مودﻞﺼﻓ داﺪﺣزروﺎﺸﮐﺎﺿﺮﻣﻼﻏ ١٣٩۵ﺪﻨﻔﺳا٧gsme.sharif.edu/~g.k.haddad/Econometrics II M.S/Chapter Two GMM .pdfﻪﺘﻓﺎﯾﻢﯿﻤﻌﺗیﺎﻫروﺎﺘﺸﮔیﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑشور

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهایدوم فصل

حداد کشاورز غالمرضا

١٣٩۵ اسفند ٧

٩٩ / ١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

یافته تعمیم گشتاورهای برآوردگرهای روش

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

مقدمه

تعمیم گشتاورهای زنهای تخمین و گشتاوری تخمینزنهای گیرنده دربر GMM برآورد روشمتغیرهای ، معمول مربعات حداقل برآورد های روش که شود م داده نشان آن در و است یافته

و مرحلهای دو مربعات حداقل برآورد روش یافته، تعمیم مربعات حداقل ابزاری،است. GMM برآورد روش از خاص حالت حداکثرراستنمایی

٩٩ / ٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

يافته تعميم گشتاورهاي زنهاي تخمين روش

به آن احتمال قانون که z متغيرتصادف به مربوط مشاهدات از اي مجموعه کنيد فرضاصل براساس θ برآورد رايج رهيافت ي باشد. اختيار در دارد، بستگ θ ناشناخته پارامترهاي

از مقدار آن براي که شود م اختيار اي گونه به زن تخمين آن در که است، راستنمايي حداکثرگردد. حداکثر ها داده شدن مشاهده احتمال شده، انتخاب زن تخمين

هانسن توسط اخيرا GMM کل بيان θ پارامتر برآورد براي ر دي روش GMM روشاست. شده ارايه و ابداع (١٩٨٢)

٩٩ / ٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

گشتاورها روش

حد γ(.) و باشد پيوسته فرآيند ي از پيوسته توابع از K × 1 برداري m(xt) کنید فرضاست. β آورد بر ما هدف باشد. βK×1 پارامترهاي بردار ي از تابع m(.) ميانگين احتمال

(1/T )T∑

t=1m(xt) − γ(β) = 0K×1 (١)

قضيه بنابر و است γ(.) براي سازگار زن تخمين ي نمونه ميانگين T −1∑Tt=1 m(xt)

است. plimγ(β) = γ(plimβ) باشد پيوسته تابع ي γ(.) که شرط به ، اسالتس

٩٩ / ۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثالصفر ميانگين داراي و زمان هاي سري کواريانس) و واريانس براي گشتاوري (شرايط

(1/T )T∑

t=1x2

t − σxx = 0, (1/T )T∑

t=1y2

t − σyy = 0

(1/T )T∑

t=1ytxt − σxy = 0

بنويسيم: زير صورت به ميتوانيم را آخر گشتاوري شرط کنيم، برآورد را بخواهيم اگر قبل

(1/T )T∑

t=1ytxt − ρxy

√σxy

√σyy = 0

٩٩ / ۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثال(MA(١)فرایند براي گشتاورها (روش

مرتبه اتوکواريانس نيز و واريانس ، yt = εt + θεt−1 متحرک میانگین MA(١) فرآيند ي درمیآید. بدست زير صورت به فرآيند اين ي

E(yt) = 0 E(y2t ) = E[εt + θεt−1]2 = σ2

ε(1 + θ2)

E(yt) = 0 E(y2t ) = E[εt + θεt−1]2 = σ2

ε(1 + θ2)

E(ytyt−1) = E[(εt + θεt−1)(εt−1 + θεt−2)] = σ2εθ

٩٩ / ۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثالصورت به تواند م گشتاوري هاي شرط )بنابراين

(1/T )∑T

t=1 y2t − σ2

ε(1 + θ2)(1/T )

∑Tt=1 ytyt−1 − σ2

εθ

)=(

00

)

سازد. م فراهم را برآورد ان ام همزمان بطور که شود نوشته

٩٩ / ٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

یافته تعمیم گشتاورهای روش

هاي شرط تعداد آن در که است گشتاورها روش از اي يافته گسترش ل ش GMM روشسبب پارامترها تعداد بر اضافه هاي شرط وجود است. پارامترها تعداد از بيشتر بودن متعامد

آزمون تواند م که گردد م جديدي هاي جنبه آوردن پديد نيز و ها زن تخمين کارآيي افزايشIVابزاری متغیرهای ،LS معمول مربعات حداقل نظير سنت برآورد هاي روش از بسياري گردد.

هستند. GMM از خاص حالتهاي MLE راستنمایی حداکثر و

٩٩ / ٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM در گشتاوری های شرط

باشيم: داشته غيرشرط گشتاوري شرط q تعداد به کنيد فرض

E(m(wt, β0)) =

E(m1(wt, β0))E(m2(wt, β0))

...E(mq(wt, β0))

= 0q×1 (٢)

هستيم. K ≤ q با β پارامتر (K × 1) بردار برآورد به عالقمند ما آن، در کهکه دهيم م قرار براين را فرض است. β0 برابر جامعه) (مقدار برابر پارامتر بردار صحيح مقدار

است. ارگودي و مانا (بردار) فرآيند ي wt

٩٩ / ٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


عبارت ، β مقادير از بعض در شده ارزشيابي نمونهاي، گشتاور شرطهاي يا نمونه، ميانگيناز: است

m(β) = (1/T )T∑

t=1m1(wt, β0) (٣)

نيز آنها خود بنابراين است، تصادف متغيرهاي از توابع از برداري m(β) اي نمونه ميانگيندارند. بستگ شده استفاده نمونه به و هستند تصادف متغيرهاي

٩٩ / ١٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثالIV/٢SLS براي گشتاوري شرطهاي

بردار ي Zt کنيد فرض است. ١×K بردارهاي β و xt آن در که يريد. ب نظر در را خط مدلاز: است عبارت آن اي نمونه همتاهاي و گشتاوري شرطهاي باشد. q × 1

0q×1 = Eztut = E[zt(yt − x′tβ)]

m(β) = (1/T )T∑

t=1zt(yt − x′

tβ0)

همان β بردار براي باال زن تخمين باشد، q=k اگر Z ′(Y − Xβ)/T ماتريس ل ش در ياآيند. م بدست OLS زنهاي تخمين باشد، Zt = xt اگر و IV. زنهاي تخمين

٩٩ / ١١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثالMLE براي گشتاوري هاي شرط

β پارامترهاي به نسبت را راستنمايي، تابع اريتم ل راستنمايي، حداکثر روش زنهاي تخميناول مرتبه شرطهای برقراري مستلزم حداکثرسازي اين که سازد، م حداکثر

(1/T )T∑

t=1∂lnL(wt, β)/∂β) = 0

است.باشد. E∂lnL(wt, β)/∂β = 0 که است اين MLE براي بودن، منتظم شرط ي

∂lnL(β, σ2|w)/∂β = −2/σ2(−X ′y + X ′Xβ) = X ′ε = 0K×1

٩٩ / ١٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

زیان تابع GMM، در سازی بهینه مسئله

گردد. م حداقل را زير وزن دوم درجه صورت β يافته تعميم گشتاورهاي روش برآوردگر

J =

m1(β)

...mq(β)

w11 · · · w1q

... · · ·...

wq1 · · · wqq

m1(β)...

mq(β)

= m(β)′W m(β)

ابعاد با معين مثبت متقارن وزن ماتريس W و m(wt, β) اي نمونه ميانگين m(β) آن در کهاست. q × q

٩٩ / ١٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


ساده رگرسيونyt = xtβ0 + εt

m(β) = (1/T )T∑

t=1xt(yt − xtβ)

J = W [(1/T )T∑

t=1xt(yt − xtβ)]2

ندارد. نقش سازي بهينه اين در W الر اس که است روشن

٩٩ / ١۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثالIV/٢SLS روش ادامه

m(β)′Wm(β) = [(1/T )T∑

t=1zt(yt − x′

tβ)]′W [(1/T )T∑

t=1zt(yt − x′

tβ)]

با تواند م β برآوردگر واقع در بنابراين است. مشخص دقيقا مدل آنگاه باشد، q = K اگرآمده بدست زن تخمين آنگاه آيد. بدست صفر با برابر گشتاوري شرطهاي تمام دادن قرار

يعن بود، خواهند IV زنهاي تخمين

βIV = [(1/T )T∑

t=1ztx

′t]−1[(1/T )

T∑t=1

ztyt] = Σ−1zx Σzy

٩٩ / ١۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثال

0 = [(1/T )T∑

t=1zt(yt − xtβIV )]

آن در که

Σzx =T∑

t=1ztx

′t/T

آنگاه: باشد. zt = xt اگر ها، ماتريس دوم گشتاورهاي از ي هر براي مشابه بطور و

βLS = Σ−1xx Σxy

٩٩ / ١۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


باشد. xm×1 بردار از تابع yn×1 بردار کنيد فرض . غيرخط توابع از گيري مشتق :١ نکته

[y1y2 · · · yn]′ = f(x) = [f1(x)f2(x) · · · fn(x)]′

است. n × m ماتريس ي ∂y/∂x′ آنگاه

∂y/∂x′ =

∂f1(x)/∂x′

...∂fn(x)/∂x′

=

∂f1(x)/∂x1 · · · ∂f1(x)/∂xm

... . . . ...∂fn(x)/∂x1 · · · ∂fn(x)/∂xm

٩٩ / ١٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


در fi(x) آنگاه باشد، م n × m ماتريس ي A آن در و است، y = Ax که هنگام :٢ نکتهکه آوريم م بدست و بود خواهد خط تابع ي (١) نکته

∂y/∂x′ = ∂(Ax)/∂x′ = A

و z هم آن در و بوده y = z′x که هنگام ،(٢) نکته از خاص حالت ي عنوان به :٣ نکتهکند. م ايفا را A نقش همان z′ زيرا آنگاه باشند، بردار x هم

Am×m و f(x) ، xn×1 کنيد فرض دوم. درجه هاي صورت از ماتريس گيري ۴:مشتق نکتهآنگاه باشد، متقارن و

∂[f(x)′Af(x)]/∂x = 2(∂f(x)/∂x′)′Af(x)

٩٩ / ١٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


βK×1 بردار براي ∂(x′Ax) = 2Ax آنگاه ، ∂f/∂x′ = I آنگاه f(x) = x اگر :۵ نکتهداريم:

∂[m(β)′Wm(β)]∂β

=

∂m1(β/∂β1) · · · ∂m1(β/∂βk)

... . . . ...∂mq(β/∂β1) · · · ∂mq(β/∂βk)

′

(۴)

w11 · · · w1q

... . . . ...w1q · · · wqq

∂m1(β)...

∂mq(β)

= ∂m(β)K×q/∂β′]′q×qW mq×1(β)

٩٩ / ١٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM مجانبی های وی

از غير به GMM، زنهاي تخمين اي نمونه بزرگ و اي نمونه کوچ احتماالت هاي ويژگو ابزاري، متغيرهاي ، معمول مربعات حداقل زنهاي تخمين نظير زنها تخمين از معدودي مواردشبيه هاي روش از استفاده با موارد اغلب در دليل همين به نيستند. شده شناخته ما براي ٢SLSقضاياي از استفاد با و اي نمونه کوچ هاي ويژگ بازگردان گيري نمونه يا کارلو، مونت سازي

گردد. م بررس آنها نمونه اي بزرگ هاي ويژگ مجانبي،همبستگ خود ل مش داراي گشتاوري شرايط به مربوط سري اگر حت GMM، زنهاي تخمين

نوعا ، فرايند بودن ارگودي و مانايي شرط به تنها باشد، داشته واريانس ناهمسان و بودهبعنوان (حداقل برآوردگر ها اساسا که است اين آن دليل است. نرمال توزيع داراي و بوده سازگار

بوده سازگار نوعا هستند، نمونه اي هاي ميانگين از خط هاي ترکيب اول) مرتبه تقريبهستند نرمال توزيع داراي و LLN) بزرگ اعداد قانون (براساس

٩٩ / ٢٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

سازگاری

θ كه بطوري باشد، داشته وجود QT (θ) الر اس هدف تابع اگر م ناميم فرين را تخمين زنΘ درآن كه سازد. حداكثر θ ∈ Θ ⊂ IRp به مشروط را QT (θ) هدف تابع

٩٩ / ٢١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

فرین برآوردگرهای سازگاری

وابسته دليل به ، QT (θ) مقدار θ هر براي زيرا است. تصادف تابع يك QT (θ) هدف تابعبراي اساس ايده است. تصادف متغير يك [(y1, x1), · · · , (yT , xT )] داده هاي به بودن

پارامتر و رايد، ب Q0(θ) به احتمال در QT (θ) اگر كه است اين فرين برآوردگرهاي سازگاريتابع حد، آنگاه باشد، Q0(θ) حدي تابع سازي حداکثر حدي” مسئله ” براي جوابي θ0 صحيح

باشد. QT (θ0) بايد QT (θ) شده حداكثردر گرايش كه است اين است، بشود ماكزيمم حد برابر حد ماكزيمم اينكه، براي كاف شرط

باشد. فشرده پارامتر فضاي و بوده آن نواي ي نوع از احتمالكه است معن اين به تنها ، Q0(.) تصادف غير تابع يك به QT (.) نقطه به نقطه گرايش

تصادف متغيرهاي دنباله اينكه يعن باشد. ها θ تمام براي plimT →∞QT (θ) = Q0(θ)م گرايد. صفر به مفروض θ هر براي احتمال، در (t = 1, · · · , T ) با |QT − Q0|

٩٩ / ٢٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

وقت supθ∈Θ|QT − Q0| اگر است، نوا ي بطور Θ پارامتر فضاي در تصادف متغير گرايش. n → ∞

آن عماصر از يك هر اگر م گرايد، h0(.) غيرتصادف تابع به احتمال در نوا ي بطور hT (.)است، نرم در گرايش با ارز هم عنصر به عنصر گرايش اين رايد. ب نوا ي بطور

اقليدس نرم ∥ . ∥ درآن كه T → ∞ كه هنگام supθ∈Θ ∥ hT (θ) − h0(θ) ∥−→p 0است.

٩٩ / ٢٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

IRp از فشرده زيرمجموعه (i)يك Θ كنيد؛ فرض فشرده): پارامتري فضاي با گزاره(سازگاري(ii) هر براي QT (.) ،

[(y1, x1), · · · , (yT , xT )]

تابع اگر باشد، θ0 ∈ Θ تمام براي پذير اندازه تابع يك نيز (iii) θ ∈ Θ و پيوسته θ دركه: باشد داشته وجود Q0(θ)

. گردد حداكثر θ0 ∈ Θ در Θ بر تا ي بصورت Q0(θ) (شناسايي): الف). θ → θ0 آنگاه رايد، ب Q0(.) بر احتمال در نوا ي بطور QT (.) نوا): ي (گرايش ب)

٩٩ / ٢۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

عضوي θ0 پارامتر صحيح بردارمقدار (i) كه كنيد فرض :( فشردگ بدون (سازگاري گزارههر براي ، Θ پارامتر فضاي بر (ii) QT (θ) ، Θ ⊂ IRp محدب پارامتر فضاي از درونپذير اندازه تابع (iii) QT (θ) و مقعر، [(y1, x1), · · · , (yT , xT )] داده هاي از دنباله اي

θ = ArgmaxQn(θ) كه دهيد قرار اين بر را فرض اين بر عالوه باشد. θ ∈ Θ تمام برايكه: بطوري باشد، داشته وجود Q0(θ) تابع اگر باشد

گردد. حداكثر θ0 ∈ Θ در Θ بر تا ي بطور Q0(θ) (شناسايي): الف)رايد. ب θ ∈ Θ تمام براي Q0(θ) به احتمال در QT (θ) نقطه): به نقطه رايي (هم ب)و داشته وجود م گرايد ١ به كه احتمال ي در θ برآوردگر بردار t → ∞ صورت در آنگاه

θ → θ0

٩٩ / ٢۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

θ و ارگودي wt گيريم فشرده): پارامتري فضاي با GMM برآوردگر هاي (سازگاري گزارهبوسيله؛ شده تعريف GMM برآوردگر

θ = Argmin[(1/T )T∑

t=1m(wt, θ)]′W [(1/T )

T∑t=1

m(wt, θ)]

ماتريس يك به احتمال در W متقارن ماتريس كه م شود قرارداده اين بر فرض آن در كه باشد،كه بطوري باشد، شده تصريح صحيح بصورت مدل كه كنيد فرض م گرايد. W معين مثبت

گردد. برقرار θ0 ∈ Θ براي شود) برقرار بودن متعامد شرط هاي (يعن E[m(wt, θ0)] = 0براي m(wt, θ0) .(ii) ، IRp از اي فشرده زيرمجموعه Θ پارامتر فضاي .(i) يريم، ب نظر درپذير اندازه θ ∈ Θ تمام براي wt به نسبت m(wt, θ0) .(iii)و باشد پيوسته θ0 در wt تمام

كه دهيد قرار اين بر را فرض اين بر عالوه باشد،E[m(wt, θ0)] = 0 باشيم داشته θ0 = θ ∈ Θ0 تمام براي (شناسايي): الف)

θ →p θ0 آنگاه E[supθ∈Θ∥m(wt, θ)∥] < ∞ (تسلط): ب)

٩٩ / ٢۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

مجانبي بودن نرمال

√T صورت به گرايش سرعت است الزم

√T (β − β0) مجانبي توزيع به يافتن دست براي

نشان براي را q × q ابعاد با S0 ماتريس اوال: نيم. مي روشن را نکته سه ابتدا گردد. انتخابدر شده ارزشيابي گشتاوري شرايط ضربدر

√T مجانبي کواريانس واريانس ماتريس دادن

داريم: پس کنيم، م انتخاب β0 پارامتر واقع مقدار

S0 = ACov[√

Tm(β0)] = ACov[ 1√T

T∑t=1

(wt, β0)] (۵)

m(wt−s, β0 بردار با m(wt, β0 بردار q × q ابعاد با کواريانس ماتريس Rs کنيد فرض: يعن است،

R(s) = Cov[m(wt, β0), m(wt−s, β0)] = Em(wt, β0).m(wt−sβ0)′ (۶)

٩٩ / ٢٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


که: است روشن آنگاه

ACov[√

Tm(β0)] =∞∑

s=−∞R(s)

گردد. م برآورد وست و نيويي زن تخمين از استفاده با ماتريس اين عمل در اغلب،

٩٩ / ٢٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


گشتاورهاي شرطهاي به مربوط عناصر احتمال حد q × K ماتريس (ي D0 کنيد فرض دوم:باشد، پارامترها واقع مقدار در آن شده ارزشيابي مقدار و بوده پارامترها به نسبت اي نمونه

؛ يعن

D0 = plim[∂m(β0)/∂β′] (٧)

آن: در که

∂m(β0)∂β′ =

∂m1(β)/∂β1 · · · ∂m1(β)/∂βk

... . . . ...∂mq(β)/∂β1 · · · ∂mq(β)/∂βk

٩٩ / ٢٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


شرط کواريانس و واريانس ماتريس معکوس همان وزن ماتريس که دهيم م قرار براين را فرضباشد. پارامترها) واقع مقدار در شده (ارزشيابي گشتاوري هاي

W = S−10 (٨)

واريانس ماتريس براي زن تخمين کارآترين وزن، ماتريس از انتخاب اين که داد نشان م تواندهد. م بدست را بودن منعامد شرطهاي از مفروض مجموعه براي کواريانس،

٩٩ / ٣٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


قضیهفرض نمودن اضافه با و ٨ وزن ماتريس انتخاب و ٧ و ۵ در شده ارائه تعاريف ارگيري ب با

که؛ بدهيم نشان توانيم م پارامترها)، (تعداد براي با برابر رتبه وجود√

T (β − β0) →d N(0k×1, V )

آن؛ در که

V = (D′0S−1

0 D0)−1 (٩)

QT xT −→d Q.x آنگاه plimQT = Q و xT −→d x اگر نکته:

٩٩ / ٣١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


اثبات.اي نمونه گشتاور شرط ميانگين مقدار قضيه بنابر است. دلتا قاعده کاربرد از نوع اثبات اين

از؛ است عبارت β به مربوط GMM تخمين در شده ارزشيابي

m(β) = m(β0) + [∂m(β1)/∂β′](β − β0) (١٠)

داريم: و شده صفر با برابر چپ سمت عبارت

∂m(β)/∂β′]′W m(β0) + [∂m(β)/∂β′]′W [∂m(β)/∂β′](β − β0)

٩٩ / ٣٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


اثبات.

√T (β − β0) (١١)

= −[[∂m(β)/∂β′]′W [∂m(β)/∂β′]]−1(∂m(β)/∂β)′W︸︷︷︸ .√

Tm(β0)

اگرplim[∂m(β)/∂β′] = [∂m(β)/∂β′] = D0

٩٩ / ٣٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


اثبات.داريم: قبل) (صفحه باال گزاره به توجه با و حدي هاي توزيع قاعده بنابه

√T (β − β0 →d plimΓ × H

و است تصادف متغير ي H ∼ N(0, S0) آن در که√

T (β − β0) →d N [0K×1, (plimΓ)S0(plimΓ′)]

٩٩ / ٣۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


اثبات.از: است عبارت کواريانس ماتريس آنگاه

ACov[√

T (β − β0)] = (plimΓ)S0(plimΓ′)

= (D′0W D0)−1D′

0W S0[(D′0W D0)−1D′

0W ]′

= (D′0W D0)−1D′

0W S0W ′D0(D′0W D0)−1

يابد. م تحويل ٩ به عبارت، اين آنگاه باشد، W = W ′ = S−10 اگر

٩٩ / ٣۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثال

S0 = ACov[√

Tm(β0)] = Acov((√

T/T )∑

t

ztut)

D0 = plim[∂m(β)/∂β′] = plim[−(1/T )∑

t

ztx′t] = −Σzx

آيد. م بدست√

T (β − β0 مجانبي کواريانس ماتريس روابط اين

V = (D′0S−1

0 D0)−1 = (Σ′zxS−1

0 Σzx)−1

٩٩ / ٣۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


قضیهگونه اي به at تصادف غير ماتريس و yt و xt تصادف ماتريسهاي از دنباله هايي گيريم

كنيد فرض نمايند. ميل مرسوم) (حد at −→ a و yt −→p y و xt −→d x كه باشندحذف g تابع از م توانند at و yt ماتريس هاي از ي هر g(xt, yt, at) −→d g(x, y, a)

گردند.

٩٩ / ٣٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM تعریف مساله

باشند. ابزاری متغیرهای zt و مدل متغیرهای از بردار ی wt = (yt, x′t)′ کنید فرض

یرید ب نظر در را گشتاوری شرط R

E[f(wt, zt, θ)] = 0

است. بعدی R برداری تابع ی f(.) و K × 1 بردار ی θ آن در کهیرید: ب نظد در را مربوطه نمونه گشتاوری شرایط

mT (θ) = 1T

T∑t=1

f(wt, zt, θ) = 0

برد؟ ار ب θ پارامتر K تخمین برای را R نمونه گشتاورهای توان م زمان چه

٩٩ / ٣٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

Q

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

نظر


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ای رتبه شرط

قابل پارامترها و ندارد وجود mT (θ) = 0 برای واحدی حل راه هیچ باشد. R < K اگرنیست. شناسایی

است. دقیق شناسایی و دارد وجود mT (θ) = 0 برای واحد حل راه باشد R = K اگرIV OLS، است. MM زن تخمین ی مورد این

است. عددی حل راه با غیرخط مساله ی mT (θ) = 0 که، کرد اشاره بایدرخ مشخص جد از بیش وضعیت ی و پارامترهاست از بیشتر معادالت تعداد R > K اگر

است). R × K ماتریس ی Z ′X ) ندارد. وجود عموم حل راه هیچ دهد. مسازد. متمایل صفر به را mT (θ) ن مم حد تا که کنیم م انتخاب را ای θ

٩٩ / ٣٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

برابر صفر


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM تخمین

سازیم. متمایل صفر به ن مم حد تا را mT (θ) R گشتاورهای داریم قصد

ترتیب این به داریم. WT موزون مثبت معین و متقارن R × R ماتریس ی کنید فرض

کنیم. م تعریف زیر ل ش به را آن دوم درجه فرم

JT (theta) = mT (θ)′WT mT (θ)(1 × 1)

شود. م تعریف سازد م حداقل را JT (θ) که برداری عنوان به GMM زن تخمینمثال: برای

θGMM (WT ) = argθminmT (θ)′WT mT (θ)

شود. داده گشتاوری شرایط از هرکدام به وزن چه که گوید م WT ماتریس

دهد، م بدست را متفاوت های زن تخمین متفاوت WT

θGMM (WT )

است؟ کدام WT بهینه انتخاب است. سازگار WT وزن ماتریس هر با GMM

٩٩ / ۴٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

Q


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM بهینه تخمین

هستند. تصادف متغیرهای و E[f(.)] های زن تخمین mT (θ) R نمونه گشتاورهای

که: دارد این بر داللت بزرگ اعداد قانون

mT (θ) → E[f(.)] for T → ∞

که: دهد م نشان مرکزی حد قضیه√

TmT (θ) → N(0, S)

است.√

T .mT (θ) گشتاوری مجانبی واریانس S آن در کهبرای بهینه موزون ماتریس باشند. داشته باالیی اوزان باید کوچ واریانس با گشتاورهای

که ای گونه به است W optT ماتریس ی GMM

limT →∞

W optT = W opt = S−1

٩٩ / ۴١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

m


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM بهینه تخمین

شود: م S از S طبیع زن تخمین ی ، همبستگ خود وجود بدون

S = V [√

T .mT (θ)] = T.V [mT (θ)]

= T.V [ 1T

T∑t=1

f(wt, zt, θ)]

= 1T

.T∑

t=1f(wt, zt, θ)f(wt, zt, θ)′

که: دارد این بر داللت که

W optT = S−1 = ( 1

T

T∑t=1

f(wt, zt, θ)f(wt, zt, θ)′)−1

دارد. بستگ θ به کل حالت در W optT که کرد اشاره باید همچنین

٩٩ / ۴٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

m

keshavarz

Sticky Note

m هرچه f است m شود


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

عمل در تخمین

(کارا) ای مرحله دو GMM

یا W[1] = I مثال، برای کنیم. م انتخاب را W[1] موزون ماتریس .١کنیم م پیدا را سازگار تخمین ی . W[1] = (Z ′Z)−1

W optT زنیم. م تخمین را بهینه اوزان و θ[1] = argminθmT (θ)′W[1]mT (θ)

کنیم. م پیدا را GMM بهینه تخمین .٢

θGMM = argminθmT (θ)′W optT mT (θ)

شونده تکرار GMM

کنیم. م شروع W[1] اولیه موزون ماتریس باW opt

[2] کرده پیدا را جدید موزون ماتریس ی .٢ کنیم م پیدا را θ[1] تخمین ی .١شوند. را هم ر دی ی به تا دهیم م ادامه را W opt

[.] و θ[.] بین تکرار فرآیند

٩٩ / ۴٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تشخیص آزمون

است. بیشتر پارامترها تعداد از گشتاورها تعداد R > K اگر

خواهد صفر پارامترها تخمین با گشتاور K عبارت به دارند. صفر امید گشتاورها همهاگر داد. صورت بیاد را آزمون باشد صفر به نزدی R − K اضاف گشتاورها اگر بود.

شود. م روبرو ل مش با تعامدی شروط برخ نباشد اینچنینکه باشید داشته خاطر به √

T .mT (θ) → N(0, S)

پس W optT → S−1 باشند بهینه اوزان اگر که دارد این بر داللت مورد این

ξ = m(θGMM )′( 1T

S)−1mT (θGMM )

= T.mT (θGMM )′W optT mT (θGMM ) → χ2(R − K)

گیرد. م صورت بودن مشخص حد از بیش تحدید برای هانسن آزمونبودن. مشخص حد از بیش شرط R − K برای آزمون ی

٩٩ / ۴۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

سنگلتون هانسن معروف مثال

. U(Ct) = C1−γt

1−γ یرید ب نظر در را مصرف توان مطلوبیت تابع با بهینه واحد ی

است: زیر شرح به آت مصرف یافته تنزیل مطلوبیت حداکثرسازی اول مرتبه شرایط

E

[δ

(Ct+1Ct

)−γ

(1 + rt+1) − 1|It

]= 0

است. t زمان در اطالعات مجموعه It آن در کهامید بر باید صورت این در zt ∈ It اگر حال دارد. وجود عقالیی انتظارات کنید فرض

باشد، متعامد خطا

f(Ct+1, Ct, rt+1; zt; δ, γ) = E

[(δ

(Ct+1Ct

)−γ

(1 + rt+1) − 1)

zt

]= 0

داریم. نیاز zt در ابزاری متغیر R = 2 حراقل به ما است. گشتاوری شرط ی مورد این

٩٩ / ۴۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

سینگلتون


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GIVE و خط GMM

گیرید. نظر در را توضیح متغیر K با خط رگرسیون مدل

yt = x′1tβ1 + x′

2tβ2 + ϵt = x′tβ + εt

. E[x2tϵt] = 0 هستند درونزا x2t در متغیرهای اما E[x1tϵt] = 0 آن در کهکه ای گونه به دارد. وجود zt = (x′

1, z′2) ابزاری متغیر R > K کنید فرض

E[ztϵt] = E[zt(yt − x′tβ)] = 0(R×1).

ای. رتبه شرایط است. x2t و z2t بین صفر غیر همبستگ ی نیازمند شناسایینمونه گشتاور

mT (β) = 1T

T∑t=1

(zt(yt − x′tβ)) = 1

TZ ′(Y − Xβ).

کرد. حل را mT (β) = 0 مستقیم صورت به توان نمب که کرد اشاره باید است.ندارد. بازگشت قابلیت و K مرتبه از است R × K ماتریس ی Z ′X

٩٩ / ۴۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

معکوس پذیری ندارد

keshavarz

Sticky Note

نمی


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

کنیم م حداقل را زیر دوم درجه فرم آن بجای

JT (β) = mT (β)′WT mT (β)

=( 1

TZ ′(Y − Xβ)

)′WT

( 1T

Z ′(Y − Xβ))

= 1T 2 (Y ′Z − β′X ′Z)WT (Z ′Y − Z ′Xβ)

1T 2 (Y ′ZWT Z ′Y − 2β′X ′ZWT Z ′Y + β′X ′ZWT Z ′Xβ).

کنیم م جل را معادله K و گرفته را جزیی مشتقات JT (β) کردن حراقل برای

∂JT (β)∂β

= 0(K×1

٩٩ / ۴٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

Q

keshavarz

Sticky Note

Q

keshavarz

Sticky Note

Q


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

کند. م حل را معادله K GMM زن تخمین

∂JT (β)∂β

= ∂(T −2(Y ′ZWT Z ′Y − 2β′X ′ZWT Z ′Y + β′X ′ZWT Z ′Xβ))∂β

−2T −2X ′ZWT Z ′Y + 2T −2X ′ZWT Z ′Xβ

= 0مثال: برای

βGMM (WT ) = (X ′ZWT Z ′X)−1X ′ZWT Z ′Y

مثال: برای گشتاورهاست. واریانس معکوس بهینه موزون ماتریس

W optT = S−1

آن در که

S = V [√

T .mT (θ)] = 1T

V [Z ′ϵ] = 1T

E[Z ′ϵϵ′Z] = 1T

Z ′ΩZ

E[ϵϵ′] = Ω که٩٩ / ۴٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

keshavarz

Sticky Note

Q


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

اخالل جزو ناهمسان

شود: م S طبیع زن تخمین E[ϵϵ′] = Ω = σ2I اگر

S = 1T

Z ′ΩZ = 1T

σ2Z ′Z

است. σ2 از سازگاری زن تخمین σ2 آن در کهشود: م GMM زن تخمین پس

βGMM = (X ′ZS−1Z ′X)−1X ′ZS−1Z ′Y

= (X ′Z( 1T

σ2Z ′Z)−1Z ′X)−1X ′Z( 1T

σ2Z ′Z)−1Z ′Y

= (X ′Z(Z ′Z)−1Z ′X)−1X ′Z(Z ′Z)−1Z ′Y

= βGIV E = β2SLS

است. GIVE بهینه GMM زن تخمین ناهمسان تحت

٩٩ / ۴٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

که آورید بخاطر

βGMM → N(β,1T

(D′W optD)−1)

است: زیر ل ش به جزیی مشتقات

DTR×K= ∂mT (β)

∂β′ =∂( 1

T Z ′(Y − Xβ))∂β′ = − 1

TZ ′X = − 1

T

T∑t=1

ztx′t

شود: زده تخمین زیر ل ش به تواند م واریانس

V [βGMM ] = 1T

(D′T W optDT )−1

= 1T

((− 1T

Z ′X)′( 1T

σ2Z ′Z)−1(− 1T

Z ′X))−1

σ2(X ′Z(Z ′Z)−1Z ′X)−1

شود. م شناخته ٢SLS عنوان تحت که

٩٩ / ۵٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

است: زیر قرار به تشخیص آزمون

ξ = T.mT (θGMM )′S−1mT (θGMM )

= T.(T∑

t=1ϵtzt)′( σ2

T

T∑t=1

ztz′t)−1(

T∑t=1

ϵtzt)

= (sumTt=1ϵtzt)′(σ2

T∑t=1

ztz′t)−1(

T∑t=1

ϵtzt)

→ χ2(R − K)

شود. م داده نشان سارگان آزمون با خط فرم دراست: زیر رگرسیون دادن قرار مدنظر ξ محاسبه برای ساده راه ی

ϵt = z′tγ + residual

شود. محاسبه باید ξ = T.R2 صورت به آن آزمون آماره و

٩٩ / ۵١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

خودهمبستگ وجود بدون ناهمسانباشد، نداشته وجود خودهمبستگ اما باشد برقرار ناهمسان که حالت در

E[ϵϵ′] = Ω =

σ2

1 0 · · · 0

0 σ22

...... . . . 00 · · · 0 σ2

T

زن تخمین از توانیم م

S = 1T

Z ′ΩZ = 1T

T∑t=1

ϵ2t ztz

′t

کنیم. استفادهT × T به نبازی و بزنیم تخمین را Z ′ΩZ ماتریس k × K که هستیم این نیازمند تنها

نداریم. Ω ماتریسآوریم: م بدست

βGMM (S−1) = (X ′ZS−1Z ′X)−1X ′ZS−1Z ′Y

ندارد. چندان اهمیت تخمین برای وزن در ثابت ی که کرد اشاره ٩٩باید / ۵٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

شود: م ها زن تخمین واریانس

V [βGMM ] = 1T

(D′T W optDT )−1

= 1T

((− 1T

T∑t=1

xtz′t)(

1T

T∑t=1

ϵ2t ztz

′t)−1(− 1

T

T∑t=1

ztx′t))−1

(T∑

t=1xtz

′t)−1

T∑t=1

ϵ2t ztz

′−1t (

T∑t=1

ztx′t)−1

است. سفید نویز ناهمسان سازگار واریانس زن تخمین که

٩٩ / ۵٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

خودهمبستگکه است موزون ماتریس W opt

T = S−1

S = V [√

T .mT (θ)] = T −1V [T∑

t=1(ztϵt)]

هستیم. ها واریانس محاسبه و بررس نیازمند ما خودهمبستگ باکنید فرض است. انجام قابل همبسته خود و ناهمسان های زن تخمین کاربرد یا مورد این

ΓjR×R = cov(ztϵt, zt−jϵt−j) = E[(ztϵt)(zt−jϵt−j)′]

پس باشد. j ل یا تاخیر با کوواریانس ماتریس

T.S = T −1V (ztϵt) + Cov(ztϵt, zt−1ϵt−1 + Cov(ztϵt, zt−2ϵt−2) + · · ·

+Cov(ztϵt, zt+1ϵt+1) + Cov(ztϵt, zt+2ϵt+2 + · · ·

= T −1∞∑

j=−∞Γj

٩٩ / ۵۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

از توانیم م است، q تاخیر از بزرگتر j برای Γj = 0 که بپردازیم بحث این به اگر

زن تخمین

S = T −1q∑

j=−q

Γj

کنیم. استفادهطدیق از ها کوواریانس که

Γj = 1T

T∑t=j+1

(ztϵt)(zt−j ϵt−j)′

شود. م زده تخمیننیست. مثبت معین ضرورتا آمده بدست S

یرد می خود به وست نیویی زن تخمین کاهنده های وزن ها کوواریانس مقابل دراست. کاربرد قابل OLS برای همچنین HAC کوواریانس زن تخمین

٩٩ / ۵۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

GMM در ها فرضيه آزمون

آزمون rs×1 و Rs×K با Rβ0 = r خط قيد S بخواهيم که بدهيد قرار اين بر را فرضصفر؛ فرضيه تحت آنگاه کنيم،

√T (Rβ − r) →d N(0s×1, RV R′)

آنگاه xn×1 ∼ N(0, Σ) بردار اگر دوم): درجه صورتهاي (توزيع :(٨) نکتهدو چ تصادف متغير توزيع داراي والد آزمون نمونه تابع صفر فرضيه تحت x′Σ−1x ∼ χ2

n

است. دو) (کاي

T (Rβ − r)′(RV R′)−1(Rβ − r) →d χ2s (١٢)

٩٩ / ۵۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مرتبه شرايط نماييم. آزمون نيز را نمايي مشخص حد از بيش قيدهاي فرضيه توانيم م همچنينبنابراين گردند. م صفر با رابر β در گشتاوري شرط q از خط ترکيب که دهد م نشان اول

شده برازش صحيح بطور مدل که صورت در که داريم نمايي مشخص حد از بيش قيد q − K

برقرار گشتاوري شرطهاي اينکه صفر فرضيه تحت باشند. صفر به نزدي قيدها اين بايد باشد،که دانيم م شوند) م برقرار نمايي مشخص حد از بيش قيدهاي (بنابراين هستند

مرکزي) حدي قضاياي (بنابه بنابراين و بوده، شده) (مقياس نمونه متوسط ي√

Tm(β0)است. مجانبي نرمال توزيع ي داراي

خالصه؛ √بطورTm(β0) →d N(0q×1, S0)

٩٩ / ۵٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


توزيع در Tm(β)′S−10 m(β) دوم درجه صورت که داريد انتظار شما اکنون احتماال بنابراين

آنگاه کنيم انتخاب را بهينه وزن ماتريس اگر که است اين درست نتيجه χ2q تصادف متغير ي به

W = S−10 if Tm(β)′S−1

0 m(β) →d χ2q−k (١٣)

W = S−10 if T.J(β) ∼ χ2

q−K (١۴)

م گويند. نيز (آماره) آزمون اي نمونه تابع آن به دليل همين به

٩٩ / ۵٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مدل مقايسه آزمون تابع ساخت، توان م J(β اي نمونه تابع از استفاده با که ري دي آزمونمدل دو هر برآورد براي W = S−1

0 بهينه وزن ماتريس از آن در که است، مقيد کمتر و مقيدصورت به قيد تا s آزمون که داد نشان توان م شود. م استفاده مقيد کمتر مدل از آمده بدست

است. زير

W = S−10 if T.[J(βr) − J(βlr)] ∼ χ2

s (١۵)

٩٩ / ۵٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثالایران سهام بازار به ٢٠٠٨ مال بحران سرایت آزمون

٩٩ / ۶٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثال

٩٩ / ۶١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثال

٩٩ / ۶٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثال

٩٩ / ۶٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


بازده گیرد. م نظر در غیربحران و بحران زمان دوره دو قالب در را ها داده DFGM مدلآید. م دست به زیر رابطه از که شود م داده نشان متغیر با بازارها

Si,t = 100(ln(Pi,t) − ln(Pi,t−1)) (١۶)

حالت این در که شود م استفاده بازار های شوک آوردن دست به برای VAR مدل ی ازباشد. م شده ذکر زیر رابطه در که VAR مدل پسماندهای بازار های شوک

st = µ +p∑

i=1Aist−i + vt (١٧)

٩٩ / ۶۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

غیربحران دوره

vt عوامل ساختار

vt = [A...Φ1]f t = Γ1f t

باشد. م عوامل تمام مجموعه f i متغیر آن در که

f t = [wt, u1,t, u2,t, u3,t]

همچنین؛ و

A =

λ1λ2λ3

; Φ1 =

ϕ1 0 00 ϕ2 00 0 ϕ3

(١٨)

٩٩ / ۶۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

غیربحران دوره

تأثیر ها دارایی تمام بازده بر همزمان صورت به که است بازار در هایی شوک نماینده wt عاملگذارد. م

و صفر میانگین با هم از مستقل را خاص و جهان عوامل تمام غیربحران مدل تکمیل برایشوند. م گرفته نظر در ی واریانس

ft ∼ iid(0, I) (١٩)

var(vt) = λ2i + ϕ2

i (٢٠)

٩٩ / ۶۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

بحران دوره

مدل به ، جهان متغیرهای واریانس در ساختاری ست ش و سرایت عوامل بحران مدل درشوند. م اضافه غیربحران

بحران دوره در بازارها سایر به بازار خاص عوامل های شوک سرایت مسیر از بازارها بین ارتباطدوره در عوامل مدل میدهد. نتیجه بازارها سایر در را ها تالطم افرایش که شود، م ایجاد

شود: م تعریف زیر صورت به بحران

vt = [A...Φ2]f t = Γ2f t

گردد. م تعریف زیر صورت ه Φ2 آن در که

Φ2 =

ϕ1 0 0γ2,1 ϕ2 γ2,3γ3,1 γ3,2 ϕ3

(٢١)

٩٩ / ۶٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

بحران دوره

برای شوند. م شناسایی γi,j پارامترهای وسیله به بازارها سایر به مبدا بازار از سرایت اندازهبحران دوره در که شود م فرض جهان متغیرهای واریانس در ساختاری ست ش کردن مدل

صورت آنها بر سرایت که بازارهایی در ها واریانس توزیع ω > 1 آن در که wt ∼ iid(0, ω2

آورد: دست به زیر رابطه از استفاده با میتوان را گیرد م

var(vi,t) = λ2i ω2 + ϕ2

i +∑i =j

γ2i,j (٢٢)

∆var(vi,t) = λ2i (ω2 − 1) +

∑i =j

γ2i,j (٢٣)

H0 : γi,j = 0 ∀i = j (٢۴)

است. انجام قابل والد ای نمونه تابع از استفاده با فرضیه این

٩٩ / ۶٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

مدل تخمین

باشد. م زیر صورت به بحران غیر و بحران دوره برای واریانس‐کوواریانس ماتریس

Ω1 = (1/T1)T1∑

t=1vtv

′t Ω2 = (1/T2)

T2∑t=1

vtv′t (٢۵)

شود: م نوشته زیر صورت به خالصه صورت به عوامل مدل

vt = Γkf t (٢۶)

٩٩ / ۶٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

مدل تخمین

باشد. م زیر صورت به بحران غیر و بحران دوره برای واریانس‐کوواریانس ماتریسبحران دوره و غیربحران دوره

E[vtv′t] = [A

...Φ1][A...Φ1]′ E[vtv

′t] = [Aω

...Φ2][Aω...Φ2]′ (٢٧)

شوند. م ایجاد وغیربحران بحران دوره در تجربی و تئوری واریانس‐کوواریانس های ماتریس

M1 = vech(Γ1) − vech([A...Φ1][A

...Φ1]′) (٢٨)

M2 = vech(Γ2) − vech([Aω...Φ2][Aω

...Φ2]′) (٢٩)

٩٩ / ٧٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

مدل تخمین

پارامترهای توان م Q هدف تابع سازی حداقل با و GMM زن تخمین روش از گیری بهره باآورد. دست به را مدل

Q = M ′1W −1

1 M1 + M ′2W −1

2 M2 (٣٠)

٩٩ / ٧١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تجربی های تحلیل

های شاخص های شوک سرایت اثر شد، معرف باال در که DFGM سرایت آزمون از استفاده بانقطه دانستن سرایت آزمون برای است شده آزمون تهران سهام بازار های شاخص بر الملل بین

در میشود، پرداخته بحران شروع نقطه یافتن نحوه به ابتدا بنابراین است الزام بحران شروعاثر به سپس و شده آزمون تهران سهام بازار قیمت کل شاخص بر شاخصهای سرایت اثر ادامهاثر نهایت در و شده پرداخته مال و پول های گری واسطه و صنعت های شاخص بر بحران

است. شده بررس دوم و اول بازار های شاخص بر را بحران

٩٩ / ٧٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تهران سهام بازار قیمت شاخص بر بحران اثر

بین شاخص عنوان به SP۵٠٠ شاخص از ابتدا ، جهان بحران شوکهای سرایت اثر بررس برایمدل سرایت آزمون برای است. شده استفاده است، بحران شوکهای بردارنده در که الملل

معادالت دستگاه سرایت وجود به بردن پی برای رو این از میشود، گرفته کار سرایتDFGMبهشود: م برآورد GMM روش با زیر

x1,t = λ1wt + ϕ1u1,t wt ∼ iid(0, 1)

x2,t = λ2wt + ϕ2u2,t ui,t ∼ iid(0, 1)

y1,t = λ1wt + ϕ1u1,t wt ∼ iid(0, ω2)

y2,t = λ2wt + ϕ2u2,t + γ2,1u1,t ui,t ∼ iid(0, 1)

٩٩ / ٧٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


٩٩ / ٧۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


٩٩ / ٧۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تهران سهام بازار مال گریهای واسطه و صنعت شاخصهای بر بحران اثر

بحران غیر دوره بخش در شده یاد GMM تخمینزنهای روش و DFGM سرایت آزمون از کارمیشود. زده تخمین معادالت دستگاه و شده استفاده

x1,t = λ1wt + ϕ1u1,t wt ∼ iid(0, 1) (٣١)

x2,t = λ2wt + ϕ2u2,t ui,t ∼ iid(0, 1)

x3,t = λ3wt + ϕ3u3,t

y1,t = λ1wt + ϕ1u1,t wt ∼ iid(0, ω2) (٣٢)

y2,t = λ2wt + ϕ2u2,t + γ2,1u1,tγ2,3u3,t ui,t ∼ iid(0, 1)

y3,t = λ3wt + ϕ3u3,t + γ3,1u1,t + γ3,2u2,t ui,t ∼ iid(0, 1)

٩٩ / ٧۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تهران سهام بازار مال گریهای واسطه و صنعت شاخصهای بر بحران اثر

مطلب این است. نداشته تأثیری مال گریهای واسطه شاخص بر بحران که دهند م نشان نتایجدر الملل بین سرمایه گردش جریان و کشور مال بازارهای بودن محدود از ناش توان م رانشان که ندارند، صفر از داری معن اختالف γ2,3 و γ3,2 ضرایب دانست. تهران سهام بازار

است. مال گری واسطه شاخص و صنعت شاخص بین سرایت وجود عدم دهنده

٩٩ / ٧٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

LS زنهاي تخمين

باشد؛ م متغير خط رگرسيون معادله همان بررس مورد مدل

yt = x′tβ0 + ut (٣٣)

عبارت آن GMM زنهاي تخمين گشتاوري شرط K است. K × 1 بردار ي β آن در کهاز: است

m(β) = (1/T )∑

t

xt(yt − x′tβ) = (1/T )

∑t

xtyt −∑

t

xtx′tβ (٣۴)

دقيقا (مدل صفر با گشتاوري شرطهاي تمام دادن قرار برابر از استفاده با اي نقطه هاي تخمينآيد: م بدست ، m(β) = 0k×1 يعن است)، مشخص

β = ((1/T )∑

t

xtx′t)−1((1/T )

∑t

xtyt) (٣۵)

٩٩ / ٧٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


آوريم؛ م بدست را زنها تخمين کواريانس ماتريس توانيم م زير روابط تعريف با

S0 = ACov[√

Tm(β0)] = ACov(√

T

T

∑t

xtut)

D0 = plim[∂m(β)/∂β′] = plim[−(1/T )∑

t

xtx′t] = −Σxx

از: است عبارت√

T (β − β0) مجانبي کواريانس ماتريس آنگاه

V LS = (D′0S−1

0 D0)−1 = (Σ′xxS−1

0 Σxx)−1 = Σ−1xx S0Σ−1

xx

٩٩ / ٧٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


از استفاده با يا کرده برآورد وست نيويي‐ پيشنهادي روش از استفاده با را S0 توانيم مکنيم: سازي ساده را S0 ر دي اضاف فرضهاي

S0 = E(√

T

T

∑t

xtut)(√

T

T

∑t

utx′t)

=√

T

T

∑t

xtx′tE(u2

t ) = σ2[∑

t

xtx′t/T ] = σ2Σxx

V LS = Σ−1xx [σ2Σxx]Σ−1

xx

= σ2Σ−1xx

٩٩ / ٨٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

IV/٢SLS زنهاي تخمين

است. IV استفاده مورد برآورد روش ول گيريم، م ار ب را yt = x′tβ0 + ut مدل ر دي بار

از: عبارتند q ≥ K با گشتاوري شرط q تعداد

m(β) = (1/T )T∑

t=1zt(yt − x′

tβ) = (1/T )T∑

t=1ztyt − (1/T )

T∑t=1

ztx′tβ (٣۶)

از: است عبارت زيان تابع

m(β)′Wm(β) = [(1/T )T∑

t=1zt(yt − x′

tβ)] (٣٧)

٩٩ / ٨١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


شود. م نوشته زير صورت به [∂m(β)/∂β′]′W m(β) = 0 اول مرتبه شرط K

0K×1 = [ ∂

∂β′ .1T

T∑t=1

zt(yt − x′tβ)]′W 1

T

T∑t=1

zt(yt − x′tβ)

= [− 1T

T∑t=1

ztx′t)]′W

1T

T∑t=1

zt(yt − x′tβ)

= −ΣxzW [Σzy − Σzxβ] (٣٨)

٩٩ / ٨٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


داريم: β براي ٣٨ حل با

β = [ΣzxW Σzx]−1ΣzxW Σzy (٣٩)

آوريم: م بدست را√

T ( ˆβ − β0 کواريانس واريانس ماتريس زير نمادهاي تعريف با

S0 = ACov[√

Tm(β0)] = ACov(√

T

T

∑t

ztut)

D0 = plim[∂m(β0)/∂β′] = plim[−(1/T )∑

t

ztx′t] = −Σzx

٩٩ / ٨٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


از؛ است عبارت√

T ( ˆβ − β0 مجانبي کواريانس واريانس ماتريس

V = (D′0S−1

0 D0)−1 = (Σ′zxS−1

0 Σzx)−1 (۴٠)

IV زنهاي تخمين بودن پذير معکوس فرض با (q = K) است مشخص دقيقا مدل که هنگامآيد. م بدست زير صورت به

β = Σ−1zx Σzy and V = Σ−1

zx S0(Σ′zx)−1 if q = k (۴١)

٩٩ / ٨۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

تخمين روش از استفاده با همزمان معادالت سيستم شناسايي مسئلهيافته تعميم گشتاورهاي زنهاي

يريد. ب نظر در را همزمان معادالت از سيستم ي ساختاري صورت

Γyt + ∆xt = ut (۴٢)

شود. م نوشته زير صورت به سيستم اين jساختاري ام معادله

yjt = Y ′jtγj + x′

jtδj + εjt, H ′jt = [Y ′

jtx′jt]

yjt = H ′jtβj + εjt (۴٣)

است. βj بردار برآورد ما هدف

٩٩ / ٨۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


: از عبارتند ام معادله گشتاوري شرطهاي

E[zt(yjt − H ′jtβj)] = 0

از: عبارتند آنها متناظر نمونه اي وگشتاورهاي

(1/T )T∑

t=1[zt(yjt − H ′

jtβj)] = 0 (۴۴)

مشخص دقيقا معادله اين آنگاه باشد، βj پارامترهاي اندازه به گشتاوري شرط هاي تعداد اگرم شود. ناميده

٩٩ / ٨۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


مثاليريد. ب نظر در را تقاضا و عرضه ساده همزمان معادالت مدل تقاضا): و عرضه (معادالت

از: عبارتند ترتيب به نقاضا و عرضه معادالت

qt = γpt + εst γ > 0

qt = βpt + αAt + εdt β < 0

از: است عبارت عرضه معادله براي گشتاوري شرط

E[At(qt − γpt)] = 0

است. مسخص دقيقا عرضه معادله بنابراين م دهد. يل تش را γ مجهول يك با معادله يك كه

٩٩ / ٨٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

اول مرتبه همبسته خود مدل يك همبستگ خود ضريب داري معن آزمونيريد. ب نظر در را زير AR(١) اول مرتبه از همبسته خود مدل

xt = ϕxt−1 + εt

يريد: ب نظر در را زير گشتاوري شرطهاي

mt(β) =[

x2t − σ2

ε

xtxt−1 − ρσ2ε

]

بنابراين

β =[σ2

ρ

](۴۵)

m(β) = 1T

T∑t=1

[x2

t − σ2ε

xtxt−1 − ρσ2ε

]

٩٩ / ٨٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

همبستگ خود ضريب برآورد

آزمون را ρ = 0 فرضيه و برآورد را σ2ε و ρ پارامترهاي گشتاوري شرط هاي از استفاده با

به يافتن دست براي كنيم. محاسبه را ρ مجانبي واريانس است الزم آن انجام براي م كنيم.ماتريس و گشتاورها ژاكوبين احتمال حد است الزم پارامترها، برآوردگر كواريانس ماتريس

احتمال حد باشيم. داشته اختيار در را گشتاورها پارامترهاي، مقدار در شده ارزشيابي كواريانساست: عبارت ژاكوبين

D0 = plim

[∂m1(β0)/∂σ2

ε ∂m1(β0)/∂ρ∂m1(β0)/∂σ2

ε ∂m1(β0)/∂ρ

]=[−1 0−ρ −σ2

ε

](۴۶)

=[−1 00 −σ2

ε

]

٩٩ / ٨٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


داريم: S0 تعريف به بنا ابتدا است پيچيده قدري كواريانس ماتريس

S0 = E[√

T

T

T∑t=1

mt(β0)][√

T

T

T∑t=1

mt(β0)]′

آنگاه باشد. صفر mt(β0 ميان همبستگ كه دهيد قرار اين بر را فرض

S0 = E[mt(β0)][mt(β0)]′

٩٩ / ٩٠ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


آوريم: بدست ρ = 0 دليل همين به xi ∼ i.i.dN(0, σ2ε كه داديم قرار اين بر را فرض

S0 = E

[x2

t − σ2ε

xtxt−1

] [x2

t − σ2ε

xtxt−1

]′

= E

[(x2

t − σ2ε)2 (x2

t − σ2ε)xtxt−1

(x2t − σ2

ε)xtxt−1 (xtxt−1)2

]

= E

[Ex4

t − 2σ2εEx2

t + σ4ε 0

0 Ex2t x2

t−1

]=[2σ4

ε 00 σ4

ε

](۴٧)

٩٩ / ٩١ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


نتیجه: درEx3

t xt−1 = σ2εExtxt−1, Ex2

t x2t−1 = Ex2

t Ex2t−1

كه: م آوريم بدست

ACov

(√

T

[σ2

ρ

])= [D′

0S−10 D0]−1

=

[−1 00 −1

]′ [−2σ4 0

0 σ4

]−1 [−1 00 −1

]−1

(۴٨)

=[2σ4 00 1

]

٩٩ / ٩٢ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


داريم است، مجانبي توزيع يك داراي نوعا GMM تخيمن زنهاي ه آنجائي ازاستفاده با را اول مرتبه همبستگ خود نبود صفر فرضيه م توانيم بنابراين

√T ρ →d N(0, 1)

كنيم. آزمون زير نمونه اي تابع ازT ρ2 ∼ χ2

1

است. اول مرتبه همبستگ خود آزمودن براي يونگ باكس‐ آزمون همانند نمو نه اي تابع اين

٩٩ / ٩٣ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

همبستگ خود نبود نمايي مشخص حد از بيش آزمون

آزمون ρ = 0 در را گشتاوري شرط دو هر برقراري سپس و كرده برآورد را σ2ε تنها توانيم م

،GMMزيان تابع از استفاده آن اولين دارد. وجود آن انجام براي مختلف هاي راه كنيم.است. گشتاوري اول مرتبه شرطهاي از مستقيم استفاده آن ودومين

0 = Am

[1 0

] 1T

T∑t=1

[x2

t − σ2ε

xtxt−1

](۴٩)

بود. خواهد زير صورت به مشتق ها ماتريس

D0 = plim

[∂m1(β0)/∂σ2

ε

∂m2(β0)/∂σ2ε

]=[−10

](۵٠)

٩٩ / ٩۴ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


داريم: كل بطور

ACov[√

Tm(β)] = [I −D0(A0D0)−1A0]S0[I −D0(A0D0)−1A0]′ (۵١)

م آيد. بدست زير صورت به كروشه داخل عناصر است، A0 = A كه آنجايي از

[1 00 1

]I

−[−10

]D0

([1 0

]A0

[−10

]D0

)−1 [1 0

]A0

=[0 00 1

](۵٢)

٩٩ / ٩۵ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


كه؛ آوريم م بدست بنابراين

ACov[√

Tm(β)] =[0 00 1

] [2σ2

ε 00 σ4

ε

] [0 00 1

]′

=[0 00 σ4

ε

](۵٣)

كواريانس داراي شده، برآورده پارامترهاي در نمونه اي واريانس داراي گشتاوري شرط اوليناست. صفر برابر نمونه

به است صفر برابر نيز دوم گشتاوري قيد آن براساس كه نمايي مشخص حد از بيش قيد آزمونم گردد. تعريف زير صورت

Tm′ = (ACov[√

Tm(β)])+m ∼ χ21 (۵۴)

٩٩ / ٩۶ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


شود استفاده يافته تعميم معكوس از است الزم باشد، منفرد كواريانس ماتريس اگر درآن، كه

T

[0∑T

t=1 xtxt−1/T

]′ [0 00 1/σ4

ε

] [0∑T

t=1 xtxt−1/T

](۵۵)

= T[∑T

t=1 xtxt−1/T ]2

σ4ε

٩٩ / ٩٧ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ها داده و ایران در درمان بیمه ساختار

بیمة نوع برای انتخابی حق افراد از توجه قابل بخش ایران، در درمان بیمة صنعت فضای در(١ بیمة انواع از ی پذیرفتن به مجبور خود شغل نوع حسب بر افراد ر دی بعبارت ندارند. خودهای سازمان طریق از که باشند م فرما خویش بیمة (٣ آزاد، مشاغل بیمة (٢ کارفرما، و کارگریا و شوند م ارائه ... و نفت شرکت شهرداری، های سازمان ، درمان خدمات ، اجتماع تأمین

بیمه نوع بر مشروط فرد هر ایران در بنابراین نگیرند. قرار ای بیمه هیچ پوشش تحت (۴ اینکهمصرف به اقدام ، سالمت وضعیت توزیع از یافتة تحقق مقدار داشتن و او بر شده تحمیل

را آنها مطلوبیت که کنند م مصرف درمان خدمات از مقداری افراد کند. م درمان خدماتسازد. حداکثر مرکب، کاالی مصرف و سالمت وضعیت از

٩٩ / ٩٨ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ها داده و ایران در درمان بیمه ساختار

٩٩ / ٩٩ ١٣٩۵ اسفند ٧ یافته تعمیم گشتاورهای روش برآوردگرهای حداد کشاورز غالمرضا

Documents

مودﻞﺼﻓ داﺪﺣزروﺎﺸﮐﺎﺿﺮﻣﻼﻏ ١٣٩۵ﺪﻨﻔﺳا٧gsme.sharif.edu/~g.k.haddad/Econometrics II M.S/Chapter Two GMM .pdfﻪﺘﻓﺎﯾﻢﯿﻤﻌﺗیﺎﻫروﺎﺘﺸﮔیﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑشور