − pm) ds |Rm dt +

∫ c

a

|pn − pm|Rm dt 6

√T‖pn − pm‖Lm2 + T( sup

t∈[a,c]|∫ t

a

d

dtpn ds−

∫ t

a

d

dtpm ds |Rm) −−−−→

n,m→∞0.

Покладемо p0(t)def= limn→∞ pn(a) +

∫ ta z ds. Тодi

supt∈[a,c]

|pn(t)− p0(t)|Rm 6 |pn(a)− p0(a)|Rm + supt∈[a,c]

|∫ t

a

(d

dtpn − z) ds |Rm −−−→

n→∞0,

63

тому Fxn −−−→n→∞

p0 рiвномiрно по t ∈ [a, c]. З iншого боку,∥∥Fxn − Fx

∥∥2Lm2−−−→n→∞

0.

Отже

Fx(t) = limn→∞

pn(a) +

∫ t

a

z ds,

вiдтак x ∈ D ( ddtF) i d

dtFx = z. Замкненiсть − ddtF′ перевiряється аналогiчно. Лему

доведено.

Наслiдок 3.1.1. Лiнiйний многовид W1

2,F

([a, c],Rn

)є гiльбертовим про-

стором вiдносно норми

‖x‖2ddtF

def= ‖x‖2Ln2 + ‖ d

dtFx‖2Lm2 .

Доведення. Справедливiсть твердження наслiдку безпосередньо випливає ле-

ми 3.1.2 та критерiю замкненостi оператора [76, c.19].

Наслiдок 3.1.2. Оператор L замкнений.

Доведення. Нехай {xn} – довiльна послiдовнiсть вектор-функцiй з D (L), що

задовольняє умови

1)

∫ c

a

|xn − x|2Rn dt −−−→n→∞

0; 2) |Fxn(a)− z0|2Rm +

∫ c

a

| ddt

Fxn − z|2Rm dt −−−→n→∞

0

Одразу ж помiчаємо, що одночасне виконання умов 1)-2) та доведена у ле-

мi 3.1.2 замкненiсть ddtF забезпечує включення x ∈ D (L) та виконання рiвно-

стi ddtFx = z. Так само як i пiд час доведення леми 3.1.2 переконуємось, що

Fx(t) = limn→∞ Fxn(a) +∫ ta z ds. Iз 2) знаходимо, що Fx(a) = z0. Таким чином,

Lx = [ ddtFx,Fx(a)] = [z, z0]. Наслiдок доведено.

Наслiдок 3.1.3. Лiнiйний многовид W1

2,F

([a, c],Rn

)є гiльбертовим про-

стором вiдносно норми графiка ‖ · ‖L оператора L:

‖x‖2Ldef=∥∥x∥∥2

Ln2+ |Fx(a)|2Rn +

∥∥ d

dtFx∥∥2

Lm2

Наслiдок 3.1.4. D – щiльно визначений замкнений оператор.

64Доведення. Iз неперервностi матрицi C(t) та оцiнки

∥∥Cx∥∥2Lm2

=

∫ c

a

(C(t)x (t),C(t)x (t))Rm dt 6 maxt∈[a,c]

(∑ij

c2ij(t)

) 12 ∥∥x∥∥2

Ln2

випливає обмеженiсть лiнiйного оператора C. Вiдомо [80, c.209], що оператор L+Cзамкнений, якщо C обмежений, L замкнений. Тому, замкненiсть D випливає з

наслiдку 3.1.2. Наслiдок доведено.

Спряжений оператор D∗. Пiд спряженим до лiнiйного щiльно визначе-

ного оператора L, що дiє з пiдмножини D (L) гiльбертового простору H1 у гiль-

бертовий простiр H2 ми розумiємо (див. означення 10.1 на сторiнцi 39 моногра-

фiї [76]) лiнiйний замкнений оператор L∗, множина визначення якого D (L∗) ⊆ H2

складається з усiх таких g ∈ H2, для кожного з яких знайдеться таке h ∈ H1, що

(Lx, g)H1= (x, h)

для всiх x ∈ D (L); при цьому дiя оператора L∗ на елемент g ∈ D (L∗) визначає-

ться як L∗g def= h.

Символом ddtFa позначимо звуження4 оператора d

dtF на множину

D (d

dtFa)

def={x ∈W1

2,F

([a, c],Rn

): Fx(a) = 0},

через − ddtF′c позначимо звуження оператора − d

dtF′ на множину

D (− d

dtF′c)

def={z ∈W1,F′

2

([a, c],Rm

): F′z(c) = 0}

Майже дослiвно вiдтворюючи доведення леми 3.1.2 можна пересвiдчитися, що

оператор ddtFa (− d

dtF′c) замкнений.

Обговорення. Оскiльки множина D ( ddtFa) скрiзь щiльна у L2

([a, c],Rn

), то [76,

c.39] оператор ddtFa має єдиний спряжений ( d

dtFa)∗. На перший погляд ( d

dtFa)∗ =

F′(− ddt), але, як свiдчить наведений нижче приклад, можна стверджувати лише

те, що у загальному випадку оператори −F′ ddt таddtFa спряженi мiж собою.

4 Якщо два оператори A та B з B1 в B2 такi, що D (B) ⊂ D (A ), i Bu = A u ∀u ∈ D (B), то A називає-

ться продовженням або розширенням B, а B – звуженням A .

65Символом T d

dt будемо позначати оператор, що кожнiй вектор-функцiї x ∈ D ( ddt)5

зiставляє вектор-функцiю T ddt x (t), T – довiльна матриця розмiрностi m× n.

Приклад 1.1 Припустимо, що T = ( 1 00 0 ), a = 0, c = 1. Вiдомо, що можна

побудувати дiйсну неперервну на дiйснiй прямiй нiде не диференцiйовану фун-

кцiю f , причому f(0) = 0. Пiдтвердженням цього може служити приклад Ван

дер Вардена

f(x)def=

∞∑n=0

{10nx}10n

, {x} − вiдстань вiд x до найближчого цiлого числа

Оскiльки f – неперервна на сегментi [0, 1], то згiдно теореми Бернштейна фун-

кцiю f можна рiвномiрно по t апроксимувати многочленами Бернштейна

Bn(t)def=

n∑k=0

f(k

n) Ck

n tk (1− t)n−k

Зрозумiло, що вектор функцiя xndef=(

0Bn

)належить областi визначення операто-

ра ddt . Покладемо x def

=(0f

). Тодi∫ 1

0

‖xn − x‖2R2 dt −−−→n→∞

0,

Td

dtxn = 0, n = 1, 2, . . .

Якщо T ddt – замкнений, то згiдно критерiю замкненостi [76, c.17] необхiдно

x ∈ D (T ddt), що суперечить вибору x, бо нiде не диференцiйована функцiя не є

абсолютно неперервною, вiдтак x /∈ D (T ddt). Це означає, що у даному випадку

припущення про замкненiсть оператора T ddt хибне. Водночас, вектор x, як легко

бачити, лежить у множинi визначення оператора ddt T i d

dt Tx = 0.

Зауваження 3.1.1. Помiтимо, що множина W1

2

([a, c],Rn

)може i не

бути гiльбертовим простором вiдносно норми графiка ddtF. Дiйсно, якщо б це

було так, то [76, c.26] звуження ddtF на W1

2

([a, c],Rn

)– замкнений оператор.

З iншого бокуd

dtFx = F (

d

dtx), ∀x ∈W1

2

([a, c],Rn

),

себто F ddt є звуженням d

dtF на W1

2

([a, c],Rn

).

5D ( ddt ) = D ( ddtFa), якщо F – одинична матриця порядку n.

66Зауваження 3.1.2. Сукупнiсть розв’язкiв лiнiйного дескрипторного рiв-

няння (3.1) мiстить як власну пiдмножину всi розв’язки рiвняння

Fx(t) = C(t)x(t) + f(t), Fx(a) = f0

Дослiдимо зв’язок мiж ddtFa та − d

dtF′c.

Лема 3.1.3. ( ddtFa)

∗ = − ddtF′c, (− d

dtF′c)∗ = d

dtFa.

Доведення. Оператори ddtFa, − d

dtF′c спряженi мiж собою. Справдi, оскiльки

D ( ddtFa) ⊂W1

2,F

([a, c],Rn

)i D (− d

dtF′c) ⊂W1,F′

2

([a, c],Rm

), то згiдно формули (3.5)

леми 3.1.4, знаходимо

〈 z, d

dtFax〉Lm2 =

∫ c

a

(z,d

dtFx)m dt =

∫ c

a

(− d

dtF′z, x)m dt = 〈− d

dtF′cz, x〉n2 ,

бо Fx(a) = 0,F′z(b) = 0. Отже D (− ddtF′c) ⊂ D (( d

dtFa)∗) i − d

dtF′c = ( d

dtFa)∗ на

D (− ddtF′c). Нам залишилось показати, що D (( d

dtFa)∗) ⊂ D (− d

dtF′c). Нехай z ∈

D (( ddtFa)

∗). Покладемо f = ( ddtFa)

∗z. Тодi для довiльного x ∈ D ( ddtFa) будемо

мати ∫ c

a

(z (t),d

dtFx(t))m dt = 〈 z, d

dtFax〉Lm2 = 〈 ( d

dtFa)

∗z, x〉Ln2 = 〈 f, x〉n2

(∗)

Очевидно, 〈 f, x〉n2

= 0, як тiльки ddtFax = 0. З iншого боку F(E − F+F)x = 0

для довiльної вектор-функцiї x ∈ L2

([a, c],Rn

), бо F(E − F+F) = F − F. Якщо

x ∈W1

2

([a, c],Rn

), то F(E−F+F)x (t) = 0, тому (E−F+F)x ∈ D ( d

dtFa) i ddtFa(E−

F+F)x = 0 для всiх x ∈W1

2

([a, c],Rn

), звiдки ∀x ∈W1

2

([a, c],Rn

)∫ c

a

(f(t), (E− F+F)x (t))n dt =

∫ c

a

((E− F+F)f(t), x (t))n dt = 0,

вiдтак f = F+Ff , бо множина W1

2

([a, c],Rn

)скрiзь щiльна у L2

([a, c],Rn

). По-

кладемо h(t)def=∫ ct F′+f(s) ds. Тодi∫ c

a

(f(t), x (t))n dt =

∫ c

a

(F′+f(t),Fx (t))m dt =

∫ c

a

(− d

dth(t),Fx(t))m dt

Iнтегруючи по частинах i пригадуючи (∗), одержимо∫ c

a

(z (t),d

dtFx (t))m dt =

∫ c

a

(h(t),d

dtFx (t))m dt ∀x ∈ D (

d

dtFa).

67Це означає, що (z − h) ∈ R ( d

dtFa)⊥ = N (( d

dtFa)∗), тобто для довiльного z ∈

D (( ddtFa)

∗) справедливе представлення

z (t) =

∫ c

t

F′+f(s) ds +p(t)

при деякому p : ( ddtFa)

∗p = 0. Фактично нам залишилось показати, що F ′p ≡ 0,

бо тодi

F′z(t) =

∫ c

t

f(s) ds

вiдтак z ∈W1,0

2

([a, c],Rm

)= D (− d

dtF′c).

Покажемо, що∥∥F ′p∥∥2

Lm2= 0. З цiєю метою виберемо довiльне g ∈ L2

([a, c],Rm

)i покладемо q

def= FF+g, ϕ(t)

def=∫ ta F+q ds. Зрозумiло, що ϕ ∈ W1

2,0

([a, c],Rn

)⊂

D ( ddtFa). Застосовуючи d

dtFa до ϕ, знаходимо

(d

dtFaϕ)(t) =

d

dtF

∫ t

a

F+q ds =d

dt

∫ t

a

FF+FF+g ds = q

майже скрiзь на [a, c], звiдки q ∈ R ( ddtFa), вiдтак∫ c

a

(p(t),FF+g(t))m dt =

∫ c

a

(FF+p(t), g(t))m dt = 0,

для довiльного p ∈ N (( ddtFa)

∗) та всiх g ∈ L2

([a, c],Rm

). Але тодi справедлива

iмплiкацiя

p ∈ N ((d

dtFa)

∗)⇒∥∥FF+p

∥∥2Lm2

= 0⇒∥∥p− FF+p

∥∥2Lm2

=∥∥p∥∥2

Lm2.

Тому∥∥F ′p∥∥2

Lm2=∥∥F ′(E − FF+)p

∥∥2Lm2

=∥∥(F ′ − (FF+F )′)p

∥∥2Lm2

= 0.

Лему доведено.

Наслiдок 3.1.5. Оператор (z, z0) 7→ D∗(z, z0) визначається зi спiввiдно-

шень

D∗(z, z0)(t) = − d

dtF′z (t)− C′(t)z (t), (z, z0) ∈ D (D∗),

D (D∗) = {[z, z0 = F′+

F′z(a) + d], z ∈W1,F′

2

([a, c],Rm

),F′z(c) = 0, F ′d = 0}

Доведення. Вiдомо [79, c.322], що

(L+ C)∗ = L∗ + C∗,

68зокрема, тодi, коли C – обмежений оператор. Тому для знаходження (L + C)∗

достатньо обчислити L∗ та C∗. Легко пересвiдчитися, що

C∗(z, z0)(t) = −C′(t)z (t), D (C∗) = L2

([a, c],Rm

)× Rm

Знайдемо L∗. Символом L позначимо звуження оператора L на множину

D ( ddtFa) = {x ∈ W1

2,F

([a, c],Rn

): Fx(a) = 0}. Тодi [76, c.26,п.7.1] оператор

x 7→ Lx = ( ddt Fx(t), 0) є замкненим i щiльно визначеним, вiдтак iснує [76, c.41]

замкнений щiльно визначений спряжений оператор L∗, причому оператори L∗

та L пов’язанi [80, c.213,з.5.25] спiввiдношенням

D (L∗) ⊂ D (L∗), L∗υ = L∗υ, ∀υ ∈ D (L∗).

Припустимо, що υ def=(z, z0) ∈ D (L∗) i покладемо f = L∗(z, z0). Тодi для довiль-

ного x ∈ D ( ddtFa)

〈 Lx, υ〉Lm2 ×Rm =

∫ c

a

(d

dtFx(t), z (t))Rm dt = 〈x, L∗υ〉n

2= 〈x, f〉n

2⇒∫ c

a

(x (t), f(t))m dt =

∫ c

a

(d

dtFx(t), z (t))m dt,

звiдки z ∈ D (− ddtF′c) i − d

dtF′cz = f , а тому6

D (L∗) ⊂ D (L∗) ⊆ D (− d

dtF′c)× Rm i L∗υ = L∗υ = − d

dtF′cz (∗)

Ми встановили правило, згiдно якого дiє оператор L∗. Тепер зрозумiло, що ∀υ =

(z, z0) ∈ D (L∗)

D∗υ = L∗υ + C∗υ = − d

dtF′z (t)− C′(t)z (t),

чим доведено першу частину наслiдку. Залишилось описати множину визначення

D∗, яка, очевидно, збiгається з D (L∗). Для цього нам знадобиться наступна6 Можна показати, що насправдi D (L∗) = D (− d

dtF′c)×Rm. Дiйсно, нехай υ = (z, z0) ∈ D (− d

dtF′c)×Rm. Для

кожного x ∈ D ( ddtFa) ми можемо записати

〈 Lx, υ〉Lm2 ×Rm =

∫ c

a

(d

dtFx (t), z (t))Rm dt+(Fx(a), z0)Rm = 〈x,− d

dtF′cz〉n2

звiдки видно, що (z, z0) ∈ D (L∗).

69Лема 3.1.4. (формула iнтегрування по частинах) Для довiльних

z ∈W1,F′2

([a, c],Rm

), x ∈W1

2,F

([a, c],Rn

)має мiсце аналог формули iнтегрування

по частинах ∫ c

a

(d

dtFx (t), z (t))Rm dt−

∫ c

a

(x (t),− d

dtF′z (t))Rn dt =

(Fx(c),F′+

F′z(c))Rm − (Fx(a),F′+

F′z(a))Rm

(3.5)

Зафiксуємо υ = (z, z0) ∈ D (L∗). Для всiх x ∈ W1

2,F

([a, c],Rn

)з урахуванням (∗)

ми маємо

〈 Lx, υ〉Lm2 ×Rm =

∫ c

a

(d

dtFx (t), z (t))Rm dt +(Fx(a), z0)Rm = 〈x,− d

dtF′cz〉n2

звiдки i з (3.5) остаточно одержимо

(Fx(a), z0 − F′+

F′z(a))m = 0, ∀x ∈W1

2,F

([a, c],Rn

). (3.6)

Покажемо, що F ′(z0 − F′+F′z(a)) = 0. Справдi, для довiльного q ∈ Rn вектор-

функцiя t 7→ x (t) ≡ q є елементом множини W1

2,F

([a, c],Rn

), вiдтак iз (3.6)

випливає, що (Fq, z0 − F′+F′z(a))m = 0. Отже

(z, z0) ∈ D (L∗)⇒ z ∈ D (− d

dtF′c), F

′(z0 − F′+

F′z(a)) = 0

тобто

D (L∗) ⊂ {[z,F′+F′z(a) + d], z ∈ D (− d

dtF′c), F

′d = 0}.

Покажемо зворотнє включення. Дiйсно, нехай z ∈ D (− ddtF′c), F ′d = 0. Форму-

ла (3.5) справедлива для довiльних x ∈W1

2,F

([a, c],Rn

), z ∈ D (− d

dtF′c), тому∫ c

a

(d

dtFx(t), z (t))m dt = −(Fx(a),F′

+F′z(a))m −

∫ c

a

(x (t),d

dtF′z(t))n dt

вiдтак

〈 Lx, (z,F′+F′z(a) + d)〉Lm2 ×Rm =

∫ c

a

(d

dtFx (t), z (t))m dt +

(Fx(a),F′+

F′z(a) + d)m = (Fx(a),F′+

F′z(a) + d)m − (Fx(a),F′+

F′z(a))m−∫ c

a

(x (t),d

dtF′z(t))n dt = 〈x,− d

dtF′cz〉n2

для всiх x ∈ D (L), тобто вектор ((z,F′+F′z(a) + d), ddt F′bz) лежить у ортогональ-

ному доповненнi графiка оператора L, себто (z,F′+F′z(a)+d) ∈ D (L∗). Наслiдок

доведено.

70Наслiдок 3.1.6. Множина

D (D∗) = {[z, z0 = F′+

F′z(a) + d], z ∈W1,F′

2

([a, c],Rm

),F′z(c) = 0, F ′d = 0}

скрiзь щiльна у L2

([a, c],Rm

)× Rm.

Доведення леми 3.1.4. Нехай z, x обрано як у лемi. Зрозумiло, що для довiль-

ної матрицi G узгодженої розмiрностi GF ′z – абсолютно неперервна. Застосову-

ючи формулу iнтегрування по частинах [50] до абсолютно неперервних вектор-

функцiй F ′+F′z,Fx, знаходимо

(Fx(c),F′+

F′z(c))m − (Fx(a),F′+

F′z(a))m =∫ c

a

(d

dtFx (t),F′

+F′z (t))m dt +

∫ c

a

(Fx(t),d

dt

[F′

+F′z (t)

])m dt .

ddt(W (t)r(t)) = d

dt(W (t))r(t)+W (t) ddt r(t) за правилом диференцiювання добутку,

тому ∫ c

a

(d

dtFx (t),F′

+F′z (t))Rm dt =

∫ c

a

(d

dt[FF+F ]x (t), z (t))Rm dt

i ∫ c

a

(Fx(t),d

dt

[F′

+F′z (t)

])Rm dt =

∫ c

a

(x (t),d

dt

[F ′F ′

+F ′z (t)

])Rm dt

Тепер твердження леми випливає з теореми Пенроуза [81, c.38], яка стверджує,

що G = GG+G. Лему доведено.

Нормальна розв’язнiсть D. Зрозумiло, що для випадку невиродженої ква-

дратної матрицi F множина значень оператора D збiгається з усiм простором

L2

([a, c],Rm

)×Rm. Якщо ж матриця F – квадратна вироджена або прямокутна,

то множина R (D) може бути замкненою або нi.

Приклад 1.1 Покладемо

F =

−1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,C(t) =

1 0 −1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

71Зважаючи на вигляд F легко збагнути, що

D (D) = W1

2

([a, c],R

)× L2

([a, c],R

)× L2

([a, c],R

),

а дiя оператора D на елементи x = [x1, x2, x3] ∈ D (D) описується правилом

(Dx)(t) =

[d

dtFx(t)− C(t)x (t),Fx(a)

]=

[ −x1(t)−x1(t)+x3(t) −x1(a)−x2(t) 0−x1(t) 0−x2(t) 0

]Припустимо, що x є розв’язком рiвняння Dx = 0. Це еквiвалентно тому, що на

[a, c] майже скрiзь виконується

− x1(t)− x1(t) + x3(t) = 0, −x1(a) = 0,

x1(t) = 0, x2(t) = 0,

звiдки негайно випливає, що N (D) = {0}, вiдтак cl R (D∗) = L2([a, c],R3). З

iншого боку, множина R (D∗), як це випливає з наслiдку 3.1.5, має вигляд

{(z1 − z1 − z3,−z2 − z4, z1)|z1 ∈W1,0

2

([a, c],R

), z2,3,4 ∈ L2

([a, c],R

)},

вiдтак R (D∗) $ cl R (D∗), а тому [80, c.335] R (D) $ cl R (D).

Покажемо, що матрицi F,C(t) можна пiдiбрати так, що множина значень

оператора D буде замкненою.

Приклад 1.2 Покладемо

F =

1 0

0 0

,C(t) =

0 0

−1 0

Тодi

D (D) = W1

2

([a, c],R

)× L2

([a, c],R

),

i

Dx =[x1(t) | x1(a)x1(t) | 0

]Припустимо, що (z, z0) – довiльна гранична точка множини R (D), тобто Dxn →(z, z0) для деякої послiдовностi xn елементiв D (D). Останнє еквiвалентно тому,

що

(x1,n(a)− z1,0)2 + z22,0 +

∫ c

a

(x1,n(t)− z1(t))2 + (x1,n(t)− z2(t))2 dt −−−→n→∞

0,

72вiдтак, користуючись замкненiстю оператора максимального диференцiюванняddt

7 знаходимо z2 ∈ W1

2

([a, c],R

)i z2 = z1, тому v = (z2, 0) ∈ D (D) i Dv =[

z2| z2(a)z2| 0

]= (z, z0), себто cl R (D) = R (D) в силу довiльностi (z, z0).

Деякi допомiжнi оператори та їх властивостi. У подальшому нам зна-

добляться деякi оператори, пов’язанi з системою (3.1). А саме, введемо до роз-

гляду оператор x 7→ Hx, визначений на всьому просторi L2

([a, c],Rn

)i дiючий

згiдно правила

Hx(t)def= H(t)x (t),

де H(t) – l × n-матриця з неперервними на сегментi [a, c] елементами. Легко

пересвiдчитись, що H– лiнiйний обмежений оператор i

H∗u(t) = H′(t)u(t).

Символом T позначимо оператор, що задається спiввiдношеннями

D (T )def= D (D∗)× L2

([a, c],Rl

), T [z, z0, u]

def= D∗(z, z0) +H∗u

Лема 3.1.5. T – щiльно визначений замкнений оператор.

Доведення. Покажемо спочатку замкненiсть оператора T . Якщо для деякої

довiльної послiдовностi {(zn, z0n, un)}n∈N з областi визначення оператора T має

мiсце збiжнiсть

(zn, z0n, un)→ [p, r, q]

у просторi L2

([a, c],Rm

)× Rm × L2

([a, c],Rl

)i, водночас,

D∗[zn, z0n] +H∗un → h,

то, скориставшись замкненiстю D∗ та обмеженiстю H∗, знаходимо, що

[p, r] ∈ D (D∗),D∗[zn, z0n]→ D∗[p, r],H∗un → H∗q,7Оператор максимального диференцiювання збiгається з d

dtF при F = E.

73звiдки, згiдно означення множини D (T )

[p, r, q] ∈ D (T ),D∗[zn, z0n] +H∗un → D∗[p, r] +H∗q = h

тобто

T [p, r, q] = h,

Покажемо скрiзь щiльнiсть множини визначення оператора T . Припустимо, що

для деякого вектора [p, r, q] ∈ L2

([a, c],Rm

)×Rm×L2

([a, c],Rl

)виконується умова

〈 p, z〉Lm2 + (r, z0)Rm + 〈 q, u〉Ll2 = 0, ∀(z, z0, u) ∈ D (T ).

Поклавши z = 0, z0 = 0, з попереднього спiввiдношення знаходимо

〈 q, u〉Ll2 = 0, ∀u ∈ L2

([a, c],Rl

)⇒ q = 0.

Тепер залишилось скористатись скрiзь щiльнiстю множини D (D∗) (див. наслi-

док 3.1.6). Лему доведено.

Лема 3.1.6. Оператор T ∗ визначається спiввiдношеннями

D (T ∗) = D (D), T ∗x = (Dx,Hx), x ∈ D (T ∗)

Доведення. Введемо гiльбертовий простiр

H1def= L2

([a, c],Rm

)× Rm × L2

([a, c],Rl

)× L2

([a, c],Rn

)iз скалярним добутком 〈 ·, ·〉H1

. Помiтимо, що оператори T та x 7→ (Dx,Hx) спря-

женi мiж собою. Дiйсно, для x ∈ D (D), υ ∈ D (D∗), u ∈ L2

([a, c],Rl

)виконано

〈D∗υ +H∗u, x〉n2

+ 〈 (υ, u),−(Dx,Hx)〉H1= 0

вiдтак D (D) ⊂ D (T ∗) i

T ∗x = (Dx,Hx), ∀x ∈ D (D).

Покажемо, що D (T ∗) ⊂ D (D). Для цього скористаємось поняттям графiка опе-

ратора [76]. У гiльбертовому просторi H1 оператор T зобразиться своїм графiком

GTdef={(z, z0, u, T (z, z0, u))|(z, z0, u) ∈ D (T )}

74Оператор T замкнений (див. лему 3.1.5), тому [76, c.17] його графiк GT є замкне-

ною пiдмножиною H1, звiдки

H1 = GT⊕

G⊥T ,

де

G⊥T = {(−zp,−z0p,−up, p), p ∈ D (T ∗), T ∗p = (zp, z0p, up)}

Тодi для всiх p ∈ D (T ∗), (z, z0, u) ∈ D (T ) виконується

〈 (z, z0, u,D∗(z, z0) +H∗u), (−zp,−z0p, up, p)〉H1= 0,

звiдки при (z, z0) = (0, 0) для довiльного u ∈ L2

([a, c],Rl

)в силу обмеженостi H

одержимо

〈 u,Hp− up〉Ll2 = 0⇒ up = Hp ∀p ∈ D (T ∗)

вiдтак ∀p ∈ D (T ∗) справджується рiвнiсть

〈 z,−zp〉Lm2 + (z0,−z0p)Rm + 〈D∗(z, z0), p〉n2 = 0, ∀(z, z0) ∈ D (D∗) (3.7)

тому має мiсце включення

{(−zp,−z0p, p), p ∈ D (T ∗), (zp, z0p, up) = T ∗p} ⊂ G⊥D∗

себто p ∈ D (D) i Dp = (zp, z0p). Лему доведено.

Введемо оператор x 7→ T +x = ω, який кожному x з D (T +)def= R (T ) зiставляє

єдиний розв’язок ω задачi оптимiзацiї

‖ω‖2Q−1 = 〈ω, ω〉Q−1 = 〈Q−11υ, υ〉Lm2 ×Rm + 〈Q−1

2u, u〉Ll2 → inf

ω∈{ω:T ω=x}

де символом Q1 (Q2) позначено самоспряжений коректно розв’язний оператор,

що дiє у вiдповiдному гiльбертовому просторi.

Лема 3.1.7. T + – лiнiйний замкнений оператор.

Доведення. Зрозумiло, що T + – лiнiйний оператор. Покажемо замкненiсть T +.

Справдi, нехай xn ∈ D (T +), ωn = T +xn → ω, xn → x. Але тодi T ωn = xn → x

75i ω ∈ D (T ), T ω = x в силу замкненостi T , вiдтак x ∈ D (T +). Оскiльки ωn =

T +xn, то як це випливає з екстремальної властивостi ωn

〈ωn, v − ωn〉Q−1 = 0, ∀v : T v = xn,

звiдки Q−1ωn ⊥ N (T ), вiдтак Q−1ω = limQ−1ωn ⊥ N (T ), але тодi

〈ω, v − ω〉Q−1 = 0, ∀v : T v = x

себто ω = T +x. Лему доведено.

763.2. Мiнiмакснi оцiнки лiнiйних обмежених функцiоналiв,

заданих на множинi розв’язкiв лiнiйного дескриптор-

ного диференцiального рiвняння

У цьому пiдроздiлi сформульовано постановку задачi мiнiмаксного спосте-

реження для лiнiйних дескрипторних диференцiальних рiвнянь (§ 3.2.1), видiле-

но клас функцiоналiв F , елементи якого i лише вони характеризуються скiнчен-

ною мiнiмаксною похибкою, доведено теореми про представлення мiнiмаксних

апрiорних (§ 3.2.2) та апостерiорних (§ 3.2.3) оцiнок в термiнах опорних функцiо-

налiв деяких опуклих множин.

3.2.1. Постановка задачi мiнiмаксного спостереження

Припустимо, що x ∈W1

2,F

([a, c],Rn

)задовольняє умови

d

dtFx(t)− C(t)x (t) = f(t),

Fx(a) = f0

(3.8)

i, водночас, на [a, c] спостерiгається реалiзацiя вектор-функцiї t 7→ y(t) ∈ Rl ви-

гляду

y(t) = H(t)x (t) + η(t), (3.9)

де H(t) – l × n-матриця з неперервними на [a, c] елементами, t 7→ η(t) ∈ Rl –

реалiзацiя l-векторнозначного випадкового процесу з нульовим середнiм та непе-

рервною кореляцiйною функцiєю (t, s) 7→ Rη(t, s) = Mη(t)η′(s).

Ми будемо вважати, що iнформацiя про вигляд правої частини систе-

ми f ∈ L2

([a, c],Rm

), початкової умови f0 ∈ Rm та кореляцiйної функцiї

(t, s) 7→ Rη(t, s) випадкового процесу η є неповною, тобто вiдомостi про невизна-

ченi параметри системи та моделi спостережень – {f0, f},Rη – задаються шляхом

опису обмежень, яким пiдпорядковано цi величини. Формально це означає, що

a-priori задано пiдмножини G ,G2 просторiв L2

([a, c],Rm

)×Rm та8 C(T,Rl∗l) вiд-

8Символом C(T,Rl∗l) позначено банаховий простiр матричнозначних функцiй (t, s) 7→ Rη(t, s), неперервних

на прямокутнику Tdef= [a, c]× [a, c].

77повiдно i виконано включення

fdef=[f, f0] ∈ G , Rη ∈ G2

Обговорення. В умовах вiдсутностi повної iнформацiї вектор-функцiю f мо-

жна вважати (див. [48]) невизначеним збуренням системи (3.8), початковий стан

якої – вектор f0 – може бути довiльним елементом заданої множини. Спiввiдно-

шення (3.9) можна розглядати як процес вимiрювання координат вектора стану

x(t) системи (3.8) в кожен момент часу t ∈ [a, c], причому перебiг згаданого

процесу вiдбувається на тлi зовнiшнього випадкового збурення η з невiдомими

статистичними характеристиками – "шуму"в каналi спостереження.

Перейдемо до формулювання постановки задачi мiнiмаксного спостереження.

Припустимо, що початкове значення та збурення (3.8) можна подати у виглядi

деякого вектора f ∈ G , якому вiдповiдає непорожня множина X (f) розв’яз-

кiв (3.8). Нехай також спостерiгається реалiзацiя y, породжена в силу (3.9) де-

яким x ∈ X (f) та реалiзацiєю випадкового процесу η з кореляцiйною функцiєю

Rη ∈ G2.

Поставимо собi за цiль наблизити значення лiнiйного функцiоналу

`(x)def=

∫ c

a

(`(t), x (t))n dt, ` ∈ L2

([a, c],Rn

)на множинi X (f) за допомогою значень афiнного функцiоналу

uc(y)def=

∫ c

a

(u(t), y(t))l dt +c, u ∈ L2

([a, c],Rl

), c ∈ R. (3.10)

Функцiонал вигляду (3.10) з деякого допустимого класу U` ми будемо назива-

ти оцiнкою. Зважаючи на невизначеностi у (3.8),(3.9), спричиненi вiдсутнiстю

iнформацiї про точний вигляд f0, f,Rη та неоднозначнiстю оператора D, якiстьапроксимацiї функцiоналу ` ∈ F оцiнкою u ∈ Ul ми будемо характеризувати за

допомогою функцiоналу

σ(u, c)def= sup

x,Rη

{M[`(x)− uc(y)]2|Dx ∈ G ,Rη ∈ G2} (3.11)

Значення функцiоналу (3.11) на оцiнцi uc будемо називати гарантованою похиб-

кою оцiнювання.

78Обговорення. Очевидно, для фiксованих uc, ` запропонована характериза-

цiя залежить лише вiд вигляду множин G ,G2 та властивостей оператора D,причому для деяких `, u, c може бути σ(u, c) = +∞, бо, взагалi кажучи,

(див.приклад 3.2.2.1) множина X = {x : Dx ∈ G } не зобов’язана бути обме-

женою. Беручи до уваги сказане, оптимальною оцiнкою функцiоналу ` ∈ F

природно вважати такий функцiонал uc(y), на якому досягається точна нижня

грань множини значень функцiоналу σ.

Означення 3.2.1. Оцiнку uc, що є одним iз розв’язкiв варiацiйної нерiв-

ностi

σ(u, c) 6 supx,Rη

{M[`(x)−uc(y)]2|Dx ∈ G ,Rη ∈ G2} = σ(u, c), u ∈ Ul, c ∈ R (3.12)

називають апрiорною мiнiмаксною середньоквадратичною оцiнкою. Вираз

σdef= inf

u,cσ(u, c)

називають апрiорною мiнiмаксною середньоквадратичною похибкою.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що обчисле-

ння найбiльшого вiдхилення оцiнки uc вiд оцiнюваного виразу `(x) проводиться

на множинi X × G2. Останнє вказує спосiб вiдшукання самої оцiнки: застосува-

ння теорем двоїстостi образiв та прообразiв опуклих функцiй вiдносно лiнiйних

необмежених операторiв (доведених у наступному параграфi). При цьому збере-

жено основну iдею програмного оцiнювання [47, 48, 49], що полягає в обчисленнi

для заданої оцiнки "гарантованого вiдхилення"(середньоквадратичної вiдстанi

при "найгiрших"f,Rη) i його мiнiмiзацiї. Введене означення не використовує та-

кi властивостi оператора системи, як однозначнiсть, нормальна розв’язнiсть, n-

нормальнiсть та d-нормальнiсть, вiдтак може використовуватись пiд час вивче-

ння обернених задач для широкого класу систем, стан яких описується лiнiйним

рiвнянням iз замкненим щiльно визначеним оператором.

Розглянемо iнший iнструмент теорiї мiнiмаксного спостереження – апостерiор-

не оцiнювання. Нехай x ∈ W1

2,F

([a, c],Rn

)задовольняє (3.8) i вiдома реалiзацiя

79вектор-функцiї t 7→ y(t) ∈ Rl вигляду

y(t) = H(t)x (t) + g(t), a 6 t 6 c, (3.13)

де g ∈ L2

([a, c],Rl

)– деякий детермiнований вектор. На вiдмiну вiд попереднього

ми припускаємо, що iнформацiя про сукупнiсть усiх можливих реалiзацiй набо-

ру {f0, f, g} задається у виглядi пiдмножини G простору Rm × L2

([a, c],Rm

)×

L2

([a, c],Rl

). Символом R позначимо оператор, що дiє за правилом

(f0, f, g) 7→ R(f0, f, g) = (f0, f,−g)

i дамо означення мiнiмаксних апостерiорних похибки та оцiнки.

Означення 3.2.2. Множина

Gydef={x ∈ D (D) : (Dx,Hx) ∈ G

def= R(G ) + (0, y)},

називається апостерiорною множиною. Вираз (x), що задовольняє умову

supx∈Gy

|`(x)− (x)| = infx∈Gy

supx∈Gy

|`(x)− `(x)|. (3.14)

називають мiнiмаксною апостерiорною оцiнкою. Число

σdef= σ(`)

def= sup

x∈Gy

|`(x)− (x)|. (3.15)

називають мiнiмаксною апостерiорною похибкою оцiнювання.

Обговорення. Новизна запропонованого означення полягає у тому, що оцiнка

виразу `(x) на вiдмiну вiд [49] шукається у виглядi `(x), де x ∈ {x : (Dx, y−Hx) ∈G } = Gy. Тут множина Gy являє собою альтернативу апостерiорнiй множини [49]

i складається з усiх таких розв’язкiв (3.8), якi тiльки i можуть призвести до появи

заданого вектора y вигляду (3.13). Водночас у даному означеннi збережено основ-

ну iдею позицiйного оцiнювання [47, 48, 49], що полягає в уточненнi гарантованої

похибки у вiдповiдностi до вiдомих результатiв спостережень. Ця iдея вiдбилася

у структурi множини Gy. У загальному випадку прямокутної матрицi F множи-

на Gy може бути необмеженою, що спричиняється до нескiнченностi гарантованої

80похибки для ` ∈ L2

([a, c],Rn

)\ dom s(·|Gy). Звичайно, якщо Gy – обмежена мно-

жина, то dom s(·|Gy) збiгається з усiм простором. У роботах О.Г.Наконечного

показано, що обмеженiсть множини Gy має мiсце, зокрема, тодi, коли оператор

D має обмежений обернений. Можна навести приклади того, що Gy може бути

обмеженою i тодi, коли множина значень оператора D не є замкненою.

Приклад 1.1 Покладемо y(t) = (y1(t), y2(t)), H(t) = {hij(t)}2,3i,j=1,hij –

неперервнi функцiї, нехай

Gdef={(f0, f, g) : f0 = 0, f3 = f4 = 0,

∫ c

a

(f 21 + f 22 ) dt +

∫ c

a

(g21 + g22) dt 6 1},

i

F =

−1 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,C(t) =

1 0 −1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

Тодi, очевидно, N (D) = N (D∗) = {0}, вiдтак cl R (D∗) збiгається з усiм про-

стором. З iншого боку легко встановити, що R (D∗) ⊂ cl R (D∗). Вiдомо, що у

гiльбертовому просторi множина R (D) замкнена одночасно з R (D∗), тому у да-

ному випадку оператор D не є нормально розв’язним.

Водночас множина Gy обмежена, як це випливає з представлення

Gy = {x : (Dx, y −Hx) ∈ G } =

{x : x1 = x2 = 0,

∫ c

a

x23 + (y1 − h1,3x3)2 + (y2 − h2,3x3)2 dt 6 1}

3.2.2. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки

Нижче буде описано клас функцiоналiв F , ефективний9 у тому розумiннi,

що мiнiмаксна оцiнка iснує лише для деякої пiдмножини елементiв F , тобто для

векторiв ` ∈ L2

([a, c],Rn

)\F гарантована похибка оцiнювання нескiнченна для

довiльної оцiнки uc ∈ U`.

Покладемо Xdef={x ∈ D (D) : Dx ∈ G } i покажемо, що виконується

9по аналогiї з множиною ефективних альтернатив в задачах багатокритерiйної оптимiзацiї.

81Лема 3.2.1. Для довiльних ` ∈ L2

([a, c],Rn

), u ∈ L2

([a, c],Rl

)гарантова-

на похибка мiнiмаксного оцiнювання має вигляд

σ(u, c) = supx∈X

[〈 `−H∗u, x〉n2− c]2 + sup

Rη∈G2

c∫a

c∫a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l dt ds (3.16)

Доведення. Обчислимо `(x)− uc(y). Для довiльного x ∈X знаходимо

`(x)− uc(y) =

∫ c

a

(`(t), x (t))n dt−∫ c

a

(u(t), y(t))l dt−c =∫ c

a

(`(t)− H′(t)u(t), x (t))Rn dt−∫ c

a

(u(t), η(t))Rl dt−c =

〈 `−H∗u, x〉n2− 〈 u, η〉Ll2 − c

def= α.

Беручи до уваги вiдоме спiввiдношення Dξ = Mξ2 − (Mξ)2 мiж дисперсiєю

Dξdef= M[ξ − Mξ]2 випадкової величини ξ та її середнiм Mξ, а також той факт,

що Mη = 0, ми можемо записати

M [α] = 〈 `−H∗u, x〉Ln2 − c⇒ M(α−M[α])2 = M〈u, η〉2Ll2 ⇒

M[`(x)− uc(y)]2 = M[α]2 = M〈u, η〉2Ll2 + [〈 `−H∗u, x〉Ln2 − c]2

звiдки, враховуючи рiвнiсть

M 〈 u, η〉2Ll2

= M

(∫ c

a

(u(t), η(t))l dt

∫ c

a

(u(s), η(s))l ds dt

)=∫ c

a

∫ c

a

M(u(t), η(t))l(u(s), η(s))l ds dt =

∫ c

a

∫ c

a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l ds dt

легко вивести (3.16). Лему доведено.

У випадку квадратної невиродженої матрицi F в роботах О.Г.Наконечно-

го [49] показано, що

F = L2

([a, c],Rn

), U` = L2

([a, c],Rl

)для довiльної опуклої замкненої обмеженої множини G . Необхiднi та достатнi

умови скiнченностi σ(u, c) для прямокутної матрицi F дає наступна

Теорема 3.2.1. Якщо G ,G2 – опуклi обмеженi замкненi пiдмножини

L2

([a, c],Rn

), C(T,Rl∗l) вiдповiдно, то

R (D∗) ⊆ Ks ⊆ cl R (D∗), (3.17)

82

де Ksdef= dom s(·|X ) ∩ − dom s(·|X ) – найбiльший лiнiйний багатовид, що мi-

ститься в опуклому конусi dom s(·|X ). Водночас

σ(u, c) =

(β+u + |β−u − c|)2 + γ2(u), (`, u) ∈ F ×U`

+∞, (`, u) /∈ F ×U`,(3.18)

деβ±u

def=

1

2[s(`−H∗u|X )± s(H∗u− `|X )],

γ2(u)def= sup

Rη∈G2

∫ c

a

∫ c

a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l dt ds

а F ,U` мають наступний вигляд

Fdef={` ∈ L2

([a, c],Rn

)|∃u ∈ L2

([a, c],Rl

): `−H∗u ∈ Ks},

U`

def={u ∈ L2

([a, c],Rl

): `−H∗u ∈ Ks}

(3.19)

Доведення. Покажемо справедливiсть включень (3.17). Справдi, нехай p ∈R (D∗). Тодi для кожного розв’язку υ ∈ D (D∗) рiвняння D∗υ = p та довiль-

ного x ∈X ми будемо мати

〈 p, x〉n2

= 〈D∗υ, x〉n2

= 〈 υ, f〉Lm2 ×Rm,

де f ∈ G1

def= R (D)∩ G i Dx = f . Коли x пробiгає X , вектор Dx = f пробiгає G1,

тому, враховуючи попередню рiвнiсть, можемо записати

supx∈X〈 p, x〉n

2= sup

f∈G1

〈 υ, f〉Lm2 ×Rm = supf

{〈 υ, f〉Lm2 ×Rm − δ(f |G1)} = s(υ|G1).

Очевидно, G1 – обмежена множина, тому s(·|G1) скрiзь скiнченний функцiонал,

вiдтак supx∈X 〈 p, x〉n2 < +∞, тобто виконується перше включення (3.17).

З iншого боку для p ∈ dom s(·|X ) необхiдно p ⊥ N (D). Дiйсно, у протилежному

випадку знайшлося б x0 ∈ N (D), для якого 〈 p, x0〉n2 > 0 i тодi 〈 p, x+ nx0〉n2 →+∞ для довiльного x ∈X , якщо, звичайно, x0 6= 0.

Рiвнiсть у (3.17) досягається, зокрема, тодi, коли R (D∗) = cl R (D∗).Покажемо справедливiсть другої частини теореми. Згiдно леми 3.2.1 нам

потрiбно довести, що

supx∈X

[〈 `−H∗u, x〉n2− c]2 + γ2(u) < +∞⇔ `−H∗u ∈ Ks .

83Iз обмеженостi множини G2 випливає оцiнка∫ c

a

∫ c

a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l dt ds 6 N

∫ c

a

∫ c

a

(u(t), u(s))l ds dt 6 N(c− a)‖u‖2Ll,

де Ndef= maxRη∈G2

maxt,s∑l

i,j=1 |Ri,j(t, s)|, звiдки видно, що γ2(u) < +∞ для до-

вiльного u ∈ L2

([a, c],Rl

), а функцiонал

u 7→∫ c

a

∫ c

a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l dt ds

слабко напiвнеперервний знизу. Далi, легко збагнути, що образ множини X

при вiдображеннi x 7→ | 〈 `−H∗u, x〉n2− c| є обмеженою пiдмножиною розшире-

ної дiйсної прямої одночасно з образом X при вiдображеннi x 7→ | 〈 `−H∗u, x〉n2|.

Останнiй, в свою чергу, обмежений лише тодi, коли

−∞ < infx∈X〈 `−H∗u, x〉n

2= −s(H∗u− `|X ), s(`−H∗u|X ) < +∞,

що можливо при (`, u) ∈ F ×U` i лише для них. Отже

σ(u, c) < +∞⇔ (`, u) ∈ F ×U`.

Зафiксуємо ` ∈ F , u ∈ U`. Зрозумiло, що

−∞ < −s(H∗u− `|X ) 6 〈 `−H∗u, x〉n26 s(`−H∗u|X ) < +∞

звiдки легко одержати, що

| 〈 `−H∗u, x〉n2− β−u | 6 β+

u .

Беручи до уваги очевидну рiвнiсть supk:|k|6v |k − c| = v + |c|, iз останнього спiв-

вiдношення знаходимо

supx∈X{[〈 `−H∗u, x〉n

2− c]2} = (β+

u + |c− β−u |)2

звiдки i з формули (3.16) леми 3.2.1 випливає (3.18). Теорему доведено.

Обговорення. Вигляд лiнiйного многовиду Ks визначає сукупнiсть оцiнюваних

функцiоналiв F та множину допустимих оцiнок U`. Водночас за структурою

Ks можна судити про можливiсть переходу вiд задачi гарантованого оцiнювання

84до спецiальної задачi оптимiзацiї для спряженої системи. Для випадку нормаль-

но розв’язного оператора D такий перехiд завжди можливий як це випливає з

рiвностi R (D∗) = Ks = cl R (D∗). Але у загальному випадку, як свiдчить запро-

понований нижче приклад, для деякої прямокутної матрицi F знайдуться C(t)

та опукла замкнена обмежена множина G , для яких

R (D∗) ⊂ dom s(·|X ) = cl R (D∗)⇒ Ks = cl R (D∗)

тобто вектор ` − H∗u не зобов’язаний належати множинi значень спряженого

оператора (див. приклад 2.1), вiдтак дуальнiсть задачi мiнiмаксного спостереже-

ння до задачi оптимiзацiї спряженою системою у загальному випадку може i не

мати мiсця.

Приклад 2.1 Покладемо

Ldef={(f0, f) : f0 = 0, f3 = f4 = 0, f1 ∈ L2, f2 ∈ L2},

Gdef={(f0, f) : (f0, f0)R4

+ 〈 f, f〉L42 6 1}.

Iз означення видно, що G є замкненою опуклою обмеженою пiдмножиною про-

стору R4 × L42; L – замкнений лiнiйний многовид у R4 × L4

2. Тому Gdef= G ∩ L –

замкнена опукла обмежена множина. Очевидно, int G = ∅.

Припустимо, що оператор D визначено так само, як i в прикладi 3.1.1. Тодi

область визначення D (D) = D ( ddtF) оператора D має вигляд

D (D) = W1

2

([a, c],R

)× L2

([a, c],R

)× L2

([a, c],R

),

а дiя оператора D на елементи x = [x1, x2, x3] ∈ D (D) описується правилом

(Dx)(t) =

[d

dtFx(t)− C(t)x (t),Fx(a)

]=

[x1(t)−x1(t)+x3(t) −x1(a)

−x2(t) 0−x1(t) 0−x2(t) 0

]

звiдки видно, що N (D) = {0}, вiдтак cl R (D∗) = L2([a, c],R3).

Обчислимо X . Виходячи з вигляду L, G , знаходимо

X = {x ∈ D (D) : Dx ∈ G } = {x : x1(a) = 0, x1 = x2 = 0, ‖x3‖2L26 1}

85звiдки для довiльного p ∈ L2([a, c],R3) будемо мати

〈 p, x〉L32 =

∫ c

a

p3x3 dt 6(∫ c

a

p23 dt) 1

2 , ∀x ∈X

причому точна верхня грань досягається на векторi x = (0, 0, ‖p3‖− 1

2

L2p3). Звiдси

видно, що cl R (D∗) = L2([a, c],R3) = dom s(·|X ) i

s(`−H∗u|X ) = ‖P (`−H ′u(t))‖L32,

де P def= diag{0, 0, 1}. Якщо покласти

G2 = {Rη :

∫ c

a

tr(diag{2, 2}Rη(t)) dt 6 1},

то з нерiвностi Кошi-Буняковського, скориставшись властивостями математи-

чного сподiвання, знаходимо γ2(u) = 12‖u‖

2L22. У цьому випадку згiдно наслiд-

ку 3.2.3 iснує єдина мiнiмаксна оцiнка i вона може бути знайдена як розв’язок

задачi оптимiзацiї∫ c

a

(P [`−H ′u]|P [`−H ′u])R3 dt +

∫ c

a

1

2(u|u)R2 dt→ inf

u.

Запишемо умови оптимальностi для u

(1

2E + H(t)PH′(t))u(t) = H(t)P`(t)

звiдки u(t) = (12E + H(t)PH′(t))−1H(t)P`(t). Покладемо H(t) =[ 1√

20 0

0 0 1√2

].

Беручи до уваги вигляд матриць P,H(t) знаходимо u(t) =[ 0l3(t)√

2

]. Але тодi

` − H∗u =[ l1l2l32

]/∈ R (D∗), якщо l3 /∈ W1,0

2

([a, c],R

). Дiйсно, згiдно наслiдку 3.1.5

дiя оператора D∗ на елементи [z, z0] ∈ D (D∗) описується правилом

D∗[z, z0](t) = − d

dtF′z(t)− C′(t)z (t),

звiдки, взявши до уваги означення матриць F,C(t) знаходимо

R (D∗) = {[z1(t)−z1(t)−z3(t)−z2(t)−z4(t)

z1(t)

], z1 ∈W1,0

2

([a, c],R

), z2,3,4 ∈ L2}

Нижче видiлено один клас множин G , для елементiв якого R (D∗) = dom s(·|X ),

вiдтак має мiсце дуальнiсть задачi мiнiмаксного оцiнювання до задачi керування

спряженою системою.

86Лема 3.2.2. (достатнi умови дуальностi) Нехай в умовах теоре-

ми 3.2.1 int G ∩ R (D) 6= ∅. Тодi

R (D∗) = dom s(·|X )

i для (`, u) ∈ F ×U` знайдеться таке υ0 ∈ D (D∗), що

s(`−H∗u|X ) = s(υ0|G )

Обговорення. Нижче буде показано, що в умовах леми 3.2.2 задача мiнiма-

ксного спостереження для ЛДС еквiвалентна спецiальнiй задачi оптимiзацiї для

спряженої системи.

Символом H1(H2) позначимо абстрактний гiльбертовий простiр з скалярним до-

бутком 〈 ·, ·〉H1(вiдповiдно 〈 ·, ·〉H2

). Нехай x 7→ Lx ∈ H2 – лiнiйний замкнений опе-

ратор з областю визначення D (L), щiльною у H1. Припустимо, що z 7→ f(z) ∈[−∞,+∞] – опуклий функцiонал, визначений на H2. Через f ∗ будемо познача-

ти перетворення Юнга-Фенхеля функцiоналу f , покладемо cl f = f ∗∗, символом

L∗f ∗(fL) будемо позначати прообраз (образ) функцiоналу f ∗(f) вiдносно лiнiй-

ного оператора L∗(L):

L∗f ∗(x) = inf{f ∗(z)|z ∈ D (L∗), L∗z = x}, fL(x) =

f(Lx), x ∈ D (L),

+∞, x /∈ D (L)

Лема 3.2.3. (лема про двоїстiсть) Справедливi спiввiдношення

(L∗f ∗)∗(x) 6 (fL)(x), (fL)∗(x∗) 6 (L∗f ∗)(x∗). (3.20)

Якщо int dom f∩R (L) 6= ∅, то dom(fL)∗ = R (L∗) i для кожного x∗ ∈ dom(fL)∗

знайдеться таке z0 ∈ D (L∗), для якого

(fL)∗(x∗) = (L∗f ∗)(x∗) = f ∗(z0).

87Доведення. Домовимось про те, що inf ∅ = +∞. За означенням

(L∗f ∗)∗(x∗) = supx{〈x∗, x〉H1

− inf{f ∗(z)|z ∈ D (L∗), L∗z = x}} =

supx∈R(L∗)

supz∈(L∗)−1x

{〈x∗, L∗z〉H1− f ∗(z)} = sup

z∈D (L∗)

{〈x∗, L∗z〉H1− f ∗(z)} 6

supz{〈Lx∗, z〉H2

− f ∗(z)} = f ∗∗(Lx∗) 6 f(Lx∗) = fL(x∗)

для довiльного x∗ ∈ D (L). Оскiльки fL(x∗) = +∞ при x∗ /∈ D (L), то скрiзь

на H1 має мiсце нерiвнiсть (L∗f ∗)∗ 6 fL, звiдки L∗f ∗ > (L∗f ∗)∗∗ > (fL)∗ i

справедливiсть (3.20) доведено.

Нехай виконано умову другої частини леми. Тодi −∞ < fL(x) < +∞ для

деякого x ∈ D (L), звiдки (fL)∗ > −∞, а вiдтак згiдно (3.20) (L∗f ∗) > −∞.

З iншого боку, очевидно, (L∗f ∗)(x) < +∞ лише тодi, коли x ∈ R (L∗). Отже,

R (L∗) = dom(L∗f ∗) ⊂ dom(fL)∗, тому (fL)∗ – власний функцiонал.

Покажемо, що dom(fL)∗ ⊂ R (L∗). Справдi, помiтимо, що для x∗ ∈dom(fL)∗, x ∈ H1 число 〈x∗, x〉H1

− (fL)∗(x∗) скiнченне. Подiбно до того, як це

було зроблено у [82, c.188,т.3], введемо множину

M def={(z, µ)|∃x ∈ D (L) : Lx = z, µ = 〈x∗, x〉H1

− (fL)∗(x∗)}

Згiдно умов леми множина int epi f непорожня i [82, c.181,т.1]

int epi f = {(z, α)|z ∈ int dom f, α > f(z)}.

Припустимо, що (z, µ) ∈ int epi f ∩M. Тодi знайдеться таке x ∈ D (L), для якого

〈x∗, x〉H1− (fL)∗(x∗) = µ > f(z) = fL(x).

З iншого боку, згiдно нерiвностi Юнга-Фенхеля

fL(x) > 〈x∗, x〉H1− (fL)∗(x∗),∀x ∈ D (L).

Отже, лiнiйний многовид M не має спiльних векторiв з int epi f , вiдтак опу-

клi множини epi f та M можна роздiлити ненульовим лiнiйним функцiоналом

〈 z0, ·〉Lm2 + β0, тобто

sup{〈 z0, z〉Lm2 + β0α|(z, α) ∈ epi f} 6 inf{〈 z0, z〉Lm2 + β0µ|(z, µ) ∈M}. (3.21)

88Покажемо, що β0 < 0. Справдi, якщо β0 > 0, то, очевидно, sup{·} у (3.21)

дорiвнює +∞, тому β0 6 0. Нехай β0 = 0. Тодi z0 6= 0 i з (3.21) виводимо

int dom f ∩ R (L) = ∅, що суперечить припущенню леми.

Покладемо z0 = |β0|−1z0. Згiдно припущення int dom f 6= ∅, тому f ∗ > −∞.

Зважаючи на (3.21), запишемо

−∞ < f ∗(z0) = supz{〈 z0, z〉H2

− f(z)} = sup{〈 z0, z〉H2− α|(z, α) ∈ epi f} 6

inf{〈 z0, z〉H2− µ|(z, µ) ∈M} = inf

x∈D (L){〈 z0, Lx〉H2

− 〈x∗, x〉H1+ (fL)∗(x∗)},

звiдки негайно одержимо, що виконується

−∞ < f ∗(z0) 6 inf{〈 z0, Lx〉H2+ 〈−x∗, x〉H1

|x ∈ D (L)}+ (fL)∗(x∗). (3.22)

З iншого боку, якщо має мiсце (3.22), то, необхiдно, вектор (−x∗, z0) лежить у ор-

тогональному доповненнi G⊥L замкненого лiнiйного многовиду GL = {(x, Lx)|x ∈D (L)}. Добре вiдомо [76, c.40], що G⊥L = {[−L∗z, z]|z ∈ D (L∗)}, отже z0 ∈D (L∗), L∗z0 = x∗, тобто x∗ ∈ R (L∗). Оскiльки x∗ – довiльний елемент dom(fL)∗,

то dom(fL)∗ ⊂ R (L∗).

Згiдно (3.22)

L∗f ∗(x∗) = inf{f ∗(z)|z ∈ D (L∗), L∗z = x∗} 6 f ∗(z0) 6 (fL)∗(x∗)

звiдки i з (3.20) одержимо другу рiвнiсть леми.

Наслiдок 3.2.1. В умовах леми cl(L∗f ∗) = (L∗f ∗).

Доведення леми 3.2.2. Нехай (`, u) ∈ F × U`. За припущенням int dom δ ∩R (D) 6= ∅, тому за лемою 3.2.3 dom s(·|X ) = R (D∗), звiдки ` −H∗u ∈ R (D∗),вiдтак знайдеться υ0 ∈ D (D∗), для якого

s(`−H∗u|X ) = supx{〈 `−H∗u, x〉n

2− δ(Dx|G )} = (δD)∗(`−H∗u) =

D∗s(·|G )(`−H∗u) = s(υ0|G ).

Наслiдок 3.2.2. В умовах леми 3.2.3 Ks = R (D∗), F = R (T ).

89Доведення. Перша рiвнiсть випливає з означення Ks та леми 3.2.3. Якщо ` /∈R (T ), то `−H∗u /∈ R (D∗), вiдтак похибка нескiнченна, що дає другу рiвнiсть.

Зауваження 3.2.1. Помiтимо, що в умовах леми 3.2.2 клас оцiнюваних

функцiоналiв F може бути значно розширений за рахунок звуження множи-

ни X . Дiйсно, символом P позначимо оператор ортогонального проектування

на пiдпростiр cl[R (D∗) + R (H∗)] i покладемо Xdef={x : Dx ∈ G ,Px = x}. То-

дi 〈 `−H∗u, x〉n2

= 〈 P`−H∗u, x〉n2для довiльних ` ∈ L2

([a, c],Rn

), x ∈ X i у

такому разi F складатиметься з усiх `, для яких P` ∈ R (D∗) + R (H∗).

Покладемо

J(u)def=

1

4[s(`−H∗u|X ) + s(H∗u− `|X )]2 + γ2(u)

i сформулюємо теорему про iснування мiнiмаксних оцiнок.

Теорема 3.2.2. Якщо U ∗ def= Arginfu J(u) 6= ∅, то мiнiмаксну середньо-

квадратичну оцiнку uc функцiоналу 〈 `, ·〉n2 , ` ∈ F можна подати у виглядi

uc(y)def=

∫ c

a

(u(t), y(t))l dt +c,

cdef=

1

2[s(`−H∗u|X )− s(H∗u− `|X )], u ∈ U ∗,

Мiнiмаксна середньоквадратична похибка має вигляд

σ =1

4[s(`−H∗u|X ) + s(H∗u− `|X )]2 + γ2(u).

Доведення. Зафiксуємо довiльне ` ∈ F . Тодi, очевидно, 0 6 inf J < +∞. Умо-

ва теореми еквiвалентна тому, що задача оптимiзацiї J(u)→ infu має непорожню

множину розв’язкiв U ∗, яка, як це випливає з теореми 3.2.1, є пiдмножиною

U`. Виберемо u ∈ U ∗ i покажемо, що uc задовольняє означення мiнiмаксної се-

редньоквадратичної оцiнки, тобто для довiльної оцiнки uc, u ∈ U` виконується

нерiвнiсть (3.12). Як це випливає з екстремальної властивостi u

β+u + γ2(u) 6 β+

u + γ2(u). (3.23)

90З iншого боку в силу формули (3.18) теореми 3.2.1 ми будемо мати

σ(u, β−u ) 6 σ(u, c). (3.24)

Якщо тепер порiвняти (3.23) з (3.24), одержимо (3.12). Теорему доведено.

Наслiдок 3.2.3. Задача мiнiмаксного оцiнювання значень лiнiйних непе-

рервних функцiоналiв на множинi розв’язкiв лiнiйних дескрипторних диферен-

цiальних рiвнянь еквiвалентна задачi оптимiзацiї

J(u) =1

4[s(`−H∗u|X ) + s(H∗u− `|X )]2 + γ2(u)→ inf

u. (3.25)

Якщо γ2(u)→ +∞ при ‖u‖2Ll2→ +∞, то U ∗ 6= ∅,U ∗ ⊂ U`.

Доведення. Помiтимо, що γ2 – опуклий слабко напiвнеперервний знизу фун-

кцiонал як поточкова верхня грань сiм’ї опуклих слабко напiвнеперервних знизу

функцiоналiв

{u 7→∫ c

a

∫ c

a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l ds dt,Rη ∈ G2}.

Тому J – опуклий власний слабко напiвнеперервний знизу функцiонал як сума

таких i за умови коерцитивностi γ2 задача безумовної оптимiзацiї (3.25) матиме

непорожню множину розв’язкiв U ∗. З iншого боку, в силу теореми 3.2.1 dom J =

U`, тому U ∗ ⊂ U`.

Наслiдок 3.2.4. Якщо множина G центрально симетрична вiдносно ну-

ля, то задача оптимiзацiї (3.25) має вигляд

J(u) = s2(`−H∗u|X ) + γ2(u)→ infu. (3.26)

Доведення. Оскiльки G – центрально симетрична вiдносно нуля множи-

на, а оператор D – лiнiйний, то X буде центрально симетричною вiдносно

нуля множиною, звiдки s(H∗u − `|X ) = sup{〈 `−H∗u,−x〉n2, x ∈ X } =

sup{〈 `−H∗u, x〉n2, x ∈ −X } = s(`−H∗u|X ).

91Наслiдок 3.2.5. (принцип дуальностi Калмана) Нехай

int G ∩ R (D)

i виконано умови теореми. Тодi задача мiнiмаксного спостереження для лiнiй-

ного дескрипторного диференцiального рiвняння еквiвалентна задачi оптимiза-

цiї

T (u)def=

1

4[g(`−H∗u) + g(H∗u− `)]2 + γ2(u)→ inf

u,

g(v) = inf{s(υ|G )|D∗υ = v, υ ∈ D (D∗)}(3.27)

Обговорення. Фактично задача оптимiзацiї (3.27) є задачею оптимального ке-

рування для спряженої системи у тому сенсi, що серед усiх допустимих керувань

u ми обираємо оптимальне за критерiєм T . В умовах наслiдку 3.2.5 множина

допустимих керувань U` збiгається з сукупнiстю усiх таких u, для кожного з

яких спряжена система D∗υ = `−H∗u має непорожню множину розв’язкiв.

Доведення. Як це випливає з наслiдку 3.2.3, задача мiнiмаксного оцiнювання

еквiвалентна задачi оптимiзацiї (3.25). З iншого боку справедлива

Лема 3.2.4. Якщо int G ∩ R (D), то

s(`−H∗u|X ) = inf{s(υ|G )|D∗υ = `−H∗u, υ ∈ D (D∗)} (3.28)

Разом iз тим функцiонал

u 7→ inf{s(υ|G )|D∗υ = `−H∗u, υ ∈ D (D∗)}

опуклий власний слабко напiвнеперервний знизу i для кожного u точна нижня

грань або досягається або рiвна +∞.

Наслiдок доведено.

Доведення леми 3.2.4. В умовах леми int dom(δD)(·|G ) 6= ∅, вiдтак (ле-

ма 3.2.3)

s(`−H∗u|X ) = supx∈D (D)

{〈 `−H∗u, x〉n2− δ(Dx|G )} = (δD)∗(`−H∗u) =

(D∗s(·|G ))(`−H∗u) = infυ{s(υ|G )|D∗υ = `−H∗u, υ ∈ D (D∗)}

Справедливiсть другої частини леми встановлюється за допомогою мiркувань,

проведених пiд час доведення леми 3.2.3, i наслiдку 3.2.1. Лему доведено.

923.2.3. Апостерiорнi оцiнки

Встановимо деякi властивостi множини Gy.

Лема 3.2.5. Якщо G – обмежена опукла замкнена множина, то Gy є

опуклою замкненою множиною.

Доведення. Очевидно, R – лiнiйний неперервний однозначний оператор, то-

му R(G ) – обмежена опукла замкнена множина, вiдтак G – зсув R(G ) на ве-

ктор (0, y) – буде так само обмеженою опуклою замкненою множиною. Помiча-

ючи, що Gy є прообразом G при замкненому лiнiйному операторi10 x 7→ T ∗x =

(Dx,Hx), легко одержати твердження леми. Дiйсно, опуклiсть Gy очевидна. По-

кажемо замкненiсть Gy. Справдi, замкненiсть оператора T еквiвалентна замкне-

ностi його графiка GT , який є опуклою пiдмножиною гiльбертового простору

L2

([a, c],Rn

)×L2

([a, c],Rm

)×Rm×L2

([a, c],Rl

)i тому [72, c.15] GT слабко замкне-

ний. Нехай xn ∈ Gy, n = 1, 2, . . . . Тодi послiдовнiсть {T xn}n∈N рiвномiрно обме-

жена, вiдтак знайдеться слабко збiжна пiдпослiдовнiсть {T xnk}nk∈Nсл.−−−→k→∞

ω ∈ G .

Якщо послiдовнiсть {xn}n∈N збiжна, то послiдовнiсть {xnk, T xnk}nk∈N слабко збi-

гається до деякого вектора (x, ω) ∈ GT , себто x ∈ D (D) i T x = ω ∈ G , тому

x ∈ Gy.

Необхiднi i достатнi умови iснування мiнiмаксної апостерiорної оцiнки дає

Теорема 3.2.3. Припустимо, що G – опукла замкнена обмежена мно-

жина. Тодi мiнiмаксна апостерiорна похибка оцiнювання має вигляд

σ(`) =

12 [s(`|Gy) + s(−`|Gy)], ` ∈ Ks ,

+∞, ` /∈ Ks ,

де Ksdef= dom s(·|Gy)∩− dom s(·|Gy) – найбiльший лiнiйний багатовид, що мiсти-

ться у опуклому конусi dom s(·|Gy), причому

R (T ) ⊆ Ks ⊆ cl R (T ).

10Нагадаємо, що символом T вище (див. 3.1) було позначено замкнений щiльно визначений оператор ω 7→T ω = D∗υ + H∗u, визначений на щiльнiй у L2

([a, c],Rn

)множинi D (D∗) = W1,F′

2

([a, c],Rm

), спряжений до

якого T ∗ дiє згiдно правила x 7→ T ∗x = (Dx,Hx).

93Для ` ∈ Ks мiнiмаксна апостерiорна оцiнка дається виразом

(x) = `(x) =1

2[s(`|Gy)− s(−`|Gy)]

Доведення. Зрозумiло, що для ` ∈ Ks виконується

−∞ < −s(−`|Gy) 6 `(x) 6 s(`|Gy) < +∞

звiдки

supx∈Gy

|`(x)− `(x)| = 1

2[s(`|Gy) + s(−`|Gy)] + |`(x)− 1

2[s(`|Gy)− s(−`|Gy)]|

тому в силу зв’язностi образу опуклої множини Gy при неперервному лiнiйному

вiдображеннi x 7→ 〈 `, x〉n2знайдеться таке x ∈ Gy, для якого `(x) = (x) i

supx∈Gy

|`(x)− `(x)| > supx∈Gy

|`(x)− `(x)| = 1

2[s(`|Gy) + s(−`|Gy)], ∀x ∈ Gy.

Якщо ` /∈ Ks , то образ Gy при вiдображеннi x 7→ | 〈 `, x〉n2− c|, c ∈ R, як легко

переконатися, буде необмеженою множиною, вiдтак σ(`) = +∞. Для ` = T ω ми

будемо мати

s(`|Gy) = supx∈Gy

〈 T ω, x〉n2

= sup[f ,g]∈G∩R(T ∗)

{〈 f , υ〉Lm2 ×Rm + 〈 g, u〉Ll2} < +∞ (3.29)

в силу припущення теореми, тому завжди R (T ) ⊆ Ks .

Якщо для деякого x ∈ D (D) та ` одночасно `(x) 6= 0 i T ∗x = 0, то, очевидно,

s(`|Gy) = +∞, вiдтак dom s(·|Gy) ⊆ cl R (T ). Якщо ж N (T ∗) = {0}, то, очевидно,cl R (T ) = L2

([a, c],Rn

). Теорему доведено.

943.3. Мiнiмакснi оцiнки для квадратичних обмежень

У § 3.3.1-3.3.2 цього пiдроздiлу приведено рiзнi представлення мiнiмаксних

апрiорних та апостерiорних оцiнок. Для випадку лiнiйних необмежених функцiо-

налiв запропоновано представлення оцiнок у виглядi розв’язкiв системи Ейлера

лiнiйно-квадратичної задачi оптимального керування дескрипторною системою,

розглянуто задачi мiнiмаксної фiльтрацiї (§ 3.3.3).

3.3.1. Апрiорнi середньоквадратичнi оцiнки

Припустимо, що множини G ,G2 мають вигляд

G2

def={Rη :

∫ c

a

tr(Q2(t)Rη(t, t)) dt 6 1},

Gdef={[f, f0] : (Q0f0, f0)m +

∫ c

a

(Q1(t)f(t), f(t))m dt 6 1}(3.30)

де символом Q1,2(t) позначено симетричну матрицю вiдповiдної розмiрностi з

неперервними на промiжку [a, c] елементами, Q1,2(t) > 0, t ∈ [a, c], Q−11,2(t) – непе-

рервна на [a, c], Q0 > 0 – симетрична m×m-матриця.

Нагадаємо, що символом T + у пiдроздiлi 3.1 було позначено оператор x 7→ T +x =

ω, що кожному x з D (T +) = R (T ) зiставляє єдиний розв’язок ω задачi оптимi-

зацiї‖ω‖2Q−1 = 〈ω, ω〉Q−1 = 〈Q−1

1υ, υ〉Lm2 ×Rm + 〈Q−1

2u, u〉Ll2 → inf

ω,

ω ∈ {ω ∈ D (T ) : T ω = x}

де символом Q1 (Q2) позначено самоспряжений взаємно однозначний коректно

розв’язний оператор, який у нашому випадку визначений на всьому11 просторi

Rm×L2

([a, c],Rm

)(L2

([a, c],Rl

)) згiдно правилаQ1 : (z0, z (t)) 7→ (Q0z0,Q1(t)z (t))

(Q2 : u(t) 7→ Q2(t)u(t)). Справедлива

11Оскiльки у просторi L2

([a, c],Rm

)довiльна вектор-функцiя z не зобов’язана, взагалi кажучи, бути визна-

ченою у кожнiй точцi t сегменту [a, c], то ми можемо визначити оператор z (t) 7→ Q1(t)z (t) спочатку на скрiзь

щiльнiй сукупностi усiх абсолютно неперервних вектор-функцiй з L2

([a, c],Rm

), а потiм розповсюдити його на

весь простiр за неперервнiстю.

95Теорема 3.3.1. Мiнiмаксна середньоквадратична оцiнка u лiнiйного фун-

кцiоналу `(x), ` ∈ R (T ) дається виразом

uc(y) = 〈 T +`, (0, y)〉Lm2 ×Ll2 = 〈 u, y〉Ll2.

Мiнiмаксна середньоквадратична похибка оцiнювання має вигляд

σ = σ(u) = ‖T +`‖2Q−1.

Доведення. Обчислимо опорний функцiонал множини G . Беручи до уваги уза-

гальнену нерiвнiсть Кошi-Буняковського (див.[50]) знаходимо

s(υ|G ) = 〈Q−11υ, υ〉

12

Lm2 ×R2 = 〈υ, υ〉12

Q−11

.

Оскiлькиc∫

a

c∫a

(Rη(t, s)u(t), u(s))l ds dt = M 〈 u, η〉2Ll26 〈Q−1

2u, u〉Ll2M 〈Q2η, η〉Ll2 =

〈Q−12

u, u〉Ll2

∫ c

a

tr(Q2(t)Rη(t, t)) dt 6 〈Q−12

u, u〉Ll2,

то

γ2(u) = 〈Q−12

u, u〉Ll2 = 〈 u, u〉Q−12.

Очевидно, 0 ∈ int G , вiдтак int G ∩R (D) 6= ∅. У цьому випадку (наслiдок 3.2.2)

F = R (T ) i, як це випливає з центральної симетричностi вiдносно нуля множини

G , наслiдкiв 3.2.3-3.2.5 та леми 3.2.4, для лiнiйного обмеженого функцiоналу ` ∈R (T ) iснує єдина мiнiмаксна середньоквадратична оцiнка u, c = 0, яка водночас

є розв’язком задачi оптимiзацiї

T (u) = infυ{〈 υ, υ〉Q−11

|D∗υ = `−H∗u}+ 〈 u, u〉Q−12→ inf

u, (3.31)

Справедлива

Лема 3.3.1. Задача оптимiзацiї (3.31) еквiвалентна обчисленню значен-

ня узагальненого псевдооберненого оператора ω = T +` на векторi ` ∈ R (T ).

96З леми 3.3.1 випливає, що для знаходження мiнiмаксної оцiнки та похибки до-

статньо розв’язати задачу оптимiзацiї

Q(ω)def= 〈 υ, υ〉Q−11

+ 〈 u, u〉Q−12→ inf

υ,u,

ω = [υ, u] ∈ W = {ω = (υ, u) : T ω = `},(3.32)

перша компонента u розв’язку якої (u, υ) = ω = T +` буде шуканою мiнiмаксною

оцiнкою, в той час як похибка оцiнювання дається виразом Q(T +`). Теорему

доведено.

Доведення леми 3.3.1. Задача безумовної оптимiзацiї (3.31) має єдиний

розв’язок u. Це випливає хоча б з того, що функцiонал u 7→ T (u) строго

опуклий слабко напiвнеперервний знизу. Очевидно, u ∈ U`. Iснує (лема 3.2.4)

єдине υ ∈ D (D∗) таке, що

〈 υ, υ〉Q−11= inf

υ{〈 υ, υ〉Q−11

|D∗υ = `−H∗u},

тому для довiльних u ∈ U` i υ ∈ D (D∗) : D∗υ = `−H∗u ми будемо мати

〈 u, u〉Q−12− 〈 u, u〉Q−12

+ 〈 υ, υ〉Q−11− 〈 υ, υ〉Q−11

> T (u)−T (u) > 0

звiдки випливає, що ω = (υ, u) є розв’язком (3.32).

Навпаки, нехай ` ∈ R (T ), u ∈ U` i ω = T +`. Тодi

〈 u, u〉Q−12− 〈 u, u〉Q−12

+ infυ{〈 υ, υ〉Q−11

|D∗υ = `−H∗u} − 〈 υ, υ〉Q−11> 0

З iншого боку T (u) = 〈 u, u〉Q−12+ 〈 υ, υ〉Q−11

. Лему доведено.

Наслiдок 3.3.1. Якщо cl R (T ) = R (T ), то

u = Q2Hp, σ(u) = 〈 `, p〉n2,

де p знаходиться з системи операторних рiвнянь

D∗υ = `−H∗Q2Hp,

Dp−Q−11υ = 0

(3.33)

97Доведення. Нехай ω – розв’язок (3.32). Тодi

〈 ω, ω − ω〉Q−1 > 0,∀ω ∈ W ,

вiдтак

(Q−11υ,Q−1

2u) ∈ N ⊥(T ) = cl R (T ∗) = R (T ∗)

тобто iснує таке p ∈ D (D), що Dp = Q−11υ, Q−1

2u = Hp. Водночас

` = T ω = D∗υ +H∗u = D∗υ +H∗Q2Hp,

тому p, υ задовольняють (3.33).

Обчислимо мiнiмаксну похибку. Згiдно теореми 3.3.1 похибка має вигляд

‖T +`‖2Q−1 = 〈Q−11υ, υ〉Lm2 ×Rm + 〈Q−1

2u, u〉Ll2 =

〈 p, `−H∗Q2Hp〉n2

+ 〈Q−12u, u〉Ll2 = 〈 `, p〉n

2.

Наслiдок доведено.

Наслiдок 3.3.2. Припустимо, що p знаходиться з системи (3.33). Тодi

u = Q2Hp, σ(u) = 〈 `, p〉n2.

Доведення. Покладемо ωdef= diag{Q−1

1,Q−1

2}T p i обчислимо 4(ω)

def= Q(ω) −

Q(ω) для ω ∈ W . Одержимо

4(ω) > 〈 υ, υ − υ〉Q−11+ 〈 u, u− u〉Q−12

= 〈Hp, u− u〉n2

+ 〈Q−12u, u− u〉Ll2 = 0,

вiдтак ω = T +`. Тепер залишилось застосувати теорему 3.3.1. Наслiдок доведено.

Наслiдок 3.3.3. В умовах наслiдкiв 3.3.1-3.3.2

u(t) = Q2(t)H(t)p(t), σ(u) =

∫ c

a

(`(t)|p(t))Rn dt,

де p знаходиться як розв’язок двоточкової крайової задачi

d

dtF′z(t) = −C′(t)z (t) + H′(t)Q2(t)H(t)p(t)− `(t), F′z(c) = 0

d

dtFp(t) = C(t)p(t) + Q−1

1(t)z (t), Fp(a) = Q−1

0 (FF+z(a) + d), F ′d = 0

(3.34)

98Доведення. Нехай вектори p, υ = (z0, z) задовольняють систему (3.33). Прига-

давши означення операторiв D,D∗

Dx(t) = [d

dtFx(t)− C(t)x (t),Fx(a)],D∗[z, z0](t) = − d

dtF′z(t)− C′(t)z (t),

D (D∗) = {(z,F+′F′z(a) + d)|, F ′d = 0,F′z ∈W1

2

([a, c],Rn

),F′z(c) = 0}

D (D) = W1

2,F

([a, c],Rn

)= {x ∈ L2

([a, c],Rn

): Fx ∈W1

2

([a, c],Rm

)}

знаходимо, що F ′z – абсолютно неперервна вектор-функцiя i F′z(c) = 0. Водно-

час z0 = FF+z(a) + d для деякого d : F ′d = 0. Тепер залишилось застосувати

наслiдок 3.3.1. Наслiдок доведено.

Наступна теорема дає спосiб наближеного обчислення мiнiмаксної оцiнки.

Теорема 3.3.2. Нехай pn, zn, dn – єдиний розв’язок крайової задачi

d

dtFp(t) = C(t)p(t) + αnQ

−11

(t)z(t), Fp(a) = αnQ−10 (FF+z(a) + d),

d

dtF′z(t) = −C′(t)z (t) + (E +

1

αnH′(t)Q2(t)H(t))p(t)− `(t), F′z(c) = 0,

(3.35)

при деякому αn > 0. Тодi ArginfW {Q(ω)} 6= ∅⇔∥∥un − u∥∥2

Ll2+∥∥zn − z∥∥2Lm2 + ‖FF+zn(a) + dk − z0‖2Rm

αn↓0−−→ 0,

де z0 = FF+z(a) + d, un = 1αn

Q2Hpn, а u – мiнiмаксна середньоквадратична

оцiнка функцiоналу ˜= Prcl R (T )(`). При цьому

1

αn

∫ c

a

(`+ pαn, pαn)n dt→ σ αn ↓ 0,

де σ – мiнiмаксна середньоквадратична похибка оцiнювання, зокрема σ = +∞для ` /∈ F . Якщо

∥∥ 1αn

pαn∥∥2

Ln2< C при αn ↓ 0, то крайова задача (3.34) має

розв’язок p i

u(t) = Q2(t)H(t)p(t), σ(u) =

∫ c

a

(`(t), p(t))n dt .

Обговорення. У теоремi 3.3.2 йдеться про наближене обчислення значення уза-

гальненого псевдооберненого оператора T + на векторi ` ∈ R (T ). Для функцiона-

лу ` ∈ L2

([a, c],Rn

)запропоновано критерiй приналежностi проекцiї ` на cl R (T )

99до множини оцiнюваних функцiоналiв F : збiжнiсть функцiональної послiдовно-

стi {uαn, zαn, FF+zαn(a) + dαk} у вiдповiдному гiльбертовому просторi еквiвален-

тна включенню ˜∈ R (T ); разом iз тим границя цiєї послiдовностi буде мiнiма-

ксною середньоквадратичною оцiнкою ˜. Водночас необмеженiсть послiдовностi,

яка апроксимує мiнiмаксну середньоквадратичну похибку, свiдчить про те, що

проекцiя ` на cl R (T ) не є елементом F . При цьому одержано достатню умо-

ву (∥∥ 1αn

pαn∥∥2

Ln2< C) представлення мiнiмаксної середньоквадратичної оцiнки за

допомогою розв’язкiв крайової задачi (3.34) (аналог системи Ейлера для лiнiйно-

квадратичної задачi керування), що у регулярному випадку збiгається з вiдомим

результатом [49].

Доведення. Однозначна розв’язнiсть крайової задачi (3.35) є наслiдком таких

тверджень.

Лема 3.3.2. Припустимо, що функцiонал ω 7→ φ(ω) – опуклий слабко

напiвнеперервний знизу на гiльбертовому просторi H2 i φ(ω)→ +∞ при ‖ω‖ →∞. Тодi для довiльного лiнiйного замкненого щiльно визначеного оператора T :

H1 → H2 опуклий функцiонал φT слабко напiвнеперервний знизу.

Наслiдок 3.3.4. Для довiльних ` ∈ L2

([a, c],Rn

)та α > 0 функцiонал

Тихонова Tα = ‖T ω− l‖2Ln2 +α 〈ω, ω〉Q−1 має єдину точку мiнiмуму ωα на D (T ).

Лема 3.3.3. Наступнi умови еквiвалентнi

1) Вектор ωα ∈ D (T ) – розв’язок задачi оптимiзацiї

‖T ω − `‖2Ln2 + αQ(ω)→ infω

(3.36)

2) Вектор ωα ∈ D (T ) – розв’язок варiацiйної рiвностi

〈 T ωα − `, T ω〉n2 + α 〈 ωα, ω〉Q−1 = 0, ∀ω ∈ D (T ) (3.37)

3) Пара (p, ωα) – розв’язок системи рiвнянь

T ωα + p = `,

T ∗p = αQ−1ωα(3.38)

100Наслiдок 3.3.5. Крайова задача (3.35) має єдиний розв’язок для довiль-

них ` ∈ L2

([a, c],Rn

)та αn > 0.

Символом ωαn позначимо точку мiнiмуму функцiоналу Tαn. Необхiднi i достатнi

умови iснування мiнiмаксної середньоквадратичної оцiнки дає

Лема 3.3.4. Наступнi умови еквiвалентнi

1) ω – Q-нормальний12 розв’язок задачi оптимiзацiї

‖T ω − `‖2Ln2 → infω.

2) ω – єдина гранична точка множини {ωαn}αn, limn→∞ αn = 0, αn > 0.

Дiйсно, гарантована оцiнка функцiоналу ` ∈ F за теоремою 3.3.1 має вигляд

uc(y) = 〈 T +`, (0, y)〉Lm2 ×Ll2 вiдтак iснування ω еквiвалентно збiжностi ‖ω− ωαn‖ →0. Справдi, це є безпосереднiм наслiдком умови 2) леми 3.3.4. Але тодi σ =

Q(ω) = lim Q(ωαn). З iншого боку, враховуючи (3.35), одержимо

Q(ωα) = 〈Q−11υα, υα〉Lm2 ×Rm + 〈Q−1

2uα, uα〉Ll2 =

1

α

(〈 pα, `〉n2 −

∥∥pα∥∥2

Ln2

)Якщо Prcl R (T )(`) /∈ R (T ), то норми елементiв ωα необмежено зростають при

α → +0, бо iнакше ми б видiлили слабко збiжну пiдпослiдовнiсть i показали,

користуючись замкненiстю T та збiжнiстю T ωα → Prcl R (T )(`), що Prcl R (T )(`) ∈R (T ).

Якщо∥∥ 1αpα∥∥2

Ln2< C, то знайдеться пiдпослiдовнiсть { 1

αkpαk}

k→∞−−−→сл.

p i поза-

як

T ∗( 1

αpα) = [Q−1

1υα,Q−12

uα]→ [Q−11υ,Q−1

2u],

то T ∗p = [Q−11υ,Q−1

2u] в силу замкненостi T ∗, вiдтак одночасно T [υ, u] = `, T ∗p =

[Q−11υ,Q−1

2u], що дає систему (3.34). Справедливiсть представлень для мiнiма-

ксних оцiнки та похибки випливає тепер iз наслiдку 3.3.2. Теорему доведено.12Вектор u ∈ U = Arginfu f(u) назвемо Q-нормальним розв’язком задачi оптимiзацiї f(u) → infu, якщо

Q(u) = infU Q

101Доведення леми 3.3.2. Слабка напiвнеперервнiсть знизу функцiоналу φTеквiвалентна ( [72, c.19]) тому, що для довiльного дiйсного числа c множина

levc(φT )def={ω ∈ H1 : φT (ω) 6 c}

замкнена у слабкiй топологiї гiльбертового простору H1. Нехай levc(φT ) 6= ∅ для

деякого c. Виберемо довiльну послiдовнiсть {ωn}n∈N, що має такi властивостi

{ωn}n∈N ⊂ levc(φT ) i ωnn→∞−−−→сл.

ω

Тодi ωn ∈ dom(φT ) ⊆ D (T ) i з коерцитивностi φ випливає обмеженiсть множини

{T ωn}n∈N, вiдтак знайдеться послiдовнiсть {ωnk}k∈N ⊂ {ωn}n∈N така, що

T ωnkсл.−−−→

n→∞q.

Оскiльки (ωnk, T ωnk) ∈ GT , k = 1, 2, . . . , i спiввiдношення

ωnk ∈ D (T ), {ωnk}k∈Nсл.−−−→k→∞

ω, {T ωnk}k∈Nсл.−−−→k→∞

q

виконанi одночасно, то в силу слабкої замкненостi GT – графiку оператора T –

має мiсце включення (ω, q) ∈ GT , звiдки негайно одержимо

ω ∈ D (T ), T ω = q.

Але тодi

c > limφ(T ωn) > limφ(T ωn) = limφ(T ωnk) > φ(T ω)⇒ ω ∈ levc(φT )

Лему доведено.

Доведення наслiдку 3.3.4. 1. Iснування Функцiонал

Tα(ω) = ‖T ω − `‖2Ln2 + α 〈ω, ω〉Q−1

слабко напiвнеперервний знизу як сума таких, бо функцiонал ω 7→ ‖T ω − `‖2Ln2слабко напiвнеперервний за лемою 3.3.2. Очевидно, Tα > 0,Tα 6≡ +∞, вiдтак

+∞ > infD (T )

Tα > −∞.

102Зрозумiло, що для фiксованого α > 0

lim Tα(ω) = +∞ при ‖ω‖2H1→ +∞.

Припустимо, що послiдовнiсть {ωn}n∈N – мiнiмiзуюча, тобто

limn→∞

Tα(ωn) = infD (T )

Tα.

Тодi, взявши до уваги коерцитивнiсть Tα, ми бачимо, що починаючи з деякого

номеру N норми векторiв ωn не перевищують деякого додатного дiйсного числа,

тому ми можемо вибрати пiдпослiдовнiсть {ωnk}nk∈N так, що

{ωnk}сл.−−−→

n→∞ωα.

Покажемо, що ωα ∈ D (T ). Для цього достатньо показати слабку збiжнiсть якої-

небудь пiдпослiдовностi {T ωnks} послiдовностi {T ωnk}. Дiйсно, у цьому випадку,

беручи до уваги слабку замкненiсть графiка оператора T , ми б мали iмплiкацiю

{ωnks}сл.−−−→

n→∞ωα, {T ωnks}

сл.−−−→n→∞

q⇒ ωα ∈ D (T ) i T ωα = q

Оскiльки у гiльбертовому просторi у кожнiй обмеженiй множинi можна знайти

слабко збiжну послiдовнiсть [74, c.38], то нам достатньо показати обмеженiсть

множини {T ωnk}nk>N для деякого натурального N. Але це одразу випливає з

того, що послiдовнiсть {ωn}n∈N – мiнiмiзуюча, а функцiонал Tα – коерцитив-

ний. Тепер ми маємо право застосувати оператор T до вектора ωα, тобто символ

Tα(ωα) не позбавлений змiсту. Скориставшись слабкою напiвнеперервнiстю знизу

функцiоналу Tα на D (T ), будемо мати

infD (T )

Tα = limnk→∞

Tα(ωnk) > Tα(ωα).

2. Єдинiсть Достатньо помiтити, що функцiонал Tα строго опуклий, як сума

опуклого i строго опуклого.

Доведення леми 3.3.3. 1) ⇒ 2). Припустимо, що вектор ωα ∈ D (T ) –

розв’язок задачi оптимiзацiї (3.36). Введемо оператор

Tα : ω 7→(T ω,√αω), D (Tα) = D (T ).

103Тодi вектор ωα ∈ D (T ) – розв’язок задачi проектування

‖Tαω − [`, 0]‖21 → infω∈D (T )

вiдтак (лема 3.1.1) вектор ωα задовольняє варiацiйну рiвнiсть

〈 Tαωα − (`, 0), T ω〉1 = 0, ∀ω ∈ D (T ).

Беручи до уваги означення оператора Tα, остаточно знаходимо, що вектор ωα –

єдиний розв’язок варiацiйної рiвностi

〈(T ωα,

√αωα

)− (`, 0),

(T ω,√αω)〉1 =

〈 T ωα − `, T ω〉n2 + α 〈 ωα, ω〉Q−1 = 0,∀ω ∈ D (T )

2) ⇒ 3). Припустимо, що ωα ∈ D (T ) – розв’язок варiацiйної рiвно-

стi (3.37). Оператор T – замкнений щiльно визначений, тому iснує та єдиний [76,

c.38] спряжений оператор T ∗. Згiдно означення [76, c.38] область визначення T ∗

складається з усiх p ∈ L2

([a, c],Rn

), для яких iснує такий елемент p∗ ∈ H1, що

〈 T ω, p〉n2

= 〈ω, p∗〉H1, ∀ω ∈ D (T )

тобто для кожного p ∈ D (T ∗) лiнiйний функцiонал

p : ω 7→ p(ω) = 〈 p, T ω〉n2, ∀ω ∈ D (T ) (3.39)

обмежений у нормi простору H1. Тодi, згiдно теореми Рiсса-Фiшера, лiнiйний

функцiонал p можна подати у виглядi

p(ω) = 〈ω, p∗〉H1, (3.40)

де вектор p∗ – це не що iнше, як результат застосування оператора T ∗ до p :

T ∗p = p∗. Перепишемо (3.37) у виглядi

〈 T ω, `− T ωα〉n2 = 〈ω, αQ−1ωα〉H1, ∀ω ∈ D (T ).

Iз останнього спiввiдношення безпосередньо випливає, що лiнiйний функцiонал

ω 7→ p(ω) = 〈 `− T ωα, T ω〉n2 обмежений, вiдтак

∃p ∈ D (T ∗) : p = `− T ωα, i T ∗p = αQ−1ωα,

104звiдки безпосередньо випливає, що пара (p, ωα) задовольняє систему (3.38).

3)⇒ 1). Припустимо, що пара (p, ωα) задовольняє систему (3.38). Пока-

жемо, що виконується спiввiдношення

Tα(ω)−Tα(ωα) > 0, ∀ω ∈ D (T )

Дiйсно, беручи до уваги (3.38), знаходимо, що

‖T ω − `‖2Ln2 − ‖T ωα − `‖2Ln2

= ‖T ω − `‖2Ln2 − ‖p‖2Ln2.

Далi, враховуючи субградiєнтну нерiвнiсть [72, с.34, п.5.4], для диференцiйова-

них за Гато опуклих функцiоналiв, визначених на абстрактному гiльбертовому

просторi, одержимо

α(〈ω, ω〉Q−1 − 〈 ωα, ωα〉Q−1) > 2α 〈 ωα, ω − ωα〉Q−1 = 2 〈 T ∗p, ω − ωα〉H1=

2 〈 p, T ω − l〉n2

+ 2‖p‖2Ln2Тепер зрозумiло, що ∀ω ∈ D (T )

Tα(ω)−Tα(ωα) > ‖T ω − l‖2Ln2 − ‖p‖2Ln2

+ 2 〈 p, T ω − l〉n2

+ 2‖p‖2Ln2 =

‖T ω − l + p‖2Ln2 > 0.

Доведення наслiдку 3.3.5. Дiйсно, беручи до уваги лему 3.3.3 та наслi-

док 3.3.4 ми бачимо, що система операторних рiвнянь

T ωα + p = `,

T ∗p = αQ−1ωα

має єдиний розв’язок (pα, ωα) для довiльних ` ∈ L2

([a, c],Rn

)та α > 0, де ωα =

[υα, uα]. Пригадуючи, що

T ω = D∗υ +H∗u, T ∗p = [Dp,Hp]

Q−1ωα = [Q−11υα,Q−12

uα]

одержимо систему

D∗υ = `−(H∗uα + p

),

Dp = αQ−11υ

Hp = αQ−12

u,

105Iз останнього рiвняння попередньої системи виразимо uα через uα = 1

αQ2Hp i

пiдставимо одержаний вираз до першого рiвняння

D∗υα = `−(p +

1

αH∗Q2Hp

),

Dp = αQ−11υα.

Пригадавши вигляд операторiв D,D∗ (див. наслiдок 3.3.3 ), iз попереднього спiв-

вiдношення виводимо твердження наслiдку. Наслiдок доведено.

Доведення леми 3.3.4. 1) ⇒ 2). Для довiльного α > 0 справедливi спiввiд-

ношення

J∗def= inf

ω‖T ω − `‖2Ln2 = ‖T ω − `‖2Ln2 6

‖T ωα − `‖2Ln2 6 ‖T ωα − `‖2Ln2 + αQ(ωα) 6

‖T ω − `‖2Ln2 + αQ(ω) 6 ‖T ωα − `‖2Ln2 + αQ(ω),

(3.41)

вiдтак

‖T ω − `‖2Ln2 6 ‖T ωα − `‖2Ln2 6 ‖T ω − `‖2Ln2 + αQ(ω),

звiдки

limn→+∞

‖T ωαn − `‖2Ln2 = ‖T ω − `‖2Ln2 (3.42)

тому всi слабкi граничнi точки13 множини {ωαn}n∈N лежать у

W = Arginfω‖T ω − `‖2Ln2

в силу слабкої замкненостi графiка замкненого лiнiйного оператора T та слабкої

напiвнеперервностi знизу норми гiльбертового простору. З iншого боку з (3.41)

випливає, що

‖T ωα − `‖2Ln2 + αQ(ωα) 6 ‖T ωα − `‖2Ln2 + αQ(ω) (∗)

вiдтак Q(ωα) 6 Q(ω), звiдки легко вивести обмеженiсть множини {ωαn}n∈N,тому сукупнiсть слабких граничних точок Wα цiєї множини непорожня. Для за-

вершення доведення нам достатньо показати, що ω – єдина гранична точка Wα.

Справдi, нехай {ωαn} довiльна слабко збiжна пiдпослiдовнiсть {ωαk}k∈N, причому13Тобто границi слабко збiжних послiдовностей елементiв цiєї множини

106

ωαnсл.−→ ω. Тодi в силу слабкої напiвнеперервностi знизу функцiоналу Q iз (∗)

знаходимо

Q(ω) 6 limαn→+0

Q(ωαn) 6 limαn→+0

Q(ωαn) 6 Q(ω) = infW

Q

звiдки Q(ω) = infW Q = Q(ω), вiдтак ω = ω в силу строгої опуклостi Q. Тодi

lim Q(ωαn) = Q(ω), що разом iз слабкою збiжнiстю ωαnсл.−→ ω свiдчить про

сильну збiжнiсть

‖ωαn − ω‖2H1→ 0.

2)⇒ 1). Помiтимо, що

ω ∈ W = Arginfω‖T ω − `‖2Ln2 6= ∅.

Справдi, (див. (3.42))

limn→∞

φ(ωαn) = infD (T )

φ = J∗, φ(ω) = ‖T ω − `‖2Ln2

вiдтак, починаючи з деякого номеру N, всi елементи послiдовностi {T ωαn}n>N

рiвномiрно обмеженi, що в купi зi збiжнiстю {ωαn} та замкненiстю оператора Tзабезпечує включення

ω ∈ D (T ),

отже, символ φ(ω) не позбавлений змiсту. Скориставшись слабкою напiвнепе-

рервнiстю знизу функцiоналу φ (див. лему 3.3.2) знаходимо, що

J∗ = limφ(ωαn) > φ(ω)

Користуючись лемою 3.3.2 легко одержати опуклiсть та замкненiсть множини W ,

тому задача мiнiмiзацiї строго опуклого напiвнеперервного знизу коерцитивного

функцiоналу Q на непорожнiй опуклiй замкненiй множинi W завжди має єдиний

розв’язок ω. Але тодi, за доведеним (див. доведення iмплiкацiї 1) ⇒ 2)) для

довiльної нескiнченно малої послiдовностi {αn}n∈N додатних дiйсних чисел має

мiсце збiжнiсть

‖ωαn − ω‖ −−−→n→∞0.

Але тодi ω = ω в силу умови 2). Лему доведено.

1073.3.2. Апостерiорнi оцiнки

Припустимо, що множина G має вигляд

Gdef={f : (Q0f0|f0)m +

∫ c

a

(Q1f |f)m dt +

∫ c

a

(Q2g|g)l dt 6 1} (3.43)

Легко збагнути, що

Gy = {x ∈ D (D) : (Q0Fx(a)|Fx(a))m +

∫ c

a

(Q2(y −Hx)|(y −Hx))l dt +∫ c

a

(Q1(d

dtF− C(t))x|( d

dtF− C(t))x))m dt 6 1},

або, в еквiвалентному виглядi

Gy = {x ∈ D (D) : ‖T ∗x− y‖2Q 6 1}, (3.44)

де ‖ω‖2Q = 〈Q1υ, υ〉Lm2 ×Rm + 〈Q2u, u〉Ll2, Q1υ = [Q0z0,Q1(t)z (t)], y = (0, y). Введемо

функцiонал

kf∗(`) =√βy‖T +`‖Q−1 + 〈 T +`, T +H∗Q2y〉Q−1, dom kf∗ = R (T )

де βydef= 1 + ‖T +H∗Q2y‖2Q−1 − 〈Q2y, y〉Ll2, а за символом T + збережено той самий

змiст, що i у §3.3.1. Справедлива

Теорема 3.3.3. Якщо ` ∈ R (T ), то мiнiмакснi апостерiорнi похибка та

оцiнка мають вигляд

σ(`) =1

2[cl kf∗(`) + cl kf∗(−`)], (x) =

1

2[cl kf∗(`)− cl kf∗(−`)] (3.45)

Якщо14 〈Q2y, y〉Ll2 < 1, то

(x) = 〈 T +`, T +H∗Q2y〉Q−1, σ(`) =√βy‖T +`‖Q−1 (3.46)

Якщо R (T ) = cl R (T ), то мiнiмаксна апостерiорна оцiнка збiгається з мiнi-

максною середньоквадратичною апрiорною оцiнкою

(x) = 〈 u, y〉Ll2 = 〈 `, x〉n2.

14Покажемо, що для деяких f , g,D,H та довiльнихQ1,Q2 ми будемо мати 〈Q2y, y〉Ll2< 1. Покладемо C(t) = 0,

F = 1 0 00 1 0 , H(t) = F . Тодi з операторного рiвняння Dx = f знаходимо, що x (t) = F+f0+d+

∫ taF+f(s) ds+x0(t),

де ddt Fx0(t) = 0, Fd = 0, вiдтак y(t) = f0 +

∫ taf(s) ds+g(t). Припустимо, що g = 0. Тодi 〈Q2y, y〉Ll

2=

〈Q2(f0 +∫ taf(s) ds), f0 +

∫ taf(s) ds〉Ll

2< 1 для f0 = 0, ‖f‖ < ε i при цьому (f , g) ∈ G .

108При цьому мiнiмаксна апостерiорна похибка оцiнювання має вигляд

σ(`) = [1− (Q2y, y −Hx)l]12 〈`, x〉

12

Ln2.

Доведення. Згiдно теореми 3.2.3 для знаходження оцiнки нам потрiбно обчи-

слити опорний функцiонал множини Gy.

Лема 3.3.5. Опорний функцiонал множини Gy має вигляд

s(`|Gy) = cl kf∗(`),R (T ) ⊆ dom s(·|Gy) ⊆ cl R (T )

Отже, для ` ∈ R (T ) мiнiмакснi апостерiорнi оцiнка та похибка мають ви-

гляд (3.45), бо dom kf∗ = R (T ) ⊆ Ks (теорема 3.2.3). Далi, спiввiдношення (3.46)

виконано, зокрема, тодi, коли cl kf∗ = kf∗. З iншого боку, умова 〈Q2y, y〉Ll2 < 1

забезпечує слабку напiвнеперервнiсть знизу функцiоналу ` 7→ kf∗(`). Справ-

дi, kf∗(`) = (ϕT +)(`), де ω 7→ ϕ(ω) =√βy‖ω‖Q−1 + 〈ω, T +H∗Q2y〉Q−1 i, якщо

〈Q2y, y〉Ll2 < 1, то в силу нерiвностi Кошi-Буняковського i означення βy

ϕ(ω) > ‖ω‖Q−1(βy − ‖T +H∗Q2y‖2Q−1) = (1− 〈Q2y, y〉Ll2)‖ω‖Q−1,

Отже, функцiонал ω 7→ ϕ(ω) задовольняє умови леми 3.3.2, вiдтак ϕT + – опу-

клий слабко напiвнеперервний знизу функцiонал.

Розглянемо випадок R (T ) = cl R (T ). Справедлива

Лема 3.3.6. Якщо R (T ) = cl R (T ), то

s(`|Gy) =

〈 `, x〉n2

+ [1− (Q2y, y −Hx)l]12 〈`, p〉

12

Ln2, ` ∈ R (T ),

+∞, ` /∈ R (T ),

де p знаходиться з (3.34), x – точка мiнiмуму функцiоналу x 7→ φ(x) = ‖T ∗x−y‖2Q на D (D).

Пiд час доведення наслiдку 3.3.1 було показано, що за умови R (T ) = cl R (T )

кожна з систем

D∗υ = `−H∗Q2Hp, D∗υ = H∗Q2(y −Hx),

D p = Q−11υ, D x = Q−1

1υ

109має непорожню множину розв’язкiв, причому мiнiмаксна апрiорна середньоква-

дратична оцiнка має вигляд u = Q2Hp, вiдтак

〈 u, y〉Ll2 = 〈 p,H∗Q2y〉Ll2 = 〈Dp, υ〉Lm2 + 〈 u,Hx〉Ll2 = 〈 `, x〉n2

З iншого боку, враховуючи теорему 3.2.3 i лему 3.3.6, легко переконатися, що(x) = 〈 `, x〉n2. Теорему доведено.

Доведення леми 3.3.5. Подамо множину Gy у виглядi Gy = {x : f(x) 6 0}, депокладено

f(x) =

12(‖T ∗x− y‖2Q − 1), x ∈ D (D)

+∞, x 6∈ D (D),

Зрозумiло (лема 3.3.2), що f – опуклий слабко напiвнеперервний знизу власний

функцiонал, тому f = f ∗∗. Обчислимо s(·|Gy).

Лема 3.3.7. Припустимо, що банаховi простори B,B∗ двоїстi вiдносно

бiлiнiйної форми 〈 ·, ·〉 i нехай x 7→ f(x) – опуклий функцiонал на B. Тодi опорний

функцiонал s(·|C) множини C def={x∗ ∈ B∗ : f ∗(x∗) 6 0} має вигляд

s(x|C) = supx∗∈C〈x∗, x〉 = cl kf(x), (3.47)

де kf(x) = inf{µ : (µ, x) ∈ K(epi f)}, K(epi f) = {λ(x, µ) | (x, µ) ∈ epi f, λ > 0}.

Згiдно рецепту леми 3.3.7 опорним функцiоналом множини Gy = {x : f ∗∗(x) 6 0}буде cl kf∗. Знайдемо kf∗. За означенням

K(epi f ∗) = ∪λ>0λ(epi f ∗)

По аналогiї з [71, c.51] введемо функцiонал

(f ∗λ)(x∗) = inf{µ|(x∗, µ) ∈ λ(epi f ∗)}, λ > 0

Тодi

epi(kf∗) = K(epi f ∗) = ∪λ>0 epi(f ∗λ) (∗)

вiдтак

kf∗(x∗) = inf{(f ∗λ)(x∗)|λ > 0}

110Справдi, ((f ∗λ)(x∗), x∗) ∈ epi(kf∗) для довiльних λ > 0, x згiдно (∗), тому

kf∗(x∗) 6 (f ∗λ)(x∗), λ > 0

З iншого боку (kf∗(x∗), x∗) ∈ K(epi f ∗), звiдки випливає iснування щонайменше

одного λ > 0 такого, що kf∗(x∗) > (f ∗λ)(x∗).

Iз того, що f ∗(0) = supx∈D (D)−f(x) < +∞ i, очевидно, (f ∗0)(x∗) =

δ(x∗|{0}) випливає представлення

kf∗(x∗) = inf{(f ∗λ)(x∗)|λ > 0}, (∗∗)

яке узгоджується з тим, що kf∗(0) 6 0, kf∗ 6 f ∗. Покажемо, що

(f ∗λ)(x∗) = λf ∗(λ−1x∗), λ > 0

Справдi, якщо (x∗, µ) ∈ λ(epi f ∗) для деякого µ, то

1

λ(x∗, µ) ∈ epi f ∗ ⇒ µ > λf ∗(λ−1x∗)

вiдтак

(f ∗λ)(x∗) > λf ∗(λ−1x∗).

Покладемо µ∗ = λf ∗(λ−1x∗). Легко переконатись, що (x∗, µ∗) ∈ λ(epi f ∗), тому

λf ∗(λ−1x∗) > (f ∗λ)(x∗).

Таким чином

kf∗(x∗) = inf{λf ∗(λ−1x∗)|λ > 0} (3.48)

Обчислимо f ∗. Для цього перетворимо вираз для f(x). Одержимо

f(x) =1

2‖T ∗x‖2Q − 〈x,H∗Q2y〉n2 +

1

2(〈Q2y, y〉Ll2 − 1) = ϕ(x) + 〈x, p〉n

2+ α,

де покладено α def= 1

2(〈Q2y, y〉Ll2 − 1), ϕ(x)def= 1

2‖T∗x‖2Q, p

def= −H∗Q2y.

Тодi [83, c.204,п.9] f ∗(x∗) = ϕ∗(x∗ − p)− α. Очевидно,

0 ∈ int(

dom1

2‖ · ‖2Q − R (T ∗)

),

111тому (див.лему 3.2.3)

ϕ∗(q) = T (1

2‖ · ‖2Q)∗(q) =

inf{12‖ω‖2Q−1|T ω = q}, q ∈ R (T ),

+∞, q /∈ R (T )

Таким чином ϕ∗(x∗ − p) = 12‖T

+(x∗ +H∗Q2y)‖2Q−1 звiдки

f ∗(x∗) =

12‖T

+x∗‖2Q−1 + 〈 T +x∗, T +H∗Q2y〉Q−1 + 12βy, x∗ ∈ R (T ),

+∞, x∗ /∈ R (T ).

Покладемо

ψ(λ)def=

1

2λ‖T +x∗‖2Q−1 + 〈 T +x∗, T +H∗Q2y〉Q−1 +

λ

2βy

i обчислимо kf∗. Згiдно (3.48) знаходимо

kf∗(x∗) =

inf{ψ(λ), λ > 0}, x∗ ∈ R (T ),

+∞, x∗ /∈ R (T ).

Помiтимо, що1

2βy = f ∗(0) = − inf

x(1

2‖T ∗x− y‖2Q −

1

2) > 0,

бо Gy 6= ∅ (див. (3.44)). Якщо βy = 0, то, очевидно,

infλ>0

ψ(λ) = 〈 T +x∗, T +H∗Q2y〉Q−1

Якщо ж βy > 0, то з умов ddλψ(λ) = 0, λ > 0 знаходимо λ =

√‖T +x∗‖2

Q−1

βy, вiдтак

kf∗(x∗) =

ψ(λ) =√βy‖T +x∗‖Q−1 + 〈 T +x∗, T +H∗Q2y〉Q−1, x∗ ∈ R (T ),

+∞, x∗ /∈ R (T ).

Лему доведено.

Доведення леми 3.3.7. Вiдомо [82, c.174, п.3], що для опуклої пiдмножини A

абстрактного банахового простору B конус

K(A)def=⋃λ>0

λA = {λx |x ∈ A, λ > 0}. (3.49)

112збiгається з перетином усiх опуклих конусiв, кожен з яких мiстить A i початок

координат. Кожному опуклому функцiоналу f : B → R ми можемо зiставити

функцiонал kf , надграфiком якого служить множина K(epi f). Символом cl f

позначатимемо перетворення15 Юнга-Фенхеля функцiоналу f ∗. З’ясуємо деякi

властивостi kf . Оскiльки K(epi f) найменший опуклий конус, що мiстить epi f i

початок координат, то kf є опуклим додатно однорiдний функцiоналом, kf 6 f

i kf(0) = 0 або kf(0) = −∞. В силу додатної однорiдностi або cl kf ≡ −∞ або

cl kf > −∞, тому якщо f – невласний, то cl kf ≡ −∞. Покажемо, що cl kf є

опорним функцiоналом множини

Ckdef={x∗ ∈ B∗ : k∗f(x

∗) 6 0} = {x∗ ∈ B∗ : 〈x∗, x〉 6 kf(x) ∀x ∈ B}.

Справдi, для власного функцiоналу cl kf це показано у [82, c.203,п.1]. Якщо ж

cl kf ≡ −∞, то k∗f ≡ +∞ i тодi, очевидно, Ck = ∅.

Покажемо, що C = Ck. Для випадку невласного функцiоналу f , очевидно,

f ∗ ≡ +∞, вiдтак C = Ck = ∅.

Нехай тепер функцiонал f – власний. Оскiльки kf 6 f , то, очевидно, k∗f > f ∗

звiдки для довiльного x∗ ∈ Ck буде f ∗(x∗) 6 0, вiдтак Ck ⊂ C.

Нехай x∗ ∈ C. Тодi 〈x∗, x〉 6 f(x) для довiльного x ∈ B, звiдки epi f ⊂ epi 〈x∗, ·〉.Легко збагнути, що надграфiком лiнiйного функцiоналу 〈x∗, ·〉 є опуклий конус

простору B × R, який мiстить початок координат, тому K(epi f) ⊂ epi 〈x∗, ·〉 заозначенням K(epi f). Але тодi 〈x∗, x〉 6 kf(x)∀x ∈ B, вiдтак x∗ ∈ Ck.

Доведення леми 3.3.6. Якщо виконано умову леми, то D (T +) = R (T ) =

cl(T ). Вiдтак за теоремою про замкнений графiк [76, c.22] оператор T + обмеже-

ний, звiдки випливає слабка напiвнеперервнiсть знизу власного опуклого фун-

кцiоналу

x∗ 7→√βy‖T +x∗‖Q−1 + 〈 T +x∗, T +H∗Q2y〉Q−1,

отже s(·|Gy) = kf∗.15cl f збiгається з поточковою верхньою гранню [72, c.25] неперервних афiнних функцiоналiв, кожен з яких

нiде не перевищує f .

113Оскiльки множина значень оператора T ∗ замкнена одночасно [80, c.335] з

R (T ), то Arginf φ 6= ∅. Запишемо умови оптимальностi для x у виглядi варiа-

цiйної рiвностi

〈Q1Dx,Dx〉Lm2 + 〈Hx− y,Q2Hx〉Ll2 = 0, ∀x ∈ D (D),

звiдки випливає, що υ = Q1Dx ∈ D (D∗) i D∗υ = H∗Q2(y −Hx). Це означає, що

вектор (x, υ) задовольняє систему

D∗υ = H∗Q2(y −Hx),

Dx = Q−11υ.

(∗)

З iншого боку єдиний розв’язок [υ, u = Q2Hp] = T +` задачi оптимiзацiї

(Q−10 z0|z0)m + 〈Q−1

1z, z〉Lm2 + 〈Q−1

2u, u〉Ll2 → inf

z0,z,u,

T ω = `, ω = [z0, z, u]

задовольняє (див. 3.3.1) систему

D∗υ = `−H∗Q2Hp,

Dp = Q−11υ

(∗∗)

Порiвнюючи (∗∗) iз (∗) легко збагнути, що T +H∗Q2y = [υ,Q2Hx] i

βy = 〈Q2Hx,Hx〉Ll2 + 1− 〈Q2y, y〉Ll2 + 〈D∗υ, x〉n2

= 1− 〈Q2y, y −Hx〉Ll2,

〈 T +`, T +H∗Q2y〉Q−1 = 〈 x,D∗υ〉n2

+ 〈 u,Hx〉Ll2 = 〈 `, x〉n2

звiдки, помiчаючи, що ‖T +`‖2Q−1 = 〈 `, p〉n2, негайно одержуємо вираз для s(`|Gy).

Наслiдок доведено.

Теорема 3.3.4. Припустимо, що x – точка мiнiмуму функцiоналу x 7→φ(x) = ‖T ∗x− y‖2Q. Тодi мiнiмаксна апостерiорна оцiнка лiнiйного функцiоналу

` ∈ R (T ) має вигляд (x) = 〈 `, x〉n2.

Мiнiмаксна апостерiорна похибка дається виразом16

σ(`) = (1− 〈Q2y, y −Hx〉Ll2)12 σ

12 .

16 Нагадаємо, що символом σ у § 3.2.2 було позначено мiнiмаксну середньоквадратичну похибку в задачах

апрiорного оцiнювання.

114Приведемо критерiй iснування точки мiнiмуму функцiоналу x 7→ φ(x).

Лема 3.3.8. Множина Arginfx∈D (D) ‖T ∗x− (0, y)‖2Q непорожня лише то-

дi, коли системаD∗υ = H∗Q2(y −Hx),

Dx = Q−11υ.

(3.50)

сумiсна.

Доведення. Необхiднiсть. Iснування точки мiнiмуму x функцiоналу x 7→‖T ∗x− y‖2Q еквiвалентно (див. лему 3.3.4) тому, що для довiльної послiдовностi

{εn} ↓ 0 ∥∥xεn − x∥∥2Ln2 → 0,

де xεn – точка мiнiмуму функцiоналу

x 7→ Tε(x)def= ‖T ∗x− (0, y)‖2Q + εn

∥∥x∥∥2Ln2

З iншого боку легко переконатись, беручи до уваги лему 3.3.3, що xεn – єдиний

розв’язок варiацiйної рiвностi

〈Q1Dxεn,Dx〉Lm2 ×Rm = 〈H∗Q2(y −Hxεn)− εnxεn, x〉n2 , ∀x ∈ D (D),

вiдтак пара (υεn, xεn) – єдиний розв’язок системи

D∗υ = H∗Q2(y −Hx)− εnx,

Dx = Q−11υ.

(∗)

Оскiльки

limεn↓0‖T ∗xεn − y‖2Q = inf

x‖T ∗x− y‖2Q,

то, беручи до уваги (∗), знаходимо

T ∗x = limn→∞T ∗xεn = lim

n→∞(Dxεn,Hxεn) = ( lim

n→∞Q−1

1υεn,Hx),

вiдтак послiдовнiсть {υεn} збiгається до деякого υ i Dx = Q−11υ.

З iншого боку iз (∗) випливає, що

limεn↓0D∗υεn = lim

εn↓0H∗Q2(y −Hxεn)− εnxεn = H∗Q2(y −Hx),

115бо в силу обмеженостi послiдовностi {xεn}εn↓0 та неперервностi оператора H ми

будемо мати εnxεn → 0,Hxεn → Hx при εn ↓ 0. Оскiльки D∗ – замкнений опера-

тор, то υ ∈ D (D∗) i D∗υ = H∗Q2(y −Hx).

Достатнiсть. Нехай (υ, x) – довiльний розв’язок системи (3.50). Тодi

для довiльного x ∈ D (D)

‖T ∗x− y‖2Q − ‖T ∗x− y‖2Q >

〈D∗υ, x− x〉Lm2 ×Rm + 〈H∗Q2(y −Hx), x− x〉n2

= 0

Лему доведено.

Доведення теореми 3.3.4. Покладемо

T1(x)def= 〈Q1Dx,Dx〉Lm2 ×Rm + 〈Q2Hx,Hx〉Ll2

i введемо множину

Gydef={x ∈ D (D) : T1(x) + 〈Q2y, y −Hx〉Ll2 6 1}.

Зрозумiло, що Gy – опукла центрально симетрична вiдносно нуля множина.

Справдi, якщо покласти

T (x)def= 〈Q1Dx,Dx〉Lm2 ×Rm + 〈Q2(y −Hx), y −Hx〉Ll2,

то, беручи до уваги лему 3.3.8, легко переконатись, що

inf T (x) = 〈Q2y, y −Hx〉Ll2

вiдтак 0 ∈ Gy. Оскiльки

T (x) = 〈Q1Dx,Dx〉Lm2 ×Rm − 2 〈D∗υ, x〉n2

+ 〈Q2Hx,Hx〉Ll2 − 2 〈Q2Hx,Hx〉Ll2+

〈Q2y, y〉Ll2 = 〈Q2y, y〉Ll2 + 〈Q1D(x− x),D(x− x)〉Lm2 ×Rm − 〈Q1Dx,Dx〉Lm2 ×Rm+

〈Q2H(x− x),H(x− x)〉Ll2 − 〈Q2Hx,Hx〉Ll2 = T1(x− x) + 〈Q2y, y −Hx〉Ll2,

тоGy = {x ∈ D (D) : T (x) 6 1} =

{x ∈ D (D) : T1(x− x) + 〈Q2y, y −Hx〉Ll2 6 1},

116

вiдтак Gy = x+ Gy. Але тодi

s(`|Gy) = 〈 `, x〉n2

+ s(`|Gy),

i згiдно теореми 3.2.3

(x) =1

2[s(`|Gy)− s(−`|Gy)] = 〈 `, x〉n

2, σ(`) = s(`|Gy),

бо s(`|Gy) = s(−`|Gy) в силу центральної симетричностi вiдносно нуля множини

Gy. Обчислимо s(`|Gy). Для цього подамо Gy у виглядi Gy = {x : f(x) 6 0}, деf(x) = +∞, якщо x 6∈ D (D) i

f(x) =1

2(〈Q1Dx,Dx〉Lm2 ×Rm + 〈Q2Hx,Hx〉Ll2 + 〈Q2y, y −Hx〉Ll2)

у протилежному випадку. Мiркуючи як i пiд час доведення леми 3.3.5, легко

збагнути, що

f ∗(x∗) =

+∞, x∗ 6∈ R (T ),

12‖T

+x∗‖2Q−1 + 12βy, x∗ ∈ R (T ),

де покладено βy = 1 − 〈Q2y, y −Hx〉Ll2. Беручи до уваги екстремальну власти-

вiсть x, знаходимо, що βy > 0. Якщо βy = 0, то Gy = {0}, вiдтак s(·|Gy) ≡ 0.

Нехай тепер βy > 0. Тодi

kf∗(`) =

+∞, ` 6∈ R (T ),√βy‖T +`‖Q−1, ` ∈ R (T ).

Виберемо ` ∈ L2

([a, c],Rn

)i нехай {`n} – довiльна збiжна (до `) послiдовнiсть

елементiв R (T ). Покладемо c = lim√βy‖T +`n‖Q−1. Зрозумiло, що −∞ < c 6

+∞. Якщо ` /∈ R (T ), то kf∗(`) = +∞, вiдтак kf∗ буде слабко напiвнеперервним

знизу у точцi ` лише тодi, коли c = +∞. З iншого боку, якщо останню рiвнiсть

не виконано, то знайдеться пiдпослiдовнiсть {`nk} така, що lim√βy‖T +`nk‖Q−1 =

c < +∞ звiдки, користуючись замкненiстю T +, легко вивести, що ` ∈ D (T +) =

R (T ).

Нехай ` ∈ R (T ). Тодi якщо знайдеться {`n} таке, що c < +∞, то T +`nk −→c. T+`

для деякої пiдпослiдовностi {`nk}, звiдки

lim√βy‖T +`n‖Q−1 >

√βy‖T +`‖Q−1

117Отже, опуклий функцiонал kf∗ слабко напiвнеперервний знизу i власний, тому

kf∗ = cl kf∗ i

s(`|Gy) = cl kf∗ =

+∞, ` 6∈ R (T ),

(1− 〈Q2y, y −Hx〉Ll2)12‖T +`‖Q−1, ` ∈ R (T ).

Доведення завершимо посиланням на теорему 3.3.1.

3.3.3. Мiнiмаксна фiльтрацiя у неперервних системах

Припустимо, що функцiя t 7→ x (t) ∈ Rn майже скрiзь на [a, b] задоволь-

няє (3.8) i на [a, c], c 6 b спостерiгається функцiя t 7→ y(t) ∈ Rl вигляду (3.9).

Для заданих `0 ∈ Rn, ` ∈ L2

([a, c],Rn

)будемо шукати мiнiмаксну середньоква-

дратичну оцiнку лiнiйного функцiоналу

`(x) = (F+′`0,Fx(c))n + 〈 `, x〉n2,

у класi лiнiйних функцiоналiв вiд спостережень y 7→ u(y) для випадку квадра-

тичних обмежень G ,G2 вигляду (3.30) на невiдомi праву частину f , початкове

значення f0 у (3.1) та кореляцiйну функцiю випадкового процесу η у (3.9). Не-

хай функцiя t 7→ z (t) ∈ Rm задовольняє умови

− d

dtF′z(t)− C′(t)z (t) = `(t)− H′(t)u(t), F′z(c) = F+′`0. (3.51)

Символом U` позначимо сукупнiсть усiх u ∈ U` таких, для яких (3.51) має

розв’язки. Дамо означення квазiмiнiмаксних середньоквадратичних оцiнок.

Означення 3.3.1. Оцiнка u, що знаходиться з умови

infu∈U`

supx,Rη

M[`(x)− u(y)]2 = supx,Rη

M[u(y)− `(x)]2. (3.52)

називається квазiмiнiмаксною. Число

supx,Rη

M[u(y)− `(x)]2

називають квазiмiнiмаксною середньоквадратичною похибкою.

118Вигляд квазiмiнiмаксної оцiнки дає наступна

Теорема 3.3.5. Припустимо, що функцiя t 7→ p(t) знаходиться як

розв’язок крайової задачi

d

dtFp(t)− C(t)p(t) = Q−1

1(t)z (t), Fp(a) = Q−1

0 (FF+z(a)− d), F ′d = 0

− d

dtF′z(t)− C′(t)z (t) = `(t)− H′(t)Q2(t)H(t)p(t), F′z(c) = `0,

(3.53)

Тодi квазiмiнiмаксна середньоквадратична оцiнка функцiоналу `(x) має вигляд

u(y) = (u, y)l =

∫ c

a

(Q2(t)H(t)p(t), y(t))l dt .

Квазiмiнiмаксна середньоквадратична похибка дається виразом

σ = (F p(c), F+′`0)m +

∫ c

a

(`(t), p(t))n dt = `(p).

Доведення. Помiтимо спочатку, що U` 6= ∅, бо згiдно умови теореми при u =

Q2Hp рiвняння (3.51) сумiсне, тобто знайдеться вектор- функцiя t 7→ z (t), яка

задовольнятиме (3.51) при u = u.

За лемою 3.1.4 для функцiй x ∈W1

2

([a, c],Rn

), z ∈W1

2

([a, c],Rm

)має мiсце

(F+Fx(c),F′z(c))n − (F+Fx(a),F′z(a))n =

∫ c

a

(d

dtF′z, x)n + (

d

dtFx, z)m dt

звiдки

(Fx(c), F+′`0)m +

∫ c

a

(− d

dtF′z(t)− C′(t)z (t), x (t))n dt =

(Fx(a), F+′F′z(a))m +

∫ c

a

(d

dtFx(t)− C(t)x (t), z (t))m dt

вiдтак

M[`(x)− uc(y)]2 = [(f0, F+′F′z(a))m +

∫ c

a

(f, z)m dt]2 + M[

∫ c

a

(u, η)l dt]2,

де z знаходиться з (3.51). Але тодi для u ∈ U` (υ = (F+′F′z(a), z), f = (f0, f)

supx,Rη

M[`(x)− uc(y)]2 = supf

{〈 υ, f〉 − δ(f |G )− δ(f |R (D))}+ 〈Q−12

u, u〉Ll2 =

inf(q,h)∈N(D∗)

s((F+′F′z(a)− q, z− h|G )) + 〈Q−12

u, u〉Ll2

119як це випливає з теореми 1 [82, c.188,т.1]. В силу строгої опуклостi функцiоналу

s(·|G ) знайдеться єдиний вектор (q, hz) ∈ N (D∗), для якого

inf(q,h)∈N(D∗)

s((F+′F′z(a)− q, z− h|G )) + 〈Q−12

u, u〉Ll2 = 〈Q−12

u, u〉Ll2+

(Q−10 (F+′F′z(a)− q), F+′F′z(a)− q)m + 〈Q−1

1(z− hz), z− hz〉Lm2 := T (u, z)

В силу екстремальностi (q, hz) ми будемо мати [74, c.23]

(Q−10 (F+′F′z(a)− q), q)m + 〈Q−1

1(z− hz), h〉Lm2 = 0,∀(q, h) ∈ N (D∗) (P )

З наслiдку 3.1.5(див.§ 3.1) про вигляд D (D∗) одержимо, що вектор q задовольняє

умову q = d + F′+F ′h(a). Включення (q, hz) ∈ N (D∗) означає, що функцiя hz ∈W1,F′

2

([a, c],Rm

)належить до множини розв’язкiв початково-крайової задачi

d

dtF ′hz(t)− C′(t)hz(t) = 0, F ′hz(c) = 0,

вiдтак для вектор-функцiї z, що задовольняє (3.51), виконано

− d

dtF ′(z− hz)(t)− C′(t)(z− hz)(t) = `(t)− H′(t)u(t), F ′(z− hz)(c) = `0

звiдки видно, що υ def= z−hz задовольняє (3.51). Помiтимо далi, що F+′F′z(a)−q =

F+′F ′υ(a)− d := r i для довiльних (q, h) ∈ N (D∗)

s((r − q, υ − h|G )) = (Q−10 r, r)m + 〈Q−1

1υ, υ〉Lm2 − 2[(Q−1

0 r, q)m + 〈Q−11h, υ〉Lm2 ]+

(Q−10 (F+′F ′h(a) + d), F+′F ′h(a) + d)m + 〈Q−1

1h, h〉Lm2 = (Q−1

0 r, r)m+

〈Q−11υ, υ〉Lm2 + (Q−1

0 (F+′F ′h(a) + d), F+′F ′h(a) + d)m + 〈Q−11h, h〉Lm2

в силу (P ), але тодi

inf(q,h)∈N(D∗)

s((r − q, υ − h|G )) = (Q−10 r, r)m + 〈Q−1

1υ, υ〉Lm2

тому

infu∈U`

supx,Rη

M[`(x)− uc(y)]2 = infu∈U`

T (u),

де покладено

T (u)def=(Q−1

0 (F+′F ′υ(a)− d), F+′F ′υ(a)− d)m + 〈Q−11υ, υ〉Lm2 + 〈Q−1

2u, u〉Ll2

120вiдтак, для завершення доведення теореми нам залишилось показати, що

T (u)−T (u) > 0

для всiх u ∈ U`. Для того щоб довести це, спочатку проведемо деякi промiжнi

викладки. Помiтимо, що для довiльного розв’язку (3.51) z ми будемо мати

(F p(c),F+′F′z(c))m − (F p(a),F+′F′z(a))m =∫ c

a

(d

dtFp(t), z(t))m + (

d

dtF′z(t), p(t))m =

∫ c

a

(H ′u− `(t), p(t))n + (Q−11z, z)m dt

звiдки

(F p(c),F+′F′z(c))m − (F p(a),F+′F′z(a))m −1

2

∫ c

a

(Q−11

z, z)m + (Q−12

u, u)l dt =∫ c

a

(H ′u− `(t), p(t))n −1

2(Q−1

2u, u)l dt +

∫ c

a

(Q−11z, z)m −

1

2(Q−1

1z, z)m dt

Зокрема, при u(t) = u(t) = Q2(t)H(t)p(t)

(F p(c),F+′F z(c))m − (F p(a),F+′F z(a))m −1

2

∫ c

a

(Q−11z, z)m + (Q−1

2u, u)l dt =∫ c

a

1

2(H ′u, p)n − (`, p)n +

1

2(Q−1

1z, z)m dt

Скрiзь нижче пишучи z ми будемо мати на увазi υ, яке вiдповiдає деякому фi-

ксованому u ∈ U`, пiд символом z ми будемо розумiти функцiю υ, що вiдповiдає

u. Отже, зафiксуємо довiльне u ∈ U`, зiставимо йому розв’язок (3.51) z та вектор

d i обчислимо T (u)−T (u). З урахуванням попереднiх спiввiдношень одержимо

1

2(J (u)− J (u)) =

1

2(‖Q−

12

0 (FF+z(a)− dz)‖2Rm +

∫ c

a

(Q−11

z, z)m + (Q−12

u, u)l dt)−

1

2(‖Q−

12

0 (FF+z(a)− dz)‖2Rm +

∫ c

a

(Q−11z, z)m + (Q−1

2u, u)l dt) >

(Q−10 (FF+z(a)− dz), FF+(z(a)− z(a))− (dz − dz))m+

1

2

∫ c

a

(Q−11 z, z)m + (Q−1

2u, u)l dt−1

2

∫ c

a

(Q−11 z, z)m + (Q−1

2u, u)l dt .

Помiтимо, що F p(a) = Q−10 (FF+z(a)− dz), вiдтак (Q−1

0 (FF+z(a)− dz), dz− dz)m =

1210, тому

1

2(J (u)− J (u)) = (F p(c), FF+z(c))m − (F p(a), FF+z(a))m−

1

2(

∫ c

a

(Q−11 z, z)m + (Q−1

2u, u)l dt)− ((F p(c), FF+z(c))m − (F p(a), FF+z(a))m−

1

2(

∫ c

a

(Q−11 z, z)m + (Q−1

2u, u)l dt) =

∫ c

a

1

2(H ′u, p)n − (`, p)n +

1

2(Q−1

1z, z)m dt +∫ c

a

(−H ′u + `(t), p(t))n +1

2(Q−1

2u, u)l dt−

∫ c

a

(Q−11z, z)m +

1

2(Q−1

1z, z)m dt =∫ c

a

(Q−11

(z − z), z − z)m dt +

∫ c

a

(Q2(Q−12

u−Hp),Q−12

u−Hp)l dt > 0

себто u задовольняє означення квазiмiнiмаксної оцiнки. Разом iз тим, беручи до

уваги (3.53), легко пересвiдчитися, що

σ = (F p(c), `0)m +

∫ c

a

(`(t), p(t))n dt .

Теорему доведено.

Зауваження 3.3.1. Для випадку невиродженої квадратної матрицi F

квазiмiнiмаксна оцiнка збiгається [49] з мiнiмаксною.

Будемо шукати квазiмiнiмаксну оцiнку (`, x(c))Rn лiнiйного функцiоналу

x 7→ (F+′`0,Fx(c))n, x ∈W1

2

([a, c],Rn

)для деякої квадратної порядку n матрицi F .

Теорема 3.3.6. Якщо матрична функцiя t 7→ K(t) є розв’язком задачi

Кошi для дескрипторного матричного рiвняння Рiккатid

dt(FK(t)) = C(t)K(t) + K′(t)C′(t)−K′(t)H′(t)Q2H(t)K(t) + Q−1

1,

FK(a) = FF+Q−10 FF

+,

(3.54)

на [a, c], а t 7→ z(t) задовольняєd

dtF′z(t) + C′(t)z (t) = H′(t)Q2(t)H(t)K(t)z (t), F′z(c) = `0, (3.55)

то квазiмiнiмаксна середньоквадратична оцiнка лiнiйного функцiоналу x 7→(F+′`0,Fx(c))n має вигляд

(`, x(c)) =

∫ c

a

(Q2(t)H(t)K(t)z(t), y(t))l dt,

122Мiнiмаксна середньоквадратична похибка оцiнювання дається виразом

σ = (FK(c)F+′`0, F+′`0)m,

Якщо, водночас, дескрипторне рiвняння

d

dtFx(t) = C(t)x(t) + K′(t)H′(t)Q2(y(t)− H(t)x(t)),

Fx(a) = 0

має розв’язки i x – один з них, то

(`, x(c))Rn = (Fx(c), F+′`0)m.

Доведення. Оскiльки права частина (3.54) є симетричною матричною функцi-

єю при кожному t, а початкова умова – симетрична матриця, то FK(t) – симе-

трична матриця при кожному t, вiдтак

FK(t) = FF+FK(t) = K′(t)F ′ = K′(t)F ′F ′+F ′

при кожному t. Диференцiюючи останню рiвнiсть за правилом диференцiювання

добутку, знаходимо ddt FK(t) = FF+( ddt FK(t)) = ( ddt FK(t))F ′+F ′. Покладемо

p(t)def= K(t)z (t). Тодi Fp(t) = FK(t)F ′+F ′z (t) i

d

dtFp(t) =

d

dt(FK(t))F ′+F ′z (t) + FK(t)

d

dtF ′+F′z(t) =

d

dt(FK(t))z (t) + K′(t)

d

dtF′z(t)

звiдки i з (3.54)-(3.55) знаходимо

d

dtFp(t) = C(t)p(t) + Q−1

1(t)z (t), Fp(a) = FF+Q−1

0 FF+z(a)

вiдтак (p, z) задовольняють (3.53) при ` = 0, d = 0, u = Q2HKz. Але тодi за

теоремою 3.3.5 квазiмiнiмакснi середньоквадратичнi оцiнка та похибка мають

вигляд

u(y) =

∫ c

a

(Q2HKz, y)l dt, σ = (F p(c), F+′`0)m = (FK(c)F+′`0, F+′`0)m

123Покажемо справедливiсть другої частини теореми. Для цього запишемо

(`, x(c)) =

∫ c

a

(Q2(t)H(t)K(t)z(t), y(t))l dt =∫ c

a

(d

dt(Fx), z)m + (x, (K ′H ′Q2H − C)′z)n dt =

(Fx(c), FF+z(c))m − (Fx(a), FF+z(a))m = (Fx(c), F+′`0)m.

Теорему доведено.

Наслiдок 3.3.6. Для розв’язностi крайової задачi (3.53) достатньо, щоб

матричне дескрипторне рiвняння Рiккатi (3.54) мало розв’язки.

Зауваження 3.3.2. Питання розв’язностi матричного дескрипторного

рiвняння Рiккатi та алгоритми знаходження розв’язку дослiджувалося, зокре-

ма, у [29, 40]. Задачi фiльтрацiї у дескрипторних системах розглядалися у [39].

Умови iснування розв’язкiв лiнiйних дескрипторних систем можна знайти

у [11, 18, 35].

3.3.4. Приклади

Розглянемо мiнiмакснi апостерiорнi оцiнки лiнiйних неперервних функцiо-

налiв на множинi розв’язкiв операторного рiвняння

Dx = f (3.56)

за спостереженнями

y(t) = H(t)x (t) + g(t) (3.57)

Припустимо, що n = m = 2,Q0 = E,Q1(t) ≡ E,Q2(t) ≡ E. Покладемо

F =

1 0

0 0

, C(t) ≡

0 1

0 0

, H(t) ≡

1 0

0 1

0 0

Тодi рiвняння (3.56) запишеться у виглядi

x1(t) = x2(t) + f1(t),

x1(a) = f0(3.58)

124При цьому (3.57) набуде вигляду

y1(t) = x1(t) + g1(t), y2(t) = x2(t) + g2(t),y3(t) = g3(t)

Система (3.58) є нерегулярною, бо det(F − λC) = 0 для кожного λ. Як це видно

з (3.58) компоненту x2 вектор-функцiї t 7→ x (t) ∈ R2 можна обрати на власний

розсуд. Зважаючи на це, покладемо a = −π, c = π i нехай

x2(t)def= e2πt, f0

def=

√1

3, f1(t)

def=

sin(t)√3π

, g1(t)def=

cos(t)√3π

, f2 ≡ g2,3 ≡ 0

Прямим пiдрахунком встановлюється, що

1

3+

∫ π

−π(sin2(t)

3π+

cos2(t)

3π) dt 6 1

Розв’язуючи задачу Кошi

x1(t) = e2πt +sin(t)√

3π, x1(−π) =

√1

3

одержимо, що

x1(t) =−3e−2π

2

+ 3e2πt + 2√

3(−√π + π)− 2

√3π cos t

6π(3.59)

Помiтимо, що дескрипторна система

d

dtF ′p(t) = −C′(t)p(t) + H′(t)(y(t)− H(t)x(t)), F ′p(π) = 0,

d

dtF x(t) = C(t)x(t) + p(t), F x(−π) = p(−π)

може бути подана у виглядi алгебро-диференцiальної системи

p1(t) = y1(t)− x1(t),

p2(t) + x2(t) = y2(t),

d

dtx1(t) = x2(t) + p1(t),

0 = p2(t), p1(π) = 0, x1(−π) = p1(−π)

яка, як легко бачити, має єдиний розв’язок (p, x), причому

x1(t) =1

6π(−3e−2π

2

+ 3e2πt + 2√

3(−√π + π) + 2(−1 +

√π)√

3π cos(t)),

x2(t) = y2(t).

125Покладемо

`1(t)def= sin(t), `2(t)

def= et

Тодi

`(x) =

∫ π

−πsin(t)x1(t) + ete2πt dt =

sh[2π2]

π + 4π3+

2 sh[π(1 + 2π)]

1 + 2π

Мiнiмаксна апостерiорна оцiнка, як це випливає з теореми 3.3.4, має вигляд(x) =

∫ π

−π(`, x) dt =

sh[2π2]

π + 4π3+

2 sh[π(1 + 2π)]

1 + 2π

Змiнимо вигляд деяких функцiй, а саме покладемо

`1(t)def= −et sin(t), `2(t)

def= 76 + 34t4 + t5, x2(t) = 2π ch(t)

Тодi

x1(t) =−1 +

√π − cos(t)√3π

+ 2π(sh(π) + sh(t))

i

x1(t) =1√3− 1√

3π+

(−1 +√π) cos(t)√3π

+ 2π sh(π) + 2π sh(t)

Пiдрахуємо `(x), (x). Одержимо

`(x) = π − 544π2(6 + π2) ch(π)− π ch(2π) +(−5 + 3√

π) sh(π)

5√

3+

8π(446 + 17π2(12 + π2)) sh(π)− 2

5π sh(2π) ' −4.41057

(x) = π − 544π2(6 + π2) ch(π)− π ch(2π) +1

5

√3(−1 +

1√π

) sh(π)+

8π(446 + 17π2(12 + π2)) sh(π)− 2

5π sh(2π) ' −1.7435

Обчислимо |`(x)− (x)|. Знаходимо

|`(x)− (x)| = 2 sh[π]

5√

3' 2.66707

Розглянемо оцiнки лiнiйних функцiоналiв

x 7→ (F+′`0,Fx(c))n

Оцiнимо вираз x1(π), де x = (x1, x2) знаходиться з (3.58) при x2(t) = e−t2π , f0 =

0, f1(t) = sin(t)√3π

. Легко переконатись, що

x1(t) = 2π(e12 − x2(t)−

1√3π− g1(t)

3π

126Будемо вважати, що спостереження ведуться на тлi шумiв

g1(t) =cos(t)

3π, g2(t) =

sh(t)

et2

Згiдно теореми 3.3.6 нам потрiбно знайти розв’язок задачi Кошi

d

dt(FK(t)) = C(t)K(t) + K′(t)C′(t)−K′(t)H′(t)Q2H(t)K(t) + Q−1

1,

FK(a) = FF+Q−10 FF

+,

яка у нашому випадку запишеться у виглядi

k1(t) k2(t)0 0

= 2k3(t)+1−k21(t)−k23(t) k4(t)−k1(t)k2(t)−k3(t)k4(t)k4(t)−k2(t)k1(t)−k4(t)k3(t) 1−k22(t)−k24(t)

,

k1(−π) k2(−π)0 0

= 1 00 0

(3.60)

де K(t) = k1(t) k2(t)k3(t) k4(t)

. Iз (3.60) легко встановити, що

k2(t) ≡ 0, k3,4(t) ≡ 1,

а k1 є розв’язком задачi Кошi

k1(t) = 2− k21(t), k1(−π) = 1 (3.61)

Безпосередньо встановлюється, що

k1(t) =√

2− 6√

2− 8

3− 2√

2 + e2√2(π+t)

(3.62)

задовольняє (3.61).

За теоремою 3.3.6 рiвняння мiнiмаксного фiльтру має вигляд

d

dtFx(t) = C(t)x(t) + K′(t)H′(t)Q2(y(t)− H(t)x(t)),

Fx(a) = 0

що у нашому випадку еквiвалентно

d

dtx1(t) = y2(t) + k1(t)(y1(t)− x1(t)),

x1(−π) = 0, x2(t) = y2(t)

(3.63)

На малюнку 3.1 зображенi траєкторiї x1, x1, x2, x2, спостереження y1 та динамiка

похибки оцiнювання σ = (FK(t)F+′`0, F+′`0)m = k1(t).

127

Рис. 3.1: Зображення мiнiмаксної похибки (ERROR), промодельованої x1,2(t) та одержаної в

результатi мiнiмаксної фiльтрацiї x1,2(t)− FILTER траєкторiй.

Зокрема, у точцi t = π одержимо

x1(π)− x1(π) ' 0.14551, x2(π)− x2(π) ' 0.000597338

При цьому мiнiмаксна апостерiорна похибка оцiнювання має вигляд

σ = (FK(c)F+′`0, F+′`0)m = k1(π) =

√2 +

8− 6√

2

3− 2√

2 + e4√2π' 1.41421

1283.4. Висновки до 3-го роздiлу

У 3-му роздiлi дисертацiйної роботи окреслено клас дослiджуваних систем,

за допомогою операторних методiв встановлено, що лiнiйне дескрипторне дифе-

ренцiальне рiвняння першого порядку породжує лiнiйний щiльно визначений за-

мкнений диференцiальний оператор D спецiального вигляду. У цьому напрямку

методами опуклого аналiзу та теорiї лiнiйних необмежених операторiв розро-

бляється необхiдний математичний апарат, а саме доводиться лема про вигляд

спряженого до оператора ЛДС, встановлюється формула iнтегрування по части-

нах для функцiй з множин визначення оператора системи та його спряженого,

теорема про вигляд опорної функцiї лебегової множини опуклої власної функцiї

доводиться для випадку просторiв Гiльберта, теореми двоїстостi для образiв та

прообразiв опуклих функцiоналiв вiдносно лiнiйних обмежених операторiв дово-

дяться для лiнiйних необмежених операторiв. Водночас з’ясовано деякi важливi

для задач гарантованого оцiнювання особливостi ЛДС, серед яких вiдсутнiсть

n-нормальностi, d-нормальностi i нормальної розв’язностi оператора системи.

У тому випадку, коли обмеження на невiдомi початкове значення, збурення

та шуми задаються у виглядi обмежених опуклих замкнених пiдмножин вiдпо-

вiдних просторiв, на основi розробленого апарату одержано необхiднi та доста-

тнi умови скiнченностi гарантованої похибки оцiнювання, доведено теореми про

iснування та єдинiсть мiнiмаксних оцiнок лiнiйних неперервних функцiоналiв

вiд розв’язкiв ЛДС, запропоновано представлення мiнiмаксних оцiнок у вигля-

дi розв’язкiв деяких задач оптимiзацiї у гiльбертовому просторi з функцiоналом

якостi, що залежить вiд вигляду опорних функцiоналiв заданих множин обме-

жень (§ 3.2.2,§ 3.2.3). При цьому показано на прикладах, що у загальному випад-

ку дуальнiсть задачi спостереження до задачi керування спряженою системою

може порушуватись, вiдтак застосування технiки побудови оцiнок, яка заснова-

на на формулi iнтегрування по частинах, призводить до суттєвого обмеження

структури ЛДС, множин допустимих оцiнок та оцiнюваних функцiоналiв. Разом

iз тим приведено достатнi умови на вигляд множин обмежень, що забезпечують

129виконання принципу дуальностi Калмана, а також iснування єдиного розв’язку

спряженої ЛДС.

Для квадратичних обмежень доведено iснування та єдинiсть мiнiмаксної

оцiнки для довiльної матрицi F , спираючись на справедливий у цьому випадку

принцип дуальностi Калмана. У випадку вiдсутностi додаткових припущень про

вигляд матриць F,C(t),H(t) для оцiнок побудовано функцiональнi послiдовностi,

утворенi сiм’єю розв’язкiв двоточкових крайових задач для системи лiнiйних де-

скрипторних рiвнянь з параметром α. Показано, що згадана крайова задача при

довiльному фiксованому α > 0 має єдиний розв’язок (§ 3.3.1), причому збiжнiсть

вiдповiдної функцiональної послiдовностi розв’язкiв при α ↓ 0 еквiвалентна iсну-

ванню мiнiмаксної оцiнки. Разом iз тим (§ 3.3.1-3.3.2) запропоновано низку доста-

тнiх умов, виконання яких забезпечує iснування точних представлень апрiорних

та апостерiорних оцiнок у виглядi розв’язкiв двоточкових крайових задач (типу

Ейлера) для невiд’ємно означених гамiльтонових дескрипторних систем [30], якi

у випадку F = E, a = 0 збiгаються з одержаними у [49].

У (§ 3.3.3) розглянуто задачi мiнiмаксного оцiнювання бiльш загальних

лiнiйних функцiоналiв, для яких у припущеннi iснування розв’язкiв матрично-

го дескрипторного рiвняння Рiккатi запропоновано представлення квазiмiнiма-

ксних оцiнок у виглядi керування з оберненим зв’язком для задачi мiнiмiзацiї

строго опуклого коерцитивного слабко напiвнеперервного знизу функцiоналу на

множинi допустимих процесiв спряженої системи, записано рiвняння мiнiмаксно-

го дескрипторного фiльтру та розглянуто чисельнi приклади.

130

ВИСНОВКИ

1. У дисертацiї вивчаються задачi мiнiмаксного спостереження для лiнiйних

дескрипторних систем, структура яких не обмежується припущеннями про

можливiсть розщеплення вiдповiдного рiвняння на алгебраїчну та диферен-

цiальну складовi або iснування перетворення, що приводить дане рiвняння

до нормального вигляду. Це зумовило вибiр загальної методики дослiджен-

ня – вивчення ЛДС з позицiй операторного пiдходу у спецiальних просто-

рах Гiльберта. У цьому напрямку, зокрема, вдалося встановити, що лiнiйне

дескрипторне диференцiальне рiвняння першого порядку породжує лiнiй-

ний щiльно визначений замкнений диференцiальний оператор спецiально-

го вигляду, який не володiє властивостями n-нормальностi, d-нормальностi

i нормальної розв’язностi. Останнє спричинилося до необхiдностi уточнен-

ня, поглиблення та розширення основних iнструментiв теорiї гарантованого

оцiнювання (означень мiнiмаксних оцiнок та методiв їхнього вiдшукання) з

урахуванням згаданої специфiки ЛДС.

2. Аналiзуючи вiдомi iнструменти теорiї гарантованого оцiнювання, вдалося

запропонувати новий спосiб знаходження мiнiмаксної апрiорної похибки для

заданого функцiоналу та оцiнки, який ґрунтується на запровадженому в

працях фон Неймана поняттi графiка лiнiйного оператора та властивостях

перетворення Юнга-Фенхеля спецiальних опуклих функцiоналiв у просторi

Гiльберта. А саме, задача знаходження мiнiмаксної апрiорної похибки замi-

нюється задачею обчислення опуклого функцiоналу, двоїстого у розумiннi

Фенхеля до образу iндикаторної функцiї (множини обмежень на праву ча-

стину та початкове значення) вiдносно оператора системи. Коректнiсть ви-

щезгаданої замiни доводиться шляхом розповсюдження17 теорем двоїстостi

для образiв та прообразiв опуклих функцiоналiв вiдносно лiнiйних обмеже-17Див. §3.2 роздiлу 3

131них операторiв на випадок необмежених операторiв. Описаний вище задум

було вiдображено у запропонованих означеннях мiнiмаксних оцiнки та по-

хибки. Вiдповiдно до введених означень критерiй скiнченностi мiнiмаксної

похибки було сформульовано в термiнах найбiльшого лiнiйного многовиду,

що мiститься у ефективнiй множинi перетворення Юнга-Фенхеля образу iн-

дикаторної функцiї множини обмежень вiдносно оператора системи. Остан-

нє, в свою чергу, вказало можливий шлях до опису сукупностi усiх таких

функцiоналiв, похибка оцiнювання яких скiнченна ( множини оцiнюваних

функцiоналiв ). Запропонованi конструкцiї дають апарат для вивчення з

позицiй теорiї гарантованого оцiнювання широкого класу систем, стан яких

описується лiнiйним рiвнянням iз замкненим щiльно визначеним операто-

ром.

3. У працях О.Г.Наконечного, присвячених оцiнюванню розв’язкiв систем нор-

мальних лiнiйних диференцiальних рiвнянь у звичайних похiдних, запропо-

новано означення мiнiмаксних оцiнок та методику їх вiдшукання, в основу

якої покладено коректну розв’язнiсть оператора системи та дуальнiсть за-

дачi спостереження для "прямої"системи до задачi керування спряженою

системою, вiдкриту в роботах Р.Калмана. Останнє дає змогу виписати рiв-

няння для оцiнок у виглядi двоточкової крайової задачi для пари систем

"пряма-спряжена добре вiдомої з лiнiйно-квадратичних задач оптимального

керування.

У випадку ЛДС дуальнiсть задач спостереженя та керування у загальному

випадку може i не мати мiсця, що пiдтверджується вiповiдними прикла-

дами. Водночас вдалося описати один клас обмежень на праву частину та

початкове значення, для елементiв якого задача мiнiмаксного спостереже-

ння для ЛДС еквiвалентна задачi оптимiзацiї для узагальненої спряженої

ЛДС. Користуючись одержаними достатнiми умовами дуальностi у випадку

квадратичних обмежень, встановлено, що задача мiнiмаксного оцiнювання

еквiвалентна задачi оптимального керування спряженою системою, яка в

свою чергу за допомогою методу регуляризацiї Тихонова зводиться до за-

132дачi псевдообернення лiнiйного замкненого щiльно визначеного оператора

спецiального вигляду, множина значень якого збiгається з множиною оцi-

нюваних функцiоналiв. Спираючись на результати Р.Шафiєва у дисертацiї

запропоновано iтеративну процедуру обчислення псевдооберненого операто-

ра в термiнах послiдовностi розв’язкiв двоточкових крайових задач з пара-

метром.

4. Зв’язок мiж апрiорними та апостерiорними мiнiмаксними оцiнками, вста-

новлений в роботах А.Б. Куржанського та О.Г. Наконечного для лiнiйних

звичайних диференцiальних рiвнянь, вдалося частково розповсюдити на де-

скрипторнi системи. Як з’ясувалося в процесi дослiдження, цей важливий

факт можна пояснити тим, що операцiї спряження та псевдообернення для

замкнених операторiв у деяких випадках комутують мiж собою. У загаль-

ному випадку показано, що знаходження апостерiорної похибки та оцiнки

еквiвалентно обчисленню опорної функцiї аналога апостерiорної множини,

введеної у роботах А.Б. Куржанського, О.Г.Наконечного, М.Ф.Кириченка.

Ця задача, в свою чергу, була зведена до обчислення опорного функцiоналу

лебегової множини слабко напiвнеперервного знизу опуклого функцiоналу

у просторi Гiльберта. Остання була розв’язнана18 за допомогою результатiв

Р.Рокафеллара для скiнченновимiрного дiйсного евклiдового простору.

5. У випадку оцiнювання бiльш загальних лiнiйних функцiоналiв вдалося, спи-

раючись на результати Г.А.Курiної, знайти достатнi умови iснування та

представлення квазiмiнiмаксних оцiнок як у виглядi розв’язкiв двоточкових

крайових задач (подiбних до тих, що виникають в результатi застосування

до лiнiйно-квадратичних задач принципу максимуму) так i за допомогою

неперервного мiнiмаксного фiльтра.

6. Для лiнiйних дескрипторних диференцiальних систем з дискретним часом,

спираючись на результати, одержанi для лiнiйних алгебраїчних рiвнянь,

запропоновано рекурентну процедуру обчислення мiнiмаксної апостерiорної18Див.§3.3.2 роздiлу 3

133оцiнки. Це дозволяє за результатами спостережень, що надходять в реаль-

ному часi, перераховувати на ЕОМ мiнiмакснi оцiнки розв’язкiв лiнiйних

дескрипторних систем.

7. Пiдсумовуючи, можна стверджувати, що мету дисертацiйної роботи, по-

ставлену у вступi, досягнено. Узгодженiсть з отриманими у частинних ви-

падках результатами iнших авторiв дозволяє вважати результати ди-

сертацiї достовiрними. Для застосувань можна рекомендувати прикладнi

дисциплiни, у яких виникають оберненi задачi в умовах неповної iнформацiї:

робототехнiка, обробка зображень та матекономiка.

134

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Жук С.М. Мiнiмакснi задачi спостереження для лiнiйних дескрипторних рi-

зницевих рiвнянь // Тавр.вiсн.iнформ. i мат.— 2005.—№2.—C.14-24.

2. Жук С.М. Мiнiмакснi задачi спостереження для лiнiйних дескрипторних ди-

ференцiальних рiвнянь // Ж. обч. прикл. мат.— 2005.—№2—C.39-46.

3. Жук С.М. Минимаксное оценивание решений систем линейных алгебраиче-

ских уравнений с сингулярными матрицами // Пробл.упр.и информ.— 2004.—

№3.—C.121-130.

4. Жук С.М. Апостерiорнi мiнiмакснi оцiнки розв’язкiв систем лiнiйних алге-

браїчних рiвнянь з сингулярними матрицями // Вiсник Київського унiверси-

тету. Cер.фiз.-мат.науки.— 2004.—№3.—C. 211-214.

5. Жук С.М. Мiнiмакснi задачi спостереження для сингулярних лiнiйних рiзни-

цевих рiвнянь // Тавр.вiсн.iнформ. i мат.— 2005.—№1.—C.16-24.

6. Жук С.М. Мiнiмаксне оцiнювання розв’язкiв лiнiйних алгебраїчних рiвнянь

з сингулярними матрицями // Abstr. Int.Worksh. PDMU-2004.— Тернопiль,

2004.— C.126-128.

7. Жук С.М. Мiнiмакснi апостерiорнi оцiнки розв’язкiв сингулярних лiнiйних

алгебраїчних рiвнянь // у зб. "Суч.проблеми мат.моделювання, прогнозува-

ння та оптимiзацiї.—Кам’янець-Подiльський, 2004.— С.252-254.

8. Zhuk S. Multicriterion linear algebraic equations solutions estimation problem

under uncertainty // Abs.I.Conf.PDMU-2003.—Алушта.— 2003.— P.53-54.

9. Zhuk S. On minimax mean-square estimations for descriptor systems // Abs. Int.

Conf. PDMU-2005.— Berdyansk.— 2005.— P.76-77.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.—М.:Наука, 1967.— 570 с.

13511. Бояринцев Ю.И. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные систе-

мы.—Н.:Наука, 2000.— 222 с.

12. Dai L. Singular control systems // Lect.notes in Control and Information Scienses

(Vol.8).— Berlin:Springer-Verlag, 1989.

13. Campbell S.L.,Petzold L.R Canonical forms and solvable singular systems of di-

fferential equations // SIAM J.Alg.Discrete Methods.— 1983.—№4.— P. 517-521

14. Gerdin M. Parameter Estimation in Linear Descriptor Systems:PhD Thesises.—

Linkoping, 2004.— 230 p.

15. Самойленко А.М., Шкiль М.I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiаль-

них рiвнянь з виродженням.—К.: Вища школа, 2000.— 294 с.

16. Бояринцев Ю.И., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Ме-

тоды численного решения и исследования. —Н.:Наука, 1998.— 222 с.

17. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным

ядром. —Н.:Наука, 1996.— 320 с.

18. Чистяков В.Ф., А.А. Щеглова Управляемость линейных алгебро-

дифференциальнылх систем // Авт. и телемех.— 2002.—№6.—C.62-75

19. Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. Numerical solution of initial-value

problems in differential-algebraic equations. — SIAM - Society for Idustrial and

Applied Mathematics, Philadelphia(USA), 1996.

20. Руткас А.Г. Операторно-дифференциальные уравнения в радиофизике, не

разрешенные относительно производной: Автореферат дис... д-ра фiз.-мат.

наук / Харкiв, 1988 – 30 с.

21. Ткаченко В.I. Об инвариантном торе линейной системы дифференциальных

уравнений с вырожденной матрицей при производных // Дифф. ур-я с па-

раметром.—К.:Iн-т мат-ки НАНУ, 1989.— С. 121-125

13622. Яковець В.П. Деякi властивостi вироджених лiнiйних систем // Укр.мат.ж.—

1997.— Т.42, №9.— C.1278 - 1296.

23. Шлапак Ю.Д. Периодические решения линейной системы дифференциаль-

ных уравнений с вырожденной матрицей при производных // Укр.мат.ж.—

1975.— Т. 27, №1.— C.137-140.

24. Lewis F. A survey of linear singular systems // Circuits Systems and Signal

Processing.— 1986.—Vol. 5(1).— P. 3-36.

25. Campbell S.L. Duality, observability and controllability for linear time-varying

descriptor systems // Circ.,Sys.and Sig. Process.— 1991.—Vol. 10.— P. 455-470.

26. Masubuchi I. Dissipativity inequalities for continuous-time descriptor systems wi-

th applications to synthesis of control gains // S.Contr.L.— 2006.—V.55.— P.158-

164.

27. Kosmol P.,Pavon M. Solving optimal control problems by means of general

Lagrange functionals // Automatica.— 2001.—Vol.37.— P.907-913.

28. Курина Г.А. Сингулярые возмущения задач управления с уравнением состо-

яния, не разрешенным относительно производной // Известия РАН: Тех.киб-

ка.— 1992.—№4.—C.20-48.

29. Курина Г.А. Об операторном уравнении Риккати, не разрешенном отно-

сительно производной. // Дифференциальные уравнения.— 1986. — Т.22,

№10.— C.1826-1829.

30. Курина Г.А. О линейных гамильтоновых системах, не разрешенных относи-

тельно производной // Дифференциальные уравнения.— 1986.— Т.22, №2.—

C.193-198.

31. Костюкова О.И. Критерий оптимальности для линейно-квадратичной зада-

чи оптимального управления дескрипторной системой // Дифференциаль-

ные уравнения.— 2000.— Т.36, №11.— С.1475-1481.

13732. Muller P.C. Stability and optimal control for nonlinear descriptor systems: A

survey // Appl. Math. Comput. Sci.— 1998.—Vol.8,№2.— P.269-286.

33. Muller P.C. Some aspects of the optimal control of nonlinear descriptor systems

// J.Appl.Math Mechs.— 2001.—Vol.65, №5.— 769-776.

34. Zhang, Q.L, Liu, W.Q, Hill D. A Lyapunov approach to analysis of discrete

singular systems. // Systems and Control Letters.—March 2002.—Vol. 45,№3.—

P. 237-247.

35. Benner P., Byer R. An Arithmetic for Matrix Pencils // Proceedings of the

MTNS-98 Symposium.— Padova(Italy), 1998.— P. 573-576.

36. Kurina G.A. Linear-quadratic discrete optimal control problems for descriptor

systems in Hilbert space // Journal of Dynamical and Control Systems.— July

2004.—Vol. 10, №3.— P. 365-375.

37. Ishihara J.Y., Terra M.H., Campos J.C.T. Robust Kalman filter for Descriptor

Systems // In Proceedings of American Control Conf.— Boston (USA).— 2004.—

P. 194-199.

38. Ishihara J.Y., Terra M.H., Campos J.C.T. Optimal recursive estimation for

discrete-time descriptor systems // Int. J. of System Science.— 2005.—Vol. 36,

№10.— P. 1-22.

39. Nikoukhah R.,Willsky A.,Levy B.C. Kalman filtering and Riccati equations for

descriptor systems // IEEE Trans. Automat. Control.— 1992.—Vol. 37.— P. 1325-

1342.

40. M.Shafiee, P.Liatsis The singular optimal control problem: solvi-

ng the Riccati equation using neural networks.— http://www.univ-

perp.fr/mtns2000/articles/B44.pdf

41. Кобринский Н.Е. Экономическая кибернетика —М.:Экон-ка, 1982.— 344 c.

13842. Luenberger D.V. Dynamic equations in descriptor form // IEEE Trans. on

Auotomat.Control.— 1977.—Vol.22.— P.312-321.

43. Влах И. Сингхал К. Машинные методы анализа и проектировния электрон-

ных схем:Пер.з англ.—М.:Радио и связь, 1988.— 560 c.

44. Петренко А.I. Основы автоматизации проектирования—К.:Технiка, 1982.—

295 с.

45. Hasan M.A. Noncausal image modeling using descriptor approach // IEEE

Transactions on Circuits and Systems II.— 1995.—Vol. 2, №42.— P.536-540.

46. Mills J.K Force and position control of manipulators during constrained motion

tasks // IEEE Transactions on Robotics and Automation.— 1989.—Vol. 68.— P.

30-46.

47. Красовский Н.Н Теория управления движением— М.:Наука, 1968.— 476 c.

48. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. —

М.:Наука, 1977.— 392 с.

49. Бублик Б.Н., Данилов В.Я., Наконечный А.Г. Некоторые задачи управления

и наблюдения в линейных системах. — К.:УМК ВО, 1988.— 191 с.

50. Наконечний О.Г. Оцiнювання параметрiв в умовах невизначеностi // Нау-

ковi записки КНУ iм.Т.Г.Шевченка.— 2004.- Том 7: факультет кiбернетики.—

С.102-112.

51. Nakonechny A., Michalek J. Minimax estimates of linear parameter function in

regression model under restrictions on parameters and variance-covariance matrix.

// J.Comput.Appl.Math.— 1997.—№1 (81).— P. 22-32.

52. Наконечний О.Г. Метод возмущений в задачах минимаксного оценивания.—

K.:1982.— 38 c.(Препр./ IК НАНУ; 82-53).

13953. Наконечний О.Г. Минимаксные оценки параметров линейной регрессии с

мультипликативными шумами // Проблемы управления и информатики.—

К.— 1995, №2.—C.32-42.

54. Навродский В.А., Наконечний О.Г. Минимаксные оценки параметров дина-

мических систем // Доповiдi НАНУ.—К.: Наук.думка, 1978.

55. Григоров А.В., Наконечний О.Г. К реккурентным оценкам состояний мини-

максных стохастических систем // Доповiдi НАНУ.—К.: Наук.думка, 1980,

Сер.А №1

56. Наконечний О.Г. К оценке параметров разностных уравнений // Обч.та

прикл.мат-ка.— 1976.— В.30

57. Кириченко Н.Ф., Наконечний О.Г. Минимаксный подход к реккурентному

оцениванию состояний линейных динамических систем // Кибернетика.—

1974.—№4.—С.52-55.

58. Кац И.Я., Куржанский А.Б. Минимаксное оценивание в многошаговых си-

стемах. // ДАН СССР. – 1975. – №3. – c. 46-58.

59. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф., Наконечный А.Г. Минимаксные оценки и ре-

гуляторы в динамических системах. – Киев, 1978. – 32 с.(Препр./ АН УССР,

Ин-т кибернетики; 78-31).

60. Кириченко Н.Ф. Минимаксное управление и оценивание в динамических си-

стемах // Автоматика.– 1982.– №1.– С.32-39.

61. Кунцевич В.Н., Лычак Н.Н. Синтез оптимальных и адаптивных систем

управления. – Игровой подход, К.:Наукова думка, 1985. – 245 с.

62. Ляшко И.И., Диденко В.П., Цитрицкий О.Е. Фильтрация шумов. – К.: На-

укова думка, 1979. – 232 с.

63. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления: пер.з англ. —

М.:Мир, 1973.— 319 c.

14064. Наконечный А.Г. Минимаксные фильтры для линейных стохастических си-

стем. // ДАН УССР, сер. А. – 1978. – с. 923 – 925.

65. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание решений квазилинейных стоха-

стических уравнений // Проблемы управления и информатики.– №1-2. – 1996.

– С. 172 – 184.

66. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вари-

ационных уравнений в гильбертовых пространствах. – К.: КГУ, 1985. – 82

с.

67. Наконечный А.Г. Минимаксная оценка функционалов от решений оператор-

ных уравнений. // Arch.Math. 1, Scripta Fac. Sci. Nat. Ujer Brunensis.– 1978.–

№14.– pp. 55 – 60.

68. Подлипенко Ю.К. Минимаксное оценивание правых частей нётеровых урав-

нений в гильбертовом пространстве в условиях неопределенности // Доповiдi

НАНУ.— 2005.—№12.— C.36-44.

69. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.:Н.,

1974.— 328 c.

70. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. —

М.:Наука, 1971.— 102 с.

71. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ: Пер.з англ. — М.:Мир, 1973.— 465 с.

72. Экланд И.,Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы: Пер.з

франц. —М.:Мир, 1979.— 396 с.

73. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.—М.:Наука, 1981.—

399 c.

74. Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ:Пер.з англ.—

М.:Наука, 1980.– 384 с.

14175. Глазман И.М.,Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. —

М.:Наука, 1969.— 476 с.

76. Лянце В.Э.,Сторож О.Г.Методы теории неограниченных операторов. —Ки-

ев:Наук.думка, 1983.— 212 с.

77. Хатсон В., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории

операторов: Пер. з англ.—М.:Мир, 1983.— 432 c.

78. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и некоторые следствия.— Ба-

ку, 1989.– 161 c.

79. Рисс Ф., Надь Б. Лекции по функциональному анализу.—М.:Мир, 1979.— 578

с.

80. Като Т. Теория возмущений линейных операторов:Пер. з англ.– М.:Мир,

1972.– 730 с.

81. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание: пер.з

англ. — М.:Наука, 1977.— 224 с.

82. Иоффе А.Д.,Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. —М.:Наука,

1974.— 477 с.

83. Обен Ж.-П., Екланд I. Прикладной нелинейный анализ: Пер.з франц. —

М.:Мир, 1988.— 512 с.