imash.ruimash.ru/netcat_files/file/Dissovet/NOSOVA...ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ МАШИНОВЕДЕНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ

ИНСТИТУТ МАШИНОВЕДЕНИЯ ИМ АА БЛАГОНРАВОВА

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Носова Наталья Юрьевна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С ШАРНИРНЫМИ

ПАРАЛЛЕЛОГРАММАМИ С РАЗЛИЧНЫМ

ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Специальность 050218 ndash Теория механизмов и машин

Диссертация на соискание учёной степени

кандидата технических наук

Научный руководитель

доктор технических наук

СВ Хейло

Москва 2020

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1 ОБЗОР МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С РАЗЛИЧНЫМ

ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 9

11 Обзор механизмов параллельной структуры от трёх до шести степеней свободы 9

12 Механизмы параллельной структуры с шарнирными параллелограммами 20

Выводы по главе 25

ГЛАВА 2 АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МЕХАНИЗМОВ

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЯТЬЮ И ШЕСТЬЮ СТЕПЕНЯМИ

СВОБОДЫ 27

21 Разработка структурных схем определение числа степеней свободы механизмов и

работоспособности механизма параллельной структуры с четырьмя степенями свободы 27


работоспособности механизма параллельной структуры с пятью степенями свободы 38


работоспособности механизма параллельной структуры с шестью степенями свободы 45


ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

СТРУКТУРЫ С РАЗВЯЗКОЙ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ 51

31 Решение прямой и обратной задач кинематики для механизма параллельной структуры

с поступательными движениями выходного звена 51

311 Решение обратной задачи кинематики 52

312 Решение прямой задачи кинематики 55

32 Решение задачи о скоростях методом дифференцирования уравнений связи для

механизма параллельной структуры с поступательными движениями выходного звена 56

33 Решение прямой задачи кинематики для сферического механизма параллельной

структуры 59


сферического механизма 64

34 Решение задачи кинематики (о положении) для сферического механизма параллельной

структуры с использованием метода поворота системы координат 66




3

ГЛАВА 4 АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕХАНИЗМА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

СТРУКТУРЫ С КИНЕМАТИЧЕСКОЙ РАЗВЯЗКОЙ 75

41 Динамический анализ механизма параллельной структуры с поступательными

движениями выходного звена 75

41 Динамический анализ сферического механизма параллельной структуры с тремя

степенями свободы 86


ГЛАВА 5 РАЗРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИЗМА

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С КИНЕМАТИЧЕСКОЙ РАЗВЯЗКОЙ С ЧЕТЫРЬМЯ

СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ 104

51 Описание конструкции действующей модели 104

52 Иследование функциональных возможностей действующей модели механизма

параллельной структуры с четырьмя степенями свободы 109

53 Исследование и моделирование рабочей зона механизма с четырьмя степенями

свободы 113


ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 121

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 123

ПРИЛОЖЕНИЯ 133

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 139

4

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

Создание новых механизмов параллельной структуры является одним из направлений разви-

тия современных робототехнических систем в процессе автоматизации конкурентоспособных

промышленных предприятий машиностроительной пищевой текстильной космической и дру-

гих отраслей производстве медицинских приборов и устройств оборонного назначения Про-

мышленные робототехнические системы освобождают человека от тяжёлого утомительного и

однообразного ручного труда позволяют заменить его в опасной и вредной для здоровья окру-

жающей среде а также в труднодоступных местах

Использование свойства механизмов параллельной структуры воспринимать каждой кинема-

тической цепью механизма только часть общей нагрузки позволяет создавать конструкции бо-

лее высокой жёсткости с подвижными звеньями но относительно небольшой массы с лучши-

ми динамическими характеристиками а также повышенной точности позиционирования по

сравнению с механизмами последовательной структуры Однако механизмы параллельной

структуры имеют и недостатки ограниченность рабочей зоны (пространства) наличие сингу-

лярностей (особых положений) в области рабочего пространства трудности проведения пара-

метрического синтеза механизмов

Еще одной важной особенностью механизмов параллельной структуры являются их сложные

взаимосвязанные кинематические характеристики когда поступательное движение кинемати-

чески связано с вращательным движением и наоборот Поэтому математические модели для

решения задач кинематики и динамики таких механизмов отличаются сложностью что затруд-

няет их управление планирование траекторий движений и позиционирование рабочего органа

(выходного звена) Для преодоления указанных сложностей упрощают и разделяют законы

управления механизмом Это позволяет добиться синхронизации приводов и улучшить дина-

мические характеристики манипуляционных механизмов

Кинематическая развязка положения и ориентации выходного звена (платформы или рабоче-

го органа) упрощает решение кинематических и динамических задач а также алгоритмы управ-

ления этими устройствами Решение подобной задачи в основном сводится к уменьшению чис-

ла промежуточных звеньев механизма что с одной стороны положительно сказывается на жё-

сткости механизма С другой стороны в механизмах с полной или частичной кинематической

развязкой предъявляются повышенные требования к приводам так как каждый привод в таких

механизмах отвечает за одну степень свободы выходного звена что увеличивает нагрузку на

них Тем не менее важным преимуществом механизмов с кинематической развязкой являются

5

их простые кинематические зависимости между входными и выходными координатами упро-

щающие их динамический анализ и синтез

Поэтому синтез новых пространственных механизмов параллельной структуры обладающих

развязкой движений когда одни приводы управляют положением выходной платформы а дру-

гие управляют её ориентацией является актуальной задачей

Объектом исследования являются пространственные механизмы параллельной структуры с

шарнирными параллелограммами с различным числом степеней свободы

Цель работы

Разработка и исследование пространственных механизмов параллельной структуры с шар-

нирными параллелограммами с различным числом степеней свободы обладающих свойствами

кинематической и динамической развязки за счёт наличия шарнирных параллелограммов в ка-

ждой кинематической цепи

Задачи научного исследования

1 Выполнить структурный синтез и анализ новых механизмов параллельной структуры с

шарнирными параллелограммами с четырьмя пятью и шестью степенями свободы

2 Решить задачи о положении и скоростях исследуемых объектов

3 Выявить динамические свойства механизмов

4 Экспериментально проверить работоспособность механизма параллельной структуры на

натурной модели и определить рабочую зону механизма

Научная новизна исследования

1 Разработан ряд механизмов параллельной структуры основанных на развитии схемы ти-

па laquoOrthoglideraquo с возможность одновременной передачи шарнирным параллелограммом посту-

пательных и вращательных движений

2 Представлена методика структурного кинематического и динамического анализа разра-

ботанного ряда механизмов

3 Апробирован алгоритм управления разработанным механизмом с шестью степенями

свободы с кинематической развязкой основанный на минимизации ошибок по положению

скорости и ускорению

4 Изготовлена конструкция натурного макета разработанной схемы механизма с четырьмя

степенями свободы для исследования его рабочей зоны и особых положений На практике пока-

зана возможность передачи шарнирным параллелограммом вращательных и поступательных

движений

6

Теоретическая значимость работы

Теоретическая значимость работы состоит в разработке методик структурного анализа и

синтеза кинематического и динамического анализа механизмов параллельной структуры с ки-

нематической развязкой разработке алгоритма определения рабочей зоны и управления такими

механизмами

Практическая значимость работы

Практическая значимость работы заключается в том что синтезированы новые схемы мани-

пуляционных механизмов параллельной структуры с четырьмя пятью и шестью степенями

свободы с кинематической развязкой Данные механизмы могут быть использованы на пред-

приятиях машиностроительной пищевой текстильной лёгкой и других отраслей промышлен-

ности в медицинских устройствах тренажёрах

Методы исследования

Теоретические исследования проводились с использованием методов теории механизмов и

машин теоретической механики теории винтового исчисления дифференциального и матрич-

ного исчисления компьютерного моделирования

Положения выносимые на защиту

1 Развитие схемы типа laquoOrthoglideraquo с целью получения дополнительных вращательных

движений выходного звена

2 Методики решения задач о положениях и скоростях для разработанного механизма с ше-

стью степенями свободы с получением кинематических характеристик механизма

3 Методики решения задач динамики для сферических и поступательно-направляющих

механизмов являющихся частью механизма с шестью степенями свободы

4 Конструкция натурной модели для исследования наличия особых положений

Достоверность результатов обусловлена строгостью математических выкладок при исполь-

зовании корректных допущений а также сопоставлением теоретических и практических ре-

зультатов

Реализация результатов работы

Результаты работы могут быть использованы на различных предприятиях машинострои-

тельной пищевой текстильной и других отраслях в научно-исследовательских и расчётно-

конструкторских отделах предприятий организаций и вузов занимающихся созданием совре-

менной робототехники для автоматизации широкого круга технических операций

7

Апробация работы

Основные результаты доложены на следующих научно-технических конференциях

65-я межвузовская научно-техническая конференция молодых ученых и студентов laquoСту-

денты и молодые ученые КГТУ производству Кострома КГТУ 2013 г

Межвузовская научно-техническая конференция аспирантов и студентов laquoМолодые учё-

ные ndash развитию текстильной и лёгкой промышленностиraquo (ПОИСК-2013) Иваново 2013

Международная научно-техническая конференция laquoДизайн технологии и инновации в

текстильной и лёгкой промышленностиraquo (Инновации-2013) Москва 2013 г

Международная научная конференция laquoМашины технологии и материалы для совре-

менного машиностроения посвященная 75-летию Института машиноведения им АА

Благонравова РАНraquo Москва 2013 г

Международная научно-техническая конференция laquoНовое в технике и технологии тек-

стильной и лёгкой промышленностиraquo Витебск 2013 г

2-й международный симпозиум laquoСовременные проблемы создания и производства ме-

ханических передачraquo Москва 2013 г

66-я межвузовская научно-техническая конференция молодых учёных и студентов Сту-

денты и молодые учёные КГТУ производству Кострома 2014 г





3rd IFToMM Symposium on Mechanism Design for Robotics (MEDER 2015) Aalborg Den-

mark 2015 г

14th International Federation for the Promotion of Mechanism and Machine Science World

Congress (IFToMM 2015) Taipei Taiwan 2015


текстильной и лёгкой промышленностиraquo (Инновации-2015) Москва 2015



Международная конференция laquoIntelligent Technologies in Roboticsraquo г Москва 2019 г

Публикации

По результатам диссертации опубликована 21 научная работа в том числе 5 статей в журна-

лах из списка ВАК 7 публикаций входящие в базы Scopus и Web of Science 2 главы в моно-

графиях с соавторами 2 патента РФ на изобретения и 1 патент РФ на полезную модель

8

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения пяти глав основных результатов и выводов списка ис-

пользованной литературы приложения 1 списка публикаций по теме диссертации

Диссертация включает 100 рисунков 120 источников использованной литературы 1 при-

ложение общий объём диссертации ndash 141 стр

9

ГЛАВА 1

ОБЗОР МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ

С РАЗЛИЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

В данной главе рассматривается краткое развитие механизмов параллельной структуры ос-

новные типы их конструктивные особенности и области применения

11 Обзор механизмов параллельной структуры

от трёх до шести степеней свободы

Механизмы параллельной структуры в терминологии теории механизмов и машин определе-

ны как манипуляторы управляющие движением выходного звена посредством как минимум

двух кинематических цепей идущих от основания к выходному звену

Вопросы создания первых механизмов параллельной структуры (МПС) и времени их появ-

ления затрагивали не малое количество авторов [1 2 3 4 5 6] Согласно некоторым из них

история МПС началась в 1928 году когда Джеймс Гвиннетт (Gwinnett JE) подал заявку на па-

тент о создании платформы движения для индустрии развлечений в котором представлено уст-

ройство схожее по своей структуре со сферическим механизмом параллельной структуры [7]

Спустя десятилетия в 1942 г Поллард (Pollard WLW) изобрёл робот для автоматического

распыления краски и подал на него патент (рисунок 11) [8] Изобретение состоит из трёх кине-

матических цепей с пятью степенями свободы (три вращательные и две поступательные) Ки-

нематическая цепь механизма состоит из трёх звеньев Три вращательных привода располо-

женных на основании поворачивают первые три звена которые в свою очередь передают

вращение на вторые звенья через карданный шарнир Вторые звенья соединены с третьими

сферическими шарнирами Выходное звено соединено с третьими звеньями карданными шар-

нирами Два линейных привода расположены на основании Они передают движение на выход-

ное звено гибкими вращательными стержнями Три вращательных привода определяют поло-

жение выходного звена два линейных привода контролируют его ориентацию

Спустя несколько лет в 1947 г Гоф (Gough VE) разработал новый робот параллельной

структуры для решения проблем с аэродинамическими нагрузками [9] В последствии в 1965 г

Стюард (Stewart D) доработал и описал манипулятор с шестью степенями свободы в качестве

имитатора полета [10] Данный робот и его модификации до сих пор остаются одними из самых

востребованных роботов в мире [11 12 13 14 15]

10

Рисунок 11 Первый пространственный промышленный робот параллельной структуры [8]

Платформа Стюарта обладает шестью степенями свободы и состоит из двух платформ не-

подвижного основания и подвижной платформы Они соединены между собой телескопиче-

скими звеньями изменяемой длины и крепятся посредством шаровых шарниров Перемещение

и ориентация подвижной платформы в пространстве осуществляется путем изменения длин

указанных звеньев (рисунок 12)

Рисунок 12 Платформа Стюарта

Платформа Стюарта-Гофа успешно применяется во фрезерных станках [16 17] в поддержи-

вающих устройствах для хирургических операций [18 19] в симуляторах полёта и подводных

роботах [20 21 22]

11

Очередной скачок в развитии роботов рассматриваемых типов произошёл с момента созда-

ния робота DELTA предложенный проф Реймондом Клавелем (Clavel R) в 1986 году (рисунок

13) [23 24 25 26 27] Несмотря на то что все двигатели (2) этого манипулятора вращатель-

ные выходная платформа (6) не меняет свою ориентацию и всегда остается параллельной осно-

ванию (1) совершая при этом только возвратно-поступательные движения Устойчивость плат-

формы (6) обеспечивают три шарнирных параллелограмма (3) входящие в каждую кинемати-

ческую цепь За счёт телескопического звена (4) который соединён с подвижной платформой

(6) и неподвижным основанием (1) двумя карданными шарнирами и расположен вдоль цен-

тральной оси механизма выходное звено (7) получает независимое вращение от неподвижного

привода (5) Таким образом принимая во внимание это дополнительное вращение робот

DELTA имеет четыре степени свободы Рассматривая данный механизм можно говорить и о

кинематической развязке поскольку поступательное движение платформы (6) никак не влияет

на вращательное движение выходного звена (7) оно является независимым Высокое быстро-

действие данного МПС обеспечивается малыми массами промежуточных звеньев Ряд анало-

гичных устройств был разработан под руководством М Каррикато и В Паренти-Кастелли

(Carricato M Parenti-Castelli V) [28]

Рисунок 13 Робот-манипулятор DELTA [23]

Большой интерес к созданию и использованию МПС связан с их положительными свойства-

ми по сравнению с механизмами последовательной структуры Вследствие того что каждая ки-

нематическая цепь механизма воспринимает только часть общей нагрузки появляется возмож-

ность создавать механические конструкции с более высокой жёсткостью с подвижными звень-

ями относительно небольшой массы с лучшими динамическими характеристиками повышать

точность позиционирования и грузоподъёмность Возможность располагать приводы на непод-

вижном основании уменьшает влияние сил инерции на движении звеньев механизма

5 1

3

4

2

6

7

z

y

x

5

12

Однако наряду со всеми преимуществами МПС имеют недостатки Это небольшое рабочее

пространство по сравнению с механизмами последовательной структуры особые положения

(сингулярности) в рабочем пространстве трудности проведения параметрического синтеза ме-

ханизмов нелинейность связей между их кинематикой и динамикой

Обзор литературы показывает что большое количество механизмов имеют сложные взаи-

мосвязанные кинематические характеристики когда поступательное движение кинематически

связано с вращательным движением и наоборот Поэтому кинематические и динамические мо-

дели механизма сложны как для анализа так и для решения задач управления планирования и

позиционирования рабочего органа Для преодоления указанных сложностей упрощают и раз-

деляют законы управления механизмом Это позволяет улучшить динамические характеристи-

ки манипуляторов поскольку исключает необходимость синхронизировать различные испол-

нительные механизмы Известно два принципа разделения законов управления МПС 1) кине-

матическая развязка положения и ориентации выходного звена 2) кинетическая развязка пере-

мещений приводов и движений выходного звена

Возможность выявления и реализации кинематической развязки между положением и ори-

ентацией выходного звена (платформы) при решении задач кинематики для МПС весьма полез-

на поскольку позволяет упростить вывод и решение уравнений а так же активизировать алго-

ритмы управления Решение подобной задачи в основном сводится к упрощению геометрии

(числа промежуточных звеньев) механизма с одной стороны положительно сказывается на жё-


развязкой предъявляются повышенные требования к приводам поскольку в каждый привод от-

вечает за одну степень свободы выходного звена что увеличивает нагрузку на них Тем не ме-

нее важным преимуществом механизмов с кинематической развязкой являются их простые ки-

нематические зависимости между входными и выходными координатами упрощающие их ди-

намический анализ

Некоторые роботы с кинематической развязкой были предложены как иностранными учё-

ными Инносенти (Innocenti C) [29] Бернером (Bernier D) [30] Забалсой (Zabalza I) [31] Такэ-

дой (Takeda Y) [32] Бриотом (Briot S) [33 34] и др так и российскими Колискором АШ

Крайневым АФ Глазуновым ВА и их учениками [5] был выполнен комплекс исследователь-

ских работ в результате которых предложено большое количество изобретений связанных с

использованием двигательных и измерительных устройств параллельной структуры в том чис-

ле механизмов с кинематической развязкой Теоретической основой этих разработок а также

анализа и синтеза этого класса пространственных механизмов явилась общая теория винтов

Диментберга ФМ [6 35 36 37] Корендясевым АИ Саламандрой БЛ Тывесом ЛИ и др

изложены основы построения исполнительных механизмов роботов на основе математического

13

анализа базовых схем робототехники рассмотрены вопросы кинематики динамики управле-

ния и энергетических соотношений [38 39]

Механизмы параллельной структуры с кинематической развязкой можно построить объеди-

няя несколько механизмов в один (например сферические манипуляторы и МПС с линейными

приводами) либо в многоплатформенные схемы либо в интегрированные более сложные кон-

струкции Некоторые механизмы последнего типа основаны на принципе так называемых laquo6ndash4

полностью параллельных манипуляторахraquo (laquo6-4 fully parallel manipulatorraquo предложенных Па-

ренти-Кастелли и Инноченти (рисунок 14) [29] В то время как другие механизмы того же типа

формируются путем объединения частей кинематических цепей поступательных манипулято-

ров с частями кинематических цепей сферических манипуляторов в более громоздкие кинема-

тические цепи которые содержат более одного привода Представленные в работе [40] манипу-

ляторы параллельной структуры с кинематической развязкой рассматриваются как промежу-

точная версия механизмов между двумя последними в которой все приводы находятся на осно-

вании или рядом с основанием в упрощенной схеме с тремя кинематическими цепями (рисунок

15) [32 41] Такое преобразование позволяет сохранить лёгкость подвижных масс вместе с хо-

рошими динамическими характеристиками и уменьшить ограничения рабочего пространства

благодаря исключению кинематических элементов

Рисунок 14 Схемы 6ndash4 параллельных манипуляторов [29]

Рисунок 15 Схема манипулятора предложен-

ная Р Ди Грегорио [41]

Рисунок 16Манипулятор состоящий из двух

структур DELTA-робота [42]

14

В работе [42] представлен новый параллельный робот с шестью степенями свободы исполь-

зующий набор из двух структур робота Delta (рисунок 16) Предложен эффективный метод ус-

тановления явных взаимосвязей между координатами выходного звена (рабочего органа) с ак-

тивными и пассивными переменными звеньями кинематической цепи Моделирование системы

позволило проверить согласованность расчётов и показать рабочее пространство в зависимости

от механических ограничений переменных пассивных звеньев Предложен подход для изучения

влияния малых зазоров пассивного звена на точность положения и вращения рабочего органа

Миановский К (Mianowski K) в своей работе [43] представил прототип нового робота па-

раллельной структуры POLMAN-3x2 с шестью степенями свободы предназначенного для вы-

полнения быстрых операций В конструкции манипулятора были применены специальные ме-

ханизмы передачи движения обеспечивающие динамическую развязку Объединив в своей ра-

боте идею пространственного параллелограмма предложенного Р Клавелем идею специаль-

ной формы подвижной платформы аналогичную той что предложил Джакет (Jacket P) [44] и

используя параллелограммы для передачи вращения от двигателей расположенных на основа-

нии к промежуточным звеньям он получил очень интересную кинематическую схему парал-

лельного манипулятора (рисунок 17) Робот POLMAN 3x2 состоит из трёх идентичных кинема-

тических цепей с двумя активными и шестью пассивными степенями свободы каждая Три оди-

наковых приводных механизма в виде пяти стержневых плоских параллелограммов с двумя

степенями свободы установлены на основании таким образом что их оси расположены в лини-

ях параллельных осям x y z декартовой системы координат Подвижная платформа имеет

форму полупространственного креста со сферическими шарнирами и соединена с приводными

механизмами тремя идентичными параллелограммами аналогичными тем что используются в

роботе DELTA При такой конструкции положение выходного звена регулируется вращением

стержней (1) (2) и (3) а ориентация регулируется вращением стержней (4) (5) и (6) что позво-

ляет получать линейные перемещения подвижной платформы (прикрепленной к выходному

звену манипулятора) независимо от движения шарниров

В дальнейшем Миановский К продолжил работу над роботом POLMAN-3x2 но заменил три

вращательный привода на три линейных расположенных на основании и перемещающихся по

типичной рейке (рисунок 18) [45] Вторые же три вращательных привода расположены соосно

линейным приводам Для передачи вращения он использовал карданный вал в каждой кинема-

тической цепи с крюковыми соединениями (шарнир Гука) на концах Каждый вал крепится к

приводному механизму имеющему две степени свободы (поступательную и вращательную)

Подвижная платформа выполнена в виде сферического треугольника Внутренние оси крюко-

вых соединений на концах стержней параллельны друг другу а внешние оси перпендикулярны

15

внутренним осям Это свойство можно использовать для изменения ориентации рабочего инст-

румента

Рисунок 17 Схема манипулятора POLMAN 3x2

с шарнирными параллелограммами [43]

Рисунок 18 Схема манипулятора POLMAN

3x2 с карданными валами [45]

В работе [46] Яме Е Морено Х Салтарен Р (Yime E Moreno H Saltaren R) представили

новый робот параллельный структуры с шестью степенями свободы и с кинематикой развязкой

(рисунок 19) Три кинематических цепи контролируют положение одной точки подвижной

платформы а остальные цепи контролируют ориентацию подвижной платформы Данный ро-

бот кинематически эквивалентен схеме предложенной Инноченти (C Innocenti) [29] Одной из

трудностей для создания указанного робота являлась разработка конструкции тройного сфери-

ческого шарнира (механизма) Конструкция сферического шарнира основана на использовании

центрального механизма вращательных шарниров с общей осью вращения Звенья соединены с

механизмом посредством соединительного звена с двумя вращательными шарнирами которые

пересекаются в центральной точке механизма Наличие центрального сферического механизма

между тремя внутренними кинематическим цепям позволяет получить кинематическую развяз-

ку внутренние три цепи управляют положением платформы в то время как внешние кинема-

тические цепи управляет её ориентацией

Ранее были проведены работы по проектированию механизмов с тройными сферическими

шарнирами [29 47 48 49 50] Использование сферических шарниров и механизмов в МПС вы-

годно с точки зрения возможности размещения нескольких звеньев вокруг одной точки враще-

ния Зачастую это упрощает кинематику механизма (например для платформы Гофа-Стюарта)

и улучшает его функциональность

16

Рисунок 19 Манипулятор с тройным сфе-

рическим шарниром [46]

Рисунок 110 Модель робота параллельной

структуры с избыточным числом связей [48]

Боссчер и Эберт-Упхофф (P Bosscher and I Elbert-Upholf) представили механизм предна-

значенный для обеспечения возможности соединения нескольких звеньев в один сферический

шарнирный механизм (рисунок 111) [47] Этот механизм обеспечивает связь между основными

звеньями соединенными друг с другом через ряд из двух или более промежуточных звеньев

Основные и промежуточные звенья соединены между собой вращательными шарнирами где

все оси шарниров пересекаются в одной точке Это расположение производит сферическое

движение каждого звена в механизме вокруг этой точки пересечения Кроме того сферический

шарнирный механизм позволяет соединениям звеньев образовывать замкнутую кинематиче-

скую цепь За счёт включения замкнутых кинематических цепей жёсткость механизма может

быть значительно повышена

Рисунок 111 Схема сферического шарнирного ме-

ханизма с пятью степенями свободы [47]

Рисунок 112 Сферический шарнир для

соединения более трёх звеньев [49]

Зангане и Анжелес (Zanganeh KE Angeles J) представили робот параллельной структуры с

избыточным числом связей где шесть звеньев соединяются в центре механизма с помощью

сферического шарнира и шести шарнирных скоб [48] Сонг и Ким (Song S Kim W) представи-

ли сферический шарнир для соединения трёх и более звеньев в одной точке [49]

17

В работе [32] Такеда др (Takeda Y) представили исследование разработки механизма с ше-

стью степенями свободы схожего со структурой робота Инноченти (рисунок 113 а) Анализ

движения и проектирование выполнялся путём разделения ориентации и положения выходного

звена Они представили тройной сферический шарнир состоящий из небольшой платформы

которая соединена с каждым основным звеном двумя промежуточными звеньями с вращающи-

мися шарнирами оси которых ортогональны (рисунок 113 b) Платформа также содержит

сферический шарнир шар которого соединен с мобильной платформой робота

a) b)

Рисунок 113Механизм с 6 DOF с кинематической развязкой положения и ориентации

выходного звена a) общий вид механизма b) схема сферического шарнира [32]

В работе [51] Джин Чен и Ян (Jin Y Chen I-M Yang G) предложили новый манипулятор

параллельный структуры с избирательным управлением c шестью степенями свободы и с тремя

кинематическими цепями (рисунок 114) Рабочий орган манипулятора может производить в

зависимости от типов исполнительного механизма (вращательного или поступательного) вра-

щательное (сферическое) движение используя три вращательных привода и передавая три сте-

пени свободы используя поступательные приводы обеспечивать три степени свободы посту-

пательного движения три степени свободы гибридного движения включение всех приводов

обеспечивает шесть степеней свободы те полное пространственное движение Архитектура

манипулятора полностью разделяет перемещение и вращение рабочего органа для индивиду-

ального управления Синтез структуры параллельного манипулятора с избирательным управле-

нием достигается использованием его геометрии Анализ особенностей показывает что парал-

лельным манипулятором с избирательным управлением представляет собой изотропный посту-

пательный механизм у которого все двигатели находятся в режиме поступательного движения

Из-за развязанной структуры движения метод декомпозиции применяется как для анализа сме-

щения так и для оптимизации размеров

18

В работе [52] на основе теории винтов и принципа движения кинематической цепи незави-

симым двигателем предложена методика структурного синтеза механизмов с полной кинема-

тической развязкой с четырьмя степенями свободы обеспечивающих три вращательных и одно

поступательное движение (3R1T где R ndash вращательное движение T ndash поступательное движе-

ние) (рисунок 115)

Рисунок 114 манипулятор параллельный

структуры с избирательным управлением c

шестью степенями свободы [51]

Рисунок 115 3R1T механизм параллельной

структуры с полной кинематической раз-

вязкой [52]

Учёными из Франции Вигеном Аракеляном и Себастьяном Брио (Briot S Arakelian V) [33 34]

было разработано и представлено новое семейство манипуляторов параллельной структуры ndash

PAMINSA (PArallel Manipulators of the INSA Франция) (рисунок 116) В своей работе они пы-

тались разделить перемещения в горизонтальной плоскости от перемещений вдольвокруг других

направлений Для этих целей они используют свойства пантографа Данный манипулятор имеет 4

степени свободы три вращательных привода обеспечивают поступательное движение подвиж-

ной платформы один линейный привод отвечает за вращательную степень свободы

Рисунок 116 Манипулятор PAMINSA с че-

тырьмя степенями свободы [33]

Рисунок 117 Манипулятор аналог с че-


19

Близким аналогом робота PAMINSA является манипулятор с четырьмя степенями свободы

однако механизм пантографа в полученном решении не требуется [53 54] (рисунок 117) Это

упростило конструкцию и сделало её более эффективной и надёжной в работе

В Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте машиноведения

им АА Благонравова Российской Академии Наук (ИМАШ РАН) также занимались вопросами

кинематической развязки В частности Глазуновым В А Тывесом Л И Данилиным ПО и др

был разработан МПС с шестью степенями свободы на основе универсальных шарниров с до-

полнительными ограничениями (рисунок 118) [55 56]

Рисунок 118 МПС на основе универсальных

шарниров [55]

Рисунок 119 МСП с шестью степе-

нями свободы на основе разработан-

ной схемы [57]

Каждая кинематическая цепь механизма состоит из одного вращающегося привода распо-

ложенного на основании одного линейного привода двух призматических кинематических

пар представленных в виде двух U-образных шарниров (где U ndash шарнир Гука) с дополнитель-

ными ограничениями и двух пассивных пар вращения С помощью теории винтов был произ-

веден синтез данного механизма анализ особых положений Так же показано что данный ме-

ханизм имеет свойства кинематической развязки где вращающиеся исполнительные механиз-

мы отвечают за ориентацию выходного звена в то время как линейные исполнительные меха-

низмы отвечают за его положение

В дальнейшем был изготовлен натурный образец МСП с шестью степенями свободы на ос-

нове разработанной схемы (рисунок 119) [57] где на практике было показано наличие кинема-

тической развязки

Еще один механизм параллельной структуры с шестью степенями свободы с кинематической

развязкой представлен на рисунке 120 [35] Он состоит из трёх кинематических цепей каждая

20

цепь содержит двигатель вращательного перемещения расположенный на основании двига-

тель поступательного перемещения два шарнирных параллелограмма представляющие собой

две поступательные кинематические пары две промежуточные вращательные кинематические

пары Оси всех промежуточных пар пересекаются в точке О С помощью теории винтового ис-

числения и подхода основанного на замкнутых группах винтов показаны все возможные пово-

роты выходного звена и все ограничения накладываемые кинематическими цепями без вывода

кинематических уравнений

Рисунок 120 механизм с шестью степенями

свободы с кинематической развязкой [35]

Рисунок 121 механизм с зубчатыми переда-

чами [58]

В работе [58 59] представлен еще один механизм с шестью степенями свободы с кинемати-

ческой развязкой разработанный в ИМАШ РАН В данном механизме в каждой кинематиче-

ской цепи вращение на выходное звено осуществляется через последовательно установленную

систему зубчатых колёс (передач) которые расположены перпендикулярно оси двигателя вра-

щательного перемещения Две кинематические цепи содержат дугообразные направляющие

которые отвечают за положение выходного звена В третьей кинематической цепи расположе-

ны два карданных шарнира которые передают вращение на рабочий орган и отвечают за его

ориентацию (рисунок 121)

12 Механизмы параллельной структуры с шарнирными параллелограммами

Использование шарнирного параллелограмма в конструкции МПС позволяет выходному

звену оставаться в фиксированном положении по отношению к входному звену Пожалуй са-

мый известный манипуляционный механизм содержащий в своей конструкции шарнирные па-

раллелограммы является манипулятор DELTA описанный выше (рисунок 13)

21

На базе робота DELTA компанией Cama было разработано погрузочное устройство Triaflex

(рисунок 122) [60 61] которое включает в себя от четырёх до двенадцати DELTA-роботов По-

скольку один DELTA-робот может работать со скоростью до 120 циклов в минуту то за счёт

одновременного захвата нескольких продуктов при помощи системы laquoмультизахватаraquo робот

может обрабатывать до 300 единиц продукции в минуту А система Triaflex в свою очередь

обеспечивает динамическую синхронизацию конвейерной ленты для захвата и перекладки про-

дукции со скоростью до 110 метров в минуту Это также позволяет отдельные единицы продук-

ции помещать во вторичную упаковку для завёртывания

Рисунок 122 Погрузочное устройство Triaflex состоящее из DELTA-роботов

Уникальность данного погрузочного устройства от Cama в отличие от других состоит в том

что используется единый контроллер движения IndraMotion MLC от компании Rexroth для все-

го устройства Triaflex а не управляется каждым роботом по отдельности со своим контролле-

ром Также в Triaflex возможно подключение четвёртого робота и двух дополнительных осей

конвейера без негативного влияния на работу линии Применение одного контроллера позволя-

ет избежать необходимости создания многоканальных интерфейсов между устройствами

управления отдельными роботами Данные интерфейсы необходимы для обеспечения передачи

информации с системы камеры и координации роботов для предотвращения столкновений

22

На основе манипулятора DELTA были разработаны новые близкие по структуре механизмы

(рисунок 123 124) [62 63] Отличие данных схем манипуляторов от DELTA состоит в конст-

рукции параллелограммов в кинематических цепях

Рисунок 123 FlexPicker от ABB Рисунок 124 Манипуляторы с тремя по-

ступательными степенями свободы [62]

Авторами Ли Вангом и др (Liu X-J Wang J Gao F Wang L-P) был предложен простран-

ственный параллельный манипулятор с тремя степенями свободы состоящий из трёх кинема-

тических цепей в одной из которых имеется шарнирный параллелограмм (рисунок 125) [64]

Подвижная платформа имеет три степени свободы две поступательных и одну вращательную

по отношению к неподвижному основанию В этой конструкции наличии шарнирного паралле-

лограмма гарантирует желаемую степень свободы на выходной платформе для робота DELTA

например ограничить вращение платформы

Рисунок 125Пространственный параллельный манипулятор

с тремя степенями свободы [64]

В дальнейшем они развили эту тему и в работе [65] рассматривается уже целое семейство

МПС с тремя степенями свободы Новизна его состоит в том чтобы хотя бы одна кинематиче-

23

ская цепь содержала плоский шарнирный параллелограмм при этом каждый разработанный

манипулятор имеет высокую вращательную способность А наличие хотя бы одного шарнирно-

го параллелограмма в одной из кинематических цепей позволяет выходному звену не менять

ориентации по отношению к основанию

Пьеро Ф и Компани О (Pierrot F Company O) предложили целое семейство МПС с че-

тырьмя степенями свободы и назвали его H4 [66] Их решение заключается в создании полно-

стью параллельного механизма без пассивной кинематической цепи способного обеспечить

высокую производительность с точки зрения скорости и ускорения Манипулятор Н4 имеет три

поступательные степени свободы и одну вращательную вокруг своей оси Манипулятор H4 по-

лезен для высокоскоростной обработки в робототехнике и фрезерования в станкостроительной

промышленности

В работе [67 68] авторы проводят кинематический анализ манипулятора Н4 рассматривают

различные варианты компоновки его структуры методы синтеза при проектировании решают-

ся прямые и обратные задачи кинематики анализ особых положений с использованием линей-

ной геометрии и теории винтов (рисунок 126)

Рисунок 126 Симметричный манипулятор Н4 с призматическими и

вращательными соединениями [67]

Венгером Ф и Шабля Д (Wenger P Chablat D) был создан робот Orthoglide относящийся к

семейству трёх осевых поступательных МПС с переменными шаговыми точками и фиксирован-

ной длиной стоек [69] (рисунок 127) Данный механизм имеет три идентичные кинематические

цепи PRPaR цепи (где Р R и Ра ndash призматический исполнительный механизм вращательная ки-

нематическая пара и шарнирный параллелограмм соответственно) Эти соединения могут приво-

диться в действие с помощью линейных приводов или приводов с шарико-винтовой передачей

Выходное звено соединено с призматическим исполнительным механизмом через набор из трёх

параллелограммов поэтому он может двигаться только поступательно Данный механизм имеет

симметричную структуру и достаточно простую кинематическую цепь где все соединения име-

24

ют одну степень свободы За счёт своей конструкции данный механизм не имеет особых положе-

ний

Развитием авторами вышеописанного робота Orthoglide является создание механизма с пятью

степенями свободы расширенного за счёт добавления карданных валов в два шарнирных парал-

лелограмма в две кинематические цепи [70] (рисунок 128) В схему были добавлены кинемати-

ческие пары обеспечивающие вращение рабочего органа Однако это потребовало введение пе-

редаточных элементов (валов) что снизило жёсткость конструкции

Рисунок 127 Схема робота Orthoglide [69]

Выходное звено манипулятора организовано в виде сферического запястья с двумя степенями

свободы полученного из механизма c тремя степенями свободы laquoAgile eyeraquo авторов Госселена и

Хамеля (Gosselin C Hamel JF) [71] Тем не менее французскими учёными было спроектирова-

но сферическое запястье с двумя степенями свободы с высокой жёсткостью [72] Данное запястье

состоит из пяти звеньев соединенных посредством вращательных шарниров При этом приводят-

ся в действие два вращательных шарнира соединенные с основанием Оси вращательных шарни-

ров пересекаются (рисунок 129)

Рисунок 128Манипулятор Orthoglide с пя-

тью степенями свободы [70]

Рисунок 129 Сферическое запястье с двумя

степенями свободы [72]

25

Наиболее важным преимуществом МПС с кинематической развязкой являются их очень

простые кинематические зависимости между входными и выходными координатами и как

следствие упрощение их динамического анализа Но несмотря на все преимущества такие ме-

ханизмы имеют свои недостатки увеличение количества промежуточных звеньев которые ум-

ножает количество параметров и могут вызывать ошибки на этапе изготовления потеря жёст-

кости конструкций что противоречит одному из самых из главных преимуществ механизмов

параллельных структуры ndash каждая кинематическая цепь воспринимает только часть общей на-

грузки приводящая к созданию более жёстких механизмов (роботов) Очевидно что попытка

упростить законы управления МПС и сохранить их основные преимущества является сложной

задачей

Увеличивая жёсткость конструкции за счёт замкнутых кинематических цепей следователь-

но и увеличивая грузоподъёмность относительно собственного веса уменьшается рабочая зона

манипулятора

Также отмечалось что система управления манипулятором параллельной структуры значи-

тельно сложнее чем у манипуляторов последовательной структуры Это объясняется тем что

движение выходного звена в рамках одной степени свободы должно скоординировано управ-

ляться работой всех приводов Данную проблему можно решить частичной или полной развяз-

кой движений выходного звена где каждый привод отвечает за одну степень свободы выходно-

го звена но при этом увеличивается нагрузка на привод С этим же в последствие будет связана

потеря в жёсткости конструкции и повышение требований к приводам

Ещё одним недостатком МПС является наличие сингулятностей (особых положений) в ко-

торых возможно происходит либо потеря степени свободы либо теряется управляемость вы-

ходных звеном Во избежание попадания в зоны или отдельные точки особых положений необ-

ходимо разрабатывать специальные алгоритмы обхода прописанные в общем алгоритме управ-

ления системой либо использование дополнительных приводов что ведёт к усложнению кон-

струкции и следовательно к усложнению системы управления данным механизмом

Но с другой стороны при всех своих недостатках интерес к механизмам параллельной струк-

туры не ослабевает и в общемировом масштабе является одним из перспективных направлений

для исследований о чём можно судить по результатам на конференциях и симпозиумах по ро-

бототехнике

Выводы по главе

1 Анализ состояния и использования робототехнических устройств показал что в послед-

нее время все более интенсивно развиваются манипуляторы (механизмы) параллельной струк-

туры Большой интерес к МПС вызван их положительными свойствами такими как более вы-

26

сокая жёсткость конструкции более высокая точность позиционирования и грузоподъёмность

меньшая инерционность в динамике [73]

2 Особо выделяются механизмы с кинематической развязкой которые характеризуются

относительно простыми кинематическими связями между входными и выходными координата-

ми что исключает необходимость синхронизировать исполнительные механизмы [74]

3 Введение кинематической развязки между положением и ориентацией выходного звена

упрощает вывод и решение уравнений а также способствует активизации системы управления

4 Имеющиеся недостатки механизмов параллельной структуры такие как небольшое ра-

бочее пространство наличие особых положений в близости от рабочего пространства слож-

ность параметрического синтеза и нелинейные соотношения между кинематикой и динамикой

преодолеваются выбором объектов с соответствующими техническими условиями выбором

алгоритма управления обеспечивающего обход особых положений введением комплексных

элементов состоящих из группы звеньев

27

ГЛАВА 2

АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МЕХАНИЗМОВ

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЯТЬЮ И ШЕСТЬЮ

СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

Из числа механизмов параллельной структуры рассмотренных в главе 1 в качестве прототипа

был выделен робот Orthoglide [69] относящийся к семейству поступательных МПС с перемен-

ными шаговыми точками и фиксированной длиной стоек В каждой кинематической цепи распо-

лагается двигатель поступательного перемещения который передаёт перемещение выходного

звена только по одной координате декартовой системы Данный механизм обладает свойством

кинематической развязки те одно движение (перемещение) выходного звена обеспечивается за

счёт только одного входного звена или группы звеньев кинематической цепи Развитием робота

Orthoglide является увеличение степеней его подвижности добавлением карданных валов в кине-

матические цепи [70] что снизило жёсткость конструкции

В данной главе приводятся результаты дальнейшего развития робота Orthoglide с тремя степе-

нями свободы в целях повышения его жёсткости Для этой цели в исходную схему была введена

дополнительная вращательная кинематическая пара которая позволила двигателю поступатель-

ного перемещения выполнять с помощью шарнирного параллелограмма также вращательное

движение Это привело к увеличению функциональных возможностей механизмов Для разрабо-

танных схем выполняется структурный анализ и синтез Методом винтов [6 35 36 37 75] пока-

зана возможность передачи шарнирным параллелограммом вращательного движения

В решении поставленных задач возникла трудность с определением числа степеней подвижно-

стей механизмов с шарнирными параллелограммами Для её преодоления было предложено до-

пущение что в цепи содержащей двигатель поступательного перемещения шарнирный паралле-

лограмм рассматриваем как одноподвижную поступательную кинематическую пару а в двух це-

пях не имеющих двигателей вращательного перемещения шарнирные параллелограммы заменя-

ем карданными шарнирами В данной главе последовательно рассматриваются задачи определе-

ния числа степеней подвижности механизмов с четырьмя пятью и шестью степенями свободы

21 Разработка структурных схем определение числа степеней

свободы механизмов и работоспособности механизма

параллельной структуры с четырьмя степенями свободы

Рассмотрим механизм являющийся развитием робота Orthoglide у которого добавлена одна

вращательная степень свободы при этом вращение передается той же кинематической цепью

которая обеспечивает поступательное движение

28

Пространственный механизм параллельной структуры включает основание выходное звено

рабочий орган кинематически связанный с выходным звеном три кинематические цепи со-

держащие каждая двигатель поступательного перемещения который расположен параллельно

одной из ортогональных осей координат начальную вращательную кинематическую пару ось

которой расположена перпендикулярно оси соответствующего двигателя поступательного пе-

ремещения шарнирный параллелограмм начальное звено которого совмещено с осью соответ-

ствующей начальной вращательной кинематической пары а вращательные кинематические па-

ры шарнирного параллелограмма расположены перпендикулярно оси начальной вращательной

кинематической пары конечную вращательную кинематическую пару ось которой совмещена

с осью конечного звена шарнирного параллелограмма конечное звено кинематической цепи

сопряженное с выходным звеном механизма в одной из кинематических цепей расположен

двигатель вращательного перемещения ось которого расположена параллельно оси соответст-

вующего двигателя поступательного перемещения а также выходная вращательная кинемати-

ческая пара ось которой параллельна оси двигателя вращательного перемещения сопрягающая

конечное звено кинематической цепи с выходным звеном механизма Конечное звено кинема-

тической цепи которая содержит двигатель вращательного перемещения сопряжено посредст-

вом выходной вращательной кинематической пары с выходным звеном механизма и жёстко

связано с рабочим органом а конечные звенья двух других кинематических цепей жёстко свя-

заны с выходным звеном механизма [76]

При определении числа степеней подвижности механизмов с шарнирными параллелограм-

мами получаются отрицательные числа степеней подвижности из-за наличия избыточных ки-

нематических пар и звеньев Для решения этой проблемы было принято допущение что в ко-

нечном случае в цепи содержащей двигатель поступательного движения шарнирный паралле-

лограмм рассматриваем как одноподвижную поступательную кинематическую пару а в двух

цепях не имеющих двигателей вращательного перемещения шарнирные параллелограммы за-

меняем карданными шарнирами

Определим число степеней подвижности механизма сначала без учёта принятого допущения

Число степеней свободы данного манипуляционного механизма по формуле АП Малышева

для пространственных механизмов (рисунок 21)

45 45)1(6 ppnW (21)

где n ndash число звеньев p5 ndash число пар пятого класса (одноподвижных пар) p4 ndash число пар чет-

вертого класса (двухподвижных пар)

29

Рисунок 21 Структурная схема механизма с четырьмя степенями свободы

Подсчитаем число (n) звеньев в механизме Пространственный механизм включает основа-

ние (1 ndash одно звено) выходное звено (2 ndash одно звено) рабочий орган (3 ndash одно звено) Каждая

кинематическая цепь содержит двигатель поступательного перемещения (4 4rsquo 4rdquo) Между дви-

гателем поступательного перемещения (4 4rsquo 4rdquo) и начальной вращательной кинематической

парой (5 5rsquo 5rsquorsquo) расположено звено (всего три звена) которое параллельно оси соответствую-

щего двигателя поступательного перемещения (4 4rsquo 4rdquo) Шарнирный параллелограмм началь-

ное звено (6 6rsquo 6rsquorsquo) которого (всего три звена) совмещено с осью соответствующей начальной

вращательной кинематической парой (5 5rsquo 5rsquorsquo)Конечную вращательную кинематическую пару

(8 8rsquo 8rsquorsquo) ось которой совмещена с осью конечного звена шарнирного параллелограмма (9 9rsquo

9rsquorsquo) (всего три звена) (кроме того надо учесть промежуточные звенья параллелограмма ndash всего

шесть звеньев) И конечное звено кинематической цепи (10 10rsquo 10rsquorsquo) В одной из кинематиче-

ских цепей расположен двигатель вращательного перемещения (11) ось которого расположена

параллельно оси соответствующего двигателя поступательного перемещения (4) Между двига-

телем вращательного перемещения (11) и двигателем поступательного перемещения (4) распо-

ложено звено (всего одно звено) которое параллельно оси соответствующего двигателя посту-

пательного перемещения (4) выходная вращательная кинематическая пара (12) сопрягает ко-

4

1

3

4 11

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

30

нечное звено кинематической цепи (10) с выходным звеном механизма (2) Конечное звено ки-

нематической цепи (10) содержащей двигатель вращательного перемещения (11) сопряжено

посредством выходной вращательной кинематической пары (12) с выходным звеном механизма

(2) и жёстко связано с рабочим органом (3) а конечные звенья двух других кинематических це-

пей (10rsquo 10rsquorsquo) жестко связаны с выходным звеном механизма (2) Так как звено (10) жёстко свя-

зано с рабочим органом (3) а звенья (10rsquo 10rsquorsquo) ndash с выходным звеном механизма (2) то звенья

(10) и (3) можно принимать за одно звено также как и звенья (10rsquo10rsquorsquo) и (2) Таким образом в

общей сложности получаем 19 звеньев

В число одноподвижных пар (p5) пространственного механизма входят основание (1) вы-

ходное звено (2) рабочий орган (3) Каждая кинематическая цепь содержит двигатель поступа-

тельного перемещения (4 4rsquo 4rdquo) (всего три кинематических пары) Начальную вращательную

кинематическую пару (5 5rsquo 5rsquorsquo) (всего три кинематических пары) шарнирный параллело-

грамм начальное звено (6 6rsquo 6rsquorsquo) которого совмещено с осью соответствующей начальной

вращательной кинематической пары (5 5rsquo 5rsquorsquo) вращательные кинематические пары шарнирно-

го параллелограмма (7 7rsquo 7rsquorsquo) (всего двенадцать кинематических пар) Конечную вращатель-

ную кинематическую пару (8 8rsquo 8rsquorsquo) (всего три кинематических пары) В одной из кинематиче-

ских цепей расположен двигатель вращательного перемещения (11) (всего одна кинематическая

пара) ось которого расположена параллельно оси соответствующего двигателя поступательно-

го перемещения (4) Выходная вращательная кинематическая пара (12) (всего одна кинематиче-

ская пара) ось которой параллельна оси двигателя вращательного перемещения (11) сопря-

гающая конечное звено кинематической цепи (10) с выходным звеном механизма (2) Конечное

звено кинематической цепи (10) содержащей двигатель вращательного перемещения (11) со-

пряжено посредством выходной вращательной кинематической пары (12) с выходным звеном

механизма (2) и жёстко связано с рабочим органом (3) а конечные звенья двух других кинема-

тических цепей (10rsquo 10rsquorsquo) жёстко связаны с выходным звеном механизма (2) Получаем 23 од-

ноподвижные кинематические пары в механизме

Подставив полученные значения числа звеньев и одноподвижных кинематических пар в

(21) имеем

7235)119(6 W

Данный результат не является верным так как не учитываются шарнирные параллелограм-

мы Примем что число степеней свободы шарнирного параллелограмма по формуле ПЛ Че-

бышева равно единице Тогда

452)1(3 ppnW (22)

31



По формуле (22) имеем

142)14(3 W

Параллелограмм будучи плоским механизмом имеет одну степень свободы и мы можем его

рассматривать как одноподвижную поступательную кинематическую пару Подсчитаем число

степеней свободы при этом условии

В данном случае принимаются во внимание те же звенья что были и ранее за исключением

промежуточных звеньев параллелограмма Двенадцать вращательных кинематических пар трёх

параллелограммов заменяются тремя поступательными кинематическими парами При этом по-

лучаем

2145)113(6 W

Данный результат так же является не верным

Рисунок 22 Структурная схема механизма с четырьмя степенями свободы с заменой

шарнирных параллелограммов карданным шарниром

Заменим в двух кинематических цепях не содержащих двигатель вращательного перемеще-

ния шарнирные параллелограммы карданным шарниром а в третьей кинематической цепи со-

1

3

4

4

11

2

4

5

10

12

10

10

5 6

6

7

7 7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

5

6

32

держащей двигатель вращательного перемещения шарнирный параллелограмм будем прини-

мать как поступательную кинематическую пару (рисунок 22)

В таком случае подсчитаем число (n) звеньев в механизме Пространственный механизм

включает основание (1 ndash одно звено) выходное звено (2 ndash одно звено) рабочий орган (3 ndash одно

звено) Каждая кинематическая цепь содержит двигатель поступательного перемещения (4 4rsquo

4rdquo) и начальную вращательную кинематическую пару (5 5rsquo 5rsquorsquo) а также звено расположенное

между ними (всего три звена) В двух кинематических цепях начальное звено шарнирного па-

раллелограмма (6 6rsquo 6rsquorsquo) (всего три звена) и конечное звено шарнирного параллелограмма (9

9rsquo 9rsquorsquo) (всего три звена) связаны между собой промежуточным звеном (всего два звена) а в ки-

нематической цепи содержащей двигатель вращательного перемещения шарнирный паралле-

лограмм считается замененный поступательной парой Как и в предыдущем случае звено (10)

жёстко связано с рабочим органом (3) а звенья (10rsquo 10rsquorsquo) ndash с выходным звеном механизма (2)

то звенья (10) и (3) можно принимать за одно звено также как и звенья (10rsquo10rsquorsquo) и (2) Конеч-

ную вращательную кинематическую пару (8 8rsquo 8rsquorsquo) конечное звено кинематической цепи (10

10rsquo 10rsquorsquo) В одной из кинематических цепей расположен двигатель вращательного перемеще-

ния (11) ось которого расположена параллельно оси соответствующего двигателя поступатель-

ного перемещения (4) Между двигателем вращательного перемещения (11) и двигателем по-

ступательного перемещения (4) расположено звено (всего одно звено) которое параллельно оси

соответствующего двигателя поступательного перемещения (4) В общей сложности получаем

15 звеньев

Теперь подсчитаем число одноподвижных пар (p5) Пространственный механизм включает

основание (1) выходное звено (2) рабочий орган (3) Каждая кинематическая цепь содержит

двигатель поступательного перемещения (4 4rsquo 4rdquo) (всего три кинематических пары) Началь-

ную вращательную кинематическую пару (5 5rsquo 5rsquorsquo) (всего три кинематических пары) началь-

ное звено (6 6rsquo 6rsquorsquo) совмещено с осью соответствующей начальной вращательной кинематиче-

ской пары (5 5rsquo 5rsquorsquo) вращательные кинематические пары карданного шарнира (7rsquo 7rsquorsquo) (всего

четыре кинематических пары) и поступательная кинематическая пара (7) (всего одна) Конеч-

ную вращательную кинематическую пару (8 8rsquo 8rsquorsquo) (всего три кинематических пары) В одной

из кинематических цепей расположен двигатель вращательного перемещения (11) (всего одна

кинематическая пара) ось которого расположена параллельно оси соответствующего двигателя

поступательного перемещения (4) Выходная вращательная кинематическая пара (12) (всего

одна кинематическая пара) ось которой параллельна оси двигателя вращательного перемеще-

ния (11) сопрягающая конечное звено кинематической цепи (10) с выходным звеном механиз-

ма (2) Конечное звено кинематической цепи (10) содержащей двигатель вращательного пере-

мещения (11) сопряжено посредством выходной вращательной кинематической пары (12) с

33

выходным звеном механизма (2) и жёстко связано с рабочим органом (3) а конечные звенья

двух других кинематических цепей (10rsquo 10rsquorsquo) жёстко связаны с выходным звеном механизма

(2) Получаем 16 одноподвижных кинематических пар в механизме

Подставив полученные значения звеньев и одноподвижных кинематических пар в (21) име-

ем число степеней свободы механизма равное четырём

4165)115(6 W

Для определения работоспособности рассматриваемого механизма с четырьмя степенями

свободы воспользуемся методом винтового исчисления рассмотрев плюккеровы координаты

ортов осей кинематических пар Этот метод позволяет выявить возможные особые положения

(сингулярности) а также неуправляемую подвижность

При этом каждой кинематической паре ставится в соответствие орт её оси и составляется

матрица плюккеровых координат этих ортов Соответствующее построение приведено на ри-

сунке 23

Итак рассмотрим плюккеровы координаты единичных винтов осей кинематических пар ме-

ханизма который находится в исходном положении (рисунок 23) Единичные винты характе-

ризующие положения осей кинематических пар имеют координаты

Рисунок 23

E32

E12

E13

E15

E14

E16

E33

E34

E35

E22

E23

E24

E25

y

z

x

E11

34

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0) E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 e

о25x 0 0)

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)

Рассмотрим первую кинематическую цепь Так как единичные винты Е11 и Е16 лежат на од-

ной оси то единичный винт Е16 в расчёт не берём В таком случае имеем пять единичных вин-

тов Условия взаимности плюккеровых координат единичных и силовых винтов можно запи-

сать в виде пяти уравнений из которых необходимо найти одно неизвестное и следовательно

получить один силовой винт

0001000

0

000

11

0

11

0

11

00

11

0

11

0

11

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000001

0

000

12

0

12

0

12

00

12

0

12

0

12

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

13

13

0

13

0

13

00

13

0

13

0

13

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

0000010

0

000

14

0

14

0

14

00

14

0

14

0

14

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

15

15

0

15

0

15

00

15

0

15

0

15

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

где еijx eijy eijz e0

ijx e0

ijy e0ijz ndash векторная и моментная части единичного винта соответственно

(i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи j = 1 2 3 ndash номер кинематической пары) rijx rijy rijz

r0

ijx r0

ijy r0

ijz ndash векторная и моментная часть силового винта соответственно (i = 1 2 3 ndash номер

кинематической цепи j = 1 2 3 ndash номер кинематической пары)

Из системы уравнений получаем один силовой винт с координатами R1 (0 0 0 0 0 1)

Рассмотрим вторую кинематическую цепь Имеем четыре единичных винта Условия взаим-

ности плюккеровых координат единичных и силовых винтов можно записать в виде четырёх

уравнений из которых необходимо найти два неизвестных и получим в данном случае два си-

ловых винта

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

35

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

Из системы уравнений получаем два силовых винта с координатами R2 (0 0 0 1 0 0)

R3 (0 0 0 0 1 0)

Рассмотрим третью кинематическую цепь Имеем четыре единичных винта Условия взаим-




0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

Из системы уравнений получаем два силовых винта с координатамиR4 (0 0 0 0 1 0)

R5 (0 0 0 0 0 1)

Координаты силовых винтов можно представить в виде соответствующей матрицы (R) 6x5

100000

010000

010000

001000

100000

)(R

Из этой матрицы следует что имеют место лишь три независимых силовых винта Это винты

бесконечно большого параметра (моменты) ограничивающие вращения

36

Рассмотрим отдельно первую кинематическую цепь причём сместим её относительно оси

координат и найдём для данной цепи плюккеровы координаты (рисунок 24)

Рисунок 24 Первая кинематическая цепь механизма с четырьмя степенями свободы

Рассмотрим плюккеровы координаты единичных винтов осей кинематических пар механиз-

ма (рисунок 24) Единичные винты характеризующие положения осей кинематических пар

имеют координаты

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )

Составим матрицу из полученных координат единичных винтов

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

Уберём из полученной матрицы один столбец в котором получили нули

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

0001

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

Выпишем матрицы размера 5х5 вычеркивая по одной строке

E12

E13

E15

E16 E14

E11

37

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

1

0001

0010

000

0010

00100

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

2

0001

0010

000

0010

00001

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

143

0001

0010

000

00100

00001

)(

z

z

yx

e

e

eeЕ

0

16

0

15

0

134

0001

0010

0010

00100

00001

)(

z

z

z

e

e

eЕ

0

15

0

14

0

14

0

135

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

yx

z

e

ee

eЕ

Проанализируем эти матрицы с точки зрения возможности внутренней подвижности в дан-

ной цепи Можно показать что частичная цепь включающая четыре кинематических пары (за

исключением поступательного привода) имеет подвижность

Рассматриваем матрицу (Е2) пытаясь выразить последнюю строку через четыре первых

строки Задача сведется к системе линейных уравнений относительно скалярных множителей

Очевидно что множитель при третьей строке этой матрицы должен быть равен нулю Получим

систему трёх уравнений относительно трех неизвестных Запишем эту систему

0

16

0

15

0

13 00

0)1(0)1(0

10001

zzz eeceb

cb

a

(23)

Решив систему (23) и выразив третье уравнение через второе уравнение найдём неизвест-

ное с

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeb

cb

a

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeс

cb

a

1

0

13

0

15

0

16

0

16

0

15

0

13

zz

z

zzz

ee

eс

eeceс

cb

a

Таким образом можно найти указанные коэффициенты которые выражают скорости в соот-

ветствующих кинематических парах В данной цепи имеется внутренняя подвижность что сви-

детельствует о возможности передачи вращения с вращательного привода на вращательную

кинематическую пару сопряженную с выходным звеном

Подобный анализ можно сделать для модифицированного механизма для которого пред-

ставлены единичные винты кинематических пар (рисунок 25)

38

Рисунок 25



параллельной структуры с пятью степенями свободы

Рассмотрим механизм с пятью степенями свободы добавив к исходной схеме механизма

Orthoglide два двигателя вращательного перемещения и дополнительные выходные вращатель-

ные кинематические пары сопрягающие конечные звенья соответствующих кинематических

цепей с выходным звеном механизма

Пространственный механизм (рисунок 26) включает основание выходное звено рабочий

орган кинематически связанный с выходным звеном и три кинематические цепи Каждая кине-

матическая цепь содержит двигатель поступательного перемещения расположенный парал-

лельно одной из ортогональных осей координат начальную вращательную кинематическую

пару шарнирный параллелограмм начальное звено которого совмещено с осью соответствую-

щей начальной вращательной кинематической парой

E32 y

E12

2

E34

E13

E15

E14

E22

E23

E25

E24

E26

E33

E35

E34

E36

E16

z

x

E11

1

E34

39

Рисунок 26 Структурная схема механизма с пятью степенями свободы

Каждый шарнирный параллелограмм содержит по четыре вращательных кинематических

пары которые расположены перпендикулярно оси начальной вращательной кинематической

пары а также конечную вращательную кинематическую пару ось которой совмещена с осью

конечного звена шарнирного параллелограмма Конечное звено одной из кинематических цепей

сопряжено с выходным звеном механизма В двух кинематических цепях расположены двига-

тели вращательного перемещения оси которых расположены параллельно оси соответствую-

щего двигателя поступательного перемещения а также выходные вращательные кинематиче-

ские пары сопрягающие конечные звенья соответствующих кинематических цепей с выходным

звеном механизма Конечные звенья двух кинематических цепей содержащих двигатели вра-

щательного перемещения сопряжены с рабочим органом посредством промежуточных враща-

тельных кинематических пар В одной кинематической цепи расположены две промежуточные

вращательные кинематические пары а в другой кинематической цепи расположена одна про-

межуточная вращательная кинематическая пара Оси выходных и промежуточных вращатель-

ных кинематических пар расположены с пересечением в одной точке а конечное звено третьей

кинематической цепи жёстко связано с выходным звеном механизма Конечные звенья кинема-

1

11

1rsquo

1

3

4

4

2

4rsquo

5

10

12

10

10rsquo

6

5rsquo

5

6

6rsquo

7

7

7rsquo

7

7

8 9

8rsquo 9rsquo

8 9

12rsquo

11rsquo

13 13rsquo 13rsquo

7rsquo

40

тических цепей содержащих двигатели вращательного перемещения сопряжены посредством

выходных вращательных кинематических пар с выходным звеном механизма [77]

Для определения числа степеней свободы данного манипуляционного механизма воспользу-

емся формулой АП Малышева для пространственных механизмов (21)

Подсчитаем число (n) звеньев в механизме и число одноподвижных пар (p5) Пространствен-

ный механизм включает основание (1) выходное звено (2) рабочий орган (3) Каждая из трёх

кинематических цепей содержит двигатель поступательного перемещения (4 4rsquo 4rdquo) началь-

ную вращательную кинематическую пару (5 5rsquo 5rsquorsquo) начальное звено шарнирного параллело-

грамма (6 6rsquo 6rsquorsquo) вращательные кинематические пары шарнирного параллелограмма (7 7rsquo

7rsquorsquo) конечную вращательную кинематическую пару (8 8rsquo 8rsquorsquo) конечное звено шарнирного па-

раллелограмма (9 9rsquo 9rsquorsquo)промежуточные звенья параллелограмма конечное звено кинемати-

ческой цепи (10 10rsquo 10rsquorsquo) В двух кинематических цепях расположены двигатели вращательно-

го перемещения (11 11rsquo) оси которых расположены параллельно оси соответствующих двига-

телей поступательного перемещения (4 4rsquo) Между двигателями вращательного перемещения

(11 11rsquo) и двигателями поступательного перемещения (4 4rsquo) расположены звенья которые па-

раллельны осям соответствующих двигателей поступательного перемещения (4 4rsquo) Выходные

вращательные кинематические пары (12 12rsquo) сопрягают конечные звенья кинематических це-

пей (10 10rsquo) с выходным звеном механизма (2) Конечные звенья (10 10rsquo) кинематических це-

пей содержащих двигатели вращательного перемещения (11 11rsquo) сопряжены с рабочим орга-

ном (3) посредством промежуточных вращательных кинематических пар (13 13rsquo) причём в од-

ной кинематической цепи расположены две промежуточные вращательные кинематические па-

ры (13rsquo) а в другой кинематической цепи расположена одна промежуточная вращательная ки-

нематическая пара (13) Оси выходных (12 12rsquo) и промежуточных (13 13rsquo) вращательных ки-

нематических пар расположены с пересечением в одной точке а конечное звено третьей кине-

матической цепи (10rsquorsquo) жёстко связано с выходным звеном механизма (2) Конечные звенья ки-

нематических цепей (10 10rsquo) содержащих двигатели вращательного перемещения (11 11rsquo) со-

пряжены посредством выходных вращательных кинематических пар (12 12rsquo) с выходным зве-

ном механизма (2) Конечное звено кинематической цепи (10) содержащей двигатель враща-

тельного перемещения (11) сопряжено посредством выходной вращательной кинематической

пары (12) с выходным звеном механизма (2) и жёстко связано с рабочим органом (3) а конеч-

ные звенья двух других кинематических цепей (10rsquo 10rsquorsquo) жёстко связаны с выходным звеном

механизма (2) Так как звено (10rsquorsquo) жёстко связано с рабочим органом (3) а звенья (10 10rsquo) ndash с

выходным звеном механизма (2) то звенья (10rsquorsquo) и (3) можно принимать за одно звено также

как и звенья (10 10rsquo) и (2)

41

В общей сложности получаем 21 звено и 25 одноподвижных кинематических пар в механиз-

ме подставляя значение которых в (21) имеем

5255)121(6 W


мы Как и в случае механизма с четырьмя степенями свободы число степеней свободы шар-

нирного параллелограмма равно единице по формуле (22) следовательно имеет одну степень

свободы и мы можем его рассматривать как одноподвижную поступательную кинематическую

пару Двенадцать вращательных кинематических пар трёх параллелограммов заменяются тремя

поступательными кинематическими парами Принимая во внимание звенья и одноподвижные

кинематические пары что были ранее с учётом замены шарнирных параллелограммов соглас-

но (21) получаем следующее значение числа степеней свободы

4165)115(6 W


Рисунок 27 Структурная схема механизма с пятью степенями свободы с заменой шарнирных

параллелограммов карданным шарниром

Заменим в кинематической цепи не содержащей двигатель вращательного перемещения

шарнирный параллелограмм карданным шарниром а в двух других кинематических цепях со-

1

3

4

4

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

12

11

1

1

13 13 13

11

42

держащих двигатели вращательного перемещения шарнирные параллелограммы будем прини-

мать как поступательные кинематические пары (рисунок 27) В общем сложности в получен-

ном механизме имеем 16 звеньев и 17 одноподвижных кинематических пар Согласно (21) име-

ем

5175)116(6 W

Таким образом число степеней свободы равно пяти Данный результат является верным

Для определения работоспособности рассматриваемого механизма с пятью степенями свобо-

ды воспользуемся методом винтового исчисления рассмотрев плюккеровы координаты ортов

осей кинематических пар

Каждой кинематической паре ставится в соответствие орт её оси и составляется матрица

плюккеровых координат этих ортов Соответствующее построение приведено на рисунке 28

Рисунок 28


ма который находится в исходном положении (рисунок 28) Единичные винты характери-

зующие положения осей кинематических пар имеют координаты

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E32

E33

E34

E25

E23

E22

E24

E16

E15 E13

E12

E14

E26

E35

E2

1

E11

y

z

x

43

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)

Рассмотрим первую кинематическую цепь Как и в случае для механизма с четырьмя степе-

нями свободы получаем те же условия взаимности плюккеровых координат единичных и сило-

вых винтов в виде пяти уравнений из которых получаем один силовой винт с координатами

R1 (0 0 0 0 0 1)

Рассмотрим вторую кинематическую цепь Единичные винты Е21 и Е26 лежат на одной оси

поэтому единичный винт Е26 в расчёт не берём В таком случае имеем пять единичных винтов

Условия взаимности плюккеровых координат единичных и силовых винтов можно записать в

виде пяти уравнений из которых необходимо найти одно неизвестное и следовательно полу-

чить один силовой винт

0010000

0

000

21

0

21

0

21

00

21

0

21

0

21

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

Из системы уравнений получаем силовой винт с координатами R2 (0 0 0 1 0 0)

Рассмотрим третью кинематическую цепь Получаем два силовых винта с координатами

R3 (0 0 0 0 1 0) R4 (0 0 0 0 0 1) которые совпадают с винтами полученными при анализе

механизма с четырьмя степенями свободы


100000

010000

001000

100000

)(R

44


бесконечно большого параметра (моменты) ограничивающие вращение

Рассмотрим отдельно первую кинематическую цепь сместив её относительно оси координат

и найдём для данной цепи плюккеровы координаты Можно заметить что данная кинематиче-

ская цепь в точности повторяет кинематическую цепь механизма с четырьмя степенями свобо-

ды (рисунок 24) и следовательно имеем координаты

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )

Имеем матрицу из найденных координат единичных винтов и получаем следующие коэффи-

циенты для определения скоростей в кинематических парах

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a

В данной цепи имеется внутренняя подвижность что свидетельствует о возможности пере-

дачи вращения с вращательного привода на вращательную кинематическую пару сопряженную

с выходным звеном

В двух кинематических цепях имеет место внутренняя подвижность ndash передача вращения от

вращательного привода к конечной вращательной кинематической паре Из выше сказанного

можно заключить что частичный механизм расположенной между выходным звеном (2) и ко-

нечным звеном (рабочим инструментом (3)) должен обладать двумя степенями свободы Убе-

димся в этом

По формуле В В Добровольского имеем

52)1(3 pnW (24)

252)15(3 W

Итак этот частичный сферический механизм имеет две степени свободы Таким образом

выходное звено может перемещаться по трём координатам и имеет три поступательные степени

свободы а конечное звено относительно выходного звена имеет две вращательные степени

свободы

45

Рисунок 29





параллельной структуры с шестью степенями свободы

Рассмотрим механизм с шестью степенями свободы добавив к исходной схеме механизма

Orthoglide три двигателя вращательного движения в три кинематические цепи

Пространственный механизм (рисунок 210) включает в себя все те же структурные элемен-

ты что и механизм с пятью степенями свободы Дополнительно третью кинематическую цепь

снабжаем двигателем вращательного перемещения ось которого расположена параллельно оси

соответствующего двигателя поступательного перемещения а также выходной вращательной

кинематической парой ось которой параллельна оси соответствующего двигателя вращатель-

ного перемещения сопрягающей конечное звено соответствующей кинематической цепи с вы-

ходным звеном механизма Кроме того эта кинематическая цепь снабжена двумя дополнитель-

ными промежуточными вращательными кинематическими парами сопрягающими конечное

звено третьей кинематической цепи с рабочим органом Конечные звенья всех трёх кинемати-

ческих цепей сопряжены посредством выходных вращательных кинематических пар с выход-

ным звеном механизма [78]

E33

y

z

x E32

E35 E36

E34

E23 E25

3

E24

3

E26

E22 E16

E15 E13

E12

Е14 E11

E21

46

Определим число степеней свободы данного манипуляционного механизма по формуле АП

Малышева для пространственных механизмов (21)


ный механизм (рисунок 210) включает основание (1) выходное звено (2) рабочий орган (3) и

три кинематические цепи Каждая кинематическая цепь содержит двигатель поступательного

перемещения (4 4rsquo 4rdquo) начальную вращательную кинематическую пару (5 5rsquo 5rsquorsquo) начальное

звено шарнирного параллелограмма (6 6rsquo 6rsquorsquo) конечную вращательную кинематическую пару

(8 8rsquo 8rsquorsquo) конечное звено шарнирного параллелограмма (9 9rsquo 9rsquorsquo) промежуточные звенья па-

раллелограмма конечное звено кинематической цепи (10 10rsquo 10rsquorsquo) В трёх кинематических це-

пях расположены двигатели вращательного перемещения (11 11rsquo 11rdquo) и выходные вращатель-

ные кинематические пары (12 12rsquo 12rdquo) Конечные звенья (10 10rsquo 10rsquorsquo) всех кинематических

цепей сопряжены посредством выходных вращательных кинематических пар (12 12rsquo 12rsquorsquo) с

выходным звеном механизма (2) В общей сложности получаем 23 звена и 27 одноподвижных

кинематических пар в механизме

Рисунок 210 Структурная схема механизма с шестью степенями свободы

4

10

6

5 7

7

8 9

1

11

1

4

10

5

6 7

7

8 9

12

1

3

4 11

2

5

10 12

7

7

8 9

6

11

12

13 13

13 13

13 13

y

z

x

47

Подставив полученные значения в (21) имеем

3275)123(6 W


мы Число степеней свободы шарнирного параллелограмма по формуле (22) равно единице

следовательно мы можем его рассматривать как одноподвижную поступательную кинематиче-

скую пару Подсчитаем число степеней свободы при этом условии Во внимание принимаются

те же звенья что были и ранее за исключением промежуточных звеньев параллелограмма Две-

надцать вращательных кинематических пар трёх параллелограммов заменяются тремя поступа-

тельными кинематическими парами При этом получаем

6185)117(6 W

Данный результат является верным Таким образом число степеней свободы равно шести

Рисунок 211

Для определения работоспособности рассматриваемого механизма с шестью степенями сво-

боды воспользуемся методом винтов рассмотрев плюккеровы координаты ортов осей кинема-

тических пар

Каждой кинематической паре поставим в соответствие орт её оси и составим матрицу плюк-

керовых координат этих ортов Соответствующее построение приведено на рисунке 211

E32

E33

E34

E25

E24

E16

E15

E12

E14 E2

6

E35

E36

E31

E21

E22

y

z

x

E13 E11 E23

48




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 -1 0) E15 (0 1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 -1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 1) E25 (0 0 -1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E31 (0 0 1 0 0 0) E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0)

E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 eо35y 0) E36 (0 0 1 0 0 0)

В первой кинематической цепи имеем силовой винт с координатами R1 (0 0 0 0 0 1) во

второй кинематической цепи ndash R2 (0 0 0 1 0 0) Процесс нахождения силовых винтов R1 и R2

описан выше для механизмов с четырьмя и пятью степенями свободы

Рассмотрим третью кинематическую цепь Единичные винты Е31 и Е36 лежат на одной оси





0100000

0

000

31

0

31

0

31

00

31

0

31

0

31

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

Из системы уравнений получаем силовой винта с координатами R3 (0 0 0 0 1 0)


010000

001000

100000

)(R

49



Для механизма с шестью степенями свободы отдельно рассмотрим первую кинетическую

цепь сместив её относительно оси координат для нахождения плюккеровых координат Данная

кинематическая цепь в точности повторяет кинематическую цепь механизмов с четырьмя и пя-

тью степенями свободы (рисунок 24) Следовательно она будет иметь координаты

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )

Получаем матрицу из найденных координат единичных винтов откуда находим коэффици-

енты

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a

Указанные коэффициенты выражают скорости в соответствующих кинематических парах В

третьей цепи имеется внутренняя подвижность что свидетельствует о возможности передачи

вращения с двигателя вращательного перемещения на вращательную кинематическую пару

сопряженную с выходным звеном

В трёх кинематических цепях имеет место внутренняя подвижность ndash передача вращения

двигателем вращательного перемещения к конечной вращательной кинематической паре Та-

ким образом частичный механизм расположенной между выходным звеном и конечным зве-

ном должен обладать тремя степенями свободы Убедимся в этом применив формулу ВВ

Добровольского (24)

362)16(3 W

Полученный частичный сферический механизм имеет три степени свободы Таким образом


свободы а конечное звено относительно выходного звена имеет три вращательные степени

свободы что свидетельствует о наличии в данном механизме кинематической развязки между

поступательными и вращательными движениями [79]


1 Выбор МПС Orthoglide в качестве объекта исследований определяется его особенностью ndash

изоморфизмом структуры Состоящий из трёх идентичных кинематических цепей данный меха-

50

низм также обладает кинематической развязкой ndash одним движением (перемещением) входного

звена (или группы звеньев) кинематической цепи обеспечивается только одно движение выход-

ного звена За счёт своей конструкции робот Orthoglide не имеет особых положений в том числе

и в рабочей зоне

2 При синтезе рассматриваемых механизмов с четырьмя пятью и шестью степенями свобо-

ды с шарнирными параллелограммами серьёзную проблему представляет определение их числа

степеней подвижностей

3 Проблема решена принятием допущения что в цепи содержащей двигатель поступатель-

ного движения шарнирный параллелограмм рассматриваем как одноподвижную поступательную

кинематическую пару а в двух цепях не имеющих двигателей вращательного перемещения

шарнирные параллелограммы заменяем карданными шарнирами

4 Полученные результаты использованы далее при разработке структурного ряда МПС по-

вышенной жёсткости [76 77 78 79]

51

ГЛАВА 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ МЕХАНИЗМОВ

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С РАЗВЯЗКОЙ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ

И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ

В данной главе рассматривается важнейшая для анализа синтеза и управления задача о по-

ложениях которая заключается в определении взаимосвязи между обобщенными и абсолют-

ными координатами Рассмотренный в главе 2 механизм с шестью степенями свободы имеет

кинематическую развязку по положению и ориентации выходного звена следовательно его

можно условно разделить на два механизма ndash поступательный механизм параллельной структу-

ры с тремя степенями свободы и сферический механизм с тремя степенями свободы Анализ

данных механизмов можно производить независимо друг от друга

Определение положений поступательного механизма с тремя степенями свободы и с шар-

нирными параллелограммами связано с необходимостью учитывать условие параллельности и

неизменности их длин звеньев Для облегчения решения этой задачи исходный механизм заме-

нялся упрощенным Отличие последнего состояло в том что шарнирный параллелограмм пред-

ставлялся одноподвижной поступательной кинематической парой В результате решения сис-

темы уравнений были составлены уравнения связи между входными (обобщёнными) и выход-

ными (абсолютными) координатами при решении как прямой так и обратной задач кинемати-

ки Решение задачи о положениях сферического механизма с тремя степенями свободы состав-

лены с использованием сферической системы координат и в углах поворота при переходе под-

вижной системы координат в неподвижную

Для определения скоростей поступательного и сферического механизмов используется ана-

литический метод основанный на изучении свойств матрицы Якоби

31 Решение прямой и обратной задач кинематики для механизма

параллельной структуры с поступательными

движениями выходного звена

В данном параграфе на примере механизма с шестью степенями свободы соответствующее

описание которого приведено в главе 2 рассматривается решение прямой и обратной задач ки-

нематики для той части механизма которая определяет поступательное перемещение выходно-

го звена

52

311 Решение обратной задачи кинематики

Рассмотрим решение обратной задачи кинематики (о положении) механизма параллельной

структуры с двигателями поступательного перемещения расположенными по осям декартовой

системы координат x y z

Поступательные движения обусловлены тем что в каждой цепи имеется шарнирный парал-

лелограмм две вращательные кинематические пары и двигатель поступательного перемещения

Для анализа схем типа Orthoglide (рисунок 31) может быть использован механизм laquoпирамидаraquo

(рисунок 32) который получается из исходного таким образом что все кинематические цепи

мысленно сдвигаются к центру выходного звена Обобщенными (входными) координатами бу-

дут отрезки характеризующие положения точек В1 В2 В3 Абсолютными (выходными) коорди-

натами выходного звена будут координаты точки А

Целью обратной задачи кинематики является поиск переменных положения входных звеньев

(хB1 yB2 zB3) по известным координатам рабочей точки манипулятора (хA yA zA) Обратная за-

дача кинематики в общем случае может иметь несколько решений соответствующих одному

положению инструмента

Рисунок 31 поступательный механизм параллельной структуры с тремя степенями свободы

В системе координат x y z расположена точка А положение которой не совпадает с началом

системы координат точкой О Необходимо определить координаты хB1 yB2 zB3 то есть на какое

расстояние Lх Ly

Lx

переместятся входные звенья механизма

z

x

y A

B1

B3

B2

O

53

Рисунок 32 Механизм laquoпирамидаraquo ndash расчетная схема механизма с тремя

степенями свободы

Точка А имеет координаты (хA yA zA) Чтобы узнать на какое расстояние переместились

входные звенья механизма относительно начала координат запишем следующие уравнения

22

1

2

1

2

1 Lzzyyxx BABABA

22

2

2

2

2

2 Lzzyyxx BABABA (31)

22

3

2

3

2

3 Lzzyyxx BABABA

В системе уравнений (31) L есть длина промежуточного звена каждой цепи Координаты

yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3

2 обратятся в ноль поскольку соответствующие входные звенья рас-

положены вдоль координатных осей Получаем выражения

22

3

22

222

2

2

2222

1

Lzzyx

Lzyyx

Lzyxx

BAAA

ABAA

AABA

(32)

Из полученных трёх уравнений необходимо найти три неизвестных а именно хB1 yB2 zB3

причём эти уравнения не зависимы

Для определения хB1 yB1 zB3 используем первое второе и третье уравнения соответственно

раскрывая скобки и получая соответствующие решения уравнений с двумя неизвестными

B3

z

y

x

A

O

B1

B2

L

Lx

Ly

Lz

54

22221

12 2

Lzyx

xxx

AAB

BAA

01

2

1 СxВxА BВ

2222

2

1

2

2

4

LzyxС

xВ

А

САВВx

ААА

A

B

(33)

2222

222 2

Lzy

yyyx

AB

BAAA

02

2

2 СyВyА BВ

2222

2

2

2

2

4

LzyxС

yВ

А

САВВy

ААА

A

B

(34)

2233

222

2 Lzzz

zyx

BBA

AAA

03

2

3 СzВzА BВ

2222

2

3

2

2

4

LzyxС

zВ

А

САВВz

ААА

A

B

(35)

Для проверки полученных уравнений зададим значения координат точки А (xA yA zA) где хА

= 2 yA = 3 zA = 1 Длина звена L = 5

Определим координаты точек хВ11 и хВ12 подставляя значения в (33) и получаем следующие

решения

2222

2

1

LzyxC

xB

A

AAA

A

115132

422

1

2222

C

B

A

87111 Bx 87512 Bx

Координаты точек yВ21 и yВ22 определим подставляя их в выражение (34)

2222

2

1

LzyxC

yB

A

AAA

A

115132

632

1

2222

C

B

A

47121 By 47722 By

И координаты точек zВ31 и zВ32 определим подставляя их в выражение (35)

2222

2

1

LzyxC

zB

A

AAA

A

115132

212

1

2222

C

B

A

46231 Bz 46432 Bz

Таким образом получили координаты (xB11 yB21 zB31) равные соответственно (-187 -147

-246) и координаты (xB12 yB22 zB32) равные (587 747 446) соответственно Такие координа-

ты будут иметь звенья если рабочая точка манипулятора (xА yА zА) будет располагаться в ко-

ординатах (2 3 1) соответственно при длине звена равном L = 5

55

312 Решение прямой задачи кинематики

Для решения прямой задачи кинематики значения положений входных звеньев (xB1 yB2 zB3)

считаются известными а целью является нахождение положения рабочей точки инструмента

(xA yA zA) Эта задача допускает несколько решений соответствующих различным положениям

инструмента

Для нахождения координат точки А (хA yA zA) воспользуемся системой уравнений (31) опи-

санной выше Координаты yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3

2 обратятся в ноль при этом получаем

выражения соответствующие системе уравнений (32)

Из полученных трёх уравнений необходимо найти три неизвестных ndash хА yА zА причем эти

уравнения зависимы Раскрывая скобки во всех трёх уравнениях системы (32) получаем сле-

дующую систему выражений

2222

11

2 2 Lzyxxxx AABBAA

222

22

22 2 Lzyyyyx ABBAAA (36)

22

33

222 2 Lzzzzyx BBAAAA

Для выражения yA через хA используем первые два уравнения вычитая из первого уравнения

второе и получим

022 2

2

21

2

1 BABBAB yyyxxx

2

2

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

22

B

BA

B

BB

A

BABBBA

y

xx

y

xyy

xxxyyy

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

AA

B

B

B

B

B

BB

xbay

y

x

y

xb

y

xya

(37)

Для нахождения zА через хA используем первое и третье уравнения

022 3

2

31

2

1 BABBAB zzzxxx

2

2

2

22

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

2

33

B

BA

B

BB

A

BABBBA

z

xx

z

xzz

xxxzzz

2

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

3

AA

B

B

B

B

B

BB

xdcz

z

x

z

xd

z

xzc

(38)

Для определения хА подставим в первое уравнение найденные выше yА и zА

2 2222

11

2 Lzyxxxx AABBAA

)()(2 2222

11

2 Lxdcxbaxxxx AABBAA

)()(2)()(22 222222

11

2 Lxdxdccxbxbaaxxxx AAAABBAA

)(2)(22 22222222

11


56

02 СxВxА AA

2

42

А

САВВxA

222

1

2222

1

1

22

LсaxС

dcbaxВ

dbA

B

B

(39)

Для проверки полученных уравнений зададим координаты точек положения входных звеньев

(xB1 yB2 zB3) где хB1 = 2 yB2 = 3 zB3 = 1 Длина звена L = 5 Необходимо определить координаты

положения рабочей точки инструмента А (xA yA zA)

Определим координаты точек yA1 и yA2 подставляя заданные параметры в (37)

830a 670b AA xy 670830

Определим координаты точек zA1 и zA2 подставляя заданные параметры в (38)

51c 02d AA xz 251

Определим координаты точек xA1 и xA2 подставляя заданные параметры в (39)

445A 898B 0618C

1811 Ax 8122 Ax

Подставляя полученные значения xA1 и xA2 в уравнения для определения yA1 yA2 и zA1 zA2 по-

лучим решения

0501 Ay 7122 Ay

8631 Az 1242 Az

Таким образом получили координаты положения рабочей точки инструмента

А (xА1 yА1 zА1) равные соответственно (-118 005 -386) и координаты (xА2 yА2 zА2) равные

(281 271 412) соответственно Такие координаты будет иметь рабочая точка инструмента А

если положения входных звеньев (xВ1 yВ2 zВ3) будет располагаться в координатах (2 3 1) со-

ответственно при длине звена равном L = 5

32 Решение задачи о скоростях методом дифференцирования

уравнений связи для механизма параллельной структуры с

поступательными движениями выходного звена

Решим задачу о скоростях для поступательного механизма параллельной структуры Реше-

ние задачи о скоростях необходимо для определения взаимосвязи между координатами выход-

ного звена и координатами входных звеньев (те взаимосвязи между обобщенными координа-

тами и абсолютными) и описывается функцией положения Метод который будет использо-

ваться для решения задачи о скоростях разработан Х Анджелесом и К Госсленом и применим

только к laquoполностью параллельнымraquo механизмам (механизмы где число кинематических цепей

в механизме равно числу его степеней свободы или к механизмам с взаимно независимыми (не

57

входящими в одно уравнение связи) перемещениями в активных парах) [80 81 82] То есть до-

пускается (подразумевается) что в каждой цепи имеется только одна приводная (входная) ки-

нематическая пара (звено) что позволяет обеспечить независимость перемещений в этих вход-

ных звенья друг от друга Функция положения механизма в неявном виде выражается уравне-

нием

0)( 321 BBBAAА zyxzyхF (310)

Уравнение связи между скоростями во входных звеньях и скоростями выходного звена для

поступательного механизма с тремя кинематическими цепями можно представить системой

уравнений

0)(

0)(

0)(

33

22

11

BAAA

BAAA

BAAA

zzyxF

yzyxF

xzyxF

или для рассматриваемого механизма (рисунок 31)

0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LzzyxF

LzyzxF

LzyxxF

BAAA

AByA

AABA

(311)

Для решения задачи о скоростях воспользуемся аналитическим методом который основан на

изучении свойств матрицы Якоби представленной в общем виде

1)( iVBVA

AAA

AAA

AAA

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

A

333

222

111

3

3

2

2

1

1

00

00

00

B

B

B

z

F

y

F

x

F

B

z

y

x

V

V

V

V

31

21

11

1

V

V

V

Vi (312)

где А ndash матрица частных производных от неявной функции по абсолютным координатам xA yA

zA B ndash матрица частных производных от неявной функции по обобщенным координатам xB1

yB2 zB3 V ndash вектор скорости выходного звена Vi1 ndash вектор скоростей во входных звеньях (вход-

ные скорости)

Необходимо найти частные производные от неявной функции между обобщёнными и абсо-

лютными координатами Подставляя наши значения в (312) получим систему уравнений

58

31

21

11

3

3

2

2

1

1

333

222

111

00

00

00

V

V

V

z

F

y

F

x

F

V

V

V

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

B

B

B

z

y

x

AAA

AAA

AAA

(313)

Продифференцируем уравнение связи для рассматриваемого поступательного механизма па-

раллельной структуры и получим следующие выражения

11 22 BA

A

xxx

F

A

A

yy

F

21 A

A

zz

F

21 AB

B

xxx

F

22 1

1

1

A

A

xx

F

22 2

2 22 BA

A

yyy

F

A

A

zz

F

22 AB

B

yyy

F

22 2

2

2

A

A

zx

F

23 A

A

yy

F

23 3

3 22 BA

A

zzz

F

AB

B

zzz

F

22 3

3

3

В общем виде система уравнений (313) будет иметь вид

31

21

11

1

1

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

V

V

V

xx

xx

xx

V

V

V

zzyz

zyyy

zyxx

AB

AB

AB

z

y

x

BAAA

ABAA

AABA

Решим обратную задачу о скоростях Зададим скорости выходного звена V11 = 05 мс

V21 = 1 мс V31 = 2 мс положение выходного звена в точке А (2 3 1) L = 5 Подставим задан-

ные значения в (313) и получим систему

2

1

50

931000

094200

007515

931064

294204

267515

z

y

x

V

V

V

Найдем из данных матриц Vx Vy Vz приведя уравнения к линейному виду и выразим неиз-

вестные Vx Vy Vz

8621931064

9420294204

877267515

zyx

zyx

zyx

VVV

VVV

VVV

Значения скоростей в приводных вращательных шарнирах (входные скорости) равны

Vx = ndash 0022 мс Vy = 0857 мс Vz = 1537 мс

Таким образом для рассматриваемого поступательного механизма была найдена взаимо-

связь между координатами выходного звена и координатами входных звеньев Решена задача

59

кинематики прямая и обратная задачи о скоростях методом дифференцирования уравнений

связи [83]

33 Решение прямой задачи кинематики для сферического

механизма параллельной структуры

Рассмотрим сферическую часть синтезированного в прошлой главе механизма с шестью сте-

пенями свободы (рисунок 33) состоящего и трёх кинематических цепей с пересекающимися

осями под углом 90deg Каждое входное звено сопряжено с двигателем вращательного перемеще-

ния Выходное звено представляет собой две пересекающиеся полусферы и инструмент вра-

щающийся вокруг трех осей x y z с пересечением в точке О

Абсолютными (выходными) координатами являются углы поворота платформы α β γ ndash по-

вороты вокруг осей x y z соответственно Обобщенными (входными) координатами являются

углы поворота входных звеньев первой второй и третьей кинематической цепи φ11 φ21 φ31 со-

ответственно

Для определения скоростей и особых положений сферического механизма необходимо ре-

шить задачу о положениях те найти взаимосвязь между входными и выходными координата-

ми Проведём расчёт аналитическим методом

Рисунок 33 Сферическая часть механизма с шестью степенями свободы

Расчётная схема

Входные (приводные) звенья осуществляют поворот в следующей последовательности во-

круг осей Ox Oy Oz Соответствующие этому матрицы поворота B1 B2 B3 имеют вид

z

φ11

x

φ21

y φ

31

60

cossin0

sincos0

001

1111

11111

B

cos0sin

010

sin0cos

2121

2121

2

В

100

0cossin

0sincos

3131

3131

3

B

где φ11 ndash угол поворота первого (входного) звена по оси Ox φ12ndash угол поворота второго звена по

оси Oy φ13 ndash угол поворота третьего звена по оси Oz

Выходное звено выполняет последовательный поворот вокруг осей Ox и Оy вращение во-

круг оси Оz не рассматриваем тк поворот по оси Оz влияет на ориентацию инструмента а не

на его положение (рисунок 34)

При нулевом положении углов φ11 и φ21 выходное звено расположено по оси Оz на расстоя-

ние ρ равное константе

После поворота на угол φ11 вокруг оси Ox мы получаем значение выходного звена в непод-

вижной системе координат те значение точки Mx = (a b c) равное

11

11

1111

1111

cos

sin

0

cossin0

sincos0

001

1

0

0

c

b

a

Mx

Рисунок 34

После поворота на угол φ21 вокруг оси Oy мы получаем значение выходного звена в непод-

вижной системе те значение точки My = (d e f) равное

cos

0

sin

cos0sin

010

sin0cos

1

0

0

21

21

2121

2121

f

e

d

My

При повороте входных звена на углы φ11 и φ21 местоположение вектора ОМrsquo (выходного

звена) определяется из пересечения двух полуокружностей 1rsquo и 2rsquo (см рисунок 34)

61

Выпишем уравнения для определения положения выходного звена (точки Mrsquo) что является

решением прямой задачи кинематики

Точка Mrsquo лежит на сфере центром которой является точка О

2222 MMM zyx (314)

Уравнение плоскости в которой лежит дуга 1 проходящая через ось Ox запишем следую-

щим образом

0 zcyM

Подставим значение точки Mx = (0 ndashsin φ11 cos φ11) которая лежит на полудуге 1rsquo в полу-

ченное уравнение плоскости

0cossin 1111 c

11tanc

0tan 11 zyM (315)

Уравнение плоскости в которой лежит дуга 2 проходящая через ось Oy запишем следую-


0 zdxM

Подставим значение точки My = (sin φ21 0 cos φ21) которая лежит на полудуге 2rsquo в получен-

ное уравнение плоскости

0cossin 2121 d

21tand

0tan 21 zxM (316)

Запишем систему уравнений определения положения точки Mrsquo

0tan

0tan

21

11

2222

MM

MM

MMM

zx

zy

zyx

(317)

Подставляя в первое уравнение системы (317) уравнения 2 и 3 получим координаты точки z

2

21

2

11

22 1tantan Mz

1tantan 21

2

11

2

Mz (318)

Таким образом выражая z и подставляя её в уравнения (315) и (316) получим координаты x

и y что является решением прямой задачи кинематики

62

1tantan 21

2

11

2

Mz

1tantantan

21

2

11

221

Mx (319)

1tantantan

21

2

11

211

My

Запишем решение прямой задачи кинематики (319) в сферической системе координат через

два угла α β и длину вектора ρ (рисунок 35) Для этого заменим в полученной нами системе

(319) xM yM zM на следующие выражения

sincos Mx

coscos My (320)

sinMz

Рисунок 35

Получим

01tantan

tansincos

21

2

11

211

01tantan

tancoscos

21

2

11

221

(321)

01tantan

sin

21

2

11

2

В виду того что ρ = const сократим полученные выражения на ρ

O y

z

M(xyz)

x

α

β

63

01tantan

1tansincos

21

2

11

211

01tantan

1tancoscos

21

2

11

221

(322)

01tantan

1sin

21

2

11

2

Из системы уравнений (320) можно найти выходные параметры звена ОМrsquo в сферической

системе координат те получить решение прямой задачи кинематики в углах α и β через углы

φ11 и φ21

Из уравнения 3 системы (320) найдём значение угла β

1tantan

1arcsin

21

2

11

2 (323)

Подставляя полученное значение β в уравнение 1 системы (320) найдем значение угла α

1tantan

1

cos

tanarccos

21

2

11

2

11

(324)

Таким образом получили решение прямой задачи кинематики в углах α и β

Уравнение связи для рассматриваемого сферического механизма можно представить сле-

дующей системой уравнений в общем виде

0)( 2111 F (325)

0)(

0)(

21112

21111

F

F (326)

Подставляя в уравнения связей (326) уравнения из системы (321) получим следующую сис-

тему уравнений описывающую взаимосвязь между входными и выходными координатами

64

1tantan

1sin

1tantan

1tancoscos

1tantan

1tansincos

21

2

11

23

21

2

11

2212

21

2

11

2111

F

F

F

(327)

Уравнением 3 из системы (327) мы пренебрегаем тк оно будет функционально зависимо от

двух предыдущих

Таким образом составлены уравнения связи между углами поворота в приводных враща-

тельных шарнирах и углами поворота (изменения ориентации) выходного звена (327) Исполь-

зуя полученную систему уравнений можно переходить к решению задачи о скоростях


уравнений связи для сферического механизма

Решим задачу о скоростях для сферического механизма параллельной структуры Решение

задачи о скоростях необходимо для определения взаимосвязи между координатами (углами по-

ворота) выходного звена и координатами (углами поворота) входных звеньев (те взаимосвязи

между обобщенными координатами и абсолютными) и описывается функцией положения

(327) решение которой проводилось выше



1)( DVC (328)

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(329)

где С ndash матрица частных производных от неявной функции по абсолютным координатам α β

D ndash матрица частных производных от неявной функции по обобщенным координатам φ11 φ21

V ndash скорости изменения углов ориентации выходного звена определяющиеся углами α β

ω1 ndash обобщенные скорости во вращательных шарнирах (входные скорости ndash углы поворота)

Согласно системе уравнений (329) необходимо найти частные производные от неявной

функции между обобщёнными и абсолютными координатами составив две матрицы Продиф-

ференцировав уравнения из системы (327) получаем следующие выражения

65

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

1tantan

1tansincos

23

21

2

11

2

11

2

11

2

21

2

11

2

11

2

21

2

11

211

1111

1

F

23

21

2

11

2

21

2

2111

21

1

1tantan

tan1tantan

F

coscos1

F

sinsin1

F

23

21

2

11

2

11

2

1121

21

2

11

221

1111

2

1tantan

tan1tantan

1tantan

1tancoscos

F

23

21

2

11

2

21

2

21

2

21

2

11

2

21

2

21

2

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

F

sincos2

F

sincos2

F

Перепишем систему (329) в виде

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(330)

Решим прямую задачу о скоростях Зададим следующие углы поворота φ11 и φ21 равные со-

ответственно 03 рад и 05 рад Угловые скорости и равны 001 радсек и 002 радсек

Подставляя полученные продифференцированные выражения в (330) а также значения уг-

лов α и β (323 324) получим следующие решение системы

020

010

86401120

13308640

41704630

737026201

0160

0210

Таким образом определили скорости изменения углов ориентации выходного звена и

равные при заданных начальных условиях ndash0021 радсек и 0016 радсек соответственно

66

34 Решение задачи кинематики (о положении) для

сферического механизма параллельной структуры

с использованием метода поворота системы координат

Для решение прямой и обратной задачи кинематики в большинстве случаев бывает удобно

получать решение задачи в углах поворота при переходе подвижной системы координат в не-

подвижную Для этого используются различные методы поворота системы координат Наибо-

лее часто используемые системы поворота традиционная ndash вокруг осей x y z последовательно

в углах Эйлера (поворот на угол собственного вращения угол нутации и прецессии в углах

Эйлера-Крылова [5 84] Для рассматриваемого сферического механизма (рисунок 36) решим

обратную задачу о положении и скоростях используя традиционную систему поворота вокруг

осей Oxyz

Сферический механизм состоит из трёх кинематических цепей с пересекающимися осями

под углом 90deg Каждое входное звено сопряжено с двигателем вращательного перемещения

Выходное звено представляет собой две пересекающиеся полусферы и инструмент вращаю-

щийся вокруг трёх осей x y z с пересечением в точке О

Для нахождения положения выходного звена в подвижной системе координат Ox1x2x3 вос-

пользуемся последовательным поворотом вокруг осей Оxyz в неподвижной системе координат

на углы α β γ Абсолютными (выходными) координатами являются углы поворота выходного

звена ndash α β γ Обобщенными (входными) координатами являются углы поворота приводных

вращательных шарниров первой второй и третьей кинематической цепей ndash φ11 φ21 φ31 соот-

ветственно



φ11 φ21

y x

z

φ22 φ23

φ13

φ12

φ31

φ32 φ33

φ32

φ33

67

Для определения скоростей сферического механизма необходимо решить задачу о положе-

нии те найти взаимосвязь между входными и выходными координатами Проведём расчёт

аналитическим методом

Повороты через углы α β γ позволяют мысленно совместить неподвижную систему коорди-

нат (Oxyz) с подвижной (Ox1x2x3) совершая первый поворот вокруг оси Ox на угол α Второй

поворот на угол β вокруг оси Oyrsquo И третий поворот вокруг оси Ox3 на угол γ (рисунок 37)

Рисунок 37

Матрицы описывающие поворот выходного звена вокруг осей x y z соответственно при

переходе от подвижной системы координат к неподвижной системе выглядят следующим об-

разом

cossin0

sincos0

001

1А

cos0sin

010

sin0cos

2А

100

0cossin

0sincos

3

А

Матрица отражающая переход выходного звена от подвижной системы координат к непод-

вижной системе будет иметь вид

123 AAAA (331)

coscossincossin

sincossinsincossinsinsincoscossincos

sincoscossinsinsincossinsincoscos сos

А

В первой кинематической цепи входное звено осуществляет поворот в следующей последо-

вательности вокруг осей x y z Соответствующие этому матрицы поворота

имеют

вид

68

1111

1111

1

cossin0

sincos0

001

B

1212

1212

2

cos0sin

010

sin0cos

В

100

0cossin

0sincos

1313

1313

3

B

где φij ndash угол поворота первого (входного) звена φijndash угол поворота второго звена φij ndash угол по-

ворота третьего звена (i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи j ndash номер кинематической па-

ры)

Матрицу перехода входного звена из подвижной системы координат в неподвижную систему

координат можно представить как

3

2

1

ВВВВ

121111131312111311121311

111213111312111311121113

1213121312

coscossincossinsincossinsinsincoscos

sincoscoscossinsinsinsincossinsincos

sinsincoscoscos

В

Единичный вектор кинематической пары первой кинематической цепи сопряженной с вы-

ходным звеном механизма имеет координаты

1

0

0

(рисунок 38) Подставляя в уравнение связи

между входными и выходными координатами

1

0

0

1

0

0ВА найденные значения матриц А и

В получим выражение

1211

1112

12

coscos

sincos

sin

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

Рисунок 38

O

е31

е11

y

z

x

е21

69

Из полученного выражения можно выразить угол φ11 через α β и γ

1112 sincossincossinsincos

1211 coscoscoscos

11

11

cos

sin

coscos

sincossinsincos

11tancoscos

sincossinsincos

(332)

Матрицу перехода входного звена второй кинематической цепи из подвижной системы ко-

ординат в неподвижную систему можно представить как

3

1

2

ВВВВ

222123212223212322212123

2223222322

212222212323212321232221

coscossinsinsincoscossinsincossincos

sincoscossincos

sincossinsincossincoscoscossinsinsin

В

Единичный вектор e оси кинематической пары второй кинематической цепи сопряженной с

выходным звеном механизма имеет координаты e31=

1

0

0

Подставим в уравнение связи между

входными и выходными координатами

1

0

0

1

0

0ВА найденные значения матриц А и В

и

получим выражение

2221

22

2122

coscos

sin

sincos

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin


2122 sincossincoscossinsin

2221 coscoscoscos

21

21

cos

sin

coscos

sincoscossinsin

0tancoscos

sincoscossinsin21

(333)

Матрицу перехода третьей кинематической цепи из подвижной системы координат в непод-

вижную систему можно представить как

70

2

1

3

ВВВВ

3332323332

323331333132313332313133

323133333131323332313331

coscossinsincos

sincoscossinsincoscossinsincossincos

sinsincossincossincossinsinsincoscos

В

Единичный вектор оси кинематической пары третьей кинематической цепи сопряженной с

выходным звеном имеет координаты

0

1

0

0

1

0ВА Подставив в уравнение связи

0

1

0

0

1



32

3231

3132

sin

coscos

sincos

sincos

sinsinsincoscos

sincossinsincos



3231 coscossinsinsincoscos

31

31

cos

sin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

0tansinsinsincoscos

sinsincossincos31

(334)

Функция положения сферического механизма в неявном виде выражается уравнением

0)( 312111 F (335)

Уравнения связи для рассматриваемого сферического механизма можно представить сле-

дующей системой уравнений

0)(

0)(

0)(

313

212

111

F

F

F

(336)

Углы φ11 φ21 φ31 выраженные через углы α β γ в уравнениях (332 ndash 334) подставим в

уравнения связи (336) и получим следующую систему уравнений описывающую взаимосвязь

между входными и выходными координатами сферического механизма

71

tansinsinsincoscos

sinsincossincos

tancoscos

sincoscossinsin

tancoscos

sincossinsincos

313

212

111

F

F

F

(337)

Таким образом составлены уравнения связи между углами поворота во входных звеньях и

углами поворота выходного звена (337) Используя полученную систему можно переходить к

решению задачи о скоростях



Решение задачи о скоростях необходимо для определения взаимосвязи между координатами

(углами поворота) выходного звена и координатами (углами поворота) входных звеньев (те

взаимосвязи между обобщенными координатами и абсолютными) и описывается функцией по-

ложения (337) решение которой проводилось выше


изучении свойств матрицы Якоби [80] представленной в общем виде

1)( DVC (338)

333

222

111

FFF

FFF

FFF

C

31

3

21

2

11

1

00

00

00

F

F

F

D

V

31

21

11

1

где С ndash матрица частных производных от неявной функции по абсолютным координатам α β γ


φ31 V ndash скорости изменения углов ориентации выходного звена определяющиеся углами α β γ

ω1 ndash обобщенные скорости в приводных вращательных шарнирах (входные скорости ndash углы

поворота)


лютными координатами составив две матрицы

72

31

21

11

31

3

21

2

11

1

333

222

111

00

00

00

F

F

F

FFF

FFF

FFF

(339)

Продифференцируем полученные уравнения связи (337)

coscos

2sin2

tancoscos

sincossinsincos2

2

111

F

coscos

)sincossinsin(cossinsin

2

1

F

sincos

sincoscossinsin1

F

12

11

11

1

tg

F

221

2

coscos

sintan

coscos

sincoscossinsin

F

coscos

)sincoscossin(sinsincos

2

2

F

coscos

sincossinsincos2

F

12

21

21

2

tg

F

231

3

)sinsinsincos(cos

sintan

sinsinsincoscos

sinsincossincos

F

2

3

)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sinsincossin

sinsinsincoscos

sincoscos

F

1)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sin2

23

F

12

31

31

3

tg

F


73

333

222

111

1

31

3

21

2

11

1

31

21

11

00

00

00

FFF

FFF

FFF

F

F

F

(340)

Решим обратную задачу о скоростях Зададим такие углы поворота выходного звена α β γ и

такие угловые скорости выходного звена чтобы изменения положения по углу φ31 и уг-

ловой скорости по не было За положение выходного звена отвечает только две кинемати-

ческие цепи расположенные по осям координат Ox и Oy и следовательно два угла φ11 и φ21

Третья кинематическая цепь расположенная вдоль оси Oz отвечает за ориентацию выходного

звена так как в её структуре имеется карданный шарнир который не совершает поворот всего

механизма по оси Oz

При таком условии углы поворота выходного звена α β γ равны соответственно 05000 рад

02000 рад и 00181 рад угловые скорости выходного звена равны 00500 радсек 00200

радсек 00233 радсек Необходимо определить обобщенные скорости в приводных враща-

тельных шарнирах

Подставляя значения углов и скоростей в частные производные от неявной функции между

обобщёнными и абсолютными координатами (340) найдём значение угловых скоростей в при-

водных вращательных шарнирах (входные скорости)

02330

02000

05000

000015291025490

108900472114290

261600001031711

0000100

0068510

00283311

31

21

11

0

03790

04650

31

21

11

Таким образом решили обратную задачу о скоростях и нашли значение угловых скоростей

в приводных вращательных шарнирах и равные соответственно 00465 радсек

00379 радсек и 0 Значение обобщённых координат (углов поворота) φ11 φ21 φ31 при заданных

углах поворота выходного звена будут равны ndash φ11 = 00498 рад φ21 = 00205 рад φ31 = 00098

рад [85]


1 Решены обратная и прямая задачи о положениях для механизма параллельной структуры

с поступательными движениями выходного звена и выведены уравнения связи между скоро-

74

стями в приводных вращательных шарнирах и скоростями выходного звена что позволило ре-

шить задачу о скоростях методом дифференцирования уравнений связи [83]

2 Для сферического механизма параллельной структуры также решены прямая и обратная

задачи о положениях Используя сферическую систему координат были аналитически опреде-

лены выходные параметры выходного звена (углы α и β) и составлены уравнения связи вход-

ных и выходных координат Задача о скоростях решена методом дифференцирования уравне-

ний связи

3 Для сферического механизма с использованием метода поворота системы координат со-

ставлены уравнения связи между углами поворота в приводных вращательных шарнирах и уг-

лами ориентации выходного звена А так же решена обратная задачи о скоростях методом диф-

ференцирования уравнений связи [85]

75

ГЛАВА 4

АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕХАНИЗМА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

СТРУКТУРЫ С КИНЕМАТИЧЕСКОЙ РАЗВЯЗКОЙ

Динамический анализ представляет собой гораздо более широкую проблему чем кинемати-

ческий анализ Это обусловлено необходимостью учёта законов управления параметров обрат-

ных связей характеристик двигателей и тд Совместное действие всех двигателей необходимо

для осуществления любого простейшего движение даже по прямой линии Динамические

свойства механизмов параллельной структуры относительно мало исследованы Анализ огра-

ничивается как правило решением обратных задач динамики когда по требуемому закону

движения выходного звена определяются усилия в приводах [86 87 88] В широком смысле к

динамическому анализу можно отнести исследование поведения системы (механизма) в поле

действия приложенной к нему силы (нагрузки) [13 89 90 91 92 93]

В работах [94 95 96 62 97 98] рассматривались плоские поступательные и сферические

механизмы с тремя степенями свободы Динамика движения механизма моделировалась при

разных законах требуемого движения но не было соответствия динамической модели и реаль-

ных параметров механизма В работах [4 86 87 95 99] использовались различные алгоритмы

управления один из которых основан на минимизации интегральной ошибки по координате

скорости или ускорению На основе различных численных экспериментов установлено что

данный алгоритм эффективен для механизмов параллельной структуры

В данной главе решается задача динамического анализа для рассматриваемого механизма с

шестью степенями свободы отдельно для поступательной части и для сферической

41 Динамический анализ механизма параллельной структуры

с поступательными движениями выходного звена

Проведём динамический анализ механизма с шестью степенями свободы рассмотренного в

предыдущих главах в той его части что отвечает за поступательные движения Механизм со-

стоит из трёх кинематических цепей расположенных ортогонально трёх двигателей поступа-

тельного перемещения каждый из которых обеспечивает движение одной из степеней подвиж-

ности в каждой кинематической цепи Три шарнирных параллелограмма имитируют наличие

двух карданных шарниров в соответствующей кинематической цепи (рисунок 41(a)) На вход

каждого из приводов подаётся управляющий сигнал Выходом системы является движение ра-

бочего органа ndash выходного звена механизма в рабочем пространстве В качестве приводов ис-

пользуются установленные на неподвижном основании электрические двигатели постоянного

тока с механизмом преобразования вращательного движения в поступательное

76

При поступательном движении каждая точка выходного звена имеет одинаковые скорости

поэтому в расчётной схеме выходное звено может быть заменено материальной точкой а па-

раллелограммы заменяются соответствующими звеньями типа сферического шарнира (рисунок

41 (b))

Необходимые законы движения приводов определяются из решения обратной задачи дина-

мики когда на выходное звено (исполнительный звено) подаётся заданный (требуемый) закон

движения Система управления двигателями по соответствующему алгоритму вычисляет тре-

буемые напряжения в двигателе На основе решения прямой задачи динамики определяются

реальные движения выходного звена механизма которые сопоставляются с требуемыми дви-

жениями

a) b)

Рисунок 41 a) механизм поступательной структуры с тремя степенями свободы

b) расчётная схема механизма с тремя степенями свободы

Составим общее уравнение динамики используя принцип возможных перемещений [100

101] в записи через обобщённые координаты В качестве независимых обобщённых координат

взяты координаты точек значение которых однозначно определяют положения всех точек сис-

темы

Для рассматриваемого механизма (рисунок 41 (b)) обобщёнными координатами (q1 q2 q3)

примем перемещение приводов в точках В1 В2 В3 вдоль осей Ox Oy Oz которые однозначно

определяют положение точки А те положение выходного звена

Задавая элементарные приращения входным координатам δq1 δq2 δq3 считая что имеем

систему с идеальными связями получаем следующее общее уравнение динамики относительно

координат выходного звена (точки А) в общем виде

O

A

L

x

y

z

B2

B3

B1

z

x

y A

B1

B3

B2

O

77

03

33

2

22

1

11

q

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rP z

zz

z

y

z

y

yx

xx

x

где m ndash масса выходного звена Рx Рy Рz ndash усилия в приводахax ay az ndash ускорения выходного

звена ( k ndash x y z) 1q

rx

2q

ry

3q

rz

ndash бесконечно малые приращения обоб-

щенных координат системы и равны (jj

i

q

x

q

r

i +

jq

y

j +

jq

z

k (j ndash 1 2 3 ndash номер кинемати-

ческой цепи))

С учётом всех выбранных обобщённых координат активных сил приложенных к системе

заданных возможных перемещений получаем следующие уравнения динамики системы относи-

тельно координат выходного звена

0

0

0

3

3

3

333

3

2

2

2

222

2

1

1

1

111

1

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

z

y

x

(41)

Для определения коэффициентов iii q

z

q

y

q

x

необходимо рассмотреть уравнения связей

записанные в виде неявных функций от координат системы 0)( ii qzyxF где i = 1 2 3 ndash

номер кинематической цепи

Переменная qi в данных функциях представлена как функция переменных х y z Систему

уравнений связывающую скорости входных и выходных звеньев получаем дифференцирова-

нием полученных неявных функций по переменным х y z

0

i

i

iiii qq

Fz

z

Fy

y

Fx

x

F

где i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи

Формулы для определения искомых переменных коэффициентов получаем из выше приве-

дённых полученных выражений

x

F

q

F

q

x i

i

i

i

y

F

q

F

q

y i

i

i

i

z

F

q

F

q

z i

i

i

i

(42)


78

Предполагается что алгоритм управления механизмом параллельной структуры связанный

с вычислением моментов и сил по заданному закону движения должен минимизировать ошиб-

ки по ускорению скорости и координате Ранее в работе [95] этот подход применялся для ма-

нипулятора параллельной структуры с двумя параллелограммами в каждой цепи

Уравнения связи для расчётной схемы механизма поступательной структуры с тремя степе-

нями свободы (рисунок 41 (b)) представляют собой систему уравнений в виде

0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LqzyxF

LzqyxF

LzyqxF

(43)

Запишем уравнения скоростей основанном на изучении свойств матрицы Якоби представ-

ленной в общем виде

1)( iVВVА (44)

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

AJA

333

222

111

)(

3

3

2

2

1

1

00

00

00

)(

q

F

q

F

q

F

BJB

z

y

x

V

3

2

1

1

q

q

q

Vi

Дифференцируя первый раз (43) по t получим систему связывающую скорость выходного

звена и угловые скорости входных звеньев (44) На примере первого уравнения имеем

0222

22222

2

22

2

2

2

2

22

12

2

2

2

1

2

1

1

ii qt

xqt

zt

x

zt

yt

xyt

qt

xt

qxqdt

dx

dt

d

dt

dF

dt

d

Записав данную систему в виде функции от времени получим систему

)(

)(

)(

))((

)(

)(

)(

))((

3

2

1

tq

tq

tq

tBJ

tz

ty

tx

tAJ

(45)

Зададим значения координат для точки А (x y z) где х = 1 м y = 1 м z = 1 м Длина звена L

= 3 м

Значения частных производных входящих в (44) равны

11 22 qx

x

F

y

y

F21

z

z

F21

xq

q

F22 1

1

1

79

xx

F22

2

2 22 qyy

F

z

z

F22

yq

q

F22 2

2

2

xx

F23

23

y

F 3

3 22 qzz

F

zq

q

F22 3

3

3

Тогда уравнения скоростей (44) принимают вид

3

2

1

3

2

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

q

q

q

zq

yq

xq

z

y

x

qzyx

zqyx

zyqx

В общее уравнения динамики (41) входят значения ускорений входных и выходных звеньев

Для дальнейшего решения задачи динамики необходимо выразить ускорения входных звеньев

через ускорения выходных Дифференцируя уравнения (43) второй раз по t получаем уравне-

ния связывающие ускорения входных и выходных звеньев Данное выражение позволяет опре-

делить искомые ускорения и его можно записать в матричной форме

3

2

1

3

2

1)(

)()(

)(

q

q

q

dt

BdJ

q

q

q

BJ

z

y

x

dt

AdJ

z

y

x

AJ

(46)

Получаем следующие выражения

0222222

02222222

0222222

33

2

3

222

2

22

2

2

22

222

11

2

1

qzqzqzyyyxxx

zzzqyqyqyyxxx

zzzyyyqxqxqx

или

2

2222

4

22

2

2222

4

22

2

2222

4

22

222

22

2

3222

2

3

222

22

2

3222

2

2

222

22

2

3222

2

1

yxL

yyxxyx

yxL

yyxxzq

zxL

zzxxzx

zxL

zzxxyq

zyL

zzyyzy

zyL

zzyyxq

(47)

где ndash выражены из уравнений (43) и продифференцированы

Предположим что известны требуемые законы изменения координат xТ(t) yТ(t) zТ(t) и соот-

ветственно требуемые скорости и ускорения

Необходимо найти силы (моменты) в приводах при которых происходит минимизация

ошибки по координате

80

)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T )()()(3 tztzt T

по скорости

)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T

по ускорению

)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T

Закон изменения ошибки должен соответствовать движению колебательного звена при ко-

тором обеспечивается устойчивость и минимизация ошибки по положению скорости и ускоре-

нию [4 86 87 95]

Законы ускорений выходного звена в системе с обратными связями имеют вид

01

01

01

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(48)

где γ0 γ1 - коэффициенты обратных связей

Соотношения из системы (48) определяют необходимые законы формирования управляю-

щих сил и моментов реализующих движение по назначенной траектории

Для получения обобщающих результатов задавались различные начальные условия движе-

ния механизма различные коэффициенты обратных связей γ0 γ1 а также различные частоты ω

закона движения по траектории

Входящие в уравнения (43) абсолютные скорости выражаются из уравнения скоростей через

обобщенные скорости

Зададим постоянную времени τ характеризующую длительность протекания переходного

процесса равную τ asymp 0018 сек время переходного процесса при этом будет составлять ndash t =

0076 сек а коэффициенты обратных связей γ0 = 3086 γ1 = 785 Для упрощения пренебрегаем

массой входных звеньев и силой веса

При моделировании движения механизма по заданному закону используем уравнения (41)

При этом силы в приводах Рi должны подчиняться уравнениям полученных подстановкой ус-

корений из уравнений (42) в уравнения движения (41)

01

0101

ii

TTT

i

TTT

i

TTTi

qmg

q

zzzzzzm

qyyyyym

qxxxxxmP

(49)

где i = 1 2 3 λ = x y z

Зададим закон движения исполнительного звена в виде

81

)sin(10)( ttxT )sin(10)( ttyT )sin(10)( ttzT (410)

1 Рассмотрим движение механизма при следующих начальных условиях х (0) = 0 y (0) = 0 z

(0) = 0 угловая частота колебаний ω = 40 радсек Расчётное время t = 04 сек Дифференциаль-

ные уравнения ошибки принимают вид

)(3086)(578

)(3086)(578

)(3086)(578

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(411)

Рисунок 42 График изменения ошибки по координате

В результате расчёта были получены графики изменения ошибок по различным координатам

(рисунок 42) Для наглядности на рисунке 43 представлены графики требуемого закона дви-

жения хТ(t) фактического закона х(t) и абсолютной ошибки Δ(t) где Δ = хТ (t)ndash х(t)

Рисунок 43 График изменения ошибки положения Δх(t) изменения

фактической хТ(t) координаты фактической х(t) координаты

при управлении механизмом с обратной связью

82

Анализируя графики на рисунке 42 и рисунке 43 можно заключить что при принятых на-

чальных условиях и приложении к динамической системе внешнего воздействия в виде сину-

соиды система принимает установившиеся значения в пределах установленного переходного

процесса при этом можно отметить появление незначительной ошибки движения выходного

звена которая также имеет установившиеся значения


2 Рассмотрим случай когда начальные условия составляют х (0) = 15 м y (0) =0 z (0) = 0

Значение угловая частота колебаний и коэффициенты обратных связей остаются неизменными

ω = 40 радсек γ0 = 3086 γ1 = 785 Время переходного процесса составляет ndash t = 0076 сек Рас-

чётное время процесса ndash t = 025 сек Соответствующие графики показаны на рисунках 44 45

46

Рисунок 45 График движения выходного звена

83

Анализ графиков на рисунках 44 45 46 показывает что при начальных условиях значи-

тельно не соответствующих предписанному закону увеличилась ошибка по положению а так-

же время переходного процесса

Рисунок 46 График скоростей выходного звена

3 Рассмотрим случай когда в 10 раз увеличена угловая частота ω = 400 радсек при неиз-

менных начальных условиях х (0) = 0 м y (0) = 0 z (0) = 0 Коэффициенты обратных связей

равны γ0 = 3086 γ1 = 785 Время переходного процесса также не менялось и составляет ndash t =

0076 сек Соответствующие графики показаны на рисунках 47 48 49


Анализ графиков на рисунках 47 48 49 показывает что при увеличении угловой частоты

увеличилась ошибка по положению а также время переходного процесса

84




4 Рассмотрим случай когда в 10 раз уменьшены коэффициенты обратных связей

γ0 = 3086 γ1 = 785 при начальных условиях х (0) = 15 м y (0) =0 z (0) = 0 ω = 40 радсек

Время переходного процесса t = 0076 сек расчётное время t = 12 сек Соответствующие гра-

фики показаны на рисунках 410 411 412


Анализ графиков на рисунках 410 411 412 показывает что при уменьшении коэффициен-

тов обратных связей ошибка по положению принимает установившиеся значения в пределах

установленного переходного процесса при этом можно отметить появление незначительной

ошибки движения выходного звена которая также имеет установившиеся значения

85



Рисунок 412 График ускорений выходного звена

86

Для поступательной части рассматриваемого механизма параллельной структуры с шестью

степенями свободы была составлена динамическая модель для решения задач динамики [102

103 104 105 106] На основе этих задач был отработан алгоритм управления требуемого дви-

жения выходного звена Для анализа работоспособности предложенного манипулятора и оцен-

ки пригодности данного алгоритма рассматривались различные начальные условия движения

различные коэффициенты обратных связей γ0 γ1 а также различные частоты движения по тра-

ектории ω при этом ошибка движения по заданному закону имела приемлемые значения

41 Динамический анализ сферического механизма

параллельной структуры с тремя степенями свободы

Рассмотрим сферический механизм параллельной структуры (рисунок 413) в котором каж-

дое входное звено цепи соединено с вращательным двигателем Выходное звено представляет

собой платформу которая вращается вокруг трёх осей пересекающихся в точке О выходными

координатами являются углы поворота выходного звена α β γ Обобщенными координатами

являются углы поворота приводных вращательных шарниров первой второй и третьей кинема-

тических цепей ndash φ11 φ21 φ31 соответственно

Рисунок 413 Расчётная схема сферического манипулятора

Выходному звену механизма поставим в соответствие подвижную систему координат η λ μ

оси которой расположены по главным центральным осям инерции этого звена Отметим что

при нулевых значениях углов ориентации выходного звена (α=β=γ=0) направления осей η λ μ

совпадают с направлениями осей х y z соответственно

Сферическое движение тела (выходного звена) вокруг центра масс представляет собой дви-

жение выходного звена по отношению к подвижной системе координат η λ μ и определяется

φ32

φ33 φ11 φ21

y x

z

φ22

φ23

φ13

φ12

φ31

φ33

φ32

λ

η

μ

87

дифференциальными уравнениями движения тела вокруг неподвижной точки в проекциях на

главные оси инерции или динамическими уравнениями Эйлера в общем виде

)(

JJdt

dJM

JJdt

dJM

JJdt

dJM

(412)

где Jη Jλ Jμ ndash главные моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции

η λ μ соответственно (в данном случае ndash постоянные числа) Mη Mλ Mμ ndash проекции главного

момента внешних сил приложенных к телу относительно осей подвижной системы координат

η λ μ (в общем случае являются функциями t α β γ ωη ωλ ωμ те рассматриваем их как мо-

менты в приводах) ωη ωλ ωμ ndash проекции вектора угловой скорости выходного звена на оси η λ

μ ii

dt

d

ndash проекции углового ускорения выходного звена на подвижные оси (i = η λ μ) те

Для рассматриваемого сферического механизма в качестве обобщённых координат примем

углы поворота в приводных вращательных шарнирах φ11 φ21 φ31 вдоль осей Ox Oy Oz кото-

рые однозначно определяют положение выходного звена

Главный момент сил инерции системы (выходного звена) относительно центра О будет ра-

вен

dt

dKM OИ

O

где КО ndash кинетический момент системы относительно центра О где

ndash вектор угловой скорости




Используя принцип ДrsquoАламбера и рассматривая систему (звенья) как находящуюся в равно-

весии запишем следующее условие

0ii MM

где Mi ndash главный момент внешних сил приложенный к i-му звену MΦi ndash главный момент сил

инерции i-го звена (MΦ = Jiεi - предполагается что главный вектор сил инерции приложен к

центру масс i = 1 2 3 ndash номер звена кинематической цепи)

88

Составим общее уравнение динамики для сферического механизма (рисунок 413) С учётом

выбранных обобщённых координат заданных элементарных приращений (возможное угловое

перемещение) δφ11 δφ21 δφ31 активных сил приложенных к системе (считаем что звено урав-

новешено ndash центр тяжести совпадает с центром вращения те с точкой О) получаем следую-

щие уравнения динамики

0

0

0

31

313131

31

21

212121

21

11

111111

11

JJJM

JJJM

JJJM

(413)

где 1i

1i

1i

ndash бесконечно малые приращения обобщенных координат системы и рав-

ны (i ndash 1 2 3 ndash номер кинематической цепи)

Для определения коэффициентов 1i

1i

1i

можно рассмотреть уравнения взаимо-

связи между входными и выходными координатами записанные в виде неявных функций от

координат системы (i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи) как это было

сделано для поступательного механизма Или же воспользоваться решением задачи о скоростях

методом винтов [5 6]

Для решения данной задачи необходимо определить силовые и кинематические винты [6]

Силовой винт Ri с координатами (rij rij rij rijdeg rijdeg rijdeg) взаимен двум ортам осей ei2 и ei3 не

приводных пар (где i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи j ndash оси координат в неподвижной

системе координат Ox Oy Oz) где rij rij rij ndash проекции векторной части винта rijdeg rijdeg rijdeg ndash

проекции моментной части винта Винт Ri уравновешен совокупностью винтов те реакциями

в парах соответствующих ортам ei2 и ei3 Из плюккеровых координат найденных силовых вин-

тов Ri можно составить матрицу описывающую ограничения перемещения (вращения) выход-

ного звена

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

333333

222222

111111

(414)

Кинематический винт Ui характеризует перемещение тела и имеет координаты (uijx uijy uijz

uijxdeg uijy

deg uijz

deg) где uijx uijy uijz ndash проекции векторной части винта uijx

deg uijy

deg uijz

deg ndash проекции мо-

ментной части винта (i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи j ndashномер соответствующей кине-

89

матической пары) Кинематический винт Ui равен сумме кинематических винтов звеньев цепи

Ui = Ui1+ Ui2+ Ui3 где Ui1 Ui2 Ui3 ndash кинематические винты в первой второй и третьей парах i-го

звена

Группу кинематических винтов для каждой кинематической цепи можно представить в виде

матрицы в которой построчно записываются плюккеровы координаты винта Число строк мат-

рицы зависит от числа кинематических пар в отдельно взятой кинематической цепи Для рас-

сматриваемого сферического механизма можно составить три таких матрицы состоящих из

трёх строк

ziyixizixixi

ziyixizixixi

ziyixizixixi

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

333333

222222

111111

(415)

Моментная часть скалярного произведения двух винтов есть сумма скалярных произведений

вектора первого винта на момент второго относительно некоторой точки и произведение векто-

ра второго винта на момент первого относительно той же точки и называется относительным

моментом Поскольку силовой винт Ri взаимен с кинематическими винтами U1 U2 U3 то их

относительный момент равен нулю [6]

Для того чтобы решить задачу о скоростях методом винтов необходимо рассмотреть сле-

дующее условие для каждой кинематической цепи

(416)

где Ω (ωη ωλ ωμ Vη Vλ Vμ) ndash плюккеровы координаты винта характеризующие угловые и ли-

нейные скорости выходного звена вдоль осей координат (в рассматриваемом механизме посту-

пательное перемещение отсутствует следовательно Vη = Vλ = Vμ = 0) ndash угловая скорость со-

общаемая приводной вращательной паре кинематической цепи (i = 1 2 3 ndash номер кинематиче-

ской пары)

Уравнение (416) для рассматриваемого сферического механизма примет вид

(417)

где левая часть выражения отвечает за плюккеровы координаты силовых и кинематических

винтов в приводных вращательных шарнирах правая часть ndash отвечает за плюккеровы коорди-

наты силовых и кинематических винтов выходного звена

90

Решение обратной задачи о скоростях находится из системы (417) относительно координат

ω11 ω21 ω31 решение прямой задачи ndash относительно координат ωη ωλ ωμ

Для определения плюккеровых координат силовых винтов Rj выходного звена с координа-

тами (riη riλ riμ riηdeg riλdeg riμdeg) в подвижной системе координат Оηλβ запишем координаты еди-

ничных векторов ei2 и ei3 в неподвижной системе (где где riη riλ riμ ndash проекции векторной части

силового винта riηdeg riλdeg riμdeg ndash проекции моментной части винта i = 1 2 3 ndash номер кинематиче-

ской цепи)

Координаты единичных векторов второй (e12) и третьей (e13) кинематических пар первой ки-

нематической цепи соответственно e12 (x12 y12 z12) и e13 (x13 y13 z13) в неподвижной системе

координат имеют следующие значения

(x12 y12 z12) ndash координаты единичного вектора второй кинематической пары равные произ-

ведению матрицы описывающей поворот входного звена вокруг оси Оx на координаты второй

пары в начальном положении

11

11

1111

1111

12

12

12

sin

cos

0

0

1

0

cossin0

sincos0

001

z

y

x

(x13 y13 z13) ndash координаты единичного вектора оси третьей кинематической пары равные

произведению матрицы А описывающей поворот выходного звена на координаты третьей па-

ры в начальном положении

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

13

13

13

A

z

y

x

где А ndash матрица поворота описывающая переход выходного звена из подвижной системы коор-

динат в неподвижную (глава 3)

Координаты единичных векторов второй (e22) и третьей (e23) кинематических пар второй ки-


координат равны

21

21

2121

2121

22

22

22

sin

0

cos

0

0

1

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

23

23

23

A

z

y

x

91

Координаты единичных векторов второй (e32) и третьей (e33) кинематических пар третьей

кинематической цепи соответственно e32 (x32 y32 z32) и e33 (x33 y33 z33) в неподвижной системе


0

sin

cos

0

0

1

100

0cossin

0sincos

31

31

3131

3131

32

32

32

z

y

x

sincos

sinsinsincoscos

cossinsinsincos

0

1

0

33

33

33

A

z

y

x

Координаты единичных векторов eηij eηij eηij (i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи j = 1

2 3 ndash номер кинематической пары) вторых кинематических пар первой второй и третьей кине-

матических цепей в подвижной системе координат определяются матрицей А-1 обратной мат-

рице А

111111

111111

1111

12

12

12

1

12

12

12

cossincossinsincoscoscossincos

cossinsinsinsinsincoscoscoscos

coscossinsinsin

z

y

x

A

e

e

e

212121

212121

2121

22

22

22

1

22

22

22

cossincoscoscossinsinsincoscos

cossinsincossinsincoscoscossin

coscoscossinsin

z

y

x

A

e

e

e

31313131

31313131

31

32

32

32

1

32

32

32

sinsincossincossincoscossinsincoscossinsin

sinsinsinsincossinsincoscoscossinsincoscos

coscos

z

y

x

A

e

e

e

Координаты единичных векторов третьих кинематических пар первой второй и третьей ки-

нематических цепей в подвижной системе координат определяются координатами единичного

вектора оси третьей пары в её начальном положении

1

0

0

13

13

13

e

e

e

1

0

0

23

23

23

e

e

e

0

1

0

33

33

33

e

e

e

Для первой кинематической цепи координаты моментной части силового винта r1deg (r1ηdeg r1λdeg

r1μdeg) можно рассчитать как

r1deg=e12middote33=

131313

121212

eee

eee = η middot (eλ12eμ13 ndash eμ12eλ13) ndash λ middot (eμ12eη13 ndash eη12eμ13) +

92

μ middot (eη12eλ13 ndash eλ12eη13)

111111

0

1 cossinsinsinsinsincoscoscoscos r

1111

0

1 coscossinsinsin r

00

1 r

Для второй и третьей кинематических цепей координаты моментной части (r2ηdeg r2λdeg r2μdeg)и

(r3ηdeg r3λdeg r3μdeg) силовых винтов r2deg и r3deg можно рассчитать как

r2deg=e22middote23=

232323

222222

eee


+ μ middot (eη22eλ23 ndash eλ22eη23)

212121

0

2 cossinsincossinsincoscoscossin r

2121

0

2 coscoscossinsin r 00

2 r

r3deg=e32middote33=

333333

323232

eee



31

313131

0

3

sinsincossin

cossincoscossinsincoscossinsin

r

coscos 31

0

3 r coscos 31

0

3 r

Моментная часть плюккеровых координат силовых винтов в подвижной системе координат

равна

0

coscossinsinsin


1111

111111

0

1

0

1

0

1

r

r

r

0

coscoscossinsin


2121

212121

0

3

0

2

0

2

r

r

r

coscos

coscos


31

31

31313131

0

3

0

3

0

3

r

r

r

Моментные части плюккеровых координат (r1xdeg r1ydeg r1zdeg) (r2xdeg r2ydeg r2zdeg) и (r3xdeg r3ydeg r3zdeg) си-

ловых винтов в r1deg r2deg r3deg в неподвижной системе координат равны произведению матриц пе-

93

рехода входного звена B B

B

на координаты единичных векторов кинематических пар соот-

ветствующих кинематических цепей сопряженных с выходным звеном механизма (глава 3)

[107]

1211

1112

12

0

1

0

1

0

1

coscos

sincos

sin

z

y

x

r

r

r

2221

22

2122

0

3

0

2

0

2

coscos

sin

sincos

z

y

x

r

r

r

32

3231

3132

0

3

0

3

0

3

sin

coscos

sincos

z

y

x

r

r

r

Промежуточные углы находятся из уравнения связи входных и вы-

ходных координат (глава 3) и равны

(418)

Переменные коэффициенты dt

d

dt

d dt

d из уравнения (412) есть проекции углового ус-

корения на оси в подвижной системе координат dt

d

dt

d

dt

d

и равны про-

изводным по времени t от проекций угловых скоростей на эти же оси

Поскольку сферическое

движение тела в каждый момент времени может рассматриваться как вращение вокруг мгно-

венной оси проходящую через неподвижную точку О тогда общей вектор угловой скорости ω

(вращение) можно разложить на три составляющих вокруг осей проходящих через эту же точ-

ку О (ω = i1 ωη + j1 ωλ + k1 ωλ) [100]

Разложим вектор угловой скорости ω выходного звена на подвижные оси координат η λ μ и

обозначим его проекции на эти оси как ωη ωλ ωμ Для нахождения проекций угловых скоростей

ωη ωλ ωμ запишем следующие соотношения

или

(419)

где ndash скорости изменения углов ориентации выходного звена подвижные оси η λ μ

Выходное звено в подвижной системе координат имеет следующие координаты единичных

векторов

94

ndash координаты единичного вектора первой кинематической пары третьей кинематиче-

ской цепи соответствующие угловой скорости на оси вподвижной системе координат η λ μ

1

0

0

ndash координаты единичного вектора кинематической пары соответствующие угловой

скорости на оси в подвижной системе координат η λ μ равные произведению матрицы пово-

рота вокруг оси Oμ на координаты кинематической пары в начальном положении вокруг оси

Oy)

0

cos

sin

0

1

0

3

А

ndash координаты кинематической пары соответствующие угловой скорости равные

произведению матриц поворота выходного звена на координаты кинематической пары в на-

чальном положении вокруг оси Ox

sin

sincos

coscos

0

0

1

А

Подставим найденные значения в систему уравнений (419)

10)sin(

0cos)sin(cos

0)sin()cos(cos

Выразим скорости через проекции скоростей выходного звена на подвижные оси ко-

ординат ωη ωλ ωμ

AA

1AA

где

10sin

0cossincos

0sincoscos

AA и получаем значение скоростей

95

cos

sincos

sincos (420)

)sincos(tg

Бесконечно малые приращения обобщенных координат системы 1i

1i

1i

можно

записать в виде

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

(421)

Если учесть тот факт что

ωη

ωλ

ωμ

ω11

ω21

ω31 тогда отношение углов ориентации выходного звена от углов по-

воротов приводных вращательных шарниров (уравнение (421)) можно переписать в следующей

форме

0

1

0

1

1111 xr

r

0

1

0

1

1111 yr

r

0

1

0

1

1111 zr

r

0

2

0

2

2121 xr

r

0

2

0

2

2121 yr

r

0

2

0

2

2121 zr

r

(422)

0

3

0

3

3131 xr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

Подставляя полученные соотношения (422) в общее уравнение динамики (413) можно пе-

реходить к решению и нахождению действующих моментов в приводах

Моменты в приводах равны

ijii cM (423)

где Mi ndash моменты в приводах в первой второй и третьей кинематических цепях соответствен-

но сi ndash жесткость привода Нmiddotмрад i ndash 1 2 3 ndash номер кинематической цепи j ndash 1 2 3 ndash номер

кинематической пары

Предположим что известны требуемые законы изменения ориентации выходного звена

и соответственно требуемые скорости и ускорения



96



Закон изменения ошибки соответствует движению колебательного звена при котором обес-

печивается устойчивость и минимизация ошибки по положению скорости и ускорению [4 86

87 95]


01

01

01

TTT

TTT

TTT

(424)


Дифференцирую второй раз по t уравнения скоростей (420) найдем значения ускорений вы-

ходного звена в подвижной системе координат

2cos

sinsincos

cos

sincoscossin

sincoscossin (425)

sincostan1 2

sincoscossintan

Эти соотношения определяют искомые законы формирования управляющих сил и моментов

реализующих движение по назначенной траектории


ния исполнительного (выходного) звена рассматриваемого сферического механизма различные

коэффициенты обратных связей γ0 γ1 а также различные частоты ω закона движения по траек-

тории

Зададим следующие начальные условия постоянную времени τ характеризующую длитель-

ность протекания переходного процесса τ asymp 0018 сек время переходного процесса при этом

будет составлять ndash t = 0076 сек коэффициенты обратных связей равны γ0 = 3086 γ1 = 785 мо-

менты инерции равны Jη = 30 кгmiddotм2 Jλ = 20 кгmiddotм

2 Jμ = 10 кгmiddotм

2Для упрощения пренебрегаем


97


При этом силы (моменты) в приводах Mi должны подчиняться уравнениям полученных подста-

новкой ускорений из уравнений (425) в общее уравнения динамики (413)

1

01

1

01

1

01

i

TTT

i

TTT

i

TTTi

kJ

kJ

kJM

(426)

где i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи k = α β γ ndash угол ориентации выходного звена


(427)

1 Рассмотрим движение исполнительного звена при следующих начальных условиях α = 0

β = 0 γ = 0 угловая частота колебаний ndash ω = 10 радсек Расчётное время процесса ndash t = 02 сек

Дифференциальные уравнения ошибки принимают вид

3086578

3086578

3086578 0

TTT

TTT

TTT

(428)

В результате расчета были получены графики изменения ошибок по различным координатам

(рисунок 414) Для наглядности на рисунке 415 представлены графики требуемого закона

движения фактического закона α и абсолютной ошибки


98

Рисунок 415 График изменения ошибки положения Δα(t) изменения фактической αТ(t)

координаты фактической α(t) координаты при управлении

механизмом с обратной связью

Анализируя графики на рисунках 414 415 можно заключить что при принятых начальных

условиях и приложении к динамической системе внешнего воздействия в виде синусоиды сис-

тема принимает установившиеся значения в пределах установленного переходного процесса

при этом можно отметить появление незначительной ошибки движения выходного звена кото-

рая также имеет установившиеся значения Максимальное значение составляет 117х10-3

2 Рассмотрим движение при угловой частоте колебаний ndash ω = 40 радсек Начальные усло-

вия α = 0 β = 0 γ = 0 коэффициенты обратных связей остаются равны ndash γ0 = 3086 γ1 = 785

Время переходного процесса ndash t = 0076 сек расчётное время прохождения процесса ndash t = 08

сек Соответствующие графики показаны на рисунках 416 417 418


99



Анализ графиков на рисунках 416 417 418 показывает что при увеличении угловой часто-

ты увеличилась ошибка по положению а также время переходного процесса

3 Рассмотрим случай когда начальные условия составляют α = 05 м β = 0 γ = 0 при

этом угловая частота и коэффициенты обратных связей остаются неизменными ω = 10 радсек

γ0 = 3086 γ1 = 785 время переходного процесса ndash t = 0076 сек расчётное время ndash t = 02 сек

Соответствующие графики показаны на рисунках 419 420 421

100


Анализ графиков на рисунках 419 420 421 показывает что при начальных условиях зна-

чительно не соответствующих предписанному закону увеличилась ошибка по положению а

также время переходного процесса


101


4 Рассмотрим случай когда в 10 раз уменьшены коэффициенты обратных связей γ0 =

3086 γ1 = 785 при неизменных начальных условиях α = 0 β = 0 γ = 0 ω = 10 радсек время

переходного процесса составляет ndash t = 0076 сек Соответствующие графики показаны на ри-

сунках 422 423 424


102


Для рассматриваемого механизма параллельной структуры с шестью степенями свободы

(для сферической части данного механизма) была составлена динамическая модель для реше-

ния задач динамики [105 106 108] На основе этих задач был отработан алгоритм управления

требуемого движения выходного звена Для анализа работоспособности предложенного мани-

пулятора и оценки пригодности данного алгоритма рассматривались различные начальные ус-

ловия движения различные коэффициенты обратных связей γ0 γ1 а также различные частоты

движения по траектории ω При этом ошибка движения по заданному закону имела приемле-

мые значения


103

Кроме того можно говорить и о динамической развязке поскольку поступательные движе-

ния связаны с большими амплитудами перемещений и скоростей в то время как вращательные

движения не обусловливают больших динамических нагрузок


1 Для исследования свойств механизма поступательной структуры составлена модель ре-

шения задач динамики [102 103 104 105 106] На основе этой модели отработан алгоритм

управления заданным законом движения выходного звена Работоспособность предложенного

механизма оценивалась по его движениям при различных начальных условиях различных ко-

эффициентах обратных связей (γ0 γ1) а так же при различных частотах сигналов управления

2 Аналогичные процедуры были использованы для исследования сферического механизма

[105 106 108]

3 Показана эффективность динамической развязки Отработка заданных движений выход-

ным звеном для поступательной и сферической частей механизма проиллюстрирована графи-

ками Она позволила существенно уменьшить отклонения в движении сферической части при

сохранении того же режима работы поступательной части

104

ГЛАВА 5

РАЗРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИЗМА

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С КИНЕМАТИЧЕСКОЙ РАЗВЯЗКОЙ

С ЧЕТЫРЬМЯ СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

Экспериментальная модель механизма соответствует механизму предложенному в главе 2

Данный механизм состоит из трёх кинематических цепей содержащих двигатель поступатель-

ного перемещения механизм шарнирного параллелограмма и конечной вращательной кинема-

тической пары В одной из кинематических цепей имеется дополнительный двигатель враща-

тельного перемещения обуславливающий вращение выходного звена

Приводится описание модели и результаты определения особых положений в режиме ручно-

го управления механизмом

51 Описание конструкции действующей модели

В данном параграфе представим конструкцию действующей модели конструкции с четырьмя

степеням свободы с кинематической развязкой обеспечивающей разделение поступательного

движения и одного вращения Данная экспериментальная модель содержит как это было опи-

сано ранее три кинематические цепи в каждой из которой есть двигатель поступательного пе-

ремещения шарнирный параллелограмм а также вращательные кинематические пары оси ко-

торых расположены перпендикулярно осям шарнирного параллелограмма (рисунок 51)

Приведём описание разработанной конструкции механизма параллельной структуры с че-

тырьмя степенями свободы Данная модель соответствует патенту на изобретение 2534706

Российской Федерации Пространственный механизм с четырьмя степенями свободы Носова

НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Хейло СВ Заявитель и патентообладатель ФГБОУ ВПО

laquoМосковский государственный университет дизайна и технологииraquo Заявка 2013132024

Приоритет изобретения 11072013 г Зарегистрировано в государственном реестре изобретений

Российской Федерации 06102013 г Срок действия патента 11072033 г [76]

В одной из кинематических цепей содержится двигатель вращательного перемещения кото-

рый через шарнирный параллелограмм передаёт вращение на выходное звено Основание вы-

полнено в виде треугольной laquoзвездыraquo а подвижная платформа в виде круглого кольца с кото-

рым сопряжены три кинематические цепи Для того чтобы одна кинематическая цепь не вос-

принимала весь вес конструкции расположение трёх цепей выполнено в виде пирамиды

105

Рисунок 51 Общий вид механизма с

четырьмя степенями свободы

Рисунок 52

В среднем положении весь механизм имеет симметричный вид (рисунок 52) Следует отме-

тить что в каждой из кинематических цепей могут располагаться не только двигатели поступа-

тельного перемещения но и двигатели вращательного перемещения (рисунок 53)

Рисунок 53

Ось двигателя вращательного перемещения должна быть расположена вдоль оси двигателя

поступательного перемещения кроме того для передачи вращения от соответствующего двига-

теля может быть предусмотрена зубчатая передача (рисунки 54 55) Весь этот узел крепится к

основанию посредством вертикально установленной штанги

106

Рисунок 54 Рисунок 55

Подвижная платформа сопрягается с кинематическими цепями посредством стержней свя-

занных с подвижными параллелограммами (рисунок 56) При этом один из стержней связан с

подвижной платформой имеющей форму кольца посредством вращательной кинематической

пары соосно с упомянутым стержнем Это даёт возможность вращения рабочего органа жёст-

ко связанного со стержнем вокруг его оси (рисунок 56)

Рисунок 56

Шарнирные параллелограммы соединены со штоками двигателей поступательного переме-

щения через вращательные кинематические пары оси которых перпендикулярны одновременно

осям двигателей поступательного перемещения и осям кинематических пар соответствующих

шарнирных параллелограммов (рисунок 57)

107

Рисунок 57

Рисунок 58

Крепление штоков двигателей поступательного перемещения к упомянутым вращательным

кинематическим парам осуществляется с помощью шестигранного элемента (рисунок 58)

Рабочий орган в данном экспериментальном устройстве выполнен в виде упругой дуги

(крюка) (рисунок 59) Как отмечалось ранее он сопряжен с подвижной платформой через вра-

щательную кинематическую пару

Рисунок 59

108

Очень важным является вопрос связанный с уравновешиванием сил веса подвижных частей

механизма Без подобного уравновешивания приводы должны испытывать повышенные на-

грузки поэтому для различных устройств в том числе для механизмов параллельной структу-

ры применяют различные способы уравновешивания

Рисунок 510

В рассматриваемом устройстве экспериментальной модели данная техническая задача реше-

на посредством изгибных упругих элементов (стержней) которые крепятся к началу и концу

каждой кинематической цепи Несмотря на то что шарнирный параллелограмм может вра-

щаться относительно оси расположенной в плоскости самого параллелограмма ориентация

подвижной платформы имеющей кольцеобразную форму остаётся неизменной относительно

основания Это даёт возможность расположить упругие уравновешивающие элементы так что

они не испытывают нагрузки на кручение а лишь уравновешивают вес конструкции (рисунки

510 511)

Рисунок 511

109

Таким образом в работе получена конструктивная схема действующей модели эксперимен-

тальной установки соответствующей развитию принципов робота Orthoglide

52 Иследование функциональных возможностей

действующей модели механизма параллельной структуры

с четырьмя степенями свободы

Рассмотрим функциональные возможности действующей модели механизма параллельной

структуры с четырьмя степенями свободы в которой вращение на рабочий орган передаётся с

помощью шарнирного параллелограмма Представим механизм без уравновешивающих эле-

ментов для того чтобы определить крайние положения выходного звена в рабочей зоне Исходя

из конструктивных ограничений видно что смещение подвижной платформы вдоль одной из

горизонтальных осей равен радиусу самой подвижной платформы а также предельному ходу

двигателя поступательного перемещения (рисунок 512)

Рисунок 512

Рисунок 513

110

Максимальное смещение подвижной платформы вверх и при выдвижении одного из штоков

приводит к одновременному смещению по горизонтальным осям координат (рисунок 513)

Одновременное выдвижение всех штоков двигателей поступательного перемещения может

приветсти с подъёму подвижной плотформы на расстояние сопоставимое с предельным ходом

указанных штоков (рисунок 514)

В том случае если штоки всех двигателей поступательного перемещения максимально

laquoутопленыraquo вниз то подвижная плотформа не меняя своей ориентации опускается вниз

примерно на 23 хода штоков сохраняя при этом свою ориентацию (рисунок 515)

Рисунок 514

Рисунок 515

Как отмечалось выше одна из кинематических цепей содержащая шарнирный

параллелограмм имеет кроме двигателя поступательного перемещения ещё и двигатель

111

вращательного перемещения передавая вращение на рабочий орган При этом как и было

предсказано теорией рабочая платформа не меняет своей ориентации несмотря на изменение

положения плоскости параллелограмма (рисунок 516)


Одним из важнейших вопросов связанных с определением функциональных особенностей

манипуляционных механизмов параллельной структуры является проблема особых положений

Для рассматриваемой экспериментальной модели с теоретической точки зрения возможно два

вида особых положений Один из них связан с потерей одной или нескольких степеней свободы

ndash при этом в одной кинематической цепи должно произойти вырождение кинематических

винтов описывающих все движения

Другой вид особых положений может быть связан с потерей управляемости или наличие

неуправляемой подвижности При этом должна выразиться система силовых винтов

передаваемых с кинематических цепей на подвижную платформу

Для конкретной экспериментальной модели удаётся избежать указанных вырожденных

ситуаций в силу её конструктивных особенностей В частности для достижения особого

положения связанного с потерей степени свободы (сингулярность первого рода) необходимо

чтобы хотя бы один шарнирный параллелограмм laquoсложилсяraquo так чтобы звенья вытянулись в

одну линию В разработанной экспериментальной модели такого положения не существует

Можно приложив внешнее усилие лишь приблизиться к указанным положениям (рисунок

517)

112

При снятии внешней нагрузки механизм несколько отдаляется от достигнутого ранее

положения близкого к особому (рисунок 518)


Подобная ситуация может иметь место при рассмотрении различных кинематических цепей

при этом следует отметить что приложение внешней нагрузки связанной с приближением к

особым положениям может деформировать шарнирные параллелограммы (и в плоскости

изменяют свою форму ndash рисунки 517518 519)

Конструктивной особенностью полученной экспериментальной модели механизма кроме

изложенного обуславливает также отсутствие особых положений связанных с потерей

управляемости (сингулярности второго рода)

Таким образом в данной главе представленна экспериментальная модель механизма

параллельной структуры с четырьмя степенями свободы и тремя кинематическими цепями

причём одна кинематическая цепь передаёт вращение на рабочий орган Экспериментальное

исследование подтвердило теоретические выводы о том что кинематические цепи содержащие

шарнирные параллелограммы а также четыре вращательные кинематические пары с попарно

параллельными осями способны передавать поступательные и вращательные движения с

приводов установленных на основании

113

53 Исследование и моделирование рабочей зона механизма


Одной из основных характеристик механизма параллельной структуры является его рабочая

зона ndash пространство определяемое множеством точек которые достигает рабочий инструмент

выходного звена механизма при изменении входных переменных (параметров) [109 110 111

112 113 114 115 116 117 118] [119 120] Можно создать довольно сложные механизмы как

последовательной так и параллельной структуры но если рабочая зона данного механизма бу-

дет небольшой то их область применения значительно сокращается Поэтому при создании но-

вого механизма особое внимание уделяется такому важному фактору как объём рабочей зоны

Объём зоны определяется аналитически после составления уравнений кинематики механиз-

ма что в некоторых случаях является достаточно сложной задачей либо экспериментально

Для механизмов последовательной структуры прямая задача решается достаточно просто а для

механизмов параллельной структуры мы имеем как правило сложную систему нелинейных

алгебраических либо тригонометрических уравнений которые в аналитическом виде не реша-

ются только числено При этом стоит отметить что при попадании механизма в особое поло-

жение получить численные решения также составляют трудности При численном решении

находясь в зоне особого положения можем попасть на вырожденный случай когда определи-

тель матрицы Якоби системы уравнений связи обращается в нуль В нашем случае мы имеем

механизм параллельной структуры который включает в себя шарнирные параллелограммы

Данные механизмы имеют некоторую особенность при составлении уравнений кинематики за-

ключающиеся в том что часть уравнений имеют линейный вид Это упрощает систему уравне-

ний связи в целом Определить размер и форму рабочей зоны можно путём решения прямой и

обратной задач о положении

Построим рабочую зону механизма с четырьмя степенями свободы описание эксперимен-

тальной модели которого представлено выше Данный механизм состоит из трёх кинематиче-

ских цепей Каждая цепь содержит двигатель поступательного перемещения (4 4rsquo 4rsquorsquo) шар-

нирный параллелограмм (7 7rsquo 7rsquorsquo) начальные вращательные кинематические пары (5 5rsquo 5rsquorsquo) и

конечные вращательные кинематические пары (8 8rsquo 8rsquorsquo) оси которых расположены перпенди-

кулярно осям шарнирного параллелограмма что обеспечивает три поступательных степени

свободы механизма (рисунок 520) Одна из кинематических цепей содержит двигатель враща-

тельного перемещения (11) при этом вращение с привода на рабочий орган (3) передаётся за

счёт механизма шарнирного параллелограмма (7) и вращательной кинематической пары (12)

жёстко связанной с выходным звеном (подробное описание механизма см глава 2 рисунок 21)

Поскольку положение выходной платформы (2) определяется входными переменными обес-

114

печивающими три степени свободы в поступательном движении а за ориентацию (вращение)

рабочего инструмента (3) ndash отвечают входные переменные обеспечивающие одну степень сво-

боды вращательное движения (при фиксированном положении платформы) то в дальнейших

расчётах входными переменными отвечающими за вращение (ориентацию) можно пренебречь


Прямая задача кинематики заключается в определении положения выходного звена по

входным переменным (параметрам) механизма параллельной структуры с двигателями посту-

пательного перемещения расположенными по осям декартовой системы координат Oxyz (рису-

нок 521) Поступательные движения обусловлены тем что в каждой цепи имеется шарнирный

параллелограмм две вращательные кинематические пары и двигатель поступательного пере-

мещения Расположим систему координат таким образом что оси Ox Oy Oz проходят через

пару точек (A1 B1) (A2 B2) (A3 B3) соответственно Оси вращения начальных вращательных

кинематических пар B1 B2 B3 перпендикулярны осям Ox Oy Oz соответственно и параллель-

ны векторам

Эти вектора лежат в плоскости Ozy Oxz Oxy соответственно (рисунок 522)

4

3

4 11

2

4

5

12

5

5

7

7

7

7

7

7

8

8

8

y

z

x

115

Рисунок 521 Поступательно-направляющий механизм

с тремя степенями свободы

Примем расстояние от точек А B и C до О равное R Выпишем координаты точек

A1 (R 0 0)

A2 (0 R 0)

A3 (0 0 R)

B1 (R-r1 0 0)

B2 (0 R-r2 0)

B3 (0 0 R-r3)


Для упрощения выражений зададим R-ri = Pi где i = 1 2 3 ndash номер кинематической цепи ri ndash

переменная величина Координаты точек К1 К2 К3

К1 (x1 y1 z1)

К2 (x2 y2 z2)

M

z

x

y

K1

K2

K3

O e

3

e2

e1

x

y

z

O

a

a

a

O

A3

B3

M A2

B2

B1

A1

y

z

x

R

r1

r3

r2

116

К3 (x3 y3 z3)

Соединяем точки К1 К2 К3 между собой и получаем треугольник (рисунок 523) Положение

точки М однозначно определяется треугольником и в данном случае не рассматривается Для

записи кинематических уравнений воспользуемся алгебраическим методом который основан

на неизменности длин звеньев Неизменность для звеньев B1K1 B2K2 и B3K3 выражается сле-

дующими уравнениями

(51)

Для упрощения решения ось вращения начальной кинематической пары ndash В1 перпендику-

лярна оси Ох и лежит в плоскости Оху Выпишем соотношения неизменности длин К1К2 К2К3

К3К1

(52)

Рассмотрим треугольник К1К2К3 (рисунок 64) Биссектриса угла К3К1К2 перпендикулярна

оси вращения конечной вращательной кинематической паре ndash К1 а следовательно и оси вра-

щения начальной кинематической паре ndash В1 либо единичному вектору е1 Запишем это в виде

трёх уравнений Координаты точки К1rsquo равны

вектор К1К1rsquo равен

Перемножая скалярно вектора и получим выражение

(53)

Аналогичным образом выпишем остальные уравнения и получим соответственно

(54)

(55)

Таким образом мы получили дополнительно три линейных уравнения

Выпишем общую систему состоящую из девяти уравнений с девятью неизвестными

117

(56)

В общем случае система уравнений (56) является системой 32 порядка При приведении сис-

темы к одному уравнению получаем биквадратные уравнения которые в общем случае пони-

жают степень системы В конечном случае данная система (56) имеет два мнимых корня и два

вещественных Два вещественных корня соответствуют двум различным сборкам конструкции

(рисунок 524)

a) b)

c) b)

Рисунок 524 Две сборки механизма Входные переменные равны нулю a) первая сборка

b) вторая сборка Входные переменные имеют максимальные значения

c) первая сборка d) вторая сборка

118

Выбираем первый вариант сборки

На основании решения системы уравнений (56) была построена рабочая зона механизма при

начальных условиях соответствующих реальным размерам экспериментальной модели (глава

5 рисунок 51)

R = 255 м ndash общая длина звена

ri = 0975 м ndash переменная величина

a = 12 ndash длина стороны шарнирного параллелограмма

l = 16 м ndash стороны треугольника К1К2 = К2К3 = К3К2

km = 076 м ndash высота рабочего инструмента от центра М треугольника К1К2К3

h = 0075 ndash шаг счёта

Моделирование работы механизма и определение рабочей зоны произведено в среде Maple

14 текст программы приведён в приложении 1

Как видно на рисунке 525 a) b) рабочая зона механизма имеет достаточно большой объём

что даёт большие перспективы для использования исследуемой конструкции в различных

областях робототехники

a)

b)

Рисунок 525 a) b) Вид сбоку

119

a) b)

c) d)

Рисунок 526 a) b) вид сверху c) d) вид снизу

Рисунок 527 Вид со стороны оси Ox Рисунок 528 Первая точка построения рабочей зо-

ны механизма


1 Экспериментальная модель соответствует механизму предложенному в главе 2 Он со-

стоит из трёх кинематических цепей содержащих двигатель поступательного перемещения

механизм шарнирного параллелограмма В одной из кинематических цепей имеется дополни-

120

тельная конечная вращательная кинематическая пара и двигатель вращательного перемещения

обуславливающие вращение выходного звена

2 Эксперименты показали что

- в данной конструкции механизма особые положения отсутствуют

- кинематические цепи содержащие шарнирные параллелограммы способны передавать по-

ступательные и вращательные движения

3 Для рассматриваемого механизма с четырьмя степенями свободы экспериментально оп-

ределен объём рабочей зоны механизма

4 Наличие большой рабочей зоны позволяет рекомендовать данный механизм для исполь-

зования в различных отраслях робототехники медицине тренажёрах и др

121

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В результате выполнения диссертационного исследования достигнута поставленная цель

разработка и исследование пространственных механизмов параллельной структуры с шарнир-

ными параллелограммами с различным числом степеней свободы обладающих свойствами ки-

нематической и динамической развязки за счёт наличия шарнирных параллелограммов в каж-

дой кинематической цепи

По результатам исследования опубликованы 21 научная статья из которых 5 статей в жур-

налах из перечня ВАК [77 81 100 101 106] 7 статей входящие в базы Scopus и Web of Science

[71 77 81 83 102 103 106] 2 главы в монографиях с соавторами [103 104] тезисы докладов

на различных международных и всероссийских научно-технических конференциях (см список

публикаций по теме диссертации) 2 патента РФ на изобретения [74 76] и 1 патент РФ на по-

лезную модель [75]

Результаты и выводы по диссертационной работе

1 Установлена принципиальная возможность модификации механизма типа Orthoglide для

одновременной передачи шарнирным параллелограммом поступательных и вращательных

движений

2 Разработан ряд механизмов параллельной структуры с четырьмя пятью и шестью степе-

нями свободы которые подтвердили возможность установки двигателей вращательного пере-

мещения на одну ось с двигателями поступательного перемещения вместо карданных валов

как в прототипе Данная замена позволяет упростить конструкция и повысить её жёсткость

3 Для разработанных схем механизмов созданы методики кинематического анализа для

поступательной и для сферической частей механизма с шестью степенями свободы

4 Созданы методики динамического анализа с помощью которых проведены теоретиче-

ские исследования и численный эксперимент с определением динамических параметров новых

механизмов с кинематической развязкой

5 Разработана конструкция и определены технические характеристики натурной модели

механизма параллельной структуры с четырьмя степенями свободы что экспериментально под-

твердило способность шарнирных параллелограммов передавать как поступательные так и

вращательные движения Для разработанной конструкции определена рабочая зона механизма с

учётом особых положений

6 Показано что наличие упругих изгибных элементов в конструкции разработанной на-

турной модели обеспечивает уравновешивание собственного веса механизма незначительно

уменьшает объём рабочей зоны но при этом исключается наличие особых положений

122

7 Установлено что разработанный механизм с шестью степенями свободы имеет кинема-

тическую развязку по положению и ориентации выходного звена что делает возможным ус-

ловное разделение его на два простых механизма ndash поступательный и сферический механизм с

тремя степенями свободы каждый Анализ полученных простых механизмов можно проводить

независимо друг от друга что существенно упрощает решение задач кинематики

8 Установлено что разработанный механизм с шестью степенями свободы кроме кинема-

тической обладает и динамической развязкой поскольку поступательные движения связаны с

большими амплитудами перемещений и скоростей в то время как вращательные движения не

обусловливают больших динамических нагрузок

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Merlet JP Parallel Robots 2nd edn ndash Springer 2006

2 Gogu G Structural Synthesis of Parallel Robots Part 2 Translational Topologies with Two and

Three Degrees of Freedom Springer 2009

3 Bonev A The true origins of parallel robots ndash 2003 [Электронный ресурс]URL

wwwparallemicorg [сайт]

4 Craig JJ Introduction to Robotics Mechanics and Control 3nd edn ndash Pearson Education

International 2005

5 Глазунов ВА Колискор АШ Крайнев АФ Пространственные механизмы параллельной

структуры Москва Наука 1991

6 Диментбер ФМ Винтовое исчисление и его приложение в механике Москва Наука 1965

7 Gwinnett JE Amusement devices US Patent No 1789680 January 20 1931

8 Pollard WLW Position-controlling apparatus US Patent No 2286571 June 16 1942

9 Gough VE Contribution to Discussion of Papers on Research in Automobile Stability Control

and in Tyre Performance Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Auto

Division ndash 1956 ndash C 392-395

10 Stewart D A platform with 6 degrees of freedom Proceedings of the Institution of Mechanical

Engineers ndash 1965 ndash C 371-386

11 Dasgupta B Mruthyunjaya TS Stewart platform manipulator A review Mechanism and

Machine Theory ndash 2000 ndash T 35 1 ndash C 15-40

12 Fichter EF A Stewart Platform-Based Manipulator General Theory and Practical Construction

International Journal of Robotics Research ndash 1986 ndash 2 ndash С 157-181

13 Liu K Lewis F Lebret G Taylor D The Singularities and Dynamics of a Stewart Platform

Manipulator Journal of Intelligent amp Robotic Systems ndash 1993 ndash Т 8 3 ndash C 287-308

14 Griffins M Dufiy J A Forward Displacement Analysis of a Class of a Stewart Platform

Journal of Robotics Systems ndash 1989 ndash 2 ndash С 703-720

15 Dasgupta B Mruthyunjaya TS Singularity-free path planning for the Stewart platform

manipulator Mechanism and Machine Theory ndash 1998 ndash Т 33 6 ndash С 711-725

16 St-Onge BM Gosselin CM Singularity Analysis and Representation of the General Gough-

Stewart Platform International Journal of Robotics Research ndash 2000 ndash 3 ndash С 271-288

17 Ting Y Chen YS Jar HC Kang Y Modeling and control for a Gough-Stewart platform CNC

machine Proceedings of the 2004 IEEE International Conference on Robotics amp Automation

124

New Orleans ndash 2004 ndash C 535ndash540

18 Shaw D Chen YS Cutting path generation of the Stewart-platform-based milling machine using

an end-mill International Journal of Production Research ndash 2010 ndash T 39 7 ndash С 1367ndash83

19 Wapler M Urban V Weisener T Stallkamp J Dűrr M Hiller A A Stewart platform for

precision surgery Transactions of the Institute of Measurement and Control ndash 2003 ndash Т 25

4 ndash С 329ndash334

20 Girone M Burdea G Bouzit M Popescu V Deutsch JE A Stewart platform-based system for

ankle telerehabilitation Autonomous Robots ndash 2001 ndash Т 10 2 ndash С 203ndash212

21 Saltaren R Aracil R Reinoso O Scarano MA Climbing parallel robot A computational and

experimental study of its performance around structural nodes IEEE Transactions on Robotics

ndash 2005 ndash Т 21 6 ndash С 1056ndash66

22 Saltareacuten R Aracil R Alvarez C Yime E Sabater JM Underwater parallel robot for works on

submarine disasters Symposium on Marine Accidental oil Spills VERTIMAR-2007 ndash

University of Vigo Galicia Spain 2007 ndash C 35

23 Clavel R Delta a fast robot with parallel geometry 18th International Symposium on Industrial

Robot ndash Lausanne 1988 ndash C 91ndash100

24 Clavel R Device for the Movement and Positioning of an Element in Space US Patent No

4976582 December 11 1990

25 Miller K Modeling of Dynamics and Model-Based Control of DELTA Direct-Drive Parallel

Robot Journal of Robotics and Mechatronics ndash 1995 ndash Т 17 4 ndash С 344-352

26 Miller K On Accuracy and Computational Efficiency of DELTA Direct Drive Robot Dynamics

Model International Symposium on Microsystems Intelligent Materials and Robots ndash Sendai

Japan 1995 ndash C 568-571

27 Miller K Clavel R The Lagrange-Based Model of Delta-4 Robot Dynamics Roboter systeme

ndash 1992 ndash T 8 4 ndash С 49-54

28 Carricato M Parenti-Castell IV A family of 3-DOF translational parallel manipulators Journal

of Mechanical Design ndash 2003 ndash Т 125 2 ndash С 302-307

29 Innocenti C Parenti-Castelli V Direct kinematics of the 6-4 fully parallel manipulator with

position and orientation uncoupled Robotic Systems ndash 1992 ndash 10 ndash С 3-10

30 Bernier D Castelain JM Li X A new parallel structure with 6 degrees of freedom

Proceedings of the 9th World Congress on the Theory of Machines and Mechanism ndash Milan

Italy 2005 ndash С 8-12

31 Zabalza I Ros J Gil J Pintor JM Jimenez JM TRI-SCOTT A new kinematic structure for a

125

6-dof decoupled parallel manipulator Proceedings of the Workshop on fundamental issues and

future research directions for parallel mechanisms and manipulator ndash Quebec City Canada 2002

ndash С 12-15

32 Takeda Y Kamiyama K Maki Y Higuchi M Sugimoto K Development of position-

orientation decoupled spatial in-parallel actuated mechanisms with six degrees of freedom

Journal of Robotics and Mechatronics ndash 2005 ndash Т 17 1 ndash С 59ndash68

33 Briot S Arakelian V Gueacutegan S PAMINSA A new family of partially decoupled parallel

manipulators Mechanism and Machine Theory ndash 2009 ndash Т 44 2 ndash С 425ndash444

34 Briot S Analysis and Optimization of a New Family of Parallel Manipulators with Decoupled

Motions ndash PhD ThesisFrance HAL archives-ouvertes 2007 ndash 263 c

35 Glazunov V Design of decoupled parallel manipulators by means of the theory of screws

Mechanism and Machine Theory ndash 2010 ndash Т 45 2 ndash С 239ndash250

36 Rashoyan GV Structural synthesis of parallel structure robots based on the theory of screws and

on concepts of reciprocity Technical sciences ndash 2016 ndash Т 12 4 ndash С 771ndash776

37 Rashoyan GV Shalyukhin KA Gaponenko EV Development of structural schemes of parallel

structure manipulators using screw calculus IOP Conf Series Materials Science and

Engineering ndash 2018 ndash Т 327 4 ndash С 042090 (9 pages)

38 Корендясев АИ Саламандра БЛ Тывес ЛИ Манипуляционные системы роботов ndash М

Машиностроение 1989 ndash 472 с

39 Тывес ЛИ Синтез нового механизма параллельной структуры 3x2 с полной групповой

кинематической развязкой Мир робототехники и мехатроники Новые механизмы в

современной робототехнике под ред ВА Глазунова ndash Москва Техносфера 2018 ndash С

121-130

40 Di Gregorio R Kinematics analysis and singularities of novel decoupled parallel manipulators

with simplified architecture Robotica ndash 2017 ndash Т 35 4 ndash С 961ndash979

41 Di Gregorio R A new decoupled parallel manipulator Proceedings of the 10th International

Workshop on Robotics in Alpe-Adria-Danube Region RAAD 2001 ndash Vienna Austria 2001 ndash

С 1-9

42 Lallemand JP Goudali A Zeghloul S The 6-Dof 2-Delta parallel robot Robotica ndash 1997 ndash

Т 15 4 ndash С 407ndash416

43 Mianowski K Zielinska T Parallel manipulator POLMAN with isotropic properties dedicated

for fast manipulation Proceedings of the 2006 IEEE Conference on Robotics Automation and

Mechatronics ndash Bangkok Thailand 2006 ndash C 1-6 (6 pages)

126

44 Jacket P Danescu G Carvalho J Dahan M A spatial Fully-Parallel Manipulator Intetnational

Conference RoManSy92 ndash Udine Italy 1992

45 Mianowski K Singularity analysis of parallel manipulator POLMAN 3times2 with six degrees of

freedom 12th IFToMM World Congress ndash Besanccedilon France 2007 ndash C 1-6

46 Yime E Moreno H Saltaren R A novel 6 DOF parallel robot with decoupled translation and

rotation 13th World Congress in Mechanism and Machine Science ndash Guanajuato Mexico

2011 ndash C 1-6

47 Bosscher P Elbert-Upholf I A novel mechanism for implementing multiple collocated spherical

joints Proceedings IEEE International Conference on Robotics and Automation ndash Taipei

Taiwan 2003 ndash C 336ndash341

48 Zanganeh KE Angeles J Instantaneous kinematics and design of a novel redundant parallel

manipulator Proceedings of the 1994 IEEE International Conference on Robotics and

Automation ndash San Diego CA USA 1994 ndash C 3043ndash48

49 Song SK Kwon DS Kim WS Spherical joint for coupling three or more links together at one

point Patent US 6568871 B2 2003

50 Kong X Gosselin CM Type synthesis of input-output decoupled parallel manipulators

Transactions of the Canadian Society for Mechanical Engineering ndash 2004 ndash T 28 2A ndash С

185-196

51 Jin Y Chen IM Yang G Kinematic design of a 6-DOF parallel manipulator with decoupled

translation and rotation IEEE Transactions on Robotics ndash 2006 ndash Т 22 3 ndash С 545ndash551

52 Cao Y Chen H Qin YEA Type Synthesis of Fully-decoupled Three-rotational and One-

translational Parallel Mechanisms International Journal of Advanced Robotic Systems ndash 2016

ndash Т 13 2 ndash С pp 1-9

53 Глазунов ВА Ширинкин МА Палочкин СВ Пространственный механизм с четырьмя

степенями свободы полезная модель Патент России RU 8860 20112009

54 Ширинкин МА Глазунов ВА Палочкин СВ Разработка манипуляционного механизма

параллельной структуры с четырьмя степенями свободы Технология текстильной

промышленности ndash 2010 ndash 1 (322) ndash С 102 ndash 107

55 Tyves L Glazunov V Danilin P Thanh NM Decoupled Parallel Manipulator with Universal

Joints and Additional Constraints ROMANSY 18 Robot Design Dynamics and Control CISM

International Centre for Mechanical Sciences ndash Vienna 2010 ndash Т 524 ndash C 65-72

56 Глазунов ВА Данилин ПО Левин СВ Тывес ЛИ Шалюхин КА Разработка

механизмов параллельной структуры с кинематической и динамической развязкой

127

Проблемы машиностроения и надежности машин ndash 2010 ndash 2 ndash С 23-32

57 Данилин ПО Тывес ЛИ Глазунов ВА Групповая кинематическая развязка движений в

механизмах параллельной структуры Проблемы машиностроения и надежности машин

3 2010 С 27-36

58 Шалюхин КА Рашоян ГВ Алешин АК Задачи кинематического анализа и особых

положений механизмов роботов параллельной структуры Проблемы машиностроения и

надежности машин ndash 2018 ndash 4 ndash С 11-18

59 Глазунов ВА Левин СВ Шалюхин КА Духов АВ Козырев АВ Пространственный

механизм с шестью степенями свободы Патент России на полезную модель RU

164091 Aug 20 2016

60 Cama Group 2019 [Электронный ресурс] URL httpwwwcamagroupcom

61 UniPackru Оо Один контроллёр управляет тремя дельта-роботами Отраслевой ортал

UniPackru ndash 2011 [Электронный ресурс] URL httpcompanyunipackru179publications

36755 (дата обращения 21092015)

62 Stamper RE A Three Degree of Freedom Parallel Manipulators with Only Translational Degrees

of Freedom ndash PhD Thesis University of Maryland MD USA 1997 ndash 192 p

63 Misyurin SY Kreinin GV Markov AA Sharpanova NS Determination of the degree of

mobility and solution of the direct kinematic problem for an analogue of a Delta robot Journal

of Machinery Manufacture and Reliability ndash 2016 ndash Т 45 5 ndash С 403-411

64 Liu XJ Wang J Gao F Wang LP On the analysis of a new spatial three-degrees-of-freedom

parallel manipulator IEEE Transactions on Robotics and Automation ndash 2011 ndash Т 17 6 ndash

С 959-968

65 Liu XJ Wang J Pritschow G A new family of spatial 3-DoF fully-parallel manipulators with

high rotational capability Mechanism and Machine Theory ndash 2005 ndash Т 40 ndash С 475-494

66 Pierrot F Company O H4 A new family of 4-dofparallel robots Proceedings of the 1999

IEEWASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics ndash Atlanta USA

1999 ndash С 508-513

67 Wu J Yin Z A Novel 4-DOF Parallel Manipulator H4 Parallel Manipulators towards New

Applications Huapeng Wu (Ed) ndash IntechOpen 2008 ndash С 405-448

68 Liu XJ Wang J Some New Parallel Mechanisms Containing the Planar Four-Bar Parallelogram

The International Journal of Robotics Research ndash 2003 ndash Т 22 9 ndash С 717-732

69 Wenger P Chablat D Kinematic analysis of a new parallel machine tool The Orthoglide

Advances in Robot Kinematics ndash 2000 ndash С 305ndash314

128

70 Chablat D Wenger P Device for the movement and orientation of an object in space and use

thereof in rapid machining United States Patent Application Publication No US 2007006232

Mar 22 2007

71 Gosselin CM Hamel JF The agile eye a high performance three-degree-of-freedom camera-

orienting device Proceedings of the 1994 IEEE International Conference on Robotics and

Automation ndash San Diego CA USA 1994 ndash С 781-786

72 Chablat D Wenger P A six degree-of-freedom haptic device based on the Orthoglide and a

hybrid Agile Eye Proceeding of 2006 ASME International Design Engineering Technical

Conferences and Computers and Information in Engineering Conference ndash Philadelphia USA

2006 ndash Т 2 ndash С 795-802

73 Nosova NY A Review of the Parallel Structure Mechanisms with Kinematic Decoupling

Moscow Advanced Technologies in Robotics and Intelligent Systems ndash 2020 ndash T 80 ndash C

247-255

74 Носова НЮ Эволюция методов кинематической развязки механизмов параллельной

структуры Сборник трудов 4-го московского международного симпозиума laquoПриводная

техника и компоненты машинraquo ndash Москва 2018 ndash С 109-116

75 Ларюшкин ПА Рашоян ГВ Эрастова КГ Об особенностях применения винтового

исчисления для оценки близости к  особым положениям механизмов параллельной

структуры Проблемы машиностроения и надёжности машин ndash 2017 ndash 4 ndash С 39-45

76 Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Хейло СВ Пространственный механизм с

четырьмя степенями свободы Патент России на изобретение RU 2534706 Oct 06

2014


пятью степенями свободы Патент России на полезную модель RU 135283 Dec 10

2013

78 Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Хейло СВ Комисарук ЛВ

Пространственный механизм с шестью степенями свободы Патент России на

изобретение RU 253635 Oct 28 2014

79 Nosova NY Glazunov VA Palochkin SV Terekhova AN Synthesis of mechanisms of

parallel structure with kinematic interchange Journal of Machinery Manufacture and Reliability


80 Gosselin C Kinematic analysis optimization and programming of parallel robotic manipulators ndash

PhD Thesis Monreal McGill University 1985 ndash 235 c

129

81 Ларюшкин ПА Оценка близости к особым положениям механизмов параллельной

структуры путем дифференцирования уравнений связи Вестник МГТУ им НЭ Баумана

Серия Машиностроение ndash 2019 ndash 1 ndash С 71-83

82 Ceccarelli M Fundamentals of Mechanics of Robotic Manipulations ndash Kluwer Academic

Publishers 2004 ndash 324 p

83 Nosova NY Glazunov VA Misyurin SY Filippov DN Synthesis and the kinematic analysis

of mechanisms of parallel structure with the outcome of progress Izvestiya Vysshikh

Uchebnykh Zavedenii Seriya Teknologiya Tekstilnoi Promyshlennosti ndash 2015 ndash 2 ndash С 109-

113

84 Kong X Gosselin CM Type Synthesis of Parallel Mechanisms ndash Springer 2007 ndash 272 c

85 Glazunov V Nosova N Ceccarelli M Kinematics of a 6 DOFs manipulator with

interchangeable translation and rotation motions Recent Advances in Mechanism Design for

Robotics Proceedings of the 3rd IFToMM Symposium on Mechanism Design for

RoboticsMechanism and Machine Science ndash Aalborg Denmark 2015 ndash T 33 ndash C 407-416

86 Крутько ПД Обратные задачи динамики управляемых систем Нелинейные модели ndash М

Наука 1988 ndash 328 с

87 Зенкевич СЛ Ющенко АС Основы управления манипуляционными роботами учеб для

вузов ndash 2-е изд исправ и доп под ред СЛ Зенкевича АС Ющенко ndash Москва МГТУ

им НЭ Баумана 2004 ndash 480 с ил

88 Попов ЕП Верещагин АФ Зенкевич СП Манипуляционные роботы Динамика и

алгоритмы ndash М Наука 1978 ndash 400 с

89 Хейло СВ Глазунов ВА Палочкин СВ Манипуляционные механизмы параллельной

структуры Динамический анализ и управление ndash Москва ФГБОУ ВПО laquoМГУДТraquo 2014 ndash

87 с

90 Глазунов ВА Хейло СВ Некоторые актуальные проблемы развития теории механизмов

и машин ndash LAP LAMBERT Academic Publishing 2013 ndash 62 с

91 Fujimoto K et al Derivation and Analysis of Equations of Motion for a 6 dof Direct Drive

Wrist Joint IEEE International Workshop on Intelligent Robots and Systems (IROS) 1991 ndash C

779-784

92 Geng Z Haynes LS On the Dynamic Model and Kinematic Analysis of a class of Stewart

Platforms Robotics and Autonomous Systems ndash 1992 ndash T 9 ndash C 237-254

93 Gosselin CM Parallel Computational Algorithms for the Kinematics and Dynamics of Planar

and Spatial Parallel Manipulators ASME Journal of Dynamic Systems Measurement and

130

Control ndash 1996 ndash T 118 1 ndash С 22-28

94 Ma O Angeles J Direct Kinematics and Dynamics of a Planar Three-DOF Parallel Manipulator

ASME Design and Automation Conference ndash Montreacuteal Canada 1989 ndash Т 3 ndash С 313-320

95 Хейло СВ Глазунов ВА Палочкин СВ Выборнов АП Решение задачи управления

плоским механизмом параллельной структуры Машиностроение и инженерное

образование ndash 2014 ndash 3 ndash С 2-7


структуры Структурный синтез Кинематический и силовой анализ ndash Москва

ФГБОУВПО laquoМГТУ им АН Косыгинаraquo 2011 ndash 153 с

97 Glazunov V Laryushkin P Kheylo S 3-DOF Translational and Rotational Parallel Manipulators

New Trends in Mechanism and Machine Science Theory and Applications in Engineering

2013 ndash С 199-207

98 Laryushkin P Glazunov V A New 3-DOF Translational Parallel Manipulator Kinematics

Dynamics and Workspace Analysis Romansy 19 ndash Robot Design Dynamics and Control

Proceedings of the 19th CISM-IFToMM Symposium ndash Paris France 2012 ndash С 11-18

99 Бесекерский ВА Попов ЕП Теория систем автоматического регулирования ndash М Наука

1975 ndash 768 с

100 Яблонский АА Курс теоретической механики Часть II Динамика ndash М Высшая школа

1966 ndash 412 с

101 Тарг СМ Краткий курс теоретической механики учеб для втозов 10-е изд перераб и

доп ndash М Высшая школа 1986 ndash 416 с

102 Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Динамический анализ манипулятора

параллельной структуры Дизайн и технологии ndash 2015 ndash 47 ndash С 83-94

103 Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Динамика манипулятора параллельной

структуры с учётом закона управления Машиностроение и инженерное образование ndash

2015 ndash 4 ndash С 13-20

104 Nosova NY Glazunov VA Thanh NM Task of Control of Parallel Mechanism for Given

Law of Motion 14th International Federation for the Promotion of Mechanism and Machine

Science World Congress IFToMM 2015 ndash Taipei Taiwan 2015 ndash С 159-163

105 Glazunov V Nosova N Kheylo S Tsarkov A Design and Analysis of the 6-DOF Decoupled

Parallel Kinematics Mechanism Dynamic Decoupling of Robot Manipulators Mechanisms and

Machine Science V Arakelian (ed) ndashSpringer 2018 ndash C 125-170

106 Носова НЮ Глазунов ВА Синтез анализ и управление механизмами с тремя

131

кинематическими цепями для аддитивных технологий Мир робототехники и

мехатроники Новые механизмы в современной робототехнике под ред ВА Глазунова ndash

М Техносфера 2018 ndash С 89-120

107 Хейло СВ Глазунов ВА Во Динь Тунг Решение задачи о скоростях и особых

положениях сферического манипулятора параллельной структуры Машиностроение и

инженерное образование ndash 2011 ndash 1 ndash С 2ndash9

108 Nosova NY Kheilo SV Glazunov VA Tsarkov AV Dynamic Analysis of the Spherical

Part of the Parallel Manipulator Taking into Account the Control Law Journal of Machinery

Manufacture and Reliability ndash 2018 ndash Т 47 3 ndash С 205-212

109 Ларюшкин ПА Палочкин СВ Рабочая зона манипулятора параллельной структуры с

тремя степенями свободы Известия высших учебных заведений Технология текстильной

промышленности ndash 2012 ndash 3 ndash С 92-96

110 Merlet JP Workspace-oriented methodology for designing a parallel manipulator Proceedings

of the 1996 international conference on robotics and automation ndash 1996 ndash С 3726ndash3731

111 Хейло СВ Ларюшкин ПА Определение рабочей зоны манипуляторов параллельной

структуры Справочник Инженерный журнал с приложением ndash 2013 ndash 2 ndash С 27-31

112 Gosselin CM Angeles J Singularity analysis of closed-loop kinematic chains IEEE

Transactions on Robotics and Automatics ndash 1990 ndash Т 6 3 ndash С 281-290

113 Chablat D Kong X Zhang C Kinematics workspace and singularity analysis of a multi-mode

parallel robot ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences amp

Computers and Information in Engineering Conference ndash Cleveland USA 2017 ndash С 1-10

114 Эрастова КГ Ларюшкин ПА Рабочие зоны механизмов параллельной структуры и

способы определения их формы и размеров Известия высших учебных заведений

Машиностроение ndash 2017 ndash 8(689) ndash С 78-87

115 Pashkevich A Chablat D Wenger P Kinematics and workspace analysis of a three-axis parallel

manipulator the Orthoglide Robotica ndash 2006 ndash Т 24 1 ndash С 39-49

116 Chablat D Kong X Zhang C Kinematics Workspace and Singularity Analysis of a Parallel

Robot With Five Operation Modes Journal of Mechanisms and Robotics ndash 2018 ndash Т 10 3

ndash С 035001

117 Эрастова КГ Ларюшкин ПА Глазунов ВА Рабочая зона и оптимальные

геометрические параметры сферического манипулятора параллельной структуры XXVIII

Международная инновационно-ориентированная конференция молодых ученых и

студентов МИКМУС-2016 ndash Москва 2017 ndash С 310-313

132

118 Rashoyan G Shalyukhin K Antonov A Aleshin A Skvortsov S Analysis of the Structure and

Workspace of the Isoglide-Type Robot for Rehabilitation Tasks Advances in Intelligent

Systems and Computing ndash 2020 ndash Т 1126 ndash С 186-194

119 Пащенко ВН Построение рабочей зоны шестистепенного манипулятора параллельной

структуры на базе кривошипно-шатунного механизма Интернет-журнал laquoНауковедениеraquo

ndash 2016 ndash Т 8 3

120 Wang Y Fan S Zhang X Lu G Zhao G Kinematics and singularity analysis of a 3-RPS

parallel mechanism IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics ROBIO


133

ПРИЛОЖЕНИЯ

134

Приложение 1

Алгоритм программы для анализа рабочей зоны механизма в MAPLE 140

135

136

137

138

139

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в научных изданиях

1 Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Терехова АН Синтез механизмов парал-

лельной структуры с кинематической развязкой Проблемы машиностроения и надёжности

машин ndash 2014 ndash 5 ndash С 34-40

Перевод Nosova NY Glazunov VA Palochkin SV Terekhova AN Synthesis of mechanisms

of parallel structure with kinematic interchange Journal of Machinery Manufacture and Reliability ndash

2014 ndash T 43 5 ndash C 378ndash383 DOI 103103S1052618814050136

2 Носова НЮ Глазунов ВА Мисюрин СЮ Филиппов ДН Синтез и кинематический

анализ механизмов параллельной структуры с развязкой поступательных движений Известия

высших учебных заведений Технология текстильной промышленности ndash 2015 ndash 2 ndash С 109-

113

Перевод Nosova NYu Glazunov VA Misyurin SYu Filippov DN Synthesis and the kine-

matic analysis of mechanisms of parallel structure with the outcome of progress Izvestiya Vysshikh

Uchebnykh Zavedenii Seriya Teknologiya Tekstilnoi Promyshlennosti ndash 2015 ndash 2 ndash P 109-113

3 Glazunov V Nosova N Ceccarelli M Kinematics of a 6 DOFs manipulator with interchange-

able translation and rotation motions Recent Advances in Mechanism Design for Robotics Proceed-

ings of the 3rd IFToMM Symposium on Mechanism Design for Robotics Mechanisms and Machine

Science ndash Springer Switzerland 2015 ndash T 33 ndash C 407-416 DOI 101007978-3-319-18126-4_39

4 Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Динамический анализ манипулятора па-

раллельной структуры Дизайн и технологии ndash 2015 ndash 47 ndash С 83-94

5 Nosova NYu Glazunov VA Nguyen Minh Thanh Task of Control of Parallel Mechanism

for Given Law of Motion 14th International Federation for the Promotion of Mechanism and Ma-

chine Science World Congress IFToMM 2015 ndash National Taiwan University Taipei Taiwan ndash 2015

ndash C 159-163 DOI 106567IFToMM14THWCOS12010


структуры с учётом закона управления Машиностроение и инженерное образование ndash 2015 ndash

4 ndash С 13-20

7 Glazunov VA Nosova NYu Kheilo SV Tsarkov AV Design and Analysis of the 6-DOF

Decoupled Parallel Kinematics Mechanism (Book Chapter) Mechanisms and Machine Science ndash

2018 ndash T 56 ndash C 125-170 DOI 101007978-3-319-74363-9_6

8 Носова НЮ Хейло СВ Глазунов ВА Царьков АВ Динамический анализ сфериче-

ской части манипулятора параллельной структуры с учетом закона управления Проблемы

машиностроения и надежности машин ndash 2018 ndash 3 ndash С 3-11

140

DOI 107868S023571191803001X

Перевод Nosova NYu Kheilo SV Glazunov VA Tsarkov AV Dynamic Analysis of the

Spherical Part of the Parallel Manipulator Taking into Account the Control Law Journal of Machin-

ery Manufacture and Reliability ndash 2018 ndash Т 47 3 ndash С 205-212

DOI 103103S1052618818030111

9 Носова НЮ Глазунов ВА Синтез анализ и управление механизмами с тремя кинема-

тическими цепями для аддитивных технологий Мир робототехники и мехатроники Новые

механизмы в современной робототехнике под ред ВА Глазунова ndash М Техносфера 2018 ndash

С 89 ndash 120

10 Nosova NYu A Review of the Parallel Structure Mechanisms with Kinematic Decoupling

Advanced Technologies in Robotics and Intelligent Systems Proceeding of ITR 2019 Mechanisms

and Machine Science ndash 2020 ndash T 80 ndash C 247 ndash 255 DOI 101007978-3-030-33491-8_30

Патент на полезную модель и изобретение

Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Хейло СВ Пространственный механизм с пя-

тью степенями свободы Патент на полезную модель RU 135283 регистрация в Государст-

венном реестре РФ 10 декабря 2013 г

Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Хейло СВ Пространственный механизм с че-

тырьмя степенями свободы Патент на изобретение Ru 2534706 регистрация в Государст-

венном реестре РФ 06 октября 2014 г

Носова НЮ Глазунов ВА Палочкин СВ Хейло СВ Комисарук ЛВ Пространствен-

ный механизм с шестью степенями свободы Патент на изобретения RU 253635 регистра-

ция в Государственном реестре РФ 28 октября 2014 г

Тезисы докладов в сборниках научных трудов конференций

1 Носова НЮ Структурный синтез пространственного манипулятора параллельной

структуры с четырьмя степенями свободы Сб Тезисы докладов на 65-ю межвузовская науч-

но-техническую конференцию laquoСтуденты и молодые учёные КГТУ ndash производствуraquo ndash Костро-

ма 2013 ndash С 146

2 Носова НЮ Палочкин СВ Пространственный манипулятор параллельной структуры

с пятью степенями свободы (тезисы) Сб Молодые учёные ndash развитию текстильной и лёгкой

промышленности (ПОИСК-2013) материалы международной научно-технической конферен-

ции аспирантов и студентов Ч2 ndash Иваново 2013 ndash С 160-161

3 Носова НЮ Палочкин СВ Задача о положениях механизма параллельной структуры

с развязкой поступательных движений Сб Дизайн технологии и инновации в текстильной и

141

лёгкой промышленности (Инновации-2013) материалы международной научно-технической

конференции ndash Москва 2013 ndash С 45

4 Носова НЮ Глазунов ВА Пространственный манипулятор параллельной структуры

с пятью степенями свободы Машины технологии и материалы для современного машино-

строения посвященная 75-летию Института машиноведения им АА Благонравова РАН Ма-

териалы международной научной конференции ndash Москва 2013 ndash С 77

5 Носова НЮ Палочкин СВ Определение работоспособности механизма параллельной

структуры с четырьмя степенями свободы методом винтов Новое в технике и технологии тек-

стильной и лёгкой промышленности материалы докладов международной научно-технической

конференции ndash Витебск 2013 ndash С 338-340

6 Носова НЮ Особенности конструктивных решений пространственного манипулятора

параллельной структуры с кинематической развязкой 2-й международный симпозиум laquoСо-

временные проблемы создания и производства механических передачraquo ndash Москва 2013

7 Носова НЮ Определение скоростей и особых положений сферического манипулятора

Сб Тезисы докладов на 66-й межвузовской научно-технической конференции молодых учё-

ных и студентов laquoСтуденты и молодые учёные КГТУ ndash производствуraquo ndash Кострома 2014 ndash

С70-71

8 Носова НЮ Палочкин СВ Расчёт скоростей поступательно-направляющего манипу-

лятора методом дифференцирования уравнений связи с применением матрицы Якоби Инно-

вационные технологии в текстильной и лёгкой промышленности Материалы докладов между-

народной научно-технической конференции ndash Витебск 2014 ndash С 286-288


структуры с пятью степенями свободы методом винтов Сб Дизайн технологии и инновации

в текстильной и лёгкой промышленности (Инновации-2014) материалы международной науч-

но-технической конференции ndash Москва 2014 ndash С 165-168

10 Носова НЮ Палочкин СВ Анализ колебательных процессов механизма параллельной

структуры на основе уравнения ДаламбераndashЛагранжа II рода Сб Дизайн технологии и инно-

вации в текстильной и лёгкой промышленности (Инновации-2013) материалы международной

научно-технической конференции Часть 3 ndash Москва 2015 ndash С 12-16


структуры Сборник трудов 4-го московского международного симпозиума laquoПриводная тех-

ника и компоненты машинraquo ndash Москва 2018 ndash С 109-116

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА 1 ОБЗОР МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С РАЗЛИЧНЫМ

ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 9

11 Обзор механизмов параллельной структуры от трёх до шести степеней свободы 9

12 Механизмы параллельной структуры с шарнирными параллелограммами 20


ГЛАВА 2 АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И РАБОТОСПОСОБНОСТИ МЕХАНИЗМОВ

ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ПЯТЬЮ И ШЕСТЬЮ СТЕПЕНЯМИ

СВОБОДЫ 27


работоспособности механизма параллельной структуры с четырьмя степенями свободы 27


работоспособности механизма параллельной структуры с пятью степенями свободы 38


работоспособности механизма параллельной структуры с шестью степенями свободы 45


ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

СТРУКТУРЫ С РАЗВЯЗКОЙ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ 51

31 Решение прямой и обратной задач кинематики для механизма параллельной структуры

с поступательными движениями выходного звена 51

311 Решение обратной задачи кинематики 52

312 Решение прямой задачи кинематики 55


механизма параллельной структуры с поступательными движениями выходного звена 56

33 Решение прямой задачи кинематики для сферического механизма параллельной

структуры 59



34 Решение задачи кинематики (о положении) для сферического механизма параллельной

структуры с использованием метода поворота системы координат 66




3















свободы 113






4

ВВЕДЕНИЕ

































5
































движений

6


























зультатов






7























mark 2015 г












8






9

ГЛАВА 1






























10










роботах [20 21 22]

11

























5 1

3

4

2

6

7

z

y

x

5

12




































13























14



































15


румента























16























17








a) b)


















18











вязкой [52]












19



























20











чами [58]














21


















22

















23



























24


ний


















25










задачей

























26














27

ГЛАВА 2

































28






























45 45)1(6 ppnW (21)



29


















4

1

3

4 11

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

30




























(21) имеем

7235)119(6 W




452)1(3 ppnW (22)

31




142)14(3 W







лучаем

2145)113(6 W






1

3

4

4

11

2

4

5

10

12

10

10

5 6

6

7

7 7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

5

6

32




















15 звеньев
















33






4165)115(6 W







сунке 23




Рисунок 23

E32

E12

E13

E15

E14

E16

E33

E34

E35

E22

E23

E24

E25

y

z

x

E11

34

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0) E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 e

о25x 0 0)

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)






0001000

0

000

11

0

11

0

11

00

11

0

11

0

11

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000001

0

000

12

0

12

0

12

00

12

0

12

0

12

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

13

13

0

13

0

13

00

13

0

13

0

13

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

0000010

0

000

14

0

14

0

14

00

14

0

14

0

14

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

15

15

0

15

0

15

00

15

0

15

0

15

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer


ijx e0



r0

ijx r0

ijy r0








0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

35

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer


R3 (0 0 0 0 1 0)





0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer


R5 (0 0 0 0 0 1)


100000

010000

010000

001000

100000

)(R



36







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

0001

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


E12

E13

E15

E16 E14

E11

37

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

1

0001

0010

000

0010

00100

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

2

0001

0010

000

0010

00001

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

143

0001

0010

000

00100

00001

)(

z

z

yx

e

e

eeЕ

0

16

0

15

0

134

0001

0010

0010

00100

00001

)(

z

z

z

e

e

eЕ

0

15

0

14

0

14

0

135

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

yx

z

e

ee

eЕ








0

16

0

15

0

13 00

0)1(0)1(0

10001

zzz eeceb

cb

a

(23)


ное с

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeb

cb

a

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeс

cb

a

1

0

13

0

15

0

16

0

16

0

15

0

13

zz

z

zzz

ee

eс

eeceс

cb

a







38

Рисунок 25














E32 y

E12

2

E34

E13

E15

E14

E22

E23

E25

E24

E26

E33

E35

E34

E36

E16

z

x

E11

1

E34

39

















1

11

1rsquo

1

3

4

4

2

4rsquo

5

10

12

10

10rsquo

6

5rsquo

5

6

6rsquo

7

7

7rsquo

7

7

8 9

8rsquo 9rsquo

8 9

12rsquo

11rsquo

13 13rsquo 13rsquo

7rsquo

40



































41



5255)121(6 W









4165)115(6 W






1

3

4

4

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

12

11

1

1

13 13 13

11

42




ем

5175)116(6 W







Рисунок 28




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E32

E33

E34

E25

E23

E22

E24

E16

E15 E13

E12

E14

E26

E35

E2

1

E11

y

z

x

43

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)




R1 (0 0 0 0 0 1)






0010000

0

000

21

0

21

0

21

00

21

0

21

0

21

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer






100000

010000

001000

100000

)(R

44







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )



0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










52)1(3 pnW (24)

252)15(3 W




свободы

45

Рисунок 29



















E33

y

z

x E32

E35 E36

E34

E23 E25

3

E24

3

E26

E22 E16

E15 E13

E12

Е14 E11

E21

46
















4

10

6

5 7

7

8 9

1

11

1

4

10

5

6 7

7

8 9

12

1

3

4 11

2

5

10 12

7

7

8 9

6

11

12

13 13

13 13

13 13

y

z

x

47


3275)123(6 W








6185)117(6 W


Рисунок 211






E32

E33

E34

E25

E24

E16

E15

E12

E14 E2

6

E35

E36

E31

E21

E22

y

z

x

E13 E11 E23

48




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 -1 0) E15 (0 1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 -1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 1) E25 (0 0 -1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E31 (0 0 1 0 0 0) E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0)

E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 eо35y 0) E36 (0 0 1 0 0 0)









0100000

0

000

31

0

31

0

31

00

31

0

31

0

31

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer



010000

001000

100000

)(R

49







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


енты

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










362)16(3 W









50














51

ГЛАВА 3





























го звена

52




















Lx


z

x

y A

B1

B3

B2

O

53





22

1

2

1

2

1 Lzzyyxx BABABA

22

2

2

2

2


22

3

2

3

2

3 Lzzyyxx BABABA


yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3



22

3

22

222

2

2

2222

1

Lzzyx

Lzyyx

Lzyxx

BAAA

ABAA

AABA

(32)





B3

z

y

x

A

O

B1

B2

L

Lx

Ly

Lz

54

22221

12 2

Lzyx

xxx

AAB

BAA

01

2

1 СxВxА BВ

2222

2

1

2

2

4

LzyxС

xВ

А

САВВx

ААА

A

B

(33)

2222

222 2

Lzy

yyyx

AB

BAAA

02

2

2 СyВyА BВ

2222

2

2

2

2

4

LzyxС

yВ

А

САВВy

ААА

A

B

(34)

2233

222

2 Lzzz

zyx

BBA

AAA

03

2

3 СzВzА BВ

2222

2

3

2

2

4

LzyxС

zВ

А

САВВz

ААА

A

B

(35)




решения

2222

2

1

LzyxC

xB

A

AAA

A

115132

422

1

2222

C

B

A

87111 Bx 87512 Bx


2222

2

1

LzyxC

yB

A

AAA

A

115132

632

1

2222

C

B

A

47121 By 47722 By


2222

2

1

LzyxC

zB

A

AAA

A

115132

212

1

2222

C

B

A

46231 Bz 46432 Bz





55








2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3






2222

11

2 2 Lzyxxxx AABBAA

222

22


22

33




022 2

2

21

2

1 BABBAB yyyxxx

2

2

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

22

B

BA

B

BB

A

BABBBA

y

xx

y

xyy

xxxyyy

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

AA

B

B

B

B

B

BB

xbay

y

x

y

xb

y

xya

(37)


022 3

2

31

2

1 BABBAB zzzxxx

2

2

2

22

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

2

33

B

BA

B

BB

A

BABBBA

z

xx

z

xzz

xxxzzz

2

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

3

AA

B

B

B

B

B

BB

xdcz

z

x

z

xd

z

xzc

(38)


2 2222

11

2 Lzyxxxx AABBAA

)()(2 2222

11


)()(2)()(22 222222

11


)(2)(22 22222222

11


56

02 СxВxА AA

2

42

А

САВВxA

222

1

2222

1

1

22

LсaxС

dcbaxВ

dbA

B

B

(39)





830a 670b AA xy 670830


51c 02d AA xz 251


445A 898B 0618C

1811 Ax 8122 Ax



0501 Ay 7122 Ay

8631 Az 1242 Az
















57





нием




уравнений

0)(

0)(

0)(

33

22

11

BAAA

BAAA

BAAA

zzyxF

yzyxF

xzyxF


0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LzzyxF

LzyzxF

LzyxxF

BAAA

AByA

AABA

(311)



1)( iVBVA

AAA

AAA

AAA

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

A

333

222

111

3

3

2

2

1

1

00

00

00

B

B

B

z

F

y

F

x

F

B

z

y

x

V

V

V

V

31

21

11

1

V

V

V

Vi (312)







58

31

21

11

3

3

2

2

1

1

333

222

111

00

00

00

V

V

V

z

F

y

F

x

F

V

V

V

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

B

B

B

z

y

x

AAA

AAA

AAA

(313)



11 22 BA

A

xxx

F

A

A

yy

F

21 A

A

zz

F

21 AB

B

xxx

F

22 1

1

1

A

A

xx

F

22 2

2 22 BA

A

yyy

F

A

A

zz

F

22 AB

B

yyy

F

22 2

2

2

A

A

zx

F

23 A

A

yy

F

23 3

3 22 BA

A

zzz

F

AB

B

zzz

F

22 3

3

3


31

21

11

1

1

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

V

V

V

xx

xx

xx

V

V

V

zzyz

zyyy

zyxx

AB

AB

AB

z

y

x

BAAA

ABAA

AABA




2

1

50

931000

094200

007515

931064

294204

267515

z

y

x

V

V

V



8621931064

9420294204

877267515

zyx

zyx

zyx

VVV

VVV

VVV





59


связи [83]



















z

φ11

x

φ21

y φ

31

60

cossin0

sincos0

001

1111

11111

B

cos0sin

010

sin0cos

2121

2121

2

В

100

0cossin

0sincos

3131

3131

3

B










11

11

1111

1111

cos

sin

0

cossin0

sincos0

001

1

0

0

c

b

a

Mx

Рисунок 34



cos

0

sin

cos0sin

010

sin0cos

1

0

0

21

21

2121

2121

f

e

d

My



61




2222 MMM zyx (314)



0 zcyM



0cossin 1111 c

11tanc

0tan 11 zyM (315)



0 zdxM



0cossin 2121 d

21tand

0tan 21 zxM (316)


0tan

0tan

21

11

2222

MM

MM

MMM

zx

zy

zyx

(317)


2

21

2

11

22 1tantan Mz

1tantan 21

2

11

2

Mz (318)



62

1tantan 21

2

11

2

Mz

1tantantan

21

2

11

221

Mx (319)

1tantantan

21

2

11

211

My




sincos Mx

coscos My (320)

sinMz

Рисунок 35

Получим

01tantan

tansincos

21

2

11

211

01tantan

tancoscos

21

2

11

221

(321)

01tantan

sin

21

2

11

2


O y

z

M(xyz)

x

α

β

63

01tantan

1tansincos

21

2

11

211

01tantan

1tancoscos

21

2

11

221

(322)

01tantan

1sin

21

2

11

2



φ11 и φ21


1tantan

1arcsin

21

2

11

2 (323)


1tantan

1

cos

tanarccos

21

2

11

2

11

(324)




0)( 2111 F (325)

0)(

0)(

21112

21111

F

F (326)



64

1tantan

1sin

1tantan

1tancoscos

1tantan

1tansincos

21

2

11

23

21

2

11

2212

21

2

11

2111

F

F

F

(327)















1)( DVC (328)

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(329)








65

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

1tantan

1tansincos

23

21

2

11

2

11

2

11

2

21

2

11

2

11

2

21

2

11

211

1111

1

F

23

21

2

11

2

21

2

2111

21

1

1tantan

tan1tantan

F

coscos1

F

sinsin1

F

23

21

2

11

2

11

2

1121

21

2

11

221

1111

2

1tantan

tan1tantan

1tantan

1tancoscos

F

23

21

2

11

2

21

2

21

2

21

2

11

2

21

2

21

2

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

F

sincos2

F

sincos2

F


21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(330)





020

010

86401120

13308640

41704630

737026201

0160

0210



66











осей Oxyz













φ11 φ21

y x

z

φ22 φ23

φ13

φ12

φ31

φ32 φ33

φ32

φ33

67







Рисунок 37



разом

cossin0

sincos0

001

1А

cos0sin

010

sin0cos

2А

100

0cossin

0sincos

3

А



123 AAAA (331)

coscossincossin



А



имеют

вид

68

1111

1111

1

cossin0

sincos0

001

B

1212

1212

2

cos0sin

010

sin0cos

В

100

0cossin

0sincos

1313

1313

3

B



ры)



3

2

1

ВВВВ

121111131312111311121311

111213111312111311121113

1213121312



sinsincoscoscos

В



1

0

0



1

0

0

1

0



1211

1112

12

coscos

sincos

sin

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

Рисунок 38

O

е31

е11

y

z

x

е21

69



1211 coscoscoscos

11

11

cos

sin

coscos

sincossinsincos

11tancoscos

sincossinsincos

(332)



3

1

2

ВВВВ

222123212223212322212123

2223222322

212222212323212321232221


sincoscossincos


В



1

0

0



1

0

0

1

0


и


2221

22

2122

coscos

sin

sincos

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin



2221 coscoscoscos

21

21

cos

sin

coscos

sincoscossinsin

0tancoscos

sincoscossinsin21

(333)



70

2

1

3

ВВВВ

3332323332

323331333132313332313133

323133333131323332313331

coscossinsincos



В



0

1

0

0

1


0

1

0

0

1



32

3231

3132

sin

coscos

sincos

sincos

sinsinsincoscos

sincossinsincos




31

31

cos

sin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

0tansinsinsincoscos

sinsincossincos31

(334)


0)( 312111 F (335)



0)(

0)(

0)(

313

212

111

F

F

F

(336)




71

tansinsinsincoscos

sinsincossincos

tancoscos

sincoscossinsin

tancoscos

sincossinsincos

313

212

111

F

F

F

(337)












1)( DVC (338)

333

222

111

FFF

FFF

FFF

C

31

3

21

2

11

1

00

00

00

F

F

F

D

V

31

21

11

1





поворота)



72

31

21

11

31

3

21

2

11

1

333

222

111

00

00

00

F

F

F

FFF

FFF

FFF

(339)


coscos

2sin2

tancoscos

sincossinsincos2

2

111

F

coscos


2

1

F

sincos

sincoscossinsin1

F

12

11

11

1

tg

F

221

2

coscos

sintan

coscos

sincoscossinsin

F

coscos


2

2

F

coscos

sincossinsincos2

F

12

21

21

2

tg

F

231

3

)sinsinsincos(cos

sintan

sinsinsincoscos

sinsincossincos

F

2

3

)sinsinsincos(cos


sinsinsincoscos

sincoscos

F

1)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sin2

23

F

12

31

31

3

tg

F


73

333

222

111

1

31

3

21

2

11

1

31

21

11

00

00

00

FFF

FFF

FFF

F

F

F

(340)















02330

02000

05000

000015291025490

108900472114290

261600001031711

0000100

0068510

00283311

31

21

11

0

03790

04650

31

21

11





рад [85]




74







ний связи





75

ГЛАВА 4

































76




41 (b))






жениями

a) b)






темы







O

A

L

x

y

z

B2

B3

B1

z

x

y A

B1

B3

B2

O

77

03

33

2

22

1

11

q

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rP z

zz

z

y

z

y

yx

xx

x



rx

2q

ry

3q

rz



i

q

x

q

r

i +

jq

y

j +

jq

z






0

0

0

3

3

3

333

3

2

2

2

222

2

1

1

1

111

1

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

z

y

x

(41)


z

q

y

q

x







0

i

i

iiii qq

Fz

z

Fy

y

Fx

x

F




x

F

q

F

q

x i

i

i

i

y

F

q

F

q

y i

i

i

i

z

F

q

F

q

z i

i

i

i

(42)


78







0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LqzyxF

LzqyxF

LzyqxF

(43)



1)( iVВVА (44)

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

AJA

333

222

111

)(

3

3

2

2

1

1

00

00

00

)(

q

F

q

F

q

F

BJB

z

y

x

V

3

2

1

1

q

q

q

Vi



0222

22222

2

22

2

2

2

2

22

12

2

2

2

1

2

1

1

ii qt

xqt

zt

x

zt

yt

xyt

qt

xt

qxqdt

dx

dt

d

dt

dF

dt

d


)(

)(

)(

))((

)(

)(

)(

))((

3

2

1

tq

tq

tq

tBJ

tz

ty

tx

tAJ

(45)


= 3 м


11 22 qx

x

F

y

y

F21

z

z

F21

xq

q

F22 1

1

1

79

xx

F22

2

2 22 qyy

F

z

z

F22

yq

q

F22 2

2

2

xx

F23

23

y

F 3

3 22 qzz

F

zq

q

F22 3

3

3


3

2

1

3

2

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

q

q

q

zq

yq

xq

z

y

x

qzyx

zqyx

zyqx






3

2

1

3

2

1)(

)()(

)(

q

q

q

dt

BdJ

q

q

q

BJ

z

y

x

dt

AdJ

z

y

x

AJ

(46)


0222222

02222222

0222222

33

2

3

222

2

22

2

2

22

222

11

2

1

qzqzqzyyyxxx

zzzqyqyqyyxxx

zzzyyyqxqxqx

или

2

2222

4

22

2

2222

4

22

2

2222

4

22

222

22

2

3222

2

3

222

22

2

3222

2

2

222

22

2

3222

2

1

yxL

yyxxyx

yxL

yyxxzq

zxL

zzxxzx

zxL

zzxxyq

zyL

zzyyzy

zyL

zzyyxq

(47)






80



)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T


)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T



нию [4 86 87 95]


01

01

01

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(48)
















01

0101

ii

TTT

i

TTT

i

TTTi

qmg

q

zzzzzzm

qyyyyym

qxxxxxmP

(49)

где i = 1 2 3 λ = x y z


81





)(3086)(578

)(3086)(578

)(3086)(578

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(411)








82











46


83












84













85




86























φ32

φ33 φ11 φ21

y x

z

φ22

φ23

φ13

φ12

φ31

φ33

φ32

λ

η

μ

87



)(

JJdt

dJM

JJdt

dJM

JJdt

dJM

(412)






μ ii

dt

d






вен

dt

dKM OИ

O








0ii MM




88






0

0

0

31

313131

31

21

212121

21

11

111111

11

JJJM

JJJM

JJJM

(413)

где 1i

1i

1i




1i

1i













ного звена

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

333333

222222

111111

(414)


uijxdeg uijy

deg uijz


deg uijy

deg uijz



89



звена





трёх строк

ziyixizixixi

ziyixizixixi

ziyixizixixi

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

333333

222222

111111

(415)








(416)





ской пары)


(417)




90







ской цепи)







11

11

1111

1111

12

12

12

sin

cos

0

0

1

0

cossin0

sincos0

001

z

y

x




coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

13

13

13

A

z

y

x






21

21

2121

2121

22

22

22

sin

0

cos

0

0

1

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

23

23

23

A

z

y

x

91




0

sin

cos

0

0

1

100

0cossin

0sincos

31

31

3131

3131

32

32

32

z

y

x

sincos

sinsinsincoscos

cossinsinsincos

0

1

0

33

33

33

A

z

y

x




рице А

111111

111111

1111

12

12

12

1

12

12

12



coscossinsinsin

z

y

x

A

e

e

e

212121

212121

2121

22

22

22

1

22

22

22



coscoscossinsin

z

y

x

A

e

e

e

31313131

31313131

31

32

32

32

1

32

32

32



coscos

z

y

x

A

e

e

e




1

0

0

13

13

13

e

e

e

1

0

0

23

23

23

e

e

e

0

1

0

33

33

33

e

e

e



r1deg=e12middote33=

131313

121212

eee


92


111111

0


1111

0

1 coscossinsinsin r

00

1 r



r2deg=e22middote23=

232323

222222

eee



212121

0


2121

0


2 r

r3deg=e32middote33=

333333

323232

eee



31

313131

0

3

sinsincossin


r

coscos 31

0

3 r coscos 31

0

3 r


равна

0

coscossinsinsin


1111

111111

0

1

0

1

0

1

r

r

r

0

coscoscossinsin


2121

212121

0

3

0

2

0

2

r

r

r

coscos

coscos


31

31

31313131

0

3

0

3

0

3

r

r

r



93


B



[107]

1211

1112

12

0

1

0

1

0

1

coscos

sincos

sin

z

y

x

r

r

r

2221

22

2122

0

3

0

2

0

2

coscos

sin

sincos

z

y

x

r

r

r

32

3231

3132

0

3

0

3

0

3

sin

coscos

sincos

z

y

x

r

r

r



(418)


d

dt

d dt



d

dt

d

dt

d







ку О (ω = i1 ωη + j1 ωλ + k1 ωλ) [100]




или

(419)



векторов

94



1

0

0




Oy)

0

cos

sin

0

1

0

3

А




sin

sincos

coscos

0

0

1

А


10)sin(

0cos)sin(cos

0)sin()cos(cos



AA

1AA

где

10sin

0cossincos

0sincoscos


95

cos

sincos

sincos (420)

)sincos(tg


1i

1i

можно


i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

(421)


ωη

ωλ

ωμ

ω11

ω21



форме

0

1

0

1

1111 xr

r

0

1

0

1

1111 yr

r

0

1

0

1

1111 zr

r

0

2

0

2

2121 xr

r

0

2

0

2

2121 yr

r

0

2

0

2

2121 zr

r

(422)

0

3

0

3

3131 xr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

0

3

0

3

3131 zr

r




ijii cM (423)








96





87 95]


01

01

01

TTT

TTT

TTT

(424)




2cos

sinsincos

cos

sincoscossin

sincoscossin (425)

sincostan1 2

sincoscossintan






тории








97




1

01

1

01

1

01

i

TTT

i

TTT

i

TTTi

kJ

kJ

kJM

(426)



(427)




3086578

3086578

3086578 0

TTT

TTT

TTT

(428)





98














99









100






101





сунках 422 423 424


102











103











[105 106 108]





104

ГЛАВА 5






























105



Рисунок 52




Рисунок 53





106







Рисунок 56





107

Рисунок 57

Рисунок 58






Рисунок 59

108





Рисунок 510








510 511)

Рисунок 511

109













Рисунок 512

Рисунок 513

110









Рисунок 514

Рисунок 515



111




















517)

112


















113



































114
















4

3

4 11

2

4

5

12

5

5

7

7

7

7

7

7

8

8

8

y

z

x

115




A1 (R 0 0)

A2 (0 R 0)

A3 (0 0 R)

B1 (R-r1 0 0)

B2 (0 R-r2 0)

B3 (0 0 R-r3)




К1 (x1 y1 z1)

К2 (x2 y2 z2)

M

z

x

y

K1

K2

K3

O e

3

e2

e1

x

y

z

O

a

a

a

O

A3

B3

M A2

B2

B1

A1

y

z

x

R

r1

r3

r2

116

К3 (x3 y3 z3)






(51)



К3К1

(52)







(53)


(54)

(55)



117

(56)






a) b)

c) b)




118
















a)

b)


119

a) b)

c) d)








120











121
















движений


















122

















International 2005

























124


















4976582 December 11 1990
















125



ndash С 12-15




















121-130





С 1-9






126







2011 ndash C 1-6











185-196
















127




3 2010 С 27-36






164091 Aug 20 2016












С 959-968





1999 ndash С 508-513







128



Mar 22 2007










247-255









2014



2013









129









113















87 с





779-784





130












2013 ndash С 199-207





1975 ndash 768 с


1966 ndash 412 с















131





























ndash С 035001





132










133


134



135

136

137

138

139












113
















4 ndash С 13-20







140

DOI 107868S023571191803001X




DOI 103103S1052618818030111




С 89 ndash 120

























141

















С70-71
















3















свободы 113






4

ВВЕДЕНИЕ

































5
































движений

6


























зультатов






7























mark 2015 г












8






9

ГЛАВА 1






























10










роботах [20 21 22]

11

























5 1

3

4

2

6

7

z

y

x

5

12




































13























14



































15


румента























16























17








a) b)


















18











вязкой [52]












19



























20











чами [58]














21


















22

















23



























24


ний


















25










задачей

























26














27

ГЛАВА 2

































28






























45 45)1(6 ppnW (21)



29


















4

1

3

4 11

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

30




























(21) имеем

7235)119(6 W




452)1(3 ppnW (22)

31




142)14(3 W







лучаем

2145)113(6 W






1

3

4

4

11

2

4

5

10

12

10

10

5 6

6

7

7 7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

5

6

32




















15 звеньев
















33






4165)115(6 W







сунке 23




Рисунок 23

E32

E12

E13

E15

E14

E16

E33

E34

E35

E22

E23

E24

E25

y

z

x

E11

34

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0) E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 e

о25x 0 0)

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)






0001000

0

000

11

0

11

0

11

00

11

0

11

0

11

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000001

0

000

12

0

12

0

12

00

12

0

12

0

12

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

13

13

0

13

0

13

00

13

0

13

0

13

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

0000010

0

000

14

0

14

0

14

00

14

0

14

0

14

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

15

15

0

15

0

15

00

15

0

15

0

15

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer


ijx e0



r0

ijx r0

ijy r0








0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

35

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer


R3 (0 0 0 0 1 0)





0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer


R5 (0 0 0 0 0 1)


100000

010000

010000

001000

100000

)(R



36







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

0001

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


E12

E13

E15

E16 E14

E11

37

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

1

0001

0010

000

0010

00100

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

2

0001

0010

000

0010

00001

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

143

0001

0010

000

00100

00001

)(

z

z

yx

e

e

eeЕ

0

16

0

15

0

134

0001

0010

0010

00100

00001

)(

z

z

z

e

e

eЕ

0

15

0

14

0

14

0

135

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

yx

z

e

ee

eЕ








0

16

0

15

0

13 00

0)1(0)1(0

10001

zzz eeceb

cb

a

(23)


ное с

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeb

cb

a

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeс

cb

a

1

0

13

0

15

0

16

0

16

0

15

0

13

zz

z

zzz

ee

eс

eeceс

cb

a







38

Рисунок 25














E32 y

E12

2

E34

E13

E15

E14

E22

E23

E25

E24

E26

E33

E35

E34

E36

E16

z

x

E11

1

E34

39

















1

11

1rsquo

1

3

4

4

2

4rsquo

5

10

12

10

10rsquo

6

5rsquo

5

6

6rsquo

7

7

7rsquo

7

7

8 9

8rsquo 9rsquo

8 9

12rsquo

11rsquo

13 13rsquo 13rsquo

7rsquo

40



































41



5255)121(6 W









4165)115(6 W






1

3

4

4

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

12

11

1

1

13 13 13

11

42




ем

5175)116(6 W







Рисунок 28




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E32

E33

E34

E25

E23

E22

E24

E16

E15 E13

E12

E14

E26

E35

E2

1

E11

y

z

x

43

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)




R1 (0 0 0 0 0 1)






0010000

0

000

21

0

21

0

21

00

21

0

21

0

21

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer






100000

010000

001000

100000

)(R

44







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )



0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










52)1(3 pnW (24)

252)15(3 W




свободы

45

Рисунок 29



















E33

y

z

x E32

E35 E36

E34

E23 E25

3

E24

3

E26

E22 E16

E15 E13

E12

Е14 E11

E21

46
















4

10

6

5 7

7

8 9

1

11

1

4

10

5

6 7

7

8 9

12

1

3

4 11

2

5

10 12

7

7

8 9

6

11

12

13 13

13 13

13 13

y

z

x

47


3275)123(6 W








6185)117(6 W


Рисунок 211






E32

E33

E34

E25

E24

E16

E15

E12

E14 E2

6

E35

E36

E31

E21

E22

y

z

x

E13 E11 E23

48




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 -1 0) E15 (0 1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 -1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 1) E25 (0 0 -1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E31 (0 0 1 0 0 0) E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0)

E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 eо35y 0) E36 (0 0 1 0 0 0)









0100000

0

000

31

0

31

0

31

00

31

0

31

0

31

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer



010000

001000

100000

)(R

49







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


енты

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










362)16(3 W









50














51

ГЛАВА 3





























го звена

52




















Lx


z

x

y A

B1

B3

B2

O

53





22

1

2

1

2

1 Lzzyyxx BABABA

22

2

2

2

2


22

3

2

3

2

3 Lzzyyxx BABABA


yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3



22

3

22

222

2

2

2222

1

Lzzyx

Lzyyx

Lzyxx

BAAA

ABAA

AABA

(32)





B3

z

y

x

A

O

B1

B2

L

Lx

Ly

Lz

54

22221

12 2

Lzyx

xxx

AAB

BAA

01

2

1 СxВxА BВ

2222

2

1

2

2

4

LzyxС

xВ

А

САВВx

ААА

A

B

(33)

2222

222 2

Lzy

yyyx

AB

BAAA

02

2

2 СyВyА BВ

2222

2

2

2

2

4

LzyxС

yВ

А

САВВy

ААА

A

B

(34)

2233

222

2 Lzzz

zyx

BBA

AAA

03

2

3 СzВzА BВ

2222

2

3

2

2

4

LzyxС

zВ

А

САВВz

ААА

A

B

(35)




решения

2222

2

1

LzyxC

xB

A

AAA

A

115132

422

1

2222

C

B

A

87111 Bx 87512 Bx


2222

2

1

LzyxC

yB

A

AAA

A

115132

632

1

2222

C

B

A

47121 By 47722 By


2222

2

1

LzyxC

zB

A

AAA

A

115132

212

1

2222

C

B

A

46231 Bz 46432 Bz





55








2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3






2222

11

2 2 Lzyxxxx AABBAA

222

22


22

33




022 2

2

21

2

1 BABBAB yyyxxx

2

2

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

22

B

BA

B

BB

A

BABBBA

y

xx

y

xyy

xxxyyy

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

AA

B

B

B

B

B

BB

xbay

y

x

y

xb

y

xya

(37)


022 3

2

31

2

1 BABBAB zzzxxx

2

2

2

22

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

2

33

B

BA

B

BB

A

BABBBA

z

xx

z

xzz

xxxzzz

2

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

3

AA

B

B

B

B

B

BB

xdcz

z

x

z

xd

z

xzc

(38)


2 2222

11

2 Lzyxxxx AABBAA

)()(2 2222

11


)()(2)()(22 222222

11


)(2)(22 22222222

11


56

02 СxВxА AA

2

42

А

САВВxA

222

1

2222

1

1

22

LсaxС

dcbaxВ

dbA

B

B

(39)





830a 670b AA xy 670830


51c 02d AA xz 251


445A 898B 0618C

1811 Ax 8122 Ax



0501 Ay 7122 Ay

8631 Az 1242 Az
















57





нием




уравнений

0)(

0)(

0)(

33

22

11

BAAA

BAAA

BAAA

zzyxF

yzyxF

xzyxF


0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LzzyxF

LzyzxF

LzyxxF

BAAA

AByA

AABA

(311)



1)( iVBVA

AAA

AAA

AAA

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

A

333

222

111

3

3

2

2

1

1

00

00

00

B

B

B

z

F

y

F

x

F

B

z

y

x

V

V

V

V

31

21

11

1

V

V

V

Vi (312)







58

31

21

11

3

3

2

2

1

1

333

222

111

00

00

00

V

V

V

z

F

y

F

x

F

V

V

V

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

B

B

B

z

y

x

AAA

AAA

AAA

(313)



11 22 BA

A

xxx

F

A

A

yy

F

21 A

A

zz

F

21 AB

B

xxx

F

22 1

1

1

A

A

xx

F

22 2

2 22 BA

A

yyy

F

A

A

zz

F

22 AB

B

yyy

F

22 2

2

2

A

A

zx

F

23 A

A

yy

F

23 3

3 22 BA

A

zzz

F

AB

B

zzz

F

22 3

3

3


31

21

11

1

1

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

V

V

V

xx

xx

xx

V

V

V

zzyz

zyyy

zyxx

AB

AB

AB

z

y

x

BAAA

ABAA

AABA




2

1

50

931000

094200

007515

931064

294204

267515

z

y

x

V

V

V



8621931064

9420294204

877267515

zyx

zyx

zyx

VVV

VVV

VVV





59


связи [83]



















z

φ11

x

φ21

y φ

31

60

cossin0

sincos0

001

1111

11111

B

cos0sin

010

sin0cos

2121

2121

2

В

100

0cossin

0sincos

3131

3131

3

B










11

11

1111

1111

cos

sin

0

cossin0

sincos0

001

1

0

0

c

b

a

Mx

Рисунок 34



cos

0

sin

cos0sin

010

sin0cos

1

0

0

21

21

2121

2121

f

e

d

My



61




2222 MMM zyx (314)



0 zcyM



0cossin 1111 c

11tanc

0tan 11 zyM (315)



0 zdxM



0cossin 2121 d

21tand

0tan 21 zxM (316)


0tan

0tan

21

11

2222

MM

MM

MMM

zx

zy

zyx

(317)


2

21

2

11

22 1tantan Mz

1tantan 21

2

11

2

Mz (318)



62

1tantan 21

2

11

2

Mz

1tantantan

21

2

11

221

Mx (319)

1tantantan

21

2

11

211

My




sincos Mx

coscos My (320)

sinMz

Рисунок 35

Получим

01tantan

tansincos

21

2

11

211

01tantan

tancoscos

21

2

11

221

(321)

01tantan

sin

21

2

11

2


O y

z

M(xyz)

x

α

β

63

01tantan

1tansincos

21

2

11

211

01tantan

1tancoscos

21

2

11

221

(322)

01tantan

1sin

21

2

11

2



φ11 и φ21


1tantan

1arcsin

21

2

11

2 (323)


1tantan

1

cos

tanarccos

21

2

11

2

11

(324)




0)( 2111 F (325)

0)(

0)(

21112

21111

F

F (326)



64

1tantan

1sin

1tantan

1tancoscos

1tantan

1tansincos

21

2

11

23

21

2

11

2212

21

2

11

2111

F

F

F

(327)















1)( DVC (328)

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(329)








65

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

1tantan

1tansincos

23

21

2

11

2

11

2

11

2

21

2

11

2

11

2

21

2

11

211

1111

1

F

23

21

2

11

2

21

2

2111

21

1

1tantan

tan1tantan

F

coscos1

F

sinsin1

F

23

21

2

11

2

11

2

1121

21

2

11

221

1111

2

1tantan

tan1tantan

1tantan

1tancoscos

F

23

21

2

11

2

21

2

21

2

21

2

11

2

21

2

21

2

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

F

sincos2

F

sincos2

F


21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(330)





020

010

86401120

13308640

41704630

737026201

0160

0210



66











осей Oxyz













φ11 φ21

y x

z

φ22 φ23

φ13

φ12

φ31

φ32 φ33

φ32

φ33

67







Рисунок 37



разом

cossin0

sincos0

001

1А

cos0sin

010

sin0cos

2А

100

0cossin

0sincos

3

А



123 AAAA (331)

coscossincossin



А



имеют

вид

68

1111

1111

1

cossin0

sincos0

001

B

1212

1212

2

cos0sin

010

sin0cos

В

100

0cossin

0sincos

1313

1313

3

B



ры)



3

2

1

ВВВВ

121111131312111311121311

111213111312111311121113

1213121312



sinsincoscoscos

В



1

0

0



1

0

0

1

0



1211

1112

12

coscos

sincos

sin

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

Рисунок 38

O

е31

е11

y

z

x

е21

69



1211 coscoscoscos

11

11

cos

sin

coscos

sincossinsincos

11tancoscos

sincossinsincos

(332)



3

1

2

ВВВВ

222123212223212322212123

2223222322

212222212323212321232221


sincoscossincos


В



1

0

0



1

0

0

1

0


и


2221

22

2122

coscos

sin

sincos

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin



2221 coscoscoscos

21

21

cos

sin

coscos

sincoscossinsin

0tancoscos

sincoscossinsin21

(333)



70

2

1

3

ВВВВ

3332323332

323331333132313332313133

323133333131323332313331

coscossinsincos



В



0

1

0

0

1


0

1

0

0

1



32

3231

3132

sin

coscos

sincos

sincos

sinsinsincoscos

sincossinsincos




31

31

cos

sin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

0tansinsinsincoscos

sinsincossincos31

(334)


0)( 312111 F (335)



0)(

0)(

0)(

313

212

111

F

F

F

(336)




71

tansinsinsincoscos

sinsincossincos

tancoscos

sincoscossinsin

tancoscos

sincossinsincos

313

212

111

F

F

F

(337)












1)( DVC (338)

333

222

111

FFF

FFF

FFF

C

31

3

21

2

11

1

00

00

00

F

F

F

D

V

31

21

11

1





поворота)



72

31

21

11

31

3

21

2

11

1

333

222

111

00

00

00

F

F

F

FFF

FFF

FFF

(339)


coscos

2sin2

tancoscos

sincossinsincos2

2

111

F

coscos


2

1

F

sincos

sincoscossinsin1

F

12

11

11

1

tg

F

221

2

coscos

sintan

coscos

sincoscossinsin

F

coscos


2

2

F

coscos

sincossinsincos2

F

12

21

21

2

tg

F

231

3

)sinsinsincos(cos

sintan

sinsinsincoscos

sinsincossincos

F

2

3

)sinsinsincos(cos


sinsinsincoscos

sincoscos

F

1)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sin2

23

F

12

31

31

3

tg

F


73

333

222

111

1

31

3

21

2

11

1

31

21

11

00

00

00

FFF

FFF

FFF

F

F

F

(340)















02330

02000

05000

000015291025490

108900472114290

261600001031711

0000100

0068510

00283311

31

21

11

0

03790

04650

31

21

11





рад [85]




74







ний связи





75

ГЛАВА 4

































76




41 (b))






жениями

a) b)






темы







O

A

L

x

y

z

B2

B3

B1

z

x

y A

B1

B3

B2

O

77

03

33

2

22

1

11

q

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rP z

zz

z

y

z

y

yx

xx

x



rx

2q

ry

3q

rz



i

q

x

q

r

i +

jq

y

j +

jq

z






0

0

0

3

3

3

333

3

2

2

2

222

2

1

1

1

111

1

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

z

y

x

(41)


z

q

y

q

x







0

i

i

iiii qq

Fz

z

Fy

y

Fx

x

F




x

F

q

F

q

x i

i

i

i

y

F

q

F

q

y i

i

i

i

z

F

q

F

q

z i

i

i

i

(42)


78







0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LqzyxF

LzqyxF

LzyqxF

(43)



1)( iVВVА (44)

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

AJA

333

222

111

)(

3

3

2

2

1

1

00

00

00

)(

q

F

q

F

q

F

BJB

z

y

x

V

3

2

1

1

q

q

q

Vi



0222

22222

2

22

2

2

2

2

22

12

2

2

2

1

2

1

1

ii qt

xqt

zt

x

zt

yt

xyt

qt

xt

qxqdt

dx

dt

d

dt

dF

dt

d


)(

)(

)(

))((

)(

)(

)(

))((

3

2

1

tq

tq

tq

tBJ

tz

ty

tx

tAJ

(45)


= 3 м


11 22 qx

x

F

y

y

F21

z

z

F21

xq

q

F22 1

1

1

79

xx

F22

2

2 22 qyy

F

z

z

F22

yq

q

F22 2

2

2

xx

F23

23

y

F 3

3 22 qzz

F

zq

q

F22 3

3

3


3

2

1

3

2

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

q

q

q

zq

yq

xq

z

y

x

qzyx

zqyx

zyqx






3

2

1

3

2

1)(

)()(

)(

q

q

q

dt

BdJ

q

q

q

BJ

z

y

x

dt

AdJ

z

y

x

AJ

(46)


0222222

02222222

0222222

33

2

3

222

2

22

2

2

22

222

11

2

1

qzqzqzyyyxxx

zzzqyqyqyyxxx

zzzyyyqxqxqx

или

2

2222

4

22

2

2222

4

22

2

2222

4

22

222

22

2

3222

2

3

222

22

2

3222

2

2

222

22

2

3222

2

1

yxL

yyxxyx

yxL

yyxxzq

zxL

zzxxzx

zxL

zzxxyq

zyL

zzyyzy

zyL

zzyyxq

(47)






80



)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T


)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T



нию [4 86 87 95]


01

01

01

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(48)
















01

0101

ii

TTT

i

TTT

i

TTTi

qmg

q

zzzzzzm

qyyyyym

qxxxxxmP

(49)

где i = 1 2 3 λ = x y z


81





)(3086)(578

)(3086)(578

)(3086)(578

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(411)








82











46


83












84













85




86























φ32

φ33 φ11 φ21

y x

z

φ22

φ23

φ13

φ12

φ31

φ33

φ32

λ

η

μ

87



)(

JJdt

dJM

JJdt

dJM

JJdt

dJM

(412)






μ ii

dt

d






вен

dt

dKM OИ

O








0ii MM




88






0

0

0

31

313131

31

21

212121

21

11

111111

11

JJJM

JJJM

JJJM

(413)

где 1i

1i

1i




1i

1i













ного звена

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

333333

222222

111111

(414)


uijxdeg uijy

deg uijz


deg uijy

deg uijz



89



звена





трёх строк

ziyixizixixi

ziyixizixixi

ziyixizixixi

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

333333

222222

111111

(415)








(416)





ской пары)


(417)




90







ской цепи)







11

11

1111

1111

12

12

12

sin

cos

0

0

1

0

cossin0

sincos0

001

z

y

x




coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

13

13

13

A

z

y

x






21

21

2121

2121

22

22

22

sin

0

cos

0

0

1

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

23

23

23

A

z

y

x

91




0

sin

cos

0

0

1

100

0cossin

0sincos

31

31

3131

3131

32

32

32

z

y

x

sincos

sinsinsincoscos

cossinsinsincos

0

1

0

33

33

33

A

z

y

x




рице А

111111

111111

1111

12

12

12

1

12

12

12



coscossinsinsin

z

y

x

A

e

e

e

212121

212121

2121

22

22

22

1

22

22

22



coscoscossinsin

z

y

x

A

e

e

e

31313131

31313131

31

32

32

32

1

32

32

32



coscos

z

y

x

A

e

e

e




1

0

0

13

13

13

e

e

e

1

0

0

23

23

23

e

e

e

0

1

0

33

33

33

e

e

e



r1deg=e12middote33=

131313

121212

eee


92


111111

0


1111

0

1 coscossinsinsin r

00

1 r



r2deg=e22middote23=

232323

222222

eee



212121

0


2121

0


2 r

r3deg=e32middote33=

333333

323232

eee



31

313131

0

3

sinsincossin


r

coscos 31

0

3 r coscos 31

0

3 r


равна

0

coscossinsinsin


1111

111111

0

1

0

1

0

1

r

r

r

0

coscoscossinsin


2121

212121

0

3

0

2

0

2

r

r

r

coscos

coscos


31

31

31313131

0

3

0

3

0

3

r

r

r



93


B



[107]

1211

1112

12

0

1

0

1

0

1

coscos

sincos

sin

z

y

x

r

r

r

2221

22

2122

0

3

0

2

0

2

coscos

sin

sincos

z

y

x

r

r

r

32

3231

3132

0

3

0

3

0

3

sin

coscos

sincos

z

y

x

r

r

r



(418)


d

dt

d dt



d

dt

d

dt

d







ку О (ω = i1 ωη + j1 ωλ + k1 ωλ) [100]




или

(419)



векторов

94



1

0

0




Oy)

0

cos

sin

0

1

0

3

А




sin

sincos

coscos

0

0

1

А


10)sin(

0cos)sin(cos

0)sin()cos(cos



AA

1AA

где

10sin

0cossincos

0sincoscos


95

cos

sincos

sincos (420)

)sincos(tg


1i

1i

можно


i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

(421)


ωη

ωλ

ωμ

ω11

ω21



форме

0

1

0

1

1111 xr

r

0

1

0

1

1111 yr

r

0

1

0

1

1111 zr

r

0

2

0

2

2121 xr

r

0

2

0

2

2121 yr

r

0

2

0

2

2121 zr

r

(422)

0

3

0

3

3131 xr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

0

3

0

3

3131 zr

r




ijii cM (423)








96





87 95]


01

01

01

TTT

TTT

TTT

(424)




2cos

sinsincos

cos

sincoscossin

sincoscossin (425)

sincostan1 2

sincoscossintan






тории








97




1

01

1

01

1

01

i

TTT

i

TTT

i

TTTi

kJ

kJ

kJM

(426)



(427)




3086578

3086578

3086578 0

TTT

TTT

TTT

(428)





98














99









100






101





сунках 422 423 424


102











103











[105 106 108]





104

ГЛАВА 5






























105



Рисунок 52




Рисунок 53





106







Рисунок 56





107

Рисунок 57

Рисунок 58






Рисунок 59

108





Рисунок 510








510 511)

Рисунок 511

109













Рисунок 512

Рисунок 513

110









Рисунок 514

Рисунок 515



111




















517)

112


















113



































114
















4

3

4 11

2

4

5

12

5

5

7

7

7

7

7

7

8

8

8

y

z

x

115




A1 (R 0 0)

A2 (0 R 0)

A3 (0 0 R)

B1 (R-r1 0 0)

B2 (0 R-r2 0)

B3 (0 0 R-r3)




К1 (x1 y1 z1)

К2 (x2 y2 z2)

M

z

x

y

K1

K2

K3

O e

3

e2

e1

x

y

z

O

a

a

a

O

A3

B3

M A2

B2

B1

A1

y

z

x

R

r1

r3

r2

116

К3 (x3 y3 z3)






(51)



К3К1

(52)







(53)


(54)

(55)



117

(56)






a) b)

c) b)




118
















a)

b)


119

a) b)

c) d)








120











121
















движений


















122

















International 2005

























124


















4976582 December 11 1990
















125



ndash С 12-15




















121-130





С 1-9






126







2011 ndash C 1-6











185-196
















127




3 2010 С 27-36






164091 Aug 20 2016












С 959-968





1999 ndash С 508-513







128



Mar 22 2007










247-255









2014



2013









129









113















87 с





779-784





130












2013 ndash С 199-207





1975 ndash 768 с


1966 ndash 412 с















131





























ndash С 035001





132










133


134



135

136

137

138

139












113
















4 ndash С 13-20







140

DOI 107868S023571191803001X




DOI 103103S1052618818030111




С 89 ndash 120

























141

















С70-71
















4

ВВЕДЕНИЕ

































5
































движений

6


























зультатов






7























mark 2015 г












8






9

ГЛАВА 1






























10










роботах [20 21 22]

11

























5 1

3

4

2

6

7

z

y

x

5

12




































13























14



































15


румента























16























17








a) b)


















18











вязкой [52]












19



























20











чами [58]














21


















22

















23



























24


ний


















25










задачей

























26














27

ГЛАВА 2

































28






























45 45)1(6 ppnW (21)



29


















4

1

3

4 11

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

30




























(21) имеем

7235)119(6 W




452)1(3 ppnW (22)

31




142)14(3 W







лучаем

2145)113(6 W






1

3

4

4

11

2

4

5

10

12

10

10

5 6

6

7

7 7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

5

6

32




















15 звеньев
















33






4165)115(6 W







сунке 23




Рисунок 23

E32

E12

E13

E15

E14

E16

E33

E34

E35

E22

E23

E24

E25

y

z

x

E11

34

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0) E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 e

о25x 0 0)

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)






0001000

0

000

11

0

11

0

11

00

11

0

11

0

11

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000001

0

000

12

0

12

0

12

00

12

0

12

0

12

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

13

13

0

13

0

13

00

13

0

13

0

13

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

0000010

0

000

14

0

14

0

14

00

14

0

14

0

14

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

15

15

0

15

0

15

00

15

0

15

0

15

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer


ijx e0



r0

ijx r0

ijy r0








0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

35

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer


R3 (0 0 0 0 1 0)





0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer


R5 (0 0 0 0 0 1)


100000

010000

010000

001000

100000

)(R



36







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

0001

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


E12

E13

E15

E16 E14

E11

37

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

1

0001

0010

000

0010

00100

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

2

0001

0010

000

0010

00001

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

143

0001

0010

000

00100

00001

)(

z

z

yx

e

e

eeЕ

0

16

0

15

0

134

0001

0010

0010

00100

00001

)(

z

z

z

e

e

eЕ

0

15

0

14

0

14

0

135

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

yx

z

e

ee

eЕ








0

16

0

15

0

13 00

0)1(0)1(0

10001

zzz eeceb

cb

a

(23)


ное с

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeb

cb

a

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeс

cb

a

1

0

13

0

15

0

16

0

16

0

15

0

13

zz

z

zzz

ee

eс

eeceс

cb

a







38

Рисунок 25














E32 y

E12

2

E34

E13

E15

E14

E22

E23

E25

E24

E26

E33

E35

E34

E36

E16

z

x

E11

1

E34

39

















1

11

1rsquo

1

3

4

4

2

4rsquo

5

10

12

10

10rsquo

6

5rsquo

5

6

6rsquo

7

7

7rsquo

7

7

8 9

8rsquo 9rsquo

8 9

12rsquo

11rsquo

13 13rsquo 13rsquo

7rsquo

40



































41



5255)121(6 W









4165)115(6 W






1

3

4

4

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

12

11

1

1

13 13 13

11

42




ем

5175)116(6 W







Рисунок 28




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E32

E33

E34

E25

E23

E22

E24

E16

E15 E13

E12

E14

E26

E35

E2

1

E11

y

z

x

43

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)




R1 (0 0 0 0 0 1)






0010000

0

000

21

0

21

0

21

00

21

0

21

0

21

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer






100000

010000

001000

100000

)(R

44







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )



0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










52)1(3 pnW (24)

252)15(3 W




свободы

45

Рисунок 29



















E33

y

z

x E32

E35 E36

E34

E23 E25

3

E24

3

E26

E22 E16

E15 E13

E12

Е14 E11

E21

46
















4

10

6

5 7

7

8 9

1

11

1

4

10

5

6 7

7

8 9

12

1

3

4 11

2

5

10 12

7

7

8 9

6

11

12

13 13

13 13

13 13

y

z

x

47


3275)123(6 W








6185)117(6 W


Рисунок 211






E32

E33

E34

E25

E24

E16

E15

E12

E14 E2

6

E35

E36

E31

E21

E22

y

z

x

E13 E11 E23

48




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 -1 0) E15 (0 1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 -1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 1) E25 (0 0 -1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E31 (0 0 1 0 0 0) E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0)

E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 eо35y 0) E36 (0 0 1 0 0 0)









0100000

0

000

31

0

31

0

31

00

31

0

31

0

31

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer



010000

001000

100000

)(R

49







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


енты

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










362)16(3 W









50














51

ГЛАВА 3





























го звена

52




















Lx


z

x

y A

B1

B3

B2

O

53





22

1

2

1

2

1 Lzzyyxx BABABA

22

2

2

2

2


22

3

2

3

2

3 Lzzyyxx BABABA


yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3



22

3

22

222

2

2

2222

1

Lzzyx

Lzyyx

Lzyxx

BAAA

ABAA

AABA

(32)





B3

z

y

x

A

O

B1

B2

L

Lx

Ly

Lz

54

22221

12 2

Lzyx

xxx

AAB

BAA

01

2

1 СxВxА BВ

2222

2

1

2

2

4

LzyxС

xВ

А

САВВx

ААА

A

B

(33)

2222

222 2

Lzy

yyyx

AB

BAAA

02

2

2 СyВyА BВ

2222

2

2

2

2

4

LzyxС

yВ

А

САВВy

ААА

A

B

(34)

2233

222

2 Lzzz

zyx

BBA

AAA

03

2

3 СzВzА BВ

2222

2

3

2

2

4

LzyxС

zВ

А

САВВz

ААА

A

B

(35)




решения

2222

2

1

LzyxC

xB

A

AAA

A

115132

422

1

2222

C

B

A

87111 Bx 87512 Bx


2222

2

1

LzyxC

yB

A

AAA

A

115132

632

1

2222

C

B

A

47121 By 47722 By


2222

2

1

LzyxC

zB

A

AAA

A

115132

212

1

2222

C

B

A

46231 Bz 46432 Bz





55








2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3






2222

11

2 2 Lzyxxxx AABBAA

222

22


22

33




022 2

2

21

2

1 BABBAB yyyxxx

2

2

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

22

B

BA

B

BB

A

BABBBA

y

xx

y

xyy

xxxyyy

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

AA

B

B

B

B

B

BB

xbay

y

x

y

xb

y

xya

(37)


022 3

2

31

2

1 BABBAB zzzxxx

2

2

2

22

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

2

33

B

BA

B

BB

A

BABBBA

z

xx

z

xzz

xxxzzz

2

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

3

AA

B

B

B

B

B

BB

xdcz

z

x

z

xd

z

xzc

(38)


2 2222

11

2 Lzyxxxx AABBAA

)()(2 2222

11


)()(2)()(22 222222

11


)(2)(22 22222222

11


56

02 СxВxА AA

2

42

А

САВВxA

222

1

2222

1

1

22

LсaxС

dcbaxВ

dbA

B

B

(39)





830a 670b AA xy 670830


51c 02d AA xz 251


445A 898B 0618C

1811 Ax 8122 Ax



0501 Ay 7122 Ay

8631 Az 1242 Az
















57





нием




уравнений

0)(

0)(

0)(

33

22

11

BAAA

BAAA

BAAA

zzyxF

yzyxF

xzyxF


0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LzzyxF

LzyzxF

LzyxxF

BAAA

AByA

AABA

(311)



1)( iVBVA

AAA

AAA

AAA

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

A

333

222

111

3

3

2

2

1

1

00

00

00

B

B

B

z

F

y

F

x

F

B

z

y

x

V

V

V

V

31

21

11

1

V

V

V

Vi (312)







58

31

21

11

3

3

2

2

1

1

333

222

111

00

00

00

V

V

V

z

F

y

F

x

F

V

V

V

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

B

B

B

z

y

x

AAA

AAA

AAA

(313)



11 22 BA

A

xxx

F

A

A

yy

F

21 A

A

zz

F

21 AB

B

xxx

F

22 1

1

1

A

A

xx

F

22 2

2 22 BA

A

yyy

F

A

A

zz

F

22 AB

B

yyy

F

22 2

2

2

A

A

zx

F

23 A

A

yy

F

23 3

3 22 BA

A

zzz

F

AB

B

zzz

F

22 3

3

3


31

21

11

1

1

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

V

V

V

xx

xx

xx

V

V

V

zzyz

zyyy

zyxx

AB

AB

AB

z

y

x

BAAA

ABAA

AABA




2

1

50

931000

094200

007515

931064

294204

267515

z

y

x

V

V

V



8621931064

9420294204

877267515

zyx

zyx

zyx

VVV

VVV

VVV





59


связи [83]



















z

φ11

x

φ21

y φ

31

60

cossin0

sincos0

001

1111

11111

B

cos0sin

010

sin0cos

2121

2121

2

В

100

0cossin

0sincos

3131

3131

3

B










11

11

1111

1111

cos

sin

0

cossin0

sincos0

001

1

0

0

c

b

a

Mx

Рисунок 34



cos

0

sin

cos0sin

010

sin0cos

1

0

0

21

21

2121

2121

f

e

d

My



61




2222 MMM zyx (314)



0 zcyM



0cossin 1111 c

11tanc

0tan 11 zyM (315)



0 zdxM



0cossin 2121 d

21tand

0tan 21 zxM (316)


0tan

0tan

21

11

2222

MM

MM

MMM

zx

zy

zyx

(317)


2

21

2

11

22 1tantan Mz

1tantan 21

2

11

2

Mz (318)



62

1tantan 21

2

11

2

Mz

1tantantan

21

2

11

221

Mx (319)

1tantantan

21

2

11

211

My




sincos Mx

coscos My (320)

sinMz

Рисунок 35

Получим

01tantan

tansincos

21

2

11

211

01tantan

tancoscos

21

2

11

221

(321)

01tantan

sin

21

2

11

2


O y

z

M(xyz)

x

α

β

63

01tantan

1tansincos

21

2

11

211

01tantan

1tancoscos

21

2

11

221

(322)

01tantan

1sin

21

2

11

2



φ11 и φ21


1tantan

1arcsin

21

2

11

2 (323)


1tantan

1

cos

tanarccos

21

2

11

2

11

(324)




0)( 2111 F (325)

0)(

0)(

21112

21111

F

F (326)



64

1tantan

1sin

1tantan

1tancoscos

1tantan

1tansincos

21

2

11

23

21

2

11

2212

21

2

11

2111

F

F

F

(327)















1)( DVC (328)

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(329)








65

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

1tantan

1tansincos

23

21

2

11

2

11

2

11

2

21

2

11

2

11

2

21

2

11

211

1111

1

F

23

21

2

11

2

21

2

2111

21

1

1tantan

tan1tantan

F

coscos1

F

sinsin1

F

23

21

2

11

2

11

2

1121

21

2

11

221

1111

2

1tantan

tan1tantan

1tantan

1tancoscos

F

23

21

2

11

2

21

2

21

2

21

2

11

2

21

2

21

2

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

F

sincos2

F

sincos2

F


21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(330)





020

010

86401120

13308640

41704630

737026201

0160

0210



66











осей Oxyz













φ11 φ21

y x

z

φ22 φ23

φ13

φ12

φ31

φ32 φ33

φ32

φ33

67







Рисунок 37



разом

cossin0

sincos0

001

1А

cos0sin

010

sin0cos

2А

100

0cossin

0sincos

3

А



123 AAAA (331)

coscossincossin



А



имеют

вид

68

1111

1111

1

cossin0

sincos0

001

B

1212

1212

2

cos0sin

010

sin0cos

В

100

0cossin

0sincos

1313

1313

3

B



ры)



3

2

1

ВВВВ

121111131312111311121311

111213111312111311121113

1213121312



sinsincoscoscos

В



1

0

0



1

0

0

1

0



1211

1112

12

coscos

sincos

sin

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

Рисунок 38

O

е31

е11

y

z

x

е21

69



1211 coscoscoscos

11

11

cos

sin

coscos

sincossinsincos

11tancoscos

sincossinsincos

(332)



3

1

2

ВВВВ

222123212223212322212123

2223222322

212222212323212321232221


sincoscossincos


В



1

0

0



1

0

0

1

0


и


2221

22

2122

coscos

sin

sincos

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin



2221 coscoscoscos

21

21

cos

sin

coscos

sincoscossinsin

0tancoscos

sincoscossinsin21

(333)



70

2

1

3

ВВВВ

3332323332

323331333132313332313133

323133333131323332313331

coscossinsincos



В



0

1

0

0

1


0

1

0

0

1



32

3231

3132

sin

coscos

sincos

sincos

sinsinsincoscos

sincossinsincos




31

31

cos

sin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

0tansinsinsincoscos

sinsincossincos31

(334)


0)( 312111 F (335)



0)(

0)(

0)(

313

212

111

F

F

F

(336)




71

tansinsinsincoscos

sinsincossincos

tancoscos

sincoscossinsin

tancoscos

sincossinsincos

313

212

111

F

F

F

(337)












1)( DVC (338)

333

222

111

FFF

FFF

FFF

C

31

3

21

2

11

1

00

00

00

F

F

F

D

V

31

21

11

1





поворота)



72

31

21

11

31

3

21

2

11

1

333

222

111

00

00

00

F

F

F

FFF

FFF

FFF

(339)


coscos

2sin2

tancoscos

sincossinsincos2

2

111

F

coscos


2

1

F

sincos

sincoscossinsin1

F

12

11

11

1

tg

F

221

2

coscos

sintan

coscos

sincoscossinsin

F

coscos


2

2

F

coscos

sincossinsincos2

F

12

21

21

2

tg

F

231

3

)sinsinsincos(cos

sintan

sinsinsincoscos

sinsincossincos

F

2

3

)sinsinsincos(cos


sinsinsincoscos

sincoscos

F

1)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sin2

23

F

12

31

31

3

tg

F


73

333

222

111

1

31

3

21

2

11

1

31

21

11

00

00

00

FFF

FFF

FFF

F

F

F

(340)















02330

02000

05000

000015291025490

108900472114290

261600001031711

0000100

0068510

00283311

31

21

11

0

03790

04650

31

21

11





рад [85]




74







ний связи





75

ГЛАВА 4

































76




41 (b))






жениями

a) b)






темы







O

A

L

x

y

z

B2

B3

B1

z

x

y A

B1

B3

B2

O

77

03

33

2

22

1

11

q

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rP z

zz

z

y

z

y

yx

xx

x



rx

2q

ry

3q

rz



i

q

x

q

r

i +

jq

y

j +

jq

z






0

0

0

3

3

3

333

3

2

2

2

222

2

1

1

1

111

1

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

z

y

x

(41)


z

q

y

q

x







0

i

i

iiii qq

Fz

z

Fy

y

Fx

x

F




x

F

q

F

q

x i

i

i

i

y

F

q

F

q

y i

i

i

i

z

F

q

F

q

z i

i

i

i

(42)


78







0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LqzyxF

LzqyxF

LzyqxF

(43)



1)( iVВVА (44)

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

AJA

333

222

111

)(

3

3

2

2

1

1

00

00

00

)(

q

F

q

F

q

F

BJB

z

y

x

V

3

2

1

1

q

q

q

Vi



0222

22222

2

22

2

2

2

2

22

12

2

2

2

1

2

1

1

ii qt

xqt

zt

x

zt

yt

xyt

qt

xt

qxqdt

dx

dt

d

dt

dF

dt

d


)(

)(

)(

))((

)(

)(

)(

))((

3

2

1

tq

tq

tq

tBJ

tz

ty

tx

tAJ

(45)


= 3 м


11 22 qx

x

F

y

y

F21

z

z

F21

xq

q

F22 1

1

1

79

xx

F22

2

2 22 qyy

F

z

z

F22

yq

q

F22 2

2

2

xx

F23

23

y

F 3

3 22 qzz

F

zq

q

F22 3

3

3


3

2

1

3

2

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

q

q

q

zq

yq

xq

z

y

x

qzyx

zqyx

zyqx






3

2

1

3

2

1)(

)()(

)(

q

q

q

dt

BdJ

q

q

q

BJ

z

y

x

dt

AdJ

z

y

x

AJ

(46)


0222222

02222222

0222222

33

2

3

222

2

22

2

2

22

222

11

2

1

qzqzqzyyyxxx

zzzqyqyqyyxxx

zzzyyyqxqxqx

или

2

2222

4

22

2

2222

4

22

2

2222

4

22

222

22

2

3222

2

3

222

22

2

3222

2

2

222

22

2

3222

2

1

yxL

yyxxyx

yxL

yyxxzq

zxL

zzxxzx

zxL

zzxxyq

zyL

zzyyzy

zyL

zzyyxq

(47)






80



)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T


)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T



нию [4 86 87 95]


01

01

01

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(48)
















01

0101

ii

TTT

i

TTT

i

TTTi

qmg

q

zzzzzzm

qyyyyym

qxxxxxmP

(49)

где i = 1 2 3 λ = x y z


81





)(3086)(578

)(3086)(578

)(3086)(578

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(411)








82











46


83












84













85




86























φ32

φ33 φ11 φ21

y x

z

φ22

φ23

φ13

φ12

φ31

φ33

φ32

λ

η

μ

87



)(

JJdt

dJM

JJdt

dJM

JJdt

dJM

(412)






μ ii

dt

d






вен

dt

dKM OИ

O








0ii MM




88






0

0

0

31

313131

31

21

212121

21

11

111111

11

JJJM

JJJM

JJJM

(413)

где 1i

1i

1i




1i

1i













ного звена

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

333333

222222

111111

(414)


uijxdeg uijy

deg uijz


deg uijy

deg uijz



89



звена





трёх строк

ziyixizixixi

ziyixizixixi

ziyixizixixi

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

333333

222222

111111

(415)








(416)





ской пары)


(417)




90







ской цепи)







11

11

1111

1111

12

12

12

sin

cos

0

0

1

0

cossin0

sincos0

001

z

y

x




coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

13

13

13

A

z

y

x






21

21

2121

2121

22

22

22

sin

0

cos

0

0

1

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

23

23

23

A

z

y

x

91




0

sin

cos

0

0

1

100

0cossin

0sincos

31

31

3131

3131

32

32

32

z

y

x

sincos

sinsinsincoscos

cossinsinsincos

0

1

0

33

33

33

A

z

y

x




рице А

111111

111111

1111

12

12

12

1

12

12

12



coscossinsinsin

z

y

x

A

e

e

e

212121

212121

2121

22

22

22

1

22

22

22



coscoscossinsin

z

y

x

A

e

e

e

31313131

31313131

31

32

32

32

1

32

32

32



coscos

z

y

x

A

e

e

e




1

0

0

13

13

13

e

e

e

1

0

0

23

23

23

e

e

e

0

1

0

33

33

33

e

e

e



r1deg=e12middote33=

131313

121212

eee


92


111111

0


1111

0

1 coscossinsinsin r

00

1 r



r2deg=e22middote23=

232323

222222

eee



212121

0


2121

0


2 r

r3deg=e32middote33=

333333

323232

eee



31

313131

0

3

sinsincossin


r

coscos 31

0

3 r coscos 31

0

3 r


равна

0

coscossinsinsin


1111

111111

0

1

0

1

0

1

r

r

r

0

coscoscossinsin


2121

212121

0

3

0

2

0

2

r

r

r

coscos

coscos


31

31

31313131

0

3

0

3

0

3

r

r

r



93


B



[107]

1211

1112

12

0

1

0

1

0

1

coscos

sincos

sin

z

y

x

r

r

r

2221

22

2122

0

3

0

2

0

2

coscos

sin

sincos

z

y

x

r

r

r

32

3231

3132

0

3

0

3

0

3

sin

coscos

sincos

z

y

x

r

r

r



(418)


d

dt

d dt



d

dt

d

dt

d







ку О (ω = i1 ωη + j1 ωλ + k1 ωλ) [100]




или

(419)



векторов

94



1

0

0




Oy)

0

cos

sin

0

1

0

3

А




sin

sincos

coscos

0

0

1

А


10)sin(

0cos)sin(cos

0)sin()cos(cos



AA

1AA

где

10sin

0cossincos

0sincoscos


95

cos

sincos

sincos (420)

)sincos(tg


1i

1i

можно


i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

(421)


ωη

ωλ

ωμ

ω11

ω21



форме

0

1

0

1

1111 xr

r

0

1

0

1

1111 yr

r

0

1

0

1

1111 zr

r

0

2

0

2

2121 xr

r

0

2

0

2

2121 yr

r

0

2

0

2

2121 zr

r

(422)

0

3

0

3

3131 xr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

0

3

0

3

3131 zr

r




ijii cM (423)








96





87 95]


01

01

01

TTT

TTT

TTT

(424)




2cos

sinsincos

cos

sincoscossin

sincoscossin (425)

sincostan1 2

sincoscossintan






тории








97




1

01

1

01

1

01

i

TTT

i

TTT

i

TTTi

kJ

kJ

kJM

(426)



(427)




3086578

3086578

3086578 0

TTT

TTT

TTT

(428)





98














99









100






101





сунках 422 423 424


102











103











[105 106 108]





104

ГЛАВА 5






























105



Рисунок 52




Рисунок 53





106







Рисунок 56





107

Рисунок 57

Рисунок 58






Рисунок 59

108





Рисунок 510








510 511)

Рисунок 511

109













Рисунок 512

Рисунок 513

110









Рисунок 514

Рисунок 515



111




















517)

112


















113



































114
















4

3

4 11

2

4

5

12

5

5

7

7

7

7

7

7

8

8

8

y

z

x

115




A1 (R 0 0)

A2 (0 R 0)

A3 (0 0 R)

B1 (R-r1 0 0)

B2 (0 R-r2 0)

B3 (0 0 R-r3)




К1 (x1 y1 z1)

К2 (x2 y2 z2)

M

z

x

y

K1

K2

K3

O e

3

e2

e1

x

y

z

O

a

a

a

O

A3

B3

M A2

B2

B1

A1

y

z

x

R

r1

r3

r2

116

К3 (x3 y3 z3)






(51)



К3К1

(52)







(53)


(54)

(55)



117

(56)






a) b)

c) b)




118
















a)

b)


119

a) b)

c) d)








120











121
















движений


















122

















International 2005

























124


















4976582 December 11 1990
















125



ndash С 12-15




















121-130





С 1-9






126







2011 ndash C 1-6











185-196
















127




3 2010 С 27-36






164091 Aug 20 2016












С 959-968





1999 ndash С 508-513







128



Mar 22 2007










247-255









2014



2013









129









113















87 с





779-784





130












2013 ndash С 199-207





1975 ndash 768 с


1966 ndash 412 с















131





























ndash С 035001





132










133


134



135

136

137

138

139












113
















4 ndash С 13-20







140

DOI 107868S023571191803001X




DOI 103103S1052618818030111




С 89 ndash 120

























141

















С70-71
















5
































движений

6


























зультатов






7























mark 2015 г












8






9

ГЛАВА 1






























10










роботах [20 21 22]

11

























5 1

3

4

2

6

7

z

y

x

5

12




































13























14



































15


румента























16























17








a) b)


















18











вязкой [52]












19



























20











чами [58]














21


















22

















23



























24


ний


















25










задачей

























26














27

ГЛАВА 2

































28






























45 45)1(6 ppnW (21)



29


















4

1

3

4 11

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

30




























(21) имеем

7235)119(6 W




452)1(3 ppnW (22)

31




142)14(3 W







лучаем

2145)113(6 W






1

3

4

4

11

2

4

5

10

12

10

10

5 6

6

7

7 7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

5

6

32




















15 звеньев
















33






4165)115(6 W







сунке 23




Рисунок 23

E32

E12

E13

E15

E14

E16

E33

E34

E35

E22

E23

E24

E25

y

z

x

E11

34

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0) E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 e

о25x 0 0)

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)






0001000

0

000

11

0

11

0

11

00

11

0

11

0

11

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000001

0

000

12

0

12

0

12

00

12

0

12

0

12

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

13

13

0

13

0

13

00

13

0

13

0

13

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

0000010

0

000

14

0

14

0

14

00

14

0

14

0

14

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

15

15

0

15

0

15

00

15

0

15

0

15

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer


ijx e0



r0

ijx r0

ijy r0








0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

35

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer


R3 (0 0 0 0 1 0)





0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer


R5 (0 0 0 0 0 1)


100000

010000

010000

001000

100000

)(R



36







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

0001

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


E12

E13

E15

E16 E14

E11

37

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

1

0001

0010

000

0010

00100

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

2

0001

0010

000

0010

00001

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

143

0001

0010

000

00100

00001

)(

z

z

yx

e

e

eeЕ

0

16

0

15

0

134

0001

0010

0010

00100

00001

)(

z

z

z

e

e

eЕ

0

15

0

14

0

14

0

135

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

yx

z

e

ee

eЕ








0

16

0

15

0

13 00

0)1(0)1(0

10001

zzz eeceb

cb

a

(23)


ное с

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeb

cb

a

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeс

cb

a

1

0

13

0

15

0

16

0

16

0

15

0

13

zz

z

zzz

ee

eс

eeceс

cb

a







38

Рисунок 25














E32 y

E12

2

E34

E13

E15

E14

E22

E23

E25

E24

E26

E33

E35

E34

E36

E16

z

x

E11

1

E34

39

















1

11

1rsquo

1

3

4

4

2

4rsquo

5

10

12

10

10rsquo

6

5rsquo

5

6

6rsquo

7

7

7rsquo

7

7

8 9

8rsquo 9rsquo

8 9

12rsquo

11rsquo

13 13rsquo 13rsquo

7rsquo

40



































41



5255)121(6 W









4165)115(6 W






1

3

4

4

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

12

11

1

1

13 13 13

11

42




ем

5175)116(6 W







Рисунок 28




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E32

E33

E34

E25

E23

E22

E24

E16

E15 E13

E12

E14

E26

E35

E2

1

E11

y

z

x

43

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)




R1 (0 0 0 0 0 1)






0010000

0

000

21

0

21

0

21

00

21

0

21

0

21

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer






100000

010000

001000

100000

)(R

44







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )



0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










52)1(3 pnW (24)

252)15(3 W




свободы

45

Рисунок 29



















E33

y

z

x E32

E35 E36

E34

E23 E25

3

E24

3

E26

E22 E16

E15 E13

E12

Е14 E11

E21

46
















4

10

6

5 7

7

8 9

1

11

1

4

10

5

6 7

7

8 9

12

1

3

4 11

2

5

10 12

7

7

8 9

6

11

12

13 13

13 13

13 13

y

z

x

47


3275)123(6 W








6185)117(6 W


Рисунок 211






E32

E33

E34

E25

E24

E16

E15

E12

E14 E2

6

E35

E36

E31

E21

E22

y

z

x

E13 E11 E23

48




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 -1 0) E15 (0 1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 -1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 1) E25 (0 0 -1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E31 (0 0 1 0 0 0) E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0)

E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 eо35y 0) E36 (0 0 1 0 0 0)









0100000

0

000

31

0

31

0

31

00

31

0

31

0

31

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer



010000

001000

100000

)(R

49







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


енты

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










362)16(3 W









50














51

ГЛАВА 3





























го звена

52




















Lx


z

x

y A

B1

B3

B2

O

53





22

1

2

1

2

1 Lzzyyxx BABABA

22

2

2

2

2


22

3

2

3

2

3 Lzzyyxx BABABA


yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3



22

3

22

222

2

2

2222

1

Lzzyx

Lzyyx

Lzyxx

BAAA

ABAA

AABA

(32)





B3

z

y

x

A

O

B1

B2

L

Lx

Ly

Lz

54

22221

12 2

Lzyx

xxx

AAB

BAA

01

2

1 СxВxА BВ

2222

2

1

2

2

4

LzyxС

xВ

А

САВВx

ААА

A

B

(33)

2222

222 2

Lzy

yyyx

AB

BAAA

02

2

2 СyВyА BВ

2222

2

2

2

2

4

LzyxС

yВ

А

САВВy

ААА

A

B

(34)

2233

222

2 Lzzz

zyx

BBA

AAA

03

2

3 СzВzА BВ

2222

2

3

2

2

4

LzyxС

zВ

А

САВВz

ААА

A

B

(35)




решения

2222

2

1

LzyxC

xB

A

AAA

A

115132

422

1

2222

C

B

A

87111 Bx 87512 Bx


2222

2

1

LzyxC

yB

A

AAA

A

115132

632

1

2222

C

B

A

47121 By 47722 By


2222

2

1

LzyxC

zB

A

AAA

A

115132

212

1

2222

C

B

A

46231 Bz 46432 Bz





55








2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3






2222

11

2 2 Lzyxxxx AABBAA

222

22


22

33




022 2

2

21

2

1 BABBAB yyyxxx

2

2

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

22

B

BA

B

BB

A

BABBBA

y

xx

y

xyy

xxxyyy

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

AA

B

B

B

B

B

BB

xbay

y

x

y

xb

y

xya

(37)


022 3

2

31

2

1 BABBAB zzzxxx

2

2

2

22

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

2

33

B

BA

B

BB

A

BABBBA

z

xx

z

xzz

xxxzzz

2

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

3

AA

B

B

B

B

B

BB

xdcz

z

x

z

xd

z

xzc

(38)


2 2222

11

2 Lzyxxxx AABBAA

)()(2 2222

11


)()(2)()(22 222222

11


)(2)(22 22222222

11


56

02 СxВxА AA

2

42

А

САВВxA

222

1

2222

1

1

22

LсaxС

dcbaxВ

dbA

B

B

(39)





830a 670b AA xy 670830


51c 02d AA xz 251


445A 898B 0618C

1811 Ax 8122 Ax



0501 Ay 7122 Ay

8631 Az 1242 Az
















57





нием




уравнений

0)(

0)(

0)(

33

22

11

BAAA

BAAA

BAAA

zzyxF

yzyxF

xzyxF


0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LzzyxF

LzyzxF

LzyxxF

BAAA

AByA

AABA

(311)



1)( iVBVA

AAA

AAA

AAA

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

A

333

222

111

3

3

2

2

1

1

00

00

00

B

B

B

z

F

y

F

x

F

B

z

y

x

V

V

V

V

31

21

11

1

V

V

V

Vi (312)







58

31

21

11

3

3

2

2

1

1

333

222

111

00

00

00

V

V

V

z

F

y

F

x

F

V

V

V

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

B

B

B

z

y

x

AAA

AAA

AAA

(313)



11 22 BA

A

xxx

F

A

A

yy

F

21 A

A

zz

F

21 AB

B

xxx

F

22 1

1

1

A

A

xx

F

22 2

2 22 BA

A

yyy

F

A

A

zz

F

22 AB

B

yyy

F

22 2

2

2

A

A

zx

F

23 A

A

yy

F

23 3

3 22 BA

A

zzz

F

AB

B

zzz

F

22 3

3

3


31

21

11

1

1

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

V

V

V

xx

xx

xx

V

V

V

zzyz

zyyy

zyxx

AB

AB

AB

z

y

x

BAAA

ABAA

AABA




2

1

50

931000

094200

007515

931064

294204

267515

z

y

x

V

V

V



8621931064

9420294204

877267515

zyx

zyx

zyx

VVV

VVV

VVV





59


связи [83]



















z

φ11

x

φ21

y φ

31

60

cossin0

sincos0

001

1111

11111

B

cos0sin

010

sin0cos

2121

2121

2

В

100

0cossin

0sincos

3131

3131

3

B










11

11

1111

1111

cos

sin

0

cossin0

sincos0

001

1

0

0

c

b

a

Mx

Рисунок 34



cos

0

sin

cos0sin

010

sin0cos

1

0

0

21

21

2121

2121

f

e

d

My



61




2222 MMM zyx (314)



0 zcyM



0cossin 1111 c

11tanc

0tan 11 zyM (315)



0 zdxM



0cossin 2121 d

21tand

0tan 21 zxM (316)


0tan

0tan

21

11

2222

MM

MM

MMM

zx

zy

zyx

(317)


2

21

2

11

22 1tantan Mz

1tantan 21

2

11

2

Mz (318)



62

1tantan 21

2

11

2

Mz

1tantantan

21

2

11

221

Mx (319)

1tantantan

21

2

11

211

My




sincos Mx

coscos My (320)

sinMz

Рисунок 35

Получим

01tantan

tansincos

21

2

11

211

01tantan

tancoscos

21

2

11

221

(321)

01tantan

sin

21

2

11

2


O y

z

M(xyz)

x

α

β

63

01tantan

1tansincos

21

2

11

211

01tantan

1tancoscos

21

2

11

221

(322)

01tantan

1sin

21

2

11

2



φ11 и φ21


1tantan

1arcsin

21

2

11

2 (323)


1tantan

1

cos

tanarccos

21

2

11

2

11

(324)




0)( 2111 F (325)

0)(

0)(

21112

21111

F

F (326)



64

1tantan

1sin

1tantan

1tancoscos

1tantan

1tansincos

21

2

11

23

21

2

11

2212

21

2

11

2111

F

F

F

(327)















1)( DVC (328)

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(329)








65

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

1tantan

1tansincos

23

21

2

11

2

11

2

11

2

21

2

11

2

11

2

21

2

11

211

1111

1

F

23

21

2

11

2

21

2

2111

21

1

1tantan

tan1tantan

F

coscos1

F

sinsin1

F

23

21

2

11

2

11

2

1121

21

2

11

221

1111

2

1tantan

tan1tantan

1tantan

1tancoscos

F

23

21

2

11

2

21

2

21

2

21

2

11

2

21

2

21

2

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

F

sincos2

F

sincos2

F


21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(330)





020

010

86401120

13308640

41704630

737026201

0160

0210



66











осей Oxyz













φ11 φ21

y x

z

φ22 φ23

φ13

φ12

φ31

φ32 φ33

φ32

φ33

67







Рисунок 37



разом

cossin0

sincos0

001

1А

cos0sin

010

sin0cos

2А

100

0cossin

0sincos

3

А



123 AAAA (331)

coscossincossin



А



имеют

вид

68

1111

1111

1

cossin0

sincos0

001

B

1212

1212

2

cos0sin

010

sin0cos

В

100

0cossin

0sincos

1313

1313

3

B



ры)



3

2

1

ВВВВ

121111131312111311121311

111213111312111311121113

1213121312



sinsincoscoscos

В



1

0

0



1

0

0

1

0



1211

1112

12

coscos

sincos

sin

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

Рисунок 38

O

е31

е11

y

z

x

е21

69



1211 coscoscoscos

11

11

cos

sin

coscos

sincossinsincos

11tancoscos

sincossinsincos

(332)



3

1

2

ВВВВ

222123212223212322212123

2223222322

212222212323212321232221


sincoscossincos


В



1

0

0



1

0

0

1

0


и


2221

22

2122

coscos

sin

sincos

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin



2221 coscoscoscos

21

21

cos

sin

coscos

sincoscossinsin

0tancoscos

sincoscossinsin21

(333)



70

2

1

3

ВВВВ

3332323332

323331333132313332313133

323133333131323332313331

coscossinsincos



В



0

1

0

0

1


0

1

0

0

1



32

3231

3132

sin

coscos

sincos

sincos

sinsinsincoscos

sincossinsincos




31

31

cos

sin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

0tansinsinsincoscos

sinsincossincos31

(334)


0)( 312111 F (335)



0)(

0)(

0)(

313

212

111

F

F

F

(336)




71

tansinsinsincoscos

sinsincossincos

tancoscos

sincoscossinsin

tancoscos

sincossinsincos

313

212

111

F

F

F

(337)












1)( DVC (338)

333

222

111

FFF

FFF

FFF

C

31

3

21

2

11

1

00

00

00

F

F

F

D

V

31

21

11

1





поворота)



72

31

21

11

31

3

21

2

11

1

333

222

111

00

00

00

F

F

F

FFF

FFF

FFF

(339)


coscos

2sin2

tancoscos

sincossinsincos2

2

111

F

coscos


2

1

F

sincos

sincoscossinsin1

F

12

11

11

1

tg

F

221

2

coscos

sintan

coscos

sincoscossinsin

F

coscos


2

2

F

coscos

sincossinsincos2

F

12

21

21

2

tg

F

231

3

)sinsinsincos(cos

sintan

sinsinsincoscos

sinsincossincos

F

2

3

)sinsinsincos(cos


sinsinsincoscos

sincoscos

F

1)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sin2

23

F

12

31

31

3

tg

F


73

333

222

111

1

31

3

21

2

11

1

31

21

11

00

00

00

FFF

FFF

FFF

F

F

F

(340)















02330

02000

05000

000015291025490

108900472114290

261600001031711

0000100

0068510

00283311

31

21

11

0

03790

04650

31

21

11





рад [85]




74







ний связи





75

ГЛАВА 4

































76




41 (b))






жениями

a) b)






темы







O

A

L

x

y

z

B2

B3

B1

z

x

y A

B1

B3

B2

O

77

03

33

2

22

1

11

q

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rP z

zz

z

y

z

y

yx

xx

x



rx

2q

ry

3q

rz



i

q

x

q

r

i +

jq

y

j +

jq

z






0

0

0

3

3

3

333

3

2

2

2

222

2

1

1

1

111

1

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

z

y

x

(41)


z

q

y

q

x







0

i

i

iiii qq

Fz

z

Fy

y

Fx

x

F




x

F

q

F

q

x i

i

i

i

y

F

q

F

q

y i

i

i

i

z

F

q

F

q

z i

i

i

i

(42)


78







0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LqzyxF

LzqyxF

LzyqxF

(43)



1)( iVВVА (44)

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

AJA

333

222

111

)(

3

3

2

2

1

1

00

00

00

)(

q

F

q

F

q

F

BJB

z

y

x

V

3

2

1

1

q

q

q

Vi



0222

22222

2

22

2

2

2

2

22

12

2

2

2

1

2

1

1

ii qt

xqt

zt

x

zt

yt

xyt

qt

xt

qxqdt

dx

dt

d

dt

dF

dt

d


)(

)(

)(

))((

)(

)(

)(

))((

3

2

1

tq

tq

tq

tBJ

tz

ty

tx

tAJ

(45)


= 3 м


11 22 qx

x

F

y

y

F21

z

z

F21

xq

q

F22 1

1

1

79

xx

F22

2

2 22 qyy

F

z

z

F22

yq

q

F22 2

2

2

xx

F23

23

y

F 3

3 22 qzz

F

zq

q

F22 3

3

3


3

2

1

3

2

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

q

q

q

zq

yq

xq

z

y

x

qzyx

zqyx

zyqx






3

2

1

3

2

1)(

)()(

)(

q

q

q

dt

BdJ

q

q

q

BJ

z

y

x

dt

AdJ

z

y

x

AJ

(46)


0222222

02222222

0222222

33

2

3

222

2

22

2

2

22

222

11

2

1

qzqzqzyyyxxx

zzzqyqyqyyxxx

zzzyyyqxqxqx

или

2

2222

4

22

2

2222

4

22

2

2222

4

22

222

22

2

3222

2

3

222

22

2

3222

2

2

222

22

2

3222

2

1

yxL

yyxxyx

yxL

yyxxzq

zxL

zzxxzx

zxL

zzxxyq

zyL

zzyyzy

zyL

zzyyxq

(47)






80



)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T


)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T



нию [4 86 87 95]


01

01

01

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(48)
















01

0101

ii

TTT

i

TTT

i

TTTi

qmg

q

zzzzzzm

qyyyyym

qxxxxxmP

(49)

где i = 1 2 3 λ = x y z


81





)(3086)(578

)(3086)(578

)(3086)(578

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(411)








82











46


83












84













85




86























φ32

φ33 φ11 φ21

y x

z

φ22

φ23

φ13

φ12

φ31

φ33

φ32

λ

η

μ

87



)(

JJdt

dJM

JJdt

dJM

JJdt

dJM

(412)






μ ii

dt

d






вен

dt

dKM OИ

O








0ii MM




88






0

0

0

31

313131

31

21

212121

21

11

111111

11

JJJM

JJJM

JJJM

(413)

где 1i

1i

1i




1i

1i













ного звена

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

333333

222222

111111

(414)


uijxdeg uijy

deg uijz


deg uijy

deg uijz



89



звена





трёх строк

ziyixizixixi

ziyixizixixi

ziyixizixixi

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

333333

222222

111111

(415)








(416)





ской пары)


(417)




90







ской цепи)







11

11

1111

1111

12

12

12

sin

cos

0

0

1

0

cossin0

sincos0

001

z

y

x




coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

13

13

13

A

z

y

x






21

21

2121

2121

22

22

22

sin

0

cos

0

0

1

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

23

23

23

A

z

y

x

91




0

sin

cos

0

0

1

100

0cossin

0sincos

31

31

3131

3131

32

32

32

z

y

x

sincos

sinsinsincoscos

cossinsinsincos

0

1

0

33

33

33

A

z

y

x




рице А

111111

111111

1111

12

12

12

1

12

12

12



coscossinsinsin

z

y

x

A

e

e

e

212121

212121

2121

22

22

22

1

22

22

22



coscoscossinsin

z

y

x

A

e

e

e

31313131

31313131

31

32

32

32

1

32

32

32



coscos

z

y

x

A

e

e

e




1

0

0

13

13

13

e

e

e

1

0

0

23

23

23

e

e

e

0

1

0

33

33

33

e

e

e



r1deg=e12middote33=

131313

121212

eee


92


111111

0


1111

0

1 coscossinsinsin r

00

1 r



r2deg=e22middote23=

232323

222222

eee



212121

0


2121

0


2 r

r3deg=e32middote33=

333333

323232

eee



31

313131

0

3

sinsincossin


r

coscos 31

0

3 r coscos 31

0

3 r


равна

0

coscossinsinsin


1111

111111

0

1

0

1

0

1

r

r

r

0

coscoscossinsin


2121

212121

0

3

0

2

0

2

r

r

r

coscos

coscos


31

31

31313131

0

3

0

3

0

3

r

r

r



93


B



[107]

1211

1112

12

0

1

0

1

0

1

coscos

sincos

sin

z

y

x

r

r

r

2221

22

2122

0

3

0

2

0

2

coscos

sin

sincos

z

y

x

r

r

r

32

3231

3132

0

3

0

3

0

3

sin

coscos

sincos

z

y

x

r

r

r



(418)


d

dt

d dt



d

dt

d

dt

d







ку О (ω = i1 ωη + j1 ωλ + k1 ωλ) [100]




или

(419)



векторов

94



1

0

0




Oy)

0

cos

sin

0

1

0

3

А




sin

sincos

coscos

0

0

1

А


10)sin(

0cos)sin(cos

0)sin()cos(cos



AA

1AA

где

10sin

0cossincos

0sincoscos


95

cos

sincos

sincos (420)

)sincos(tg


1i

1i

можно


i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

(421)


ωη

ωλ

ωμ

ω11

ω21



форме

0

1

0

1

1111 xr

r

0

1

0

1

1111 yr

r

0

1

0

1

1111 zr

r

0

2

0

2

2121 xr

r

0

2

0

2

2121 yr

r

0

2

0

2

2121 zr

r

(422)

0

3

0

3

3131 xr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

0

3

0

3

3131 zr

r




ijii cM (423)








96





87 95]


01

01

01

TTT

TTT

TTT

(424)




2cos

sinsincos

cos

sincoscossin

sincoscossin (425)

sincostan1 2

sincoscossintan






тории








97




1

01

1

01

1

01

i

TTT

i

TTT

i

TTTi

kJ

kJ

kJM

(426)



(427)




3086578

3086578

3086578 0

TTT

TTT

TTT

(428)





98














99









100






101





сунках 422 423 424


102











103











[105 106 108]





104

ГЛАВА 5






























105



Рисунок 52




Рисунок 53





106







Рисунок 56





107

Рисунок 57

Рисунок 58






Рисунок 59

108





Рисунок 510








510 511)

Рисунок 511

109













Рисунок 512

Рисунок 513

110









Рисунок 514

Рисунок 515



111




















517)

112


















113



































114
















4

3

4 11

2

4

5

12

5

5

7

7

7

7

7

7

8

8

8

y

z

x

115




A1 (R 0 0)

A2 (0 R 0)

A3 (0 0 R)

B1 (R-r1 0 0)

B2 (0 R-r2 0)

B3 (0 0 R-r3)




К1 (x1 y1 z1)

К2 (x2 y2 z2)

M

z

x

y

K1

K2

K3

O e

3

e2

e1

x

y

z

O

a

a

a

O

A3

B3

M A2

B2

B1

A1

y

z

x

R

r1

r3

r2

116

К3 (x3 y3 z3)






(51)



К3К1

(52)







(53)


(54)

(55)



117

(56)






a) b)

c) b)




118
















a)

b)


119

a) b)

c) d)








120











121
















движений


















122

















International 2005

























124


















4976582 December 11 1990
















125



ndash С 12-15




















121-130





С 1-9






126







2011 ndash C 1-6











185-196
















127




3 2010 С 27-36






164091 Aug 20 2016












С 959-968





1999 ndash С 508-513







128



Mar 22 2007










247-255









2014



2013









129









113















87 с





779-784





130












2013 ndash С 199-207





1975 ndash 768 с


1966 ndash 412 с















131





























ndash С 035001





132










133


134



135

136

137

138

139












113
















4 ndash С 13-20







140

DOI 107868S023571191803001X




DOI 103103S1052618818030111




С 89 ndash 120

























141

















С70-71
















6


























зультатов






7























mark 2015 г












8






9

ГЛАВА 1






























10










роботах [20 21 22]

11

























5 1

3

4

2

6

7

z

y

x

5

12




































13























14



































15


румента























16























17








a) b)


















18











вязкой [52]












19



























20











чами [58]














21


















22

















23



























24


ний


















25










задачей

























26














27

ГЛАВА 2

































28






























45 45)1(6 ppnW (21)



29


















4

1

3

4 11

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

30




























(21) имеем

7235)119(6 W




452)1(3 ppnW (22)

31




142)14(3 W







лучаем

2145)113(6 W






1

3

4

4

11

2

4

5

10

12

10

10

5 6

6

7

7 7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

5

6

32




















15 звеньев
















33






4165)115(6 W







сунке 23




Рисунок 23

E32

E12

E13

E15

E14

E16

E33

E34

E35

E22

E23

E24

E25

y

z

x

E11

34

E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0) E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 e

о25x 0 0)

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)






0001000

0

000

11

0

11

0

11

00

11

0

11

0

11

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000001

0

000

12

0

12

0

12

00

12

0

12

0

12

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

13

13

0

13

0

13

00

13

0

13

0

13

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer

0000010

0

000

14

0

14

0

14

00

14

0

14

0

14

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

00)1(000

0

0000

15

15

0

15

0

15

00

15

0

15

0

15

zyxzzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrerrr

erererererer


ijx e0



r0

ijx r0

ijy r0








0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

35

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer


R3 (0 0 0 0 1 0)





0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer


R5 (0 0 0 0 0 1)


100000

010000

010000

001000

100000

)(R



36







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

0001

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ


E12

E13

E15

E16 E14

E11

37

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

1

0001

0010

000

0010

00100

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

2

0001

0010

000

0010

00001

)(

z

z

yx

z

e

e

ee

e

Е

0

16

0

15

0

14

0

143

0001

0010

000

00100

00001

)(

z

z

yx

e

e

eeЕ

0

16

0

15

0

134

0001

0010

0010

00100

00001

)(

z

z

z

e

e

eЕ

0

15

0

14

0

14

0

135

0010

000

0010

00100

00001

)(

z

yx

z

e

ee

eЕ








0

16

0

15

0

13 00

0)1(0)1(0

10001

zzz eeceb

cb

a

(23)


ное с

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeb

cb

a

1

0

15

0

16

0

13 zzz eceeс

cb

a

1

0

13

0

15

0

16

0

16

0

15

0

13

zz

z

zzz

ee

eс

eeceс

cb

a







38

Рисунок 25














E32 y

E12

2

E34

E13

E15

E14

E22

E23

E25

E24

E26

E33

E35

E34

E36

E16

z

x

E11

1

E34

39

















1

11

1rsquo

1

3

4

4

2

4rsquo

5

10

12

10

10rsquo

6

5rsquo

5

6

6rsquo

7

7

7rsquo

7

7

8 9

8rsquo 9rsquo

8 9

12rsquo

11rsquo

13 13rsquo 13rsquo

7rsquo

40



































41



5255)121(6 W









4165)115(6 W






1

3

4

4

2

4

5

10

12

10

10

6

5

5

6

6

7

7

7

7

7

7

8 9

8 9

8 9

12

11

1

1

13 13 13

11

42




ем

5175)116(6 W







Рисунок 28




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 1 0) E15 (0 -1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E32

E33

E34

E25

E23

E22

E24

E16

E15 E13

E12

E14

E26

E35

E2

1

E11

y

z

x

43

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 -1) E25 (0 0 1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0) E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 e

о35y 0)




R1 (0 0 0 0 0 1)






0010000

0

000

21

0

21

0

21

00

21

0

21

0

21

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000010

0

000

22

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

23

23

0

23

0

23

00

23

0

23

0

23

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer

0000)1(00

0

000

241

0

24

0

24

00

24

0

24

0

24

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

010000

0

0000

25

25

0

25

0

25

00

25

0

25

0

25

zyxzyxx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrer

erererererer






100000

010000

001000

100000

)(R

44







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )



0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










52)1(3 pnW (24)

252)15(3 W




свободы

45

Рисунок 29



















E33

y

z

x E32

E35 E36

E34

E23 E25

3

E24

3

E26

E22 E16

E15 E13

E12

Е14 E11

E21

46
















4

10

6

5 7

7

8 9

1

11

1

4

10

5

6 7

7

8 9

12

1

3

4 11

2

5

10 12

7

7

8 9

6

11

12

13 13

13 13

13 13

y

z

x

47


3275)123(6 W








6185)117(6 W


Рисунок 211






E32

E33

E34

E25

E24

E16

E15

E12

E14 E2

6

E35

E36

E31

E21

E22

y

z

x

E13 E11 E23

48




E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 1 0 0 0 eо13z )

E14 (0 0 0 0 -1 0) E15 (0 1 0 0 0 eо15z) E16 (1 0 0 0 0 0)

E21 (0 1 0 0 0 0) E22 (0 0 0 0 1 0) E23 (0 0 -1 eо23x 0 0)

E24 (0 0 0 0 0 1) E25 (0 0 -1 eо25x 0 0 E26 (0 1 0 0 0 0))

E31 (0 0 1 0 0 0) E32 (0 0 0 0 0 1) E33 (-1 0 0 0 eо33y 0)

E34 (0 0 0 1 0 0) E35 (-1 0 0 0 eо35y 0) E36 (0 0 1 0 0 0)









0100000

0

000

31

0

31

0

31

00

31

0

31

0

31

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

0000100

0

000

32

0

32

0

32

00

32

0

32

0

32

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

33

33

0

33

0

33

00

33

0

33

0

33

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer

0000001

0

000

34

0

34

0

34

00

34

0

34

0

34

zyxzyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrrr

erererererer

000)1(00

0

0000

35

35

0

35

0

35

00

35

0

35

0

35

zyxzyyx

zzyyxxzzyyxx

rrrrerr

erererererer



010000

001000

100000

)(R

49







E11 (1 0 0 0 0 0) E12 (0 0 0 1 0 0) E13 (0 -1 0 0 0 eо13z)

E14 (0 0 0 eо14x e

о14y 0 ) E15 (0 -1 0 0 0 e

о15z) E16 (1 0 0 0 0 e

о16z )


енты

0

16

0

15

0

14

0

14

0

13

00001

00010

0000

00010

001000

000001

)(

z

z

yx

z

е

е

ее

еЕ

1

0

13

0

15

0

16

zz

z

ee

eс

cb

a










362)16(3 W









50














51

ГЛАВА 3





























го звена

52




















Lx


z

x

y A

B1

B3

B2

O

53





22

1

2

1

2

1 Lzzyyxx BABABA

22

2

2

2

2


22

3

2

3

2

3 Lzzyyxx BABABA


yB12 zB1

2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3



22

3

22

222

2

2

2222

1

Lzzyx

Lzyyx

Lzyxx

BAAA

ABAA

AABA

(32)





B3

z

y

x

A

O

B1

B2

L

Lx

Ly

Lz

54

22221

12 2

Lzyx

xxx

AAB

BAA

01

2

1 СxВxА BВ

2222

2

1

2

2

4

LzyxС

xВ

А

САВВx

ААА

A

B

(33)

2222

222 2

Lzy

yyyx

AB

BAAA

02

2

2 СyВyА BВ

2222

2

2

2

2

4

LzyxС

yВ

А

САВВy

ААА

A

B

(34)

2233

222

2 Lzzz

zyx

BBA

AAA

03

2

3 СzВzА BВ

2222

2

3

2

2

4

LzyxС

zВ

А

САВВz

ААА

A

B

(35)




решения

2222

2

1

LzyxC

xB

A

AAA

A

115132

422

1

2222

C

B

A

87111 Bx 87512 Bx


2222

2

1

LzyxC

yB

A

AAA

A

115132

632

1

2222

C

B

A

47121 By 47722 By


2222

2

1

LzyxC

zB

A

AAA

A

115132

212

1

2222

C

B

A

46231 Bz 46432 Bz





55








2 хB2

2 zB2

2 хB3

2 и yB3






2222

11

2 2 Lzyxxxx AABBAA

222

22


22

33




022 2

2

21

2

1 BABBAB yyyxxx

2

2

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

22

B

BA

B

BB

A

BABBBA

y

xx

y

xyy

xxxyyy

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

AA

B

B

B

B

B

BB

xbay

y

x

y

xb

y

xya

(37)


022 3

2

31

2

1 BABBAB zzzxxx

2

2

2

22

3

1

3

2

1

2

3

1

2

1

2

33

B

BA

B

BB

A

BABBBA

z

xx

z

xzz

xxxzzz

2

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

3

AA

B

B

B

B

B

BB

xdcz

z

x

z

xd

z

xzc

(38)


2 2222

11

2 Lzyxxxx AABBAA

)()(2 2222

11


)()(2)()(22 222222

11


)(2)(22 22222222

11


56

02 СxВxА AA

2

42

А

САВВxA

222

1

2222

1

1

22

LсaxС

dcbaxВ

dbA

B

B

(39)





830a 670b AA xy 670830


51c 02d AA xz 251


445A 898B 0618C

1811 Ax 8122 Ax



0501 Ay 7122 Ay

8631 Az 1242 Az
















57





нием




уравнений

0)(

0)(

0)(

33

22

11

BAAA

BAAA

BAAA

zzyxF

yzyxF

xzyxF


0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LzzyxF

LzyzxF

LzyxxF

BAAA

AByA

AABA

(311)



1)( iVBVA

AAA

AAA

AAA

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

A

333

222

111

3

3

2

2

1

1

00

00

00

B

B

B

z

F

y

F

x

F

B

z

y

x

V

V

V

V

31

21

11

1

V

V

V

Vi (312)







58

31

21

11

3

3

2

2

1

1

333

222

111

00

00

00

V

V

V

z

F

y

F

x

F

V

V

V

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

B

B

B

z

y

x

AAA

AAA

AAA

(313)



11 22 BA

A

xxx

F

A

A

yy

F

21 A

A

zz

F

21 AB

B

xxx

F

22 1

1

1

A

A

xx

F

22 2

2 22 BA

A

yyy

F

A

A

zz

F

22 AB

B

yyy

F

22 2

2

2

A

A

zx

F

23 A

A

yy

F

23 3

3 22 BA

A

zzz

F

AB

B

zzz

F

22 3

3

3


31

21

11

1

1

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

V

V

V

xx

xx

xx

V

V

V

zzyz

zyyy

zyxx

AB

AB

AB

z

y

x

BAAA

ABAA

AABA




2

1

50

931000

094200

007515

931064

294204

267515

z

y

x

V

V

V



8621931064

9420294204

877267515

zyx

zyx

zyx

VVV

VVV

VVV





59


связи [83]



















z

φ11

x

φ21

y φ

31

60

cossin0

sincos0

001

1111

11111

B

cos0sin

010

sin0cos

2121

2121

2

В

100

0cossin

0sincos

3131

3131

3

B










11

11

1111

1111

cos

sin

0

cossin0

sincos0

001

1

0

0

c

b

a

Mx

Рисунок 34



cos

0

sin

cos0sin

010

sin0cos

1

0

0

21

21

2121

2121

f

e

d

My



61




2222 MMM zyx (314)



0 zcyM



0cossin 1111 c

11tanc

0tan 11 zyM (315)



0 zdxM



0cossin 2121 d

21tand

0tan 21 zxM (316)


0tan

0tan

21

11

2222

MM

MM

MMM

zx

zy

zyx

(317)


2

21

2

11

22 1tantan Mz

1tantan 21

2

11

2

Mz (318)



62

1tantan 21

2

11

2

Mz

1tantantan

21

2

11

221

Mx (319)

1tantantan

21

2

11

211

My




sincos Mx

coscos My (320)

sinMz

Рисунок 35

Получим

01tantan

tansincos

21

2

11

211

01tantan

tancoscos

21

2

11

221

(321)

01tantan

sin

21

2

11

2


O y

z

M(xyz)

x

α

β

63

01tantan

1tansincos

21

2

11

211

01tantan

1tancoscos

21

2

11

221

(322)

01tantan

1sin

21

2

11

2



φ11 и φ21


1tantan

1arcsin

21

2

11

2 (323)


1tantan

1

cos

tanarccos

21

2

11

2

11

(324)




0)( 2111 F (325)

0)(

0)(

21112

21111

F

F (326)



64

1tantan

1sin

1tantan

1tancoscos

1tantan

1tansincos

21

2

11

23

21

2

11

2212

21

2

11

2111

F

F

F

(327)















1)( DVC (328)

21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(329)








65

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

1tantan

1tansincos

23

21

2

11

2

11

2

11

2

21

2

11

2

11

2

21

2

11

211

1111

1

F

23

21

2

11

2

21

2

2111

21

1

1tantan

tan1tantan

F

coscos1

F

sinsin1

F

23

21

2

11

2

11

2

1121

21

2

11

221

1111

2

1tantan

tan1tantan

1tantan

1tancoscos

F

23

21

2

11

2

21

2

21

2

21

2

11

2

21

2

21

2

1tantan

tan1tan

1tantan

tan1

F

sincos2

F

sincos2

F


21

11

21

2

11

2

21

1

11

1

1

22

11

FF

FF

FF

FF

(330)





020

010

86401120

13308640

41704630

737026201

0160

0210



66











осей Oxyz













φ11 φ21

y x

z

φ22 φ23

φ13

φ12

φ31

φ32 φ33

φ32

φ33

67







Рисунок 37



разом

cossin0

sincos0

001

1А

cos0sin

010

sin0cos

2А

100

0cossin

0sincos

3

А



123 AAAA (331)

coscossincossin



А



имеют

вид

68

1111

1111

1

cossin0

sincos0

001

B

1212

1212

2

cos0sin

010

sin0cos

В

100

0cossin

0sincos

1313

1313

3

B



ры)



3

2

1

ВВВВ

121111131312111311121311

111213111312111311121113

1213121312



sinsincoscoscos

В



1

0

0



1

0

0

1

0



1211

1112

12

coscos

sincos

sin

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

Рисунок 38

O

е31

е11

y

z

x

е21

69



1211 coscoscoscos

11

11

cos

sin

coscos

sincossinsincos

11tancoscos

sincossinsincos

(332)



3

1

2

ВВВВ

222123212223212322212123

2223222322

212222212323212321232221


sincoscossincos


В



1

0

0



1

0

0

1

0


и


2221

22

2122

coscos

sin

sincos

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin



2221 coscoscoscos

21

21

cos

sin

coscos

sincoscossinsin

0tancoscos

sincoscossinsin21

(333)



70

2

1

3

ВВВВ

3332323332

323331333132313332313133

323133333131323332313331

coscossinsincos



В



0

1

0

0

1


0

1

0

0

1



32

3231

3132

sin

coscos

sincos

sincos

sinsinsincoscos

sincossinsincos




31

31

cos

sin

sinsinsincoscos

sincossinsincos

0tansinsinsincoscos

sinsincossincos31

(334)


0)( 312111 F (335)



0)(

0)(

0)(

313

212

111

F

F

F

(336)




71

tansinsinsincoscos

sinsincossincos

tancoscos

sincoscossinsin

tancoscos

sincossinsincos

313

212

111

F

F

F

(337)












1)( DVC (338)

333

222

111

FFF

FFF

FFF

C

31

3

21

2

11

1

00

00

00

F

F

F

D

V

31

21

11

1





поворота)



72

31

21

11

31

3

21

2

11

1

333

222

111

00

00

00

F

F

F

FFF

FFF

FFF

(339)


coscos

2sin2

tancoscos

sincossinsincos2

2

111

F

coscos


2

1

F

sincos

sincoscossinsin1

F

12

11

11

1

tg

F

221

2

coscos

sintan

coscos

sincoscossinsin

F

coscos


2

2

F

coscos

sincossinsincos2

F

12

21

21

2

tg

F

231

3

)sinsinsincos(cos

sintan

sinsinsincoscos

sinsincossincos

F

2

3

)sinsinsincos(cos


sinsinsincoscos

sincoscos

F

1)sinsinsincos(cos

)sinsincoscos(sin2

23

F

12

31

31

3

tg

F


73

333

222

111

1

31

3

21

2

11

1

31

21

11

00

00

00

FFF

FFF

FFF

F

F

F

(340)















02330

02000

05000

000015291025490

108900472114290

261600001031711

0000100

0068510

00283311

31

21

11

0

03790

04650

31

21

11





рад [85]




74







ний связи





75

ГЛАВА 4

































76




41 (b))






жениями

a) b)






темы







O

A

L

x

y

z

B2

B3

B1

z

x

y A

B1

B3

B2

O

77

03

33

2

22

1

11

q

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rPq

q

rma

q

rP z

zz

z

y

z

y

yx

xx

x



rx

2q

ry

3q

rz



i

q

x

q

r

i +

jq

y

j +

jq

z






0

0

0

3

3

3

333

3

2

2

2

222

2

1

1

1

111

1

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

qq

zmgq

q

zxm

q

yxm

q

xxmqP

z

y

x

(41)


z

q

y

q

x







0

i

i

iiii qq

Fz

z

Fy

y

Fx

x

F




x

F

q

F

q

x i

i

i

i

y

F

q

F

q

y i

i

i

i

z

F

q

F

q

z i

i

i

i

(42)


78







0

0

0

22

3

22

3

222

2

2

2

2222

11

LqzyxF

LzqyxF

LzyqxF

(43)



1)( iVВVА (44)

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

z

F

y

F

x

F

AJA

333

222

111

)(

3

3

2

2

1

1

00

00

00

)(

q

F

q

F

q

F

BJB

z

y

x

V

3

2

1

1

q

q

q

Vi



0222

22222

2

22

2

2

2

2

22

12

2

2

2

1

2

1

1

ii qt

xqt

zt

x

zt

yt

xyt

qt

xt

qxqdt

dx

dt

d

dt

dF

dt

d


)(

)(

)(

))((

)(

)(

)(

))((

3

2

1

tq

tq

tq

tBJ

tz

ty

tx

tAJ

(45)


= 3 м


11 22 qx

x

F

y

y

F21

z

z

F21

xq

q

F22 1

1

1

79

xx

F22

2

2 22 qyy

F

z

z

F22

yq

q

F22 2

2

2

xx

F23

23

y

F 3

3 22 qzz

F

zq

q

F22 3

3

3


3

2

1

3

2

1

3

2

1

2200

0220

0022

2222

2222

2222

q

q

q

zq

yq

xq

z

y

x

qzyx

zqyx

zyqx






3

2

1

3

2

1)(

)()(

)(

q

q

q

dt

BdJ

q

q

q

BJ

z

y

x

dt

AdJ

z

y

x

AJ

(46)


0222222

02222222

0222222

33

2

3

222

2

22

2

2

22

222

11

2

1

qzqzqzyyyxxx

zzzqyqyqyyxxx

zzzyyyqxqxqx

или

2

2222

4

22

2

2222

4

22

2

2222

4

22

222

22

2

3222

2

3

222

22

2

3222

2

2

222

22

2

3222

2

1

yxL

yyxxyx

yxL

yyxxzq

zxL

zzxxzx

zxL

zzxxyq

zyL

zzyyzy

zyL

zzyyxq

(47)






80



)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T


)()()(1 txtxt T )()()(2 tytyt T

)()()(3 tztzt T



нию [4 86 87 95]


01

01

01

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(48)
















01

0101

ii

TTT

i

TTT

i

TTTi

qmg

q

zzzzzzm

qyyyyym

qxxxxxmP

(49)

где i = 1 2 3 λ = x y z


81





)(3086)(578

)(3086)(578

)(3086)(578

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

TTT

TTT

TTT

(411)








82











46


83












84













85




86























φ32

φ33 φ11 φ21

y x

z

φ22

φ23

φ13

φ12

φ31

φ33

φ32

λ

η

μ

87



)(

JJdt

dJM

JJdt

dJM

JJdt

dJM

(412)






μ ii

dt

d






вен

dt

dKM OИ

O








0ii MM




88






0

0

0

31

313131

31

21

212121

21

11

111111

11

JJJM

JJJM

JJJM

(413)

где 1i

1i

1i




1i

1i













ного звена

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

rrrrrr

rrrrrr

rrrrrr

333333

222222

111111

(414)


uijxdeg uijy

deg uijz


deg uijy

deg uijz



89



звена





трёх строк

ziyixizixixi

ziyixizixixi

ziyixizixixi

uuuuuu

uuuuuu

uuuuuu

333333

222222

111111

(415)








(416)





ской пары)


(417)




90







ской цепи)







11

11

1111

1111

12

12

12

sin

cos

0

0

1

0

cossin0

sincos0

001

z

y

x




coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

13

13

13

A

z

y

x






21

21

2121

2121

22

22

22

sin

0

cos

0

0

1

cos0sin

010

sin0cos

z

y

x

coscos

sincossinsincos

sincoscossinsin

1

0

0

23

23

23

A

z

y

x

91




0

sin

cos

0

0

1

100

0cossin

0sincos

31

31

3131

3131

32

32

32

z

y

x

sincos

sinsinsincoscos

cossinsinsincos

0

1

0

33

33

33

A

z

y

x




рице А

111111

111111

1111

12

12

12

1

12

12

12



coscossinsinsin

z

y

x

A

e

e

e

212121

212121

2121

22

22

22

1

22

22

22



coscoscossinsin

z

y

x

A

e

e

e

31313131

31313131

31

32

32

32

1

32

32

32



coscos

z

y

x

A

e

e

e




1

0

0

13

13

13

e

e

e

1

0

0

23

23

23

e

e

e

0

1

0

33

33

33

e

e

e



r1deg=e12middote33=

131313

121212

eee


92


111111

0


1111

0

1 coscossinsinsin r

00

1 r



r2deg=e22middote23=

232323

222222

eee



212121

0


2121

0


2 r

r3deg=e32middote33=

333333

323232

eee



31

313131

0

3

sinsincossin


r

coscos 31

0

3 r coscos 31

0

3 r


равна

0

coscossinsinsin


1111

111111

0

1

0

1

0

1

r

r

r

0

coscoscossinsin


2121

212121

0

3

0

2

0

2

r

r

r

coscos

coscos


31

31

31313131

0

3

0

3

0

3

r

r

r



93


B



[107]

1211

1112

12

0

1

0

1

0

1

coscos

sincos

sin

z

y

x

r

r

r

2221

22

2122

0

3

0

2

0

2

coscos

sin

sincos

z

y

x

r

r

r

32

3231

3132

0

3

0

3

0

3

sin

coscos

sincos

z

y

x

r

r

r



(418)


d

dt

d dt



d

dt

d

dt

d







ку О (ω = i1 ωη + j1 ωλ + k1 ωλ) [100]




или

(419)



векторов

94



1

0

0




Oy)

0

cos

sin

0

1

0

3

А




sin

sincos

coscos

0

0

1

А


10)sin(

0cos)sin(cos

0)sin()cos(cos



AA

1AA

где

10sin

0cossincos

0sincoscos


95

cos

sincos

sincos (420)

)sincos(tg


1i

1i

можно


i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

i

i

i

i

FF

11

(421)


ωη

ωλ

ωμ

ω11

ω21



форме

0

1

0

1

1111 xr

r

0

1

0

1

1111 yr

r

0

1

0

1

1111 zr

r

0

2

0

2

2121 xr

r

0

2

0

2

2121 yr

r

0

2

0

2

2121 zr

r

(422)

0

3

0

3

3131 xr

r

0

3

0

3

3131 zr

r

0

3

0

3

3131 zr

r




ijii cM (423)








96





87 95]


01

01

01

TTT

TTT

TTT

(424)




2cos

sinsincos

cos

sincoscossin

sincoscossin (425)

sincostan1 2

sincoscossintan






тории








97




1

01

1

01

1

01

i

TTT

i

TTT

i

TTTi

kJ

kJ

kJM

(426)



(427)




3086578

3086578

3086578 0

TTT

TTT

TTT

(428)





98














99









100






101





сунках 422 423 424


102











103











[105 106 108]





104

ГЛАВА 5






























105



Рисунок 52




Рисунок 53





106







Рисунок 56





107

Рисунок 57

Рисунок 58






Рисунок 59

108





Рисунок 510








510 511)

Рисунок 511

109













Рисунок 512

Рисунок 513

110









Рисунок 514

Рисунок 515



111




















517)

112


















113



































114
















4

3

4 11

2

4

5

12

5

5

7

7

7

7

7

7

8

8

8

y

z

x

115




A1 (R 0 0)

A2 (0 R 0)

A3 (0 0 R)

B1 (R-r1 0 0)

B2 (0 R-r2 0)

B3 (0 0 R-r3)




К1 (x1 y1 z1)

К2 (x2 y2 z2)

M

z

x

y

K1

K2

K3

O e

3

e2

e1

x

y

z

O

a

a

a

O

A3

B3

M A2

B2

B1

A1

y

z

x

R

r1

r3

r2

116

К3 (x3 y3 z3)






(51)



К3К1

(52)







(53)


(54)

(55)



117

(56)






a) b)

c) b)




118
















a)

b)


119

a) b)

c) d)








120











121
















движений


















122

















International 2005

























124


















4976582 December 11 1990
















125



ndash С 12-15




















121-130





С 1-9






126







2011 ndash C 1-6











185-196
















127




3 2010 С 27-36






164091 Aug 20 2016












С 959-968





1999 ndash С 508-513







128



Mar 22 2007










247-255









2014



2013









129









113















87 с





779-784





130












2013 ndash С 199-207





1975 ndash 768 с


1966 ndash 412 с















131





























ndash С 035001





132










133


134



135

136

137

138

139












113
















4 ndash С 13-20







140

DOI 107868S023571191803001X




DOI 103103S1052618818030111




С 89 ndash 120

























141

















С70-71
















Documents

imash.ruimash.ru/netcat_files/file/Dissovet/NOSOVA...ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ МАШИНОВЕДЕНИЯ