Upload
others
View
20
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
التكامل لیكن ق اقتران متصل على الفترة : تعریف f h نقول عن االقتران s l انھ اقتران ابتدائي
لالقتران ق اذا تحقق s r s l الجل كل f h s نتیجة كل اقتران من الشكل [ s l s g ھو اقتران ابتدائي لالقتران ق
نا ندعو االقتران حاصب [ s l s g معكوسة المشتقة لالقتران s r مثال االقتران 31 s s s l القتران ھو معكوس لمشتقة ا 2s s3 s r
الن s r s l واالقتران 2s s3 s r متصل على ح دعى االقترانن s l القتران معكوسة لمشتقة ا s r رة على الفت f h
لقتران بالتكامل غیر المحدد ل s rب ویرمز لھ s] s R s l
التكامل غیر المحدد إشارة وندعو s r االقتران المكامل s] العنصر التفاضلي نتائج
١- [ s l s] s l
٢- ]s r s] s r
s]
) كذلك االشتقاق واالقتران االبتدائي متعاكستان (التكامل والتفاضل عملیتان متعاكستان : مثال
اذا كان 21 s3 s s] s r جد 2 r 2 r نشتق الطرفین : الحل
2 ] ]1 s3 s s] s r
s] s]3 s2 s r
1 3 2 2 2 r
2 s r
2 2 r
اذا كان : مثال 2 31 sh s s] s2 s r وكان 5 1 r 2 r
و h جد قیمة 4 r 0 r الحل نشتق الطرفین نجد
2
2
sh2 s3 s2 s r
1 h2 1 3 1 2 1 rh2 3 2 5
h 2
نكامل الطرف االول نجد
2
2 3
2 3 2
2 3 2
1 s2 s s] s2 s r
1 s2 s s s r
1 02 0 0 0 r1 0 r
2
2
s4 s3 s2 s r
4 4 4 3 4 2 4 r
56 4 r
جدول التكامالت
1 kk
2 2
2 2
[ s] 0
[ sh s]h
s1 k [ h s] sh
1 k
[ s s]s
[ s s]s
[ s s]s s] s
[ s s]s s] s
[ s s]s s
[ s s]s s
s s
i
[ i s] i
1[ s s]
s
i 271828 لھ في یدعى العدد النیبري ویرمز
)(e المراجع
تكتب الجذور والكسور كقوى األس فیھا عدد نسبي :مالحظة k
ii kf f و kk1 ff
ذلك أمكن إذا مجموع إلى كما یحول حاصل الضرب
قواعد التكامل غیر المحدد
s] s r h s] s rh
s] s i s] s r s] s i s r 2
h ثابت حقیقي
3
التالیةاالقتران اوجد تكامل كل من :تدریبات
43
3122
12
2
725
525
52 133 3
3
4 2 3
5 33 12 22 2
[ s2 s]2
s[ 2 s] s2
4
s[ s] s s]s3
2s 2[ 2 s] s2 s]
1 s
s[ s] s s] s7
5
s2 s2[ s] s2 s] ss2 s]5 s
31
[ s s s2 s] s4 s 22
s s[ 2 s] s s2 s] s 2s5 32 2
[ s
12
23 5 2 4 2
22
2
2
2 22
22
s2s2 s2 s] s 2 s]s
2 1[ s s s s] 1 s2 s s] 1 s
3 51 s4 s
[ s4 s s] 4 s s]22 s
s s[ s s]s s] 2
2 2
[ s s2 s] s 2
1 1 1 1[ s s]s s] s]
2 2 s 2 s2 1s ss]s 4 s] s]1s
4
2
2 2
2
s 1s] s ss s2 22 2
[ s s 4 [ s s 4 s] 1 s 4
4
)تغیر المتحول ( التعویض التكامل ب احدھما مشتق اآلخر من الشكل ن قد یكون لدینا تكامل اقتران ھو حاصل ضرب اقترانیی :مالحظة
ks] s r s r
ھنا نفرض s r w اذا w]s r
s] وبالتالي s] s r w]
1 k
k kw[ w] w s] s r s r
1 k
على كل من ةوتطبق ھذه الطریق
w s r
i
2
2
[ i s] i s r
s r[ w s]
s r
s r[ s]w
2s r
[ w s] s r s r
[ w s] s r s r
[ w s] s r s r
[ w s] s r s r
[ w s] s r s r s r
[ w s] s r s r s r
حیث s r w )األولى س من الدرجة أساسيشرط ب( وتطبق على كل من
1 kk
2
2
w[ s] f sh
1 k h1
[ w s] f shh1
[ w s] f shh1
[ w s] f shh
1[ w s] f sh
h1
[ w s] f sh f shh
1[ w s] f sh f sh
h
5
w F sH
i
1[ i s] I
h1 1
[ f sh s]h f sh
من االقترانات المركبة مثل وتطبق على كل s is i i s i s i s i s i s i s i
مالحظة من اجل تكامل حاصل ضرب نسبتین مثلثیتین نستخدم قوانین التحویل من ضرب الى مجموع وھي
1] [ ] [ ] [
21
] [ ] [ ] [21
] [ ] [ ] [21] [ ] [ ] [2
الزاویة من اجل تكامالت مربعات النسب المثلثیة نستخدم قوانین ضعفي2 2
2 2
[2 [ [[
2 2 2[2 [ [
[2 2 2
جد التكامالت اآلتیة : تدریبات
42 2 3
2 2 2 3
5 2 3 54
5 2
2
6 2 65
s] s2 s 1 s3 s 1
1s] s2 s w] s] s6 s3 w] 1 s3 s w
3
1 s3 s w 1 1[ [ w] w
15 5 3 3
s] 1 s s 2
1s]s w] s]s2 w] 1 s w
21 s w 1
[ [ w] w12 12 2
6
2
122
2
2
12 1
22
ss] 3
1 ss
s] 1 s s s]1 s
1s]s w] s]s2 w] 1 s w
2
w1 1[ [ [ w] w1 s w 1 2 2
2
1010 5 2
910
9
3 2
2
23
2 32
2
2
2
i i
1 1s] 1 s s] s] 4
1 s 1 s2 ss] w] 1 s w
1 w[ [ w] w
91 s 91 s2
s] 51 s s
s] 1 s2 w] 1 s s w
1 w 1[ [ w] w w]2 w1 s s 2
3 s2s] 6
1 s3 ss] 3 s2 w] 1 s3 s w
1[ 1 s3 s [ w w]
w
كل اقتران كسري البسط فیھ مشتق المقام تكاملة لوغاریتم القیمة المطلقة للمقام سندرسھ بشكل
لمفص
2
2
5 s3 s
2
5 s3 s w w
s] i 3 s2 7
s] 3 s2 w] 5 s3 s w
[ i [ i w] i
3
4 43
s]s s 8
s]s w] s w
s w[ [ w] w
4 4
7
3
4 3
55 4
s]s s2 9
s]s s 2 s]s s s 2
s]s w] s w
2 w[ s [ 2 w] w 25 5
s
s w w
s] is 10
s]s w] s w
[ i [ i w] i
2 2
s]s2 11
s]s s 2
s]s w] s w
[ s [ w w]w2
1او مباشرة [ s2 s]s2
2
52
2 2
1 3 542 22 2 2
s] s 122 s
1s]s w] s]s2 w] 2 w s 2 s w21 1 1w] w4 w4 w w] 2 w s]s s2w 2 s2 2 2
3 5 72 2 2w w w
[ 4 43 5 7
2 4
2
5 54
s]s s 13
s]s w] s w
s w[ [ w] w
5 5
2 2
2
2
s] s2 1 s2 1 s 14
1s]s w] s]s4 w] s2 1 w
41 1 1
[ s2 1 [ w w] w w4 4 4
55 6 3 2
1 1 s 1 ss] 1 s s] s] s] 15
1 s 1 s 1 s2 s
s] w] 1 s w
8
5 5
6
1[ w] w s] 1 s1 s 6
2
2
22
ss] 16s
s] w]w2 s w wsw
[ 2 [ w 2 w]w 2 w]w2sw
77 7
2 2 9
2
887
s 11 1 s 1 1s] 1 s] s] 17
s ss s s1 1
s] w] 1 wss
s 1 1 w[ [ w] w
s 8 8
33 2 3 7 24 4 33 3
3 4
4 443 1333 4 3
s] s] s] 18s s s s s1 s 1 s s
s4 w] 1 s w
1 s w 1[ 3 [ 3 w] w s] s1 s16 16 4
2
2
2
s] s s 19
s]s2 w] s w1 1 1[ s [ w w]w2 2 2
s] s s 20
s]s w] s w
[ s [ w w]w
2
2
2
s] 1 s s s2 21
1 s2 w] 1 s s w
[ 1 s s [ w w]w
9
s]s2 s2 22
s]2 w] s2 w1 1[ s2 w]w w2 2
2 2
2
2 2
s] 1 s s 23
s]s2 w] 1 s w1 1[ 1 s w]w2 2
مجموع الى ضرب من االنتقال قوانین نطبق مثلثتین نسبتین ضرب حاصل
2 2
1 1s] s s5 s] s s5 s]s3 s2 24
2 21 1
[ s s55 2
1 1s] s s5 s] s s5 s]s3 s2 25
2 21 1
[ s s55 2
1 1s] s2 s6 s] s2 s6 s]s4 s2 26
2 21 1 1[ s2 s62 6 2
s ss s0 s] s] s s] s2 2 s 12 2 22 2
3
32
2
27
s 1 sw] w
2 2 2s
w2[ 4 [ 4 w]2 w2 2 23 3
1 1 1 1[ s2 s s] s2 s]s 28
4 2 2 2
10
22 4
2
22 4
1 1 1 1 1s] s2 s2 s] s2 s]s 29
4 2 4 2 21 1 3 11 11 1 1s] s4 s2 s] s4 s28 2 8 24 24 2 4
1 1 3[ s4 s2 s
32 4 81 1 1 1
[ s6 s s] s6 s]s3 3012 2 2 2
1 1 1 1 1s] s2 s2 s] s2 s]s 31
4 2 4 2 21 1 3 1[ s4 s2 s s] s432 4 8
1 3s28 2 8
الحاالت الخاصة
نطبق القاعدة
1 k
kf sh[ s] f sh
1 k h
3
4 43 3
12
312
3 22
34
4
1322
i
s] 1 s2 32
s]2 w] 1 s2 w
1 s2 w 1[ [ w] w s] 1 s2
8 8 2
s] s 1 s] 33s 1
s] w] s 1 w
2 w[ [ w] ws 1 33
21 s2 1
[ s] 1 s2 s] 346 1 s2
1 s2[ [ s] 1 s 3511 s
23 3
[ 1 s2 s] 32 1 s2
321
2
6
s] 1 1 s] 37s s1 s 1 s
s] s] 1 s1 s 1 s 1 s 1 s
11
3 52 2
3 51 32 22 2
3 2 3 2s s
2 21 s 1 s[3 5
1s] 2 s] 38s s2 2s 1 s 121s] 1 2 1s2s 1 2
2 1 2 2 1 21 1 1s s[ s] 2 1 2 1s s3 2 5 2 2
1[ i s] i 392
1[ 4 s2 s] 4 s2 402
1 1[ s6 s]s6 s]s3 s3 41
12 2
22
222
i i
i
s]s s 42
ss]s w] s] w] s w
s
s w[ [ w]w
2 2w s[ w w w] 1 w 2 w]w2 s] 43w s
[ s s
s] 4 s2 44
s]2 w] 4 s2 w
w1 1 1 w 1 1[ 4 s2 [ w w] w] w]w2 2 w w
s] s2 45
s]2 w] s2 w
1[ s22
w 1 w 1 1w] w] w]w2 2 2w w
4 42 28s] 2 s 16 s] 4 s4 s 16 s] 8 s8 s2 46 9 2 s
[9
s 2s] is 47 S
12
22 s
s]s w]w2 s] w] ws2s
w s 2w] iw2 s] is S حیث الشكل بطریقة أخرى مختلفة فقط من الحل لكن ) أجزاء (بالتجزئةھذا التكامل ھو تكامل
w w w
w w w
w w w
w w w
w w w
s s
iw i iw
i iw iw
w] i w] iw w] iw
[ i iw w] iw
[ i2 iw2 w] iw 2
[ i2 i 2s
S S
s2
s s s ss
1 i[ i i s] i i s] 48
i
2ss] is2 49
2s]s2 s]s s 2 w] s w 2 2s w s[ i w] i s] is2
2
i
s s 1[ s s] s] 50
s s
)التجزئة ( جزاء التكامل باأل
لیكن كل من s i s rشتقاق ومشتقھ متصل على الفترة اقتران قابل لال f h
r i i r i r
i r i r r i
s]i r s] i r s]r i
s] i r i r s] r i ویطبق ھذا التكامل باالجزاء على كل من
s
s 2 2 2
i F sh s s F sh s F sh
i s s s s s s
ب اقترانین فھو كل تكامل القتران ھو حاصل ضر
حول الى مجموع تاما ان ی -١
13
او ان یكون حاصل ضرب اقترانین احدھما مشتق االخر -٢
1 kks I
[ s] s I s i1 k
وھذا تكامل بالتعویض
او نستخدم التكامل باالجزاء -٣ s] i r i r s] r i ن نستطیع ان نشتق احدھما وان نجد االقتران االبتدائي لآلخر اiعلینا حین نختار االقتران ق و
)٤٧ (
w s 2
w w
w w w
w w
w] iw2 s] is
w]2 r] w2 R
i l w] i l]
w] i2 iw2 w] iw2
[ i2 iw2
S
s2s] is 1
s2 s2
s2 s2 s2 s2 s2
s] r] s r1
i l s] i l]2
1 1 1 1[ i is s] i is s] is
4 2 2 2
s4
s4 s4
s4 s4 s4 s4 s4
s] is 2
] r] s r1
i l s] i l]4
1 1[ i is s] i is s] is16 4
s 2
2
s s
s s 2 s 2
s
s s
s s s s s
s s s 2 s 2
s] i s 3
s]s2 r] s r
i l s] i l]
s] is2 i s s] i s
s] is2
s]2 g] s2 g
i t s] i t]
[ i2 is2 s] i2 is2 s] is2
[ i2 is2 i s s] i s
14
2
2
2 2
s]s3 s 4
s] r] s r1s3 l s]s3 l]3
1 1 1 1[ s3 s3 s s]s3 s3 s s]s3 s9 3 3 3
s]s2 s 5
s]s3 s 6
s]s2 r] s r1s3 l s]s3 l]3
2 1s]s3 s s3 s s]s3 s3 3
s]s3 s
s] g] s g1
s3 t s]s3 t]3
1[ s3 s
9
2 2
1 1 13 s s]s3 s3 s s]s3 s
3 3 312 1 2 1
[ s3 s3 s s3 s s]s3 s93 3 3 3
2
2
2 2
2
s]s3 2 s 7
s] 2 s 2 r] 2 s r1s3 i s]s3 i]3
2 1s]s3 2 s s3 2 s s]s3 2 s
3 3
s]s3 2 s
1s3 t s]s3 t] s] g] 2 s g
31 1 1
s3 2 s s]s3 s3 2 s s]s3 2 s3 3 3
1s3
92 1 2
[ s3 s3 2 s s3 227 3 3
21s s]s3 2 s
3
مشتق ما بعد اللوغاریتم على ما بعد اللوغاریتم = اللوغاریتممشتق
i
s rs r
s r
15
i
2
i
22 2 2
i i i
s]s3 s 8
1 1s i s]s i] s] r] s3 r
2 ss 1 1 1 1 1[ s3 s s] s s3 s s]s3 s2 2 2 2s 2
2
2
2 2
2 2
2 2
s]s3 9s
s] s3 10
2s i s]1 i] s] s3 r] s3 r
s
s] s3 s3 s s] s3
s] s3
1s t ]1 t] s] g] s3 gs
1s s3 s s]s s3 s s] s3
s2
s] s3 s s3 s s] s3s
[ s2 s3 s s3 s s] s3
ss] 11
s
s]
2 s3 12
2
22
22 2 2
2 2
2
2
s] 1 s 13
s2s i s]1 i] s] r] 1 s r
1 ss2 s2
s] 1 s s s]s 1 s s s] 1 s1 s 1 s
s2s]
1 s
یض وھنا سنحتاج لالقتران العكسي وھو من اجل التكامل االخیر نستخدم طرقة التعو: مالحظة
خارج المنھاج ومع ذلك ساكمل التدریب 21لو كان المقام s نقسم البسط على المقام ثم نفرق الكسور سنرى ذلك فیما بعد
2w]wبفرض s] w s نعوض في التكامل
2
2 2 22
w[ w w w] 1 w w]w w]w
1 w[ w s
16
w مشكلة ان نعوض بدل ص ما یساویھاال s
s
s s
s s s
s
s s
s s s
s s s
s]s3 i 14
1s3 l s]s3 l] s] i r] i r3
1 11 s]s3 i s3 i s]s3 i
3 3
s]s3 i
1s3 t s]s3 t] s] i g] i g
31 1
2 s]s3 i s3 i s]s3 i3 3
1 1 1 1s]s3 i s3 i s3 i s]s3
3 3 3 3
s
s s s s
s s s
s s s
i
1 1 1 1s]s3 i s3 i s3 i s]s3 i
9 3 3 31 1 11
s3 i s3 i s]s3 i9 3 91 3
s3 i s3 i s]s3 i11 11
s3s]s2 i 15
w w
w
s] s2 16
s]2 iw] i s2 s2 w1w]w i2
) ١٤( ھذا االقتران في التمرین انكاملسبق ان
w w w
w
s] s2 17
1 s] 1w] i s] w] 2 i s i s2 w s2
2 s 21
w] i w s] s22
17
2
2
2
2
i
2
2
2
i
s]s s 18
s s i s]s i] s] r] s r
s s s s] s s s s s s]s s
ss] s
s1
[ s s s s s2
s s i s]s i] s] r] s r
s]s s 19
s i s]s i] s] r] s r
[ s s s s] s s s
2s]s s
s
2
s s2
ss s ss
2
iss] 201 s
1 1l s] l] s] i 1 s r] is r
1 s 1 s
i 1 sis is is[ i s] s]
1 s 1 s 1 s 1 s
33 22
3 32 2
5322
s] s 211 s2
1 s211 s2 i s] i] s] r] s r1 s233 2
21 11 s2 1 s2 s s] s1 s23 3
1 s2 1 11 s2 s5 3 32
2
s] 22s
1 s ss]s2 s s]s s s s] 23
2 s1
s2 i s]s2 i] s] r] s r2
ثم نكمل الحل
33
s ss]s s s s] 24
s
18
3 3
22
2
2 2 2 3
s]s s i] s]s s i]s] r] s r
1 1 1 ss i
2 2 2s1 1 1 1[ s s s s]s s s s]s s s2 2 2 2
13
3
44 133 3
4 4 13 3 3
7433
s3s] s3 s] 251 s2
1 s2
3 1 s2 i s] i] s] r] s3 r1 s2 1 s248 23
3 3s] s3 s] s31 s2 1 s2 1 s2
8 8
3 31 s2[ s31 s27 8 823
3
3 3 3
43 3
4 4 44 3
4
s] 26s s
1w]w2 s] s] w] ws
2s
w]w w w2 w]w2w w s]s s
ww]w w w]w w i]w]2 r] w2 r
41 w w ww]w w2 w] w2 w]w w w24 4 4 4
1 1 3 1 w[ s4 s2 s w232 4 8 4 4
2
32 2
33 2 2 22
5 32 2
s] s 271 s
1 s2 i s] i] s]s2 r] s r1 s
3
1 s4s] 1 s s 2 s s] s1 s3 3
1 s 1 s 4 44 l s] 2 l]s] g] s g15 3 3 3
19
55 322 2
7 5 7 52 2 2 2
7 5 32 2 2 2
1 s16 4 4s] 1 s 4s s] 1 s s
45 15 3 3
1 s 1 s 1 s 1 s32 4 32 44s 4s
7 45 15 3 7 45 15 3
1 s 1 s 1 s32 4[ 4s 2 s
7 45 15 3 3
53
2 3 3
12 3 53 32
3 5 3 53 32 2 1 32 22 2
s] s 281 s
s] s3 w] 1 w 1 ws s1 1w] w 1 w s] s3 s s] s1 s 1 s3 3
1 s 1 s 2 w w 1 1[ [ 2 2 w] w w3 5 3 3 5 3 3
2 s 3s] i s 29
المحدد التكامل
لیكن ق اقتران متصل على الفترة i ] ولتكن i ] f h ولیكن s l قتران ق لال معكوسة المشتقالفترة على i ] نعرف التكامل المحدد على f h بالشكل
f
h
h l f l s] s r
fندعو h حدي التكامل المحدد ونرمز للتكامل السابق بالشكل f
hh l f l s l
اوجد: مثال
3
3 3 233
11
26 1 3 s s] s3
: اوجد 2
2
00
1 1 0 s s]s
فیما بعد نقدم خواص التكامل المحدد وتطبیقات علیھ
20
قتران اللوغاریتمياال
االقتران لیكن s
s
1
1
11 l s l s l u]
u 1 حیث s
ھذا االقتران یدعى االقتران اللوغاریتمي والذي نرمز لھ ب s وعلیھ نستنتج ان ١- 1
s s ls
الجل كل 0 s
٢- 0 1 1 l اذا s s l
د ساوي الواح ل ت ة التكام ت قیم 1واذا كان s د ل الوحی و الح ة ھ ذه المعادل ل ھ ان ح ف271828 i s وھذا ھو العدد النیبري i وكان من االفضل ان نرمز لھ ب e
i وبالتالي االقتران الناتج ھو االقتران الطبیعي لالساس ویرمز لھ ب
is s r ولھ خواص اللوغاریتم الطبیعي وھي من اجل
i i i
i i i
k
i i
i
i
0 f 0 h
f h f h
hf h
f
h K h
1 I
0 1
كذلك اللوغاریتم مضمون على اللوغاریتم مضمون مشتق یساوي لوغاریتمي اقتران مشتق
i
i
1s
ss r
s rs r
اما التكامل
i
i
1[ s s]
ss r
[ s r s]s r
سندرس التكامل بشكل مفصل
اوجد مشقة كل من : تدریبات
21
23
3 i
22 i
2 2
i i
23
3 i
23
i i
2
i
3 s3s r s s r 1
s ss2 s r 1 s s r 2
1 s1
s s s2 s r s s s r 3s
s ss r s s r 4
ss s r s s r s s r 5s
s 1 s1 s1 ss r s r 6s1 s s s 1s 1
i
ii
11 s 1 s 1 s1 s s r 1 s s r 71 1 1 s s 11 s
1 s s 1
22
االقتران االسي الطبیعي االقتران
i
p 0
s w
الفترة على تماما ھو اقتران واحد لواحد النھ متزاید 0
i
10 s 0 s
s
وبالتالي لھذا االقتران اقتران عكسي ھو االقتران االسي الطبیعي
1
i1
i
0 P
S W
wاذا
ii s s w
sنظریة مشتقة االقتران sw]i i w
s]
االثبات s
i
s
i
w s i w
wi w w 1 w s
w
مشتق s l s li s l s r i s r الطبیعي لألساسخواص القوى
0
1
1
f h f h
hf h
f
ff h h
hkhk
1 i
i i1 ii
i i i
iii
i i
i i
ویمكن ان نستنتج ان
s
is
P s s i
0 s s i
تدریبات اوجد مشتقة كل من
2 2s s s sw]i 1 s2 i w
s]
23
s2
s2
s2
i2 w]w 2i i
s]2i i
s
s s s s s
s w 31
s 1 s i s s w i ws
لتكامل ا
s s
s l s l
f sh f sh
[ i s] i
[ i s] i s l
1[ i s] ih
kتذكرة كل من التكامالت k s k
i is s s i s تكامالت باالجزاء جد التكامالت التالیة
2 2 2
2 2 2
1 s2 1 s2
s s 2 s
2 2
s s 2 s
3 3 3s s s
2
ss2 s s2 s
s2
1[ i s] i 1
21 1
[ i s] i s s] is 2
[ s i s] i 3
[ i s] i s s] is2 3
1 3 1 1[ i s] i s] i 43 s 3 s
1 1 i[ i i s] i i s] 52 i
wswاذا كان s i اثبت ان 2
2
w ws 1 w]s]1 ws s
اخذ لوغاریتم الطرفین الحل من االفضل ان ن
ws ws
i i i
2 2
2 2
2 2
2
2
w s ws w s i w s i
w 1w 1 w s ws w ws ww s
w 1 wws w s w sw
w sw 1 w wws w s
w sw 1 w 1 ws s
w sw 1w
1 ws s
24
كیف نتعامل مع الكسور اذا كان البسط مشتق المقام فان التكامل ھو لوغاریتم القیمة المطلقة للمقام -١ اذا كانت درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقام نقسم البسط على المقام -٢ ان نحاول تفریق الكسر یا من الحاالت السابق علینا ااذا لم یكن -٣
: مثال 2فرق الكسر
13 s4 s
نحلل المقام 1
1 s 3 s
م نكتب الكسر بالشكل f h 1
1 s 3 s 1 s 3 s
نوحد المقامات
3 s f 1 s h 11 s 3 s 1 s 3 s
f3 h s f h f3 sf h sh1 s 3 s 1 s 3 s
ر مع البسط االول تطابق بسط الكسر االخی
2
1 11 1 1 1 14 4
1 s4 3 s 4 1 s 3 s 3 s4 s
احسب التكامل
2
i i i
1 1 1 1 1s] s] s]
1 s4 3 s 4 3 s4 s1 s 1 1 1
1 s 3 s3 s 4 4 4
2
2 22 2i i
5 s s2[ 5 s [ 5 s s] s] 1
5 s 5 s
i
s] 1 6[ s 6 6 s] 6 s] 2
s s s
i
1 1 s[ s s s] 1 s] 3
s s
1 f3 h s f h1 s0 f3 h s f h
0 f h1 f3 h
1 1h f 1 f44 4
25
i
i ii i i
1s 1s[ s s] s] s] 4s s s s
) :١(تدریب محلول 2اوجد قیمة التكامل s
s]1 s
نقسم البسط على المقام الن درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقام
i
3 1 s3 2 s[ 1 s 3 s s] 1 s] s]
1 s 1 s 1 s
)٢ (s2
s
2 is]
1 i
نقسم البسط على المقام الن درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقامs
s s2
s s2
s
s
1 i
1 i 2 i
i i
2 i 0
1 i 03 0 03 0 0
s2s s
s s s
3 3 2 is] s i s] 1 i s]
1 i 1 i 1 i
s لنجد
3s]
1 i
نفرض
s s
s
1 w s 1 w i w 1 iw]
s] w] s] i1 w
s
w] 1 33 s]
1 w w 1 i
تفریق كسور
f w f h f wf wh f h 3
1 w w 1 w w w 1 w 1 w w3 h 3 f,0 f h
s
s
s
3 3 3 1 3w] w] w] s]
w 1 w 1 w w 1 i1 i w
[ 3 [ 3 [ w 3 1 w 31 wi
اذا s s2
s ss s s
1 i 3 2 i[ s i s] 1 i s]
i 1 i 1 i
26
طریقة ثانیة لحساب التكامل
s s s
s s s s
s
i i 1 i 1 3s] 3 s] 3 s] 3 s]
1 i 1 i 1 i 1 i[ 1 i 3 s3
sطریقة أخرى لحساب
3s]
1 iنضرب البسط والمقام ب s i نجد
s ss
s s
i 1 i3[ i 1 3 s] 3 s]
i 1 i 1
مالحظة ھنالك اختالف فقط بالشكل بالنتیجة األخیرة وبعد التبسیط ستكون نفس الشكل () تدریب 3
32
1 ss]1 s
نفرض
2 3 3
32 2
s] w] w3 s w ws
s w
22
2
23 3 32
1 1 1 w 1 ww] w 3 w] 3 w] w3
1 w 1 w 1 w3 3
[ 1 [ 1 w w ws s s2 2
٢- 2 2
2
s ss] s]
2 s s 52 s 1 s
2w] s]s w s
1w]
2 w 1 w
f h2 w f h5 f h 12 w 1 w 2 w5 1 w 2 w 1 w
0 f h55 1f h 1 h7 1 f h27 7
1 5 1 1 1
w] w] w]2 w5 7 1 w 7 2 w 1 w5 5 1[ 2 s 5 1 s [ 2 w5 1 w7 7 7
تمارین ومسائل
s] 1
1 s 4 s
27
f4 h s f h f h 11 s 4 s 1 s 4 s 1 s 4 s
0 f h1 f4 h
1 1h f5 5
1 1 1 1 s]
s] s] 11 s 5 4 s 5 1 s 4 s4 s 1 1 1
[ [ 1 s 4 s1 s 5 5 5
2
1 s4 1 s4s] s] 2
2 s 1 s 2 s sf h2 s f h f h 1 s42 s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 s
4 f h1 f h2f 1 h
23 1 1 s4
[ 2 s 3 1 s s] s] s]2 s 1 s 2 s s
مالحظة المتطابقة معادلة صحیحة من اجل كل قیم مجموعة التعویض اما المعادلة فھي صحیحة من لتعویض اجل بعض قیم مجموعة ا
2
2
3 s2s] 3
s s
درجة البسط اكبر او تساوي درجة المقام نقسم البسط على المقام
2 2
2
2
s s 3 s2
s2 s23 s2
2
23 s2 3 s2s] 2 s]1 s s s s
نفرق الكسر
3
2
8 s4 ss] 4
9 s
2 3
3
s
9 s 8 s4 s
s9 s8 s13 0
3
28 s13 8 s4 ss] s s]
3 s 3 s 9 s
نفرق الكسر
28
2
2 2
2
1 2 ss] 51 2 s
w 2 s w 2 sw]w2 s]
2 1 w 1 w w w 1 ww] w] w]w21 w 1 w 1 w
w 2[ 1 s 2 w2 2 w] 2 w
2 1 w
2
2 2
2 2 2 2
ss] 64 s
w s w sw]w2 s]
4 4 4 w w2 w sw] 2 w] 2 w] w]w2 s]4 s4 w 4 w 4 w 4 w
4w] 1
2 w 2 w
تفریق كسور ثم
s3
s s2
s s
2 3 s3
2 2 s s2
is] 74 i3 i
w] s] i w i
w w] w iw] s]w4 w3 w 4 w3 w 4 i3 i
نقسم البسط على المقام ثم نفرق الكسور
2 432
2
22 2
2
2 2
s] s] s]s8
s ss s1 s s
h s[ s f h [ sf h 1s1 s1 s s 1 s s
0 f h0 [
1 f 1 h1 s]s 1 s] s]
[ 1 s s2 2 s1 s 1 s s
29
التكامل المحدد خواص التكامل المحدد
f f
h hf f f
h h h[ f [
f h h
s] s r [ s] s r[ 1
s] s i s] s r s] s i s r 2
s] s r s] s r s] s r 3
4 اذا كانت r i اقترانین قابلین للتكامل على f h وكان ایا كانت f h s فان s i s r
عندئذ [ [
f f
s] s i s] s r
ھذه الخاصة ندعوھا الحصر وھي ھامة أما الخاصة 3 ندعوھا اإلضافة وھي تستخدم في القیم المطلقة واالقتران على فترات المتشعبة
وفي حساب المساحات
h
hh f
f h
0 s] s r 5
s] s r s] s r 6
تطبیق على خاصیة الحصر یمتلك قیمة كبرى مطلقة ك وقیمة صغرى مطلقة م مالحظة اذا كان االقتران
; s r l فان s r
وھنالك نظریة تقول ان كل اقتران متصل على فترة مغلقة ھو اقتران محدود ویبلغ كل من حدیھ االعلى واالدنى
م خواص المتباینات لحصر اقتران علینا ان نستخد مثال احصر التركیب 1
2 s rs
عندما 41 s
12 s r
s1 1
1 41 s4 s
1 1 13 2 1 2 24 4 s
30
مثالاحصر التركیب s s 2 1 s r
2 1 s 2 1 2 s 2 1 s 1 P s
3 s 1
: مثال
احصر التركیب
222 s s rs 4
:الحل
2
2 2
2
40 s 22 s
0 s 4 4 s
0 s 4
احصر التركیب : مثال 0 s s rs4
0 0 0 ss2 2 4
0 1s s
تمارین ومسائل
3 3
32
2 200 0
s2 s0 s] s] h11 11 2 s
22 s 2 s
1
22 2
3 s 1 1[ s] 3 s s] s] f1 3 s 9 s6 s
0 0 00 222
1 1 1 1
s5 s] s] s] i25 s10 s5 s 5 s2
9 14 0
2 2
بین ان 1
1
4 s] s r 0
:الحل
31
2
2
22
1 1 1
1 1 11
1
211 s s r
1 s10 s 11 s2
21 21 s1 s
2 s r 1
s]2 s] s r s]1
4 s] s r 2
3
0
s] s 2
نعید تعریف
3 2 1 0 3
2 1 0 0 03
3 2 12 1 0
03
0
0 s 21 s 0 1
s 22 s 1 03 s 2 1
s]1 s]0 s]1 s]2 s] s 2
s 0 s 0 s] s 2
0 1 0 1 0 s] s 2
مالحظة ھذا التكامل یدعى التكامل المعتل ویجب ان یحل بالشكل التالي
3 2 1 0 3
f 1 h 0 ]f h ] 0 03
f 1 h 0 ] 03
0
s]1 s]0 s]1 s]2 s] s 2
f 3 0 ] 1 0 s] s 2
0 1 0 1 0 s] s 2
32
تدریب اذا كان 2
0
20 s] s2 s r
جد 2
0
s] s r3
الحل 2
0
20 s] s2 s r
2
2 2
00
20 s s] s r
2
02
02
0
20 4 s] s r
24 s] s r
72 s] s r3
مراجعة
جد التكامالت اآلتیة
33 3 3
3 123 2
22 2
2
1 s41s] s] h1 s4 1 s4 1 s436 4
21
27 13136
3 3 377 7
2 2 9
1 1 1
2
44 34 38 733 7
2
2 2 1
1 s1 1 1 s 1s] 1 s] s] f
s ss s s1 1
s] w] 1 wss
4w 3 s 2 w 1 s
3
4 1 w 1 132 w] w s] 13 8 8 s s
33
4 3 4
2 2 2
3 1 14 33 3
3 1
s] 9 s s] 9 s s]9 s [
64 1 s s18 36 9 18 s9 s9
3 3 3 3
7
1
1s] 2 s ]
3
نعید تعریف االقتران 3طول الدرجة g
7 6 3 7
6 3 1 1
3 s 1 21
6 s 3 1 2 s3
7 s 6 0
17 0 3 4 s]0 s]1 s]2 s] 2 s
3
109
9 9
88
8 9
9 9
s] s] ds s1 s s
1 w s w 1 s1
w] s] s] s9 w]s9
w] w] s]1 w w9 s9ws 1 s s
h w f h f h 11 w w 1 w w 1 w w
1 f 1 h,0 f h1 1 w] 1 1 1 w][ 1 w w w]9 9 1 w 9 w 9 1 w w9
1 1[ s 1 s
9 9
اذا كان 23 s2 s s] s r 2 جد 2 r
: الحل نشتق الطرفین
2 ] ]3 s2 s s] s r
s] s]2 s2 s r
2 s r
34
جد كثیر الحدود ) ٣( s r من الدرجة االولى بحیث یكون
3 1
1 1
2 s] s r 4 s] s r
الحل االقتران من الشكل f sh s r
31
113
122
11
2 s] f sh 4 s] f sh
1 12 fs sh 4 fs sh2 21 9 1 12 2 h 2 h 4 f h f h2 2 2 22 2 f 4 f2h 2 h5
5
اذا كان ) ٢ 3 3
1 1
10 s] s i2 6 s] s r جد
1
3
6 s] 4 s2 s r2 s i
:الحل
1
31 1 1
3 3 31 2
3
6 s] 4 s2 s r2 s i
6 s] 4 s2 s] s r 2 s] s i
1 3 3 1 s4 s 6 5
تدریبات )٢ جد 3 k
is] s s حسب خواص اللوغاریتم نجد
k 3 k
i is] s s3 s] s s تجزئة
35
1 k k
i
1 k 1 k k
i i
1 k 1 k2 i
1 1s i s] s i] s] r] s r
1 k s1 1 1s] s 3 s s 3 s] s s 3s 1 k 1 k
1 1[ s 3 s s 3
1 k1 k
2
is] s ]
2
2 2 2
i i i
2
i
1s i s]1 i] s]s 2 r] s r
s1
s]s s s s]s 2s s s s] ss
s2 s s2 s]s
[ s2 s s2 s s
36
المعادالت التفاضلیة
37
لیكن االقتران s r w القابل لالشتقاق مرة واحدة على األقل كل معادلة تحوي مشتقا على االقل لالقتران ق تدعى معادلة تفاضلیة
مثال 0 w w3 w معادلة تفاضلیة من المرتبة الثانیة والدرجة االولى
مثال 3 20 2 w w والدرجة الثانیة معادلة تفاضلیة من المرتبة الثالثة
الحظ ناخذ درجة اعلى مرتبة المعادالت في الكتاب كلھا نموذج فصل المتغیرات : مالحظة
مثال حل المعادلة التفاضلیة 2 2w]2 s] w w]s 2
:الحل
2 2
2 2
2 2
22
22
22
1
w]2 s] w w]s 2
s] w w]2 w]s 2
s] w w] 2 s 2
s] w]w2 s 2
s] w]w1 s 2
s] 1 w]2 ws1 1
[ s2 w
2w
[ s
حل المعادلة \
w]ss]w
[wالحل w]s ss] w]s ws] s]ww
3 3
3 3
3 3
1
s] w]s w
s w[ 2 23 3
3[ s w
2[ s w
كیلو متر على الساعة ١٠٠ كیلو غرام على خط مستقیم بسرعة ٥٠٠تتحرك سیارة كتلتھا : تدریب لوقوف السیارة م نبوتن والمطلوب إیجاد الزمن الالز٤٠٠٠ فإذا تعرضت لقوة مكابح مقدارھا
38
والمسافة المقطوعة عندئذ الحل ساوي الكتلة ضرب التسارع القوة ت
8 j j 500 4000 ثانیة تربیع/متر
0
0
8 k t
t]8
k]
k]8 t]
u k8 u1000 72e \ l20 u
3600
2
0
20 k8 ut]20 k8k]
k]20 k]k8 t]
t k20 k4 t
اذا اعتبرنا المسافة االبتدائیة لحظة الضغط على المكابح فان 00 t
2k20 k4 t
السیارة عندما تنعدم السرعة تتوقف
20 k8 u20
e25 k 0 20 k88
وھو الزمن الالزم للوقوف المسافة الالزمة للوقوف ھي
25 k
م2k20 k4 t
25 50 25 25 20 625 4 t
اعتبرنا ان الحركة خالل استخدام الكوابح ھي حركة مستقیمة متغیرة بانتظام الن التسارع ثابت
: تدریب اوجد مشتق االقتران s s s r 0 حیث s
39
نطبق خواص اللوغاریتم
ss s s s
s s
s s
s
i i s s r
i s s w
i s 1 w
s s 1 w
تدریب اوجد التكامل s
ss s s3 1
[ [ i s] i s] i s]3 3
40