Il sistema binario

Il sistema binario

MOTIVAZIONITutti gli strumenti elettronici di nuova generazione rappresentano le informazioni sotto forma di numeri binariÈ più facile progettare un dispositivo elettronico capace di riconoscere solo due stati (0, 1) che dieci (0, 1, ... 9).

Il sistema binario

Sistema Numerico DecimaleValori numerici rappresentati per mezzo di dieci “simboli”:alfabeto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Es. 20113,14 0,012

n, k ≥ 0

ia

baseposizione

virgola

k210 1 2 1nn10 ....aaaaa....aaaN .

Il sistema binario

kk

2-2

1-1

00

1n-1

2n-2

1n-1n

nn10

ba....baba

bababa....babaN

n, b ≥ 0 ia alfabeto

k210 1 2 1nn10 ....aaaaa....aaaN .

10

213

210 1 2 3

10 10

2095.420.020.45902000

1021045109102

102104105109100102

2095.42N

b = base-10

Il sistema binario

n, b ≥ 0, ia alfabeto,

k210 1 2 1nn2 ....aaa.aa....aaaN

10

101010101010

321

01234

22

27.625

0.1250.512816

212021

2121202121

11011.101N

base b = 2alfabeto = {0, 1}

bit

Il sistema binario

Si basa solo su 2 cifre: 0 1 Ogni cifra viene chiamata bit (Binary

digit) Un gruppo di 8 bit forma 1 Byte Con 1 Byte si possono ottenere 256

combinazioni (28 = 256) Le combinazioni si associano ai

numeri fra 0 e 255 (256 numeri diversi)

Il sistema binario

Conversione da decimale a binario

Metodo delle divisioni successive:

(121)10 = (0111 1001)2

Si considerano i resti della divisione per 2 dal basso verso l’alto a gruppo di 4

121 1

60 0

30 0

15 1

7 1

3 1

1 1

0

Il sistema binario

Conversione da binario a decimale

Ogni bit viene moltiplicata per il peso (2 elevato alla posizione) partendo da 0 e la somma dei prodotti è il numero decimale corrispondente (64+32+16+8+1=121)

Bit 0 1 1 1 1 0 0 1Posizioni 7 6 5 4 3 2 1 0

Pesi 128 64 32 16 8 4 2 1

Prodotti 0 64 32 16 8 0 0 1

Il sistema binario

1 0 1 0 1

Posizione: 4 3 2 1 0

1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 =

21

Bit meno significativo(LSB)

Bit più significativo(MSB)

Il sistema binario

Con n bit si possono scrivere i numeri interi compresi fra 0 e 2n - 1

Bit Intervallo1 Da 0 a 1

2 Da 0 a 3

3 Da 0 a 7

4 Da 0 a 15

5 Da 0 a 31

6 Da 0 a 63

7 Da 0 a 127

8 Da 0 a 255

9 Da 0 a 511

10 Da 0 a 1023

Il sistema binario

bin dec

00 001 110 2

11 3

Codifica a 2 bit (4 configurazioni) Codifica a 3 bit (8 configurazioni)

bin dec

000 0001 1010 2 011 3 100 4101 5110 6111 7

Il sistema binario

Oltre 10 bit si approssima per convenzione210 = K220 = M230 = G240 = T

Es. con 13 bit il massimo è 213-1 = 8191 ma si approssima con

213 = 23 * 210 = 8 K Es. con 26 bit il massimo è 226-

1 = 67.108.863 ma si approssima con

226 = 26 * 220 = 64 M

Il sistema binario

Dalla tabella si desume il numero minimo di bit necessari per scrivere un numero decimale Es. per 50 servono almeno 6 bit Es. per 121 servono almeno 7 bit

Bit Intervallo1 Da 0 a 1

2 Da 0 a 3

3 Da 0 a 7

4 Da 0 a 15

5 Da 0 a 31

6 Da 0 a 63

7 Da 0 a 127

8 Da 0 a 255

9 Da 0 a 511

10 Da 0 a 1023

Il sistema binario

Per il numero minimo di bit si può procedere approssimando 3 cifre decimali con 10 bit

Es. Per scrivere 12.890 servono 4 bit per il 12 e 10 bit per le migliaia. Totale 14 bit

Es. Per scrivere 12.890.456 servono 4 bit per il 12 e 20 bit per i milioni. Totale 24 bit

Il sistema binario

Somma in binario (2)10=(10)2 e (3)10=(11)2

Riporto 1 1 1 1 1

Addendo

(60)0 0 1 1 1 1 0 0 +

Addendo

(110) 0 1 1 0 1 1 1 0 =

Somma

(170) 1 0 1 0 1 0 1 0

Il sistema binario

Sottrazione in binario (2)10=(10)2

Prestito v v

Minuendo

(102)0 1 1 0 0 1 1 0 -

Sottraendo

(60) 0 0 1 1 1 1 0 0 =

Differenza

(42) 0 0 1 0 1 0 1 0

Il sistema binario

Moltiplicazione e divisione in binario

1101 x 1010 0000 1101 0000 1101 10000010

13x10=130

110011001 : 101 = 1010001101==10 101 101 ===1 10 100 1001 101 =100409/5=81 resto=4

Il sistema binario

Da decimale 24A binario 11000

Da binario 110011001A decimale 409

Conversione con Excel

Il sistema binario

Altri sistemi utilizzati Ottale / Base 8: alfabeto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7} Esadecimale / Base 16: alfabeto = {0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Il sistema binario

Rappresentazione in Ampiezza e Segno

Il primo bit è usato per indicare il segno.

0 per il segno +

1 per il segno –

N.B. Presenza del

doppio zero

102102

102102

102102

102102

102102

102102

102102

102102

7111170111

6111060110

5110150101

4110040100

3101130011

2101020010

1100110001

01000 00000

Il sistema binario

Eccesso PX è rappresentato tramite la notazione binaria X + P.

Esempio: P=8

X=4 diviene 4+8=12=

(1100)2

X=-3 diviene -3+8=5=

(0101)2

N.B. (-2)+(-3)=5102102

102102

102102

102102

102102

102102

102102

102102

7111110111

6111020110

5110130101

4110040100

3101150011

2101060010

1100170001

0100080000

Il sistema binario

Interi Negativi in Complemento a Uno La rappresentazione

degli interi positivi corrisponde a quella dei primi 2n-1 numeri naturali

Quella dei numeri negativi si ottiene complementando i bit

N.B. Presenza del doppio zero

102102

102102

102102

102102

102102

102102

102102

102102

7100070111

6100160110

5101050101

4101140100

3110030011

2110120010

1111010001

01111 00000

Il sistema binario

Interi Negativi in Complemento a Due La rappresentazione degli interi positivi

corrisponde a quella dei primi 2n-1 numeri naturali

Quella dei numeri negativi si ottiene aggiungendo una unità al complemento a uno.

Esempio: 610 = 01102

-610 = C(01102)+1 = 1001+1 = 1010

Il sistema binario

Interi Negativi in Complemento a Due

0000 0 1000 -8

0001 1 1001 -7

0010 2 1010 -6

0011 3 1011 -5

0100 4 1100 -4

0101 5 1101 -3

0110 6 1110 -2

0111 7 1111 -1

Il sistema binario

Interi Negativi in Complemento a Due I numero positivi hanno uno 0 in testa,

mentre i negativi un 1 in testa Rappresentazione unica dello 0 Struttura ciclica: aggiungendo una unità al

massimo numero rappresentabile (+7) si ottiene il minimo (-8)

Coerenza: Operazioni aritmetiche coi numeri negativi utilizzando le stesse regole dei numeri positivi

Il sistema binario

Interi Negativi in Complemento a Due

7 01112 0010

5 0101

3 00112 1110

5 0101

1

Il sistema binario

Interi Negativi in Complemento a DueOverflow: il numero di bit a disposizione della

rappresentazione non è sufficiente per rappresentare il risultato

overflow overflow corretto

9 10016 0110

3 0011

11 010116 1010

5 1011

7 100112 1110

5 1011

Il sistema binario

Numeri (non Interi) in formato Fixed Point Definito il numero di bit per la

rappresentazione (16 o 32) e la posizione del punto che rimane fissa, le parti intere e frazionarie sono convertite separatamente in base 2

Il sistema binario

Numeri in formato Fixed Point Esempio: 22,72265625

Parte intera

22 = 1 01102

22 0

11 1

5 1

2 0

1 1

0

Il sistema binario

Numeri in formato Fixed Point Esempio: 22,72265625

Parte frazionaria

0,72265625 =

1011 10012

0,722656251 0,445312500 0,8906251 0,781251 0,56251 0,1250 0,250 0,51 00 0

Il sistema binario

Conversione da decimale a binario della parte frazionaria

Metodo delle moltiplicazioni successiveSi considerano le parti intere delle moltiplicazioni per 2 della parte frazionaria dall’alto verso il basso

Il sistema binario

Numeri in formato Fixed Point Esempio: 22,72265625

Parte intera 22 = 1 01102

Parte frazionaria 0,72265625 =

1011 10012

Scegliendo la posizione del punto dopo 6 cifre:

Risultato = 0101 10.10 1110 01002

Il sistema binario

Numeri (non Interi) in formato Floating Point Il numero R è espresso nella forma

E esponente o caratteristica: numero intero relativo rappresentato in eccesso 127 (bias) e quindi valori 0 fra 255 corrispondono a quelli fra -127 +128. I valori 0 e 255 vengono riservati per funzioni speciali, per cui E è compreso fra -126 e 127

M mantissa: numero razionale con una parte intera e una frazionaria rappresentato in virgola fissa e in ampiezza e segno

EMR 2

Il sistema binario

Numeri in formato Floating Point

Standard IEEE 754 (1985):

MEs

mantissaParte frazionaria di M

esponenteE=e+127

segno della mantissa ( 0= +, 1= - )

31 30 23 22 0

Il sistema binario

Numeri in formato Floating Point

E: assume valori tra -127 e +128 M: punto decimale implicitamente assunto

alla destra del bit più significativo. In forma normalizzata cioè la parte intera costituita da un unico bit pari a 1 che non viene rappresentato

EMR 2

Il sistema binario

Numeri in formato Floating Point

Esempio: Il numero 0,21484375 corrisponde in

binario a 0.0011 0111 Normalizzato: 1.10111 x 2-3

La mantissa, nascondendo il bit più significativo, diviene 10111

L’esponente -3, in notazione eccesso 127, diviene -3+127 = 124 = (0111 1100 )2

Il sistema binario

Numeri in formato Floating Point

Esempio (cont.): Il numero 0,21484375 è convertito in

101 1100 0000 0000 0000 00000111 11000

MantissaEsponente (124):-3 in notazione eccesso 127

Bit di segno: 0 (positivo)

31 30 23 22 0

Il sistema binario

Numeri in formato Floating Point

Esempio: Il numero 1100 0011 1101 0000 0000 0000 0000 0000 è convertito in

101 0000 0000 0000 0000 00001000 01111

Mantissa: 0.625 ovvero 1.625

Esponente (135):8 in notazione eccesso 127

Bit di segno: 1 (negativo)

31 30 23 22 0

Risultato: R=M.2° = -1.625 x 28 = -416

Il sistema binario

Numeri in formato Floating PointRange dei valori:

Mantissa 23 bit + 1 bit a 1 sottointeso: da 1.00…00 a 1.11…11 cioè da 1 a 1 + ( 1 – 223) = 2 – 223

Esponente 8 bit 0 a 28-1 = 255. Per l’eccesso 127 il range diviene da -127 a 128 ristretto a -126→127

Numero più grande rappresentabile = (2 – 223) x 2127 ≈ 1.43 x 1045 = 1.430.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

Numero positivo più piccolo rappresentabile = 1 x 2-126 ≈ 1.18 x 10-38 =

0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 011 8

Il sistema binario

Numeri in formato Floating PointEccezioni:

Categoria Esp. Mantissa

Zeri 0 (-127) 0

Numeri denormalizzati 0 (-127) non zero

Numeri normalizzati 1-254 (-126/127) qualunque

Infiniti 255 (128) 0

Nan (not a number) 255 (128) non zero

Il sistema binario

Numeri in formato Floating Point

Precisione E M Totale Decimale

Singola 8 23 32b = 4B 7

Doppia 11 52 64b = 8B 16

Quadrupla 15 122 128b = 16B 34