i

Instituto Tecnolgico de Cd. Jurez

Mtodo de Elementos Finitos

Diseo e Ingeniera Asistida por Computadora

Maestro: Ing. Ernesto Sols Rodrguez

Equipo: 4

Integrantes: Jorge Antonio Aguilar Bolaos Isaac Alejandro Hernndez Torres

Cesar Salazar Mendoza

Alejandro Jimenez

Rogelio Efrain Soto Pasillas

Orlando Noe Vargas Herrera

Omar Garca Ledezma

Grupo: 19:00 20:00 hrs

Fecha: 24 de Septiembre del 2013

ii

NDICE 1. Introduccin ............................................................................................................................ iv

2. Antecedentes ........................................................................................................................... 1

3. Conceptos ................................................................................................................................ 2

3.1 Espacios Vectoriales ............................................................................................................... 2

3.2 Espacio vectorial de Hilbert ................................................................................................... 2

3.3 Espacio vectorial de Banach ................................................................................................... 2

3.4 Cuerpo .................................................................................................................................... 2

3.5 Ecuacin diferencial ............................................................................................................... 2

3.6 Formulacin dbil. ................................................................................................................. 3

3.7 Medio continuo ...................................................................................................................... 3

3.8 Matriz ............................................................................................................................... 4

3.9 Tension de von mises ............................................................................................................. 4

4. Descripcin matemtica .......................................................................................................... 6

4.1 Definicin del problema y su dominio ................................................................................... 7

4.2 Discretizacin del dominio ..................................................................................................... 8

4.3 Identificacin de las variables de estado ............................................................................. 10

4.4 Formulacin del problema ................................................................................................... 10

4.5 Establecimiento de los sistemas de referencia .................................................................... 11

4.6 Construccin de las funciones de aproximacin de los elementos ..................................... 12

4.7 Determinacin de las ecuaciones a nivel de cada elemento ............................................... 13

4.8 Transformacin de coordenadas ......................................................................................... 13

4.9 Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos ................................................................. 14

4.10 Introduccin de las condiciones de contorno .................................................................... 14

4.11 Solucin del sistema de ecuaciones resultante ................................................................. 14

4.12 Interpretacin de los resultados ........................................................................................ 15

4.13 Ejemplo: determinacin del valor de ............................................................................. 16

4.13.1 Discretizacin del dominio ......................................................................................... 16

4.13.2 Ecuaciones de los elementos ...................................................................................... 17

4.13.3 Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos finitos del problema ....................... 17

4.13.4 Convergencia de la solucin ....................................................................................... 18

5. Proceso del mtodo de elementos finitos en software ......................................................... 20

iii

5.1 Pre proceso. ......................................................................................................................... 20

5.1.1 Planteamiento de la geometra. ................................................................................... 20

5.1.2 Condiciones de contorno. ............................................................................................. 21

5.1.3 Mallado. ........................................................................................................................ 22

5.1.4 Tcnicas o algoritmos de mallado ................................................................................. 24

5.1.5. Materiales. ................................................................................................................... 24

5.1.6 Cargas externas. ............................................................................................................ 26

5.2 Clculos. ............................................................................................................................... 26

5.3 Post proceso. ........................................................................................................................ 26

5.3.1 Resultados. .................................................................................................................... 27

5.4 Ejemplo: Anlisis esttico en Solidworks ............................................................................. 28

5.4.1 Creacin de un estudio ................................................................................................. 28

5.4.2 Asignacin de materiales .............................................................................................. 29

5.4.3 Aplicacin de cargas ...................................................................................................... 30

5.4.4 Mallado del ensamblaje ................................................................................................ 31

5.4.5 Ejecucin del anlisis .................................................................................................... 33

6. Tipos de anlisis mediante el mtodo de elementos finitos ................................................. 36

6.1 Esttico ................................................................................................................................. 36

6.2 Vibracin .............................................................................................................................. 37

6.3 Transferencia de calor ......................................................................................................... 37

6.4 Mecnica de fluidos ............................................................................................................. 38

6.5 Anlisis de choque ............................................................................................................... 39

6.6 Anlisis dinmico ................................................................................................................. 39

6.7 Anlisis por fatiga ................................................................................................................. 40

6.8 Filtracin de agua subterrnea ............................................................................................ 41

7. Ventajas y desventajas del mtodo del elemento finito ........................................................... 41

8. Conclusiones .............................................................................................................................. 43

9. Referencias ................................................................................................................................. 44

iv

1. Introduccin

El mtodo de elementos finitos, es un mtodo numrico para la solucin de

problemas de ingeniera que involucran un alto grado de complejidad. ste mtodo utiliza

reas de las matemticas como las ecuaciones diferenciales y las matrices como medio de

resolucin.

El MEF es una tcnica numrica para analizar diseos de ingeniera. El MEF es

aceptado como el mtodo de anlisis estndar debido a su generalidad y compatibilidad

para hacer ser implementado en computadoras. El MEF divide la estructura en numerosas

piezas pequeas de formas simples llamadas elementos finitos, que reemplazan

eficazmente un problema complejo por muchos problemas simples que se deben resolver

de manera simultnea.

Como podemos ver, el mtodo de los elementos finitos es una poderosa

herramienta en la solucin de problemas en el rea de la ingeniera. Las aplicaciones de

este mtodo tienen un gran campo de trabajo, por ejemplo: en el anlisis de esfuerzos y

deformaciones de automviles, aeronaves, edificios y estructuras, al igual que tiene

campos de estudio en mecnica de fluidos, flujo magntico, pruebas en prototipos y todos

ellos con el fin comn de llevarlos a un anlisis muy preciso y poder obtener soluciones.

La disponibilidad, en la actualidad, de numerosos programas computacionales

basados en las diferentes tcnicas numricas mencionadas, da al ingeniero la oportunidad

de obtener informacin muy detallada sobre el comportamiento de las variables

involucradas en un determinado problema. Sin embargo, la existencia de esta posibilidad,

aumenta en vez de reducir, la necesidad de un juicio firme de ingeniera sobre el uso de

un programa dado. La informacin de salida de un computador, aun con las ayudas

grficas que existen en el presente, nunca podr sustituir el entendimiento y el sentido

comn del analista. Por tal motivo dentro de la siguiente investigacin se darn a conocer

los conceptos tericos y procedimientos prcticos para la solucin de un problema

determinado de diseo mediante el uso del MEF, a travs de un software para el diseo

mecnico en un computador.

1

2. Antecedentes

El mtodo de los elementos finitos de anlisis es relativamente nuevo, ya que sus

inicios fueron en el ao de 1941, donde Hrenikoff present una solucin de problemas de

elasticidad usando el mtodo denominado frame work, en 1943 aparece Courant con trabajos realizados en interpolaciones lineales basado en subregiones triangulares para

modelar problemas de torsin, despus a mediados de los aos 50s aparece Tuner

desarrollando matrices de rigidez para la solucin de problemas de elasticidad en barras y

vigas, entre otros elementos; con grandes logros y siguiendo los pasos de Turner, las

Corporaciones MacNeal-Schwendler and Computer Sciences elaboraron en la NASA el

primer cdigo de importancia para el anlisis de elementos finitos, llamado NASTRAN y

fue usado en la industria aeroespacial, aunque tambin tuvo otras aplicaciones en reas de

la ingeniera civil, como el anlisis de estructuras; pero no fue hasta 1960 cuando Clough,

utiliz por primera vez el trmino de elemento finito y en 1967 fue publicado el primer

libro de elemento finito por Zienkiewicz y Chung.

Fueron muchos los desarrollos, trabajos, investigaciones, experimentos, anlisis e

inversiones de tiempo y dinero para poder tener en el mtodo de los elementos finitos,

una poderosa herramienta de trabajo, los avances fueron ascendiendo hasta poder tener

resultados tangibles, tales como los realizados en el Apolo.

Para encontrar vestigios de este tipo de clculos podramos remontarnos a la

poca de la construccin las pirmides egipcias. Los egipcios empleaban mtodos de

discretizado para determinar el volumen de las pirmides. Arqumedes (287-212 a.C.)

empleaba el mismo mtodo para calcular el volumen de todo tipo de slidos o la

superficie de reas. En oriente tambin aparecen mtodos de aproximacin para realizar

clculos. As el matemtico chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polgono regular de

3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que consegua una

aproximacin al nmero Pi de 3.1416.

Con los grandes avances tecnolgicos que se han logrado en el rea de la

computacin y sobre todo en los sistemas de diseo asistido por computadora, ahora es

relativamente ms fcil la modelacin de prototipos, en los cuales podemos tener

geometras y superficies complicadas e irregulares, aplicaciones de cargas en forma

especfica para el estudio preciso de los esfuerzos internos y tener una modelacin

ajustada a los perfiles y estructuras que se emplean teniendo en consideracin ciertas

caractersticas como el cambio de secciones, estructuras huecas, con pared delgada y con

caractersticas en secciones transversales muy especficas.

2

Para poder tener una solucin aceptable tomando en consideracin los aspectos

antes mencionados, al igual que las caractersticas de los materiales, es necesario la

aplicacin de mtodos numricos capaces de dar soluciones a ecuaciones ordinarias o

parciales, para poder establecer una ecuacin analtica vlida a lo largo de todo el

elemento de estudio, y es por ello que para poder establecer parmetros especficos y

precisos, se necesita de la aplicacin del mtodo de elementos finitos.

2

3. Conceptos

3.1 Espacios Vectoriales

Cualquier conjunto V que posea operaciones como la suma vectorial y producto

por escalares, diremos que es un espacio vectorial. Dentro de las propiedades que deben

cumplirse para que el conjunto se considere un espacio vectorial son las siguientes:

- Suma: cerradura en las sumas, propiedades conmutativas y asociativas, idnticos aditivos e inversos aditivos.

- Multiplicacin: cerradura bajo la multiplicacin, propiedades distributivas y asociativas e idnticos escalares.

Los elementos de tal conjunto se llamarn vectores (aunque pueda tratarse de vectores

diferentes a los vistos en Fsica). El espacio vectorial puede ser real o complejo, segn

sean los escalares.

3.2 Espacio vectorial de Hilbert

El espacio de Hilbert o espacio funcional de Hilbert es un espacio de dimensin

finita o infinita definido sobre el cuerpo de los nmeros complejos y cuyas caractersticas

principales son las siguientes:

1.- Tiene que estar definida una funcin distancia apropiada; es decir, la mtrica tiene

que provenir de una forma de producto interior.

2.- El espacio tiene que ser completo; es decir, tiene que poseer la propiedad de

convergencia para todas las sucesiones fundamentales respecto a su mtrica.

2

3.3 Espacio vectorial de Banach

Es utilizado en el anlisis de funciones. Estos espacios son tpicamente de

funciones de dimensin finita, donde por medio de normas matemticas especificas tiene

propiedades definidas de longitud y magnitud, y que adems es un espacio completo ya

que tiene un elemento que es el lmite de la sucesin.

3.4 Cuerpo

Un cuerpo rgido puede ser considerado como una combinacin de un gran

nmero de partculas en la que todas las partculas permanecen a una distancia fija una de

otras antes y despus de aplicar una carga, es decir, es un cuerpo extenso que no se

deforma al aplicarle alguna carga. Para cuestiones del mtodo de los elementos finitos,

tomaremos tanto la palabra cuerpo como la palabra dominio de igual significado, haciendo referencia al modelo que se diseara.

3.5 Ecuacin diferencial

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que implica la existencia de una funcin

desconocida o incgnita de una nica variable, la cual es llamada variable independiente,

y una o ms de sus derivadas. En una ecuacin diferencial, la solucin es simplemente

una funcin que satisface a la ecuacin; al sustituir esta funcin en la ecuacin

diferencial, se obtiene una afirmacin matemtica cierta, una identidad. Los diferentes

mtodos de resolver una ecuacin diferencial van desde las ecuaciones de primer orden,

segundo orden, orden superior, lineales o no lineales, homogneas y algunos otros.

3

3.6 Formulacin dbil.

La formulacin dbil consiste en convertir un problema formulado mediante

ecuaciones diferenciales en trminos de un problema de algebra lineal, planteado sobre

un espacio vectorial. El mtodo variacional est relacionado con un ente matemtico

llamado funcional. El funcional asociado a un problema dado, puede obtenerse bien sea a

partir de alguna expresin de energa (usualmente este es el caso en los problemas de la

mecnica de los slidos), o desde un problema de valor de contorno. Una vez obtenido el

funcional asociado a un problema dado, el mtodo variacional consiste en minimizar el

valor del funcional con respecto a cada uno de los valores nodales de la(s) variable(s) del

problema.

3.7 Medio continuo

Se entiende por medio continuo a un conjunto infinito de partculas (que forman

parte de un slido, de un fluido o de un gas) que va a ser sometido a un estudio

macroscpico, es decir, sin considerar las posibles discontinuidades existentes en su

estructura atmica. Debido a lo anterior, se admite que no existe discontinuidad entre las

partculas que lo conforman y que la descripcin matemtica de este medio y de sus

propiedades se puede realizar mediante funciones continuas. Hace referencia a los

trminos cuerpo y dominio.

El movimiento de las partculas del medio continuo puede describirse por la

evolucin de sus coordenadas espaciales a lo largo del tiempo. Matemticamente esto

requiere conocer una funcin que para cada partcula proporcione sus coordenadas

espaciales en los sucesivos instantes de tiempo.

4

3.8 Matriz

Es un arreglo rectangular de elementos o coeficientes organizados en filas y

columnas, que pueden describir un grupo de ecuaciones de forma simultnea asociadas a

operaciones como suma, multiplicacin y derivacin, entre otras. La matriz en s se

representa por una letra entre corchetes y los coeficientes dentro de ella con la misma

letra acompaada de dos subndices que indican su posicin dentro de la matriz (m,n),

siendo renglones y columnas respectivamente.

Dentro del anlisis por elementos finitos, la configuracin deformada de una

estructura no puede venir dada por un vector finito , debido a que un medio continuo tiene infinitas formas posibles de deformarse, sino que es una funcin vectorial u, que

indica cules son las deformaciones de cualquier punto, y que tiene tres componentes

escalares:

Esta funcin es la solucin de la ecuacin diferencial que gobierna el problema, y

si ste est bien planteado, cumplir las condiciones de contorno impuestas, pero en

principio no puede asegurarse que esta funcin u tenga una expresin analtica

manejable, ni siquiera que pueda calcularse. Por lo tanto la funcin u no podr conocerse

en general. Para resolver este problema, el Mtodo de los Elementos Finitos recurre a la

discretizacin.

3.9 Tension de von mises

La tensin de Von Mises (o el Esfuerzo) es un ndice obtenido de la combinacin de los

Esfuerzos Principales en un momento dado para determinar en qu puntos ocurre el esfuerzo en el

eje X, Y y Z y provoca la falla. Este mtodo de clculo se utiliza para medir el esfuerzo y las

distribuciones de tensin dentro de un material dctil.

La teora expone que un material dctil comienza a ceder en una ubicacin

cuando la tensin de von Mises es igual al lmite de tensin. En la mayora de los casos,

5

el lmite elstico se utiliza como el lmite de tensin. Sin embargo, el software

determinado utilizado para el diseo le permite utilizar el lmite de tensin de

traccin/ruptura o establecer su propio lmite de tensin.

vonMises limit

El lmite elstico es una propiedad dependiente de la temperatura. Este valor especificado

del lmite elstico debe considerar la temperatura del componente. El factor de seguridad

en una ubicacin se calcula a partir de:

Factor de seguridad (FDS) = limit / vonMises

6

4. Descripcin matemtica

Para poder entender algunos aspectos que se mostrarn a continuacin, es

necesario conocer los tipos de estructuras existentes (de inters con respecto al diseo

mecnico).

Al efectuar una clasificacin de las estructuras, suelen dividirse en discretas y

continuas. Las primeras son aqullas que estn formadas por un ensamblaje de elementos

claramente diferenciados unos de otros y unidos en una serie de puntos concretos, de tal

manera que el sistema total tiene forma de malla o retcula. La caracterstica fundamental

de las estructuras discretas es que su deformacin puede definirse de manera exacta

mediante un nmero finito de parmetros, como por ejemplo las deformaciones de los

puntos de unin de unos elementos y otros.

Como contrapartida, en los sistemas continuos no es posible separar, a priori, el

sistema en un nmero finito de elementos estructurales discretos. Si se toma una parte

cualquiera del sistema, el nmero de puntos de unin entre dicha parte y el resto de la

estructura es infinito, y es por lo tanto imposible utilizar el mismo mtodo que en los

sistemas discretos. Las estructuras continuas son muy frecuentes en ingeniera, como por

ejemplo: bastidores de mquinas, carroceras de vehculos, losas de cimentacin de

edificios, vasijas de reactores, elementos de mquinas (bielas, poleas, carcasas...).

7

Ahora s, tomando en cuenta lo anterior, el procedimiento a seguir dentro del

MEF para la solucin de un problema determinado, es una serie de pasos mostrados a

continuacin:

1. Definicin del problema y su dominio. 2. Discretizacin del dominio. 3. Identificacin de la(s) variable(s) de estado. 4. Formulacin del problema. 5. Establecimiento de los sistemas de referencia. 6. Construccin de las funciones de aproximacin de los elementos. 7. Determinacin de las ecuaciones a nivel de cada elemento. 8. Transformacin de coordenadas. 9. Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos. 10. Introduccin de las condiciones de contorno. 11. Solucin del conjunto de ecuaciones simultneas resultante. 12. Interpretacin de los resultados.

4.1 Definicin del problema y su dominio

El anlisis de un problema mediante el MEF, tiene implcito tres tipos de

aproximacin. La primera se relaciona con la definicin del dominio (fsica y geomtrica)

del problema, las otras dos estn asociadas a la discretizacin de las ecuaciones

gobernantes, y a los algoritmos empleados en la solucin del sistema de ecuaciones

algebraicas simultneas resultante.

Las aproximaciones usadas en la definicin de las caractersticas fsicas de las

diferentes regiones del dominio, dependen fundamentalmente del tipo de problema a

resolver. Sin embargo, la definicin geomtrica del dominio, requiere el establecimiento

de ejes coordenados globales en referencia a los cuales se describen las coordenadas de

ciertos puntos (nodos), los cuales, a su vez, definen las ecuaciones de las lneas,

superficies y/o volumen de los elementos. Este sistema coordenado no necesita ser

rectangular y cartesiano, para algunos problemas especficos, resulta ms adecuado

8

utilizar algn tipo de sistema coordenado curvilneo. El dominio puede ser limitado o no.

Para regiones limitadas del dominio, la idealizacin se realiza mediante elementos finitos

y para las partes de la regin ilimitadas, se usan elementos infinitos o elementos de

contorno.

4.2 Discretizacin del dominio

Puesto que usualmente el problema est definido sobre un dominio continuo, las

ecuaciones gobernantes de un problema, con excepcin de las condiciones de contorno,

son vlidas tanto en todo el dominio como en cualquier parte de l. Esto permite idealizar

el dominio a travs de regiones de tamao finito (elementos), interconectados de

diferente forma y tamao.

Para realizar la discretizacin de un dominio continuo se debe seguir el

procedimiento siguiente:

El continuo se divide por medio de lneas o superficies imaginarias en una serie de regiones contiguas y disjuntas entre s, de formas geomtricas sencillas y normalizadas,

llamadas elementos finitos.

Los elementos finitos se unen entre s en un nmero finito de puntos, llamados nudos.

Los desplazamientos de los nudos son las incgnitas bsicas del problema, y stos determinan unvocamente la configuracin deformada de la estructura. Slo estos

desplazamientos nodales se consideran independientes.

El desplazamiento de un punto cualquiera, viene unvocamente determinado por los desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto. Para ello se definen

para cada elemento, unas funciones de interpolacin que permiten calcular el valor de

cualquier desplazamiento interior por interpolacin de los desplazamientos nodales. Estas

funciones de interpolacin sern de tal naturaleza que se garantice la compatibilidad de

deformaciones necesaria en los contornos de unin entre los elementos.

Las funciones de interpolacin y los desplazamientos nodales definen unvocamente el estado de deformaciones unitarias en el interior del elemento. stas, mediante las

ecuaciones constitutivas del material definen el estado de tensiones en el elemento y por

supuesto en sus bordes.

Para cada elemento, existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos, que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento, y a las fuerzas

exteriores sobre l actuantes.

9

El proceso de discretizacin descrito anteriormente tiene una justificacin

intuitiva, pero lo que de hecho se sugiere es la minimizacin de la energa potencial total

del sistema, para un campo de deformaciones definido por el tipo de elementos utilizado

en la discretizacin. En la siguientes imagenes se aprecian los diferentes tipos (los ms

importantes) de figuras que se pueden utilizar para realizar el mallado del modelo, en sus

formas bidimensional y tridimensional respectivamente.

Elementos finitos en forma bidimensional

Elementos finitos en forma tridimensional

Aun cuando es cierto que, en general, reduciendo el tamao de los elementos se

obtienen mejores resultados, tambin es cierto que un refinamiento excesivo conduce a

grandes sistemas de ecuaciones, lo cual puede tornarse imprctico. Algunas tcnicas

10

relevantes en la discretizacin del dominio son los procesos adaptativos o refinamientos

de mallas y generacin automtica de mallas.

4.3 Identificacin de las variables de estado

No se ha hecho referencia a la naturaleza fsica del problema ya que las etapas

anteriores son comunes a cualquier tipo de problema, ya sea ste de transferencia de

calor, de la mecnica de los fluidos, de la mecnica de los slidos, etc. A continuacin, y

para cada problema en particular, la descripcin matemtica del fenmeno fsico

conducir al correspondiente problema de valor de contorno, el cual contendr las

variables de estado asociadas al mismo. Estas variables se relacionarn entre s a travs

de las ecuaciones constitutivas, las cuales representan una expresin matemtica de una

ley fsica en particular. La siguiente tabla muestra varios problemas con las variables de

estado asociadas, y las correspondientes ecuaciones constitutivas.

4.4 Formulacin del problema

11

Generalmente, un problema fsico est formulado a travs de un conjunto de

ecuaciones diferenciales con sus correspondientes condiciones de contorno, o mediante

una ecuacin integral (un funcional) sujeto a un requerimiento estacionario (mximo o

mnimo). En el primer caso se dice que el problema fsico est referido a su forma

diferencial y en el segundo, a su forma variacional (haciendo referencia al trmino ya

presentado como formulacin dbil), donde en ambos casos se llega al mismo resultado.

En este documento se presentarn las dos formulaciones como forma de establecer las

ecuaciones de los elementos.

4.5 Establecimiento de los sistemas de referencia

Adems de los ejes globales de referencia del sistema completo, es decir, del

objeto completo en proceso de diseo, existen dos importantes razones para seleccionar,

adicionalmente, un sistema de referencia local para los elementos finitos: la facilidad con

la que se construyen las llamadas funciones de forma de los elementos y la facilidad con

la que se integra en el interior de los mismos, con respecto al sistema local de cada

elemento finito en particular. Sin embargo, puesto que los elementos se ensamblan en el

sistema global de referencia, este paso introduce una transformacin de coordenadas.

A pesar que todos los clculos en el mef se pueden realizar directamente en el

sistema global, este procedimiento es muy complicado para cualquier problema de inters

prctico y, puesto que la transformacin de coordenadas entre cualesquiera dos sistemas

coordenados est bien definida y es una operacin matemticamente sencilla, se deben

deducir las ecuaciones de los elementos con relacin a su sistema local de referencia el

cual puede ser cartesiano o curvilneo, dependiendo de la forma de un elemento dado. En

la siguiente figura se puede observar la transformacin de coordenadas de un sistema

global de referencia a uno local de referencia y viceversa.

12

4.6 Construccin de las funciones de aproximacin de los elementos

Una vez que se han seleccionado el sistema coordenado local y la(s) variable(s) de

estado, stas pueden ser aproximadas de diferentes formas. En el MEF, la aproximacin

tanto del dominio del problema como de las variables involucradas en el mismo, se

realiza mediante funciones algebraicas. Si el elemento es plano o de lados rectos, las

coordenadas de los nodos primarios (los que estn localizados en los extremos de los

elementos), definirn la forma exacta del mismo. Debido a esto, la discretizacin del

dominio muchas veces se realiza mediante elementos de lados rectos. Sin embargo, para

algunos problemas estos elementos (p.e., elementos planos utilizados en la discretizacin

de cscaras), pueden producir errores inaceptables y la discretizacin debe ser realizada

con elementos de orden superior.

Un argumento similar es vlido para la aproximacin de la(s) variable(s) de

estado. Estas pueden aproximarse mediante una funcin lineal o a travs de funciones de

orden superior (cuadrticas, cbicas, etc.). El analista debe decidir si la aproximacin

fsica (variable(s) de estado) y la aproximacin geomtrica (forma del elemento), tendrn

el mismo orden, o si por el contrario dar preferencia a una sobre la otra en todo el

dominio, o en alguna parte del mismo. Esto conduce a tres diferentes categoras de

elementos. Si m (nodos para aproximar variables de estado) y n (nodos para definir

geometra) representan dos grados de aproximacin distintos para la forma de los

elementos y para la(s) variable(s) de estado, respectivamente, se dice que un elemento es:

(a) subparamtrico si m < n; (b) isoparamtrico si m = n; (c) superparamtrico si m > n.

La siguiente figura muestra los ejemplos de estas tres categoras de elementos.

13

4.7 Determinacin de las ecuaciones a nivel de cada elemento

A esta altura el modelaje del problema, es decir, la formulacin y discretizacin

del dominio con los elementos de forma y funciones deseadas, se ha completado. Usando

algn modelo matemtico (mtodo de residuos pesados, trabajo virtual, mtodos de

energa, etc.), se debe establecer a continuacin sobre cada elemento, las ecuaciones

discretas del problema continuo. Este paso involucra la determinacin de la llamada

matriz de rigidez de cada elemento con respecto a su sistema local de referencia. Esta

matriz relaciona, por ejemplo, en el caso de un problema de la mecnica de los slidos,

los desplazamientos nodales con las fuerzas nodales o, en el caso de un problema de

conduccin de calor, la temperatura con el flujo de calor. Este paso involucra la

consideracin de las ecuaciones constitutivas y, generalmente, el uso de la integracin

numrica.

4.8 Transformacin de coordenadas

Una vez determinadas las matrices de rigidez de todos los elementos que

conforman la discretizacin del dominio del problema, y antes de proceder al ensamblaje

de todas estas matrices, para as obtener el comportamiento de todo el sistema, es

necesario realizar la transformacin de coordenadas, que permita transformar las matrices

de rigidez de los elementos finitos, desde sus respectivos ejes coordenados locales, al

14

sistema global de referencia. Lo anterior se realiza con ayuda de la frmula matemtica

sencilla que se vio en el punto 1.5.

4.9 Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos

El ensamblaje de las matrices de las ecuaciones de los elementos finitos, se realiza

de acuerdo con la configuracin topolgica de los mismos, despus que stas han sido

transformadas al sistema global de referencia. Dicha configuracin se obtiene a travs del

establecimiento de una relacin entre la numeracin local de los nodos de los elementos,

y la numeracin global de los mismos. El ensamblaje de las matrices se efecta

considerando nicamente los nodos de las interfaces, los cuales son comunes a los

elementos adyacentes. La matriz resultante se denomina matriz global del sistema.

4.10 Introduccin de las condiciones de contorno

En este paso se introducen las condiciones de contorno en la matriz global del

sistema, con lo cual esta matriz se podr reducir o condensar a su forma final, aun cuando

en algunos casos se prefiere, para no aadir nuevos algoritmos a la solucin del

problema, dejar el sistema global con su tamao inicial. Existen algunos algoritmos ms

refinados que permiten introducir las condiciones de contorno en el paso anterior, es

decir, durante el ensamblaje de las matrices, con lo cual se reduce tanto el tiempo de

ejecucin como la memoria requerida, pero dichos algoritmos requieren una

programacin muy diestra.

Los valores prescritos (conocidos) de la funcin (o el de sus derivadas) en los

contornos, son las llamadas condiciones de contorno esenciales. Usualmente, estos

valores son cero o constantes (equivalente a especificar los desplazamientos, las

velocidades, la temperatura, etc., en los nodos).

4.11 Solucin del sistema de ecuaciones resultante

Independientemente de la naturaleza del problema, el paso final en la solucin de

un problema utilizando el mtodo de los elementos finitos, lo constituye la resolucin del

sistema de ecuaciones simultneas resultante. Debido a la naturaleza del MEF, los

15

procedimientos de solucin de dichos sistemas se pueden clasificar en dos grupos: (a) los

mtodos directos, tales como los mtodos de Gauss y de factorizacin de Cholesky, los

cuales son los ms utilizados para sistemas de ecuaciones pequeos o moderados y (b) los

mtodos iterativos, tales como los mtodos de Gauss-Seidel y el de Jacobi, los cuales a su

vez, son ms apropiados para sistemas de grandes rdenes. En estos mtodos, el tiempo

de solucin es considerablemente menor que en los mtodos directos, sin embargo, no

son adecuados en problemas con mltiples sistemas de cargas, como los que

frecuentemente se encuentran en la mecnica de los slidos. Cuando el sistema de

ecuaciones es no-lineal, los procedimientos de solucin ms utilizados son el mtodo de

Picard, el mtodo de Newton-Raphson y variaciones del mtodo de Newton.

4.12 Interpretacin de los resultados

Con la resolucin del sistema de ecuaciones se obtienen los valores aproximados

de la(s) variable(s) en los puntos discretos (nodos) del dominio. Generalmente, estos

valores son interpretados y usados en el clculo de otras cantidades fsicas, tales como los

esfuerzos, deformaciones, el flujo de calor, etc., en todo el dominio, o en ciertas partes

del mismo. Estos clculos posteriores se conocen con el nombre de pos-procesamiento.

La comparacin de los resultados obtenidos con la evidencia experimental u otros

resultados numricos es, tal vez, una de las tareas ms importantes del mef, ya que debe

darse respuesta a las siguientes preguntas: Cuan buenos son los resultados?, Qu hacer

con ellos?. La respuesta a la primera requiere de la estimacin del error, la cual dentro

del anlisis numrico es el error que existe entre un valor real y otro obtenido, y la

segunda involucra la naturaleza fsica del problema. Las respuestas a estas preguntas

permitirn decidir si el anlisis ha llegado a su fin, o si por el contrario, se requiere la

repeticin de algunos de los pasos descritos. En algunos casos, el nuevo anlisis

comienza en el mismo paso 1 (redefinicin del problema con nuevos parmetros fsicos,

nueva discretizacin con diferentes tipos y formas de elementos, etc.). Sin embargo, en la

prctica, para la mayora de los problemas, se obtienen resultados confiables comparando

diferentes anlisis (basados en diferentes discretizaciones), del mismo problema. Los

procesos adaptativos y la generacin automtica de mallas permiten, automticamente,

incrementar la exactitud de un problema dado, una vez estimado el error del anlisis

inicial.

Estos doce puntos completan los pasos necesarios para el anlisis de un sistema

mediante el MEF. Para poner en prctica el proceso de la solucin de un problema simple

mediante el MEF, se tiene el siguiente ejemplo:

16

4.13 Ejemplo: determinacin del valor de

Considrese el problema de determinar el valor de . Para tal fin se limitar un crculo (medio continuo) de radio R, es decir, el circulo ser discretizado, mediante un

polgono inscrito (o circunscrito) de n lados, de tal modo que los lados del polgono

aproximen la circunferencia del crculo, tal como se muestra en la siguiente figura.

Suponindose que se puede determinar la longitud de cada uno de los lados del

polgono, el permetro aproximado de la circunferencia ser, entonces, la suma de los

lados del polgono usado en su representacin, a partir de lo cual se puede estimar el

valor de . A pesar de lo trivial del ejemplo, su anlisis permitir ilustrar varias (aunque no todas) ideas del MEF y los pasos en l involucrados, es decir, la solucin del problema

se har resumiendo los pasos vistos anteriormente.

4.13.1 Discretizacin del dominio

Retomando los puntos del proceso de solucin mediante el MEF, ya se defini el

problema y su dominio, es decir, la finalidad es encontrar el valor de y el dominio del problema es un circulo. Como ya se mencion, en primer lugar se representa la regin

continua (la circunferencia), por un conjunto finito de n sub-regiones ya bien

17

mencionadas como elementos finitos, que en este caso son los segmentos de recta que

representan cada lado del polgono. El conjunto de elementos se denomina malla de

elementos finitos o simplemente malla. En este ejemplo se utiliz una malla de seis (n =

6) segmentos de recta y se analizaron dos discretizaciones diferentes, tal como se muestra

en la figura anterior. Puesto que todos los elementos tienen el mismo tamao (no

necesariamente siempre es as), la malla se dice que es uniforme.

4.13.2 Ecuaciones de los elementos

A continuacin se asla un elemento tpico, por ejemplo el lado , y se calculan sus propiedades (en este caso, su longitud). Es aqu cuando se usa, a nivel de

cada elemento genrico e, la ecuacin que gobierna el problema para determinar la propiedad requerida (en este caso, la longitud del elemento).

Sea, entonces la longitud del elemento en la malla 1 y sea la longitud del elemento , en la malla 2. Luego, se tendr:

4.13.3 Ensamblaje de las ecuaciones de los elementos finitos del problema

El permetro aproximado P de la circunferencia se obtiene ensamblando, es decir

sumando, la contribucin de cada uno de los elementos que componen la malla. En este caso, el ensamblaje est basado en que la suma de la longitud de cada elemento, es igual

a la longitud total del ensamblaje; es decir:

Puesto que en este caso la malla es uniforme, es igual para cada uno de los

elementos de la malla y por lo tanto se tiene:

18

Se debe notar que en un caso general, el ensamblaje de los elementos est basado

en la idea que la solucin es continua en los contornos inter-elementos. En el ejemplo

anterior, las condiciones de continuidad no se presentan ya que las ecuaciones usadas son

algebraicas. Adicionalmente, el ensamblaje de los elementos est sujeto a condiciones de

contorno y/o iniciales. Las ecuaciones discretas asociadas con la malla de elementos

finitos, se resuelven slo despus de introducir dichas condiciones. En este caso, por la

misma razn anterior, tampoco se presentan dichas condiciones.

4.13.4 Convergencia de la solucin

La convergencia de la solucin de un problema va el MEF, depende de la

ecuacin diferencial a resolver y del elemento usado. La palabra convergencia se refiere a

la exactitud (diferencia entre la solucin exacta y la solucin del MEF), cuando se

incrementa el nmero de elementos. En este caso, es fcil mostrar que en el lmite,

cuando:

En efecto sea

, y por tanto:

Y de igual manera sea

, y por tanto:

En la siguiente figura se aprecia la convergencia de la solucin con ambas

discretizaciones a medida de , y donde de igual manera se puede observar una aproximacin del error de gran significancia, para la hora de tomar la decisin si la

solucin es correcta.

19

Finalmente, se debe notar que de las tres posibles fuentes de error presentes en la

solucin de un problema mediante el MEF: (1) errores debido a la aproximacin del

dominio; (2) errores debido a la aproximacin de la solucin; (3) errores debido al

clculo numrico (por ejemplo errores debido a la integracin numrica, redondeo, etc.),

en este ejemplo, nicamente est presente el primer tipo de error. La estimacin de estos

errores, en general, no es una tarea fcil.

20

5. Proceso del mtodo de elementos finitos en software

5.1 Pre proceso.

En la simulacin computacional de un problema mediante elementos nitos, todos los pasos referentes a la denicin del modelo (previos a la solucin de las ecuaciones algebraico-diferenciales) constituyen el pre proceso.

Consiste en la definicin de geometra, generacin de la malla, las condiciones de

contorno y asignacin de propiedades a los materiales y otras propiedades. En ocasiones

existen operaciones cosmticas de regularizacin de la malla y pre condicionamiento para

garantizar una mejor aproximacin o una mejor convergencia del clculo.

5.1.1 Planteamiento de la geometra.

Se define un modelo como un ente que representa de forma precisa algo que ser

realizado o que ya existe. Para los efectos de simulacin de sistemas, se considera un

modelo a una descripcin matemtica de un sistema fsico que puede obtenerse a partir de

la evaluacin de su conducta basada en mediciones estimadas, observadas o realizadas

directamente sobre el sistema que se pretende modelar.

Cmo va a ser la geometra que vamos a analizar?

Seguramente conocemos la geometra real del problema, pero a la hora de realizar

su anlisis deberemos simplificarla al mximo en funcin del objetivo del anlisis, ya que

la mayora de los detalles son superfluos y lo nico que conllevan es un consumo

excesivo de tiempo de clculo y de espacio de almacenamiento. Para ello deberemos

buscar posibles simetras, antisimetras, axisimetras del problema, problemas de tensin

o deformacin planas, eliminacin de detalles superfluos: radios de acuerdo, entallas, Una vez estudiada la geometra podremos decidir el o los tipos de elementos a utilizar, las

caractersticas de los mismos, as como las propiedades de el o los materiales (mdulo de

elasticidad, conductividad,) a emplear.

21

5.1.2 Condiciones de contorno.

Por tales condiciones se entienden aquellas que definen el comportamiento del

modelo en sus lmites. Extendiendo el caso de la generacin de fuentes de campo, puede

verificarse fcilmente que la imposicin de potencial constante en un contorno implica un

campo paralelo al contorno.

Condiciones de contorno. Variables conocidas y que condicionan el cambio del

sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltaje, focos de calor, entre otras que

afecten al modelo.

Imposicin de condiciones de contorno. Solucin

Antes de obtener la solucin al sistema de ecuaciones planteado es necesario imponer las

condiciones de desplazamientos nodales que sean conocidas. El sistema resultante se

puede subdividir en dos trminos: uno que contenga los desplazamientos impuestos y

otro los incgnita. Resolviendo este sistema tendremos la solucin. Una vez conocidos

los desplazamientos nodales es posible calcular otro tipo de magnitudes (deformaciones,

tensiones,...).

Qu condiciones de contorno imponemos sobre el sistema a estudiar?

Tambin sern conocidas, pero deberemos estudiar si son o no importantes o influyentes

en el tipo de anlisis que vamos a realizar (puede darse el caso, por ejemplo, de que

nuestro sistema est sometido a un cambio brusco de temperatura, pero que deseemos

realizar un anlisis modal para conocer sus frecuencias naturales, en cuyo caso el

resultado es independiente de esta condicin). Una vez decididas las condiciones de

contorno hemos de estudiar la forma de aplicarlas, si representan las condiciones reales

22

del problema, si existe equilibrio (en el caso de que sea un anlisis esttico),... La

imposicin de condiciones de contorno apropiadas es una de las decisiones ms

complejas a la hora de realizar un anlisis por elementos finitos.

5.1.3 Mallado.

Dentro del pre proceso, la generacin de la malla es una parte clave ya que para

geometras complejas requiere un tiempo importante y no se trata de una operacin

trivial.

Por otra parte la malla debe estar correctamente diseada ya que la calidad de los

resultados depende de la calidad de aquella.

El mallado es un paso crucial en el anlisis de diseo. El mallador automtico en

el software genera una malla basndose en un tamao de elemento global, una tolerancia

y especificaciones locales de control de malla. El control de malla le permite especificar

diferentes tamaos de elementos de componentes, caras, aristas y vrtices.

El software estima un tamao de elemento global para el modelo tomando en

cuenta su volumen, rea de superficie y otros detalles geomtricos. El tamao de la malla

generada (nmero de nodos y elementos) depende de la geometra y las cotas del modelo,

el tamao del elemento, la tolerancia de la malla, el control de malla y las

especificaciones de contacto. En las primeras etapas del anlisis de diseo donde los

resultados aproximados pueden resultar suficientes, puede especificar un tamao de

elemento mayor para una solucin ms rpida. Para obtener una solucin ms precisa, es

posible que sea necesario utilizar un tamao de elemento ms pequeo.

El mallado genera elementos slidos tetradricos en 3D, elementos de vaciado

triangulares en 2D y elementos de viga en 1D. Una malla est compuesta por un tipo de

elementos a no ser que se especifique el tipo de malla mixta. Los elementos slidos son

apropiados para modelos de gran tamao. Los elementos de vaciado resultan adecuados

para modelar piezas delgadas (chapas metlicas) y las vigas y cabezas de armadura son

apropiados para modelar miembros estructurales.

La malla se genera y sta en general consta de miles (e incluso centenares de

miles) de puntos. La informacin sobre las propiedades del material y otras

caractersticas del problema se almacena junto con la informacin que describe la malla.

Por otro lado las fuerzas, los flujos trmicos o las temperaturas se reasignan a los puntos

de la malla. A los nodos de la malla se les asigna una densidad por todo el material

dependiendo del nivel de la tensin mecnica u otra propiedad. Las regiones que

recibirn gran cantidad de tensin tienen normalmente una mayor densidad de nodos

23

(densidad de malla) que aquellos que experimentan poco o ninguno. Puntos de inters

consisten en: puntos de fractura previamente probados del material, entrantes, esquinas,

detalles complejos, y reas de elevada tensin. La malla acta como la red de una araa

en la que desde cada nodo se extiende un elemento de malla a cada nodo adyacente. Este

tipo de red vectorial es la que lleva las propiedades del material al objeto, creando varios

elementos.

Propiedades que deben tener las mallas

Tipo geomtrico:

- La variacin de tamao entre los elementos adyacentes debe ser progresiva. - La densidad de elementos en algunas regiones de la malla debe ser ms altas. Esto

suceder en aquellas zonas que necesitemos un elevado gradiente de soluciones.

- En las mallas de elementos triangulares se deben evitar los ngulos obtusos. - En general, los elementos deben ser suficientemente regulares y satisfacer ciertas

propiedades relativas a su forma: distorsin, esbeltez,

Tipo fsico:

- Puede haber aspectos fsicos del problema que condicionen la geometra de los elementos, como la anisotropa, la cual indica que algn material puede presentar

cambios de propiedades como temperatura, elasticidad, conductividad, entre otras,

dependiendo de la direccin en que sea examinado.

Tipos de malla

- Malla conforme/no conforme. En una malla conforme los elementos adyacentes comparten nodos o caras.

24

- Malla estructurada/no estructurada. En una malla estructurada cada nodo del interior es compartido por el mismo nmero de elementos.

5.1.4 Tcnicas o algoritmos de mallado

Existen distintas tcnicas o algoritmos para definir una malla:

- Manual o semi-automtico. - Mtodos basados en la transformacin de un dominio con geometra simple. - Mtodos basados en la solucin de un sistema de ecuaciones en derivadas

parciales.

- Mtodos basados en la deformacin y modificacin local de una malla sencilla. - Mtodos basados en la composicin de mallados de subconjuntos del dominio a

mallar, obtenidos por mtodos del tipo 2 o 3.

- Mtodos automticos que obtienen la malla final, elemento por elemento, a partir de la definicin del contorno.

- Mtodos de avance frontal. - Algoritmos basados en la construccin de Voronoi-Delaunay.

5.1.5. Materiales.

La respuesta de una pieza depende del material asignado a sta. Se debe conocer

las propiedades elsticas del material de la pieza. Se puede asignar un material a la pieza

escogiendo un material desde una biblioteca de materiales. Los materiales tienen dos

conjuntos de propiedades: visuales y fsicas (mecnicas). Las que se utilizan son las

propiedades fsicas de los materiales definidos en la Biblioteca de materiales. Los

materiales pueden ser isotrpicos, ortotrpicos, o anisotrpicos.

25

La seleccin de los materiales a emplear, pueden obtenerse por libreras, o ser

definidos por el usuario. Esto ltimo es comn cuando se emplean materiales de

propiedades no lineales o materiales anistropos.

Si el material que desea asignarle a la pieza no est en la Biblioteca de materiales,

puede crear un material personalizado. Al crear un material personalizado, comience con

un material existente similar al material que desea crear.

Tipos de materiales.

- Material isotrpico. Un material es isotrpico si sus propiedades mecnicas son las mismas en todas las direcciones. Los materiales isotrpicos pueden tener

estructuras microscpicas homogneas o no homogneas. Por ejemplo, el acero

muestra un comportamiento isotrpico, aunque su estructura microscpica no es

homognea. Las propiedades elsticas de un material isotrpico las define el

mdulo de elasticidad (EX) y el Coeficiente de Poisson (NUXY).

- Material ortotrpico. Un material es ortotrpico cuando sus propiedades mecnicas son nicas e independientes en las direcciones de tres ejes

perpendiculares entre s. Algunos ejemplos de materiales ortotrpicos son la

madera, muchos cristales y los metales laminados.

Por ejemplo, las propiedades mecnicas de la madera en un punto se describen en

las direcciones longitudinal, radial y tangencial. El eje longitudinal (1) es paralelo

a la direccin del grano (fibra), el eje radial (2) sigue la direccin de los anillos de

crecimiento y el eje tangencial (3) es tangente a los anillos de crecimiento.

- Material anisotrpico. Un material es anisotrpico si sus propiedades mecnicas son diferentes en diferentes direcciones. En general, las propiedades mecnicas de

26

los materiales anisotrpicos no son simtricas con respecto a ningn plano o eje.

Los materiales ortotrpicos a veces se denominan anisotrpicos.

Asignacin de elemento y propiedades de materiales a los diferentes componentes del

modelo.

5.1.6 Cargas externas.

Las cargas y restricciones son necesarias para definir el entorno de servicio del

modelo. Los resultados del anlisis dependen directamente de las cargas y restricciones

especificadas. Las cargas y restricciones se aplican a entidades geomtricas como

operaciones que se asocian completamente a la geometra y se ajustan automticamente a

cambios geomtricos.

Por ejemplo, si se aplica una presin P a la cara del rea A1, la fuerza equivalente

aplicada a la cara es PA1. Si se modifica la geometra de manera tal que el rea de la cara

cambia a A2, la fuerza equivalente automticamente cambia a PA2. Se necesita volver a

mallar el modelo luego de realizar cualquier cambio en la geometra para actualizar las

cargas y restricciones.

5.2 Clculos.

Clculo, el resultado del preproceso, en un problema simple no-dependiente del

tiempo, permite generar un conjunto de N ecuaciones y N incgnitas, que puede ser

resuelto con cualquier algoritmo para la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales.

Cuando el problema a tratar es un problema no-lineal o un problema dependiente del

tiempo a veces el clculo consiste en una sucesin finita de sistemas de N ecuaciones y N

incgnitas que deben resolverse uno a continuacin de otro, y cuya entrada depende del

resultado del paso anterior. Es importante tener en cuenta que este paso lo realiza el

software, pudiendo tomar desde unos cuantos segundos a unos cuantos minutos,

dependiendo de la complejidad del modelo.

5.3 Post proceso.

Este paso, trata directamente en la interpretacin ingenieril de los resultados

obtenidos luego de la realizacin de la solucin de ecuaciones, mediante una serie de

grficos y valores de magnitudes determinadas.

27

5.3.1 Resultados.

Qu resultados esperamos obtener? Para poder saber si hemos realizado

correctamente el anlisis o si representa bien la realidad, deberemos tener una idea de

cmo va a responder. Por ejemplo, si estamos analizando una tubera sometida a presin

interior y los resultados nos indican que disminuye el radio deberemos pensar que hemos

modelado mal el sistema, bien en la aplicacin de las cargas, en el mallado, etc.

Una vez estudiados estos puntos estamos en disposicin de realizar un Anlisis

por Elementos Finitos, despus de este anlisis y a la vista de los resultados conviene

repasar los puntos que se han remarcado.

Dentro del postproceso, el clculo proporciona valores de cierto conjunto de

funciones en los nodos de la malla que define la discretizacin, en el postproceso se

calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y en ocasiones se

aplican operaciones de suavizado, interpolacin e incluso determinacin de errores de

aproximacin.

Actualmente, el MEF es usado para calcular problemas tan complejos, que los

ficheros que se generan como resultado del MEF tienen tal cantidad de datos que resulta

conveniente procesarlos de alguna manera adicional para hacerlos ms comprensible e

ilustrar diferentes aspectos del problema. En la etapa de post-proceso los resultados

obtenidos de la resolucin del sistema son tratados, para obtener representaciones

grficas y obtener magnitudes derivadas, que permitan extraer conclusiones del

problema.

En el clculo de estructuras por ejemplo, el post-proceso puede incluir

comprobaciones adicionales de si una estructura cumple los requisitos de las normas

pertinentes, calculando si se sobrepasan tensiones admisibles, o existe la posibilidad de

pandeo en la estructura.

Dependiendo de los resultados que nos arrojen los clculos previos, se nos

presentaran graficas donde nos muestren los datos de una forma ms entendible, los datos

grficos pueden ser desde un patrn de colores sobre el mismo modelo hasta valores

ordenados en barras, que nos muestran valores desde mnimos a mximos que actan

sobre el modelo. Los valores dependern del tipo de anlisis del que se trate, es decir, si

se est trabajando con un anlisis de esfuerzos resultantes en el modelo, obtendremos

graficas donde se nos muestre esos esfuerzos, de igual forma en los diferentes tipos de

anlisis.

28

- Decisiones:

Depender del diseador, en base al objetivo que tiene en el diseo y los resultados

obtenidos del anlisis, tomar una decisin si la pieza cumple o no con el objetivo, en todo

caso de que se tenga que realizar alguna modificacin, por motivo de que la pieza no

cumple los parmetros o de que esta sobrado el diseo, se tienen dos opciones, cambiar la

geometra del modelo, que consistir en cambiar la forma del modelo o bien cambiar el

tipo de material por uno ms adecuado, en todo caso estos dos factores son los ms

obvios a cambiar ya que por lo regular las fuerzas o cargas externas con las que se

pretende disear la pieza, tendrn un poco de margen tal vez, pero no el suficiente como

para que se puedan llevar a un lmite y que represente algo significativo en el resultado

del anlisis.

5.4 Ejemplo: Anlisis esttico en Solidworks

El modelo a analizar paso a paso es el que se muestra en la siguiente figura,

destacando que es una estructura ensamblada que consta de tres partes como se indica.

5.4.1 Creacin de un estudio

El primer paso para realizar un anlisis consiste en crear un estudio.

Haga clic en Simulation, Study en el men principal de SolidWorks en la parte

superior de la pantalla y escriba el nombre del tipo de anlisis a realizar, en este caso

Static (Esttico).

29

SolidWorks Simulation crea un rbol de estudio de Simulation situado bajo el rbol

de diseo de FeatureManager.

Tambin se crea una pestaa en la parte inferior de la ventana para que navegue entre

los distintos estudios y su modelo.

5.4.2 Asignacin de materiales

Asignacin de acero aleado para todos los componentes de este ejemplo.

En el rbol de SolidWorks Simulation Manager, haga clic con el botn derecho

del ratn en la carpeta Parts (Piezas) y haga clic en Apply Material to All (Aplicar el

material a todo).

Aparece el cuadro de dilogo Material como se muestra en la siguiente figura y

realizar lo siguiente:

a) Expanda la carpeta de la biblioteca SolidWorks Materials (Materiales de Solidworks).

b) Expanda la categora Steel (Acero).

c) Seleccione Alloy Steel (Acero aleado) y Aplply (Aplicar).

Nota: Las propiedades mecnicas y fsicas del acero aleado aparecern en la tabla

situada a la derecha.

30

El acero aleado se asigna a todos los componentes y aparece una marca de

verificacin al lado del icono de cada componente. Observe que el nombre del material

asignado aparece al lado del nombre del componente.

5.4.3 Aplicacin de cargas

Se aplicar una fuerza normal de 2.250 N (505,82 lbf) a la cara que se muestra en la

figura.

31

En el rbol de SolidWorks Simulation Manager, haga clic con el botn derecho del

ratn en la carpeta External Loads (Cargas externas) y seleccione Force (Fuerza).

En la zona de grficos, haga clic en la cara que se muestra en la figura. Asegrese de

que est seleccionada la opcin Normal como la direccin.

En el cuadro Force Value (Valor de fuerza) , escriba 2.250.

Haga clic en SolidWorks Simulation aplica la fuerza a la cara seleccionada y aparece

el elemento Force-1 (Fuerza-1) en la carpeta External Loads (Cargas externas).

5.4.4 Mallado del ensamblaje

El mallado divide el modelo en piezas ms pequeas denominadas elementos. Segn

las cotas geomtricas del modelo, SolidWorks Simulation sugiere un tamao de elemento

predeterminado (en este caso, 4,564 mm) que puede modificarse segn sea necesario.

En el rbol de estudio de Simulation, haga clic con el botn derecho del ratn en el

icono Mesh (Malla) y seleccione Create Mesh (Crear malla).

Expanda Mesh Parameters (Parmetros de malla) seleccionando la casilla de

verificacin.

Asegrese de que la opcin Curvature based mesh (Malla basada en curvatura) est

seleccionada.

Mantenga los valores predeterminados de Maximum element size (Tamao mximo

de elemento), Minimum element size (Tamao mnimo de elemento), Min. number of

elements in a circle (N. mn. de elementos en un crculo) y Element size growth ratio

(Cociente de crecimiento del tamao del elemento) sugeridos por el programa.

32

33

5.4.5 Ejecucin del anlisis

En el rbol de estudio de Simulation, haga clic con el botn derecho del ratn en

el icono My First Study (Mi primer estudio) y haga clic en Run (Ejecutar) para iniciar el

anlisis.

Cuando el anlisis termina, SolidWorks Simulation crea automticamente trazados de

resultados predeterminados guardados en la carpeta Results (Resultados).

5.4.6 Visualizacin de los resultados

Tensin de von Mises

Haga clic en el signo ms situado junto a la carpeta Results (Resultados). Aparecen todos los iconos de los trazados predeterminados. Haga doble clic en Stress1 (Tensin 1)

para mostrar el trazado de tensiones. El trazado de tensiones se muestra como en la

siguiente figura.

Dentro del diagrama de tensin de Von Mises mostrado, se pueden apreciar los

segmentos en la pieza que estn siendo sometidos a un esfuerzo de tensin mayor (color

rojo) y los segmentos que no sufren ningn esfuerzo a tensin (color azul). Dentro de este

resultado grfico se debe tomar en cuenta lo siguiente: las zonas rojas que definen a las

34

secciones con una tensin de Von Mises mayor que en las dems partes del modelo,

indican que dichas secciones son las ms propensas a fallar, debido a que la elasticidad

del material en esa seccin se encuentra muy cerca de la cedencia.

Visualizacin de los desplazamientos resultantes

Haga doble clic en Displacement1 (Desplazamiento 1) para mostrar el trazado de

desplazamientos resultante.

5.4.7 Verificacin del Factor de Seguridad

Haga clic con el botn derecho del ratn en la carpeta Results (Resultados) y

seleccione Define Factor of Safety Plot (Definir factor de trazado de seguridad). Aparece

el Property Manager Factor of Safety wizard (Asistente para Factor de seguridad). En la

lista Criterion (Criterio), seleccione Max von Mises stress (Tensin de von Mises mx).

En Plot results (Trazado de resultados), haga clic en Factor of safety distribution

(Distribucin del factor de seguridad). El trazado generado muestra la distribucin del

factor de seguridad. El factor ms pequeo de seguridad es aproximadamente de 5,98.

35

Un factor de seguridad de 1,0 en una ubicacin significa que el material est

alcanzando el lmite elstico. Por ejemplo, un factor de seguridad de 2,0 significa que el

diseo es seguro en esa ubicacin y que el material alcanzar el lmite elstico si dobla

las cargas.

Puesto que algunas regiones del modelo experimentan muy poca tensin, el valor

mximo del factor de seguridad es muy alto (por encima de 1.800.000). Para que el

trazado sea ms significativo, se cambiar el valor mximo de la leyenda a 100. Haga

doble clic en la leyenda, haga clic en Defined (Definido) y escriba 100 en el campo Max

(Mx.).

36

El criterio de decisin del ingeniero es lo que decidir si cambiar el material,

redisear la geometra del modelo (esto implica realizar todo el proceso desde el

principio) o continuar con el proyecto.

6. Tipos de anlisis mediante el mtodo de elementos finitos

6.1 Esttico

Los estudios estticos proporcionan herramientas para el anlisis de tensin lineal

de piezas y ensamblajes cargados con cargas estticas. Es uno de los anlisis ms

utilizados, ya que permite la determinacin de los componentes de los nodos por efecto

de una solicitacin esttica y, en una segunda fase, la determinacin del estado en ciertos

puntos cara caractersticos de cada elemento. Este tipo de anlisis permite acotar la

deformacin del componente de estudio y localizar zonas altamente solicitadas o zonas

de solicitacin baja.

Las preguntas tpicas que se respondern con este tipo de estudio son: Mi pieza

se romper bajo cargas funcionales normales?, El modelo est diseado en exceso?, Mi diseo se puede modificar para aumentar el factor de seguridad?.

37

6.2 Vibracin

La vibracin libre de un cuerpo elstico se realiza en frecuencia y tomando formas

que le son caractersticas, denominadas frecuencias y modos propios de vibracin. El

anlisis de nodos y frecuencias, propias de vibracin se realiza con el objetivo de conocer

mejor el comportamiento dinmico del componente o estructura y determinar posibles

reas de conflicto, como por ejemplo la generacin de resonancia. Esto es esencial en el

diseo de muchos componentes cargados esttica y dinmicamente.

Las preguntas tpicas que se respondern con este tipo de estudio son: Mi pieza

resonar bajo cargas funcionales normales?, Las caractersticas de frecuencia de mis

componentes son adecuadas para la aplicacin dada?, Mi diseo se puede modificar para

mejorar las caractersticas de frecuencia?.

6.3 Transferencia de calor

Los estudios trmicos ofrecen herramientas para el anlisis de la transferencia

trmica mediante conduccin, conveccin y radiacin, en un rgimen estacionario. Los

resultados son bsicamente las distribuciones de temperatura y lo flujos de calor.

Las preguntas tpicas que se respondern con este tipo de estudio son: Los

cambios de temperatura afectarn a mi modelo?, Cmo funciona mi modelo en un

entorno con fluctuacin de temperatura?, Cunto tiempo tarda mi modelo en enfriarse o

sobrecalentarse?, El cambio de temperatura provocar que mi modelo se expanda?, Las

tensiones provocadas por el cambio de temperatura provocarn que mi producto falle?.

38

6.4 Mecnica de fluidos

Pueden ser problemas en el rgimen laminar, turbulento, estacionario o transitorios. Los

resultados son bsicamente las distribuciones de presin y velocidad en todo objeto. Un

ejemplo de una aplicacin del mtodo del elemento finito en la mecnica de fluidos es el

problema del flujo de aire alrededor del ala de un avin. Lo ms interesante de esto son

las fuerzas de flotacin y las fuerzas que actan en contra del avance del cuerpo (drag

force). La regin de flujo cercana al ala se divide en elementos como se muestra en la

siguiente figura de la seccin transversal de un ala. La solucin del modelo de elemento

finito permite el cmputo de las fuerzas previamente mencionadas.

39

6.5 Anlisis de choque

Los estudios de choque se usan para analizar la tensin de las piezas o

ensamblajes mviles que impactan contra un obstculo y conocer los puntos ms dbiles

que son propensos a cierta deformacin en caso de impacto.

Las preguntas tpicas que se respondern con este tipo de estudio son: Qu

ocurrir si mi producto no se maneja adecuadamente durante el transporte o se cae?,

Cmo se comportar mi producto si se cae en un suelo de madera duro, una alfombra o

cemento?

6.6 Anlisis dinmico

Los estudios dinmicos analizan objetos forzados por cargas que varan en el

tiempo. Algunos ejemplos tpicos pueden ser cargas de choque de componentes montados

en vehculos, turbinas cargadas mediante fuerzas oscilatorias, componentes de aviones

cargados aleatoriamente, etc. Se encuentran disponibles tanto linealmente (pequeas

deformaciones estructurales, modelos de material bsico) y no linealmente (grandes

deformaciones estructurales, cargas importantes y materiales avanzados).

40

Las preguntas tpicas que se respondern con este tipo de estudio son:, Tienen un

diseo seguro mis montajes cargados por cargas de choque cuando un vehculo pasa por

un gran bache en la carretera?, Cunto se deformar en estas circunstancias?.

6.7 Anlisis por fatiga

Ayuda a los diseadores a predecir la vida del material o de la estructura,

prediciendo el efecto de los ciclos de carga sobre el espcimen. Este anlisis puede

mostrar las reas donde es ms probable que se presente una grieta. El anlisis por fatiga

puede tambin predecir la tolerancia al fallo del material y analizar la resistencia de las

piezas y los ensamblajes cargados de forma repetida durante largos periodos de tiempo.

Las preguntas tpicas que se respondern con este tipo de estudio son: La

duracin de la vida operativa de mi producto se puede calcular con precisin?, La

modificacin de mi diseo actual contribuir a ampliar la vida del producto?, Mi modelo

es seguro si se expone a cargas de temperatura o fuerza fluctuantes durante largos

periodos de tiempo?, El rediseo de mi modelo ayudar a minimizar el dao provocado

por las fuerzas o temperatura fluctuantes?.

41

6.8 Filtracin de agua subterrnea

Una importante aplicacin en el rea geofsica es el problema de la filtracin de agua subterrnea. Una tpica situacin de este problema se muestra en la siguiente figura.

Donde el agua es retenida detrs de un dique impenetrable. La tarea es determinar

la cantidad de agua que se pierde debido a la filtracin bajo el dique en la tierra. La malla

para el modelo de elemento finito del suelo se indica tambin.

7. Ventajas y desventajas del mtodo del elemento finito

Ventajas:

El MEF se ha vuelto una solucin para la tarea de predecir los fallos debidos a

tensiones desconocidas enseando los problemas de la distribucin de tensiones en el

material y permitiendo a los diseadores ver todas las tensiones involucradas. Este

mtodo de diseo y prueba del producto es mejor al ensayo y error en donde hay que

mantener costos de manufactura asociados a la construccin de cada ejemplar para las

pruebas.

42

Las grandes ventajas del clculo por ordenador se pueden resumir en:

- Hace posible el clculo de estructuras que, bien por el gran nmero de operaciones que su resolucin presenta (entramados de muchos pisos, por

ejemplo) o por lo tedioso de las mismas (entramados espaciales, por ejemplo) las

cuales eran, en la prctica, inabordables mediante el clculo manual.

- En la mayora de los casos reduce a lmites despreciables el riesgo de errores operativos.

Desventajas:

En general el MEF tal como se usa actualmente tiene algunas limitaciones:

- El MEF calcula soluciones numricas concretas y adaptadas a unos datos

particulares de entrada, no puede hacerse un anlisis de sensibilidad sencillo que

permita conocer como variar la solucin si alguno de los parmetros se altera

ligeramente. Es decir, proporciona slo respuestas numricas cuantitativas

concretas no relaciones cualitativas generales.

- El MEF proporciona una solucin aproximada cuyo margen de error en general es desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error de la

solucin, debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el mtodo, los

problemas no-lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer

el error.

En el MEF la mayora de aplicaciones prcticas requiere mucho tiempo para ajustar todos

los detalles de la geometra, existiendo frecuentemente problemas de mal

condicionamiento de las mallas, desigual grado de convergencia de la solucin

aproximada hacia la solucin exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulacin

requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometras simplificadas o casos

menos generales que el que finalmente pretende simularse, antes de empezar a lograr

resultados satisfactorios.

43

8. Conclusiones

El mtodo de los elementos finitos es, definitivamente, el mtodo de anlisis

numrico ms exacto para el anlisis ingenieril de propiedades mecnicas dentro del rea

de diseo, destacando que es un mtodo muy complejo y que gracias a la necesidad de

diseos de ingeniera ms complejos, se implement este mtodo a los diversos software

de diseo ingenieril. Debido a esto, el MEF es una herramienta que podemos encontrar en

cualquier software de diseo lo cual nos simplifica el hecho de realizar un anlisis

mecnico sin la necesidad de realizar analticamente la serie de procedimientos

matemticos muy complicados que este mtodo demanda.

En trminos generales, el mtodo se encarga de dividir el modelo a analizar en

una cantidad finita de elementos pequeos, con el fin de simplificar la realizacin de las

ecuaciones matemticas que describen el comportamiento de dicho modelo. El hecho de

analizar los pequeos elementos por separado y al final estructurar y ensamblar todas las

ecuaciones, es mucho ms sencillo que realizar el anlisis del modelo completo, esto

significa que, se tendr un sistema finito de ecuaciones; por otro lado, el anlisis del

modelo completo (sin discretizarlo) nos da como resultado un sistema de ecuaciones

infinitas, lo cual es imposible resolver.

El procedimiento que sigue el MEF en el software de diseo, consta de lo

siguiente:

Preproceso: en este paso se incluye el planteamiento de la geometra del modelo,

las condiciones de contorno, el mallado, el anlisis personal del material indicado

a usar, si se requieren algunas sujeciones y la aplicacion de la(s) carga(s).

Solucin: este paso es, dentro del software, el clculo del sistema de ecuaciones

simultaneas resultante, lo cual no se muestra. El software de diseo puede durar

desde unos segundos hasta algunos minutos en ejecutar este paso.

Postproceso: como ltimo paso, el postproceso trata de la visualizacin de los

resultados mediante grficos y estadsticas, y de la toma de decisiones. En este

punto se determina si el modelo se rediseara o si se continuara con el proyecto.

Definitivamente es una herramienta de anlisis muy funcional, sin embargo, hay que

tomar en cuenta que es un mtodo basado en aproximaciones, es decir, los resultados

se aproximan (aunque sea la aproximacin muy cercana a la realidad) y ya en la

realidad pueden cambiar en determinado momento por diversos factores.

44

9. Referencias

Celigueta L. Juan Tomas (2011, San Sebastian, Espaa). Mtodo de los elementos finitos para anlisis estructural. Ed. Tecnun. Pags. 1 24.

http://www.solidworks.com/sw/docs/simulation_student_wb_2011_esp.pdf

http://www.uru.edu/fondoeditorial/libros/pdf/elementosfinitos/CAP%201%20COMPLETO.pdf

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lim/maldonado_j_r/capitulo2.pdf

http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/Introduccion_al_MEF.pdf

http://books.google.com.mx/books?id=pb_27LCaPNYC&pg=PA408&dq=espacio+vectorial+hilbert&hl=es&sa=X&ei=bEohUqHvKIquigKYl4Ag&ved=0CDYQ

6AEwAg#v=onepage&q=espacio%20vectorial%20hilbert&f=false

http://books.google.com.mx/books?id=M4pvumR-Hg4C&printsec=frontcover&dq=estatica&hl=es&sa=X&ei=LFMhUoK1KpGYig

KEnIDgCQ&sqi=2&ved=0CEIQ6wEwAw#v=onepage&q=estatica&f=false

http://w3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0708/prep-hdout-1x2.pdf