II I. T epelné fluktuace: line ární oscilátor

III.Tepelné fluktuace: lineární

oscilátor

KOTLÁŘSKÁ 14. BŘEZNA 2012

F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav

letní semestr 2011 - 2012

Úvodem

• Podruhé bez Planckovy konstanty• Molekulární chaos: Fluktuace a stochastická dynamika• Dvě cesty: výpočet středních hodnot přímá simulace jednotlivých realizací náhodných procesů most: ergodické chování systému v termostatu• Hlavní formální prostředek dnes: Langevinova rovnice -- prototyp stochastických diferenciálních rovnic

3

Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus

torzní zrcátko

4

Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus

Ekvipartiční zákon

torzní zrcátko

5

Ergodičnost

Rovnovážné systémy jsou zvláštní. Jsou na konci cesty, všechna

vnitřní napětí v systému se vyrovnají a nastane zdánlivý klid. Pod ním

však kolotá věčný molekulární chaos. Jeho nahodilost se řídí přísnými

zákony. Ať se děje co děje, globální rovnováha nakonec nesmí být

porušena.

6

Bližší pohled na odvození z minulé přednášky

1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti

2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )

3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:

7





rovnovážná střední hodnota,

pomocí distribuční funkce

8





t

Kappler počítalčasovou střední

hodnotu



9





t

ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD


hodnotu



2

2

/ 2e A

F

f

0

0

d1

d ( )t

t

Ft FF ft

T

T

T

10





t



hodnotu



2

2

/ 2e A

F

f

B

1

k T

0

0

d1

d ( )t

t

Ft FF ft

T

T

T

11





t



hodnotu



0

0

1d ( ) d

t

t

t F t F F f

T

T

T

2

2

/ 2e A

F

f

12

0

0

1d ( ) d

t

t

t F t F F f

T

T

T





t



hodnotu



2

2

/ 2e A

F

f

13

Ergodičnost a molekulární chaos




t

ERGODICKÁ VĚTA


hodnotu

rovnovážná,pomocí

distribučnífunkce

• Molekulární chaos mění každý dynamický proces na stochastický• Při opakování vznikají náhodné realisace procesu• Nejčastěji se objeví "typické" realisace• Pro ně systém bloudí všemi hodnotami uvažované dynamické veličiny a to tak, že u různých hodnot pobývá zhruba podle ter

mické rozdělovací funkce• Z chaotického chování se tak vynořuje pravidelnost

ČASOVÉ STŘEDNÍ HODNOTY

TERMICKÉ STŘEDNÍ HODNOTY

0

0

1d ( ) d

t

t

t F t F F f

T

T

T

14

Tlak v plynu a jeho fluktuace

V elementární kinetické teorii se odvozuje výraz pro tlak plynu, který

vede ke stavové rovnici.Na malou plošku působí tlaková síla,

která však kolísá – podléhá fluktuacím. Ta bude hnací silou pro chaotický pohyb mesoskopických

objektů.

15

Tři příklady mesoskopických systémů

globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační

1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb

2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou

3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou

rotacem

H2

2p

221

2

2Ax

m

pH

221

2

2A

IL

H

16

Naše volba pro konkrétnost představy


1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb



rotacem

H2

2p

221

2

2Ax

m

pH

221

2

2A

IL

H

17



1) Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi



221

2

2Ax

m

pH

221

2

2A

IL

H

212

2

2

pH

mAx

18



1) Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi



221

2

2Ax

m

pH

221

2

2A

IL

H

212

2

2

pH

mAx

NÁHODNÉ SÍLY

19

Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu

Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C

obdobně s druhé strany

krátké silové impulsy

Síla na stojící destičku )()( tFtF

Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou

213d ( ) 2 ( )x x x

t

tt F t n m Sm p S

v v vv

( ) ( )F t F t

( )

( )

F t

F t

t

20







n = 2.691025

mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022

v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík

( ) ( )F t F t

( )

( )

F t

F t

t

213d ( ) 2 ( )x x x

t

tt F t n m Sm p S

v v vv

21







n = 2.691025



( ) ( )F t F t

( )

( )

F t

F t

t

1016 nárazů/s

213d ( ) 2 ( )x x x

t

tt F t n m Sm p S

v v vv

22






n = 2.691025



( ) ( )F t F t

( )

( )

F t

F t

t

1016 nárazů/s


213d ( ) 2 ( )x x x

t

tt F t m n m S p S

v v v v

23






n = 2.691025



( ) ( )F t F t

( )

( )

F t

F t

t

1016 nárazů/s


213d ( ) 2 ( )x x x

t

tt F t m n m S p S

v v v v

2 2 31 2 1 23 3 2 3 2

Elementární odvození stavové rovnice ideálního plynu

B Bp n m n m n k T n k T v v

KONTROLA

24






Střední síla na stojící destičku

0)()( pSpStFtF

n = 2.691025



( ) ( )F t F t

( )

( )

F t

F t

t

1016 nárazů/s


213d ( ) 2 ( )x x x

t

tt F t m n m S p S

v v v v

25


Střední síla na pomalu se pohybující destičku

( ) ( ) pS pS uF t F t

v u

2 2

2 ( )

( ) ( )

x x x

x x x

u m u u

n m u u S p S nm u nmO u

v v v

v v v

brzdná sílaxv

uv

26


Střední síla na pomalu se pohybující destičku

( ) ( )F t F t pS pS u

v u

2 2

2 ( )

( ) ( )

x x x

x x x

u m u u


v v v

v v v

brzdná sílaxv

uv

27


upSpStFtF )()(

v u

Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !!Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému)

xv

Střední síla na pomalu se pohybující destičku u v

2 2

2 ( )

( ) ( )

x x x

x x x

u m u u


v v v

v v v

brzdná síla

2 2

2 ( )

( ) ( )

x x x

x x x

u m u u


v v v

v v v

28


upSpStFtF )()(

v u

Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !!Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému)

Náhodná složka síly

( ) ( ') const ( ')F t F t t t nulová střední síla

bodová korelační funkce (bílý šum)

PROČ

xv

Střední síla na pomalu se pohybující destičku u v

( )F F F F F F F u

( ) 0F t

brzdná síla

29

Langevinova rovnice

Jednoduchá myšlenka: Na mesoskopickou částici působí

fluktuující síla ze strany molekul termostatu.

Pro chaotický pohyb mesoskopických částic můžeme napsat pohybovou

rovnici. Vypadá jako mikroskopická, ale není – náhodná Langevinova síla je zavedena

fenomenologicky.

30

Langevinova rovnicePaul Langevin (1872 -- 1946) 1907 navrhl pohybovou rovnici pro

částici propojenou s termostatem

ext ( )mx x F F t

tření

vtištěná síla(nenáhodná)

NÁHODNÁ LANGEVINOVA

SÍLA

31



ext ( )mx x F F t

tření

vtištěná síla(nenáhodná)


SÍLA

Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém

32



S ( )mx x F F t

tření

působící síla(nenáhodná)


SÍLA

Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém

DVĚ ZÁKLADNÍ STRATEGIE provedeme pro

středování … LR jako stochastická DR 1D Brownovu částici

simulace … řešení LR pro konkrétní lineární oscilátor realizaci Langevinovy síly „pérové váhy“ jako náhodného procesu simulace Kapplerových dat

33

Langevinova rovnice I.

Původně použita na volnou Brownovu

částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro

krátké časy se projeví inerciální efekty

34

Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici

S( ) 0mx x F t F

tření NÁHODNÁ LANGEVINOVA

SÍLA

35


S( ) 0mx x F t F

tření

působící síla=0(volná částice) Kdyby

dostaneme

S ( )m x x F F t

S constF NÁHODNÁ LANGEVINOVA

SÍLA

36


S( ) 0mx x F t F

tření


dostaneme

S ( )m x x F F t

S constF NÁHODNÁ LANGEVINOVA

SÍLA

37


S( ) 0mx x F t F

tření


dostaneme

ustálený stavS ( )m x x F F t

S constF

NÁHODNÁ

LANGEVINOVA SÍLA

38


S( ) 0mx x F t F

tření


dostaneme

S constF

S

S

1/

x F

x BF

B


SÍLA

39


S( ) 0mx x F t F

tření


dostaneme

S constF

S

S

1/

x F

x BF

B


SÍLA

40


S( ) 0mx x F t F

tření


dostaneme

( )x x f t

dělíme m

S constF

S

S

1/

x F

x BF

B m


SÍLA

41


S( ) 0mx x F t F

tření

( )x x f t

dělíme m

Původní Langevinův postup


SÍLA

42



Středovat … ale co

( )

( )

xx xx xx

xx xx xx xf t

( )x x f t

43




( )

( )

xx xx xx

xx xx xx xf t

Použít ekvipartičního teorému Zbavit se náhodné síly !!!

( )x x f t

( )Bk T

mxx xx xf t

44




( )

( )

xx xx xx

xx xx xx xf t

( )x x f t

( )Bk T

mxx xx xf t

Použít ekvipartičního teorému

Zbavit se náhodné síly !!!

0Bk T

mxx xx

45




( )

( )

xx xx xx

xx xx xx xf t

( )x x f t

( )Bk T

mxx xx xf t

Použít ekvipartičního teorému

Zbavit se náhodné síly !!!

0Bk T

mxx xx

( ) 0

( ) ( ') const ( '

Mot

)

( ) ( )

ivac

0

e

f t

f t f t t t

xf t x f t

46


Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná)

eB tk T

mxx C

Pokračování

Počáteční podmínka

212(1 e )B t xx x

kx

Tx

m

0x

neznámá Bk T

mxx xx xx

Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice

47



eB tk T

mxx C

Pokračování


212(1 e )B t xx x

kx

Tx

m

0x

neznámá Bk T

mxx xx xx


48



eB tk T

mxx C

Pokračování


212(1 e )B t xx x

kx

Tx

m

0x

neznámá Bk T

mxx xx xx


Poslední integrace

2 12 (1 e )B txk T

mt


2 /1 12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tx tk T k T

mt

m

relax

1

ač

ní

doba

VÝSLEDEK


2 /1 12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tx tk T k T

mt

m

relax

1

ač

ní

doba

VÝSLEDEK

difusní limita


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

52

Pro t

2 2

2

identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH

B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

53

Pro t

2 2

2


B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t

t


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

54

Pro t

2 2

2


B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t

t


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

55

Pro t

2 2

2


B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t

t


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

56

Pro t

2 2

2


B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t

t 0t

2 2 212

2( )

BALISTICKÝ ROZLET

12 (1 1 )B xx t t t tk T

m

Pro


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

57

Pro t

2 2

2


B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t

t 0t

2 2 212

2( )

BALISTICKÝ ROZLET

12 (1 1 )B xx t t t tk T

m

Pro 0t t


2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T

tk

tT

xm m

relax

1

ač

ní

doba

58

Pro t

2 2

2


B

B

BB

k T

m

k T

m

k TD

mk T B

x t

t

D

Pro 0t

2 2 2 212

2( )

BALISTICKÝ

12 (1 1 )

ROZLET

B Bk Tk T

mxtx t t t t

m

t

t 0t Pro 0t t

2 2 212

2( )

BALISTICKÝ ROZLET

12 (1 1 )B xx t t t tk T

m

59


difusní aproximace

balistická limita

úplné řešení


difusní aproximace

balistická limita

úplné řešení

Balistický rozlet je zpočátku pomalejší, pak ovšem roste kvadraticky i nadále a od je už mnohem rychlejší.

Crossover u odpovídá první srážce

2

Zpozdí se zrovna o

2 Bk T

mx t

2 2

Nezávisí na , je na n

B

T

xk

tT

m

/t

61

Langevinova rovnice II.

Pro lineární oscilátor je řešení pomocí

středovacích procedur také možné.My se soustředíme na přímou simulaci, abychom napodobili Kapplerovy časové průběhy.

62

Langevinova rovnice pro lineární oscilátor

( )mx x Ax F t

tření

vratná sílaNÁHODNÁ SÍLA

Náhodná síla spolu s třením

odrážejí účinek termostatu na systém

)(20 tfxxx

tlumený lineární oscilátorparametry empiricky dostupné

hnán vtištěnou silousíla náhodná, Gaussovský bílý šum

středování

,

20

20

( )

0

x x x f t

x x x x

x x x

středovaný pohyb

je za chvíli utlumen

63

Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení

LODR 2. řádu s pravou stranou

obecné řešení= obecné ř. homog. rovnice+ partikulární řešení nehomog. rovnice

)(~)exp()exp()( 2211 txtCtCtx

sekulární rovnice02

02

20

241

21

2,1

021

kritická hodnota

podtlumené kmity přetlumené kmity

64

Kořeny charakteristické rovnice

02

02

bezrozměrný parametr

0

2,1Re

0

2,1Im

asymptoty

1,2

0 0 0

2

12 2

65

Langevinova rovnice – Greenova funkce

)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

pulsní excitace

partikulární řešení nehomog. rovnice

hledáme pomocí Greenovy funkce

66




)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

akustickáměření

Greenovyfunkcepodle

definices kladívkem

67


)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

PAK

( ) d ' ( , ') ( ')x t t G t t f t pulsní excitace



68




)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

PAK

( ) d ' ( , ') ( ')x t t G t t f t

Ověření: Definujeme

Symbolicky LG

d ' d 'L x t LG f t f f

22

2 0(dif. operátor)d d

d dL

t t

69

Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce

hledáme Greenovu funkci

A kausalita

B

C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt

okrajové podmínky (sešití při rovných časech)

dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´

)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

'pro0)',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

( , ) 0 pro G t t t t

70

Langevinova rovnice – odvození sešívacích podmínek


A ( , ') 0 pro 'G t t t t kausalita

B

C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt



)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

'pro0)',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

2202

20

d ( , ')d

d ( , ') ( , ')d

d ( , ') ( , ') ( ')d

( , ') 1tt

tt

t

t

t t t t

t t t t

G t tt

G t t G t tt

dt G t t dt dt G t t dt t tt

dt G t t

71

Langevinova rovnice – odvození sešívacích podmínek



B

d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt



)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

'pro0)',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

2202

20

d ( , ')d

d ( , ') ( , ')d

d ( , ') ( , ') ( ')d

( , ') 1tt

tt

t

t

t t t t

t t t t

G t tt

G t t G t tt

dt G t t dt dt G t t dt t tt

dt G t t

0

C

72

Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce



B

C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt



'

)()exp()exp(1

)( 2121

tt

G

)'()',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

'pro0)',()',(dd)',(

dd 2

02

2

ttttGttGt

ttGt

73

Langevinova rovnice – ukázka Greenovy funkce

'

)()exp()exp(1

)( 2121

tt

G

G

74

Langevinova rovnice – náhodná síla

Velikost náhodné síly ( ) ( ') 2 ( ')f t f t D t t konvenční, ale matoucí

označení

75


Velikost náhodné síly ( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t naše konvenční označení

76


Velikost náhodné síly

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

77



Musíme se opřít o ekvipartiční teorém

2

220

210 B2

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ') přímý výpočet

x t t t G t t G t t f t f t

t G t

m k T

t

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

78




2 2102

1B

2

220

B22

0

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ')

)

(

=


t G t t

k T

m

m

x t

k T

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

79




2 2102

1B

2

220

B22

0

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ')

)

(

=


t G t t

k T

m

m

x t

k T

Bk T

m

???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

Výsledek

připomíná Einsteinův vztah

nezávisí na .

80




2 2102

1B

2

220

B22

0

( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')

12 d ' ( ')

)

(

=


t G t t

k T

m

m

x t

k T

Bk T

m

???

Výsledek

připomíná Einsteinův vztah

nezávisí na .

( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t

stejný jako pro volnou Brownovu částici

0

81

Shrnutí: výsledné formální řešení

0

(0) 0, (0) 0

( ) 0 0 d ' ( ') ( ')

t

x x

x t t G t t f t

formální řešení

1 21 2

2 21 11,2 02 4

1( ') exp( ( ')) exp( ( ')) ( ')G t t t t t t t t

B( ) ( ') 2 ( ')k T

f t f t t tm

82


0

(0) 0, (0) 0

( ) 0 0 d ' ( ') ( ')

t

x x

x t t G t t f t


1 21 2

2 21 11,2 02 4


B( ) ( ') 2 ( ')k T

f t f t t tm

( )

AP

( ) d ' ( ') ( ') ( )

d ' ( ') ( ') ( )

LIKACE: ověření Langevinova Ansat

d

z

' ( ') ( ') (0

u

0) 0

x t f t t G t t f t f t

t G t t f t f t

t G t t t t G

83


0

(0) 0, (0) 0

( ) 0 0 d ' ( ') ( ')

t

x x

x t t G t t f t


1 21 2

2 21 11,2 02 4


B( ) ( ') 2 ( ')k T

f t f t t tm

( )

AP

( ) d ' ( ') ( ') ( )

d ' ( ') ( ') ( )

LIKACE: ověření Langevinova Ansat

d

z

' ( ') ( ') (0

u

0) 0

x t f t t G t t f t f t

t G t t f t f t

t G t t t t G

84


0

(0) 0, (0) 0

( ) 0 0 d ' ( ') ( ')

t

x x

x t t G t t f t


1 21 2

2 21 11,2 02 4


B( ) ( ') 2 ( ')k T

f t f t t tm

( d ' ( ') ( ') ( )

d ' ( ') ( ') ( )

d ' ( ') ( ')

APLIKACE: ově

) ( )

0

ření Langevinova Ansatzu

(0 0)

t G t t f t f t

t G t t f t f t

t G t t t t G

x t f t

85

Numerická integrace

( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f


86


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f


rovnoměrné dělení intervalu času

87


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f



aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná)

88


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f



aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná)

diskretizovaný tvar vhodný pro výpočet … rychlejší přímé num. řešení diferenciální rovnice

89

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f

diskrétní Gaussův náhodný proces

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

90


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f


2 2

2

1( ) exp / 2

2

2

p X X

t

rozdělení pravděpodobnosti

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

91


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f


2 2

2

1( ) exp / 2

2

2

p X X

t

generuji na počítačirozdělení pravděpodobnosti

2 d ' ( ') d '' ( '')

d ' d '' ( ') ( '')

d ' d ''2 ( ' '') 2

f t f t t f t

t t f t f t

t t t t t

92


( ) d ' ( ') ( ')

d ' ( ') ( ')

( ) d ' ( ')

( )

n

n

n

nn

n nn

x t t G t t f t

t G t t f t

G t t t f t

G t t f


2 2

2

1( ) exp / 2

2

2

p X X

t

generuji na počítačirozdělení pravděpodobnosti

pseudonáhodnáčísla

93

Ukázka Kapplerových měření

94

Ukázka Kapplerových měření

vysoký tlak, přetlumený oscilátor

snížený tlak, podtlumený oscilátor

95

nf

G tx

čas

2500 bodů

txrozmazáno s oknem 2t

96

nf

G tx

čas

2500 bodů

txrozmazáno s oknem 2t

The end

98

Systematický popis termických fluktuací

termické fluktuace || kvantové fluktuace

současnostšum

noise

MAKROSKOPICKÁ APARATURA

S

T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti

systém mesoskopický

interakce T -- S

HH

UHHH

T

STSTTOT

měřicí bloknení

součástí systému

?ST

vnitřS

TTTT

U

HHH

UHH "silné slabé" molekulární chaos

mikroskopické globálnístupně volnosti

99

Termostat z ideálního plynu

UVm

UHH

21

2

2 C

TTTT

pobecný tvar hamiltoniánu

pro (téměř) ideální plyn

srážky vedou k chaotisaci

podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu

doba chaotisace (srážková doba)

doba termalisace (relaxační doba)

charakteristická doba systému

TERMOSTAT:

definuje a fixuje teplotu

je robustní, nedá se vychýlit

je rychlý při návratu do rovnováhy

S termostatem pracujeme tak, jakoby po dobu zkoumaného procesu setrval v rovnováze

Sa

v v

100

Dynamický systém v rovnováze s termostatem

Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie

Předpokládáme totiž

Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Jsou dvě cesty:

• Počítáme střední hodnoty s rozdělovací funkcí

Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti.

• Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště)

STTTOT UHHH "N + 1" molekul

)),(exp(),( qpHqpf

101

Ekvipartiční teorém

Ekvipartiční teorém

je obecně platný za následujících předpokladů:

• Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)

• Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) vystupuje v celkovém hamiltoniánu jen jako aditivní kvadratická funkce, typicky

Pak

221 Ax

TkAxx

AxAxxAx B2

12

21

2212

21

221

)exp(d

)exp(d

Tento výsledek pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Na kinetické energii vůbec nezáleží, ani na rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tla vzduchu v "termostatu")

Documents

II I. T epelné fluktuace: line ární oscilátor