1

کنترل مدرنبسم اهللا الرحمن الرحیم

نمایش سیستم هاي خطی

n مقدمهn نمایش توسط معادالت دیفرانسیلn حالتتوسط فضاي نمایشn سازي خطیn الکتریکیسیستم هاي استخراج معادالت فضاي حالتn مکانیکیسیستم هاي استخراج معادالت فضاي حالتبا استفاده از قانون دوم نیوتن n مکانیکیسیستم هاي استخراج معادالت فضاي حالتالگرانژبا استفاده از معادالت n فازمعادالت فضاي حالت توسط متغیرهاي نمایشn فرم هاي کانونیکالمعادالت فضاي حالت توسط نمایش

دکتر جعفر زارعی دانشگاه صنعتی شیراز

دانشکده مهندسی برق و الکترونیک 91-92نیمسال اول

1

مقدمه:لطراحی سیستم هاي کنتر

جهت طراحی سیستمریاضی مدلمشخصات فیزیکی و یا دانستن -.ضروري است

:مدل سیستم•مدل تحلیلی ریاضی •مدل هاي به دست آمده از شناسایی سیستم•مدل هاي محاسبات نرم•

روشهاي تحلیل و طراحی سیستم هاي کنترل: مدل ریاضی•

براي مدلسازي فضاي زمانی و از معادالت دیفرانسیلدر مدرن کنترلدر .استفاده می شوددینامیکی هاي سیستم 2

2

تابع تبدیلمدل -

مدل فضاي حالت -

هاي کالسیکطراحی -SISOمدلسازي سیستم هاي ساده -ورودي خروجی یا تابع تبدیلتوصیف -ورودي خروجی یا خارجی از سیستمتوصیف -

پیشرفتهطراحی هاي --غیرخطی: هاي پیچیدهساده سیستم مدلسازي -

با زمانمتغیر -چندمتغیرهبا متغیرهاي حالت یا داخلی از سیستمتوصیف --اندرکنش متغیرهاي سیستم؛ ورودي هانمایش -

خروجی ها-حالت هاشرایط اولیهواردکردن -سازيبهینه -

:توصیف سیستم یا مدلسازي ریاضی

3

توان توسط یک دستگاه معادالت دیفرانسیل مرتبۀ یک ها را می بسیاري از سیستم.نمود سازي مدل

.را درنظر بگیرید Fتحت نیروي Mحرکت جرم : مثال

)(),,(دستگاه معادالت دیفرانسیل غیر خطی tt uxfx =&

نمایش فضاي حالت سیستم هاي غیرخطی و خطی

4

3

:قانون دوم نیوتناز با استفاده )1-1( )1-2(

.لذا معادالت حالت به صورت زیر نوشته می شود

)1-3(

حالت فضاي یک ،)D(v)( سرعت از غیرخطی تابع وجود به توجه با مدل این.می دهد نشان را غیرخطی

نمایش فضاي حالت سیستم هاي غیرخطی و خطی

5

را صنعتي مختلف سيستمهاي مدلهاي از بسياري کلي حالت در نمايش اول مرتبة ديفرانسيل معادالت از دسته اي صورت به مي توان

:مي شود گفته سيستم حالت معادالت آن به که .داد

)1-4(

که در آن متغیرهاي را متغیرهاي حالت سیستم می نامیم

),,,,,,,(

),,,,,,,(),,,,,,,()(

),,,,,,,()(

2121

212111

21212

212111

tuuuxxxgy

tuuuxxxgytuuuxxxftx

tuuuxxxftx

rnmm

rn

rnn

rn

LL

M

LL

LL&

M

LL&

=

==

=

),,,,,,,(

),,,,,,,(),,,,,,,()(

),,,,,,,()(

2121

212111

21212

212111

tuuuxxxgy

tuuuxxxgytuuuxxxftx

tuuuxxxftx

rnmm

rn

rnn

rn

LL

M

LL

LL&

M

LL&

=

==

=

نمایش فضاي حالت سیستم هاي غیرخطی و خطی

6

4

متغيرهاي حالت به صورت طبيعي از معادالت ديفرانسيل حاكم بر سيستم .قابل انتزاع مي باشند

:در حالت کلي معادالت ديفرانسيل حاکم بر سيستمها به فرم زير مي باشد )1-5(

عالوه .نامند مي زمان با نامتغير را توابع اين لذا نبوده زمان از تابعي fi توابعgi توابع اگر آن بر , fi متغيرهاي به نسبت x و u نهائي سيستم باشند، خطي .مي ناميم LTI يا “زمان با نامتغير خطي سيستم” را

),,(),,()(

tytt

uxguxfx

==&

),,(),,()(

tytt

uxguxfx

==&

نمایش فضاي حالت سیستم هاي غیرخطی و خطی

7

توابع gو fبنابراین . باشد هاي خطی می در این درس عمدتاً تمرکز ما بر روي سیستمزیر نمایش معادالت کلی و با در این صورت سیستم را خطی نامیده .باشند خطی می

:می شوندداده

)()()()()( tutBtxtAtx +=& )()()()()( tutBtxtAtx +=&

)()()()()( tutDtxtCty += )()()()()( tutDtxtCty +=

)(tA

)(tB

)(tC

)(tD

حالت ماتریس ماتریس:

ورودي ماتریس ماتریس:

خروجی ماتریس ماتریس:

خروجی و ورودي بین انتقال ماتریس ماتریس:

nn ×

mn ×

nl ×

ml ×

فضاي حالت یک سیستم خطی متغیر با زمان

8

5

آنگاهکوچکتر باشد، آن از مخرجتابع تبدیل اگر درجه صورت : 1نکته .خواهد بود

0)( =tD

:داشت خواهیم نکنند، تغییر زمان با فوق ياتریسهام که صورتی در :2 نکته

)()()( tButAxtx +=& )()()( tButAxtx +=&

)()( tDutCxy += )()( tDutCxy +=فضاي حالت یک سیستم خطی تغیرناپذیر با زمان

9

چند واقعيت كليدي. باشند غيرخطي ميصنعتي داراي ديناميکو واقعيسيستمهاي -خطي الزم است هاي کنندهمنظور استفاده از تکنيکهاي طراحي کنترل به -

.کنيمخطي سازيصورت رياضي ابتدا معادالت غيرخطي سيستم را به

:انتخاب درست نقاط كارزماني تقريب خطي از يک مدل رياضي غير خطي ،کنترلهاي سيستمدر •

بدانيم تغييرات خروجي سيستم حول نقطه كار کهکند ميخوب عمل .مي باشدسيستم

به شرط آنكه پاسخ سيستم همواره در نزديكي نقطه كار لذا تقريب خطي .برخوردار استدرجة اعتبار خوبي سيستم باشد از

فرايندهاي پيچيده غيرخطي را در نقاط كار با خطي، سيستم هاي كنترل •.مي كنندموفقيت كنترل

خطی سازي سیستم هاي غیرخطی

10

6

...)()(!2

1)()()()( 202

2

00

00

+−+−+===

xxdx

xfdxxdx

xdfxfxfxxxx

n

xxn

n

nxx

dxxfd

nxf )()(

!1)( 0

00

−==

∞

=∑

, يک روش کاربردي و موفق در خطي سازي معادالت غير خطي سيستم. استبسط سري تيلور براساس

.مي نامندنقطه تعادل يا نقطه کار را x0 نقطه

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

11

)()()()( 000

xxdx

xdfxfxfxx

−+==

Tn

n

xxx

xf

xfxf

... x

)(.

)()(

f(x)

)x(xx

f(x))f(xf(x)

211

1

0xx

00

=

=

−∂

∂+≈

=

x1, x2,…,xnبه چندين متغير مانند fدر حالت کلي تر که تابع برداري که در آن .خواهيم داشتاست، وابسته

با صرفنظر کردن از عبارات مرتبه باالتر

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

12

7

. مي شودداده نشان Jxناميده و به صورت ژاکوبينرا ماتريس ماتريس

(i, j) امين عنصر ماتريس Jx عبارتست از:

سيستم؛با اعمال روند خطي سازي باال به معادالت غير خطي

و با تعريف (x0, u0)حول نقطه کار

)(u)(u)(u)(x)(x)(x

0

0

tttttt

∆+=∆+=

j

iijx x

fJ∂∂

=)(

xf

∂∂

[ ]ttutxgtyttutxftx

),(),()(]),(),([)(

==&

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

13

+∆+ باال مرتبهعبارات∆+=+

u(t)t),u,(xJ x(t)t),u,(xJt),u,f(x)(xΔ)(x

00u

00x000 tt &&

),,()( ),,()()()()()()(

tuxJtBtuxJtAtutBtxtAtx

ux °°°° ==∆+∆=∆&

),,()( ),,()()()()()()(

tuxgtDtuxgtCtutDtxtCty

ux °°°° ==∆+∆=∆

، داريممي دهندبه ترتيب انحرافات کوچک حول نقطه کار را Δx, Δuکه در آن

مي آوريمو لذا با صرفنظر کردن از عبارات مرتبه باالتر، بدست

در آن که

مي آوريمو معادله غيرخطي خروجي را بطور مشابه بدست

که در آن

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

14

8

gx وgu به ترتيب ماتريس هاي ژاکوبينg(.) بر حسبx(t) وu(t)

.هستندبا باز نويسي معادالت فوق، معادالت حالت , باشدتغيير ناپذير با زمان در صورتيکه سيستم

.مي آيندو خروجي خطي سازي شده سيستم حول نقطه کار به صورت زير بدست

.مدلسازي به علت ناديده گرفتن عبارت هاي مرتبه باالترخطاهاي - :نكته

مقاوممفهوم مقاومت سيستم كنترل و طراحي كنترل پيدايش -

)()()()()()(tDutCxtytButAxtx

+=+=&

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

15

. نقطه کار مبداء و را در نظر بگيريد

:معادالت غير خطي سيستمي عبارتند از: مثال

)()()()()(

)()()()(3sin)()(

2)(

1122

123

122

11

2 tfetxtutxtxtftututxtxtx

tx =+−=

=−+−=−&

&

0)(ˆ =tx 0)(ˆ =tu

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

16

9

:ماتريس هاي ژاکوبين و عبارتند از [ ]ttutxJ x ),(ˆ),(ˆ[ ]ttutxJu ),(ˆ),(ˆ

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2

2

1

2

2

1

1

1

.

xf

xf

xf

xf

J x[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

2

2

1

2

2

1

1

1

.

uf

uf

uf

uf

Ju

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

17

:از معادالت غیر خطی سیستم در نقطه کار مبداء داریم

[ ]

−=

1130

.xJ [ ]

−

−=

0110

.uJ

معادله خطي شده فضاي حالت سيستم در نقطه کار مبداء عبارت , بنابراين

:است از)(

0110

)(1130

)( tutxtx ∆

−

−+∆

−=∆&

.مي باشندجزئي حول نقطه کار تغييرات که در آن و )(tu∆)(tx∆

خطی سازي با بسط سري تیلور تابع تحلیلی

18

10

عوامل از یکی بودنِ مشخص فیزیکی، سیستم یک حالت متغیرهاي استخراج منظور به:باشد می ضروري زیر

ورودي - خروجی کننده توصیف دیفرانسیل معادالت )1فیزیکی سیستم مختلف اجزاء بر حاکم معادالت )2فلوگراف سیگنال یا دیاگرام بلوك )3

فیزیکی متغیرهاي از استفاده )1 فاز متغیرهاي از استفاده )2 کانونیکال متغیرهاي از استفاده )3

:شوند میانتخاب متغيرهاي حالت به سه دسته اصلی تقسيم های روش

انتخاب متغیرهاي حالت

19

:1 نکتهدرجه مخرج

تبديلتابع مستقلتعداد متغيرهاي بیانگر

: 2 نکته

سيستم فيزيكي

فیزیکیبا استفاده از قوانین

معادالت ديفرانسيل ).باشد minimalبايد (

کرد توجه مهم نکته چند به باید حالت متغیرهاي تعیین در

:3 نکته.نیمال باشند باید توجه داشته باشیم که معادالت فضاي حالت نهایی باید می ) الف

.متغیرهاي حالت یک سیستم باید بصورت مستقل از هم انتخاب شوند )ب 20

اصول انتخاب متغیرهاي حالت

11

v دارد وجود مدلسازي جهت دیدگاه دو کلی بطور:

.تقسیم نمودن سیستم به اجزاء تشکیل دهنده و مدلسازي آن توسط روابط ریاضی :الفپذیرد سیستم انجام می بر روي هایی آزمایشدر این حالت : سیستمشناسایی پارامتري :ب.شود بررسی نتایج حاصله یک مدل ریاضی براي سیستم تعیین می و با

v پارامترهاي مبین باید آمده دست هب مدل سیستم، تبیین و گذاري پایه راستاي در :باشد زیر

ـ ارتباط دینامیکی بین پارامترهاي دستگاه عامل ـ ورودي

.گیري باشد ـ خروجی قابل اندازه21

فضاي حالت از روي مدل سازي سیستم به کمک متغیرهاي فیزیکیتعیین -1

v بین ارتباط همچنین و بوده سیستم درونی اطالعات دربرگیرنده مدلسازي effect وcause باشد می سیستم متغیرهاي.

v باشد می سیستم بر حاکم فیزیکی قوانین از استفاده کار انجام جهت اصلی اساس و پایه.

v نگهدارنده موجود عناصر براساس فیزیکی متغیرهاي روش در حالت متغیرهاي انتخاب .شود می بنا سیستم انرژيv متغیر عنوان هب تواند می انرژي نگهدارنده عنصر هر براي انرژي معادلۀ در فیزیکی متغیر

.شود انتخاب سیستم حالتvمستقل که شوند انتخاب ينحو هب باید فیزیکی متغیرهاي که است یادآوري به الزم

.باشند 22

نکاتی که در مدلسازي سیستمها باید در نظر داشت

12

عناصر نگهدارندة انرژيمعرفی

23

الكتريكي سيستم هاي حالت معادالت جريان و ولتاژ قوانين از استفاده با.مي گردند تعيين

با استفاده از قوانين جريان و )6-1: (ولتاژ مي توان نوشت

الکتریکیسیستم هاي

24

13

:داریم آن از گیري انتگرال و دربرگیرندة حلقۀ معادلۀ نوشتن با

)1-7(

K=0 صفر اولیۀ شرایط فرض با که است، اولیه ایط شر از تابعی و گیري انتگرال ثابت K آن در که.شد خواهد

دیگري سلفهاي جریان از تابعی و نبوده مستقل سلف جریان که دهد می نشان معادله اینانرژي تبدیل و ذخیره المان پنج وجود علیرغم لذا .است

حسب بر را متغیر چهار این است کافی سیستم معادالت نمایش براي حالت متغیر چهار

.می کنیم انتخاب خازن ولتاژهاي و سلف جریان هاي25

الکتریکیسیستم هاي

)1-8(

)1-9(

و iورودي سیستم جریان منبع .می باشد v1خروجی سیستم ولتاژ

الکتریکیسیستم هاي

26

14

:2 مثال

=−=

=−−

=−−−

dtdvCiii

iRdt

diLtV

tVdtdiLtiRte

cc

C

C

21

222

2

1111

φ

φ

)(

)()()(

=−=

=−−

=−−−

dtdvCiii

iRdt

diLtV

tVdtdiLtiRte

cc

C

C

21

222

2

1111

φ

φ

)(

)()()(T

cviix )( 21=

:حالت متغیرهاي بردار

27

)(teL

xxx

CC

LLR

LLR

X

+

−

−

−−

=•

0

0

1

011

10

101

3

2

1

22

211

1

)(teL

xxx

CC

LLR

LLR

X

+

−

−

−−

=•

0

0

1

011

10

101

3

2

1

22

211

1

سیستم حالت فضاي معادالت

=

3

2

1

2 00xxx

Rty )()(

=

3

2

1

2 00xxx

Rty )()(

28

15

:)مستقیم خط طول در حرکت( انتقالی )1()m( جرم در شتاب اصلضربح با است برابر نیروها مجموع

maF = maF =

:دورانی )2( اي زاویه شتاب در اینرسی ممان حاصلضرب با است برابر گشتاورها عۀومجم

ωτ &.I= ωτ &.I=

مکانیکی هاي سیستمسازي با کمک قانون نیوتنمدل

29

مکانیکیهاي سیستماجزاي اصلی

30

16

:تمرین

if

:آورید بدست را زیر مکانیکی سیستم حالت فضاي مدل

xxxx&=

=

2

1

==

⇒

==

xxxx

xxxx

&&&

&

& 2

21

2

1

31

+−−=

=⇒ •

•

)(tfm

xmKx

mBx

xx1

122

21

+−−=

=⇒ •

•

)(tfm

xmKx

mBx

xx1

122

21

)(tfKxxBxm =++ &&& )(tfKxxBxm =++ &&& )(1 tfm

xmKx

mBx +−−= &&&

)(tfm

xmB

mkx

+

−−=• 1

010)(tf

mx

mB

mkx

+

−−=• 1

010

xy )( 01= xy )( 01=

:مکانیکی سیستم حالت فضاي مدل

32

17

:تمرین:آورید بدست را زیر مکانیکی سیستم حالت فضاي مدل

33

2111 xxxy == •2111 xxxy == •

)(tfN

xNkx

Nkx

NBx

NBxxy 1

31

11

1

14

1

12

1

1221 ++−+−== •• )(tf

Nx

Nkx

Nkx

NBx

NBxxy 1

31

11

1

14

1

12

1

1221 ++−+−== ••

4332 xxxyif == •4332 xxxyif == •

22

14

2

213

2

241

4

14432 x

NBx

NVBx

Nkkx

Nkxxxy +

+−−=== •••

22

14

2

213

2

241

4

14432 x

NBx

NVBx

Nkkx

Nkxxxy +

+−−=== •••

:مکانیکی سیستم حالت متغیرهاي معرفی

سیستم بر حاکم معادالت

222221121122 )()( YBYKYYKYYBYN &&&&& −−−+−=

)()()( 21121111 YYKYYBtfYN −−−−= &&&&

34

18

)()()(

tfN

NBB

NKK

NB

NK

NB

NK

NB

NK

x

+×

+−+−

−−

=•

00

10

1000

0010

1

2

2

2

21

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)()()(

tfN

NBB

NKK

NB

NK

NB

NK

NB

NK

x

+×

+−+−

−−

=•

00

10

1000

0010

1

2

2

2

21

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

xyyy

=

= 0100

00012

1 xyyy

=

= 0100

00012

1

:3مدل فضاي حالت سیستم مکانیکی مثال

35

خودرو فعال تعلیق سیستم :مثال

تعلیق سیستم عملگر ورودي u :ورودي به yR جاده اغتشاش .باشد می فعال

.باشد می اغتشاشی ورودي صورت

این در نظر مورد خروجی :خروجی نوسانات( x1 خودرو نوسانات سیستم به بایستی که باشد می )خودرو اتاق

.برسد حداقل

مکانیکیسیستم هاي

36

19

:حاکم فیزیکی اصول استهالك صورت به فنر کمک نیروي و خطی صورت به فنر نیروي

.کند می عمل ویسکوزیته

.گردد می خنثی یا برابر فنر نیروي با وزن نیروي تعادل حالت در

مکانیکیسیستم هاي

37

u+

mg

m

)( 12 xxB && −

))(( 1012021 xxxxK −−−

)( 2022 RyxxK −−

u+

Mg

M

)( 12 xxB && −))(( 1012021 xxxxK −−−

:M و m جرم دو براي نیروها آزاد دیاگرام وزن نیرو اثر گرفتن نظر در و نیوتن قانون اعمال با

فنرها اولیه جابجایی روي بر اجرام

Mg−

mg−

38

20

:داریم تعادل حالت در .شد خواهد زیر صورت به حالت معادالت و

خارج تغییرات x فوق معادالت سازي شبیه در.گردد می محسوب کار نقطه از

mgxKxxKMgxxK

=+−=−

20210201

20101

)()(

39

:شبیه سازي

40

21

:Simulink سازي شبیه :اولیه شرایط و ورودي با

همانگونه که در این شکل جابجائی شود میمشاهده

بدنۀ خودرو و محور آن با به سمت سرعت مناسبی

حالت تعادل خود میل .کنند می

41

جاده تصادفی اغتشاشات به پاسخ

42

22

دائم مغناطیس DC موتور :مثال که شود استفاده هوائی ضد یک حرکتی زاویۀ کنترل براي سیستم این ازنمائید فرض و سیستم بر وارد اغتشاشات کلیۀ همچنین .باشد میJاینرسی ممان داراي

.است شده مدل TL خارجی گشتاور صورت به نشده مدل دینامیکهاي

v موتور آرمیچر ولتاژ :سیستم ورودي ورودي دو TL اغتشاش گشتاور و

می سیستم اغتشاشی و کنترلی.باشند

سیستم خروجی :سیستم خروجی سرعت یا θ هوائی ضد میز زاویۀ ω=θ کاربرد به بسته آن اي زاویه .باشد می

مکانیکیالکترو هاي سیستم

43

:سیستم بر حاکم فیزیکی اصول:دنده جعبه

)11-1(

:باشد نداشته وجود دندة جعبه در اصطکاك و تلفات گشتاورهاي درصورتیکه

)12-1(

:با است برابر دائم، مغناطیس با DC موتورهاي در Tm موتور توسط شده تولید گشتاور )13-1(

)14-1(

N : عبارتست از نسبت تعداد دندانه هاي چرخ دنده طرف بار به تعداد دندانه هاي چرخ دنده طرف موتور

مکانیکیالکترو هاي سیستم

44

23

:سیستم مدلسازي:زاویه اي حرکت هاي براينیوتن دوم قانون طبق

)15-1(

)16-1(

)17-1(2/ NJJ Leq =

( ) mLLm NJNTT ω&)/(/ 2=−

Leqeq

mm T

JNi

JK

−=ω&

:معادله مدار الکتریکی

مکانیکیالکترو هاي سیستم

45

:سیستم مدلسازي:معادله حالت اول

)18-1(

:دوم حالت معادله )19-1(

.است اي زاویه سرعت به مربوط :سوم حالت معادله

)20-1(:نوشت زیر فرم به را معادالت میتوان معادالت بودن خطی به توجه با

)21-1(

mm

LKv

Li

LR

dtdi

ω.1−+−=

mm ωθ =&

Leqeq

mm T

JNi

JK

−=ω&

مکانیکیالکترو هاي سیستم

46

24

:سیستم حالت معادالت

)22-1(

.داشت خواهیم گیریم درنظر سیستم خروجیهاي عنوان به را و صورتیکه در

)23-1(

:بطوریکه

=

im

m

m

m ωθ

ωθ

010001

=

=

=

iX

Tv

uy m

m

Lm

m ωθ

ωθ

,,

مکانیکیالکترو هاي سیستم

47

−+

−−=

Leqm

m

m

eqmm

m

TV

LJN

iLRLKJK

idtd

0/1/000

.//0

/00010

ωθ

ωθ

:سیستم سازي شبیه:سیستم پارامترهاي عددي مقادیر داشتن با

هاي ماتریس نمایش .بگیریم درنظر بار طرف در θ و ω را حالت هاي متغیر آنکه فرض با و.آید می در زیر صورت به حالت فضاي

مقابل ورودي و SIMULINK یا MATLAB از استفاده با .نمود مشاهده را سیستم حالت متغیرهاي تغییرات میتوان

مکانیکیالکترو هاي سیستم

48

25

:سیستم سازي شبیهپاسخ هاي سیستم سرو

DC موتور

مکانیکیالکترو هاي سیستم

49

:باشيم داشته را زير صورت به ام n مرتبه ديفرانسيل سيستم يك كه كنيم فرض اگر

سيستم آينده رفتار ازاي به u(t) ورودي و دانستن با عنوان به را مي توانيم ما پس .مي باشد تبيين يا درك قابل

.مي گويند فاز متغيرهاي روش ،روش اين به .كنيم انتخاب حالت متغيرهاي

0≥t )0(,)0(,...)0(1 yyy n &−

)(,)(,...)(1 tytyty n &−

نمایش معادالت فضاي حالت توسط متغیرهاي فاز -2

50

uyayayayay nnnnn =+++++ −

−− &12

21

1 ...

26

uxaxaxaxxx

xxxx

nnnn

nn

+−−−−==

==

−

−

1211

1

32

21

L&

&

M

&

&

uxaxaxaxxx

xxxx

nnnn

nn

+−−−−==

==

−

−

1211

1

32

21

L&

&

M

&

&

)(]00001[ 12

1

xy

x

xx

y

n

=

=M

)(]00001[ 12

1

xy

x

xx

y

n

=

=M

:حالت متغيرهای انتخاب نحوه

:سيستم ديفرانسيل معادله برای حالت فضای مدل استخراج

51

=

=

− )(1

2

1

ty

yy

x

xx

x

nn

M

&

M

:زير سيستم حالت فضای مدل مطلوبست:1 مثال

61161

)()(

23 +++=

ssssusy

61161

)()(

23 +++=

ssssusy

:شود می نوشته زير بصورت فوق تبديل تابع توسط شده بيان ديفرانسيل معادالت :حل

)(6116 tuyyyy =+++ &&&&&& )(6116 tuyyyy =+++ &&&&&&

=

=

yyy

xxx

x&&

&

3

2

1

=

=

yyy

xxx

x&&

&

3

2

1

+−−−===

uxxxxxxxx

3213

32

21

6116&

&

&

+−−−===

uxxxxxxxx

3213

32

21

6116&

&

&

1xy = 1xy =

حالت متغيرهای معادالت ديناميکی سيستم

ux

+×

−−−=

100

6116100010

& ux

+×

−−−=

100

6116100010

&

مدل فضای حالت

xy ]001[= xy ]001[=52

27

rrcccc:2 مثال 5432 +=+++ &&&&&&& rrcccc 5432 +=+++ &&&&&&&

=

+=

≠

3

2

1

xxx

arccc

xccc

x&&

&

&&

&

=

+=

≠

3

2

1

xxx

arccc

xccc

x&&

&

&&

&

:زير سيستم حالت فضای مدل مطلوبست

:حالت متغيرهای:حل

racxarxx

xx

&&&&&

&

&

+=−=

=

3

32

21

racxarxx

xx

&&&&&

&

&

+=−=

=

3

32

21

rrxxarxrax 54)(3)(2 1233 +=++−+− &&& rrxxarxrax 54)(3)(2 1233 +=++−+− &&&

a=-1 بنابراين .شود حذف كه مي كنيم انتخاب طوري را a پارامتر r&

rxxxx 3234 3213 +−−−=& rxxxx 3234 3213 +−−−=&

rx

+×

−−−=

310

234100010

& rx

+×

−−−=

310

234100010

&

xy ]001[= xy ]001[=

:سيستم حالت فضای مدل

53

فضای حالت که از اهميت تحقق های فرض مشخص بودن تابع تبديل سيستم، با : هدف. می آوريمويژه ای بر خوردار هستند را بدست

:از عبارتند ها تحقق اين كنترل پذير كانونيكي فرم )الف مشاهده پذير كانونيكي فرم )ب)جردن( قطري كانونيكي فرم )ج

:می گيريم نظر در را زير تبديل تابع

nnnn

nnnnn

asasasbsbsbsbsb

susysG

+++++++++

== −−−

−−

......

)()()( 2

21

1

12

21

10

nnnn

nnnnn

asasasbsbsbsbsb

susysG

+++++++++

== −−−

−−

......

)()()( 2

21

1

12

21

10

su)(∆ :وروديتبديل الپالس ∆)(su خروجيتبديل الپالس: ∆)(sy ∆)(sy54

نمایش معادالت فضاي حالت توسط فرمهاي کانونیکال -3

28

فرم کانونيکی کنترل پذير

u

1

00

x

a...aaa10...01000...0010

x

12n1nn

+

−−−−

=

−−

•

MMu

1

00

x

a...aaa10...01000...0010

x

12n1nn

+

−−−−

=

−−

•

MM

)t(ubx]bab...babbab[y 001101n1n0nn +−−−= −− )t(ubx]bab...babbab[y 001101n1n0nn +−−−= −−

:ها ويژگی.است پذير کنترل همواره تحقق اين )1 رويت تحقق اين باشند، نداشته مشترکی صفر و قطب سيستم، تبديل تابع صورتيکه در )2

.بود خواهد پذير

:حالت فضای مدل

55

فرم کانونیکی رویت پذیر

:حالت فضای مدل

:ها ويژگی.است پذير رويت همواره تحقق اين )1 تحقق اين باشند، نداشته مشترکی صفر و قطب سيستم، تبديل تابع صورتيکه در )2

.بود خواهد پذير کنترل

u

bab

babbab

x

a00

a...01a...000

x

011

01n1n

0nn

1

1n

n

−

−−

+

−

−−

= −−−•

MMu

bab

babbab

x

a00

a...01a...000

x

011

01n1n

0nn

1

1n

n

−

−−

+

−

−−

= −−−•

MM

)t(ubx)1...000(y 0+= )t(ubx)1...000(y 0+=

56

29

)جردن(فرم کانونيکی قطری

.باشند تکراری غير و حقيقی سيستم، ويژه مقادير اگر :اول حالت

:حالت فضای مدل

uxx

n

+

=•

1

11

0

0

2

1

M

λ

λλ

uxx

n

+

=•

1

11

0

0

2

1

M

λ

λλ

)()...( 021 tubxcccy n += )()...( 021 tubxcccy n +=:ها ويژگی

.است پذير کنترل همواره تحقق اين )1.بود خواهد پذير رويت تحقق اين باشند، صورتيکه در )2 0≠ic 0≠ic

57

nλλλ ≠≠ ...21

.باشند تکراری و حقيقی سيستم، ويژه مقادير از تعدادی اگر :دوم حالت

321 λλλ == 321 λλλ == nλλλλ ≠≠≠≠ ...654 nλλλλ ≠≠≠≠ ...654

:حالت فضای مدل

uxx

n

+

=

111100

0

0010

001

5

4

1

1

1

λλ

λλ

λλ

& uxx

n

+

=

111100

0

0010

001

5

4

1

1

1

λλ

λλ

λλ

&

)()...( 04321 tubxcccccy n += M )()...( 04321 tubxcccccy n += M :ها ويژگی

هر به مربوط جردن بلوکهای سطر آخرين اگر فقط و اگر است پذير کنترل همواره تحقق اين )1 .باشند )صفر مخالف باشد، بردار يک تنها اگر( خطی مستقل B ماتريس در تکراری، ويزه مقدار

هر به مربوط جردن بلوکهای ستون اولين اگر فقط و اگر است پذير رويت همواره تحقق اين )2.باشند )صفر مخالف باشد، بردار يک تنها اگر( خطی مستقل C ماتريس در تکراری، ويزه مقدار 58

30

(SISO) خروجی تک – ورودی تک سيستمهای :اول حالت

DuCxyBuAxx

+=+=&

DuCxyBuAxx

+=+=&

+=+=−

)()()()()()0()(

sDusxCsYsBusAxxsxS

+=+=−

)()()()()()0()(

sDusxCsYsBusAxxsxS

)()()( 1 sBuASISX −−= )()()( 1 sBuASISX −−=

)())(()( 1 suDBASICsy +−= − )())(()( 1 suDBASICsy +−= −

DBASICSG +−= −1)()( DBASICSG +−= −1)()(

تبدیل الپالس

تابع تبديل

ASISQSG

−=

)()(ASI

SQSG−

=)()( همان Aیعنی مقادیر ویژه ماتریس

.سیستم می باشندهاي قطب 59

بدست آوردن تابع تبدیل از معادالت فضاي حالت

uxx:آوريد بدست را زير سيستم تبديل تابع :مثالuxxx

uxxx

+

−−−

=⇒

+−=+−−=

52

1315

5325

212

211 &&

&uxx

uxxxuxxx

+

−−−

=⇒

+−=+−−=

52

1315

5325

212

211 &&

&

21 2xxy += 21 2xxy += xy )21(= xy )21(=

+−

+=−

13152

)(S

ASI

+−

+=−

13152

)(S

ASI

+

−++++

=−

++=∆

−

5311

3)1()5(1)(

)4()2(

1

SS

SSASI

SS44 344 21

+

−++++

=−

++=∆

−

5311

3)1()5(1)(

)4()2(

1

SS

SSASI

SS44 344 21

+

−+∆

=52

53111]21[)(

SS

SG

+

−+∆

=52

53111]21[)(

SS

SG

)4()2(5912)(++

+=

SSSsG

)4()2(5912)(++

+=

SSSsG 60

31

(MIMO) خروجی چند – ورودی چند سيستمهای :دوم حالت

:از است عبارت G ماتريس آنگاه ،باشد بعدي y ، l خروجي بردار و بعدي u¤ m ورودي بردار اگر

=

)(...)(

)(...)()(...)(

1

221

111

sGsG

sGSGsGSG

G

mll

m

m

M

=

)(...)(

)(...)()(...)(

1

221

111

sGsG

sGSGsGSG

G

mll

m

m

M

i) عنصر واقع در , j) تابع از ام G ، ، خروجي كه است تبديلي i ورودي به را ام j مربوط ام .مي سازد

)(SG ji

DBASICSG +−= −1)()( DBASICSG +−= −1)()( )()()( susGSy = )()()( susGSy =

:بنابراين

61