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Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Dall’esperienza al sapere
IN LABORATORIO
PER IMPARARE MATEMATICA
Ileana SaporitiFornovo, 25 gennaio 2008
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Dall’intuizione alla certezza
“La pianta prende acqua dal terreno, non beve acqua se la si mette sulle foglie. Allo stesso modo la vera conoscenza non va appiccicata, come si fa con un cerotto.
La vera conoscenza è qualcosa che impregna l’uomo. Davanti ai nostri occhi passano tante cose meravigliose. E’ uno spreco se voi non ve ne accorgete.”
Etsuro Sotoo
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Congettura e scoperta
• Scoprire perché certe relazioni sono vere, dà la stessa emozione di chi le ha scoperte la prima volta. ( un collega )
“I testi matematici hanno la forza dell’evidenza, danno l’impressione che le spiegazioni siano così chiare che avrebbero dovuto esistere da sempre”
“Ciò che soddisfa il desiderio è frutto di un lavoro accanito: l’apparente facilità impedisce una vera conoscenza.”
Laurent Lafforgue
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
• stimolare la curiosità
• sviluppare la capacità critica
• riempire di senso le forme astratte
• pervenire alla comprensione attraverso
l’esperienza
• saper dimostrare
OBIETTIVI
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
• In aula: materiali scolastici semplici o
strutturati
• In laboratorio di informatica:
Excel – Cabri – Derive
Strumenti
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Attraverso i problemi
Qual è la situazione di partenza?
Analisi delle conoscenze e delle capacità attraverso problemi: riannodiamo i fili
Quante celle in Excel?
La palestra
I figli della vicina
Dividere in gruppi
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Quante celle?
In Excel:- scopri quante colonne ci sono- quante righe- quante celle- scopri se i numeri trovati sono potenze
di 2 e quali sono gli esponenti
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
La palestra
“L’insegnante di educazione fisica, per un problema di spazio, ha detto che avrebbe portato in palestra metà della classe più mezzo studente. Alle proteste degli altri, l’insegnante ha risposto che la settimana successiva avrebbe portato in palestra metà dei rimanenti più mezzo studente, e nella terza settimana avrebbe portato i rimanenti. Di quanti alunni potrebbe essere composta la classe?”
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Congetture
• Quando possiamo dire mezzo alunno?• “19 va bene, anche 23 va bene: forse il
numero deve essere primo”
• “ Il primo numero deve essere dispari e anche il secondo”
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
I figli della vicina
“La vicina di casa ha dei figli: l’età del
minore è la metà dell’età del maggiore
e il prodotto di tutte le età è 1664.
Quanti sono i figli della vicina?”
- si deve scomporre - le età dei figli sono i sottomultipli di 1664 - la metà di una potenza
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Dividere in gruppi
“Un insegnante vuole dividere la classe in gruppi da tre, ma un ragazzo rimane da solo; allora divide in gruppi da quattro ma ne restano due. Prova a dividere in gruppi da cinque, ma restano ancora due ragazzi. Qual è il numero degli alunni della classe?”
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Il cartone del latte
Due cartoni del latte hanno la stessa superficie laterale data da 16ab, essendo 4a e 4b le dimensioni del rettangolo che si ottiene sviluppando la superficie laterale nel piano.
4b
4a
4a
4b
Quale dei due contiene più latte?
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
V1 = a2 4b V2 = b2 4a
a2 4b ; b2 4a
dividiamo per 4ab:
a ; b
Il volume dipende dallo spigolo di base:
se a > b allora V1 > V2
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
I poligoni reticolari I poligoni reticolari sono poligoni che hanno i vertici
nei punti di un piano cartesiano a coordinate intere.
“Che legame c’è tra l’area di un poligono reticolare, i suoi punti interni e i punti del suo perimetro?”
Area = I + P/2 – 1 Con questa formula si può calcolare l’area di un
triangolo equilatero?E’ sempre possibile decidere se un punto è interno o
si trova sul perimetro?
Il teorema di Pick
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Trovare formule
I numeri triangolari
n(n + 1) / 2
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Al lavoro con i numeri naturali
I numeri quadrati
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Errori per riflettere
I numeri quadrati 2
Scomposizione 2
Il foglio di brutta
Scomposizione 1
I numeri quadrati 1
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
La spirale dei numeri quadrati
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Le terne pitagoricheEsse sono terne di numeri interi, x, y e z, che soddisfano il teorema di Pitagora: x^2 + y^2 = z^2Scriviamo i quadrati dei primi venti numeri naturali e tra questi venti quadrati, operiamo la differenza tra ciascun quadrato e il suo precedente.
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
121 144 169 196 225 256 289 361 400 23 25 27 29 31 33 35 37
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Dall’intuizione alla certezza
Osserviamo che 9 è un quadrato, differenza di due quadrati: 25 e 16. Allora i numeri 3, 4, 5, costituiscono una terna pitagorica. Ci sono altre terne pitagoriche? Quante sono?
Le terne sono infinite, perché ci sono infiniti numeri quadrati dispari.
Guardiamo le prime terne scoperte: com’è una terna rispetto alla precedente?
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
n 3 + 2n 4 + 2n(n+3) 5 + 2n(n+3)
0 3 4 5
1 5 12 13
2 7 24 21
3 9 40 41I numeri della prima colonna sono i numeri naturali.I numeri della seconda colonna sono i numeri dispari a partire da 3, quindi: 3 + 2n
I numeri della terza colonna sono dati da: 4 più 4n più quattro volte i numeri triangolari (1, 3, 6, …). Abbiamo quindi la formula: 4 + 4n + 4n(n +1)/2 = 4 + 2n(n + 3)I numeri dell’ultima colonna sono i numeri della colonna precedente aumentati di 1.
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47
49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71
73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95
97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117
Il crivello di Eratostene
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Possiamo scrivere una formula per continuare la sequenza dei numeri primi? Euclide aveva la certezza che i numeri primi fossero infiniti. Aveva supposto che i numeri primi fossero tre: il 2, il 3 e il 5, e aveva scritto un numero non divisibile per nessuno di essi: o era primo o era divisibile per un numero primo diverso da essi. Questo significa che i numeri primi non sono solo tre, ma non sono neppure quattro, o cinque, o ….
Euclide però non sapeva determinare il successivo numero primo, a partire da un qualsiasi numero primo: questo è un problema ancora aperto!
Euclide e i numeri primi
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
In laboratorio per calcolare
Verifichiamo con Derive la seguente congettura:
“Se il resto della divisione di 2^n diviso n è 2, allora n è un numero primo.”
n è primo?
Per affermare che una congettura è falsa basterebbe un controesempio …
controesempio 341
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Sequenze in ExcelEsprimi a parole le formule proposte e realizza una sequenza di almeno10 termini per ogni formula, avendo posto n = 0, 1, 2, 3, … 1) = 7*n 2) = 3n
3) = n*(n+1) Osserva le sequenze proposte e visualizza almeno 10 termini di ogni sequenza, esprimendo a parole la formula da inserire :4) 1 3 5 7 9 … ?5) 0 3 6 9 12 … ?6) 0 3 7 15 31 … ?
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Un orizzonte infinito
L’insieme dei numeri razionali è denso-“Qual è il numero che viene dopo il 10?”
-“l’ 11”
-“non possiamo dire il 10,1?”
- “sì”
-“e il 10,01? Dimmi un numero tra 10 e 10,01”
-“Ce ne sono infiniti”
E’ utile considerare e risolvere i problemi sapendo che tipo di soluzione si cerca e in quale insieme si trova: ha valore riflettere sul finito se si ha presente l’infinito.
Ridurre la matematica a ciò che serve è una grave mutilazione della ragione.
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Il percorso minimo
Trovare il percorso minimoQuale percorso deve fare la formica per raggiungere il punto B partendo dal punto A, in modo che sia il più breve? A
B
Disegniamo le due facce del cubo: quando la somma dei segmenti è minima?
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Area minima
Il quadrato inscritto di area minima
In un quadrato ABCD, inscrivi un altro quadrato PQRS, con P su AB.A quale distanza da A deve essere fissato il punto P, perché PQRS abbia area minima?
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
• Qual è la somma degli angoli interni di un quadrilatero?
E di un pentagono? E di un poligono di n lati?
Congettura e scoperta
• Qual è la somma degli angoli esterni di un quadrilatero? E di un pentagono?
E di un poligono di n lati?
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
“Sia ABC un triangolo equilatero e P un punto interno qualsiasi. Traccia da P le rette perpendicolari ai lati opposti che intersecano in H, K, L.
Calcola la somma delle lunghezze dei segmenti di perpendicolare PH, PK, PL.
Verifica che muovendo il punto P all’interno del triangolo, la somma dei segmenti è costante”
In laboratorio per intuire
Spiega perchè si ottiene tale risultato.
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Risolvere problemi con Excel• Il problema degli alunni• Il problema della pizzeria• Il problema delle api
EXCEL
Un approccio ai problemi per tentativi, può essere un aiuto per l’analisi e la formalizzazione. Occorre tuttavia condurre i ragazzi a rilevare i limiti della macchina.
Equazioni e problemi
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
In laboratorio per vedere
Disuguaglianze nel triangolo
Se in un triangolo sono date le lunghezze di due lati, che valori può assumere la misura del terzo lato?
Seguire le istruzioni e completare !
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Disuguaglianze in Excel
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Risolvere equazioni fratte con Derive
Anche con un software per l’algebra ci sono limiti che dobbiamo evidenziare: il simbolo ci fa capire che l’equazione non ha soluzione, ma non dice perché …
In laboratorio … criticamente
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Verso gli irrazionali
Laboratorio con i fogli di carta A4
• ottenere un quadrato
• ottenere un rettangolo 1 x 2
• misurare il lato lungo del foglio con il
lato corto
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Nel foglio A4
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
La chiocciola degli irrazionali
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
Obiettivi raggiunti?
• Rimotivazione
• Adesione al lavoro proposto
• Ricaduta positiva come maggiore
comprensione degli argomenti svolti
• Verifiche di laboratorio
1a
2a
Ileana Saporiti 25 gennaio 2008
grazie e buon lavoro!