بهنام میري پور فرداستادیار گروه مهندسی رباتیک دانشگاه صنعتی همدان

همدان، ایران

bmf@hut.ac.ir

Robotics رباتیک

2حرکات صلب و تبدیالت همگن

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 2

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 3

دوران و انتقال

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 4

نمایش موقعیت

در چارچوب صفرpنقطه

در چارچوب یکpنقطه

و برداري که براي نمایش آن تخصیص داده می شود را از هم تمییز دهید، اولی یک مفهوم هندسیpمفهوم نقطه .مستقل از چارچوبهاي مختصات است

یش آنها دوبردار زیر دو ماهیت هندسی هستند که با انتخاب چارچوبهاي مختلف تغییر نمی کنند اما نما.وابسته به انتخاب چارچوب مختصات است

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 5

فضاازنقطهیکدرگرفتنقراربهمقیدبردارهااین.داریمکارسروآزادبردارهايبابیشتردرسایندر.نیستند

تقلمنهرمکانیبهتوانمیرابرداراماداردخاصمکانیکبهاشارهنقطه.داردتفاوتبرداربانقطهیک.کرد

ارچوبچبهنسبتبردارهاهمهکهاستالزممختصات،ازاستفادهباجبريمحاسباتانجامبراي.شوندتعریفواحديمختصات

محورهايباموازيمختصاتچارچوبهايبهنسبتراآنهاکهکافیستآزادبردارهايمورددر.نماییمتعریفموازيمتناظر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 6

عبارت زیر بی معنی است

نمایش دورانها

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 7

یکاماجساینازکدامهربهدیگريبهنسبتصلب،جسمیکنسبیگیريجهتوموقعیتنمایشبراي.کنیممیمشخصراچارچوبهااینروابطسپس.کنیممیوصلمختصاتچارچوب

دوران در صفحه

روشهاي نمایش جهت نسبی دو چارچوب

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 8

θتنها با نمایش .به خوبی قابل تعمیم به حالت سه بعدي نیست: اشکال

وبچارچمحورهايبرايمختصاتیبردارکردنمشخصازعبارتستجهتنمودنمشخصبرايدیگرروش:استصفربهنسبتیک

.ماتریس دوران می گویندRبه

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 9

چارچوبیکههايبردارمختصاتRهايستونo1x1y1z1چارچوببهنسبتo0x0y10z1است.

Rروش کلی براي به دست آوردن

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 10

جھت چارچوب صفر نسبت به چارچوب يک

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 11

عامدمتماتریسهايماتریسهااینبهعمودندهمبرمتقابالودارندواحداندازهماتریسستونیبردارهاي)orthogonal.(همچنین.گویندمی

در صورت راستگرد بودن دستگاه

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 12

نمایش می دهند که مبین گروه متعامد خاص از SO(n)را با n*nبه طور کلی مجموعه چنین ماتریسهاي .می باشدnمرتبه

Special Orthogonal group of order nخواص این ماتریسها

در معکوس دوران: توجهحالت دوبعدي

دوران در فضاي سه بعدي

B. Miripour Fard

.روشهاي قبل را می توان به فضاي سه بعدي تعمیم داد

Hamedan University of Technology 13

2.1مثال

B. Miripour Fard

=?

zماتریس دوران پایه حول محور

Hamedan University of Technology 14

B. Miripour Fard

ماتریسهاي دوران پایه و خواص آنها

Hamedan University of Technology 15

2.2مثال

B. Miripour Fard

=

2102

1

1x

−

=

21

02

1

1y

=

010

1z

Hamedan University of Technology 16

B. Miripour Fard

تبدیالت دورانیSجسم صلب

استSمتصل به o1x1y1z1چارچوب

نسبت به چارچوب pمختصات نقطه ؟=o0x0y0z0ثابت

Hamedan University of Technology 17

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 18

میکاربهo0x0y0z0دستگاهبهنسبتo1x1y1z1دستگاهدوراننمایشبرايتنهانهماتریسبنابراین

.شودمیاستفادهنیزدیگرچارچوببهچارچوبیازنقطهیکمختصاتتبدیلبرايبلکهرود،

01R

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 19

. همچنین از ماتریسهاي دوران براي نمایش حرکات صلب متناظر با دوران خالص استفاده می شود

180هاندازبهدورانازبعداستصفرچارچوبموازيکهاستجسمبهمتصلچارچوبیککهکنیدفرضدهیممینشانo1x1y1z1باراچارچوبایندرجه

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 20

.تغییري نمی کندo1x1y1z1مختصات گوشه بعد از دوران در چارچوب

قبل از دوران

بنابراین

ا نشان این معادله نشان می دهد که چگونه می توان با استفاده از یک ماتریس دوران، یک حرکت دورانی ر. داد

2.3مثال

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 21

با مختصات زیرvبردار

.کندمیدوراندرجهنوداندازهبهy0محورحول:بودخواهدزیرصورتبهحاصلبرداد

که به این سومین تفسیر براي ماتریس دوران است.عنوان عملگر در دستگاه ثابت عمل می کند

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 22

به طور خالصه

:ماتریس دوران را می توان به سه صورت تفسیر کرد

.دهدمیچارچوبدودرراpنقطهیکمختصاتکهاستمختصاتتبدیلنمایشگر1.

.دهدمیثابتچارچوبیکبهنسبترایافتهدورانمختصاتچارچوبیکگیريجهت2.

نهمادرراآنوگیردمیبرداریکثابتچارچوبیکدروکندمیعملعملگریکعنوانبه3.

.دهدمیدورانچارچوب

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 23

تبدیالت هماننديSimilarity Transformations

.شودمیمشخصپایهبردارهايبامختصاتدستگاههر•

.ریستنگدیگرچارچوببهچارچوبیکازپایهمختصاتدهندهتبدیلعنوانبهتوانمیرادورانماتریس•

میجامانهماننديتبدیلتوسطدیگرچارچوببهچارچوبیکازکلیخطیتبدیلیکماتریسینمایش•.شود

نشانBماتریسوباشدo0x0y0z0چارچوبدرخطیتبدیلیکدهندهنشانAماتریساگرمثالبراي

:بودخواهدزیرصورتبهBوAرابطهباشدo1x1y1z1چارچوبدرخطیتبدیلهماندهنده

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 24

،Bماتریسهمینطورباشد،دورانماتریسیکAماتریساگرحالچارچوبهايدررادورانیککهکندمیکمکمابههماننديتبدیل

.کنیمبیانمختلف

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 25

2.4مثال :مبرای رعایت اختصار، موارد زیر را قرارداد می کنی

به فرض کنید چارچوبھای یک و صفر به صورت زیر:ھم مرتبط باشند

y0

x0

z0

z1y1

x1

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 26

y0

x0

z0

z1y1

x1

−==

10000

, θθ

θθ

θ cssc

RAif z

B همان دوران است منتها در چارچوبo1x1y1z1

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 27

ترکیب دوران ها

y3

x3

z3

.چارچوبی که نسبت به آن دوران صورت می گیرد چارچوب جاري نامیده می شود

دوران نسبت به دستگاه مختصات جاري

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 28

2.5مثال

.چارچوبی که نسبت به آن دوران صورت می گیرد چارچوب جاري نامیده می شود

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 29

ربدورانزیرااست،مهمدورانیهايماتریسضربنتیجهدروشدهانجامهايدورانترتیببهتوجه

.نیستبرداريکمیتیموقعیتخالف.نیستندپذیرجابجاییکلیحالتدردورانیهايتبدیل

2.6مثال

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 30

دوران نسبت به چارچوب ثابت

دوران حول چارچوب هاي جاري متوالیدوران حول یک چارچوب ثابت

:در صورت دوران حول چارچوب ثابت، قانون ترکیب معتبر نیست

:با ماتریس دوران زیر باهم مرتبطند{0}و {1}براي مشخص شدن موضوع فرض کنید که دو چارچوب

در چارچوب جاري Rدوران نسبت به چارچوب صفر را نشان دهد، می دانیم که نمایش دوران Rاگر به صورت زیر خواهد بود) {1}چارچوب (

بنابراین با بکارگیري قانون ترکیب دورانها براي دوران حول محور جاري

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 31

دوران حول محورهاي ثابت2.7مثال

با.استشدهانجامثابتمحورحولدومدورانباشد،باالصورتبهدوراندوجمعRدورانکنیدفرضاستبیانقابلزیرصورتبه{1}چارچوببهنسبتدومدورانهمانندي،تبدیلیکازاستفاده

:با استفاده از قانون ترکیب

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 32

دوران حول محورهاي ثابت

دوران حول محورهاي دوران یافته

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 33

قواعد ترکیب تبدیالت دورانی

در نظر بگیرید ) {2}چارچوب (را در نظر بگیرید و چارچوب سوم {1}و چارچوب جاري {0}چارچوب ثابت در این صورت: نسبت به دستگاه جاري ایجاد شودRکه توسط دوران

):براي نشان دادن این دورانRبا استفاده از نماد (اگر دوران دوم نسبت به چارچوب ثابت انجام شود

:برابر است با{2}و {0}در دو حالت ماتریس تبدیل بین دستگاه

که از دو رابطه باال به دست می آید باهم متفاوت خواهند بود{2}چارچوب

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 34

2.8مثال : توسط دوران هاي پایه اي متوالی زیر، به صورت زیر تعریف می شودRفرض کنید

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 35

پارامتري کردن دوران ها

جسم صلب سه درجه آزادي دورانی داردسه کمیت براي تعیین جهت گیري کافی است

ید زیر به نه مولفه ماتریس دوران از هم مستقل نمی باشند و توسط شش قهم مرتبطند

=

333231

232221

131211

rrrrrrrrr

R

9-6=3

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 36

)سه روش براي تعیین جهت گیري در فضا(سه روش براي نشان دادن یک دوران دلخواه و جود دارد

زوایاي اویلر 2.5.1

یک روش براي نشان دادن ماتریس دوران بر حسب سه کمیت مستقل که زوایاي اویلر نامیده می شوند

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 37

ZYZتبدیل زاویه اویلر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 38

.مساله مشکلتر تعیین زوایاي اویلر براي یک ماتریس دوران داده شده است

=

333231

232221

131211

rrrrrrrrr

R

صفر نباشند، تواماr13و r23ابتدا فرض کنید . براي یافتن جواب این مساله آن را به دو قسمت تفکیک می کنیم:از معادله فوق

:صفر نباشند در آن صورتتواماr13و r23اگر .تواما صفر نیستندr32و r31بنابراین

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 39

Gimbal lock

Quaternions and spatial rotation?

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 40

)هدو متغیر(آرك تانژانت دو آرگومانه

,π/2-)بازهدررازاویهمعمولیمعکوستانژانت π/2)گرداندمیبر

.هستندθزاویهسینوسوکسینوسترتیببهyوxآندرکهمیکندحسابراتانژانتآركAtsn2(x,y)تابع

.کندانتخابزاویهبرايرامناسبربعمثلثاتیصفحهدرتاکندمیاستفادهyوxعالمتازتایعاین

:کهاستθفردبهمنحصرزاویهبرابروشودمیتعریفصفرازغیرهاyوxهمهبرايتابعاین

Atan2

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 41

:اگر. وجود داردθدو انتخاب براي

در نتیجه

: به صورت زیر انتخاب شودθاگر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 42

r31 =r32 =0 اگر :نتیجه می شودRاز متعامد بودن

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 43

:در این حالت می توان به طور قراردادي فرض کرد. بنابراین جوابهاي بیشماري وجود دارد

:در این حالت

جوابهاي بیشماري وجود دارد

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 44

Roll, Pitch, Yaw Anglesیاو-پیچ-زوایاي رول

بامرجعمختصاتمحورهايحولپیدرپیهايدورانضربصورتبهتوانمیراRدورانماتریس.نمودتوصیفمعینترتیب

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 45

:ترتیب دوران به صورت زیر را در نظر می گیریم

ψبا زاویه x0ابتدا یک دوران حول θبا زاویه y0سپس پیچ حول محور

φبا زاویهz0در نهایت رول حول محور : از آنجا که دوران ها حول محور ثابت انجام می شود

می یاو که به ترتیب حول محورهاي جاري انجام-پیچ–تبدیل فوق را می توان به شکل دوران هاي رول .شوند نیز تفسیر کرد

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 46

Axis/Angle Representationزاویه/ نمایش محور

همدلخواهمحورحولراآنتوانمی.گیرندنمیانجاماصلیمختصاتمحورهايحولهموارهدورانها:باشدزیرصورتبه)واحدبرداریک(دورانمحورکنیدفرض.دادانجام

k = (kx, ky, kz)T

روشهاي.دهیمنمایشرااستمحوراینحولدوراندهندهنشانراRk,θدورانماتریسخواهیممیباتوانمیراzمحورکهشوداستفادهنکتهاینازکهاستاینترینهاسادهازیکی.داردوجودمتعددي

:کردمنطبقkباشدهتعریفمحوربرزیردورانیتبدیل

بنابراین با استفاده از یک تبدیل همانندي

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 47

با توجه به شکل

:با جاگذاري ها و انجام محاسبات

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 48

فضادرمناسبمحوریکحولدورانیکباتوانمیراSO(3)بهمتعلقRدورانماتریسهرواقعدر.دادنمایشمناسبزاویهیکو

R=Rk,θ

معلوم باشد،Rاگر . نامیده می شودRزاویه /نمایش محور,θ(k(زوج

.زاویه یکتا نیست/نمایش محور

.باشد محوران دوران نامعین استθ=0اگر

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 49

2.9مثال و به دنبال آن یک دوران y0درجه حول 30سپس یک دوران z0درجه حول 90توسط یک دوران Rفرض کنید

ایجاد شده باشد، در نتیجهx0درجه حول محور 60

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 50

.استواحدبردارkبردارزیرا.استکافیمحور/زاویهنمایشبرايمستقلپارامترسهتنها

رداريبقواعدو.نیستپذیرجابجاییبرداراین.دادنمایش)فقط(زیربردارصورتبهرادورانتوانمی

.باشدنمیحاکماینجا

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 51

حرکات صلب. 2.6

نمایش موقعیت

نمایش جهت گیري

؟=نمایش حرکات صلب با استفاده از دو تعریف فوق

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 52

حرکت صلب

که در آن (d,R)یک حرکت صلب عبارتست از یک روج مرتب به صورت

شان داده گروه تمامی حرکات صلب، به عنوان گروه اقلیدسی خاص شناخته می شوند که به صورت زیر ن:می شود

.یک حرکت صلب بیانگر یک انتقال خاص به همراه یک دوران خالص می باشد

Special Euclidean Group

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 53

x0

y0

z0

z1

y1

x1

p1p0

d10

چارچوببهصلبصورتبهpکنیدفرضبهنسبتpمختصات.باشدوصل}1{

:بودخواهدزیرصورتبهصفرچارچوب

d21

p2

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 54

بنابراین تبدیالت جهت گیري می توانند به سادگی در یکدیگر ضرب شوند

:از مقایسه روابط باال

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 55

HOMOGENEOUS TRANSFORMATIONS تبدیالت همگن. 2.7

برايالزممحاسباتمتعدد،صلبحرکاتوجودصورتدرگرددیمپیچیدهوسختبسیارروبرومعادلهنظیرمعادالتحصولیمسادهرامسالهايماتریسیصورتبهصلبحرکاتنمایش

زیرمعادلهدومقایسهبا.سازد

ماتریس همانندي

]000[0 =

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 56

:می توان گفت که حرکات صلب توسط مجموعه اي از ماتریس هایی به فرم زیر قابل نمایش اند

به ماتریسهایی مانند ماتریس فوق، تبدیالت همگن می گویند

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 57

نمایانگرهمSE(3).باشدنمیصلبحرکتیکماتریسینمایشجزچیزيهمگنتبدیلیکبنابراین.باشدمیHماتریس

:کهدادنشانتوانمیاست،متعامدRچون

:شان دهیمبراي اینکه رابطه زیر را به به صورت ضرب ماتریسی ن

مبردارها را به صورت زیر در نظر می گیری

می گویندp1و p0به بردار هاي فوق نمایش هاي همگن

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 58

بنابراین

=

10

01

010

1dRH

x0

y0

z0

p1p0

d10

z1

y1

x1

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 59

:SE(3)تبدیالت همگن پایه تولید کننده

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 60

تبدیل همگن در کلی ترین حالت

x0y0z0در چارچوب z1و x1 ،y1جهت گیري محورهاي

x0y0z0توصیف شده در چارچوب o1به o0برداري از

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 61

3*3همانند دوران هاي

حرکت صلب دوم در چارچوب جاري

حرکت صلب دوم در چارچوب ثابت

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 62

2.10مثال

:دهدمینشانرازیرتبدالتHتبدیلماتریس

xمحورحولαاندازهبهدورانیک

xجاريمحورامتدادرواحدbمیزانبهانتقالیک

zجاريمحورامتداددرواحدdاندازهبهانتقالیک

zجاريمحورحولθاندازهبهدورانیک

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 63

کگرافیرشتهدرکهاستهمگنهايمختصهازخاصحالتیکاینجادرشدهدادهنشانهمگنتبدیل

همپرسپکتیوومقیاستبدیلدوران،وانتقالبرعالوهکامپیوتريگرافیکدر.شودمیاستفادهکامپیوتري.شودمیانجام

Problems

B. Miripour Fard Hamedan University of Technology 64