. . . . . .

.

.. ..

.

.

عددی محاسباتدرونیابی

فرض جواد دکتر

تبریز سهند صنعت اه دانش

١٣٩٣ پائیز

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. ایها چندجمله با درونیابی

...مسئله

.. ..

.

.

است: معلوم متمایز نقطه n + 1 در f تابع مقادیر اول: مساله

x0, x1, . . . , xn (١)f0, f1, . . . , fn

اگرx∗ ∈ (x0, xn), x ̸= xi, i = 1, . . . , n − 1,

کرد؟ برآورد توان م ونه چ را f(x∗) مقدار است؟ چقدر تقریبا f(x∗) مقدار

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y=si

n(x)

y = sin(x)

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y=si

n(x)

(x0,f

0)

(x1,f

1)

(x2,f

2)

(x3,f

3)

(x4,f

4)

(x5,f

5)

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y=si

n(x)

(x0,f

0)

(x1,f

1)

(x2,f

2)

(x3,f

3)

(x4,f

4)

(x5,f

5)

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y=si

n(x)

(x0,f

0)

(x1,f

1)

(x2,f

2)

(x3,f

3)

(x4,f

4)

(x5,f

5)

(x*,f*)

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. برونیابی

...مسئله

.. ..

.

.

و است مفروض (١) های داده با f جدول تابع دوم: مساله

x∗ /∈ [x0, xn],

است؟ چقدر تقریبا f(x∗) مقدار

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y=si

n(x)

(x0,f

0)

(x1,f

1)

(x2,f

2)

(x3,f

3)

(x4,f

4)

(x*,f*)

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. منحن برازش

...مسئله

.. ..

.

.

مانند نقاط تعدادی مساله این در سوم: مساله

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)

خطای کمترین با که است منحن یا خط تابع ی کردن پیدا هدف است. شده دادهمربع کردن کمینه با منحن این معموال کند. برازش را ها داده مجموعه این ن مم

آید. م دست به نقاط این در مربعات) کمترین خطاها(روش

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. درونیابی

xi x0 x1 x2 . . . xnfi = f(xi) f0 f1 f2 . . . fn

(٢)

. ..قضیه

.. ..

.

.

کند درونیابی را (٢) های داده که دارد وجود n درجه از حداکثر تای ی ای جمله چند

P(xi) = fi, i = 0, 1, . . . , n.

P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0.

an, an−1, . . . , a1, a0 =?

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. درونیابی

معادله nP(xi) = fi, i = 0, 1, . . . , n,

مجهول n وan, an−1, . . . , a1, a0.

.پاسخ

..

.. ..

.

.

P(x0) = f0 → anxn0 + an−1xn−1

0 + · · ·+ a1x0 + a0 = f0P(x1) = f1 → anxn

1 + an−1xn−11 + · · ·+ a1x1 + a0 = f1

...P(xn) = fn → anxn

n + an−1xn−1n + · · ·+ a1xn + an = fn

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. درونیابی

1 x0 x20 . . . xn

0

1 x1 x21 . . . xn1

......

1 xn−1 x2n−1 . . . xnn−1

1 xn x2n . . . xnn

a0a1...an−1

an

=

f0f1...fn−1

fn

با است برابر ماتریس این دترمینان نامند. م واندرموند ماتریس را ضرایب ماتریس

d =∏

0≤j<i≤n(xi − xj) ̸= 0.

محاسبه با درونیابی مساله حل شده، تولید خطاهای و باال محاسبات هزینه دلیل بهساده ل ش دارای ضرایب ماتریس آنکه ر م شود. نم انجام باال دستگاه از ضرایب

باشد. قطری) (ماتریس ای

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. الگرانژ درونیابی

هستند: کرونکر دلتای خاصیت دارای الگرانژ n درجه ایهای چندجمله

Li(xj) = δij =

{1, i = j0, i ̸= j.

Li(x) =(x − x0) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)

(xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−5 0 5

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

...مثال

.. ..

.

.

آورید بدست را xi −1 0 1

fi 2 3 6جدول تابع درونیاب ای چندجمله

.پاسخ

..

.. ..

.

.

آوریم: م بدست را 2 درجه الگرانژ ایهای چندجمله بنابراین n = 2 جدول این در

L0(x) =(x − x1)(x − x2)(x0 − x1)(x0 − x2)

=(x − 0)(x − 1)

(−1− 0)(−1− 1)=

x2 − x2

L1(x) =(x − x0)(x − x2)(x1 − x0)(x1 − x2)

=(x + 1)(x − 1)

(0 + 1)(0− 1)=

x2 − 1

−1= 1− x2

L2(x) =(x − x0)(x − x1)(x2 − x0)(x0 − x1)

=(x + 1)(x − 0)

(1 + 1)(1− 0)=

x2 + x2

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−1 −0.5 0 0.5 1

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

−1 −0.5 0 0.5 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

.. الگرانژ درونیابی معایب

است. زیاد Li(x) ایهای چندجمله محاسبه هزینهشود. م تعیین محاسبات از بعد درونیاب ای چندجمله درجه

آن از استفاده شود، نم ساخته بتدریج الگرانژ درونیاب ایهای چندجمله چونگیرد. صورت احتیاط با باید

فرض جواد دکتر عددی محاسبات

. . . . . .

..نیوتن درونیابی

نیوتن شده تقسیم تفاضالت

دوم: مرتبه و اول مرتبه شده تقسیم تفاضالت

f[xi, xi+1] =fi − fi+1

xi − xi+1

f[xi, xi+1, xi+2] =f[xi, xi+1]− f[xi+1, xi+2]

xi − xi+2

:k مرتبه شده تقسیم تفاضل

f[xi, xi+1, . . . , xi+k] =f[xi, . . . , xi+k−1]− f[xi+1, . . . , xi+k]

xi − xi+k

فرض جواد دکتر عددی محاسبات