Implementación del método de elementos finitos como

Implementación del método de elementos finitos como técnica parala generación de Beamforming

Santiago Otalvaro Barco, [email protected] José Fernández Parra, [email protected]

Trabajo de Grado presentado para optar al título de Ingeniero de Sonido

Asesor: Diego Mauricio Murillo Gómez Ph.D in Sound and Vibration

Universidad de San Buenaventura ColombiaFacultad de IngenieríasIngeniería de Sonido

Medellín2020

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

Citar/How to cite [1]Referencia Bibtex Santiago Otálvaro Barco and Daniel José Fernández Parra,

Implementación mediante el método de elementos finitos para lageneración de Beamforming,Tesis de Pregrado,Universidad San Buenaventura Colombia, sede Medellín, San Benito2020

ReferenciaEstilo IEEE 2014 Santiago Otálvaro Barco and Daniel José Fernández, Ïmplementación

mediante el método de elementos finitos para la generación de Beam-forming”, Tesis de Pregrado, Ingeniería de Sonido, Universidad de SanBuenaventura, Facultad de Ingenierías, 2020

Bibliotecas Universidad de San Buenaventura

Biblioteca Digital (Repositorio)http://bibliotecadigital.usb.edu.co

Biblioteca Fray Alberto Montealegre OFM - Bogotá.Biblioteca Fray Arturo Calle Restrepo OFM - Medellín, Bello, Armenia, Ibagué.Departamento de Biblioteca - Cali.Biblioteca Central Fray Antonio de Marchena – Cartagena.

Universidad de San Buenaventura Colombia

Universidad de San Buenaventura Colombia - http://www.usb.edu.co/Bogotá - http://www.usbbog.edu.coMedellín - http://www.usbmed.edu.coCali - http://www.usbcali.edu.coCartagena - http://www.usbctg.edu.coEditorial Bonaventuriana - http://www.editorialbonaventuriana.usb.edu.co/Revistas - http://revistas.usb.edu.co/

http://bibliotecadigital.usb.edu.co

Dedicatorias

Esta tesis de grado la dedico a mis padres, que tuvieron la paciencia para entender mis sueños y apoyarlossiempre. A ellos les debo los valores con los que intento vivir mi día a día. A mi hermana Manuela, mi primoFelipe y Rosalba que no me dejaron desfallecer, con claros ejemplos de responsabilidad, dedicación y apoyo

incondicional me motivaron a terminar mis estudios. A mi novia Paola que siempre estuvo para mí enmomentos difíciles y me brindo toda su paciencia para apoyarme. A mi gran amigo Pacho le agradezco toda

la motivación, empeño, esfuerzo y tolerancia en momentos complejos para desarrollar este proyecto, porbrindarme su amistad sincera, desinteresada y hacerme ver todas las habilidades que poseemos. A Diego por

su amistad, enseñanza, paciencia y exigencia en todo momento.

Santiago Otalvaro Barco

Durante este proyecto, aprendí el valor de trabajar en equipo ya que esto envuelve no solo a compañeros yprofesores de mi universidad; sino a mi grandiosa familia, a un amigo de verdad, Santiago y a un maestro y

a un guia profesional como lo fue Diego. Por eso, quiero agradecer profundamente a mi familia,especialmente a mis padres que fueron un apoyo emocional y económico para el desarrolo de mi carrera.También a mi pareja sentimental por la paciencia y el amor brindado. A Santi por el esfuerzo y todo suconocimiento puesto en este proyecto y por su amistad. Gracias, Diego, por brindarnos tú sabiduría y

corregir nuestros errores... Ser ese asesor que nos guió siempre para dar lo mejor de nosotros.

Daniel José Fernandez Parra

Agradecimientos Conjuntos

Agradecemos a todas las personas involucradas en este proyecto. Principalmente a Diego Murillo por la guíay enseñanza prestada. A Sebastián Lopez por todo su total apoyo para que este proyecto se desarrollara.

TABLA DE CONTENIDOS

RESUMEN 7

ABSTRACT 8

I. INTRODUCCIÓN 9

II. ANTECEDENTES 10

III. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 13

IV. JUSTIFICACIÓN 14

V. OBJETIVOS 15A. Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15B. Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

VI. MARCO TEÓRICO 16A. Notación Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

B. Transformada de fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17C. Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17D. Ecuación de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18E. Presión sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19F. Velocidad del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19G. Niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1. Nivel de presión sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19H. Monopolo acústico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I. Radiación de un pistón montado en un bafle infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1. Radiación en campo lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21J. Problema inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21K. Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1. PMM (Pressure Matching Method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23L. Métodos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1. Método de elementos finitos FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. Formulación variacional débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253. Discretización de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254. Capas perfectamente acopladas (Perfectly Matched Layer PML) . . . . . . . . . . . . . . . 26

VII. METODOLOGÍA 27A. Calibración del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1. Configuración sistema FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. PML y mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273. Fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284. Cálculo analítico del planteamiento propuesto en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285. Ingreso de amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286. Gráficas de presión acústica y SPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287. Extracción de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288. Cálculo de error de las ecuaciones analíticas contra sistema FEM en MATLAB . . . . . . . 28

B. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS COMO TÉCNICA PARA ... 5

VIII. RESULTADOS 42A. Monopolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1. Un monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422. Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

B. Pistones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471. Un pistón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472. Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

C. Simulación de Beamforming con pistones empotrados en una caja acústica . . . . . 53D. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54E. Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55F. Discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

IX. CONCLUSIONES 58

Referencias 59

Apéndice A: Simulación de un monopolo con amplitud compleja 62

Apéndice B: Simulación de dos monopolos con amplitud compleja 63

Apéndice C: Simulación de diez monopolos con amplitud compleja 64

Apéndice D: Simulación de dos pistones con amplitud real 65

LISTA DE TABLAS

TABLA. I. CONFIGURACIÓN DEL PLANTEAMINETO DEL PROBLEMA INVERSO PARA MONO-POLOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

TABLA. II. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA INVERSO PARA PIS-TONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

TABLA. III. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE BEAMFORMING CON PISTONESEMPOTRADOS EN UNA CAJA ACÚSTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

TABLA. IV. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE UN MONOPO-LO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

TABLA. V. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE BEAMFORMINGCON MONOPOLOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

TABLA. VI. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE UN PISTÓN. 48TABLA. VII. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE BEAMFORMING

CON PISTONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TABLA. VIII. VALORES DE AMPLITUD HALLADOS EN LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA INVERSO

PARA REALIZAR BEAMFORMING CON LA CAJA ACÚSTICA. . . . . . . . . . . . . 53

LISTA DE FIGURAS

Fig. 1. Diagrama general del Beamforming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Fig. 2. Esquema general de la discretización del dominio por medio de FEM. . . . . . . . . . 24Fig. 3. Diagrama del paso a paso realizado para tener unos resultados óptimos. . . . . . . . . 27Fig. 4. Mallado de capas de contorno en dominio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Fig. 5. Mallado tetraédrico en dominio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Fig. 6. PML para un dominio esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Fig. 7. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla de capas de contorno a una frecuencia de 63 Hz con un monopolo. . . . . . . . . 30Fig. 8. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un monopolo a 63 Hz.

Sistema FEM mallado de capas de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Fig. 9. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla tetraédrica a una frecuencia de 63 Hz con un monopolo. . . . . . . . . . . . . . 31Fig. 10. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un monopolo a 63 Hz.

Sistema FEM mallado tetraédrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Fig. 11. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos monopolos. . . . . . . 32Fig. 12. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos

monopolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Fig. 13. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez monopolos. . . . . . . 33Fig. 14. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez

monopolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Fig. 15. Puntos de control en una semiesfera y fuentes monopolares. . . . . . . . . . . . . . . . 34Fig. 16. Dominio Rectangular y mallado de capas de contorno para 6 fuentes monopolares. . . 35Fig. 17. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con un Pistón. . . . . . . . . . 35Fig. 18. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un pistón a 125 Hz. Sistema

FEM mallado de capas de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Fig. 19. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos Pistones. . . . . . . . 36Fig. 20. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos

Pistones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Fig. 21. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con

malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez Pistones. . . . . . . . 37Fig. 22. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez

Pistones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Fig. 23. Puntos de control en una semiesfera y pistones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Fig. 24. Dominio Rectangular y mallado de capas de contorno para 6 pistones. . . . . . . . . . 39Fig. 25. Dimensiones de caja acústica. Vista frontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Fig. 26. Dimensiones de caja acústica. Vista superior de a caja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Fig. 27. Dominio rectangular del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Fig. 28. Malla del dominio rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Fig. 29. Caja acústica y su malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Fig. 30. Dominio esférico de radio [5]mts con ubicación de fuente (punto en el origen de color

azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Fig. 31. Mallado de capas de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Fig. 32. Presión acústica y nivel de presión sonora de un monopolo en el software de simulación

acústica y MATLAB a una frecuencia de 63 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Fig. 33. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un monopolo a 63 Hz . . . 44

Fig. 34. Dominio rectangular de dimensiones [7, 7, 2]mts con ubicación de fuentes en el eje Y de-1 (puntos de color negro con distancia entre ellas de 0,143m). . . . . . . . . . . . . . 45

Fig. 35. Mallado capas de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Fig. 36. Presión acústica y nivel de presión sonora de seis monopolos generando Beamforming

en el software de simulación acústica y MATLAB a una frecuencia de 125 Hz . . . . . 46Fig. 37. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de seis monopolos generando

Beamforming a 125 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Fig. 38. Dominio rectangular de dimensiones [8, 8, 3]mts con ubicación de fuente en la pantalla

infinita del dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Fig. 39. Mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Fig. 40. Presión acústica y nivel de presión sonora de un pistón en el software de simulación

acústica y MATLAB a una frecuencia de 63 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Fig. 41. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un Pistón a 63 Hz . . . . 50Fig. 42. Dominio rectangular de dimensiones [3, 3, 1]m con ubicación de las fuentes en la pantalla

infinita del dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Fig. 43. Mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Fig. 44. Presión acústica y nivel de presión sonora de un Beamforming en el software de simu-

lación acústica y MATLAB a una frecuencia de 500 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Fig. 45. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de Beamforming con pistones

a 500 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Fig. 46. Presión acústica y nivel de presión sonora de un Beamforming en el software de simu-

lación acústica y MATLAB a una frecuencia de 500 Hz en caja acústica. . . . . . . . . 53Fig. 47. Error en amplitud de ambos métodos generando Beamforming a 500 Hz. . . . . . . . . 54Fig. 48. Difracción de la caja a una frecuencia de 500 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Fig. 49. Difracción de la caja vista lateral a una frecuencia de 500 Hz. . . . . . . . . . . . . . . 55Fig. 50. Energía que requiere el sistema para su reproducción con monopolos y pistones. . . . . 56Fig. 51. Simulación de un monopolo con amplitud compleja deQs = 0,003464576−0,0034524653764i

a una frecuencia de 125 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Fig. 52. Error de amplitud de FEM contra MATLAB a una frecuencia de 125 Hz. . . . . . . . 62Fig. 53. Simulación con amplitud compleja para ambos monopolos de Qs = 0,003464576 −

0,0034524653764i; a una frecuencia de 88 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Fig. 54. Error de amplitud de FEM contra MATLAB a una frecuencia de 88 Hz. . . . . . . . . 63Fig. 55. Simulación con amplitud compleja para diez monopolos deQs = 0,000345234+0,008735i;

a una frecuencia de 125 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Fig. 56. Error de amplitud de FEM contra MATLAB a una frecuencia de 125 Hz. . . . . . . . 64Fig. 57. Simulación con amplitud compleja para diez monopolos de V0 = 1; a una frecuencia de

250 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Fig. 58. Error de amplitud de FEM contra MATLAB a una frecuencia de 250 Hz. . . . . . . . 65


RESUMEN

En este trabajo se implementa el método de elementos finitos FEM (por sus siglas en inglés) para la generaciónde simulaciones que permite el estudio del comportamiento acústico de un arreglo de altavoces que producebeamforming. La selección del método de elementos finitos se realiza con el propósito de tener en cuentalas consideraciones de los fenómenos ondulatorios en el diseño de la caja acústica. Este proceso parte deuna simulación en el software MATLAB en donde se establecen condiciones de campo libre con solucioneselementales analíticas basadas en monopolos y pistones. Los parámetros de entrada como el flujo volumétrico(Qs) en un monopolo y la velocidad normal (Vn) en un pistón, se obtienen de las simulaciones con Matlab y seingresan en el software de simulación con FEM para corroborar que el comportamiento de ambas simulacionesarroja similitudes en los resultados. La implementación de FEM se ejecuta por medio de la elección deparámetros adecuados, según la discretización del dominio, para lograr una correcta estimación del fenómenoen estudio. Los valores de amplitud de las fuentes para la generación de beamforming se proponen al solucionarel método inverso. Este genera unas amplitudes a partir de variables de control que determinan la propagaciónen una zona determinada. Se procede a evaluar el método por medio del software de simulación acústica conFEM. Los resultados indican que el método de elementos finitos es una técnica que sirve para evaluar demanera eficiente el diseño de un arreglo de altavoces que generan beamforming. Fenómenos ondulatorios comola difracción de la caja pueden ser contemplados en lo que muestra un algoritmo robusto para el diseñoelectroacústico, sin embargo, la solución es eficiente cuando la carga computacional de las simulaciones noexcede la capacidad de cálculo.

Palabras clave: Elementos finitos, Monopolos, Pistones.


ABSTRACT

This work implements the FEM finite element method for the generation of simulations that allows the studyof the acoustic behavior of a speaker array that produces beamforming. The selection of the finite elementmethod is made with the purpose of taking into account the considerations of the wave phenomena in the designof the acoustic box. This process starts from a simulation in MATLAB software where free field conditionsare established with analytical elementary solutions based on monopoles and pistons. The input parameters,such as the volumetric flow (Qs) in a monopole and the normal velocity (Vn) in a piston, are obtained fromthe simulations with Matlab and entered into the simulation software with FEM to corroborate that thebehavior of both simulations obtained similarities in the results. The implementation of FEM is accomplishedby means of the election of suitable parameters, according to the discretization of the domain, to obtain acorrect estimation of the phenomenon under study. The amplitude values of the sources for beamforminggeneration are proposed when solving the inverse method. This generates amplitudes from control variablesthat determine the propagation in a given area. The method is evaluated by means of acoustic simulationsoftware with FEM. The results indicate that the finite element method is a technique that is used to efficientlyevaluate the design of an array of speakers that generate beamforming. Wave phenomena such as box diffractioncan be contemplated in what shows a complex algorithm for electroacoustic design, however, the solution isefficient when the computational load of the simulations does not exceed the calculation capacity.

Keywords: Finite elements, Monopoles, Pistons.


I. INTRODUCCIÓN

La implementación de métodos numéricos es una herramienta útil en términos de ingeniería para generarescenarios de simulación hipotéticos con condiciones controladas en donde se observe el comportamiento defenómenos físicos asociados a la acústica. El método de elementos finitos surge en la década de los 60 como unatécnica basada en cálculos computacionales que reemplazaba los métodos analíticos del análisis estructural.Este método se basa en la discretización con subregiones no superpuestas de un dominio en estudio [1]. Estadiscretización se realiza a partir de un numero finito de puntos que define la estructura de cada elemento. Laventaja que presenta una simulación virtual es generar escenarios hipotéticos en condiciones controladas quepermita visualizar y estudiar el comportamiento de fenómenos físicos asociados a la acústica.

El beamforming es la técnica de focalizar espacialmente el sonido en una zona determinada. Mediante estatécnica es posible tener una herramienta que provee aplicaciones a nuevas tecnologías que tienen un rol relevanteen términos de entretenimiento, confort acústico y audio personalizado[2]. Existen diferentes métodos quedescriben de manera analítica cómo generar beamforming a partir de un arreglo de fuentes sonoras. Estosmétodos se describen en la literatura científica y tienen un desglose matemático, en el cual, se proponenecuaciones que describen el comportamiento acústico del fenómeno en consideración [3]. Estos métodos tienenventajas y restricciones que pueden ser analizados y optimizados por medio de métodos de simulación basadosen la solución numérica de la ecuación de onda [4]-[5]-[6].

FEM es un método numérico que puede estimar las soluciones propuestas en los diferentes métodos analíticosde beamforming [1]. La intención de esta tesis es implementar la programación del método de elementos finitospara la acústica y presentar las características esenciales del método e indicar los tipos de análisis para losque se puede utilizar [7].

El enfoque de este trabajo se basa en generar una metodología donde se establezcan los parámetros requeridospara la simulación de un arreglo de altavoces con su respectiva caja acústica, en el cual, se genere beamforming.Estos parámetros corresponden a el uso de las variables de simulación que permiten tener una discusión sobretemas como mallado y el tipo de elemento para la discretización, los valores de entrada de las fuentes, lainteracción entre caja-fuente y la calidad en la reproducción de la técnica en estudio.


II. ANTECEDENTES

Las nuevas investigaciones de procesamiento de señal de audio crecen con el fin de hacer audible por modeladofísico o matemático un campo sonoro. Para usar una serie de fuentes acústicas y dar forma a un campo sonorousando la formación de haces existen diferentes métodos desarrollados que a continuación se estudian.

Choi y Kim [9] proponen una generación de una zona acústica brillante utilizando múltiples fuentes. Estainvestigación se basa en generar dos soluciones a el método en estudio. La primera solución se basa enresaltar el máximo brillo que genera el método maximizando la potencia de entrada. La segunda soluciónse basa en maximizar el contraste generado por la zona brillante y la zona oscura relacionando la densidad deenergía potencial acústica entre estas zonas. En la primera solución se agrega el parámetro que determinala densidad de energía potencial acústica producida en la zona brillante generada por la potencia entregadapor cada fuente. En la segunda solución se agrega el parámetro β que determina el máximo contraste entrelas dos zonas de estudio. Se realizaron simulaciones en 2D obteniendo los campos de energía potencial encada método obteniendo un aumento en 13 decibeles para la primera solución y un aumento de 7 dB para lasegunda solución. Los autores concluyen que los parámetros obtenidos en cada solución generaban una mejoraen las zonas deseadas. la segunda solución requiere de más potencia de entrada en las fuentes para generar elmismo brillo que en la segunda solución.

[10] P. Coleman y P. Jackson evalúan tres métodos para la generación de Beamforming a partir de simulacionesen MATLAB. Los autores precisan tres formas de evaluar estos métodos. La separación entre la zona oscuray brillante (Acoustic contrast), el costo físico (Control effort), y las propiedades que obtiene la zona de brillo(Planarity). Estos métodos son mencionados en ref 1 conocidos como el BC el ACC y PM. Las simulaciones serealizan con un arreglo circular de 48 altavoces y 156 micrófonos. Los autores comprueban que el ACC produceun contraste máximo evaluado en 76dB sobre todo el rango de frecuencias. Se demuestra que el PM producemejor respuesta plana pero requiere un esfuerzo de control mas alto que los demás métodos. La geometría delarreglo limita el rendimiento de contraste en BC y el rendimiento en ACC en comparación con una geometríamas recta. Los autores concluyen que ACC produce mayor contraste PM produce un campo de sonido plano yBC es la solución de menor esfuerzo. Un diseñador de la zona puede elegir entre los métodos de acuerdo a sus propiedades. El BC para menor consumo de energía ACC para el máximo contraste y PM para un controlpreciso de la zona brillante.

D. kim, K. kim y S. Wang [11] proponen un método de control con arreglo de altavoces para formar un hazdirectivo que genere una propagación del sonido con zonas audibles y zonas inaudibles. El método se enfocaen hacer un análisis por medio del modelado matemático de las ecuaciones propuestas [9]. Estas ecuacionesdescriben dos métodos para generar beamforming. El primer método se basa en un control del brillo o zonaaudible y el segundo método se basa en control de contraste o zona inaudible. Los autores proponen un métodode control que forme un haz de sonido a determinada distancia mientras se extiende el rango de frecuencias. Losautores realizan simulaciones numéricas y experimentos para comparar el método de control de directividad debanda ancha con los tres métodos de formación de haz en condiciones de campo libre. Los autores evidenciancon estas pruebas que el método propuesto optimiza la directividad y la ganancia audible.


[12] Los autores M. Song y S. Baek res proponen un algoritmo de formación de haz optimizado (COBF)que ofrece una alta presión sonora en entornos reverberantes. Se analizan los efectos causados por una salareverberante. Se realizan simulaciones para evaluar la distribución de presión del sonido en un arreglo dealtavoces de acuerdo al COBF en un entorno reverberante. Los resultados de las pruebas muestran qe el métodoCOBF forma un sonido que concentra alta energía hacia la zona de brillo deseada en entornos reverberantessuperando a métodos antes mencionados en [9]-[10]-[11].

[13] M. Kolundzija, C. Faller y M vetterli diseñan un arreglo altavoces con base cilíndrica que genera un hazacústico. Este diceño se hace con el fin de generar un campo super direccional y requerir menos altavoces parauna mejor respuesta en frecuencia baja. El diseño del altavoz se basa en modelo de un pistón con bafle infinitoel cual es conveniente para demostrar el concepto con una solución analítica. Los autores realizan simulacionesdel modelo propuesto con el fin de corroborar la efectividad del arreglo y realizar el respectivo experimentocon mediciones. Las mediciones muestran resultados coherentes a las simulaciones y se propone usar el arregloen aplicaciones como la mitigación de efectos adversos en una sala y la reproducción de sonido ambiental enhabitaciones.

[14] F Mazzi, M. Shin, F. Olivieri entre otros. Comparan dos métodos utilizados para la generación de hacesacústicos siendo la coincidencia de presión y la coincidencia de modo. Estos métodos se utilizan en el cálculode filtros digitales para un conjunto de fuentes y receptores. Ambos método realizan cálculos de fuerzas defuente en donde el método de coincidencia de modo obtiene el patrón de radiación objetivos de en términosde sus coeficientes de furrier. El método de coincidencia de presión utiliza puntos de radiación muestreadospara generar el vector dimensional utilizando la inversión de la función de transferencia entre las fuentes y losreceptores. Los autores establecen que es necesario utilizar un esquema de regularización llamado regularizaciónde Tikhonov para obtener soluciones estables. Los resultados teóricos del análisis de estos dos métodos sondemostrados mediante simulaciones numéricas. Con estas simulaciones se demuestra que la magnitud de lospatrones de radiación es aproximadamente parecida a 100 Hz mientras que son considerablemente diferentesa 800 Hz.

[15] F Mazzi, M. Shin, F. Olivieri entre otros. Comparan dos métodos de reproducción precisa de una señalobjetivo que genera variaciones de amplitud entre las zonas acústicamente brillantes y oscuras. Se compara elmétodo de coincidencia de presión ponderada (WPPM) y una formulación del método de ajustes de presión(PMM) con restricción en la precisión de la reproducción de la señal objetivo. Se utiliza un parámetro queestima los errores de reproducción en los campos reproducidos y los campos objetivos de la zona. Los autoresutilizan la acústica de contraste para evaluar el rendimiento de la directividad con las respuestas simuladas.

[16] S. Perez y S. Vega realizan una comparación de diferentes métodos para generar Beamforming. Pormedio del software MATLAB analizan numéricamente los métodos con el fin de determinar la eficacia delos métodos con respecto al contraste acústico, la presión y la energía requerida por cada método para unrango de frecuencias. Los métodos en estudio son los antes mencionados por [15] y agregan un método conregularización RPMM. Los autores realizan un análisis numérico de los métodos con condiciones de radiaciónen campo libre para ser comparados con mediciones. Tanto en las simulaciones como en las mediciones seutilizan 8 altavoces separados 3,.86 cm y 37 puntos de control ubicados de forma semi esférica con un radio de3 m. La investigación concuerda en que en que el WPMM es el método que genera mejor contraste acústico


y el LCPMM muestra mejor respuesta en frecuencia y mejor nivel de presión sonora. Con base a un análisisestadístico y numero los autores comprueban que el LCPMM es el método que mejor calidad de audio tienepara generar beamforming. Los autores resaltan la importancia de generar una regularización para implementarel método con el fin de controlar la energía del sistema. Sin embargo los autores comprueban que al utilizarlos procesos de regularización generan filtrados de la señal que debilitan la percepción sonora.


III. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

En la actualidad se ha incrementado la demanda de sistemas de entretenimiento de audio que generen máscomodidad en el ambiente sonoro. Las interfaces orientadas al usuario adquieren técnicas que requieren elprocesamiento digital de la señal con el fin de obtener un audio más personalizado. La simulación de unfenomeno físico a partir de un método numérico permite avanzar de la mano con la tecnología en la ejecuciónde procesos y en la calidad del producto final.

Los métodos analíticos que generan beamforming son complejos y en algunos casos requieren de regularizacionesque se basan en procedimientos matemáticos que buscan la mejora en la calidad del audio y el contrastegenerado por el beam [9]. El método inverso con el PMM (presure matching Method) es un método analíticode Beamforming que se utiliza en este proyecto para hallar las fuerzas acústicas requeridas por un arreglo dealtavoces [16]. Este arreglo de altavoces es simulado con el fin de evaluar el FEM y obtener un comportamientode la propagación de generada. La mayoría de métodos numéricos requieren de sistemas de computo queresuelvan agilmente ecuaciones de un problema físico. El método de elementos finitos permite tener unacercamiento a los fenomenos físicos bajo ciertos parámetros que generan resultados numéricos aproximadosal comportamiento de un sistema real.

Existen ciertos parámetros para que un método numérico genere una estimación adecuada en la solución deun problema físico. Estos parámetros son variables que pertenecen al fenómeno físico que ocurre en cadapunto de la discretización del dominio. Cada punto que discretiza el dominio continuo de un espacio o fluidose convierte en una matriz de ecuaciones que dan forma al comportamiento general de toda la estructuraen análisis [17]. Es necesario también una serie de condiciones para obtener perfecto acoplamiento entre losmétodos analíticos con las estimaciones numéricas. El FEM requiere de condiciones como la discretizaciónadecuada de la estructura para evaluar de manera óptima el problema. Esta discretización en los sistemas decomputo puede generar una carga de procesamiento que sobrepase el nivel. Este sobrepaso en el procesamientode los sistemas de computo generan que no se puedan realizar simulaciones con determinadas condiciones quela propagación sonora presente. Las condiciones que la propagación sonora presenta son entre otras el rangode frecuencia audible. Este rango de frecuencia genera un mayor numero de puntos de discretización en elespacio a medida que aumenta la frecuencia [18].

La tecnología actual permite evaluar el método de elementos finitos con sistemas de computo avanzadosque puedan soportar un análisis detallado de la propagación sonora de un arreglo de altavoces que generebemforming. El beamforming es una técnica para generar un audio personalizado en la sociedad que cada vesbusca mas confort en situaciones de vida cotidiana. Estas simulaciones son de gran ayuda en la industria dela acústica ya que permiten obtener estimaciones que predicen el comportamiento de un sistema de altavocespara la producción de audio personalizado.


IV. JUSTIFICACIÓN

Para muchos campos de la industria la acústica ha generado grandes avances en la reproducción de audiogenerando ambientes con mas comfort y audio personalizado. La resolución de los métodos numéricos ensistemas de computo permiten generar soluciones de problemas acústicos que van de la mano con la tecnologíade la actualidad. Esta tecnología nueva incluye procesamientos digitales de señales en arreglos de altavocesque generan Beamforming.

El enfoque de la metodología de recrear simulaciones de Beamforming a partir del método de elementos finitospermite analizar espacios acústicos en donde intervenga la radiación sonora y la pérdida de transmisión. Dichométodo posee la capacidad de tener un análisis nodal de estructuras o fluidos y la difracción generada cuandola propagación sonora se deforma debido a su comportamiento en diferentes estructuras.

Con una comparación exhaustiva entre los métodos analiticos y estimaciones numéricas se puede corroborarla aproximación que tiene FEM con el problema físico descrito en las ecuaciones. Para un arreglo de atavocesse realizan simulaciones que generen Beamforming. Por medio de FEM se puede desarrollar una discusión queparte de la interacción entre el método analítico y la construcción de la caja.

Los avances de la acústica permiten desarrollar sistemas sonoros de audio personalizado y predecir su compor-tamiento a partir de simulaciones aplicando el método FEM. Esto deja que los avances en los procesamientosde computo resuelvan problemas que requieran de la tecnología suficiente para conocer el comportamientoacústico de sistemas.

V. OBJETIVOS

A. Objetivos generales

Implementar el método de elementos finitos para el diseño de un arreglo de altavoces aplicado a la generaciónde beamforming.

B. Objetivos específicos

Evaluar analítica y numéricamente la generación de un método de beamforming mediante monopolos.

Evaluar analítica y numéricamente la generación de un método de beamforming mediante pistones.

Evaluar el efecto que produce la caja acústica para un arreglo de altavoces que genere beamforming.

VI. MARCO TEÓRICO

A. Notación Matemática

La matemática utiliza una serie de notaciones propias que permite tener un lenguaje a partir de símbolos querepresenten un concepto.

Para representar un vector se utilizan las letras minúsculas y en negrilla e.g “u”.Para representar matrices se utilizan letras mayúsculas y en negrillas e.g “H”.Para representar escalares y funciones en el dominio del tiempo se utilizan con letras mayúsculas y encursiva e.g P (x) = P (x, t).Para representar los escalares y funciones en dominio de la frecuencia se utilizan letras minúsculas ycursivas p(x) = p(x,w).Los componentes de un vector se representan en minúscula y cursiva y con subíndices e.g [x1,x2,x3].

1) Vectores:Un vector representa una magnitud física y matemática con dirección y sentido como un segmento de rectaen un espacio de un plano determinado [19].

Una operación entre vectores puede generar un producto escalar o un producto vectorial que representen unaserie de ecuaciones que proponen un comportamiento físico.

Producto escalar:

x.y =

n∑1

xn yn, (1)

2) Matrices:Es un arreglo en dos dimensiones que contiene un conjunto ordenado de elementos columnas y filas. Lasmatrices representan un producto vectorial de ecuaciones relacionadas con la física del sonido en este caso deinterés la investigación [19].

Producto vectorial:

x × y = (x2y3 − x3y2) i + (x3y1 + x1y3) j + (x1y2 + x2y1)k =

i j kx1 x2 x3

y1 y2 y3

, (2)

3) Números complejos:Representan una cantidad numérica que contiene parte real e imaginaria (j =

√−1) que resulta de la suma o

resta entres dos números e.g. z = a±bi siendo a y b números reales. Los números complejos tienen magnitudy fase dada por [19]:


|x| =√a2 + b2, (3)

Arctan(b

a) = ∠x. (4)

B. Transformada de fourier

La transformada de fourier es un método matemático que permite transformar una función de una señal queesta en el dominio del tiempo en una función de una señal que pertenezca al dominio de la frecuencia. Estocon el fin de analizar la señal en términos de la frecuencia. Para señales que son periódicas en el tiempo latransformada de fourier se puede simplificar y describir en la siguiente manera [20].

F [X(t)] = x(ω) =

∫ ∞

−∞X(t)e−jωt. (5)

Donde e es el número de Euler, la frecuencia angular es ω = 2πf y f es la frecuencia.

C. Ecuación de onda

Todo evento que genere sonido debe satisfacer una ecuación llamada la ecuación de onda. Esta es una ecuacióndiferencial que describe la dependencia entre el espacio y el tiempo a los cambios de presión acústica cuandoexiste una perturbación en el medio.

La ecuación de onda es descrita matemáticamente por medio de ecuaciones de termodinámica y mecánica defluidos. Estas ecuaciones modelan la propagación del sonido partiendo de proposiciones del comportamientofísico. Las proposiciones afirman que durante el moviente ondulatorio la masa se conserva y la propagación semodela como un proceso adiabático. Esto conlleva a enlazar la ecuación de onda con ecuaciones de conservaciónde masa y de momentun descritas a continuación [21]-[22].

∂ρ(x, t)∂t

+ ρ∇ U (x) = 0, (6)

yρ0∂U(x)∂t

+∇ P (x) = 0, (7)

donde ρ(x, t) es la densidad del medio. P (x) es la presión sonora instantánea. U(x) es la velocidad de partícula.∇ es un operador diferencial descrito como: x1

∂∂x1

+ x2∂∂x2

+ x3∂∂x3

.

La ecuación de estado supone que el medio es un gas ideal que relaciona la presión total con la densidad yla temperatura. Esta ecuación no presenta el tiempo suficiente para que ocurra una transferencia de energíatérmica entre las partículas del medio suponiendo un proceso adiabático [21].


P (x) = c2ρ(x, t), (8)

donde c es la velocidad del sonido. Estas ecuaciones 6, 7 y 8 se combinan para formar la ecuación de ondaacústica. Para generar esta ecuación se deriva la ecuación de conservación de masa y se aplica divergencia ala ecuación de momento formando el laplaciano ∇2 que represent las segundas derivadas especiales de unafunción en tres dimensiones y remplazando en la ecuación de estado se obtiene.

∇2P (x)− 1

c2∂ 2P (x)∂t2

= 0. (9)

La ecuación 9 es la ecuación de onda que satisface la propagación de un sonido en el medio. A partir de estaecuación se puede estudiar diferentes tipos de ondas acústicas conocidas como las ondas planas y las ondasesféricas.

D. Ecuación de Helmholtz

La ecuación de onda puede representar por la ecuación de Helmholtz. Esta ecuación relaciona la transformadade Fourier que se aplica a la ecuación de onda descrita por la ecuación 9 y la derivada de la presión sonoracon respecto al tiempo [23].

P (x, t) = 1

2 π

∫ ∞

−∞p(x, ω)e jωtdω, (10)

Se deriva la ecuación anterior y se aplica la transformada de fourier.

∂P (x)∂t

=1

2 π

∫ ∞

−∞p(x, ω)e jωtdω, (11)

F (∂P (x)∂t

) = jωp(x), (12)

Las ecuaciones anteriores determinan que al aplicar la transformada de Fourier a la ecuación de onda acústicapropuesta por la ecuación 9 se obtiene la ecuación de Helmholtz 13.

∇2p(x) + k2p(x) = 0. (13)


E. Presión sonora

Cuando se considera un punto en el espacio en el que se emite el sonido por medio de una fuente, en estepunto la presión esquívale a la presión atmosférica cuando la onda aún no ha pasado por él, cuando pasa, lapresión es adicional, ejercida por la perturbación de la fuente [25], se puede expresar de la siguiente manera:

P 2 (x) = límT→∞

1

T

∫ T

2

−T

2

P 2 (x) dt, (14)

Prms =√P 2(x). (15)

F. Velocidad del sonido

La velocidad del sonido es una función que depende de la elasticidad y de la densidad del medio por dondese propaga, en el aire ambas magnitudes dependen de variables atmosféricas como la presión estática y latemperatura, cuando más denso y menos elástico sea el medio, mayor será la velocidad de propagación de laonda [25].

c = fλ. (16)

donde λ es c/f .

G. Niveles

El rango de presión sonora que percibimos en el campo sonoro de control de ruido es tan amplio, que resultamás útil manejar escalas logarítmicas que representen estas magnitudes tan grandes en niveles muchos máspequeños, la escala logarítmica comprime el rango. Un nivel logarítmico es la razón de una cantidad dadasobre una cantidad de referencia del mismo tipo [25].

1) Nivel de presión sonora:El nivel de presión sonora correspondiente a una presión sonora dada [25], se define como:

Lp = 10 log(Prms

P0

)2

= 20 log(Prms

P0

)(dB). (17)

P0: Presión de referencia 20µPa.


H. Monopolo acústico

Un monopolo acústico es una fuente de radiación sonora que se caracteriza matemáticamente como una esferapulsante. El monopolo genera un desplazamiento en función del radio que genera un campo con simetríaesférica. Cuando la propagación de una onda sonora se emite en campo libre y tiene frente de ondas concéntricasse considera que es una onda esférica. La expresión matemática que satisface la ecuación de onda acústicapara ondas esféricas se define a continuación [6]. El operador laplaciano para generar ondas esféricas se puedesimplificar al despreciar la variación con respecto a dos cordenadas esta dado por la siguiente ecuación:

∇2 p =∂ 2p

∂ r2+

2∂ 2p

r∂r, (18)

La ecuacion que satisface la propagación de un monopolo está dada por:

∂ 2(rP (r))

∂r2− 1

c2∂ 2 (rP (r))

∂t2= 0, (19)

La ecuación 19 presenta una solución que satisface la propagacion de onda esférica:

p(r) = Re Qej(ω0t−kr)

r, (20)

La ecuación de Helmholtz se puede solucionar de la siguiente manera para una propagacion esférica:

p(r) =q

re−jkr. (21)

En la cual q[m3/s] es el flujo volumétrico de la fuente y k = ω/c es el número de onda.

I. Radiación de un pistón montado en un bafle infinito

Un pistón se define como una estructura con superficie circular rígida que genera una velocidad superficial endirección perpendicular a la superficie. La vibración de un pistón montado en un bafle infinito es una fuentecompleja que sirve como modelo razonable para analizar fuentes que son diseñadas en cabinas acústicas [6].

Una solución general que modela el campo de presión producido por la variación de un pistón montado en unbafle infinito es la integral de Rayleigh.

P (x,y, z, t) = jkρ0cu0ejωt

2π

∫S

e−jkr

R dS, (22)

R =

√(x − x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2, (23)


donde u0[m/s] es la velocidad normal del pistón y R[m] es una distancia. Esta ecuación 22 se puede aplicarteniendo en cuenta que la velocidad no varía en amplitud sobre la superficie del pistón y el desplazamientodebe de ser normal a la superficie. El pistón puede tener superficie en forma de anillo o totalmente circular. Elpistón circular puede generar un uso práctico para el análisis de la radiación sonora de fuentes. La ecuaciónque satisface la solución general propuesta en la ecuación 22 para un pistón circular esta dada por [6].

P (r, θ, t) =jkρ0cu0e

jwt

π

∫ π

0dψ

∫ a

0σe−jkr

R dσ, (24)

R =√r2 + σ2 + 2rσ sin θ cosψ. (25)

1) Radiación en campo lejano:La radiación de la presión en campo lejano tiene una solución para la ecuación de el pistón que se define enla ecuación 24. Esta solución se expresa para campo lejano [6]:

P (r, θ, t) =jaρ0c0u0

r

J1(ka sin θ)sin θ ej(ωt− kr). (26)

En la cual a es el radio del pistón y sin θ es una matriz que contiene el angulo entre el eje vertical del pistón ylos puntos del dominio. J1 es la función esférica de Bessel de primer orden y su función asociada de directividades (ka sin θ).

J. Problema inverso

Un campo acústico deseado tiene como base el planteamiento de un problema inverso. El método de PressureMatching Method crea un campo de presión con N puntos de fuente y M puntos de control (Receptores) [25].La salida del sistema se describe de la siguiente forma:

p = Hq, (27)

donde p es la presión acústica en el dominio de la frecuencia. La matriz H es la respuesta en frecuenciacompleja que relaciona amplitud de la fuente y los receptores. El vector complejo q es la amplitud de la fuenteque se desea determinar. La ecuación se puede describir de la siguiente manera:

p1(ω)

p2(ω)

.

.

pM(ω)

=

H11(jω) H12(jω) . . H1N(jω)H21(jω) H22(jω) . . H2N(jω)

. . .

. . .

HM1(jω) HM2(jω) . . HMN(jω)

q1(ω)

q2(ω)

.

.

qN(ω)

, (28)

H es una función de transferecia de orden M × N. p de orden M y q de orden N. Para una fuente monopolar:


H(M×N) =e−jkr(M×N)(iωρ)

4πr(M×N), (29)

Para un pistón:

H(M×N) =jaρ0c0r

J1(ka sin θ(M×N))

sin θ(M×N)ej(ωt− kr), (30)

r es una distancia entre receptor y fuente:

r(M×N) =√

(x1N − x1M)2 + (x2N − x2M)2 + (x3N − x3M)2, (31)

Dicho todo esto se soluciona el problema inverso para hallar el vector de amplitudes q las cuales generanel Beam con la dirección deseada. La siguiente ecuación describe la energía que requiere el sistema para suconstrucción:

Eq =∑

|q|2. (32)

donde q es el vector que corresponde a la velocidad de flujo volumétrico. La siguiente formulación correspondeal error acústico en decibeles del sistema:

Ep(x) = 20 log10|p(x)||p(x)| . (33)

Donde p(x) es la presión reconstruida, p(x) es la presión de referencia. El error en amplitud proporciona unaidea sobre si el campo acústico reconstruido es más alto o más bajo en comparación con la referencia.

K. Beamforming

El beamforming acústico es una implementación en la reproducción de audio que focaliza la energía acústicaa un área determinada de una región. Esta técnica utiliza un arreglo de fuentes sonoras que recibe la señal deaudio procesada por filtros digitales para generar diferentes amplitudes que producen la formación del beam.La finalidad de generar esta técnica es crear zonas de escucha donde existan espacios de alta presión sonoray espacios de baja presión sonora que permitan tener ambientes acústicos personalizados. En la figura 1 semuestra un esquema que representa la reproducción de beamforming a partir de un arreglo de altavoces [16].


Fig. 1. Diagrama general del Beamforming

1) PMM (Pressure Matching Method):El beamforming utiliza métodos que precisan la presión acústica de cada altavoz para generar la focalizacióndel sonido deseado. El PMM es un método que se emplea para encontrar las presiones acústicas que requiereel arreglo a partir de una presión objetivo. Este método utiliza la implementación del problema inverso paragenerar una serie de puntos de control en el espacio. Estos puntos de control establecen las zonas brillantes ylas zonas oscuras para calcular las fuerzas acústicas requeridas por el arreglo. Generando un campo aproximadoa las zonas deseadas. Las zonas brillantes representan las regiones de alta presión acústica deseada. Las zonasoscuras representan las regiones de baja presión acústica deseada. El PMM utiliza una solución que minimizala función costo descrita en la ecuación 29 [1] y [16]. Esta ecuacuación caracteriza las zonas a partir de matricesde propagación definidas como HB (zona brillante) y HD (zona oscura).

qPMM = (HHBHB + HH

DHD)−1HH

B pB. (34)

L. Métodos numéricos

Los métodos numéricos establecen procedimientos aritméticos para la formulación problemas matemáticos queen la vida real no pueden resolverse analíticamente o de manera exacta. Estas ecuaciones analíticas exactas sesolucionan a partir de una secuencia de operaciones matemáticas que se aproximan al comportamiento real yrequieren de sistemas de computo para que sea eficiente el desarrollo del método.

En este trabajo se utiliza un método numérico llamando el método de elementos finitos (FEM) que realizaestimaciones de ecuaciones diferenciales con el fin solucionar la ecuación de onda acústica y poder tener unanálisis de la propagación a partir de un arreglo de altavoces.

1) Método de elementos finitos FEM:El FEM es un método que resuelve de manera numérica ecuaciones diferenciales que describen las solucionesanalíticas del comportamiento de un fenómeno físico [1]. Estas estimaciones se realizan formando una malla


en la estructura en estudio. La malla se forma dividiendo el interior de la estructura en un gran número deelementos no superpuestos. Se trata de subregiones de extensión finita que forman figuras geométricas quedependen de las condiciones de contorno. Un número finito de nodos define la topología de cada elemento. Laproximidad de este método con respecto a las ecuaciones analíticas que definen el comportamiento se debe ala propiedad de convergencia. Esta propiedad de convergencia relaciona el número de particiones del dominiocon el detalle del comportamiento [1]. El FEM desarrolla un problema acústico por medio de la ecuación deHelmholtz descrita en la ecuación 13.

Fig. 2. Esquema general de la discretización del dominio por medio de FEM.

FEM utiliza métodos matemáticos de solución numérica que discretizan funciones continuas para resolverecuaciones diferenciales. La ecuación de Helmhotz se establece para proponer soluciones numéricas y formanun punto de partida para FEM, sin embargo, se deben considerar unas condiciones de frontera que se aplicana una superficie que delimita con una unidad exterior normal n.

Condición de limite rígido: El componente normal de la velocidad acústica es igual a cero en limitedado:

∇P . n = 0 o ∇p . n = 0, (35)

Reacción local de contorno (en el dominio de la frecuencia): El rendimiento a la reacción local deuna superficie se caracteriza por una impedancia normal dependiente de una frecuencia z (ω), de maneraque la presión p (ω) = z (ω) un (ω) donde un (ω) = u . n. De la ecuación de onda propuesta por Helmhotzse pueden deducir la condición de límite para la presión acústica que es:

∇p . n = −jkA (ω) p, (36)

donde A (ω) es la admitancia que equivale a ρ0c0z(ω) . Una admitancia equivalente a cero corresponde a un

límite rígido.Un desplazamiento normal prescrito: Si la superficie delimitadora experimenta un desplazamientoestructural prescrito, la continuidad de la aceleración normal en la superficie está dada por:

∇P . n = ρ0 W o ∇p . n = −ω2ρ0w . (37)


donde W (x, t) = w(x)ejωt es el desplazamiento normal en el dominio de la estructura en estudio.Condición de radiación de Sommerfeld: Para una fuente acústica o superficie de dispersión conpropagación esférica con radio R, una solución sin límites de la ecuación de Helmhotz es tener componentesde propagación externa.

∂p

∂r+ jkp = o

(R−α

). (38)

donde α = 12 o 1 para problemas de 2 y 3 dimensiones. La condición Sommerfeld puede ser aproximada en

el dominio esférico (3D) especificando una impedancia (ρc) o una admitancia no dimensional. Se obtieneun plano amortiguado donde las ondas esféricas son trasparentes, obteniendo la siguiente configuraciónde admitancia para ondas esféricas.

A (ω) = (jk +R− 1

2 ). (39)

Para problemas que se basan en propagación interna se considera una región acústica con dominio Ω

delimitada por una superficie Γ. La superficie Γ se divide en segmentos que corresponden a las condicionesantes mencionadas. El dominio interno de la solución se divide en elementos finitos que tienen forma detriángulos bidimensionales definidos por cada nodo de la malla. Se pueden aproximar la presión acústicaen términos de amplitud real y amplitud compleja.

P (x, t) =n∑

i=1

Pi (t)Ni(x), p (x, ω ) =

n∑i=1

pi (ω)Ni(x). (40)

donde Pi y pi sin las amplitudes de presión en cada punto de la malla y n es el número total de puntos. Lafunción Ni es la función de forma que toma el valor de cada punto en la posición i. Estas funciones de formaNi son funciones de interpolación que se definen por cada punto que pueden ser polinomios.

2) Formulación variacional débil:Se considera la ecuación 13 propuesta por Helmhotz y sujeto a las condiciones de frontera establecidas en lasecuaciones 35-36-37. Se utiliza una función de prueba f(x) que se multiplica por la ecuación 13, integrando yaplicando el teorema de divergencia de Gauss-Green-Ostrogradsky.∫

Ω

1

ρ0

[∇f . ∇p− ω2

c20fp

]dΩ+ jω

∫Γz

A(ω)

ρ0c0fp dΓ +

∫Γst

ω2fwndΓ +

∫Ω

1

ρ0fs dΩ = 0. (41)

En la cual f es continua y diferenciable por las condiciones de 35-36-37. Estas integrales declaran una expresióndébil de estas condiciones de límite.

3) Discretización de ecuaciones:Se generan las matrices que describen las ecuaciones. Se establece un sistema simétrico de ecuaciones lineales:

[K + jωC − ω2M

]p = fst+ fs . (42)

donde M es la masa acústica,K es la rigidez y C la amortiguación representadas en las siguientes matrices.

Mik =

∫Ω

NiNk

ρ0c20dΩ, (43)


Kik =

∫Ω

∇ N i . ∇ Nk

ρ0dΩ, (44)

Cik =

∫Ω

A(ω)

ρ0c20NiNk dΓ. (45)

y los vectores ”fst” y ”fs” están forzando términos debido a la excitación estructural y a las fuentes acústicas.Son dadas por:

fsti = −∫Γst

ω2 N i wn dΓ, (46)

fsi = −∫Ω

1

ρ0N is dΩ. (47)

4) Capas perfectamente acopladas (Perfectly Matched Layer PML):Este módulo aplica una escala de coordenadas compleja a una capa de dominios virtuales que rodean unaregión física de interés. Estas capas se pueden ajustar de manera adecuada para absorber toda la energía deonda saliente en problema de dominio de frecuencias. Esta absorción genera una especie de campo anecoicoque permite estudiar la propagación de ondas sonoras en campo libre [28].

En este modulo se debe seleccionar los dominios perfectamente acoplados que rodeen la región de interés. Losdominios pueden ser de geometría esférica, cilíndrica o definido por el usuario.

Cuando se ajusta adecuadamente, esta capa absorbe toda la energía de onda saliente en problemas de dominiode frecuencia, sin ningún desajuste de impedancia, lo que causa reflexiones en el límite.


VII. METODOLOGÍA

A continuación, se presenta en detalle la metodología que se plantea para resolver este proyecto a través deun esquema mostrando y explicando todos los procedimientos realizados.

Fig. 3. Diagrama del paso a paso realizado para tener unos resultados óptimos.

A. Calibración del sistema

1) Configuración sistema FEM:La geometría se elíge con el objetivo de tener ahorro computacional que se traduce en reducción de tiempode cálculo. En el software de simulación acústica se establecen ciertos parámetros para realizar el proceso queentrega resultados semejantes entre la solución analítica en MATLAB y la solución por medio de FEM. Sedescriben los parámetros utilizados:

Dimensiones del dominioFrecuenciaVelocidad del sonidoUbicación de las fuentes

2) PML y mallado:A partir de [28] se elige una relación de λ/4 que optimice el problema planteado para un dominio que debe seren condiciones de campo libre. Se realizan pruebas con las diferentes geometrías de dominio para corroborar el


comportamiento del PML. El mallado se escoge igual que el parametro anterior con una relación que permitaver todo el comportamiento de la longitud de onda que se desee evaluar.

3) Fuentes:El programa ofrece dos tipos de fuentes que generan propagación de ondas planas y esféricas. Las fuentesse eligen dependiendo el problema que se quiere solucionar. Las que se utilizan en este trabajo son fuentesmonopolares y radiación en pistón. Se ingresan parámetros:

Distancia entre fuentesTamañoTipo de amplitud

4) Cálculo analítico del planteamiento propuesto en MATLAB:Se implementa un método para crear una propagación de Beamforming en dominio rectangular resolviendo elproblema inverso y hallando unas amplitudes según el tipo de fuente.

5) Ingreso de amplitudes:Las amplitudes que se ingresan de acuerdo a la solución del problema inverso.

Monopolos (Qs)Pistones (V0)

6) Gráficas de presión acústica y SPL:En el software de simulación con FEM se crean gráficas que permitan desrrollar un análisis acústico de lapropagación sonora (Presión acústica y Nivel de presión sonora).

7) Extracción de datos:Se crea un corte vertical de puntos que capturan datos definidos por una resolución que es la misma para lasolución en MATLAB.

8) Cálculo de error de las ecuaciones analíticas contra sistema FEM en MATLAB:Los datos exportados desde el software de simulación con FEM se ingresan a MATLAB tomando un vectordesde un archivo de excel. El vector se redimensiona de manera que cree una matriz que tenga las mismasdimensiones a la matriz resultante en la solución analítica para un cálculo de error en amplitud 33.

B. Procedimiento

Se considera un escenario de monopolos donde se realiza una simulación con una sola fuente a través de undescripción analítica en MATLAB y el mismo proceso se replica en el sistema FEM. Se busca una congruenciade los datos de entrada en ambos sistemas. Las pruebas muestran que el flujo volumétrico utilizado (Qs) enla ecuación analítica es el mismo parametro de entrada para el software de simulación con FEM. Debido aesto la matriz de propagación resultante corresponde a P(r) = q

re−jkr la misma propagación generada por el

sistema con FEM. Posteriormente se llevan a cabo diferentes pruebas con dos y diez monopolos. Para validar elsistema bajo diferentes configuraciones de dominios y mallado buscando optimización en carga computacional


sin pérdida de precisión de resultado.

La malla que se utiliza se determina por medio de dos geometrías de mallado que presta el software. Estasgeometrías pertenecen a áreas triangulares y tetrahédricas. Se realizan varias evaluaciones del funcionamientode las mismas para buscar la que menos gasto computacional conlleve con resultados altamente aproximadosa la descripción en MATLAB. Las siguientes figuras muestran las mallas y dominios puestos a prueba:

Fig. 4. Mallado de capas de contorno en dominio esférico

Fig. 5. Mallado tetraédrico en dominio esférico

Se determina una relación de λ/4 para la configuración del PML creado en el software con FEM [28]. En lafigura 6 el contorno de color verde muestra el PML para las soluciones de estas pruebas.


Fig. 6. PML para un dominio esférico

Se realizan diferentes simulaciones con un monopolo, dos monopolos separados a 3 metros de distancia entresí y diez monopolos a 1

2 metro para visualizar la calibración de ambos sistemas. Se le ingresa un valor deamplitud que sea la misma cifra en ambos software. Para un Qs de 1 m3/s.

Fig. 7. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla de capas decontorno a una frecuencia de 63 Hz con un monopolo.


Fig. 8. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un monopolo a 63 Hz. Sistema FEMmallado de capas de contorno.

Fig. 9. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla tetraédricaa una frecuencia de 63 Hz con un monopolo.

Fig. 10. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un monopolo a 63 Hz. Sistema FEMmallado tetraédrico.


Estos escenarios permiten determinar que la malla mas óptima para la solución de estos problemas es lade capas de contorno debido a su ahorro computacional y precisión en los datos. Esta elección de malladoposibilita seguir con las prebas en dos y diez monopolos. Las figuras 11 y 13 dejan a la vista el correctofuncionamiento de la calibración:

Fig. 11. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla de capasde contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos monopolos.

Fig. 12. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos monopolos.


Fig. 13. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla de capasde contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez monopolos.

Fig. 14. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez monopolos.

Siguiente a esto se procede a realizar el desarrollo del problema inverso bajo las descripciones analíticas dela función de transferencia para monopolos a través de la ecuación 29 en MATLAB. Se plantea un dominiorectangular para los dos sistemas puesto que el gasto computacional para el método de elementos finitos conel dominio esférico es bastante alto. En la tabla I, las figuras 15 y 16 se muestran los parámetros ingresados:La distancia entre monopolos se elige con el objetivo de hallar el mismo compartamiento en ambos software.


TABLA. I. CONFIGURACIÓN DEL PLANTEAMINETO DEL PROBLEMA INVERSO PARA MONOPOLOS.

Parámetros MATLAB FEMDimensiones en 3D (x, y, z) [6, 6, 3]m [6, 6, 3]m

Frecuencia (f) [125]Hz [125]Hz

Velocidad del sonido (c) [343]m/s [343]m/s

Longitud de onda (λ) [5,4]m [5,4]m

Tamaño máximo de elemento (Malla) [0] [5,4/15]m

Tamaño mínimo de elemento (Malla) [0] [0,054]m

Tasa de crecimiento máxima del elemento [0] [1,5]

Factor de curvatura [0] [0,6]

Resolución de región estrecha [0] [0,5]

Grosor de propiedades de capas de controno [0] [5,4/15/10]m

Puntos de control (M) [37] [37]

Número de fuentes monopolares (N) [6] [6]

Dirección del Beam (θ) [45°] [45°]Distancia entre monopolos (Da) [0,145]m [0,145]m

Fig. 15. Puntos de control en una semiesfera y fuentes monopolares.


Fig. 16. Dominio Rectangular y mallado de capas de contorno para 6 fuentes monopolares.

Luego en un escenario similar se crean parámetros parecidos para propagar un pistón en pantalla infinita.Primero se comprueba la congruencia de la matriz de radiación de MATLAB con la del sistema FEM.Analíticamente esta descripción sería la ecuación 26.

Fig. 17. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla de capasde contorno a una frecuencia de 125 Hz con un Pistón.


Fig. 18. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un pistón a 125 Hz. Sistema FEM malladode capas de contorno.

Se comprueba la congruencia de los datos ingresados para la radiación de un pistón con estas figuras 17 y 18.La figura 18 muestra ciertas variaciones en los resultados hallados que tienden a cero. Con esta determinaciónse procede a realizar pruebas con 2 pistones a una distancia entre cada pistón de 2,5 metros y 10 pistones auna distancia entre cada pistón de 0,45 metros para la validación del sistema.

Fig. 19. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla de capasde contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos Pistones.


Fig. 20. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con dos Pistones.

Fig. 21. Síntesis del campo acústico radiado del cálculo analítico contra cálculo en FEM con malla de capasde contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez Pistones.


Fig. 22. Error en amplitud con malla de capas de contorno a una frecuencia de 125 Hz con diez Pistones.

Se plantea un problema inverso con pistones en dominio rectangular en pantalla infinita ecuación 30 enMATLAB. Con paramteros similares al de los monopolos la siguiente tabla II y figura 23 se exponen losparámetros ingresados.

TABLA. II. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA INVERSO PARA PISTONES.

Parámetros MATLAB FEMDimensiones en 3D (x, y, z) [6, 6, 3]m [6, 6, 2]m











Número de pistones (N) [6] [6]

Dirección del Beam (θ) [45°] [45°]Distancia entre pistones (Da) [0,143] [0,143]

Radio del pistón (a) [0,0508]m [0,0508]m

Para este planteamineto se eligió la frecuencia de 500 Hz debido a que es el valor más óptimo en cuantoahorro computacional a la hora de realizar la estimacón en el software con FEM. Las dimensiones en esteplanteamiento son [6, 6, 3]m para MATLAB y [6, 6, 2]m para el software con FEM con el objeto de ahorrarmás tiempo en computación. Para el análisis de los resultados se toma una matriz de las mismas dimensionespara evitar una alteración en la comparación que se realiza.


Fig. 23. Puntos de control en una semiesfera y pistones.

Fig. 24. Dominio Rectangular y mallado de capas de contorno para 6 pistones.

La figura 24 exhibe los detalles nodales que se crean en el mallado para un cálculo mas aproximado delproblema. Esto nos lleva finalmente a proponer un problema más complejo para solucionar. En las figuras25-26 y tabla III se detallan las configuraciones propuestas para una caja acústica produciendo Beamforming.


Fig. 25. Dimensiones de caja acústica. Vista frontal

Fig. 26. Dimensiones de caja acústica. Vista superior de a caja.

TABLA. III. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE BEAMFORMING CON PISTONES EMPO-TRADOS EN UNA CAJA ACÚSTICA.

Parámetros MATLAB FEMDimensiones del dominio (x, y, z) [6, 6, 3]m [3, 3, 1]m




Dirección de Beam (θ) [45] [45]


Número de pistones (N) [6] [6]]


Separación entre Fuentes (Da) [0,143]m [0,143]m


Tamaño mínimo de elemento (Malla) [0] [5]mm




Grosor de las capas de contorno [0] [0,686/15/10]mm

El mallado y dominio creado para este escenario es puesto en detalle en las figuras 27-28-29.


Fig. 27. Dominio rectangular del problema

Fig. 28. Malla del dominio rectangular

Fig. 29. Caja acústica y su malla


VIII. RESULTADOS

En esta sección se presentan todos los detalles del procedimiento realizado para los resultados obtenidos porlas simulaciones adscritas a la implementación de FEM contra los resultados en MATLAB.

A. Monopolos

En esta sección se menciona detalladamente todos los resultados que se realizaron para calcular una propa-gación de un monopolo y un Beamforming con monopolos. Se muestra a través de figuras y tablas todo loanteriormente mencionado.

1) Un monopolo: Para este problema se elige una geometría esférica con el objetivo de tener resultadosmas precisos en la propagación esférica. El tipo de malla se escoge según el dominio en este caso fue capas decontorno. La relación de tamaño de malla se ingresa con el fin de tener una cantidad elevada de cantidad denodos donde se resuelve el problema. Esta relación disminuye a medida que crece la frecuencia que se deseaevaluar para ahorrar costo computacional. La siguiente tabla contiene parámetros para la propagación de unmonopolo en el software de simulación con FEM que son los mismos para la solución analítica:

TABLA. IV. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE UN MONOPOLO.Parámetros MATLAB FEM

Dimensiones del dominio en 3D (x, y, z) (Radio) [8, 8, 3]m [5]m










Flujo volumétrico desde la fuente (Qs) [0,01]m3/s [0,01]m3/s

Las figuras 30 y 31 muestran todas las configuraciones que se hacen en el software de simulación con FEM.


Fig. 30. Dominio esférico de radio [5]mts con ubicación de fuente (punto en el origen de color azul).

Fig. 31. Mallado de capas de contorno.

Las figuras 32 y 33 muestran los resultados de ambos métodos.


Fig. 32. Presión acústica y nivel de presión sonora de un monopolo en el software de simulación acústica yMATLAB a una frecuencia de 63 Hz

Fig. 33. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un monopolo a 63 Hz

Los resultados de los cálculos demuestran la semejanza entre los dos métodos de solución del problema. Através de la figura 33 se evidencia que el error en amplitud tiende a 0 entre ambos cálculos. Este resultadopermite avanzar hacia problemas de mas complejidad como el Beamforming.


2) Beamforming: Esta sección muestra los resultados del planteamiento de un Beamforming usando 6fuentes monopolares. La geometría que se usa para realizar este problema fue un dominio rectangular paraefectos de ahorro de cálculo y tiempo. El mallado que se usa para esta solución es capas de contorno. En latabla V etán contenidas las amplitudes en valor absoluto |Qs| calculadas bajo la solución del problema inversoen MATLAB ecuación 29:

TABLA. V. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE BEAMFORMING CONMONOPOLOS.

Parámetros MATLAB FEMDimensiones del dominio en 3D (x, y, z) (Ancho, Profundidad y Altura) [8, 8, 3]m [7, 7, 2]m





Puntos de control [37] [37]

Separación entre Fuentes [0,143]m [0,143]m

Flujo volumétrico desde la fuente (Qs1) [4,74]m3/s [4,74]m3/s











Tamaño máximo de elemento tetrahédrico [0] [5]mm

Las figuras 34 y 35 muestran las configuraciones realizadas con FEM.

Fig. 34. Dominio rectangular de dimensiones [7, 7, 2]mts con ubicación de fuentes en el eje Y de -1 (puntos decolor negro con distancia entre ellas de 0,143m).


Fig. 35. Mallado capas de contorno.

Las figuras 36 y 37 muestran los resultados obtenidos con los cálculos realizados de ambos métodos.

Fig. 36. Presión acústica y nivel de presión sonora de seis monopolos generando Beamforming en el softwarede simulación acústica y MATLAB a una frecuencia de 125 Hz


Fig. 37. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de seis monopolos generando Beamforminga 125 Hz

La figura 36 muestra que los resultados tienen valores de propagación aproximados. El valor que se ingresaen el tamaño máximo del elemento para la malla es alto. No se recomienda aumentar más el número denodos a calcular por el costo computacional que genera este valor, sin embargo, el Beamforming muestradeformaciones en la propagación bajo el método FEM por todos estos factores mencionados recientemente.No poder aumentar el número de nodos para calcular es un hecho que notoriamente afecta las similitudes quese esperan obtener en la simulación con FEM.

En la figura 37 se puede ver la desviación de los resultados puesto que es una gráfica de error en amplitud.Los calculos obtenidos como vemos en ciertas partes de la gráfica son diferentes de 0. El problema solucionadopor el método FEM deja a la vista que se debe de tener un alto rendimiento computacional para resolverproblemas de esta complejidad de manera precisa. Debido a que se debería calcular un número mayor denodos para obtener simulaciones con más similitud entre ambos métodos. Para más exactitud en máquinas demás exigencia computacional se debe implementar una malla con un elevado número de detalle.

B. Pistones

En esta sección se menciona todos los cálculos que se realizaron para desarrollar una propagación de un pistóny un Beamforming con pistones. Se muestran a través de figuras y tablas todo lo anteriormente mencionado.

1) Un pistón: Para este problema se elige una geometría rectangular con el objetivo de tener resultadosprecisos y ahorro computacional en la propagación del pistón en pantalla infinita. El tipo de malla se escogesegún el dominio en este caso fue de capas de contorno. La relación de tamaño de malla se ingresa con elfin de tener una cantidad elevada de números de nodos dependiente de la frecuencia donde se resuelve elproblema. Esta relación disminuye a medida que crece la frecuencia que se desea evaluar para ahorrar costo


computacional. La siguiente tabla contiene parámetros para la propagación de un pistón en el software desimulación con FEM que son los mismos para la solución analítica con MATLAB:

TABLA. VI. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE UN PISTÓN.Parámetros MATLAB FEM

Dimensiones del dominio en 3D (x, y, z, Radio) [5, 5, 3]m [8, 8, 3]m




Radio del pistón [0,15]m [0,15]m







Velocidad normal (V0) [1]m/s [1]m/s


Fig. 38. Dominio rectangular de dimensiones [8, 8, 3]mts con ubicación de fuente en la pantalla infinita deldominio.


Fig. 39. Mallado.


Fig. 40. Presión acústica y nivel de presión sonora de un pistón en el software de simulación acústica yMATLAB a una frecuencia de 63 Hz


Fig. 41. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de un Pistón a 63 Hz

En la figura 40 se logra ver el correcto cálculo del problema bajo ambos métodos. Las gráficas de presiónacústica y nivel de presión sonora presentan coherencia en los datos.

En la figura 41 se puede ver la desviación de los resultados puesto que es una gráfica de error en amplitud.Teniendo en cuenta que la solución de MATLAB corresponde a la radiación en campo lejano de un pistóncircular 26 y FEM no aproxima regiones se puede encontrar la justificación del porque en cercanías de la fuentelos resultados presentan valores que tienden a 1.

2) Beamforming: Esta sección exhibe los resultados del planteamiento de un Beamforming usando 6pistones de fuentes en una pantalla infinita. En la tabla VII se puede evidenciar la velocidad normal en valorabsoluto |V0| calculada para cada pistón bajo la ecuación 30 en MATLAB. Los puntos de control para resolverel problema inverso y darle dirección a las zonas brillantes que se desean usar son 37. La geometría que se usapara realizar este problema fue un dominio rectangular para efectos de ahorro de cálculo y tiempo. El malladoque se usa para esta solución fue capas de contorno. En la siguiente tabla se pueden ver las configuracionesrealizadas:


Fig. 42. Dominio rectangular de dimensiones [3, 3, 1]m con ubicación de las fuentes en la pantalla infinita deldominio.


TABLA. VII. CONFIGURACIONES DEL PLANTEAMIENTO DE PROPAGACIÓN DE BEAMFORMING CONPISTONES.

Parámetros MATLAB FEMDimensiones del dominio (x, y, z) [6, 6, 3]m [3, 3, 1]m






Número de fuentes (N) [6] [6]


Separación entre Fuentes (Da) [0,143]m [0,143]m

Velocidad normal (V01) [0,15]m/s [0,15]m/s











Grosor de las capas de contorno [0] [0,686/15/10]mm

Fig. 43. Mallado.



Fig. 44. Presión acústica y nivel de presión sonora de un Beamforming en el software de simulación acústicay MATLAB a una frecuencia de 500 Hz

Fig. 45. Error en amplitud de presión acústica de la propagación de Beamforming con pistones a 500 Hz

La figura 44 presenta resultados semejantes en presión acústica. El Beam que reconstruye el método FEMgenera resultados aproximados al cálculo analítco. El valor que se ingresa para el tamaño máximo del elementoen la malla es alto. El número de nodos que se calculan generan un costo computacional elevado por lo cual nose recomienda aumentar este valor. El Beamforming muestra una correcta reconstrucción en la propagaciónbajo el método FEM.

En la figura 45 se puede ver la similitud en los resultados bajo ambos métodos puesto que este es el erroren amplitud de ambas soluciones y son aproximadamente 0. El problema solucionado por el método FEMmuestra que para planteamientos de complejidad mas alta se debe tener un alto rendimiento computacionalpara hallar resultados más precisos.


C. Simulación de Beamforming con pistones empotrados en una caja acústica

En esta sección se presenta la solución del problema de unos pistones en una caja acústica que generanBeamforming. Se elige un dominio rectangular para minimizar el costo computacional que se produce. Latipología que se escoge para esta malla fue capas de contorno que se adapta debidamente a la construcción delproblema. En las figuras 25-26 y la tabla III se exponen las dimensiones de la caja acústica que se simulan. Lasfiguras 46-47 muestran los resultados de ambos métodos y en la tabla VIII exhiben las velocidades halladaspara cada pistón con el problema inverso ecuación 30.

TABLA. VIII. VALORES DE AMPLITUD HALLADOS EN LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA INVERSO PARAREALIZAR BEAMFORMING CON LA CAJA ACÚSTICA.

Parámetros MATLAB FEMVelocidad normal (V01) [0,15]m/s [0,15]m/s






Dirección del Beam (°) [45]° [45]°

Fig. 46. Presión acústica y nivel de presión sonora de un Beamforming en el software de simulación acústicay MATLAB a una frecuencia de 500 Hz en caja acústica.


Fig. 47. Error en amplitud de ambos métodos generando Beamforming a 500 Hz.

La figura 46 muestra el cálculo de presión acústica del Beamforming con pistones en la caja. Permite determinarque el Beam generado tiene la dirección que se desea lograr pero debido a diferentes factores la propagacióncon FEM muestra deformaciones con respecto a la propagación analítica. La solución del problema inverso seplantea para una pantalla infinita y el problema de la caja acústica tiene dimensiones finitas para la propagaciónde radiación sonora de los pistones. Esto provoca que el problema no tenga resultados precisos bajo el métodoFEM. El valor del tamaño máximo de elemento de la malla que depende de la frecuencia también es uno de losfactores que potencia las fallas en los cálculos del problema. Estos procedimientos dependen de la frecuenciaque se desea calcular, puesto que, a menor frecuencia se puede crear una malla con mayor número de detallesnodales y a mayor frecuencia la exigencia computacional para hallar resultados crece de manera exponencialimposibilitando hallar una solución del problema.

La figura 47 presenta los resultados de error en amplitud de ambos métodos. Muestra que los datos del métodoFEM no son aproximados al método analítico. Los valores del cálculo son diferentes de 0.

D. Difracción

En las siguientes figuras 48 y 49 se muestra la difracción creada por la caja.


Fig. 48. Difracción de la caja a una frecuencia de 500 Hz.

Fig. 49. Difracción de la caja vista lateral a una frecuencia de 500 Hz.

La caja provoca un comportamiento del Beamforming que deforma la propagación debido a su estructura. Lasolución que se halla para ingresar valores de amplitud para cada pistón es una solución en pantalla infinita.A medida que aumenta las dimensiones de la caja en el eje x el Beamforming muestra el comportamiento quese espera tener bajo la simulación con FEM.

E. Energía

La energía que requiere el sistema para su debida reproducción con monopolos y pistones se muestra en lafigura 50.


Fig. 50. Energía que requiere el sistema para su reproducción con monopolos y pistones.

F. Discusión

¿Es viable la evaluación del beamforming por medio de FEM?

Los límites de viabilidad de FEM están establecidos por el tamaño de la carga computacional. Se recomiendausar un número mínimo entre 6 y 10 de elementos de malla para la frecuencia más alta para que los porcentajesde error con respecto a los métodos analíticos sean cercanos a 0. La frecuencia mas alta que no sobrepase lacarga computacional en este trabajo de investigación es de 500 Hz. Se propone un numero de 9 elementos porlongitud de onda para la correcta evaluación con FEM.

¿ Se puede evaluar el método analítico de beamforming con FEM?

Se evidencia que en baja frecuencia es necesario una regularización que reduzca la energía requerida por elsistema. Las simulaciones demuestran que para frecuencias bajas el beamforming genera un bajo contrasteentre las zonas brillantes y las zonas oscuras. Se duplico y se triplico la energía requerida por cada arreglo yse evidencia un alto contraste entre las zonas brillantes y oscuras. Esta energía que requiere el sistema resultaser inviable en el diseño real de este arreglo.

¿Es posible realizar un análisis en el diseño de la caja acústica que contiene el arreglo de altavoces?

Los fuertes cambios de presión sonora en campo cercano de la fuente generan una discretización que aumente


el tamaño de elementos en todo el dominio que pertenece al diseño de la caja acústica. Las simulacionesacústicas pueden corroborar que el diseño de la caja acústica produce beamforming en el rango de frecuenciaevaluado. La calibración del método con FEM permite realizar un análisis del beamforming para evaluar elarreglo de las fuentes establecidos por el diseño. Este análisis se puede realizar comparando la estimación delmétodo analítico con la estimación del diseño teniendo en cuenta que la formulación analítica parte de suponerunos pistones empotrados en pantalla infinita y la estimación del diseño con FEM son pistones empotradosen una caja acústica. Este porcentaje de error se puede presentar debido varios factores que son externos a lainfluencia real de la caja con la propagación sonora del método. Estos factores pueden ser:

La falta de elementos que aumente la discretización del dominio.Las simulaciones se deben realizar en campo libre.

La simulación del diseño puede evaluar la capacidad de aproximar la propagación del arreglo sobre un deflectorinfinito. Se puede evidenciar que el FEM muestra la difracción que produce el diseño de la caja en bajafrecuencia. Esta evaluación de difracción permite analizar las ventajas que tiene el diseño de la caja. El diseñode la caja puede brindar mejores resultados para la generación de beamforming teniendo en cuenta las siguientesrecomendaciones:

Las simulaciones demuestran que el radio de las fuentes no influye en la formación del beam [29].Las simulaciones demuestran que la separación entre las fuentes genera una mejor formación de zonasbrillantes. Esta separación requiere de un aumento en el área superficial de la caja [29].El aumento de las dimensiones de la caja disminuye la difracción que se genera. Se propone que lasesquinas del diseño sean curvas con el fin de disminuir la difracción.

IX. CONCLUSIONES

La calibración arroja resultados entre el método analítico y el método de estimación numérica demostrandoque FEM puede evaluar la propagación sonora de diferentes tipos de fuentes y obtener un comportamientoreal de este fenómeno. El dominio requiere de una estimación adecuada de un valor mínimo de discretización.Esta limita la capacidad de cálculo de los sistemas de computo debido a que la carga en el procesamientoaumenta a medida que incrementa el rango de frecuencia a evaluar. Esta carga computacional se debe a queFEM utiliza un valor mínimo de puntos por longitud de onda. La longitud de onda de una frecuencia altatiende a elevar el número de elementos a nodales en un espacio determinado.

La evaluación del beamforming por el método FEM muestra resultados de la formación de zonas brillantesque generan errores mínimos con respecto a la propagación analítica de esta técnica. Estas pueden corroborarque el beam en baja frecuencia requiere de una energía acústica mas elevada que en medias y altas frecuencias.

La simulación del beamforming utilizando un diseño de un arreglo de altavoces empotrados en una cajaacústica reflejan un comportamiento real de este diseño, debido a que, el software con FEM me permiterealizar estimaciones con fenomenos físicos que afectan el problema y permiten acercarse a una similitud conla realidad. Esto muestra que el diseño establecido en la metodología tiene dificultades en el procesamiento deFEM debido al alto requerimiento de nodos que necesita el problema para hallar una solución que se asemejea la estimación analítica. Por esto el cálculo del error en amplitud que se halla entre la simulación de la cajagenerando Beamforming y la misma configuración en el método analítico arroja resultados diferentes de 0.

La difracción que se crea debido a la estructura y condiciones del diseño deja ver como se producen unasdeformaciones en la propagación sonora. Los resultados aportan al analisis del diseño de la caja, puesto que,permite visualizar la contribución de la difracción generando un comportamiento acercado a la realidad delproblema. FEM es un método numérico robusto para analizar el comportamiento sonoro de los Beamformingque se desee plantear.


Referencias

[1] Crocker, Malcolm J. “Handbook of noise and vibration control”. Printed in the United States of America.Edited by Malcolm J. Crocker. John Wiley and Sons, 2007.

[2] Olivieri, Ferdinando and Fazi, Filippo Maria and Shin, Mincheol and Nelson, Philip. “Pressure-matchingbeamforming method for loudspeaker arrays with frequency dependent selection of control points”. AudioEngineering Society Convention 138, Audio Engineering Society, 2015.

[3] Afghah, Tahereh and Patros, Elliot and Puckette, Miller. “The Physical Evaluation of the Efficiencyof an Enhanced Pressure-Matching Beamforming Method Using Eigen Decomposition PseudoinverseMathematical Approach”.Audio Engineering Society Conference: 2019 AES International Conference onImmersive and Interactive Audio, Audio Engineering Society, 2019.

[4] Groetsch, CW. “The theory of tikhonov regularization for fredholm equations”. 104p, Boston PitmanPublication, 1984.

[5] Steinsträter, Olaf and Sillekens, Stephanie and Junghoefer, Markus and Burger, Martin and Wolters,Carsten H. “Sensitivity of beamformer source analysis to deficiencies in forward modeling”. Human brainmapping, Wiley Online Library, Vol. 31, no. 12, pp.1907–1927, 2010.

[6] Blackstock, David T. “Fundamentals of physical acoustics”. ASA, 2019.

[7] Castaño Ochoa, Guillermo. “Aplicación del Método de los Elementos Finitos a la ecuación”. UniversidadNacional de Educación a Distancia (España), Facultad de Ciencias, 2013.

[8] HUNG, Eric KL; TURNER, Ross M. A fast beamforming algorithm for large arrays. IEEE Transactionson Aerospace and Electronic Systems, 1983, no 4, p. 598-607.

[9] Choi, Joung-Woo and Kim, Yang-Hann. “Generation of an acoustically bright zone with an illuminatedregion using multiple sources”. Audio Engineering Society Conference: 2019 AES International Conferenceon Immersive and Interactive Audio ASA, Vol. 111, no. 4, pp.1695–1700, 2002.

[10] Coleman, Philip and Jackson, Philip JB and Olik, Marek and Møller, Martin and Olsen, Martin andAbildgaard Pedersen, Jan. “Acoustic contrast, planarity and robustness of sound zone methods using acircular loudspeaker array”. The Journal of the Acoustical Society of America ASA, Vol. 135, no. 4, pp.1929–1940, 2014.

[11] Kim, Daesung and Kim, Kihyun and Wang, Semyung and Lee, Sung Q and Crocker, Malcolm J.“Maximization of the directivity ratio with the desired audible gain level for broadband design of nearfield loudspeaker arrays”. Journal of Sound and Vibration Elsevier, Vol. 330, no. 23, pp.5517–5529, 2011.

[12] Song, Myung and Baek, Soon-Ho and Lee, Seok-Pil and Kang, Hong-Goo. “Maximization of the directivityratio with the desired audible gain level for broadband design of near field loudspeaker arrays”. AudioEngineering Society Convention 125 Oct, 2008.

[13] Kolundzija, Mihailo and Faller, Christof and Vetterli, Martin. “Design of a Compact CylindricalLoudspeaker Array for Spatial Sound Reproduction”. Audio Engineering Society Convention 130 May,


2011.

[14] Fazi, Filippo Maria and Shin, Mincheol and Olivieri, Ferdinando and Fontana, Simone and Lang,Yue. “Comparison of Pressure-Matching and Mode-Matching Beamforming for Methods for CircularLoudspeaker Arrays”. Audio Engineering Society Convention 137 Oct, 2014.

[15] Olivieri, Ferdinando and Fazi, Filippo Maria and Nelson, Philip A. and Fontana, Simone. “Comparisonof Strategies for Accurate Reproduction of a Target Signal with Compact Arrays of Loudspeakers for theGeneration of Zones of Private Sound and Silence”. J. Audio Eng. Soc Vol. 64, no. 11, pp.905–917, 2016.

[16] Pérez Jaramillo, Juan Sebastián and Vega Correa, Juan Sebastián and others. (Trabajo de grado)Universidad San Buenaventura Medellín. “Comparación de métodos analíticos para la generación de audiopersonalizado (beamforming)”. Ingenierias 2018.

[17] Azevedo, Álvaro FM. “Método dos elementos finitos”. Ingenierias 2011.

[18] Pietrzyk, Andrzej and Kleiner, Mendel. “The application of the finite-element method to the prediction ofsoundfields of small rooms at low frequencies”. Audio Engineering Society Convention 102 Audio EngineeringSociety, 2018.

[19] Lay, David C. “Algebra lineal y sus aplicaciones”. Pearson educación 2007.

[20] González, Genaro. “Series de Fourier, transformadas de Fourier y aplicaciones”. Divulgaciones matemáticasVol. 5, no. 1/2, pp.43–60, 1997.

[21] Murillo Gomez, Diego. “Interactive auralization based on hybrid simulation methods and plane waveexpansion”. University of Southampton 2016.

[22] Duque Salcedo, Andrés Felipe and others. (Trabajo de grado) Universidad San Buenaventura Medellín.“Análisis de resonadores de Helmholtz a partir de la implementación del método de elementos finitos”.Ingenierias 2019.

[23] Arrken, G and Weber, H. “Mathematical methods for physicists international student edition”. Academicpress 2005.

[24] Nelson, Philip A and Yoon, Seong-Ho. “Estimation of acoustic source strength by inverse methods: PartI, conditioning of the inverse problem”. Journal of sound and vibration Elsevier, Vol.233, no.4, pp.639–664,2000.

[25] Harris, Cyril M. “Manual de medidas acústicas y control del ruido”. Estados Unidos de América. McGraw-Hill 1995.

[26] Zienkiewicz, Olgierd Cecil. “El método de los elementos finitos”.Reverté 1981.

[27] Mura, Toshio and Koya, Tatsuhito and Heinrich, Stephen. “Variational Methods in Mechanics”. Journalof Pressure Vessel Technology-transactions of The Asme, J PRESSURE VESSEL TECHNOL, Vol.115, Jan,1993.

[28] COMSOL. “5.0 Acoustics Module User’s Guide”. COMSOL, COMSOL, 2014.


[29] Y.-H. Kim and J.-W. Choi. “Sound Focusing”. Sound Visualization and Manipulation, ,First Edit.,Singapore: John Wiley and Sons Singapore Pte. Ltd., 2013, pp. 219–281.


Apéndice ASimulación de un monopolo con amplitud compleja

Fig. 51. Simulación de un monopolo con amplitud compleja de Qs = 0,003464576− 0,0034524653764i a unafrecuencia de 125 Hz.

Fig. 52. Error de amplitud de FEM contra MATLAB a una frecuencia de 125 Hz.


Apéndice BSimulación de dos monopolos con amplitud compleja

Fig. 53. Simulación con amplitud compleja para ambos monopolos de Qs = 0,003464576− 0,0034524653764i;a una frecuencia de 88 Hz.



Apéndice CSimulación de diez monopolos con amplitud compleja

Fig. 55. Simulación con amplitud compleja para diez monopolos de Qs = 0,000345234 + 0,008735i; a unafrecuencia de 125 Hz.



Apéndice DSimulación de dos pistones con amplitud real

Fig. 57. Simulación con amplitud compleja para diez monopolos de V0 = 1; a una frecuencia de 250 Hz.


Documents

Implementación del método de elementos finitos como